BEKLENEN DEĞER. 6. Ders. Tanım: X, bir rasgele değişken ve g : R R, B B R için x : g x B B R özelliğine sahip bir fonksiyon olmak üzere:

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "BEKLENEN DEĞER. 6. Ders. Tanım: X, bir rasgele değişken ve g : R R, B B R için x : g x B B R özelliğine sahip bir fonksiyon olmak üzere:"

Transkript

1 6. Ders BEKLENEN DEĞER Taım: X, bir rasgele değişke ve g : R R, B BR içi x : gx B BR özelliğie sahip bir foksiyo olmak üzere: i) X kesikli ve ii) X sürekli ve gx fx olduğuda, x EgX gxfx gx fxdx olduğuda, değerie gx i beklee değeri deir. EgX gxfxdx x Örek: X rasgele değişkei olasılık foksiyou, ve fx 2 x, x, 2, x 2x gx x olmak üzere, gx i beklee değerii araştıralım. gx fx x x x 2x x 2 x x olduğuda, Taım 4.. deki gx fx olmaşartı sağlamamakta Bu sebeple, gerçekte var ola, x x x gxfx x x 2x x 2 x x x sayısıa gx i beklee değeri diyemeyiz. Böyle durumlarda gx i beklee değeri yoktur deir. Buda soraki kısımlarda EgX değeri sözkousu olduğuda aksi belirtilmedikçe gx i beklee değerii var olduğuu kabul edeceğiz. x Taım: X bir rasgele değişke, c R ve k bir doğal sayı olmak üzere:

2 a) E X c k değerie X i c ye göre k ici mometi, b) EX k değerie X i k ici mometi, c) EX değerie X i beklee değeri, d) E X EX 2 değerie X i varyası, e) EXX X 2X k değerie X i k ici çarpımsal mometi deir. Alışagelmiş olarak bir X rasgele değişkei beklee değeri X veya sadece, varyası ise VarX, X 2 veya sadece 2 ile de gösterilmektedir. Varyası kareköküe stadart sapma deir ve bir X rasgele değişkei stadart sapması X veya sadece ile gösterilir. Örek: X rasgele değişkei olasılık yoğuluk foksiyou, fx 3x 4, x, d. y. olsu. X i beklee değeri, ve varyası, VarX x 3 2 EX x 3x 4 dx 3 x x 4 dx 3x 9 2 x2 9 4 x3 3 4 olarak buluur. 3 içi x 3x 4 dx itegrali ıraksak olduğuda X rasgele değişkei 3 ve 3 de büyük ola mometleri yoktur. x Teorem: g i : R R, i, 2,,, B BR içi x : g i x B BR olmak üzere, Eg i X, i, 2,, beklee değerleri varsa, g i X i beklee değeri vardır ve a) E g i X Eg i X i i i

3 b) a, b R olmak üzere, EaX b aex b, VaraX b a 2 VarX c) m k EX k, k EX k, k, 2, olmak üzere, k k i i k m i ki k ve özel olarak, k m k k i i ki k VarX 2 m 2 2 EX 2 EX 2 Đspat:(Ödev) Teorem: h t olmak üzere X t i beklee değeri varsa X h i de beklee değeri var Đspat: Đspatı X i sürekli olması hali içi verelim. x h fxdx x h fxdx x h fxdx x h x h fxdx x t fxdx x h x h P X h E X t X i kesikli olması durumuda ispat yukarıdakie bezer yolda yapılabilir. Teorem: Negatif değerler almaya bir X rasgele değişkei dağılım foksiyou F olsu. Eğer X i beklee değeri varsa EX Fxdx dir. Eşitliği sağ tarafıdaki itegrali yakısak olması halide X i beklee değeri var Đspat: Đlk öce X i sürekli rasgele değişke olması durumuu ele alalım. X egatif değerler almaya, dağılım foksiyou F, olasılık yoğuluk foksiyou f ve beklee değeri var E X EX ola bir rasgele değişke olsu. O zama,

4 ve EX xfxdx lim xfxdx lim xfxdx Kısmi itegrasyo soucu xfxdx F Fxdx F Fxdx elde edilir. Diğer tarafta, olması sebebiyle, Böylece, F fxdx xfxdx lim F EX lim xfxdx lim Fxdx Fxdx elde edilir. Teoremi geri kala kısmıı ispatlamak içi, Fxdx olduğuu varsayalım. O zama, xfxdx Fxdx Fxdx ve böylece, E X lim x fxdx lim xfxdx Şimdi X rasgele değişkei kesikli olması durumuu ele alalım. X rasgele değişkei olasılık foksiyou f olmak üzere olsu. Her pozitif tamsayısı içi, EX x j fx j j

5 Fxdx ve PX x, x e göre artmaya olduğuda, yazılabilir. k k P X k P X k kk/ Fxdx k jk k/ PX xdx P j X j k P X k k k P k k2 X k k P k X k P k k2 k2 X k k k2 fx j P X k x j k k k fx j k x j k fx j P X x j k k x j fx j k x j k ve bezer yolda, olduğu gösterilebilir. Burada EX P X k k EX EX Fxdx EX yazılabilir. içi limit alıdığıda EX Fxdx elde edilir. Teorem: Bir X rasgele değişkei beklee değerii var olması içi gerek ve yeter

6 şart PX xdx ve PX xdx itegrallerii her ikisii de yakısak olması Bu durumda EX PX xdx PX xdx Đspat: (Ödev) Örek: X rasgele değişkei olasılık yoğuluk foksiyou, fx e x3, x 3, d. y. olsu. X i beklee değeri vardır ve, EX xe x3 dx 3 xe x3 3 e x3 dx 3 lim x x e x3 3 ex3 2 Şimdi X i beklee değerii Teorem 4..4 deki yolda hesaplayalım. 3 Fx PX x, x 3 e x3, x 3 olmak üzere,

7 EX PX xdx PX xdx Fxdx Fxdx elde edilir. 3 e x3 dx dx e x3 dx 2 3 Örek: X rasgele değişkei olasılık foksiyou fx /6, x 2,,,, 2, 3 olsu. 3 EX xfx /2 x2 olmak üzere, bu değeri Teoremdeki yolda hesaplayalım., x 2 /6, 2 x 2/6, x Fx 3/6, x 4/6, x 2 5/6, 2 x 3, x 3 olmak üzere,

8 EX Fxdx Fxdx 2 3/6dx 4/6dx 5/6dx 2 3 elde edilir. 2 dx dx /6dx 2/6dx Örek : X rasgele değişkei olasılık yoğuluk foksiyou, fx 2 e x2 2, x olsu., 2, içi EX değerlerii hesaplayalım.

9 EX x 2 e x2 2 dx 2 x e x2 2 dx x e x2 2 dx 2 x e x2 2 dx x e x2 2 dx 2 x e x2 2 dx, 2k, k, 2, 2, 2k, k, 2, 2 2 y 2 e y dy, 2k, k, 2,, 2k, k, 2, 2 2 2, 2k, k, 2,, 2k, k, 2,, 3, 5, içi, 2 içi, EX EX içi,

10 EX elde edilir. Örek: X rasgele değişkei olasılık yoğuluk foksiyou, fx e x, x, d. y. olsu., 2, içi içi, 2 içi, ve elde edilir. EX x e x dx y e y dy EX EX VarX EX 2 EX Örek: X rasgele değişkei olasılık foksiyou, fx e x, x,, 2,, x! olsu. X i beklee değeri, EX x e x x! x xe x x! x e x x x! e x x x! e! 2 2!! X 2 XX X ifadeside faydalaarak,

11 EX 2 EXX EX xx e x x! x xx e x x! x2 e x x 2! x2 e 2 x2 x2 x 2! 2 e x x x! elde edilir. Burada, buluur. 2 VarX EX 2 EX 2 Örek: Bir güde 5 parça işleye bir tora makiası içi kusursuz olarak işlediği parçaları sayısı X olsu. X i olasılık foksiyou, x 5x fx 5 4 x, x,, 2, 3, 4, Đşlememiş parçaı alış değeri a, işleme masrafı b, kusurlu işlemiş parçaı hurda değeri c ve kusursuz işlemiş parçaı satış değeri d olmak üzere gülük kazacı beklee değeri edir? K rasgele değişkei gülük kazacı göstermek üzere, K 5a b 5 xc Xd olarak ifade edilebilir. EX 4 olduğu göz öüe alıırsa EK 5a b 5 EX c EX d 5a b c 4d elde edilir. 4d c 5a b

12 KARAKTERĐSTĐK FONKSĐYONLAR Taım: X bir rasgele değişke olmak üzere, X t Ee itx EcostX iesitx, t R foksiyoua X i karakteristik foksiyou deir. e itx olduğuda Ee itx beklee değeri her X içi mevcuttur, yai her rasgele değişkei karakteristik foksiyou var Örek: X rasgele değişkei c c R oktasıda yoğulaşmış dağılıma sahip olduğuda, X t Ee itx e itx fx e itc, t R x c içi X t dir. Örek: X rasgele değişkei olasılık foksiyou, fx, x, 2, 3, 4, 5, 6 6 olmak üzere, X t Ee itx e itx fx, t R x 6 eit 6 e2it 6 e3it 6 e4it 6 e5it 6 e6it dir. Örek: X rasgele değişkei olasılık yoğuluk foksiyou, fx e x, x, d. y. olmak üzere, X t Ee itx it, t e itx ex/ dx

13 Teorem: X rasgele değişkei karakteristik foksiyou X olmak üzere, a) X b) X t, t R c) X düzgü sürekli, d) axb t e itb X ta, t R, (a ve b sabit) Đspat: a) X t Ee itx olmak üzere X E dir. b) X t Ee itx E e itx E c) X t h X t Ee ithx e itx Ee itx e ihx E e itx e ihx E e ihx X i sürekli rasgele değişke olduğuu varsayalım. O zama içi, yeterice büyük M sayısı olacak şekilde alıırsa, X t h X t e ihx fxdx x M M fxdx 4 X t h X t e ihx fxdx 2 olur (h sadece a bağlıdır). X düzgü süreklidir. M x M fxdx

14 X i kesikli olması durumuda itegral yerie toplam işareti gelecektir. d) axb t Ee itaxb Ee itb e itax e itb Ee itax e itb X ta Teorem: Bir rasgele değişkei. mometi varsa, k içi d k dt k Xt t i k EX k Đspat: k, 2,. içi EXe kitx E X k x k fx x x k fxdx olmak üzere d X t dt d k X t dt k d dt EeitX E d dt eitx iexe itx i k EX k e itx, k d k X t dt k t i k EX k, k Örek: X rasgele değişkei olasılık foksiyou olmak üzere fx e x x!, x,, 2,

15 X t Ee itx e itx e x x x! e e it x x x! e e eit Burada, e eit iex d dt Xt t ie it e eit t i i 2 EX 2 d2 dt 2 Xt t i 2 e it e eit ie it 2 e eit t i 2 2 Teorem: Bir X rasgele değişkei olasılık (yoğuluk) foksiyou f, dağılım foksiyou F ve karakteristik foksiyou olmak üzere: i) x, x 2, x x 2 oktalarıda F sürekli ise Fx 2 Fx lim T T 2 T e itx e itx 2 it tdt ii) X sürekli bir rasgele değişke ise, fx limlim ht 2 T T e ith ith e itx tdt ve t dt ise, iii) X kesikli rasgele değişke ise, fx 2 e itx tdt fx lim e T 2T itx tdt T T

16 Bu teoremi ispatı burada yapılmayacaktır. Teoremi soucu olarak dağılım foksiyoları kümesi ile karakteristik foksiyoları kümesi arasıda bire-bir eşleme yapılabileceği söyleebilir. Şimdi karakteristik foksiyoları kümesii belirleye Bocher-Khici teoremii ispatsız olarak verelim. Teorem: (Bocher-KhichiTeoremi) kompleks sayıları kümesi olmak üzere bir : R foksiyou sürekli ve olsu. i karakteristik foksiyo olması içi gerek ve yeterşart her t, t 2,,t R ve her c, c 2,,c, içi k j t j t k c j c k olması(burada c, c i eşleiği ola kompleks sayıdır, yai c a bi ise c a ib ) Örek: t e ict, c R karakteristik foksiyoua karşılık gele dağılım edir? x x 2 içi Fx 2 Fx lim T 2 T T e itx e itx 2 it e ict dt T lim T 2 T e itcx e itcx 2 it dt T lim T 2 T si tc x si tc x 2 t dt olmak üzere, lim T T lim T T si at t dt si tc x si tc x 2 t 2 2, a, a dt olduğu göz öüe alıırsa, x, x 2 c içi

17 Fx 2 Fx 2 2 x, x 2 c içi x c x 2 içi Fx 2 Fx 2 2 Fx 2 Fx 2 2 dir. Dağılım foksiyouu özellikleride, Fx 2 lim x Fx 2 Fx, x 2 c, x 2 c buluur. Bu dağılım foksiyou c oktasıda yoğulaşmış dağılıma aittir. Şimdi ayı problemde, karakteristik foksiyou bir kesikli dağılıma karşılık geldiğii bildiğimizi varsayalım. Bua göre, T fx lim T 2T T e itx e itc dt T lim T 2T T e itcx dt, x c lim T 2T eitcx T, x c ic x T, x c lim T si Tx c Tx c, x c, x c, x c buluur. Örek t e t2 /2, karakteristik foksiyou sürekli bir dağılıma karşılık gelmektedir. Bu dağılımı olasılık yoğuluk foksiyouu Teorem yardımıyla bulmaya çalışalım.

18 olmak üzere t dt e t2 /2 dt 2 fx 2 e itx tdt 2 e 2 t2 2itx dt 2 e 2 x2 e 2 tix2 dt 2 e 2 x2 e 2 u2 du 2 e 2 x2, x Karakteristik foksiyo esasıda bir Fourier döüşümüdür. Matematik aalizde ters Fourier döüşümleri geiş bir şekilde ele alımakta Fourier döüşümleri ile ilgili hazır formüller içere tablolar hazırlamıştır. Burada bulara değimeyeceğiz. ÜRETĐCĐ FONKSĐYONLAR Bu kısımda mometleri hesaplamasıda kolaylık sağlaya bazı foksiyolar ele alıacaktır. Taım: X bir rasgele değişke olmak üzere (var olması halide), M X t Ee tx, h t h, h foksiyoua X i momet ürete (momet çıkara) foksiyou deir. Örek: X rasgele değişkei olasılık yoğuluk foksiyou, fx x 2, x, d. y. olsu. t içi,

19 e tx x 2 ve x dx itegrali ıraksak olduğuda, tx x 2, Ee tx x e tx x 2 dx itegrali ıraksaktır, yai t içi Ee tx beklee değeri mevcut değildir. X i momet ürete foksiyou yoktur. Örek: X rasgele değişkei olasılık yoğuluk foksiyou, fx e x, x, d. y. olsu. e tx e x dx e tx dx itegrali t içi yakısak olduğuda, M X t vardır ve M X t e tx e x dx etx t x t, t Örek: X rasgele değişkei olasılık foksiyou, olsu. t R içi serisi yakısak olduğuda fx e x x!, x,, 2, e tx e x x x! M X t e tx e x x x! e et, t

20 Eğer bir X rasgele değişkei momet ürete foksiyou varsa, M X it X t Dolayısıyla momet ürete foksiyolar da olasılık dağılımlarıı tek biçimde belirlemektedir. Bir X rasgele değişkei momet ürete foksiyou, ise X i olasılık foksiyou M X t e et e e tx x x! fx e, x,, 2, x! Bir X rasgele değişkei momet ürete foksiyou varsa, d dt M Xt t EX,, 2 Örek: M X t e et, t R olmak üzere EX dm Xt dt EX 2 d2 M X t dt 2 t e t e t t t e t e et e t 2 e et t elde edilir. 2 Örek: X rasgele değişkei olasılık yoğuluk foksiyou, fx x e x, x,, d. y. olsu. olmak üzere M X t x e itx dx t, t EX dt d t t Bir X rasgele değişkei momet ürete foksiyou var olsu.

21 K d dt l M Xt t,, 2, sayılarıa X i. derecede kümülatı deir. Öreği, K M X M X EX K 2 M X M X M X 2 M X 2 EX 2 EX 2 VarX K 3 EX 3 3EX 2 EX 2EX 3 K 4 EX 4 4EX 3 EX 3EX 2 2 2EX 2 EX 2 6EX 4 Örek: M X t e et, t R olsu. Kümülatlar, K d dt l eet t e t t,, 2, Taım: t R : Et X kümeside taımlı N X t Et X foksiyoua X i çarpımsal momet ürete foksiyou deir. Eğer k, 2, içi, d dt EtX E dt d tx oluyorsa, d dt N Xt t EXX X,, 2, Örek: M X t e et, t R momet ürete foksiyoa sahip rasgele değişke içi,

22 N X t t x e x x! x e t x x x! olmak üzere, e t, t EX d dt N Xt t e t t ve EXX 2 e t t 2 EXX X e t t Örek: X rasgele değişkei olasılık yoğuluk foksiyou, fx e x, x, d. y. olsu. olmak üzere N X t t x e x dx e t x dx e l tx dx, l t l t, t e EX l t 2 t t EXX 2 l t 3 t 2 l t 2 t 2 t 3 X rasgele değişkei kesikli ve aldığı değerler x,, 2, olduğuda N X t fxt x, t foksiyoua ayı zamada olasılık ürete foksiyo da deir. x

23 ÇOK DEĞĐŞKENLĐ DAĞILIMLARDA BEKLENEN DEĞER Taım: X, X 2,,X bir rasgele vektör ve g : R R, B BR foksiyou, x, x 2,,x : gx, x 2,,x B BR özelleğie sahip bir foksiyo olmak üzere, i) X, X 2,.., X kesikli, gx,,,x fx,,,x olduğuda, x,x 2,,x EgX, X 2,,X gx, x 2,,x fx, x 2,x x,x 2,,x ii) X, X 2,,X sürekli, gx,,,x fx,.,x dx dx olduğuda, EgX, X 2,,X... gx,,x fx,,x dx dx değerie gx, X 2,,X i beklee değeri deir. Taım: X, X 2,X bir rasgele vektör olmak üzere: a) Var olması halide EX k X k 2X k değerie X, X 2,,X i k, k 2,,k ortak mometi deir. Buradaki k, k 2,,k ler egatif olmaya tam sayılar b) Var olması halide EX EX k X2 EX 2 k 2 X EX k değerie X, X 2,,X i k, k 2,,k merkezi ortak mometi deir. c) Var olması halide, M X,X 2,,X t, t 2,, t Ee t X t 2 X 2 t X, t i h i, h i i, 2,, foksiyoua X, X 2,,X i ortak dağlılımıı (veya X, X 2,,X rasgele vektörüü) momet ürete foksiyou deir. d)

24 X,X 2,,X t, t 2,,t Ee it X t 2 X 2 t X, t i R, i, 2,, foksiyoua X, X 2,,X i ortak dağılımıı (veyax, X 2,,X rasgele vektörüü) karakteristik foksiyou deir. Şimdi momet ürete ve karakteristik foksiyoları bazı özelliklerii verelim a) X,X 2,,X,,, M X,X 2,,X,,, b) a X b a X b t,,t e it b it b X,,X a t,,a t M a X b a X b t,,t e t b t b M X,,X a t,,a t c) X, X 2 X i k, k 2,k ortak mometii var olması halide k k 2 k k t k t 2 X,,X k t,, t t t i k j j k EX k X 2 k 2 X 2 t k k 2 k t k t 2 k 2 t k M X,,X t,, t t t EX k X 2 k 2 X k d) X,X 2,X t, t 2,,t k,,,, X,X 2,,X k t, t 2,,t k M X,X 2,X t, t 2,,t k,,,, M X,X 2,,X k t, t 2,,t k Örek: X, X 2, X 3 vektörüü olasılık yoğuluk oksiyou, fx, x 2, x 3 e x x 2 x 3, x, x 2, x 3, d. y. olsu. X, X 2, X 3 ü momet ürete foksiyou, M X,X 2,X 3 t, t 2, t 3 Ee t X t 2 X 2 t 3 X 3 e t X t 2 X 2 t 3 X 3e x x 2 x 3dx dx 2 dx 3 Burada, öreği, t t 2 t 3, t, t 2, t 3 EX 2 X 2 X 3 4 t 2 t 2 t 3 t t 2 t 3 t t 2 t 3

25 2 t 3 t 2 2 t 3 2 t t 2 t 3 2 ve X, X 2 i momet ürete foksiyou, M X,X 2 t, t 2 M X,X 2,X 3 t, t 2, elde edilir. t t 2 EX t M X,X 2,X 3 t, t 2, t 3 t t 2 t 3 t 2 t 2 t 3 t t 2 t 3 olmak üzere, bu beklee değer X i M X t M X,X 2,X 3 t,, t, t momet ürete foksiyou yardımıyla da elde edilebilir. Gerçekte, EX d dt M X t t t 2 t Aşağıdaki teoremlerde geçecek ola beklee değerleri var olduğuu varsayacağız. Teorem: X, X 2,.., X bir rasgele vektör ve c, c 2,,c k ler sabit sayılar olmak üzere, E k i k c i g i X, X 2,,X c i Eg i X, X 2,,X i Đspat: (Ödev) yazılır. Bu teoremi bir soucu olarak E k c i X i i k c i EX i i Teorem: X, X 2,,X bağımsız rasgele değişkeler ve u i : R R, i, 2,,, foksiyoları B B içi x : u i x B B özelleğie sahip olmak üzere, E i u i X i Eu i X i i

26 Đspat: (Ödev) Bu teoremi bir soucu olarak: Eğer X, X 2,,X bağımsız rasgele değişkeler ise X, X 2,,X i ortak dağılımıı karakteristik ve momet ürete foksiyoları içi, X,X 2,,X t, t 2,,t X t X2 t 2 X t M X,X 2,,X t, t 2,,t M X t M X2 t 2 M X t olduğu söyleebilir. Ayrıca, u : R k R ve v : R k R olmak üzere, X, X 2,,X k i bir foksiyou ola ux, X 2,,X k rasgele değişkei ile X k, X k2,,x i bir foksiyou ola vx k, X k2,,x rasgele değişkei bağımsız olduğuda, EuX,,X k vx k,,x EuX,,X k EvX k,,x Örek: X, X 2,,X bağımsız rasgele değişkeler ve herbirii olasılık dağılımıı yoğuluk foksiyou fx e x, x, d. y. olsu. Y X X 2 X rasgele değişkeii olasılık dağılımıı buluuz. Đlk öce Y i momet ürete foksiyouu bulalım. M Y t Ee ty Ee tx tx 2 tx E e tx i i Ee tx i i M Xi t t i Bu momet ürete foksiyoa sahip Y rasgele değişkei olasılık yoğuluk foksiyou dır (Örek 4.3.5). fy y e y, y, d. y.

27 Örek: X, X 2,,X k bağımsız rasgele değişkeler ve i, 2,,k içi, f i x i i x i p x i p ix i, x i,,, i olsu p. Y X X 2 X rasgele değişkei olasılık dağılımıı buluuz. olmak üzere, M Xi M Y t Ee ty E p pe t i k e tx i i k Ee tx i i k i k M Xi t p pe t i i p pe t i olarak elde edilir. Bu momet ürete foksiyoa karşılık gele olasılık foksiyou, fy k i i y k k p y p i i i y k, y,, 2,, i i Örek: X, X 2,,X rasgele değişkeleri bağımsız ve i, 2,, içi, fx i e i i x i x i!, x i,, 2,. olsu. Y X X 2 X rasgele değişkei olasılık dağılımıı buluuz. M Y t i M xi t i olmak üzere (Örek 4.3.3) Y i olasılık foksiyou, fy e i i y! i i e ie t e i y i e t, y,, 2, Taım: X, X 2,,X boyutlu bir rasgele vektör olmak üzere: a) CovX i, X j EX i EX i X j EX j i, j, 2,, değerie X i ile X j i

28 kovaryası, b) Xi,X j korelasyo katsayısı, CovX i, X j VarX i VarX j, i, j, 2,, değerie X i ile X j arasıdaki c) CovX i, X j matrisie X, X 2,,X rasgele vektörüü var-yas-kovaryas matrisi d) Xi,X j matrisie X, X 2,,X rasgele vektörüü korelas-yo matrisi deir. Teorem: Herhagi X, Y rasgele vektörüü içi: a) CovX, Y EXY EXEY b) X ve Y bağımsız CovX, Y, X,Y c) X,Y, d) X,Y X ve Y arasıda lieer ilşki var Đspat: a) CovX, Y EX EXY EY EXY XEY YEX EXEY EXY EXEY b)

29 X ve Y bağımsız EX EXY EY EX EXEY EY CovX, Y Buradaki gerektirmei tersi doğru değildir. Buu bir örekle açıklayalım X, Y i olasılık foksiyou, olmak üzere, f X,Y /3, x, y,,,,, f X x /3, x,, ve f Y y, y CovX, Y EXY EXEY dır, acak /3 olduğuda, X ve Y bağımsız değildir. f X,Y f X f Y c) ve d) şıklarıı ispatlayıız. Bir boyutlu rasgele değişkelerde EX beklee değeri X i olasılık dağılımıı "merkezi", VarX değeri ise bu merkez etrafıda "yayılımıı" bir ölçüsüdür.đki boyutlu rasgele değişkelerde korelasyo katsayısı, bu rasgele değişkeler arasıdaki lieer ilişkii ölçüsüdür. X,Y olduğuda X ve Y arasıda tam lieer ilişki, X,Y değeri bire yakı olduğuda güçlü bir lieer ilişki, X,Y olduğuda ise lieer ilişki yoktur deir. Görüldüğü gibi X ve Y i bağımsız olmaları ilişkisiz olmalarıı gerektirir acak tersi doğru değildir. Örek: X, Y i aşağıda verile dağılımları içi kovaryas ve korelasyo katsayısılarıı karşılaştırıız.

30 a) Y X 2 /8 2/8 3/8 /8 /8 2/8 2 3/8 3/8 3/8 2/8 3/8 EX, VarX 3/4 EY, VarY 3/4 EXY 3/8, CovX, Y 5/8 X,Y. 83 b) Y X 2 3/8 3/8 2/8 2/8 2 3/8 3/8 3/8 2/8 3/8 EX, VarX 3/4 EY, VarY 3/4 EXY 2/8, CovX, Y 6/8 X,Y c) Y X 2 2/8 /8 3/8 /8 /8 2/8 2 3/8 3/8 3/8 2/8 3/8 EX, VarX 3/4 EY, VarY 3/4 EXY 3/8, CovX, Y 5/8 X,Y. 83 d) Y X 2 3/8 3/8 2/8 2/8 2 3/8 3/8 3/8 2/8 3/8 EX, VarX 3/4 EY, VarY 3/4 EXY 4/8, CovX, Y 6/8 X,Y

31 e) Y X 2 /8 /8 /8 3/8 /8 /8 2/8 2 /8 /8 /8 3/8 3/8 2/8 3/8 EX, VarX 3/4 EY, VarY 3/4 EXY, CovX, Y X,Y b) ve d) de X ve Y arasıda tam bir lieer ilşki var d) de Y X, b) de Y 2 X dir. e) de X ile Y arasıda ilişki yoktur, acak X ile Y i bağımsız olduğu söyleemez. Öreği f, f X f Y Örek: X, X 2, X 3 vektörüü olasılık yoğuluk foksiyou fx, x 2, x 3 2 ex 3, x x 2 2, x 3, d. y. olsu. X, X 2, X 3 ü varyas-kovaryas ve korelasyo matrislerii buluuz. X 3 marjial olasılık yoğuluk foksiyou, ü f X3 x 3 2 2x 2 ex 3 dx2 dx, x 3, d. y. e x 3, x 3, d. y. ve X, X 2 i marjial olasılık yoğuluk foksiyou,

32 f X,X 2 x, x 2 2e x 3 dx3, x x 2 2, d. y. /2, x x 2 2, d. y. olmak üzere X, X 2 ile X 3 bağımsız ve EX 2/3, 2 VarX 2/9 2 EX 2 2/3, 2 2 VarX 2 2/9 3 EX 3, 3 2 VarX 3 EX X 2 /3 EX X 3 EX EX 3 2/3 EX 2 X 3 EX 2 EX 3 2/3 CovX i, X j yerie ij ve Xi,X j yerie ij gösterimlerii kullaarak,

33 EX EX X EX 2 2/9 2 EX EX X 2 EX 2 EX X 2 EX EX 2 /9 3 EX EX X 3 EX 3 EX X 3 EX EX /9 22 EX 2 EX 2 X 2 EX /9 23 EX 2 EX 2 X 3 EX 3 EX 2 X 3 EX 2 EX EX 3 EX 3 X 3 EX olmak üzere X, X 2, X 3 ü varyas-kovaryas matrisi, 2/9 /9 /9 2/9 ve korelasyo matrisi, R /2 /2 KOŞULLU BEKLENEN DEĞER

34 Taım: X, X 2 iki boyutlu bir rasgele vektör, x 2 D X2 içi X 2 x 2 verilmişke X i koşullu dağılımıı olasılık (yoğuluk) foksiyou f X /X 2 x 2 ve g : R R her B B içi s : gs B B özelliğie sahip bir foksiyo olmak üzere: a) Kesikli halde, x gx f X /X 2 x 2 x olduğuda, EgX /X 2 x 2 X gx f X /X 2 x 2 x b) Sürekli halde, gx f X /X 2 x 2 x dx olduğuda, Egx /X 2 x 2 gx f X /X 2 x 2 x dx değerie X 2 x 2 verilmişke gx i koşullu beklee değeri deir. Taım: c R ve k bir doğal sayı olmak üzere: a) EX c k /X 2 x 2 değerie X 2 x 2 verilmişke X i c ye göre k. koşullu mometi, b) EX k /X 2 x 2 değerie X 2 x 2 verilmişke X i k. koşullu mometi, c) EX /X 2 x 2 değerie X 2 x 2 verilmişke X i koşullu beklee değeri, d) EX EX /X 2 x 2 2 /X 2 x 2 değerie X 2 x 2 verilmişke X i koşullu varyası deir. Koşullu beklee değeri e basit durumları içi yapıla bu taımlamalar daha geel durumlara da kolayca geişletilebilir.yapılması gereke, beklee değer ile ilgili verile öceki taımlarda olasılık (yoğuluk ) foksiyoları yerie koşullu olasılık (yoğuluk) foksiyolarıı yazmaktır. Örek: X, X 2, X 3 vektörüü olasılık yoğuluk foksiyou, fx, x 2, x 3 2 ex 3, x x 2 2, x 3, d. y. olsu. x, 2 içi X x verilmişke X 2, X 3 ü koşullu dağılımıı olasılık yoğuluk

35 foksiyou, f X2, X 3 /X x x 2, x 3 fx, x 2, x 3 f X x, x 2 2 x, x 3, d. y. e x 3 2 x, x 2 2 x, x 3, d. y. Öreği X verilmişke X 2, X 3 ü koşullu olasılık yoğuluk foksiyou, f X2, X 3 /X x 2, x 3 e x 3, x 2, x 3, d. y. Bua göre, EX 2 X 3 /X x 2 x 3 e x 3 dx3 dx 2 EX 2 X 3 /X x 2 dx 2 x 3 e x 3 dx3 /2 x 2 x 3 e x 3 dx3 dx 2 x 2 EX 2 /X e x 3 dx3 dx 2 x 3 e x 3 dx3 3/2 x 2 e x 3 dx3 dx 2 /2 elde edilir. Ayrıca, EX 3 /X x 3 e x 3 dx3 dx 2 EX 2 X 3 /X EX 2 /X EX 3 /X olduğua dikkat edi. X verilmişke X, X 2, X 3 ü koşullu olasılık yoğuluk foksiyou,

36 f X,X 2,X 3 /X x, x 2, x 3 2 ex 3 PX, x x 2 2 x, x 3, d. y. 2 3 ex 3, x x 2 2 x, x 3, d. y. ve X verilmişke X 2 i koşullu (marjial) olasılık yoğuluk foksiyou, f X2 /X x 2 2, x x 2, x 2 2, d. y. olmak üzere, 2 EX 2 /X 2 x 3 2 dx 2 2 x x 2 dx 2 7/9 X x ve X 3 x 3 x 2, x 3 verilmişke X 2 i koşullu olasılık yoğuluk foksiyou, f X2 /X x,x 3 x 3 x 2 2 ex x e x 3, x 2 2 x, d.y. 2 x, x 2 2 x, d.y. olmak üzere, öreği X ve X 3 içi, EX 2 /X 2, X 3 x 2 dx 2 /2 dir. x 2 ve x 3 içi X x, X 3 x 3 verilmişke X 2 i koşullu beklee değeri,

37 2x EX 2 /X x, X 3 x 3 x 2 dx 2 x 2 2 x 2 Teorem: a, b R,X, Y, Z bir rasgele vektör olmak üzere: a) EaY b/x x aey/x x b b) EY Z/X x EY/X x EZ/X x c) EY a 2 /X x EY EY/X x 2 /X x EY/X x a 2 Đspat: (Ödev) Örek: X, Y i olasılık yoğuluk foksiyou, fx, y x y, x, y, d.y. olsu. x, içi X x verilmişke Y i koşullu beklee değeri, EY/X x yf Y/Xx ydy y y fx, y f X x dy x y x /2 dy 3x 6x 2 3 x 2/3 2x X i verilmiş x değeri içi EY/X x bir sayı Acak g :, x gx EY/X x x 2/3 2x döüşümü yardımıyla tamamlaa EY/X gx foksiyou bir rasgele değişkedir. Şimdi bu rasgele değişkei beklee değerii bulalım.

38 EEY/X EgX gxf X xdx x 2/3 x /2dx 2x x 2/3 dx 7/2 2 Diğer tarafta EY 7/2 dir. Bu soucu geel halde ispatlayalım. Teorem: X, Y iki boyutlu bir rasgele vektör olmak üzere, EY EEY/X Đspat: Đspatı sürekli rasgele değişkeler içi verelim. EEY/X EY/X xf X xdx yf Y/Xx yf X xdydx Bu teoremi bir soucu olarak, yfx, ydydx EY VarY EY 2 EY 2 EEY 2 /X EEY/X 2 yazılabilir. Bir rasgele değişkei beklee değerii veya varyasıı bulumasıda ikici bir rasgele değişke ile koşulladırılarak yapıla hesaplama birçok yerde kolaylık sağlamakta Örek: Belli bir atıcı içi hedefi vurma olasılığı p, p olsu. Atıcı, hedef ilk isabetii alıcaya kadar atışlar yapmaya kararlı Atışları birbiride bağımsız olduğu varsayımı altıda atıcıı yapacağı atışları sayısıı beklee değeri edir? Y, gerekli atışları sayısı y, 2, X, birici atıştaki isabet sayısı, x,

39 olsu. EY EEY/X EY/X PX EY/X PX ve olmak üzere, de pey/x pey/x EY/X EY, EY/X EY p pey p EY p buluur. Örek:, arlığıda gelişigüzel bir sayı X seçildikte sora x, aralığıda gelişigüzel bir sayı Y seçilmektedir. Burada gelişigüzel sözcüğü ile kastedile X ve Y /Xx i olsılık yoğuluk foksiyolarıı, f X x, x, d. y. biçimide olması ve, f Y/Xx y EY/X x EY EEY/X x x, x y, d. y. y x dy 2 x olmak üzere, EY/X X 2

40 EY E X EX 2 2 xdx 3 4 elde edilir. EY/X i bir rasgele değişke olarak yorumlamasıa bezer biçimde; X x verilmişke VarY/X x bir reel sayı olmak üzere, g : R R, gx VarY/X x yardımıyla taımlaa VarY/X gx, X i bir foksiyou ola bir rasgele değişkedir. Teorem: X, Y iki boyulu bir rasgele vektör olmak üzere, VarY EVarY/X VarEY/X Đspat: VarY EY EY 2 EEY EY 2 /X olmak üzere, Teorem 4.5. c) de, her x D X içi, EY EY 2 /X x EY EY/X x 2 /X x EY/X x EY 2 yai, EY EY 2 /X EY EY/X 2 /X EY/X EY 2 olduğuda, VarY/X EY/X EEY/X 2 VarY EVarY/X EEY/X EEY/X 2 EVarY/X VarEY/X Örek: N, değer kümesi doğal sayılar ola bir rasgele değişke, X, X 2,,X, N rasgele değişkeleri bağımsız, X i ler ayı dağılımlı ve olmak üzere, EX i EX, VarX i VarX, i, 2,,

41 rasgele değişkei içi, Y X X 2 X N EY/N EX X 2 X EX VarY/N VarX X 2 X VarX EY/N NEX, VarY/N NVarX EEY/N ENEX ENEX EVarY/N ENVarX ENVarX Y rasgele değişkei beklee değeri ve varyası EY ENEX VarY EVarY/N VarEY/N olarak elde edlir. ENEX VarNEX 2 Teorem: X ve Y bağımsız ise EY/X x EY Đspat: Sürekli rasgele değişkeler içi, EY/X x yf Y/Xx ydy ve kesikli rasgele değişkeleri içi, yf Y ydy EY EY/X x yf Y/Xx y y yf Y y EY y Bu teoremde görüldüğü gibi X ve Y bağımsız ise,

42 gx EY/X x olarak belirlee g foksiyou bir sabit foksiyodur ve her x D X içi gx EY dir. Böylece X ve Y bağımsız ise EY/X EY Teorem: X ve Yortak dağılıma sahip rasgele değişkeler, EX 2, EhX 2, h : D X R R olmak üzere, EY hx 2 değerii miimum yapa h foksiyou hx EY/X x ile belirlee foksiyodur. Đspat: Đspatı X, Y i sürekli durumu içi yapalım. EY hx 2 y hx 2 fx, ydxdy y hx 2 f X xf Y/Xx ydxdy f X xy hx 2 f Y/Xx ydy Bu itegrali h foksiyoları üzeride miimize etmek içi, x i bir ifadesi ola, EY hx 2 /X x y hx 2 f Y/Xx ydy itegralii her x içi miimum yapa h foksiyou bulmaya çalışalım. Verilmiş x değeri içi hx bir reel sayı EY hx 2 /X x EY EY/X x 2 /X x EY/X x hx 2 olmak üzere, hx EY/X x içi EY hx 2 /X x miimuma ulaşmakta Böylece, EY hx 2 değerii miimum yapa h foksiyou ile belirlee foksiyodur. Alışılagelmiş olarak, hx EY/X x hx EY/X x ifadesie (foksiyoua) Y i X üzerideki regresyo deklemi deilmektedir. dx Örek: X, Y i olasılık yoğuluk foksiyou,

43 fx, y 2,, d.y. x, y a, b R 2 : a 2 b 2, b olsu. f X x 2 x2, x, d.y. f Y y 4 y2, y, d.y. y, içi, f X/Yy x, y 2 x y 2 2 y 2 x, içi, olmak üzere, f Y/Xx y, d.y., y x 2 x 2, d.y. x 2 EY/X x y x dy x EX/Y y x y 2 y 2 dx y 2 Regresyo deklemlerii belirlediği eğriler aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

44 Örek: X, Y i olasılık yoğuluk foksiyou, fx, y 2, x, y a, b R 2 : b a 2, d.y. olsu. f X x x 2, x 2, d.y. olmak üzere x, 2 içi,, f Y y 2 y 2, y 2, d.y. x, y x y, 2 içi, f Y/Xx y f X/Yy x, d.y. 2 y, y x 2, d.y. ve EY/X x y x dy 2 x EX/Y y x 2 y x 2 y dx y 2 2 Regresyo deklemlerii belirlediği eğriler (doğrular) aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

45 Örek: X, Y i olasılık foksiyou, fx, y 5, x, y,,,,2,,3,,4,,,,2,,3,, olsu. 4,,2, 2,3, 2,4, 2,3, 3,4, 3,4, 4 f X x x 5, x,, 2, 3, 4 f Y y 5 y, y,, 2, 3, 4 5 olmak üzere, x,, 2, 3, 4 içi, f Y/Xx y x, y,,,x ve y,, 2, 3, 4 içi, EY/X x x y y x x 2 f X/Yy x, x y, y,,4 5 y dır EX/Y y 4 xy x 5 y y 4 2 Eğer h foksiyou x i lieer bir ifadesi, yai hx EY/X x a bx a, b biçimide alırsa, EY hx 2 i h üzeride miimizasyou problemi, Qa, b EY a bx 2 i a ve b üzeride miimizasyoua döüşmektedir. Bir a içi b i tesbit edilmiş olduğuu varsayalım. O zama EY bx a 2 yi miimum yapa a değeri, olur. Böyle belirlemiş a ile a EY bx EY bex EY a bx 2 EY EY bx EX 2 Bu ifadeyi miimum yapa b değeri, Y 2 2 X,Y X Y b X 2 b 2 b X,Y Y X

46 Burada, a EY X,Y Y X EX buluur. Bu durumda EY a bx 2 i alabileceği miimum değer, mi EY a a,b bx2 2 Y 2 X,Y X Y Y X,Y X 2 X Y X,Y X 2 2 Y 2 2 X,Y Koşullu beklee değeri kullaıldığı yerlerde bir başkası koşulladırılarak yapıla olasılık hesabı A, bir,u, P olasılık uzayıda bir olay ve I A, A, A olmak üzere X I A rasgele değişkeii göz öüe alalım. EX PA ve herhagi bir Y rasgele değişkei içi, Burada, EX/Y y PA/Y y, PY y PA EX EEX/Y EX/Y Yf Y y y yazılır. Y i sürekli olması durumuda da, yazılabilir. PA/Y yf Y y y PA PA/Y yf Y ydy Örek: X ve Y bağımsız ve sürekli rasgele değişkeler olsu. PX Y olasılığı içi,

47 PX Y PX Y/Y yf Y ydy PX y/y yf Y ydy PX yf Y ydy ve PX Y a, a R olasılığı içi, F X yf Y ydy PX Y a PX Y a/y yf Y ydy PX y a/y yf Y ydy PX a yf Y ydy F X a yf Y ydy PROBLEMLER. Olasılık foksiyoları aşağıda verile dağılımları birici, ikici, üçücü mometlerii, beklee değerlerii ve varyaslarıı buluuz. a) fx /5, x 2,,,, 2 b) fx /5, x,, 2, 3, 4

48 c) fx 6 4 x, x,, 2, 3, 4 d) fx 4 x 4 x 3 4 4x, x,, 2, 3, 4 e) fx 4 x 2 4 x x, x 2,,,, 2 f) fx x 6, x 2,,,, 2 g) fx x 2, x 2,,,, 2 2. Olasılık yoğuluk foksiyoları aşağıda verile dağılımları birici, ikici, üçücü mometlerii, beklee değerlerii ve varyaslarıı buluuz. a) fx /4, 2 x 2, d. y. b) fx /4, x 4, d. y. c) fx 2 x, 2 x 2 4, d. y. d) fx 2 x 2, x 4 4, d. y.

49 e) fx x, 2 x 2 4, d. y. f) fx x 2, 2 x 2 8, d. y. 3., 2, 3, 4, 5 rakamları birer kağıt parçasıa yazılıp bir kavaoza atılsı. Kavaozda ayı ada üç tae kağıt parçası alıdığıda: X gele sayılar arasıda e küçüğü, Y gele sayılar arasıda e büyüğü, Ugele sayılar arasıda ortacası, V gele sayıları toplamı, Wgele sayıları e büyüğü ile e küçüğü arasıdaki fark olmak üzere, EX, EY, EU, EV, EW değerlerii buluuz. 4., 2,, sayıları birer kâğıt parçasıa yazılıp bir kavaoza atılsı. a) Kavaozda ayı ada r tae r kâğıt parçası alıdığıda gele e küçük sayı X olsu. EX r olduğuu gösteriiz. b) Kavaozda, çekilei yie yerie koyarak ard arda r tae kâğıt parçası çekildiğide gele e küçük sayı X olsu. r r r EX 2 olduğuu gösteriiz. 5. X rasgele değişkei olasılık foksiyou,

50 fx pq x, x, 2, p q, p olsu. X i k ici çarpımsal mometii buluuz. Yol gösterme: xx x k p x p k x dk dp k p x x 6. Belli bir atıcı içi, hedef ilk isabetii alıcaya kadar yaptığı atışları sayısı X rasgele değişkei olsu. X i olasılık foksiyouu fx 3 x 2, x, 2, 5 5 olduğu bilisi. Bu atıcı, hedef ilk isabetii alıcaya kadar atış yapmaya kararlı Harcaa her mermii değeri a ve kazaıla hedefi değeri b olduğua göre atıcıı kazacıı beklee değeri edir? 7. X rasgele değişkei olasılık foksiyou, fx e x, x,, 2,, x! olsu. X i k ici çarpımsal mometii buluuz. 8. X rasgele değişkei olasılık yoğuluk foksiyou, fx x, x,,, d. y. olsu. X i mometlerii varlığıı arştırıız. 9. X rasgele değişkei olasılık yoğuluk foksiyou, fx cx x, x,,, d. y. olsu. c sabitii değerii buluuz. EX,, 2, olduğuu gösteriiz ve EX ile VarX değerlerii buluuz.. Bir X rasgele değişkei beklee değeri EX olsu. c R içi, E X c 2 E X EX 2 EX c 2 olduğuu gösteriiz. E X c 2 yi miimum yapa c değerii buluuz.

51 . X rasgele değişkei olasılık yoğuluk foksiyou x c doğrusua göre simetrik x R içi fc x fc x olsu. Mevcut olması halide, ve olduğuu gösteriiz. EX c E X c 2,, 2, 2. lim T T si at t dt 2 2, a, a olduğuu gösteriiz. Yol gösterme: T si x x T dx si x T e ux du si xe ux dx dx du 3. X rasgele değişkei olasılık foksiyou fx pq x, x, 2, p q, p olsu. X i karakteristik foksiyouu buluuz ve EX ile VarX değerlerii bu foksiyo yardımıyla elde ediiz. 4. X rasgele değişkei olasılık yoğuluk foksiyou, fx 2 e x, x olsu. X i karakteristik foksiyouu buluuz ve EX ile VarX değerlerii bu foksiyo yardımıyla elde ediiz. 5. Sürekli X rasgele değişkei karakteristik foksiyou, X t e t, t olsu. X i olasılık yoğuluk foksiyouu buluuz. 6. X rasgele değişkei olasılık yoğuluk foksiyou

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6.

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6. Problemler 3 i Çözümleri Problemler 3 i Çözümleri Aşağıdaki özellikleri kaıtlamaızı ve buu yaıda daha fazla soyut kaıt vermeizi isteyeceğiz. h.h. eşitliğii ölçümü sıfır ola bir kümei tümleyei üzeride eşit

Detaylı

Tahmin Edici Elde Etme Yöntemleri

Tahmin Edici Elde Etme Yöntemleri 6. Ders Tahmi Edici Elde Etme Yötemleri Öceki derslerde ve ödevlerde U(0; ) ; = (0; ) da¼g l m da, da¼g l m üst s r ola parametresi içi tahmi edici olarak : s ra istatisti¼gi ve öreklem ortalamas heme

Detaylı

7. Ders. Bazı Kesikli Olasılık Dağılımları

7. Ders. Bazı Kesikli Olasılık Dağılımları Hatırlatma: ( Ω, U, P) bir olasılık uzayı ve 7. Ders Bazı Kesikli Olasılık Dağılımları : Ω ω R ( ω) foksiyou Borel ölçülebilir, yai B B içi { ω Ω : ( ω) B } U oluyorsa foksiyoua bir Rasgele Değişke deir.

Detaylı

12. Ders Büyük Sayılar Kanunları. Konuya geçmeden önce DeMoivre-Stirling formülünü ve DeMoivre-Laplace teoremini hatırlayalım. DeMoivre, genel terimi,

12. Ders Büyük Sayılar Kanunları. Konuya geçmeden önce DeMoivre-Stirling formülünü ve DeMoivre-Laplace teoremini hatırlayalım. DeMoivre, genel terimi, . Ders Büyü Sayılar Kauları Kouya geçmede öce DeMoivre-Stirlig formülüü ve DeMoivre-Laplace teoremii hatırlayalım. DeMoivre, geel terimi, a!,,, 3,... e ola dizii yaısa olduğuu göstermiş, aca limitii bulamamış.

Detaylı

Rasgele Vektörler Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları

Rasgele Vektörler Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları 4.Ders Rasgele Vektörler Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları Tanım:,U, P bir olasılık uzayı ve X, X,,X n : R n X, X,,X n X, X,,X n olmak üzere, her a, a,,a n R n için : X i a i, i,, 3,,n U özelliği sağlanıyor

Detaylı

TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR

TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR 1.1. Kümeler ve Foksiyolar A ı bir elemaıa B i yalız bir elemaıı eşleye bağıtıya bir foksiyo deir. f : A B, Domf = U A ve ragef B dir. Taım 1.1.1. f : A B foksiyou içi V A olsu.

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Ders 3: MERKEZİ EĞİLİM VE DAĞILMA ÖLÇÜLERİ Prof. Dr. İrfa KAYMAZ Taım Araştırma souçlarıı açıklamasıda frekas tablosu ve poligou isteile bilgiyi her zama sağlamayabilir. Verileri

Detaylı

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+...

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+... MC formülüü doğruluğuu tümevarım ilkesi ile gösterelim. www.matematikclub.com, 00 Cebir Notları Gökha DEMĐR, gdemir@yahoo.com.tr Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri Tümevarım Metodu : Matematikte kulladığımız

Detaylı

1. Tabanı 2a büyük eksenli, 2b küçük eksenli elips ile sınırlanan ve büyük eksene dik her kesiti kare olan cismin 16ab 2 hacmini bulunuz.

1. Tabanı 2a büyük eksenli, 2b küçük eksenli elips ile sınırlanan ve büyük eksene dik her kesiti kare olan cismin 16ab 2 hacmini bulunuz. MAT -MATEMATİK (5-5 YAZ DÖNEMİ) ÇALIŞMA SORULARI. Tabaı a büyük ekseli, b küçük ekseli elips ile sıırlaa ve büyük eksee dik her kesiti kare ola cismi 6ab hacmii buluuz. Cevap :. y = ve y = eğrileri ile

Detaylı

BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER

BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ İkici bölümde verileri frekas tablolarıı hazırlaması ve grafikleri çizilmesideki esas amaç; gözlemleri doğal olarak ait oldukları populasyo dağılışıı belirlemek ve dağılışı geel özelliklerii

Detaylı

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI Projesii Kousu: Bir çekirgei metre, metre veya 3 metre zıplayarak uzuluğu verile bir yolu kaç farklı şekilde gidebileceği ya da bir kişii veya (veya 3) basamak atlayarak basamak sayısı verile bir merdivei

Detaylı

{ 1 3 5} { 2 4 6} OLASILIK HESABI

{ 1 3 5} { 2 4 6} OLASILIK HESABI OLASILIK HESABI Bu derste, uygulamalarda sıkça karşılaşıla, Olasılık Uzaylarıda bazılarıa değieceğiz ve verilmiş bir Olasılık Uzayıda olasılık hesabı yapacağız. Ω. Ω solu sayıda elemaa sahip olsu. Ω {

Detaylı

H.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı Kısım Bir Reel Değişkeli Foksiyolar Teorisi Prof.Dr.Hüseyi Çakallı 3 H.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı Reel

Detaylı

Diziler ve Seriler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV

Diziler ve Seriler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV Diziler ve Seriler Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üiteyi çalıştıkta sora; dizi kavramıı taıyacak, dizileri yakısaklığıı araştırabilecek, sosuz toplamı alamıı bilecek, serileri yakısaklığıı

Detaylı

Ki- kare Bağımsızlık Testi

Ki- kare Bağımsızlık Testi PARAMETRİK OLMAYAN İSTATİSTİKSEL TEKNİKLER Prof. Dr. Ali ŞEN Ki- kare Bağımsızlık Testi Daha öceki bölümlerde ölçümler arasıdaki ilişkileri asıl iceleeceğii gördük. Acak sıklıkla ilgileile veriler ölçüm

Detaylı

(Sopphie Germain Denklemi) çarpanlarına ayırınız. r s + t r s + t olduğunu ispatlayınız. + + + + olduğunu. + + = + + eşitliğini ispatlayınız.

(Sopphie Germain Denklemi) çarpanlarına ayırınız. r s + t r s + t olduğunu ispatlayınız. + + + + olduğunu. + + = + + eşitliğini ispatlayınız. Sayılar Teorisi Kouları Geel Sıavları www.sbelia.wordpress.com SINAV I(IDENTITIES WITH SQUARES) 4 4. a 4b (Sopphie Germai Deklemi) çarpalarıa ayırıız.. 4 4 = A ise A ı sadece = durumuda asal olduğuu ispatlayıız..

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Ders 3: MERKEZİ EĞİLİM VE DAĞILMA ÖLÇÜLERİ Prof. Dr. İrfa KAYMAZ Taım Araştırma souçlarıı açıklamasıda frekas tablosu ve poligou isteile bilgiyi her zama sağlamayabilir. Verileri

Detaylı

M Ü H E N D İ S L E R İ Ç İ N S AY I S A L YÖ N T E M L E R

M Ü H E N D İ S L E R İ Ç İ N S AY I S A L YÖ N T E M L E R İ H S A N T İ M U Ç İ N D O L A P C İ, Y İ Ğ İ T A K S O Y M Ü H E N D İ S L E R İ Ç İ N S AY I S A L YÖ N T E M L E R P U B L I S H E R O F T H I S B O O K Copyright 13 İHSAN TİMUÇİN DOLAPCİ, YİĞİT AKSOY

Detaylı

AKTÜERLK SINAVLARI OLASILIK VE STATSTK SINAVI ÖRNEK SORULARI. için. 01 olaslk younluk fonksiyonu aa daki seçeneklerden hangisinde yer.

AKTÜERLK SINAVLARI OLASILIK VE STATSTK SINAVI ÖRNEK SORULARI. için. 01 olaslk younluk fonksiyonu aa daki seçeneklerden hangisinde yer. SORU : AKTÜERLK SINAVLARI OLASILIK VE STATSTK SINAVI ÖRNEK SORULARI X raslat deikeii olas l k youluk foksiyou 8x, x f(x) = 0, ö.d olarak verilmitir. Bua göre 0< y içi Y = raslat deikeii X olaslk youluk

Detaylı

ÖRNEKLEME TEORİSİ VE TAHMİN TEORİSİ

ÖRNEKLEME TEORİSİ VE TAHMİN TEORİSİ İSTATİSTİKSEL TAHMİNLEME VE İSTATİSTİKSEL YORUMLAMA TAHMİNLEME SÜRECİ VE YORUMLAMA SÜRECİ ÖRNEKLEME TEORİSİ VE TAHMİN TEORİSİ ÖRNEKLEME VE ÖRNEKLEME ÖRNEKLEME DAĞILIMLARI VE ÖRNEKLEME DAĞILIMLARI Yorumlama

Detaylı

TĐCARĐ MATEMATĐK - 5.2 Bileşik Faiz

TĐCARĐ MATEMATĐK - 5.2 Bileşik Faiz TĐCARĐ MATEMATĐK - 5 Bileşik 57ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER: Örek 57: 0000 YTL yıllık %40 faiz oraıyla yıl bileşik faiz ile bakaya yatırılmıştır Bu paraı yılı souda ulaşacağı değer edir? IYol: PV = 0000 YTL = PV (

Detaylı

İSTATİSTİK 2. Tahmin Teorisi 07/03/2012 AYŞE S. ÇAĞLI. aysecagli@beykent.edu.tr

İSTATİSTİK 2. Tahmin Teorisi 07/03/2012 AYŞE S. ÇAĞLI. aysecagli@beykent.edu.tr İSTATİSTİK 2 Tahmi Teorisi 07/03/2012 AYŞE S. ÇAĞLI aysecagli@beyket.edu.tr İstatistik yötemler İstatistik yötemler Betimsel istatistik Çıkarımsal istatistik Tahmi Hipotez testleri Nokta tahmii Aralık

Detaylı

ISF404 SERMAYE PİYASALARI VE MENKUL KIYMETYÖNETİMİ

ISF404 SERMAYE PİYASALARI VE MENKUL KIYMETYÖNETİMİ 8. HAFTA ISF404 SERMAYE PİYASALARI VE MENKUL KIYMETYÖNETİMİ PORTFÖY YÖNETİMİ II Doç.Dr. Murat YILDIRIM muratyildirim@karabuk.edu.tr Geleeksel Portföy Yaklaşımı, Bu yaklaşıma göre portföy bir bilim değil,

Detaylı

İSTATİSTİK I KAVRAMLARININ

İSTATİSTİK I KAVRAMLARININ YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme İSTATİSTİK I KAVRAMLARININ GÖZDEN GEÇİRİLMESİ Hüseyin Taştan Yıldız Teknik Üniversitesi, İktisat Bölümü, email: tastan@yildiz.edu.tr YTÜ-İktisat İstatistik

Detaylı

PROJE RAPORU. PROJENİN ADI: Karmaşık Sayıların n. Dereceden Kökler Toplamı ve Trigonometrik Yansımaları

PROJE RAPORU. PROJENİN ADI: Karmaşık Sayıların n. Dereceden Kökler Toplamı ve Trigonometrik Yansımaları PROJE RAPORU PROJENİN ADI: Karmaşık Sayıları. Derecede Kökler Toplamı ve Trigoometrik Yasımaları PROJENİN AMACI: Karmaşık sayıı karekökleri toplamı sıfırdır. Peki. derecede kök toplamı içi de geçerli miydi?

Detaylı

Venn Şeması ile Alt Kümeleri Saymak

Venn Şeması ile Alt Kümeleri Saymak Ve Şeması ile lt Kümeleri Saymak Osma Ekiz Bu çalışmada verile bir kümei çeşitli özellikleri sağlaya alt küme veya alt kümlerii ve şeması yardımıyla saymaya çalışacağız. Temel presibimiz aradığımız alt

Detaylı

5. Ders. Dağılımlardan Rasgele Sayı Üretilmesi Ters Dönüşüm Yöntemi

5. Ders. Dağılımlardan Rasgele Sayı Üretilmesi Ters Dönüşüm Yöntemi 5. Drs Dağılımlarda Rasgl Sayı Ürtilmsi Trs Döüşüm Yötmi sürkli bir rasgl dğişk v bu rasgl dğişki dağılım foksiyou olsu. Dağılımı dstk kümsi üzrid dağılım foksiyou arta v bir-bir bir foksiyo olmaktadır.

Detaylı

Bölüm 5: Hareket Kanunları

Bölüm 5: Hareket Kanunları Bölüm 5: Hareket Kauları Kavrama Soruları 1- Bir cismi kütlesi ile ağırlığı ayımıdır? 2- Ne zama bir cismi kütlesi sayısal değerce ağırlığıa eşit olur? 3- Eşit kollu terazi kütleyi mi yoksa ağırlığı mı

Detaylı

ÇÖZÜM.1. S.1. Uyarılmış bir hidrojen atomunda Balmer serisinin H β çizgisi gözlenmiştir. Buna göre,bunun dışında hangi serilerin çizgileri gözlenir?

ÇÖZÜM.1. S.1. Uyarılmış bir hidrojen atomunda Balmer serisinin H β çizgisi gözlenmiştir. Buna göre,bunun dışında hangi serilerin çizgileri gözlenir? KONU:ATOM FİĞİ ebuyukfizikci@otmail.com HAIRLAYAN ve SORU ÇÖÜMLERİ:Amet Selami AKSU Fizik Öğretmei www.fizikvefe.com S.1. Uyarılmış bir idroje atomuda Balmer serisii H β çizgisi gözlemiştir. Bua göre,buu

Detaylı

T.C. BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI. Yüksek Lisans Tezi GENELLEŞTİRİLMİŞ NÖRLUND TOPLANABİLME METODU.

T.C. BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI. Yüksek Lisans Tezi GENELLEŞTİRİLMİŞ NÖRLUND TOPLANABİLME METODU. T.C. BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI Yüksek Lisas Tezi GENELLEŞTİRİLMİŞ NÖRLUND TOPLANABİLME METODU Elif SERİN Tez Daışmaı Yrd. Doç. Dr.Abdullah SÖNMEZOĞLU Yozgat 202

Detaylı

Permütasyon Kombinasyon Binom Aç l m. Olas l k ve statistik. Karmafl k Say lar

Permütasyon Kombinasyon Binom Aç l m. Olas l k ve statistik. Karmafl k Say lar 0 0 0 Gerçek Say lar Kümesii Geiflletme Gere i Kümesi Aalitik Düzlemde Gösterilmesi Efllei i Modülü da fllemler ki Karmafl k Say Aras daki Uzakl k Karmafl k Say Geometrik Yeri Kutupsal Gösterimi Karmafl

Detaylı

{ 1 3 5} UYGULAMA-2 OLASILIK HESABI { } i, i = 1, 2,, n elemanına aşağıdaki özelliklere sahip bir p. her bir ω. sayısı karşılık getirilsin.

{ 1 3 5} UYGULAMA-2 OLASILIK HESABI { } i, i = 1, 2,, n elemanına aşağıdaki özelliklere sahip bir p. her bir ω. sayısı karşılık getirilsin. UYGULAMA- OLASILIK HESABI Ω. Ω solu sayıda elemaa sahip olsu. Ω { ω, ω,, ω }, U olmak üzere, Ω ı her bir ω i, i,,, elemaıa aşağıdaki özelliklere sahip bir p i sayısı karşılık getirilsi. ) p 0, i,,...,

Detaylı

DÖNEM I BİYOİSTATİSTİK, HALK SAĞLIĞI VE RUH SAĞLIĞI DERS KURULU Ders Kurulu Başkanı : Yrd.Doç.Dr. İsmail YILDIZ

DÖNEM I BİYOİSTATİSTİK, HALK SAĞLIĞI VE RUH SAĞLIĞI DERS KURULU Ders Kurulu Başkanı : Yrd.Doç.Dr. İsmail YILDIZ DÖNEM I BİYOİSTATİSTİK, HALK SAĞLIĞI VE RUH SAĞLIĞI DERS KURULU Ders Kurulu Başkaı : Yrd.Doç.Dr. İsmail YILDIZ ARAŞTIRMADA PLANLAMA VE ÇÖZÜMLEME (03-09 Ocak 014 Y.ÇELİK) Araştırma Süreci (The research

Detaylı

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LISANS TEZİ MARKOV ZİNCİRLERİNDE BOOTSTRAP. Serhat DUMAN İSTATİSTİK ANABİLİM DALI ANKARA 2006

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LISANS TEZİ MARKOV ZİNCİRLERİNDE BOOTSTRAP. Serhat DUMAN İSTATİSTİK ANABİLİM DALI ANKARA 2006 ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LISANS TEZİ MARKOV ZİNCİRLERİNDE BOOTSTRAP Serhat DUMAN İSTATİSTİK ANABİLİM DALI ANKARA 26 Her hakkı saklıdır Yrd. Doç. Dr. İhsa KARABULUT u daışmalığıda,

Detaylı

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ ZAMAN SERİLERİNDE BİRİM KÖKLERİN İNCELENMESİ. Yeliz YALÇIN İSTATİSTİK ANABİLİM DALI

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ ZAMAN SERİLERİNDE BİRİM KÖKLERİN İNCELENMESİ. Yeliz YALÇIN İSTATİSTİK ANABİLİM DALI ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ ÜKSEK LİSANS TEZİ ZAMAN SERİLERİNDE BİRİM KÖKLERİN İNCELENMESİ eliz ALÇIN İSTATİSTİK ANABİLİM DALI ANKARA Her akkı saklıdır rd. Doç. Dr. ılmaz AKDİ daışmalığıda,

Detaylı

Normal Dağılımlı Bir Yığın a İlişkin İstatistiksel Çıkarım

Normal Dağılımlı Bir Yığın a İlişkin İstatistiksel Çıkarım Normal Dağılımlı Bir Yığı a İlişi İstatistisel Çıarım Bir üretici edi ürüleride, piyasadai 3,5 cm li vidalarda yalıca boyları 3,4 cm ile 3,7 cm aralığıda olaları ullaabilmetedir. Üretici, piyasadai bu

Detaylı

MEKANİK TESİSATTA EKONOMİK ANALİZ

MEKANİK TESİSATTA EKONOMİK ANALİZ MEKANİK TESİSATTA EKONOMİK ANALİZ Mustafa ÖZDEMİR İ. Cem PARMAKSIZOĞLU ÖZET Düya çapıda rekabeti ö plaa çıktığı bu gükü şartlarda, e gelişmiş ürüü, e kısa sürede, e ucuza üretmek veya ilk yatırım ve işletme

Detaylı

A= {1,2,3}, B={1,3,5,7}kümeleri veriliyor. A dan B ye tanımlanan aşağıdaki bağıntılardan hangisi fonksiyon değildir?

A= {1,2,3}, B={1,3,5,7}kümeleri veriliyor. A dan B ye tanımlanan aşağıdaki bağıntılardan hangisi fonksiyon değildir? ÖRNEK 1 : A= {1,,}, B={1,,5,7}kümeleri veriliyor. A da B ye taımlaa aşağıdaki bağıtılarda hagisi foksiyo değildir? A) {(1,), (,5), (,7)} B) {(1,), (1,5), (,1)} C) {(1,1), (,1), (,1)} D) {(1,5), (,1), (,7)}

Detaylı

Bölüm 5 Olasılık ve Olasılık Dağılışları. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER

Bölüm 5 Olasılık ve Olasılık Dağılışları. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER Bölüm 5 Olasılık ve Olasılık Dağılışlaı Doç.D. Suat ŞAHİNLE Olasılık ve Olasılık Dağılışlaı Olasılık: Eşit saşla meydaa gele tae olayda A taesi A olayı olsu. Bu duumda A olayıı meydaa gelme olasılığı;

Detaylı

1-2 - * Bu Ders Notları tam olarak emin olmamakla birlikte 2012-2013 yıllarına aiitir.tekrardan Sn.Hakan Paçal'a çoook tsk ederiz...

1-2 - * Bu Ders Notları tam olarak emin olmamakla birlikte 2012-2013 yıllarına aiitir.tekrardan Sn.Hakan Paçal'a çoook tsk ederiz... 1-2 - * Bu Ders Notları tam olarak emin olmamakla birlikte 2012-2013 yıllarına aiitir.tekrardan Sn.Hakan Paçal'a çoook tsk ederiz... CABİR VURAL BAHAR 2006 Açıklamalar

Detaylı

İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ

İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ Prof.Dr.Hüseyi ÇAKALLI İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ Bu ölümde dizileri, yi tım kümesi doğl syılr kümesi, değer kümesi, reel syılr kümesii ir lt kümesi ol foksiyolrı iceleyeceğiz... Ykısk Diziler. Öce

Detaylı

19.11.2013 EME 3105 SİSTEM SİMÜLASYONU. Sürekli Dağılımlar (2) Sürekli Rassal Değişkenlerin Modellemesinde Kullanılan Dağılımlar.

19.11.2013 EME 3105 SİSTEM SİMÜLASYONU. Sürekli Dağılımlar (2) Sürekli Rassal Değişkenlerin Modellemesinde Kullanılan Dağılımlar. 9..03 EME 305 SİSTEM SİMÜLASYONU Simulasyonda İstatistiksel Modeller-II Ders 5 Sürekli Rassal Değişkenlerin Modellemesinde Kullanılan Dağılımlar Sürekli Düzgün (Uniform) Dağılım Normal Dağılım Üstel (Exponential)

Detaylı

AKIŞKAN BORUSU ve VANTİLATÖR DENEYİ

AKIŞKAN BORUSU ve VANTİLATÖR DENEYİ AKIŞKA BORUSU ve ATİLATÖR DEEYİ. DEEYİ AMACI a) Lüle ile debi ölçmek, b) Dairesel kesitli bir borudaki türbülaslı akış şartlarıda hız profili ve eerji kayıplarıı deeysel olarak belirlemek ve literatürde

Detaylı

Üstel Dağılım Babam: - Şu ampullerin hangisinin ömrünün daha kısa olduğu hiç belli olmuyor. Bazen yeni alınanlar eskilerden daha önce yanıyor.

Üstel Dağılım Babam: - Şu ampullerin hangisinin ömrünün daha kısa olduğu hiç belli olmuyor. Bazen yeni alınanlar eskilerden daha önce yanıyor. Üsel Dağılım Babam: - Şu ampulleri hagisii ömrüü daha kısa olduğu hiç belli olmuyor. Baze yei alıalar eskilerde daha öce yaıyor. Hele şuradaki bildim bileli var. Evde yedek ampul yokke, gerekirse ou söküp

Detaylı

TOPLAM KOLESTEROL, LDL, HDL VE TRİGLİSERİT SEVİYELERİNİN YAŞA GÖRE DEĞİŞİMİNİN DEĞİŞİK REGRESYON MODELLERİYLE İNCELENMESİ

TOPLAM KOLESTEROL, LDL, HDL VE TRİGLİSERİT SEVİYELERİNİN YAŞA GÖRE DEĞİŞİMİNİN DEĞİŞİK REGRESYON MODELLERİYLE İNCELENMESİ T.C. İNÖNÜ ÜNİVERSİTESİ SAĞLIK BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ TOPLAM KOLESTEROL, LDL, HDL VE TRİGLİSERİT SEVİYELERİNİN YAŞA GÖRE DEĞİŞİMİNİN DEĞİŞİK REGRESYON MODELLERİYLE İNCELENMESİ YÜKSEK LİSANS TEZİ EMRE DİRİCAN

Detaylı

SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER

SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER Sürekli Rassal Değişkenler Sürekli Rassal Değişken: Değerleriölçümyadatartımla elde edilen, bir başka anlatımla sayımla elde edilemeyen, değişkene sürekli rassal değişken denir.

Detaylı

MAK312 ÖLÇME ve DEĞERLENDİRME OTOMATİK KONTROL LABORATUARI 1. Elektriksel Ölçümler ve İşlemsel Kuvvetlendiriciler

MAK312 ÖLÇME ve DEĞERLENDİRME OTOMATİK KONTROL LABORATUARI 1. Elektriksel Ölçümler ve İşlemsel Kuvvetlendiriciler MAK32 ÖLÇME ve DEĞELENDİME OTOMATİK KONTOL LABOATUAI Elektriksel Ölçümler ve İşlemsel Kuvvetlediriciler AMAÇLA:. Multimetre ile direç, gerilim ve akım ölçümleri, 2. Direç ölçümüde belirsizlik aalizii yapılması

Detaylı

İSTANBUL SABAHATTİN ZAİM ÜNİVERSİTESİ

İSTANBUL SABAHATTİN ZAİM ÜNİVERSİTESİ İSTANBUL SABAHATTİN ZAİM ÜNİVERSİTESİ BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ 203-204 GÜZ DÖNEMİ Diferansiyel Denklemler Ders Notları Yrd.Doç.Dr. Ahmet Altundağ İSTANBUL 2 İçindekiler BİRİNCİ MERTEBEDEN DİFERANSİYEL

Detaylı

ÜSTEL VE Kİ-KARE DAĞILIMLARI ARASINDAKİ İLİŞKİNİN SİMULASYON İLE ÜRETİLEN RANDOM SAYILARLA GÖSTERİLMESİ

ÜSTEL VE Kİ-KARE DAĞILIMLARI ARASINDAKİ İLİŞKİNİN SİMULASYON İLE ÜRETİLEN RANDOM SAYILARLA GÖSTERİLMESİ C.Ü. İktisadi ve İdari Bilimler Dergisi, Cilt 4, Sayı, 3 97 ÜSTEL VE Kİ-KARE DAĞILIMLARI ARASINDAKİ İLİŞKİNİN SİMULASYON İLE ÜRETİLEN RANDOM SAYILARLA GÖSTERİLMESİ Yalçı KARAGÖZ Cumhuriyet Üiversitesi

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR GİRİŞ

TEMEL KAVRAMLAR GİRİŞ TEMEL KAVRAMLAR GİRİŞ İstatistik kelimesii kökei Almaca olup devlet alamıa gelmektedir. İstatistik kelimesi gülük hayatta farklı alamlarda kullaılmaktadır. Televizyoda bir futbol müsabakasıı izleye bir

Detaylı

Y = f(x) denklemi ile verilen fonksiyonun diferansiyeli dy = f '(x). dx tir.

Y = f(x) denklemi ile verilen fonksiyonun diferansiyeli dy = f '(x). dx tir. 1 İNTEGRAL BİR FONKSİYONUN DİFERANSİYELİ Tanım: f: [a,b] R, x f(x) fonksiyonu (a,b) aralığında türevli olmak üzere, x değişkeninin değişme miktarı x ise f '(x). x ifadesine f(x) fonksiyonunun diferansiyeli

Detaylı

3. Bölüm Paranın Zaman Değeri. Prof. Dr. Ramazan AktaĢ

3. Bölüm Paranın Zaman Değeri. Prof. Dr. Ramazan AktaĢ 3. Bölüm Paraı Zama Değeri Prof. Dr. Ramaza AktaĢ Amaçlarımız Bu bölümü tamamladıkta sora aşağıdaki bilgi ve becerilere sahip olabileceksiiz: Paraı zama değeri kavramıı alaşılması Faiz türlerii öğremek

Detaylı

ISBN - 978-605-5631-60-4 Sertifika No: 11748

ISBN - 978-605-5631-60-4 Sertifika No: 11748 ISBN - 978-605-563-60-4 Sertifia No: 748 GENEL KOORDİNATÖR: REMZİ ŞAHİN AKSANKUR REDAKTE: REMZİ ŞAHİN AKSANKUR SERDAR DEMİRCİ SABRİ ŞENTÜRK Basm Yeri: EVOS BASIM - ANKARA Bu itab tüm basm ve yay halar

Detaylı

8.04 Kuantum Fiziği Ders IV. Kırınım olayı olarak Heisenberg belirsizlik ilkesi. ise, parçacığın dalga fonksiyonu,

8.04 Kuantum Fiziği Ders IV. Kırınım olayı olarak Heisenberg belirsizlik ilkesi. ise, parçacığın dalga fonksiyonu, Geçen Derste Kırınım olayı olarak Heisenberg belirsizlik ilkesi ΔxΔp x 2 Fourier ayrışımı Bugün φ(k) yı nasıl hesaplarız ψ(x) ve φ(k) ın yorumu: olasılık genliği ve olasılık yoğunluğu ölçüm φ ( k)veyahut

Detaylı

Doç. Dr. M. Mete DOĞANAY Prof. Dr. Ramazan AKTAŞ

Doç. Dr. M. Mete DOĞANAY Prof. Dr. Ramazan AKTAŞ TAHVİL DEĞERLEMESİ Doç. Dr. M. Mee DOĞANAY Prof. Dr. Ramaza AKTAŞ 1 İçerik Tahvil ve Özellikleri Faiz Oraı ve Tahvil Değeri Arasıdaki İlişki Tahvili Geiri Oraı ve Vadeye Kadar Geirisi Faiz Oraı Riski Verim

Detaylı

Sistem Modellerinin Zaman Cevabı ve Performans Kriterleri

Sistem Modellerinin Zaman Cevabı ve Performans Kriterleri Korol Siemleri Taarımı Siem Modellerii Zama Cevabı ve Performa Krierleri Prof.Dr. Galip Caever Korol Siemleri Taarımı Prof.Dr.Galip Caever Kapalı dögü iemi oluşurulmaıda öce iem modelide geçici rejim cevabıı

Detaylı

2) Bir mağazada, bir ürüne satış fiyatı üzerinden %7 indirim yapılmış. Eğer yeni fiyatı 372 TL ise, kaç liralık indirim yapılmıştır?

2) Bir mağazada, bir ürüne satış fiyatı üzerinden %7 indirim yapılmış. Eğer yeni fiyatı 372 TL ise, kaç liralık indirim yapılmıştır? MATE 106 SOSYAL BİLİMLER İÇİN TEMEL ANALİZ Ad-Soyad No Uygun cevabı bulunuz. 1)A = πr2 formülü r yarıçaplı çemberin A alanını vermektedir. Bir masa örtüsü A alanına sahipse, yarıçapını A'nın bir fonksiyonu

Detaylı

YAPIM YÖNETİMİ - EKONOMİSİ 04

YAPIM YÖNETİMİ - EKONOMİSİ 04 İşaat projelerii içi fiasal ve ekoomik aaliz yötemleri İşaat projeleri içi temel maliyet kavramları Yaşam boyu maliyet: Projei kafamızda şekillemeye başladığı ada itibare başlayıp kullaım ömrüü tamamlayaa

Detaylı

Bir KANUN ve Bir TEOREM. Büyük Sayılar Kanunu

Bir KANUN ve Bir TEOREM. Büyük Sayılar Kanunu Br KANUN ve Br TEOREM Büyük Türkçe Sözlük kau Đg. law Doğa olaylarıı oluş edeler ortaya koya ve gelecektek olayları öcede kestrme olaağı vere bağıtı; Newto kauu, Kepler kauları. (BSTS / Gökblm Termler

Detaylı

VERİ. gelir (bin) y l ÜNİTE 66 VERİ 2,5 1,5 1,2 KAVRAMSAL ADIM. Sayfa No VERİ... 478 496. σ = 1. İstatistik, Veri ve Grafikler...

VERİ. gelir (bin) y l ÜNİTE 66 VERİ 2,5 1,5 1,2 KAVRAMSAL ADIM. Sayfa No VERİ... 478 496. σ = 1. İstatistik, Veri ve Grafikler... ÜİTE KAVRAMSAL ADIM Sayfa o.... 8 9 İstatistik, Veri ve Grafikler.... 8 Merkezi, Eğilim ve Yayılım Ölçüleri... 8 Açıklık, Çeyrekler Açıklığı........................................................ 8 Varyas

Detaylı

ISF404 SERMAYE PİYASALAR VE MENKUL KIYMETLER YÖNETİMİ

ISF404 SERMAYE PİYASALAR VE MENKUL KIYMETLER YÖNETİMİ .4.26 5. HAFTA ISF44 SERMAYE PİYASALAR VE MENKUL KIYMETLER YÖNETİMİ Mekul Kıymet Yatırımlarıı Değerlemesi Doç. Dr. Murat YILDIRIM muratyildirim@karabuk.edu.tr 2 Temel Değerleme Modeli Mekul Kıymet Değerlemesi

Detaylı

Tahmin Edicilerin ve Test Đstatistiklerinin Simülasyon ile Karşılaştırılması

Tahmin Edicilerin ve Test Đstatistiklerinin Simülasyon ile Karşılaştırılması . Ders ĐSTATĐSTĐKTE SĐMÜLASYON Tahm Edcler ve Test Đstatstkler Smülasyo le Karşılaştırılması Đstatstk rasgelelk olgusu çere olay süreç ve sstemler modellemesde özellkle bu modellerde souç çıkarmada ve

Detaylı

AÇIK ĐŞLETME BASAMAKLARI TENÖR KONTROLÜNDE JEOĐSTATĐSTĐKSEL TAHMĐN MODELĐ SEÇĐMĐ

AÇIK ĐŞLETME BASAMAKLARI TENÖR KONTROLÜNDE JEOĐSTATĐSTĐKSEL TAHMĐN MODELĐ SEÇĐMĐ Eskişehir Osmagazi Üiversitesi Müh.Mim.Fak.Dergisi C.XXI, S., 2008 Eg&Arch.Fac. Eskişehir Osmagazi Uiversity, Vol..XXI, No:, 2008 Makalei Geliş Tarihi : 2.02.2007 Makalei Kabul Tarihi : 23.03.2007 AÇIK

Detaylı

Şekil 2. Sabit hızla dönen diskteki noktanın anlık yüksekliğini veren grafik.

Şekil 2. Sabit hızla dönen diskteki noktanın anlık yüksekliğini veren grafik. FREKANS ve AYF Düzeli olarak tekrar ede olayları sıklığıı belirtmek içi kullaıla periyod kelimesi yerie birim zamada gerçekleşe tekrar etme sayısı da kullaılır ve bua frekas deir. Ayı şekilde periyodik

Detaylı

ÇOK SERBESTLĐK DERECELĐ SĐSTEMLERĐN ZAMAN TANIM ARALIĞINDA DĐNAMĐK ANALĐZĐ

ÇOK SERBESTLĐK DERECELĐ SĐSTEMLERĐN ZAMAN TANIM ARALIĞINDA DĐNAMĐK ANALĐZĐ DOKUZ EYLÜL ÜNĐVERSĐTESĐ FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ ÇOK SERBESTLĐK DERECELĐ SĐSTEMLERĐN ZAMAN TANIM ARALIĞINDA DĐNAMĐK ANALĐZĐ Kerem GÜRBÜZ Hazira, 011 ĐZMĐR ÇOK SERBESTLĐK DERECELĐ SĐSTEMLERĐN ZAMAN TANIM

Detaylı

İSTATİSTİKSEL TAHMİNLEME VE HİPOTEZ TESTİ

İSTATİSTİKSEL TAHMİNLEME VE HİPOTEZ TESTİ İSTATİSTİKSEL TAHMİNLEME VE HİPOTEZ TESTİ Bu bölümdeki yötemler, bilimeye POPULASYON PARAMETRE değeri hakkıda; TAHMİN yapmaya yöelik ve, KARAR vermekle ilgili, olmak üzere iki grupta icelemektedir. Parametre

Detaylı

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.

Detaylı

SÜREKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİ. Üstel Dağılım Normal Dağılım

SÜREKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİ. Üstel Dağılım Normal Dağılım SÜREKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİ Üstel Dağılım Normal Dağılım 1 Üstel Dağılım Meydana gelen iki olay arasındaki geçen süre veya bir başka ifadeyle ilgilenilen olayın ilk defa ortaya çıkması için geçen sürenin

Detaylı

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 5 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; üstel ve logaritmik fonksiyonları tanıyacak, üstel ve logaritmik fonksiyonların grafiklerini

Detaylı

KİMYASAL DENGE (GİBBS SERBEST ENERJİSİ MİNİMİZASYONU) MODELLEMESİ

KİMYASAL DENGE (GİBBS SERBEST ENERJİSİ MİNİMİZASYONU) MODELLEMESİ KİMYASAL DENGE (GİBBS SERBEST ENERJİSİ MİNİMİZASYONU) MODELLEMESİ M. Turha ÇOBAN Ege Üiversitesi, Mühedislik Fakultesi, Makie Mühedisliği Bölümü, Borova, İZMİR Turha.coba@ege.edu.tr Özet: Kimyasal degei

Detaylı

Süzgeç. Şekil 4.1 Süzgeçlemedeki temel fikir

Süzgeç. Şekil 4.1 Süzgeçlemedeki temel fikir Deey 4: ayısal üzgeçler Amaç Bu deeyi amacı solu dürtü yaıtlı (FIR) ve sosuz dürtü yaıtlı (IIR) sayısal süzgeçleri taıtılması ve frekas yaıtlarıı icelemesidir. Giriş iyal işlemede süzgeçleme bir siyali

Detaylı

(14) (19.43) de v yi sağlayan fonksiyona karşılık gelen u = F v fonksiyonunun ikinci türevi sürekli, R de 2π periodik ve

(14) (19.43) de v yi sağlayan fonksiyona karşılık gelen u = F v fonksiyonunun ikinci türevi sürekli, R de 2π periodik ve nin her g L 2 (S için tek çözümünüm olması için gerekli ve yeterli koşulun her j için λ λ j olacak biçimde λ j ifadesini sağlayan R \ {} de bir λ j dizisinin olduğunu gösteriniz. (13) Her λ j için (19.43)

Detaylı

PERMÜTASYON, KOMBİNASYON, BİNOM, OLASILIK VE İSTATİSTİK...111. Konu Özeti...111. Testler (1 11)...115. Yazılıya Hazırlık Soruları (1 2)...

PERMÜTASYON, KOMBİNASYON, BİNOM, OLASILIK VE İSTATİSTİK...111. Konu Özeti...111. Testler (1 11)...115. Yazılıya Hazırlık Soruları (1 2)... ÜNİTE PERMÜTASYON, KOMBİNASYON, BİNOM, OLASILIK VE İSTATİSTİK Bölüm PERMÜTASYON, KOMBİNASYON BİNOM VE OLASILIK! = (...... ) PERMÜTASYON, KOMBİNASYON BİNOM, OLASILIK VE İSTATİSTİK PERMÜTASYON, KOMBİNASYON,

Detaylı

ANA NİRENGİ AĞLARINDA NİRENGİ SAYISINA GÖRE GPS ÖLÇÜ SÜRELERİNİN KURAMSAL OLARAK BULUNMASI

ANA NİRENGİ AĞLARINDA NİRENGİ SAYISINA GÖRE GPS ÖLÇÜ SÜRELERİNİN KURAMSAL OLARAK BULUNMASI TMMOB Harita ve Kadastro Mühedisleri Odası 13. Türkiye Harita Bilimsel ve Tekik Kurultayı 18 22 Nisa 2011, Akara ANA NİRENGİ AĞLARINDA NİRENGİ SAYISINA GÖRE GPS ÖLÇÜ SÜRELERİNİN KURAMSAL OLARAK BULUNMASI

Detaylı

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır.

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır. TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Bir çokluk belirtmek için kullanılan sembollere rakam denir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri birer rakamdır. 2. TAMSAYILAR KÜMESİ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... }

Detaylı

İNTERNET SERVİS SAĞLAYICILIĞI HİZMETİ SUNAN İŞLETMECİLERE İLİŞKİN HİZMET KALİTESİ TEBLİĞİ BİRİNCİ BÖLÜM

İNTERNET SERVİS SAĞLAYICILIĞI HİZMETİ SUNAN İŞLETMECİLERE İLİŞKİN HİZMET KALİTESİ TEBLİĞİ BİRİNCİ BÖLÜM 17 Şubat 01 CUMA Resmî Gazete Sayı : 807 TEBLİĞ Bilgi Tekolojileri ve İletişim Kurumuda: İNTERNET SERVİS SAĞLAYICILIĞI HİZMETİ SUNAN İŞLETMECİLERE İLİŞKİN HİZMET KALİTESİ TEBLİĞİ BİRİNCİ BÖLÜM Amaç, Kapsam,

Detaylı

Örnek A. Benzer tipteki 40 güç kaynağının dayanma süreleri aşağıdaki gibidir. Genişletilmiş frekans tablosu oluşturunuz;

Örnek A. Benzer tipteki 40 güç kaynağının dayanma süreleri aşağıdaki gibidir. Genişletilmiş frekans tablosu oluşturunuz; Öre A. Bezer pe 40 güç ayağıı dayama süreler aşağıda gbdr. Geşlelmş reas ablosu oluşuruuz;, 4,7 3, 3,4 3,3 3, 3,9 4, 3,4 4, 3,8 3,7 3,6 3,8 3,7 3,0,,6 3, 3,,6,9 3, 3,0 3,3 4,3 3, 4, 4,6 3, 3,3 4,4 3,9,9

Detaylı

= k. Aritmetik Ortalama. Tanımlayıcı İstatistikler TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER. Sınıflanmış Seriler İçin Aritmetik Ortalama

= k. Aritmetik Ortalama. Tanımlayıcı İstatistikler TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER. Sınıflanmış Seriler İçin Aritmetik Ortalama TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER Taımlayıcı İstatstkler MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ Dr. Mehmet AKSARAYLI D.E.Ü. İ.İ.B.F..B.F. EKONOMETRİ BÖLÜMÜ mehmet.aksarayl aksarayl@deu.edu.tr Yer Ölçüler (Merkez Eğlm Ölçüler)

Detaylı

DENEYİN ADI: UYARTIM SARGISI AYRI BİR KAYNAKTAN BESLENEN (YABANCI UYARTIMLI) SARGILI KUTUPLU DC MOTORUN BOŞ ÇALIŞMA KARAKTERİSTİĞİ

DENEYİN ADI: UYARTIM SARGISI AYRI BİR KAYNAKTAN BESLENEN (YABANCI UYARTIMLI) SARGILI KUTUPLU DC MOTORUN BOŞ ÇALIŞMA KARAKTERİSTİĞİ DENEYİN D: YRTM SRGS YR BİR KYNKTN BESENEN (YBNC YRTM) SRG KTP DC MOTORN BOŞ ÇŞM KRKTERİSTİĞİ yartım akımı (kutup akımı) sabit tutula sargılı kutuplu DC motoru edüvi gerilimi ile devir sayısı (mil hızı)

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 5.KONU Cebiresel yapılar; Grup, Halka 1. Matematik yapı 2. Denk yapılar ve eş yapılar 3. Grup 4. Grubun basit özellikleri 5. Bir elemanın kuvvetleri

Detaylı

Zaman Skalasında Box-Cox Regresyon Yöntemi

Zaman Skalasında Box-Cox Regresyon Yöntemi Dokuz Eylül Üverstes İktsad ve İdar Blmler Fakültes Dergs, Clt:7, Sayı:, Yıl:0, ss.57-70. Zama Skalasıda Bo-Co Regresyo Yötem Atlla Özur İŞÇİ Sbel PAŞALI GÖKTAŞ ATMACA 3 M. Nyaz ÇANKAYA 4 Özet Hata term

Detaylı

DİNAMİK PORTFÖY SEÇİMİ ve BİR UYGULAMA

DİNAMİK PORTFÖY SEÇİMİ ve BİR UYGULAMA Yöeim, Yıl: 7, Sayı: 55, Ekim 6 DİNAMİK PORFÖY SEÇİMİ ve BİR UYGULAMA Dr. Mehme HORASANLI İsabul Üiversiesi İşleme Fakülesi Sayısal Yöemler Aabilim Dalı Bu çalışmada, Li ve Ng ( arafıda aaliik çözümü üreile

Detaylı

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.

Detaylı

3.2.3 DC Şönt Motora Yolverme... 58 3.2.4 DC Şönt Motorun Devir Sayısı Ayar Metotları... 63 3.2.5 DC Şönt Motorun Dönüş Yönünün Değiştirilmesi...

3.2.3 DC Şönt Motora Yolverme... 58 3.2.4 DC Şönt Motorun Devir Sayısı Ayar Metotları... 63 3.2.5 DC Şönt Motorun Dönüş Yönünün Değiştirilmesi... İÇİNDEKİLER ELEKTRİKLE TAHRİKİN TANII VE TEEL EKANİK BİLGİLER.... GİRİŞ.... ELEKTRİKLE TAHRİKTE HAREKET ŞEKİLLERİ..... Doğrusal Hareket..... Döer Hareket... 4.3 HAREKET OLAYLARININ KİNETİĞİ... 6.4 BİRİ

Detaylı

PEANO UZAYLARI VE HAHN-MAZURKIEWICZ TEOREMİ ÜZERİNE

PEANO UZAYLARI VE HAHN-MAZURKIEWICZ TEOREMİ ÜZERİNE SAÜ Fe Edebiyat Dergisi (-) Z.GÜNEY ve M.ÖZKOÇ PEANO UZAYLAR VE HAHN-MAZURKEWCZ TEOREMİ ÜZERİNE Zekeriya GÜNEY, Murad ÖZKOÇ Muğla Üiversitesi Eğitim Fakültesi Ortaöğretim Fe ve Matematik Alalar Eğitimi

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16. MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16. MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI. MATEMATİK YARIŞMASI 0. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI 5. sayısının virgülden sonra 9 99 999 5. basamağındaki rakam kaçtır? A) 0 B) C) 3 D) E) 8!.!.3!...4! 4. A= aşağıdaki hangi

Detaylı

YENĐ BĐR ADAPTĐF FĐLTRELEME YÖNTEMĐ: HĐBRĐD GS-NLMS ALGORĐTMASI

YENĐ BĐR ADAPTĐF FĐLTRELEME YÖNTEMĐ: HĐBRĐD GS-NLMS ALGORĐTMASI Uludağ Üiversitesi ühedislik-imarlık Fakültesi Dergisi, Cilt 3, Sayı, 008 YENĐ BĐR ADAPĐF FĐLRELEE YÖNEĐ: HĐBRĐD GS-NLS ALGORĐASI Sedat ĐRYAKĐ * eti HAUN ** Osma Hilmi KOÇAL ** Özet: Bu makalede, adaptif

Detaylı

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye KÜME AİLELERİ GİRİŞ Bu bölümde, bir çoğu daha önceden bilinen incelememiz için gerekli olan bilgileri vereceğiz. İlerde konular işlenirken karşımıza çıkacak kavram ve bilgileri bize yetecek kadarı ile

Detaylı

Türev Uygulamaları. 4.1 Bağımlı Hız

Türev Uygulamaları. 4.1 Bağımlı Hız Bölüm 4 Türev Uygulamaları 4.1 Bağımlı Hız Eğer bir balonun içine hava pompalarsak, balonun hem yarıçapı hem de hacmi artar ve artış hızları birbirine bağımlıdır. Fakat, hacmin artış hızını doğrudan ölçmek

Detaylı

3. Bir kabı, biri 17 diğeri 55 litre su alan ölçeklendirilmemiş iki kap yardımıyla tam olarak 1 litre suyla nasıl doldurursunuz açıklayınız. (10 P.

3. Bir kabı, biri 17 diğeri 55 litre su alan ölçeklendirilmemiş iki kap yardımıyla tam olarak 1 litre suyla nasıl doldurursunuz açıklayınız. (10 P. 0..006 MAT3 AYRIK MATEMATİK ARASINAV SORULARI Numarası :..................................... Adı Soyadı :...................................... F,. Fiboacci sayısıı gösterme üzere, ( 0 P.) (a) F + = F

Detaylı

YAPISAL ELEMANLARIN TİTREŞİM FREKANSLARININ ANALİZİ İÇİN ÜÇ BOYUTLU TIMOSHENKO KİRİŞ ELEMANI

YAPISAL ELEMANLARIN TİTREŞİM FREKANSLARININ ANALİZİ İÇİN ÜÇ BOYUTLU TIMOSHENKO KİRİŞ ELEMANI 2. Türkiye Deprem Mühedisliği ve Sismoloji Koferası YAPISAL ELEMANLARIN TİTREŞİM FREKANSLARININ ANALİZİ İÇİN ÜÇ BOYUTLU TIMOSHENKO KİRİŞ ELEMANI ÖZET: O. Soydaş 1 ve A. Sarıtaş 2 1 Doktora Öğrecisi, İşaat

Detaylı

SIRADAN EN KÜÇÜK KARELER (OLS)

SIRADAN EN KÜÇÜK KARELER (OLS) SIRADAN EN KÜÇÜK KARELER (OLS) YÖNTEMİNİN ASİMPTOTİK ÖZELLİKLERİ Hüseyin Taştan 1 1 Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ders Kitabı: Introductory Econometrics: A Modern Approach (2nd ed.) J. Wooldridge

Detaylı

ISF404 SERMAYE PİYASALAR VE MENKUL KIYMETLER YÖNETİMİ

ISF404 SERMAYE PİYASALAR VE MENKUL KIYMETLER YÖNETİMİ 4. HAFTA ISF44 SERMAYE PİYASALAR VE MENKUL KIYMETLER YÖNETİMİ PARANIN ZAMAN DEĞERİ VE GETİRİ ÇEŞİTLERİ Doç. Dr. Murat YILDIRIM muratyildirim@karabuk.edu.tr 2 Paraı Zama Değeri Paraı Zama Değeri Yatırım

Detaylı

ÖzelKredi. İsteklerinize daha kolay ulaşmanız için

ÖzelKredi. İsteklerinize daha kolay ulaşmanız için ÖzelKredi İstekleriize daha kolay ulaşmaız içi Yei özgürlükler keşfedi. Sizi içi öemli olaları gerçekleştiri. Hayalleriizi süsleye yei bir arabaya yei mobilyalara kavuşmak mı istiyorsuuz? Veya özel güler

Detaylı

Hipotez Testleri. Parametrik Testler

Hipotez Testleri. Parametrik Testler Hipotez Testleri Parametrik Testler Hipotez Testide Adımlar Bir araştırma sorusuu belirlemesi Araştırma sorusua dayaa istatistiki hipotezleri oluşturulması (H 0 ve H A ) Hedef populasyoda öreklemi elde

Detaylı

matematik LYS SORU BANKASI KONU ÖZETLERİ KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ Süleyman ERTEKİN Öğrenci Kitaplığı

matematik LYS SORU BANKASI KONU ÖZETLERİ KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ Süleyman ERTEKİN Öğrenci Kitaplığı matematik SORU BANKASI Süleyman ERTEKİN LYS KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ KONU ÖZETLERİ Öğrenci Kitaplığı SORU BANKASI matematik LYS EDAM Öğrenci Kitaplığı 18 EDAM ın yazılı izni olmaksızın,

Detaylı

DENEYĐN AMACI: Bu deneyin amacı MOS elemanların temel özelliklerini, n ve p kanallı elemanların temel uygulamalarını öğretmektir.

DENEYĐN AMACI: Bu deneyin amacı MOS elemanların temel özelliklerini, n ve p kanallı elemanların temel uygulamalarını öğretmektir. DENEY NO: 7 MOSFET ÖLÇÜMÜ ve UYGULAMALARI DENEYĐN AMACI: Bu deeyi amacı MOS elemaları temel özelliklerii, ve p kaallı elemaları temel uygulamalarıı öğretmektir. DENEY MALZEMELERĐ Bu deeyde 4007 MOS paketi

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

VERİ MADENCİLİĞİ. Karar Ağacı Algoritmaları: SPRINT algoritması Öğr.Gör.İnan ÜNAL

VERİ MADENCİLİĞİ. Karar Ağacı Algoritmaları: SPRINT algoritması Öğr.Gör.İnan ÜNAL VERİ MADENCİLİĞİ Karar Ağacı Algoritmaları: SPRINT algoritması Öğr.Gör.İnan ÜNAL SPRINT Algoritması ID3,CART, ve C4.5 gibi algoritmalar önce derinlik ilkesine göre çalışırlar ve en iyi dallara ayırma kriterine

Detaylı