BEKLENEN DEĞER. 6. Ders. Tanım: X, bir rasgele değişken ve g : R R, B B R için x : g x B B R özelliğine sahip bir fonksiyon olmak üzere:

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "BEKLENEN DEĞER. 6. Ders. Tanım: X, bir rasgele değişken ve g : R R, B B R için x : g x B B R özelliğine sahip bir fonksiyon olmak üzere:"

Transkript

1 6. Ders BEKLENEN DEĞER Taım: X, bir rasgele değişke ve g : R R, B BR içi x : gx B BR özelliğie sahip bir foksiyo olmak üzere: i) X kesikli ve ii) X sürekli ve gx fx olduğuda, x EgX gxfx gx fxdx olduğuda, değerie gx i beklee değeri deir. EgX gxfxdx x Örek: X rasgele değişkei olasılık foksiyou, ve fx 2 x, x, 2, x 2x gx x olmak üzere, gx i beklee değerii araştıralım. gx fx x x x 2x x 2 x x olduğuda, Taım 4.. deki gx fx olmaşartı sağlamamakta Bu sebeple, gerçekte var ola, x x x gxfx x x 2x x 2 x x x sayısıa gx i beklee değeri diyemeyiz. Böyle durumlarda gx i beklee değeri yoktur deir. Buda soraki kısımlarda EgX değeri sözkousu olduğuda aksi belirtilmedikçe gx i beklee değerii var olduğuu kabul edeceğiz. x Taım: X bir rasgele değişke, c R ve k bir doğal sayı olmak üzere:

2 a) E X c k değerie X i c ye göre k ici mometi, b) EX k değerie X i k ici mometi, c) EX değerie X i beklee değeri, d) E X EX 2 değerie X i varyası, e) EXX X 2X k değerie X i k ici çarpımsal mometi deir. Alışagelmiş olarak bir X rasgele değişkei beklee değeri X veya sadece, varyası ise VarX, X 2 veya sadece 2 ile de gösterilmektedir. Varyası kareköküe stadart sapma deir ve bir X rasgele değişkei stadart sapması X veya sadece ile gösterilir. Örek: X rasgele değişkei olasılık yoğuluk foksiyou, fx 3x 4, x, d. y. olsu. X i beklee değeri, ve varyası, VarX x 3 2 EX x 3x 4 dx 3 x x 4 dx 3x 9 2 x2 9 4 x3 3 4 olarak buluur. 3 içi x 3x 4 dx itegrali ıraksak olduğuda X rasgele değişkei 3 ve 3 de büyük ola mometleri yoktur. x Teorem: g i : R R, i, 2,,, B BR içi x : g i x B BR olmak üzere, Eg i X, i, 2,, beklee değerleri varsa, g i X i beklee değeri vardır ve a) E g i X Eg i X i i i

3 b) a, b R olmak üzere, EaX b aex b, VaraX b a 2 VarX c) m k EX k, k EX k, k, 2, olmak üzere, k k i i k m i ki k ve özel olarak, k m k k i i ki k VarX 2 m 2 2 EX 2 EX 2 Đspat:(Ödev) Teorem: h t olmak üzere X t i beklee değeri varsa X h i de beklee değeri var Đspat: Đspatı X i sürekli olması hali içi verelim. x h fxdx x h fxdx x h fxdx x h x h fxdx x t fxdx x h x h P X h E X t X i kesikli olması durumuda ispat yukarıdakie bezer yolda yapılabilir. Teorem: Negatif değerler almaya bir X rasgele değişkei dağılım foksiyou F olsu. Eğer X i beklee değeri varsa EX Fxdx dir. Eşitliği sağ tarafıdaki itegrali yakısak olması halide X i beklee değeri var Đspat: Đlk öce X i sürekli rasgele değişke olması durumuu ele alalım. X egatif değerler almaya, dağılım foksiyou F, olasılık yoğuluk foksiyou f ve beklee değeri var E X EX ola bir rasgele değişke olsu. O zama,

4 ve EX xfxdx lim xfxdx lim xfxdx Kısmi itegrasyo soucu xfxdx F Fxdx F Fxdx elde edilir. Diğer tarafta, olması sebebiyle, Böylece, F fxdx xfxdx lim F EX lim xfxdx lim Fxdx Fxdx elde edilir. Teoremi geri kala kısmıı ispatlamak içi, Fxdx olduğuu varsayalım. O zama, xfxdx Fxdx Fxdx ve böylece, E X lim x fxdx lim xfxdx Şimdi X rasgele değişkei kesikli olması durumuu ele alalım. X rasgele değişkei olasılık foksiyou f olmak üzere olsu. Her pozitif tamsayısı içi, EX x j fx j j

5 Fxdx ve PX x, x e göre artmaya olduğuda, yazılabilir. k k P X k P X k kk/ Fxdx k jk k/ PX xdx P j X j k P X k k k P k k2 X k k P k X k P k k2 k2 X k k k2 fx j P X k x j k k k fx j k x j k fx j P X x j k k x j fx j k x j k ve bezer yolda, olduğu gösterilebilir. Burada EX P X k k EX EX Fxdx EX yazılabilir. içi limit alıdığıda EX Fxdx elde edilir. Teorem: Bir X rasgele değişkei beklee değerii var olması içi gerek ve yeter

6 şart PX xdx ve PX xdx itegrallerii her ikisii de yakısak olması Bu durumda EX PX xdx PX xdx Đspat: (Ödev) Örek: X rasgele değişkei olasılık yoğuluk foksiyou, fx e x3, x 3, d. y. olsu. X i beklee değeri vardır ve, EX xe x3 dx 3 xe x3 3 e x3 dx 3 lim x x e x3 3 ex3 2 Şimdi X i beklee değerii Teorem 4..4 deki yolda hesaplayalım. 3 Fx PX x, x 3 e x3, x 3 olmak üzere,

7 EX PX xdx PX xdx Fxdx Fxdx elde edilir. 3 e x3 dx dx e x3 dx 2 3 Örek: X rasgele değişkei olasılık foksiyou fx /6, x 2,,,, 2, 3 olsu. 3 EX xfx /2 x2 olmak üzere, bu değeri Teoremdeki yolda hesaplayalım., x 2 /6, 2 x 2/6, x Fx 3/6, x 4/6, x 2 5/6, 2 x 3, x 3 olmak üzere,

8 EX Fxdx Fxdx 2 3/6dx 4/6dx 5/6dx 2 3 elde edilir. 2 dx dx /6dx 2/6dx Örek : X rasgele değişkei olasılık yoğuluk foksiyou, fx 2 e x2 2, x olsu., 2, içi EX değerlerii hesaplayalım.

9 EX x 2 e x2 2 dx 2 x e x2 2 dx x e x2 2 dx 2 x e x2 2 dx x e x2 2 dx 2 x e x2 2 dx, 2k, k, 2, 2, 2k, k, 2, 2 2 y 2 e y dy, 2k, k, 2,, 2k, k, 2, 2 2 2, 2k, k, 2,, 2k, k, 2,, 3, 5, içi, 2 içi, EX EX içi,

10 EX elde edilir. Örek: X rasgele değişkei olasılık yoğuluk foksiyou, fx e x, x, d. y. olsu., 2, içi içi, 2 içi, ve elde edilir. EX x e x dx y e y dy EX EX VarX EX 2 EX Örek: X rasgele değişkei olasılık foksiyou, fx e x, x,, 2,, x! olsu. X i beklee değeri, EX x e x x! x xe x x! x e x x x! e x x x! e! 2 2!! X 2 XX X ifadeside faydalaarak,

11 EX 2 EXX EX xx e x x! x xx e x x! x2 e x x 2! x2 e 2 x2 x2 x 2! 2 e x x x! elde edilir. Burada, buluur. 2 VarX EX 2 EX 2 Örek: Bir güde 5 parça işleye bir tora makiası içi kusursuz olarak işlediği parçaları sayısı X olsu. X i olasılık foksiyou, x 5x fx 5 4 x, x,, 2, 3, 4, Đşlememiş parçaı alış değeri a, işleme masrafı b, kusurlu işlemiş parçaı hurda değeri c ve kusursuz işlemiş parçaı satış değeri d olmak üzere gülük kazacı beklee değeri edir? K rasgele değişkei gülük kazacı göstermek üzere, K 5a b 5 xc Xd olarak ifade edilebilir. EX 4 olduğu göz öüe alıırsa EK 5a b 5 EX c EX d 5a b c 4d elde edilir. 4d c 5a b

12 KARAKTERĐSTĐK FONKSĐYONLAR Taım: X bir rasgele değişke olmak üzere, X t Ee itx EcostX iesitx, t R foksiyoua X i karakteristik foksiyou deir. e itx olduğuda Ee itx beklee değeri her X içi mevcuttur, yai her rasgele değişkei karakteristik foksiyou var Örek: X rasgele değişkei c c R oktasıda yoğulaşmış dağılıma sahip olduğuda, X t Ee itx e itx fx e itc, t R x c içi X t dir. Örek: X rasgele değişkei olasılık foksiyou, fx, x, 2, 3, 4, 5, 6 6 olmak üzere, X t Ee itx e itx fx, t R x 6 eit 6 e2it 6 e3it 6 e4it 6 e5it 6 e6it dir. Örek: X rasgele değişkei olasılık yoğuluk foksiyou, fx e x, x, d. y. olmak üzere, X t Ee itx it, t e itx ex/ dx

13 Teorem: X rasgele değişkei karakteristik foksiyou X olmak üzere, a) X b) X t, t R c) X düzgü sürekli, d) axb t e itb X ta, t R, (a ve b sabit) Đspat: a) X t Ee itx olmak üzere X E dir. b) X t Ee itx E e itx E c) X t h X t Ee ithx e itx Ee itx e ihx E e itx e ihx E e ihx X i sürekli rasgele değişke olduğuu varsayalım. O zama içi, yeterice büyük M sayısı olacak şekilde alıırsa, X t h X t e ihx fxdx x M M fxdx 4 X t h X t e ihx fxdx 2 olur (h sadece a bağlıdır). X düzgü süreklidir. M x M fxdx

14 X i kesikli olması durumuda itegral yerie toplam işareti gelecektir. d) axb t Ee itaxb Ee itb e itax e itb Ee itax e itb X ta Teorem: Bir rasgele değişkei. mometi varsa, k içi d k dt k Xt t i k EX k Đspat: k, 2,. içi EXe kitx E X k x k fx x x k fxdx olmak üzere d X t dt d k X t dt k d dt EeitX E d dt eitx iexe itx i k EX k e itx, k d k X t dt k t i k EX k, k Örek: X rasgele değişkei olasılık foksiyou olmak üzere fx e x x!, x,, 2,

15 X t Ee itx e itx e x x x! e e it x x x! e e eit Burada, e eit iex d dt Xt t ie it e eit t i i 2 EX 2 d2 dt 2 Xt t i 2 e it e eit ie it 2 e eit t i 2 2 Teorem: Bir X rasgele değişkei olasılık (yoğuluk) foksiyou f, dağılım foksiyou F ve karakteristik foksiyou olmak üzere: i) x, x 2, x x 2 oktalarıda F sürekli ise Fx 2 Fx lim T T 2 T e itx e itx 2 it tdt ii) X sürekli bir rasgele değişke ise, fx limlim ht 2 T T e ith ith e itx tdt ve t dt ise, iii) X kesikli rasgele değişke ise, fx 2 e itx tdt fx lim e T 2T itx tdt T T

16 Bu teoremi ispatı burada yapılmayacaktır. Teoremi soucu olarak dağılım foksiyoları kümesi ile karakteristik foksiyoları kümesi arasıda bire-bir eşleme yapılabileceği söyleebilir. Şimdi karakteristik foksiyoları kümesii belirleye Bocher-Khici teoremii ispatsız olarak verelim. Teorem: (Bocher-KhichiTeoremi) kompleks sayıları kümesi olmak üzere bir : R foksiyou sürekli ve olsu. i karakteristik foksiyo olması içi gerek ve yeterşart her t, t 2,,t R ve her c, c 2,,c, içi k j t j t k c j c k olması(burada c, c i eşleiği ola kompleks sayıdır, yai c a bi ise c a ib ) Örek: t e ict, c R karakteristik foksiyoua karşılık gele dağılım edir? x x 2 içi Fx 2 Fx lim T 2 T T e itx e itx 2 it e ict dt T lim T 2 T e itcx e itcx 2 it dt T lim T 2 T si tc x si tc x 2 t dt olmak üzere, lim T T lim T T si at t dt si tc x si tc x 2 t 2 2, a, a dt olduğu göz öüe alıırsa, x, x 2 c içi

17 Fx 2 Fx 2 2 x, x 2 c içi x c x 2 içi Fx 2 Fx 2 2 Fx 2 Fx 2 2 dir. Dağılım foksiyouu özellikleride, Fx 2 lim x Fx 2 Fx, x 2 c, x 2 c buluur. Bu dağılım foksiyou c oktasıda yoğulaşmış dağılıma aittir. Şimdi ayı problemde, karakteristik foksiyou bir kesikli dağılıma karşılık geldiğii bildiğimizi varsayalım. Bua göre, T fx lim T 2T T e itx e itc dt T lim T 2T T e itcx dt, x c lim T 2T eitcx T, x c ic x T, x c lim T si Tx c Tx c, x c, x c, x c buluur. Örek t e t2 /2, karakteristik foksiyou sürekli bir dağılıma karşılık gelmektedir. Bu dağılımı olasılık yoğuluk foksiyouu Teorem yardımıyla bulmaya çalışalım.

18 olmak üzere t dt e t2 /2 dt 2 fx 2 e itx tdt 2 e 2 t2 2itx dt 2 e 2 x2 e 2 tix2 dt 2 e 2 x2 e 2 u2 du 2 e 2 x2, x Karakteristik foksiyo esasıda bir Fourier döüşümüdür. Matematik aalizde ters Fourier döüşümleri geiş bir şekilde ele alımakta Fourier döüşümleri ile ilgili hazır formüller içere tablolar hazırlamıştır. Burada bulara değimeyeceğiz. ÜRETĐCĐ FONKSĐYONLAR Bu kısımda mometleri hesaplamasıda kolaylık sağlaya bazı foksiyolar ele alıacaktır. Taım: X bir rasgele değişke olmak üzere (var olması halide), M X t Ee tx, h t h, h foksiyoua X i momet ürete (momet çıkara) foksiyou deir. Örek: X rasgele değişkei olasılık yoğuluk foksiyou, fx x 2, x, d. y. olsu. t içi,

19 e tx x 2 ve x dx itegrali ıraksak olduğuda, tx x 2, Ee tx x e tx x 2 dx itegrali ıraksaktır, yai t içi Ee tx beklee değeri mevcut değildir. X i momet ürete foksiyou yoktur. Örek: X rasgele değişkei olasılık yoğuluk foksiyou, fx e x, x, d. y. olsu. e tx e x dx e tx dx itegrali t içi yakısak olduğuda, M X t vardır ve M X t e tx e x dx etx t x t, t Örek: X rasgele değişkei olasılık foksiyou, olsu. t R içi serisi yakısak olduğuda fx e x x!, x,, 2, e tx e x x x! M X t e tx e x x x! e et, t

20 Eğer bir X rasgele değişkei momet ürete foksiyou varsa, M X it X t Dolayısıyla momet ürete foksiyolar da olasılık dağılımlarıı tek biçimde belirlemektedir. Bir X rasgele değişkei momet ürete foksiyou, ise X i olasılık foksiyou M X t e et e e tx x x! fx e, x,, 2, x! Bir X rasgele değişkei momet ürete foksiyou varsa, d dt M Xt t EX,, 2 Örek: M X t e et, t R olmak üzere EX dm Xt dt EX 2 d2 M X t dt 2 t e t e t t t e t e et e t 2 e et t elde edilir. 2 Örek: X rasgele değişkei olasılık yoğuluk foksiyou, fx x e x, x,, d. y. olsu. olmak üzere M X t x e itx dx t, t EX dt d t t Bir X rasgele değişkei momet ürete foksiyou var olsu.

21 K d dt l M Xt t,, 2, sayılarıa X i. derecede kümülatı deir. Öreği, K M X M X EX K 2 M X M X M X 2 M X 2 EX 2 EX 2 VarX K 3 EX 3 3EX 2 EX 2EX 3 K 4 EX 4 4EX 3 EX 3EX 2 2 2EX 2 EX 2 6EX 4 Örek: M X t e et, t R olsu. Kümülatlar, K d dt l eet t e t t,, 2, Taım: t R : Et X kümeside taımlı N X t Et X foksiyoua X i çarpımsal momet ürete foksiyou deir. Eğer k, 2, içi, d dt EtX E dt d tx oluyorsa, d dt N Xt t EXX X,, 2, Örek: M X t e et, t R momet ürete foksiyoa sahip rasgele değişke içi,

22 N X t t x e x x! x e t x x x! olmak üzere, e t, t EX d dt N Xt t e t t ve EXX 2 e t t 2 EXX X e t t Örek: X rasgele değişkei olasılık yoğuluk foksiyou, fx e x, x, d. y. olsu. olmak üzere N X t t x e x dx e t x dx e l tx dx, l t l t, t e EX l t 2 t t EXX 2 l t 3 t 2 l t 2 t 2 t 3 X rasgele değişkei kesikli ve aldığı değerler x,, 2, olduğuda N X t fxt x, t foksiyoua ayı zamada olasılık ürete foksiyo da deir. x

23 ÇOK DEĞĐŞKENLĐ DAĞILIMLARDA BEKLENEN DEĞER Taım: X, X 2,,X bir rasgele vektör ve g : R R, B BR foksiyou, x, x 2,,x : gx, x 2,,x B BR özelleğie sahip bir foksiyo olmak üzere, i) X, X 2,.., X kesikli, gx,,,x fx,,,x olduğuda, x,x 2,,x EgX, X 2,,X gx, x 2,,x fx, x 2,x x,x 2,,x ii) X, X 2,,X sürekli, gx,,,x fx,.,x dx dx olduğuda, EgX, X 2,,X... gx,,x fx,,x dx dx değerie gx, X 2,,X i beklee değeri deir. Taım: X, X 2,X bir rasgele vektör olmak üzere: a) Var olması halide EX k X k 2X k değerie X, X 2,,X i k, k 2,,k ortak mometi deir. Buradaki k, k 2,,k ler egatif olmaya tam sayılar b) Var olması halide EX EX k X2 EX 2 k 2 X EX k değerie X, X 2,,X i k, k 2,,k merkezi ortak mometi deir. c) Var olması halide, M X,X 2,,X t, t 2,, t Ee t X t 2 X 2 t X, t i h i, h i i, 2,, foksiyoua X, X 2,,X i ortak dağlılımıı (veya X, X 2,,X rasgele vektörüü) momet ürete foksiyou deir. d)

24 X,X 2,,X t, t 2,,t Ee it X t 2 X 2 t X, t i R, i, 2,, foksiyoua X, X 2,,X i ortak dağılımıı (veyax, X 2,,X rasgele vektörüü) karakteristik foksiyou deir. Şimdi momet ürete ve karakteristik foksiyoları bazı özelliklerii verelim a) X,X 2,,X,,, M X,X 2,,X,,, b) a X b a X b t,,t e it b it b X,,X a t,,a t M a X b a X b t,,t e t b t b M X,,X a t,,a t c) X, X 2 X i k, k 2,k ortak mometii var olması halide k k 2 k k t k t 2 X,,X k t,, t t t i k j j k EX k X 2 k 2 X 2 t k k 2 k t k t 2 k 2 t k M X,,X t,, t t t EX k X 2 k 2 X k d) X,X 2,X t, t 2,,t k,,,, X,X 2,,X k t, t 2,,t k M X,X 2,X t, t 2,,t k,,,, M X,X 2,,X k t, t 2,,t k Örek: X, X 2, X 3 vektörüü olasılık yoğuluk oksiyou, fx, x 2, x 3 e x x 2 x 3, x, x 2, x 3, d. y. olsu. X, X 2, X 3 ü momet ürete foksiyou, M X,X 2,X 3 t, t 2, t 3 Ee t X t 2 X 2 t 3 X 3 e t X t 2 X 2 t 3 X 3e x x 2 x 3dx dx 2 dx 3 Burada, öreği, t t 2 t 3, t, t 2, t 3 EX 2 X 2 X 3 4 t 2 t 2 t 3 t t 2 t 3 t t 2 t 3

25 2 t 3 t 2 2 t 3 2 t t 2 t 3 2 ve X, X 2 i momet ürete foksiyou, M X,X 2 t, t 2 M X,X 2,X 3 t, t 2, elde edilir. t t 2 EX t M X,X 2,X 3 t, t 2, t 3 t t 2 t 3 t 2 t 2 t 3 t t 2 t 3 olmak üzere, bu beklee değer X i M X t M X,X 2,X 3 t,, t, t momet ürete foksiyou yardımıyla da elde edilebilir. Gerçekte, EX d dt M X t t t 2 t Aşağıdaki teoremlerde geçecek ola beklee değerleri var olduğuu varsayacağız. Teorem: X, X 2,.., X bir rasgele vektör ve c, c 2,,c k ler sabit sayılar olmak üzere, E k i k c i g i X, X 2,,X c i Eg i X, X 2,,X i Đspat: (Ödev) yazılır. Bu teoremi bir soucu olarak E k c i X i i k c i EX i i Teorem: X, X 2,,X bağımsız rasgele değişkeler ve u i : R R, i, 2,,, foksiyoları B B içi x : u i x B B özelleğie sahip olmak üzere, E i u i X i Eu i X i i

26 Đspat: (Ödev) Bu teoremi bir soucu olarak: Eğer X, X 2,,X bağımsız rasgele değişkeler ise X, X 2,,X i ortak dağılımıı karakteristik ve momet ürete foksiyoları içi, X,X 2,,X t, t 2,,t X t X2 t 2 X t M X,X 2,,X t, t 2,,t M X t M X2 t 2 M X t olduğu söyleebilir. Ayrıca, u : R k R ve v : R k R olmak üzere, X, X 2,,X k i bir foksiyou ola ux, X 2,,X k rasgele değişkei ile X k, X k2,,x i bir foksiyou ola vx k, X k2,,x rasgele değişkei bağımsız olduğuda, EuX,,X k vx k,,x EuX,,X k EvX k,,x Örek: X, X 2,,X bağımsız rasgele değişkeler ve herbirii olasılık dağılımıı yoğuluk foksiyou fx e x, x, d. y. olsu. Y X X 2 X rasgele değişkeii olasılık dağılımıı buluuz. Đlk öce Y i momet ürete foksiyouu bulalım. M Y t Ee ty Ee tx tx 2 tx E e tx i i Ee tx i i M Xi t t i Bu momet ürete foksiyoa sahip Y rasgele değişkei olasılık yoğuluk foksiyou dır (Örek 4.3.5). fy y e y, y, d. y.

27 Örek: X, X 2,,X k bağımsız rasgele değişkeler ve i, 2,,k içi, f i x i i x i p x i p ix i, x i,,, i olsu p. Y X X 2 X rasgele değişkei olasılık dağılımıı buluuz. olmak üzere, M Xi M Y t Ee ty E p pe t i k e tx i i k Ee tx i i k i k M Xi t p pe t i i p pe t i olarak elde edilir. Bu momet ürete foksiyoa karşılık gele olasılık foksiyou, fy k i i y k k p y p i i i y k, y,, 2,, i i Örek: X, X 2,,X rasgele değişkeleri bağımsız ve i, 2,, içi, fx i e i i x i x i!, x i,, 2,. olsu. Y X X 2 X rasgele değişkei olasılık dağılımıı buluuz. M Y t i M xi t i olmak üzere (Örek 4.3.3) Y i olasılık foksiyou, fy e i i y! i i e ie t e i y i e t, y,, 2, Taım: X, X 2,,X boyutlu bir rasgele vektör olmak üzere: a) CovX i, X j EX i EX i X j EX j i, j, 2,, değerie X i ile X j i

28 kovaryası, b) Xi,X j korelasyo katsayısı, CovX i, X j VarX i VarX j, i, j, 2,, değerie X i ile X j arasıdaki c) CovX i, X j matrisie X, X 2,,X rasgele vektörüü var-yas-kovaryas matrisi d) Xi,X j matrisie X, X 2,,X rasgele vektörüü korelas-yo matrisi deir. Teorem: Herhagi X, Y rasgele vektörüü içi: a) CovX, Y EXY EXEY b) X ve Y bağımsız CovX, Y, X,Y c) X,Y, d) X,Y X ve Y arasıda lieer ilşki var Đspat: a) CovX, Y EX EXY EY EXY XEY YEX EXEY EXY EXEY b)

29 X ve Y bağımsız EX EXY EY EX EXEY EY CovX, Y Buradaki gerektirmei tersi doğru değildir. Buu bir örekle açıklayalım X, Y i olasılık foksiyou, olmak üzere, f X,Y /3, x, y,,,,, f X x /3, x,, ve f Y y, y CovX, Y EXY EXEY dır, acak /3 olduğuda, X ve Y bağımsız değildir. f X,Y f X f Y c) ve d) şıklarıı ispatlayıız. Bir boyutlu rasgele değişkelerde EX beklee değeri X i olasılık dağılımıı "merkezi", VarX değeri ise bu merkez etrafıda "yayılımıı" bir ölçüsüdür.đki boyutlu rasgele değişkelerde korelasyo katsayısı, bu rasgele değişkeler arasıdaki lieer ilişkii ölçüsüdür. X,Y olduğuda X ve Y arasıda tam lieer ilişki, X,Y değeri bire yakı olduğuda güçlü bir lieer ilişki, X,Y olduğuda ise lieer ilişki yoktur deir. Görüldüğü gibi X ve Y i bağımsız olmaları ilişkisiz olmalarıı gerektirir acak tersi doğru değildir. Örek: X, Y i aşağıda verile dağılımları içi kovaryas ve korelasyo katsayısılarıı karşılaştırıız.

30 a) Y X 2 /8 2/8 3/8 /8 /8 2/8 2 3/8 3/8 3/8 2/8 3/8 EX, VarX 3/4 EY, VarY 3/4 EXY 3/8, CovX, Y 5/8 X,Y. 83 b) Y X 2 3/8 3/8 2/8 2/8 2 3/8 3/8 3/8 2/8 3/8 EX, VarX 3/4 EY, VarY 3/4 EXY 2/8, CovX, Y 6/8 X,Y c) Y X 2 2/8 /8 3/8 /8 /8 2/8 2 3/8 3/8 3/8 2/8 3/8 EX, VarX 3/4 EY, VarY 3/4 EXY 3/8, CovX, Y 5/8 X,Y. 83 d) Y X 2 3/8 3/8 2/8 2/8 2 3/8 3/8 3/8 2/8 3/8 EX, VarX 3/4 EY, VarY 3/4 EXY 4/8, CovX, Y 6/8 X,Y

31 e) Y X 2 /8 /8 /8 3/8 /8 /8 2/8 2 /8 /8 /8 3/8 3/8 2/8 3/8 EX, VarX 3/4 EY, VarY 3/4 EXY, CovX, Y X,Y b) ve d) de X ve Y arasıda tam bir lieer ilşki var d) de Y X, b) de Y 2 X dir. e) de X ile Y arasıda ilişki yoktur, acak X ile Y i bağımsız olduğu söyleemez. Öreği f, f X f Y Örek: X, X 2, X 3 vektörüü olasılık yoğuluk foksiyou fx, x 2, x 3 2 ex 3, x x 2 2, x 3, d. y. olsu. X, X 2, X 3 ü varyas-kovaryas ve korelasyo matrislerii buluuz. X 3 marjial olasılık yoğuluk foksiyou, ü f X3 x 3 2 2x 2 ex 3 dx2 dx, x 3, d. y. e x 3, x 3, d. y. ve X, X 2 i marjial olasılık yoğuluk foksiyou,

32 f X,X 2 x, x 2 2e x 3 dx3, x x 2 2, d. y. /2, x x 2 2, d. y. olmak üzere X, X 2 ile X 3 bağımsız ve EX 2/3, 2 VarX 2/9 2 EX 2 2/3, 2 2 VarX 2 2/9 3 EX 3, 3 2 VarX 3 EX X 2 /3 EX X 3 EX EX 3 2/3 EX 2 X 3 EX 2 EX 3 2/3 CovX i, X j yerie ij ve Xi,X j yerie ij gösterimlerii kullaarak,

33 EX EX X EX 2 2/9 2 EX EX X 2 EX 2 EX X 2 EX EX 2 /9 3 EX EX X 3 EX 3 EX X 3 EX EX /9 22 EX 2 EX 2 X 2 EX /9 23 EX 2 EX 2 X 3 EX 3 EX 2 X 3 EX 2 EX EX 3 EX 3 X 3 EX olmak üzere X, X 2, X 3 ü varyas-kovaryas matrisi, 2/9 /9 /9 2/9 ve korelasyo matrisi, R /2 /2 KOŞULLU BEKLENEN DEĞER

34 Taım: X, X 2 iki boyutlu bir rasgele vektör, x 2 D X2 içi X 2 x 2 verilmişke X i koşullu dağılımıı olasılık (yoğuluk) foksiyou f X /X 2 x 2 ve g : R R her B B içi s : gs B B özelliğie sahip bir foksiyo olmak üzere: a) Kesikli halde, x gx f X /X 2 x 2 x olduğuda, EgX /X 2 x 2 X gx f X /X 2 x 2 x b) Sürekli halde, gx f X /X 2 x 2 x dx olduğuda, Egx /X 2 x 2 gx f X /X 2 x 2 x dx değerie X 2 x 2 verilmişke gx i koşullu beklee değeri deir. Taım: c R ve k bir doğal sayı olmak üzere: a) EX c k /X 2 x 2 değerie X 2 x 2 verilmişke X i c ye göre k. koşullu mometi, b) EX k /X 2 x 2 değerie X 2 x 2 verilmişke X i k. koşullu mometi, c) EX /X 2 x 2 değerie X 2 x 2 verilmişke X i koşullu beklee değeri, d) EX EX /X 2 x 2 2 /X 2 x 2 değerie X 2 x 2 verilmişke X i koşullu varyası deir. Koşullu beklee değeri e basit durumları içi yapıla bu taımlamalar daha geel durumlara da kolayca geişletilebilir.yapılması gereke, beklee değer ile ilgili verile öceki taımlarda olasılık (yoğuluk ) foksiyoları yerie koşullu olasılık (yoğuluk) foksiyolarıı yazmaktır. Örek: X, X 2, X 3 vektörüü olasılık yoğuluk foksiyou, fx, x 2, x 3 2 ex 3, x x 2 2, x 3, d. y. olsu. x, 2 içi X x verilmişke X 2, X 3 ü koşullu dağılımıı olasılık yoğuluk

35 foksiyou, f X2, X 3 /X x x 2, x 3 fx, x 2, x 3 f X x, x 2 2 x, x 3, d. y. e x 3 2 x, x 2 2 x, x 3, d. y. Öreği X verilmişke X 2, X 3 ü koşullu olasılık yoğuluk foksiyou, f X2, X 3 /X x 2, x 3 e x 3, x 2, x 3, d. y. Bua göre, EX 2 X 3 /X x 2 x 3 e x 3 dx3 dx 2 EX 2 X 3 /X x 2 dx 2 x 3 e x 3 dx3 /2 x 2 x 3 e x 3 dx3 dx 2 x 2 EX 2 /X e x 3 dx3 dx 2 x 3 e x 3 dx3 3/2 x 2 e x 3 dx3 dx 2 /2 elde edilir. Ayrıca, EX 3 /X x 3 e x 3 dx3 dx 2 EX 2 X 3 /X EX 2 /X EX 3 /X olduğua dikkat edi. X verilmişke X, X 2, X 3 ü koşullu olasılık yoğuluk foksiyou,

36 f X,X 2,X 3 /X x, x 2, x 3 2 ex 3 PX, x x 2 2 x, x 3, d. y. 2 3 ex 3, x x 2 2 x, x 3, d. y. ve X verilmişke X 2 i koşullu (marjial) olasılık yoğuluk foksiyou, f X2 /X x 2 2, x x 2, x 2 2, d. y. olmak üzere, 2 EX 2 /X 2 x 3 2 dx 2 2 x x 2 dx 2 7/9 X x ve X 3 x 3 x 2, x 3 verilmişke X 2 i koşullu olasılık yoğuluk foksiyou, f X2 /X x,x 3 x 3 x 2 2 ex x e x 3, x 2 2 x, d.y. 2 x, x 2 2 x, d.y. olmak üzere, öreği X ve X 3 içi, EX 2 /X 2, X 3 x 2 dx 2 /2 dir. x 2 ve x 3 içi X x, X 3 x 3 verilmişke X 2 i koşullu beklee değeri,

37 2x EX 2 /X x, X 3 x 3 x 2 dx 2 x 2 2 x 2 Teorem: a, b R,X, Y, Z bir rasgele vektör olmak üzere: a) EaY b/x x aey/x x b b) EY Z/X x EY/X x EZ/X x c) EY a 2 /X x EY EY/X x 2 /X x EY/X x a 2 Đspat: (Ödev) Örek: X, Y i olasılık yoğuluk foksiyou, fx, y x y, x, y, d.y. olsu. x, içi X x verilmişke Y i koşullu beklee değeri, EY/X x yf Y/Xx ydy y y fx, y f X x dy x y x /2 dy 3x 6x 2 3 x 2/3 2x X i verilmiş x değeri içi EY/X x bir sayı Acak g :, x gx EY/X x x 2/3 2x döüşümü yardımıyla tamamlaa EY/X gx foksiyou bir rasgele değişkedir. Şimdi bu rasgele değişkei beklee değerii bulalım.

38 EEY/X EgX gxf X xdx x 2/3 x /2dx 2x x 2/3 dx 7/2 2 Diğer tarafta EY 7/2 dir. Bu soucu geel halde ispatlayalım. Teorem: X, Y iki boyutlu bir rasgele vektör olmak üzere, EY EEY/X Đspat: Đspatı sürekli rasgele değişkeler içi verelim. EEY/X EY/X xf X xdx yf Y/Xx yf X xdydx Bu teoremi bir soucu olarak, yfx, ydydx EY VarY EY 2 EY 2 EEY 2 /X EEY/X 2 yazılabilir. Bir rasgele değişkei beklee değerii veya varyasıı bulumasıda ikici bir rasgele değişke ile koşulladırılarak yapıla hesaplama birçok yerde kolaylık sağlamakta Örek: Belli bir atıcı içi hedefi vurma olasılığı p, p olsu. Atıcı, hedef ilk isabetii alıcaya kadar atışlar yapmaya kararlı Atışları birbiride bağımsız olduğu varsayımı altıda atıcıı yapacağı atışları sayısıı beklee değeri edir? Y, gerekli atışları sayısı y, 2, X, birici atıştaki isabet sayısı, x,

39 olsu. EY EEY/X EY/X PX EY/X PX ve olmak üzere, de pey/x pey/x EY/X EY, EY/X EY p pey p EY p buluur. Örek:, arlığıda gelişigüzel bir sayı X seçildikte sora x, aralığıda gelişigüzel bir sayı Y seçilmektedir. Burada gelişigüzel sözcüğü ile kastedile X ve Y /Xx i olsılık yoğuluk foksiyolarıı, f X x, x, d. y. biçimide olması ve, f Y/Xx y EY/X x EY EEY/X x x, x y, d. y. y x dy 2 x olmak üzere, EY/X X 2

40 EY E X EX 2 2 xdx 3 4 elde edilir. EY/X i bir rasgele değişke olarak yorumlamasıa bezer biçimde; X x verilmişke VarY/X x bir reel sayı olmak üzere, g : R R, gx VarY/X x yardımıyla taımlaa VarY/X gx, X i bir foksiyou ola bir rasgele değişkedir. Teorem: X, Y iki boyulu bir rasgele vektör olmak üzere, VarY EVarY/X VarEY/X Đspat: VarY EY EY 2 EEY EY 2 /X olmak üzere, Teorem 4.5. c) de, her x D X içi, EY EY 2 /X x EY EY/X x 2 /X x EY/X x EY 2 yai, EY EY 2 /X EY EY/X 2 /X EY/X EY 2 olduğuda, VarY/X EY/X EEY/X 2 VarY EVarY/X EEY/X EEY/X 2 EVarY/X VarEY/X Örek: N, değer kümesi doğal sayılar ola bir rasgele değişke, X, X 2,,X, N rasgele değişkeleri bağımsız, X i ler ayı dağılımlı ve olmak üzere, EX i EX, VarX i VarX, i, 2,,

41 rasgele değişkei içi, Y X X 2 X N EY/N EX X 2 X EX VarY/N VarX X 2 X VarX EY/N NEX, VarY/N NVarX EEY/N ENEX ENEX EVarY/N ENVarX ENVarX Y rasgele değişkei beklee değeri ve varyası EY ENEX VarY EVarY/N VarEY/N olarak elde edlir. ENEX VarNEX 2 Teorem: X ve Y bağımsız ise EY/X x EY Đspat: Sürekli rasgele değişkeler içi, EY/X x yf Y/Xx ydy ve kesikli rasgele değişkeleri içi, yf Y ydy EY EY/X x yf Y/Xx y y yf Y y EY y Bu teoremde görüldüğü gibi X ve Y bağımsız ise,

42 gx EY/X x olarak belirlee g foksiyou bir sabit foksiyodur ve her x D X içi gx EY dir. Böylece X ve Y bağımsız ise EY/X EY Teorem: X ve Yortak dağılıma sahip rasgele değişkeler, EX 2, EhX 2, h : D X R R olmak üzere, EY hx 2 değerii miimum yapa h foksiyou hx EY/X x ile belirlee foksiyodur. Đspat: Đspatı X, Y i sürekli durumu içi yapalım. EY hx 2 y hx 2 fx, ydxdy y hx 2 f X xf Y/Xx ydxdy f X xy hx 2 f Y/Xx ydy Bu itegrali h foksiyoları üzeride miimize etmek içi, x i bir ifadesi ola, EY hx 2 /X x y hx 2 f Y/Xx ydy itegralii her x içi miimum yapa h foksiyou bulmaya çalışalım. Verilmiş x değeri içi hx bir reel sayı EY hx 2 /X x EY EY/X x 2 /X x EY/X x hx 2 olmak üzere, hx EY/X x içi EY hx 2 /X x miimuma ulaşmakta Böylece, EY hx 2 değerii miimum yapa h foksiyou ile belirlee foksiyodur. Alışılagelmiş olarak, hx EY/X x hx EY/X x ifadesie (foksiyoua) Y i X üzerideki regresyo deklemi deilmektedir. dx Örek: X, Y i olasılık yoğuluk foksiyou,

43 fx, y 2,, d.y. x, y a, b R 2 : a 2 b 2, b olsu. f X x 2 x2, x, d.y. f Y y 4 y2, y, d.y. y, içi, f X/Yy x, y 2 x y 2 2 y 2 x, içi, olmak üzere, f Y/Xx y, d.y., y x 2 x 2, d.y. x 2 EY/X x y x dy x EX/Y y x y 2 y 2 dx y 2 Regresyo deklemlerii belirlediği eğriler aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

44 Örek: X, Y i olasılık yoğuluk foksiyou, fx, y 2, x, y a, b R 2 : b a 2, d.y. olsu. f X x x 2, x 2, d.y. olmak üzere x, 2 içi,, f Y y 2 y 2, y 2, d.y. x, y x y, 2 içi, f Y/Xx y f X/Yy x, d.y. 2 y, y x 2, d.y. ve EY/X x y x dy 2 x EX/Y y x 2 y x 2 y dx y 2 2 Regresyo deklemlerii belirlediği eğriler (doğrular) aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

45 Örek: X, Y i olasılık foksiyou, fx, y 5, x, y,,,,2,,3,,4,,,,2,,3,, olsu. 4,,2, 2,3, 2,4, 2,3, 3,4, 3,4, 4 f X x x 5, x,, 2, 3, 4 f Y y 5 y, y,, 2, 3, 4 5 olmak üzere, x,, 2, 3, 4 içi, f Y/Xx y x, y,,,x ve y,, 2, 3, 4 içi, EY/X x x y y x x 2 f X/Yy x, x y, y,,4 5 y dır EX/Y y 4 xy x 5 y y 4 2 Eğer h foksiyou x i lieer bir ifadesi, yai hx EY/X x a bx a, b biçimide alırsa, EY hx 2 i h üzeride miimizasyou problemi, Qa, b EY a bx 2 i a ve b üzeride miimizasyoua döüşmektedir. Bir a içi b i tesbit edilmiş olduğuu varsayalım. O zama EY bx a 2 yi miimum yapa a değeri, olur. Böyle belirlemiş a ile a EY bx EY bex EY a bx 2 EY EY bx EX 2 Bu ifadeyi miimum yapa b değeri, Y 2 2 X,Y X Y b X 2 b 2 b X,Y Y X

46 Burada, a EY X,Y Y X EX buluur. Bu durumda EY a bx 2 i alabileceği miimum değer, mi EY a a,b bx2 2 Y 2 X,Y X Y Y X,Y X 2 X Y X,Y X 2 2 Y 2 2 X,Y Koşullu beklee değeri kullaıldığı yerlerde bir başkası koşulladırılarak yapıla olasılık hesabı A, bir,u, P olasılık uzayıda bir olay ve I A, A, A olmak üzere X I A rasgele değişkeii göz öüe alalım. EX PA ve herhagi bir Y rasgele değişkei içi, Burada, EX/Y y PA/Y y, PY y PA EX EEX/Y EX/Y Yf Y y y yazılır. Y i sürekli olması durumuda da, yazılabilir. PA/Y yf Y y y PA PA/Y yf Y ydy Örek: X ve Y bağımsız ve sürekli rasgele değişkeler olsu. PX Y olasılığı içi,

47 PX Y PX Y/Y yf Y ydy PX y/y yf Y ydy PX yf Y ydy ve PX Y a, a R olasılığı içi, F X yf Y ydy PX Y a PX Y a/y yf Y ydy PX y a/y yf Y ydy PX a yf Y ydy F X a yf Y ydy PROBLEMLER. Olasılık foksiyoları aşağıda verile dağılımları birici, ikici, üçücü mometlerii, beklee değerlerii ve varyaslarıı buluuz. a) fx /5, x 2,,,, 2 b) fx /5, x,, 2, 3, 4

48 c) fx 6 4 x, x,, 2, 3, 4 d) fx 4 x 4 x 3 4 4x, x,, 2, 3, 4 e) fx 4 x 2 4 x x, x 2,,,, 2 f) fx x 6, x 2,,,, 2 g) fx x 2, x 2,,,, 2 2. Olasılık yoğuluk foksiyoları aşağıda verile dağılımları birici, ikici, üçücü mometlerii, beklee değerlerii ve varyaslarıı buluuz. a) fx /4, 2 x 2, d. y. b) fx /4, x 4, d. y. c) fx 2 x, 2 x 2 4, d. y. d) fx 2 x 2, x 4 4, d. y.

49 e) fx x, 2 x 2 4, d. y. f) fx x 2, 2 x 2 8, d. y. 3., 2, 3, 4, 5 rakamları birer kağıt parçasıa yazılıp bir kavaoza atılsı. Kavaozda ayı ada üç tae kağıt parçası alıdığıda: X gele sayılar arasıda e küçüğü, Y gele sayılar arasıda e büyüğü, Ugele sayılar arasıda ortacası, V gele sayıları toplamı, Wgele sayıları e büyüğü ile e küçüğü arasıdaki fark olmak üzere, EX, EY, EU, EV, EW değerlerii buluuz. 4., 2,, sayıları birer kâğıt parçasıa yazılıp bir kavaoza atılsı. a) Kavaozda ayı ada r tae r kâğıt parçası alıdığıda gele e küçük sayı X olsu. EX r olduğuu gösteriiz. b) Kavaozda, çekilei yie yerie koyarak ard arda r tae kâğıt parçası çekildiğide gele e küçük sayı X olsu. r r r EX 2 olduğuu gösteriiz. 5. X rasgele değişkei olasılık foksiyou,

50 fx pq x, x, 2, p q, p olsu. X i k ici çarpımsal mometii buluuz. Yol gösterme: xx x k p x p k x dk dp k p x x 6. Belli bir atıcı içi, hedef ilk isabetii alıcaya kadar yaptığı atışları sayısı X rasgele değişkei olsu. X i olasılık foksiyouu fx 3 x 2, x, 2, 5 5 olduğu bilisi. Bu atıcı, hedef ilk isabetii alıcaya kadar atış yapmaya kararlı Harcaa her mermii değeri a ve kazaıla hedefi değeri b olduğua göre atıcıı kazacıı beklee değeri edir? 7. X rasgele değişkei olasılık foksiyou, fx e x, x,, 2,, x! olsu. X i k ici çarpımsal mometii buluuz. 8. X rasgele değişkei olasılık yoğuluk foksiyou, fx x, x,,, d. y. olsu. X i mometlerii varlığıı arştırıız. 9. X rasgele değişkei olasılık yoğuluk foksiyou, fx cx x, x,,, d. y. olsu. c sabitii değerii buluuz. EX,, 2, olduğuu gösteriiz ve EX ile VarX değerlerii buluuz.. Bir X rasgele değişkei beklee değeri EX olsu. c R içi, E X c 2 E X EX 2 EX c 2 olduğuu gösteriiz. E X c 2 yi miimum yapa c değerii buluuz.

51 . X rasgele değişkei olasılık yoğuluk foksiyou x c doğrusua göre simetrik x R içi fc x fc x olsu. Mevcut olması halide, ve olduğuu gösteriiz. EX c E X c 2,, 2, 2. lim T T si at t dt 2 2, a, a olduğuu gösteriiz. Yol gösterme: T si x x T dx si x T e ux du si xe ux dx dx du 3. X rasgele değişkei olasılık foksiyou fx pq x, x, 2, p q, p olsu. X i karakteristik foksiyouu buluuz ve EX ile VarX değerlerii bu foksiyo yardımıyla elde ediiz. 4. X rasgele değişkei olasılık yoğuluk foksiyou, fx 2 e x, x olsu. X i karakteristik foksiyouu buluuz ve EX ile VarX değerlerii bu foksiyo yardımıyla elde ediiz. 5. Sürekli X rasgele değişkei karakteristik foksiyou, X t e t, t olsu. X i olasılık yoğuluk foksiyouu buluuz. 6. X rasgele değişkei olasılık yoğuluk foksiyou

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6.

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6. Problemler 3 i Çözümleri Problemler 3 i Çözümleri Aşağıdaki özellikleri kaıtlamaızı ve buu yaıda daha fazla soyut kaıt vermeizi isteyeceğiz. h.h. eşitliğii ölçümü sıfır ola bir kümei tümleyei üzeride eşit

Detaylı

İşlenmemiş veri: Sayılabilen yada ölçülebilen niceliklerin gözlemler sonucu elde edildiği hali ile derlendiği bilgiler.

İşlenmemiş veri: Sayılabilen yada ölçülebilen niceliklerin gözlemler sonucu elde edildiği hali ile derlendiği bilgiler. OLASILIK VE İSTATİSTİK DERSLERİ ÖZET NOTLARI İstatistik: verileri toplaması, aalizi, suulması ve yorumlaması ile ilgili ilkeleri ve yötemleri içere ve bu işlemleri souçlarıı probabilite ilkelerie göre

Detaylı

Tahmin Edici Elde Etme Yöntemleri

Tahmin Edici Elde Etme Yöntemleri 6. Ders Tahmi Edici Elde Etme Yötemleri Öceki derslerde ve ödevlerde U(0; ) ; = (0; ) da¼g l m da, da¼g l m üst s r ola parametresi içi tahmi edici olarak : s ra istatisti¼gi ve öreklem ortalamas heme

Detaylı

7. Ders. Bazı Kesikli Olasılık Dağılımları

7. Ders. Bazı Kesikli Olasılık Dağılımları Hatırlatma: ( Ω, U, P) bir olasılık uzayı ve 7. Ders Bazı Kesikli Olasılık Dağılımları : Ω ω R ( ω) foksiyou Borel ölçülebilir, yai B B içi { ω Ω : ( ω) B } U oluyorsa foksiyoua bir Rasgele Değişke deir.

Detaylı

TAHMİNLEYİCİLERİN ÖZELLİKLERİ Sapmasızlık 3.2. Tutarlılık 3.3. Etkinlik minimum varyans 3.4. Aralık tahmini (güven aralığı)

TAHMİNLEYİCİLERİN ÖZELLİKLERİ Sapmasızlık 3.2. Tutarlılık 3.3. Etkinlik minimum varyans 3.4. Aralık tahmini (güven aralığı) 3 TAHMİNLEYİCİLERİN ÖZELLİKLERİ 3.1. Sapmasızlık 3.. Tutarlılık 3.3. Etkilik miimum varyas 3.4. Aralık tahmii (güve aralığı) İyi bir tahmi edici dağılımı tahmi edilecek populasyo parametresie yakı civarda

Detaylı

5 İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİF. DENKLEMLERİN SERİ ÇÖZÜMLERİ

5 İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİF. DENKLEMLERİN SERİ ÇÖZÜMLERİ 5 İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİF. DENKLEMLERİN SERİ ÇÖZÜMLERİ Bir lieer deklemi geel çözümüü bulmak homoje kısmı temel çözümlerii belirlemesie bağlıdır. Sabit katsayılı diferasiyel deklemleri temel çözümlerii

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferasiyel Deklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulumak veya kullaım koşulları hakkıda bilgi içi http://ocw.mit.edu/terms web sitesii ziyaret ediiz.

Detaylı

12. Ders Büyük Sayılar Kanunları. Konuya geçmeden önce DeMoivre-Stirling formülünü ve DeMoivre-Laplace teoremini hatırlayalım. DeMoivre, genel terimi,

12. Ders Büyük Sayılar Kanunları. Konuya geçmeden önce DeMoivre-Stirling formülünü ve DeMoivre-Laplace teoremini hatırlayalım. DeMoivre, genel terimi, . Ders Büyü Sayılar Kauları Kouya geçmede öce DeMoivre-Stirlig formülüü ve DeMoivre-Laplace teoremii hatırlayalım. DeMoivre, geel terimi, a!,,, 3,... e ola dizii yaısa olduğuu göstermiş, aca limitii bulamamış.

Detaylı

Rasgele Vektörler Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları

Rasgele Vektörler Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları 4.Ders Rasgele Vektörler Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları Tanım:,U, P bir olasılık uzayı ve X, X,,X n : R n X, X,,X n X, X,,X n olmak üzere, her a, a,,a n R n için : X i a i, i,, 3,,n U özelliği sağlanıyor

Detaylı

POLİNOMLAR. reel sayılar ve n doğal sayı olmak üzere. n n. + polinomu kısaca ( ) 2 3 n. ifadeleri polinomun terimleri,

POLİNOMLAR. reel sayılar ve n doğal sayı olmak üzere. n n. + polinomu kısaca ( ) 2 3 n. ifadeleri polinomun terimleri, POLİNOMLAR Taım : a0, a, a,..., a, a reel sayılar ve doğal sayı olmak üzere P x = a x + a x +... + a x + a x + a biçimideki ifadelere x e bağlı reel katsayılı poliom (çok terimli) deir. 0 a 0 ax + a x

Detaylı

Örnek 2.1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III. Markov Süreçleri Ders 7. Koşulsuz Durum Olasılıkları. Örnek 2.1

Örnek 2.1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III. Markov Süreçleri Ders 7. Koşulsuz Durum Olasılıkları. Örnek 2.1 Örek.1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III Markov Süreçleri Ders 7 Yrd. Doç. Dr. Beyazıt Ocakta Web site: ocakta.bau.edu.tr E-mail: bocakta@gmail.com Reault marka otomobil sahilerii bir soraki otomobillerii de Reault

Detaylı

Bağımsızlık özelliğinden hareketle Ortak olasılık fonksiyonu (sürekli ise

Bağımsızlık özelliğinden hareketle Ortak olasılık fonksiyonu (sürekli ise YTÜ-İktisat İstatistik II Örekleme ve Öreklem Dağılımları BASİT RASSAL ÖRNEKLEME N tae ese arasıda taelik bir öreklem seçilmesii istediğii düşüelim. eseli olaaklı her öreklemi seçilme şasıı eşit kıla seçim

Detaylı

4. Ders Fisher informasyonu s f rdan büyük ve sonlu, yani 0 < I() < 1; R f(x; )dx (kesikli da¼g l mlarda R yerine P.

4. Ders Fisher informasyonu s f rdan büyük ve sonlu, yani 0 < I() < 1; R f(x; )dx (kesikli da¼g l mlarda R yerine P. 4. Ders tkilik Küçük varyasl olmak, tahmi edicileri vazgeçilmez bir özelli¼gidir. Bir tahmi edicii, yal veya yas z, küçük varyasl olmas isteir. Parametrei kedisi () veya bir foksiyou (g()) ile ilgili tahmi

Detaylı

3. Ders Parametre Tahmini Tahmin Edicilerde Aranan Özellikler

3. Ders Parametre Tahmini Tahmin Edicilerde Aranan Özellikler 3. Ders Parametre Tahmii Tahmi Edicilerde Araa Özellikler Gerçek düyada rasgelelik olgusu içere bir özellik ile ilgili ölçme işlemie karş l k gele X rasgele de¼gişkeii olas l k (yo¼guluk) foksiyou, F ff(;

Detaylı

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYLARI

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYLARI 6. BÖLÜM VEKTÖR LARI -BOYUTLU (ÖKLİT) I Taım: Eğer pozitif bir tam sayı ise sıralı -sayı, gerçel sayılar kümesideki adet sayıı (a 1, a 2,, a ) bir dizisidir. Tüm sıralı -sayılarıı kümesi -boyutlu uzay

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler...

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler... İÇİNDEKİLER Ö Söz... Poliomlar... II. ve III. Derecede Deklemler... Parabol... 9 II. Derecede Eşitsizlikler... 8 Trigoometri... 8 Logaritma... 59 Toplam ve Çarpım Sembolü... 7 Diziler... 79 Özel Taımlı

Detaylı

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+...

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+... MC formülüü doğruluğuu tümevarım ilkesi ile gösterelim. www.matematikclub.com, 00 Cebir Notları Gökha DEMĐR, gdemir@yahoo.com.tr Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri Tümevarım Metodu : Matematikte kulladığımız

Detaylı

TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR

TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR 1.1. Kümeler ve Foksiyolar A ı bir elemaıa B i yalız bir elemaıı eşleye bağıtıya bir foksiyo deir. f : A B, Domf = U A ve ragef B dir. Taım 1.1.1. f : A B foksiyou içi V A olsu.

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Ders 3: MERKEZİ EĞİLİM VE DAĞILMA ÖLÇÜLERİ Prof. Dr. İrfa KAYMAZ Taım Araştırma souçlarıı açıklamasıda frekas tablosu ve poligou isteile bilgiyi her zama sağlamayabilir. Verileri

Detaylı

5. Ders Yeterlilik. f(x 1 ; x 2 ; :::; x n ; ) = g (T (x 1 ; x 2 ; :::; x n ); ) h(x 1 ; x 2 ; :::; x n )

5. Ders Yeterlilik. f(x 1 ; x 2 ; :::; x n ; ) = g (T (x 1 ; x 2 ; :::; x n ); ) h(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) 5. Ders Yeterlilik Yeterlilik Ilkesi: Bir T(X ; X ; :::; X ) istatisti¼gi, hakk da yeterli bir istatistik olacaksa hakk da herhagi bir souç ç kar m T arac l ¼g ile (X ; X,...,X ) öreklemie ba¼gl olmal

Detaylı

BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER

BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ İkici bölümde verileri frekas tablolarıı hazırlaması ve grafikleri çizilmesideki esas amaç; gözlemleri doğal olarak ait oldukları populasyo dağılışıı belirlemek ve dağılışı geel özelliklerii

Detaylı

POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK. Derleyen Osman EKİZ Eskişehir Fatih Fen Lisesi 1. GİRİŞ

POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK. Derleyen Osman EKİZ Eskişehir Fatih Fen Lisesi 1. GİRİŞ POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK Derleye Osma EKİZ Eskişehir Fatih Fe Lisesi. GİRİŞ Poliomları idirgeebilmesi poliomları sıfırlarıı bulmada oldukça öemlidir. Şimdi poliomları idirgeebilmesi ile ilgili bazı

Detaylı

{ 1 3 5} { 2 4 6} OLASILIK HESABI

{ 1 3 5} { 2 4 6} OLASILIK HESABI OLASILIK HESABI Bu derste, uygulamalarda sıkça karşılaşıla, Olasılık Uzaylarıda bazılarıa değieceğiz ve verilmiş bir Olasılık Uzayıda olasılık hesabı yapacağız. Ω. Ω solu sayıda elemaa sahip olsu. Ω {

Detaylı

ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ

ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ Lokma Gökçe Olimpiyat problemlerii çözümüde eşitsizlik teorisi öemli bir yer tutar. Baze bir maksimum miimum değer problemide, baze bir geometrik eşitsizlik kaıtıda, baze

Detaylı

1. Tabanı 2a büyük eksenli, 2b küçük eksenli elips ile sınırlanan ve büyük eksene dik her kesiti kare olan cismin 16ab 2 hacmini bulunuz.

1. Tabanı 2a büyük eksenli, 2b küçük eksenli elips ile sınırlanan ve büyük eksene dik her kesiti kare olan cismin 16ab 2 hacmini bulunuz. MAT -MATEMATİK (5-5 YAZ DÖNEMİ) ÇALIŞMA SORULARI. Tabaı a büyük ekseli, b küçük ekseli elips ile sıırlaa ve büyük eksee dik her kesiti kare ola cismi 6ab hacmii buluuz. Cevap :. y = ve y = eğrileri ile

Detaylı

Analiz II Çalışma Soruları-2

Analiz II Çalışma Soruları-2 Aaliz II Çalışma Soruları- So gücelleme: 04040 (I Aşağıdaki foksiyoları (ilgili değişkelere göre türevlerii buluuz 7 cos π 8 log (si π ( si ta e 9 4 5 6 + cot 0 sec sit t si( e + e arccos ( e cos(ta (II

Detaylı

H.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı Kısım Bir Reel Değişkeli Foksiyolar Teorisi Prof.Dr.Hüseyi Çakallı 3 H.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı Reel

Detaylı

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI Projesii Kousu: Bir çekirgei metre, metre veya 3 metre zıplayarak uzuluğu verile bir yolu kaç farklı şekilde gidebileceği ya da bir kişii veya (veya 3) basamak atlayarak basamak sayısı verile bir merdivei

Detaylı

Ki- kare Bağımsızlık Testi

Ki- kare Bağımsızlık Testi PARAMETRİK OLMAYAN İSTATİSTİKSEL TEKNİKLER Prof. Dr. Ali ŞEN Ki- kare Bağımsızlık Testi Daha öceki bölümlerde ölçümler arasıdaki ilişkileri asıl iceleeceğii gördük. Acak sıklıkla ilgileile veriler ölçüm

Detaylı

( 1) ( ) işleminde etkisiz eleman e, tersi olmayan eleman t ise te kaçtır? a) 4/3 b) 3/4 c) -3 d) 4 e) Hiçbiri

( 1) ( ) işleminde etkisiz eleman e, tersi olmayan eleman t ise te kaçtır? a) 4/3 b) 3/4 c) -3 d) 4 e) Hiçbiri V MERSİN MATEMATİK OLİMPİYATI (ÜNV ÖĞR) I AŞAMA SINAV SORULARI ( Nisa 8) de ye taımlı, birebir ve örte f ve g foksiyoları her bir içi koşuluu sağlası g( a ) = ve f ( ) ( ) ( ) f = g a 4 = a ise a sayısı

Detaylı

Diziler ve Seriler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV

Diziler ve Seriler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV Diziler ve Seriler Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üiteyi çalıştıkta sora; dizi kavramıı taıyacak, dizileri yakısaklığıı araştırabilecek, sosuz toplamı alamıı bilecek, serileri yakısaklığıı

Detaylı

BÖLÜM III. Kongrüanslar. ise a ile b, n modülüne göre kongrüdür denir ve

BÖLÜM III. Kongrüanslar. ise a ile b, n modülüne göre kongrüdür denir ve BÖLÜM III Kogrüaslar Taım 3. N sabit bir sayı, a, b Z olma üzere, eğer ( a b) ise a ile b, modülüe göre ogrüdür deir ve a b(mod ) şelide gösterilir. Asi halde, yai F ( a b) ise a ile b ye modülüe göre

Detaylı

OLĐMPĐYATLARA HAZIRLIK ĐÇĐN DOĞRUSAL ĐNDĐRGEMELĐ DĐZĐ PROBLEMLERĐ ve ÇÖZÜMLERĐ (L. Gökçe)

OLĐMPĐYATLARA HAZIRLIK ĐÇĐN DOĞRUSAL ĐNDĐRGEMELĐ DĐZĐ PROBLEMLERĐ ve ÇÖZÜMLERĐ (L. Gökçe) OLĐMPĐYATLARA HAZIRLIK ĐÇĐN DOĞRUSAL ĐNDĐRGEMELĐ DĐZĐ PROBLEMLERĐ ve ÇÖZÜMLERĐ (L. Gökçe) Matematikte sayı dizileri teorisii ilgiç bir alt kolu ola idirgemeli diziler kousu olimpiyat problemleride de karşımıza

Detaylı

TÜME VARIM Bu bölümde öce,kısaca tümevarım yötemii, sorada ÖYS de karşılamakta olduğumuz sembolüü ve sembolüü ele alacağız. A. TÜME VARIM YÖNTEMİ Tümevarım yötemii ifade etmede öce, öerme ve doğruluk kümesi

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Ders 3: MERKEZİ EĞİLİM VE DAĞILMA ÖLÇÜLERİ Prof. Dr. İrfa KAYMAZ Taım Araştırma souçlarıı açıklamasıda frekas tablosu ve poligou isteile bilgiyi her zama sağlamayabilir. Verileri

Detaylı

18.06 Professor Strang FİNAL 16 Mayıs 2005

18.06 Professor Strang FİNAL 16 Mayıs 2005 8.6 Professor Strag FİNAL 6 Mayıs 25 ( Pua) P,..., P R deki oktalar olsu. ( ai, ai2,..., a i) P i i koordiatlarıdır. Bütü P i oktasıı içere bir cx +... + cx = hiperdüzlemi bulmak istiyoruz. a) Bu hiperdüzlemi

Detaylı

(Sopphie Germain Denklemi) çarpanlarına ayırınız. r s + t r s + t olduğunu ispatlayınız. + + + + olduğunu. + + = + + eşitliğini ispatlayınız.

(Sopphie Germain Denklemi) çarpanlarına ayırınız. r s + t r s + t olduğunu ispatlayınız. + + + + olduğunu. + + = + + eşitliğini ispatlayınız. Sayılar Teorisi Kouları Geel Sıavları www.sbelia.wordpress.com SINAV I(IDENTITIES WITH SQUARES) 4 4. a 4b (Sopphie Germai Deklemi) çarpalarıa ayırıız.. 4 4 = A ise A ı sadece = durumuda asal olduğuu ispatlayıız..

Detaylı

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI Bezetimi e öemli faydalarıda birisi, uygulamaya koymada öce alteratifleri karşılaştırmaı mümkü olmasıdır. Alteratifler; Fabrika yerleşim tasarımları Alteratif üretim

Detaylı

Yrd.Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd.Doç. Dr. Mustafa Akkol komşuluğu: Taım: ; isteildiği kadar küçük seçilebile poziti bir sayı olmak üzere a a açık aralığıa a R sayısıı komşuluğu deir Örek : Taım: a a a a ve 0 00 olsu ' i 0 00 0 00 999 00 : Z R bir dizi deir

Detaylı

REGRESYON DENKLEMİNİN HESAPLANMASI Basit Doğrusal Regresyon Basit doğrusal regresyon modeli: .. + n gözlem için matris gösterimi,. olarak verilir.

REGRESYON DENKLEMİNİN HESAPLANMASI Basit Doğrusal Regresyon Basit doğrusal regresyon modeli: .. + n gözlem için matris gösterimi,. olarak verilir. 203-204 Bahar REGRESYON DENKLEMİNİN HESAPLANMASI Basit Doğrusal Regresyo Basit doğrusal regresyo modeli: y i = β 0 + β x i + ε i Modeli matris gösterimi, y i = [ x i ] β 0 β + ε i şeklidedir. x y 2 gözlem

Detaylı

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI µ µ içi Güve Aralığı ALTERNATİF İTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMAI Bezetimi e öemli faydalarıda birisi, uygulamaya koymada öce alteratifleri karşılaştırmaı mümkü olmasıdır. Alteratifler; Fabrika yerleşim tasarımları

Detaylı

AKTÜERLK SINAVLARI OLASILIK VE STATSTK SINAVI ÖRNEK SORULARI. için. 01 olaslk younluk fonksiyonu aa daki seçeneklerden hangisinde yer.

AKTÜERLK SINAVLARI OLASILIK VE STATSTK SINAVI ÖRNEK SORULARI. için. 01 olaslk younluk fonksiyonu aa daki seçeneklerden hangisinde yer. SORU : AKTÜERLK SINAVLARI OLASILIK VE STATSTK SINAVI ÖRNEK SORULARI X raslat deikeii olas l k youluk foksiyou 8x, x f(x) = 0, ö.d olarak verilmitir. Bua göre 0< y içi Y = raslat deikeii X olaslk youluk

Detaylı

Fonksiyonlarda Limit. Dizi fonksiyonu, tanım kümesindeki bütün 1, 2, 3,, n, sayma sayılarına, sırasıyla

Fonksiyonlarda Limit. Dizi fonksiyonu, tanım kümesindeki bütün 1, 2, 3,, n, sayma sayılarına, sırasıyla Foksiyolarda Limit Foksiyolarda it: Bu bölümde y f ( ) foksiyou ve sayısı verildiğide, bağımsız değişkei sayısıa (solda veya sağda) yaklaşırke ya da sosuza yaklaşırke, foksiyou da bir L sayısıa (veya ya

Detaylı

İSTATİSTİK 2. Tahmin Teorisi 07/03/2012 AYŞE S. ÇAĞLI. aysecagli@beykent.edu.tr

İSTATİSTİK 2. Tahmin Teorisi 07/03/2012 AYŞE S. ÇAĞLI. aysecagli@beykent.edu.tr İSTATİSTİK 2 Tahmi Teorisi 07/03/2012 AYŞE S. ÇAĞLI aysecagli@beyket.edu.tr İstatistik yötemler İstatistik yötemler Betimsel istatistik Çıkarımsal istatistik Tahmi Hipotez testleri Nokta tahmii Aralık

Detaylı

Problem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4. PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisan 2010 LİSE - PROBLEMLERİ

Problem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4. PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisan 2010 LİSE - PROBLEMLERİ PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisa 2010 LİSE - PROBLEMLERİ c Copyright Titu Adreescu ad Joatha Kae Çeviri. Sibel Kılıçarsla Casu ve Fatih Kürşat Casu Problem 1 m ve aralarıda asal pozitif tam sayılar

Detaylı

Kuyruk Teorisi Ders Notları: Bazı Kuyruk Modelleri

Kuyruk Teorisi Ders Notları: Bazı Kuyruk Modelleri uyruk Teorisi Ders Notları: Bazı uyruk Modelleri Mehmet YILMAZ mehmetyilmaz@akara.edu.tr 10 ASIM 2017 11. HAFTA 6 Çok kaallı, solu N kapasiteli, kuyruk sistemi M/M//N/ Birimleri sisteme gelişleri arasıdaki

Detaylı

M Ü H E N D İ S L E R İ Ç İ N S AY I S A L YÖ N T E M L E R

M Ü H E N D İ S L E R İ Ç İ N S AY I S A L YÖ N T E M L E R İ H S A N T İ M U Ç İ N D O L A P C İ, Y İ Ğ İ T A K S O Y M Ü H E N D İ S L E R İ Ç İ N S AY I S A L YÖ N T E M L E R P U B L I S H E R O F T H I S B O O K Copyright 13 İHSAN TİMUÇİN DOLAPCİ, YİĞİT AKSOY

Detaylı

ÖRNEKLEME TEORİSİ VE TAHMİN TEORİSİ

ÖRNEKLEME TEORİSİ VE TAHMİN TEORİSİ İSTATİSTİKSEL TAHMİNLEME VE İSTATİSTİKSEL YORUMLAMA TAHMİNLEME SÜRECİ VE YORUMLAMA SÜRECİ ÖRNEKLEME TEORİSİ VE TAHMİN TEORİSİ ÖRNEKLEME VE ÖRNEKLEME ÖRNEKLEME DAĞILIMLARI VE ÖRNEKLEME DAĞILIMLARI Yorumlama

Detaylı

BAĞINTI VE FONKSİYON

BAĞINTI VE FONKSİYON BAĞINTI VE FONKSİYON SIRALI N-Lİ x, x, x,..., x tae elema olsu. ( x, x, x,..., x ) yazılışıda elemaları sırası öemli ise x, x, x,..., x ) e sıralı -li deir. x, x, x,..., x ) de ( x (, x, x ( x, ) sıralı

Detaylı

TĐCARĐ MATEMATĐK - 5.2 Bileşik Faiz

TĐCARĐ MATEMATĐK - 5.2 Bileşik Faiz TĐCARĐ MATEMATĐK - 5 Bileşik 57ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER: Örek 57: 0000 YTL yıllık %40 faiz oraıyla yıl bileşik faiz ile bakaya yatırılmıştır Bu paraı yılı souda ulaşacağı değer edir? IYol: PV = 0000 YTL = PV (

Detaylı

2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır?

2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır? 017 LYS MATEMATİK DENEMESİ Soru Sayısı: 50 Sınav Süresi: 75 ı 1. 4. (1+ 5 ) 1+ 5 işleminin sonucu kaçtır? A) 5 B)3 5 C)+ 5 işleminin sonucu kaçtır? D)3+ 5 E)1+ 5 A) B) 1 C) 1 D) E) 3. 4 0,5.16 0,5 işleminin

Detaylı

Öğrenci Numarası İmzası: Not Adı ve Soyadı

Öğrenci Numarası İmzası: Not Adı ve Soyadı Öğreci Numarası İmzası: Not Adı ve Soyadı SORU 1. a) Ekoomii taımıı yapıız, amaçlarıı yazıız. Tam istihdam ile ekoomik büyüme arasıdaki ilişkiyi açıklayıız. b) Arz-talep kauu edir? Arz ve talep asıl artar

Detaylı

2013 BİRİNCİ SEVİYE AKTÜERLİK SINAVLARI MATEMATİK

2013 BİRİNCİ SEVİYE AKTÜERLİK SINAVLARI MATEMATİK 03 BİRİNCİ SEVİYE AKTÜERLİK SINAVLARI MATEMATİK A SORU : lim x 8x 9 (x 3) x ifadsii dğri aşağıdaki sçklrd hagisid vrilmiştir? 0 5 7 SORU : cosax x f x foksiyouu x=0 oktasıda sürkli olması içi f(0) ı dğri

Detaylı

İSTATİSTİK I KAVRAMLARININ

İSTATİSTİK I KAVRAMLARININ YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme İSTATİSTİK I KAVRAMLARININ GÖZDEN GEÇİRİLMESİ Hüseyin Taştan Yıldız Teknik Üniversitesi, İktisat Bölümü, email: tastan@yildiz.edu.tr YTÜ-İktisat İstatistik

Detaylı

PROJE RAPORU. PROJENİN ADI: Karmaşık Sayıların n. Dereceden Kökler Toplamı ve Trigonometrik Yansımaları

PROJE RAPORU. PROJENİN ADI: Karmaşık Sayıların n. Dereceden Kökler Toplamı ve Trigonometrik Yansımaları PROJE RAPORU PROJENİN ADI: Karmaşık Sayıları. Derecede Kökler Toplamı ve Trigoometrik Yasımaları PROJENİN AMACI: Karmaşık sayıı karekökleri toplamı sıfırdır. Peki. derecede kök toplamı içi de geçerli miydi?

Detaylı

( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİKLERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z.

( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİKLERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z. KÜME KAVRAMI Küme matematiği taımsız bir kavramıdır. Acak kümeyi, iyi taımlamış kavram veya eseler topluluğu diye tarif edebiliriz. Kümeler A, B, X, K,... gibi büyük harflerle Bir kümeyi oluştura eseleri

Detaylı

1. ÇÖZÜM YOLU: (15) 8 = = 13 13:2 = :2 = :2 = 1.2+1

1. ÇÖZÜM YOLU: (15) 8 = = 13 13:2 = :2 = :2 = 1.2+1 . ÇÖZÜM YOLU: (5) 8 =.8+5 = 3 3:2 = 6.2+ 6:2 = 3.2+0 3:2 =.2+ En son bölümden başlayarak kalanları sıralarız. (5) 8 = (0) 2 2. ÇÖZÜM YOLU: 8 sayı tabanında verilen sayının her basamağını, 2 sayı tabanında

Detaylı

ISF404 SERMAYE PİYASALARI VE MENKUL KIYMETYÖNETİMİ

ISF404 SERMAYE PİYASALARI VE MENKUL KIYMETYÖNETİMİ 8. HAFTA ISF404 SERMAYE PİYASALARI VE MENKUL KIYMETYÖNETİMİ PORTFÖY YÖNETİMİ II Doç.Dr. Murat YILDIRIM muratyildirim@karabuk.edu.tr Geleeksel Portföy Yaklaşımı, Bu yaklaşıma göre portföy bir bilim değil,

Detaylı

İkinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler

İkinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler A(x)y + B(x)y + C(x)y = F (x) (5) Denklem (5) in sağ tarafında bulunan F (x) fonksiyonu, I aralığı üzerinde sıfıra özdeş ise, (5) denklemine lineer homogen; aksi taktirde lineer homogen olmayan denklem

Detaylı

VII. OLİMPİYAT SINAVI. Sınava Katılan Tüm Talebe Arkadaşlara Başarılar Dileriz SORULAR k polinomu ( )

VII. OLİMPİYAT SINAVI. Sınava Katılan Tüm Talebe Arkadaşlara Başarılar Dileriz SORULAR k polinomu ( ) Sıava Katıla Tüm Talebe Arkadaşlara Başarılar Dileriz SORULAR 2 997. ( )( )( ) ( ) ( ) k x x x... k. x... 997. x poliomu ( ) a x a x... a x, a 0 ve k < k

Detaylı

TÜMEVARIM. kavrayabilmek için sonsuz domino örneği iyi bir modeldir. ( ) domino taşını devirmek gibidir. P ( k ) Önermesinin doğru olması halinde ( 1)

TÜMEVARIM. kavrayabilmek için sonsuz domino örneği iyi bir modeldir. ( ) domino taşını devirmek gibidir. P ( k ) Önermesinin doğru olması halinde ( 1) TÜMEVARIM Matematite ulladığımız teoremleri ispatlamasıda pe ço ispat yötemi vardır. Özellile doğal sayılar ve birço ouda ispatlar yapare tümevarım yötemii sıça ullaırız. Tümevarım yötemii P Öermesii doğruluğuu

Detaylı

v = ise v ye spacelike vektör,

v = ise v ye spacelike vektör, D.P.Ü. Fe Bilimleri Estitüsü 1. ayı Mayıs 6 emi-pozitif Ortogoal Matrisler içi Alteratif İi Yötem WO ALERNAIVE MEHOD FOR EMI-POIIVE OROGONAL MARICE B. BÜKCÜ* *Gaziosmapaşa Üiversitesi, Fe-Edebiyat Faültesi,

Detaylı

T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI

T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI GAUSS BALANS VE GAUSS KOBALANS SAYILARI ÜZERİNE YÜKSEK LİSANS TEZİ MUSTAFA YILMAZ DENİZLİ, TEMMUZ - 07 T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ

Detaylı

İstatistik I Ders Notları

İstatistik I Ders Notları İstatistik I Ders Notları Sürekli Rassal Değişkenler Hüseyin Taştan Kasım 2, 26 İçindekiler Sürekli Rassal Değişkenlerin Özellikleri 2 2 Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu 2 Birikimli Olasılık Fonksiyonu 6 4

Detaylı

Matematik Olimpiyatları İçin

Matematik Olimpiyatları İçin KONU ANLATIMLI Matematik Olimpiyatları İçi İdirgemeli Diziler, Kombiatorik ve Cebirsel Uygulamaları LİSE MATEMATİK OLİMPİYATLARI İÇİN Lokma Gökçe, Osma Ekiz İdirgemeli Diziler ve Uygulamaları Lokma Gökçe,

Detaylı

h)

h) ĐZMĐR FEN LĐSESĐ TÜMEVARIM-DĐZĐLER-SERĐLER ÇALIŞMA SORULARI TÜME VARIM:. Aşağıdaki ifadelerde geel bir kural çıkarabilir misiiz? a) p()= ++4 poliomuda değişkeie 0,,,, değerleri verdiğimizde elde edile

Detaylı

Örnek Bir zar atıldığında zarın üstünde bulunan noktaların sayısı gözlensin. Çift sayı gelmesi olasılığı nedir? n(s) = 3 6 = 1 2

Örnek Bir zar atıldığında zarın üstünde bulunan noktaların sayısı gözlensin. Çift sayı gelmesi olasılığı nedir? n(s) = 3 6 = 1 2 Bir Olayın Olasılığı P(A) = n(a) n(s) = A nın eleman sayısı S nin eleman sayısı Örnek Bir zar atıldığında zarın üstünde bulunan noktaların sayısı gözlensin. Çift sayı gelmesi olasılığı nedir? Çözüm: S

Detaylı

Venn Şeması ile Alt Kümeleri Saymak

Venn Şeması ile Alt Kümeleri Saymak Ve Şeması ile lt Kümeleri Saymak Osma Ekiz Bu çalışmada verile bir kümei çeşitli özellikleri sağlaya alt küme veya alt kümlerii ve şeması yardımıyla saymaya çalışacağız. Temel presibimiz aradığımız alt

Detaylı

İstatistiksel Kavramların Gözden Geçirilmesi

İstatistiksel Kavramların Gözden Geçirilmesi İstatistiksel Kavramların Gözden Geçirilmesi Anlamlı Basamaklar Konusu ve Olasılık Ekonometri 1 Konu 1 Sürüm 2,0 (Ekim 2011) UADMK Açık Lisans Bilgisi İşbu belge, Creative Commons Attribution-Non-Commercial

Detaylı

KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG 15 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının

Detaylı

İSTATİSTİK DERS NOTLARI

İSTATİSTİK DERS NOTLARI Balıkesir Üiversitesi İşaat Mühedisliği Bölümü umutokka@balikesir.edu.tr İSTATİSTİK DERS NOTLARI Yrd. Doç. Dr. Umut OKKAN idrolik Aabilim Dalı Balıkesir Üiversitesi İşaat Mühedisliği Bölümü Bölüm 5 Örekleme

Detaylı

İstatistik Nedir? Sistem-Model Kavramı

İstatistik Nedir? Sistem-Model Kavramı İstatistik Nedir? İstatistik rasgelelik içere olaylar, süreçler, sistemler hakkıda modeller kurmada, gözlemlere dayaarak bu modelleri geçerliğii sıamada ve bu modellerde souç çıkarmada gerekli bazı bilgi

Detaylı

Appendix B: Olasılık ve Dağılım Teorisi

Appendix B: Olasılık ve Dağılım Teorisi Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ekonometri I Ders Notları Ders Kitabı: J.M. Wooldridge, Introductory Econometrics A Modern Approach, 2nd. edition, Thomson Learning Appendix B: Olasılık ve Dağılım

Detaylı

5. Ders. Dağılımlardan Rasgele Sayı Üretilmesi Ters Dönüşüm Yöntemi

5. Ders. Dağılımlardan Rasgele Sayı Üretilmesi Ters Dönüşüm Yöntemi 5. Drs Dağılımlarda Rasgl Sayı Ürtilmsi Trs Döüşüm Yötmi sürkli bir rasgl dğişk v bu rasgl dğişki dağılım foksiyou olsu. Dağılımı dstk kümsi üzrid dağılım foksiyou arta v bir-bir bir foksiyo olmaktadır.

Detaylı

YTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I Ders Notları

YTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I Ders Notları Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ekonometri I Ders Kitabı: J.M. Wooldridge, Introductory Econometrics A Modern Approach, 2nd. edition, Thomson Learning Appendix B: Olasılık ve Dağılım Teorisi

Detaylı

YTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I Ders Notları

YTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I Ders Notları Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ekonometri I Ders Kitabı: J.M. Wooldridge, Introductory Econometrics A Modern Approach, 2nd. edition, Thomson Learning Appendix B: Olasılık ve Dağılım Teorisi

Detaylı

ÖZET Doktora Tezi KISITLI DURUM KALMAN FİLTRESİ VE BAZI UYGULAMALARI Esi KÖKSAL BABACAN Akara Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü İstatistik Aabilim Dal

ÖZET Doktora Tezi KISITLI DURUM KALMAN FİLTRESİ VE BAZI UYGULAMALARI Esi KÖKSAL BABACAN Akara Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü İstatistik Aabilim Dal ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ KISITLI DURUM KALMAN FİLTRESİ VE BAZI UYGULAMALARI Esi KÖKSAL BABACAN İSTATİSTİK ANABİLİM DALI ANKARA 2009 Her hakkı saklıdır ÖZET Doktora Tezi

Detaylı

A) π B) 4 π C) 9 π D) 16 π E ) π 6. Çözüm: Yanıt:A. 5. ax +by+ 5 = 0 } denklemlerini aynı zamanda. Çözüm: Yanıt:B

A) π B) 4 π C) 9 π D) 16 π E ) π 6. Çözüm: Yanıt:A. 5. ax +by+ 5 = 0 } denklemlerini aynı zamanda. Çözüm: Yanıt:B . +? + + işlemii soucu aşağıdakilerde xy } y 5,x 4 5x 4y Ç 6y +7x 6.5+7.4 58 cm Yaıt:C hagisie eşittir? A) 7 B) 4 C) 7 4 D) 7 7 E ) 7 4. Aşağıda alaları verile dairelerde hagisii alaı sayıca çevresie eşittir?

Detaylı

Standart Formun Yapısı. Kanonik Form. DP nin Formları SİMPLEX YÖNTEMİ DP nin Düzenleniş Şekilleri. 1) Optimizasyonun anlamını değiştirme

Standart Formun Yapısı. Kanonik Form. DP nin Formları SİMPLEX YÖNTEMİ DP nin Düzenleniş Şekilleri. 1) Optimizasyonun anlamını değiştirme 5.0.06 DP i Düzeleiş Şekilleri DP i Formları SİMPLEX YÖNTEMİ ) Primal (özgü) form ) Kaoik form 3) Stadart form 4) Dual (ikiz) form Ayrı bir kou olarak işleecek Stadart formlar Simplex Yötemi içi daha elverişli

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açı Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerde alıtı yapma veya Kullaım Koşulları haıda bilgi alma içi http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.aciders.org.tr adresii ziyaret ediiz. 18.102

Detaylı

MATEMATİK ANABİLİM DALI

MATEMATİK ANABİLİM DALI ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ Serka ÖKTEN -NORMLU UZAYLAR MATEMATİK ANABİLİM DALI ADANA, 00 ÖZ YÜKSEK LİSANS TEZİ -NORMLU UZAYLAR Serka ÖKTEN ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN

Detaylı

Bölüm 5: Hareket Kanunları

Bölüm 5: Hareket Kanunları Bölüm 5: Hareket Kauları Kavrama Soruları 1- Bir cismi kütlesi ile ağırlığı ayımıdır? 2- Ne zama bir cismi kütlesi sayısal değerce ağırlığıa eşit olur? 3- Eşit kollu terazi kütleyi mi yoksa ağırlığı mı

Detaylı

Herhangi bir rastgele değişken için kümülatif dağılım fonksiyonu/cumulative distribution function (KDF/CDF) şu şekilde tanımlanır.

Herhangi bir rastgele değişken için kümülatif dağılım fonksiyonu/cumulative distribution function (KDF/CDF) şu şekilde tanımlanır. Kümülatif Dağılım Fonksiyonları Herhangi bir rastgele değişken için kümülatif dağılım fonksiyonu/cumulative distribution function (KDF/CDF) şu şekilde tanımlanır. F X (x) = P (X x) = x f X(x ) dx Sürekli

Detaylı

ÇÖZÜM.1. S.1. Uyarılmış bir hidrojen atomunda Balmer serisinin H β çizgisi gözlenmiştir. Buna göre,bunun dışında hangi serilerin çizgileri gözlenir?

ÇÖZÜM.1. S.1. Uyarılmış bir hidrojen atomunda Balmer serisinin H β çizgisi gözlenmiştir. Buna göre,bunun dışında hangi serilerin çizgileri gözlenir? KONU:ATOM FİĞİ ebuyukfizikci@otmail.com HAIRLAYAN ve SORU ÇÖÜMLERİ:Amet Selami AKSU Fizik Öğretmei www.fizikvefe.com S.1. Uyarılmış bir idroje atomuda Balmer serisii H β çizgisi gözlemiştir. Bua göre,buu

Detaylı

(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM

(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM EŞİTSİZLİKLER A. TANIM f(x)>0, f(x) - eşitsizliğinin

Detaylı

SAYILAR DERS NOTLARI Bölüm 1 / 3 SAYILAR DERS NOTLARI KONU BASLIKLARI:

SAYILAR DERS NOTLARI Bölüm 1 / 3 SAYILAR DERS NOTLARI KONU BASLIKLARI: www.testhae.com SAYILAR DERS NOTLARI Bölüm / 3 SAYILAR DERS NOTLARI KONU BASLIKLARI: -RAKAM -SAYI -DOGAL SAYILAR -SAYMA SAYILARI -ÇFT DOGAL SAYILAR -TEK DOGAL SAYILAR -ARDISIK DOGAL SAYILAR -ARDISIK ILK

Detaylı

{ 1 3 5} UYGULAMA-2 OLASILIK HESABI { } i, i = 1, 2,, n elemanına aşağıdaki özelliklere sahip bir p. her bir ω. sayısı karşılık getirilsin.

{ 1 3 5} UYGULAMA-2 OLASILIK HESABI { } i, i = 1, 2,, n elemanına aşağıdaki özelliklere sahip bir p. her bir ω. sayısı karşılık getirilsin. UYGULAMA- OLASILIK HESABI Ω. Ω solu sayıda elemaa sahip olsu. Ω { ω, ω,, ω }, U olmak üzere, Ω ı her bir ω i, i,,, elemaıa aşağıdaki özelliklere sahip bir p i sayısı karşılık getirilsi. ) p 0, i,,...,

Detaylı

T.C. BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI. Yüksek Lisans Tezi GENELLEŞTİRİLMİŞ NÖRLUND TOPLANABİLME METODU.

T.C. BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI. Yüksek Lisans Tezi GENELLEŞTİRİLMİŞ NÖRLUND TOPLANABİLME METODU. T.C. BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI Yüksek Lisas Tezi GENELLEŞTİRİLMİŞ NÖRLUND TOPLANABİLME METODU Elif SERİN Tez Daışmaı Yrd. Doç. Dr.Abdullah SÖNMEZOĞLU Yozgat 202

Detaylı

Bu bölümde birkaç yak nsak dizi örne i daha görece iz.

Bu bölümde birkaç yak nsak dizi örne i daha görece iz. 19B. Yak sak Gerçel Dizi Örekleri Bu bölümde birkaç yak sak dizi öre i daha görece iz. Verdi imiz örekleri her biri hem kedi bafl a hem de kulla la yötem aç s da öemlidir. Örek 19B.1. lim 1/ = 1. Ka t:

Detaylı

1. O(0,0) merkezli, 3 birim yarıçaplı. 2. x 2 +y 2 =16 denklemi ile verilen. 3. O(0,0) merkezli ve A(3,4)

1. O(0,0) merkezli, 3 birim yarıçaplı. 2. x 2 +y 2 =16 denklemi ile verilen. 3. O(0,0) merkezli ve A(3,4) HAZİNE-1 Düzlemde sabit M(a,b) noktasından eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yeri, M merkezli R yarıçaplı çemberdir. HAZİNE-2 O(0,0) merkezli, R yarıçaplı çemberin denklemi; x 2 +y 2 =R 2 dir.

Detaylı

Permütasyon Kombinasyon Binom Aç l m. Olas l k ve statistik. Karmafl k Say lar

Permütasyon Kombinasyon Binom Aç l m. Olas l k ve statistik. Karmafl k Say lar 0 0 0 Gerçek Say lar Kümesii Geiflletme Gere i Kümesi Aalitik Düzlemde Gösterilmesi Efllei i Modülü da fllemler ki Karmafl k Say Aras daki Uzakl k Karmafl k Say Geometrik Yeri Kutupsal Gösterimi Karmafl

Detaylı

Bileşik faiz hesaplamalarında kullanılan semboller basit faizdeki ile aynıdır. Temel formüller ise şöyledir:

Bileşik faiz hesaplamalarında kullanılan semboller basit faizdeki ile aynıdır. Temel formüller ise şöyledir: 1 BİLEŞİK FAİZ: Basit faiz hesabı kısa vadeli(1 yılda az) kredi işlemleride uygulaa bir metot idi. Ayrıca basit faiz metoduda her döem içi aapara sabit kalmakta olup o döem elde edile faiz tutarı bir soraki

Detaylı

Birden Fazla RDnin Bileşik Olasılık Fonksiyonları

Birden Fazla RDnin Bileşik Olasılık Fonksiyonları Birden Fazla RDnin Bileşik Olasılık Fonksiyonları Birden fazla x 1, x 2,..., x n gibi RDlerimiz olsun. Bunların bileşik olasılık fonksiyonları kesikli ve rastgele RDler için sırasıyla şu şekilde tanımlanır

Detaylı

A= {1,2,3}, B={1,3,5,7}kümeleri veriliyor. A dan B ye tanımlanan aşağıdaki bağıntılardan hangisi fonksiyon değildir?

A= {1,2,3}, B={1,3,5,7}kümeleri veriliyor. A dan B ye tanımlanan aşağıdaki bağıntılardan hangisi fonksiyon değildir? ÖRNEK 1 : A= {1,,}, B={1,,5,7}kümeleri veriliyor. A da B ye taımlaa aşağıdaki bağıtılarda hagisi foksiyo değildir? A) {(1,), (,5), (,7)} B) {(1,), (1,5), (,1)} C) {(1,1), (,1), (,1)} D) {(1,5), (,1), (,7)}

Detaylı

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LISANS TEZİ MARKOV ZİNCİRLERİNDE BOOTSTRAP. Serhat DUMAN İSTATİSTİK ANABİLİM DALI ANKARA 2006

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LISANS TEZİ MARKOV ZİNCİRLERİNDE BOOTSTRAP. Serhat DUMAN İSTATİSTİK ANABİLİM DALI ANKARA 2006 ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LISANS TEZİ MARKOV ZİNCİRLERİNDE BOOTSTRAP Serhat DUMAN İSTATİSTİK ANABİLİM DALI ANKARA 26 Her hakkı saklıdır Yrd. Doç. Dr. İhsa KARABULUT u daışmalığıda,

Detaylı

Bu bölümde kan tlayaca m z teoremi, artan ve üstten s -

Bu bölümde kan tlayaca m z teoremi, artan ve üstten s - 18. S rl ve Arta Diziler Bu bölümde ka tlayaca m z teoremi, arta ve üstte s - rl bir gerçel say dizisii üsts ra çarpmas a ramak kal r biçimide özetleyebiliriz. (Üsts r kavram Bölüm 19 da görece iz.) flte

Detaylı

DÖNEM I BİYOİSTATİSTİK, HALK SAĞLIĞI VE RUH SAĞLIĞI DERS KURULU Ders Kurulu Başkanı : Yrd.Doç.Dr. İsmail YILDIZ

DÖNEM I BİYOİSTATİSTİK, HALK SAĞLIĞI VE RUH SAĞLIĞI DERS KURULU Ders Kurulu Başkanı : Yrd.Doç.Dr. İsmail YILDIZ DÖNEM I BİYOİSTATİSTİK, HALK SAĞLIĞI VE RUH SAĞLIĞI DERS KURULU Ders Kurulu Başkaı : Yrd.Doç.Dr. İsmail YILDIZ ARAŞTIRMADA PLANLAMA VE ÇÖZÜMLEME (03-09 Ocak 014 Y.ÇELİK) Araştırma Süreci (The research

Detaylı

T.C. YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ. f-cebirlerinin İKİNCİ SIRALI DUALİ VE BANACH A-MODÜLLERİ ÜZERİNDEKİ A-LİNEER OPERATÖRLER

T.C. YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ. f-cebirlerinin İKİNCİ SIRALI DUALİ VE BANACH A-MODÜLLERİ ÜZERİNDEKİ A-LİNEER OPERATÖRLER T.C. YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ -CEBİRLERİNİN İKİNCİ SIRALI DUALİ VE BANACH A-MODÜLLERİ ÜZERİNDEKİ A-LİNEER OPERATÖRLER ESRA ULUOCAK DOKTORA TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI MATEMATİK

Detaylı

DOKTORA TEZİ. Ali ÇEVİK

DOKTORA TEZİ. Ali ÇEVİK ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ MATRİS ORTOGONAL POLİNOMLARININ ve MATRİS FONKSİYONLARININ BAZI ÖZELLİKLERİ Ali ÇEVİK MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 9 Her hakkı saklıdır ÖZET Doktora

Detaylı

( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİK- LERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z.

( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİK- LERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z. KÜME KAVRAMI Küme matematiği taımsız bir kavramıdır. Acak kümeyi, iyi taımlamış kavram veya eseler topluluğu diye tarif edebiliriz. Kümeler A, B, X, K,... gibi büyük harflerle gösterilir. Bir kümeyi oluştura

Detaylı