ILMO c sbelianwordpress@gmail.com. İstanbul Liseler Arası Matematik Olimpiyatı (ILMO) sorularından bir

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "ILMO 2009. c www.sbelian.wordpress.com sbelianwordpress@gmail.com. İstanbul Liseler Arası Matematik Olimpiyatı (ILMO) sorularından bir"

Tolga Sancaklı
7 yıl önce
İzleme sayısı:

1 İstabul L ıseler Arası Matemat ık Ol ımp ıyatı ILMO 9 Çözümler ı c sbeliawordpress@gmail.com Her yıl KOÇ Üiversitesi Bi Topluluğu Öğreci Klübü tarafıda düzelee, İstabul Liseler Arası Matematik Opiyatı (ILMO) sorularıda bir kısmıı soruları ve ayrıtılı çözümleri verilmiştir. Soruları bazılarıda şıklar verilirke bazılarıda gerek duyulmamıştır. Soruları tamamamıı yayı hakkı sadece yarışmayı orgaize ede kişi yada kuruma aittir. Kolay gelsi. SBELIAN Σ

sorularıda bir kısmıı soruları ve ayrıtılı çözümleri verilmiştir.

2 Soru. x ve y pozitif tamsayıları, ( + ) x + y, şeklide taımlaırsa x y itii soucu kaç olur? Çözüm. ( + ) x + y ( ) x y eşitlikleri kullaılırsa x y Bua göre, x ( ) y x Bua göre, Burada da, x olarak it değeri buluur. ( y x y x ) ( ) y x Soru. Derecesi 5 ola bir P (x) poliomu P (), P () /, P () /, P () /4, P (4) 4/5 ve P (5) 5/6 şartlarıı sağlıyorsa, P (6) kaçtır? Çözüm. Geelliği bozmada P (x) x ifadesii düşüe. Fakat bu ifade bir x+ poliom değildir. Bua göre g(x) (x + ) P (x) x foksiyoua bakalım. P (x) i derecesi 5 ise g(x) i derecesi 6 Kökleri ise,,,, 4, 5 Bua göre, aslıda g(x) poliom foksiyou formuda Burada, g (x) c x (x ) (x ) (x ) (x 4) (x 5), c R c x (x ) (x ) (x ) (x 4) (x 5) (x + ) P (x) x olduğua göre x içi c 6! olarak buluacaktır. Bezer biçimde x 6 alıırsa, 6! P (6) 6 eşitliğide P (6) olarak buluur. Not. Bu soruu bir diğer çözümüde Lagrage Iterpolasyo tekiği iledir. Ayrıtılı Bu belge sbelia.wordpress.com a aittir. c

Derecesi 5 ola bir P (x) poliomu P (), P () /, P () /, P () /4, P (4) 4/5 ve P (5) 5/6 şartlarıı sağlıyorsa, P (6) kaçtır? Çözüm. Geelliği bozmada P (x) x ifadesii düşüe.

3 örekler içi David Satos u Juior Problem Semiar kitabıda sayfa a bakılabilir. Bezer bir soru 7 Cahit Arf Matematik Güleri de öğrecilere sorulmuştu. Soru. x (x + ) (x + 5) (x + 7) y deklemii sağlaya (x, y) tamsayı ikililerii sayısıı buluuz. Çözüm. Verile deklem düzeleirse, (x + 7x) (x + 7x + ) y Eğer x + 7x t olarak alıırsa, t + t y olacağıda ifade (t + 5 y) (t y) 5 olarak yazılabilir. Eğer tüm çarpa ikilileri yai, çiftlerie bakılırsa,,isteile ikililer olarak buluur. (, 5), (5, 5), (5, ), ( 5, ), ( 5, 5), (, 5) (, ), ( 8, ), (, ), (, ), (, ), ( 8, ), ( 5, ), ( 7, ) Soru 4. 9 olacak şekilde ve iki pozitif tamsayıı kareleri farkı biçimide yazılamaya kaç tae sayısı vardır? Çözüm 4. Çözüme modüler aritmetik metodu ile gide. İki tamkare sayıı farkıı icelersek a, (mod4) Bua göre a, b Z + olmak üzere a b,, (mod4) Bua göre geriye sadece (mod4) altıda kalaıı vereler kalır. Demek ki bu sayılar soruda verile durumu sağlamıyorlar. Aralıkta toplam 5 tae (mod4) altıda kalaı vere sayı vardır. Ayrıca, ve 4 sayılarıda varsa tae sayı iki pozitif tamsayıı kareleri farkı olarak yazılamaz. Soru 5. itegralii değeri kaçtır? π/ + (cot x) dx Çözüm 5. Daha geel bir çözüm içi r olarak alırsak sorumuz I π/ + (cot x) r dx π/ si r x si r x + cos r x dx Bu belge sbelia.wordpress.com a aittir. c

Verile deklem düzeleirse, (x + 7x) (x + 7x + ) y Eğer x + 7x t olarak alıırsa, t + t y olacağıda ifade (t + 5 y) (t + 5 + y) 5 olarak yazılabilir.

4 [, π/] aralığıda cos(π/ x) six ve si(π/ x) cosx olduğua göre, I π/ cos r x si r x + cos r x dx olarakta yazılabilir. Eğer bu iki itegrali toplarsak I π/ cos r x + si r x si r x + cos r x dx π/ dx I π ve I π 4 Soru 6. x 4 + x 7 + poliomu içi verilelerde hagileri doğrusur. I. Gerçel kökü vardır. II. Karmaşık kökü vardır. III. Tamsayı katsayılı poliomlar halkasıda idirgeemez (Çarpalarıa ayrılamaz) bir poliomdur. IV. Tüm kökleri birim çember üzeridedir. Çözüm 6. Eğer verile poliomu çarpalarıa ayırırsak, (x + x + )(x x + x 9 x 8 + x 6 x 4 + x x + ) poliomu elde edilir. İkici derecede poliom ola ilk çarpaı diskrimiatıı egatif olduğu açıktır. O halde karmaşık kökleri vardır. Eğer x 7 A değişke değiştirmesi yapılırsa tüm köklerii birim çember üzeride olduğuu görmekte zor değildir. Bua göre II. ve IV. maddeler doğrudur. Soru çarpımıı 59 ile bölümüde kala kaçtır? Çözüm ( 58) ( 56) 5 ( 54) ( ) ( 57) 58 (mod59) olur. Soru 8. x + y + z eşitliği ile taımlaa düzlemi xy düzlemii keserek oluşturduğu dar açı α ise ta α edir? Çözüm 8. cos α A A + B B + C C A + B + C A + B + C Bu belge sbelia.wordpress.com a aittir. 4 c

Karmaşık kökü vardır. III. Tamsayı katsayılı poliomlar halkasıda idirgeemez (Çarpalarıa ayrılamaz) bir poliomdur. IV. Tüm kökleri birim çember üzeridedir. Çözüm 6.

5 ise cos α ise ta α olur. Soru 9. m ve (m, ) (m +, ) olacak şekildeki m sayıları kaç taedir? Çözüm 9. 7 ise ϕ () 7 ( ) ( ) ( ) 7 7 Acak (m +, ) olmalıdır. Bua göre 7k, k, k, 7k, k, k sayıları arasıda asal Aralığa düşe bu formdaki sayıları çıkarırsak cevap 495 Soru. toplamıı hesaplayıız. 6 j [[ ]] 79i j [[ ]] 7j 79 Çözüm. Soruda verile ifadeyi düzeleyip yazarsak, Bua göre, 6 j 6 j + j [[ ]] 6j j 9 (j ) + j [[ 6j ]] Soru. m ve (m, ) olacak şekildeki sayıları sayısı φ() olsu (Euler phi foksiyou). Eğer, φ() ile tam bölüebiliyorsa, birbiride farklı kaç asal sayı ile bölüebilir? Çözüm. p α p α p α m m Yai φ () p α p α p αm m içi ) ) ( ( p p ( ) p m φ () p α p α p α m m (p ) (p ) (p m ) Bu belge sbelia.wordpress.com a aittir. 5 c

Soruda verile ifadeyi düzeleyip yazarsak, Bua göre, 6 j 6 j + j [[ ]] 6j + 7 9 j 9 (j ) + j [[ 6j ]] 79 6 + + + 9 4 9 + 9 44 Soru.

6 Bua göre, φ() ise (p ) (p ) (p m ) } {{ } p p p } {{ m } ift Sayı p olmak zoruda (p ) (p m ) p } {{ } p p } {{ m } m ile bölüür ile bölüür m ise m, te bu ifadeyi sağlar. Bua göre, birbiride farklı asal sayı ile bölüebilir. Soru. {,,,, } kümeside öyle 9 farkı sayı seçilebilsiki bu sayılar lük bir satraç tahtasıa herhagi iki komşu sayıda biri diğerii bölecek şekilde yerleştirilebilsi. Buu mümkü olabileceği i e küçük değeri kaçtır? Çözüm olarak seçimimizi gerçekleştirirsek sayısı e az 5 olur. Soru. Aahtarlığıda değişik aahtar bulua bir kişi, evii kapısıı açmak içi buları rastgele deemektedir. çalışmaya aahtarları bir keara ayırmaz ise, k ici deemede kapıyı açma olasılığı edir? Çözüm. k deemede tutturma olsılığı olur. k. deemede açma olasılığı ise ( )k k olur. ( ) k k ( )k k Soru 4. ( ) 48 x + x 9 a j x j açılımıda a + a + a a 47 kaçtır? Çözüm 4. f () ( + ) 9 a + a + a + + a 48 j f ( ) ( + + ) 9 a a + a + a 48 ifadeleride f() f( ) farkıı bulursak, f () f ( ) a + a + a a 47 9 Bu belge sbelia.wordpress.com a aittir. 6 c

{,,,, } kümeside öyle 9 farkı sayı seçilebilsiki bu sayılar lük bir satraç tahtasıa herhagi iki komşu sayıda biri diğerii bölecek şekilde yerleştirilebilsi.

7 olarak buluur. Soru 5. Düzlemde x + y R şartıı sağlaya tamsayı koordiatlı (x, y) oktalarıı sayısı S(R) olsu. R cos R R S (R) kaçtır? Lemma. Düzlemde x + y R şartıı sağlaya tamsayı koordiatlı (x, y) oktalarıı sayısı S(R) olarak verilsi. Bua göre, S (R) R R π Çözüm 5. R cos R R S (R) cos R R π π R cos R cos R olduğua göre soruda verile ifadei iti yoktur. Soru 6. toplamıı eşiti kaçtır? 4 k ( ) 9 k k + Çözüm 6. ( ) ( ) ( ) ( ) k k k toplamıı eşitii bulmaya çalışalım. Buu içide, [ ( ) ( ) 9 9 f (x) ( + x) 9 ( x) 9 x + x eşitliğii kullaalım. Eğer f foksiyouu türevii alırsak, [ ( ) ( ) 9 9 f (x) ( + x) 9 ( x) 9 + x ( )] x 9 9 ( )] x 8 9 eşitliğii elde ederiz. x olarak alırsak [( ) ( ) ( )] f () ( + ) + ( 4 + ) 9 Bu belge sbelia.wordpress.com a aittir. 7 c

R cos R R S (R) cos R R π π R cos R cos R olduğua göre soruda verile ifadei iti yoktur. Soru 6. toplamıı eşiti kaçtır? 4 k ( ) 9 k k + Çözüm 6.

8 eşitliği elde edilir. Eğer bu eşitlil düzeleirse, ve soruda ki eşitlik S olarak alıırsa, S + 8 eşitliği elde edilir. Burada da Soru 7. ifadesii eşitii buluuz. S 7 6 l () l ()! Eğer l () l ()! l ( ) l ()! ( ) l! ( ) l! ifadesii Taylor Açılımı ı yaparsak eşiti olarak ( l()) buluruz. Bua göre, l (! ) ( l ()) l Soru 8. Her x gerçel sayısı içi a +a x+ +a 99 x 99 +a x ( x + x x + x 49 + x 5) ( + x + x + x + + x 49 + x 5) olduğu bilidiğie göre a a m eşitliğii sağlaya (, m) tamsayı çifti (49, 5), (4, 57), (, 7), (, 45), (46, 5) çiftleride hagisi olamaz? Çözüm 7. Eğer soruda verile ifade düzeleirse, ifadei sağ kısmı + x + x 4 + x 6 + x x Bua göre soruda verile eşitliği sağ kısmıdaki herhagi katsayıı eşit olabilmesi içi katsayıları idislerii ikisiide çift veya ikisiide tek olması gerekir. Bua göre, a a a 4 a Bu belge sbelia.wordpress.com a aittir. 8 c

Her x gerçel sayısı içi a +a x+ +a 99 x 99 +a x ( x + x x + x 49 + x 5) ( + x + x + x + + x 49 + x 5) olduğu bilidiğie göre a a m eşitliğii sağlaya (, m) tamsayı çifti (49, 5), (4, 57), (, 7), (,

9 a a a 5 a 99 olacağıda sadece a 46 a 5 durumu olamaz. Sadece (46, 5) ikilisi eşitliği sağlamaz. Soru 9. x 5 mx + deklemii sağlaya iki farklı x gerçel sayısı olması içi m i alabileceği tüm değerleri oluşturduğu aralığı uzuluğu kaçtır? Çözüm 8. Eğer soruda verile eşitliği iki tarafıı da karesii alırsak m x + x(4m ) + 9 deklemii elde ederiz. Bu deklemi iki farklı köküü olabilmesi içi δ > olmalıdır. Bua göre, 8m m ( m + )(m + ) > olacağıda bu eşitsizliği çözüm aralığı -/ / -m + + _ m+ _ + + tablodada görüldüğü üzere ( /, /) aralığıdır. E uzu aralık ise / + / /5 Soru. Bir karei kearları 9 eşit parçaya bölüerek elde edile 9 9 luk bir tahtada oluşa farklı büyüklüklerdeki tüm kareleri sayısı kaçtır? a b. ( ) ( 9 + ) c d. 9 ( m ) ( m + ) e Çözüme başlamada öce, çözümde kullaacağımız bir lemma vere. Lemma. ( ) ( ) k +, m, N m m + km Bu belge sbelia.wordpress.com a aittir. 9 c

Eğer soruda verile eşitliği iki tarafıı da karesii alırsak m x + x(4m ) + 9 deklemii elde ederiz. Bu deklemi iki farklı köküü olabilmesi içi δ > olmalıdır.

10 Kaıt. ( ) k km m ( ) ( ) ( ) m m m m m ( ) ( ) ( ) ( ) m + m + m m + m m m ( ) ( ) ( ) ( ) m + m + m m + m m m. ( ) + m + ( ) + m + ( ) m Çözüm luk bir tahtaı üzerideki kareleri sayısı, ( 9 + ) 6 9 ( ) 6 9 ( 8 + ) 6 (8 9 ) + 9 ( 6 ) ( )! +!!7!!8! ( ) ( ) + Bu so eşitlikte ( ) ifadesii eşiti, lemmada dolayı olacağıda isteile cevap 9 m 9 m ( ) m ( ) m + ( ) Bu belge sbelia.wordpress.com a aittir. c

9 9 luk bir tahtaı üzerideki kareleri sayısı, + + + + 9 9 ( 9 + ) 6 9 ( 8 + + ) 6 9 ( 8 + ) 6 (8 9 ) + 9 ( 6 ) 8 9 9 + 6

11 Soru. boyutlu uzayda A { (x, y, z) : x + y, z 9 } A { (x, y, z) : x + y, y 9 } bölgeleri veriliyor. A B bölgesii hacmii buluuz., Çözüm. Eğer soruda verile ifadeleri düzelersek, { A x y } x, -9 z 9 B { x z } x, -9 y 9 Bua göre, A B { x y x, x z } x ise olacağıda olur. V A (x) x + x 4 ( x ) + 4 ( x ) dx 4 ) ( (x x4 8 ) 6 Soru. f(x), [, ] aralığıda taımlı ve azalmaya bir fosiyo olsu. Her x içi f(x/) f(x) ve f(x) + f( x) olduğu biliiyorsa, f(/) kaçtır? Çözüm. ( ) f + f Burada, eşitliği kullaılmıştır. ( ) f f ( ) ( ) 4 + f f (9/) ( ) 4 + f 4 ( ) f (/) f f (9/) 4 ( ) ( ) f olduğua göre, 7/4 f(9/) ise f(9/) 4/7 olacağıda, burada f (/) f (9/) 4 4/7 4 7 Bu belge sbelia.wordpress.com a aittir. c

V A (x) x + x 4 ( x ) + 4 ( x ) dx 4 ) ( (x x4 8 ) 6 Soru. f(x), [, ] aralığıda taımlı ve azalmaya bir fosiyo olsu.

Benzer belgeler

2014 LYS MATEMATİK. P(x) x 2 x 3 polinomunda. 2b a ifade- x lü terimin. olduğuna göre, katsayısı kaçtır? değeri kaçtır? ifadesinin değeri kaçtır? 4.

2014 LYS MATEMATİK. P(x) x 2 x 3 polinomunda. 2b a ifade- x lü terimin. olduğuna göre, katsayısı kaçtır? değeri kaçtır? ifadesinin değeri kaçtır? 4. 04 LYS MATEMATİK. a b b a ifade- ab olduğuna göre, sinin değeri kaçtır? 5. P() polinomunda katsayısı kaçtır? 4 lü terimin. ifadesinin değeri kaçtır? 4. yy y 4y y olduğuna göre, + y toplamının değeri kaçtır?