Kerem Köker / Kenan Osmanoğlu KPSS GEOMETRİ KONU ANLATIMLI KİTAP ISBN Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarına aittir.

Transkript

1

2 erem öker / enan Osmanğlu PSS GOMTRİ ONU NLTIMLI İTP ISN itapta yer alan bölümlerin tüm srumluluğu yazarına aittir. Pegem kademi u kitabın basım, yayın ve satış hakları Pegem kademi Yay. ğt. an. Hizm. Tic. Ltd. Şti.ne aittir. nılan kuruluşun izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri, kapak tasarımı; mekanik, elektrnik, ftkpi, manyetik, kayıt ya da başka yöntemlerle çğaltılamaz, basılamaz, dağıtılamaz. u kitap T.. ültür akanlığı bandrlü ile satılmaktadır. Okuyucularımızın bandrlü lmayan kitaplar hakkında yayınevimize bilgi vermesini ve bandrlsüz yayınları satın almamasını diliyruz. u kitapta yer alan geçmiş yıllarda ÖSYM'nin yapmış lduğu sınavlardaki ÇIMIŞ SORULR'ın her hakkı ÖSYM'ye aittir. Hangi amaçla lursa lsun, tamamının veya bir kısmının kpya edilmesi, ftğraflarının çekilmesi, herhangi bir ylla çğaltılması ya da kullanılması, yayımlanması ÖSYM'nin yazılı izni lmadan yapılamaz. Pegem kademi Yayıncılık telif ücreti ödeyerek bu izni almıştır. 27.askı: Temmuz 2015, nkara Yayın-Prje Yönetmeni: yşegül rğlu izgi-grafik Tasarım: Gülnur Öcalan apak Tasarımı: Gürsel vcı askı: yrıntı asım Yayın ve Matbaacılık Ltd. Şti İvedik Organize Sanayi 28. adde 770. Skak N: 105/ Yenimahalle/NR Yayıncı Sertifika N: Matbaa Sertifika N: İletişim aranfil 2 Skak N: 45 ızılay / NR Yayınevi: Yayınevi elgeç: ağıtım: ağıtım elgeç: Hazırlık ursları: İnternet: -ileti: pegem@pegem.net

3 SUNU eğerli daylar; u kitap amu Persneli Seçme Sınavı (PSS) Genel Yetenek Testinde önemli bir yer tutan Gemetri kapsamındaki 3 veya 4 sruyu etkili bir şekilde çözebilmeniz amacıyla hazırlanmıştır. itap, srulmuş ve srulması lası sruların titizlikle incelenmesiyle meydana getirilmiş lup; GOMTRİ - Gemetrik avramlar ve ğruda çılar, - Çkgenler ve örtgenler, - Çember ve aire, - nalitik Gemetri ve - atı isimler bölümlerinden luşmaktadır. itapta; bölümlerin sınav frmatına uygun ve sru çözümünü klaylaştıracak bir şekilde ele alınmasına ve bilgilerin açık ve anlaşılır bir dille ifade edilmesine özen gösterilmiştir. Her ünitenin snunda, - çıkmış srular ve - cevaplı testlere; yer verilmiştir. u kitabın hazırlanmasında yardım, destek ve katkılarını esirgemeyen Pegem kademi sınav kmisynuna teşekkürü bir brç biliriz. u kitap, uzun bir birikimin ve yğun bir emeğin ürünüdür. itapla ilgili görüş ve önerileriniz bu ürünün niteliğini daha da arttıracaktır. eğerli görüş ve önerilerinizi lütfen bizimle pegem@pegem.net aracılığıyla paylaşınız. itabın çalışmalarınızda yararlı lması dileğiyle, PSS de ve meslek hayatınızda başarılar. erem öker - enan Osmanğlu

4 İÇİNİLR 1. ÖLÜM GOMTRİ VRMLR V OĞRU ÇILR...1 Gemetrik avramlar...2 Tanımsız avramlar...2 çılar...2 çının Ölçüsü...2 çının üzlemde yırdığı ölgeler...2 çı Ölçü irimleri...2 erecenin lt irimleri...3 çı Çeşitleri...3 ar çı...3 ik çı...3 Geniş çı...3 ğru çı...3 Tam çı...3 mşu çılar...3 çırtay...3 Tümler çılar...4 ütünler çılar...4 Ters çılar...5 Paralel İki ğrunun ir esen ile Yaptığı çılar...5 Paralel İki ğrunun irden Çk esen İle Meydana Getirdiği çılar...5 enarları Paralel çılar...7 enarları ik çılar...7 Üçgenler...10 Üçgen Çeşitleri...10 çılarına Göre Üçgenler...10 enarlarına Göre Üçgenler...10 Üçgende Temel ve Yardımcı lemanlar...11 Yükseklik...11 çırtay...11 enarrtay...11 Üçgende çılar ile İlgili Özellikler...12 ik Üçgen...16 Pisagr Teremi...16 Öklid ağıntıları...17 enarlarına Göre Özel ik Üçgenler...18 çılarına Göre Özel ik Üçgenler...19 Üçgende çırtay Teremleri...21 İç çırtay Teremi...22 ış çırtay Teremi...23 Üçgende enarrtay Teremleri...25 ğırlık Merkezi...25 enarrtay ağıntıları...27 Özel Üçgenler...29 İkizkenar Üçgen...29 şkenar Üçgen...31 Üçgende lan...35 Üçgende enzerlik...40 çı çı çı enzerlik uralı...40 Tales Teremi...42 Temel Orantı Teremi...42 Çapraz Tales Teremi...43 enar çı enar enzerlik uralı...44 enar enar enar enzerlik uralı...45 Üçgende çı enar ağıntıları...48 Üçgen şitsizliği...48 Çıkmış Srular...53 evaplı Test evaplı Test evaplı Test evaplı Test evaplı Test evaplı Test evaplı Test evaplı Test evaplı Test evaplı Test evaplı Test evaplı Test evaplı Test ÖLÜM ÇOGNLR V ÖRTGNLR...83 Çkgenler...84 ışbükey ve İçbükey Çkgenler...84 üzgün Çkgen...85 örtgenler...90 örtgenlerde lan...91 Paralelkenar...93 Paralelkenarda lan...94 Paralelkenarın lan Özellikleri...94 Paralelkenarda Uzunluk İle İlgili Özellikler...96 şkenar örtgen...97 ikdörtgen...98

5 are Yamuk eltid İkizkenar Yamuk ik Yamuk eltid Çıkmış Srular evaplı Test evaplı Test evaplı Test evaplı Test evaplı Test ÖLÜM ÇMR V İR Çemberde çı Çemberde Yardımcı lemanlar Çemberde Yay ve çı Özellikleri Merkez çı Çevre çı Teğet iriş çı İç çı ış çı Çemberde iriş Yay Özellikleri irişler örtgeni Çemberde Uzunluk ir Nktanın ir Çembere Göre uvveti uvvet kseni İki Çemberin Ortak Teğetleri İki Çemberin irbirine Göre urumları Üçgenin Çemberleri Üçgenin İç Teğet Çemberi Üçgenin ış Teğet Çemberi Teğetler örtgeni airede lan airenin lanı ve Çevresi aire iliminin lanı Çember Yayının Uzunluğu aire esmesinin lanı aire Halkasının lanı Çemberde enzerlik Çıkmış Srular evaplı Test evaplı Test evaplı Test ÖLÜM NLİTİ GOMTRİ Nktanın nalitik İncelenmesi nalitik üzlem İki Nkta rasındaki Uzaklık ğrusal Nktalar ğrusal Olmayan Nktalar ğrunun nalitik İncelenmesi ğrunun ğim çısı ve ğimi ğrunun Grafiğinin Çizimi ğrunun enklemleri Özel ğrular İki ğrunun irbirine Göre urumları ğru emeti Simetriler Nktanın Simetriği ğrunun Simetriği şitsizlikler Çıkmış Srular evaplı Test ÖLÜM TI İSİMLR Prizma ikdörtgenler Prizması üp Silindir önel Silindir Piramit üzgün Piramit esik Piramit ni üre Çıkmış Srular evaplı Testler evaplı Testler

6 2015 PGM Mİ YYINLRIN YR LN 2015 PSS - NZR SORULR : c : m işleminin snucu kaçtır? ) 12 ) 6 ) 6 ) 12 ) 24 Lisans Mezunları İçin nu nlatımlı itap Sayfa 169 / 5. sru 5. 10! - 9! 8! + 7! işleminin snucu kaçtır? ) 64 ) 65 ) 68 ) 70 ) 72 Mdüler Sru ankası Sayfa 117 / Sru d1 + n işleminin snucu kaçtır? ) 5 ) 1 ) 1 ) 3 ) 5 Genel Yetenek Genel ültür Yaprak Test Test 12 / Sru 1 6. a b 8 c x Yanda verilen çarpma işleminde ab ile 8c iki basamaklı dğal sayılardır. una göre, a + b + c tplamı kaçtır? ) 17 ) 18 ) 19 ) 20 ) 21 Mdüler Sru ankası Sayfa 64 / Sru 16 işleminin snucu kaçtır? ) ) ) ) 5 1 ) 6 1 Mdüler Sru ankası Sayfa 174 / Sru ! - 24 $ 10! 10! + 5$ 9! işleminin snucu kaçtır? ) 84 ) 72 ) 70 ) 64 ) 60 Genel Yetenek Genel ültür Türkiye Geneli sru 7. x y z Yanda verilen çarpma işlemine göre, x L + M tplamı kaçtır? L L M ) 11 ) 12 ) 13 ) 14 ) 15 Genel Yetenek Genel ültür Yaprak Test Test 6 / Sru 5 1

7 2015 PGM Mİ YYINLRIN YR LN 2015 PSS - NZR SORULR 8. x < 0 < y lmak üzere, x - y + x - y ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? ) 2x ) y ) y ) 2y ) 2x Genel Yetenek Genel ültür Yaprak Test Test 15 / Sru x x + 4 e = e 3 2 lduğuna göre, x kaçtır? ) - ) 1 ) - ) Mdüler Sru ankası Sayfa 177 / Sru 6 ) 1 9. y < 0 < x < 2 lmak üzere, y 1 + x 5 + y + 2x 3 işleminin snucu aşağıdakilerden hangisidir? ) x+ y- 1 ) x+ 3 ) y-3 ) x+ y+ 1 ) x- y+ 3 Lisans Mezunları İçin nu nlatımlı itap Sayfa 193 / 3. sru 13. x 1 = lduğuna göre, x kaçtır? 10. x 2 y 2 0 lduğuna göre, x + x y y+ x ) 2 ) 3 ) 4 ) 3 ) Genel Yetenek Genel ültür Sru ankası Sayfa 179 / Sru 8 ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? ) - x ) 2y - x ) 2y + x ) y ) 3y - 2x Genel Yetenek Genel ültür Türkiye Geneli sru 11. x < y lmak üzere, I. x+ z 1 y+ z II. 2 2 x 1 y III x y ifadelerinden hangileri daima dğrudur? ) Yalnız I ) Yalnız II ) Yalnız III ) I ve II ) I, II ve III Genel Yetenek Genel ültür Yaprak Test Test 14 / Sru Gerçel sayılar kümesi üzerinde bir f fnksiynu 2 x x f = + 2x una göre, f(a) = 6 ise a kaçtır? ) -4 ) -3 ) -2 ) 2 ) Genel Yetenek Genel ültür Sru ankası Sayfa 213 / Sru 1 2

8 2015 PGM Mİ YYINLRIN YR LN 2015 PSS - NZR SORULR m dan dakikadaki hızı 10 metre lan hareketli, den dakikadaki hızı 20 metre lan bir kuş aynı anda karşılıklı larak harekete başlıyr. uş hareketliyle karşılaşıp, tekrar ye dönüyr ve hiç durmadan tekrar dan hareket eden hareketliye dğru uçuyr ve karşılaşınca durmadan tekrar ye dönüyr. uş bu hareketine dan hareket eden hareketli ye varıncaya kadar devam ettiğine göre, bu süre içinde kuş tplam kaç metre yl almıştır? ) 4020 ) 3960 ) 2840 ) 2420 ) 2040 Lisans Mezunları İçin nu nlatımlı itap Sayfa 388 / 20. sru sruları aşağıdaki bilgilere göre birbirinden bağımsız larak cevaplayınız. Pamuk iğer Naranciye Mısır 60 uğday Greyfurt 150 Naranciye 40 Limn ir bölgedeki tarım arazisinin ne kadarının hangi ürün için kullanıldığını gösteren daire grafik aşağıdadır. Narenciye ürünlerinin çeşitlerini göstermek için ayrıca başka bir daire grafik çizilmiştir. 18. u bölgedeki pamuk, narenciye, buğday ve mısır dışında kalan diğer ürünler için kullanılan arazi tüm ürünler için kullanılan arazinin yüzde kaçıdır? 16. ir sınıftaki 20 öğrencinin 1. sınav snuçlarının rtalaması 4,5 dir. 2. sınavda 4 öğrenci ntunu 2 puan, 8 öğrenci 1 puan yükseltirken diğerleri 1,5 puan düşürmektedir. una göre, sn sınavın rtalaması kaçtır? ) 6 ) 8 ) 10 ) 12 ) 15 ) 5 ) 4,9 ) 4,8 ) 4,7 ) 4,6 Lisans Mezunları İçin nu nlatımlı itap Sayfa 306 / 14. sru 19. u bölgede mandalina için kulanılan arazi 200 dönümse mısır için kullanılan arazi kaç dönümdür? ) 900 ) 840 ) 800 ) 720 ) trbasında 5 beyaz ve 7 kırmızı, trbasında 10 beyaz ve 5 kırmızı tp vardır. ve trbalarından sırasıyla birer tp çekildiğinde iki tpun renginin aynı lma lasılığı kaçtır? ) 4 9 ) ) 1 2 ) 5 9 ) Genel Yetenek Genel ültür Sru ankası Sayfa 222 / Sru u bölgede greyfurt için kullanılan arazi limn için kullanılan araziden 150 dönüm fazlaysa buğday için kullanılan arazi kaç dönümdür? ) 1000 ) 1080 ) 1100 ) 1120 ) 1150 Mdüler Sru ankası Sayfa 410 / Sru 7-9 3

9 2015 PGM Mİ YYINLRIN YR LN 2015 PSS - NZR SORULR sruları aşağıdaki bilgilere göre birbirinden bağımsız larak cevaplayınız I. Grafik II. Grafik I. grafik beş farklı tmbil firmasının yıl içerisindeki satış sayısının sayısal dağılımını göstermektedir markasının satış sayısının 5 3 'i, markasının satış sayısının 3 1 'ü yerine, markası satılmış lsaydı markalı tmbilin bu beş marka içindeki satış yüzdesi kaç lurdu? ) 10 ) 15 ) 18 ) 20 ) 35 Genel Yetenek Genel ültür Türkiye Geneli 19 Sru I. Grafik II. Grafik II. grafik ise markalı tmbil firmasının beş farklı mdeline ait satış sayılarının dağılımı göstermektedir. 24. (2, 1) nktasının 3x 4y + 3 = 0 dğrusuna göre simetriği lduğuna göre, kaç birimdir? ) 1 ) 2 ) 2 2 ) 2 5 ) Genel Yetenek Genel ültür Sru ankası Sayfa 286 / Sru Yıl içinde 1 mdelinden 450 adet satıldığına göre, marka tmbilden kaç adet satılmıştır? ) 560 ) 600 ) 610 ) 630 ) mdeli 2 mdelinden 80 adet fazla satıldığına göre, marka tmbilden kaç adet satılmıştır? ) 840 ) 900 ) 960 ) 1080 ) dikdörtgen, 6@ + 6@ = ",, 20 = 20 cm, = 15 cm ve 15 = 5 cm'dir. Yukarıdaki verilenlere T göre, ^ h kaç cm 2 dir? 5 ) 120 ) 100 ) 90 ) 80 ) 60 Gemetri Yaprak Test 13 / Sru 8 4

10 Gemetrİk avramlar ve ğruda çılar GOMTRİ VRMLR Yıllara Göre Çıkmış OĞRU ÇILR ÜÇGNLR ÜÇGN ÇŞİTLRİ Sru nalizleri ÜÇGN TML V YRIMI LMNLR ÜÇGN ÇILR İ ÜÇGNLR ÜÇGN ÇIORTY TORMLRİ ÜÇGN NRORTY TORMLRİ ÜÇGN LN ÜÇGN NZRLİ ÜÇGN ÇI NR ĞINTILRI vren her an gözlemlerimize açıktır; ama nun dilini ve bu dilin yazıldığı harfleri öğrenmeden ve kavramadan anlaşılamaz. vren matematik diliyle yazılmıştır; harfleri üçgenler, daireler ve diğer gemetrik biçimlerdir. unlar lmadan tek sözcüğü bile anlaşılamaz; bunlarsız ancak karanlık bir labirente dalanılır. Galıle

11 GOMTRİ VRMLR V OĞRU ÇILR PGM Mİ 2 GOMTRİ VRMLR Tanımsız avramlar Nkta, dğru, düzlem gibi kavramlar tanımsız kavramlardır. Nkta alem ucunun kâğıt üzerine bıraktığı işaret veya izdir. Nktanın belli bir alanı, hacmi veya byutu yktur. Nkta büyük harfle gösterilir. Örneğin; ğru nktası nktası İki ucu sınırsız aynı dğrultulu nktaların kümesidir. d ğrular genelde küçük harfle temsil edilirler. d dğrusu veya diye semblize edilebilir. ğru Parçası iki nkta ile bu iki nkta arasında kalan nktaların birleşim kümesine dğru parçası denir. dğru parçası semblü ile gösterilir. " dğru parçası Işın " dğru parçasının uzunluğu larak gösterilir. ir ucu başlangıç nktası lup diğer ucu snsuza giden nktaların luşturduğu kümeye ışın denir. 6 " ışını diye kunur. Yarı ğru 6 ışınından başlangıç nktası yani nktasının çıkartılması ile elde edilen nktaların kümesine yarı dğrusu " ışını diye kunur. üzlem d ir masanın üstü, durgun su yüzeyi gibi tamamen düz ve aynı zamanda her yöne sınırsız lan nktaların luşturduğu kümeye düzlem denir. d ÇILR aşlangıç nktaları aynı lan iki ışının birleşimine çı denir. Yani; 6 ve 6 ışınlarının birleşimi ile luşan açı ya da açısıdır. açısı ya da açısı ile gösterilir. çının Ölçüsü 6 ve 6 ışınları arasında kalan bölgeye t nın ölçüsü denir. Her t na 0 ile 180 arasında bir tek reel sayı karşılık gelir. u reel sayıya açısının (ya da açısının) ölçüsü denir. Yani açısının ölçüsü dır. ve m( ) = m( t ) = veya s( ) = s( t ) = ile gösterilir. ş çılar: Ölçüleri eşit lan açılara eş açılar denir. Yani; m ( t) = m ( t ) & ileaçýlarý eş açılardır. çının üzlemde yırdığı ölgeler Herhangi bir açı düzlemi üç farklı bölgeye ayırır. u bölgeler I. çının kendisi I. II. çının iç bölgesi III. çının dış bölgesi II. III. çı Ölçü irimleri erece, Grad, Radyan açı ölçü birimleridir. Genelde ölçü birimi larak derece kullanılır. 20, 40,... şeklinde gösterilir. u üç farklı açı ölçü birimleri arasındaki bağıntıyı şöyle verebiliriz, : erece G: Grad R: Radyan lmak üzere G R = = bağıntısı vardır π [ [ =

12 3 Nt ir ışının başlangıç nktası etrafında bir tur döndürülmesi ile luşan açı 360, 400 Grad ve 2π Radyandır. erecenin lt irimleri _ 1 " ir derece b1 = 60' 1' " ir dakika ` 1' = 60'' b 1'' " ir saniye 1 = 3600'' dýr. a ÇI ÇŞİTLRİ ar çı Ölçüsü 0 ile 90 arasında lan açılara dar açı denir. Yani; 0 < a < 90 + dar açýdýr. ik çı Ölçüsü 90 lan açıya dik açı denir. Yani; = 90 + dik açýdýr., O, nktaları dğrusal, m( O ) = 2, m( O ) = 7 ve m( O ) = 3 Yukarıdaki verilenlere göre kaç derecedir? ) 10 ) 12 ) 15 ) 18 ) 20, O, nktaları dğrusal lduğundan dğru açı tanımı gereği 180 lik açı meydana getirirler. Yani; = 180 dir. mşu çılar & 12 = 180 & = 15 bulunur. öşeleri ve birer kenarı rtak lan iç bölgelerinin kesişimleri bş küme lan açılara kmşu açılar denir. Yani; O ile O kmşu iki açıdır. ÇIORTY 3 O 7 O 2 Geniş çı Ölçüsü 90 ile 180 arasında lan açılara geniş açı denir. Yani; 90 < a < geniþ açýdýr. çıyı iki eşit açıya ayıran ışına açırtay denir. Yani; m( O) = m( O ) dır. 6 O ye O nın açırtayı denir. 6 O ile 6 O ye açırtayın klları (kenarları) denir. O ğru çı Ölçüsü 180 lan açıya dğru açı denir. Yani; = dðru açýdýr. = 180, O, nktaları dğrusal 6 O ile 6 O açırtay m( O ) = O Yukarıdaki verilenlere göre m ( O ) kaç derecedir? Tam çı ) 100 ) 110 ) 120 ) 130 ) 140 Ölçüsü 360 lan açıya tam açı denir. Yani; = 360 = tam açýdýr.

13 4, O, nktaları dğrusal lduğundan meydana gelen açıların ölçüleri tplamı 180 dir. 80 m( O) = m( O ) =, m( O) = m( O ) = O dersek TÜMLR ÇILR Ölçüleri tplamı 90 lan iki açıya tümler iki açı denir. Yani ile bulundukları açıların ölçüleri lmak üzere + = 90 + a ile tümler iki açıdır. O = 180 & 2a+ 2b = 100 & a+ b = 50 m( O) 80 = + + & m( O) = 130 bulunur. nın tümleri 90 - a nın tümleri 90 - b dır. mşu iki açının açırtayları arasında kalan açı 54 dir. una göre bu iki açının ölçüleri tplamı kaç derecedir? ) 100 ) 104 ) 106 ) 108 ) 110 ÜTÜNLR ÇILR Ölçüleri tplamı 180 lan iki açıya bütünler açılar denir. Yani; ile bulundukları açıların ölçüleri lmak üzere + = ile bütünler iki açıdır. nın bütünleri a O O ile O kmşu iki açıdır. 6 O ile 6 O açırtaydır. m( O ) = 54 verilmiş m( O) = m( O ) =, nın bütünleri b dır. m( O ) = m( O ) = dersek m ( O ) = 54 + = dir. uradan m( O) + m( O ) = 2+ 2 & 2( + ) = 108 S bulunur. 54 Nt çırtay üzerinde alınan herhangi bir nktanın, açının kllarına lan dik uzunlukları birbirine eşittir. 6 O açırtay, 6 O ile 6 O açırtayın klları lmak üzere 6@ = 6O, 6L@ = 6O, 6 = 6O ve 6@ = 6O çizilirse =, L = ve O = O, LO = O dur. O L ir açının 4 katının 5 fazlası aynı açının tümlerine eşit lduğuna göre açının bütünleri kaç derecedir? ) 157 ) 159 ) 161 ) 163 ) 165 çı Tümleri 90 - a dır. enklem kurulursa; 4+ 5 = 90 - dýr. 5 = 85 & = 17 bulunur. O halde açının bütünleri - = = bulunur. ütünler iki açıdan biri diğerine bölündüğünde bölüm 4, kalan 10 dir. una göre küçük açı kaç derecedir? ) 32 ) 34 ) 36 ) 38 ) 40

14 5 ütünler iki açı ile lsun O halde + = 180 dir. Verilen denklem yazılacak lursa 4 = dir. 10 uradan = denklemi + = 180 denkleminde yerine yazılacak lursa b = 180 & 5b = 170 & = 34 & = 146 dýr. O halde küçük açı = 34 bulunur. TRS ÇILR esişen iki dğrunun luşturduğu açılardan birbirine kmşu lmayan açılara ters açılar denir. Yani; esişen d 1 ve d 2 dğrularında at ile ct, b t ile d t açıları ters açılardır. Ters açıların ölçüleri birbirine eşittir. a = c ve b = d dir. PRLL İİ OĞRUNUN İR SNL YPTIĞI ÇILR b a c d d1// d2, a, b, c, d, x, y, z, t bulundukları açıların ölçüleridir. y x z t (i) Yöndeş açılar d1// d2 ise at ile xt, b t ile yt, d t ile t t, ct ile zt yöndeş açılardır. Yöndeş açıların ölçüleri birbirine eşittir. Yani; a = x, b = y, c = z, d = t dir. d 1 b a c d d 2 d 2 d 1 (ii) İç ters açılar d1// d2 ise ct ile xt ve d t ile yt iç ters açılardır. İç ters açıların ölçüleri birbirine eşittir. Yani; c = x ve d = y dir. (iii) ış ters açılar d1// d2 ise at ile zt ve b t ile t dış ters açılardır. ış ters açıların ölçüleri birbirine eşittir. Yani; a = z ve b = t dir. (iv) arşı durumlu açılar d1// d2 ise ct ile yt ve d t ile xt karşı durumlu iki açıdır. arşı durumlu açıların ölçüleri tplamı 180 dir. Yani; c+ y = 180 ve d+ x = 180 dir. Nt arşı durumlu açıların açırtayları birbirine diktir. Yani; d1// d2 6 ile 6 açırtay & 6 = 6 dir. PRLL İİ OĞRUNUN İRN ÇO SN İL MYN GTİRİĞİ ÇILR (i) d1// d2; d3+ d = 4 ",, δ, bulundukları açıların ölçüleri lmak üzere + δ = dır. (ii) d1// d2 ;,, δ bulundukları açıların ölçüleri lmak üzere + + δ = 360 dir. Nt δ d 3 δ d 3 d 4 d 1 d 2 d 1 d 2 d 1 d 2 Paralel dğrular n dğruyla kesilirse meydana gelen aynı yönlü açıların ölçüleri tplamı n : 180 dir.

15 6 (iii) d1// d2 ise şekildeki açılar ardışık zıt yönlü açılardır. ynı yöndeki ardışık açıların ölçüleri tplamı ile bu açılara d 1 x göre ters yönde lan ardışık aynı yönlü açıların ölçülerinin y δ tplamları birbirine eşittir. d 2 Yani; δ,,, x, y bulundukları açıların ölçüleri lduğuna göre + + δ = x+ y dir. d1// d2 6@ = 6@, 3 5 m( ) = m( ) = 3, 80 m( ) = 5, 3 3 m( ) = 3 ve m( ) = 80 Yukarıdaki verilenlere göre + kaç derecedir? ) 5 ) 10 ) 15 ) 20 ) 25 d 1 d 2 6 // 6, 6@ = 6, m( ) = 140 Yukarıdaki verilenlere göre m( ) = kaç derecedir? 140 ) 30 ) 40 ) 50 ) 60 ) 70 Paralel dğrular arasında luşan aynı yöne bakan açıların ölçüleri tplamı, zıt yönlü açıların ölçüleri tplamına eşit lduğundan 3+ 3 = 90 & 6a = 90 & a = = 8 = 80 & = 10 dir. O halde + = = 25 bulunur. Şekilde 6 // 6 lduğuna göre sağ tarafa bakan açıların ölçüleri tplamı sl tarafa bakan açıların ölçüleri tplamına eşit lacağından + 90 = 140 & a = 50 bulunur. 6 // 6, a, b, c, d, e bulundukları açıların ölçüleridir. Yukarıdaki verilenlere göre G a+ b+ c+ d+ e kaç derecedir? ) 360 ) 450 ) 540 ) 630 ) 720 b c a d e 6 // 6 dir. Paralel dğrular 6@, 6@, 6G@, 6 G@ ile kesildiğine göre dğru parçası sayısı 4 dür. O halde a+ b+ c+ d+ e = 4: 180 = 720 bulunur. 6 // 6 m( ) = 65, m( ) = 55 Yukarıdaki verilenlere göre m( ) = kaç derecedir? ) 100 ) 110 ) 120 ) 130 ) = 120 nktasından // 6 // 6 lacak biçimde çizilirse m( ) = m( ) = 65 (iç ters açıların eşitliği) ve m( ) = m( ) = 120 dir. (iç ters açıların eşitliği) O halde = 120 bulunur

16 7 NRLRI PRLL ÇILR (i) enarları aynı yönde paralel açılar: 6 // 6 ve 6 // 6 ise yöndeş açıların eşitliğinden m( ) = m( ) = dır. (ii) enarları ters yönden paralel açılar: 6 // 6 ve 6 // 6 ise yöndeş ve iç ters açıların eşitliklerinden dlayı; m( ) = m( ) = dır. (iii) enarlarından biri aynı diğeri ters yönde paralel açılar: 6 // 6 ve 6 // 6 ise yöndeş ve karşı durumlu açı tanımlarından m( ) + m( ) = + = 180 dir. NRLRI İ ÇILR (i) 6 = 6 ve 6 = 6 ise m( ) =, m( ) = lmak üzere = dır. L 6 // 6 ve 6@ // 6@ lduğundan ile kenarlarından biri aynı diğer kenarı ters yönde paralel açılardır. O halde m( ) = m( ) = 35 dir. H üçgeninde iç açıların ölçüleri tplamı yazılırsa = 180 & a = 55 bulunur. 6 // 6, 6@ = 6, 6 = 6 ve m( ) = 50 Yukarıdaki verilenlere göre m( ) = kaç derecedir? ) 50 ) 55 ) 60 ) 65 ) 70 ile kenarları dik iki açıdır. O halde m( ) + m( ) = 180 dir. m( ) = & m( ) = 130 bulunur. ile karşı durumlu iki açı lduğundan m( ) + m( ) = = 180 & a = 50 bulunur. 50 (ii) 6 = 6 ve 6 = 6 ise m( ) =, m( ) = lmak üzere + = 180 dir. L 6@ // 6@, 6 // 6, H 6H@ = 6@ ve m( ) = 35 Yukarıdaki verilenlere göre 35 m( H ) = kaç derecedir? ) 25 ) 35 ) 45 ) 55 ) 65 ütünleri tümlerinin 2 katından 50 fazla lan açı kaç derecedir? ) 40 ) 50 ) 60 ) 70 ) 80 çı Tümleri ütünleri ütünleri tümlerinin 2 katından 50 fazla ise (180 - ) = 2(90 - a) a = 180-2a+ 50 2a a = 50 & a = 50 bulunur.

17 8 6 // 6, 6@ = 6@, m( ) = m( ), m( ) = m( ) Yukarıdaki verilenlere göre m( ) = kaç derecedir? ) 30 ) 45 ) 50 ) 60 ) 75 m( ) = m( ) = a m( ) = m( ) = b dersek 2( a+ b) = 180 dir. O halde a+ b = 90 dir. 6 // 6, 6 // 6 lduğundan m( ) + m( ) = m( ) dir. O halde a a b b a+ b = dır. = 90 bulunur. Paralel dğrular arasındaki aynı yöne bakan açıla- a b rın ölçüleri tplamı zıt yöne a bakan açıların ölçüleri tplamına eşit lduğundan b m( ) + m( ) = m( ) ve m( ) + m( ) = m( ) dir. m( ) = m( ) = a, m( ) = m( ) = b dersek a+ b = ve 2a+ 2b = 90 bulunur. & a+ b = 45 = a bulunur. 6 // 6, 6 P@ ile 6 P@ açırtay, m( ) = 160, m( ) = 150 ve m( P ) = 50 dir. Yukarıdaki verilenlere göre m( ) = kaç derecedir? P 50 ) 150 ) 145 ) 140 ) 135 ) // 6, 6 // 6, ile açırtay Yukarıdaki verilenlere göre m( ) = kaç derecedir? ) 60 ) 75 ) 90 ) 120 ) 135 ile bir kenarları aynı, diğer kenarları zıt yönlü paralel açılar lduğundan ölçüleri tplamı 180 dir. Yani; m( ) + m( ) = 180 dir. 6 // 6 lduğundan aynı yöne bakan,, ,, açılarının ölçüleri tplamı 720 dir. P 50 P de iç açıların ölçüleri tplamı yazıla- cak lursa m( P) + m( P ) + m( P ) = 180 m( P) + m( P ) + 50 = 180 dir. m( P) + m( P ) = 130 uradan (m( P) + m( P)) + a = = 720 & a = 150 bulunur.

18 9 6 // 6 // m( ) = 120 m( ) = 150 ve 150 m( ) = m( ) Yukarıdaki verilenlere göre m( ) = kaç derecedir? ) 115 ) 120 ) 125 ) 130 ) ile 6 dğrusal uzatılırsa ters açıların eşitliğinden m( ) = m( T ) = + 5 m( H) = m( ) = bulunur. T // H lduğundan m( T) + m( H ) = m( ) & = 120 & = 120 & 3 = 105 dir. Ohalde = 35 dir. m( ) = + 5 = 40 bulunur. + 5 T H 6 // 6 // 6 // d çizilirse ile L, ile L, ile L karşı durumlu açılar lduğundan ölçüleri tplamı 180 dir uradan m( ) + m( L ) = 180 & m( L) = 180 & m( L ) = 30 m( ) + m( L ) = 180 & m( L) = 180 & m( L ) = 60 m( L ) = m( L) + 2m( ) & 60 = m( ) & 30 = 2m( ) & m( ) = 15 d L = // 6, 6@ = 6@, m( ) = 110 ve m( ) = Yukarıdaki verilenlere göre m( ) = kaç derecedir? ) 60 ) 65 ) 70 ) 75 ) 80 O halde m( L) = m( ) + m( L ) m( L ) = = 45 uradan m( ) + m( L ) = 180 & m( ) + 45 = 180 & m( ) = 135 bulunur. 6 // 6 m( ) = 120, m( ) = + 5, m( ) = Yukarıdaki verilenlere göre m ( ) kaç derecedir? ) 35 ) 40 ) 45 ) 50 ) L // 6 // 6 çizilirse ile karşı durumlu iki açı lduğundan ölçüleri tplamı 180 dir. m( ) + m( ) = 180 m( ) = 180 & m( ) = 70 dir. 110 L // 6 lduğundan m( L) + m( ) = m( ) & m( L) + 55 = 90 & m( L ) = 35 dir.,, L nktaları dğrusal lduğundan m( ) + m( ) + m( L ) = = 180 & = 75 bulunur L

19 ÜÇGN ÇILR PGM Mİ 10 ÜÇGNLR ğrusal lmayan üç nktayı birleştiren dğru parçalarının birleşimi ile luşan gemetrik şekle üçgen denir. = " üçgeni diye kunur. (iii) Geniş açılı üçgen Herhangi bir iç açısının ölçüsü 90 dan büyük lan üçgenlere geniş açılı üçgen denir. Yani; m ( t ) = > 90 ise geniş açılı üçgendir.,, nktaları nin köşeleri ve üçgenin kenarlarıdır. üçgeninde δ,, üçgenin iç açıları,,, δ l l l üçgenin dış açılarıdır. = a, = b, = c uzunluklarına üçgenin kenar uzunlukları denir. Nt Üçgenin iç bölgesinde kalan açılara iç açılar, üçgenin dış bölgesinde kalan ve iç açıların bütünleri lan açılara dış açılar denir. + = 180, + = 180, δ+ δ = 180, l l l c a b δ δ enarlarına Göre Üçgenler (i) Çeşitkenar üçgen ir üçgeninin bütün kenar uzunlukları birbirinden farklı ise çeşitkenar üçgendir. Yani; üçgeninde = a, = b, = c lmak üzere!! ( a! b! c) ise çeşitkenar üçgendir. (ii) İkizkenar üçgen ir üçgenin herhangi iki kenarının uzunlukları birbirine eşit ise üçgene ikizkenar üçgen denir. Yani; = ise üçgeni ikizkenar üçgendir. c a b ÜÇGN ÇŞİTLRİ çılarına Göre Üçgenler (i) ar açılı üçgen İç açılarından her birinin ölçüsü 90 den küçük lan üçgenlere dar açılı üçgenler denir. Yani < 90 < 90 δ < 90 dar açılı üçgendir. (ii) ik açılı üçgen Herhangi bir açısının ölçüsü 90 lan üçgenlere dik açılı üçgen denir. Yani; m ( t ) = 90 ise dik üçgendir. ' na hiptenüs denir. δ ' na taban, eşit kenarların taban ile yaptıkları açılara taban açıları ve köşesi nktası lan açıya tepe açısı denir. İkizkenar üçgende taban açıları eşittir. u ifadenin terside dğrudur. O halde m( ) = m( ) + = (iii) şkenar üçgen ütün kenar uzunlukları birbirine eşit lan üçgene eşkenar üçgen denir. şkenar üçgenin iç açılarının ölçüleri birbirine eşit ve 60 dir. Yani; = = ise m ( t) = m ( t) = m ( t ) = 60 dir. uradan üçgeni eşkenar üçgendir. 60 dir