Kümeler Kuramı Üzerine Düşünmek

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Kümeler Kuramı Üzerine Düşünmek"

Transkript

1 Kümeler Kuramı Üzerine Düşünmek CAN BAŞKENT 1. Sezgisel Kümeler Kuramı ve Çelişkileri Hepimizin bildiği sezgisel kümeler kuramı (naive set theory) Cantor'a atfedilir. Bu kümeler kuramı, bizim Math111 dersinden tanıdığımız kuram. 19. yüzyılın ikinci yarısında, bizzat Cantor'un kendisi de dahil olmak üzere, matematikçiler ve mantıkçılar kümeler kuramında çelişkiler ve tutarsızlıklar bulmaya başladı. Örneğin: [ Cantor (Burali - Forti) Açmazı ] Tüm kümelerin kümesine T diyelim. T'nin tüm alt kümelerinden oluşan kümeye (power set) de A diyelim. Biliyoruz ki: A > T, çünkü 2 m > m Fakat T tanım gereği tüm kümeleri kapsıyor, dolayısıyla A > T koşulu nedeniyle, A kümesi tüm kümlerin kümesinden de büyük bir küme olmalıdır. Çelişki! Bu açmazda ilginç olan nokta, Cantor'un farklı sonsuzluk türleriyle ilgili ilk çalışmalarının ipucunu taşımasıdır. Diğer bir deyişle, ontolojik olarak farklı iki tür sonsuzluğun mümkünatı Cantor'un ilgi alanlarındandı. Farklı 3'ler var olamıyorsa, nasıl farklı sonsuzluk türleri var olabiliyordu? Dahası bu sonsuzluk türleri birbirlerinden türetilemiyordu. Gerçel sayıların sayılamayan sonsuzluğunun, sayılabilir sonsuzluğa sahip doğal sayılardan türetilememesi gibi. Bu açmazı aklımızda tutalım, çünkü makalenin ilerleyen satırlarında Cantor'un continuum hipotezinden söz edeceğiz. Cantor açmazı üzerine çalışan Bertrand Russell, 1901 yılında daha 28 yaşındayken kendi adıyla anılan açmazı keşfeder. (Bazı kaynaklara göre ise, aynı açmaz Zermelo tarafından Russell'dan bağımsız olarak da bulunmuştur. Zermelo, Hilbert'e yazdığı bir mektupta bu açmaz söz ediyormuş.) Açmazı sembolik olarak anlatmaya geçmeden, Russell'ın ifadeleriyle açmazı öğrenelim: Bir köyün berberi, yalnızca kendini tıraş etmeyen köylüleri tıraş edermiş. Peki bu berber kendini tıraş eder mi? Kendini tıraş ederse kendini tıraş etmeyecek, kendini tıraş etmezse kendini tıraş edecek.. Sembolik olarak yazmak gerekirse:

2 Aşağıdaki R kümesini ele alalım. R:={x : x x} Acaba R kendisinin bir elemanı mı?.. Eğer R R ise, yani berber kendini tıraş ederse, tanım gereği: R R, yani berber kendini tıraş edemez. Eğer R R ise, yani berber kendini tıraş edemiyorsa, tanım gereği:r R, yani berber kendini tıraş ediyor. Sonuç: R R R R, çelişki... Russell açmazının çözüm süreci aslında oldukça ilginç. Russell'ın kendisi dahil olmak üzere, bu açmazın çözümü için bir çok fikir öne sürülmüş. Şimdi ise biliyoruz ki, böyle bir R kümesi var olamaz. Tıpkı, Cantor açmazındaki T kümesini var olamayacağı gibi. Görüyoruz ki, bir zamanların sezgisel kümeler kuramının açmazları, teorem olarak aksiyomatik kümeler kuramında yer alıyor. Russell açmazının önemli noktalarından biri de, her özelliğin küme tanımlamadığının gösterilmesiydi. Diğer bir ifadeyle A={x Ψ(x) } ifadesi her Ψ(x) ifadesi için küme tanımlamıyor. Örneğin, T kümesi için Ψ(x) := {x = x }, R kümesi içinse Ψ(x) := {x x} olarak verilmişti ve T ile R küme olamıyordu. Russell bir matematikçi, mantıkçı, filosof ve sıkı bir savaş karşıtıydı. Alfred North Whitehead ile yazdığı Principia Matematica önemli bir projeydi. Bu eserde Russell ve Whitehead, matematiği mantığa ve kümeler kuramına indirgemeye çalışmışlardı. Fakat, biraz önce gördüğümüz açmazlar nedeniyle, bu proje başarısızlıkla sonuçlandı. İlk aklımıza gelen soru şu: 'Acaba modern kümeler kuramında da böyle bir proje başarısız olur mu?'.. Bu çalışmanın kapsamını aşan bu önemli soru matematiksel mantığın felsefesi ve yöntembilgisi alanında ufuk açıcı bir araştırma konusu olarak belirmekte. Principia Matematica, alanında ne ilk ne sondu. Frege'nin Aritmetiğin Temelleri'ni, Hilbert'in Geometrinin Temelleri'ni es geçmemeliyiz. Hilbert'ten söz etmişken, ünlü matematikçinin 1900 Uluslararası Paris Matematikçiler Konferansında sunduğu soruları, daha doğrusu bu sorulardan bizi ilgiliendirdiklerini düşündüklerimi, atlamamlıyız. Şöyle sormuş Hilbert: 'Acaba fizik aksiyomatikleştirilebilir mi?' Bizi daha da çok ilgilendiren sorusu ise: 'En genel bir matematik probleminin çözümü için (sonlu) bir algoritmik yöntemin bulunup bulunmayacağı'. Hilbert'in amacı, aksiyomlarını ve yöntem kurallarını belirleyecek bir program yardımıyla matematiği tartışılmaz sağlamlıklta temellendirmekti. Kant'ın hemşerisi olan Hilbert'in bu iddiasını önce Platoncu bir mantıkçı olan Gödel, sonrasında da Alan Turing yanıtladı: Böyle bir algoritma var olamaz!

3 2. Matematiği Aksiyomatikleştirme Çabaları Peki sizce matematik neden aksiyomatikleştirilmek istendi? 19., 20. yüzyıla kadar aksiyomatik yapıdan, Öklid dışında, haberi olmayan, dahası böyle bir gereklilik bile hissetmeyen yüzlerce matematikçi matematiğe muhteşem katkılarda bulundu. Acaba aksiyomatik sistem, bizlerin matematik yapma biçimini nasıl etkiledi? Bir dirimbilimcinin hücrenin ne olduğunu bilmeden bilimsem çalışma yapması bize komik görünür, oysa yüzlerce matematikçi bu kümeyi ve sayıyı bilmeden matematik yaptı. 1880'lerin sonunda İtalyan matematikçi ve mantıkçı Peano doğal sayıları aksiyomatikleştirdi. Bu aksiyomlar, kısaca: M Sıfır bir sayıdır ve hiç bir sayının ardılı değildir. M Bir sayıyı farklı iki sayı takip edemez. M Eğer sıfıra ait bir özellik, bir sayıya da ait olduğunda o sayının ardılına da ait oluyorsa, o özellik tüm sayılara aittir. (Matematiksel Tümevarım ilkesi) Peano, bu aksiyomları gerekçelendirmek için uğraşmadı. Zira, oldukça sezgisel bu aksiyomlar, pek de tepki uyandırmamış anlaşılan. Bir istisna dışında: Frege Frege, Peano aksiyomlarını mantıktan çıkarmaya çalıştı. Aritmetiğin Temelleri'nde şöyle yazar: "Matematikte sayının ne olduğu üzerine bugüne değin bir açıklığa ulaşılamamış olunması bir skandaldır. Sayı bir nesneler kümesi mi, yoksa karatahta üzerinde insan eliyle çizilen bir şekil mi, psikolojiden öğrenmemiz gereken ruhsal bir nesne mi, yoksa sonsuza dek sürecek bir varlık mı? Matematik uğraştığı nesnelerin doğasını anlamantan uzak kalmaktadır. Peki, bu bir skandal değilse nedir? " 1900'lerde kümeler kuramı Zermelo ve Frænkel tarafından aksiyomatikleştirildi. Zermelo, 1904'te seçim aksiyomunu, 1908'de de her kümenin iyi sıralanabileceğini kanıtlamıştı. Fazla formel olması nedeniyle kümeler kuramının aksiyomlarına burada yer vermiyoruz. 3. Gödel Kümeler kuramı demişken Gödel'i es geçemeyiz. Gödel'in iki çalışmasına yer vereceğiz. İlki Cantor'un continuum hipotezi üzerine, ikincisi de kümeler kuramının tutarlılığı üzerine.. Continuum hipotezi nedir? Yazının başlarında iki tür sonsuzluktan söz etmiş ve Cantor'un bu konuda çalıştığını vurgulamıştık. Cantor, bu iki tür sonsuzluk (sayılabilen sonsuzluk ve sayılamayan sonsuzluk) arasında başka bir sonsuzluk türü var olup olamayacağınu araştırıyordu. Bu sonsuzluğa sahip bir küme bulamadı ve böyle bir kümenin var olamayacağını iddia etti. Gödel ise, continuum hipotezinin ya da bu hipotezin değilinin, Zermelo - Frænkel kümeler kuramından türetilemeyeceğini göstermiştir. Dikkatinizi çekerim, Gödel hipotez doğru ya da yanlış demiyor, sadece kümeler kuramından bunun türetilemeyeceğini söylüyor. Dolayısıyla, artık biliyoruz ki, continuum hipotezi kümeler kuramının mantıksa bir sonucu değil. Gödel'in burada anacağımız ikinci çalışması ise seçim aksiyomu üzerine. Nedir seçim aksiyomu: Verilen bir kümeler topluluğundan/ailesinden öyle bir küme oluşturabiliriz ki, bu yeni kümede verilmiş kümeler topluluğunun/ailesinin her kümesinden bir eleman bulunur. Hissetmişsinizdir, bu oldukça tuhaf görünen bir aksiyom. Biraz önce değindiğimiz Peano aksiyomları gibi sezgisel değil. Öncelikle verili her küme topluluğu için geçerli. Dolayısıyla

4 bu aksiyomu gerekçelendirmek ve aksiyomun hesabını vermek zor olacak. Bu makalenin ilerki satırlarında seçim aksiyomunu örneklendirip detaylandıracağız. Bir çok matematikçi seçim aksiyomunu dışladı. Poincaré, Weyl, Brouwer gibi.. Seçim aksiyomunun, diğer bir ifadesiyle her kümenin bir seçim fonksiyonu olduğunun, bir aksiyom olarak, bu matematikçilere göre belirtilmesine gerek yoktu. Seçim aksiyomunu dışlamış kümeler kuramına 'Sınırladırılmış Kümeler Kuramı' diyelim, seçim aksiyomlu kümeler kuramı da 'Standart Kümeler Kuramı' olsun bizim buradaki terminolojimizde. Gödel 1938'te şunu kanıtladı: Eğer sınırlandırılmış kuram tutarlıysa, standart kuram da tutarlıdır. Gödel bu ispatıyla seçim aksiyomunun diğer aksiyomlardan daha tehlikeli olmadığını göstermiş oldu. Gödel'in teorisini şu şekilde de okuyabiliriz elbette: Eğer standart kuramda bie çelişki/tutarsızlık varsa, bu çelişki/tutarsızlık sınırladırılmış kuramda da var olmalı. 4. Seçim Aksiyomu Seçim aksiyomunu, biraz önce de belirttik, her kümenin bir seçim fonksiyonu vardır, şeklinde de ele alabiliriz. Bu bölümde bazı kümler için seçim fonksiyonları belirleyeceğiz. Öncelikle, seçim aksiyomunun biraz daha net olarak anlaşılması için Russell'dan yardım alalım. Şöyle bir senaryo sunuyor Russell: Sonsuz çift ayakkabımız ve sonsuzçift çorabımız olsun. Bu çiftlerden nasıl seçim yapabiliriz.? Örneğin, ayakkabı çiftlerinden sol tekleri seçebiliriz. Peki, sağını ve solunu ayırdedemeyeceğimiz çorap çiftlerinde böyle bir seçimi nasıl yapabiliriz? Bu seçimi yapabilecek bir araca ihtiyacımız var, bu da seçim aksiyomu. Dikkatinizi çekerim, aksiyomla, bu fonksiyonu bulmuş olmuyoruz, sadece böyle bir seçimin varlığını kabul ediyoruz. Şimdi de belli başlı örnekleri inceleyelim: Kullanaağımız notasyon da şu: (X)* := X kümesini tüm altkümelerinin kümesinden boş kümeyi çıkardığımızda elde edilen küme. (N)* En küçük elemanı seçeriz, çünkü her doğal sayılar kümesinin bir tane en küçük elemanı vardır. (Z)* x Z ise, x'in en büyük elemanını seçeriz, en büyük eleman yoksa, x N kümesinin en küçük elemanını alırız. (Q + )* Bir x kümesi alalım, ve şu kümeyi tanımlayalım: A (x)={ a+b a/b x}. A boş olmayan bir kümedir, ve en küçük elemanı vardır: n.

5 {a/b x a+b=n} kümesini ele alalım. Bu küme sonlu sayıda rasyonel sayıdan oluşuyor, dolayısıyla en küçük elemanı vardır. İşte x'ten bu elemanı seçelim. (Q)* Yukarıdakilere oldukça benzer bir şekilde seçebiliriz. Alıştırma! Gerçel Aralıklar [a, b], [a, b), (a, b], (a, b): orta nokta (a+b)/2 (-, a), (-, a]: a 1 noktası [a, ), (a, ): a + 1 noktası (-, ): 0 (R)* Alıştırma! Son alıştırmada, seçim fonksiyonunu yazabilmek mümkün değil. Ama aksiyom, bize ne olduğunu bilmesek de, bir seçim fonksiyonun var olduğunu söylüyor. Ayrıca bire-bir fonksiyonların terslerini bulmakta da seçim aksiyomunu kullanıyoruz. Acısıyla tatlısıyla, bir seçim fonksiyonumuz var. Öyle ki, varlığını kabul ediyoruz ama gösteremiyoruz. Peki bu nasıl bir var olmadır?

6 Kaynakça M The Mathematical Experience, Davis, P. J., Hersh, R., Marchisotto, E. A., Birkhäuser M Matematiksel Düşünme, Yıldırım, C., Remzi Kitabevi M Bilgisayar ve Zeka, Penrose, R., TÜBİTAK yayınları Routledge Encyclopedia of Philosophy M Philosophy of Mathematics An Introduction to the World of Proofs and Pictures, Brown, J.R., Routledge M Matematik Dünyası nisan - mayıs 2004, Ankara

Kümeler Tarihi Küme Nedir Kümeler Tarihçesi

Kümeler Tarihi Küme Nedir Kümeler Tarihçesi Kümeler Tarihi Küme Nedir Kümeler Tarihçesi İnternetten Alınmış Hazır Bilgidir 29.12.2009 Matematik dilinde birlik sağlama gereksinimi on dokuzuncu yüzyıl sonlarına doğru duyuldu. Bu işi İlk görenlerin

Detaylı

Örnek Uzay: Bir deneyin tüm olabilir sonuçlarının kümesine Örnek Uzay denir. Genellikle harfi ile gösterilir.

Örnek Uzay: Bir deneyin tüm olabilir sonuçlarının kümesine Örnek Uzay denir. Genellikle harfi ile gösterilir. BÖLÜM 3. OLASILIK ve OLASILIK DAĞILIMLARI Rasgele Sonuçlu Deney: Sonuçlarının kümesi belli olan, ancak hangi sonucun ortaya çıkacağı önceden söylenemeyen bir işleme Rasgele Sonuçlu Deney veya kısaca Deney

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT223 AYRIK MATEMATİK Çizgelerde Eşleme 10. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Bir Dans Problemi Çizgelerde Eşleme Bir Dans Problemi

Detaylı

T.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ ZORN LEMMA

T.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ ZORN LEMMA T.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ ZORN LEMMA 080216072 ESRA BOSTANCI 080216013 NEDİM YAMİ 080216050 ÖYKÜ ÖZÇAKIR ÇANAKKALE-2012 İÇERİK ÖNSÖZ...............................................................

Detaylı

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ AYRIK YAPILAR P r o f. D r. Ö m e r A k ı n v e Y r d. D o ç. D r. M u r a t Ö z b a y o ğ l u n u n Ç e v i r i E d i t ö r l ü ğ ü n ü ü s t l e n d i ğ i «A y r ı k M a t e m a t i k v e U y g u l a

Detaylı

Volkan Karamehmetoğlu

Volkan Karamehmetoğlu 1 Doğal Sayılar Tanımlar Rakam: Sayıları yazmaya yarayan sembollere denir. {1,2,3,4,5,6,7,8,9} Sayı: Rakamların çokluk belirten ifadesine denir. 365 sayısı 3-6-5 rakamlarından oluşmuştur. 2 Uyarı: Her

Detaylı

Develerle Eşekler Ali Nesin

Develerle Eşekler Ali Nesin Develerle Eşekler Ali Nesin MATEMATİĞE GİRİŞ Matematik 101 dersindesiniz, ilk dersiniz, birinci gününüz... Hiç matematik bilmediğinizi varsayıyor hocanız... Kümelerden başlayacaksınız matematiğe... İlk

Detaylı

KÜMELER. A = {x : (x in özelliği)} Burada x : ifadesi öyle x lerden oluşur ki diye okunur. Küme oluşturur. Çünkü Kilis in üç tane ilçesi.

KÜMELER. A = {x : (x in özelliği)} Burada x : ifadesi öyle x lerden oluşur ki diye okunur. Küme oluşturur. Çünkü Kilis in üç tane ilçesi. KÜMELER Canlı yada cansız varlıkların oluşturduğu iyi A = {a, b, {a, b, c}} ise, s(a) = 3 tür. tanımlanmış nesneler topluluğuna küme denir. 2. Ortak Özellik Yöntemi Kümenin elemanlarını, daha somut ya

Detaylı

Kısmen insan davranışlarını veya sezgilerini gösteren, akılcı yargıya varabilen, beklenmedik durumları önceden sezerek ona göre davranabilen bir

Kısmen insan davranışlarını veya sezgilerini gösteren, akılcı yargıya varabilen, beklenmedik durumları önceden sezerek ona göre davranabilen bir DÜŞÜNEN MAKİNELER Kısmen insan davranışlarını veya sezgilerini gösteren, akılcı yargıya varabilen, beklenmedik durumları önceden sezerek ona göre davranabilen bir makine yapmak, insanlık tarihi kadar eski

Detaylı

Matematiksel İktisat-I Ders-1 Giriş

Matematiksel İktisat-I Ders-1 Giriş Matematiksel İktisat-I Ders-1 Giriş 1 Matematiksel İktisat: Matematiksel iktisat ekonomik analizlerde kullanılan bir yöntemdir. Bu analizde iktisatçılar iktisat ile ilgili bir bilimsel soruya cevap ararlarken

Detaylı

Birkaç Oyun Daha Ali Nesin

Birkaç Oyun Daha Ali Nesin Birkaç Oyun Daha Ali Nesin B irinci Oyun. İki oyuncu şu oyunu oynuyorlar: Her ikisi de, birbirinden habersiz, toplamı 9 olan üç doğal sayı seçiyor. En büyük sayılar, ortanca sayılar ve en küçük sayılar

Detaylı

Elemanların yerlerinin değiştirilmesi kümeyi değiştirmez. A kümesinin eleman sayısı s(a) ya da n(a) ile gösterilir.

Elemanların yerlerinin değiştirilmesi kümeyi değiştirmez. A kümesinin eleman sayısı s(a) ya da n(a) ile gösterilir. KÜMELER Küme : Nesnelerin iyi tanımlanmış listesine küme denir ve genellikle A, B, C gibi büyük harflerle gösterilir. Kümeyi oluşturan öğelere, kümenin elemanı denir. a elemanı A kümesine ait ise,a A biçiminde

Detaylı

Cebir Notları. Bağıntı. 1. (9 x-3, 2) = (27, 3 y ) olduğuna göre x + y toplamı kaçtır? 2. (x 2 y 2, 2) = (8, x y) olduğuna göre x y çarpımı kaçtır?

Cebir Notları. Bağıntı. 1. (9 x-3, 2) = (27, 3 y ) olduğuna göre x + y toplamı kaçtır? 2. (x 2 y 2, 2) = (8, x y) olduğuna göre x y çarpımı kaçtır? www.mustafayagci.com, 003 Cebir Notları Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com (a, b) şeklinde sıra gözetilerek yazılan ifadeye sıralı ikili Burada a ve b birer sayı olabileceği gibi herhangi iki nesne

Detaylı

2013-2014 ATAKÖY CUMHURİYET ANADOLU LİSESİ 9. SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI

2013-2014 ATAKÖY CUMHURİYET ANADOLU LİSESİ 9. SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI 0-0 ATAKÖY CUMHURİYET ANADOLU LİSESİ 9. SINIF MATEMATİK İ YILLIK PLANI Temel Kavramlar 9... Küme kavramını örneklerle açıklar ve kümeleri ifade etmek için farklı gösterimler. 6 EYLÜL 0 EYLÜL Temel Kavramlar

Detaylı

MATEMATİKSELLİK VE MATEMATİK FELSEFESİ Matematik bir çok disiplinin birleşmesidir. Euclides Geometrisi, Cebir, Grup Teorisi, Analiz, Reel Analiz,

MATEMATİKSELLİK VE MATEMATİK FELSEFESİ Matematik bir çok disiplinin birleşmesidir. Euclides Geometrisi, Cebir, Grup Teorisi, Analiz, Reel Analiz, MATEMATİKSELLİK VE MATEMATİK FELSEFESİ Matematik bir çok disiplinin birleşmesidir. Euclides Geometrisi, Cebir, Grup Teorisi, Analiz, Reel Analiz, Karmaşık Analiz, Olasılık, Fonksiyonel Analiz, Diferansiyel

Detaylı

Limit Oyunları. Ufuk Sevim ufuk.sevim@itu.edu.tr 10 Ekim 2012

Limit Oyunları. Ufuk Sevim ufuk.sevim@itu.edu.tr 10 Ekim 2012 Limit Oyunları Ufuk Sevim ufuk.sevim@itu.edu.tr 10 Ekim 2012 1 Giriş Limit ve sonsuzluk kavramlarının anlaşılması birçok insan için zor olabilir. Hatta bazı garip örnekler bu anlaşılması zor kavramlar

Detaylı

RASYONEL SAYILARIN MÜFREDATTAKİ YERİ MATEMATİK 7. SINIF RASYONEL SAYILAR DERS PLANI

RASYONEL SAYILARIN MÜFREDATTAKİ YERİ MATEMATİK 7. SINIF RASYONEL SAYILAR DERS PLANI RASYONEL SAYILARIN MÜFREDATTAKİ YERİ Rasyonel sayılar konusu 7.sınıf konusudur. Matematiğin soyut, zor bir ders olduğu düşüncesi toplumda çoğu kişi tarafından savunulan bir bakış açısıdır. Bu durum beraberinde

Detaylı

BİLGİ UZAYINA ADAPTE EDİLEBİLİR KİŞİSEL E ÖĞRENME YOLU PROJESİ ( BİLİRKİŞİ ) Can GÜRSES. Arages Bilişim Genel Müdürü. Dr.

BİLGİ UZAYINA ADAPTE EDİLEBİLİR KİŞİSEL E ÖĞRENME YOLU PROJESİ ( BİLİRKİŞİ ) Can GÜRSES. Arages Bilişim Genel Müdürü. Dr. BİLGİ UZAYINA ADAPTE EDİLEBİLİR KİŞİSEL E ÖĞRENME YOLU PROJESİ ( BİLİRKİŞİ ) Can GÜRSES Arages Bilişim Genel Müdürü Dr. Kürşat AKER İstanbul Feza Gürsey Araştırma Merkezi Abstract Bilirkişi Projesi, literatürde

Detaylı

Bölüm 2 Algoritmalar. 2.1 Giriş

Bölüm 2 Algoritmalar. 2.1 Giriş Bölüm 2 Algoritmalar 2.1 Giriş İnsanlar ilk çağlardan beri istek veya arzularını ifade etmek çeşitli yöntemler ile anlatmaya çalışmışlardır. İlk olarak çeşitli şekil ve simgeler daha sonra ise yazının

Detaylı

Uzayın Analitik Geometrisi

Uzayın Analitik Geometrisi Uzayın Analitik Geometrisi Yazar Doç.Dr. Hüseyin AZCAN ÜNİTE 9 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Düzlemde geliştirilen analitik geometri modeline benzer şekilde üç boyutlu uzay için de bir analitik

Detaylı

SAYILAR TEORİSİ - PROBLEMLER

SAYILAR TEORİSİ - PROBLEMLER SAYILAR TEORİSİ - PROBLEMLER 1. (p + 1) q sayısının hangi p ve q asal sayıları için bir tam kare olduğunu 2. n+2n+n+... +9n toplamının bütün basamakları aynı rakamdan oluşan bir sayıya eşit olmasını sağlayan

Detaylı

8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar

8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar 8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar 1. Eşit güçlü kümeler 2. Sonlu ve sonsuz kümeler 3. Doğal sayılar kümesi 4. Sayılabilir kümeler 5. Doğal sayılar kümesinde toplama 6. Doğal sayılar kümesinde

Detaylı

Kümenin özellikleri. KÜMELER Burada x : ifadesi öyle x lerden oluşur ki diye okunur. Örnek: Kilis in ilçeleri

Kümenin özellikleri. KÜMELER Burada x : ifadesi öyle x lerden oluşur ki diye okunur. Örnek: Kilis in ilçeleri Canlı yada cansız varlıkların oluşturduğu iyi tanımlanmış nesneler topluluğuna küme denir. KÜMELER urada x : ifadesi öyle x lerden oluşur ki diye okunur. iyi tanımlanmış: herkes tarafından kabul edilen

Detaylı

ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ MODÜLER ARİTMETİK

ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ MODÜLER ARİTMETİK ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ MODÜLER ARİTMETİK ÇANAKKALE 2012 ÖNSÖZ Bu kitap Çanakkale Onsekiz Mart Üniversitesi Matematik Bölümünde lisans dersi olarak Cebirden

Detaylı

1. ÜNİTE TAM SAYILAR KONULAR 1. SAYILAR

1. ÜNİTE TAM SAYILAR KONULAR 1. SAYILAR 1. ÜNİTE TAM SAYILAR KONULAR 1. SAYILAR 2. Doğal Sayılar 3. Sayma Sayıları 4. Tam Sayılar(Yönlü sayılar) 5. Tam sayılarda Dört İşlem 6. Tek ve çift sayılar 7. Asal Sayılar 8. Bölünebilme Kuralları 9. Asal

Detaylı

Örnek...3 : 8 x (mod5) denkliğini sağlayan en küçük pozitif doğal sayısı ile en büyük negatif tam sa yısının çarpım ı kaçtır?

Örnek...3 : 8 x (mod5) denkliğini sağlayan en küçük pozitif doğal sayısı ile en büyük negatif tam sa yısının çarpım ı kaçtır? MOD KAVRAMI (DENKLİK) a ve b tam sayıları arasındaki fark bir m pozitif tam sayısına tam bölünebiliyorsa bu sayılara m modülüne göre denktir denir ve a b(modm) yazılır. Yani m Z +,m (a b) a b (mod m) dir

Detaylı

KTO KARATAY ÜNİVERSİTESİ Temel Bilgisayar 2. Hazırlayan : Erdem YAVUZ

KTO KARATAY ÜNİVERSİTESİ Temel Bilgisayar 2. Hazırlayan : Erdem YAVUZ KTO KARATAY ÜNİVERSİTESİ Temel Bilgisayar 2 Hazırlayan : Erdem YAVUZ FORMULLER Formül Çubuğuna yazmış olduğumuz formuller sayaesinde hücreler arasında matematiksel işlemler yapabiliriz. Excel de formüller

Detaylı

İÇİNDEKİLER TOPLAMA YOLUYLA SAYMA YÖNTEMİ...59-60... 01-01 ÇARPMA YOLUYLA SAYMA YÖNTEMİ...61-64... 02-03 FAKTÖRİYEL...65-66...

İÇİNDEKİLER TOPLAMA YOLUYLA SAYMA YÖNTEMİ...59-60... 01-01 ÇARPMA YOLUYLA SAYMA YÖNTEMİ...61-64... 02-03 FAKTÖRİYEL...65-66... İÇİNDEKİLER Sayfa No Test No 3-PERMÜTASYON, KOMBİNASYON, BİNOM, OLASILIK VE İSTATİSTİK TOPLAMA YOLUYLA SAYMA YÖNTEMİ...59-60... 01-01 ÇARPMA YOLUYLA SAYMA YÖNTEMİ...61-64... 0-03 FAKTÖRİYEL...65-66...

Detaylı

Vektör Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN

Vektör Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN Vektör Uzayları Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 4 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Matematik ve mühendislikte birçok uygulamaları olan cebirsel yapılardan vektör uzayı ve alt uzay kavramlarını

Detaylı

Onlu Sayılandırmadan Dönüştürme

Onlu Sayılandırmadan Dönüştürme Onlu Sayılandırmadan Dönüştürme Sekizli ve onaltılı sayı sistemleri, ikilinin (2 tabanı) çarpanı olan tabanlara sahiptir, onaltılı yada sekizli ve ikili arasında geri ve ileri dönüşüm çok kolaydır İkili,

Detaylı

Hipotez Testinin Temelleri

Hipotez Testinin Temelleri Hipotez Testleri Hipotez Testinin Temelleri Tanımlar: Hipotez teori, önerme yada birinin araştırdığı bir iddiadır. Boş Hipotez, H 0 popülasyon parametresi ile ilgili şu anda kabul edilen değeri tanımlamaktadır.

Detaylı

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 MATEMATİK TESTİ 19 HAZİRAN 2016 PAZAR Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının

Detaylı

ALGORİTMA İ VE PROGRAMLAMA

ALGORİTMA İ VE PROGRAMLAMA ALGORİTMA İ VE PROGRAMLAMA II Öğr.Gör.Erdal GÜVENOĞLU Hafta 2 Maltepe Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü ALGORİTMA ANALİZİ 2 Neden algoritmayı analiz ederiz? Algoritmanın performansını ölçmek

Detaylı

TOPLAMADA KISAYOLLAR

TOPLAMADA KISAYOLLAR ARDIŞIK SAYILARIN TOPLANMASI TOPLAMADA KISAYOLLAR 1 Kural: Gruptaki en küçük sayı ile en büyük sayıyı topla, sonucu gruptaki sayıların miktarıyla çarp ve sonucu 2 ye böl. Örneğin 33 den 41 e kadar olan

Detaylı

Örnek...2 : Örnek...3 : Örnek...1 : MANTIK 1. p: Bir yıl 265 gün 6 saattir. tan ım lam ak denir. ya nlış ye rine 0 sim gesi kullan ılır.

Örnek...2 : Örnek...3 : Örnek...1 : MANTIK 1. p: Bir yıl 265 gün 6 saattir. tan ım lam ak denir. ya nlış ye rine 0 sim gesi kullan ılır. Terim: Bir bilim dalı içerisinde konuşma dilinden farklı anlam ı olan sözcüklerden her birine o bilim dalının bir terimi denir. Önermeler belirtilirler.,,r,s gibi harflerle Örneğin açı bir geometri terimi,

Detaylı

Türev Kavramı ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV

Türev Kavramı ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV Türev Kavramı Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 9 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; türev kavramını anlayacak, türev alma kurallarını öğrenecek, türevin geometrik ve fiziksel anlamını kavrayacak,

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT223 AYRIK MATEMATİK Kombinatoryal Yöntemler 2. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Tümevarım Yöntemi Kombinatoryal Yöntemler Tümevarım

Detaylı

Şekil 2. Azalan f fonksiyonunun grafiği

Şekil 2. Azalan f fonksiyonunun grafiği 3. ÖLÇÜLEBİLİR FONKSİYONLAR SORU 1: f : R R azalan fonksiyon ise f fonksiyonu Borel ölçülebilir midir? ÇÖZÜM 1: Şekil 2. Azalan f fonksiyonunun grafiği α R için f 1 ((α, )) := {x R : f (x) > α} B (R) olduğunu

Detaylı

TAM SAYILARLA İŞLEMLER

TAM SAYILARLA İŞLEMLER TAM SAYILARLA İŞLEMLER 5 4 3 2 1 1 TAM SAYILARLA TOPLAMA İŞLEMİ Devlet Meteoroloji İşleri Genel Müdürlüğü, bilimsel ve teknolojik gelişmeler ışığında meteorolojik gözlemler, hava tahminleri ve iklim değişiklikleri

Detaylı

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A Contents 1 İyi Sıralama 5 Bibliography 13 1 İyi Sıralama Well Ordering İyi sıralama kavramı, doğal sayıların

Detaylı

Asal Sayılar Ali Nesin

Asal Sayılar Ali Nesin Asal Sayılar Ali Nesin B irden ve kendisinden başka sayıya bölünmeyen sayılara asal sayı denir 1. Örneğin 17 asaldır, çünkü 1 ve 17 den başka sayıya (tam olarak) bölünmez. Öte yandan 35 asal değildir,

Detaylı

MATEMATİK DERSİNİN İLKÖĞRETİM PROGRAMLARI VE LİSELERE GİRİŞ SINAVLARI AÇISINDAN DEĞERLENDİRİLMESİ

MATEMATİK DERSİNİN İLKÖĞRETİM PROGRAMLARI VE LİSELERE GİRİŞ SINAVLARI AÇISINDAN DEĞERLENDİRİLMESİ MATEMATİK DERSİNİN İLKÖĞRETİM PROGRAMLARI VE LİSELERE GİRİŞ SINAVLARI AÇISINDAN DEĞERLENDİRİLMESİ Ahmet ÇOBAN Cumhuriyet Üniversitesi, Eğitim Fakültesi, İlköğretim Bölümü, SİVAS ÖZET: Bu araştırma, Matematik

Detaylı

Adınız ve Soyadınız: Doğum Tarihiniz: Sorular hakkındaki genel düşünceniz:

Adınız ve Soyadınız: Doğum Tarihiniz: Sorular hakkındaki genel düşünceniz: Adınız ve Soyadınız: Doğum Tarihiniz: Sorular hakkındaki genel düşünceniz: Soru 1 (15 puan): Dedektif Konan bir gün çok ilginç bir vakayla karşılaşır: Ünlü bir matematikçi iş yerinde güpegündüz ölü bulunur.

Detaylı

Algoritmalara Giriş 6.046J/18.401J

Algoritmalara Giriş 6.046J/18.401J Algoritmalara Giriş 6.046J/18.401J DERS 13 Amortize Edilmiş Analiz Dinamik Tablolar Birleşik Metod Hesaplama Metodu Potansiyel Metodu Prof. Charles E. Leiserson Kıyım tablosu ne kadar büyük olmalı? Amaç

Detaylı

KODLAMA SİSTEMLERİNİN TANIMI :

KODLAMA SİSTEMLERİNİN TANIMI : KODLAMA SİSTEMLERİ KODLAMA SİSTEMLERİNİN TANIMI : Kodlama, iki küme elemanları arasında karşılıklı kesin olarak belirtilen kurallar bütünüdür diye tanımlanabilir. Diğer bir deyişle, görünebilen, okunabilen

Detaylı

Sınavlarda yer alan sorular, zorluk düzeylerine gore 5 e ayrılmaktadır.

Sınavlarda yer alan sorular, zorluk düzeylerine gore 5 e ayrılmaktadır. Sınavlarda yer alan sorular, zorluk düzeylerine gore 5 e ayrılmaktadır. Zorluk düzeyi Testeki yüzdesi 1. Çok Kolay %10 2. Kolay %20 3. Normal %40 4. Zor %20 5. Çok Zor %10 Aynı test içindeki soruların

Detaylı

01/04/1981-23/05/2002-01/06/2002-01/10/1999 TARİHLERİ EMEKLİLİKTE BELİRLEYİCİ ROL OYNAR

01/04/1981-23/05/2002-01/06/2002-01/10/1999 TARİHLERİ EMEKLİLİKTE BELİRLEYİCİ ROL OYNAR 01/04/1981-23/05/2002-01/06/2002-01/10/1999 TARİHLERİ EMEKLİLİKTE BELİRLEYİCİ ROL OYNAR Okurlarımızdan ilginç sorular geliyor. Bilgimiz doğrultusunda bu ilginç soruları tüm okurlar yararlanması için sizlerle

Detaylı

kpss ezberbozan serisi MATEMATİK GEOMETRİ SORU BANKASI Eğitimde

kpss ezberbozan serisi MATEMATİK GEOMETRİ SORU BANKASI Eğitimde kpss ezberbozan serisi 2016 MATEMATİK GEOMETRİ SORU BANKASI Eğitimde 29. yıl KOMİSYON KPSS EZBERBOZAN MATEMATİK - GEOMETRİ SORU BANKASI ISBN 978-605-318-360-0 Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu

Detaylı

Matematiksel Beceriler (Ortaöğretim Matematik Dersi Öğretim Programı)

Matematiksel Beceriler (Ortaöğretim Matematik Dersi Öğretim Programı) Matematiksel Beceriler (Ortaöğretim Matematik Dersi Öğretim Programı) 1. Matematiksel Modelleme ve Problem Çözme Matematiksel modelleme, hayatın her alanındaki problemlerin doğasındaki ilişkileri çok daha

Detaylı

Tekrar

Tekrar İŞLEM KAVRAMI Tekrar Kazanımlar T.C. Milli Eğitim Bakanlığı tarafından okulöncesi eğitim dönemi için işlem kavramı için belirlenen kazanımlar ve göstergeler şunlardır. Kazanım 16. Nesneleri

Detaylı

DERS 1. ki De i kenli Do rusal Denklem Sistemleri ve Matrisler

DERS 1. ki De i kenli Do rusal Denklem Sistemleri ve Matrisler DERS ki De i kenli Do rusal Denklem Sistemleri ve Matrisler.. Do rusal Denklem Sistemleri. Günlük a amda a a dakine benzer pek çok problemle kar la r z. Problem. Manavdan al veri eden bir mü teri, kg armut

Detaylı

İNSAN KIYMETLERİ YÖNETİMİ 4

İNSAN KIYMETLERİ YÖNETİMİ 4 İNSAN KIYMETLERİ YÖNETİMİ 4 İKY PLANLANMASI 1)Giriş 2)İK planlanması 3)İK değerlendirilmesi 4)İK ihtiyacının belirlenmesi 2 İnsanların ihtiyaçları artmakta ve ihtiyaçlar giderek çeşitlenmektedir. İhtiyaçlardaki

Detaylı

BOSSA DIŞ GİYİM İŞLETMESİNDE FASON İPLİK İMALATI TERMİN SÜRELERİNE ALTI SIGMA ARAÇLARI İLE İSTATİSTİKSEL YAKLAŞIM

BOSSA DIŞ GİYİM İŞLETMESİNDE FASON İPLİK İMALATI TERMİN SÜRELERİNE ALTI SIGMA ARAÇLARI İLE İSTATİSTİKSEL YAKLAŞIM 1 BOSSA DIŞ GİYİM İŞLETMESİNDE FASON İPLİK İMALATI TERMİN SÜRELERİNE ALTI SIGMA ARAÇLARI İLE İSTATİSTİKSEL YAKLAŞIM İbrahim ÖRGERİN ÖZET Bu çalışmada, BOSSA Dış Giyim İşletmeleri nde fason iplik imalatı

Detaylı

8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR

8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR 8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR Şimdiye kadar bir gruptan diğer bir gruba tanımlı olan fonksiyonlarla ilgilenmedik. Bu bölüme aşağıdaki tanımla başlayalım. Tanım 8.1: G, ve H, iki grup ve f : G H

Detaylı

Regresyon ve İnterpolasyon. Rıdvan YAKUT

Regresyon ve İnterpolasyon. Rıdvan YAKUT Regresyon ve İnterpolasyon Rıdvan YAKUT Eğri Uydurma Yöntemleri Regresyon En Küçük Kareler Yöntemi Doğru Uydurma Polinom Uydurma Üstel Fonksiyonlara Eğri Uydurma İnterpolasyon Lagrange İnterpolasyonu (Polinomal

Detaylı

İlginç Bir Örnek- İhtimal İntegrali

İlginç Bir Örnek- İhtimal İntegrali İlginç Bir Örnek- İhtimal İntegrali İhtimaller hesabı, matematikte bile analitik olarak çözülemiyen problemler için işe yaramaktadır. Buna bir örnek teşkil etmesi bakımından gelişi güzel bir alanın nasıl

Detaylı

Okunabilir Kod Yazım Standartları: Şiir Gibi Kod Yazmak

Okunabilir Kod Yazım Standartları: Şiir Gibi Kod Yazmak Okunabilir Kod Yazım Standartları: Şiir Gibi Kod Yazmak Okunabilirlik nedir? Neden önemlidir? Okunabilir kod, kodu yazanını dışında bir programcı tarafından okunduğunda ne işe yaradığı anlaşılabilen, girintilenmesi,

Detaylı

13.Konu Reel sayılar

13.Konu Reel sayılar 13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık

Detaylı

Bilgisayar Programlama MATLAB

Bilgisayar Programlama MATLAB What is a computer??? Bilgisayar Programlama MATLAB M-dosya yapısı Kontrol yapıları Prof. Dr. İrfan KAYMAZ What M-dosya is a computer??? yapısı Bir senaryo dosyası (script file) özel bir görevi yerine

Detaylı

1.4. KISMİ SIRALAMA VE DENKLİK BAĞINTILARI

1.4. KISMİ SIRALAMA VE DENKLİK BAĞINTILARI Reel sayılar kümesinin "küçük ya da eşit", bağıntısı ile sıralanmış olduğunu biliyoruz. Bu bağıntı herhangi bir X kümesine aşağıdaki şekilde genelleştirilebilir. Bir X kümesi üzerinde aşağıdaki yansıma,

Detaylı

Toplam Olasılık Kuralı

Toplam Olasılık Kuralı Toplam Olasılık Kuralı Farklı farklı olaylara bağlı olarak başka bir olayın olasılığını hesaplamaya yarar: P (B) = P (A 1 B) + P (A 2 B) +... + P (A n B) = P (B/A 1 )P (A 1 ) + P (B/A 2 )P (A 2 ) +...

Detaylı

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ AYRIK YAPILAR P r o f. D r. Ö m e r A k ı n v e Y r d. D o ç. D r. M u r a t Ö z b a y o ğ l u n u n Ç e v i r i E d i t ö r l ü ğ ü n ü ü s t l e n d i ğ i «A y r ı k M a t e m a t i k v e U y g u l a

Detaylı

Çocuk, Ergen ve Genç Yetişkinler İçin Kariyer Rehberliği Programları Dizisi

Çocuk, Ergen ve Genç Yetişkinler İçin Kariyer Rehberliği Programları Dizisi Editörden Önsöz Çocuk, Ergen ve Genç Yetişkinler için Kariyer Rehberliği Programları Dizisi, kariyer rehberliği uygulamaları yapması gereken psikolojik danışmanlar için hazırlanmış sınıf / grup rehberliği

Detaylı

Yaratıcılık. Yağ nereye gidiyor?

Yaratıcılık. Yağ nereye gidiyor? Marmara Üniversitesi İşletme Fakültesi İşletme Bölümü Teknoloji ve Yenilik Yönetimi Dersi Yağ nereye gidiyor? Yrd. Doç. Dr. M. Volkan Türker 1 Sahibi veya yöneticisi olduğunuz firma ayçiçek yağı satın

Detaylı

MATEMATİK DERSİ PROJE KONULARI 6.SINIFLAR

MATEMATİK DERSİ PROJE KONULARI 6.SINIFLAR 6.SINIFLAR SAYILAR Yurt içinde bir aylık gezi Gezmek istedikleri bir şehir ile ilgili açıklama yapıp kalacakları ve gezecekleri yerleri belirleyerek gezi bütçesi oluşturma. KÜMELER İSTATİSTİK VE Fotoğraf

Detaylı

Kitap Tanıtımı. Remziye YILMAZ. AüİFD Ci lt XLIV (2003) Sayı 2 s. 355-360

Kitap Tanıtımı. Remziye YILMAZ. AüİFD Ci lt XLIV (2003) Sayı 2 s. 355-360 AüİFD Ci lt XLIV (2003) Sayı 2 s. 355-360 Kitap Tanıtımı Remziye YILMAZ Dr., Ankara Üniversitesi İlahiyat Fakültesi.. İ(~öğretim 6. 7. ve 8. Sul/fiar için Din Kültürü ve Ahlak Bilgisi Öğretimi Ozel Oğretim

Detaylı

Cebir Notları. Kümeler. 2003. Mustafa YAĞCI,

Cebir Notları. Kümeler.  2003. Mustafa YAĞCI, www.mustafayagci.com, 2003 Cebir Notları Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Geometri derslerimizin başında nokta, doğru ve düzlem in neden tanımsız olduklarını hatta neden tanımsız olmak zorunda olduklarını

Detaylı

İşletmelerin rekabet avantajlarını koruyabilmeleri için sürekli olarak inovasyon yapmaları gerekir. Bunun için de ürettikleri ürünleri ve sundukları

İşletmelerin rekabet avantajlarını koruyabilmeleri için sürekli olarak inovasyon yapmaları gerekir. Bunun için de ürettikleri ürünleri ve sundukları İNOVASYON SÜRECİ İşletmelerin rekabet avantajlarını koruyabilmeleri için sürekli olarak inovasyon yapmaları gerekir. Bunun için de ürettikleri ürünleri ve sundukları hizmetleri daha iyi, daha yararlı,

Detaylı

NESNEYE DAYALI PROGRAMLAMA VE C++

NESNEYE DAYALI PROGRAMLAMA VE C++ NESNEYE DAYALI PROGRAMLAMA VE C++ İstanbul Teknik Üniversitesi 1.1 Dersin Amacı: GİRİŞ Nesneye Dayalı Programlama (Object-Oriented Programming) ve Üretken Programlama (Generic Programming) yöntemlerini

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Ders 4: OLASILIK TEORİSİ Prof. Dr. İrfan KAYMAZ Giriş Bu bölüm sonunda öğreneceğiniz konular: Rastgele Olay Örnek Uzayı Olasılık Aksiyomları Bağımsız ve Ayrık Olaylar Olasılık Kuralları

Detaylı

Nusret Hızır : Bilimin Işığında Felsefe

Nusret Hızır : Bilimin Işığında Felsefe Nusret Hızır : Bilimin Işığında Felsefe Ülkemizin büyük felsefecilerinden olan Nusret Hızır ın Bilimin Işığında Felsefe adlı eseri Kırmızı Yayınları tarafından basılmıştır. Dil, mantık, bilim felsefesi

Detaylı

BİRİNCİ BÖLÜM SAYILAR

BİRİNCİ BÖLÜM SAYILAR İÇİNDEKİLER BİRİNCİ BÖLÜM SAYILAR 1.1 Tamsayılarda İşlemler... 2 1.1.1 Tek, Çift ve Ardışık Tamsayılar... 5 1.2 Rasyonel Sayılar... 6 1.2.1 Kesirlerin Birbirine Çevrilmesi... 7 1.2.2 Kesirlerin Genişletilmesi

Detaylı

π θ = olarak bulunur. 2 θ + θ θ θ θ θ π 3 UŞAK FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ ANALİZ II VİZE SORULARI ÇÖZÜMLERİ 22.04.

π θ = olarak bulunur. 2 θ + θ θ θ θ θ π 3 UŞAK FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ ANALİZ II VİZE SORULARI ÇÖZÜMLERİ 22.04. UŞAK FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ ANALİZ II VİZE SORULARI ÇÖZÜMLERİ.04.006. Aşağıdaki gibi, M ve M merkezli br yarıçaplı iki dairenin kesişimi şeklinde bir park inşa edilmektedir. Bu iki dairenin

Detaylı

Şekil1. Dönüşümleri yapılmış raster hazır

Şekil1. Dönüşümleri yapılmış raster hazır RASTER SAYISALLAŞTIRMA Raster ve Dönüşüm Đşlemleri başlıklı dersimizde elimizde resim olarak, hatta çıktısı alınmış bir kağıt olarak bulunan bir harita ya da paftanın Netcad ortamına aktarılarak koordinat

Detaylı

SINAVA HAZIRLANAN BİR ERGENİN ANNE-BABASI OLMAK

SINAVA HAZIRLANAN BİR ERGENİN ANNE-BABASI OLMAK Uzm. Psikolog Nuray ÖZBEN AVŞAR SINAVA HAZIRLANAN BİR ERGENİN ANNE-BABASI OLMAK TEOG sınavının yaklaştığı bu dönemde öğrencilerimiz de velilerimiz de haklı bir kaygı içerisindeler. Sınavlar da başarılı

Detaylı

. İLKOKULU 2/ A SINIFI MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK BEP PLANI

. İLKOKULU 2/ A SINIFI MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK BEP PLANI EYLÜL. İLKOKULU 2/ A SINIFI MATEMATİK İ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK BEP PLANI VARLIKLAR ARASINDAKİ İLİŞKİLER KISA DÖNEMLİ 1: Varlıkları az ve çok olma durumuna göre ayırt eder. 1. Farklı miktardaki iki varlık

Detaylı

8. SINIF KONU : ÜSLÜ SAYILAR

8. SINIF KONU : ÜSLÜ SAYILAR NEGATİF ÜS DİKKAT : Kuvvet negatif olduğunda ifade anlamsızdır bu şekilde değerini bulmak imkansızdır. Anlamlı olması için mutlaka kuvvetin pozitif hale getirilmesi gerekir. ÜSSÜN ÜSSÜ NEDEN İŞARET TESPİTİ

Detaylı

Fonksiyon Kavramı ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof. Dr. Vakıf CAFEROV

Fonksiyon Kavramı ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof. Dr. Vakıf CAFEROV Fonksiyon Kavramı Yazar Prof. Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 3 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; fonksiyon kavramını tanıyacak, bir fonksiyonun bire-bir ve örten olup olmadığını araştırabilecek, iki fonksiyonun

Detaylı

ARAŞTIRMA YAKLAŞIM - DESEN ve YÖNTEMLERİ

ARAŞTIRMA YAKLAŞIM - DESEN ve YÖNTEMLERİ ARAŞTIRMA YAKLAŞIMLARI ARAŞTIRMA YAKLAŞIM - DESEN ve YÖNTEMLERİ NİCEL NİTEL KARMA Mustafa SÖZBİLİR 2 Nicel, Nitel ve Karma Araştırma Nicel Araştırma Nitel Araştırma Nicel araştırma Nitel araştırma NİCEL:

Detaylı

t sayı tabanı ve üzere, A (abcde) sayısının basamakları: ( 2013) sayısını çözümleyelim. A (abcde) sayısının, ( 30214) sayısını çözümleyelim.

t sayı tabanı ve üzere, A (abcde) sayısının basamakları: ( 2013) sayısını çözümleyelim. A (abcde) sayısının, ( 30214) sayısını çözümleyelim. SAYI SİSTEMLERİ A. Basamak ve Taban Bir doğal sayıyı oluşturan rakamlardan her birine basamak, rakamların bulundukları yerdeki değerine basamak değeri ve bu doğal sayının tanımlandığı sayı sistemine de

Detaylı

Dinamik Sistemler ve Kaos (MATH 467) Ders Detayları

Dinamik Sistemler ve Kaos (MATH 467) Ders Detayları Dinamik Sistemler ve Kaos (MATH 467) Ders Detayları Ders Adı Ders Kodu Dönemi Ders Saati Uygulama Saati Laboratuar Saati Kredi AKTS Dinamik Sistemler ve Kaos MATH 467 Seçmeli 4 0 0 4 6 Ön Koşul Ders(ler)i

Detaylı

söylemektedir. Robin Sharma ismini söylediğim zaman tanıyanının pek çıkmadığını; fakat kitaplarından bir tanesini Ferrari sini Satan

söylemektedir. Robin Sharma ismini söylediğim zaman tanıyanının pek çıkmadığını; fakat kitaplarından bir tanesini Ferrari sini Satan MÜKEMMELLİK REHBERİ Bu zamanlarda en çok okunan kitapların başında kişisel gelişim kitapları gelir ve bu yüzden en azından bir tane de olsa kişisel gelişim kitaplarından bahsetmek gerekir. Piyasada çok

Detaylı

1. DERECEDEN İKİ BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER

1. DERECEDEN İKİ BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER 1. DERECEDEN İKİ BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER Örnek...3 : 3 x+ y= 5 2x 3 =2 y s i s t e m i n i s a ğ l a ya n y d e ğ e r i k aç t ır? a, b, c R, a 0, b 0, x v e y d e ğ i şk e n o l m a k ü ze r e, a x+ b

Detaylı

Cinsiyet Eşitliği MALTA, PORTEKİZ VE TÜRKİYE DE İSTİHDAM ALANINDA CİNSİYET EŞİTLİĞİ İLE İLGİLİ GÖSTERGELER. Avrupa Birliği

Cinsiyet Eşitliği MALTA, PORTEKİZ VE TÜRKİYE DE İSTİHDAM ALANINDA CİNSİYET EŞİTLİĞİ İLE İLGİLİ GÖSTERGELER. Avrupa Birliği Cinsiyet Eşitliği MALTA, PORTEKİZ VE TÜRKİYE DE İSTİHDAM ALANINDA CİNSİYET EŞİTLİĞİ İLE İLGİLİ GÖSTERGELER Projenin Malta, Portekiz ve Türkiye de cinsiyet ayrımcılığı problemlerini çözme amacıyla ilgili

Detaylı

ÖĞRETİMİN ANALİZİ VE PLANLAMASI. Öğretim Araç-Gereçlerinin Öğretimdeki Yeri ve Önemi ÖĞRETİM ANALİZİ 10.03.2012 ÖĞRETİM ANALİZİ.

ÖĞRETİMİN ANALİZİ VE PLANLAMASI. Öğretim Araç-Gereçlerinin Öğretimdeki Yeri ve Önemi ÖĞRETİM ANALİZİ 10.03.2012 ÖĞRETİM ANALİZİ. ÖĞRETİMİN ANALİZİ VE PLANLAMASI Öğretim Araç-Gereçlerinin Öğretimdeki Yeri ve Önemi ÖĞRETİM ANALİZİ Ne Öğretilecek? Nasıl Öğretilecek? ÖĞRETİM ANALİZİ ANALİZ TASARIM VE GELİŞTİRME DEĞERLENDİRME Öğretim

Detaylı

Makine Öğrenmesi 1. hafta

Makine Öğrenmesi 1. hafta Makine Öğrenmesi 1. hafta Temel Terimler Danışmanlı Danışmansız Öğrenme Veri Hazırlama Çapraz Geçerlik Aşırı Eğitim 1 Makine Ögrenmesi Nedir? Makine Öğrenmesi, verilen bir problemi probleme ait ortamdan

Detaylı

matematik sayısal akıl yürütme mantıksal akıl yürütme

matematik sayısal akıl yürütme mantıksal akıl yürütme kpss 2014 Yeni sorularla yeni sınav sistemine göre hazırlanmıştır. matematik sayısal akıl yürütme mantıksal akıl yürütme geometri soru bankası tamamı çözümlü Kenan Osmanoğlu, Kerem Köker KPSS Matematik-Geometri

Detaylı

Matematik Paradoksları

Matematik Paradoksları Matematik Paradoksları David Pierce 4 Aralık 2014 Matematik Bölümü Mimar Sinan Güzel Sanatlar Universitesi dpierce@msgsu.edu.tr http://mat.msgsu.edu.tr/~dpierce/ İçindekiler 1 Giriş 1 2 Paradoks sözcüğü

Detaylı

ÇOCUK VE KİTAP Çocuk ve kitap, birbirini bütünleyen ve birbirine çok yakışan, iki değerli kelime... Çocuklara okul öncesi çağlarında kitapları tanıtma

ÇOCUK VE KİTAP Çocuk ve kitap, birbirini bütünleyen ve birbirine çok yakışan, iki değerli kelime... Çocuklara okul öncesi çağlarında kitapları tanıtma ÖZEL ATACAN EĞİTİM KURUMLARI ÇOCUK VE KİTAP ANAOKULU REHBERLİK SERVİSİ VELİ BÜLTENİ NİSAN- 2008 ÇOCUK VE KİTAP Çocuk ve kitap, birbirini bütünleyen ve birbirine çok yakışan, iki değerli kelime... Çocuklara

Detaylı

Ders Anlatım Föyü Nedir?

Ders Anlatım Föyü Nedir? www.bilgiyoluyayincilik.com www.dersanlatimfoyleri.com Ders Anlatım Föyü Nedir? Bir konunun anlatılması ve öğrenilmesi için gereken bilgileri ve adımları içeren en küçük yapıdaki kitapçıktır. Her föy bir

Detaylı

... ... ... ... 2... ... ... 13... ... ... Ders: Konu: TEOG. Yaprak No: Copyright: MİKRO ANLATIM. Kazanım: Üslü sayılar ile ilgili kuralları hatırlar.

... ... ... ... 2... ... ... 13... ... ... Ders: Konu: TEOG. Yaprak No: Copyright: MİKRO ANLATIM. Kazanım: Üslü sayılar ile ilgili kuralları hatırlar. Ders: Konu: TEOG Yaprak No: Copyright: MİKRO ANLATIM Matematik Üslü Sayılar- ÇALIŞMA DEFTERİ Bilal KICIROĞLU Kazanım: Üslü sayılar ile ilgili kuralları hatırlar. ÜSLÜ SAYILAR- Bu içerikte öncelikle üslü

Detaylı

9 / A SINIFI MATEMATİK PROJESİ İSPAT TEKNİKLERİ HAZIRLAYANLAR: Alphan DİNÇ Çağatay YÜCEL Murat KUZU Evrim GÖKSEL Yiğit GÜLBAĞ

9 / A SINIFI MATEMATİK PROJESİ İSPAT TEKNİKLERİ HAZIRLAYANLAR: Alphan DİNÇ Çağatay YÜCEL Murat KUZU Evrim GÖKSEL Yiğit GÜLBAĞ 9 / A SINIFI MATEMATİK PROJESİ İSPAT TEKNİKLERİ HAZIRLAYANLAR: Alphan DİNÇ Çağatay YÜCEL Murat KUZU Evrim GÖKSEL Yiğit GÜLBAĞ Ders Öğretmeni: Vildan MERİÇ 1 İçindekiler... 1. İspat Amacı 2. Matematiğin

Detaylı

Volume: 12 Issue: 2 Year: 2015

Volume: 12 Issue: 2 Year: 2015 Volume: 12 Issue: 2 Year: 2015 Logicality of second-order logic: A critical inquiry on the related debates İkinci seviye mantığın mantıksallığı: İlgili tartışmalar üzerine eleştirel bir değerlendirme Ali

Detaylı

Mantık Sinyal Voltaj Düzeyleri

Mantık Sinyal Voltaj Düzeyleri Mantık Sinyal Voltaj Düzeyleri Mantık geçit devreleri sadece iki tip sinyal giriş ve çıkışı için dizayn edilmiştir: "yüksek" (1) ve "düşük" (0) gibi değişken gerilim tarafından temsil edilir: "yüksek"

Detaylı

İçindekiler 3. Türev... 3.1 Türev kavramı.. 001 3.2 Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi. 003. Alıştırmalar 3 1...

İçindekiler 3. Türev... 3.1 Türev kavramı.. 001 3.2 Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi. 003. Alıştırmalar 3 1... İçindekiler. Türev......... Türev kavramı.. 00. Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi. 00. Alıştırmalar.... 005. Bir fonksiyonun bir noktadaki soldan ve sağdan türevi..... 006.4 Bir fonksiyonun bir noktadaki

Detaylı

ÖNERİLER 1.Çocuk başkalarının yanında kesinlikle eleştirilmemelidir. (Abisi ve kardeşi de dahil) 2.Kardeşi ve başkaları ile kıyaslanmamalıdır.

ÖNERİLER 1.Çocuk başkalarının yanında kesinlikle eleştirilmemelidir. (Abisi ve kardeşi de dahil) 2.Kardeşi ve başkaları ile kıyaslanmamalıdır. ÖNERİLER 1.Çocuk başkalarının yanında kesinlikle eleştirilmemelidir. (Abisi ve kardeşi de dahil) 2.Kardeşi ve başkaları ile kıyaslanmamalıdır. 3.Anne ve baba aile ortamında çocuğa sevgi gösterisinde bulunmalı,

Detaylı

8. ÜNİTE TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR

8. ÜNİTE TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR 8. ÜNİTE TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR KONULAR 1. TRİGONOMETRİ 2. Açı 3. Yönlü Açı 4. Yönlü Yaylar 5. Birim Çember 6. Açı Ölçü Birimleri 7. Derece 8. Radyan 9. Grad 10. Esas Ölçü 11. TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR

Detaylı

J ~ -. - özleşmelerin biçimini incele el davranışları ve bunlar aı üme vs.) ile ilgili temel soruı

J ~ -. - özleşmelerin biçimini incele el davranışları ve bunlar aı üme vs.) ile ilgili temel soruı J ~ -. - özleşmelerin biçimini incele el davranışları ve bunlar aı üme vs.) ile ilgili temel soruı ıkro ekonomiyi kişisel dav risine yönelmişlerdir Böyle niştir. Neoklasik teori ile O elin bir çözüme sahip

Detaylı

20. ÜNİTE ASENKRON MOTORLARA YOL VERME YÖNTEMLERİ

20. ÜNİTE ASENKRON MOTORLARA YOL VERME YÖNTEMLERİ 20. ÜNİTE ASENKRON MOTORLARA YOL VERME YÖNTEMLERİ KONULAR 1. Üç Fazlı Asenkron Motorlara a. Direk Yol Verme b. Yıldız-Üçgen Yol Verme 2. Uzaktan (İki Yerden) Kumanda 3. Enversör (Sağ-Sol) Çalıştırma 4.

Detaylı

SEKÜLER TREND 0341110029 BARıŞ ÖLMEZ. İNSANDA SEKÜLER DEĞİŞİM Türkiye de Seküler Değişim

SEKÜLER TREND 0341110029 BARıŞ ÖLMEZ. İNSANDA SEKÜLER DEĞİŞİM Türkiye de Seküler Değişim SEKÜLER TREND 0341110029 BARıŞ ÖLMEZ İNSANDA SEKÜLER DEĞİŞİM Türkiye de Seküler Değişim İnsanın fiziksel boyutlarında (antropometrik ölçülerinde) kuşaklar arasında ya da uzun bir zaman diliminde değişmelerin

Detaylı