15. Bağıntılara Devam:

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "15. Bağıntılara Devam:"

Transkript

1 15. Bağıntılara Devam: Yerel Bağıntılardan Örnekler: Doğal sayılar kümesi üzerinde bir küçüğüdür (< 1 ) bağıntısı: < 1 {(x, x+1) x N} {(0,1), (1, 2), } a< 1 b yazıldığında, a doğal sayılarda bir küçüktür b olarak okunur. Örneğin, 4< 1 5, 7< 1 8 Doğal sayılar kümesi üzerinde küçüktür (<N) bağıntısı (özyineleyişli tanım): a, b N için, (a, b) <N, yani a<n b ( a doğal sayılarda küçüktür b ) olur, şayet Kural-1 a< 1 b ise, Kural-2 Bir c N için, a<n c, ve c< 1 b ise. Buna göre örneğin, 3< 1 4 olduğu için, 3<N 4 olur (Kural-1); ve 3<N 4 olmakla beraber 4< 1 5 olduğu için, 3<N 5 olur (Kural-2); tekrar buna dayanarak, 3<N 5 olmakla beraber 5< 1 6 olduğu için, 3<N 6 olur (Kural-2), vs. Eksi tamsayılar kümesi üzerinde küçüktür (<Z - ) bağıntısı: -a, -b Z - için, (-a, -b) <Z -, yani -a<z - -b ( -a eksi tamsayılarda küçüktür -b ) olur, şayet b <N a ise. Tamsayılar kümesi üzerinde küçüktür (<) bağıntısı: (<) (<N) (<Z - ) (Z - N) (cins gözetimine dikkat!) Alıştırımlar: Aşağıdaki bağıntıları sıralı ikililer kümesi biçiminde gösteriniz. B 1 {0,1,2} üzerinde bağıntısı B 2 {1,2,3} üzerinde bağıntısı B 3 {0,1,2,3} üzerinde > bağıntısı B 4 {2,4,6} üzerinde bağıntısı B 5 {1,3,5,7} üzerinde bağıntısı Doğal sayılar kümesi üzerinde büyüktür (>N) bağıntısı: (>N) (<N) -1 Eksi tamsayılar kümesi üzerinde büyüktür (>Z - ) bağıntısı: (>Z - ) (<Z - ) -1 Tamsayılar kümesi üzerinde büyüktür (>) bağıntısı: (>) (<) -1 Tamsayılar kümesi üzerinde eşit () bağıntısı: () {(x,x) x Z} ()N {(x,x) x N} () Tamsayılar kümesi üzerinde büyük-eşit ( ) bağıntısı: ( ) (>) () (>) {(x,x) x Z} D. Çalıkoğlu 15-1

2 Küçüktür, büyüktür bağıntılarının hangi küme üzerinde oldukları anlaşıldığı zaman belirtici bir işarete gerek olmaz. (Ör. <N ve >N yerine sırasıyla, < ve > yazılır.) Bir Yerel Bağıntının Kuvveti Bir B A A bağıntısı olsun. Öncelikle B 0 {(a, a) a A} olarak tanımlanır. Bu B 0, A kümesi üzerindeki en küçük yansıyıcı bağıntıdır ve B -ye bağlı olmadığı kaydedilmelidir. Buna göre yukarıdaki ifade, ( ) (>) {(x,x) x Z} (>) (>) 0 olur. (>) 0 () yani, Z üzerindeki eşit bağıntısı. B 0, B -nin ne olduğuna bağlı değildir ve A kümesi üzerindeki bağıntılar üzerindeki bileşke işleminin etkisiz öğesi dir. Bir n 1 için A n ise, B 0 -ın bağ-matrisi, n n boyutlu bir birim matris tir.... ileride! Dolayısıyla, herhangi B x A A için, B 0 B x B x B 0 B x çünki bütün a A için ab 0 a -dır. Yani, her b A için abb 0 b olur, Æ abb ise; ve bb 0 Ba olur, Æ bba ise; Bir k 1 için, bir yerel bağıntı B -nin k -ıncı kuvveti B k ise şöyle tanımlanır: B k BB k-1 Bu tanıma göre, B 1 BB 0 B olur, B 2 BB 1 BB olur, vs. Bir Yerel Bağıntının Kapatanları: Bir B A A bağıntısı olsun. Bunun Geçişli Kapatanı şöyledir: B + k 1 B k B 1 B 2 Soru: A -ya göre, B + -nın niceliği hakkında ne denebilir? (En çok A A -nın niceliği kadar.) B bağıntısı geçişli olmasa dahi, B + geçişlidir. B bağıntısı geçişli ise, B + B olur. B bağıntısı geçişlidir, E&A B + B ise. B 2 : B -yi geçişli yapabilmek için gereken bütün sıralı ikililer kümesi olsun. B B 2 B + ve B + - B B 2 olur. Eğer B + B ise, B 2. B + A A olur mu? B -nin Yansıyıcı ve Geçişli Kapatanı ise şöyledir: B * B 0 B + B 0 B 1 B 2 Buna göre yukarıdaki ifade, D. Çalıkoğlu 15-2

3 ( ) (>) {(x,x) x Z} (>) (>) 0 (>)* ????????? Eşdeğerlik Nitelikleri: Bir A kümesi üzerindeki bir B (yerel) bağıntısı için söz konusu olan şu niteliklerin üçüne birden, eşdeğerlik nitelikleri denir: 1- Yansıyıcı olmak. Bu şu demektir: a A için a B a Diğer bir ifadeyle, B 0 B olmak. 2- Bakışık olmak. Bu şu demektir: a 1, a 2 A için eğer a 1 B a 2 ise a 2 B a 1 Diğer bir ifadeyle, B B -1 olmak. 3- Geçişli olmak. Bu şu demektir: a 1, a 2, a 3 A için eğer a 1 B a 2 ve a 2 B a 3 ise a 1 B a 3 Diğer bir ifadeyle, BB B 2 B olmak. Bu niteliklerin üçüne de sahip olan bir bağıntıya eşdeğerlik nitelikleri tam veya kısaca eşdeğerlik bağıntısı «equivalance relation» denir. Örnekler: Eşdeğerlik nitelikleri açısından değerlendiriniz: 1- K {1,2} için B 1 /K K {(1,1), (1,2), (2,1)} Yansıyıcı değil, çünki (2,2) yok. Bakışık, çünki (1,1) kendisiyle karşılıklı, (1,2) ile de (2,1) karşılıklı. Geçişli değil, çünki (2,1) ve (1,2) var fakat (2,2) yok. 2- K {1,2,3} için B 2 /K K {(1,2), (1,3), (2,2), (2,3)} Yansıyıcı değil, çünki (1,1) yok. Bakışık değil, çünki (1,2) var, fakat (2,1) yok. Geçişli, çünki şart sağlanmakta. Hiçbir a 1, a 2, a 3 K için a 1 B 2 a 2 ve a 2 B 2 a 3 karşılığında a 1 B 2 a 3 olmadığı yok. (1,2) ve (2,2) karşılığında (1,2) var. (1,2) ve (2,3) karşılığında (1,3) var. (2,2) ve (2,2) karşılığında (2,2) var. (2,2) ve (2,3) karşılığında (2,3) var. 3- B /{1} {1} ( 1 birlisi üzerinde boş bağıntı) Yansıyıcı değil, çünki (1,1) yok. Bakışık çünki şart sağlanmakta Yani hiçbir a 1, a 2 K için a 1 B a 2 olup da a 2 B a 1 olmadığı yok. Geçişli çünki şart sağlanmakta Yani hiçbir a 1, a 2, a 3 K için a 1 B a 2 ve a 2 B a 3 olup da a 1 B a 3 olmadığı yok. Boş küme üzerindeki boş bağıntı, B / aynı zamanda yansıyıcı; çünki şart sağlanıyor Yani hiçbir a yok ki, a B a olmasın. ( a için a B a) 4- Aynı anne-babanın birden çok sayıdaki evlatları üzerinde Kardeşlik bağıntısı: Yansıyıcı değil (insan kendi kendinin kardeşi değildir). Bakışık (Ali, Ayşe nin kardeşi ise Ayşe de Ali nin kardeşidir) D. Çalıkoğlu 15-3

4 Geçişli değil (Ali, Ayşe nin kardeşi, Ayşe de Ali nin kardeşi fakat Ali, Ali nin kardeşi değildir). Evlat bir tek ise, o takdirde o birli üzerindeki Kardeşlik bağıntısı, yukarıdaki B /{1} {1} gibi olur; Geçişliliği de sağlar. 5- {(1,1)} /{1} {1} bağıntısı: Yansıyıcı, Bakışık, Geçişli. Eşdeğerlik nitelikleri tam. 6- K {1,2,3} için B 6 /K K {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)} Yansıyıcı değil, çünki (3,3) yok; fakat bakışık ve geçişli. 7- Fakülteye girmiş öğrenciler üzerindeki aynı yıl girenler bağıntısı: Yansıyıcı, Bakışık, Geçişli. Eşdeğerlik nitelikleri tam, dolayısıyla bu bir eşdeğerlik bağıntısıdır. 8- Tamsayılar kümesi üzerindeki küçüktür (<) bağıntısı: Ne yansıyıcı, ne de bakışık, fakat geçişli. 9- K {a, b, c} için B 9 /K K K- {(b, c)} Bakışık ve geçişli olmadığı için eşdeğerlik bağıntısı değil. EŞDEĞERLİK SINIFLARI: Bir A kümesi üzerinde bir B eşdeğerlik bağıntısı olsun. B, A -yı eşdeğerlik sınıfları denen ayrık alt kümelere ayrıştırır. B: A Her x A, mensup olduğu eşdeğerlik sınıfını temsil eder. Şöyle ki; A x {y xby} içinde x olan eşdeğerlik sınıfı, (x temsilci) Bazen A x [x] olarak yazılır. Ayrık Küme z A ((z A x ) (z A y ) (A x A y )) İspat: z A x x A z dir, keza z A y ise y A z dir. z A x ve z A y olduğunda x,y A z olur. Farz edelim, z A x A y fakat A x A y (Hipotezin aksi) Bu takdirde A x A y x 1 z y 1 ya A x - A y ya A y - A x x 1 A x - A y y 1 A y x 1 A z olduğuna göre x 1 Bz, y 1 A y ve z A y olduğuna göre zby 1 Öyleyse,(geçişlilik) x 1 By 1 Aynı zamanda y 1 By (geçişlilik) x 1 By, demek ki x 1 A y (Çelişki) Çünki x 1 A x - A y demiştik. İndis: Bir eşdeğerlik bağıntısının tanımladığı eşdeğerlik sınıflarının toplam sayısı o bağıntının indisidir. Eşdeğerlik sınıfları sonsuz bir kümeyi oluşturuyorsa o zaman o indis sonsuz olarak nitelenir D. Çalıkoğlu 15-4

5 Örnek: Bir sınıfta bulunan öğrenciler arasında, aynı sırada oturan öğrenciler bağıntısı, bir eşdeğerlik bağıntısıdır. Her bir sıra (1.sıra, 2.sıra,...) ayrık alt kümelerdir. İndis, öğrenci bulunan sıra sayısıdır. Her bir öğrenci, bulunduğu sırayı temsil eder. N üzerindeki bazı eşdeğerlik bağıntıları: Örnekler: 1.) B 1 : bağıntısı Her bir eşdeğerlik sınıfında 1 tane öğe var ve indisi sonsuz. 2.) B 2 : 10 tabanına göre solda sıfır olmaksızın yazılışında aynı adette basamak olmak. 3 basamaklılar ile 3 basamaklılar, 2 basamaklılar ile 2 basamaklılar, 99B 2 10, ~(100B 2 99) gibi. İndisi sonsuz. 3.) B 3 : 10 tabanında yazılışında aynı birler hanesi olmak. 1, 11, 21, 31, veya 2, 12, 22, 32, gibi. İndisi 10 dur. Çünki her doğal sayının 10 tabanındaki yazılışında birler hanesi (0, 1,, 9) rakamlarından birisidir. Bu yüzden 10 adet eşdeğerlik sınıfı vardır. 4.) B 4n : Mod n (belli bir n için) değeri aynı olmak. İndis n * Bu bağıntı Mod n yerine Mod 3 olsaydı [0], [1], [2] eşdeğerlik sınıfları ile indisi 3 olurdu. * İki sayı herhangi bir Mod değerine göre aynı değere sahiplik bağıntısı, indis 1? n N ve n 2 (n 1 mod n n 2 mod n) Bunu sağlayan n 1 ve n 2 var mıdır? Eğer yoksa bütün doğal sayılar bu bağıntı için tek bir eşdeğerlik sınıfı oluşturur. 5.) B 5 : Kendinden daha büyük bir sayının var olması. İndisi 1. Genelde, B A A ve A ise, indisi 1. TEOREM: Her hangi bir R A A (A A -nın alt kümesi olan her hangi bir R bağıntısı) bağıntısı, eğer eşdeğerlik bağıntısı ise, A -yı şu şartları sağlayan ayrık alt kümelere ayrıştırır. a) A i 1,2,...,n A i ve eğer a 1, a 2 A için a 1 Ra 2 ise, bir k (1 k n) için, a 1, a 2 A k dır. Veya; b) A i 1,2,... A i olur ve yine aynı (a) daki şartlar geçerlidir. Ancak burada ayrık alt kümelerin kümesi sonsuzdur. A ve B ayrık kümeler demek: A B demektir. (a) şıkkında, n: eşdeğerlik bağıntısının indisi olarak tanımlanır, (b) şıkkında bu indise sonsuz denir. Buradaki her bir A i -ye bir eşdeğerlik sınıfı denir. ISBAT: A i 1,2,..., A i öyle ki A i {a A ara x belli bir a x A i için }burada, her a A bir A i için a x elemanı olarak kabul edilebilir. A i 1,2,..., A i olduğu açık ve zaten i 1,2,..., A i A ancak, (A B) ve (B A) ise; Bağıntıya göre bu alt kümeler ayrık olacaklar mı yoksa olmayacaklar mı? A i ve A j, farklı eşdeğerlik sınıfları olsun fakat A i A j olsun. Öyleyse y A i A j olsun. Şimdi A i A j olduğuna göre, z şeklinde öyle bir eleman vardır ki, z A i dir veya z A j dir. Fakat z A i A j değildir. Farz edelim, z A i dir (O zaman z A j ). Şimdi tanım gereği, z A i D. Çalıkoğlu 15-5

6 olduğuna göre, y R z dir ( y ile z arasında bu bağıntı vardır.) z A j olduğuna göreyine yrz dir.zry (simetri) zra x, z A J (çelişki). Şimdi A i nin tanımına bakalım A j {a A ara x belli bir a x A j için } yra x geçerli, a x Ry de geçerli(çünkü simetri var) yrz geçerli (geçişlilik var). Sonuç: her hangi bir A kümesi üzerinde bir R eşdeğerlik bağıntısı, A yı ayrık alt kümelere (eşdeğerlik sınıflarına) ayrıştırır. Bu alt kümeler kümesinin çokluğu, R nin indisi olarak anılır. Bu sonlu ve sonsuz olabilir. Örnek: R N N öyle bir bağıntı olsun ki n 1 Rn 2 şöyle tanımlansın. n 1 n 2 mod 4 ise n 1 ve n 2 arasında bir R bağıntısı vardır. Eşdeğerlik sınıfları : E 0 {0, 4, 8,...} {4 n n 0} E 1 {1, 5, 9,...} {4 n+1 n 0} E 2 {2, 6, 10,...} {4 n+2 n 0} E 3 {3, 7, 11,...} {4 n+3 n 0} Buradaki sınıflar, N -yi 4 ayrık alt kümeye ayrıştırmış oldu. Bu bağıntının indisi 4 tür. Örnek : R d N N n 1 R d n 2 eğer onluk yazımlarında eşit sayıda basamak varsa (solda sıfır olmamak kaydıyla) ; {0,1,..., 9} [0] [1] [9] {10,11,12,...99} {100,...999}. Eşdeğerlik sınıflarının bileşimi doğal sayıları verecek. İndisi sonsuz olan kümelerin bağıntısıdır.??? R A A eşdeğerlik bağıntısının eşdeğerlik sınıflarından her hangi birisini tanımlamak için onun bir elemanının belirtilmesi yeterlidir. [0] [1] [9] gibi. Örnek : R d için bu [0] {0,1,..., 9} [10] [100]... şeklinde olabilir. [10] [25] ikisi de aynı kümeyi temsil ediyor. TEOREM : Herhangi bir A kümesinin ayrık alt kümelere ayrıştırılması, bir eşdeğerlik bağıntısı oluşturur; öyle ki, arb eğer a, b aynı alt kümede iseler; İSBAT : (alıştırım) Her hangi bir A kümesini alın. İstediğin gibi ayrıştır. Bu ayrıştırma sonlu da olabilir, sonsuz da olabilir. Aynı alt kümenin ayrık olması eşdeğerlik bağıntısıyla olur. Sonuç: R A A bir bağıntı olsun. A i 1,2,..., A i olsun (a 1, a 2 A için) a 1 Ra 2 :a 1 ve a 2 aynı A i nin elemanı olarak tanımlansın. Şimdi R bir eşdeğerlik bağıntısıdır, eğer ve ancak A i ler ayrık ise; D. Çalıkoğlu 15-6

7 Bağıntıların Çizimsel Gösterimleri: Genelde bir A 1 kümesinden bir A 2 kümesine olan bir B 12 bağıntısının çizimi, her biri A 1 A 2 - nin bir öğesine ait olan ve köşe denen noktalar ile her biri B 12 -nin bir öğesine ait olan ve kenar denen oklardan oluşur. Her (a 1, a 2 ) B 12 için (a 1, a 2 ) kenarı, dibi a 1 köşesinden başlayan ve ucu a 2 köşesine dayanan bir oktur. Bir A kümesi üzerindeki bir B yerel bağıntısının çizimi ise, her biri A -nın bir öğesine ait olan ve köşe denen noktalar ile her biri B -nin bir öğesine ait olan ve kenar denen oklardan oluşur. Her (x, y) B için (x, y) kenarı, dibi x köşesinden başlayan ve ucu y köşesine dayanan bir oktur. Örnek: A 1 { 1,2,3,4 } kümesi üzerindeki B 1 { (1,2), (1,3), (2,3), (3,2), (4,4)} bağıntısının çizimi Ç 1 yandadır. Ç 1 : B 1 2 : Tanımlar: Bir A kümesi üzerindeki bir B yerel bağıntısının çiziminde, 1. (u, v) B ise, v köşesi, u köşesinin bitişik köşesidir. Bu durumda, u -dan v -ye bir adımda gidilir denir. Kayıt: bitişik köşe lik bakışık olmayabilir. 2. Bir n 1 için (farklı olmaları gerekmeyen n+1 öğe) a 0, a 1,, a n A olup, her i (0 i n-1) için a i -den a i+1 -e bir adımda gidilirse, a 0 -dan a n -ye n adımda gidilir denir; a 0, a 1,, a n dizisine de a 0 -dan a n -ye olan bir ulaşım «path» denir. Bir köşeden diğerine n adımda gidilirse, kısaca gidilir de denir. 3. Bir köşeden yine kendisine olan bir ulaşıma devir denir. Örnek: A 1 { 1,2,3,4 } kümesi üzerindeki Ç 2 : 1 2 B 2 { (1,3), (2,1), (2,3), (3,2), (4,2), (4,4)} bağıntısının çizimi Ç 2 yandadır. 3 4 Ç 2 -de 1-den 2 -ye olan bazı ulaşımlar: U 1 : 1, 3, 2 (2 adımda gidilir); U 2 : 1, 3, 2, 3, 2 (4 adımda gidilir); U 3 : 1, 3, 2, 1, 3, 2 (5 adımda gidilir); Bazı devirler: D 1 : 4, 4 (1 adımda gidilir); D 2 : 4, 4, 4, 4 (3 adımda gidilir); D 3 :2, 3, 2 (2 adımda gidilir); D 4 : 1, 3, 2, 1 (3 adımda gidilir) D. Çalıkoğlu 15-7

8 Bir Bağıntının Matrisle Temsili: İki küme W ve Y şöyle olsun: W {w 1, w 2,, w n }, Y {y 1, y 2,, y m }. W Y -nin öğelerini aşağıdaki cetvelle gösterebiliriz: Sütun başlıkları y 1 y 2 y m w 1 (w 1, y 1 ) (w 1, y 2 ) (w 1, y m ) Satır w 2 (w 2, y 1 ) (w 2, y 2 ) (w 2, y m ) Başlıkları w n (w n, y 1 ) (w n, y 2 ) (w n, y m ) Bu cetveldeki satır ve sütun başlıkları, sırasıyla W -nun ve Y -nin öğeleridir. Satır-w i ile Sütuny j -nin kesiştiği yerde (w i, y j ) sıralı ikilisi vardır. Herhangi bir B W Y bağıntısını da şöyle gösterebiliriz: y 1 y 2 y m w 1 w 1 B y 1 w 1 B y 2 w 1 B y m w 2 w 2 B y 1 w 2 B y 2 w 2 B y m w n w n B y 1 w n B y 2 w n B y m Burada her bir sıralı ikilinin B -de olup olmadığı vardır. Her i (1 i n) ve her j (1 j m) için, w i B y j { 1 0 eğer (w i, y j ) B ise aksi halde olarak bellidir. Böyle bir cetveli matris olarak aldığımızda, o bağıntıyı, öğeleri mantıksal değerler olan bir n m matris, M B ile temsil etmiş oluruz: M B b 11 b 12 b 1m b 21 b 22 b 2m b n1 b n2 b nm Burada her i (1 i n) ve her j (1 j m) için, b ij w i B y j -dir. Böyle bir matrise genelde mantıksal-matris, bağıntılar bağlamında ise bağ-matrisi denir. Bir B bağıntısının matrisi dendiğinde onun bağ-matrisi anlaşılır. Örnek: Bir A 1 {2, 5} kümesinden, bir A 2 {a, b, c} kümesine olan bir B 1 {(2,b), (5,a), (5,c)} bağıntısının matrisi şöyledir: M B Bir yerel bağıntının matrisi kare matris olur. Örnek: A 1 { 1,2,3,4 } kümesi üzerindeki B 1 { (1,2), (1,3), (2,3), (3,2), (4,4)} bağıntısının matrisi şöyledir: M B (5,a) (5,c) D. Çalıkoğlu 15-8

9 Bir W {w 1, w 2,, w n } kümesinden bir Y {y 1, y 2,, y m } kümesine olan bir f bağıntısı şayet işlev ise, onun bağ-matrisinde her satırda en çok bir adet 1 olur; ve nişan özelliklerine göre bağmatrisi şöyledir: (Bir satır veya sütun boş demek, o satır veya sütunda hiç 1 yok demektir.) Her sütunda en çok bir adet 1 vardır, Æ f 1-1 ise. (Bu takdirde hiçbir satır veya sütunda birden fazla 1 yoktur) Her satırda (tam) bir adet 1 vardır (boş satır yoktur), Æ f tam ise. Her sütunda en az bir adet 1 vardır (boş sütun yoktur), Æ f örten ise. Bir bağıntının tersinin matrisi, o bağıntının matrisinin devriği «transpose» -dir; çünki her w i B y j yerine y j B -1 w i gelir. Bir W {w 1, w 2,, w n } kümesi üzerindeki bir B bağıntısının matrisi, eşdeğerlik niteliklerine göre şöyledir: Ana köşegendeki her öğe 1 -dir, Æ B yansıyıcı ise. Bakışıktır, Æ B bakışık ise. Alıştırımlar: Aşağıdaki bağıntıların çizimleri ile matrislerini veriniz ve eşdeğerlik nitelikleri açısından değerlendiriniz (öz önalanın aynı zamanda önalan, öz artalanın da aynı zamanda artalan olduğu varsayımıyla): B 1 {(a, a),(a, b),(a, c)} B 2 {(a, b),(b, c),(a, a)} B 3 {(a, a),(b, b),(a, b), (b, a)} B 4 {(a, b),(b, c),(a, c), (c, d),(a, d)} B 5 {(a, a),(a, b),(b, c),(c, a)} Bağıntı Bileşkelerinin Bağ-Matrisleriyle Hesaplanışı: Üç küme, W {w 1, w 2,, w n }, X {x 1, x 2,, x k } ve Y {y 1, y 2,, y m } için, M B, M C ve M D sırayla, B W X, C X Y bağıntılarının ve D CB bileşkesinin bağ-matrisleri olsun. Kural: M D M B M C şeklindeki mantıksal matris çarpımı olur. (Öğeleri bitler olan iki matrisin mantıksal çarpımında mantıksal toplayış kullanılır; dolayısıyla eder.) Dayanak: Her i (1 i n) ve her j (1 j m) için, w i CB y j Æ bir h (1 h k) için, w i B x h x h C y j ise. k Bu da toplayışın mantıksal olarak yapıldığı, w i CB y j (wi B x h x h C y j ) denklemini verir. h1 Bu denklem ise, M B M C şeklindeki mantıksal matris çarpımındaki d ij öğelerini verir. b 11 b 12 b 1k b 21 b 22 b 2k b n1 b n2 b nk c 11 c 12 c 1m c 21 c 22 c 2m c k1 c k2 c km d 11 d 12 d 1m d 21 d 22 d 2m d n1 d n2 d nm M B M C M CB M D D. Çalıkoğlu 15-9

10 d ij b i1 c 1j + b i2 c 2j + + b ik c kj w i B x 1 x 1 C y j + w i B x 2 x 2 C y j + + w i B x k x k C y j Böylece D CB bileşkesinin bağ-matrisi, M B ve M C -nin mantıksal matris çarpımıyla elde edilmiş olur. Örnek: A 1 {2, 5} kümesinden, A 2 {a, b, c} kümesine olan B 1 {(2,b), (5,a), (5,c)} bağıntısının bağ-matrisi: M B A 2 {a, b, c} kümesinden, A 3 {1, 3} kümesine olan B 2 {(a,3),(b,1),(c,1)} bağıntısının bağ-matrisi: M B A 1 {2, 5} kümesinden, A 3 {1, 3} kümesine olan B 1 B 2 bileşkesinin bağ-matrisi: M B2 B A A 2 B 1 bağıntısı a b c B 2 bağıntısı 1 3 A 3 B 1 B 2 bileşkesi Sorun: Yukarıdaki örnekte verilenlere göre B 2-1 B 1-1 bileşkesinin bağ-matrisini, önce B 2-1 ve B 1-1 -in bağ-matrislerini yazıp sonra çarparak bulunuz. Çözüm: A 3 {1, 3} kümesinden, A 2 {a, b, c} kümesine olan B 2-1 {(3, a),(1, b),(1, c)} bağıntısının bağ-matrisi: M B A 2 {a, b, c} kümesinden, A 1 {2, 5} kümesine olan B 1-1 {(b, 2), (a, 5), (c, 5)} bağıntısının bağ-matrisi: M B A 3 {1, 3} kümesinden, A 1 {2, 5} kümesine olan B 2-1 B 1-1 bileşkesinin bağ-matrisi: Sonucun bir ifadesi: B 2-1 B 1-1 (A 3 A 1 )- {(3,2)} M -1 B1 B Tanım: M 1, n m boyutlarında bir mantıksal-matris, M 2 de en az n-satırlı ve en az n-sütunlu diğer bir mantıksal-matris olsun; şayet her i (1 i n) ve her j (1 j n) için M 1 [i,j] M 2 [i,j] imâsı geçerli ise, M 1 M 2 yani M 1, M 2 -yi imâ eder denir D. Çalıkoğlu 15-10

11 Bir W {w 1, w 2,, w n } kümesi üzerindeki bir B bağıntısının matrisinin, kendisiyle mantıksal çarpımı, kendisini imâ eder Æ B geçişli ise. kendisiyle mantıksal çarpımı yine kendisini verir ancak B geçişli ise. eğer B yansıyıcı ve geçişli ise, kendisiyle mantıksal çarpımı yine kendisini verir D. Çalıkoğlu 15-11

7. BAZI MATEMATİKSEL TEMELLER:

7. BAZI MATEMATİKSEL TEMELLER: 7. BAZI MATEMATİKSEL TEMELLER: Bilindiği üzere, matematikte ortaya konan her yeni kavram, kendinden önceki tanımlanmış kavramlar cinsinden, herhangi bir tereddüt veya muğlâklığa mahal bırakmayacak resmî

Detaylı

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1), G de bir ikili işlemdir. 2) a, b, c G için a( bc)

Detaylı

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır.

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır. 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1) a, b, c G için a ( b c) ( a b) c (Birleşme özelliği)

Detaylı

SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR

SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR 1 SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR RAKAM: Sayıları ifade etmek için kullandığımız 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembollerinden her birine rakam denir. Soru: a ve b farklı rakamlar olmak üzere a + b nin alabileceği

Detaylı

HESAP. (kesiklik var; süreklilik örnekleniyor) Hesap sürecinin zaman ekseninde geçtiği durumlar

HESAP. (kesiklik var; süreklilik örnekleniyor) Hesap sürecinin zaman ekseninde geçtiği durumlar HESAP Hesap soyut bir süreçtir. Bu çarpıcı ifade üzerine bazıları, hesaplayıcı dediğimiz somut makinelerde cereyan eden somut süreçlerin nasıl olup da hesap sayılmayacağını sorgulayabilirler. Bunun basit

Detaylı

p sayısının pozitif bölenlerinin sayısı 14 olacak şekilde kaç p asal sayısı bulunur?

p sayısının pozitif bölenlerinin sayısı 14 olacak şekilde kaç p asal sayısı bulunur? 07.10.2006 1. Kaç p asal sayısı için, x 3 x + 2 (x r) 2 (x s) (mod p) denkliğinin tüm x tam sayıları tarafından gerçeklenmesini sağlayan r, s tamsayıları bulunabilir? 2. Aşağıdaki ifadelerin hangisinin

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 3.KONU Kümeler Teorisi; Küme işlemleri, İkili işlemler 1. Altküme 2. Evrensel Küme 3. Kümelerin Birleşimi 4. Kümelerin Kesişimi 5. Bir Kümenin Tümleyeni

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 5.KONU Cebiresel yapılar; Grup, Halka 1. Matematik yapı 2. Denk yapılar ve eş yapılar 3. Grup 4. Grubun basit özellikleri 5. Bir elemanın kuvvetleri

Detaylı

= Seçilen Sorular = A A C q= C için r= A?...

= Seçilen Sorular = A A C q= C için r= A?... Ders:... Adı : = Seçilen Sorular = Tarih:... (2011-ilkyaz) Soyadı : Kurallar ve Soruları anlamak sınavın bir parçasıdır. Her tür Soruları iyi anlayıp, en iyi şekilde cevaplayınız. Cevaplarda Tutarlılık

Detaylı

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır.

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır. TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Bir çokluk belirtmek için kullanılan sembollere rakam denir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri birer rakamdır. 2. TAMSAYILAR KÜMESİ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... }

Detaylı

10.Konu Tam sayıların inşası

10.Konu Tam sayıların inşası 10.Konu Tam sayıların inşası 1. Tam sayılar kümesi 2. Tam sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Pozitif ve negatif tam sayılar 4. Tam sayılar kümesinde çıkarma 5. Tam sayılar kümesinde sıralama 6. Bir

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

(a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir.

(a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir. BĞANTI - FONKSİYON 1. Sıralı İkili : (a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir.! (x 1,x 2, x 3,x 4,...x n ) : sıralı n li denir. Örnek, (a,b,c) : sıralı

Detaylı

ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER

ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER GİRİŞ Özdeğerler, bir matrisin orijinal yapısını görmek için kullanılan alternatif bir yoldur. Özdeğer kavramını açıklamak için öncelikle özvektör kavramı ele alınsın. Bazı vektörler

Detaylı

1 BAĞINTILAR VE FONKSİYONLAR

1 BAĞINTILAR VE FONKSİYONLAR 1 BAĞINTILAR VE FONKSİYONLAR Bu bölümde ilk olarak Matematikte çok önemli bir yere sahip olan Bağıntı kavramnı verip daha sonra ise Fonksiyon tanımı verip genel özelliklerini inceleyeceğiz. Tanım 1 A B

Detaylı

ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI

ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI 1. 1999 ÖSS a, b, c pozitif gerçel (reel) sayılar olmak üzere a+ b ifadesindeki her sayı 3 ile çarpılırsa aşağıdakilerden hangisi elde c edilir? 3 a+ b A) B) c a+ 3b C)

Detaylı

3. BÖLÜM MATRİSLER 1

3. BÖLÜM MATRİSLER 1 3. BÖLÜM MATRİSLER 1 2 11 21 1 m1 a a a v 12 22 2 m2 a a a v 1 2 n n n mn a a a v gibi n tane vektörün oluşturduğu, şeklindeki sıralanışına matris denir. 1 2 n A v v v Matris A a a a a a a a a a 11 12

Detaylı

12-A. Sayılar - 1 TEST

12-A. Sayılar - 1 TEST -A TEST Sayılar -. Birbirinden farklı beş pozitif tam sayının toplamı 0 dur. Bu sayılardan sadece ikisi den büyüktür. Bu sayılardan üç tanesi çift sayıdır. Buna göre bu sayılardan en büyüğü en çok kaç

Detaylı

Değişken içeren ve değişkenlerin belli değerleri için doğru olan cebirsel eşitliklere denklem denir.

Değişken içeren ve değişkenlerin belli değerleri için doğru olan cebirsel eşitliklere denklem denir. 1 DENKLEMLER: Değişken içeren ve değişkenlerin belli değerleri için doğru olan cebirsel eşitliklere denklem denir. Bir denklemde eşitliği sağlayan(doğrulayan) değerlere; verilen denklemin kökleri veya

Detaylı

sayısının tamkare olmasını sağlayan kaç p asal sayısı vardır?(88.32) = n 2 ise, (2 p 1

sayısının tamkare olmasını sağlayan kaç p asal sayısı vardır?(88.32) = n 2 ise, (2 p 1 TAM KARELER 1. Bir 1000 basamaklı sayıda bir tanesi dışında tüm basamaklar 5 tir. Bu sayının hiçbir tam sayının karesi olamayacağını kanıtlayınız. (2L44) Çözüm: Son rakam 5 ise, bir önceki 2 olmak zorunda.

Detaylı

0.1 Küme Cebri. Teorem 1 A ve B iki küme olmak üzere i) (A B) c = A c B c ii) (A B) c = A c B c

0.1 Küme Cebri. Teorem 1 A ve B iki küme olmak üzere i) (A B) c = A c B c ii) (A B) c = A c B c 0. Küme Cebri Bu bölümde verilen keyfikümeler üzerinde birleşim, kesişim, fark, tümleyen,...gibi özellikleri sağlayan eşitliklerle ilgilenceğiz. İlk olarak De Morgan kurallarıdiye bilinen bir Teoremi ifade

Detaylı

MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13. TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı

MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13. TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13 TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı ={(x,y): x ile y nin farkı n ile tam bölünür} = {(x,y): n x-y, n N + } bağıntısı bir denklik bağıntısıdır. (x,y) ise x y (mod

Detaylı

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye

Detaylı

8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar

8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar 8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar 1. Eşit güçlü kümeler 2. Sonlu ve sonsuz kümeler 3. Doğal sayılar kümesi 4. Sayılabilir kümeler 5. Doğal sayılar kümesinde toplama 6. Doğal sayılar kümesinde

Detaylı

12.Konu Rasyonel sayılar

12.Konu Rasyonel sayılar 12.Konu Rasyonel sayılar 1. Rasyonel sayılar 2. Rasyonel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Rasyonel sayılar kümesinde çıkarma ve bölme 4. Tam rayonel sayılar 5. Rasyonel sayılar kümesinde sıralama

Detaylı

13.Konu Reel sayılar

13.Konu Reel sayılar 13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık

Detaylı

BMT 206 Ayrık Matematik. Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1

BMT 206 Ayrık Matematik. Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1 BMT 206 Ayrık Matematik Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1 Kümeler Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 2 Kümeler Kümeler Ayrık Matematiğin en temel konularından biridir Sayma problemleri için önemli Programlama dillerinin

Detaylı

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A Contents 1 İyi Sıralama 5 Bibliography 13 1 İyi Sıralama Well Ordering İyi sıralama kavramı, doğal sayıların

Detaylı

1. BÖLÜM Mantık BÖLÜM Sayılar BÖLÜM Rasyonel Sayılar BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler

1. BÖLÜM Mantık BÖLÜM Sayılar BÖLÜM Rasyonel Sayılar BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler ORGANİZASYON ŞEMASI 1. BÖLÜM Mantık... 7. BÖLÜM Sayılar... 13 3. BÖLÜM Rasyonel Sayılar... 93 4. BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler... 103 5. BÖLÜM Mutlak Değer... 113 6. BÖLÜM Çarpanlara Ayırma...

Detaylı

Matrisler ve matris işlemleri

Matrisler ve matris işlemleri 2.Konu Matrisler ve matris işlemleri Kaynaklar: 1.Uygulamalı lineer cebir. 7.baskıdan çeviri.bernhard Kollman, David R.Hill/çev.Ed. Ömer Akın, Palma Yayıncılık, 2002 2.Lineer Cebir. Feyzi Başar.Surat Universite

Detaylı

1. BÖLÜM. Sayılarda Temel Kavramlar. Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK. Kontrol Noktası 1

1. BÖLÜM. Sayılarda Temel Kavramlar. Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK. Kontrol Noktası 1 1. BÖLÜM Sayılarda Temel Kavramlar Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK Kontrol Noktası 1 Isınma Hareketleri 1 Uygun eşleştirmeleri yapınız. I. {0, 1, 2,..., 9} II. {1, 2, 3,...} III. {0, 1, 2,

Detaylı

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir.

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. a) Pozitif doğal sayılar: Sıfır olmayan doğal sayılar kümesine Pozitif Doğal

Detaylı

Kafes Yapıları. Hatırlatma

Kafes Yapıları. Hatırlatma Kafes Yapıları Ders 7 8-1 Hatırlatma Daha önce anlatılan sıra bağıntısını hatırlayalım. A kümesinde bir R bağıntsı verilmiş olsun. R bağıntısı; a. Yansıma (Tüm a A için, sadece ve sadece ara ise yansıyandır(reflexive)).

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Önsöz...2. Önermeler ve İspat Yöntemleri...3. Küme Teorisi Bağıntı Fonksiyon İşlem...48

İÇİNDEKİLER. Önsöz...2. Önermeler ve İspat Yöntemleri...3. Küme Teorisi Bağıntı Fonksiyon İşlem...48 İÇİNDEKİLER Önsöz...2 Önermeler ve İspat Yöntemleri...3 Küme Teorisi...16 Bağıntı...26 Fonksiyon...38 İşlem...48 Sayılabilir - Sonlu ve Sonsuz Kümeler...56 Genel Tarama Sınavı...58 Önermeler ve İspat Yöntemleri

Detaylı

Özdeğer ve Özvektörler

Özdeğer ve Özvektörler Özdeğer ve Özvektörler Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 9 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; bir lineer dönüşümün ve bir matrisin özdeğer ve özvektör kavramlarını anlayacak, bir dönüşüm matrisinin

Detaylı

MAT 302 SOYUT CEBİR II SORULAR. (b) = ise =

MAT 302 SOYUT CEBİR II SORULAR. (b) = ise = MAT 302 SOYUT CEBİR II SORULAR 1. : bir dönüşüm, olsunlar. a) ( ) = ( ) ( ) b) ( ) ( ) ( ) olduğunu c) ( ) nin eşitliğinin sağlanması için gerekli ve yeterli bir koşulun nin 1 1 olması ile mümkün olduğunu

Detaylı

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A Contents 1 Denklik Bağıntıları 5 Bibliography 13 1 Denklik Bağıntıları 1 1denklik 1.1 Eşitlik Günlük

Detaylı

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir?

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler, değer kümelerine göre adlandırı - lırlar. Dizinin değer

Detaylı

m=n şeklindeki matrislere kare matris adı verilir. şeklindeki matrislere ise sütun matrisi denir. şeklindeki A matrisi bir kare matristir.

m=n şeklindeki matrislere kare matris adı verilir. şeklindeki matrislere ise sütun matrisi denir. şeklindeki A matrisi bir kare matristir. Matrisler Satır ve sütunlar halinde düzenlenmiş tabloya matris denir. m satırı, n ise sütunu gösterir. a!! a!" a!! a!" a!! a!! a!! a!! a!" m=n şeklindeki matrislere kare matris adı verilir. [2 3 1] şeklinde,

Detaylı

TABAN ARĠTMETĠĞĠ. ÇÖZÜM (324) 5 = = = = 89 bulunur. Doğru Seçenek C dir.

TABAN ARĠTMETĠĞĠ. ÇÖZÜM (324) 5 = = = = 89 bulunur. Doğru Seçenek C dir. TABAN ARĠTMETĠĞĠ Kullandığımız 10 luk sayma sisteminde sayılar {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} kümesinin elemanları (Rakam) kullanılarak yazılır. En büyük elemanı 9 olan, 10 elemanlı bir kümedir. Onluk sistemde;

Detaylı

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? Örnek...4 : Genel terimi w n. Örnek...1 : Örnek...5 : Genel terimi r n

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? Örnek...4 : Genel terimi w n. Örnek...1 : Örnek...5 : Genel terimi r n DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler değer kümelerine göre adlandırılırlar. Dizinin değer kümesi

Detaylı

1.4. KISMİ SIRALAMA VE DENKLİK BAĞINTILARI

1.4. KISMİ SIRALAMA VE DENKLİK BAĞINTILARI Reel sayılar kümesinin "küçük ya da eşit", bağıntısı ile sıralanmış olduğunu biliyoruz. Bu bağıntı herhangi bir X kümesine aşağıdaki şekilde genelleştirilebilir. Bir X kümesi üzerinde aşağıdaki yansıma,

Detaylı

TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada,

TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada, TAMSAYILAR Z = {.., -, -, -, 0,,,, } kümesinin her bir elemanına tamsayı denir. Burada, + Z = {,,,...} kümesine, pozitif tamsayılar kümesi denir. Z = {...,,,,} kümesine, negatif tamsayılar kümesi denir.

Detaylı

8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR

8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR 8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR Şimdiye kadar bir gruptan diğer bir gruba tanımlı olan fonksiyonlarla ilgilenmedik. Bu bölüme aşağıdaki tanımla başlayalım. Tanım 8.1: G, ve H, iki grup ve f : G H

Detaylı

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

KARAKTER DİZGİLERİ, BAĞINTILAR, FONKSİYONLAR KESİKLİ MATEMATİKSEL YAPILAR

KARAKTER DİZGİLERİ, BAĞINTILAR, FONKSİYONLAR KESİKLİ MATEMATİKSEL YAPILAR KARAKTER DİZGİLERİ, BAĞINTILAR, FONKSİYONLAR KESİKLİ MATEMATİKSEL YAPILAR 2012-2013 Karakter Dizgisi Karakter Dizgisi Üzerine İşlemler Altdizgi Tanım 3.1.1: Bir X kümesi üzerinde bir karakter dizgisi (string)

Detaylı

BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14

BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14 İÇİNDEKİLER Önsöz. V BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14 BÖLÜM II KÜMELER 17 2.1.Küme Tanımı ve Özellikleri 18 2.2 Kümelerin Gösterimi 19 2.2.1 Venn Şeması Yöntemi 19 2.2.2 Liste Yöntemi

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ AYRIK YAPILAR P r o f. D r. Ö m e r A k ı n v e Y r d. D o ç. D r. M u r a t Ö z b a y o ğ l u n u n Ç e v i r i E d i t ö r l ü ğ ü n ü ü s t l e n d i ğ i «A y r ı k M a t e m a t i k v e U y g u l a

Detaylı

SINIF TEST. Üslü Sayılar A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 A) - 5 B) - 4 C) 5 D) 7. sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir?

SINIF TEST. Üslü Sayılar A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 A) - 5 B) - 4 C) 5 D) 7. sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir? 8. SINIF. Üslü Sayılar - = T olduğuna göre T kaçtır? A) - B) - C) D) 7 TEST.. 0 - işleminin sonucu kaç basamaklı bir sayıdır? A) B) C) 6 D) 7. n =- 7 için n ifadesinin değeri kaçtır? A) - 8 B) - C) 8 D)

Detaylı

8. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI.

8. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI. 8. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ Okt. Yasin ORTAKCI yasinortakci@karabuk.edu.tr Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi 2 MATRİSLER Matris veya dizey, dikdörtgen bir sayılar tablosu

Detaylı

KPSS MATEMATÝK. SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) N tam sayılar kümesinde i N için, A = 1 i,i 1

KPSS MATEMATÝK. SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) N tam sayılar kümesinde i N için, A = 1 i,i 1 SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) 1. A = { k k Z, < k 4 } 4. N tam sayılar kümesinde i N için, k 1 B = { k Z, 1 k < 1 } k 1 A = 1 i,i 1 i ( ] kümeleri verildiğine göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Detaylı

için doğrudur. olmak üzere tüm r mertebeli gruplar için lemma nın doğru olduğunu kabul edelim. G grubunun mertebesi n olsun. ve olsun.

için doğrudur. olmak üzere tüm r mertebeli gruplar için lemma nın doğru olduğunu kabul edelim. G grubunun mertebesi n olsun. ve olsun. 11. Cauchy Teoremi ve p-gruplar Bu bölümde Lagrange teoreminin tersinin doğru olduğu bir özel durumu inceleyeceğiz. Bu teorem Cauchy tarafından ispatlanmıştır. İlk olarak bu teoremi sonlu değişmeli gruplar

Detaylı

TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR.

TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR. TEOG Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar 1. DOĞAL SAYILAR 0 dan başlayıp artı sonsuza kadar giden sayılara doğal sayılar denir ve N ile gösterilir. N={0, 1, 2, 3,...,n, n+1,...} a ve b doğal sayılar olmak

Detaylı

BÖLÜM 2 Biçimsel Dillerin Matematiksel Temelleri

BÖLÜM 2 Biçimsel Dillerin Matematiksel Temelleri BÖLÜM 2 Biçimsel Dillerin Matematiksel Temelleri 2.1 Kümeleri tümevarım yolu ile tanımlama E tanımlanacak küme olsun: Taban: Yapı taşı elemanları kümesi veya taban B ile gösterilsin. Bu kümenin içindeki

Detaylı

Dizey Cebirinin Gözden Geçirilmesi

Dizey Cebirinin Gözden Geçirilmesi Bölüm 1 Dizey Cebirinin Gözden Geçirilmesi 1.1 Dizeylere İlişkin Temel Kavramlar 1.1.1 Tanımlar Dizey cebiri kullanmaksızın k değişkenli bir bağlanım modeliyle uğraşmak son derece karmaşık bir iştir. Burada,

Detaylı

Dizey Cebirinin Gözden Geçirilmesi

Dizey Cebirinin Gözden Geçirilmesi Dizey Cebirinin Gözden Geçirilmesi Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA Ekonometri 2 Ders Notları Sürüm 2,0 (Ekim 2011) Açık Lisans Bilgisi İşbu belge, Creative Commons Attribution-Non-Commercial ShareAlike 3.0

Detaylı

Problem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4. Problem 5. PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisan c Copyright Titu Andreescu and Jonathan Kane

Problem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4. Problem 5. PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisan c Copyright Titu Andreescu and Jonathan Kane PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisan 2010 İLKÖĞRETİM - PROBLEMLERİ c Copyright Titu Andreescu and Jonathan Kane Çeviri Sibel Kılıçarslan CANSU ve Fatih Kürşat CANSU Problem 1 Eğer 125 + n + 135 + 2n

Detaylı

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR. a Q a ve b b. a b c 4. a b c 40. 7a 4b 3c. a b c olmak üzere a,b ve pozitif. 2x 3y 5z 84

TEMEL KAVRAMLAR. a Q a ve b b. a b c 4. a b c 40. 7a 4b 3c. a b c olmak üzere a,b ve pozitif. 2x 3y 5z 84 N 0,1,,... Sayı kümesine doğal sayı kümesi denir...., 3,, 1,0,1,,3,... sayı kümesine tamsayılar kümesi denir. 1,,3,... saı kümesine sayma sayıları denir.pozitif tamsayılar kümesidir. 15 y z x 3 5 Eşitliğinde

Detaylı

Sayılar ve Altın Oranı. Mahmut Kuzucuoğlu. 16 Ağustos 2015

Sayılar ve Altın Oranı. Mahmut Kuzucuoğlu. 16 Ağustos 2015 Sayılar ve Altın Oranı Mahmut Kuzucuoğlu Orta Doğu Teknik Üniversitesi Matematik Bölümü matmah@metu.edu.tr İlkyar-2015 16 Ağustos 2015 Ben kimim? Denizli nin Çal ilçesinin Ortaköy kasabasında 1958 yılında

Detaylı

XII. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınavı

XII. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınavı XII. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınavı A 1. Köşeleri, yarıçapı 1 olan çemberin üstünde yer alan düzgün bir n-genin çevre uzunluğunun alanına oranı 4 3 ise, n kaçtır? 3 a) 3 b) 4 c) 5 d)

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 4.KONU Latisler, Boole Cebri 1. Kısmi sıralı kümeler 2. Hasse Diyagramı 3. Infimum, Supremum 4. Latis (Kafes Lattice) 5. Latis (Kafes) Yapıları ve Özellikleri

Detaylı

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A Contents 1 Operatörler 5 Bibliography 19 Index 23 1 Operatörler İşlemler 1.1 Operatör Nedir? İlkokulden

Detaylı

10. DİREKT ÇARPIMLAR

10. DİREKT ÇARPIMLAR 10. DİREKT ÇARPIMLAR Teorem 10.1. H 1,H 2,, H n bir G grubunun alt gruplarının bir ailesi ve H = H 1 H 2 H n olsun. Aşağıdaki ifadeler denktir. a ) dönüşümü altında dır. b) ve olmak üzere her yi tek türlü

Detaylı

Bu bölümde cebirsel yapıların temelini oluşturan Grup ve özelliklerini inceleyeceğiz.

Bu bölümde cebirsel yapıların temelini oluşturan Grup ve özelliklerini inceleyeceğiz. 1 BİR İŞLEMLİ SİSTEMLER Bu bölümde cebirsel yapıların temelini oluşturan Grup ve özelliklerini inceleyeceğiz. 1.1 İŞLEMLER Bir kümeden kendisine tanımlı olan her fonksiyona birli işlem denir. Örneğin Z

Detaylı

2012 LYS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ Niyazi Kurtoğlu

2012 LYS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ Niyazi Kurtoğlu .SORU 8 sayı tabanında verilen (5) 8 sayısının sayı tabanında yazılışı nedir?.soru 6 3 3 3 3 4 6 8? 3.SORU 3 ise 5? 5 4.SORU 4 5 olduğuna göre, ( )? 5.SORU (y z) z(y ) y z yz bulunuz. ifadesinin en sade

Detaylı

{ x,y x y + 19 = 0, x, y R} = 3 tir. = sonlu kümesinin 32 tane alt kümesinde

{ x,y x y + 19 = 0, x, y R} = 3 tir. = sonlu kümesinin 32 tane alt kümesinde 1. Aşağıdaki kümelerden hangisi sonsuz küme belirtir? A) A = { x 4 < x < 36,x N} B) B = { x 19 < x,x asal sayı} C) C = { x x = 5k,0 < x < 100,k Z} D) D = { x x = 5, x Z} E) E = { x x < 19,x N}. A, B ve

Detaylı

BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER

BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER YILLAR 00 00 00 00 00 00 007 008 009 00 ÖSS-YGS - - - - - - - - BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER a,b R ve a 0 olmak üzere ab=0 şeklindeki denklemlere Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler

Detaylı

9. SINIF Geometri TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR

9. SINIF Geometri TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR 9. SINIF Geometri Amaç-1: Nokta, Doğru, Düzlem, Işın ve Uzayı Kavrayabilme. 1. Nokta, doğru, düzlem ve uzay kavramlarım açıklama. 2. Farklı iki noktadan geçen doğru sayışım söyleme

Detaylı

Ders 9: Bézout teoremi

Ders 9: Bézout teoremi Ders 9: Bézout teoremi Konikler doğrularla en fazla iki noktada kesişir. Şimdi iki koniğin kaç noktada kesiştiğini saptayalım. Bunu, çok kolay gözlemlerle başlayıp temel ve ünlü Bézout teoremini kanıtlayarak

Detaylı

II. DERECEDEN DENKLEMLER Test -1

II. DERECEDEN DENKLEMLER Test -1 II. DERECEDEN DENKLEMLER Test -. 5 {, 5} {, 5} { 5, } {, 5} {, 5} 5. 5 {,, } {,, } {,, } {,, } {,, }.. 5 7 7 5 5,, 5 5, 5 5, 5 5, 6. 7. 5 95 { 5,, } {,, 5} { 5,, 9} {,, 5} { 9,, 5} 6 66 {, } {,, } {,,

Detaylı

7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;

7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım; İÇ ÇARPIM UZAYLARI 7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;.= 1 1 + + Açıklanmış ve bu konu uzunluk ve uzaklık kavramlarını açıklamak için kullanılmıştır. Bu bölümde öklit

Detaylı

13. Karakteristik kökler ve özvektörler

13. Karakteristik kökler ve özvektörler 13. Karakteristik kökler ve özvektörler 13.1 Karakteristik kökler 1.Tanım: A nxn tipinde matris olmak üzere parametrisinin n.dereceden bir polinomu olan şeklinde gösterilen polinomuna A matrisin karakteristik

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Lineer. Cebir. Ünite 6. 7. 8. 9. 10

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Lineer. Cebir. Ünite 6. 7. 8. 9. 10 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Lineer Cebir Ünite 6. 7. 8. 9. 10 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1074 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI

Detaylı

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A Contents Bibliography 11 CONTENTS 5 0.1 Kartezyen Çarpım 0.2 Sıralı İkililer Şimdiye kadar sıra ya da

Detaylı

6. Ali her gün cebinde kalan parasının (2009) a, b ve c farklı pozitif tamsayılar, 9. x, y, z pozitif gerçek sayılar,

6. Ali her gün cebinde kalan parasının (2009) a, b ve c farklı pozitif tamsayılar, 9. x, y, z pozitif gerçek sayılar, 1. 9 2 x 2 ifadesinin açılımında sabit x terim kaç olur? A) 672 B) 84 C) 1 D) -84.E) -672 6. Ali her gün cebinde kalan parasının %20 sini harcamaktadır. Pazartesi sabahı haftalığını alan Ali ni Salı günü

Detaylı

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye KÜME AİLELERİ GİRİŞ Bu bölümde, bir çoğu daha önceden bilinen incelememiz için gerekli olan bilgileri vereceğiz. İlerde konular işlenirken karşımıza çıkacak kavram ve bilgileri bize yetecek kadarı ile

Detaylı

Elementer matrisler, ters matrisi bulmak, denk matrisler

Elementer matrisler, ters matrisi bulmak, denk matrisler 4.Konu Elementer matrisler, ters matrisi bulmak, denk matrisler 1. Elementer matrisler 2. Ters matrisi bulmak 3. Denk matrisler 1.Elementer matrisler 1.Tanım: tipinde Tip I., Tip II. veya Tip III. te olan

Detaylı

EBOB - EKOK EBOB VE EKOK UN BULUNMASI. 2. Yol: En Büyük Ortak Bölen (Ebob) En Küçük Ortak Kat (Ekok) www.unkapani.com.tr. 1. Yol:

EBOB - EKOK EBOB VE EKOK UN BULUNMASI. 2. Yol: En Büyük Ortak Bölen (Ebob) En Küçük Ortak Kat (Ekok) www.unkapani.com.tr. 1. Yol: EBOB - EKOK En Büyük Ortak Bölen (Ebob) İki veya daha fazla pozitif tamsayıyı aynı anda bölen pozitif tamsayıların en büyüğüne bu sayıların en büyük ortak böleni denir ve kısaca Ebob ile gösterilir. Örneğin,

Detaylı

Lineer Denklem Sistemleri

Lineer Denklem Sistemleri Lineer Denklem Sistemleri Yazar Yrd. Doç.Dr. Nezahat ÇETİN ÜNİTE 3 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Lineer Denklem ve Lineer Denklem Sistemleri kavramlarını öğrenecek, Lineer Denklem Sistemlerinin

Detaylı

Leyla Bugay Doktora Nisan, 2011

Leyla Bugay Doktora Nisan, 2011 ltanguler@cu.edu.tr Çukurova Üniversitesi, Matematik Bölümü Doktora 2010913070 Nisan, 2011 Yarıgrup Teorisi Nedir? Yarıgrup teorisi cebirin en temel dallarından biridir. Yarıgrup terimi ilk olarak 1904

Detaylı

Motivasyon Matrislerde Satır İşlemleri Eşelon Matris ve Uygulaması Satırca İndirgenmiş Eşelon Matris ve Uygulaması Matris Tersi ve Uygulaması Gauss

Motivasyon Matrislerde Satır İşlemleri Eşelon Matris ve Uygulaması Satırca İndirgenmiş Eşelon Matris ve Uygulaması Matris Tersi ve Uygulaması Gauss Motivasyon Matrislerde Satır İşlemleri Eşelon Matris ve Uygulaması Satırca İndirgenmiş Eşelon Matris ve Uygulaması Matris Tersi ve Uygulaması Gauss Jordan Yöntemi ve Uygulaması Performans Ölçümü 2 Bu çalışmada,

Detaylı

Örnek...4 : A = { a, b, c, d, {a}, {b,c}} kümesi veriliyor. Aşağıdakilerin doğru mu yanlış mı olduğunu yazınız.

Örnek...4 : A = { a, b, c, d, {a}, {b,c}} kümesi veriliyor. Aşağıdakilerin doğru mu yanlış mı olduğunu yazınız. KÜME KAVRAMI Küme matematiğin tanımsız bir kavramıdır. Ancak kümeyi, iyi tanımlanmış kavram veya nesneler topluluğu diye tarif edebiliriz. Kümeler A, B, X, K,... gibi büyük harflerle gösterilir. Bir kümeyi

Detaylı

1.DERECEDEN DENKLEMLER. (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz)

1.DERECEDEN DENKLEMLER.  (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz) .DERECEDEN DENKLEMLER Rüstem YILMAZ 546 550 86 48 destek@sinavdestek.com www.sinavdestek.com (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz) JET Yayınları 8 Ağustos 07 0. Bir Bilinmeyenli

Detaylı

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol ORGANİZASYON ŞEMASI . BÖLÜM Polinomlar... 7. BÖLÜM II. Dereceden Denklemler.... BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler... 9. BÖLÜM Parabol... 5 5. BÖLÜM Trigonometri... 69 6. BÖLÜM Karmaşık Sayılar... 09 7.

Detaylı

2.3. MATRİSLER Matris Tanımlama

2.3. MATRİSLER Matris Tanımlama 2.3. MATRİSLER 2.3.1. Matris Tanımlama Matrisler girilirken köşeli parantez kullanılarak ( [ ] ) ve aşağıdaki yollardan biri kullanılarak girilir: 1. Elemanları bir tam liste olarak girmek Buna göre matris

Detaylı

AKADEMİK PERSONEL VE LİSANSÜSTÜ EĞİTİMİ GİRİŞ SINAVI (ALES)

AKADEMİK PERSONEL VE LİSANSÜSTÜ EĞİTİMİ GİRİŞ SINAVI (ALES) 00000000001 AKADEMİK PERSONEL VE LİSANSÜSTÜ EĞİTİMİ GİRİŞ SINAVI (ALES) plam cevaplama süresi 150 akikadır. (,5 saat) SAYISAL BÖLÜM SAYISAL - 1 TESTİ Sınavın bu bölümünden alacağınız standart puan, Sayısal

Detaylı

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN İç-Çarpım Uzayları Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; R n, P n (R), M nxn vektör uzaylarında iç çarpım kavramını tanıyacak ve özelliklerini görmüş olacaksınız.

Detaylı

MODÜLER ARİTMETİK. Örnek:

MODÜLER ARİTMETİK. Örnek: MODÜLER ARİTMETİK Bir doğal sayının ile bölünmesinden elde edilen kalanlar kümesi { 0,, } dir. ile bölünmesinden elde edilen kalanlar kümesi { 0,,, } tür. Tam sayılar kümesi üzerinde tanımlanan {( x, y)

Detaylı

Olimpiyat Eğitimi CANSU DENEME SINAVI

Olimpiyat Eğitimi CANSU DENEME SINAVI TUSİ Ortaöğretim Öğretmenleri için Olimpiyat Eğitimi CANSU DENEME SINAVI 15.11.2013-29.11.2013 2 1. Bir x sayısı x = 1 1 + x eşitliğini sağlamaktadır. x 1 x hangisidir? in en basit hali aşağıdakilerden

Detaylı

SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon denir.

SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon denir. SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon Tanım 2: Bir grubun kendi üzerine izomorfizmine otomorfizm, grubun kendi üzerine homomorfizmine endomorfizm Sadece birebir olan

Detaylı

Lineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar

Lineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar Lineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar Bir Matrisin Rankı A m n matrisinin determinantı sıfırdan farklı olan alt kare matrislerinin boyutlarının en büyüğüne A matrisinin rankı denir. rank(a)

Detaylı

YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ LÜ SORU BANKASI ANKARA ÖN SÖZ Sevgili Öğrenciler, ÖSYM nin son yıllarda yaptığı sınavlardaki matematik sorularının eski sınav sorularından çok farklı olduğu herkes tarafından

Detaylı

Rakam : Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir.

Rakam : Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir. A. SAYILAR Rakam : Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir. Sayı : Rakamların çokluk belirten ifadesine sayı denir.abc sayısı a, b, c rakamlarından oluşmuştur.! Her rakam bir sayıdır. Fakat bazı

Detaylı

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT Kümelerde Temel Kavramlar 1. Kazanım : Küme kavramını açıklar; liste, Venn şeması ve ortak özellik yöntemleri ile gösterir. 2. Kazanım : Evrensel küme,

Detaylı

Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept.

Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept. Dijital Devre Tasarımı EEE122 A Ref. Morris MANO & Michael D. CILETTI DIGITAL DESIGN 4 th edition Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept. 2. BÖLÜM Boole Cebri ve Mantık

Detaylı

2017 MÜKEMMEL YGS MATEMATİK

2017 MÜKEMMEL YGS MATEMATİK 2017 MÜKEMMEL YGS MATEMATİK 1. 2,31 0,33 0,65 0,13 + 3,6 0,6 işleminin sonucu kaçtır? A)0,5 B) 0,8 C)0,9 D)5 E)8 4. Üç basamaklı ABB doğal sayısı 4 e ve 9 a kalansız bölünmektedir. Buna göre, A+B toplamının

Detaylı

x 1,x 2,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu;

x 1,x 2,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu; 4. BÖLÜM DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ Doğrusal Denklem Sistemi x,x,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu; a x + a x + L + a x = b n n a x + a x + L + a x = b n n a x + a

Detaylı

köşe (vertex) kenar (edg d e)

köşe (vertex) kenar (edg d e) BÖLÜM 7 köşe (vertex) kenar (edge) Esk den Ank ya bir yol (path) Tanım 7.1.1: Bir G çizgesi (ya da yönsüz çizgesi) köşelerden oluşan bir V kümesinden ve kenarlardan oluşan bir E kümesinden oluşur. Herbir

Detaylı