15. Bağıntılara Devam:

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "15. Bağıntılara Devam:"

Transkript

1 15. Bağıntılara Devam: Yerel Bağıntılardan Örnekler: Doğal sayılar kümesi üzerinde bir küçüğüdür (< 1 ) bağıntısı: < 1 {(x, x+1) x N} {(0,1), (1, 2), } a< 1 b yazıldığında, a doğal sayılarda bir küçüktür b olarak okunur. Örneğin, 4< 1 5, 7< 1 8 Doğal sayılar kümesi üzerinde küçüktür (<N) bağıntısı (özyineleyişli tanım): a, b N için, (a, b) <N, yani a<n b ( a doğal sayılarda küçüktür b ) olur, şayet Kural-1 a< 1 b ise, Kural-2 Bir c N için, a<n c, ve c< 1 b ise. Buna göre örneğin, 3< 1 4 olduğu için, 3<N 4 olur (Kural-1); ve 3<N 4 olmakla beraber 4< 1 5 olduğu için, 3<N 5 olur (Kural-2); tekrar buna dayanarak, 3<N 5 olmakla beraber 5< 1 6 olduğu için, 3<N 6 olur (Kural-2), vs. Eksi tamsayılar kümesi üzerinde küçüktür (<Z - ) bağıntısı: -a, -b Z - için, (-a, -b) <Z -, yani -a<z - -b ( -a eksi tamsayılarda küçüktür -b ) olur, şayet b <N a ise. Tamsayılar kümesi üzerinde küçüktür (<) bağıntısı: (<) (<N) (<Z - ) (Z - N) (cins gözetimine dikkat!) Alıştırımlar: Aşağıdaki bağıntıları sıralı ikililer kümesi biçiminde gösteriniz. B 1 {0,1,2} üzerinde bağıntısı B 2 {1,2,3} üzerinde bağıntısı B 3 {0,1,2,3} üzerinde > bağıntısı B 4 {2,4,6} üzerinde bağıntısı B 5 {1,3,5,7} üzerinde bağıntısı Doğal sayılar kümesi üzerinde büyüktür (>N) bağıntısı: (>N) (<N) -1 Eksi tamsayılar kümesi üzerinde büyüktür (>Z - ) bağıntısı: (>Z - ) (<Z - ) -1 Tamsayılar kümesi üzerinde büyüktür (>) bağıntısı: (>) (<) -1 Tamsayılar kümesi üzerinde eşit () bağıntısı: () {(x,x) x Z} ()N {(x,x) x N} () Tamsayılar kümesi üzerinde büyük-eşit ( ) bağıntısı: ( ) (>) () (>) {(x,x) x Z} D. Çalıkoğlu 15-1

2 Küçüktür, büyüktür bağıntılarının hangi küme üzerinde oldukları anlaşıldığı zaman belirtici bir işarete gerek olmaz. (Ör. <N ve >N yerine sırasıyla, < ve > yazılır.) Bir Yerel Bağıntının Kuvveti Bir B A A bağıntısı olsun. Öncelikle B 0 {(a, a) a A} olarak tanımlanır. Bu B 0, A kümesi üzerindeki en küçük yansıyıcı bağıntıdır ve B -ye bağlı olmadığı kaydedilmelidir. Buna göre yukarıdaki ifade, ( ) (>) {(x,x) x Z} (>) (>) 0 olur. (>) 0 () yani, Z üzerindeki eşit bağıntısı. B 0, B -nin ne olduğuna bağlı değildir ve A kümesi üzerindeki bağıntılar üzerindeki bileşke işleminin etkisiz öğesi dir. Bir n 1 için A n ise, B 0 -ın bağ-matrisi, n n boyutlu bir birim matris tir.... ileride! Dolayısıyla, herhangi B x A A için, B 0 B x B x B 0 B x çünki bütün a A için ab 0 a -dır. Yani, her b A için abb 0 b olur, Æ abb ise; ve bb 0 Ba olur, Æ bba ise; Bir k 1 için, bir yerel bağıntı B -nin k -ıncı kuvveti B k ise şöyle tanımlanır: B k BB k-1 Bu tanıma göre, B 1 BB 0 B olur, B 2 BB 1 BB olur, vs. Bir Yerel Bağıntının Kapatanları: Bir B A A bağıntısı olsun. Bunun Geçişli Kapatanı şöyledir: B + k 1 B k B 1 B 2 Soru: A -ya göre, B + -nın niceliği hakkında ne denebilir? (En çok A A -nın niceliği kadar.) B bağıntısı geçişli olmasa dahi, B + geçişlidir. B bağıntısı geçişli ise, B + B olur. B bağıntısı geçişlidir, E&A B + B ise. B 2 : B -yi geçişli yapabilmek için gereken bütün sıralı ikililer kümesi olsun. B B 2 B + ve B + - B B 2 olur. Eğer B + B ise, B 2. B + A A olur mu? B -nin Yansıyıcı ve Geçişli Kapatanı ise şöyledir: B * B 0 B + B 0 B 1 B 2 Buna göre yukarıdaki ifade, D. Çalıkoğlu 15-2

3 ( ) (>) {(x,x) x Z} (>) (>) 0 (>)* ????????? Eşdeğerlik Nitelikleri: Bir A kümesi üzerindeki bir B (yerel) bağıntısı için söz konusu olan şu niteliklerin üçüne birden, eşdeğerlik nitelikleri denir: 1- Yansıyıcı olmak. Bu şu demektir: a A için a B a Diğer bir ifadeyle, B 0 B olmak. 2- Bakışık olmak. Bu şu demektir: a 1, a 2 A için eğer a 1 B a 2 ise a 2 B a 1 Diğer bir ifadeyle, B B -1 olmak. 3- Geçişli olmak. Bu şu demektir: a 1, a 2, a 3 A için eğer a 1 B a 2 ve a 2 B a 3 ise a 1 B a 3 Diğer bir ifadeyle, BB B 2 B olmak. Bu niteliklerin üçüne de sahip olan bir bağıntıya eşdeğerlik nitelikleri tam veya kısaca eşdeğerlik bağıntısı «equivalance relation» denir. Örnekler: Eşdeğerlik nitelikleri açısından değerlendiriniz: 1- K {1,2} için B 1 /K K {(1,1), (1,2), (2,1)} Yansıyıcı değil, çünki (2,2) yok. Bakışık, çünki (1,1) kendisiyle karşılıklı, (1,2) ile de (2,1) karşılıklı. Geçişli değil, çünki (2,1) ve (1,2) var fakat (2,2) yok. 2- K {1,2,3} için B 2 /K K {(1,2), (1,3), (2,2), (2,3)} Yansıyıcı değil, çünki (1,1) yok. Bakışık değil, çünki (1,2) var, fakat (2,1) yok. Geçişli, çünki şart sağlanmakta. Hiçbir a 1, a 2, a 3 K için a 1 B 2 a 2 ve a 2 B 2 a 3 karşılığında a 1 B 2 a 3 olmadığı yok. (1,2) ve (2,2) karşılığında (1,2) var. (1,2) ve (2,3) karşılığında (1,3) var. (2,2) ve (2,2) karşılığında (2,2) var. (2,2) ve (2,3) karşılığında (2,3) var. 3- B /{1} {1} ( 1 birlisi üzerinde boş bağıntı) Yansıyıcı değil, çünki (1,1) yok. Bakışık çünki şart sağlanmakta Yani hiçbir a 1, a 2 K için a 1 B a 2 olup da a 2 B a 1 olmadığı yok. Geçişli çünki şart sağlanmakta Yani hiçbir a 1, a 2, a 3 K için a 1 B a 2 ve a 2 B a 3 olup da a 1 B a 3 olmadığı yok. Boş küme üzerindeki boş bağıntı, B / aynı zamanda yansıyıcı; çünki şart sağlanıyor Yani hiçbir a yok ki, a B a olmasın. ( a için a B a) 4- Aynı anne-babanın birden çok sayıdaki evlatları üzerinde Kardeşlik bağıntısı: Yansıyıcı değil (insan kendi kendinin kardeşi değildir). Bakışık (Ali, Ayşe nin kardeşi ise Ayşe de Ali nin kardeşidir) D. Çalıkoğlu 15-3

4 Geçişli değil (Ali, Ayşe nin kardeşi, Ayşe de Ali nin kardeşi fakat Ali, Ali nin kardeşi değildir). Evlat bir tek ise, o takdirde o birli üzerindeki Kardeşlik bağıntısı, yukarıdaki B /{1} {1} gibi olur; Geçişliliği de sağlar. 5- {(1,1)} /{1} {1} bağıntısı: Yansıyıcı, Bakışık, Geçişli. Eşdeğerlik nitelikleri tam. 6- K {1,2,3} için B 6 /K K {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)} Yansıyıcı değil, çünki (3,3) yok; fakat bakışık ve geçişli. 7- Fakülteye girmiş öğrenciler üzerindeki aynı yıl girenler bağıntısı: Yansıyıcı, Bakışık, Geçişli. Eşdeğerlik nitelikleri tam, dolayısıyla bu bir eşdeğerlik bağıntısıdır. 8- Tamsayılar kümesi üzerindeki küçüktür (<) bağıntısı: Ne yansıyıcı, ne de bakışık, fakat geçişli. 9- K {a, b, c} için B 9 /K K K- {(b, c)} Bakışık ve geçişli olmadığı için eşdeğerlik bağıntısı değil. EŞDEĞERLİK SINIFLARI: Bir A kümesi üzerinde bir B eşdeğerlik bağıntısı olsun. B, A -yı eşdeğerlik sınıfları denen ayrık alt kümelere ayrıştırır. B: A Her x A, mensup olduğu eşdeğerlik sınıfını temsil eder. Şöyle ki; A x {y xby} içinde x olan eşdeğerlik sınıfı, (x temsilci) Bazen A x [x] olarak yazılır. Ayrık Küme z A ((z A x ) (z A y ) (A x A y )) İspat: z A x x A z dir, keza z A y ise y A z dir. z A x ve z A y olduğunda x,y A z olur. Farz edelim, z A x A y fakat A x A y (Hipotezin aksi) Bu takdirde A x A y x 1 z y 1 ya A x - A y ya A y - A x x 1 A x - A y y 1 A y x 1 A z olduğuna göre x 1 Bz, y 1 A y ve z A y olduğuna göre zby 1 Öyleyse,(geçişlilik) x 1 By 1 Aynı zamanda y 1 By (geçişlilik) x 1 By, demek ki x 1 A y (Çelişki) Çünki x 1 A x - A y demiştik. İndis: Bir eşdeğerlik bağıntısının tanımladığı eşdeğerlik sınıflarının toplam sayısı o bağıntının indisidir. Eşdeğerlik sınıfları sonsuz bir kümeyi oluşturuyorsa o zaman o indis sonsuz olarak nitelenir D. Çalıkoğlu 15-4

5 Örnek: Bir sınıfta bulunan öğrenciler arasında, aynı sırada oturan öğrenciler bağıntısı, bir eşdeğerlik bağıntısıdır. Her bir sıra (1.sıra, 2.sıra,...) ayrık alt kümelerdir. İndis, öğrenci bulunan sıra sayısıdır. Her bir öğrenci, bulunduğu sırayı temsil eder. N üzerindeki bazı eşdeğerlik bağıntıları: Örnekler: 1.) B 1 : bağıntısı Her bir eşdeğerlik sınıfında 1 tane öğe var ve indisi sonsuz. 2.) B 2 : 10 tabanına göre solda sıfır olmaksızın yazılışında aynı adette basamak olmak. 3 basamaklılar ile 3 basamaklılar, 2 basamaklılar ile 2 basamaklılar, 99B 2 10, ~(100B 2 99) gibi. İndisi sonsuz. 3.) B 3 : 10 tabanında yazılışında aynı birler hanesi olmak. 1, 11, 21, 31, veya 2, 12, 22, 32, gibi. İndisi 10 dur. Çünki her doğal sayının 10 tabanındaki yazılışında birler hanesi (0, 1,, 9) rakamlarından birisidir. Bu yüzden 10 adet eşdeğerlik sınıfı vardır. 4.) B 4n : Mod n (belli bir n için) değeri aynı olmak. İndis n * Bu bağıntı Mod n yerine Mod 3 olsaydı [0], [1], [2] eşdeğerlik sınıfları ile indisi 3 olurdu. * İki sayı herhangi bir Mod değerine göre aynı değere sahiplik bağıntısı, indis 1? n N ve n 2 (n 1 mod n n 2 mod n) Bunu sağlayan n 1 ve n 2 var mıdır? Eğer yoksa bütün doğal sayılar bu bağıntı için tek bir eşdeğerlik sınıfı oluşturur. 5.) B 5 : Kendinden daha büyük bir sayının var olması. İndisi 1. Genelde, B A A ve A ise, indisi 1. TEOREM: Her hangi bir R A A (A A -nın alt kümesi olan her hangi bir R bağıntısı) bağıntısı, eğer eşdeğerlik bağıntısı ise, A -yı şu şartları sağlayan ayrık alt kümelere ayrıştırır. a) A i 1,2,...,n A i ve eğer a 1, a 2 A için a 1 Ra 2 ise, bir k (1 k n) için, a 1, a 2 A k dır. Veya; b) A i 1,2,... A i olur ve yine aynı (a) daki şartlar geçerlidir. Ancak burada ayrık alt kümelerin kümesi sonsuzdur. A ve B ayrık kümeler demek: A B demektir. (a) şıkkında, n: eşdeğerlik bağıntısının indisi olarak tanımlanır, (b) şıkkında bu indise sonsuz denir. Buradaki her bir A i -ye bir eşdeğerlik sınıfı denir. ISBAT: A i 1,2,..., A i öyle ki A i {a A ara x belli bir a x A i için }burada, her a A bir A i için a x elemanı olarak kabul edilebilir. A i 1,2,..., A i olduğu açık ve zaten i 1,2,..., A i A ancak, (A B) ve (B A) ise; Bağıntıya göre bu alt kümeler ayrık olacaklar mı yoksa olmayacaklar mı? A i ve A j, farklı eşdeğerlik sınıfları olsun fakat A i A j olsun. Öyleyse y A i A j olsun. Şimdi A i A j olduğuna göre, z şeklinde öyle bir eleman vardır ki, z A i dir veya z A j dir. Fakat z A i A j değildir. Farz edelim, z A i dir (O zaman z A j ). Şimdi tanım gereği, z A i D. Çalıkoğlu 15-5

6 olduğuna göre, y R z dir ( y ile z arasında bu bağıntı vardır.) z A j olduğuna göreyine yrz dir.zry (simetri) zra x, z A J (çelişki). Şimdi A i nin tanımına bakalım A j {a A ara x belli bir a x A j için } yra x geçerli, a x Ry de geçerli(çünkü simetri var) yrz geçerli (geçişlilik var). Sonuç: her hangi bir A kümesi üzerinde bir R eşdeğerlik bağıntısı, A yı ayrık alt kümelere (eşdeğerlik sınıflarına) ayrıştırır. Bu alt kümeler kümesinin çokluğu, R nin indisi olarak anılır. Bu sonlu ve sonsuz olabilir. Örnek: R N N öyle bir bağıntı olsun ki n 1 Rn 2 şöyle tanımlansın. n 1 n 2 mod 4 ise n 1 ve n 2 arasında bir R bağıntısı vardır. Eşdeğerlik sınıfları : E 0 {0, 4, 8,...} {4 n n 0} E 1 {1, 5, 9,...} {4 n+1 n 0} E 2 {2, 6, 10,...} {4 n+2 n 0} E 3 {3, 7, 11,...} {4 n+3 n 0} Buradaki sınıflar, N -yi 4 ayrık alt kümeye ayrıştırmış oldu. Bu bağıntının indisi 4 tür. Örnek : R d N N n 1 R d n 2 eğer onluk yazımlarında eşit sayıda basamak varsa (solda sıfır olmamak kaydıyla) ; {0,1,..., 9} [0] [1] [9] {10,11,12,...99} {100,...999}. Eşdeğerlik sınıflarının bileşimi doğal sayıları verecek. İndisi sonsuz olan kümelerin bağıntısıdır.??? R A A eşdeğerlik bağıntısının eşdeğerlik sınıflarından her hangi birisini tanımlamak için onun bir elemanının belirtilmesi yeterlidir. [0] [1] [9] gibi. Örnek : R d için bu [0] {0,1,..., 9} [10] [100]... şeklinde olabilir. [10] [25] ikisi de aynı kümeyi temsil ediyor. TEOREM : Herhangi bir A kümesinin ayrık alt kümelere ayrıştırılması, bir eşdeğerlik bağıntısı oluşturur; öyle ki, arb eğer a, b aynı alt kümede iseler; İSBAT : (alıştırım) Her hangi bir A kümesini alın. İstediğin gibi ayrıştır. Bu ayrıştırma sonlu da olabilir, sonsuz da olabilir. Aynı alt kümenin ayrık olması eşdeğerlik bağıntısıyla olur. Sonuç: R A A bir bağıntı olsun. A i 1,2,..., A i olsun (a 1, a 2 A için) a 1 Ra 2 :a 1 ve a 2 aynı A i nin elemanı olarak tanımlansın. Şimdi R bir eşdeğerlik bağıntısıdır, eğer ve ancak A i ler ayrık ise; D. Çalıkoğlu 15-6

7 Bağıntıların Çizimsel Gösterimleri: Genelde bir A 1 kümesinden bir A 2 kümesine olan bir B 12 bağıntısının çizimi, her biri A 1 A 2 - nin bir öğesine ait olan ve köşe denen noktalar ile her biri B 12 -nin bir öğesine ait olan ve kenar denen oklardan oluşur. Her (a 1, a 2 ) B 12 için (a 1, a 2 ) kenarı, dibi a 1 köşesinden başlayan ve ucu a 2 köşesine dayanan bir oktur. Bir A kümesi üzerindeki bir B yerel bağıntısının çizimi ise, her biri A -nın bir öğesine ait olan ve köşe denen noktalar ile her biri B -nin bir öğesine ait olan ve kenar denen oklardan oluşur. Her (x, y) B için (x, y) kenarı, dibi x köşesinden başlayan ve ucu y köşesine dayanan bir oktur. Örnek: A 1 { 1,2,3,4 } kümesi üzerindeki B 1 { (1,2), (1,3), (2,3), (3,2), (4,4)} bağıntısının çizimi Ç 1 yandadır. Ç 1 : B 1 2 : Tanımlar: Bir A kümesi üzerindeki bir B yerel bağıntısının çiziminde, 1. (u, v) B ise, v köşesi, u köşesinin bitişik köşesidir. Bu durumda, u -dan v -ye bir adımda gidilir denir. Kayıt: bitişik köşe lik bakışık olmayabilir. 2. Bir n 1 için (farklı olmaları gerekmeyen n+1 öğe) a 0, a 1,, a n A olup, her i (0 i n-1) için a i -den a i+1 -e bir adımda gidilirse, a 0 -dan a n -ye n adımda gidilir denir; a 0, a 1,, a n dizisine de a 0 -dan a n -ye olan bir ulaşım «path» denir. Bir köşeden diğerine n adımda gidilirse, kısaca gidilir de denir. 3. Bir köşeden yine kendisine olan bir ulaşıma devir denir. Örnek: A 1 { 1,2,3,4 } kümesi üzerindeki Ç 2 : 1 2 B 2 { (1,3), (2,1), (2,3), (3,2), (4,2), (4,4)} bağıntısının çizimi Ç 2 yandadır. 3 4 Ç 2 -de 1-den 2 -ye olan bazı ulaşımlar: U 1 : 1, 3, 2 (2 adımda gidilir); U 2 : 1, 3, 2, 3, 2 (4 adımda gidilir); U 3 : 1, 3, 2, 1, 3, 2 (5 adımda gidilir); Bazı devirler: D 1 : 4, 4 (1 adımda gidilir); D 2 : 4, 4, 4, 4 (3 adımda gidilir); D 3 :2, 3, 2 (2 adımda gidilir); D 4 : 1, 3, 2, 1 (3 adımda gidilir) D. Çalıkoğlu 15-7

8 Bir Bağıntının Matrisle Temsili: İki küme W ve Y şöyle olsun: W {w 1, w 2,, w n }, Y {y 1, y 2,, y m }. W Y -nin öğelerini aşağıdaki cetvelle gösterebiliriz: Sütun başlıkları y 1 y 2 y m w 1 (w 1, y 1 ) (w 1, y 2 ) (w 1, y m ) Satır w 2 (w 2, y 1 ) (w 2, y 2 ) (w 2, y m ) Başlıkları w n (w n, y 1 ) (w n, y 2 ) (w n, y m ) Bu cetveldeki satır ve sütun başlıkları, sırasıyla W -nun ve Y -nin öğeleridir. Satır-w i ile Sütuny j -nin kesiştiği yerde (w i, y j ) sıralı ikilisi vardır. Herhangi bir B W Y bağıntısını da şöyle gösterebiliriz: y 1 y 2 y m w 1 w 1 B y 1 w 1 B y 2 w 1 B y m w 2 w 2 B y 1 w 2 B y 2 w 2 B y m w n w n B y 1 w n B y 2 w n B y m Burada her bir sıralı ikilinin B -de olup olmadığı vardır. Her i (1 i n) ve her j (1 j m) için, w i B y j { 1 0 eğer (w i, y j ) B ise aksi halde olarak bellidir. Böyle bir cetveli matris olarak aldığımızda, o bağıntıyı, öğeleri mantıksal değerler olan bir n m matris, M B ile temsil etmiş oluruz: M B b 11 b 12 b 1m b 21 b 22 b 2m b n1 b n2 b nm Burada her i (1 i n) ve her j (1 j m) için, b ij w i B y j -dir. Böyle bir matrise genelde mantıksal-matris, bağıntılar bağlamında ise bağ-matrisi denir. Bir B bağıntısının matrisi dendiğinde onun bağ-matrisi anlaşılır. Örnek: Bir A 1 {2, 5} kümesinden, bir A 2 {a, b, c} kümesine olan bir B 1 {(2,b), (5,a), (5,c)} bağıntısının matrisi şöyledir: M B Bir yerel bağıntının matrisi kare matris olur. Örnek: A 1 { 1,2,3,4 } kümesi üzerindeki B 1 { (1,2), (1,3), (2,3), (3,2), (4,4)} bağıntısının matrisi şöyledir: M B (5,a) (5,c) D. Çalıkoğlu 15-8

9 Bir W {w 1, w 2,, w n } kümesinden bir Y {y 1, y 2,, y m } kümesine olan bir f bağıntısı şayet işlev ise, onun bağ-matrisinde her satırda en çok bir adet 1 olur; ve nişan özelliklerine göre bağmatrisi şöyledir: (Bir satır veya sütun boş demek, o satır veya sütunda hiç 1 yok demektir.) Her sütunda en çok bir adet 1 vardır, Æ f 1-1 ise. (Bu takdirde hiçbir satır veya sütunda birden fazla 1 yoktur) Her satırda (tam) bir adet 1 vardır (boş satır yoktur), Æ f tam ise. Her sütunda en az bir adet 1 vardır (boş sütun yoktur), Æ f örten ise. Bir bağıntının tersinin matrisi, o bağıntının matrisinin devriği «transpose» -dir; çünki her w i B y j yerine y j B -1 w i gelir. Bir W {w 1, w 2,, w n } kümesi üzerindeki bir B bağıntısının matrisi, eşdeğerlik niteliklerine göre şöyledir: Ana köşegendeki her öğe 1 -dir, Æ B yansıyıcı ise. Bakışıktır, Æ B bakışık ise. Alıştırımlar: Aşağıdaki bağıntıların çizimleri ile matrislerini veriniz ve eşdeğerlik nitelikleri açısından değerlendiriniz (öz önalanın aynı zamanda önalan, öz artalanın da aynı zamanda artalan olduğu varsayımıyla): B 1 {(a, a),(a, b),(a, c)} B 2 {(a, b),(b, c),(a, a)} B 3 {(a, a),(b, b),(a, b), (b, a)} B 4 {(a, b),(b, c),(a, c), (c, d),(a, d)} B 5 {(a, a),(a, b),(b, c),(c, a)} Bağıntı Bileşkelerinin Bağ-Matrisleriyle Hesaplanışı: Üç küme, W {w 1, w 2,, w n }, X {x 1, x 2,, x k } ve Y {y 1, y 2,, y m } için, M B, M C ve M D sırayla, B W X, C X Y bağıntılarının ve D CB bileşkesinin bağ-matrisleri olsun. Kural: M D M B M C şeklindeki mantıksal matris çarpımı olur. (Öğeleri bitler olan iki matrisin mantıksal çarpımında mantıksal toplayış kullanılır; dolayısıyla eder.) Dayanak: Her i (1 i n) ve her j (1 j m) için, w i CB y j Æ bir h (1 h k) için, w i B x h x h C y j ise. k Bu da toplayışın mantıksal olarak yapıldığı, w i CB y j (wi B x h x h C y j ) denklemini verir. h1 Bu denklem ise, M B M C şeklindeki mantıksal matris çarpımındaki d ij öğelerini verir. b 11 b 12 b 1k b 21 b 22 b 2k b n1 b n2 b nk c 11 c 12 c 1m c 21 c 22 c 2m c k1 c k2 c km d 11 d 12 d 1m d 21 d 22 d 2m d n1 d n2 d nm M B M C M CB M D D. Çalıkoğlu 15-9

10 d ij b i1 c 1j + b i2 c 2j + + b ik c kj w i B x 1 x 1 C y j + w i B x 2 x 2 C y j + + w i B x k x k C y j Böylece D CB bileşkesinin bağ-matrisi, M B ve M C -nin mantıksal matris çarpımıyla elde edilmiş olur. Örnek: A 1 {2, 5} kümesinden, A 2 {a, b, c} kümesine olan B 1 {(2,b), (5,a), (5,c)} bağıntısının bağ-matrisi: M B A 2 {a, b, c} kümesinden, A 3 {1, 3} kümesine olan B 2 {(a,3),(b,1),(c,1)} bağıntısının bağ-matrisi: M B A 1 {2, 5} kümesinden, A 3 {1, 3} kümesine olan B 1 B 2 bileşkesinin bağ-matrisi: M B2 B A A 2 B 1 bağıntısı a b c B 2 bağıntısı 1 3 A 3 B 1 B 2 bileşkesi Sorun: Yukarıdaki örnekte verilenlere göre B 2-1 B 1-1 bileşkesinin bağ-matrisini, önce B 2-1 ve B 1-1 -in bağ-matrislerini yazıp sonra çarparak bulunuz. Çözüm: A 3 {1, 3} kümesinden, A 2 {a, b, c} kümesine olan B 2-1 {(3, a),(1, b),(1, c)} bağıntısının bağ-matrisi: M B A 2 {a, b, c} kümesinden, A 1 {2, 5} kümesine olan B 1-1 {(b, 2), (a, 5), (c, 5)} bağıntısının bağ-matrisi: M B A 3 {1, 3} kümesinden, A 1 {2, 5} kümesine olan B 2-1 B 1-1 bileşkesinin bağ-matrisi: Sonucun bir ifadesi: B 2-1 B 1-1 (A 3 A 1 )- {(3,2)} M -1 B1 B Tanım: M 1, n m boyutlarında bir mantıksal-matris, M 2 de en az n-satırlı ve en az n-sütunlu diğer bir mantıksal-matris olsun; şayet her i (1 i n) ve her j (1 j n) için M 1 [i,j] M 2 [i,j] imâsı geçerli ise, M 1 M 2 yani M 1, M 2 -yi imâ eder denir D. Çalıkoğlu 15-10

11 Bir W {w 1, w 2,, w n } kümesi üzerindeki bir B bağıntısının matrisinin, kendisiyle mantıksal çarpımı, kendisini imâ eder Æ B geçişli ise. kendisiyle mantıksal çarpımı yine kendisini verir ancak B geçişli ise. eğer B yansıyıcı ve geçişli ise, kendisiyle mantıksal çarpımı yine kendisini verir D. Çalıkoğlu 15-11

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır.

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır. 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1) a, b, c G için a ( b c) ( a b) c (Birleşme özelliği)

Detaylı

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1), G de bir ikili işlemdir. 2) a, b, c G için a( bc)

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 3.KONU Kümeler Teorisi; Küme işlemleri, İkili işlemler 1. Altküme 2. Evrensel Küme 3. Kümelerin Birleşimi 4. Kümelerin Kesişimi 5. Bir Kümenin Tümleyeni

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 5.KONU Cebiresel yapılar; Grup, Halka 1. Matematik yapı 2. Denk yapılar ve eş yapılar 3. Grup 4. Grubun basit özellikleri 5. Bir elemanın kuvvetleri

Detaylı

HESAP. (kesiklik var; süreklilik örnekleniyor) Hesap sürecinin zaman ekseninde geçtiği durumlar

HESAP. (kesiklik var; süreklilik örnekleniyor) Hesap sürecinin zaman ekseninde geçtiği durumlar HESAP Hesap soyut bir süreçtir. Bu çarpıcı ifade üzerine bazıları, hesaplayıcı dediğimiz somut makinelerde cereyan eden somut süreçlerin nasıl olup da hesap sayılmayacağını sorgulayabilirler. Bunun basit

Detaylı

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır.

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır. TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Bir çokluk belirtmek için kullanılan sembollere rakam denir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri birer rakamdır. 2. TAMSAYILAR KÜMESİ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... }

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

10.Konu Tam sayıların inşası

10.Konu Tam sayıların inşası 10.Konu Tam sayıların inşası 1. Tam sayılar kümesi 2. Tam sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Pozitif ve negatif tam sayılar 4. Tam sayılar kümesinde çıkarma 5. Tam sayılar kümesinde sıralama 6. Bir

Detaylı

(a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir.

(a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir. BĞANTI - FONKSİYON 1. Sıralı İkili : (a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir.! (x 1,x 2, x 3,x 4,...x n ) : sıralı n li denir. Örnek, (a,b,c) : sıralı

Detaylı

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye

Detaylı

sayısının tamkare olmasını sağlayan kaç p asal sayısı vardır?(88.32) = n 2 ise, (2 p 1

sayısının tamkare olmasını sağlayan kaç p asal sayısı vardır?(88.32) = n 2 ise, (2 p 1 TAM KARELER 1. Bir 1000 basamaklı sayıda bir tanesi dışında tüm basamaklar 5 tir. Bu sayının hiçbir tam sayının karesi olamayacağını kanıtlayınız. (2L44) Çözüm: Son rakam 5 ise, bir önceki 2 olmak zorunda.

Detaylı

8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar

8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar 8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar 1. Eşit güçlü kümeler 2. Sonlu ve sonsuz kümeler 3. Doğal sayılar kümesi 4. Sayılabilir kümeler 5. Doğal sayılar kümesinde toplama 6. Doğal sayılar kümesinde

Detaylı

Sayılar ve Altın Oranı. Mahmut Kuzucuoğlu. 16 Ağustos 2015

Sayılar ve Altın Oranı. Mahmut Kuzucuoğlu. 16 Ağustos 2015 Sayılar ve Altın Oranı Mahmut Kuzucuoğlu Orta Doğu Teknik Üniversitesi Matematik Bölümü matmah@metu.edu.tr İlkyar-2015 16 Ağustos 2015 Ben kimim? Denizli nin Çal ilçesinin Ortaköy kasabasında 1958 yılında

Detaylı

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14

BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14 İÇİNDEKİLER Önsöz. V BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14 BÖLÜM II KÜMELER 17 2.1.Küme Tanımı ve Özellikleri 18 2.2 Kümelerin Gösterimi 19 2.2.1 Venn Şeması Yöntemi 19 2.2.2 Liste Yöntemi

Detaylı

12.Konu Rasyonel sayılar

12.Konu Rasyonel sayılar 12.Konu Rasyonel sayılar 1. Rasyonel sayılar 2. Rasyonel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Rasyonel sayılar kümesinde çıkarma ve bölme 4. Tam rayonel sayılar 5. Rasyonel sayılar kümesinde sıralama

Detaylı

Kafes Yapıları. Hatırlatma

Kafes Yapıları. Hatırlatma Kafes Yapıları Ders 7 8-1 Hatırlatma Daha önce anlatılan sıra bağıntısını hatırlayalım. A kümesinde bir R bağıntsı verilmiş olsun. R bağıntısı; a. Yansıma (Tüm a A için, sadece ve sadece ara ise yansıyandır(reflexive)).

Detaylı

8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR

8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR 8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR Şimdiye kadar bir gruptan diğer bir gruba tanımlı olan fonksiyonlarla ilgilenmedik. Bu bölüme aşağıdaki tanımla başlayalım. Tanım 8.1: G, ve H, iki grup ve f : G H

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER

BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER YILLAR 00 00 00 00 00 00 007 008 009 00 ÖSS-YGS - - - - - - - - BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER a,b R ve a 0 olmak üzere ab=0 şeklindeki denklemlere Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Lineer. Cebir. Ünite 6. 7. 8. 9. 10

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Lineer. Cebir. Ünite 6. 7. 8. 9. 10 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Lineer Cebir Ünite 6. 7. 8. 9. 10 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1074 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI

Detaylı

13. Karakteristik kökler ve özvektörler

13. Karakteristik kökler ve özvektörler 13. Karakteristik kökler ve özvektörler 13.1 Karakteristik kökler 1.Tanım: A nxn tipinde matris olmak üzere parametrisinin n.dereceden bir polinomu olan şeklinde gösterilen polinomuna A matrisin karakteristik

Detaylı

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ AYRIK YAPILAR P r o f. D r. Ö m e r A k ı n v e Y r d. D o ç. D r. M u r a t Ö z b a y o ğ l u n u n Ç e v i r i E d i t ö r l ü ğ ü n ü ü s t l e n d i ğ i «A y r ı k M a t e m a t i k v e U y g u l a

Detaylı

için doğrudur. olmak üzere tüm r mertebeli gruplar için lemma nın doğru olduğunu kabul edelim. G grubunun mertebesi n olsun. ve olsun.

için doğrudur. olmak üzere tüm r mertebeli gruplar için lemma nın doğru olduğunu kabul edelim. G grubunun mertebesi n olsun. ve olsun. 11. Cauchy Teoremi ve p-gruplar Bu bölümde Lagrange teoreminin tersinin doğru olduğu bir özel durumu inceleyeceğiz. Bu teorem Cauchy tarafından ispatlanmıştır. İlk olarak bu teoremi sonlu değişmeli gruplar

Detaylı

7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;

7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım; İÇ ÇARPIM UZAYLARI 7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;.= 1 1 + + Açıklanmış ve bu konu uzunluk ve uzaklık kavramlarını açıklamak için kullanılmıştır. Bu bölümde öklit

Detaylı

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT Kümelerde Temel Kavramlar 1. Kazanım : Küme kavramını açıklar; liste, Venn şeması ve ortak özellik yöntemleri ile gösterir. 2. Kazanım : Evrensel küme,

Detaylı

EBOB - EKOK EBOB VE EKOK UN BULUNMASI. 2. Yol: En Büyük Ortak Bölen (Ebob) En Küçük Ortak Kat (Ekok) www.unkapani.com.tr. 1. Yol:

EBOB - EKOK EBOB VE EKOK UN BULUNMASI. 2. Yol: En Büyük Ortak Bölen (Ebob) En Küçük Ortak Kat (Ekok) www.unkapani.com.tr. 1. Yol: EBOB - EKOK En Büyük Ortak Bölen (Ebob) İki veya daha fazla pozitif tamsayıyı aynı anda bölen pozitif tamsayıların en büyüğüne bu sayıların en büyük ortak böleni denir ve kısaca Ebob ile gösterilir. Örneğin,

Detaylı

x 1,x 2,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu;

x 1,x 2,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu; 4. BÖLÜM DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ Doğrusal Denklem Sistemi x,x,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu; a x + a x + L + a x = b n n a x + a x + L + a x = b n n a x + a

Detaylı

SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon denir.

SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon denir. SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon Tanım 2: Bir grubun kendi üzerine izomorfizmine otomorfizm, grubun kendi üzerine homomorfizmine endomorfizm Sadece birebir olan

Detaylı

1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 3. ÜNİTE. Bölüm 1 : Üslü Sayılar... 8. Bölüm 2 : Doğal Sayılar... 18. Bölüm 3 : Doğal Sayı Problemleri... 30

1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 3. ÜNİTE. Bölüm 1 : Üslü Sayılar... 8. Bölüm 2 : Doğal Sayılar... 18. Bölüm 3 : Doğal Sayı Problemleri... 30 İçindekiler 1. ÜNİTE Bölüm 1 : Üslü Sayılar... 8 Bölüm 2 : Doğal Sayılar... 18 Bölüm 3 : Doğal Sayı Problemleri... 30 Bölüm 4 :- Çarpanlar ve Katlar, Bölünebilme... 40 Bölüm 5 : Asal Sayılar, Ortak Bölenler,

Detaylı

Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept.

Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept. Dijital Devre Tasarımı EEE122 A Ref. Morris MANO & Michael D. CILETTI DIGITAL DESIGN 4 th edition Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept. 2. BÖLÜM Boole Cebri ve Mantık

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43 İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 13 1.1 Doğal Sayılar 15 1.1.1. Tek ve Çift Sayılar 15 1.1.2. Asal Sayılar 15 1.1.3 Doğal Sayıların Özellikleri 15 1.1.4 Doğal Sayılarda Özel Toplamlar 16 1.1.5. Faktöriyel

Detaylı

2012 YGS MATEMATİK Soruları

2012 YGS MATEMATİK Soruları 01 YGS MATEMATİK Soruları 1. 10, 1, 0, 0, işleminin sonucu kaçtır? A) B), C) 6 D) 6, E) 7. + ABC 4 x 864 Yukarıda verilenlere göre, çarpma işleminin sonucu kaçtır? A) 8974 B) 907 C) 9164 D) 94 E) 98. 6

Detaylı

Bölüm 2 Matematik Dili

Bölüm 2 Matematik Dili Bölüm 2 Matematik Dili Kümeler p Küme(Set) = ayrık nesnelerden oluşmuş topluluğa küme denir p Kümenin elemanları element olarak adlandırılır p Kümeler nasıl gösterilir Liste şeklinde p Örnek: A = {,3,5,7}

Detaylı

barisayhanyayinlari.com

barisayhanyayinlari.com YGS MATEMATİK KONU ANLATIM FASİKÜLLERİ SERİSİ 1 ISBN 978-605-84147-0-9 Baskı Tarihi Ağustos 015 Baskı Yeri: İstanbul YAYINLARI İletişim tel: (538) 90 50 19 barisayhanyayinlari.com Benim için her şey bir

Detaylı

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak 10.Konu İç çarpım uzayları ve özellikleri 10.1. ve üzerinde uzunluk de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor teoreminden dir. 1.Ö.: [ ] ise ( ) ( ) ve ( ) noktaları gözönüne alalım.

Detaylı

OKUL ADI : ÖMER ÇAM ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI : 2015 2016 DERSİN ADI : MATEMATİK SINIFLAR : 9

OKUL ADI : ÖMER ÇAM ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI : 2015 2016 DERSİN ADI : MATEMATİK SINIFLAR : 9 OKUL ADI : ÖMER ÇAM ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI : 015 01 1 Eylül 18 Eylül Kümelerde Temel Kavramlar 1. Küme kavramını örneklerle açıklar ve kümeleri ifade etmek için farklı gösterimler.

Detaylı

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye KÜME AİLELERİ GİRİŞ Bu bölümde, bir çoğu daha önceden bilinen incelememiz için gerekli olan bilgileri vereceğiz. İlerde konular işlenirken karşımıza çıkacak kavram ve bilgileri bize yetecek kadarı ile

Detaylı

BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM

BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM 4.1. Giriş Bir önceki bölümde, hareket denklemi F = ma nın, maddesel noktanın yer değiştirmesine göre integrasyonu ile elde edilen iş ve enerji denklemlerini

Detaylı

Bu ders materyali 06.09.2015 23:17:19 tarihinde matematik öğretmeni Ömer SENCAR tarafından hazırlanmıştır. Unutmayın bilgi paylaştıkça değerlidir.

Bu ders materyali 06.09.2015 23:17:19 tarihinde matematik öğretmeni Ömer SENCAR tarafından hazırlanmıştır. Unutmayın bilgi paylaştıkça değerlidir. -- Bu ders materyali 06.09.05 :7:9 tarihinde matematik öğretmeni Ömer SENCAR tarafından UYGULAMA-00 Cevap: x- -x- x- =0 denklemini sağlayan x değeri kaçtır? UYGULAMA-00 Cevap: x x x 5 + = + denklemini

Detaylı

MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ

MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1074 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI NO: 589 MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ Lineer Cebir Yazar: Yrd.Doç.Dr. Nezahat ÇETİN Öğr.Grv.Dr. Nevin ORHUN Editör: Prof.Dr. Orhan

Detaylı

SERĠMYA 2011 - IX. ULUSAL ĠLKÖĞRETĠM MATEMATĠK OLĠMPĠYATI. 9. Ulusal. serimya. İLKÖĞRETİM 7. Ve 8. SINIFLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI.

SERĠMYA 2011 - IX. ULUSAL ĠLKÖĞRETĠM MATEMATĠK OLĠMPĠYATI. 9. Ulusal. serimya. İLKÖĞRETİM 7. Ve 8. SINIFLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI. Sayfa1 9. Ulusal serimya İLKÖĞRETİM 7. Ve 8. SINIFLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI 2011 Sayfa2 1. Bir ABCD konveks dörtgeninde AD 10 cm ise AB CB? m( Dˆ ) 90, ( ˆ) 150 0 0 m C ve m Aˆ m Bˆ ( ) ( ) olarak

Detaylı

TMÖZ Türkiye Matematik Öğretmenleri Zümresi

TMÖZ Türkiye Matematik Öğretmenleri Zümresi YGS MATEMATİK DENEMESİ- Muharrem ŞAHİN TMÖZ Türkiye Matematik Öğretmenleri Zümresi Eyüp Kamil YEŞİLYURT Gökhan KEÇECİ Saygın DİNÇER Mustafa YAĞCI İ:K Ve TMÖZ üyesi 4 00 matematik ve geometri sevdalısı

Detaylı

Sıfırdan farklı a, b, c tam sayıları için aşağıdaki özellikler sağlanır.

Sıfırdan farklı a, b, c tam sayıları için aşağıdaki özellikler sağlanır. SAYILAR TEORİSİ 1 Bölünebilme Bölme Algoritması: Her a ve b 0 tam sayıları için a = qb + r ve 0 r < b olacak şekilde q ve r tam sayıları tek türlü belirlenebilir. r sayısı a nın b ile bölümünden elde edilen

Detaylı

Örnek...1 : Örnek...5 : n bir pozitif tamsayı ise i 4 n + 2 +i 8 n + 1 2 +i 2 0 n + 6 =?

Örnek...1 : Örnek...5 : n bir pozitif tamsayı ise i 4 n + 2 +i 8 n + 1 2 +i 2 0 n + 6 =? KARMAŞIK SAYILAR Karmaşık saılar x 2 + 1 = 0 biçimindeki denklemlerin çözümünü apabilmek için tanım lanm ıştır. Örnek...2 : Toplamları 6 ve çarpımları 34 olan iki saı bulunuz. a ve b birer reel saı ve

Detaylı

x13. ULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATI - 2005

x13. ULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATI - 2005 TÜBİTAK TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNOLOJİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM İNSANI DESTEKLEME DAİRE BAŞKANLIĞI x13. ULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATI - 005 BİRİNCİ AŞAMA SINAVI Soru kitapçığı türü A 1. AB = olmak üzere, A

Detaylı

NEDEN EXCEL NASIL BAŞLATABİLİRİZ: EXCEL PROGRAMININ ARAYÜZÜ

NEDEN EXCEL NASIL BAŞLATABİLİRİZ: EXCEL PROGRAMININ ARAYÜZÜ EXCEL Uzantısı.xls(2003 ve öncesi) yada.xlsx(2007 ve sonrası) dır. Uzantı: ilgili dosyanın hangi programlar tarafından açılabileceği veya hangi programlar tarafından oluşturulduğunu hem bizim hem de yazılımın

Detaylı

11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler

11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler 11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler 1. Asal sayılar 2. Bir tam sayının bölenleri 3. Modüler aritmetik 4. Bölünebilme kuralları 5. Lineer modüler aritmetik 6. Euler

Detaylı

KENAR UZUNLUKLARI GEOMETRİK DİZİ OLUŞTURAN TAM SAYI KENARLI ÜÇGENLER

KENAR UZUNLUKLARI GEOMETRİK DİZİ OLUŞTURAN TAM SAYI KENARLI ÜÇGENLER ORTAÖĞRETİM ÖĞRENCİLERİ ARASI ARAŞTIRMA PROJELERİ YARIŞMASI (01 013) KENAR UZUNLUKLARI GEOMETRİK DİZİ OLUŞTURAN TAM SAYI KENARLI ÜÇGENLER Fatih KORKUSUZ Şehit Fazıl Yıldırım Anadolu Lisesi Eskişehir Kadir

Detaylı

PARABOL. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu

PARABOL. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu PARABL Bu bölümde birinci dereceden fonksion =f()=a+b ve ikinci dereceden fonksion =f()=a +b+c grafiklerini üzesel olarak inceleeceğiz. f()=a +b+c ikinci dereceden bir bilinmeenli polinom fonksionun grafiği

Detaylı

SAYILARIN ASAL ÇARPANLARINA AYRILMASI

SAYILARIN ASAL ÇARPANLARINA AYRILMASI ASAL SAYILAR Asal sayılar, 1 ve kendisinden başka pozitif tam böleni olmayan 1' den büyük tamsayılardır. En küçük asal sayı, 2' dir. 2 asal sayısı dışında çift asal sayı yoktur. Yani, 2 sayısı dışındaki

Detaylı

Komisyon DGS TAMAMI ÇÖZÜMLÜ 10 DENEME SINAVI ISBN Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarına aittir.

Komisyon DGS TAMAMI ÇÖZÜMLÜ 10 DENEME SINAVI ISBN Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarına aittir. Komisyon DGS TAMAMI ÇÖZÜMLÜ 10 DENEME SINAVI ISBN 978-605-318-010-4 Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarına aittir. 2015, Pegem Akademi Bu kitabın basım, yayın ve satış hakları Pegem Akademi

Detaylı

1. KÜMELER TEORİSİ 1. Giriş. Modern matematiğin en önemli kullanım araçlarından birisi kümeler teorisidir. Kümeler teorisi çalışmaları matematiğin temelinde kullanılışı 20. yüzyılın başlangıcında Frege,

Detaylı

MATEMATiKSEL iktisat

MATEMATiKSEL iktisat DİKKAT!... BU ÖZET 8 ÜNİTEDİR BU- RADA İLK ÜNİTE GÖSTERİLMEKTEDİR. MATEMATiKSEL iktisat KISA ÖZET KOLAY AOF Kolayaöf.com 0362 233 8723 Sayfa 2 içindekiler 1.ünite-Türev ve Kuralları..3 2.üniteTek Değişkenli

Detaylı

Mikrobilgisayarda Aritmetik

Mikrobilgisayarda Aritmetik 14 Mikrobilgisayarda Aritmetik SAYITLAMA DİZGELERİ Sayıları göstermek (temsil etmek) için tarih boyunca türlü simgeler kullanılmıştır. Konumuz bu tarihi gelişimi incelemek değildir. Kullanılan sayıtlama

Detaylı

Bil101 Bilgisayar Yazılımı I. M. Erdem ÇORAPÇIOĞLU Bilgisayar Yüksek Mühendisi

Bil101 Bilgisayar Yazılımı I. M. Erdem ÇORAPÇIOĞLU Bilgisayar Yüksek Mühendisi Bil101 Bilgisayar Yazılımı I Bilgisayar Yüksek Mühendisi Yazılım, değişik ve çeşitli görevler yapma amaçlı tasarlanmış elektronik araçların birbirleriyle haberleşebilmesini ve uyumunu sağlayarak görevlerini

Detaylı

Sayıtlama Dizgeleri. (a n a n-1 a n1 a n0. b 1 b 2 b m )r. simgesi şu sayıyı temsil eder.

Sayıtlama Dizgeleri. (a n a n-1 a n1 a n0. b 1 b 2 b m )r. simgesi şu sayıyı temsil eder. 1 Sayıtlama Dizgeleri Hint-Arap Sayıtlama Dizgesi Sayıları göstermek (temsil etmek) için tarih boyunca türlü simgeler kullanılmıştır. Sümerlerin, Mısırlıların, Romalıların ve diğer uygarlıkların kullandıkları

Detaylı

DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I-

DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I- DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I- Dışbükeylik / İçbükeylik Hazırlayan Doç. Dr. Nil ARAS Anadolu Üniversitesi, Endüstri Mühendisliği Bölümü İST38 Yöneylem Araştırması Dersi 0-0 Öğretim Yılı Doğrusal olmayan

Detaylı

ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ MODÜLER ARİTMETİK

ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ MODÜLER ARİTMETİK ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ MODÜLER ARİTMETİK ÇANAKKALE 2012 ÖNSÖZ Bu kitap Çanakkale Onsekiz Mart Üniversitesi Matematik Bölümünde lisans dersi olarak Cebirden

Detaylı

18. ULUSAL ANTALYA MATEMATİK SORULARI A A A A A A A

18. ULUSAL ANTALYA MATEMATİK SORULARI A A A A A A A KDENİZ ÜNİVERSİTESİ 18. ULUSL NTLY MTEMTİK OLİMPİYTLRI BİRİNCİ ŞM SORULRI SINV TRİHİ VESTİ:30 MRT 2013 - Cumartesi 10.00-12.30 Bu sınav 25 sorudan oluşmaktadır vesınav süresi 150 dakikadır. SINVL İLGİLİ

Detaylı

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

BİR SAYININ ÖZÜ VE DÖRT İŞLEM

BİR SAYININ ÖZÜ VE DÖRT İŞLEM ÖZEL EGE LİSESİ BİR SAYININ ÖZÜ VE DÖRT İŞLEM HAZIRLAYAN ÖĞRENCİ: Sıla Avar DANIŞMAN ÖĞRETMEN: Gizem Günel İZMİR 2012 İÇİNDEKİLER 1. PROJENİN AMACI.. 3 2. GİRİŞ... 3 3. YÖNTEM. 3 4. ÖN BİLGİLER... 3 5.

Detaylı

FONKSİYONLAR FONKSİYONLAR... 179 198. Sayfa No. y=f(x) Fonksiyonlar Konu Özeti... 179. Konu Testleri (1 8)... 182. Yazılıya Hazırlık Soruları...

FONKSİYONLAR FONKSİYONLAR... 179 198. Sayfa No. y=f(x) Fonksiyonlar Konu Özeti... 179. Konu Testleri (1 8)... 182. Yazılıya Hazırlık Soruları... ÜNİTE Safa No............................................................ 79 98 Fonksionlar Konu Özeti...................................................... 79 Konu Testleri ( 8)...........................................................

Detaylı

2012 YGS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ. b 27 18. 3. a 12 8 A) 4 2 B) 3 3 C) 4 D) 5 E) 6. Çözüm : Cevap : E. 4. x ve y birer gerçel sayı olmak üzere,

2012 YGS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ. b 27 18. 3. a 12 8 A) 4 2 B) 3 3 C) 4 D) 5 E) 6. Çözüm : Cevap : E. 4. x ve y birer gerçel sayı olmak üzere, 01 YGS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ 1. 10, 5,1 0,5 0, işleminin sonucu kaçtır? A) 5 B) 5,5 C) 6 D) 6,5 E) 7. a 1 8 b 7 18 olduğuna göre a b çarpımı kaçtır? A) 4 B) C) 4 D) 5 E) 6 10, 5,1 105 1 41 1 5 0,

Detaylı

Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim

Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim Geçen ders RP 2 de tekil olmayan her koniğin bir dönüşümün ardından tek bir koniğe dönüştüğü sonucuna vardık; o da {[x : y : z x 2 + y 2 z 2 = 0]} idi. Bu derste bu

Detaylı

"Bütün kümelerin kümesi", X olsun. Öyle ise her alt kümesi kendisinin elemanıdır. X'in "Alt kümeleri kümesi" de X'in alt kümesidir.

Bütün kümelerin kümesi, X olsun. Öyle ise her alt kümesi kendisinin elemanıdır. X'in Alt kümeleri kümesi de X'in alt kümesidir. Matematik Paradoksları: Doğru Parçası Paradoksu: Önce doğru parçasının tarifini yapalım: Doğru Parçası: Başlangıcı ve sonu olan ve sonsuz adet noktadan oluşan doğru. Pekiyi nokta nedir? Nokta: Kalemin

Detaylı

Projenin Adı: Metalik Oranlar ve Karmaşık Sayı Uygulamaları

Projenin Adı: Metalik Oranlar ve Karmaşık Sayı Uygulamaları Projenin Adı: Metalik Oranlar ve Karmaşık Sayı Uygulamaları Projenin Amacı: Metalik Oranların elde edildiği ikinci dereceden denklemin diskriminantını ele alarak karmaşık sayılarla uygulama yapmak ve elde

Detaylı

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 17 Nisan 1994. Matematik Soruları ve Çözümleri = 43. olduğuna göre a kaçtır?

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 17 Nisan 1994. Matematik Soruları ve Çözümleri = 43. olduğuna göre a kaçtır? Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 17 Nisan 1994 Matematik Soruları ve Çözümleri 4.10 +.10 1. 4 10 4 işleminin sonucu kaçtır? A) 0,4 B) 4, C) 4 D) 40 E) 400 Çözüm 1 4.10 +.10 4 10 4 4.10 +.10 10 1+ 1 = 4 4 (40+

Detaylı

MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ

MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1074 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI NO: 589 MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ Lineer Cebir Yazar: Yrd.Doç.Dr. Nezahat ÇETİN Öğr.Grv.Dr. Nevin ORHUN Editör: Prof.Dr. Orhan

Detaylı

PERMÜTASYON, KOMBİNASYON. Örnek: Örnek: Örnek:

PERMÜTASYON, KOMBİNASYON. Örnek: Örnek: Örnek: SAYMANIN TEMEL KURALLARI Toplama Kuralı : Sonlu ve ayrık kümelerin eleman sayılarının toplamı, bu kümelerin birleşimlerinin eleman sayısına eşittir. Mesela, sonlu ve ayrık iki küme A ve B olsun. s(a)=

Detaylı

MATRİS İŞLEMLER LEMLERİ

MATRİS İŞLEMLER LEMLERİ MTRİS İŞLEMLER LEMLERİ Temel matris işlemlerinin doğrudan matematik açılımını 2 yapmadan önce, bir eşanlı denklem sisteminin matris işlemleri kullanılarak nasıl daha kolay ve sistematik bir çözüm verdiğini,

Detaylı

2. ÜNİTE RASYONEL,ÜSLÜ VE KÖKLÜ SAYILAR

2. ÜNİTE RASYONEL,ÜSLÜ VE KÖKLÜ SAYILAR 2. ÜNİTE RASYONEL,ÜSLÜ VE KÖKLÜ SAYILAR KONULAR 1. RASYONEL SAYILAR 2. Kesir Çeşitleri 3. Kesirlerin Sadeleştirilmesi 4. Rasyonel Sayılarda Sıralama 5. Rasyonel Sayılarda İşlemler 6. ÜSLÜ İFADE 7. Üssün

Detaylı

Algoritma ve Akış Diyagramları

Algoritma ve Akış Diyagramları Algoritma ve Akış Diyagramları Bir problemin çözümüne ulaşabilmek için izlenecek ardışık mantık ve işlem dizisine ALGORİTMA, algoritmanın çizimsel gösterimine ise AKIŞ DİYAGRAMI adı verilir 1 Akış diyagramları

Detaylı

MATEMATÝK TEMEL SEVÝYE DEVLET OLGUNLUK SINAVI. Testin Çözme Süresi: 180 dakika ADAY ÝÇÝN AÇIKLAMALAR - YÖNERGE DEVLET SINAV MERKEZÝ ADAYIN ÞÝFRESÝ

MATEMATÝK TEMEL SEVÝYE DEVLET OLGUNLUK SINAVI. Testin Çözme Süresi: 180 dakika ADAY ÝÇÝN AÇIKLAMALAR - YÖNERGE DEVLET SINAV MERKEZÝ ADAYIN ÞÝFRESÝ ADAYIN ÞÝFRESÝ BURAYA YAPIÞTIR DEVLET OLGUNLUK SINAVI DEVLET SINAV MERKEZÝ MATEMATÝK - TEMEL SEVÝYE MATEMATÝK TEMEL SEVÝYE Testin Çözme Süresi: 180 dakika Haziran, 2009 yýlý BÝRÝNCÝ deðerlendiricinin þifresi

Detaylı

a = b ifadesine kareköklü ifade denir.

a = b ifadesine kareköklü ifade denir. KAREKÖKLÜ SAYILAR Rasyonel sayılar kümesi sayı ekseninde sık olmasına rağmen sayı eksenini tam dolduramamaktadır;çünkü sayı doğrusu üzerinde görüntüsü olduğu halde rasyonel olmayan sayılar da vardır. Karesi

Detaylı

1. DERECEDEN İKİ BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER

1. DERECEDEN İKİ BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER 1. DERECEDEN İKİ BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER Örnek...3 : 3 x+ y= 5 2x 3 =2 y s i s t e m i n i s a ğ l a ya n y d e ğ e r i k aç t ır? a, b, c R, a 0, b 0, x v e y d e ğ i şk e n o l m a k ü ze r e, a x+ b

Detaylı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı 10.1 Türev Kavramı fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki bir değerine kadar bir artma verildiğinde varılan x = x 0 + noktasında fonksiyonun değeri olsun.

Detaylı

Mantıksal Operatörlerin Semantiği (Anlambilimi)

Mantıksal Operatörlerin Semantiği (Anlambilimi) Mantıksal Operatörlerin Semantiği (Anlambilimi) Şimdi bu beş mantıksal operatörün nasıl yorumlanması gerektiğine (semantiğine) ilişkin kesin ve net kuralları belirleyeceğiz. Bir deyimin semantiği (anlambilimi),

Detaylı

2 şeklindeki bütün sayılar. 2 irrasyonel sayısı. 2 irrasyonel sayısından elde etmekteyiz. Benzer şekilde 3 irrasyonel sayısı

2 şeklindeki bütün sayılar. 2 irrasyonel sayısı. 2 irrasyonel sayısından elde etmekteyiz. Benzer şekilde 3 irrasyonel sayısı 1.8.Reel Sayılar Kümesinin Tamlık Özelliği Rasyonel sayılar kümesi ile rasyonel olmayan sayıların kümesi olan irrasyonel sayılar kümesinin birleşimine reel sayılar kümesi denir ve IR ile gösterilir. Buna

Detaylı

İlter TÜRKMEN, Tolga TANIŞ, Simay AYDIN,

İlter TÜRKMEN, Tolga TANIŞ, Simay AYDIN, YAYIN KURULU Hazırlayanlar İlter TÜRKMEN, Tolga TANIŞ, Simay AYDIN, YAYINA HAZIRLAYANLAR KURULU Kurumsal Yayınlar Yönetmeni Saime YILDIRIM Kurumsal Yayınlar Birimi Dizgi & Grafik Mustafa Burak SANK & Ezgi

Detaylı

TEMEL MATEMATİĞE GİRİŞ - Matematik Kültürü - 5

TEMEL MATEMATİĞE GİRİŞ - Matematik Kültürü - 5 1 14 ve 1 sayılarına tam bölünebilen üç basamaklı kaç farklı doğal sayı vardır? x = 14.a = 1b x= ekok(14, 1 ).k, (k pozitif tamsayı) x = 4.k x in üç basamaklı değerleri istendiğinden k =, 4, 5, 6, 7,,

Detaylı

Bölüm 2 Matematik Dili. Kümeler

Bölüm 2 Matematik Dili. Kümeler Bölüm 2 Matematik Dili Kümeler Küme(Set) = ayrık nesnelerden oluşmuş topluluğa küme denir Kümenin elemanları element olarak adlandırılır Kümeler nasıl gösterilir Liste şeklinde Örnek: A = {1,3,5,7} Tanım

Detaylı

30 NİSAN-14 MAYIS ZEYNEP KAYAR. 1) L : R 3 R 2, L(x 1, x 2, x 3 ) = ( 3x 1 + 2x 3 4x 2, 2x 1 + x 2 3x 3 )

30 NİSAN-14 MAYIS ZEYNEP KAYAR. 1) L : R 3 R 2, L(x 1, x 2, x 3 ) = ( 3x 1 + 2x 3 4x 2, 2x 1 + x 2 3x 3 ) 3 NİSAN-4 MAYIS ZEYNEP KAYAR MATEMATİK BÖLÜMÜ LİNEER CEBİR-II DERSİ ÖDEV 4 Soru I: Aşağıda verilen dönüşümlerin lineer olup olmadığını gösteriniz. ) L : R 3 R, L(x, x, x 3 ) = ( 3x + x 3 4x 4, x + x 3x

Detaylı

6. 3x2-8x - 3 = O denkleminin negatif kökü asagidakilerden. 7. mx2 - (2m2 + i) x + 2m = O denkleminin köklerinden

6. 3x2-8x - 3 = O denkleminin negatif kökü asagidakilerden. 7. mx2 - (2m2 + i) x + 2m = O denkleminin köklerinden ikinci Dereceden Denklemler, tçözüm Kümesi, Köklerin Varligi. (m - 9) x + x - 6 = o denkleminin ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem olmasi için, m degeri asagidakilerden hangisi olamaz? A) - B) -

Detaylı

EXCEL PROGRAMININ ARAYÜZÜ

EXCEL PROGRAMININ ARAYÜZÜ Ofis Düğmesi EXCEL NEDİR? NEDEN EXCEL? Excel tablo oluşturmanızı, verileri hesaplamanızı ve çözümlemenizi sağlayan bir yazılımdır. Bu türden yazılımlara elektronik tablo yazılımları adı verilir. Excel

Detaylı

2. (v+w+x+y+z) 8 ifadesinin açılımında kaç terim vardır? 3. log 5 0, 69897 olduğuna göre 50 10 sayısı kaç basamaklıdır?

2. (v+w+x+y+z) 8 ifadesinin açılımında kaç terim vardır? 3. log 5 0, 69897 olduğuna göre 50 10 sayısı kaç basamaklıdır? Ayrık Hesaplama Yapıları A GRUBU 3.03.0 Numarası Adı Soyadı : CEVAP : ANAHTARI SINAV YÖNERGESİ İşaretlemelerinizde kurşun kalem kullanınız. Soru ve cevap kağıtlarına numaranızı ve isminizi mürekkepli kalem

Detaylı

Diğer sayfaya geçiniz. 2013 - YGS / MAT TEMEL MATEMATİK TESTİ. olduğuna göre, a kaçtır? olduğuna göre, m kaçtır?

Diğer sayfaya geçiniz. 2013 - YGS / MAT TEMEL MATEMATİK TESTİ. olduğuna göre, a kaçtır? olduğuna göre, m kaçtır? TEMEL MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte 40 soru vardır. 2. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Temel Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz. 1. 3. olduğuna göre, a kaçtır? olduğuna göre, m kaçtır? A)

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16. MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16. MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI. MATEMATİK YARIŞMASI 0. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI 5. sayısının virgülden sonra 9 99 999 5. basamağındaki rakam kaçtır? A) 0 B) C) 3 D) E) 8!.!.3!...4! 4. A= aşağıdaki hangi

Detaylı

d) x TABAN ARĐTMETĐĞĐ

d) x TABAN ARĐTMETĐĞĐ YILLAR 00 00 00 00 00 007 008 009 010 011 ÖSS-YGS - 1 1 - - - - - - - TABAN ARĐTMETĐĞĐ Genel olarak 10 luk sayı sistemini kullanırız fakat başka sayı sistemlerine de ihtiyaç duyarız Örneğin bilgisayarın

Detaylı

Cebirsel Yapılar. Ders 6. İkili İşlemler ve Özellikleri

Cebirsel Yapılar. Ders 6. İkili İşlemler ve Özellikleri Cebirsel Yapılar Ders 6 6-1 İkili İşlemler ve Özellikleri Kümelerdeki birleşim ve kesişim işlemleri iki kümeyi birleştirerek üçüncü bir küme ortaya çıkarırken, g o f bileşke fonksiyonu f ve g fonksiyonlarından

Detaylı

Dikkat: Bir eleman, her iki kümede de olsa bile sadece bir kez yazılır.

Dikkat: Bir eleman, her iki kümede de olsa bile sadece bir kez yazılır. KÜMELER Kümelerin birleşimi (A B ): Kümelerin bütün elemanlarından oluşur. Kümelerin kesişimi (A B): Kümelerin ortak elemanlarından oluşur. Kümelerin Farkı (A \ B ) veya (A - B ): Birinci kümede olup ikinci

Detaylı

MATRİSLER. Şekil 1 =A6:B7+D6:E7

MATRİSLER. Şekil 1 =A6:B7+D6:E7 MATRİSLER Bir A matrisi mxn adet gerçel veya sanal elemanların sıralı koleksiyonudur. Bu koleksiyon m satır ve n sütun ile düzenlenir. A(mxn) notasyonu matrisin m satırlı n sütunlu olduğunu gösterir ve

Detaylı

MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ

MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 108 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI NO: 600 MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ Analiz Yazar: Prof.Dr. Vakıf CAFEROV Editör: Öğr.Gör.Dr. Mehmet ÜREYEN Bu kitabın basım, yayım

Detaylı

Algoritma Geliştirme ve Veri Yapıları 9 Ağaç Veri Modeli ve Uygulaması. Mustafa Kemal Üniversitesi

Algoritma Geliştirme ve Veri Yapıları 9 Ağaç Veri Modeli ve Uygulaması. Mustafa Kemal Üniversitesi Algoritma Geliştirme ve Veri Yapıları 9 Ağaç Veri Modeli ve Uygulaması Ağaç, verilerin birbirine sanki bir ağaç yapısı oluşturuyormuş gibi sanal olarak bağlanmasıyla elde edilen hiyararşik yapıya sahip

Detaylı

BİL 201 Boole Cebiri ve Temel Geçitler (Boolean Algebra & Logic Gates) Bilgisayar Mühendisligi Bölümü Hacettepe Üniversitesi

BİL 201 Boole Cebiri ve Temel Geçitler (Boolean Algebra & Logic Gates) Bilgisayar Mühendisligi Bölümü Hacettepe Üniversitesi BİL 201 Boole Cebiri ve Temel Geçitler (Boolean Algebra & Logic Gates) Bilgisayar Mühendisligi Bölümü Hacettepe Üniversitesi Temel Tanımlar Kapalılık (closure) Birleşme özelliği (associative law) Yer değiştirme

Detaylı

ASAL SAYILAR. www.unkapani.com.tr

ASAL SAYILAR. www.unkapani.com.tr ASAL SAYILAR ve kendisinden aşka pozitif öleni olmayan den üyük doğal sayılara asal sayı denir.,, 5, 7,,, 7, 9, sayıları irer asal sayıdır. En küçük asal sayı dir. den aşka çift asal sayı yoktur. den aşka

Detaylı

1.DENEME HAZIRLIK MATEMATİK MATEMATİK TESTİ. 1-En yakın yüzlüğe yuvarlandığında 2200 olan en küçük sayı hangisidir? A-2150 B-2151 C-2190 D-2199

1.DENEME HAZIRLIK MATEMATİK MATEMATİK TESTİ. 1-En yakın yüzlüğe yuvarlandığında 2200 olan en küçük sayı hangisidir? A-2150 B-2151 C-2190 D-2199 1.DENEME HAZIRLIK MATEMATİK MATEMATİK TESTİ 1-En yakın yüzlüğe yuvarlandığında 2200 olan en küçük sayı hangisidir? A-2150 B-2151 C-2190 D-2199 2-Onlar basamağı 5, yüzler basamağı 2 ve binler basamağı 6

Detaylı

Kümeler ve Küme İşlemleri

Kümeler ve Küme İşlemleri Kümeler ve Küme İşlemleri ÜNİTE 2 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; küme kavramını, küme işlemlerini, küme işlemlerinin özelliklerini ve kullanılan simgeleri tanıyacaksınız. küme ailelerini, kümelerin

Detaylı

X. Ulusal İlköğretim Matematik Olimpiyatı

X. Ulusal İlköğretim Matematik Olimpiyatı X. Ulusal İlköğretim Matematik Olimpiyatı B 1. Bir kentten diğerine giden bir otobüs, yolun ilk yarısını 40 km/saat, ikinci yarısını ise 60 km/saat hızla gittiyse, otobüsün ortalama hızı kaç km/saat olmuştur?

Detaylı

18 Sağ son örnek x 3 yerine 3 x yazılacak 20 5 Soru denkleminin reel köklerinin olacak

18 Sağ son örnek x 3 yerine 3 x yazılacak 20 5 Soru denkleminin reel köklerinin olacak MAT 1 Hata 73 1 C 135 8 A 137 7 D şıkkına parantez konacak 143 Sol üst örnek Sıkça yapılan yanlış ün son cümlesi O halde. 144 Son örnek tam yerine doğal 208 9 18 yerine 18 8 5 225 2 A 246 6 Doğru cevap:

Detaylı