15. Bağıntılara Devam:

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "15. Bağıntılara Devam:"

Transkript

1 15. Bağıntılara Devam: Yerel Bağıntılardan Örnekler: Doğal sayılar kümesi üzerinde bir küçüğüdür (< 1 ) bağıntısı: < 1 {(x, x+1) x N} {(0,1), (1, 2), } a< 1 b yazıldığında, a doğal sayılarda bir küçüktür b olarak okunur. Örneğin, 4< 1 5, 7< 1 8 Doğal sayılar kümesi üzerinde küçüktür (<N) bağıntısı (özyineleyişli tanım): a, b N için, (a, b) <N, yani a<n b ( a doğal sayılarda küçüktür b ) olur, şayet Kural-1 a< 1 b ise, Kural-2 Bir c N için, a<n c, ve c< 1 b ise. Buna göre örneğin, 3< 1 4 olduğu için, 3<N 4 olur (Kural-1); ve 3<N 4 olmakla beraber 4< 1 5 olduğu için, 3<N 5 olur (Kural-2); tekrar buna dayanarak, 3<N 5 olmakla beraber 5< 1 6 olduğu için, 3<N 6 olur (Kural-2), vs. Eksi tamsayılar kümesi üzerinde küçüktür (<Z - ) bağıntısı: -a, -b Z - için, (-a, -b) <Z -, yani -a<z - -b ( -a eksi tamsayılarda küçüktür -b ) olur, şayet b <N a ise. Tamsayılar kümesi üzerinde küçüktür (<) bağıntısı: (<) (<N) (<Z - ) (Z - N) (cins gözetimine dikkat!) Alıştırımlar: Aşağıdaki bağıntıları sıralı ikililer kümesi biçiminde gösteriniz. B 1 {0,1,2} üzerinde bağıntısı B 2 {1,2,3} üzerinde bağıntısı B 3 {0,1,2,3} üzerinde > bağıntısı B 4 {2,4,6} üzerinde bağıntısı B 5 {1,3,5,7} üzerinde bağıntısı Doğal sayılar kümesi üzerinde büyüktür (>N) bağıntısı: (>N) (<N) -1 Eksi tamsayılar kümesi üzerinde büyüktür (>Z - ) bağıntısı: (>Z - ) (<Z - ) -1 Tamsayılar kümesi üzerinde büyüktür (>) bağıntısı: (>) (<) -1 Tamsayılar kümesi üzerinde eşit () bağıntısı: () {(x,x) x Z} ()N {(x,x) x N} () Tamsayılar kümesi üzerinde büyük-eşit ( ) bağıntısı: ( ) (>) () (>) {(x,x) x Z} D. Çalıkoğlu 15-1

2 Küçüktür, büyüktür bağıntılarının hangi küme üzerinde oldukları anlaşıldığı zaman belirtici bir işarete gerek olmaz. (Ör. <N ve >N yerine sırasıyla, < ve > yazılır.) Bir Yerel Bağıntının Kuvveti Bir B A A bağıntısı olsun. Öncelikle B 0 {(a, a) a A} olarak tanımlanır. Bu B 0, A kümesi üzerindeki en küçük yansıyıcı bağıntıdır ve B -ye bağlı olmadığı kaydedilmelidir. Buna göre yukarıdaki ifade, ( ) (>) {(x,x) x Z} (>) (>) 0 olur. (>) 0 () yani, Z üzerindeki eşit bağıntısı. B 0, B -nin ne olduğuna bağlı değildir ve A kümesi üzerindeki bağıntılar üzerindeki bileşke işleminin etkisiz öğesi dir. Bir n 1 için A n ise, B 0 -ın bağ-matrisi, n n boyutlu bir birim matris tir.... ileride! Dolayısıyla, herhangi B x A A için, B 0 B x B x B 0 B x çünki bütün a A için ab 0 a -dır. Yani, her b A için abb 0 b olur, Æ abb ise; ve bb 0 Ba olur, Æ bba ise; Bir k 1 için, bir yerel bağıntı B -nin k -ıncı kuvveti B k ise şöyle tanımlanır: B k BB k-1 Bu tanıma göre, B 1 BB 0 B olur, B 2 BB 1 BB olur, vs. Bir Yerel Bağıntının Kapatanları: Bir B A A bağıntısı olsun. Bunun Geçişli Kapatanı şöyledir: B + k 1 B k B 1 B 2 Soru: A -ya göre, B + -nın niceliği hakkında ne denebilir? (En çok A A -nın niceliği kadar.) B bağıntısı geçişli olmasa dahi, B + geçişlidir. B bağıntısı geçişli ise, B + B olur. B bağıntısı geçişlidir, E&A B + B ise. B 2 : B -yi geçişli yapabilmek için gereken bütün sıralı ikililer kümesi olsun. B B 2 B + ve B + - B B 2 olur. Eğer B + B ise, B 2. B + A A olur mu? B -nin Yansıyıcı ve Geçişli Kapatanı ise şöyledir: B * B 0 B + B 0 B 1 B 2 Buna göre yukarıdaki ifade, D. Çalıkoğlu 15-2

3 ( ) (>) {(x,x) x Z} (>) (>) 0 (>)* ????????? Eşdeğerlik Nitelikleri: Bir A kümesi üzerindeki bir B (yerel) bağıntısı için söz konusu olan şu niteliklerin üçüne birden, eşdeğerlik nitelikleri denir: 1- Yansıyıcı olmak. Bu şu demektir: a A için a B a Diğer bir ifadeyle, B 0 B olmak. 2- Bakışık olmak. Bu şu demektir: a 1, a 2 A için eğer a 1 B a 2 ise a 2 B a 1 Diğer bir ifadeyle, B B -1 olmak. 3- Geçişli olmak. Bu şu demektir: a 1, a 2, a 3 A için eğer a 1 B a 2 ve a 2 B a 3 ise a 1 B a 3 Diğer bir ifadeyle, BB B 2 B olmak. Bu niteliklerin üçüne de sahip olan bir bağıntıya eşdeğerlik nitelikleri tam veya kısaca eşdeğerlik bağıntısı «equivalance relation» denir. Örnekler: Eşdeğerlik nitelikleri açısından değerlendiriniz: 1- K {1,2} için B 1 /K K {(1,1), (1,2), (2,1)} Yansıyıcı değil, çünki (2,2) yok. Bakışık, çünki (1,1) kendisiyle karşılıklı, (1,2) ile de (2,1) karşılıklı. Geçişli değil, çünki (2,1) ve (1,2) var fakat (2,2) yok. 2- K {1,2,3} için B 2 /K K {(1,2), (1,3), (2,2), (2,3)} Yansıyıcı değil, çünki (1,1) yok. Bakışık değil, çünki (1,2) var, fakat (2,1) yok. Geçişli, çünki şart sağlanmakta. Hiçbir a 1, a 2, a 3 K için a 1 B 2 a 2 ve a 2 B 2 a 3 karşılığında a 1 B 2 a 3 olmadığı yok. (1,2) ve (2,2) karşılığında (1,2) var. (1,2) ve (2,3) karşılığında (1,3) var. (2,2) ve (2,2) karşılığında (2,2) var. (2,2) ve (2,3) karşılığında (2,3) var. 3- B /{1} {1} ( 1 birlisi üzerinde boş bağıntı) Yansıyıcı değil, çünki (1,1) yok. Bakışık çünki şart sağlanmakta Yani hiçbir a 1, a 2 K için a 1 B a 2 olup da a 2 B a 1 olmadığı yok. Geçişli çünki şart sağlanmakta Yani hiçbir a 1, a 2, a 3 K için a 1 B a 2 ve a 2 B a 3 olup da a 1 B a 3 olmadığı yok. Boş küme üzerindeki boş bağıntı, B / aynı zamanda yansıyıcı; çünki şart sağlanıyor Yani hiçbir a yok ki, a B a olmasın. ( a için a B a) 4- Aynı anne-babanın birden çok sayıdaki evlatları üzerinde Kardeşlik bağıntısı: Yansıyıcı değil (insan kendi kendinin kardeşi değildir). Bakışık (Ali, Ayşe nin kardeşi ise Ayşe de Ali nin kardeşidir) D. Çalıkoğlu 15-3

4 Geçişli değil (Ali, Ayşe nin kardeşi, Ayşe de Ali nin kardeşi fakat Ali, Ali nin kardeşi değildir). Evlat bir tek ise, o takdirde o birli üzerindeki Kardeşlik bağıntısı, yukarıdaki B /{1} {1} gibi olur; Geçişliliği de sağlar. 5- {(1,1)} /{1} {1} bağıntısı: Yansıyıcı, Bakışık, Geçişli. Eşdeğerlik nitelikleri tam. 6- K {1,2,3} için B 6 /K K {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)} Yansıyıcı değil, çünki (3,3) yok; fakat bakışık ve geçişli. 7- Fakülteye girmiş öğrenciler üzerindeki aynı yıl girenler bağıntısı: Yansıyıcı, Bakışık, Geçişli. Eşdeğerlik nitelikleri tam, dolayısıyla bu bir eşdeğerlik bağıntısıdır. 8- Tamsayılar kümesi üzerindeki küçüktür (<) bağıntısı: Ne yansıyıcı, ne de bakışık, fakat geçişli. 9- K {a, b, c} için B 9 /K K K- {(b, c)} Bakışık ve geçişli olmadığı için eşdeğerlik bağıntısı değil. EŞDEĞERLİK SINIFLARI: Bir A kümesi üzerinde bir B eşdeğerlik bağıntısı olsun. B, A -yı eşdeğerlik sınıfları denen ayrık alt kümelere ayrıştırır. B: A Her x A, mensup olduğu eşdeğerlik sınıfını temsil eder. Şöyle ki; A x {y xby} içinde x olan eşdeğerlik sınıfı, (x temsilci) Bazen A x [x] olarak yazılır. Ayrık Küme z A ((z A x ) (z A y ) (A x A y )) İspat: z A x x A z dir, keza z A y ise y A z dir. z A x ve z A y olduğunda x,y A z olur. Farz edelim, z A x A y fakat A x A y (Hipotezin aksi) Bu takdirde A x A y x 1 z y 1 ya A x - A y ya A y - A x x 1 A x - A y y 1 A y x 1 A z olduğuna göre x 1 Bz, y 1 A y ve z A y olduğuna göre zby 1 Öyleyse,(geçişlilik) x 1 By 1 Aynı zamanda y 1 By (geçişlilik) x 1 By, demek ki x 1 A y (Çelişki) Çünki x 1 A x - A y demiştik. İndis: Bir eşdeğerlik bağıntısının tanımladığı eşdeğerlik sınıflarının toplam sayısı o bağıntının indisidir. Eşdeğerlik sınıfları sonsuz bir kümeyi oluşturuyorsa o zaman o indis sonsuz olarak nitelenir D. Çalıkoğlu 15-4

5 Örnek: Bir sınıfta bulunan öğrenciler arasında, aynı sırada oturan öğrenciler bağıntısı, bir eşdeğerlik bağıntısıdır. Her bir sıra (1.sıra, 2.sıra,...) ayrık alt kümelerdir. İndis, öğrenci bulunan sıra sayısıdır. Her bir öğrenci, bulunduğu sırayı temsil eder. N üzerindeki bazı eşdeğerlik bağıntıları: Örnekler: 1.) B 1 : bağıntısı Her bir eşdeğerlik sınıfında 1 tane öğe var ve indisi sonsuz. 2.) B 2 : 10 tabanına göre solda sıfır olmaksızın yazılışında aynı adette basamak olmak. 3 basamaklılar ile 3 basamaklılar, 2 basamaklılar ile 2 basamaklılar, 99B 2 10, ~(100B 2 99) gibi. İndisi sonsuz. 3.) B 3 : 10 tabanında yazılışında aynı birler hanesi olmak. 1, 11, 21, 31, veya 2, 12, 22, 32, gibi. İndisi 10 dur. Çünki her doğal sayının 10 tabanındaki yazılışında birler hanesi (0, 1,, 9) rakamlarından birisidir. Bu yüzden 10 adet eşdeğerlik sınıfı vardır. 4.) B 4n : Mod n (belli bir n için) değeri aynı olmak. İndis n * Bu bağıntı Mod n yerine Mod 3 olsaydı [0], [1], [2] eşdeğerlik sınıfları ile indisi 3 olurdu. * İki sayı herhangi bir Mod değerine göre aynı değere sahiplik bağıntısı, indis 1? n N ve n 2 (n 1 mod n n 2 mod n) Bunu sağlayan n 1 ve n 2 var mıdır? Eğer yoksa bütün doğal sayılar bu bağıntı için tek bir eşdeğerlik sınıfı oluşturur. 5.) B 5 : Kendinden daha büyük bir sayının var olması. İndisi 1. Genelde, B A A ve A ise, indisi 1. TEOREM: Her hangi bir R A A (A A -nın alt kümesi olan her hangi bir R bağıntısı) bağıntısı, eğer eşdeğerlik bağıntısı ise, A -yı şu şartları sağlayan ayrık alt kümelere ayrıştırır. a) A i 1,2,...,n A i ve eğer a 1, a 2 A için a 1 Ra 2 ise, bir k (1 k n) için, a 1, a 2 A k dır. Veya; b) A i 1,2,... A i olur ve yine aynı (a) daki şartlar geçerlidir. Ancak burada ayrık alt kümelerin kümesi sonsuzdur. A ve B ayrık kümeler demek: A B demektir. (a) şıkkında, n: eşdeğerlik bağıntısının indisi olarak tanımlanır, (b) şıkkında bu indise sonsuz denir. Buradaki her bir A i -ye bir eşdeğerlik sınıfı denir. ISBAT: A i 1,2,..., A i öyle ki A i {a A ara x belli bir a x A i için }burada, her a A bir A i için a x elemanı olarak kabul edilebilir. A i 1,2,..., A i olduğu açık ve zaten i 1,2,..., A i A ancak, (A B) ve (B A) ise; Bağıntıya göre bu alt kümeler ayrık olacaklar mı yoksa olmayacaklar mı? A i ve A j, farklı eşdeğerlik sınıfları olsun fakat A i A j olsun. Öyleyse y A i A j olsun. Şimdi A i A j olduğuna göre, z şeklinde öyle bir eleman vardır ki, z A i dir veya z A j dir. Fakat z A i A j değildir. Farz edelim, z A i dir (O zaman z A j ). Şimdi tanım gereği, z A i D. Çalıkoğlu 15-5

6 olduğuna göre, y R z dir ( y ile z arasında bu bağıntı vardır.) z A j olduğuna göreyine yrz dir.zry (simetri) zra x, z A J (çelişki). Şimdi A i nin tanımına bakalım A j {a A ara x belli bir a x A j için } yra x geçerli, a x Ry de geçerli(çünkü simetri var) yrz geçerli (geçişlilik var). Sonuç: her hangi bir A kümesi üzerinde bir R eşdeğerlik bağıntısı, A yı ayrık alt kümelere (eşdeğerlik sınıflarına) ayrıştırır. Bu alt kümeler kümesinin çokluğu, R nin indisi olarak anılır. Bu sonlu ve sonsuz olabilir. Örnek: R N N öyle bir bağıntı olsun ki n 1 Rn 2 şöyle tanımlansın. n 1 n 2 mod 4 ise n 1 ve n 2 arasında bir R bağıntısı vardır. Eşdeğerlik sınıfları : E 0 {0, 4, 8,...} {4 n n 0} E 1 {1, 5, 9,...} {4 n+1 n 0} E 2 {2, 6, 10,...} {4 n+2 n 0} E 3 {3, 7, 11,...} {4 n+3 n 0} Buradaki sınıflar, N -yi 4 ayrık alt kümeye ayrıştırmış oldu. Bu bağıntının indisi 4 tür. Örnek : R d N N n 1 R d n 2 eğer onluk yazımlarında eşit sayıda basamak varsa (solda sıfır olmamak kaydıyla) ; {0,1,..., 9} [0] [1] [9] {10,11,12,...99} {100,...999}. Eşdeğerlik sınıflarının bileşimi doğal sayıları verecek. İndisi sonsuz olan kümelerin bağıntısıdır.??? R A A eşdeğerlik bağıntısının eşdeğerlik sınıflarından her hangi birisini tanımlamak için onun bir elemanının belirtilmesi yeterlidir. [0] [1] [9] gibi. Örnek : R d için bu [0] {0,1,..., 9} [10] [100]... şeklinde olabilir. [10] [25] ikisi de aynı kümeyi temsil ediyor. TEOREM : Herhangi bir A kümesinin ayrık alt kümelere ayrıştırılması, bir eşdeğerlik bağıntısı oluşturur; öyle ki, arb eğer a, b aynı alt kümede iseler; İSBAT : (alıştırım) Her hangi bir A kümesini alın. İstediğin gibi ayrıştır. Bu ayrıştırma sonlu da olabilir, sonsuz da olabilir. Aynı alt kümenin ayrık olması eşdeğerlik bağıntısıyla olur. Sonuç: R A A bir bağıntı olsun. A i 1,2,..., A i olsun (a 1, a 2 A için) a 1 Ra 2 :a 1 ve a 2 aynı A i nin elemanı olarak tanımlansın. Şimdi R bir eşdeğerlik bağıntısıdır, eğer ve ancak A i ler ayrık ise; D. Çalıkoğlu 15-6

7 Bağıntıların Çizimsel Gösterimleri: Genelde bir A 1 kümesinden bir A 2 kümesine olan bir B 12 bağıntısının çizimi, her biri A 1 A 2 - nin bir öğesine ait olan ve köşe denen noktalar ile her biri B 12 -nin bir öğesine ait olan ve kenar denen oklardan oluşur. Her (a 1, a 2 ) B 12 için (a 1, a 2 ) kenarı, dibi a 1 köşesinden başlayan ve ucu a 2 köşesine dayanan bir oktur. Bir A kümesi üzerindeki bir B yerel bağıntısının çizimi ise, her biri A -nın bir öğesine ait olan ve köşe denen noktalar ile her biri B -nin bir öğesine ait olan ve kenar denen oklardan oluşur. Her (x, y) B için (x, y) kenarı, dibi x köşesinden başlayan ve ucu y köşesine dayanan bir oktur. Örnek: A 1 { 1,2,3,4 } kümesi üzerindeki B 1 { (1,2), (1,3), (2,3), (3,2), (4,4)} bağıntısının çizimi Ç 1 yandadır. Ç 1 : B 1 2 : Tanımlar: Bir A kümesi üzerindeki bir B yerel bağıntısının çiziminde, 1. (u, v) B ise, v köşesi, u köşesinin bitişik köşesidir. Bu durumda, u -dan v -ye bir adımda gidilir denir. Kayıt: bitişik köşe lik bakışık olmayabilir. 2. Bir n 1 için (farklı olmaları gerekmeyen n+1 öğe) a 0, a 1,, a n A olup, her i (0 i n-1) için a i -den a i+1 -e bir adımda gidilirse, a 0 -dan a n -ye n adımda gidilir denir; a 0, a 1,, a n dizisine de a 0 -dan a n -ye olan bir ulaşım «path» denir. Bir köşeden diğerine n adımda gidilirse, kısaca gidilir de denir. 3. Bir köşeden yine kendisine olan bir ulaşıma devir denir. Örnek: A 1 { 1,2,3,4 } kümesi üzerindeki Ç 2 : 1 2 B 2 { (1,3), (2,1), (2,3), (3,2), (4,2), (4,4)} bağıntısının çizimi Ç 2 yandadır. 3 4 Ç 2 -de 1-den 2 -ye olan bazı ulaşımlar: U 1 : 1, 3, 2 (2 adımda gidilir); U 2 : 1, 3, 2, 3, 2 (4 adımda gidilir); U 3 : 1, 3, 2, 1, 3, 2 (5 adımda gidilir); Bazı devirler: D 1 : 4, 4 (1 adımda gidilir); D 2 : 4, 4, 4, 4 (3 adımda gidilir); D 3 :2, 3, 2 (2 adımda gidilir); D 4 : 1, 3, 2, 1 (3 adımda gidilir) D. Çalıkoğlu 15-7

8 Bir Bağıntının Matrisle Temsili: İki küme W ve Y şöyle olsun: W {w 1, w 2,, w n }, Y {y 1, y 2,, y m }. W Y -nin öğelerini aşağıdaki cetvelle gösterebiliriz: Sütun başlıkları y 1 y 2 y m w 1 (w 1, y 1 ) (w 1, y 2 ) (w 1, y m ) Satır w 2 (w 2, y 1 ) (w 2, y 2 ) (w 2, y m ) Başlıkları w n (w n, y 1 ) (w n, y 2 ) (w n, y m ) Bu cetveldeki satır ve sütun başlıkları, sırasıyla W -nun ve Y -nin öğeleridir. Satır-w i ile Sütuny j -nin kesiştiği yerde (w i, y j ) sıralı ikilisi vardır. Herhangi bir B W Y bağıntısını da şöyle gösterebiliriz: y 1 y 2 y m w 1 w 1 B y 1 w 1 B y 2 w 1 B y m w 2 w 2 B y 1 w 2 B y 2 w 2 B y m w n w n B y 1 w n B y 2 w n B y m Burada her bir sıralı ikilinin B -de olup olmadığı vardır. Her i (1 i n) ve her j (1 j m) için, w i B y j { 1 0 eğer (w i, y j ) B ise aksi halde olarak bellidir. Böyle bir cetveli matris olarak aldığımızda, o bağıntıyı, öğeleri mantıksal değerler olan bir n m matris, M B ile temsil etmiş oluruz: M B b 11 b 12 b 1m b 21 b 22 b 2m b n1 b n2 b nm Burada her i (1 i n) ve her j (1 j m) için, b ij w i B y j -dir. Böyle bir matrise genelde mantıksal-matris, bağıntılar bağlamında ise bağ-matrisi denir. Bir B bağıntısının matrisi dendiğinde onun bağ-matrisi anlaşılır. Örnek: Bir A 1 {2, 5} kümesinden, bir A 2 {a, b, c} kümesine olan bir B 1 {(2,b), (5,a), (5,c)} bağıntısının matrisi şöyledir: M B Bir yerel bağıntının matrisi kare matris olur. Örnek: A 1 { 1,2,3,4 } kümesi üzerindeki B 1 { (1,2), (1,3), (2,3), (3,2), (4,4)} bağıntısının matrisi şöyledir: M B (5,a) (5,c) D. Çalıkoğlu 15-8

9 Bir W {w 1, w 2,, w n } kümesinden bir Y {y 1, y 2,, y m } kümesine olan bir f bağıntısı şayet işlev ise, onun bağ-matrisinde her satırda en çok bir adet 1 olur; ve nişan özelliklerine göre bağmatrisi şöyledir: (Bir satır veya sütun boş demek, o satır veya sütunda hiç 1 yok demektir.) Her sütunda en çok bir adet 1 vardır, Æ f 1-1 ise. (Bu takdirde hiçbir satır veya sütunda birden fazla 1 yoktur) Her satırda (tam) bir adet 1 vardır (boş satır yoktur), Æ f tam ise. Her sütunda en az bir adet 1 vardır (boş sütun yoktur), Æ f örten ise. Bir bağıntının tersinin matrisi, o bağıntının matrisinin devriği «transpose» -dir; çünki her w i B y j yerine y j B -1 w i gelir. Bir W {w 1, w 2,, w n } kümesi üzerindeki bir B bağıntısının matrisi, eşdeğerlik niteliklerine göre şöyledir: Ana köşegendeki her öğe 1 -dir, Æ B yansıyıcı ise. Bakışıktır, Æ B bakışık ise. Alıştırımlar: Aşağıdaki bağıntıların çizimleri ile matrislerini veriniz ve eşdeğerlik nitelikleri açısından değerlendiriniz (öz önalanın aynı zamanda önalan, öz artalanın da aynı zamanda artalan olduğu varsayımıyla): B 1 {(a, a),(a, b),(a, c)} B 2 {(a, b),(b, c),(a, a)} B 3 {(a, a),(b, b),(a, b), (b, a)} B 4 {(a, b),(b, c),(a, c), (c, d),(a, d)} B 5 {(a, a),(a, b),(b, c),(c, a)} Bağıntı Bileşkelerinin Bağ-Matrisleriyle Hesaplanışı: Üç küme, W {w 1, w 2,, w n }, X {x 1, x 2,, x k } ve Y {y 1, y 2,, y m } için, M B, M C ve M D sırayla, B W X, C X Y bağıntılarının ve D CB bileşkesinin bağ-matrisleri olsun. Kural: M D M B M C şeklindeki mantıksal matris çarpımı olur. (Öğeleri bitler olan iki matrisin mantıksal çarpımında mantıksal toplayış kullanılır; dolayısıyla eder.) Dayanak: Her i (1 i n) ve her j (1 j m) için, w i CB y j Æ bir h (1 h k) için, w i B x h x h C y j ise. k Bu da toplayışın mantıksal olarak yapıldığı, w i CB y j (wi B x h x h C y j ) denklemini verir. h1 Bu denklem ise, M B M C şeklindeki mantıksal matris çarpımındaki d ij öğelerini verir. b 11 b 12 b 1k b 21 b 22 b 2k b n1 b n2 b nk c 11 c 12 c 1m c 21 c 22 c 2m c k1 c k2 c km d 11 d 12 d 1m d 21 d 22 d 2m d n1 d n2 d nm M B M C M CB M D D. Çalıkoğlu 15-9

10 d ij b i1 c 1j + b i2 c 2j + + b ik c kj w i B x 1 x 1 C y j + w i B x 2 x 2 C y j + + w i B x k x k C y j Böylece D CB bileşkesinin bağ-matrisi, M B ve M C -nin mantıksal matris çarpımıyla elde edilmiş olur. Örnek: A 1 {2, 5} kümesinden, A 2 {a, b, c} kümesine olan B 1 {(2,b), (5,a), (5,c)} bağıntısının bağ-matrisi: M B A 2 {a, b, c} kümesinden, A 3 {1, 3} kümesine olan B 2 {(a,3),(b,1),(c,1)} bağıntısının bağ-matrisi: M B A 1 {2, 5} kümesinden, A 3 {1, 3} kümesine olan B 1 B 2 bileşkesinin bağ-matrisi: M B2 B A A 2 B 1 bağıntısı a b c B 2 bağıntısı 1 3 A 3 B 1 B 2 bileşkesi Sorun: Yukarıdaki örnekte verilenlere göre B 2-1 B 1-1 bileşkesinin bağ-matrisini, önce B 2-1 ve B 1-1 -in bağ-matrislerini yazıp sonra çarparak bulunuz. Çözüm: A 3 {1, 3} kümesinden, A 2 {a, b, c} kümesine olan B 2-1 {(3, a),(1, b),(1, c)} bağıntısının bağ-matrisi: M B A 2 {a, b, c} kümesinden, A 1 {2, 5} kümesine olan B 1-1 {(b, 2), (a, 5), (c, 5)} bağıntısının bağ-matrisi: M B A 3 {1, 3} kümesinden, A 1 {2, 5} kümesine olan B 2-1 B 1-1 bileşkesinin bağ-matrisi: Sonucun bir ifadesi: B 2-1 B 1-1 (A 3 A 1 )- {(3,2)} M -1 B1 B Tanım: M 1, n m boyutlarında bir mantıksal-matris, M 2 de en az n-satırlı ve en az n-sütunlu diğer bir mantıksal-matris olsun; şayet her i (1 i n) ve her j (1 j n) için M 1 [i,j] M 2 [i,j] imâsı geçerli ise, M 1 M 2 yani M 1, M 2 -yi imâ eder denir D. Çalıkoğlu 15-10

11 Bir W {w 1, w 2,, w n } kümesi üzerindeki bir B bağıntısının matrisinin, kendisiyle mantıksal çarpımı, kendisini imâ eder Æ B geçişli ise. kendisiyle mantıksal çarpımı yine kendisini verir ancak B geçişli ise. eğer B yansıyıcı ve geçişli ise, kendisiyle mantıksal çarpımı yine kendisini verir D. Çalıkoğlu 15-11

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1), G de bir ikili işlemdir. 2) a, b, c G için a( bc)

Detaylı

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır.

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır. 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1) a, b, c G için a ( b c) ( a b) c (Birleşme özelliği)

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 3.KONU Kümeler Teorisi; Küme işlemleri, İkili işlemler 1. Altküme 2. Evrensel Küme 3. Kümelerin Birleşimi 4. Kümelerin Kesişimi 5. Bir Kümenin Tümleyeni

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 5.KONU Cebiresel yapılar; Grup, Halka 1. Matematik yapı 2. Denk yapılar ve eş yapılar 3. Grup 4. Grubun basit özellikleri 5. Bir elemanın kuvvetleri

Detaylı

HESAP. (kesiklik var; süreklilik örnekleniyor) Hesap sürecinin zaman ekseninde geçtiği durumlar

HESAP. (kesiklik var; süreklilik örnekleniyor) Hesap sürecinin zaman ekseninde geçtiği durumlar HESAP Hesap soyut bir süreçtir. Bu çarpıcı ifade üzerine bazıları, hesaplayıcı dediğimiz somut makinelerde cereyan eden somut süreçlerin nasıl olup da hesap sayılmayacağını sorgulayabilirler. Bunun basit

Detaylı

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır.

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır. TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Bir çokluk belirtmek için kullanılan sembollere rakam denir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri birer rakamdır. 2. TAMSAYILAR KÜMESİ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... }

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI

ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI 1. 1999 ÖSS a, b, c pozitif gerçel (reel) sayılar olmak üzere a+ b ifadesindeki her sayı 3 ile çarpılırsa aşağıdakilerden hangisi elde c edilir? 3 a+ b A) B) c a+ 3b C)

Detaylı

10.Konu Tam sayıların inşası

10.Konu Tam sayıların inşası 10.Konu Tam sayıların inşası 1. Tam sayılar kümesi 2. Tam sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Pozitif ve negatif tam sayılar 4. Tam sayılar kümesinde çıkarma 5. Tam sayılar kümesinde sıralama 6. Bir

Detaylı

(a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir.

(a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir. BĞANTI - FONKSİYON 1. Sıralı İkili : (a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir.! (x 1,x 2, x 3,x 4,...x n ) : sıralı n li denir. Örnek, (a,b,c) : sıralı

Detaylı

sayısının tamkare olmasını sağlayan kaç p asal sayısı vardır?(88.32) = n 2 ise, (2 p 1

sayısının tamkare olmasını sağlayan kaç p asal sayısı vardır?(88.32) = n 2 ise, (2 p 1 TAM KARELER 1. Bir 1000 basamaklı sayıda bir tanesi dışında tüm basamaklar 5 tir. Bu sayının hiçbir tam sayının karesi olamayacağını kanıtlayınız. (2L44) Çözüm: Son rakam 5 ise, bir önceki 2 olmak zorunda.

Detaylı

Matrisler ve matris işlemleri

Matrisler ve matris işlemleri 2.Konu Matrisler ve matris işlemleri Kaynaklar: 1.Uygulamalı lineer cebir. 7.baskıdan çeviri.bernhard Kollman, David R.Hill/çev.Ed. Ömer Akın, Palma Yayıncılık, 2002 2.Lineer Cebir. Feyzi Başar.Surat Universite

Detaylı

8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar

8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar 8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar 1. Eşit güçlü kümeler 2. Sonlu ve sonsuz kümeler 3. Doğal sayılar kümesi 4. Sayılabilir kümeler 5. Doğal sayılar kümesinde toplama 6. Doğal sayılar kümesinde

Detaylı

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye

Detaylı

13.Konu Reel sayılar

13.Konu Reel sayılar 13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık

Detaylı

BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14

BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14 İÇİNDEKİLER Önsöz. V BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14 BÖLÜM II KÜMELER 17 2.1.Küme Tanımı ve Özellikleri 18 2.2 Kümelerin Gösterimi 19 2.2.1 Venn Şeması Yöntemi 19 2.2.2 Liste Yöntemi

Detaylı

12.Konu Rasyonel sayılar

12.Konu Rasyonel sayılar 12.Konu Rasyonel sayılar 1. Rasyonel sayılar 2. Rasyonel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Rasyonel sayılar kümesinde çıkarma ve bölme 4. Tam rayonel sayılar 5. Rasyonel sayılar kümesinde sıralama

Detaylı

SINIF TEST. Üslü Sayılar A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 A) - 5 B) - 4 C) 5 D) 7. sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir?

SINIF TEST. Üslü Sayılar A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 A) - 5 B) - 4 C) 5 D) 7. sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir? 8. SINIF. Üslü Sayılar - = T olduğuna göre T kaçtır? A) - B) - C) D) 7 TEST.. 0 - işleminin sonucu kaç basamaklı bir sayıdır? A) B) C) 6 D) 7. n =- 7 için n ifadesinin değeri kaçtır? A) - 8 B) - C) 8 D)

Detaylı

TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR.

TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR. TEOG Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar 1. DOĞAL SAYILAR 0 dan başlayıp artı sonsuza kadar giden sayılara doğal sayılar denir ve N ile gösterilir. N={0, 1, 2, 3,...,n, n+1,...} a ve b doğal sayılar olmak

Detaylı

m=n şeklindeki matrislere kare matris adı verilir. şeklindeki matrislere ise sütun matrisi denir. şeklindeki A matrisi bir kare matristir.

m=n şeklindeki matrislere kare matris adı verilir. şeklindeki matrislere ise sütun matrisi denir. şeklindeki A matrisi bir kare matristir. Matrisler Satır ve sütunlar halinde düzenlenmiş tabloya matris denir. m satırı, n ise sütunu gösterir. a!! a!" a!! a!" a!! a!! a!! a!! a!" m=n şeklindeki matrislere kare matris adı verilir. [2 3 1] şeklinde,

Detaylı

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada,

TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada, TAMSAYILAR Z = {.., -, -, -, 0,,,, } kümesinin her bir elemanına tamsayı denir. Burada, + Z = {,,,...} kümesine, pozitif tamsayılar kümesi denir. Z = {...,,,,} kümesine, negatif tamsayılar kümesi denir.

Detaylı

Sayılar ve Altın Oranı. Mahmut Kuzucuoğlu. 16 Ağustos 2015

Sayılar ve Altın Oranı. Mahmut Kuzucuoğlu. 16 Ağustos 2015 Sayılar ve Altın Oranı Mahmut Kuzucuoğlu Orta Doğu Teknik Üniversitesi Matematik Bölümü matmah@metu.edu.tr İlkyar-2015 16 Ağustos 2015 Ben kimim? Denizli nin Çal ilçesinin Ortaköy kasabasında 1958 yılında

Detaylı

BÖLÜM 2 Biçimsel Dillerin Matematiksel Temelleri

BÖLÜM 2 Biçimsel Dillerin Matematiksel Temelleri BÖLÜM 2 Biçimsel Dillerin Matematiksel Temelleri 2.1 Kümeleri tümevarım yolu ile tanımlama E tanımlanacak küme olsun: Taban: Yapı taşı elemanları kümesi veya taban B ile gösterilsin. Bu kümenin içindeki

Detaylı

8. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI.

8. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI. 8. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ Okt. Yasin ORTAKCI yasinortakci@karabuk.edu.tr Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi 2 MATRİSLER Matris veya dizey, dikdörtgen bir sayılar tablosu

Detaylı

Kafes Yapıları. Hatırlatma

Kafes Yapıları. Hatırlatma Kafes Yapıları Ders 7 8-1 Hatırlatma Daha önce anlatılan sıra bağıntısını hatırlayalım. A kümesinde bir R bağıntsı verilmiş olsun. R bağıntısı; a. Yansıma (Tüm a A için, sadece ve sadece ara ise yansıyandır(reflexive)).

Detaylı

II. DERECEDEN DENKLEMLER Test -1

II. DERECEDEN DENKLEMLER Test -1 II. DERECEDEN DENKLEMLER Test -. 5 {, 5} {, 5} { 5, } {, 5} {, 5} 5. 5 {,, } {,, } {,, } {,, } {,, }.. 5 7 7 5 5,, 5 5, 5 5, 5 5, 6. 7. 5 95 { 5,, } {,, 5} { 5,, 9} {,, 5} { 9,, 5} 6 66 {, } {,, } {,,

Detaylı

2012 LYS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ Niyazi Kurtoğlu

2012 LYS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ Niyazi Kurtoğlu .SORU 8 sayı tabanında verilen (5) 8 sayısının sayı tabanında yazılışı nedir?.soru 6 3 3 3 3 4 6 8? 3.SORU 3 ise 5? 5 4.SORU 4 5 olduğuna göre, ( )? 5.SORU (y z) z(y ) y z yz bulunuz. ifadesinin en sade

Detaylı

8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR

8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR 8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR Şimdiye kadar bir gruptan diğer bir gruba tanımlı olan fonksiyonlarla ilgilenmedik. Bu bölüme aşağıdaki tanımla başlayalım. Tanım 8.1: G, ve H, iki grup ve f : G H

Detaylı

9. SINIF Geometri TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR

9. SINIF Geometri TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR 9. SINIF Geometri Amaç-1: Nokta, Doğru, Düzlem, Işın ve Uzayı Kavrayabilme. 1. Nokta, doğru, düzlem ve uzay kavramlarım açıklama. 2. Farklı iki noktadan geçen doğru sayışım söyleme

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Lineer. Cebir. Ünite 6. 7. 8. 9. 10

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Lineer. Cebir. Ünite 6. 7. 8. 9. 10 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Lineer Cebir Ünite 6. 7. 8. 9. 10 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1074 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI

Detaylı

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ AYRIK YAPILAR P r o f. D r. Ö m e r A k ı n v e Y r d. D o ç. D r. M u r a t Ö z b a y o ğ l u n u n Ç e v i r i E d i t ö r l ü ğ ü n ü ü s t l e n d i ğ i «A y r ı k M a t e m a t i k v e U y g u l a

Detaylı

BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER

BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER YILLAR 00 00 00 00 00 00 007 008 009 00 ÖSS-YGS - - - - - - - - BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER a,b R ve a 0 olmak üzere ab=0 şeklindeki denklemlere Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler

Detaylı

7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;

7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım; İÇ ÇARPIM UZAYLARI 7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;.= 1 1 + + Açıklanmış ve bu konu uzunluk ve uzaklık kavramlarını açıklamak için kullanılmıştır. Bu bölümde öklit

Detaylı

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN İç-Çarpım Uzayları Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; R n, P n (R), M nxn vektör uzaylarında iç çarpım kavramını tanıyacak ve özelliklerini görmüş olacaksınız.

Detaylı

Motivasyon Matrislerde Satır İşlemleri Eşelon Matris ve Uygulaması Satırca İndirgenmiş Eşelon Matris ve Uygulaması Matris Tersi ve Uygulaması Gauss

Motivasyon Matrislerde Satır İşlemleri Eşelon Matris ve Uygulaması Satırca İndirgenmiş Eşelon Matris ve Uygulaması Matris Tersi ve Uygulaması Gauss Motivasyon Matrislerde Satır İşlemleri Eşelon Matris ve Uygulaması Satırca İndirgenmiş Eşelon Matris ve Uygulaması Matris Tersi ve Uygulaması Gauss Jordan Yöntemi ve Uygulaması Performans Ölçümü 2 Bu çalışmada,

Detaylı

için doğrudur. olmak üzere tüm r mertebeli gruplar için lemma nın doğru olduğunu kabul edelim. G grubunun mertebesi n olsun. ve olsun.

için doğrudur. olmak üzere tüm r mertebeli gruplar için lemma nın doğru olduğunu kabul edelim. G grubunun mertebesi n olsun. ve olsun. 11. Cauchy Teoremi ve p-gruplar Bu bölümde Lagrange teoreminin tersinin doğru olduğu bir özel durumu inceleyeceğiz. Bu teorem Cauchy tarafından ispatlanmıştır. İlk olarak bu teoremi sonlu değişmeli gruplar

Detaylı

13. Karakteristik kökler ve özvektörler

13. Karakteristik kökler ve özvektörler 13. Karakteristik kökler ve özvektörler 13.1 Karakteristik kökler 1.Tanım: A nxn tipinde matris olmak üzere parametrisinin n.dereceden bir polinomu olan şeklinde gösterilen polinomuna A matrisin karakteristik

Detaylı

KÜMELER VE MANTIK KESİLİ MATEMATİKSEL YAPILAR

KÜMELER VE MANTIK KESİLİ MATEMATİKSEL YAPILAR KÜMELER VE MANTIK KESİLİ MATEMATİKSEL YAPILAR Kümeler Koşullu ve Mantıksal Denklik Kümeler Kümeler Ayrık Kümeler De-Morgan Kuralı Z (Zahlen; alm.) tamsayılar kümesi Z negatif tamsayılar kümesi, Z nonneg

Detaylı

Olimpiyat Eğitimi CANSU DENEME SINAVI

Olimpiyat Eğitimi CANSU DENEME SINAVI TUSİ Ortaöğretim Öğretmenleri için Olimpiyat Eğitimi CANSU DENEME SINAVI 15.11.2013-29.11.2013 2 1. Bir x sayısı x = 1 1 + x eşitliğini sağlamaktadır. x 1 x hangisidir? in en basit hali aşağıdakilerden

Detaylı

Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık

Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 5 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayı ve alt uzay yapısını daha iyi tanıyacak, Bir vektör uzayındaki vektörlerin

Detaylı

Mustafa Özdemir İrtibat İçin : veya Altın Nokta Yayınevi

Mustafa Özdemir İrtibat İçin : veya Altın Nokta Yayınevi 2 Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 4 Mustafa Özdemir MATEMATİK OLİMPİYATLARINA HAZIRLIK 4 (336 sayfa) ANALİZ CEBİR 1 TANITIM DÖKÜMANI (Kitabın içeriği hakkında bir bilgi verilmesi amacıyla bu döküman

Detaylı

EBOB - EKOK EBOB VE EKOK UN BULUNMASI. 2. Yol: En Büyük Ortak Bölen (Ebob) En Küçük Ortak Kat (Ekok) www.unkapani.com.tr. 1. Yol:

EBOB - EKOK EBOB VE EKOK UN BULUNMASI. 2. Yol: En Büyük Ortak Bölen (Ebob) En Küçük Ortak Kat (Ekok) www.unkapani.com.tr. 1. Yol: EBOB - EKOK En Büyük Ortak Bölen (Ebob) İki veya daha fazla pozitif tamsayıyı aynı anda bölen pozitif tamsayıların en büyüğüne bu sayıların en büyük ortak böleni denir ve kısaca Ebob ile gösterilir. Örneğin,

Detaylı

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT Kümelerde Temel Kavramlar 1. Kazanım : Küme kavramını açıklar; liste, Venn şeması ve ortak özellik yöntemleri ile gösterir. 2. Kazanım : Evrensel küme,

Detaylı

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür.

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür. - 1 - ÖĞRENME ALANI CEBİR BÖLÜM KARMAŞIK SAYILAR ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Karmaşık Sayılar Karmaşık Sayıların Kutupsal Biçimi KARMAŞIK SAYILAR Kazanım 1 : Gerçek sayılar kümesini genişletme gereğini örneklerle

Detaylı

Ortak Akıl MATEMATİK DENEME SINAVI

Ortak Akıl MATEMATİK DENEME SINAVI Ortak kıl YGS MTEMTİK ENEME SINVI 1 01511-1 Ortak kıl dem ÇİL li an GÜLLÜ yhan YNĞLIŞ arbaros GÜR arış EMİR eniz KRĞ Ersin KESEN Fatih TÜRKMEN Hatice MNKN Kemal YIN Köksal YİĞİT Muhammet YVUZ Oral YHN

Detaylı

x 1,x 2,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu;

x 1,x 2,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu; 4. BÖLÜM DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ Doğrusal Denklem Sistemi x,x,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu; a x + a x + L + a x = b n n a x + a x + L + a x = b n n a x + a

Detaylı

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT Kümelerde Temel Kavramlar 1. Kazanım : Küme kavramını açıklar; liste, Venn şeması ve ortak özellik yöntemleri ile gösterir. 2. Kazanım : Evrensel küme,

Detaylı

MATEMATİK. Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU

MATEMATİK. Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU MATEMATİK Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU Mesleki Matematik 1 TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Sayıları yazmak için kullandığımız işaretlere rakam denir. Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Rakamlar 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

Detaylı

Rakam : Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir.

Rakam : Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir. A. SAYILAR Rakam : Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir. Sayı : Rakamların çokluk belirten ifadesine sayı denir.abc sayısı a, b, c rakamlarından oluşmuştur.! Her rakam bir sayıdır. Fakat bazı

Detaylı

SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon denir.

SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon denir. SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon Tanım 2: Bir grubun kendi üzerine izomorfizmine otomorfizm, grubun kendi üzerine homomorfizmine endomorfizm Sadece birebir olan

Detaylı

KC00-SS.08YT05. Kolay Temel Matematik. Üniversite Haz rl k 1. 8 ( 3 + 2) 6. 3! 3 ( 3 3)": ( 3) x = 3 ve y = 2 3. ( 5) + ( 7) (+2) + 4

KC00-SS.08YT05. Kolay Temel Matematik. Üniversite Haz rl k 1. 8 ( 3 + 2) 6. 3! 3 ( 3 3): ( 3) x = 3 ve y = 2 3. ( 5) + ( 7) (+2) + 4 Üniversite Haz rl k Sözcükte Do al ve Say lar Söz Öbeklerinde ve Tam Say lar Anlam - I - I Kolay Temel Matematik. 8 ( + ) A) 7 B) 8 C) 9 D) 0 E) 6.! ( )": ( ) A) B) 0 C) D) E). 7. + 5 A) 6 B) 7 C) 8 D)

Detaylı

1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 3. ÜNİTE. Bölüm 1 : Üslü Sayılar... 8. Bölüm 2 : Doğal Sayılar... 18. Bölüm 3 : Doğal Sayı Problemleri... 30

1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 3. ÜNİTE. Bölüm 1 : Üslü Sayılar... 8. Bölüm 2 : Doğal Sayılar... 18. Bölüm 3 : Doğal Sayı Problemleri... 30 İçindekiler 1. ÜNİTE Bölüm 1 : Üslü Sayılar... 8 Bölüm 2 : Doğal Sayılar... 18 Bölüm 3 : Doğal Sayı Problemleri... 30 Bölüm 4 :- Çarpanlar ve Katlar, Bölünebilme... 40 Bölüm 5 : Asal Sayılar, Ortak Bölenler,

Detaylı

Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept.

Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept. Dijital Devre Tasarımı EEE122 A Ref. Morris MANO & Michael D. CILETTI DIGITAL DESIGN 4 th edition Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept. 2. BÖLÜM Boole Cebri ve Mantık

Detaylı

MATEMATİK ASAL ÇARPANLARA AYIRMA. ÖRNEK 120 sayısını asal çarpanlarına ayırınız. ÖRNEK 150 sayısının asal çarpanları toplamını bulunuz.

MATEMATİK ASAL ÇARPANLARA AYIRMA. ÖRNEK 120 sayısını asal çarpanlarına ayırınız. ÖRNEK 150 sayısının asal çarpanları toplamını bulunuz. MATEMATİK ASAL ÇARPANLARA AYIRMA A S A L Ç A R P A N L A R A A Y I R M A T a n ı m : Bir tam sayıyı, asal sayıların çarpımı olarak yazmaya, asal çarpanlarına ayırma denir. 0 sayısını asal çarpanlarına

Detaylı

9.Konu Lineer bağımsızlık, taban, boyut Germe. 9.1.Tanım: V vektör uzayının her bir elemanı

9.Konu Lineer bağımsızlık, taban, boyut Germe. 9.1.Tanım: V vektör uzayının her bir elemanı 9.Konu Lineer bağımsızlık, taban, boyut 9.1. Germe 9.1.Tanım: V vektör uzayının her bir elemanı vektörlerin lineer birleşimi olarak ifade ediliyorsa vektörleri V yi geriyor ya da V yi gerer denir. Üstelik,

Detaylı

Alıştırmalar 1. 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz.

Alıştırmalar 1. 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz. Alıştırmalar 1 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz. Denklem Mertebe Derece a) 2 1 ( ) 4 6 c) 2 1 d) 2 2 e) 3 1 f) 2 4 g)

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43 İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 13 1.1 Doğal Sayılar 15 1.1.1. Tek ve Çift Sayılar 15 1.1.2. Asal Sayılar 15 1.1.3 Doğal Sayıların Özellikleri 15 1.1.4 Doğal Sayılarda Özel Toplamlar 16 1.1.5. Faktöriyel

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar

TEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar TEMEL KAVRAMLAR Rakam: Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Bu semboller {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} kümesinin elemanlarıdır., b ve c birer rakamdır. 15 b = c olduğuna göre, + b + c

Detaylı

2012 YGS MATEMATİK Soruları

2012 YGS MATEMATİK Soruları 01 YGS MATEMATİK Soruları 1. 10, 1, 0, 0, işleminin sonucu kaçtır? A) B), C) 6 D) 6, E) 7. + ABC 4 x 864 Yukarıda verilenlere göre, çarpma işleminin sonucu kaçtır? A) 8974 B) 907 C) 9164 D) 94 E) 98. 6

Detaylı

barisayhanyayinlari.com

barisayhanyayinlari.com YGS MATEMATİK KONU ANLATIM FASİKÜLLERİ SERİSİ 1 ISBN 978-605-84147-0-9 Baskı Tarihi Ağustos 015 Baskı Yeri: İstanbul YAYINLARI İletişim tel: (538) 90 50 19 barisayhanyayinlari.com Benim için her şey bir

Detaylı

Cebir Notları. Gökhan DEMĐR, ÖRNEK : A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona

Cebir Notları. Gökhan DEMĐR, ÖRNEK : A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona , 2006 MC Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr Đşlem ĐŞLEM A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona ikili işlem denir. Örneğin toplama, çıkarma, çarpma birer işlemdir. Đşlemler

Detaylı

AYRIK YAPILAR. ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FıRAT ÜNIVERSITESI TEKNOLOJI FAKÜLTESI YAZıLıM MÜHENDISLIĞI BÖLÜMÜ, ELAZIĞ

AYRIK YAPILAR. ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FıRAT ÜNIVERSITESI TEKNOLOJI FAKÜLTESI YAZıLıM MÜHENDISLIĞI BÖLÜMÜ, ELAZIĞ AYRIK YAPILAR P r o f. D r. Ö m e r A k ı n v e Y r d. D o ç. D r. M u r a t Ö z b a y o ğ l u n u n Ç e v i r i E d i t ö r l ü ğ ü n ü ü s t l e n d i ğ i «A y r ı k M a t e m a t i k v e U y g u l a

Detaylı

Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Đlkbahar / Sayısal II / 10 Mayıs Matematik Soruları ve Çözümleri

Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Đlkbahar / Sayısal II / 10 Mayıs Matematik Soruları ve Çözümleri Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı ALES / Đlkbahar / Sayısal II / 0 Mayıs 009 Matematik Soruları ve Çözümleri. ( ) 4 işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) 4 D) E) 6 Çözüm ( ) 4 ( ) 4 4 6.

Detaylı

TEMEL SAYMA KURALLARI

TEMEL SAYMA KURALLARI TEMEL SAYMA KURALLARI SAYMA Toplama Yoluyla Sayma A ve B sonlu ve ayrık kümeler olmak üzere, bu iki kümenin birleşiminin eleman sayısı; s(a,b) = s(a) + s(b) dir. Sonlu ve ayrık iki kümenin birleşiminin

Detaylı

SAYILAR MATEMATİK KAF03 BASAMAK KAVRAMI TEMEL KAVRAM 01. İki basamaklı en küçük sayı : İki basamaklı en büyük negatif sayı :.

SAYILAR MATEMATİK KAF03 BASAMAK KAVRAMI TEMEL KAVRAM 01. İki basamaklı en küçük sayı : İki basamaklı en büyük negatif sayı :. SAYILAR BASAMAK KAVRAMI İki basamaklı en küçük sayı : İki basamaklı en büyük negatif sayı :. Üç basamaklı rakamları farklı en küçük sayı :. SORU 5 MATEMATİK KAF03 TEMEL KAVRAM 01 Üç basamaklı birbirinden

Detaylı

OKUL ADI : ÖMER ÇAM ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI : 2015 2016 DERSİN ADI : MATEMATİK SINIFLAR : 9

OKUL ADI : ÖMER ÇAM ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI : 2015 2016 DERSİN ADI : MATEMATİK SINIFLAR : 9 OKUL ADI : ÖMER ÇAM ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI : 015 01 1 Eylül 18 Eylül Kümelerde Temel Kavramlar 1. Küme kavramını örneklerle açıklar ve kümeleri ifade etmek için farklı gösterimler.

Detaylı

Bu ders materyali 06.09.2015 23:17:19 tarihinde matematik öğretmeni Ömer SENCAR tarafından hazırlanmıştır. Unutmayın bilgi paylaştıkça değerlidir.

Bu ders materyali 06.09.2015 23:17:19 tarihinde matematik öğretmeni Ömer SENCAR tarafından hazırlanmıştır. Unutmayın bilgi paylaştıkça değerlidir. -- Bu ders materyali 06.09.05 :7:9 tarihinde matematik öğretmeni Ömer SENCAR tarafından UYGULAMA-00 Cevap: x- -x- x- =0 denklemini sağlayan x değeri kaçtır? UYGULAMA-00 Cevap: x x x 5 + = + denklemini

Detaylı

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İkinci Dereceden Denklemler a, b ve c reel sayı, a ¹ 0 olmak üzere ax + bx + c = 0 şeklinde yazılan denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Aşağıdaki denklemlerden

Detaylı

a.c = 48 3a + 2b c = 37 ise, a nın alacağı en küçük değer kaçtır?

a.c = 48 3a + 2b c = 37 ise, a nın alacağı en küçük değer kaçtır? . a,b,c birbirinden farklı tamsayılar ve a sıfırdan. a, b, c R olmak üzere farklı olmak üzere, a.b = 0 c

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 18. MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF TEST SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 18. MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF TEST SORULARI . a 6 b a b 8 ifadesinin açılımında b çarpanının bulunmadığı terim aşağıdakilerden hangisidir?. Bir toplulukta en az iki kişinin yılın aynı ayı ve haftanın aynı gününde doğduğu kesin bilindiğine göre,

Detaylı

Bölüm 2 Matematik Dili

Bölüm 2 Matematik Dili Bölüm 2 Matematik Dili Kümeler p Küme(Set) = ayrık nesnelerden oluşmuş topluluğa küme denir p Kümenin elemanları element olarak adlandırılır p Kümeler nasıl gösterilir Liste şeklinde p Örnek: A = {,3,5,7}

Detaylı

MUTLAK DEĞER Test -1

MUTLAK DEĞER Test -1 MUTLAK DEĞER Test -. < x < olduğuna göre, x x ifadesinin eşiti aşağıdakilerden 7 B) 7 x C) x 7 D) x 7 E) 7 x 5. y < 0 < x olduğuna göre, y x x y x y ifadesinin eşiti aşağıdakilerden xy B) xy C) xy D) xy

Detaylı

MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ

MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1074 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI NO: 589 MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ Lineer Cebir Yazar: Yrd.Doç.Dr. Nezahat ÇETİN Öğr.Grv.Dr. Nevin ORHUN Editör: Prof.Dr. Orhan

Detaylı

2. Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler x 2 2x + 2m + 1 = 0 denkleminin kökleri x 1 ve x 2 dir. 4x 1 + 5x 2 = 7 ise m aşağıdakilerden hangisidir?

2. Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler x 2 2x + 2m + 1 = 0 denkleminin kökleri x 1 ve x 2 dir. 4x 1 + 5x 2 = 7 ise m aşağıdakilerden hangisidir? MC www.matematikclub.com, 006 Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir3@ahoo.com.tr. Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler- TEST I A) 1 B) C) 3 D) 4 E) 5 1. 1/ = 0 denkleminin köklerinin toplamı aşağıdakilerden

Detaylı

Türkiye Ulusal Matematik Olimpiyatları DENEME SINAVI. 4. Deneme

Türkiye Ulusal Matematik Olimpiyatları DENEME SINAVI. 4. Deneme Türkiye Ulusal Matematik Olimpiyatları Birinci Aşama Zor Deneme Sınavı 11 Haziran 2016 DENEME SINAVI 4. Deneme Soru Sayısı: 32 Sınav Süresi: 210 dakika Başarılar Dileriz... Page 1 of 9 DENEME SINAVI (4.

Detaylı

MUTLAK DEĞER. Örnek...6 : 1 x > 1 y > 1 z. Örnek...7 : x=1 5, y= 5 2, ise x+y y x x =? Örnek...1 : =? Örnek...8 : Örnek...2 : =?

MUTLAK DEĞER. Örnek...6 : 1 x > 1 y > 1 z. Örnek...7 : x=1 5, y= 5 2, ise x+y y x x =? Örnek...1 : =? Örnek...8 : Örnek...2 : =? TANIM MUTLAK DEĞER Örnek...6 : 1 x > 1 y > 1 z ise x y x z z y =? Bir x reel sayısına karşılık gelen noktanın sayı doğrusunda 0 (sıf ır) a olan uzaklığına x sayısının mutlak değeri denir ve x şeklinde

Detaylı

SAYILAR ( ) MATEMATİK KAF01 RAKAM VE DOĞAL SAYI KAVRAMI TEMEL KAVRAM 01. Sayıları ifade etmeye yarayan

SAYILAR ( ) MATEMATİK KAF01 RAKAM VE DOĞAL SAYI KAVRAMI TEMEL KAVRAM 01. Sayıları ifade etmeye yarayan SAYILAR RAKAM VE DOĞAL SAYI KAVRAMI MATEMATİK KAF01 TEMEL KAVRAM 01 Sayıları ifade etmeye yarayan { 0,1,, 3, i i i,9} kümesindeki semollere onluk sayma düzeninde rakam denir. N =... kümesinin elemanlarına

Detaylı

PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR

PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR 2013-2014 PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ A B KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 1 / 31 12 32173 Üslü İfadeler 2 13 42016 Rasyonel ifade kavramını örneklerle açıklar ve

Detaylı

YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK

YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK SORU 1: Aşağıdaki grafik, bir okuldaki spor yarışmasına katılan öğrencilerin yaşa göre dağılışını göstermektedir. Öğrenci sayısı 5 3 9 10 1 14 Yaş 1.1: Yukarıdaki

Detaylı

SERĠMYA 2011 - IX. ULUSAL ĠLKÖĞRETĠM MATEMATĠK OLĠMPĠYATI. 9. Ulusal. serimya. İLKÖĞRETİM 7. Ve 8. SINIFLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI.

SERĠMYA 2011 - IX. ULUSAL ĠLKÖĞRETĠM MATEMATĠK OLĠMPĠYATI. 9. Ulusal. serimya. İLKÖĞRETİM 7. Ve 8. SINIFLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI. Sayfa1 9. Ulusal serimya İLKÖĞRETİM 7. Ve 8. SINIFLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI 2011 Sayfa2 1. Bir ABCD konveks dörtgeninde AD 10 cm ise AB CB? m( Dˆ ) 90, ( ˆ) 150 0 0 m C ve m Aˆ m Bˆ ( ) ( ) olarak

Detaylı

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak 10.Konu İç çarpım uzayları ve özellikleri 10.1. ve üzerinde uzunluk de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor teoreminden dir. 1.Ö.: [ ] ise ( ) ( ) ve ( ) noktaları gözönüne alalım.

Detaylı

TMÖZ Türkiye Matematik Öğretmenleri Zümresi

TMÖZ Türkiye Matematik Öğretmenleri Zümresi YGS MATEMATİK DENEMESİ- Muharrem ŞAHİN TMÖZ Türkiye Matematik Öğretmenleri Zümresi Eyüp Kamil YEŞİLYURT Gökhan KEÇECİ Saygın DİNÇER Mustafa YAĞCI İ:K Ve TMÖZ üyesi 4 00 matematik ve geometri sevdalısı

Detaylı

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye KÜME AİLELERİ GİRİŞ Bu bölümde, bir çoğu daha önceden bilinen incelememiz için gerekli olan bilgileri vereceğiz. İlerde konular işlenirken karşımıza çıkacak kavram ve bilgileri bize yetecek kadarı ile

Detaylı

( a, b ) BAĞINTI, FONSİYON, İŞLEM SIRALI İKİLİ :

( a, b ) BAĞINTI, FONSİYON, İŞLEM SIRALI İKİLİ : BAĞINTI, FONSİYON, İŞLEM SIRALI İKİLİ : a ve b elemanlarının belirttiği ( a, b ) şeklindeki ikiliye sıralı ikili denir. Sıralı ikili denilmesindeki sebep bileşenlerin yeri değiştiğinde ikilinin değişmesindendir.

Detaylı

2. Dereceden Denklemler

2. Dereceden Denklemler . Dereceden Denklemler Yazım hataları olabilir. Tam olarak tashih edilmemiştir. Hataları osmanekiz000@gmail.com mail adresine bildirilseniz makbule geçer.. a + b + 5c = c(a + b) ise a b =? C: 9. ( 4) (

Detaylı

BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM

BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM 4.1. Giriş Bir önceki bölümde, hareket denklemi F = ma nın, maddesel noktanın yer değiştirmesine göre integrasyonu ile elde edilen iş ve enerji denklemlerini

Detaylı

++ :8. C SINIF ÜNİTE 1 BÖLÜM TESTİ A B C D Üslü İfadeler. Mesut YAŞA 1) 2-4

++ :8. C SINIF ÜNİTE 1 BÖLÜM TESTİ A B C D Üslü İfadeler.  Mesut YAŞA 1) 2-4 ÜNİTE.. Üslü İfadeler A B ++ :. C SINIF D BÖLÜM TESTİ A B C D ) - ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisinde yanlış verilmiştir? A) B) C) D) 5). A) B) C) D) ) 5 - ifadesinin sonucu kaçtır? A) B) C) D)

Detaylı

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte 50 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için

Detaylı

1. BÖLÜM: PERMÜTASYON (SIRALAMA) BÖLÜM: KOMBİNASYON (SEÇME) A. SEÇME (KOMBİNASYON) B. KOMBİNASYON GEOMETRİ İLİŞKİSİ

1. BÖLÜM: PERMÜTASYON (SIRALAMA) BÖLÜM: KOMBİNASYON (SEÇME) A. SEÇME (KOMBİNASYON) B. KOMBİNASYON GEOMETRİ İLİŞKİSİ İçindekiler 1. BÖLÜM: PERMÜTASYON (SIRALAMA)... 10 A. SAYMA KURALLARI... 10 B. FAKTÖRİYEL... 14 C. n ELEMANLI BİR KÜMENİN r Lİ PERMÜTASYONLARI (Dizilişleri)... 17 Ölçme ve Değerlendirme...20 Kazanım Değerlendirme

Detaylı

a) Çıkarma işleminin; eksilen ile çıkanın ters işaretlisinin toplamı anlamına geldiğini kavrar.

a) Çıkarma işleminin; eksilen ile çıkanın ters işaretlisinin toplamı anlamına geldiğini kavrar. 7. SINIF KAZANIM VE AÇIKLAMALARI M.7.1. SAYILAR VE İŞLEMLER M.7.1.1. Tam Sayılarla Toplama, Çıkarma, Çarpma ve Bölme İşlemleri M.7.1.1.1. Tam sayılarla toplama ve çıkarma işlemlerini yapar; ilgili problemleri

Detaylı

2004 II. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI

2004 II. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI 4 II MATEMATİK YARIŞMASI I AŞAMA SORULARI 4? 4 4 A B denkleminde A ve B birbirinden farklı pozitif tam sayılar olduğuna göre, A + B toplamı kaçtır? işleminin sonucu kaçtır? 5 A) B) C) - D) E) - 8 4 x x

Detaylı

Sıfırdan farklı a, b, c tam sayıları için aşağıdaki özellikler sağlanır.

Sıfırdan farklı a, b, c tam sayıları için aşağıdaki özellikler sağlanır. SAYILAR TEORİSİ 1 Bölünebilme Bölme Algoritması: Her a ve b 0 tam sayıları için a = qb + r ve 0 r < b olacak şekilde q ve r tam sayıları tek türlü belirlenebilir. r sayısı a nın b ile bölümünden elde edilen

Detaylı

ÖRNEK LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI - 1 GEOMETRİ TESTİ. Ad Soyad : T.C. Kimlik No:

ÖRNEK LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI - 1 GEOMETRİ TESTİ. Ad Soyad : T.C. Kimlik No: LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI - GEOMETRİ TESTİ ÖRNEK Ad Soyad : T.C. Kimlik No: Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının Metin Yayınları nın yazılı

Detaylı

Örnek...1 : Örnek...5 : n bir pozitif tamsayı ise i 4 n + 2 +i 8 n + 1 2 +i 2 0 n + 6 =?

Örnek...1 : Örnek...5 : n bir pozitif tamsayı ise i 4 n + 2 +i 8 n + 1 2 +i 2 0 n + 6 =? KARMAŞIK SAYILAR Karmaşık saılar x 2 + 1 = 0 biçimindeki denklemlerin çözümünü apabilmek için tanım lanm ıştır. Örnek...2 : Toplamları 6 ve çarpımları 34 olan iki saı bulunuz. a ve b birer reel saı ve

Detaylı

x13. ULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATI - 2005

x13. ULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATI - 2005 TÜBİTAK TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNOLOJİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM İNSANI DESTEKLEME DAİRE BAŞKANLIĞI x13. ULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATI - 005 BİRİNCİ AŞAMA SINAVI Soru kitapçığı türü A 1. AB = olmak üzere, A

Detaylı

ÜÇ BASAMAKLI DOĞAL SAYILAR

ÜÇ BASAMAKLI DOĞAL SAYILAR Ad :... Soyad :... S n f/nu.:... /... ÜÇ BASAMAKLI DOĞAL SAYILAR Kaç yüzlük var?... Kaç onluk var?... Kaç birlik var?... Toplam kaç adet:... Kaç yüzlük var?... Kaç onluk var?... Kaç birlik var?... Toplam

Detaylı

MATEMATiKSEL iktisat

MATEMATiKSEL iktisat DİKKAT!... BU ÖZET 8 ÜNİTEDİR BU- RADA İLK ÜNİTE GÖSTERİLMEKTEDİR. MATEMATiKSEL iktisat KISA ÖZET KOLAY AOF Kolayaöf.com 0362 233 8723 Sayfa 2 içindekiler 1.ünite-Türev ve Kuralları..3 2.üniteTek Değişkenli

Detaylı

TMÖZ Türkiye Matematik Öğretmenleri Zümresi

TMÖZ Türkiye Matematik Öğretmenleri Zümresi YGS MATEMATĠK DENEMESĠ-1 Muharrem ġahġn TMÖZ Türkiye Matematik Öğretmenleri Zümresi Eyüp Kamil YEġĠLYURT Gökhan KEÇECĠ Saygın DĠNÇER Mustafa YAĞCI Ġ:K Ve TMÖZ üyesi 14 100 matematik ve geometri sevdalısı

Detaylı