ÇOKGENLER DÖRTGENLER ve ÇEMBER

Transkript

1 MY GOMTRİ RS NOTLRI Türkiye Matematik Öğretmenleri Zümresi TMOZ un katkılarıyla ÇOKGNLR ÖRTGNLR ve ÇMR Mustafa YĞI LTIN NOKT YYINVİ N 01

2 İÇİNKİLR ölüm Knu Sayfa ölüm Knu Sayfa 1 Çkgenler Karede çı ve Uzunluk üzgün Çkgenler Karede şlik ve enzerlik üzgün eşgen Karede lan ltın Oran Çeşitkenar Yamuk üzgün ltıgen ik Yamuk üzgün Sekizgen İkizkenar Yamuk iğer üzgün Çkgenler Çemberin Tanımı örtgen Çeşitleri Çemberde Kiriş Özellikleri örtgenin çıları Çemberde Teğet Özellikleri örtgende Uzunluk Ortak Teğetler örtgenlerde lan Hesapları Merkez ve Çevre çı eltit Çemberde çı Prblemleri Paralelkenarıda çı Kiriş örtgenleri Paralelkenarda Uzunluk Kuvvet Teremi Paralelkenarda enzerlik Teğet örtgenleri Paralelkenarda lan Çemberin Çevresi ikdörtgen airenin lanı şkenar örtgen TMOZ Test

3 01 GeUmetri Ntları Mustafa YĞI, Çkgenler Yazımıza elbette çkgenin tanımıyla başlamamız gerekiyr ama tanımın neden öyle yapıldığını daha rahat kavrayabilmek için taa üçgenin tanımına gideceğiz. Hatırlayacağınız üzere üçgenin tanımı şuydu:,, dğrudaş lmayan (aynı dğru üzerinde bulunmayan) üç nkta ise [], [] ve [] dğru parçalarının birleşimine üçgeni denir. Şimdi, madem üçgenler böyle tanımlanıyr, buradan kpya çekerek dörtgenleri tanımlayabilir miyiz? akalım: Üçgen tanımında kullandığımız, ve harflerine harfini de eklesek yeter mi acaba? Yani,,, dğrudaş lmayan dört nkta ise [], [], [], [] dğru parçalarının birleşimine dörtgeni denir desek hayal ettiğimiz şeyi anlatmış lur muyuz? Şimdi size gerçekten dğrudaş lmayan,,, nktalarıyla bir dörtgen çiziyrum. Yukardaki çizim size nerede hata yaptığımızı anlatmış lmalı. Çünkü yukardaki şekil bir dörtgen değil, düpedüz üçgendir. Srun,, nktalarının dğrudaş lmasından kaynaklanmaktadır. (,, ), (,, ) veya (,, ) nktaları kendi aralarında dğrudaş lsalardı da aynı srunla yüz yüze lacaktık. O halde hatamızı şöyle giderebiliriz:,,, herhangi üçü dğrudaş lmayan dört nkta ise [], [], [] ve [] dğru parçalarının birleşimine dörtgeni denir. c a b Peki sizce şu an ldu mu? akalım: Tanıma göre ben,, nktalarını aynı düzlemde alıp nktasını bu düzlemin dışında alabilirim. Yani aşağıdaki de bir dörtgen midir? vet, bu tanıma göre dörtgendir ama şu an düzlem gemetrisiyle uğraştığımızdan yani gemetrik nesnelerin aynı düzleme ait lmalarını istediğimizden tanıma düzlemdeş kelimesini de ekleyebiliriz. Yk eğer böyle bir derdimiz yksa yani her türden dörtgeni masaya yatırmak istiyrsak yukardaki tanım bizi amacımıza ulaştıracaktır. enzer şekilde her türlü beşgeni,,,, herhangi üçü dğrudaş lmayan beş nkta ise [], [], [], [] ve [] dğru parçalarının birleşimine beşgeni denir. şeklinde tanımlayabiliriz. öylelikle altıgen, yedigen, sekizgen de tanımlanabilir. unların hepsine birden gemetride çkgen denir. ğer çkgende ilk alınan nkta sayısı n ise özel larak n-gen dendiği de lur. n-geni tanımlarken,,,,, harflerini kullanmak sıkıntı dğurur. Çünkü n inci harfi nasıl bulacağız? unun yerine nktaları 1,, 3,, n larak tanımlamak kaçınılmaz snuç lacaktır. n-genin tanımı. 1,, 3,, n herhangi üçü dğrudaş lmayan n farklı nkta lsun. [ 1 ], [ 3 ], [ 3 4 ],, [ n-1 n ] ve [ n 1 ] dğru parçalarının birleşimine 1 3 n n-geni denir. [ 1 ] [ 3 ] [ 3 4 ] [ n 1 ] = 1 3 n 7

4 Mustafa YĞI Çkgenler 1 3 n n-genini luşturduğumuz bu 1,, 3,, n nktalarına çkgenin köşeleri, bu dğru parçalarına çkgenin kenarları ve böylece luşan 1 3, 3 4, 3 4 5,, n-1 n 1 açılarına da çkgenin iç açıları, bu açıların bütünleyenlerine de çkgenin dış açıları denir köşesi 1'e ait dış açı 1'e ait iç açı [ 1 ] kenarı Köşeleri 1,, 3,, n ile isimlendirilmiş bir çkgende 1 ile, ile 3, genel larak n 1 ile n köşe çiftlerine ardışık köşeler denir. Çkgen Çkgensel ölge Çkgenin İç ölgesi Çkgenin ış ölgesi Çkgenin kendisi ile iç bölgesinin birleşimine de çkgensel bölge denir. ( 1 3 n ) ile gösterilir. ir çkgenin iç bölgesinde alınan rastgele iki nktayı birleştiren dğru parçasının tüm nktaları daima çkgensel bölgede kalıyrsa çkgene dışbükey veya knveks denir. ğer böyle çizilen bir dğru parçasının tek bir nktası bile dış bölgeye aitse çkgene içbükey veya knkav denir. rdışık köşe kavramını kullanarak çkgenin kenarlarını şöyle de tanımlayabiliriz: ir çkgenin ardışık köşelerini birleştiren dğru parçalarına çkgenin kenarları denir. ışbükey (Knveks) İçbükey (Knkav) urada dğal larak ardışık lmayan köşeleri birleştiren dğru parçalarına ne dendiği srusu akla gelir. Söyleyelim, nlara da çkgenin köşegenleri denir. Üçgenin herhangi iki köşesi daima ardışık lduğundan, yani başka deyişle; üçgenin ardışık lmayan iki köşesi lmadığından, köşegeninin lmadığına dikkatinizi çekerim. Çkgenin tanımına göre dönüp dlaşıp başlangıç nktasına gelmemiz gerekiyr. uradan anlıyruz ki, çkgenler kapalı şekillerdir. Yukardaki şekillerden ne demek istediğimizi daha rahat anlayabilirsiniz. Knveks ve knkav lmanın bu tanımı matematiksel larak eksiksiz lsa da laya yabancı birinin bu tanıma riayet ederek çkgenin cinsini anlaması vakit alabiliyr. Çünkü çkgensel bölgeye ait tüm nkta çiftlerinin belirttiği tüm dğru parçalarını incelemeye kalkanlar gördüm! Knkavlığı-knveksliği anlamak için şöyle bir metd önerebilirim: F ışbükey (Knveks) İçbükey (Knkav) Çkgenler köşelerine göre kunup, kenar sayısına göre adlandırılırlar ( üçgeni, dörtgeni, beşgeni, F altıgeni gibi). Çkgenler üzerinde bulundukları düzlemi, çkgenin iç bölgesi, çkgen ve çkgenin dış bölgesi diye adlandırılan üç ayrık kümeye ayırır. İç bölge çkgenin sınırladığı bölgedir. Çkgeni zaten tanımından biliyruz. ış bölge ise iç bölge ile çkgenin birleşiminde bulunmayan nktalar kümesidir. ir çkgenin tüm köşegenleri çkgensel bölgeye aitse çkgen dışbükeydir, bir köşegeninin en az bir nktası dış bölgeye aitse çkgene içbükeydir. Yalnız bu metdla, üçgenin dışbükey mi içbükey mi lduğuna cevap veremezsiniz. Çünkü üçgenlerin köşegeni yk! unun için verilen tanımı kullanarak, tüm üçgenlerin knveks yani dışbükey lduklarını söyleyebiliriz. 8

5 Mustafa YĞI Çkgenler Terem. n kenarlı bir çkgende bir köşeden n 3 tane farklı köşegen geçer. Kanıt: Çkgen dendiğine göre n 3 lduğunu anlamalıyız. Şimdi n tane nkta düşünelim. Herhangi üçü dğrusal lmasın. unun en iyi ylu (dışbükeyler için) nktaları çembersel düşünmektir. Şimdi nktalardan herhangi birini seçin. O nktadan kendine, en yakın sldakine ve en yakın sağdakine çizilen dğru parçaları köşegen lmayacaktır. nlayacağınız 1 nktadan 3 nktaya gidiş yasak, geriye kalan n 3 nktaya ise gidiş serbesttir. u yüzden bir köşeden n 3 tane köşegen geçer. İçbükeyler için benzer kanıtı da siz yapınız. Örnek larak üstteki beşgeni ele alalım. Tanım gereği köşegen ardışık iki kenardan geçemez. Yani köşesinden kendisine, ye ve ye çizilemez. u kuralın sanırım beşgen için değil tüm çkgenler için sağlanması gerektiği aşikar. Yani üç nktaya köşegen çizilemediğinden cevabımız n 3. uradan şu snucu da çıkarmak mümkün: Şekildeki iki köşegen beşgeni 3 üçgene ayırdığından bunu genelleyebiliriz: ir köşeden çizilebilecek n 3 köşegen de çizildiği zaman çkgen n tane üçgene ayrılır. Örnek. ir köşesinden geçen tüm köşegenler çizildiğinde 6 üçgene parçalanan knveks çkgen kaç kenarlıdır? ) 8 ) 9 ) 10 ) 11 ) 1 Çözüm: Yukardaki açıklamalarımızda, luşan üçgen sayısının n lduğunu bulmuştuk. n = 6 lduğuna göre n = 8 lmalıdır. ğru cevap:. ir çkgenin köşegenlerle üçgenlere parçalanması, iç açı ölçüleri tplamını bulmamıza yarar. Çünkü üçgenlerin iç açı ölçüleri tplamı, çkgenin iç açı ölçüleri tplamını verir. Terem. ir n-genin iç açılarının ölçüleri tplamı (n ) 180 dir. Kanıt: ir köşeden çizilebilecek tüm köşegenlerin, çkgeni n tane üçgene ayırdığını söylemiştik. u üçgenlerin iç açılarının ölçüleri tplamı çkgenin iç açıları ölçüleri tplamını verecektir. layısıyla iç açıların ölçüleri tplamının (n ) 180 lduğunu kanıtlamış lduk. Örnek. ir ngenin iç açılarının ölçüleri tplamı kaç derecedir? ) 1080 ) 160 ) 1440 ) 160 ) 1800 Çözüm: Hemen frmülümüzü uygulayalım. (10 ) 180 = 1440 larak bulunur. ğru cevap:. Görüldüğü üzere, bir n-genin iç açı ölçüleri tplamı n ye bağlıdır. n arttıkça iç açıların ölçüleri tplamı da artmaktadır. İlginçtir ki, n kaç lursa lsun bir n- gende dış açıların ölçüleri tplamı sabit bir sayıdır, n değiştikçe değişmez. Hemen bunu verip kanıtlayalım: Terem. ir n-genin dış açılarının ölçüleri tplamı 360 dir. Kanıt: ir n-genin n tane iç açısı, n tane de dış açısı vardır. unlar da n tane dğru açı yapar. n tane dğru açının tplamı 180 n dir. İç açıların ölçüleri tplamı (n ) 180 yani 180 n 360 lduğuna göre dış açıların ölçüleri tplamı 360 lmalıdır. Örnek. ışbükey bir çkgenin en çk kaç tane iç açısı dar labilir? ) 1 ) ) 3 ) 4 ) Snsuz çklukta Çözüm: ar iç açı, geniş dış açı demektir. ış açıların tplamı her çkgende 360 lduğundan bir çkgenin 3 ten fazla geniş dış açısı lamaz, zira lursa tplamı 360 ı geçer. u yüzden en çk 3 tane dar iç açıya sahip labilir. ğru cevap:. 9

6 Mustafa YĞI Çkgenler Örnek. İç açılarının ölçüleri tplamı dış açılarının ölçüleri tplamının 10 katı lan çkgen kaç kenarlıdır? ) 15 ) 16 ) 18 ) ) 4 Çözüm: ış açıların ölçüleri tplamı her çkgende 360 lduğundan, srudaki çkgenin iç açılarının ölçüleri tplamının 3600 lduğunu anlıyruz. Yine frmüle başvuralım: (n ) 180 = 3600 (n ) 180 = n = 0 lduğundan n = bulunur. ğru cevap:. Şimdi de bir çkgenin tplam kaç köşegeni lduğunu hesaplamaya geldi sıra Örnek. İç açılarının ölçüleri tplamı 8 dik açı ölçüsünün tplamı lan bir çkgenin kaç köşegeni vardır? ) 6 ) 7 ) 8 ) 9 ) 10 Çözüm: 8 dik açı ölçüsünün tplamı 8 90 = 70 yapar. unu, iç açıların ölçüleri tplamına eşitleyerek kenar sayısını bulalım. (n ) 180 = 70 = (n ) 180 = n = 4 n = 6 Şu durumda çkgenin bir altıgen lduğu anlaşıldı. Köşegen sayısı frmülünden cevabımız 6 (6 3) = 9 lur. ğru cevap:. Terem. n kenarlı bir çkgenin tane köşegeni vardır. nn ( 3) Örnek. Köşegen adediyle kenar adedinin tplamı 45 lan çkgen kaç kenarlıdır? Kanıt 1: Herhangi üçü dğrusal lmayan düzlemdeş n farklı nkta alalım. Köşegenler dğru parçası lduğundan bu n tane nktanın kaç değişik dğru parçası belirtebileceğini bulacağız. n tane nkta en çk (n, ) tane dğru parçası belirtir. Fakat ardışık köşeleri simgeleyen iki nktanın belirttiği dğru parçaları köşegen değil kenar lduğundan köşegen sayısı (n, ) n dir. Hesaplanırsa nn ( 3) bulunur. ahis knusu çkgen lduğundan, n 3 lması gerektiğini biliyruz. n = 3 için bu sayının 0 lduğuna dikkat ediniz. Yani üçgende köşegen möşegen yktur! Kanıt : ir köşeden n 3 tane köşegen çizilebiliyrsa, n köşeden tplam n(n 3) tane çizilebilir. Fakat burada her köşegen kere sayılmış lur. Örneğin; dan çizilebileceklerin içinde dan ye gideni saymıştık ama den çizilebilenlerin içinde de den ya gideni bir daha saydık (sanki farklıymış gibi). layısıyla bulduğumuz sayıyı ikiye bölmeliyiz. n(n 3) çarpımının ye bölümü köşegen sayısıdır. ) 4 ) 5 ) 6 ) 8 ) 10 Çözüm: Kenar adedine n dersek, köşegen adedinin nn ( 3) lacağını bulmuştuk. O halde nn ( 3) + n = 45 nn ( 3) + n= 90 n n 90 = 0 ( n 10)( n+ 9) = 0 eşitliğinden ve n nin negatif lamayacağını bildiğimizden n = 10 larak bulunur. ğru cevap:. Yıldızıl. Knveks bir çkgenin kenarlarının uzatılması ile elde edilen şekle yıldızıl denir. Çkgenin köşe sayısı ile yıldızılın köşe sayısı eşittir. Yıldızıl eşgen Yıldızıl ltıgen Yıldızıl Yedigen 10

7 Mustafa YĞI Çkgenler Üst şekillerden de görüleceği üzere, yıldızıl bir çkgenin kenarları birbirlerini köşe dışında da kesmektedir. Yıldızıl bir n-gen daima n tane üçgen ve rtada knveks bir n-genden luşur. Şimdi bir yıldızıl çkgenin iç açı ölçüleri tplamının kaç lduğunu söyleyen bir terem vereceğiz. Terem. n > 4 lmak şartıyla, n köşeli bir yıldızılın iç açılarının ölçüleri tplamı (n 4) 180 dir. Kanıt: Knveks bir n-gen çizip kenarlarını uzatıp alt şekildeki gibi bir yıldızıl n-gen elde edelim. Taralı lan üçgenlerin iç açılarının ölçüleri tplamının (T lsun), yıldızın köşe açılarının ölçüleri tplamı (Y lsun) ve rtadaki taranmamış çkgenin dış açılarının ölçüleri tplamının katı ( 360 ) ile luştuğuna dikkat edersek; T = Y lur. T = n 180 lduğundan Y = n = (n 4) 180 lduğu kanıtlanmış lur. Örnek. bir yıldızıl beşgen lduğuna göre şekilde x, y, z, m, n ile belirtilen ölçülerin tplamı kaç derecedir? ) 360 ) 450 ) 540 ) 70 ) 900 Çözüm: Ölçüleri x, y, z, m, n lan açıların köşelerine sırasıyla X, Y, Z, M, N diyelim. XYZMN beşgeninin iç açılarının ölçülerinin de ters açılar gereği x, y, z, m, n lduğunu fark ediniz. O halde beşgenin iç açılarının ölçüleri tplamından cevap (5 ) 180 = 540º bulunur. ğru cevap:. y y x z x y x z z n m n n m m ÇOKGN ÇİZİMLRİ MY GO 1 kitabında Üçgen Çizimleri başlığında bir üçgenin çizilebilme şartlarını incelemiştik. Çıkan snuç şuydu: ir üçgenin belirlenebilmesi için en az 3 bilgiye ihtiyaç vardır. u üç bilginin en az 1 tanesi uzunluk, en fazla tanesi açı ölçüsü lmalıydı. unun nedenini tekrar hatırlatalım. ir üçgenin iç açı ölçüleri tplamı sabit ve 180 lduğundan herhangi iki iç açısının ölçüsü bilindiğinde üçüncüsünün verilmesine gerek yktur, nu biz de bulabiliriz. iğer yandan, illa bir uzunluk ölçüsü bilmeliyiz. Zira, verilen açı ölçülerinden üçgenin eşkenar üçgen lduğunu bulduk diyelim. Snsuz farklı byutta eşkenar üçgen çizilebileceğinden, herhangi bir uzunluk ölçüsü bilmeden istenen eşkenar üçgeni çizemeyiz. Şimdi üçgen için yaptığımız yrumları dörtgen için yapalım. örtgenin de iç açı ölçüleri tplamı bellidir. O halde dört açı ölçüsünün verilmesine gerek yk, üçü bilinirse dördüncüsünü biz bulabiliriz. emek ki en fazla üç açı ölçüsü verilmelidir. Peki üçgendeki gibi, tüm açı ölçüleri bilindiğinde sadece tek bir uzunluk ölçüsü dörtgeni bulmamıza yeter mi? una cevabımız: Hayır! Sözgelimi dörtgeninin,,, iç açılarının ölçüleri sırasıyla 90, 10, 30, 10 lsun. Herhangi bir kenar uzunluğunu da biliyr lalım, sözgelimi = 4 br lsun. akalım dörtgeni inşa edebilecek miyiz? Üst şekillerden de görüldüğü üzere, aynı verilere sahip iki farklı dörtgeni çizilebilmektedir. Yani bu veriler belli bir dörtgeni işaret etmemektedir. Halbuki, sözgelimi değeri verilseydi, tek bir tane dörtgeni belirecekti. yerine veya de labilirdi tabii ki emek ki bir dörtgenin belirlenebilmesi için en az uzunluk ölçüsüne ihtiyaç vardır

8 Mustafa YĞI Çkgenler ir de beşgene göz atalım: ir beşgenin de, diğer tüm çkgenler gibi iç açı ölçüleri tplamı bilinmektedir. u yüzden en fazla 4 tane açı ölçüsü bize yeter. izi bekleyen sruyu tahmin etmişsinizdir: n az kaç tane uzunluk ölçüsü verilmelidir? Tüm açı ölçüleri belli ama sadece iki kenar uzunluğu belli lan beşgen belli midir, na bakalım: α γ γ a c c θ β b Yukardaki şekilden de görüldüğü üzere, c kenarı belli lmadığında aynı verilere sahip iki farklı beşgeni çizilebilmektedir. İki beşgende de iç açı ölçüleri aynı lup iki kenar uzunluğunun da aynı lduğuna dikkat ediniz. emek ki; bir beşgenin belirlenebilmesi için en az 3 uzunluk ölçüsüne ihtiyaç vardır. Şimdi buradan bir genelleme yapacağız. 3-gen, 4- gen ve 5-genin belirlenebilmesi için sırasıyla en fazla, 3 ve 4 açı ölçüsüne ihtiyaç duyulmuştu, halde n-genin belirlenebilmesinde de en fazla n 1 tane açı ölçüsü lazımdır. iğer yandan, 3-gen, 4-gen ve 5-genin belirlenebilmesi için sırasıyla en az 1, ve 3 uzunluk ölçüsü verilmeliydi, halde n-genin belirlenebilmesi için de en az n tane uzunluk ölçüsü verilmelidir. Şu durumda denebilir ki; bir n-genin belirlenebilmesi için en fazla n 1 tanesi açı ölçüsü ve en az n tanesi uzunluk ölçüsü lmak üzere en az n 3 tane bilgiye ihtiyaç vardır. Sn kullandığımız en az cümlesi, verilen bilgilerin birbirinden bağımsız lup lmadığının bilinmediğindendir. emek istediği şu ki, verilen birkaç bilgiden bir diğer bilgi zaten çıkarılıyrsa fazla bilgi verilmiş demektir. u da çizim için yeterli lmayacaktır. Yani, verilen herhangi bir bilgi, eldeki diğer bilgilerden elde edilemiyrsa n 3 tane bağımsız bilgi n-geni çizmeye, çizemesek de varlığına delil lmaya yeterdir. Örnek. ir yedigenin belirlenebilmesi için en az kaç uzunluk veya açı ölçüsü bilgisine gerek vardır? ) 7 ) 8 ) 9 ) 11 ) 13 Çözüm: ir n-genin belirlenebilmesi için yeter sayının en az n 3 lduğunu bulmuştuk. O halde bir yedigenin belirli labilmesi için en az 7 3 = 11 bilgiye ihtiyaç vardır. ğru cevap:. Örnek. ir sekizgenin belirlenebilmesi için gereken en fazla açı ölçüsü bilgisi sayısı a, en az uzunluk ölçüsü bilgisi sayısı b lduğuna göre 3a + b tplamı kaçtır? ) 37 ) 35 ) 33 ) 31 ) 9 Çözüm: ir n-genin belirlenebilmesi için gereken en az n 3 bilginin, en fazla n 1 tanesinin açı ölçüsü, en az n tanesinin uzunluk ölçüsü lması gerektiğini söylemiştik. O halde sekizgen için a = 7 ve b = 6 lur. O halde 3a + b = = 33 larak bulunur. ğru cevap:. Örnek. elli labilmesi için biri diğerinden elde edilemeyen 15 bilgiye ihtiyaç duyulan çkgenin tplam köşegen sayısı kaçtır? ) 14 ) 0 ) 7 ) 35 ) 44 Çözüm: Hemen n 3 = 15 diyerek çkgenin 9 kenarlı lduğunu bulalım. Tplam köşegen sayısı nn frmülü de ( 3) lduğundan, cevabımız 7 lmalıdır. ğru cevap:. Örnek. n az 10 tane uzunluk ölçüsüyle belli labilen bir çkgenin iç açılarının ölçüleri tplamı kaç dik açı ölçüsüne bedeldir? ) 40 ) 9 ) 4 ) ) 0 Çözüm: ir n-genin belirlenebilmesi için gereken bilgilerden en az n tanesi uzunluk ölçüsü bilinmeliydi. emek ki n = 1. iğer yandan bir n-genin iç açı ölçüleri tplamı da n tane 180, diğer deyişle n 4 tane 90 lduğundan srumuzun cevabı 1 4 = 0 lmalıdır. ğru cevap:. 1