şeklinde ifade edilmesine parametrik ifadeli fonksiyon denir.

Transkript

1 PARAMETRİK İFADELİ FONKSİYONUN TÜREVİ Tanım:4 A IR, f: A IR fonksiyonu y f(x) şeklinde verilsin. Bu fonksiyonun t IR bir parametre olmak üzere; x g(t) { y h(t) (5) şeklinde ifade edilmesine parametrik ifadeli fonksiyon denir. Eşitlik (5) e fonksiyonun parametrik denklemleri adı verilir. Burada g ve h, t parametresinin fonksiyonlarıdır. Eğer g ve h fonksiyonları t parametresine göre türevlenebilirse, bu durumda y f(x) fonksiyonu da x e göre türevlenebilirdir. Öyle ki; dt dt dt dt dt dt h (t) g (t), g (t) 0 (6) olur. Eşitlik (0) ile verilen ifadeye, Eşitlik (9) ile verilen parametrik ifadeli fonksiyonun birinci mertebeden türevi denir. İkinci mertebeden türev ise; h (t) d y d ( ) d d ( (h (t) g (t) ) g (t) ) dt dt h (t)g (t) h (t)g (t) [g (t)] dt h (t)g (t) h (t)g (t) [g (t)] g (t) h (t)g (t) h (t)g (t) [g (t)] 3, g (t) 0 (7) olur. Örnek;7 Verilen fonksiyonlar için istenilenleri hesaplayınız? x g(t) t a) { y h(t) t için? ve d y? x g(θ) a(θ sinθ) b) { y h(θ) a( cosθ) noktasındaki değerlerini bulunuz? için? ve d y? Ayrıca bu türevlerin θ π c) { x g(t) et cost y h(t) e t şeklinde verilen yf(x) fonksiyonunun y (x + y) (xy y) cost eşitliğini sağladığını gösteriniz? Çözüm a) x g(t) t g (t) t g (t) t 4t 4t t 4 t 3 t y h(t) t h (t) t h (t) 4(t ) 4(t ) t 4 (t ) 3 h (t) g (t) t t t t t t iken

2 d y h (t)g (t) h (t)g (t) [g (t)] 3 8( t) 3 (t ) 3 bulunur. 4 (t ) 3 t t ( 4 t 3) [ t ]3 b) x g(θ) a(θ sinθ) g (θ) a( cosθ) g (θ) asinθ y h(θ) a( cosθ) h (θ) asinθ h (θ) acosθ 8 t 3 t 8 t (t ) 3 t t 8( t) 3 8 t 3 (t ) 3 h (θ) g (θ) asinθ a( cosθ) sinθ ( cosθ) I θπ sinπ 0 0 cosπ + d y h (θ)g (θ) h (θ)g (θ) acosθa( cosθ) asinθasinθ a cosθ a cos θ a sin θ [g (θ)] 3 [a( cosθ)] 3 a 3 ( cosθ) 3 a cosθ a a ( cosθ) d y I a 3 ( cosθ) 3 a 3 ( cosθ) 3 a( cosθ) θπ bulunur. a( cosπ) olarak a(+) 4a c) x g(t) e t cost g (t) e t cost e t sint e t (cost sint) g (t) e t (cost sint) + e t ( sint cost) e t sint y h(t) e t cost h (t) e t cost e t sint e t (cost sint) h (t) e t (cost sint) + e t ( sint cost) e t sint y h (t) g (t) et (cost sint) e t (cost sint) ve y d y h (t)g (t) h (t)g (t) et sinte t (cost sint) e t (cost sint)( e t sint) [g (t)] 3 [e t (cost sint)] 3 e t sint(cost sint)+e t sint(cost sint) e 3t (cost sint) 3 0 e 3t (cost sint) 3 0 bulunur. Şimdi y (x + y) (xy y) eşitliğinin doğruluğunu gösterelim. y (x + y) 0(e t cost + e t cost) 0.(i) (xy y) (e t cost. e t cost) 0 (ii) (i) ve (ii) eşitliklerinin sağ tarafları birbirine eşit olduğundan sol tarafları da eşit olmak zorundadır. Bu sebeple y (x + y) (xy y) eşitliği doğrudur. KAPALI FONKSİYONUN TÜREVİ Tanım:5 x ile y değişkenleri arasındaki bağıntı F(x, y) 0 şeklinde verilmişse, bu F(x, y) fonksiyonuna kapalı olarak verilmiş bir fonksiyon veya kısaca Kapalı Fonksiyon denir. Kapalı formda verilen bir fonksiyonun x e göre (birinci mertebeden) türevini bulmak için önce F(x, y) 0 eşitliğinde her iki tarafın x e göre türevi alınır ve sonra da y df(x,y) (8)

3 hesaplanır. Sol tarafın x e göre türevini alırken y y(x) formunda olduğuna dikkat edilmelidir. Genel olarak, F(x, y) 0 için birinci mertebeden türev; y df(x,y) df(x,y) (9) eşitliği ile bulunur. Bu eşitlikte bir değişkene göre türev alınırken diğer değişken sabit gibi düşünülür. Örnek:8 Kapalı formda verilen aşağıdaki fonksiyonların istenilen türevlerini bulunuz? a) F(x, y) y 5 + x 5 x 3 y 3 3 0? b) x y a b y?, y d y? c) x 3 x y + y x + 3y 0 ve y() olduğunda y ()? Çözüm a) I. Yol: F(x, y) 0 eşitliğinde her iki tarafın x e göre türevini alarak bulma F(x, y) y 5 + x 5 x 3 y df(x,y) d (0) d (y5 + x 5 x 3 y 3 3) 0 5y 4 + 5x4 (3x y 3 + x 3 3y ) 0 (5y4 6x 3 y ) 5x4 + 6x y 3 5x4 6x y 3 olarak bulunur. 5y 4 6x 3 y I. Yol: Eşitlik (9) u kullanma y df(x,y) df(x,y) 5x4 6x y 3 olarak bulunur. 5y 4 6x 3 y b) ) x y a b F(x, y) x y a b x yy 0 yy x a b b a y b x bulunur. a y 0 df(x,y) y d y d () d x (b ) b d a y a (x) b y a (y xy y d (x a y b ) d (0) ) b b x a (y x a y ) y ay bx b ( a y a y b4 a y ) b 3 () b4 a y y b x a (a a y 3 3 olarak bulunur. ) b b y ( a [a b x a ) a y 3 c) F(x, y) x 3 x y + y x + 3y 0 ] b4 a y 3 (x a y b )

4 df(x,y) d (x3 x y + y x + 3y ) d (0) 3x 4xy x y + 4yy + 3y 0.(*) y() (yani x iken y ) olduğundan, bu değerler (*) eşitliğinde yerlerine yazılırsa 3 4 y () + 4y () + 3y () 0 5y () 3 y () 3/5 dir. Şimdi (*) eşitliğinin her iki tarafının tekrar x e göre türevini alalım: d (3x 4xy x y + 4yy + 3y ) d (0) 6x 4y 4xy 4xy x y + 4y y + 4yy + 3y 0 Bu eşitlikte x iken y() ve y () 3/5 değerleri yerlerine yazılırsa: y () y () + 3y () 0 5y () y () 34 5 y () 34 5 olarak elde edilir. UYGULAMA I I. Aşağıdaki fonksiyonların diferansiyellerini bulunuz. y tan (3x ). y xtan (3x) 3. y sin (x π ) 4. y ( +sinx sinx )3 5. y x y x 3 7.y arccosx 8. y 3x 4 + 5x + 9. y e 3x +x 5 0. y log 3 (x + a + x ). y log 3x 5x +. y ln ( ex + e x ++ ) 3. y ln (tan ( x+ 4 )) 4. y c + c arcsinx fonksiyonunun ( x )y xy eşitliğini sağladığını gösteriniz? Burada c ve c birer sabittir. II. Aşağıda verilen fonksiyonlar için istenilen mertebeden türevleri ve diferansiyelleri bulunuz?. a > 0, a için y a αx y (n)? ve d n y?. y cosx y (n)? ve d n y? 3. y sin(x)cos(x) y (n)? ve d n y? 4. y x sin(5x) y (5)? ve d 5 y? 5. y sin(ax)cos(bx) y (n)? ve d n y? 6. y ln x, n 3 7. y (x + 3) 7/, n 3 8. y sinh x, n 4 9. y (x + 3x + )cosx, n 6 0. y x log x, n 0. y x e x, n 3 III. Aşağıda verilen parametrik ifadeli fonksiyonların istenen türevlerini bulunuz? x g(t) αsint sin(αt). { y h(t) αcost + cos(αt) için?

5 x g(t) ln(cott). { y h(t) tant + cott için y? 3. { x g(t) acos3 t y h(t) asin 3 t için y? IV. Aşağıda kapalı formda verilen fonksiyonların istenilen türevlerini bulunuz?. a x + a xy + a y + a 3 x + a 3 y + a 33 0 için y?. lnx + e (y/x) 0 için? 3. xsiny + ysinx 0 için y? 4. arctany y + x 0 için d y? 5. (a + bx)e (y/x) x iken x 3 d y (x y) olduğunu gösteriniz? ÇÖZÜMLER I.. y tan (3x ) y tan(3x ) 3 6tan(3x ) cos (3x ) cos (3x ) bulunur. I.. y xtan (3x) y [tan (3x) + x. tan(3x). ] cos (3x) [tan (3x) + 6xtan(3x) cos (3x) ] bulunur. I.3. y sin (x π ) y sin (x π ) cos (x π ). 4 [sin(x) cos ( π ) cos(x) sin ( π )] [cos(x)cos (π) + sin(x)sin (π )] 4[ cos(x)sin(x)] 4sin(x)cos(x) sin(4x) bulunur. I.4. 3 ( +sinx y ( +sinx sinx )3 y 3 ( +sinx sinx ) [ cosx( sinx) (+sinx)( cosx) ( sinx) ] sinx ) [cosx cosxsinx+cosx+cosxsinx] ( sinx) I.5. y x y 5x 4 I.6. y x 3 y 3x x 6 3 x 4 I.7. y arccosx y x 6cosx(+sinx) bulunur. ( sinx) 4 I.8. y 3x 4 + 5x + y x3 +0x 3x 4 +5x + 3 6x3 +5x 3x 4 +5x +

6 I.9. y e 3x +x 5 y (6x + )e 3x +x 5 I.0. y log 3 (x + a + x ) y.(*) u x + a + x dersek y log 3 u olur. Buna göre verilen fonksiyonun türevi y u log u 3e y + x a +x log (x+ a x+ a +x 3e +x ) log a +x (x+ a +x ) 3e log 3e olur, bu değer (*) eşitliğinde a +x yerine konursa log 3e bulunur. a +x I.. y log 3x 5x + y.(*) Önce verilen fonksiyonun süreklilik bölgesini bulalım. Fonksiyon 3x 5x + 0 denklemini sağlayan noktalar hariç, her yerde tanımlı ve süreklidir. Denklemin kökleri x /3 ve x olup, işaret tablosu aşağıdaki gibidir. x /3 + 3x 5x D(y) (, /3) ( 3 tanımı gereğince, ) (, + ) olup, x D(y) için mutlak değe fonksiyonunun y log 3x 5x + { log (3x 5x + ), x (, /3) (, + ) log [ (3x 5x + )], x ( 3, ) şeklinde yazılabilir. Böylece verilen fonksiyonun türevi; y 6x 5 3x 5x+ log e olacağından diferansiyeli (*) eşitliği gereğince 6x 5 (log 3x 5x+ e) (log e)(6x 5) olarak elde edilir. 3x 5x+ I.. y ln ( ex + e x ++ ) y.(*) Önce fonksiyonun türevini bulalım. y ln ( ex + e x ++ ) ln( ex + ) ln( e x + + ) yazılabileceğinden, türev; y e x e x + e x + ex e x + e x ++ ex e x ++e x e x e x ++e x e x +(e x + ) yerine yazılırsa fonksiyonun diferansiyeli; elde edilir. e x + e x e x +( e x + ) ex e x e x + e x + e x e x +( e x ++) olarak bulunur. Bu sonuç (*) eşitliğinde

7 I.3. y ln (tan ( x+ 4 )) y.(*) Önce fonksiyonun türevini zincir kuralı ile bulalım. u x+ 4 v tanu} y y x y v. v u. u x.. v cos u tan( x+ y lnv y sin(x+ 4 )cos ( x+ 4 ) cos( x+ 4 ) olup, bu sonuç (*) eşitliğinde yerine yazılırsa; cosec ( x+ ) olarak elde edilir. sin( x+ 4 )cos(x+ 4 ) sin(( x+ 4 )) sin( x+ x x ) ( x ) 4 )cos ( x+ 4 ) ) ) cosec (x+ I.4. y c + c arcsinx y c x y olur. Bulunan bu ( x ) x sonuçları ( x )y xy denkleminde kullanalım. Denklemin sol tarafı; ( x )y ( x ) iken sağ tarafı c x c x ( x ) x x xy x c c x..(ii) x x c (. (i) olarak bulunur. (i) ve (ii) eşitliklerinin sağ tarafları birbirine eşit olduğundan sol tarafları da eşit olmak zorundadır. Bu sebeple verilen fonksiyon için ( x )y xy eşitliği doğrudur. II.. a > 0, a için y a αx y αa αx lna y α a αx ln a,, y (n) α n a αx ln n a iken, d n y y (n) n α n a αx (ln n a) n olur. Özel olarak a e alınırsa; y e αx y (n) α n e αx ve d n y α n e αx n olur. Ayrıca burada α seçilirse y e x olup, y (n) e x ve d n y e x n olur. II.. y cosx y sinx cos (x + π ) y cosx cos (x + π ) y sinx cos (x + 3 π ) y(n) cos (x + n π ) bulunur. Buna göre dn y y (n) n cos (x + n π ) n olur. II.3. y sin(x)cos(x) Önce verilen fonksiyonu sadece ya sinüs cinsinden ya da sadece cosinüs cinsinden ifade edelim. sin(x) sinxcosx olduğundan verilen fonksiyon; y sin(x)cos(x) sin (x) olarak yazılabilir. Buna göre; c x

8 y [sin(x)] [sin (x + π ] y [4sin (x + π ] y [8sin (x + 3π ] y (n) [n sin (x + nπ ] olarak bulunur. Buna göre dn y y (n) n [n sin (x + nπ ] n olur. II.4. y x sin(5x) y (5)? ve d 5 y? u x ve v sin(5x) dersek, verilen fonksiyon y u. v şeklindedir. Bu durumda bu fonksiyonun istenen mertebeden türev ve diferansiyelinin hesaplanmasında Leibniz formülü kullanılabilir. n 5 olduğundan u ve v nin 5-nci mertebeye kadar bütün türevlerini bulalım. u x, u x, u, u u (4) u (5) 0 v sin(5x), v 5cos (5x), v 5sin (5x), v 5cos (5x), v (4) 65sin (5x), v (5) 35cos (5x) Leibniz formülüne göre; y (n) (uv) (n) n ( n k0 k ) u(n k) v (k) olup, n 5 için y (5) 5 ( 5 k0 k ) u(5 k) v (k) ( 5 3 ) u v + ( 5 4 ) u v (4) + ( 5 5 ) u(0) v (5) 0.( 5 cos(5x)) + 5(x)(65 sin(5x)) + x (35 cos(5x)) 650x sin(5x) + (35x 500)cos (5x) ve d 5 y y (5) 5 [650x sin(5x) + (35x 500)cos (5x) ] 5 olarak elde edilir. II.5. y sin(ax)cos(bx) y (n)? ve d n y? Önce verilen fonksiyonu sadece ya sinüs cinsinden ya da sadece cosinüs cinsinden ifade edelim. sin(a + b) x sin(ax) cos(bx) + sin(bx) cos(ax) sin(a b) x sin(ax) cos(bx) sin(bx) cos (ax) Taraf tarafa toplayalım sin(a + b) x + sin(a b) x sin(ax) cos(bx) buna göre verilen fonksiyon y sin(ax)cos(bx) [sin(a + b) x + sin(a b) x] şeklinde yazılabilir. y {[sin(a + b) x] + [sin(a b) x] } {(a + b)sin [(a + b)x + π ] + (a b)sin [(a b)x + π ]} y {(a + b) sin [(a + b)x + π ] + (a b) sin [(a b)x + π ]}... y (n) {(a + b)n sin [(a + b)x + nπ ] + (a b)n sin [(a b)x + nπ ]}

9 ve d n y y (n) n {(a + b)n sin [(a + b)x + nπ ] + (a b)n sin [(a b)x + nπ ]} n olarak elde edilir. II.6. y ln x, n 3 y.. lnx(lnx) lnx x y x. x lnx lnx x x y böylece d 3 y y 3 3+lnx 3 bulunur. x 3 II.7. y (x + 3) 7/, n 3 y 7 (x + 3)5/. 7(x + 3) 5/ y 35 x. x ( lnx)x x 4 (x + 3)3/. 35(x + 3) 3/ 3+lnx x 3 ve y 05 x + 3. () 05 x + 3 olup, d3 y y 3 05 x bulunur. II.8. y sinh x, n 4 y sinhxcoshx sinh(x) y cosh (x) y 4sinh (x) y (4) 8cosh (x) olup, d 4 y y (4) 4 8(cosh x + sinh x) 4 bulunur. II.9. y (x + 3x + )cosx, n 6 u x + 3x + ve v cosx dersek, verilen fonksiyon y u. v şeklindedir. Leibniz formülüne göre n Z + için; y (n) n ( n k0 k ) u(n k) v (k) olup, n 6 için y (6) 6 ( 6 k0 k ) u(6 k) v (k) olur. u x + 3x +, u x + 3, u, u u (4) u (5) u (6) 0 v cosx, v sinx, v cosx, v sinx, v (4) cosx, v (5) sinx, v (6) cosx Bu değerler Leibniz formülünde yerlerine yazılırsa y (6) 0 + ( 6 4 ) u v (4) + ( 6 5 ) u v (5) + ( 6 6 ) u(0) v (6) 5.cosx + 6. (x + 3)( sinx) + (x + 3x + )( cosx) 6(x + 3)sinx (x + 3x 9)(cosx) bulunur. Buna göre d 6 y y (6) 6 [ 6(x + 3)sinx (x + 3x 9)(cosx)] 6 elde edilir. II.0. y x log x, n 0 u x ve v log x dersek, verilen fonksiyon y u. v şeklindedir. Leibniz formülüne göre n Z + için; y (n) n ( n k0 k ) u(n k) v (k) olup, n 0 için y (0) 0 ( 0 k0 k ) u(0 k) v (k) olur.

10 u x, u, u u (0) 0 v log x, v x log e x(ln), v! (ln)x, v! (ln)x 3, v(4) 3! (ln)x 4, v(5) 4! (ln)x 5 v (6) 5! (ln)x 6, v(7) 6! (ln)x 7, v(8) 7! (ln)x 8, v(9) 8! (ln)x 9, v(0) 9! (ln)x 0 Bu değerler Leibniz formülünde yerlerine yazılırsa y (0) ( 0 9 ) u v (9) + ( 0 0 ) u(0) v (0) 0.. bulunur. Buna göre d 0 y y (0) (ln)x 9 0 elde edilir. II.. y x e x, n 3 8! (ln)x 9 +. x. ( 9!) 4030 (ln)x0 (ln)x 9 u x ve v e x dersek, verilen fonksiyon y u. v şeklindedir. Leibniz formülüne göre n Z + için; y (n) n ( n k0 k ) u(n k) v (k) olup, n 3 için y 3 ( 3 k0 k ) u(3 k) v (k) olur. u x, u x, u, u 0; v e x, v e x, v e x, v e x Bu değerler Leibniz formülünde yerlerine yazılırsa y 0 + ( 3 ) u v + ( 3 ) u v + ( 3 3 ) u(0) v 3.( e x ) + 3(x)e x +. x ( e x ) ( x + 6x 6)e x bulunur. Buna göre d 3 y y 3 ( x + 6x 6)e x 3 elde edilir. x g(t) αsint sin(αt) III. { y h(t) αcost + cos(αt), h (t) (*) g (t) g (t) αcost αcos(αt) α(cost cos(αt)) h (t) αsint αsin(αt) α(sint + sin(αt)), bu sonuçlar (*) eşitliğinde yerlerine yazılırsa; α(sint+sin(αt)) (sint+sin(αt)) sin( α+ )tcos(α α(cost cos(αt)) (cost cos(αt)) bulunur. x g(t) ln(cott) III.. { y h(t) tant + cott, y h (t) )t sin( α+ )tsin(α g (t) (*) g (t) sin t sint cott sin t cost sintcost )t cos( α )t sin( α cot (α ) t )t

11 h (t) sin t cos t cos t cos t sin t sin tcos t sin tcos t y cos t sin tcos t sintcost ( ) cos t cos t cos(t) cot(t) bulunur. sintcost sin(t) sin(t) III.3. { x g(t) acos3 t y h(t) asin 3 t için y d y h (t)g (t) h (t)g (t) [g (t)] 3 (*) g (t) 3acos t( sint) 3acos tsint g (t) 3a[cost( sint)sint + cos tcost] 3a[cos 3 t costsin t] 3acost(cos t sin t) h (t) 3asin tcost h (t) 3a[sintcostcost + sin ( sint)] 3a[sintcos t sin 3 t] 3asint(cos t sin t), bu sonuçlar (*) eşitliğinde yerlerine yazılırsa; y 3asint(cos t sin t)[ 3acos tsint] 3asin tcost[ 3acost(cos t sin t)] [ 3acos tsint] 3 9a cos tsin t(cos t sin t)+9a cos tsin t(cos t sin t) 7a 3 cos 6 tsin 3 t 9a cos tsin t[cos t sin t cos t+sin t] 7a 3 cos 6 tsin 3 t cos t+sin t 3acos 4 tsint 3acos 4 tsint bulunur. IV.. F(x, y) a x + a xy + a y + a 3 x + a 3 y + a 33 0 için y? Verilen fonksiyon kapalı formda olduğundan birinci mertebeden türevi; y df(x,y) df(x,y) a x+a y+a 3 a x+a y+a 3 a x+a y+a 3 a x+a y+a 3 olur. IV.. F(x, y) lnx + e (y/x) 0 için?.yol Verilen fonksiyon kapalı formda olduğundan birinci mertebeden türevi; df(x,y) df(x,y) x + y x e (y x ) x e (y x ) + y x e (y x ) e (y x ) y x + ey x bulunur..yol d F(x, y) d (lnx + e (y/x) ) d (0) x y x (y x ) e (y/x) 0 y y x x e ( x ) + y e (y x x ) 0 e (y x ) y y e (y x x ) + x y y + x ey x bulunur. IV.3. F(x, y) xsiny + ysinx 0 için y? d x F(x, y) d (xsiny + ysinx) d (0) siny + x. y cosy + y sinx + ycosx 0 (xcosy + sinx)y (ycosx + siny) y ycosx+siny xcosy+sinx bulunur. IV.4. F(x, y) arctany y + x 0 için d y?

12 d F(x, y) d (arctany y + x) d (0) y +y y + 0 ( ) +y y y +y y y +y y iken, d y d () d (+y) yy y yy (+y ) yy (y y ) y +y y y y 4 y 4 y 3 (+y ) y 5 bulunur. y 3 IV.5. (a + bx)e (y/x) x iken x 3 d y (x y) eşitliğinin sağlandığını gösterelim. (a + bx)e (y/x) x iken F(x, y) (a + bx)e (y/x) x 0 yazılabilir. Buradan d F(x, y) d [(a + bx)e(y/x) x] d (0) be(y/x) + y x y x (a + bx)e (y/x) 0 be (y/x) + y x y x 0 be (y/x) + y y 0 x x y + y x be(y/x) ve d y y x y x b y x y e (y x x ) ( y y x x ) ( e(y x ) ) ( + y x be(y/x) x y x ) ( e(y x ) ) ( + y b x x x e(y/x) y x ) ( e(y x ) ) ( b x x e(y/x) ) ( e (y x ) ) ( x be(y x ) ) x 3 d y x3 ( x be(y x ) ) x ( be (y x ) ) (i) (x y) (x ( + y x be(y/x) ) y) (x + y bxe ( y x ) y) x ( be (y x ) ).(ii) (i) ve (ii) eşitliklerinin sağ tarafları birbirine eşit olduğundan sol taraflarda eşit olmak zorundadır. Böylece verilen fonksiyonun x 3 d y (x y) eşitliğini sağladığı gösterilmiş oldu. DİFERANSİYEL HESABIN TEMEL TEOREMLERİ Kapalı bir aralıkta sürekli ve türevlenebilir fonksiyonlarla ilgili bazı özellikleri ihtiva eden temel teoremler ispatsız olarak verilecektir. Teorem: (Rolle Teoremi) Bir [a, b] aralığında sürekli, (a, b) aralığında diferansiyellenebilir ve aralığın uç noktalarında aynı değerleri alan (yani f(a) f(b) olan) bir y f(x) fonksiyonu için öyle bir c (a, b) noktası vardır ki, bu noktada f (c) 0 dır.

13 c y Şekil: Şekil: c Teoremin şartlarını sağlayan fonksiyonlar için f (c) 0 şartını sağlayan c (a, b) noktası bir tek olabileceği gibi (Şekil:) birden fazla da olabilir (Şekil:). Teorem: (Ortalama Değer (Lagrange) Teoremi) Bir [a, b] aralığında sürekli ve (a, b) aralığında diferansiyellenebilen y f(x) fonksiyonu için öyle bir c (a, b) noktası vardır ki, bu noktada; f(b) f(a) b a eşitliği sağlanır. f (c) (0) Şekil:3 C C B Teoremin şartlarını sağlayan f(x) fonksiyonu için c (a, b) noktası, (c, f(c)) noktasında fonksiyon eğrisine çizilen teğetin eğimi olan f (c), eğrinin uçlarını birleştiren [AB] doğrusunun eğimi olan f(b) f(a) değerine b a eşit olacak şekilde vardır. Yani c noktasında eğriye teğet olan doğru, [AB] doğrusuna paraleldir. (a, b) aralığı içerisinde söz konusu c noktası birden fazla olabilir. Teorem:3 (Genelleştirilmiş Ortalama Değer (Cauchy) Teoremi) Bir [a, b] aralığında sürekli ve (a, b) aralığında diferansiyellenebilen f(x) ve g(x), (g (x) 0, x (a, b)) fonksiyonları için öyle bir c (a, b) noktası vardır ki, bu noktada;

14 f(b) f(a) f (c) g(b) g(a) g (c) () eşitliği sağlanır. Örnek:9 f: [, 6] IR fonksiyonu f(x) x 4x + şeklinde veriliyor. [, 6] aralığında bu fonksiyona Rolle teoreminin uygulanıp uygulanamadığını gösteriniz? Uygulanabilirse bu teoremi sağlayan c noktasını/noktalarını bulunuz? Çözüm (i) f(x) x 4x + fonksiyonu [, 6] kapalı aralığında her noktada tanımlı ve süreklidir. Çünkü x 0 (, 6) için lim f(x) f(x 0 ) x 0 4x 0 + (yani fonksiyon x x0 açık aralığın her noktasında sürekli) iken a için lim f(x) f( ) 4 (yani a x + uç noktasında sağdan sürekli) ve b 6 için lim f(x) f(6) 4 (yani b 6 x 6 noktasında soldan sürekli) olacaktır. (ii) f(x) x 4x + fonksiyonu (, 6) aralığında türevlenebilirdir ve bu türev f (x) x 4 dür. Bu türev fonksiyonu x (, 6) için tanımlıdır. (iii) f(a) f( ) ( ) 4( ) + 4 ve f(b) f(6) 6 4(6) + 4 olup uç noktalar için f(a) f(b) dir. (i), (ii) ve (iii) şartlarının sağlanması gereğince verilen fonksiyona Rolle teoremi uygulanabilir. Şimdi f (c) 0 denklemini sağlayan c noktasını/noktalarını bulalım. f (x) x 4 olduğundan f (c) c 4 0 c (, 6) olup bir tane vardır. Örnek:0 f(x) 4x 3 fonksiyonuna x 3 aralığında ortalama değer (Lagrange) teoreminin uygulanıp uygulanamadığını gösteriniz? Uygulanabilirse bu teoremi sağlayan c noktasını/noktalarını bulunuz? Çözüm (i) f(x) 4x 3 fonksiyonunun tanım kümesi; 4x 3 0 x 3 4 olduğundan D(f) [ 3, + ) dur. Ayrıca [, 3] D(f) olduğundan fonksiyon [, 3]aralığında da tanımlı 4 ve süreklidir. (ii) Verilen fonksiyon (, 3) aralığında türevlenebilir olup, türevi f (x) 4 4x 3 4x 3 dür. (i) ve (ii) şartlarının sağlanması gereğince verilen fonksiyona ortalama değer teoremi uygulanabilir. Şimdi f(b) f(a) b a f (c) denklemini sağlayan c noktasını/noktalarını bulalım. a ve b 3 için f(b) f(a) b a f(3) f() 3 f (c) 4 c } 4 c 3 4 c 3 4 c 7 (, 3) olarak bulunur. 4 4 c 3

15 Örnek: f(x) x + ve g(x) x 3 fonksiyonlarına [, ] kapalı aralığında Cauchy teoreminin uygulanıp uygulanamadığını gösteriniz? Uygulanabilirse bu teoremi sağlayan c noktasını/noktalarını bulunuz? Çözüm (i) Her iki fonksiyon için tanım kümeleri sırasıyla D(f) IR ve D(g) IR olup, [, ] IR olduğundan, bu fonksiyonlar [, ]aralığında süreklidirler. (ii) Her iki fonksiyon da (, ) aralığında türevlenebilirdir. Türevleri sırasıyla f (x) x ve g (x) 3x dir. Bu türevleri (, ) aralığında tanımsız yapan hiçbir nokta yoktur. (i) ve (ii) şartlarının sağlanması gereğince verilen fonksiyonlara Cauchy teoremi uygulanabilir. Şimdi f(b) f(a) g(b) g(a) f (c) g (c) denklemini sağlayan c noktasını/noktalarını bulalım. a ve b için f(b) f(a) g(b) g(a) f() f() g() g() 6 3 f (c) c g (c) 3c } c 3c 3 7 c(9c 4) 0 c 0 (, ) veya c 4 (, ) bulunur. 9 9c 4c 0