Yapı Sistemlerinin Sürekli ve Ayrık Tasarım Değişkenleri ile Güvenilirliğe Dayalı Optimizasyonu *

Transkript

1 İMO Teknik Deri, , Yazı 335 Yapı Sistemlerinin Sürekli ve Ayrık Tasarım Değişkenleri ile Güvenilirliğe Dayalı Optimizasyonu * Vedat TOĞAN* Ayşe DALOĞLU** Halil KARADENİZ*** ÖZ Yapı sistemlerinin, belirli koşullar altında minimum ağırlıklarını bulmaya yönelik eleneksel olarak erçekleştirilen optimizasyonlarında kullanılan verilerde (parametrelerde) olabilecek rasele değişimler dikkate alınmamaktadır. Oysaki yük değerleri, dayanım değerleri, eometrik değerler vb. ibi verilerin belirlenme, yapı elemanlarının üretim, işçilik vb. ibi süreçlerinde kaçınılmaz olarak rastelelikler vardır. Verilerdeki raseleliklerin optimizasyon sürecinde dikkate alınması üvenilirliğe dayalı optimizasyon tekniğini ortaya çıkarmaktadır. Bu çalışmada, optimizasyon sürecinde dikkate alınan verilerde olabilecek rastelelikler dikkate alınarak, istenilen amacın minimum değerini elde etmeye yönelik bir işlemler dizisi sunulmaktadır. Optimizasyonun tasarım değişkenleri için sürekli ve ayrık kabulleri yapılmaktadır. Sonuç olarak sistemlerin minimum ağırlıklı olacak biçimde boyutlandırılmalarında, verileri optimizasyon sürecine rastele olarak katmak hem ulaşılan sonucu etkilemekte hem de üvenilirlik düzeyini istenilen seviyeye etirmektedir. Anahtar Kelimeler: Güvenilirlik analizi, optimizasyon, üvenilirliğe dayalı optimizasyon ABSTRACT Reliability-Based Desin Optimization of Structural Systems with Continuous and Discrete Desin Variables The random variations in the parameters used in the traditional optimization techniques to perform the optimum desin of the structural systems satisfyin predefined criteria are not taken into account. Yet, the randomness in the determination of the loads, material strenth, eometry of the structure, manufacturin of the members, and workmanship etc. are inevitable in the real life. Optimization performed with random parameters results in Not: Bu yazı - Yayın Kurulu na ünü ulaşmıştır Eylül 010 ününe kadar tartışmaya açıktır. * Karadeniz Teknik Üniversitesi, İnşaat Mühendisliği Bölümü, Trabzon - toan@ktu.edu.tr ** Karadeniz Teknik Üniversitesi, İnşaat Mühendisliği Bölümü, Trabzon - aysed@ktu.edu.tr *** Delft University of Technoloy, Faculty of Civil Enineerin and Geosciences, Netherlands - h.karadeniz@tudelft.nl

2 Yapı Sistemlerinin Sürekli ve Ayrık Tasarım Değişkenleri ile the reliability based desin optimization concept. In this study, an interated alorithm is proposed considerin the parameters as bein random to find the minimum value of a specified object function. The continuous and discrete desin variables are considered in the optimization process. It is concluded that takin the parameters as bein random in the optimization process affects the solutions and it meets the specified reliability level. Keywords: Reliability analysis, optimization, reliability based desin optimization 1. GİRİŞ Yapı mühendisleri, tasarımı uyulanabilir kılacak bir takım koşullar altında, dönüsel olan analiz ve değerlendirme safhaları sonucunda ortaya çıkan tasarım çözümleri arasından birini seçme durumundadırlar. Ancak bu seçimin, malzeme, eometri ve taşıyıcı sistem bakımından en uyun olması isteği ihtiyaca cevap vermeyi zorlaştırmaktadır. Bu amaçla değerlendirme işlemi için bilisayarlarda çalıştırılan dönüsel işlemler dizisi yazılmıştır. Bu işlemler dizisinde, dikkate alınan yük değerleri, malzeme dayanım değerleri, eometri ve kullanılan elemanların en kesit alanları değerleri ibi verilerdeki(parametrelerdeki) oluşabilecek değişimler dikkate alınmamaktadır. Oysaki erek bu verilerin belirlenme, erek malzemelerin üretim, erekse de yapım sürecinde kaçınılmaz rastelelikler bulunmaktadır. Dolayısı ile bu rastelelikler veriler urubunun belirli değerlerle temsil edilmesini üçleştirmektedir. Yapılan çalışmalar östermektedir ki, eleneksel olarak yapıla elen optimizasyon işlemlerinde bu verilerin rastele olarak dikkate alınması, standartlarda katsayılarla belirlenmeye çalışılan üvenilirlik düzeyini etkilemektedir. Bu yolla elde edilen sonuçlar enellikle istenilen üvenilirlik düzeyini sağlamamaktadır ve verilerdeki rastelelikler de ulaşılan sonuçları etkilemektedir[1-3]. Optimizasyon sürecinde dikkate alınan verilerin rastele olarak kabul edilmesi üvenilirliğe dayalı optimizasyon [4-7] tekniğini ortaya çıkarmaktadır. Adından da anlaşılabileceği ibi üvenilirliğe dayalı optimizasyon, rastele değişkenlere bağlı koşullar altında istenilen amacın minimum değerinin elde edilmesidir. Dolayısı ile eleneksel optimizasyona öre, üvenilirliğe dayalı optimizasyon (GDO) da, üvenilirlik analizi [8-10] yöntemlerinden birinin rastele değişkenlere bağlı koşulların değerlendirilmesini yapmak üzere optimizasyon işlem dizisine eklenmesini erektirmektedir. Bu ekleniş, yine eleneksel optimizasyondan farklı olarak GDO un iki farklı çözüm uzayında çalışmasını erektirmektedir. Verilerin belirli bir değer ile ifade edildiği ilk uzayda, optimizasyon, rastele değişkenlerle işlem örülen ikinci uzayda ise üvenilirlik analizi erçekleştirilmektedir. Güvenilirlik analizi, neatif değeri başarısızlığı temsil eden bir sınır (limit) durum fonksiyonu üzerinden ilili yöntemler aracılığı ile erçekleştirilmektedir. İki çözüm uzayındaki veri alışverişi değişken değerlerinin bir uzaydan diğer uzaya dönüştürülmesiyle sağlanmaktadır[8-10]. Bu çalışmada, optimizasyon sürecinde verilerin rastele olarak dikkate alınmasıyla, istenilen amacın minimum değerini elde etmeye yönelik bir işlemler dizisi sunulmaktadır. Bu maksatla, bu işlemler dizisindeki her bir bileşen tanımlanmaktadır. Oluşturulan işlem dizisi rubunun işlerliği sayısal örnekler aracılığıyla incelenmektedir. 5136

3 Vedat TOĞAN, Ayşe DALOĞLU, Halil KARADENİZ. OPTİMİZASYON MODELLERİ.1 Geleneksel Optimizasyon Modeli Herhani bir mühendislik sisteminin optimizasyonuna ait matematiksel formülasyonu bağıntı (1) deki ibi verilmektedir. bul d min. veya mak. W( d) (1) burada d istenilen amacın minimum veya maksimum değerini veren parametreler vektörünü ifade etmektedir ve tasarım değişkenleri vektörü olarak adlandırılmaktadır. W(d) ise tasarım değişkenlerine bağımlı olan amaç fonksiyonunu ifade etmektedir. Bu probleme ait çözümün kabul edilebilir olması için bir dizi koşulları sağlaması erekmektedir. Bu koşullar enellikle ülke standartlarında belirtilen erilme, deplasman, doğal frekans vb. ibi değerlerdir. Bu koşulların hepsi sınırlayıcı olarak adlandırılmakta ve bağıntı (a) deki ibi österilmektedir. Öte yandan tasarım değişkenleri içinde, alt ve üst değerleri belirtilmiş değer aralıkları tanımlanabilmektedir, bağıntı (b). İnşaat mühendisliğine ait bir optimizasyon probleminde, enellikle d en kesit alanı, W(d) ise ağırlık veya hacim olarak dikkate alınmaktadırlar. d ( ) 0 (a) d d d (b) a ü Sınırlayıcıların kontrol edilmesi için bir yapısal analiz proramına ihtiyaç duyulmaktadır. Bu optimizasyon probleminde herhani bir parametre veya veride oluşabilecek rastelelik dikkate alınmamaktadır. Bu nedenle bu problem eleneksel veya deterministik optimizasyon problemi olarak adlandırılmaktadır. Yük değerleri, malzeme dayanımları, mühendislik sistemine ait en kesit alanı veya eometri değerleri ibi verilerin optimizasyon sürecinde rastele olarak dikkate alınması üvenilirliğe dayalı optimizasyon (GDO) tekniğini ortaya çıkarmaktadır [1-7].. Güvenilirliğe Dayalı Optimizasyon Modeli Güvenilirliğe dayalı bir optimizasyon (GDO) problemi aşağıdaki ibi ifade edilmektedir. bul d min. W( d) (3) ( d) 0 ( d, X) 0 (3a) d a ü d d d (3b) burada X=[X i ] T (i=1,, n) rastele olarak tanımlanan parametreler vektörünü; d (d) ve (d,x) sırasıyla deterministik ve üvenilirlik sınırlayıcılarını östermektedir. GDO 5137

4 Yapı Sistemlerinin Sürekli ve Ayrık Tasarım Değişkenleri ile problemlerinde optimizasyonun tasarım değişkenleri deterministik veya rastele olarak dikkate alınabilmektedir. GDO da tasarım değişkenlerinin rastele olması durumunda, sayısal ortalama değerleri enellikle optimizasyonun tasarım değişkenleri olmaktadır. Geleneksel optimizasyon problemi erçekte tüm verilerin sayısal ortalama µ değerlerinin bir fonksiyonu olarak ifade edilmektedir. Güvenilirlik sınırlayıcısının varlığı, eleneksel optimizasyondan farklı olarak optimizasyon sürecine üvenilirlik analizi proramının da katılmasını erektirmektedir. Dolayısı ile bir GDO aloritması, tasarım değişkenlerini yenileyen ve en uyununu bulan bir optimizasyon proramı, üvenilirlik sınırlayıcısının kontrol edilmesine aracılık eden üvenilirlik analizi proramı ve son olarak da mühendislik sisteminin sayısal çözümlemesini yapan bir analiz proramı ibi üç farklı bileşeni içermektedir. 3. GÜVENİLİRLİĞE DAYALI OPTİMİZASYONUN BİLEŞENLERİ Üç farklı proramı bünyesinde barındıran bir GDO probleminin çözümü bu proramların etkin ve verimli bir biçimde birbirleriyle etkileşimlerinin sağlanmasını erektirmektedir. Bu etkileşimlerin farklı şekillerde yapılabilmesi mümkündür [11-13]. Bunlardan yuvalanmış veya iki dönülü olarak adlandırılan etkileşim biçimi, en sık rastlanılanıdır. Bu etkileşim biçimi Şekil 1 de österilmektedir. Adından ve Şekil 1 den de anlaşılabileceği ibi ilk önce Başlanıç verileri, µ d0 Optimizasyon proramı Güvenilirlik analizi proramı Yapısal analiz proramı çözüm d opt Şekil 1. Yuvalanmış veya iki dönülü GDO aloritması 5138

5 Vedat TOĞAN, Ayşe DALOĞLU, Halil KARADENİZ optimizasyon proramı tasarım değişkenlerine değer atar. Daha sonra üvenirlilik analizi proramı ilili veriler ile üvenilirlik sınırlayıcısı değerini hesaplar. Yapısal analiz proramı ise hem optimizasyon hem de üvenilirlik analiz proramına ihtiyaç duyulduğu anda ilili analiz sonuçlarını iletir. Böylelikle bu ardışık işlem dizisi yaklaşık sonuç elde edilinceye veya bir sonlandırma koşulu sağlanıncaya kadar devam eder. Bir GDO aloritmasındaki her bir proram için farklı tipte yöntemler kullanabilir. Örneğin, optimizasyon proramı için matematiksel teoriye dayanan bir optimizasyon yöntemi kullanılabileceği ibi doğadaki olayları taklit eden bir optimizasyon yöntemi de tercih edilebilir. Ancak bir GDO probleminin çözümü zaman alıcı olabilir ve çözüm sürecinde de kendisinden kaynaklanan bir takım sayısal zorluklar oluşabilir. Bundan dolayı, çözüme daha az iterasyon adımı diğer bir deyişle daha az ilili fonksiyon değerlendirmesi ile ulaşan yöntemler GDO uyulamalarında tercih edilmektedir. Şekil 1 de sunulan bir GDO aloritması için yeni olan, üvenilirlik sınırlayıcısının değerinin hesaplandığı üvenilirlik analizi proramıdır. Yukarıda da bahsedildiği üzere üvenilirlik analizi, neatif değeri başarısızlığı temsil eden bir sınır (limit) durum fonksiyonu üzerinden ilili yöntemler aracılığı ile erçekleştirilmektedir. 4. GÜVENİLİRLİK SINIRLAYICISI VE GÜVENİLİRLİK ANALİZİ Bir mühendislik sistemindeki belirsizlikler, o sisteme ait ve rastele olarak tanımlanan parametrelerin X=[X i ] T (i=1,, n) değişimleri ile tanımlanır. Rastele değişkenlerin tanımlanması, onların istatistiksel dağılımlarına ait özelliklerinin belirtilmesiyle mümkün olmaktadır. Bağıntı (3a) da verilen ve hem belirli bir değer ile ifade edilen hem de rastele olan değişkenlerin bir fonksiyonu olan üvenilirlik sınırlayıcısı () bir mühendislik problemi için enellikle aşağıdaki ibi tanımlanmaktadır. ( d, X) = R S (4) ü burada R ü, S ile ifade edilen ve yapısal analiz sonucu elde edilen erilme, deplasman, doğal frekans vb. ibi değerler için tanımlanmış olan izin verilen üst değerdir. Bu şekilde tanımlanan bir sınır durum fonksiyonun neatif değeri istenilen performansın sağlanamadığını östermektedir. Bir başka ifadeyle, başarısızlığı tanımlamaktadır. Bu fonksiyonun istatistiksel olarak tanımlanması, yine onun yığışımlı dağılım fonksiyonu F G ( ) ile mümkün olmaktadır[5], bağıntı(5). F ( ) P( 0) P... f ( x) dx... dx = < = = (5) G f X 1 n < 0 burada, P f, P(.) ile ifade edilen olayın olasılık değeridir; f X (x) tüm rastele değişkenlerin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonudur. Güvenilirlik sınırlayıcısının olasılık analizi bağıntı (5) ile verilen ve çoğu zaman alınması oldukça zor olan interal aracığıyla olmaktadır. Bu interal yerine, hesaplanması daha kolay olan ve çoğu zaman uyun yaklaşık sonuçlar veren enelleştirilmiş üvenilirlik indeksi β tanımlanmıştır [8-9], bağıntı (6). 5139

6 Yapı Sistemlerinin Sürekli ve Ayrık Tasarım Değişkenleri ile Pf =Φ( β ) (6) Bağıntı (6) tersine dönüşüm uyulanarak aşağıdaki ibi ifade edilebilmektedir[14]. β = Φ 1 ( ) (7) P f burada Ф(.) standart normal dağılımın yığışımlı dağılım fonksiyonudur. Genelleştirilmiş üvenirlik indeksi β normalleştirilmiş uzayda u, sınır durum fonksiyonu üzerinde (.)=0 orijine minimum mesafe olarak tanımlanmaktadır, Şekil. Dolayısı ile bu minimum mesafeye sahip noktanın bulunması da bağıntı (8) deki ibi verilen bir optimizasyon problemidir. Herhani bir optimizasyon yöntemiyle bu problemin çözümü yapılabilir. Ancak bunun yerine, sınır durum fonksiyonunun Taylor serisine açılımıyla elde edilen yaklaşık sınır durum fonksiyonuna dayanan sayısal yöntemler sıklıkla tercih edilmektedir. Sınır durum fonksiyonunun hani noktada ve kaçıncı dereceden Taylor serisine açılacağı fikri farklı yöntemleri ortaya çıkarmıştır. Bu sayısal yöntemler yerine benzetim (simülasyon) yöntemleri de tercih edilebilir. Detaylı bili için [8 10]. u 1 (u)=0 Normalleştirilmiş uzay Başarısızlık bölesi ( (u)<0) * u 1 * u β 0 * u u bul u min β = ( u u) T öyleki ( u) = 0 1/ Şekil. Genelleştirilmiş üvenilirlik indeksi (8) Bu çalışmada, Birinci Derece Güvenilirlik Yöntemi (BDGY) olarak bilinen üvenilirlik analizi yöntemi kullanılmaktadır. BDGY de, sınır durum fonksiyonu birinci dereceden Taylor serisine açılır. Seriye açılacak nokta ise belirli bir hassasiyet sağlanıncaya kadar devam eden ardışık işlem dizisi aracığıyla belirlenir. Hasofer, Lind-Rackwitz, Fiessler (HL- RF) yöntemi olarak bilinen bu işlem dizisinin adımları şu şekilde sıralanabilir. 5140

7 Vedat TOĞAN, Ayşe DALOĞLU, Halil KARADENİZ 1) u uzayında rastele değişkenlere başlanıç değerlerini ata, u *. Bu değer enellikle sıfır olarak alınmaktadır, u * = 0. ) Bu başlanıç değerleri için sınır durum fonksiyonunun değerini ve türevlerini * * ( u ) hesapla, (u) ve ( u ) =. u u= u ( u ) 3) Doğrultman kosinüslerini hesapla, α =. * ( u ) ( u ) T * 4) Güvenilirlik indeksini hesapla, β = α u burada. vektör * ( u ) uzunluğunu yani vektörün normunu ifade etmektedir. 5) u uzayındaki değerleri yenile, * u * = βα. 6) Yakınsama koşulunu kontrol et, ( ui ui 1) ui ε = burada i işlem(iterasyon) numarasını östermektedir. 7) Eğer yakınsama koşulu sağlandı ise iterasyonu durdur. Aksi halde, ile 7 adımda verilen işlemlere devam et. Yukarıda verilen HL-RF ardışık işlem dizisi bir takım kabuller içermektedir. Öncelikle, tüm işlemler normalleştirilmiş uzayda erçekleştiğinden, normal dağılıma sahip olmayan tüm rastele değişkenler aşağıda verilen dönüşüme [15] tabii tutularak normalleştirilirler. Burada da tüm değişkenlerin bağımlı olmadıkları kabulü vardır. * * * * F ( x) =Φ ( u) (9) X Eğer rastele değişkenler arasında bir bağımlılık söz konusu ise, ilili dönüşümler [15,16] kullanılmak suretiyle rastele değişkenler bağımsız hale etirirler. Diğer bir dönüşümde, rastele değişkenler için üvenilirlik analizinin erçekleştirildiği normalleştirilmiş uzaydan optimizasyon ve analiz proramlarının çalıştığı ve orijinal veya fiziksel uzay olarak adlandırılan uzaya olan dönüşümdür. Bu dönüşüm (9) bağıntısıyla kolayca elde edilir x = F 1 X ( Φ ( u)). Bu şekilde elde edilen üvenirlik indeksi kendisi için tanımlanan bir alt değer ile kıyaslanmaktadır. Dolayısı ile üvenirlik sınırlayıcısı bağıntı (10) daki ibi ifade edilebilmektedir ve bu formülasyon GDO da Güvenilirlik İndeksi Yaklaşımı (GİY) olarak adlandırılmaktadır. Buna ilaveten, üvenilirlik sınırlayıcısının, tersine üvenilirlik analizi yardımıyla değerlendirilmesine dayanan formülasyona GDO da Performans Ölçümü Yaklaşımı (PÖY) denilmektedir. ( µ, X) = β β = β β 0 (10) d min min * 5141

8 Yapı Sistemlerinin Sürekli ve Ayrık Tasarım Değişkenleri ile 4.1. Duyarlılık Analizi Duyarlılık analizi, bir fonksiyonun bağlı olduğu değişkenlere öre olan değişimlerini ifade eder, yani o değişkenin fonksiyonun değişimindeki önem derecesini österir. Duyarlılık analizi hem üvenilirlik analizi hem de matematiksel teoriye dayanan bir optimizasyon yöntemi için önemli bir bileşendir. BDGY için verilen işlem adımlarından da örülebildiği ibi, sınır durum fonksiyonunun rastele değişkenlere öre türevlerinin hesabı erekmektedir. Bu türev bilileri iki biçimde hesaplanabilmektedir. Bunlardan ilkinde ilili türev doğrudan normalleştirilmiş uzayda hesaplanır, ( u) u. İkincisinde ise zincir kuralı uyulanarak, sınır durum fonksiyonun önce orijinal uzayda türevi hesaplanır daha sonra bu türev değeri ilili rastele değişkenin normalleştirilmiş uzaydaki türev değeri ile çarpılır, bağıntı (11). Bu tipteki hesaplama, hem uzaylar arası daha az dönüşüme ihtiyaç duyduğu hem de proramlama açısından kolaylık sağladığından tercih sebebi olmaktadır. Zira, sınır durum fonksiyonu değeri bir yapısal analiz proramı sonucu elde edildiği için, ikinci tipteki türev hesabı herhani bir dönüşüme ihtiyaç duymaksızın doğrudan yapısal analiz proramıyla ilişkilendirilebilir. ( µ d, X) ( µ d, X) x = u x u (11) Bağıntı (11) deki ifadenin ilk bileşeninin hesabı mühendislik problemleri için enellikle bir analiz proramı aracılığıyla olmaktadır. Yapısal analiz proramlarının çoğu ünümüzde sonlu elemanlar yöntemine (SEY) dayanmaktadır. Dolayısı ile bu türev değeri üç farklı biçimde hesaplanabilmektedir; 1) Sonlu farklar yöntemi, ) Doğrudan türev yöntemi, 3)Bitişik yöntem [17, 18]. Her bir yöntemin avantajları dezavantajları bulunmaktadır. Sonlu farklar yöntemi, yapısal analiz proramında herhani bir değişim yapmadan, ilili değişkene küçük bir değer artırımı verilerek analiz proramının tekrar çağrılmasını erektirmektedir. Bu oldukça kullanım kolaylığı sağlamaktadır. Ancak artım değerine öre türev değerinin değişim östermekte ve rastele değişken sayısı artıkça erekli analiz miktarı da artmaktadır. Buna rağmen ileri sonlu farklar yöntemi özellikle paket proramların analiz proramı olarak kullanıldığı durumlarda oldukça avantajlı olmaktadır. Bu çalışmada da ileri sonlu farklar yöntemi kullanılmaktadır. Bağıntı (11) in ikinci bileşeni ise, bağıntı (9) öz önünde tutularak aşağıdaki ibi kolayca hesaplanabilmektedir. x F 1 X ( Φ( u)) φ( u) = = u u f ( x) X (1) burada ø(u) ve f X (x) sırasıyla standart normal dağılımın ve ilili rastele değişkenin istatistiksel dağılımının olasılık yoğunluk fonksiyonudur (oyf). Matematiksel teoriye dayanan bir optimizasyon yöntemi kullanıldığında hem amaç fonksiyonun hem de sınırlayıcıların tasarım değişkenlerine öre türevler bililerine ihtiyaç duyulmaktadır. Bu nedenle eleneksel optimizasyonda bu tip yöntemlere nazaran doğa 514

9 Vedat TOĞAN, Ayşe DALOĞLU, Halil KARADENİZ olaylarından esinlenilerek eliştirilen optimizasyon yöntemleri sıklıkla kullanılmaktadır. Ancak GDO da üvenilirlik analizinin varlığı bu türev bililerinin elde edilmesinde yadsınamaz bir katkı sağlamaktadır. Bu nedenledir ki GDO uyulamalarında matematiksel teoriye dayanan ardışık ikinci dereceden proramlama (SQP) yöntemi tercih sebebi olmaktadır. 4.. Güvenilirlik Sınırlayıcısı için Duyarlılık Analizi Güvenilirlik indeksi yaklaşımı (GİY) kullanılarak bağıntı (10) daki ibi ifade edilen bir üvenilirlik sınırlayıcısının tasarım değişkenlerine öre türevi aşağıdaki ibi ifade edilebilir. ( µ d, X) β β = d d d min (13) β min tasarım değişkenlerinin bir fonksiyonu olmadığı için değeri sıfırdır. β d ise tasarım değişkeninin rastele olarak tanımlanıp tanımlanmamasına öre iki farklı biçimde hesaplanmaktadır. Eğer optimizasyon probleminin tasarım değişkenleri rastele olarak tanımlanmamış ise ilili türev değeri bağıntı (14a), rastele olarak tanımlanmış ise bağıntı (14b) kullanılarak hesaplanmaktadır [19]. Özellikle tasarım değişkenlerinin rastele tanımlandığı durumlarda ilili tüm türev değerleri üvenilirlik analizi sonucunda doğrudan elde edilmektedir. β 1 (.) = d d (14a) * * β 1 * u u = u = α d β d d (14b) Özet olarak birinci dereceden üvenilirlik yöntemine dayanan üvenilirliğe dayalı optimizasyon aloritmasının işlem sırası aşağıdaki ibi olmaktadır. 1) Probleme ait başlanıç değerlerini ir ) Optimizasyon proramı aracılığı ile optimizasyona başla. 3) Güvenilirlik sınırlayıcıları için BDGY kullanarak üvenilirlik indekslerini bul. 4) Amaç fonksiyonu ve sınırlayıcıların değerlerini ve türevlerini hesapla. 5) Sonlandırma koşullarını kontrol et. 6) Koşullar sağlandı ise optimizasyonu sonlandır. Aksi halde tasarım değişkenlerini yenile ve ile 6 adımları tekrarla. 5143

10 Yapı Sistemlerinin Sürekli ve Ayrık Tasarım Değişkenleri ile 5. SAYISAL ÖRNEKLER Yukarıda bileşenleri ile açıklanan GDO aloritması üç farklı sayısal örnek üzerinde test edilmektedir. İlk iki örnek hem sunulan aloritmanın işlemlerinin takip edilebilir hem de kolay anlaşılır olması için teknik literatürden alınmış basit örneklerdir. Son örnek ise diğer örneklerden farklı olarak dala yükleri etkisine maruz üç ayaklı bir deniz platformunun GDO udur. İncelenen yapı sistemleri için çelik malzeme kullanılmaktadır. Bahsedildiği üzere, Bir GDO aloritmasının bileşenleri için farklı yöntemler kullanılabilmektedir. Bu çalışmada, optimizasyon yöntemi için matematiksel teoriye dayanan SQP yöntemi, üvenilirlik analiz için BDGY kullanılmaktadır. İkinci sayısal örnek için matris deplasman yöntemi kullanılarak yazılmış bir analiz proramı, son sayısal örnek için ise SAPOS [0] olarak adlandırılan SEY tabanlı bir analiz proramı kullanılmaktadır. Optimizasyon problemlerinin tasarım değişkenleri için sürekli veya ayrık kabulleri yapılmaktadır. Bu çalışmada da tasarım değişkenleri için hem sürekli hem de ayrık kabulü yapılmaktadır. 5.1 Ankastre mesnetli kiriş Şekil 3 de verilen ankastre mesnetli kiriş Q 1 ve Q yüklerine maruzdur. Kirişin bu yükler ve bağıntı (15) de tanımlanan sırasıyla burkulma, yorulma, deplasman ve erilme üvenilirlik sınırlayıcıları altında minimum ağırlığı verecek en kesit alanına sahip olacak şekilde boyutlandırılması istenmektedir [1, ]. 0.3Eb h ( X) = G 1 1( X) = Q ( ) 3 3 ( ) ( ) ( X) = G ( X) = N A 6 Q L/ bh ( X) = G ( X) = 4Q L Ebh ( X) = G ( X) = 6Q L bh R (15) burada E elastisite modülü, N 0 =.0E+06 çevrim, A yorulma dayanımı katsayısı, 0 =3.81 mm izin verilen deplasman değeri, R 0 akma dayanımı olarak dikkate alınmaktadır. Kirişin boyutları olan b ve h optimizasyonun tasarım değişkenlerini oluşturmaktadır. GDO da rastele olarak dikkate alınan parametreler ve onların istatistiksel dağılımları Tablo 1 de verilmektedir. Sürekli olarak kabul edilen tasarım değişkenlerinin başlanıç değerleri ise d(mm)=[50.8, 50.8] olarak alınmaktadır Güvenilirlik indekslerinin alt sınırı ise β min = 3.0 i = 1, ve β i min =.0 i = 3,4 olarak tanımlanmaktadır. Optimizasyon için SQP i [3] yöntemi kullanılmaktadır. Ankastre mesnetli kirişin GDO u sonucu elde edilen çözümü Tablo de, sonuçların rafiksel österimi ise Şekil 4 de sunulmaktadır. Lee ve diğ.[] optimizasyon için SLP yöntemi kullanarak 7 iterasyon adımı sonunda kirişin GDO sonucunu elde etmişlerdir. Ulaştıkları çözümün d(mm)=[7.17, ] amaç fonksiyonu değeri mm dir. Aynı problemin Thanedar ve Kodiyalam[1] tarafından MFD yöntemi kullanılarak elde edilen çözümü d(mm)=[6.096, 16.38] ve amaç fonksiyonu değeri ise mm dir. Bu çalışmada sunulan GDO aloritması kullanılarak elde 5144

11 Vedat TOĞAN, Ayşe DALOĞLU, Halil KARADENİZ edilen sonuç öz önüne alındığında, sunulan GDO aloritması etkin ve doğru çalışmaktadır. Matematiksel teoriye dayanmalarına rağmen SLP, SQP ve MFD yöntemlerinde farklı kabuller ve yöntemler izlenmektedir. Dolayısı ile ulaşılan sonuçlar aynı yöntem kullanılsa bile farklılıklar österebilmektedir. Q 1, Q Q t h L=76 mm b Q.4 Şekil 3. Ankastre mesnetli kiriş t Sime Tablo 1. Ankastre mesnetli kirişin GDO daki rastele değişkenlerin istatistiksel özellikleri Tanımı İstatistiksel dağılımı Sayısal ortalaması Q 1 Yorulma yükü(kn) Lo-normal 1.779* 0.15 Değişim katsayısı Q Tasarım yükü (kn) Lo-normal.4* 0.15 E Elastisite mödülü (kn/mm ) Normal.0685E A Yorulma dayanımı katsayısı (kn/mm ) Lo-normal E+11* 0.50 R 0 Akma dayınımı (kn/mm ) Weibull *medyan Mühendislik problemlerinde enellikle elemanların en kesit alanı veya boyutları olarak tasarım değişkenleri için ayrık olması kabulü de yapılmaktadır. Tasarım değişkenlerinin sürekli olarak dikkate alınmasıyla elde edilen sonuçlar üstten en yakın ayrık değere tamamlanarak sonuçlar ayrık tasarım değişkenli hale etirilmektedir. Ancak bu şekilde sunulan sonuçlar amaç fonksiyonunun minimum değerini vermeyebilmektedir. Örneğin ankastre mesnetli kirişin GDO u için, b ve h nın sırasıyla.54 mm ve 6.35 mm den başlayarak 1.7 mm artırımla 03.0 mm kadar olan ayrık listelerin kullanılması durumunda Tablo 3 verilen sonuçlar b ve h için sırasıyla 7.6 ve mm olmaktadır. Bu sonuçlar için amaç fonksiyonu ise mm olmaktadır. Bu sonuç yukarıda tanımlanan 5145

12 Yapı Sistemlerinin Sürekli ve Ayrık Tasarım Değişkenleri ile ayrık listenin optimizasyonda kullanılması durumunda ise, ankastre kirişin ayrık tasarım değişkenleri kullanılarak GDO u sonucu elde edilen çözümü, b=7.6 mm h=99.06 mm ve amaç fonksiyonu değeri ise mm olmaktadır. Buradan da örülebildiği ibi bu sonuç, sürekli tasarım değişkenleriyle elde edilen sonucun üsten ayrık listeye çevrilmesiyle elde edilen sonuçtan daha hafiftir. Ankastre mesnetli kirişin tasarım değişkenleri için verilen ayrık listenin kullanılması durumundaki GDO süreci Tablo 3 ve Şekil 5 verilmektedir. Tasarım değişkenlerinin ayrık olması durumunda, bağıntı (15) de verilen İter. Tablo. Ankastre mesnetli kirişin sürekli tasarım değişkenleri ile GDO sonucu Amaç fonk.(mm ) b(mm) h(mm) β 1 β β 3 β 4 * (///) (///) (///) (///) (///) (///) (///) (///) * üvenilirlik analizi için toplam işlem sayısı Amaç fonksiyonu (mm x10) b (mm) h (mm) İterasyon β β 1 β İterasyon β 4 a. Amaç fonksiyonu ve tasarım değişkenlerinin iterasyon adımlarına öre değişimi b. Güvenilirlik indekslerinin iterasyon adımlarına öre değişimi Şekil 4. Ankastre mesnetli kirişin sürekli tasarım değişkenleri ile GDO süreci 5146

13 Vedat TOĞAN, Ayşe DALOĞLU, Halil KARADENİZ üvenilirlik sınırlayıcılarının hiç biri için üvenilirlik indeksleri değerleri tanımlanan minimum üvenilirlik indeksi değerine yakın olmamaktadır. Bu durum tasarım değişkenlerinin ayrık olmasından ileri elmektedir. Ancak yine de GDO problemi tanımlanan minimum üvenilirlik indeksi değerine en yakın üvenilirlik indeksine sahip üvenilirlik sınırlayıcıları altında çözüme ulaşmaktadır. Beklenildiği ibi tasarım değişkenlerinin sürekli olarak dikkate alındığı durumda aktif olan üvenilirlik sınırlayıcıları indeksleri değeri tanımlanan minimum üvenilirlik indeksi değerine yakın olmaktadır. Tablo 3. Ankastre mesnetli kirişin ayrık tasarım değişkenleri ile GDO sonucu İter. Amaç fonk.(mm ) b(mm) h(mm) β 1 β β 3 β Amaç fonksiyonu (mm x10) b (mm) h (mm) İterasyon β β 3 β İterasyon β 4 a. Amaç fonksiyonu ve tasarım değişkenlerinin iterasyon adımlarına öre değişimi b. Güvenilirlik indekslerinin iterasyon adımlarına öre değişimi Şekil 5. Ankastre mesnetli kirişin ayrık tasarım değişkenleri ile GDO süreci 5147

14 Yapı Sistemlerinin Sürekli ve Ayrık Tasarım Değişkenleri ile 5. On çubuklu kafes sistem Şekil 6 da örülen on çubuklu kafes sistemin GDO u [,5,6] tarafından erçekleştirilmiştir. Her bir elemanın en kesit alanı normal dağılıma sahip rastele değişken olarak tanımlanırken, sayısal ortalama değeri ise optimizasyonun tasarım değişkeni olarak dikkate alınmaktadır. Elastisite modülü E ve dış yük P normal dağılıma sahip rastele değişkenlerdir. Elemanların en kesit alanının minimum mm olması istenmektedir. Sınır durum fonksiyonu ise bağıntı (16) deki ibi verilmektedir. Burada U mm cinsinden nolu düğüm noktasının düşey deplasmanını östermektedir L P L=9144 mm L P Şekil 6. On çubuklu kafes sistem X = G X = U (16) ( ) ( ) GDO da rastele olarak dikkate alınan parametrelerin istatistiksel dağılımları Tablo 4 de verilmektedir. Sürekli olarak kabul edilen tasarım değişkenlerinin başlanıç değerleri ise d(mm )=[ , 1763., , , , , , , , ] olarak alınmaktadır Güvenilirlik indeksinin alt sınırı ise β min = 3.09 olarak tanımlanmaktadır. Amaç fonksiyonu olarak sistemin ağırlığı alınmıştır. Tablo 4. On çubuklu kafes sistemin GDO daki rastele değişkenlerinin istatistiksel özellikleri Sime Tanımı İstatistiksel dağılımı Sayısal ortalaması Değişim katsayısı E Elastisite mödülü (kn/mm ) Normal P Dış yük (kn) Normal A i En kesit alanı i=1,,10 (mm ) Normal µ Ai 0.05 µ Ai optimizasyon için tasarım değişkeni 5148

15 Vedat TOĞAN, Ayşe DALOĞLU, Halil KARADENİZ Tablo 5. On çubuklu kafes sistemin sürekli tasarım değişkenleri ile GDO sonucu Tasarım değişkenleri Bu çalışma Lee ve diğ. [4] Pettit ve Grandhi [5] Luo ve Grandhi [6] Geleneksel optimizasyon A 1 (mm ) A A A A belirtilmemiş A A A A A Amaç fonk. (k) β A 1 (mm ) A 8 (mm ) A 9 (mm ) A 3 (mm ) A 4 (mm ) Amaç fonksiyonu (k) A min A 7 (mm ) İterasyon İterasyon β a. Amaç fonksiyonu ve tasarım değişkenlerinin iterasyon adımlarına öre değişimi b. Güvenilirlik indeksinin iterasyon adımlarına öre değişimi Şekil 7. On çubuklu kafes sistemin sürekli tasarım değişkenleri ile GDO süreci Malzeme yoğunluğu olarak.770e-06 k/mm 3 değeri kullanılmaktadır []. Optimizasyon için SQP [3] yöntemi kullanılmaktadır. On çubuklu kafes sistemin GDO sonucu elde 5149

16 Yapı Sistemlerinin Sürekli ve Ayrık Tasarım Değişkenleri ile edilen sonuçlar Tablo 5 de, sonuçların rafiksel österimi ise Şekil 7 de sunulmaktadır. Şekil 7 de minimum en kesit alanına sahip elemanlar, daha açık bir şekil verebilmek için sadece A min olarak ifade edilmiştir. Çalışmada sunulan GDO optimizasyon aloritması kullanılmasıyla elde edilen sonuçlar anılan çalışmalarda elde edilen sonuçlardan daha hafiftir. Öte yandan bahsedildiği üzere, eleneksel optimizasyon ile elde edilen amaç fonksiyonu değeri enellikle GDO ile elde edilenden daha azdır. Sonuç olarak eleneksel optimizasyona öre GDO hem verilerde oluşabilecek değişimleri dikkate alabilmekte hem de istenilen üvenilirlik düzeyinde sonuçlar üretmektedir. Tablo 6. On çubuklu kafes sistemin ayrık tasarım değişkenleri ile GDO sonucu Tasarım değişkenleri Bu Amaç A 1 (mm ) A A 3 A 4 A 5 β çalışma fonk. (k) A 6 A 7 A 8 A 9 A 10 GDO Gel. Opt Ayrık değerler (mm ): , , , , , , , , , , , 38.71, 90.3, , , 503., , 7.58, , 961.8, , , 3303., 3703., , , , , , , , , , , , , , , , A 9 A 8 A 5 A 7 A 3 A 4 A A 10 A 6 Amaç fonksiyonu (k)* İterasyon a. Amaç fonksiyonu ve tasarım değişkenlerinin iterasyon adımlarına öre değişimi A İterasyon b. Güvenilirlik indeksinin iterasyon adımlarına öre değişimi β Şekil 8. On çubuklu kafes sistemin ayrık tasarım değişkenleri ile GDO süreci 5150

17 Vedat TOĞAN, Ayşe DALOĞLU, Halil KARADENİZ Elemanların en kesit alanı olarak dikkate alınan tasarım değişkenlerinin hazır profillerin en kesit alanlarından seçilmesi piyasa koşulları dikkate alındığında daha anlamlı olmaktadır. On çubuklu kafes sistemin GDO, elemanların en kesit alanı için 40 adet ayrık değer kullanılarak aynı koşullar altında tekrarlanmıştır. Ulaşılan çözüm Tablo 6 da verilmektedir. Çözümün GDO sürecindeki değişiminin rafiksel örünümü ise Şekil 8 de sunulmaktadır. Daha açık bir şekil sunmak için Şekil 8 de tasarım değişkenlerinin ayrık sıra numaraları verilmiştir. Tablo 5 ve 6 dan da örülebildiği ibi tasarım değişkenleri için ayrık değerlerin kullanılması, sürekli olması durumundan daha ağır bir çözümün ortaya çıkmasına neden olmaktadır. Buna bağlı olarak üvenilirlik indeksi değeri de tasarım değişkenlerinin sürekli olması durumundan farklı olarak ilili sınır durum fonksiyonu için tanımlanan minimum üvenirlilik indeksi değerinden büyük olabilmektedir. 5.3 Üç ayaklı deniz platformu Kendi ağırlığı, istasyon yükü ve dala yüklerine maruz 3 ayaklı bir deniz platformunun, Şekil 9, üvenilirliğe dayalı optimizasyonu bu çalışmada sunulan GDO aloritmasının denendiği son örnek olarak incelenmektedir. Bu tür mühendislik yapıları denizlerde özlem, araştırma ve petrol, doğal az vb. yeraltı kaynaklarının çıkartıldığı istasyonlar olarak hizmet vermektedirler. İnşa edildikleri yerlerin çevre koşulları dikkate alındığında bu tür yapı sistemlerinin optimizasyonlarında verilerin rastele olarak dikkate alınması kaçınılmaz olmaktadır. Yani eleneksel optimizasyonun aksine bu tür yapıların optimizasyonlarının üvenilirliğe dayalı olarak yapılması daha anlamlı olmaktadır. M ist. 0.0 m 1 D 0.0 m A 3 Aa 3 A-A kesiti t m 3 a a=10.0 m Şekil 9. 3-ayaklı açık deniz platformu Platformun elemanları Şekil 9 da da österildiği ibi 3 farklı rupta toplamıştır. Her bir rup için yine Şekil 9 da verilen en kesit tipi kullanılmaktadır. Rastele olarak dikkate 5151

18 Yapı Sistemlerinin Sürekli ve Ayrık Tasarım Değişkenleri ile alınan en kesitin kalınlığının ve çapının sayısal ortalama değerleri optimizasyonun tasarım değişkenleridir. Platformun bahsi eçen yükler altındaki analizi için SAPOS [0] proramı kullanılmaktadır. Dala yüklerinin hesabı, SAPOS da lineerleştirilmiş Morisson denklemi kullanılarak yapılmaktadır. Bu hesaplamada sadece atalet kuvveti katsayısından ileri elen katkı dikkate alınmıştır. Platformun GDO da dikkate alınan üvenilirlik sınırlayıcıları, sırasıyla bağıntı (17), (18), ve () deki ibi tanımlanan erilme, burkulma ve doğal frekans a dayanan sınır durum fonksiyonlarıdır. ( X) = f σ (17a) y N M y D Mz D σ = m m (17b) As Iy Iz burada f y akma dayanımını, σ erilmeyi, N normal kuvveti, M y, I y ve M z, I z sırasıyla ilili eksenlerdeki eğilme momentlerini ve atalet momentlerini, D ve A s ise ilili kesitin çapı ile en kesit alanını östermektedir. Burkulmaya dayanan sınır durum fonksiyonu aşağıdaki ibi verilmektedir. ( X ) = σ σ (18) cr σ cr [6, 7] de tanımlanan ve bağıntı (19) ile österilen kritik burkulma erilmesidir. σ cr = f y 1+ λ 4 (19) burada λ bağıntı (0) deki ibi verilen boyutsuz bir burkulma parametresidir. f y σa σb λ = + σa + σb σea σeb (0) σ a ve σ b normal kuvvet ve eğilme momentinden doğan erilmeyi simelemektedir. σ Ea ve σ Eb ise bağıntı (1) deki ibi tanımlanan parametrelerdir. σ σ Ea Eb π E t = ( ε) Ca 1 1 Le ( ν ) π E t = ( ε) Cb 1 1 Le ( ν ) (1a) 515

19 Vedat TOĞAN, Ayşe DALOĞLU, Halil KARADENİZ C ( ρ ξ) C ( ρ ξ) a = 1+ a b = 1+ b R R ρa = ρb = t 300t e L ξ = Z Z = 1 ν Rt (1b) burada ν poisson oranını, E elastisite modülünü, ε değeri 0.0 olan bir değişkeni, ve son olarak ta, t, R ve L e de sırasıyla ilili eleman en kesitinin kalınlığını, yarıçapını ve elemanın boyunu simelemektedir. Doğal frekans a dayana sınır durum fonksiyonu ise aşağıdaki ibi olmaktadır. ( X) = ω ω () n limit burada ω n doğal frekans değerini, ω limit ise değeri 3.0 rad/sn olan bir alt sınırı östermektedir. Bağıntı (19) ile verilen kritik burkulma erilmesi hesabı elemanın hem eğilme momenti hem de normal kuvvet etkisi altında olması durumunda kullanılmaktadır. Eğer eleman sadece normal kuvvet etkisi altında ise kritik burkulma erilmesi aşağıdaki ibi hesaplanmaktadır [8]. σ cr E t = 31 ( ν ) R (3) Yukarıda tanımlanan bağıntılar aracılığı tanımlanan üçayaklı deniz platformunun GDO problemi kısaca aşağıdaki ibi özetlenebilir. bul d = µ d n ne sr ek r= 1 k= 1 min j min. WdX (, ) = ρ A L öyleki β ( d, X) β = 3.70 j = 1,...,* n+ 1 j (4) burada ρ çeliğin malzeme yoğunluğunu, n ve ne rup ve o rupta yer alan eleman sayısını östermektedir. Platform elemanları 3 ayrı rupta toplandığından üvenilirlik sınırlayıcısı sayısı toplam j=7 olmaktadır. Üçayaklı deniz platformunun GDO unda lineer elastik teori kullanılmış ve yapının davranışı ise bağıntı (17), (18) ve () aracılığı tanımlanmıştır. Rastele olarak dikkate alınan parametrelerin istatistiksel dağılımları ve dağılımlara ait istatistiksel karakteristik özellikler Tablo 7 de verilmektedir. Maksimum dala yüksekliği için değiştirilmiş Weibull dağılımı F H ( h (( ) ) ma k mak ) = 1 exp hmak A / B kullanılmaktadır, A=1.6 m, B=1.13 m [9]. 5153

20 Yapı Sistemlerinin Sürekli ve Ayrık Tasarım Değişkenleri ile Optimizasyon için SQP yöntemine dayanan ve IMSL[30] Kütüphanesi tarafından sunulan bir alt proram parçası kullanılmaktadır. Tasarım değişkenleri olarak alınan kalınlık ve çap için ayrık değerler kullanılmaktadır. Ayrık listeler sırasıyla t için m den başlayıp m artırımlarla 0.10 m ye, D için ise 1.0 m den başlayıp 0.5 m artırımlarla 10.0 m ye kadar olan değerlerdir. Verilenler ışığında 3-ayaklı deniz platformunun ayrık tasarım değişkenleri kullanılarak yapılan GDO nu sonucu ulaşılan çözümü Tablo 8 de verilmektedir. Tablo 8 de tasarım değişkenlerinin ilili aralıklarda sürekli olması durumunda ki platformun GDO sonucu da verilmektedir. Sonuçlar karşılaştırıldığında tasarım değişkenlerinin ayrık olması durumunda platformun GDO nu sonucunda ulaşılan çözümün amaç fonksiyonu değeri tasarım değişkenlerinin sürekli olması durumunda elde edilen çözümün amaç fonksiyonu değerinden büyük olduğu örülebilmektedir. Ancak ayrık tasarım değişkenleri için ulaşılan çözümün en kesit değerleri piyasada bulunabildiğinden uyulama açısından daha anlamlı olmaktadır. Platformun sürekli tasarım değişkenleri ile GDO unda, tasarım değişkenleri için t 1,,3 =0.015m, D 1 =.40m ve D,3 =3.0m başlanıç değerleri kullanılmıştır. Buradan elde edilen sonucun üstten yaklaşık olacak şekilde ayrık liste ile eşleşmesiyle elde edilen değer ise ayrık değişkenler için başlanıç noktaları olarak alınmıştır. Böylelikle sürekli tasarım değişkenleri ile erçekleştirilen GDO dan elde edinilen bililer, daha kısa sürede sonuç üretmek adına ayrık tasarım değişkenleri ile yapılan GDO da kullanılmış olmaktadır. Tablo 7. 3-ayaklı deniz platformunun GDO daki rastele değişkenlerinin istatistiksel özellikleri Sime Tanımı İstatistiksel dağılımı Sayısal ortalaması ρ Çeliğin yoğunluğu (k/m 3 ) Değişim katsayısı ρ su Suyun yoğunluğu (k/m 3 ) ν Poisson oranı f y Akma dayanımı (N/m ) Lo-normal 450.0e E Elastisite mödülü (N/m ) Lo-normal 10.0e M ist İstasyon yükü (k) Lo-normal 3.0e H mak Dala yüksekliği (m) Değiş. Weibull α dala Dala dikliği Lo-normal c m Atalet kuvveti katsayısı Lo-normal t i Enkesitin kalınlığı () Normal µ ti 0.05 D i Enkesitin çapı () Normal µ Di 0.05 µ ti ve µ Di optimizasyon için tasarım değişkeni, i=1,,