Yapı Sistemlerinin Sürekli ve Ayrık Tasarım Değişkenleri ile Güvenilirliğe Dayalı Optimizasyonu *

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Yapı Sistemlerinin Sürekli ve Ayrık Tasarım Değişkenleri ile Güvenilirliğe Dayalı Optimizasyonu *"

Transkript

1 İMO Teknik Deri, , Yazı 335 Yapı Sistemlerinin Sürekli ve Ayrık Tasarım Değişkenleri ile Güvenilirliğe Dayalı Optimizasyonu * Vedat TOĞAN* Ayşe DALOĞLU** Halil KARADENİZ*** ÖZ Yapı sistemlerinin, belirli koşullar altında minimum ağırlıklarını bulmaya yönelik eleneksel olarak erçekleştirilen optimizasyonlarında kullanılan verilerde (parametrelerde) olabilecek rasele değişimler dikkate alınmamaktadır. Oysaki yük değerleri, dayanım değerleri, eometrik değerler vb. ibi verilerin belirlenme, yapı elemanlarının üretim, işçilik vb. ibi süreçlerinde kaçınılmaz olarak rastelelikler vardır. Verilerdeki raseleliklerin optimizasyon sürecinde dikkate alınması üvenilirliğe dayalı optimizasyon tekniğini ortaya çıkarmaktadır. Bu çalışmada, optimizasyon sürecinde dikkate alınan verilerde olabilecek rastelelikler dikkate alınarak, istenilen amacın minimum değerini elde etmeye yönelik bir işlemler dizisi sunulmaktadır. Optimizasyonun tasarım değişkenleri için sürekli ve ayrık kabulleri yapılmaktadır. Sonuç olarak sistemlerin minimum ağırlıklı olacak biçimde boyutlandırılmalarında, verileri optimizasyon sürecine rastele olarak katmak hem ulaşılan sonucu etkilemekte hem de üvenilirlik düzeyini istenilen seviyeye etirmektedir. Anahtar Kelimeler: Güvenilirlik analizi, optimizasyon, üvenilirliğe dayalı optimizasyon ABSTRACT Reliability-Based Desin Optimization of Structural Systems with Continuous and Discrete Desin Variables The random variations in the parameters used in the traditional optimization techniques to perform the optimum desin of the structural systems satisfyin predefined criteria are not taken into account. Yet, the randomness in the determination of the loads, material strenth, eometry of the structure, manufacturin of the members, and workmanship etc. are inevitable in the real life. Optimization performed with random parameters results in Not: Bu yazı - Yayın Kurulu na ünü ulaşmıştır Eylül 010 ününe kadar tartışmaya açıktır. * Karadeniz Teknik Üniversitesi, İnşaat Mühendisliği Bölümü, Trabzon - ** Karadeniz Teknik Üniversitesi, İnşaat Mühendisliği Bölümü, Trabzon - *** Delft University of Technoloy, Faculty of Civil Enineerin and Geosciences, Netherlands -

2 Yapı Sistemlerinin Sürekli ve Ayrık Tasarım Değişkenleri ile the reliability based desin optimization concept. In this study, an interated alorithm is proposed considerin the parameters as bein random to find the minimum value of a specified object function. The continuous and discrete desin variables are considered in the optimization process. It is concluded that takin the parameters as bein random in the optimization process affects the solutions and it meets the specified reliability level. Keywords: Reliability analysis, optimization, reliability based desin optimization 1. GİRİŞ Yapı mühendisleri, tasarımı uyulanabilir kılacak bir takım koşullar altında, dönüsel olan analiz ve değerlendirme safhaları sonucunda ortaya çıkan tasarım çözümleri arasından birini seçme durumundadırlar. Ancak bu seçimin, malzeme, eometri ve taşıyıcı sistem bakımından en uyun olması isteği ihtiyaca cevap vermeyi zorlaştırmaktadır. Bu amaçla değerlendirme işlemi için bilisayarlarda çalıştırılan dönüsel işlemler dizisi yazılmıştır. Bu işlemler dizisinde, dikkate alınan yük değerleri, malzeme dayanım değerleri, eometri ve kullanılan elemanların en kesit alanları değerleri ibi verilerdeki(parametrelerdeki) oluşabilecek değişimler dikkate alınmamaktadır. Oysaki erek bu verilerin belirlenme, erek malzemelerin üretim, erekse de yapım sürecinde kaçınılmaz rastelelikler bulunmaktadır. Dolayısı ile bu rastelelikler veriler urubunun belirli değerlerle temsil edilmesini üçleştirmektedir. Yapılan çalışmalar östermektedir ki, eleneksel olarak yapıla elen optimizasyon işlemlerinde bu verilerin rastele olarak dikkate alınması, standartlarda katsayılarla belirlenmeye çalışılan üvenilirlik düzeyini etkilemektedir. Bu yolla elde edilen sonuçlar enellikle istenilen üvenilirlik düzeyini sağlamamaktadır ve verilerdeki rastelelikler de ulaşılan sonuçları etkilemektedir[1-3]. Optimizasyon sürecinde dikkate alınan verilerin rastele olarak kabul edilmesi üvenilirliğe dayalı optimizasyon [4-7] tekniğini ortaya çıkarmaktadır. Adından da anlaşılabileceği ibi üvenilirliğe dayalı optimizasyon, rastele değişkenlere bağlı koşullar altında istenilen amacın minimum değerinin elde edilmesidir. Dolayısı ile eleneksel optimizasyona öre, üvenilirliğe dayalı optimizasyon (GDO) da, üvenilirlik analizi [8-10] yöntemlerinden birinin rastele değişkenlere bağlı koşulların değerlendirilmesini yapmak üzere optimizasyon işlem dizisine eklenmesini erektirmektedir. Bu ekleniş, yine eleneksel optimizasyondan farklı olarak GDO un iki farklı çözüm uzayında çalışmasını erektirmektedir. Verilerin belirli bir değer ile ifade edildiği ilk uzayda, optimizasyon, rastele değişkenlerle işlem örülen ikinci uzayda ise üvenilirlik analizi erçekleştirilmektedir. Güvenilirlik analizi, neatif değeri başarısızlığı temsil eden bir sınır (limit) durum fonksiyonu üzerinden ilili yöntemler aracılığı ile erçekleştirilmektedir. İki çözüm uzayındaki veri alışverişi değişken değerlerinin bir uzaydan diğer uzaya dönüştürülmesiyle sağlanmaktadır[8-10]. Bu çalışmada, optimizasyon sürecinde verilerin rastele olarak dikkate alınmasıyla, istenilen amacın minimum değerini elde etmeye yönelik bir işlemler dizisi sunulmaktadır. Bu maksatla, bu işlemler dizisindeki her bir bileşen tanımlanmaktadır. Oluşturulan işlem dizisi rubunun işlerliği sayısal örnekler aracılığıyla incelenmektedir. 5136

3 Vedat TOĞAN, Ayşe DALOĞLU, Halil KARADENİZ. OPTİMİZASYON MODELLERİ.1 Geleneksel Optimizasyon Modeli Herhani bir mühendislik sisteminin optimizasyonuna ait matematiksel formülasyonu bağıntı (1) deki ibi verilmektedir. bul d min. veya mak. W( d) (1) burada d istenilen amacın minimum veya maksimum değerini veren parametreler vektörünü ifade etmektedir ve tasarım değişkenleri vektörü olarak adlandırılmaktadır. W(d) ise tasarım değişkenlerine bağımlı olan amaç fonksiyonunu ifade etmektedir. Bu probleme ait çözümün kabul edilebilir olması için bir dizi koşulları sağlaması erekmektedir. Bu koşullar enellikle ülke standartlarında belirtilen erilme, deplasman, doğal frekans vb. ibi değerlerdir. Bu koşulların hepsi sınırlayıcı olarak adlandırılmakta ve bağıntı (a) deki ibi österilmektedir. Öte yandan tasarım değişkenleri içinde, alt ve üst değerleri belirtilmiş değer aralıkları tanımlanabilmektedir, bağıntı (b). İnşaat mühendisliğine ait bir optimizasyon probleminde, enellikle d en kesit alanı, W(d) ise ağırlık veya hacim olarak dikkate alınmaktadırlar. d ( ) 0 (a) d d d (b) a ü Sınırlayıcıların kontrol edilmesi için bir yapısal analiz proramına ihtiyaç duyulmaktadır. Bu optimizasyon probleminde herhani bir parametre veya veride oluşabilecek rastelelik dikkate alınmamaktadır. Bu nedenle bu problem eleneksel veya deterministik optimizasyon problemi olarak adlandırılmaktadır. Yük değerleri, malzeme dayanımları, mühendislik sistemine ait en kesit alanı veya eometri değerleri ibi verilerin optimizasyon sürecinde rastele olarak dikkate alınması üvenilirliğe dayalı optimizasyon (GDO) tekniğini ortaya çıkarmaktadır [1-7].. Güvenilirliğe Dayalı Optimizasyon Modeli Güvenilirliğe dayalı bir optimizasyon (GDO) problemi aşağıdaki ibi ifade edilmektedir. bul d min. W( d) (3) ( d) 0 ( d, X) 0 (3a) d a ü d d d (3b) burada X=[X i ] T (i=1,, n) rastele olarak tanımlanan parametreler vektörünü; d (d) ve (d,x) sırasıyla deterministik ve üvenilirlik sınırlayıcılarını östermektedir. GDO 5137

4 Yapı Sistemlerinin Sürekli ve Ayrık Tasarım Değişkenleri ile problemlerinde optimizasyonun tasarım değişkenleri deterministik veya rastele olarak dikkate alınabilmektedir. GDO da tasarım değişkenlerinin rastele olması durumunda, sayısal ortalama değerleri enellikle optimizasyonun tasarım değişkenleri olmaktadır. Geleneksel optimizasyon problemi erçekte tüm verilerin sayısal ortalama µ değerlerinin bir fonksiyonu olarak ifade edilmektedir. Güvenilirlik sınırlayıcısının varlığı, eleneksel optimizasyondan farklı olarak optimizasyon sürecine üvenilirlik analizi proramının da katılmasını erektirmektedir. Dolayısı ile bir GDO aloritması, tasarım değişkenlerini yenileyen ve en uyununu bulan bir optimizasyon proramı, üvenilirlik sınırlayıcısının kontrol edilmesine aracılık eden üvenilirlik analizi proramı ve son olarak da mühendislik sisteminin sayısal çözümlemesini yapan bir analiz proramı ibi üç farklı bileşeni içermektedir. 3. GÜVENİLİRLİĞE DAYALI OPTİMİZASYONUN BİLEŞENLERİ Üç farklı proramı bünyesinde barındıran bir GDO probleminin çözümü bu proramların etkin ve verimli bir biçimde birbirleriyle etkileşimlerinin sağlanmasını erektirmektedir. Bu etkileşimlerin farklı şekillerde yapılabilmesi mümkündür [11-13]. Bunlardan yuvalanmış veya iki dönülü olarak adlandırılan etkileşim biçimi, en sık rastlanılanıdır. Bu etkileşim biçimi Şekil 1 de österilmektedir. Adından ve Şekil 1 den de anlaşılabileceği ibi ilk önce Başlanıç verileri, µ d0 Optimizasyon proramı Güvenilirlik analizi proramı Yapısal analiz proramı çözüm d opt Şekil 1. Yuvalanmış veya iki dönülü GDO aloritması 5138

5 Vedat TOĞAN, Ayşe DALOĞLU, Halil KARADENİZ optimizasyon proramı tasarım değişkenlerine değer atar. Daha sonra üvenirlilik analizi proramı ilili veriler ile üvenilirlik sınırlayıcısı değerini hesaplar. Yapısal analiz proramı ise hem optimizasyon hem de üvenilirlik analiz proramına ihtiyaç duyulduğu anda ilili analiz sonuçlarını iletir. Böylelikle bu ardışık işlem dizisi yaklaşık sonuç elde edilinceye veya bir sonlandırma koşulu sağlanıncaya kadar devam eder. Bir GDO aloritmasındaki her bir proram için farklı tipte yöntemler kullanabilir. Örneğin, optimizasyon proramı için matematiksel teoriye dayanan bir optimizasyon yöntemi kullanılabileceği ibi doğadaki olayları taklit eden bir optimizasyon yöntemi de tercih edilebilir. Ancak bir GDO probleminin çözümü zaman alıcı olabilir ve çözüm sürecinde de kendisinden kaynaklanan bir takım sayısal zorluklar oluşabilir. Bundan dolayı, çözüme daha az iterasyon adımı diğer bir deyişle daha az ilili fonksiyon değerlendirmesi ile ulaşan yöntemler GDO uyulamalarında tercih edilmektedir. Şekil 1 de sunulan bir GDO aloritması için yeni olan, üvenilirlik sınırlayıcısının değerinin hesaplandığı üvenilirlik analizi proramıdır. Yukarıda da bahsedildiği üzere üvenilirlik analizi, neatif değeri başarısızlığı temsil eden bir sınır (limit) durum fonksiyonu üzerinden ilili yöntemler aracılığı ile erçekleştirilmektedir. 4. GÜVENİLİRLİK SINIRLAYICISI VE GÜVENİLİRLİK ANALİZİ Bir mühendislik sistemindeki belirsizlikler, o sisteme ait ve rastele olarak tanımlanan parametrelerin X=[X i ] T (i=1,, n) değişimleri ile tanımlanır. Rastele değişkenlerin tanımlanması, onların istatistiksel dağılımlarına ait özelliklerinin belirtilmesiyle mümkün olmaktadır. Bağıntı (3a) da verilen ve hem belirli bir değer ile ifade edilen hem de rastele olan değişkenlerin bir fonksiyonu olan üvenilirlik sınırlayıcısı () bir mühendislik problemi için enellikle aşağıdaki ibi tanımlanmaktadır. ( d, X) = R S (4) ü burada R ü, S ile ifade edilen ve yapısal analiz sonucu elde edilen erilme, deplasman, doğal frekans vb. ibi değerler için tanımlanmış olan izin verilen üst değerdir. Bu şekilde tanımlanan bir sınır durum fonksiyonun neatif değeri istenilen performansın sağlanamadığını östermektedir. Bir başka ifadeyle, başarısızlığı tanımlamaktadır. Bu fonksiyonun istatistiksel olarak tanımlanması, yine onun yığışımlı dağılım fonksiyonu F G ( ) ile mümkün olmaktadır[5], bağıntı(5). F ( ) P( 0) P... f ( x) dx... dx = < = = (5) G f X 1 n < 0 burada, P f, P(.) ile ifade edilen olayın olasılık değeridir; f X (x) tüm rastele değişkenlerin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonudur. Güvenilirlik sınırlayıcısının olasılık analizi bağıntı (5) ile verilen ve çoğu zaman alınması oldukça zor olan interal aracığıyla olmaktadır. Bu interal yerine, hesaplanması daha kolay olan ve çoğu zaman uyun yaklaşık sonuçlar veren enelleştirilmiş üvenilirlik indeksi β tanımlanmıştır [8-9], bağıntı (6). 5139

6 Yapı Sistemlerinin Sürekli ve Ayrık Tasarım Değişkenleri ile Pf =Φ( β ) (6) Bağıntı (6) tersine dönüşüm uyulanarak aşağıdaki ibi ifade edilebilmektedir[14]. β = Φ 1 ( ) (7) P f burada Ф(.) standart normal dağılımın yığışımlı dağılım fonksiyonudur. Genelleştirilmiş üvenirlik indeksi β normalleştirilmiş uzayda u, sınır durum fonksiyonu üzerinde (.)=0 orijine minimum mesafe olarak tanımlanmaktadır, Şekil. Dolayısı ile bu minimum mesafeye sahip noktanın bulunması da bağıntı (8) deki ibi verilen bir optimizasyon problemidir. Herhani bir optimizasyon yöntemiyle bu problemin çözümü yapılabilir. Ancak bunun yerine, sınır durum fonksiyonunun Taylor serisine açılımıyla elde edilen yaklaşık sınır durum fonksiyonuna dayanan sayısal yöntemler sıklıkla tercih edilmektedir. Sınır durum fonksiyonunun hani noktada ve kaçıncı dereceden Taylor serisine açılacağı fikri farklı yöntemleri ortaya çıkarmıştır. Bu sayısal yöntemler yerine benzetim (simülasyon) yöntemleri de tercih edilebilir. Detaylı bili için [8 10]. u 1 (u)=0 Normalleştirilmiş uzay Başarısızlık bölesi ( (u)<0) * u 1 * u β 0 * u u bul u min β = ( u u) T öyleki ( u) = 0 1/ Şekil. Genelleştirilmiş üvenilirlik indeksi (8) Bu çalışmada, Birinci Derece Güvenilirlik Yöntemi (BDGY) olarak bilinen üvenilirlik analizi yöntemi kullanılmaktadır. BDGY de, sınır durum fonksiyonu birinci dereceden Taylor serisine açılır. Seriye açılacak nokta ise belirli bir hassasiyet sağlanıncaya kadar devam eden ardışık işlem dizisi aracığıyla belirlenir. Hasofer, Lind-Rackwitz, Fiessler (HL- RF) yöntemi olarak bilinen bu işlem dizisinin adımları şu şekilde sıralanabilir. 5140

7 Vedat TOĞAN, Ayşe DALOĞLU, Halil KARADENİZ 1) u uzayında rastele değişkenlere başlanıç değerlerini ata, u *. Bu değer enellikle sıfır olarak alınmaktadır, u * = 0. ) Bu başlanıç değerleri için sınır durum fonksiyonunun değerini ve türevlerini * * ( u ) hesapla, (u) ve ( u ) =. u u= u ( u ) 3) Doğrultman kosinüslerini hesapla, α =. * ( u ) ( u ) T * 4) Güvenilirlik indeksini hesapla, β = α u burada. vektör * ( u ) uzunluğunu yani vektörün normunu ifade etmektedir. 5) u uzayındaki değerleri yenile, * u * = βα. 6) Yakınsama koşulunu kontrol et, ( ui ui 1) ui ε = burada i işlem(iterasyon) numarasını östermektedir. 7) Eğer yakınsama koşulu sağlandı ise iterasyonu durdur. Aksi halde, ile 7 adımda verilen işlemlere devam et. Yukarıda verilen HL-RF ardışık işlem dizisi bir takım kabuller içermektedir. Öncelikle, tüm işlemler normalleştirilmiş uzayda erçekleştiğinden, normal dağılıma sahip olmayan tüm rastele değişkenler aşağıda verilen dönüşüme [15] tabii tutularak normalleştirilirler. Burada da tüm değişkenlerin bağımlı olmadıkları kabulü vardır. * * * * F ( x) =Φ ( u) (9) X Eğer rastele değişkenler arasında bir bağımlılık söz konusu ise, ilili dönüşümler [15,16] kullanılmak suretiyle rastele değişkenler bağımsız hale etirirler. Diğer bir dönüşümde, rastele değişkenler için üvenilirlik analizinin erçekleştirildiği normalleştirilmiş uzaydan optimizasyon ve analiz proramlarının çalıştığı ve orijinal veya fiziksel uzay olarak adlandırılan uzaya olan dönüşümdür. Bu dönüşüm (9) bağıntısıyla kolayca elde edilir x = F 1 X ( Φ ( u)). Bu şekilde elde edilen üvenirlik indeksi kendisi için tanımlanan bir alt değer ile kıyaslanmaktadır. Dolayısı ile üvenirlik sınırlayıcısı bağıntı (10) daki ibi ifade edilebilmektedir ve bu formülasyon GDO da Güvenilirlik İndeksi Yaklaşımı (GİY) olarak adlandırılmaktadır. Buna ilaveten, üvenilirlik sınırlayıcısının, tersine üvenilirlik analizi yardımıyla değerlendirilmesine dayanan formülasyona GDO da Performans Ölçümü Yaklaşımı (PÖY) denilmektedir. ( µ, X) = β β = β β 0 (10) d min min * 5141

8 Yapı Sistemlerinin Sürekli ve Ayrık Tasarım Değişkenleri ile 4.1. Duyarlılık Analizi Duyarlılık analizi, bir fonksiyonun bağlı olduğu değişkenlere öre olan değişimlerini ifade eder, yani o değişkenin fonksiyonun değişimindeki önem derecesini österir. Duyarlılık analizi hem üvenilirlik analizi hem de matematiksel teoriye dayanan bir optimizasyon yöntemi için önemli bir bileşendir. BDGY için verilen işlem adımlarından da örülebildiği ibi, sınır durum fonksiyonunun rastele değişkenlere öre türevlerinin hesabı erekmektedir. Bu türev bilileri iki biçimde hesaplanabilmektedir. Bunlardan ilkinde ilili türev doğrudan normalleştirilmiş uzayda hesaplanır, ( u) u. İkincisinde ise zincir kuralı uyulanarak, sınır durum fonksiyonun önce orijinal uzayda türevi hesaplanır daha sonra bu türev değeri ilili rastele değişkenin normalleştirilmiş uzaydaki türev değeri ile çarpılır, bağıntı (11). Bu tipteki hesaplama, hem uzaylar arası daha az dönüşüme ihtiyaç duyduğu hem de proramlama açısından kolaylık sağladığından tercih sebebi olmaktadır. Zira, sınır durum fonksiyonu değeri bir yapısal analiz proramı sonucu elde edildiği için, ikinci tipteki türev hesabı herhani bir dönüşüme ihtiyaç duymaksızın doğrudan yapısal analiz proramıyla ilişkilendirilebilir. ( µ d, X) ( µ d, X) x = u x u (11) Bağıntı (11) deki ifadenin ilk bileşeninin hesabı mühendislik problemleri için enellikle bir analiz proramı aracılığıyla olmaktadır. Yapısal analiz proramlarının çoğu ünümüzde sonlu elemanlar yöntemine (SEY) dayanmaktadır. Dolayısı ile bu türev değeri üç farklı biçimde hesaplanabilmektedir; 1) Sonlu farklar yöntemi, ) Doğrudan türev yöntemi, 3)Bitişik yöntem [17, 18]. Her bir yöntemin avantajları dezavantajları bulunmaktadır. Sonlu farklar yöntemi, yapısal analiz proramında herhani bir değişim yapmadan, ilili değişkene küçük bir değer artırımı verilerek analiz proramının tekrar çağrılmasını erektirmektedir. Bu oldukça kullanım kolaylığı sağlamaktadır. Ancak artım değerine öre türev değerinin değişim östermekte ve rastele değişken sayısı artıkça erekli analiz miktarı da artmaktadır. Buna rağmen ileri sonlu farklar yöntemi özellikle paket proramların analiz proramı olarak kullanıldığı durumlarda oldukça avantajlı olmaktadır. Bu çalışmada da ileri sonlu farklar yöntemi kullanılmaktadır. Bağıntı (11) in ikinci bileşeni ise, bağıntı (9) öz önünde tutularak aşağıdaki ibi kolayca hesaplanabilmektedir. x F 1 X ( Φ( u)) φ( u) = = u u f ( x) X (1) burada ø(u) ve f X (x) sırasıyla standart normal dağılımın ve ilili rastele değişkenin istatistiksel dağılımının olasılık yoğunluk fonksiyonudur (oyf). Matematiksel teoriye dayanan bir optimizasyon yöntemi kullanıldığında hem amaç fonksiyonun hem de sınırlayıcıların tasarım değişkenlerine öre türevler bililerine ihtiyaç duyulmaktadır. Bu nedenle eleneksel optimizasyonda bu tip yöntemlere nazaran doğa 514

9 Vedat TOĞAN, Ayşe DALOĞLU, Halil KARADENİZ olaylarından esinlenilerek eliştirilen optimizasyon yöntemleri sıklıkla kullanılmaktadır. Ancak GDO da üvenilirlik analizinin varlığı bu türev bililerinin elde edilmesinde yadsınamaz bir katkı sağlamaktadır. Bu nedenledir ki GDO uyulamalarında matematiksel teoriye dayanan ardışık ikinci dereceden proramlama (SQP) yöntemi tercih sebebi olmaktadır. 4.. Güvenilirlik Sınırlayıcısı için Duyarlılık Analizi Güvenilirlik indeksi yaklaşımı (GİY) kullanılarak bağıntı (10) daki ibi ifade edilen bir üvenilirlik sınırlayıcısının tasarım değişkenlerine öre türevi aşağıdaki ibi ifade edilebilir. ( µ d, X) β β = d d d min (13) β min tasarım değişkenlerinin bir fonksiyonu olmadığı için değeri sıfırdır. β d ise tasarım değişkeninin rastele olarak tanımlanıp tanımlanmamasına öre iki farklı biçimde hesaplanmaktadır. Eğer optimizasyon probleminin tasarım değişkenleri rastele olarak tanımlanmamış ise ilili türev değeri bağıntı (14a), rastele olarak tanımlanmış ise bağıntı (14b) kullanılarak hesaplanmaktadır [19]. Özellikle tasarım değişkenlerinin rastele tanımlandığı durumlarda ilili tüm türev değerleri üvenilirlik analizi sonucunda doğrudan elde edilmektedir. β 1 (.) = d d (14a) * * β 1 * u u = u = α d β d d (14b) Özet olarak birinci dereceden üvenilirlik yöntemine dayanan üvenilirliğe dayalı optimizasyon aloritmasının işlem sırası aşağıdaki ibi olmaktadır. 1) Probleme ait başlanıç değerlerini ir ) Optimizasyon proramı aracılığı ile optimizasyona başla. 3) Güvenilirlik sınırlayıcıları için BDGY kullanarak üvenilirlik indekslerini bul. 4) Amaç fonksiyonu ve sınırlayıcıların değerlerini ve türevlerini hesapla. 5) Sonlandırma koşullarını kontrol et. 6) Koşullar sağlandı ise optimizasyonu sonlandır. Aksi halde tasarım değişkenlerini yenile ve ile 6 adımları tekrarla. 5143

10 Yapı Sistemlerinin Sürekli ve Ayrık Tasarım Değişkenleri ile 5. SAYISAL ÖRNEKLER Yukarıda bileşenleri ile açıklanan GDO aloritması üç farklı sayısal örnek üzerinde test edilmektedir. İlk iki örnek hem sunulan aloritmanın işlemlerinin takip edilebilir hem de kolay anlaşılır olması için teknik literatürden alınmış basit örneklerdir. Son örnek ise diğer örneklerden farklı olarak dala yükleri etkisine maruz üç ayaklı bir deniz platformunun GDO udur. İncelenen yapı sistemleri için çelik malzeme kullanılmaktadır. Bahsedildiği üzere, Bir GDO aloritmasının bileşenleri için farklı yöntemler kullanılabilmektedir. Bu çalışmada, optimizasyon yöntemi için matematiksel teoriye dayanan SQP yöntemi, üvenilirlik analiz için BDGY kullanılmaktadır. İkinci sayısal örnek için matris deplasman yöntemi kullanılarak yazılmış bir analiz proramı, son sayısal örnek için ise SAPOS [0] olarak adlandırılan SEY tabanlı bir analiz proramı kullanılmaktadır. Optimizasyon problemlerinin tasarım değişkenleri için sürekli veya ayrık kabulleri yapılmaktadır. Bu çalışmada da tasarım değişkenleri için hem sürekli hem de ayrık kabulü yapılmaktadır. 5.1 Ankastre mesnetli kiriş Şekil 3 de verilen ankastre mesnetli kiriş Q 1 ve Q yüklerine maruzdur. Kirişin bu yükler ve bağıntı (15) de tanımlanan sırasıyla burkulma, yorulma, deplasman ve erilme üvenilirlik sınırlayıcıları altında minimum ağırlığı verecek en kesit alanına sahip olacak şekilde boyutlandırılması istenmektedir [1, ]. 0.3Eb h ( X) = G 1 1( X) = Q ( ) 3 3 ( ) ( ) ( X) = G ( X) = N A 6 Q L/ bh ( X) = G ( X) = 4Q L Ebh ( X) = G ( X) = 6Q L bh R (15) burada E elastisite modülü, N 0 =.0E+06 çevrim, A yorulma dayanımı katsayısı, 0 =3.81 mm izin verilen deplasman değeri, R 0 akma dayanımı olarak dikkate alınmaktadır. Kirişin boyutları olan b ve h optimizasyonun tasarım değişkenlerini oluşturmaktadır. GDO da rastele olarak dikkate alınan parametreler ve onların istatistiksel dağılımları Tablo 1 de verilmektedir. Sürekli olarak kabul edilen tasarım değişkenlerinin başlanıç değerleri ise d(mm)=[50.8, 50.8] olarak alınmaktadır Güvenilirlik indekslerinin alt sınırı ise β min = 3.0 i = 1, ve β i min =.0 i = 3,4 olarak tanımlanmaktadır. Optimizasyon için SQP i [3] yöntemi kullanılmaktadır. Ankastre mesnetli kirişin GDO u sonucu elde edilen çözümü Tablo de, sonuçların rafiksel österimi ise Şekil 4 de sunulmaktadır. Lee ve diğ.[] optimizasyon için SLP yöntemi kullanarak 7 iterasyon adımı sonunda kirişin GDO sonucunu elde etmişlerdir. Ulaştıkları çözümün d(mm)=[7.17, ] amaç fonksiyonu değeri mm dir. Aynı problemin Thanedar ve Kodiyalam[1] tarafından MFD yöntemi kullanılarak elde edilen çözümü d(mm)=[6.096, 16.38] ve amaç fonksiyonu değeri ise mm dir. Bu çalışmada sunulan GDO aloritması kullanılarak elde 5144

11 Vedat TOĞAN, Ayşe DALOĞLU, Halil KARADENİZ edilen sonuç öz önüne alındığında, sunulan GDO aloritması etkin ve doğru çalışmaktadır. Matematiksel teoriye dayanmalarına rağmen SLP, SQP ve MFD yöntemlerinde farklı kabuller ve yöntemler izlenmektedir. Dolayısı ile ulaşılan sonuçlar aynı yöntem kullanılsa bile farklılıklar österebilmektedir. Q 1, Q Q t h L=76 mm b Q.4 Şekil 3. Ankastre mesnetli kiriş t Sime Tablo 1. Ankastre mesnetli kirişin GDO daki rastele değişkenlerin istatistiksel özellikleri Tanımı İstatistiksel dağılımı Sayısal ortalaması Q 1 Yorulma yükü(kn) Lo-normal 1.779* 0.15 Değişim katsayısı Q Tasarım yükü (kn) Lo-normal.4* 0.15 E Elastisite mödülü (kn/mm ) Normal.0685E A Yorulma dayanımı katsayısı (kn/mm ) Lo-normal E+11* 0.50 R 0 Akma dayınımı (kn/mm ) Weibull *medyan Mühendislik problemlerinde enellikle elemanların en kesit alanı veya boyutları olarak tasarım değişkenleri için ayrık olması kabulü de yapılmaktadır. Tasarım değişkenlerinin sürekli olarak dikkate alınmasıyla elde edilen sonuçlar üstten en yakın ayrık değere tamamlanarak sonuçlar ayrık tasarım değişkenli hale etirilmektedir. Ancak bu şekilde sunulan sonuçlar amaç fonksiyonunun minimum değerini vermeyebilmektedir. Örneğin ankastre mesnetli kirişin GDO u için, b ve h nın sırasıyla.54 mm ve 6.35 mm den başlayarak 1.7 mm artırımla 03.0 mm kadar olan ayrık listelerin kullanılması durumunda Tablo 3 verilen sonuçlar b ve h için sırasıyla 7.6 ve mm olmaktadır. Bu sonuçlar için amaç fonksiyonu ise mm olmaktadır. Bu sonuç yukarıda tanımlanan 5145

12 Yapı Sistemlerinin Sürekli ve Ayrık Tasarım Değişkenleri ile ayrık listenin optimizasyonda kullanılması durumunda ise, ankastre kirişin ayrık tasarım değişkenleri kullanılarak GDO u sonucu elde edilen çözümü, b=7.6 mm h=99.06 mm ve amaç fonksiyonu değeri ise mm olmaktadır. Buradan da örülebildiği ibi bu sonuç, sürekli tasarım değişkenleriyle elde edilen sonucun üsten ayrık listeye çevrilmesiyle elde edilen sonuçtan daha hafiftir. Ankastre mesnetli kirişin tasarım değişkenleri için verilen ayrık listenin kullanılması durumundaki GDO süreci Tablo 3 ve Şekil 5 verilmektedir. Tasarım değişkenlerinin ayrık olması durumunda, bağıntı (15) de verilen İter. Tablo. Ankastre mesnetli kirişin sürekli tasarım değişkenleri ile GDO sonucu Amaç fonk.(mm ) b(mm) h(mm) β 1 β β 3 β 4 * (///) (///) (///) (///) (///) (///) (///) (///) * üvenilirlik analizi için toplam işlem sayısı Amaç fonksiyonu (mm x10) b (mm) h (mm) İterasyon β β 1 β İterasyon β 4 a. Amaç fonksiyonu ve tasarım değişkenlerinin iterasyon adımlarına öre değişimi b. Güvenilirlik indekslerinin iterasyon adımlarına öre değişimi Şekil 4. Ankastre mesnetli kirişin sürekli tasarım değişkenleri ile GDO süreci 5146

13 Vedat TOĞAN, Ayşe DALOĞLU, Halil KARADENİZ üvenilirlik sınırlayıcılarının hiç biri için üvenilirlik indeksleri değerleri tanımlanan minimum üvenilirlik indeksi değerine yakın olmamaktadır. Bu durum tasarım değişkenlerinin ayrık olmasından ileri elmektedir. Ancak yine de GDO problemi tanımlanan minimum üvenilirlik indeksi değerine en yakın üvenilirlik indeksine sahip üvenilirlik sınırlayıcıları altında çözüme ulaşmaktadır. Beklenildiği ibi tasarım değişkenlerinin sürekli olarak dikkate alındığı durumda aktif olan üvenilirlik sınırlayıcıları indeksleri değeri tanımlanan minimum üvenilirlik indeksi değerine yakın olmaktadır. Tablo 3. Ankastre mesnetli kirişin ayrık tasarım değişkenleri ile GDO sonucu İter. Amaç fonk.(mm ) b(mm) h(mm) β 1 β β 3 β Amaç fonksiyonu (mm x10) b (mm) h (mm) İterasyon β β 3 β İterasyon β 4 a. Amaç fonksiyonu ve tasarım değişkenlerinin iterasyon adımlarına öre değişimi b. Güvenilirlik indekslerinin iterasyon adımlarına öre değişimi Şekil 5. Ankastre mesnetli kirişin ayrık tasarım değişkenleri ile GDO süreci 5147

14 Yapı Sistemlerinin Sürekli ve Ayrık Tasarım Değişkenleri ile 5. On çubuklu kafes sistem Şekil 6 da örülen on çubuklu kafes sistemin GDO u [,5,6] tarafından erçekleştirilmiştir. Her bir elemanın en kesit alanı normal dağılıma sahip rastele değişken olarak tanımlanırken, sayısal ortalama değeri ise optimizasyonun tasarım değişkeni olarak dikkate alınmaktadır. Elastisite modülü E ve dış yük P normal dağılıma sahip rastele değişkenlerdir. Elemanların en kesit alanının minimum mm olması istenmektedir. Sınır durum fonksiyonu ise bağıntı (16) deki ibi verilmektedir. Burada U mm cinsinden nolu düğüm noktasının düşey deplasmanını östermektedir L P L=9144 mm L P Şekil 6. On çubuklu kafes sistem X = G X = U (16) ( ) ( ) GDO da rastele olarak dikkate alınan parametrelerin istatistiksel dağılımları Tablo 4 de verilmektedir. Sürekli olarak kabul edilen tasarım değişkenlerinin başlanıç değerleri ise d(mm )=[ , 1763., , , , , , , , ] olarak alınmaktadır Güvenilirlik indeksinin alt sınırı ise β min = 3.09 olarak tanımlanmaktadır. Amaç fonksiyonu olarak sistemin ağırlığı alınmıştır. Tablo 4. On çubuklu kafes sistemin GDO daki rastele değişkenlerinin istatistiksel özellikleri Sime Tanımı İstatistiksel dağılımı Sayısal ortalaması Değişim katsayısı E Elastisite mödülü (kn/mm ) Normal P Dış yük (kn) Normal A i En kesit alanı i=1,,10 (mm ) Normal µ Ai 0.05 µ Ai optimizasyon için tasarım değişkeni 5148

15 Vedat TOĞAN, Ayşe DALOĞLU, Halil KARADENİZ Tablo 5. On çubuklu kafes sistemin sürekli tasarım değişkenleri ile GDO sonucu Tasarım değişkenleri Bu çalışma Lee ve diğ. [4] Pettit ve Grandhi [5] Luo ve Grandhi [6] Geleneksel optimizasyon A 1 (mm ) A A A A belirtilmemiş A A A A A Amaç fonk. (k) β A 1 (mm ) A 8 (mm ) A 9 (mm ) A 3 (mm ) A 4 (mm ) Amaç fonksiyonu (k) A min A 7 (mm ) İterasyon İterasyon β a. Amaç fonksiyonu ve tasarım değişkenlerinin iterasyon adımlarına öre değişimi b. Güvenilirlik indeksinin iterasyon adımlarına öre değişimi Şekil 7. On çubuklu kafes sistemin sürekli tasarım değişkenleri ile GDO süreci Malzeme yoğunluğu olarak.770e-06 k/mm 3 değeri kullanılmaktadır []. Optimizasyon için SQP [3] yöntemi kullanılmaktadır. On çubuklu kafes sistemin GDO sonucu elde 5149

16 Yapı Sistemlerinin Sürekli ve Ayrık Tasarım Değişkenleri ile edilen sonuçlar Tablo 5 de, sonuçların rafiksel österimi ise Şekil 7 de sunulmaktadır. Şekil 7 de minimum en kesit alanına sahip elemanlar, daha açık bir şekil verebilmek için sadece A min olarak ifade edilmiştir. Çalışmada sunulan GDO optimizasyon aloritması kullanılmasıyla elde edilen sonuçlar anılan çalışmalarda elde edilen sonuçlardan daha hafiftir. Öte yandan bahsedildiği üzere, eleneksel optimizasyon ile elde edilen amaç fonksiyonu değeri enellikle GDO ile elde edilenden daha azdır. Sonuç olarak eleneksel optimizasyona öre GDO hem verilerde oluşabilecek değişimleri dikkate alabilmekte hem de istenilen üvenilirlik düzeyinde sonuçlar üretmektedir. Tablo 6. On çubuklu kafes sistemin ayrık tasarım değişkenleri ile GDO sonucu Tasarım değişkenleri Bu Amaç A 1 (mm ) A A 3 A 4 A 5 β çalışma fonk. (k) A 6 A 7 A 8 A 9 A 10 GDO Gel. Opt Ayrık değerler (mm ): , , , , , , , , , , , 38.71, 90.3, , , 503., , 7.58, , 961.8, , , 3303., 3703., , , , , , , , , , , , , , , , A 9 A 8 A 5 A 7 A 3 A 4 A A 10 A 6 Amaç fonksiyonu (k)* İterasyon a. Amaç fonksiyonu ve tasarım değişkenlerinin iterasyon adımlarına öre değişimi A İterasyon b. Güvenilirlik indeksinin iterasyon adımlarına öre değişimi β Şekil 8. On çubuklu kafes sistemin ayrık tasarım değişkenleri ile GDO süreci 5150

17 Vedat TOĞAN, Ayşe DALOĞLU, Halil KARADENİZ Elemanların en kesit alanı olarak dikkate alınan tasarım değişkenlerinin hazır profillerin en kesit alanlarından seçilmesi piyasa koşulları dikkate alındığında daha anlamlı olmaktadır. On çubuklu kafes sistemin GDO, elemanların en kesit alanı için 40 adet ayrık değer kullanılarak aynı koşullar altında tekrarlanmıştır. Ulaşılan çözüm Tablo 6 da verilmektedir. Çözümün GDO sürecindeki değişiminin rafiksel örünümü ise Şekil 8 de sunulmaktadır. Daha açık bir şekil sunmak için Şekil 8 de tasarım değişkenlerinin ayrık sıra numaraları verilmiştir. Tablo 5 ve 6 dan da örülebildiği ibi tasarım değişkenleri için ayrık değerlerin kullanılması, sürekli olması durumundan daha ağır bir çözümün ortaya çıkmasına neden olmaktadır. Buna bağlı olarak üvenilirlik indeksi değeri de tasarım değişkenlerinin sürekli olması durumundan farklı olarak ilili sınır durum fonksiyonu için tanımlanan minimum üvenirlilik indeksi değerinden büyük olabilmektedir. 5.3 Üç ayaklı deniz platformu Kendi ağırlığı, istasyon yükü ve dala yüklerine maruz 3 ayaklı bir deniz platformunun, Şekil 9, üvenilirliğe dayalı optimizasyonu bu çalışmada sunulan GDO aloritmasının denendiği son örnek olarak incelenmektedir. Bu tür mühendislik yapıları denizlerde özlem, araştırma ve petrol, doğal az vb. yeraltı kaynaklarının çıkartıldığı istasyonlar olarak hizmet vermektedirler. İnşa edildikleri yerlerin çevre koşulları dikkate alındığında bu tür yapı sistemlerinin optimizasyonlarında verilerin rastele olarak dikkate alınması kaçınılmaz olmaktadır. Yani eleneksel optimizasyonun aksine bu tür yapıların optimizasyonlarının üvenilirliğe dayalı olarak yapılması daha anlamlı olmaktadır. M ist. 0.0 m 1 D 0.0 m A 3 Aa 3 A-A kesiti t m 3 a a=10.0 m Şekil 9. 3-ayaklı açık deniz platformu Platformun elemanları Şekil 9 da da österildiği ibi 3 farklı rupta toplamıştır. Her bir rup için yine Şekil 9 da verilen en kesit tipi kullanılmaktadır. Rastele olarak dikkate 5151

18 Yapı Sistemlerinin Sürekli ve Ayrık Tasarım Değişkenleri ile alınan en kesitin kalınlığının ve çapının sayısal ortalama değerleri optimizasyonun tasarım değişkenleridir. Platformun bahsi eçen yükler altındaki analizi için SAPOS [0] proramı kullanılmaktadır. Dala yüklerinin hesabı, SAPOS da lineerleştirilmiş Morisson denklemi kullanılarak yapılmaktadır. Bu hesaplamada sadece atalet kuvveti katsayısından ileri elen katkı dikkate alınmıştır. Platformun GDO da dikkate alınan üvenilirlik sınırlayıcıları, sırasıyla bağıntı (17), (18), ve () deki ibi tanımlanan erilme, burkulma ve doğal frekans a dayanan sınır durum fonksiyonlarıdır. ( X) = f σ (17a) y N M y D Mz D σ = m m (17b) As Iy Iz burada f y akma dayanımını, σ erilmeyi, N normal kuvveti, M y, I y ve M z, I z sırasıyla ilili eksenlerdeki eğilme momentlerini ve atalet momentlerini, D ve A s ise ilili kesitin çapı ile en kesit alanını östermektedir. Burkulmaya dayanan sınır durum fonksiyonu aşağıdaki ibi verilmektedir. ( X ) = σ σ (18) cr σ cr [6, 7] de tanımlanan ve bağıntı (19) ile österilen kritik burkulma erilmesidir. σ cr = f y 1+ λ 4 (19) burada λ bağıntı (0) deki ibi verilen boyutsuz bir burkulma parametresidir. f y σa σb λ = + σa + σb σea σeb (0) σ a ve σ b normal kuvvet ve eğilme momentinden doğan erilmeyi simelemektedir. σ Ea ve σ Eb ise bağıntı (1) deki ibi tanımlanan parametrelerdir. σ σ Ea Eb π E t = ( ε) Ca 1 1 Le ( ν ) π E t = ( ε) Cb 1 1 Le ( ν ) (1a) 515

19 Vedat TOĞAN, Ayşe DALOĞLU, Halil KARADENİZ C ( ρ ξ) C ( ρ ξ) a = 1+ a b = 1+ b R R ρa = ρb = t 300t e L ξ = Z Z = 1 ν Rt (1b) burada ν poisson oranını, E elastisite modülünü, ε değeri 0.0 olan bir değişkeni, ve son olarak ta, t, R ve L e de sırasıyla ilili eleman en kesitinin kalınlığını, yarıçapını ve elemanın boyunu simelemektedir. Doğal frekans a dayana sınır durum fonksiyonu ise aşağıdaki ibi olmaktadır. ( X) = ω ω () n limit burada ω n doğal frekans değerini, ω limit ise değeri 3.0 rad/sn olan bir alt sınırı östermektedir. Bağıntı (19) ile verilen kritik burkulma erilmesi hesabı elemanın hem eğilme momenti hem de normal kuvvet etkisi altında olması durumunda kullanılmaktadır. Eğer eleman sadece normal kuvvet etkisi altında ise kritik burkulma erilmesi aşağıdaki ibi hesaplanmaktadır [8]. σ cr E t = 31 ( ν ) R (3) Yukarıda tanımlanan bağıntılar aracılığı tanımlanan üçayaklı deniz platformunun GDO problemi kısaca aşağıdaki ibi özetlenebilir. bul d = µ d n ne sr ek r= 1 k= 1 min j min. WdX (, ) = ρ A L öyleki β ( d, X) β = 3.70 j = 1,...,* n+ 1 j (4) burada ρ çeliğin malzeme yoğunluğunu, n ve ne rup ve o rupta yer alan eleman sayısını östermektedir. Platform elemanları 3 ayrı rupta toplandığından üvenilirlik sınırlayıcısı sayısı toplam j=7 olmaktadır. Üçayaklı deniz platformunun GDO unda lineer elastik teori kullanılmış ve yapının davranışı ise bağıntı (17), (18) ve () aracılığı tanımlanmıştır. Rastele olarak dikkate alınan parametrelerin istatistiksel dağılımları ve dağılımlara ait istatistiksel karakteristik özellikler Tablo 7 de verilmektedir. Maksimum dala yüksekliği için değiştirilmiş Weibull dağılımı F H ( h (( ) ) ma k mak ) = 1 exp hmak A / B kullanılmaktadır, A=1.6 m, B=1.13 m [9]. 5153

20 Yapı Sistemlerinin Sürekli ve Ayrık Tasarım Değişkenleri ile Optimizasyon için SQP yöntemine dayanan ve IMSL[30] Kütüphanesi tarafından sunulan bir alt proram parçası kullanılmaktadır. Tasarım değişkenleri olarak alınan kalınlık ve çap için ayrık değerler kullanılmaktadır. Ayrık listeler sırasıyla t için m den başlayıp m artırımlarla 0.10 m ye, D için ise 1.0 m den başlayıp 0.5 m artırımlarla 10.0 m ye kadar olan değerlerdir. Verilenler ışığında 3-ayaklı deniz platformunun ayrık tasarım değişkenleri kullanılarak yapılan GDO nu sonucu ulaşılan çözümü Tablo 8 de verilmektedir. Tablo 8 de tasarım değişkenlerinin ilili aralıklarda sürekli olması durumunda ki platformun GDO sonucu da verilmektedir. Sonuçlar karşılaştırıldığında tasarım değişkenlerinin ayrık olması durumunda platformun GDO nu sonucunda ulaşılan çözümün amaç fonksiyonu değeri tasarım değişkenlerinin sürekli olması durumunda elde edilen çözümün amaç fonksiyonu değerinden büyük olduğu örülebilmektedir. Ancak ayrık tasarım değişkenleri için ulaşılan çözümün en kesit değerleri piyasada bulunabildiğinden uyulama açısından daha anlamlı olmaktadır. Platformun sürekli tasarım değişkenleri ile GDO unda, tasarım değişkenleri için t 1,,3 =0.015m, D 1 =.40m ve D,3 =3.0m başlanıç değerleri kullanılmıştır. Buradan elde edilen sonucun üstten yaklaşık olacak şekilde ayrık liste ile eşleşmesiyle elde edilen değer ise ayrık değişkenler için başlanıç noktaları olarak alınmıştır. Böylelikle sürekli tasarım değişkenleri ile erçekleştirilen GDO dan elde edinilen bililer, daha kısa sürede sonuç üretmek adına ayrık tasarım değişkenleri ile yapılan GDO da kullanılmış olmaktadır. Tablo 7. 3-ayaklı deniz platformunun GDO daki rastele değişkenlerinin istatistiksel özellikleri Sime Tanımı İstatistiksel dağılımı Sayısal ortalaması ρ Çeliğin yoğunluğu (k/m 3 ) Değişim katsayısı ρ su Suyun yoğunluğu (k/m 3 ) ν Poisson oranı f y Akma dayanımı (N/m ) Lo-normal 450.0e E Elastisite mödülü (N/m ) Lo-normal 10.0e M ist İstasyon yükü (k) Lo-normal 3.0e H mak Dala yüksekliği (m) Değiş. Weibull α dala Dala dikliği Lo-normal c m Atalet kuvveti katsayısı Lo-normal t i Enkesitin kalınlığı () Normal µ ti 0.05 D i Enkesitin çapı () Normal µ Di 0.05 µ ti ve µ Di optimizasyon için tasarım değişkeni, i=1,,

DEĞİŞKEN KESİTLİ ÇERÇEVELERİN ELEKTRONİK TABLOLARLA ANALİZ VE TASARIMI

DEĞİŞKEN KESİTLİ ÇERÇEVELERİN ELEKTRONİK TABLOLARLA ANALİZ VE TASARIMI XVIII. ULUSAL MEKANİK KONGRESİ 26-3 Ağustos 213, Celal Bayar Üniversitesi, Manisa DEĞİŞKEN KESİTLİ ÇERÇEVELERİN ELEKTRONİK TABLOLARLA ANALİZ VE TASARIMI Sedat Savaş 1, Mustafa Ülker 2 1 Fırat Üniversitesi,

Detaylı

MATLAB programı kullanılarak bazı mühendislik sistemlerinin optimum tasarımı

MATLAB programı kullanılarak bazı mühendislik sistemlerinin optimum tasarımı Dicle Üniversitesi Mühendislik Fakültesi dergisi mühendislikdergisi Cilt: 1, Sayı: 1, 38-44 Dicle Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Aralık 010 Cilt: 1, Sayı: 1, 41-47 3-9 Aralık 010 MATLAB programı kullanılarak

Detaylı

Düzlem Kafes Sistemlerin ANSYS Paket Programı ile Optimum Geometri Tasarımı

Düzlem Kafes Sistemlerin ANSYS Paket Programı ile Optimum Geometri Tasarımı Fırat Üniv. Fen ve Müh. Bil. Dergisi Science and Eng. J of Fırat Univ. 19 (2), 201-207, 2007 19 (2), 201-207, 2007 Düzlem Kafes Sistemlerin ANSYS Paket Programı ile Optimum Geometri Tasarımı M. Yavuz SOLMAZ

Detaylı

DEPREM ETKİSİNDEKİ BİNALARIN GÜVENİLİRLİK ANALİZİ

DEPREM ETKİSİNDEKİ BİNALARIN GÜVENİLİRLİK ANALİZİ Altıncı Ulusal Deprem Mühendisliği Konferansı, 16-20 Ekim 2007, İstanbul Sixth National Conference on Earthquake Engineering, 16-20 October 2007, Istanbul, Turkey DEPREM ETKİSİNDEKİ BİNALARIN GÜVENİLİRLİK

Detaylı

Hibrit ve Çelik Kablolu Köprülerin Dinamik Davranışlarının Karşılaştırılması

Hibrit ve Çelik Kablolu Köprülerin Dinamik Davranışlarının Karşılaştırılması 1 Hibrit ve Çelik Kablolu Köprülerin Dinamik Davranışlarının Karşılaştırılması Arş. Gör. Murat Günaydın 1 Doç. Dr. Süleyman Adanur 2 Doç. Dr. Ahmet Can Altunışık 2 Doç. Dr. Mehmet Akköse 2 1-Gümüşhane

Detaylı

Üç Boyutlu Çerçeve Yapıların Statik Analizi için Geliştirilen Bir Bilgisayar Programı: YapAn05

Üç Boyutlu Çerçeve Yapıların Statik Analizi için Geliştirilen Bir Bilgisayar Programı: YapAn05 Akademik Bilişim 10 - XII. Akademik Bilişim Konferansı Bildirileri Üç Boyutlu Çerçeve Yapıların Statik Analizi için Geliştirilen Bir Bilgisayar Programı: YapAn05 Dumlupınar Üniversitesi, İnşaat Mühendisliği

Detaylı

Bekleme Hattı Teorisi

Bekleme Hattı Teorisi Bekleme Hattı Teorisi Sürekli Parametreli Markov Zincirleri Tanım 1. * +, durum uzayı * +olan sürekli parametreli bir süreç olsun. Aşağıdaki özellik geçerli olduğunda bu sürece sürekli parametreli Markov

Detaylı

Uzay Çelik Çerçevelerin Tabu Arama ve Genetik Algoritma Yöntemleriyle Optimum Tasarımı*

Uzay Çelik Çerçevelerin Tabu Arama ve Genetik Algoritma Yöntemleriyle Optimum Tasarımı* İMO Teknik Deri, 2006 3917-3934, Yazı 259 Uzay Çelik Çerçevelerin Tabu Arama ve Genetik Aloritma Yöntemleriyle Optimum Tasarımı* S. Özür DEĞERTEKİN* Mehmet ÜLKER** M. Sedat HAYALİOĞLU*** ÖZ Bu çalışmada,

Detaylı

Araştırma Makalesi / Research Article. Yapı Sistemlerinin MATLAB Optimizasyon Araç Kutusu ile Optimum Boyutlandırılması

Araştırma Makalesi / Research Article. Yapı Sistemlerinin MATLAB Optimizasyon Araç Kutusu ile Optimum Boyutlandırılması BEÜ Fen Bilimleri Dergisi BEU Journal of Science 4(2), 189-197, 2015 4(2), 189-197, 2015 Araştırma Makalesi / Research Article Yapı Sistemlerinin MATLAB Optimizasyon Araç Kutusu ile Optimum Boyutlandırılması

Detaylı

R 1Y kn R 1X R 1Z R 4Y R 3Y 4 R 4X R 3Z R 3X R 4Z. -90 kn. 80 kn 80 kn R 1Y =10 R 1X =-10 R 4Y =10 R 1Z =0 R 3Y =70 4 R 3X =-70 R 4X =0

R 1Y kn R 1X R 1Z R 4Y R 3Y 4 R 4X R 3Z R 3X R 4Z. -90 kn. 80 kn 80 kn R 1Y =10 R 1X =-10 R 4Y =10 R 1Z =0 R 3Y =70 4 R 3X =-70 R 4X =0 27. Uzay kafes örnek çözümleri Örnek 27.: Şekil 27. de verilen uzay kafes sistem çelik borulardan imal edilecektir. a noktasındaki dış yüklerden oluşan eleman kuvvetleri, reaksiyonlar, gerilmeler ve düğüm

Detaylı

= σ ε = Elastiklik sınırı: Elastik şekil değişiminin görüldüğü en yüksek gerilme değerine denir.

= σ ε = Elastiklik sınırı: Elastik şekil değişiminin görüldüğü en yüksek gerilme değerine denir. ÇEKME DENEYİ Genel Bilgi Çekme deneyi, malzemelerin statik yük altındaki mekanik özelliklerini belirlemek ve malzemelerin özelliklerine göre sınıflandırılmasını sağlamak amacıyla uygulanan, mühendislik

Detaylı

FL 3 DENEY 4 MALZEMELERDE ELASTĐSĐTE VE KAYMA ELASTĐSĐTE MODÜLLERĐNĐN EĞME VE BURULMA TESTLERĐ ĐLE BELĐRLENMESĐ 1. AMAÇ

FL 3 DENEY 4 MALZEMELERDE ELASTĐSĐTE VE KAYMA ELASTĐSĐTE MODÜLLERĐNĐN EĞME VE BURULMA TESTLERĐ ĐLE BELĐRLENMESĐ 1. AMAÇ Malzemelerde Elastisite ve Kayma Elastisite Modüllerinin Eğme ve Burulma Testleri ile Belirlenmesi 1/5 DENEY 4 MAZEMEERDE EASTĐSĐTE VE KAYMA EASTĐSĐTE MODÜERĐNĐN EĞME VE BURUMA TESTERĐ ĐE BEĐRENMESĐ 1.

Detaylı

Sigma 2006/1 Araştırma Makalesi / Research Article OPTIMUM DESIGN OF NONLINEAR STEEL SPACE FRAMES VIA TABU SEARCH METHOD

Sigma 2006/1 Araştırma Makalesi / Research Article OPTIMUM DESIGN OF NONLINEAR STEEL SPACE FRAMES VIA TABU SEARCH METHOD Journal of Enineerin and Natural Sciences Mühendislik ve Fen Bilimleri Derisi Sima 2006/1 Araştırma Makalesi / Research Article OPTIMUM DESIGN OF NONLINEAR STEEL SPACE FRAMES VIA TABU SEARCH METHOD S.

Detaylı

T.C. BİLECİK ŞEYH EDEBALİ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE VE İMALAT MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ MIM331 MÜHENDİSLİKTE DENEYSEL METODLAR DERSİ

T.C. BİLECİK ŞEYH EDEBALİ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE VE İMALAT MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ MIM331 MÜHENDİSLİKTE DENEYSEL METODLAR DERSİ T.C. BİLECİK ŞEYH EDEBALİ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE VE İMALAT MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ MIM331 MÜHENDİSLİKTE DENEYSEL METODLAR DERSİ 3 NOKTA EĞME DENEY FÖYÜ ÖĞRETİM ÜYESİ YRD.DOÇ.DR.ÖMER KADİR

Detaylı

Sıvı Depolarının Statik ve Dinamik Hesapları

Sıvı Depolarının Statik ve Dinamik Hesapları Sıvı Depolarının Statik ve Dinamik Hesapları Bu konuda yapmış olduğumuz yayınlardan derlenen ön bilgiler ve bunların listesi aşağıda sunulmaktadır. Bu başlık altında depoların pratik hesaplarına ilişkin

Detaylı

Tanım: Boyuna doğrultuda eksenel basınç kuvveti taşıyan elemanlara Basınç Çubuğu denir.

Tanım: Boyuna doğrultuda eksenel basınç kuvveti taşıyan elemanlara Basınç Çubuğu denir. BASINÇ ÇUBUKLARI Tanım: Boyuna doğrultuda eksenel basınç kuvveti taşıyan elemanlara Basınç Çubuğu denir. Basınç çubukları, sadece eksenel basınç kuvvetine maruz kalırlar. Bu çubuklar üzerinde Eğilme ve

Detaylı

TORNA TEZGAHINDA KESME KUVVETLERİ ANALİZİ

TORNA TEZGAHINDA KESME KUVVETLERİ ANALİZİ İMALAT DALI MAKİNE LABORATUVARI II DERSİ TORNA TEZGAHINDA KESME KUVVETLERİ ANALİZİ DENEY RAPORU HAZIRLAYAN Osman OLUK 1030112411 1.Ö. 1.Grup DENEYİN AMACI Torna tezgahı ile işlemede, iş parçasına istenilen

Detaylı

KİRİŞLERDE PLASTİK MAFSALIN PLASTİKLEŞME BÖLGESİNİ VEREN BİLGİSAYAR YAZILIMI

KİRİŞLERDE PLASTİK MAFSALIN PLASTİKLEŞME BÖLGESİNİ VEREN BİLGİSAYAR YAZILIMI IM 566 LİMİT ANALİZ DÖNEM PROJESİ KİRİŞLERDE PLASTİK MAFSALIN PLASTİKLEŞME BÖLGESİNİ VEREN BİLGİSAYAR YAZILIMI HAZIRLAYAN Bahadır Alyavuz DERS SORUMLUSU Prof. Dr. Sinan Altın GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ

Detaylı

SONLU ELEMANLAR YÖNTEMI ile (SAP2000 UYGULAMASI) 3D Frame Analysis. Reza SHIRZAD REZAEI

SONLU ELEMANLAR YÖNTEMI ile (SAP2000 UYGULAMASI) 3D Frame Analysis. Reza SHIRZAD REZAEI SONLU ELEMANLAR YÖNTEMI ile (SAP2000 UYGULAMASI) 3D Frame Analysis Reza SHIRZAD REZAEI SONLU ELEMANLAR YÖNTEMİ Sonlu Elemanlar (SE)Yöntemi, çesitli mühendislik problemlerine kabul edilebilir bir yaklasımla

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Rastgele Değişkenlerin Dağılımları I Prof. Dr. İrfan KAYMAZ Ders konusu Bu derste; Rastgele değişkenlerin tanımı ve sınıflandırılması Olasılık kütle fonksiyonu Olasılık yoğunluk

Detaylı

KİNETİK MODEL PARAMETRELERİNİN BELİRLENMESİNDE KULLANILAN OPTİMİZASYON TEKNİKLERİNİN KIYASLANMASI

KİNETİK MODEL PARAMETRELERİNİN BELİRLENMESİNDE KULLANILAN OPTİMİZASYON TEKNİKLERİNİN KIYASLANMASI KİNETİK MODEL PARAMETRELERİNİN BELİRLENMESİNDE KULLANILAN OPTİMİZASYON TEKNİKLERİNİN KIYASLANMASI Hatice YANIKOĞLU a, Ezgi ÖZKARA a, Mehmet YÜCEER a* İnönü Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Kimya Mühendisliği

Detaylı

AKARSULARDA KİRLENME KONTROLÜ İÇİN BİR DİNAMİK BENZETİM YAZILIMI

AKARSULARDA KİRLENME KONTROLÜ İÇİN BİR DİNAMİK BENZETİM YAZILIMI AKARSULARDA KİRLENME KONTROLÜ İÇİN BİR DİNAMİK BENZETİM YAZILIMI *Mehmet YÜCEER, **Erdal KARADURMUŞ, *Rıdvan BERBER *Ankara Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Kimya Mühendisliği Bölümü Tandoğan - 06100

Detaylı

İstanbul Teknik Üniversitesi Uçak ve Uzay Bilimleri Fakültesi

İstanbul Teknik Üniversitesi Uçak ve Uzay Bilimleri Fakültesi İstanbul Teknik Üniversitesi Uçak ve Uzay Bilimleri Fakültesi Maslak,34469 İstanbul UCK 328 YAPI TASARIMI Prof. Dr. Zahit Mecitoğlu ÖDEV-II: İTÜ hafif ticari helikopteri için iniş takımı analizi 110030011

Detaylı

ELASTİSİTE TEORİSİ I. Yrd. Doç Dr. Eray Arslan

ELASTİSİTE TEORİSİ I. Yrd. Doç Dr. Eray Arslan ELASTİSİTE TEORİSİ I Yrd. Doç Dr. Eray Arslan Mühendislik Tasarımı Genel Senaryo Analitik çözüm Fiziksel Problem Matematiksel model Diferansiyel Denklem Problem ile ilgili sorular:... Deformasyon ne kadar

Detaylı

KAYMA GERİLMESİ (ENİNE KESME)

KAYMA GERİLMESİ (ENİNE KESME) KAYMA GERİLMESİ (ENİNE KESME) Demir yolu traversleri çok büyük kesme yüklerini taşıyan kiriş olarak davranır. Bu durumda, eğer traversler ahşap malzemedense kesme kuvvetinin en büyük olduğu uçlarından

Detaylı

REZA SHIRZAD REZAEI 1

REZA SHIRZAD REZAEI 1 REZA SHIRZAD REZAEI 1 Tezin Amacı Köprü analiz ve modellemesine yönelik çalışma Akberabad kemer köprüsünün analizi ve modellenmesi Tüm gerçek detayların kullanılması Kalibrasyon 2 KEMER KÖPRÜLER Uzun açıklıklar

Detaylı

Uluslararası Yavuz Tüneli

Uluslararası Yavuz Tüneli Uluslararası Yavuz Tüneli (International Yavuz Tunnel) Tünele rüzgar kaynaklı etkiyen aerodinamik kuvvetler ve bu kuvvetlerin oluşturduğu kesme kuvveti ve moment diyagramları (Aerodinamic Forces Acting

Detaylı

SOLIDWORKS SIMULATION EĞİTİMİ

SOLIDWORKS SIMULATION EĞİTİMİ SOLIDWORKS SIMULATION EĞİTİMİ Kurs süresince SolidWorks Simulation programının işleyişinin yanında FEA teorisi hakkında bilgi verilecektir. Eğitim süresince CAD modelden başlayarak, matematik modelin oluşturulması,

Detaylı

R d N 1 N 2 N 3 N 4 /2 /2

R d N 1 N 2 N 3 N 4 /2 /2 . SÜREKLİ TEELLER. Giriş Kolon yüklerinin büyük ve iki kolonun birbirine yakın olmasından dolayı yapılacak tekil temellerin çakışması halinde veya arsa sınırındaki kolon için eksantrik yüklü tekil temel

Detaylı

Tablo 1 Deney esnasında kullanacağımız numunelere ait elastisite modülleri tablosu

Tablo 1 Deney esnasında kullanacağımız numunelere ait elastisite modülleri tablosu BASİT MESNETLİ KİRİŞTE SEHİM DENEYİ Deneyin Amacı Farklı malzeme ve kalınlığa sahip kirişlerin uygulanan yükün kirişin eğilme miktarına oranı olan rijitlik değerin değişik olduğunun gösterilmesi. Kiriş

Detaylı

Çelik Yapılar - INS /2016

Çelik Yapılar - INS /2016 Çelik Yapılar - INS4033 2015/2016 DERS V Dayanım Limit Durumu Elemanların Burkulma Dayanımı Fatih SÖYLEMEZ Yük. İnş. Müh. İçerik Dayanım Limit Durumu Elemanların Burkulma Dayanımı Elemanların Burkulma

Detaylı

PERDELERDEKİ BOŞLUKLARIN YATAY ÖTELENMEYE ETKİSİ. Ayşe Elif ÖZSOY 1, Kaya ÖZGEN 2 elifozsoy@hotmail.com

PERDELERDEKİ BOŞLUKLARIN YATAY ÖTELENMEYE ETKİSİ. Ayşe Elif ÖZSOY 1, Kaya ÖZGEN 2 elifozsoy@hotmail.com PERDELERDEKİ BOŞLUKLARIN YATAY ÖTELENMEYE ETKİSİ Ayşe Elif ÖZSOY 1, Kaya ÖZGEN 2 elifozsoy@hotmail.com Öz: Deprem yükleri altında yapının analizi ve tasarımında, sistemin yatay ötelenmelerinin sınırlandırılması

Detaylı

GEMİ EĞİLME MOMENTİ ve KESME KUVVETİ KESİT ZORLARININ BUREAU VERITAS KURALLARI ve NÜMERİK YÖNTEM ile ANALİZİ

GEMİ EĞİLME MOMENTİ ve KESME KUVVETİ KESİT ZORLARININ BUREAU VERITAS KURALLARI ve NÜMERİK YÖNTEM ile ANALİZİ GEMİ EĞİLME MOMENTİ ve KESME KUVVETİ KESİT ZORLARININ BUREAU VERITAS KURALLARI ve NÜMERİK YÖNTEM ile ANALİZİ Erhan ASLANTAŞ 1 ve Aydoğan ÖZDAMAR 2 ÖZET Gemilerin ön dizayn aşamasında, boyuna mukavemet

Detaylı

RİSKLİ YAPILARIN TESPİT EDİLMESİNE İLİŞKİN ESASLAR. 5- Risk Tespit Uygulaması: Betonarme Bina

RİSKLİ YAPILARIN TESPİT EDİLMESİNE İLİŞKİN ESASLAR. 5- Risk Tespit Uygulaması: Betonarme Bina RİSKLİ YAPILARIN TESPİT EDİLMESİNE İLİŞKİN ESASLAR 5- Risk Tespit Uygulaması: Betonarme Bina İncelenen Bina Binanın Yeri Bina Taşıyıcı Sistemi Bina 5 katlı Betonarme çerçeve ve perde sistemden oluşmaktadır.

Detaylı

KOCAELİ ÜNİVERSİTESİ Mühendislik Fakültesi Makina Mühendisliği Bölümü Mukavemet II Final Sınavı (2A)

KOCAELİ ÜNİVERSİTESİ Mühendislik Fakültesi Makina Mühendisliği Bölümü Mukavemet II Final Sınavı (2A) KOCELİ ÜNİVERSİTESİ ühendislik ültesi ina ühendisliği ölümü ukavemet II inal Sınavı () dı Soyadı : 5 Haziran 01 Sınıfı : No : SORU 1: Şekilde sistemde boru anahtarına 00 N luk b ir kuvvet etki etmektedir.

Detaylı

DEPREM YÖNETMELİĞİNDEKİ FARKLI ZEMİN SINIFLARINA GÖRE YAPI DAVRANIŞLARININ İRDELENMESİ

DEPREM YÖNETMELİĞİNDEKİ FARKLI ZEMİN SINIFLARINA GÖRE YAPI DAVRANIŞLARININ İRDELENMESİ DEPREM YÖNETMELİĞİNDEKİ FARKLI ZEMİN SINIFLARINA GÖRE YAPI DAVRANIŞLARININ İRDELENMESİ Investigation of Beavior of Structures According To Local Site Classes Given In te Turkis Eartquake Code Ramazan.

Detaylı

29. Düzlem çerçeve örnek çözümleri

29. Düzlem çerçeve örnek çözümleri 9. Düzlem çerçeve örnek çözümleri 9. Düzlem çerçeve örnek çözümleri Örnek 9.: NPI00 profili ile imal edilecek olan sağdaki düzlem çerçeveni normal, kesme ve moment diyagramları çizilecektir. Yapı çeliği

Detaylı

TAŞ DOLGU DALGAKIRANLARIN GENETİK ALGORİTMA İLE GÜVENİRLİK ANALİZİ. M. Levent Koç* Can E. Balas**

TAŞ DOLGU DALGAKIRANLARIN GENETİK ALGORİTMA İLE GÜVENİRLİK ANALİZİ. M. Levent Koç* Can E. Balas** TAŞ DOLGU DALGAKIRANLARIN GENETİK ALGORİTMA İLE GÜVENİRLİK ANALİZİ M. Levent Koç* Can E. Balas** (*) Yrd. Doç. Dr., Cumhuriyet Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü, Sivas Tel:

Detaylı

Öngerilmeli Beton Sürekli Kirişlerin Bilgisayarla Hesabı

Öngerilmeli Beton Sürekli Kirişlerin Bilgisayarla Hesabı Öngerilmeli Beton Sürekli Kirişlerin Bilgisayarla Hesabı ÖZET Bu çalışmada öngerilmeli beton sürekli kirişlerin tasarımını Yük-Dengeleme yöntemiyle yapan bir bilgisayar programı geliştirilmiştir. Program

Detaylı

BASINÇ ALTINDAKİ ÇELİK ELEMANLARIN TAŞIMA GÜCÜ HESABI

BASINÇ ALTINDAKİ ÇELİK ELEMANLARIN TAŞIMA GÜCÜ HESABI BASINÇ ALTINDAKİ ÇELİK ELEMANLARIN TAŞIMA GÜCÜ HESABI Dr. O. Özgür Eğilmez Yardımcı Doçent İzmir Yüksek Teknoloji Enstitüsü İnşaat Mühendisliği Bölümü Zamanda Yolculuk İÇERİK Taşıma Gücü Hesabı ve Amaç

Detaylı

Temeller. Onur ONAT Tunceli Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü, Tunceli

Temeller. Onur ONAT Tunceli Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü, Tunceli Temeller Onur ONAT Tunceli Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü, Tunceli 1 Temel Nedir? Yapısal sistemlerin üzerindeki tüm yükleri, zemine güvenli bir şekilde aktaran yapısal elemanlara

Detaylı

Tabakalı Kompozit Bir Malzemenin Genetik Algoritma Yöntemiyle Rijitlik Optimizasyonu

Tabakalı Kompozit Bir Malzemenin Genetik Algoritma Yöntemiyle Rijitlik Optimizasyonu th International Adanced Technologies Symposium (IATS ), -8 May 20, Elazığ, Turkey Tabakalı Kompozit Bir Malzemenin Genetik Algoritma Yöntemiyle Rijitlik Optimizasyonu Ö. Soykasap e K. B. Sugözü Afyon

Detaylı

BETONARME YAPILARDA BETON SINIFININ TAŞIYICI SİSTEM DAVRANIŞINA ETKİSİ

BETONARME YAPILARDA BETON SINIFININ TAŞIYICI SİSTEM DAVRANIŞINA ETKİSİ BETONARME YAPILARDA BETON SINIFININ TAŞIYICI SİSTEM DAVRANIŞINA ETKİSİ Duygu ÖZTÜRK 1,Kanat Burak BOZDOĞAN 1, Ayhan NUHOĞLU 1 duygu@eng.ege.edu.tr, kanat@eng.ege.edu.tr, anuhoglu@eng.ege.edu.tr Öz: Son

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 5- SONLU FARKLAR VE İNTERPOLASYON TEKNİKLERİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ MAK 210 - Sayısal Analiz 1 İNTERPOLASYON Tablo halinde verilen hassas sayısal değerler veya ayrık noktalardan

Detaylı

Okut. Yüksel YURTAY. İletişim : (264) Sayısal Analiz. Giriş.

Okut. Yüksel YURTAY. İletişim :  (264) Sayısal Analiz. Giriş. Okut. Yüksel YURTAY İletişim : Sayısal Analiz yyurtay@sakarya.edu.tr www.cs.sakarya.edu.tr/yyurtay (264) 295 58 99 Giriş 1 Amaç : Mühendislik problemlerinin bilgisayar ortamında çözümünü mümkün kılacak

Detaylı

AÇI YÖNTEMİ Slope-deflection Method

AÇI YÖNTEMİ Slope-deflection Method SAKARYA ÜNİVERSİTESİ İNŞAAT ÜHENDİSLİĞİ BÖLÜÜ Department of Civil Engineering İN 303 YAPI STATIĞI II AÇI YÖNTEİ Slope-deflection ethod Y.DOÇ.DR. USTAA KUTANİS kutanis@sakarya.edu.tr Sakarya Üniversitesi,

Detaylı

Yapma Enkesitli Çift I Elemandan Oluşan Çok Parçalı Kirişlerin Yanal Burulmalı Burkulması Üzerine Analitik Bir Çalışma

Yapma Enkesitli Çift I Elemandan Oluşan Çok Parçalı Kirişlerin Yanal Burulmalı Burkulması Üzerine Analitik Bir Çalışma Yapma Enkesitli Çift I Elemandan Oluşan Çok Parçalı Kirişlerin Yanal Burulmalı Burkulması Üzerine Analitik Bir Çalışma Mehmet Fatih Kaban, Cüneyt Vatansever Zümrütevler Mah. Atatürk Cad. İstanbul Teknik

Detaylı

BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ BAÜ MÜH.MİM. FAK. İNŞAAT MÜH. BL. ÇELİK KAFES SİSTEM TASARIMI DERS NOTLARI

BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ BAÜ MÜH.MİM. FAK. İNŞAAT MÜH. BL. ÇELİK KAFES SİSTEM TASARIMI DERS NOTLARI BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ ÇELİK KAFES SİSTEM TASARIMI DERS NOTLARI Yrd.Doç.Dr. Kaan TÜRKER 1.HAFTA (2016) 1 DERS PLANI KONULAR 1. Çelik Çatı Sisteminin Geometrik

Detaylı

Zeki Optimizasyon Teknikleri

Zeki Optimizasyon Teknikleri Zeki Optimizasyon Teknikleri Ara sınav - 25% Ödev (Haftalık) - 10% Ödev Sunumu (Haftalık) - 5% Final (Proje Sunumu) - 60% - Dönem sonuna kadar bir optimizasyon tekniğiyle uygulama geliştirilecek (Örn:

Detaylı

Mukavemet-I. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Mukavemet-I. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Mukavemet-I Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 5 Eğilmede Kirişlerin Analizi ve Tasarımı Kaynak: Cisimlerin Mukavemeti, F.P. Beer, E.R. Johnston, J.T. DeWolf, D.F. Mazurek, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok.

Detaylı

İÇİNDEKİLER. ÖNSÖZ... iii İÇİNDEKİLER... v

İÇİNDEKİLER. ÖNSÖZ... iii İÇİNDEKİLER... v İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ... iii İÇİNDEKİLER... v BÖLÜM 1.... 1 1.1. GİRİŞ VE TEMEL KAVRAMLAR... 1 1.2. LİNEER ELASTİSİTE TEORİSİNDE YAPILAN KABULLER... 3 1.3. GERİLME VE GENLEME... 4 1.3.1. Kartezyen Koordinatlarda

Detaylı

İÇİNDEKİLER. BÖLÜM 1 Değişkenler ve Grafikler 1. BÖLÜM 2 Frekans Dağılımları 37

İÇİNDEKİLER. BÖLÜM 1 Değişkenler ve Grafikler 1. BÖLÜM 2 Frekans Dağılımları 37 İÇİNDEKİLER BÖLÜM 1 Değişkenler ve Grafikler 1 İstatistik 1 Yığın ve Örnek; Tümevarımcı ve Betimleyici İstatistik 1 Değişkenler: Kesikli ve Sürekli 1 Verilerin Yuvarlanması Bilimsel Gösterim Anlamlı Rakamlar

Detaylı

idecad Çelik 8 idecad Çelik Kullanılarak AISC ve Yeni Türk Çelik Yönetmeliği ile Kompozit Kirişlerin Tasarımı

idecad Çelik 8 idecad Çelik Kullanılarak AISC ve Yeni Türk Çelik Yönetmeliği ile Kompozit Kirişlerin Tasarımı idecad Çelik 8 idecad Çelik Kullanılarak AISC 360-10 ve Yeni Türk Çelik Yönetmeliği ile Kompozit Kirişlerin Tasarımı Hazırlayan: Oğuzcan HADİM www.idecad.com.tr idecad Çelik 8 Kullanılarak AISC 360-10

Detaylı

YAPI SİSTEMLERİNİN DOĞRUSAL OLMAYAN ÇÖZÜMLEMESİ İÇİN BİR BİLGİSAYAR PROGRAMI

YAPI SİSTEMLERİNİN DOĞRUSAL OLMAYAN ÇÖZÜMLEMESİ İÇİN BİR BİLGİSAYAR PROGRAMI PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİ SLİK FAKÜLTESİ PAMUKKALE UNIVERSITY ENGINEERING COLLEGE MÜHENDİSLİK BİLİMLERİ DERGİSİ JOURNAL OF ENGINEERING SCIENCES YIL CİLT SAYI SAYFA : 2003 : 9 : 2 : 215-222 YAPI SİSTEMLERİNİN

Detaylı

Güçlendirme Alternatiflerinin Doğrusal Olmayan Analitik Yöntemlerle İrdelenmesi

Güçlendirme Alternatiflerinin Doğrusal Olmayan Analitik Yöntemlerle İrdelenmesi YDGA2005 - Yığma Yapıların Deprem Güvenliğinin Arttırılması Çalıştayı, 17 Şubat 2005, Orta Doğu Teknik Üniversitesi, Ankara. Güçlendirme Alternatiflerinin Doğrusal Olmayan Analitik Yöntemlerle İrdelenmesi

Detaylı

ÖZHENDEKCİ BASINÇ ÇUBUKLARI

ÖZHENDEKCİ BASINÇ ÇUBUKLARI BASINÇ ÇUBUKLARI Kesit zoru olarak yalnızca eksenel doğrultuda basınca maruz kalan elemanlara basınç çubukları denir. Bu tip çubuklara örnek olarak pandül kolonları, kafes sistemlerin basınca çalışan dikme

Detaylı

KATMANLI KOMPOZİT KİRİŞLERİN GENETİK ALGORİTMA İLE OPTİMİZASYONU

KATMANLI KOMPOZİT KİRİŞLERİN GENETİK ALGORİTMA İLE OPTİMİZASYONU KATMANLI KOMPOZİT KİRİŞLERİN GENETİK ALGORİTMA İLE OPTİMİZASYONU Fatih Karaçam ve Taner Tımarcı Trakya Üniversitesi, MMF Makine Mühendisliği Bölümü 030 Edirne e-mail: tanert@trakya.edu.tr Bu çalışmada

Detaylı

Üç Boyutlu Çerçeve Yapıların Statik Analizi için Geliştirilen Bir Bilgisayar Programı: YapAn05

Üç Boyutlu Çerçeve Yapıların Statik Analizi için Geliştirilen Bir Bilgisayar Programı: YapAn05 Üç Boyutlu Çerçeve Yapıların Statik Analizi için Geliştirilen Bir Bilgisayar Programı: YapAn05 Mahmud Sami Döven, Burak Kaymak, Mehmet Tevfik Bayer Dumlupınar Üniversitesi, İnşaat Mühendisliği Bölümü,

Detaylı

KOCAELİ ÜNİVERSİTESİ Mühendislik Fakültesi Makina Mühendisliği Bölümü Mukavemet I Final Sınavı

KOCAELİ ÜNİVERSİTESİ Mühendislik Fakültesi Makina Mühendisliği Bölümü Mukavemet I Final Sınavı KOCEİ ÜNİVERSİTESİ Mühendislik akültesi Makina Mühendisliği ölümü Mukavemet I inal Sınavı dı Soadı : 9 Ocak 0 Sınıfı : h No : SORU : Şekildeki ucundan ankastre, ucundan serbest olan kirişinin uzunluğu

Detaylı

İÇERİSİ BETON İLE DOLDURULMUŞ ÇELİK BORU YAPI ELEMANLARININ DAYANIMININ ARAŞTIRILMASI ÖZET

İÇERİSİ BETON İLE DOLDURULMUŞ ÇELİK BORU YAPI ELEMANLARININ DAYANIMININ ARAŞTIRILMASI ÖZET İÇERİSİ BETON İLE DOLDURULMUŞ ÇELİK BORU YAPI ELEMANLARININ DAYANIMININ ARAŞTIRILMASI Cemal EYYUBOV *, Handan ADIBELLİ ** * Erciyes Üniv., Müh. Fak. İnşaat Müh.Böl., Kayseri-Türkiye Tel(0352) 437 49 37-38/

Detaylı

Fotoğraf Albümü. Zeliha Kuyumcu. Mesnetlerinden Farklı Yer Hareketlerine Maruz Kablolu Köprülerin Stokastik Analizi

Fotoğraf Albümü. Zeliha Kuyumcu. Mesnetlerinden Farklı Yer Hareketlerine Maruz Kablolu Köprülerin Stokastik Analizi Mesnetlerinden Farklı Yer Hareketlerine Maruz Kablolu Köprülerin Stokastik Analizi Fotoğraf Albümü Araş. Gör. Zeliha TONYALI* Doç. Dr. Şevket ATEŞ Doç. Dr. Süleyman ADANUR Zeliha Kuyumcu Çalışmanın Amacı:

Detaylı

Master Panel 1000 WT Cephe

Master Panel 1000 WT Cephe GROUP ENERJİ SANDVİÇ PANEL 0216 340 2538-39 FAKS: 0216 340 2534 Email:info@groupenerji.com Master Panel 1000 WT Cephe Ürün Tanımı Cephe paneli bağlantı elemanını gizleyen sistemi sayesinde cephelerde kullanıma

Detaylı

MODELLEME TEKNİKLERİNİN MEVCUT BİNALARIN DEPREM PERFORMANSI ÜZERİNE ETKİLERİNİN ARAŞTIRILMASI

MODELLEME TEKNİKLERİNİN MEVCUT BİNALARIN DEPREM PERFORMANSI ÜZERİNE ETKİLERİNİN ARAŞTIRILMASI ÖZET: MODELLEME TEKNİKLERİNİN MEVCUT BİNALARIN DEPREM PERFORMANSI ÜZERİNE ETKİLERİNİN ARAŞTIRILMASI Ş.M. Şenel 1, M. Palanci 2, A. Kalkan 3 ve Y. Yılmaz 4 1 Doçent Doktor, İnşaat Müh. Bölümü, Pamukkale

Detaylı

YAPI MÜHENDİSLİĞİ BİLGİSAYAR UYGULAMALARI

YAPI MÜHENDİSLİĞİ BİLGİSAYAR UYGULAMALARI YÜZÜNCÜ YIL ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK MİMARLIK FAKÜLTESİ İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ YAPI MÜHENDİSLİĞİ BİLGİSAYAR UYGULAMALARI Yrd. Doç. Dr. Barış Erdil YAPI MÜHENDİSLİĞİ NEDİR? STRUCTURAL ENGINEERING IS

Detaylı

GERİLME Cismin kesilmiş alanı üzerinde O

GERİLME Cismin kesilmiş alanı üzerinde O GERİLME Cismin kesilmiş alanı üzerinde O ile tanımlı noktasına etki eden kuvvet ve momentin kesit alana etki eden gerçek yayılı yüklerin bileşke etkisini temsil ettiği ifade edilmişti. Cisimlerin mukavemeti

Detaylı

Özyineleme (Recursion)

Özyineleme (Recursion) C PROGRAMLAMA Özyineleme (Recursion) Bir fonksiyonun kendisini çağırarak çözüme gitmesine özyineleme (recursion), böyle çalışan fonksiyonlara da özyinelemeli (recursive) fonksiyonlar denilir. Özyineleme,

Detaylı

Kirişlerde Kesme (Transverse Shear)

Kirişlerde Kesme (Transverse Shear) Kirişlerde Kesme (Transverse Shear) Bu bölümde, doğrusal, prizmatik, homojen ve lineer elastik davranan bir elemanın eksenine dik doğrultuda yüklerin etkimesi durumunda en kesitinde oluşan kesme gerilmeleri

Detaylı

5. RITZ metodunun elemana uygulanması, elemanın rijitlik matrisi

5. RITZ metodunun elemana uygulanması, elemanın rijitlik matrisi 5. RITZ metodunun elemana uygulanması, elemanın rijitlik matrisi u bölümde RITZ metodu eleman bazında uygulanacak, elemanın yer değiştirme fonksiyonu, şekil değiştirme, gerilme bağıntıları, toplam potansiyeli,

Detaylı

GÜVENĐLĐRLĐK-TABANLI YORULMA ÖMRÜ TAHMĐNĐ Erdem ACAR Orta Doğu Teknik Üniversitesi, Havacılık ve Uzay Mühendisliği Bölümü

GÜVENĐLĐRLĐK-TABANLI YORULMA ÖMRÜ TAHMĐNĐ Erdem ACAR Orta Doğu Teknik Üniversitesi, Havacılık ve Uzay Mühendisliği Bölümü makale GÜVENĐLĐRLĐK-TABANLI YORULMA ÖMRÜ TAHMĐNĐ Erdem ACAR Orta Doğu Teknik Üniversitesi, Havacılık ve Uzay Mühendisliği Bölümü Bu makalede metalik yapılardaki yorulma çatlak ilerlemesi güvenilirlik-tabanlı

Detaylı

Kırılma Hipotezleri. Makine Elemanları. Eşdeğer Gerilme ve Hasar (Kırılma ve Akma) Hipotezleri

Kırılma Hipotezleri. Makine Elemanları. Eşdeğer Gerilme ve Hasar (Kırılma ve Akma) Hipotezleri Makine Elemanları Eşdeğer Gerilme ve Hasar (Kırılma ve Akma) Hipotezleri BİLEŞİK GERİLMELER Kırılma Hipotezleri İki veya üç eksenli değişik gerilme hallerinde meydana gelen zorlanmalardır. En fazla rastlanılan

Detaylı

Yığma yapı elemanları ve bu elemanlardan temel taşıyıcı olan yığma duvarlar ve malzeme karakteristiklerinin araştırılması

Yığma yapı elemanları ve bu elemanlardan temel taşıyıcı olan yığma duvarlar ve malzeme karakteristiklerinin araştırılması Yığma yapı elemanları ve bu elemanlardan temel taşıyıcı olan yığma duvarlar ve malzeme karakteristiklerinin araştırılması Farklı sonlu eleman tipleri ve farklı modelleme teknikleri kullanılarak yığma duvarların

Detaylı

Şekil 1. DEÜ Test Asansörü kuyusu.

Şekil 1. DEÜ Test Asansörü kuyusu. DOKUZ EYLÜL ÜNĐVERSĐTESĐ TEST ASANSÖRÜ KUYUSUNUN DEPREM YÜKLERĐ ETKĐSĐ ALTINDAKĐ DĐNAMĐK DAVRANIŞININ ĐNCELENMESĐ Zeki Kıral ve Binnur Gören Kıral Dokuz Eylül Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi, Makine

Detaylı

YARI RİJİT BİRLEŞİMLİ ÇELİK ÇERÇEVELERİN ANALİZİ

YARI RİJİT BİRLEŞİMLİ ÇELİK ÇERÇEVELERİN ANALİZİ YARI RİJİT BİRLEŞİMLİ ÇELİK ÇERÇEVELERİN ANALİZİ ARAŞ. GÖR. ÖZGÜR BOZDAĞ İş Adresi: D.E.Ü. Müh. Fak. İnş.Böl. Kaynaklar Yerleşkesi Tınaztepe-Buca / İZMİR İş Tel-Fax: 0 232 4531191-1073 Ev Adresi: Yeşillik

Detaylı

Üzerinde birden fazla yay-kütle sistemi bulunan eksenel yük etkisi altındaki kirişlerin serbest titreşim analizi

Üzerinde birden fazla yay-kütle sistemi bulunan eksenel yük etkisi altındaki kirişlerin serbest titreşim analizi Makine Teknolojileri Elektronik Dergisi Cilt: 8, No: 3, 011 (1-11) Electronic Journal of Machine Technologies Vol: 8, No: 3, 011 (1-11) TEKNOLOJĐK ARAŞTIRMALAR www.teknolojikarastirmalar.com e-issn:1304-4141

Detaylı

EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER

EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER LAGRANGE YÖNTEMİ Bu metodu incelemek için Amaç fonksiyonu Min.z= f(x) Kısıtı g(x)=0 olan problemde değişkenler ve kısıtlar genel olarak şeklinde gösterilir. fonksiyonlarının

Detaylı

Erdal İRTEM-Kaan TÜRKER- Umut HASGÜL BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ MÜH. MİM. FAKÜLTESİ İNŞAAT MÜH. BL.

Erdal İRTEM-Kaan TÜRKER- Umut HASGÜL BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ MÜH. MİM. FAKÜLTESİ İNŞAAT MÜH. BL. Erdal İRTEM-Kaan TÜRKER- Umut HASGÜL BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ MÜH. MİM. FAKÜLTESİ İNŞAAT MÜH. BL. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ MÜH. MİM. FAKÜLTESİ İNŞAAT MÜH. BL. ÇAĞIŞ 10145, BALIKESİR 266 612 11 94 266 612 11

Detaylı

Nautilus kalıpları, yerinde döküm yapılarak, hafifletilmiş betonarme plak döşeme oluşturmak için geliştirilmiş kör kalıp sistemidir.

Nautilus kalıpları, yerinde döküm yapılarak, hafifletilmiş betonarme plak döşeme oluşturmak için geliştirilmiş kör kalıp sistemidir. Nautilus kalıpları, yerinde döküm yapılarak, hafifletilmiş betonarme plak döşeme oluşturmak için geliştirilmiş kör kalıp sistemidir. Mimari ve statik tasarım kolaylığı Kirişsiz, kasetsiz düz bir tavan

Detaylı

Rastgele Değişkenlerin Dağılımları. Mühendislikte İstatistik Yöntemler

Rastgele Değişkenlerin Dağılımları. Mühendislikte İstatistik Yöntemler Rastgele Değişkenlerin Dağılımları Mühendislikte İstatistik Yöntemler Ayrık Rastgele Değişkenler ve Olasılık Dağılımları Yapılan çalışmalarda elde edilen verilerin dağılışı ve dağılış fonksiyonu her seferinde

Detaylı

Mühendislikte Sayısal Çözüm Yöntemleri NÜMERİK ANALİZ. Prof. Dr. İbrahim UZUN

Mühendislikte Sayısal Çözüm Yöntemleri NÜMERİK ANALİZ. Prof. Dr. İbrahim UZUN Mühendislikte Sayısal Çözüm Yöntemleri NÜMERİK ANALİZ Prof. Dr. İbrahim UZUN Yayın No : 2415 İşletme-Ekonomi Dizisi : 147 5. Baskı Eylül 2012 - İSTANBUL ISBN 978-605 - 377-438 - 9 Copyright Bu kitabın

Detaylı

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 10 Eylemsizlik Momentleri Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R. C.Hibbeler, S. C. Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 10. Eylemsizlik Momentleri

Detaylı

Posta Adresi: Sakarya Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü, 54187 Esentepe Kampüsü/Sakarya

Posta Adresi: Sakarya Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü, 54187 Esentepe Kampüsü/Sakarya DİNAMİK YÜKLER ETKİSİ ALTINDAKİ ÜSTYAPI-ZEMİN ORTAK SİSTEMİNİN EMPEDANS FONKSİYONLARINA DAYALI ÇÖZÜMÜ SUBSTRUCTURING ANALYSIS BASED ON IMPEDANCE FUNCTIONS FOR SOIL-STRUCTURE COUPLING SYSTEM SUBJECTED TO

Detaylı

Saf Eğilme(Pure Bending)

Saf Eğilme(Pure Bending) Saf Eğilme(Pure Bending) Saf Eğilme (Pure Bending) Bu bölümde doğrusal, prizmatik, homojen bir elemanın eğilme etkisi altındaki şekil değiştirmesini/ deformasyonları incelenecek. Burada çıkarılacak formüller

Detaylı

KARADENİZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ MADEN MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ MADEN İŞLETME LABORATUVARI

KARADENİZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ MADEN MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ MADEN İŞLETME LABORATUVARI DENEY ADI: EĞİLME (BÜKÜLME) DAYANIMI TANIM: Eğilme dayanımı (bükülme dayanımı veya parçalanma modülü olarak da bilinir), bir malzemenin dış fiberinin çekme dayanımının ölçüsüdür. Bu özellik, silindirik

Detaylı

Master Panel 1000 R5T Çatı

Master Panel 1000 R5T Çatı GROUP ENERJİ SANDVİÇ PANEL 0216 340 2538-39 FAKS: 0216 340 2534 Email:info@groupenerji.com Master Panel 1000 R5T Çatı Ürün Tanımı Yangın riskinin yüksek olduğu yapılarda ve azami yangın dayanımı istenen

Detaylı

Yapısal Analiz Programı SAP2000 Bilgi Aktarımı ve Kullanımı. Doç.Dr. Bilge Doran

Yapısal Analiz Programı SAP2000 Bilgi Aktarımı ve Kullanımı. Doç.Dr. Bilge Doran Yapısal Analiz Programı SAP2000 Bilgi Aktarımı ve Kullanımı Dersin Adı : Yapı Mühendisliğinde Bilgisayar Uygulamaları Koordinatörü : Doç.Dr.Bilge DORAN Öğretim Üyeleri/Elemanları: Dr. Sema NOYAN ALACALI,

Detaylı

MAK 305 MAKİNE ELEMANLARI-1

MAK 305 MAKİNE ELEMANLARI-1 MAK 305 MAKİNE ELEMANLARI-1 Toleranslar ve Yüzey Kalitesi Doç. Dr. Ali Rıza Yıldız 1 BU DERS SUNUMUNDAN EDİNİLMESİ BEKLENEN BİLGİLER Tolerans kavramının anlaşılması ISO Tolerans Sistemi Geçmeler Toleransın

Detaylı

8.04 Kuantum Fiziği Ders IV. Kırınım olayı olarak Heisenberg belirsizlik ilkesi. ise, parçacığın dalga fonksiyonu,

8.04 Kuantum Fiziği Ders IV. Kırınım olayı olarak Heisenberg belirsizlik ilkesi. ise, parçacığın dalga fonksiyonu, Geçen Derste Kırınım olayı olarak Heisenberg belirsizlik ilkesi ΔxΔp x 2 Fourier ayrışımı Bugün φ(k) yı nasıl hesaplarız ψ(x) ve φ(k) ın yorumu: olasılık genliği ve olasılık yoğunluğu ölçüm φ ( k)veyahut

Detaylı

Kompozit Malzemeler ve Mekaniği. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Kompozit Malzemeler ve Mekaniği. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Kompozit Malzemeler ve Mekaniği Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 4 Laminatların Makromekanik Analizi Kaynak: Kompozit Malzeme Mekaniği, Autar K. Kaw, Çevirenler: B. Okutan Baba, R. Karakuzu. 4 Laminatların

Detaylı

BULANIK MANTIK VE SİSTEMLERİ 2014 2015 BAHAR DÖNEMİ ÖDEV 1. Müslüm ÖZTÜRK 148164001004 Bilişim Teknolojileri Mühendisliği ABD Doktora Programı

BULANIK MANTIK VE SİSTEMLERİ 2014 2015 BAHAR DÖNEMİ ÖDEV 1. Müslüm ÖZTÜRK 148164001004 Bilişim Teknolojileri Mühendisliği ABD Doktora Programı BULANIK MANTIK VE SİSTEMLERİ 2014 2015 BAHAR DÖNEMİ ÖDEV 1 Müslüm ÖZTÜRK 148164001004 Bilişim Teknolojileri Mühendisliği ABD Doktora Programı Mart 2015 0 SORU 1) Bulanık Küme nedir? Bulanık Kümenin (fuzzy

Detaylı

ÇELİK YAPILAR 2. Hafta. Onur ONAT Munzur Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü, Tunceli

ÇELİK YAPILAR 2. Hafta. Onur ONAT Munzur Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü, Tunceli ÇELİK YAPILAR 2. Hafta Onur ONAT Munzur Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü, Tunceli 1 Haddelenmiş Çelik Ürünleri Nelerdir? Haddelemeyi tekrar hatırlayacak olursak; Haddeleme

Detaylı

009 BS 400- İstatistik sonılannın cevaplanmasında gerekli olabilecek tablolar ve formüller bu kitapçığın sonunda verilmiştir. 1. şağıdakilerden hangisi doğal birimdir? l TV alıcısı Bl Trafik kazası CL

Detaylı

Plazma İletiminin Optimal Kontrolü Üzerine

Plazma İletiminin Optimal Kontrolü Üzerine Plazma İletiminin Optimal Kontrolü Üzerine 1 Yalçın Yılmaz, 2 İsmail Küçük ve 3 Faruk Uygul *1 Faculty of Arts and Sciences, Dept. of Mathematics, Sakaya University, Sakarya, Turkey 2 Faculty of Chemical

Detaylı

ASİSTAN ARŞ. GÖR. GÜL DAYAN

ASİSTAN ARŞ. GÖR. GÜL DAYAN ASİSTAN ARŞ. GÖR. GÜL DAYAN VİSKOZİTE ÖLÇÜMÜ Viskozite, bir sıvının iç sürtünmesi olarak tanımlanır. Viskoziteyi etkileyen en önemli faktör sıcaklıktır. Sıcaklık arttıkça sıvıların viskoziteleri azalır.

Detaylı

SIRA İSTATİSTİKLERİ VE UYGULAMA ALANLARINDAN BİR ÖRNEĞİN DEĞERLENDİRMESİ

SIRA İSTATİSTİKLERİ VE UYGULAMA ALANLARINDAN BİR ÖRNEĞİN DEĞERLENDİRMESİ Sıra İstatistikleri ve Uygulama Alanlarından Bir Örneğin Değerlendirmesi 89 SIRA İSTATİSTİKLERİ VE UYGULAMA ALANLARINDAN BİR ÖRNEĞİN DEĞERLENDİRMESİ Esin Cumhur PİRİNÇCİLER Araş. Gör. Dr., Çanakkale Onsekiz

Detaylı

BURULMA DENEYİ 2. TANIMLAMALAR:

BURULMA DENEYİ 2. TANIMLAMALAR: BURULMA DENEYİ 1. DENEYİN AMACI: Burulma deneyi, malzemelerin kayma modülü (G) ve kayma akma gerilmesi ( A ) gibi özelliklerinin belirlenmesi amacıyla uygulanır. 2. TANIMLAMALAR: Kayma modülü: Kayma gerilmesi-kayma

Detaylı

JEODEZİK AĞLARIN OPTİMİZASYONU

JEODEZİK AĞLARIN OPTİMİZASYONU JEODEZİK AĞLARIN OPTİMİZASYONU Jeodezik Ağların Tasarımı 10.HAFTA Dr.Emine Tanır Kayıkçı,2017 OPTİMİZASYON Herhangi bir yatırımın gerçekleştirilmesi sırasında elde bulunan, araç, hammadde, para, işgücü

Detaylı

AN EKER. Prof.Dr.Ayşeg AN EKER

AN EKER. Prof.Dr.Ayşeg AN EKER Malzeme-Fonksiyon İlişkisi Malzeme-Fonksiyon İlişkisi Bir malzemenin nitelikleri ; onun öz z kütle, k elastiklik modülü,, dayanım, fiyat vb. özelliklen tarafından belirlenir. Bir tasarım ; malzeme özelliklerin

Detaylı

Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü

Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü Mühendislikte İstatistiksel Yöntemler Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü 1 Araştırma sonuçlarının açıklanmasında frekans tablosu

Detaylı

MONTE CARLO BENZETİMİ

MONTE CARLO BENZETİMİ MONTE CARLO BENZETİMİ U(0,1) rassal değişkenler kullanılarak (zamanın önemli bir rolü olmadığı) stokastik ya da deterministik problemlerin çözümünde kullanılan bir tekniktir. Monte Carlo simülasyonu, genellikle

Detaylı

SARILMIŞ VE GELENEKSEL TİP YIĞMA YAPILARIN DEPREM DAVRANIŞLARININ İNCELENMESİ. Ali URAL 1

SARILMIŞ VE GELENEKSEL TİP YIĞMA YAPILARIN DEPREM DAVRANIŞLARININ İNCELENMESİ. Ali URAL 1 SARILMIŞ VE GELENEKSEL TİP YIĞMA YAPILARIN DEPREM DAVRANIŞLARININ İNCELENMESİ Ali URAL 1 aliural@ktu.edu.tr Öz: Yığma yapılar ülkemizde genellikle kırsal kesimlerde yoğun olarak karşımıza çıkmaktadır.

Detaylı