Bu Cennet Vatan için Şehit Düşenlere İthafen

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Bu Cennet Vatan için Şehit Düşenlere İthafen"

Transkript

1 ÖNSÖZ Optimizasyon Teorisinin mühendislik, üretim, işletme, ekonomi, haberleşme, ulaştırma, sanayi gibi pek çok alanda uygulanması, YA nı vazgeçilmez kılmıştır. Özellikle bilgisayarların yaygın bir kullanım alanına sahip olmasından sonra endüstri kesimi de karar vermede yararlı bir araç olduğunu gördüğü Lineer Programlama (LP) konusuna ilgi duymaya başlamıştır. Petrol endüstrisi, problemlerinin karmaşıklığı sebebiyle, LP ile ciddi bir şekilde ilgilenen ilk endüstri branşı olmuştur []. Günümüzde, YA aşağıda sadece bir kaçını verebileceğimiz yüzlerce farklı problemlerin çözümünde kullanılmaktadır.bunlar, Fabrika Organizasyonu, Atelye/Tezgah Optimizasyonu, Proje Yönetimi, kaynakların optimum kullanımı sayılabilir. Bu ders notunu hazırlama amacımız,lisans seviyesinde eğitim veren fakültelerde Meslek Matematiği,Optimizasyon Teknikleri vb.isimler altında verilen derslere uygun olan ve lisansüstü eğitime önemli derecede katkı sağlayacak bir çalışma yapmak ve bunu daha da geliştirerek Optimizasyon Teknikleri kitabını yazmaktır.bununla birlikte, güncel hayatın her alanında uygulamalarına rastladığımız optimizasyon kavramını öğrencilerimize uygulamaları ile aktararak bu konudaki bilincin oluşturulması ve en güncel yaklaşım olan yapay zeka tekniklerine zemin hazırlanması amaçlanmıştır. İçeriğinde temelde Doğrusal Programlama ile Doğrusal Olmayan Programlama tekniklerini barındıran bu çalışmada öğrencilerimize klasik optimizasyon teorisinden ulaştırma problemlerine,gezgin satıcı probleminden en kısa yol problemine ve simpleks yöntemden atama problemine kadar çok sayıda konu örnekler ile desteklenerek ele alınmıştır. Bu çalışmanın gerek dersimizi alan öğrencilere gerekse bu konularla ilgilenen herkese faydalı olması temennisiyle Öneri ve eleştirilerini adresine bekliyoruz. Bu Cennet Vatan için Şehit Düşenlere İthafen

2

3 Önsöz...I İçindekiler...II. Giriş.... Lineer Programlama ve Grafik Çözümü..... Lineer Programlamaya Giriş..... Lineer Programlama Hakkında Genel Bilgi....3 Lineer Programlama İşlem Basamakları Lineer Programlama Problem Örnekleri Lineer Programlama ve Simpleks Metodu Simpleks Metoda Giriş Aylak Değişkenler ve Simpleks Metodun Örneklerle İncelenmesi Simpleks Metot Maksimum Problemleri Simpleks Metot II (Minimum Problemleri) Lineer Prramlama Problemlerinin marjinal analizleri ve formülleri: Lineer Programlama Problemlerinin Matris Fonksiyonlar Duality Duality ve Simpleks Metot İlişkisi Duality nin temel teoremi Ulaştırma Problemleri Ulaştırma Problemlerine Giriş Örneklerle Ulaştırma Problemlerinin incelenmesi Kuzey-batı köşesi yöntemi En küçük maliyetli hücreler metodu VAM(vogel) metodu Atama Problemleri ve Gezgin Satıcı Problemi Atama Problemlerine Giriş Atama Problemlerinin Çözüm adımları Örneklerle Atama Problemlerinin İncelenmesi Gezgin Satıcı Problemi Gezgin Satıcı Problemine Giriş Gezgin Satıcı Problemi İşlem Adımları Gezgin Satıcı Problemlerinin Örneklerle İncelenmesi...68

4 7. Dinamik Programlama Dinamik Programlaya Giriş Dinamik Programlanın Örneklerle İnecelenmesi Uygulama Programları Simpleks Metot Atama Problemleri Uygulamalarda Kullanılan Teknolojiler Java Java Hakkında Genel Bilgi Java Program Geliştirme Ortamaları ve Applett Kullanımı Delphi Delphi Hakkında Genel Bilgi Atama Problemi Algoritma Yapısı Active X Html Html hakkında Genel Bilgi Html içerisinde Diğer Dillerin Kullanımı Html de Active X Kullanımı Sonuç ve Öneriler...8.Kaynaklar...83.Özgeçmiş...84

5 I.GİRİŞ.Optimizasyon.. Tanım:En basit anlamı ile optimizasyon eldeki kısıtlı kaynakları en optimum biçimde kullanmak olarak tanımlanabilir().matematiksel olarak ifade etmek gerekirse optimizasyon kısaca bir fonksiyonun minimize veya maksimize edilmesi olarak tanımlanabilir(). Diğer bir değişle optimizasyon en iyi amaç kriterinin en iyi değerini veren kısıtlardaki değişkenlerin değerini bulmaktır (3). Başka bir tanımlama ile belirli amaçları gerçekleştirmek için en iyi kararları verme sanatı veya belirli koşullar altında herhangi bir şeyi en iyi yapma (4) olarak da tanımlanan optimizasyon kısaca en iyi sonuçları içeren işlemler topluluğudur (5).Optimizasyonda bir amaç da maksimum kâr veya minimum maliyeti sağlayacak üretim miktarını kısıtlara bağlı olarak tespit etmektir. Günümüzün bilgisayar teknolojisi kadar güncel bir kavram olan optimizasyon kavramı çok çeşitli endüstri kesimlerinde uygulama olanağı bulmuştur. Değişen teknolojilerin, sınırlı kaynakların, artan rekabetin, karmaşık hale gelen sistemlerin doğurduğu problemlerin klasik yöntemlerle (matematiksel veya matematiksel olmayan, analitik veya sayısal) çözümünün güçleşmesi optimizasyon kavramını güncelleştiren en önemli sebeptir.bu yönüyle optimizasyonun kullanılmadığı bir bilim dalı hemen hemen yok gibidir (6)... Tarihçe:Gerçek hayatta karşılaşılan birçok problem için geliştirilen karar modellerinin kısıtları ve amaç fonksiyonlarında her zaman doğrusal bir ilişki kurulamadığından 95 li yıllardan sonra geliştirilmeye başlayan ve temelleri 8. ve 9. yüzyıllara dayanan yeni analitik ve sayısal yöntemler 96 lı yıllardan sonra sayısal bilgisayarlarında desteği ile hızla çoğalmıştır. Özellikle kimyasal işlemlerin süreklilik arz etmesi, planlamacıların, tasarımcıların, mühendislerin, jeologların, ekonomistlerin, iktisatçıların, işletmecilerin v.b. kendi alanlarındaki problemleri çözmek için yaptıkları çalışmalar optimizasyon ve buna bağlı teknikleri hızla ortaya çıkarmıştır. Benzer şekilde bu tekniklerin amaçlandığı alanlara, sistemin özelliklerine, kullanılan matematiksel yöntemlere ve kıstasların tasnifleri aşamalar geçirmiştir(3).

6 Klasik optimizasyon teorisi Cauchy, Lagrange ve Newton tarafından geliştirilmiştir. Newton ve Leibnitz in analiz çalışmaları optimizasyonun diferansiyel hesap metodlarının geliştirilmesine katkıda bulunmuştur. Kısıtlı problemler için optimizasyon metodunu adıyla anılan Lagrange geliştirmiştir. Kısıtsız optimizasyon problemlerini çözmek için Steepest Descent (en dik iniş,eğim) metodunun ilk uygulaması da Cauchy tarafından yapılmıştır. Optimizasyon konusundaki bu çalışmalar. yüzyılın ortalarına kadar çok yavaş ilerlemiştir. 95 lerden sonra sayısal bilgisayarların icadı optimizasyonda çok büyük çalışmaları beraberinde getirerek birçok yeni teori ve metodun ortaya çıkmasını sağlamıştır. Fakat 96 lı yıllarda kısıtsız optimizasyon konusundaki sayısal metodlar sadece İngiltere de geliştirilmiştir (5). Simpleks metodunu 947 de Dantzing, Dinamik Programlama Tekniğini 954 de Bellmann geliştirmiştir.bu çalışmamızın esasını teşkil eden Doğrusal Olmayan Programlama konusundaki ilk önemli çalışmalar 95 yılında Karush Kuhn ve Tucker tarafından optimal çözüm için gerek ve yeter şartlar teorisi başlığı adı altında sunulmuştur(7). 96 lı yıllarda Zoutendijk ve Rosen de Doğrusal Olmayan Programlama sahasında önemli çalışmalar yapmışlardır. Doğrusal Olmayan Programlama alanındaki en büyük gelişme kısıtsız optimizasyonun bilinen tekniklerini kullanarak çok zor problemlerin çözümünü kolaylaştıran ciddi çalışmaların Carroll, Fiacco ve Mc Cormick tarafından ortaya konmasıdır. Geometrik Programlama ise 96 lı yıllarda Peterson, Zener ve Duffin tarafından geliştirilmiştir(5).düzlemsel Kesme Algoritması ise 969 da Zangwill tarafından ortaya konmuştur. İndirgenmiş Gradient Metod ise Wolfe tarafından 963 de geliştirilmiştir(8)..3.optimizasyon Probleminin Özellikleri ve Çözüm Aşamaları Bir optimizasyon probleminin temel özelliği üç kategoriye ayrılmasıdır. Bunlar : En az bir amaç fonksiyonunun optimize edilmesi Eşitlik kısıtları Eşitsizlik kısıtlarıdır

7 Yani genel bir optimizasyon problemi: maksimum (minimum) f() veya gi (),( ) i =,,.., m h i () = i = m +, m +,, n şeklindedir.bu genel tanım altında amaç fonksiyonunun en iyi değerini veren X = (,,..., n )T n boyutlu çözüm vektörüne model vektörü de denir(3). () ile ifade edilen genel problemde f() amaç fonksiyonunu, g i () eşitsizlik kısıtları ve h i () eşitlik kısıtları temsil eder. n in sıfır olması problemin kısıtsız olması, sıfırdan farklı olması da problemin kısıtlı olması anlamına gelir. Genel bir optimizasyon probleminin çözümü altı adımda gerçekleştirilir. i. İşlem analiz edilerek işlem değişkenlerinin bütün bir listesi çıkarılır. ii. iii. iv. Optimizasyon için amaç fonksiyonunu tanımlayacak kriter belirlenir. Matematiksel ifadelerle kullanılabilir bir işlem gerçekleştirilir. Problem çok büyükse; a) Kontrol edilebilir ve modeli basitleştirilir. b) Amaç fonksiyonu tekniği matematiksel ifadeye uygulanır. v. Uygun optimizasyon tekniği matematiksel ifadeye uygulanır. vi. Cevaplar kontrol edilir(3). Bütün optimizasyon problemlerinin çözümü için etkili tek bir metot olmadığından optimizasyon metotları optimizasyon problemlerinin farklı tiplerinin çözümü için geliştirilmiştir(5)..4. Doğrusal Olmayan Programlama Gerçek hayatta karşılaşılan birçok problem için geliştirilen karar modellerinin kısıtlarından en az biri veya amaç fonksiyonunun doğrusal olmadığı durumlar için geliştirilen tüm kavram ve teknikler Doğrusal Olmayan Programlama adı altında incelenmektedir(6). 3

8 Doğrusal Olmayan Programlama: Z = f( i ) = f(,..., n ) (i =,,, n) şeklinde tanımlanan sürekli ve türevlenebilen bir amaç fonksiyonunun; g j ( i ) ( i ) (i =,,, n)(j =,,, m ) kısıtları altında optimum çözümünü araştırma yöntemidir(9). Doğrusal ve doğrusal olmayan denklemlerden oluşan g j ( i ) kısıtları eşitlikler veya eşitsizlikler şeklinde verilebilir. Şöyle ki; g j ( i ) ( ) (j =,,., l) ve g j ( i ) = (j = +,..., m) şeklinde tanımlanan kısıtlar m tane denklemden oluşan bir denklem sistemidir. Bu denklemlerin tanesi eşitsizlik, (m-) tanesi eşitlik denkleminden oluşur()..5. Amaç Fonksiyonunun Yorumlanması Amaç fonksiyonunun yorumlanması konusunda kısıtlarda ve (veya) kısıtsız problemde yer alan değişkenlerin (karar değişkenleri) en iyi seçmedeki kriter programlamada amaç fonksiyonu olarak adlandırılır.pratikte ise kısıtlarda ve amaç fonksiyonunda yer alacak değişkenlerin (kıt kaynakların) en iyi değerlerini bulmak olarak tanımlanabilir(3)..6. Optimizasyon ile İlgili Temel Kavram ve Tanımlar.6.. Fonksiyonlarda Süreklilik Kavramı A. Tek Değişkenli Fonksiyonlarda Süreklilik Tek değişkenli bir y = f() fonksiyonunun bir noktasında sürekli olması demek, verilen ε > sayısına karşılık öyle bir h < σ,σ > sayısının bulunmasıdır ki; f ( + h) f ( ) ε dır. 4

9 B. Çok Değişkenli Fonksiyonlarda Süreklilik Çok değişkenli bir z = f () = f (,,..., n ) fonksiyonunun bir noktasında sürekli olması demek, verilen ε > sayısına karşılık öyle bir h < σ,σ > sayısının bulunmasıdır ki; Burada; f ( + h) f ( ) ε dır. h = (h,h,...,h n ) ve σ = (σ,σ,...,σ n ) > dır()..6.. Unimodal (Tek değer) Fonksiyon Verilen bir aralıkta bir tek maksimum veya minimuma sahip fonksiyona Unimodal fonksiyon denir(5). Matematiksel olarak ifade etmek gerekirse: [a,b] aralığı üzerinde bir y=f() fonksiyonu tanımlanmış olsun. [ a, b] p sayısı için; i) f(), [a, p] aralığında azalan bir fonksiyon ii) f(), [p, b] aralığında artan bir fonksiyon ise y = f() fonksiyonuna bu aralıkta Unimodal (tek değerli) fonksiyon denir(). Eğer f() fonksiyonu [a, b] aralığında Unimodal fonksiyon ise f() minimum değerini a < c < d < b şeklindeki bir [c,d] aralığında alabilir. Bu minimum değer f(c) ve f(d) nin ma[f(a), f(b)] den daha küçük iken garanti edilir (Şekil.a - b). Eğer f(c) f(d) ise [a, d] aralığının sağından aralık daraltılır (Şekil.a). Eğer f(d) < f(c) ise [c, b] aralığının sağından itibaren aralık daraltılır (Şekil.b). y = f() y = f() [a c p d b] [a c p d b] Şekil.a Şekil.b 5

10 .7.Konvekslik ile İlgili Tanımlar.7..Konveks Bileşen S, E n, n boyutlu öklidyen uzayda boş olmayan bir küme olsun. i Sveα i, λ i = iken, = α + α α n n olsun. Eğer; n = α i i şeklinde elde edilen noktasına i = konveks (dışbükey) bileşeni denir(6)..7.. Konveks Küme,, 3,..., n noktalarının S, E n, n-boyutlu öklidyen uzayda boş olmayan bir küme olsun. S kümesinin farklı iki noktasının konveks (dışbükey) bileşeni ile bulunan nokta yine S kümesinin bir elemanı ise S kümesine konveks küme denir(8).(şekil.a-b) Konveks Küme Konveks değil Matematiksel olarak ifade etmek gerekirse; Şekil.a Şekil.b, S, i j, α i j iken = + ( S( i j) oluyorsa S kümesine konveks (dışbükey) küme denir..7.3.konveks Fonksiyon α i λ) j E n, n-boyutlu öklidyen uzayda verilen herhangi iki nokta (, ) olsun.eğer aşağıdaki eşitsizlik E n, n-boyutlu öklidyen uzayındaki her nokta çifti için geçerli ise f fonksiyonuna konvekstir denir(3). ( ) E ; α, için; f [( α) + α ] [( α) f ( ) + α f ( )] 6

11 .7.4.Konkav (İçbükey) (Konveks Olmayan) Fonksiyon Konveks fonksiyonunun tanımına benzer olarak; ( ) E ; α, için; f [( α) + α ] [( α) f ( ) + α f ( )] oluyorsa f fonksiyonuna konkav (içbükey) fonksiyondur denir.(.7.3) ve (.7.4) ile ifade edilen tanımları geometrik olarak açıklamak gerekirse; Fonksiyonun yüzeyi üzerinde alınan herhangi iki noktayı birleştiren doğru, fonksiyonun temsil ettiği eğrinin altında kalıyorsa fonksiyona konkav fonksiyon, aksi halde yani yüzey üzerindeki iki noktayı birleştiren doğru fonksiyonun temsil ettiği eğrinin üstünde kalıyorsa fonksiyona konvekstir denir(8) (Şekil 3.a-b-c). Konveks Fonksiyon Konkav Fonksiyon Ne Konveks Ne Konkav (Şekil 3.a). (Şekil 3.b). (Şekil 3.c). [(-α) + α ] [(-α) + α ] [(-α) + α ].8. Optimum Aramada Konveksliğin ve Konkavlığın Etkileri.8.. Kısıtsız Maksimum (Minimum) Eğer bir doğrusal olmayan programlama problemi bir f() amaç fonksiyonunu içerirse ve ayrıca f() konveks (konkav) ise uygun bölge içindeki bir noktada bir tek optimum çözüm vardır ve bu noktada. mertebeden türevlerin hepsi sıfırdır. Aynı zamanda bu nokta bir sınır noktada olabilir. Aynı özellik bu sınır nokta içinde geçerlidir(3). 7

12 .8..Kısıtlı Maksimum Eğer bir doğrusal olmayan programlama problemi aynı anda hem bir amaç fonksiyonu hem de kısıtların bir kümesinden oluşuyorsa optimum çözümün tekliği amaç fonksiyonu ve kısıtlara bağlıdır.eğer amaç fonksiyonu konkav ve kısıtların kümesi konveks ise problemin bir tek maksimum çözümü vardır. Bu nedenle herhangi bir sabit nokta mutlak maksimum çözüm olmak zorundadır..8.3.kısıtlı Minimum Eğer bir doğrusal olmayan programlama problemi aynı anda bir amaç fonksiyonu ve kısıtların bir kümesini içeriyorsa optimum çözümün tekliği amaç fonksiyonu ve kısıtlara bağlıdır. Eğer amaç fonksiyonu konveks ve keza kısıtların kümesi de konveks bölge formunda ise problemin bir tek minimum çözümü olacaktır. Bu nedenle herhangi bir sabit nokta mutlak minimum çözüm olmak zorundadır..8.4.konkav (Konveks) Fonksiyonun Minimizasyonu (Maksimizasyonu) Eğer bir konveks fonksiyon maksimize (konkav fonksiyon minimize) edilirse optimal çözüm kısıtlar kümesinin ekstremum noktalarının yalnız birisinde bulunacaktır..9. Bir Fonksiyonun Gradienti f() = f(,,..., n ) n-değişkenli fonksiyonunu göz önüne alalım. Burada, (,,..., n ) koordinatları n-boyutlu öklidyen uzayda X-sütun vektörü ile temsil edilirler(). f() = f(,,..., n ) fonksiyonunun gradienti ise f() veya grad f() sembolleri ile gösterilir ve; grad f() = f f f f () =,,..., n veya kısaca; f f () = dır. (k =,,, n) şeklinde tanımlanır. k 8

13 9.. Hessian Matrisi f() fonksiyonunun ikinci mertebeden sürekli türevlere sahip olması durumunda bütün i ve j ler için; j i j i. f. f = eşitliği geçerlidir(4). Bu nedenle f() = f( n,...,, ) n-değişkenli fonksiyonunun ikinci mertebeden kısmi türevleri; n n j i f. f H = şeklinde bir matris ile gösterilebilir. İşte bu n n lik f H () matrisine f() fonksiyonunun Hessian matrisi denir. Bu matris aynı zamanda simetriktir(5). Açıkça yazmak gerekirse; n n f n n n n f... f f f... f f () H = II. KLASİK OPTİMİZASYON TEORİSİ. Klasik Optimizasyon Teorisi Klasik Optimizasyon Teorisi kısıtlı ve kısıtsız fonksiyonlar için ekstremum noktaların belirlenmesinde diferansiyel hesabın kullanılmasını geliştirmiştir.geliştirilen bu metodlar sayısal hesaplamalar için uygun olmayabilir. Bu temel başlık altında kısıtsız ekstremumların belirlenmesi için gerek ve yeter şartları, eşitlik kısıtlara sahip problemler için Karush Kuhn Tucker gerek ve yeter şartlarını inceleyip örnekler vererek açıklayacağız().

14 . Kısıtsız Ekstremum Problemleri f() fonksiyonunun bir ekstremum noktası maksimum veya minimum nokta olarak tanımlanır. Matematiksel olarak tanımlamak gerekirse; h = (h, h,..., h j,..., h n ) öyleki h j bütün j ler için yeterince küçük olmak üzere; f ( + h) f ( ) ε şartı sağlanıyorsa noktası bir maksimum noktadır(3). Bir başka deyişle; ın komşuluğundaki her noktada f fonksiyonunun değeri f ( ) dan küçük ya da eşit kalırsa a f fonksiyonunun maksimum noktası denir. Benzer şekilde; h = (h, h,..., h j,..., h n ) öyleki h j bütün j ler için yeterince küçük olmak üzere; f ( + h) f ( ) şartı sağlanıyorsa noktası bir minimum noktadır. Yani ın komşuluğundaki her noktada f nin aldığı değer f ( ) değerinden büyük yada eşit kalırsa noktasına f fonksiyonunun minimum noktası denir. Aşağıdaki şekil [a, b] aralığında tek değişkenli bir f() fonksiyonunun maksimum ve minimumlarını tanımlar (Şekil 4). f () a Şekil.4. f() fonksiyonunun maksimum ve minimumları Şeklimize göre,, 3, 4, 6 noktaları f() fonksiyonunun ekstremum noktalarıdır. Bu noktalardan, 3 ve 6 noktaları maksimum noktalar iken ve 4 noktaları da minimum noktalarıdır. f ( 6 ) = ma { f ( ),f ( 3 ),f ( 6 )} olduğundan f ( 6 ) global maksimum veya mutlak maksimum olarak isimlendirilir. f ( 6 ) ya göre f ( ) ve f ( 3 ) noktaları da yerel maksimum olarak adlandırılır.

15 Benzer olarak; f ( ) = min { f ( ),f ( 4 )} olduğundan f ( ) noktası mutlak minimum nokta olarak isimlendirilirken, f ( ) ye göre f ( 4 ) noktası yerel minimum nokta olarak isimlendirilir. ile 3 noktaları karşılaştırıldığında zayıf maksimum iken 3 güçlü maksimumdur. ile 4 noktaları karşılaştırıldığında 4 noktası noktasına göre zayıf minimum noktadır(). Genelleştirecek olursak; f ( + h) f ( ) ise bir zayıf maksimum f ( + h) < f ( ) ise bir güçlü maksimum f ( + h) f ( ) ise bir zayıf minimum f ( + h) > f ( ) ise bir güçlü minimum noktadır. noktası güçlü minimum nokta iken Burada h daha önce tanımlandığı gibidir. Şekil 4 den de görüldüğü gibi bütün ekstremum noktalarda f() fonksiyonunun eğiminin (. türevi) sıfıra eşit olduğu sonucuna varabiliriz. Buna karşılık bu özellik tek değildir. Yani tersi doğru olmayabilir. f() fonksiyonunun eğimi herhangi bir noktada sıfır olduğu halde bu nokta ekstremum nokta olmayabilir. Şekil 4 deki 5 noktası böyle bir noktadır. Yani bu noktada f() fonksiyonunun eğimi sıfır olduğu halde 5 noktası bir ekstremum nokta değildir. İşte böyle noktalara, gradienti (eğim) sıfır oldugğu halde ekstremum olmayan noktalara büküm noktaları denir... Ekstremum İçin Gerek ve Yeter Şartlar n-değişkenli bir f() fonksiyonunu gözönüne alalım. f() fonksiyonunun her noktasında birinci ve ikinci mertebeden sürekli türevlere sahip olduğunu varsayalım. Teorem-: Herhangi bir noktasının f() fonksiyonunun ekstremum noktası olması için gerek şart; f ( ) = olmasıdır.

16 Ispat: < θ < için Taylor teoreminden; T f ( + h) f ( ) = f ( )h + h Hh + θh Yeterince küçük h j ler için kalan terim Bundan dolayı () deki açılım; h T Hh, h j nin mertebesindedir. f ( + h) f ( ) f ( )h + (h j ) f ( ). h Şimdi noktasının bir minimum nokta olduğunu varsayalım. Olmayana ergi yöntemiyle gösterilebilir ki f ( o ) sıfıra eşit olmak zorundadır. bir minimum nokta. değil iken özel bir j için; f ( j ) < f ( ) veya > j olabilir. f ( ) h j nin işareti uygun seçilerek h j. < j her zaman elde edilebilir. Diğer h j lerin kümesi sıfıra eşitlenerek Taylor açılımındaki kabulden ( + h) f ( ) f < veya ( + h) f ( ) bulunur. Bu ise noktasının bir minimum nokta olması ile çelişir. O f < halde f ( o ) = olmak zorundadır. Bu sonuç gerektir fakat yeter değildir. Yani f ( o ) = iken bir ekstremum nokta olmayabilir. Teorem-: Sabit bir noktasının bir ekstremum nokta olması için yeter şart Hessian Matrisinin ( Hf ) daki değeri ile belirlenir. H (f) > bir minimum noktadır. H (f) < bir maksimum noktadır. İspat: < θ < için Taylor teoreminden; T f ( + h) f ( ) = f ( )h + h Hh + θh idi. bir sabit nokta iken Teorem- gereğince f ( ) = dır.buna göre; T f ( + h) f ( ) = h Hh + θh olur.

17 noktasını minimum nokta olarak alalım. Tanımdan; f ( + h) > f ( ) dır. Bunun anlamı şudur; noktasının bir minimum nokta olması için; T h Hh +θh > olmalıdır. İkinci kısmi türevlerin sürekli olmasını kabulü ile h T H ve + θ h ın her ikisinde de değerlendirildiğinde aynı işarete sahip olmak zorundadır. h T Hh bir karesel form olarak tanımlanır ve noktasında değerlendirilirse ın minimum nokta olması için H pozitif tanımlı olmalıdır. Bu son ifadenin anlamı şudur:sabit bir noktasının minimum nokta olması için yeter şart Hessian Matrisinin bu noktada pozitif tanımlı olmasıdır. Aynı yeter şart ın maksimum nokta olması için yapıldığında Hessian matrisinin noktasında negatif tanımlı olması gerektiği söylenebilir. Sonuç : Eğer H tanımsız ise bir büküm noktası olmak zorundadır. Sonuç : Teorem- ve Teorem- ile sunulan ifadeler tek değişkenli y = f() fonksiyonu için şu şekilde özetlenebilir.herhangi bir noktasının y = f() fonksiyonunun bir ekstremum noktası olması için gerek şart f ( ) = olmasıdır. Yeter şart; f ( ) < ise bir maksimum noktadır. f ( ) > ise bir minimum noktadır(6). Eğer, f ( ) = ise ın ekstremum nokta olması için yüksek mertebeden türevler gözönüne alınmak zorundadır. Bunu aşağıdaki sonuç teorem ile sunabiliriz. Teorem-3: y=f() fonksiyonu verilsin. f() in sabit bir noktasında; ( n) ( f ) = ve ( n) ( f ) oluyorsa = noktasında f(); n tek ise bir büküm noktasına sahiptir.n çift ise; a) b) ( n) ( f ) < ise maksimuma sahiptir. ( n f ) ( ) > ise minimuma sahiptir(). 3

18 4.3. Çok değişkenli Fonksiyonlarının Optimizasyonu (Kısıtsız Optimizasyon) Daha önce tanımlandığı gibi,y=f(,,... n ) n- değişkenli fonksiyonu. mertebeden sürekli kısmi türevlere sahipken bu fonksiyonun hessian matrisi simetrik bir matris (simetrik matris: j i olmak üzere aij=aji olan matristir) olup aşağıdaki gibidir ; Hf()= n n n n n f f f f f f f f f = nn n n n n f f f f f f f f f nn nn y=f(,,... n ) fonksiyonların ekstremumlara sahip olması için; i) Gerek şart:,..., ),..,, ( ),..,, ( = = = n n n f f f gradf olmasıdır. Bu denklemin çözümü olan noktalara sabit noktalar denir, ii) Yeter şart: noktası ) ( = f şartını sağlayan nokta(sabit nokta) olsun.buna göre;.test : i. Hf( ) > (Pozitif tanımlı) ise minimum noktasıdır ii. Hf( ) < (Negatif tanımlı)ise maimum noktasıdır iii. Hf( ) tanımsız ise büküm noktasıdır.test: det(a- λ I)= n.dereceden bir polinom denklem olup buna f fonksiyonunun karakteristik polinomu,bu denklemin köklerine de karakteristikler veya özdeğerler denir.buna göre ; i. λ > i i için ise A pozitif tanımlıdır (A=(a ij ) nn ) ii. λ < i i için ise A negatif tanımlıdır (A=(a ij ) nn ) iii. Diğer durumlarda tanımsızdır.

19 .3.. A matrisinin tanımlılığı:nn lik bir A matrisinin tanımlılığını belirlemek için aşağıdaki test uygulanır. A= a a.. a n a a.. a n a a.. a n n nn olsun. A nın uzanan alt matrisleri ; nn a A =[a ] ; A = a a a a,..., Aj = a a j a a a j a a a j j jj a,... An a a n... a a a n n nn olarak tanımlanır. jj nn Bu matrislerin determinantlarının hepsi pozitif ise A matrisi pozitif tanımlıdır.yani; i. i için det A i > ise A pozitif tanımlıdır. ii. i için (-) i det A i > ise A negatif tanımlıdır. iii. Diğer durumlarda tanımsızdır.nokta büküm noktasıdır..3.. Konveks,Konkav Fonksiyonunun Hessian Matrisi ile Tayini (D escartes kuralı) det (A- λ I) = ifadesi P( λ ) = şeklinde λ ya bağlı bir polinom olup; p(λ ) daki işaret değişikliği sayısı δ (pozitif kök sayısı) p(-λ ) daki işaret değişikliği sayısı δ (negatif kök sayısı) ile tanımlanır ve sabit noktanın kimliği ilefonksiyonun konkav yada konveksliği kolayca belirlenir. Örnek : f(,, 3 )= fonksiyonun ekstremumlarını ve konveks yada konkavlığını inceleyiniz )Gerek şart: f()= olmalıdır f =- =, f =3 - =, f =+ - 3 = 3 Buradan; =/, =/3, 3 =4/3 olduğu görülür. =(/,/3,4/3) sabit noktadır. 5

20 6 )Yeter şart:bu fonksiyona ait Hessian matrisini oluşturalım Hf( )= f f f f f f f f f f ise Hf( )= H =[-] olduğundan det H =- H = olduğundan det H =4 H 3 olduğundan det H 3 =-6 H f () negatif tanımlıdır =(/,/3,4/3) maksimum noktadır Not:yeter şart için II. Metot şu şekildedir. Det (H-I λ )= - λ = λ λ λ = ve buradan; p( λ )=(-- λ )[(-- λ ) -]= ise p( 6 6 ) 3 = = λ λ λ λ olur. p(- 6 6 ) 3 = + = λ λ λ λ dır (3 tane negatif kök vardır, fonksiyon konkavdır yani noktasımaksimum noktasıdır) Örnek : f(,y)= -4y+y fonksiyonunun ekstremumlarını ve konveks yada konkavlığını inceleyin. Çözüm: )Gerek şart: ) ( = f olmalıdır f =-4y=, y f =-4+y= Buradan; =, y= olduğu görülür. =(,) sabit noktadır. )Yeter şart:hf( )= = 4 4 fyy fy fy f H =[] ise det H => H = 4 4 ise det H = -< H f tanımsız olduğundan f fonksiyonu ne konveks nede konkavdır, büküm noktasıdır.

21 7. yol : det (H- I) = λ λ = 4 4 = λ λ p( ) λ =(- λ ) -6= 4 = λ λ p(- 4 ) = + = λ λ λ λ ların bir kısmı pozitif bir kısmı negatif olduğundan büküm noktasıdır. Örnek: f(,y,z)=4-6y -y+3z-y-4yz+ fonksiyonunun ekstremumlarını bulunuz Çözüm: Gerek Şart: ) ( = f olmalıdır.buna göre; f =8-y+3z= f y =-y--4z-= f z =3-4y= olup buradan (-6/7,-9/4,3/7) bulunur. Yeter şart : f =-,f y =3,f yy =-,f yz =-4,f zz = olup Hessian matrisi; H = elde edilir..test : det [8] = 8 > ve det 8 = < (H f () tanımsız, büküm noktası, fonksiyon ne konveks ne de konkavdır).test : det (A- I) = λ = = λ λ λ λ ise buradan şu bulunur; ) ( 3 = + + = λ λ λ λ p ) ( 3 = + = λ λ λ λ p üç negatif kök varsa negatif tanımlı, 3 pozitif kök varsa pozitif tanımlı bunun dışında tanımsızdır.

22 .3. Kısıtlı Ekstremum Problemleri: Bu bölümde sınır şartları ve kısıtlarıyla sürekli fonksiyonların optimizasyonu ele alacağız. Bu sınır şartları veya kısıtlar denklem formunda olabillir veya olmayabilir()..3.. Eşitlik Kısıtlar Eşitlik kısıtlarına sahip amaç foksiyonunun optimizasyonu için iki metod geliştirilmiştir. Bunlardan ilki Jacobian (Kısıtlı Türevler) metodu, ikincisi ise Lagrange metodudur(). Jacobian metodu Doğrusal Programlama için simpleks metodunun bir genellemesi olarak ele alınabilir. Gerçekten de simpleks metodu şartları Jacobian metodundan türetilebilir. İkinci bir metod olan Lagrange metoduda yine benzer olarak Jacobian metoduna benzer bir mantıkla geliştirilmiştir. Bu ilişki Lagrange metodunun ilginç bir ekonomik yorumunu kabul eder. A) Lagrange Metodu f = J Y g duyarlılık katsayıları f nin optimum değeri üzerinde kısıtlardaki küçük değişikliklerin etkisini belirlemede kullanılır. Keza bu katsayılar sabittir. Bu özellikler eşitlik kısıtlarına sahip kısıtlı problemleri çözmek için kullanılır. λ = Y f J = g Buradan; f - λ g = bulunur. Bu denklem sabit noktalar için gerek şartlarda yeterlidir. Yani f, g C f ye benzer olarak hesaplanır. Bu denklemleri sunmak için daha elverişli bir ifade de bütün Böylece; j lerin kısmi türevleri alınmak suretiyle elde edilir. (f - λg) = j (j =,,, n) g = kısıt denklemleri ile bu son denklem ve λ nın uygun değerlerini kabul eder ki sabit noktalar için gerek şartlar kâfidir.eşitlik kısıtlarına sahip optimizasyon problemlerinin sabit noktalarının belirlenmesi işlemi Lagrange işlemi olarak adlandırılır. Bu metodu formulize eden ifade; L ( X, λ ) = f() λ g() ile verilir. 8

23 Burada L fonksiyonu Lagrange fonksiyonu ve λ parametreleri de Lagrange çarpanları olarak bilinirler. L L = ve = λ X denklemleri Lagrange fonksiyonu için gerek şartların oluşturulmasında direkt olarak kullanılır. Bir başka deyişle, g() = kısıtları ile f() fonksiyonunun optimizasyonu L ( X, λ ) Lagrange fonksiyonunun optimizasyonuna eşittir. Şimdide Lagrange metodu için yeter şartları ispatsız olarak tanımlayalım. Burada; H B = T P P Q (m+ n)(m+ n) P = g g g... () () () m (m n) ve Q = L (X, λ) i. j (n n) ( i,j için ) İşte bu şekilde tanımlanan B H matrisine sınırlandırılmış Hessian Matrisi denir(). B Verilen bir ( X, λ ) noktasında Hsınırlandırılmış Hessian Matrisi ve L (X, λ ) Lagrange fonksiyonu değerlendirilirse; ) Eğer B H, (m + ) inci mertebeden temel minör determinantı ile başlayan ve (n-m) inci mertebeden temel minör ile son bulan determinantların işareti ( ) m+ ile değişiyorsa ( X, λ ) bir maksimum noktadır. ) Eğer B H, (m + ) inci mertebeden temel minör determinantı ile başlayan ve (n-m) inci mertebeden temel minör ile son bulan determinantların işareti ( X, λ ) bir minimum noktayı belirtir(8). m ( ) ile aynı işarete sahipse 9

24 Bu şartlar bir ekstremum noktayı tanımlamak için yeterlidir fakat gerek değildir. Bir başka deyişle bir sabit nokta yukarıdaki şartları sağlamaksızın ekstremum nokta olabilir. Bu metodun dezavantajı işlem akışının hesaplama olarak pratik kararlar için uygun olmayışıdır. Bunun için; P Δ = T P Q μi matrisini bu şekilde tanımlayıp ( X, λ ) noktasında değerlendirelim. Burada P ve Q daha önce tanımladığımız gibi, μ ise bilinmeyen bir parametredir. Δ = determinantını gözönüne alırsak; Δ = polinom denkleminin (n -m) tane u i reel kökünün herbiri için; a) Δ < oluyorsa ( X, λ ) bir maksimum noktadır. b) Δ > oluyorsa ( X, λ ) bir minimum noktadır..3.. Eşitsizlik Kısıtlar Bu bölümde ilk olarak Lagrange metodunun genişlemesini ele alacağız. Yani sınırlı bir anlamda eşitsizlik kısıtlarını gözönüne alarak Lagrange metodunu genişleteceğiz. İkinci olarak ise eşitsizlik kısıtlarına sahip problemlerin analitik çözümü için Karush-Kuhn-Tucker gerek ve yeter şartları sunulmaktadır. A. Lagrange Metodunun Genişletilmesi Ma z = f() Kısıtlar g i () (i =,,.., m) i problemini gözönüne alalım.lagrange metodunun genişletilmesinin esası şudur: Eğer f() in kısıtsız optimimu bütün kısıtları sağlamazsa, kısıtlı optimum çözüm uzayının bir sınır noktasında olmak zorundadır. Yani denklem formunda m kısıtta yeterli olmak zorundadır.buna göre işlem adımları şu şekilde özetlenebilir. Adım : Maksimum z = f() kısıtlı probleminin çözümünde eğer sonuç optimum bütün kısıtlarda yeterli ise k = alınıp adım ye geçilir.

EM302 Yöneylem Araştırması 2 Doğrusal Olmayan Programlamaya Giriş. Dr. Özgür Kabak

EM302 Yöneylem Araştırması 2 Doğrusal Olmayan Programlamaya Giriş. Dr. Özgür Kabak EM302 Yöneylem Araştırması 2 Doğrusal Olmayan Programlamaya Giriş Dr. Özgür Kabak Doğrusal Olmayan Programlama Eğer bir Matematiksel Programlama modelinin amaç fonksiyonu ve/veya kısıtları doğrusal değil

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I-

DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I- DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I- Dışbükeylik / İçbükeylik Hazırlayan Doç. Dr. Nil ARAS Anadolu Üniversitesi, Endüstri Mühendisliği Bölümü İST38 Yöneylem Araştırması Dersi 0-0 Öğretim Yılı Doğrusal olmayan

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 11 1.1. Sayı Kümeleri 12 1.1.1.Doğal Sayılar Kümesi 12 1.1.2.Tam Sayılar Kümesi 13 1.1.3.Rasyonel Sayılar Kümesi 14 1.1.4. İrrasyonel Sayılar Kümesi 16 1.1.5. Gerçel

Detaylı

OPTİMİZASYON TEKNİKLERİ-2. Hafta

OPTİMİZASYON TEKNİKLERİ-2. Hafta GİRİŞ OPTİMİZASYON TEKNİKLERİ-2. Hafta Mühendislik açısından bir işin tasarlanıp, gerçekleştirilmesi yeterli değildir. İşin en iyi çözüm yöntemiyle en verimli bir şekilde yapılması bir anlam ifade eder.

Detaylı

Zeki Optimizasyon Teknikleri

Zeki Optimizasyon Teknikleri Zeki Optimizasyon Teknikleri Ara sınav - 25% Ödev (Haftalık) - 10% Ödev Sunumu (Haftalık) - 5% Final (Proje Sunumu) - 60% - Dönem sonuna kadar bir optimizasyon tekniğiyle uygulama geliştirilecek (Örn:

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 5- SONLU FARKLAR VE İNTERPOLASYON TEKNİKLERİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ MAK 210 - Sayısal Analiz 1 İNTERPOLASYON Tablo halinde verilen hassas sayısal değerler veya ayrık noktalardan

Detaylı

Türev Uygulamaları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV

Türev Uygulamaları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV Türev Uygulamaları Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 10 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; türev kavramı yardımı ile fonksiyonun monotonluğunu, ekstremum noktalarını, konvekslik ve konkavlığını, büküm

Detaylı

x e göre türev y sabit kabul edilir. y ye göre türev x sabit kabul edilir.

x e göre türev y sabit kabul edilir. y ye göre türev x sabit kabul edilir. TÜREV y= f(x) fonksiyonu [a,b] aralığında tanımlı olsun. Bu aralıktaki bağımsız x değişkenini h kadar arttırdığımızda fonksiyon değeri de buna bağlı olarak değişecektir. Fonksiyondaki artma miktarını değişkendeki

Detaylı

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak 10.Konu İç çarpım uzayları ve özellikleri 10.1. ve üzerinde uzunluk de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor teoreminden dir. 1.Ö.: [ ] ise ( ) ( ) ve ( ) noktaları gözönüne alalım.

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Bölüm 1 MATEMATİKSEL İKTİSADA GİRİŞ 11 1.1.İktisat Hakkında 12 1.2.İktisatta Grafik ve Matematik Kullanımı 13

İÇİNDEKİLER. Bölüm 1 MATEMATİKSEL İKTİSADA GİRİŞ 11 1.1.İktisat Hakkında 12 1.2.İktisatta Grafik ve Matematik Kullanımı 13 İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 MATEMATİKSEL İKTİSADA GİRİŞ 11 1.1.İktisat Hakkında 12 1.2.İktisatta Grafik ve Matematik Kullanımı 13 Bölüm 2 STATİK DENGE ANALİZİ 19 2.1 İktisatta Denge Kavramı 20 2.1.1.

Detaylı

7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;

7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım; İÇ ÇARPIM UZAYLARI 7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;.= 1 1 + + Açıklanmış ve bu konu uzunluk ve uzaklık kavramlarını açıklamak için kullanılmıştır. Bu bölümde öklit

Detaylı

Mühendislikte Sayısal Çözüm Yöntemleri NÜMERİK ANALİZ. Prof. Dr. İbrahim UZUN

Mühendislikte Sayısal Çözüm Yöntemleri NÜMERİK ANALİZ. Prof. Dr. İbrahim UZUN Mühendislikte Sayısal Çözüm Yöntemleri NÜMERİK ANALİZ Prof. Dr. İbrahim UZUN Yayın No : 2415 İşletme-Ekonomi Dizisi : 147 5. Baskı Eylül 2012 - İSTANBUL ISBN 978-605 - 377-438 - 9 Copyright Bu kitabın

Detaylı

T.C. DOKUZ EYLÜL ÜNİVERSİTESİ SOSYAL BİLİMLER ENSTİTÜSÜ EKONOMETRİ ANABİLİM DALI EKONOMETRİ DOKTORA PROGRAMI

T.C. DOKUZ EYLÜL ÜNİVERSİTESİ SOSYAL BİLİMLER ENSTİTÜSÜ EKONOMETRİ ANABİLİM DALI EKONOMETRİ DOKTORA PROGRAMI T.C. DOKUZ EYLÜL ÜNİVERSİTESİ SOSYAL BİLİMLER ENSTİTÜSÜ EKONOMETRİ ANABİLİM DALI EKONOMETRİ DOKTORA PROGRAMI Genişletilmiş Lagrange Yöntemi Hazırlayan: Nicat GASIM Öğretim Üyesi Prof. Dr. İpek Deveci KARAKOÇ

Detaylı

MATEMATiKSEL iktisat

MATEMATiKSEL iktisat DİKKAT!... BU ÖZET 8 ÜNİTEDİR BU- RADA İLK ÜNİTE GÖSTERİLMEKTEDİR. MATEMATiKSEL iktisat KISA ÖZET KOLAY AOF Kolayaöf.com 0362 233 8723 Sayfa 2 içindekiler 1.ünite-Türev ve Kuralları..3 2.üniteTek Değişkenli

Detaylı

m=n şeklindeki matrislere kare matris adı verilir. şeklindeki matrislere ise sütun matrisi denir. şeklindeki A matrisi bir kare matristir.

m=n şeklindeki matrislere kare matris adı verilir. şeklindeki matrislere ise sütun matrisi denir. şeklindeki A matrisi bir kare matristir. Matrisler Satır ve sütunlar halinde düzenlenmiş tabloya matris denir. m satırı, n ise sütunu gösterir. a!! a!" a!! a!" a!! a!! a!! a!! a!" m=n şeklindeki matrislere kare matris adı verilir. [2 3 1] şeklinde,

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

ULAŞTIRMA MODELİ VE ÇEŞİTLİ ULAŞTIRMA MODELLERİ

ULAŞTIRMA MODELİ VE ÇEŞİTLİ ULAŞTIRMA MODELLERİ ULAŞTIRMA MODELİ VE ÇEŞİTLİ ULAŞTIRMA MODELLERİ Özlem AYDIN Trakya Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü ULAŞTıRMA MODELININ TANıMı Ulaştırma modeli, doğrusal programlama probleminin özel bir şeklidir.

Detaylı

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye

Detaylı

4. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI.

4. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI. 4. HAFTA BLM33 SAYISAL ANALİZ Okt. Yasin ORTAKCI yasinortakci@karabuk.edu.tr Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi BLM33 DOĞRUSAL OLMAYAN (NONLINEAR) DENKLEM SİSTEMLERİ Mühendisliğin

Detaylı

3.2. DP Modellerinin Simpleks Yöntem ile Çözümü Primal Simpleks Yöntem

3.2. DP Modellerinin Simpleks Yöntem ile Çözümü Primal Simpleks Yöntem 3.2. DP Modellerinin Simpleks Yöntem ile Çözümü 3.2.1. Primal Simpleks Yöntem Grafik çözüm yönteminde gördüğümüz gibi optimal çözüm noktası, her zaman uygun çözüm alanının bir köşe noktası ya da uç noktası

Detaylı

ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV

ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV - 1 - ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV Kazanım 1 : Türev Kavramını fiziksel ve geometrik uygulamalar yardımıyla açıklar, türevin tanımını

Detaylı

Özdeğer ve Özvektörler

Özdeğer ve Özvektörler Özdeğer ve Özvektörler Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 9 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; bir lineer dönüşümün ve bir matrisin özdeğer ve özvektör kavramlarını anlayacak, bir dönüşüm matrisinin

Detaylı

İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan. seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını

İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan. seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını OPTİMİZASYON İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını maksimize edecek olan üretim miktarının belirlenmesi; bir bireyin toplam

Detaylı

13. Karakteristik kökler ve özvektörler

13. Karakteristik kökler ve özvektörler 13. Karakteristik kökler ve özvektörler 13.1 Karakteristik kökler 1.Tanım: A nxn tipinde matris olmak üzere parametrisinin n.dereceden bir polinomu olan şeklinde gösterilen polinomuna A matrisin karakteristik

Detaylı

Prof. Dr. Mahmut Koçak.

Prof. Dr. Mahmut Koçak. i Prof. Dr. Mahmut Koçak http://fef.ogu.edu.tr/mkocak/ ii Bu kitabın basım, yayım ve satış hakları Kitabın yazarına aittir. Bütün hakları saklıdır. Kitabın tümü ya da bölümü/bölümleri yazarın yazılı izni

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI İLE İLGİLİ ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI İLE İLGİLİ ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI İLE İLGİLİ ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER I. ATAMA PROBLEMLERİ PROBLEM 1. Bir isletmenin en kısa sürede tamamlamak istediği 5 işi ve bu işlerin yapımında kullandığı 5 makinesi vardır. Aşağıdaki

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43 İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 13 1.1 Doğal Sayılar 15 1.1.1. Tek ve Çift Sayılar 15 1.1.2. Asal Sayılar 15 1.1.3 Doğal Sayıların Özellikleri 15 1.1.4 Doğal Sayılarda Özel Toplamlar 16 1.1.5. Faktöriyel

Detaylı

yöneylem araştırması Nedensellik üzerine diyaloglar I

yöneylem araştırması Nedensellik üzerine diyaloglar I yöneylem araştırması Nedensellik üzerine diyaloglar I i Yayın No : 3197 Eğitim Dizisi : 149 1. Baskı Ocak 2015 İSTANBUL ISBN 978-605 - 333-225 1 Copyright Bu kitabın bu basısı için Türkiye deki yayın hakları

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 8- SAYISAL İNTEGRASYON 1 GİRİŞ Mühendislikte sık karşılaşılan matematiksel işlemlerden biri integral işlemidir. Bilindiği gibi integral bir büyüklüğün toplam değerinin bulunması

Detaylı

HATA VE HATA KAYNAKLARI...

HATA VE HATA KAYNAKLARI... İÇİNDEKİLER 1. GİRİŞ... 1 1.1 Giriş... 1 1.2 Sayısal Analizin İlgi Alanı... 2 1.3 Mühendislik Problemlerinin Çözümü ve Sayısal Analiz... 2 1.4 Sayısal Analizde Bilgisayarın Önemi... 7 1.5 Sayısal Çözümün

Detaylı

TRAKYA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MAKİNA MÜHENDİSLİĞİ ANABİLİM DALI DOKTORA PROGRAMI ŞEKİL TANIMA ÖDEV 2 KONU : DESTEK VEKTÖR MAKİNELERİ

TRAKYA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MAKİNA MÜHENDİSLİĞİ ANABİLİM DALI DOKTORA PROGRAMI ŞEKİL TANIMA ÖDEV 2 KONU : DESTEK VEKTÖR MAKİNELERİ TRAKYA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MAKİNA MÜHENDİSLİĞİ ANABİLİM DALI DOKTORA PROGRAMI ŞEKİL TANIMA ÖDEV 2 KONU : DESTEK VEKTÖR MAKİNELERİ Kenan KILIÇASLAN Okul No:1098107203 1. DESTEK VEKTÖR MAKİNELER

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI İÇİNDEKİLER HEDEFLER DOĞRULAR VE PARABOLLER

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI İÇİNDEKİLER HEDEFLER DOĞRULAR VE PARABOLLER HEDEFLER İÇİNDEKİLER DOĞRULAR VE PARABOLLER Birinci Dereceden Polinom Fonksiyonlar ve Doğru Doğru Denklemlerinin Bulunması İkinci Dereceden Polinom Fonksiyonlar ve Parabol MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI

Detaylı

OPTIMIZASYON Bir Değişkenli Fonksiyonların Maksimizasyonu...2

OPTIMIZASYON Bir Değişkenli Fonksiyonların Maksimizasyonu...2 OPTIMIZASYON.... Bir Değişkenli Fonksiyonların Maksimizasyonu.... Türev...3.. Bir noktadaki türevin değeri...4.. Maksimum için Birinci Derece Koşulu...4.3. İkinci Derece Koşulu...5.4. Türev Kuralları...5

Detaylı

Taşkın, Çetin, Abdullayeva 2. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER

Taşkın, Çetin, Abdullayeva 2. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER MATEMATİK Taşkın, Çetin, Abdullayeva BÖLÜM. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER. ÖZDEŞLİKLER İki cebirsel ifade içerdikleri değişkenlerin (veya bilinmeyenlerin) her değeri içinbirbirine eşit oluyorsa,

Detaylı

Cebirsel Fonksiyonlar

Cebirsel Fonksiyonlar Cebirsel Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 4 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; polinom, rasyonel ve cebirsel fonksiyonları tanıyacak ve bu türden bazı fonksiyonların grafiklerini öğrenmiş

Detaylı

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN İç-Çarpım Uzayları Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; R n, P n (R), M nxn vektör uzaylarında iç çarpım kavramını tanıyacak ve özelliklerini görmüş olacaksınız.

Detaylı

BULANIK MANTIK VE SİSTEMLERİ 2014 2015 BAHAR DÖNEMİ ÖDEV 1. Müslüm ÖZTÜRK 148164001004 Bilişim Teknolojileri Mühendisliği ABD Doktora Programı

BULANIK MANTIK VE SİSTEMLERİ 2014 2015 BAHAR DÖNEMİ ÖDEV 1. Müslüm ÖZTÜRK 148164001004 Bilişim Teknolojileri Mühendisliği ABD Doktora Programı BULANIK MANTIK VE SİSTEMLERİ 2014 2015 BAHAR DÖNEMİ ÖDEV 1 Müslüm ÖZTÜRK 148164001004 Bilişim Teknolojileri Mühendisliği ABD Doktora Programı Mart 2015 0 SORU 1) Bulanık Küme nedir? Bulanık Kümenin (fuzzy

Detaylı

Chapter 1 İçindekiler

Chapter 1 İçindekiler Chapter 1 İçindekiler Kendinizi Test Edin iii 10 Birinci Mertebeden Diferansiel Denklemler 565 10.1 Arılabilir Denklemler 566 10. Lineer Denklemler 571 10.3 Matematiksel Modeller 576 10.4 Çözümü Olmaan

Detaylı

PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR

PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR 2013-2014 PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ A B KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 1 / 31 12 32173 Üslü İfadeler 2 13 42016 Rasyonel ifade kavramını örneklerle açıklar ve

Detaylı

PROJE ADI: Bir Koniğin Üzerindeki Veya Dışındaki Bir Noktadan Çizilen Teğetlerin Denklemlerini Matrisler Yardımıyla Bulma

PROJE ADI: Bir Koniğin Üzerindeki Veya Dışındaki Bir Noktadan Çizilen Teğetlerin Denklemlerini Matrisler Yardımıyla Bulma PROJE ADI: Bir Koniğin Üzerindeki Veya Dışındaki Bir oktadan Çizilen Teğetlerin Denklemlerini Matrisler Yardımıyla Bulma PROJEİ AMACI: Bu projede herhangi bir koniğin üzerindeki veya dışındaki bir noktadan

Detaylı

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İkinci Dereceden Denklemler a, b ve c reel sayı, a ¹ 0 olmak üzere ax + bx + c = 0 şeklinde yazılan denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Aşağıdaki denklemlerden

Detaylı

Doğrusal Programlama. Prof. Dr. Ferit Kemal Sönmez

Doğrusal Programlama. Prof. Dr. Ferit Kemal Sönmez Doğrusal Programlama Prof. Dr. Ferit Kemal Sönmez Doğrusal Programlama Belirli bir amacın gerçekleşmesini etkileyen bazı kısıtlayıcı koşulların ve bu kısıtlayıcı koşulların doğrusal eşitlik ya da eşitsizlik

Detaylı

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,

Detaylı

TAMSAYILI PROGRAMLAMA

TAMSAYILI PROGRAMLAMA TAMSAYILI PROGRAMLAMA Doğrusal programlama problemlerinde sık sık çözümün tamsayı olması gereken durumlar ile karşılaşılır. Örneğin ele alınan problem masa, sandalye, otomobil vb. üretimlerinin optimum

Detaylı

Öğrenim Kazanımları Bu programı başarı ile tamamlayan öğrenci;

Öğrenim Kazanımları Bu programı başarı ile tamamlayan öğrenci; Image not found http://bologna.konya.edu.tr/panel/images/pdflogo.png Ders Adı : ANALİZ I Ders No : 0310250035 : 4 Pratik : 2 Kredi : 5 ECTS : 8 Ders Bilgileri Ders Türü Öğretim Dili Öğretim Tipi Zorunlu

Detaylı

fonksiyonu aralığında sürekli bir fonksiyon ve için ise olur. Eğer bu aralıktaki bütün x ler için ise bu fonksiyonun noktasında bir minimumu vardır.

fonksiyonu aralığında sürekli bir fonksiyon ve için ise olur. Eğer bu aralıktaki bütün x ler için ise bu fonksiyonun noktasında bir minimumu vardır. TÜREV UYGULAMALARI Bölüm içinde maksimum, minimum, artan ve azalan fonksiyonlar, büküm noktası, teğet, normal ve belirsizliğin türev yardımıyla giderilmesi işlenmektedir. 11.1 Maksimum ve Minimum (Ekstremum)

Detaylı

OYUN TEORİSİ. Özlem AYDIN. Trakya Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü

OYUN TEORİSİ. Özlem AYDIN. Trakya Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü OYUN TEORİSİ Özlem AYDIN Trakya Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü TANIM ''Oyun Teorisi'', iki yada daha fazla rakibi belirli kurallar altında birleştirerek karşılıklı olarak çelişen olasılıklar

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Murat SUBAŞI İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV UYGULAMALARI-II

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Murat SUBAŞI İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV UYGULAMALARI-II HEDEFLER İÇİNDEKİLER TÜREV UYGULAMALARI-II Fonksiyonların Bükeyliği Maksimum - Minimum Problemleri Belirsiz Haller MATEMATİK-1 Doç.Dr.Murat SUBAŞI Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Fonksiyonların grafiklerinin

Detaylı

ELASTİSİTE TEORİSİ I. Yrd. Doç Dr. Eray Arslan

ELASTİSİTE TEORİSİ I. Yrd. Doç Dr. Eray Arslan ELASTİSİTE TEORİSİ I Yrd. Doç Dr. Eray Arslan Mühendislik Tasarımı Genel Senaryo Analitik çözüm Fiziksel Problem Matematiksel model Diferansiyel Denklem Problem ile ilgili sorular:... Deformasyon ne kadar

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık KORELASYON ve REGRESYON ANALİZİ Doç. Dr. İrfan KAYMAZ Tanım Bir değişkenin değerinin diğer değişkendeki veya değişkenlerdeki değişimlere bağlı olarak nasıl etkilendiğinin istatistiksel

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV VE TÜREV ALMA KURALLARI. Türev Türev Alma Kuralları

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV VE TÜREV ALMA KURALLARI. Türev Türev Alma Kuralları HEDEFLER İÇİNDEKİLER TÜREV VE TÜREV ALMA KURALLARI Türev Türev Alma Kuralları MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK Bu üniteyi çalıştıktan sonra Burada türevin tanımı verilecek, Geometride bir eğrinin bir noktadaki

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

1. Hafta SAYISAL ANALİZE GİRİŞ

1. Hafta SAYISAL ANALİZE GİRİŞ SAYISAL ANALİZ 1. Hafta SAYISAL ANALİZE GİRİŞ 1 AMAÇ Mühendislik problemlerinin çözümünde kullanılan sayısal analiz yöntemlerinin algoritmik olarak çözümü ve bu çözümlemelerin MATLAB ile bilgisayar ortamında

Detaylı

Elastisite Teorisi Düzlem Problemleri için Sonuç 1

Elastisite Teorisi Düzlem Problemleri için Sonuç 1 Elastisite Teorisi Düzlem Problemleri için Sonuç 1 Düzlem Gerilme durumu için: Bilinmeyenler: Düzlem Şekil değiştirme durumu için: Bilinmeyenler: 3 gerilme bileşeni : 3 gerilme bileşeni : 3 şekil değiştirme

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Ders 11: KORELASYON ve REGRESYON ANALİZİ Prof. Dr. İrfan KAYMAZ Tanım Bir değişkenin değerinin diğer değişkendeki veya değişkenlerdeki değişimlere bağlı olarak nasıl etkilendiğinin

Detaylı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı 10.1 Türev Kavramı fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki bir değerine kadar bir artma verildiğinde varılan x = x 0 + noktasında fonksiyonun değeri olsun.

Detaylı

x 1,x 2,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu;

x 1,x 2,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu; 4. BÖLÜM DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ Doğrusal Denklem Sistemi x,x,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu; a x + a x + L + a x = b n n a x + a x + L + a x = b n n a x + a

Detaylı

BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ

BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ 1.1. Giriş Kinematik, daha öncede vurgulandığı üzere, harekete sebep olan veya hareketin bir sonucu olarak ortaya çıkan kuvvetleri dikkate almadan cisimlerin hareketini

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 KÜMELER Bölüm 2 SAYILAR

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 KÜMELER Bölüm 2 SAYILAR İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 KÜMELER 11 1.1. Küme 12 1.2. Kümelerin Gösterimi 13 1.3. Boş Küme 13 1.4. Denk Küme 13 1.5. Eşit Kümeler 13 1.6. Alt Küme 13 1.7. Alt Küme Sayısı 14 1.8. Öz Alt Küme 16 1.9.

Detaylı

Çözüm: Z 3 = 27 = 27CiS( +2k ) Z k =3CiS ( ) 3 3 k = 0 için z 0 = 2 k=1 için z 1 = 3

Çözüm: Z 3 = 27 = 27CiS( +2k ) Z k =3CiS ( ) 3 3 k = 0 için z 0 = 2 k=1 için z 1 = 3 p ve q iki önerme olsun p q q p dir. p: = 3 ve q: y< 8 alınırsa I ve III ün denk olduğu görülür. Yanıt B Z 3 = 7 = 7CiS( +k ) k Z k =3CiS ( ) 3 3 k = 0 için z 0 = k=1 için z 1 = 3 k = için z = Yanıt A

Detaylı

Nokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur.

Nokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur. Üç Boyutlu Geometri Nokta (Point,Vertex) Nokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur. Kartezyen Koordinat Sistemi Uzayda bir noktayı tanımlamak

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 3- LİNEER DENKLEM SİSTEMLERİNİN ÇÖZÜMÜ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 LİNEER DENKLEM SİSTEMLERİ Bilimsel ve teknolojik çalışmalarda karşılaşılan matematikle ilgili belli başlı

Detaylı

MAK1010 MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BİLGİSAYAR UYGULAMALARI

MAK1010 MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BİLGİSAYAR UYGULAMALARI .. MAK MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BİLGİSAYAR UYGULAMALARI Polinom MATLAB p=[8 ] d=[ - ] h=[ -] c=[ - ] POLİNOMUN DEĞERİ >> polyval(p, >> fx=[ -..9 -. -.9.88]; >> polyval(fx,9) ans =. >> x=-.:.:.; >> y=polyval(fx,;

Detaylı

Ders 9: Bézout teoremi

Ders 9: Bézout teoremi Ders 9: Bézout teoremi Konikler doğrularla en fazla iki noktada kesişir. Şimdi iki koniğin kaç noktada kesiştiğini saptayalım. Bunu, çok kolay gözlemlerle başlayıp temel ve ünlü Bézout teoremini kanıtlayarak

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 6- İSTATİSTİK VE REGRESYON ANALİZİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 İSTATİSTİK VE REGRESYON ANALİZİ Bütün noktalardan geçen bir denklem bulmak yerine noktaları temsil eden, yani

Detaylı

Genetik Algoritmalar. Bölüm 1. Optimizasyon. Yrd. Doç. Dr. Adem Tuncer E-posta:

Genetik Algoritmalar. Bölüm 1. Optimizasyon. Yrd. Doç. Dr. Adem Tuncer E-posta: Genetik Algoritmalar Bölüm 1 Optimizasyon Yrd. Doç. Dr. Adem Tuncer E-posta: adem.tuncer@yalova.edu.tr Optimizasyon? Optimizasyon Nedir? Eldeki kısıtlı kaynakları en iyi biçimde kullanmak olarak tanımlanabilir.

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Bölüm 1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASINA GİRİŞ 11. 1.1. Temel Kavramlar 14 1.2. Modeller 17 1.3. Diğer Kavramlar 17 Değerlendirme Soruları 19

İÇİNDEKİLER. Bölüm 1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASINA GİRİŞ 11. 1.1. Temel Kavramlar 14 1.2. Modeller 17 1.3. Diğer Kavramlar 17 Değerlendirme Soruları 19 İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASINA GİRİŞ 11 1.1. Temel Kavramlar 14 1.2. Modeller 17 1.3. Diğer Kavramlar 17 Değerlendirme Soruları 19 Bölüm 2 DOĞRUSAL PROGRAMLAMA 21 2.1 Doğrusal Programlamanın

Detaylı

TÜREV VE UYGULAMALARI

TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI 1-TÜREVİN TANIMI VE GÖSTERİLİŞİ a,b R olmak üzere, f:[a,b] R fonksiyonu verilmiş olsun. x 0 (a,b) için lim x X0 f(x)-f( x 0 ) limiti bir gerçel sayı ise bu limit değerine f fonksiyonunun

Detaylı

KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG 4 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının

Detaylı

Alıştırmalar 1. 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz.

Alıştırmalar 1. 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz. Alıştırmalar 1 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz. Denklem Mertebe Derece a) 2 1 ( ) 4 6 c) 2 1 d) 2 2 e) 3 1 f) 2 4 g)

Detaylı

9. SINIF Geometri TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR

9. SINIF Geometri TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR 9. SINIF Geometri Amaç-1: Nokta, Doğru, Düzlem, Işın ve Uzayı Kavrayabilme. 1. Nokta, doğru, düzlem ve uzay kavramlarım açıklama. 2. Farklı iki noktadan geçen doğru sayışım söyleme

Detaylı

;] u Y hb* p(a/ > V aaa!a!a!a!!!!!a! BASIN KİTAPÇIĞI

;] u Y hb* p(a/ > V aaa!a!a!a!!!!!a! BASIN KİTAPÇIĞI BASIN KİTAPÇIĞI 00000000 AÇIKLAMA 1. Bu kitapç kta Lisans Yerle tirme S nav -1 Matematik Testi bulunmaktad r. 2. Bu test için verilen toplam cevaplama süresi 75 dakikadır. 3. Bu kitapç ktaki testlerde

Detaylı

Bölüm 3: Vektörler. Kavrama Soruları. Konu İçeriği. Sunuş. 3-1 Koordinat Sistemleri

Bölüm 3: Vektörler. Kavrama Soruları. Konu İçeriği. Sunuş. 3-1 Koordinat Sistemleri ölüm 3: Vektörler Kavrama Soruları 1- Neden vektörlere ihtiyaç duyarız? - Vektör ve skaler arasındaki fark nedir? 3- Neden vektörel bölme işlemi yapılamaz? 4- π sayısı vektörel mi yoksa skaler bir nicelik

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Tekrar Zamanı TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU ÇÖZÜMLÜ TEST 1... 52 ÇÖZÜMLÜ TEST 2... 54 MAKS. - MİN. PROBLEMLERİ. Uygulama Zamanı 1...

İÇİNDEKİLER. Tekrar Zamanı TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU ÇÖZÜMLÜ TEST 1... 52 ÇÖZÜMLÜ TEST 2... 54 MAKS. - MİN. PROBLEMLERİ. Uygulama Zamanı 1... İÇİNDEKİLER TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU Teğet ve Normal Doğruların Eğimi... Teğet Doğrusunun Eğim Açısı... Teğet ve Normal Denklemleri... Eğrinin Teğetine Paralel ve Dik Doğrular... Grafikte Teğet I... 5

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Murat SUBAŞI İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV UYGULAMALARI-I

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Murat SUBAŞI İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV UYGULAMALARI-I HEDEFLER İÇİNDEKİLER TÜREV UYGULAMALARI-I Artan ve Azalan Fonksiyonlar Fonksiyonların Maksimum ve Minimumu Birinci Türev Testi İkinci Türev Testi Türevin Geometrik Yorumu Türevin Fiziksel Yorumu MATEMATİK-1

Detaylı

Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık

Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 5 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayı ve alt uzay yapısını daha iyi tanıyacak, Bir vektör uzayındaki vektörlerin

Detaylı

4.3. Türev ile İlgili Teoremler

4.3. Türev ile İlgili Teoremler 4.. Türev ile İlgili Teoremler Bu kesimde ortalama değer teoremini vereceğiz. Ortalama değer teoremini ispatlarken kullanılacak olan Fermat teoremini ve diğer bazı teoremleri ispat edeceğiz. 4...Teorem

Detaylı

8. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI.

8. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI. 8. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ Okt. Yasin ORTAKCI yasinortakci@karabuk.edu.tr Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi 2 MATRİSLER Matris veya dizey, dikdörtgen bir sayılar tablosu

Detaylı

2012 LYS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ Niyazi Kurtoğlu

2012 LYS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ Niyazi Kurtoğlu .SORU 8 sayı tabanında verilen (5) 8 sayısının sayı tabanında yazılışı nedir?.soru 6 3 3 3 3 4 6 8? 3.SORU 3 ise 5? 5 4.SORU 4 5 olduğuna göre, ( )? 5.SORU (y z) z(y ) y z yz bulunuz. ifadesinin en sade

Detaylı

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür.

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür. - 1 - ÖĞRENME ALANI CEBİR BÖLÜM KARMAŞIK SAYILAR ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Karmaşık Sayılar Karmaşık Sayıların Kutupsal Biçimi KARMAŞIK SAYILAR Kazanım 1 : Gerçek sayılar kümesini genişletme gereğini örneklerle

Detaylı

NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP FONKS IYONLARA YAKLAŞIM. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi

NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP FONKS IYONLARA YAKLAŞIM. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi NÜMER IK ANAL IZ Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi Nuri ÖZALP FONKS IYONLARA YAKLAŞIM Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 4 7! FONKS IYONLARA YAKLAŞIM 1 / 21 1 Polinom Interpolasyonu Newton Formu

Detaylı

STATIK MUKAVEMET. Doç. Dr. NURHAYAT DEĞİRMENCİ

STATIK MUKAVEMET. Doç. Dr. NURHAYAT DEĞİRMENCİ STATIK MUKAVEMET Doç. Dr. NURHAYAT DEĞİRMENCİ STATİK DENGE KOŞULLARI Yapı elemanlarının tasarımında bu elemanlarda oluşan iç kuvvetlerin dağılımının bilinmesi gerekir. Dış ve iç kuvvetlerin belirlenmesinde

Detaylı

İÇİNDEKİLER KISIM 1: BİRİNCİ MERTEBE ADİ DİFERENSİYEL DENKLEMLER

İÇİNDEKİLER KISIM 1: BİRİNCİ MERTEBE ADİ DİFERENSİYEL DENKLEMLER İÇİNDEKİLER KISIM 1: BİRİNCİ MERTEBE ADİ DİFERENSİYEL DENKLEMLER 1.1. Fiziksel Kanunlar ve Diferensiyel Denklemler Arasındaki İlişki... 1 1.2. Diferensiyel Denklemlerin Sınıflandırılması ve Terminoloji...

Detaylı

1989 ÖYS. olduğuna göre a-b kaçtır? A) 2 B) 2 C) 2 2 D) 2 2 E) 4

1989 ÖYS. olduğuna göre a-b kaçtır? A) 2 B) 2 C) 2 2 D) 2 2 E) 4 989 ÖYS. a a a b 8 olduğuna göre a-b kaçtır? C). a ile b nin aritmetik ortalaması 5 tir. a ile geometrik ortalaması 0, b ile geometrik ortalaması 0 olan sayı nedir? 0 C) 8 ise a+b+d toplamı ne-. a+b+c=d

Detaylı

DERS NOTU 01 TÜKETİCİ TEORİSİ

DERS NOTU 01 TÜKETİCİ TEORİSİ DERS NOTU 01 TÜKETİCİ TEORİSİ Bugünki dersin işleniş planı: I. Hanehalkı Karar Problemi... 1 A. Bütçe Doğrusu... 1 II. Seçimin Temeli: Fayda... 5 A. Azalan Marjinal Fayda... 5 B. Fayda Fonksiyonu... 9

Detaylı

13.Konu Reel sayılar

13.Konu Reel sayılar 13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

MARKOV ZİNCİRLERİNDE DURUMLARIN SINIFLANDIRILMASI

MARKOV ZİNCİRLERİNDE DURUMLARIN SINIFLANDIRILMASI SAKARYA UNIVERSİTESİ ENDUSTRI MUHENDISLIĞI YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI II MARKOV ZİNCİRLERİNDE DURUMLARIN SINIFLANDIRILMASI DERS NOTLARI 1 Önceki derslerimizde pek çok geçişten sonra n-adım geçiş olasılıklarının

Detaylı

Uzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi

Uzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi Uzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi Uzayda verilen d 1 ve d aykırı doğrularının ikisine birden dik olan doğruya ortak dikme doğrusu denir... olmak üzere bu iki doğru denkleminde değilse

Detaylı

PARABOL. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu

PARABOL. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu PARABL Bu bölümde birinci dereceden fonksion =f()=a+b ve ikinci dereceden fonksion =f()=a +b+c grafiklerini üzesel olarak inceleeceğiz. f()=a +b+c ikinci dereceden bir bilinmeenli polinom fonksionun grafiği

Detaylı

MATEMATİK TESTİ LYS YE DOĞRU. 1. Bu testte Matematik ile ilgili 50 soru vardır.

MATEMATİK TESTİ LYS YE DOĞRU. 1. Bu testte Matematik ile ilgili 50 soru vardır. MTMTİK TSTİ LYS-. u testte Matematik ile ilgili 0 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.. a, b, c birer reel sayı

Detaylı

8.333 İstatistiksel Mekanik I: Parçacıkların İstatistiksel Mekaniği

8.333 İstatistiksel Mekanik I: Parçacıkların İstatistiksel Mekaniği MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 8.333 İstatistiksel Mekanik I: Parçacıkların İstatistiksel Mekaniği 2007 Güz Bu materyallerden alıntı yapmak ya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için

Detaylı

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

1998 ÖYS. orantılı olacaktır. Bu iki kardeşten büyük olanın bugünkü yaşı kaçtır? 1. Üç basamaklı bir x doğal sayısının 7

1998 ÖYS. orantılı olacaktır. Bu iki kardeşten büyük olanın bugünkü yaşı kaçtır? 1. Üç basamaklı bir x doğal sayısının 7 998 ÖYS. Üç basamaklı bir doğal sayısının 7 katı, iki basamaklı bir y doğal sayısına eşittir. Buna göre, y doğal sayısı en az kaç olabilir? orantılı olacaktır. Bu iki kardeşten büyük olanın bugünkü yaşı

Detaylı

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır.

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır. 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1) a, b, c G için a ( b c) ( a b) c (Birleşme özelliği)

Detaylı