T.C. NEVŞEHİR HACI BEKTAŞ VELİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ SİNGÜLER PERTÜRBASYON PROBLEMLERİNİN ASİMPTOTİK ANALİZİ

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "T.C. NEVŞEHİR HACI BEKTAŞ VELİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ SİNGÜLER PERTÜRBASYON PROBLEMLERİNİN ASİMPTOTİK ANALİZİ"

Transkript

1 T.C. NEVŞEHİR HACI BEKTAŞ VELİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ SİNGÜLER PERTÜRBASYON PROBLEMLERİNİN ASİMPTOTİK ANALİZİ Tezi Hazırlayan Süleyman CENGİZCİ Tez Danışmanı Yrd. Doç. Dr. Aytekin ERYILMAZ Matematik Anabilim Dalı Yüksek Lisans Tezi TEMMUZ 4 NEVŞEHİR

2

3 T.C. NEVŞEHİR HACI BEKTAŞ VELİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ SİNGÜLER PERTÜRBASYON PROBLEMLERİNİN ASİMPTOTİK ANALİZİ Tezi Hazırlayan Süleyman CENGİZCİ Tez Danışmanı Yrd. Doç. Dr. Aytekin ERYILMAZ Matematik Anabilim Dalı Yüksek Lisans Tezi TEMMUZ 4 NEVŞEHİR

4

5

6 TEŞEKKÜR Dört yıllık lisans ve sonrasında iki yıllık yüksek lisans eğitimlerim süresince yaşadığım tüm zorluklarda yanımda olmuş, maddi ve manevi desteğini esirgememiş olan rahmetli büyükbabam Süleyman YILMAZ a; büyükannem Dudu YILMAZ a, annem Ferda CENGİZCİ ve kardeşim Şemsi CENGİZCİ ye, Niğde de tanımış olduğum ve her zaman destekçilerim olan hocalarım Semin GÜLEÇ ve Ebru GÜLEÇ e; akademik dünyayı tanımamda çok büyük katkıları olan, tanıştığım günü hayatımın dönüm noktası olarak nitelendirdiğim yardımcı danışman hocam Yrd. Doç. Dr. M. Tarık ATAY a ve Arş. Grv. Nurettin IRMAK a, yüksek lisans eğitimim sırasında tanıştığım, öğütleriyle ve destekleriyle her zaman yanımda olan danışman hocam Yrd. Doç. Dr. Aytekin ERYILMAZ a, Spectral Methods adlı dersini aldığım ve kendisinden çok şey öğrenmiş olduğum Orta Doğu Teknik Üniversitesi Mühendislik Bilimleri Bölümü öğretim üyesi Prof. Dr. Hakan I. TARMAN a, Nevşehir Hacı Bektaş Veli Üniversitesi ve Niğde Üniversitesi Matematik Bölümü öğretim üyelerine ve son olarak kıymetlim Tülin e sonsuz teşekkürlerimi sunarım. Süleyman CENGİZCİ iii

7 SİNGÜLER PERTÜRBASYON PROBLEMLERİNİN ASİMPTOTİK ANALİZİ (Yüksek Lisans Tezi) Süleyman CENGİZCİ NEVŞEHİR HACI BEKTAŞ VELİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ TEMMUZ 4 ÖZET Bu çalışmada asimptotik yaklaşım metotları incelenmiştir. Asimptotik metotların, akışkanlar ile ilgili denklemlerin, özellikle de lineer olmayan, çözümü zor Navier- Stokes denklemlerinin çözüm çalışmaları sırasında ortaya çıktığını söylemek yanlış olmayacaktır. Bunun dışında gök mekaniği, kuantum mekaniği, Newton mekaniği ve optik başta olmak üzere hemen hemen tüm fizik dallarında ve ayrıca kimya, biyoloji gibi diğer bilim dallarında karşılaşılan problemlerin matematiksel modellemelerinde asimptotik yaklaşımlar yardımıyla yüksek hassaslıkta çözümler elde edilebilmektedir. Bu tezde asimptotik yaklaşımlar başlangıç seviyesinden itibaren ele alınmış, çok sayıda örneğe yer verilmiş, farklı durumlar için ortaya çıkan farklı çözüm yöntemleri incelenmiştir. Bu yöntemler: Eşleştirilmiş açılımlar Metodu (MMAE), Ara Eşleştirme Metodu (Intermediate Matching), SCEM ve WKB Metodu dur. Ayrıca problemler sadece matematiksel açıdan ele alınmamış, aynı zamanda fiziksel temellerine de konu ve tez kapsamından çıkılmadan değinilmiştir. Anahtar kelimeler: Asimptotik Metotlar, Pertürbasyon Teorisi, Singüler Pertürbasyon, Sınır Tabaka Problemi, Başlangıç ve Sınır Değer Problemleri Tez Danışmanı: Yrd. Doç. Dr. Aytekin ERYILMAZ Sayfa Adedi: 7 iv

8 ASYMPTOTIC ANALYSIS OF SINGULAR PERTURBATION PROBLEMS (M. Sc. Thesis) Süleyman CENGİZCİ NEVSEHIR HACI BEKTAS VELI UNIVERSITY GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCES JULY 4 ABSTRACT In this study asymptotic approimation methods are eamined. That is not wrong to say that asymptotic approimation methods have emerged from the equations in fluid mechanics and dynamics especially from non-linear Navier-Stokes Equations which are tedious to solve. In addition to this, mainly in celestial mechanics, quantum mechanics, Newtonian mechanics and optics, virtually in all physics branches thanks to the asymptotic approimations high accuracy solutions can be obtained. In this study asymptotic approimations, from begining point to advanced levels, are investigated in an easy way and a lot of eamples are solved. For each different case, different ways and methods are followed to reach the solutions. These methods: The Method of Matched Asymptotic Epansions (MMAE), The Method of Intermediate Matching, The SCEM and The Method of WKB. Moreover, problems that are solved in this study were not only eamined from mathematical aspects but also eamined using their physical significances. Keywords: Asymptotic Methods, Perturbation Theory, Singular Perturbation, Boundary Layer Problem, Initial and Boundary Value Problems Thesis supervisor: Assist. Prof. Aytekin ERYILMAZ Page number: 7 v

9 İÇİNDEKİLER KABUL VE ONAY SAYFASI..i TEZ BİLDİRİM SAYFASI... ii TEŞEKKÜR. iii ÖZET iv ABSTRACT.. v İÇİNDEKİLER. vi TABLOLAR LİSTESİ...viii ŞEKİLLER LİSTESİ...i SİMGE VE KISALTMALAR LİSTESİ.... BÖLÜM GİRİŞ.. BÖLÜM ASİMPTOTİK YAKLAŞIMLARA AİT GENEL BİLGİLER Taylor Seri Açılımları ve L Hospital Kuralı Mertebe Sembolleri 7.3. Asimptotik Yaklaşımlar Asimptotik açılımlar Asimptotik serilerin yakınsaklığı ve hassaslığı Asimptotik açılımlarla işlemler Cebirsel ve Transandantal Denklemlerin Asimptotik Çözümleri Diferansiyel Denklemlerin Asimptotik Çözümlerine Giriş.... vi

10 .6. Asimptotik Yaklaşımların Geçerliliği BÖLÜM EŞLEŞTİRİLMİŞ ASİMPTOTİK AÇILIMLAR METODU Eşleştirilmiş Açılımlara Giriş Metodun İşleyişi Dış çözüm (Adım) Sınır tabaka çözümü (Adım ) Açılımların eşleştirilmesi (Adım 3) Birleştirilmiş çözüm (Adım 4) Ara eşleştirme Birden Fazla Sınır Tabakaya Sahip Problemler Dış çözüm (Adım ) Sınır tabakalar ve eşleme işlemi (Adım ) Birleşik çözümün elde edilmesi (Adım 3) Transandantal Olarak Küçük Terimler BÖLÜM ARDIŞIK TAMAMLAYICI AÇILIMLAR METODU BÖLÜM TARTIŞMA, SONUÇ VE ÖNERİLER..64 KAYNAKLAR 65 EKLER ÖZGEÇMİŞ.7 vii

11 TABLOLAR LİSTESİ Tablo 4. (4.3) probleminin. için mutlak hatalarını veren tablo.57 Tablo 4. (4.3) probleminin. için mutlak hatalarını veren tablo...58 Tablo 4.3 (4.7) probleminin. için mutlak hatalarını veren tablo.58 Tablo 4.4 (4.7) probleminin. için mutlak hatalarını veren tablo...59 viii

12 ŞEKİLLER LİSTESİ Şekil. Dikey atış hareketinin zamana bağlı grafiksel gösterimi...3 Şekil.3.. Örnek.3.5. f ile asimptotik yaklaşımı ( ) in kıyaslanması... Şekil.4.. Şekil.4.. Şekil.5.. Örnek.4.. in çözümlerini ' un değerleri için kıyaslayan grafik.9 Örnek.4.. farklı değerleri için asimptotik-gerçek çözüm grafiği. Örnek.5.. nin asimptotik - nümerik çözümlerini kıyaslayan grafik...7 Şekil için (3..) denkleminin asimptotik ve tam çözüm grafik..35 Şekil için (3..) denkleminin asimptotik ve tam çözüm grafiği...35 Şekil Eşleştirme Metodu nun temeli ve iç - dış açılımların ortak geçerlilik bölgesi olan örtüşme bölgesi ni gösteren şekil.. 36 Şekil (3..) probleminin. parametresi için ara eşleştirme çözümü..4 Şekil (3..) probleminin. için ara eşleştirme çözümü....4 Şekil (3.3.) denkleminin. için nümerik ve asimptotik çözümü 46 Şekil (3.3.) denkleminin çözümlerini. parametre değeri için kıyaslayan grafik 46 Şekil Örnek dış açılıma transandantal olarak küçük terimlerin etkisi. 5 Şekil 4.. (4.3) problemi. için SCEM - tam çözüm kıyaslayan grafik...59 Şekil 4.. (4.3) problemi. için MMAE - tam çözüm kıyaslayan grafik...6 Şekil 4.3. (4.3) problemi. için SCEM - tam çözüm kıyaslayan grafik..6 Şekil 4.4. (4.3) problemi. için MMAE - tam çözüm kıyaslayan grafik.6 Şekil 4.5. (4.7) problemi. için SCEM ve tam çözüm kıyaslayan grafik..6 Şekil 4.6. (4.7) problemi. için MMAE ve tam çözüm kıyaslayan grafik 6 Şekil 4.7. (4.7) problemi. için SCEM ve tam çözüm kıyaslayan grafik 6 Şekil 4.8. (4.7) problemi. için MMAE ve tam çözüm grafiği i

13 SİMGE VE KISALTMALAR LİSTESİ : Elemanıdır sembolü : Doğal sayılar kümesi : Reel (gerçel) sayılar kümesi : Küçük epsilon parametresi : Mertebe (gauge) fonksiyonu d d u : Adi türev operatörü : Kısmi türev operatörü : (Asimptotik olarak) denklik sembolü o : Asimptotik kıyaslayıcı (küçük o ) O : Asimptotik kıyaslayıcı (büyük O ) f (n) : f fonksiyonunun n. mertebeden türevi : parametresi sabitine yaklaşıyor (limit) J (z) : Bessel fonksiyonu : Ara değişken (intermediate variable) ep( ): e fonksiyonu : Sabit bir reel sayı : Sabit bir reel sayı : Sabit bir reel sayı

14 . BÖLÜM GİRİŞ Matematikte karşılaşılan problemlerin birçoğu aslında günlük hayatta meydana gelen fiziksel olayların matematiksel modellenmelerinin bir sonucudur. Bu problemlerin, özellikle de integral ve diferansiyel denklem içerenlerinin tam çözümlerinin bulunabilmesi her zaman mümkün olamamaktadır. Bu tür durumlarda genelde iki seçenekten biri benimsenmektedir. Bunlardan ilki, günümüzde yazılımların olağanüstü gelişimi ve işlemci hızlarının müthiş artmasıyla birlikte oldukça popüler hale gelmiş olan bilgisayarların kullanımıdır. Böylece hem vakit kaybetmeden, hem de zahmet çekmeden ilgili problemlerin sonucuna ulaşılabilmektedir. Diğer seçenek ise ilgili problem ya da problemlerin çözümüne asimptotik açılımlar yardımıyla yaklaşmaktır. Daha zahmetli olmalarına rağmen asimptotik açılımlar geçtiğimiz yüzyıldan bu yana uygulamalı matematiğin, mühendislik bilimlerinin, fiziksel matematiğin ve özellikle de akışkanlar mekaniğinin köşe taşlarından biri haline gelmiştir [7-8]. Asimptotik yaklaşımlar ile ilgili en basit ve açıklayıcı örnekler polinom kökleri bulunurken karşılaşılanlardır. Örneğin denklem incelendiğinde bu denklemin katsayılarının aslında katsayılarına ne kadar yakın olduğu göze çarpmaktadır şeklindeki kuadratik 43 denkleminin denkleminin katsayıları için ve 3. 3 (.) eşitliklerinin doğru olduğu açıktır. Bu noktada. alınması ile denklemi ( 4) (3 ) formuna dönüşür. Kuadratik denklem çözümü formülleri ile ( 4) (3 ) denkleminin çözümleri, şeklinde bulunur. Buradaki en önemli nokta için ( 4) (3 ) denkleminin 43 denklemine dönüştüğü ve dolayısıyla, çözümünün de ve 3 şeklinde oluşudur. Yani küçük bir parametresi ile oynanarak ilgili denklem istenilen şekle dönüştürülebilmektedir. Burada ilgilenilen

15 denklemi olduğundan. için çözümler.9748 ve.5 olarak bulunur. ( 4) (3 ) denkleminin kuadratik yapıda olması nedeniyle kök formülleri kullanılarak çözümler elde edilebildi. Ancak durum her zaman bu kadar basit olmamaktadır ve daha sonraki bölümlerde görüleceği üzere yaklaşımlar yapılmak zorunda kalınmaktadır. Asimptotik yaklaşımlar konusunun yapısını daha iyi anlamak amacıyla, bu tezin ana konusu olan diferansiyel denklemlere yaklaşık çözüm bulmayı örnekleyen, fiziksel temellere dayanan başka bir örneğin incelenmesi yerinde olacaktır. Bunun için Newton un. Kuralı ndan elde edilen dikey atış hareketi formülü incelenirse [6] gr t R, t (.) diferansiyel denklemine ulaşılır. Bu denklemde (t) nesnenin yerküre (dünya) yüzeyine olan uzaklığını, g yerçekim sabitini ve R yerkürenin yarıçapını belirtmektedir. Cismin dünyanın yüzeyinden atıldığı ve bir ilk hıza ( v ) sahip olduğu varsayılırsa (), '() v, v başlangıç koşulları elde edilir. Dolayısıyla (.) denklemi bu başlangıç koşulları ile birlikte bir başlangıç değer problemi oluşturmaktadır. Ancak bu başlangıç değer probleminin non-lineer doğası kapalı formda analitik bir çözüm elde etmeyi zorlaştırmaktadır. Hatta çoğu lineer olmayan problem için tam çözümü bulmak olanaksızdır. Bu nedenle problemi daha basit hale getirilip getirilemeyeceği, eğer basitleştirilebiliyor ise bunun doğuracağı sonuçlar araştırılır. Örneğin bu problem için (nesnenin yerküre yüzeyine olan uzaklığı) küçük bir değere sahip ise (.) denklemi gr ''(t) g, (), '() v t R R ye göre önemsenmeyecek derecede (.) başlangıç değer problemine dönüşür. (.) probleminin (.) problemine göre çok daha basit olduğu açıktır. Çünkü artık lineer bir problemdir. Probleme ait genel çözüm

16 '( t) gt c ( t) gt ct c şeklinde olup başlangıç şartlarının uygulanmasıyla () t gt vt çözümüne ulaşılır. Bu çözüm ise lise fizik derslerinden bilinen dikey atış hareketi formülüdür. Basit türev işlemleri ile cismin yüksekliğe ulaşacağı ve bu yüksekliğin t v g zamanında (noktasında) maksimum ( t ) v g m olduğu bulunur [6]. Şekil. Dikey atış hareketinin zamana bağlı grafiksel gösterimi Görüldüğü üzere (.) denklemi çeşitli varsayımlarla kolayca çözülebilen bir problem olan (.) problemine dönüştü. Burada karşılaşılan problem, (.) probleminde R ye göre çok küçük olduğu için ihmal edilen teriminin (.) denkleminde yok sayılışının denklemin çözümünde meydana getirdiği hatadır. Bu konu daha sonraki bölümlerde ayrıntılı bir biçimde işlenecektir. Denklem ve problemleri bu şekilde daha basit hale getirip çözme işlemini daha sistematik hale getirmek için değişkenleri ölçeklendirme yolu izlenir. Bunun için (.) 3

17 denklemi için t t c () t ve y( ) c dönüşümleri uygulanabilir. Burada t c ve c sırasıyla, ilgilenilen problem için karakteristik bir anı ve karakteristik bir değeri belirtirler. Bu karakteristik değerlerin seçilmesinde ilgilenilen problemi iyi ifade edebilecek nitelikte olmalarına dikkat etmekten başka sınırlayıcı bir durum yoktur. Örneğin (.) problemi için Şekil. yardımı ile c v g v g ve tc seçilebilir. Böylece problem y,, y(), y'() v o y Rg (.3) başlangıç değer problemine dönüşür. v Rg alınması ile de (.3) problemi y,, y(), y'() y (.4) problemine dönüşür. Görüldüğü gibi problemin çözümü parametresine bağlıdır. noktası civarlarında Taylor seri açılımı yardımıyla y y ( ) y ( )... (.5) şeklindeki yaklaşımla bulunulur. Ana hatları ile asimptotik yaklaşımlar önceki sayfalarda gösterilen örneklerdeki yaklaşımlarla ilgilenirler. Bu tür problemlerin ayrıntılı çözümlerine geçebilmek için konuyla ilgili bazı tanım ve teoremleri bilmek faydalı olacaktır. 4

18 . BÖLÜM ASİMPTOTİK YAKLAŞIMLARA AİT GENEL BİLGİLER.. Taylor Seri Açılımları ve L Hospital Kuralı Taylor Teoremi ve sonuçları matematikte kullanılan en önemli araçlardandır. Asimptotik yöntemlerde de geniş kullanıma sahiptir. Teorem... Verilen bir f () fonksiyonunun n. mertebeye kadar olan türevleri mevcut ve ( n ). mertebeden türevi olan ( n) f de belirli bir a b aralığı için sürekli olsun. Bu durumda, ve, ( a, b) aralığına ait noktalar olmak üzere f ( ) f ( ) ( ) f '( )... ( ) f ( ) R n n! n ( n) (..) ve R ( n )! ( ) ( n n ) ( n f ) (..) biçiminde tanımlıdır. Burada noktası ve arasında bulunan herhangi bir noktadır. Bu teorem ve sonuçları oldukça önemlidir. Çünkü herhangi bir f () fonksiyonuna n terimli Taylor serisi yardımıyla yaklaşıldığında (..) hata formülü yardımıyla bu yaklaşımda yapılan hata belirlenmektedir. Örnek... Bazı önemli fonksiyonların noktası civarlarındaki Taylor seri açılımları: 3! 5! 3 5 sin( )... 4! 4 cos( ) arcsin( ) arccos( )... 5

19 tan( )... 3 cot( ) e ln( ) ln( )... ln( a) a e a a sinh( ) cosh( )... tanh( ) 3 5 şeklindedir [6-8] Şimdi de matematiksel analizin önemli bir konusu olan limit işlemi ile ilgili L Hospital kuralını verelim. Teorem... f ( ) ve ( ) fonksiyonları (, b) aralığı üzerinde diferansiyellenebilir fonksiyonlar ve yine bu aralık üzerinde '( ) şartı sağlanıyor olsun. Ayrıca A olmak üzere f '( ) A olsun. Bu durumda aşağıdaki iki özellikten biri lim '( ) sağlanıyor ise f () lim () A dır: için f ve, ya da. 6

20 .. Mertebe Sembolleri Asimptotik yaklaşımlar ile ilgili tanımları vermeden önce mertebe sembollerinin ne anlama geldiğini vermek faydalı olacaktır. Bu semboller ilk olarak Bachmann (894) tarafından kullanılmaya başlanmış olsa da kullanımı Landau (99) sayesinde yaygınlaşmıştır. Bu nedenle bu semboller çoğu zaman Bachmann-Landau sembolleri olarak bilinirler [4,7]. Limit işlemi altındaki bir fonksiyonun davranışının doğru bir şeklide belirlenebilmesi için mertebe fonksiyonlarından yararlanılır. Örneğin, () fonksiyonunun için a yakınsama hızı f () fonksiyonuna göre daha düşüktür. Bu gerçeği ifade etmek ve bu tür kıyaslamaları yapabilmek için aşağıda tanımı verilen mertebe sembollerinden yararlanılmaktadır. Tanım... f () - L olmak üzere lim L sağlanıyorsa bu durum için () f O ( ) şeklinde ifade edilir ve için f fonksiyonu fonksiyonunun büyük O sudur biçiminde okunur. Tanım... f () lim () ise için f o( ) şeklinde ifade edilir ve için f fonksiyonu fonksiyonunun küçük o sudur biçiminde okunur. Örnek... için o eşitliği ele alınsın. Bu örnekte f () ve g()= şeklinde alınır ve Tanım... kullanılırsa f ( ) lim lim lim g( ) elde edilir. Örnek... için O() 3 eşitliği ele alınsın. f ( ) ve g( ) alınıp Tanım.3. göz önüne alınırsa 3 7

21 f () lim lim 3 lim L g() 3 3 olup - L özelliği sağlanmaktadır. Örnek..3. Aşağıda mertebe sembolleri ile ilgili çeşitli örnekler ve hangi nokta komşuluğunda geçerli oldukları verilmiştir. o( ), için sin( ) ( ), 3 o için O( ), için sin(3 ) O( ), için tan( ) ( ), O için 4 3e 4 3e O( e ), için O( ), için 6 O( 3 5 ), için o ln( ) ( ), için. Örnek..4. f() e fonksiyonu incelenip L Hospital kuralı uygulandığında nın tüm reel değerleri için f o ( ) olduğu görülür. Bu durum f, ya göre transandantal olarak küçüktür şeklinde ifade edilmektedir..3 Asimptotik Yaklaşımlar Bu tezin ana amacı diferansiyel denklemlerin çözümleri için asimptotik yaklaşımlar oluşturmaktır. Bu yüzden asimptotik yaklaşım kavramının ne anlama geldiğinin anlaşılması çok önemlidir. Tanım.3.. f ( ) ve ( ) fonksiyonları verilsin. f () lim () koşulu sağlanıyorsa için f ve fonksiyonları asimptotik olarak özdeştirler denir. Bu durum 8

22 f biçiminde ifade edilir. Bu aslında, için f ( ) ve ( ) fonksiyonlarının birbirlerinin asimptotik yaklaşımları olması demektir. Örnek.3.., 3 dur. Tanım.3.. i kullanarak bunu göstermek zor değildir. 5 Örnek.3.., e dır. Tanım.3.. yardımıyla 5 lim e lim lim lim ( e ) e e lim e elde edilir. Örnek.3.3. sin(3 ) 3, olduğu da Tanım.3.. kullanılarak kolayca gösterilebilir. Örnek.3.4. f ( ) sin( ) fonksiyonu ile ilgilenilsin. olmak üzere f () fonksiyonunun civarlarındaki Taylor seri açılımı ele alınsın. Böylece, Teorem... yardımıyla f ( ) cos( ) elde edilir. Bu sonuç kullanılarak aşağıdaki asimptotik yaklaşımlar elde edilebilir: A. f, B. 3, f 6 C. f. Bu asimptotik yaklaşımlardan en iyi (doğru, hassas) sonuç vereni B. iken en kötü yaklaşım C. dir. Tanım.3.. in bu karşılaştırmayı yapabilmek için pek yardımcı 9

23 f() olduğu söylenemez. Tanım.3.. in bu eksikliği.3.. bölümünde Asimptotik Açılımlar başlığı altında incelenecek olan tanımlar yardımıyla giderilecektir. Örnek.3.5. f ( ) e fonksiyonu için ele alınsın. Bu durumda küçük bir parametresi için f olduğu açıktır. Bununla beraber bu asimptotik yaklaşım ne kadar iyi sonuç verebileceği sorusu akla gelmektedir. Bu nedenle bu örnek Şekil.3.. üzerinde incelenecektir. Şekil.3.. den kolayca görülebileceği üzere noktasından uzak noktalarda yaklaşım oldukça iyidir. Ancak noktası civarlarında aynı durumdan bahsetmek mümkün değildir. ' un seçiminden bağımsız olarak f () olduğundan bu durum meydana gelmektedir ve yaklaşımın aralığında uniform olarak geçerli olmaması olarak adlandırılmaktadır. Belirli Bir Parametre Değeri İçin f Fonksiyonu İle Asimptotik Yaklaşımının Kıyaslanması f Fonksiyonu Asimptotik Yaklaşım Şekil.3.. Örnek.3.5. f ile asimptotik yaklaşımı olan ( ) in kıyaslanması

24 .3.. Asimptotik açılımlar Daha önce incelenen örneklerden de anlaşılacağı gibi bir fonksiyona ait asimptotik yaklaşım tek değildir. Aynı zamanda belirtilmelidir ki, şu ana kadar incelenen asimptotik yaklaşımların iyiliği ya da kötülüğü konusunda pek de bilgilenildiği söylenemez. Bu yüzden daha güçlü yapılar incelenmelidir. Bu noktaya kadar olan örneklerde ' un,,, şeklindeki kuvvetlerini (,,, 3,... ) kabul eden asimptotik açılımlara yer verildi. Ancak bilinmelidir ki farklı şekildeki kuvvetlerle de karşılaşılmaktadır. Hatta yeri geldikçe bu farklı türdeki fonksiyonların kullanılması ilgilenilen problem için daha uygun olacaktır. Bu nedenle bazı tanımlara ihtiyaç duyulmaktadır. Henri Poincaré e atfen Poincaré Açılımı adı da verilen asimptotik açılım tanımı aşağıda verilmiştir. Tanım.3... ( ), ( ), 3( ),... şeklindeki fonksiyonlar dizisi iken m için ( ) ( ( )) o özelliğini gerçekliyor ise bu dizi bir asimptotik dizidir. m m Yani m için m lim m özelliğinin sağlanması gerekmektedir. Tanım.3... ( ), ( ), 3( ),... bir asimptotik dizi olsun. Bu durumda f () fonksiyonu m terimli bir asimptotik açılıma sahiptir a k katsayıları ' dan bağımsız olmak üzere, için m k k m k f ( ) a o( ), m,,3,... dur. Bu durumda f a ( ) a ( )... a m m ( ) yazılabir. Burada bahsedilen k () için fonksiyonları açılımın baz fonksiyonları ya da gauge fonksiyonları olarak adlandırılırlar. Örnek.3... ( ) ep m m, m,,3,... fonksiyon dizisi, için bir asimptotik dizidir. Gerçekten de Tanım.3... gereğince m için ( m ) ep m lim lim lim ep m m ep asimptotik dizi olduğunu gösterir. elde edilir. Bu ise ilgili dizinin bir

25 n Örnek.3... ( ) fonksiyon dizisi için bir asimptotik dizidir. n n n Örnek ( ) e fonksiyon dizisi için asimptotik bir dizi oluşturur. n Yukarıda verilen tanım ve örneklerden sonra sıra asıl soruya geldi: Verilen bir f () fonksiyonuna ait asimptotik açılım nasıl bulunur?. Bunun için en sık kullanılan yöntemler: A. Taylor Teoremi, B. L Hospital Kuralı, C. Tahmin, dir. Tahmin yoluyla asimptotik açılımı belirlemek bir şans olayıdır ve tecrübe gerektirmektedir. Bundan daha ziyade Taylor Teoremi ve L Hospital Kuralı kullanılmaktadır. L Hospital Kuralı na göre ise Taylor Teoremi nin kullanılması çok daha avantajlıdır. Çünkü Taylor Teoremi yardımı ile açılımda yapılan hatayı analiz etme şansı doğmaktadır. Bu da Taylor Teoremi ni çok daha önemli kılmaktadır. Örnek f ( ) ep( ) fonksiyonun üç terimli asimptotik açılımı ele alınsın. Taylor seri açılım kullanılarak ya da doğrudan Örnek... den f e 6 3 ( ) ep( )... elde edilir. Örnek cos( ) f () fonksiyonu için iki terimli asimptotik açılım aransın. Burada Taylor Teoremi ni doğrudan uygulamak olanaksızdır. Çünkü f () fonksiyonu için tanımsızdır. Bu nedenle tanımsızlık yaratan bölümü göz ardı edip için tanımlı bölümü Taylor serisi ile ifade etmek gerekmektedir. Böylece f ( )... elde edilir. Beklenildiği gibi asimptotik açılım, f () fonksiyonu gibi noktasında tanımsızdır.

26 Örnek f () fonksiyonunun iki terimli asimptotik açılımı aransın. sin( ) 3... ve sin( )... olduğuna dikkat edilirse f () asimptotik açılımı elde edilir. Uyarı.3... Verilen bir f () fonksiyonuna ait için asimptotik açılım a () nn biçiminde olsun. Bu durumda katsayılar n a m lim m an n n f( ) ( ) m () ile tanımlıdır. Bu şekilde oluşturulan asimptotik açılım tektir. Örnek f() e fonksiyonu ve fonksiyonları verilsin. Bu durumda Uyarı.3... den gauge ( ), ( ), 3( ),... f a lim a a f lim f lim 3 elde edilir. Dolayısıyla f... elde edilir. Burada ilginç olan fonksiyonunun asimptotik açılıma hiçbir etkisinin olmayışıdır. Bunun nedeni ise 3 e e

27 fonksiyonunun çok hızlı a yaklaşmasıdır. Yani e o( ), a için, dir. Bu durumda bu e fonksiyonuna gauge fonksiyonlarına göre transandantal olarak küçüktür denir. Yine bu örnekte de görüldüğü gibi iki farklı fonksiyon aynı asimptotik açılıma sahip olabilmektedir..3.. Asimptotik serilerin yakınsaklığı ve hassaslığı Taylor seri açılımı ile elde edilen bir asimptotik açılımda daha fazla terim ekleyerek açılımın hassaslığını artırmak mümkündür. İstenilen hassaslıktaki sonuç elde edilene dek terim ekleme işine devam edilir. Ancak bir asimptotik açılım için bu her zaman doğru sonuç vermeyebilir. Çünkü asimptotik açılımlar için limit durumuyla ilgilenirken, serinin terim sayısının artması n durumudur. Bilinmelidir ki bir asimptotik açılım yakınsak olmayabilir. Yakınsak olan bir asimptotik açılım ise açılımı olduğu fonksiyona yakınsamayabilir. Örneğin, Örnek de incelenen f() e fonksiyonuna ait asimptotik açılım f... olarak bulunmuştu. Bu açılım ise aslında Dolayısıyla asimptotik açılım fonksiyonunun Taylor seri açılımıdır. fonksiyonuna yakınsamaktadır. Bu ise asimptotik açılımın açılımı olduğu fonksiyona yakınsamamasına bir örnektir. Iraksak asimptotik açılımlara örnek olarak özel bir fonksiyon olan ve J ( z ) ile gösterilen Bessel fonksiyonu verilebilir. J ( ) z () k k z k k ( k!) şeklinde ifade edilen bu fonksiyon göz önüne alınır ve f( ) J ( ) kabul edilirse küçük bir parametresi için f ( ) fonksiyonuna ait asimptotik açılım (Abramowitz ve Stegun, 97) 4

28 cos sin f 4 4 (.3..) şeklinde tanımlı olup buradaki ve (.3..) 4!8 4! (.3..3) 3 8 3!8 ile verilir. dan farklı değerdeki her için (.3..) ve (.3.3.3) açılımlarının ıraksak olduğunun gösterilmesi zor değildir. (.3..) şeklindeki ıraksak serinin ilk bir ya da iki terimi kullanılarak elde edilen hassaslık, J ( ) z () k k z k k ( k!) serisinin en az yirmi teriminin açılması ile elde edilebilmektedir [7,4]. Asimptotik açılımlar ile uğraşılırken yukarıda incelenen iki örnek karşılaşılabilecek durumlar açısından unutulmamalıdır Asimptotik açılımlarla işlemler Aynı baz (gauge, scale) fonksiyonlarına sahip olan asimptotik açılımlar için toplama ve çıkarma işlemlerinin yapılabileceğini göstermek zor değildir. Çarpma işlemi de zahmetli olmasına rağmen zor değildir. Ancak bir fonksiyonun türevinin asimptotik açılımının o fonksiyonun asimptotik açılımının türevine denk olduğunu söylemek doğru değildir. Özel olarak için f (, ) (, ) (, ) alınsın. Burada ilgilenilen soru d d d f (, ) (, ) (, ) d d d için olup olmadığıdır. Hemen belirtmeli ki bu her zaman doğru değildir. Örnek olarak f (, ) e sin( e ), fonksiyonu incelenirse küçük parametresi için f..... asimptotik açılımı elde d edilir. Oysa f (, ) e cos( e ) bir asimptotik açılım değildir. Diğer bir d işlem olan integral işleminde ise durum türev işlemine göre daha iyimserdir. 5

29 için f (, ) a ( ) ( ) a ( ) ( ) şeklindeki asimptotik açılım ile ilgilenildiğinde a b şartı sağlanmak üzere için f (, ) d a ( ) d ( ) a ( ) d ( ) b b b a a a bağıntısı geçerlidir. Örnek f () e d şeklinde tanımlı f fonksiyonunun iki terimli asimptotik açılımı ile ilgilenilsin. Taylor Seri Açılımı yardımı ile e... bulunur ve bu özel olarak için de geçerlidir. Dolayısıyla ( ) f d 3 elde edilir ki ilk iki terim istendiğinden f ( ) yazılır. 3 Örnek ilgilenilsin. f () d fonksiyonunun iki terimli asimptotik açılımı ile... 4 şeklinde Taylor açılımına sahiptir. Ancak bu için geçerlidir. noktasında için singülarite mevcuttur. Bu yüzden bu açılımın için integrallenebilirliğinden bahsedilemez. Bu nedenle olmak üzere f () d d 6

30 yazılabilir. Burada iki parçaya ayrılan integrallerden ilki çok küçük bir aralıkta singülarite ihtiva etmektedir. İkinci integral ise singülarite ihtiva etmediğinden integrandı için... 4 açılımı uygulanabilir durumdadır. Yani 3 d =... d elde edilir. İlk integral için de d arctan( )... bulunur ki bu iki integral açılımının toplanmasıyla 3 d f ( ) açılımı elde edilir. Örnek Hemen önceki örnekteki çözüme benzer yaklaşımda bulunularak 3 d 3 f ( ) ln( ) ln sin( ) 3 asimptotik açılımı elde edilir. Görüldüğü gibi bu açılımda logaritmik bir gauge fonksiyonu bulunmaktadır. Bu çok sık karşılaşılan bir durum olmamakla beraber bazen karşılaşılabilinmektedir..4. Cebirsel ve Transandantal Denklemlerin Asimptotik Çözümleri Giriş bölümünde de belirtildiği gibi yaklaşık çözümler üretebilmek adına asimptotik metotların kullanım alanları oldukça geniştir ve bunların en kolay tipte olanlarına cebirsel denklemlerde rastlanmaktadır. Bu tezin asıl amacı diferansiyel denklemlerin çözümlerine asimptotik yaklaşımlarda bulunmak olduğundan bu bölüm bir ön hazırlık gibi düşünülebilir. 7

31 Örnek.4.. Basit bir örnek olarak. kuadratik denklemi ele alınsın. değişkeninin katsayısı olan. değerinin diğer katsayılardan oldukça küçük olduğu gözlenmektedir. Bu yüzden yaklaşık bir çözüm elde edilmeye çalışılacaktır. Öncelikle hemen belirtilmeli ki MATLAB Ra programı kullanılarak tam çözümler (eact solutions) hemen aşağıda verilen kod yardımıyla >> format long >> roots([. -] ans = (.4.) şeklinde bulunur. Bu köklerin kuadratik denklem kökü formülleriyle bulunması biraz zahmetli olduğundan MATLAB Ra programından yararlanılmıştır. Şimdi de asimptotik bir yaklaşımda bulunulacak ve en son gerçek çözümle olan farkları (mutlak hatalar) değerlendirilecektir. için. denkleminin. formunda olduğu açıktır. Bu problem için... (.4.) şeklindeki bir yaklaşımın benimsenmesi olağandır ve burada ' dır. (.4.) yaklaşımı çözüm olarak kabul edilip denklemine uygulanırsa (.4.3) eşitliğine ulaşılır. Polinom eşitliği kullanılırsa ve O() O( ) elde edilir. Böylece (.4.) yaklaşımı (.4.4) iki terimli asimptotik yaklaşımına dönüşür. Çözümlerin kıyaslanması grafik üzerinde incelenirse Şekil.4.. den de görüldüğü üzere parametresinin değeri a 8

32 ÇÖZÜMLER yaklaştıkça asimptotik yaklaşım gerçek çözüme oldukça iyi bir hassaslıkla yaklaşmaktadır. Örnek.4.. ile verilen problem formunun regüler pertürbasyon problemi olarak anılmasına sıkça rastlanmaktadır. regüler sıfatı, ' un farklı değerleri için denklemin doğasının (denklemin mertebesinin, derecesinin, ) değişmediğini belirtmektedir. Parametre Değerleri İçin Tam Çözümler İle Asimptotik Çözümlerin Kıyaslanması ASİMPTOTİK YAKLAŞIM(kök) ASİMPTOTİK YAKLAŞIM(kök) TAM ÇÖZÜMLER PARAMETRE DEĞERİ Şekil.4.. Örnek.4.. in çözümlerini ' un farklı değerleri için kıyaslayan grafik Örnek.4.. Bu konunun ikinci örneği olarak şeklindeki kuadratik denklem ele alınsın. Burada ise parametresi en yüksek dereceli terimin önünde katsayı olarak bulunmaktadır. Bu ise özel olarak için denklemin lineer hale gelmesi anlamını taşır. Yani denklemin derecesi düşecektir. Bu önemli bir durumdur çünkü denklemin doğası değişmektedir ve problemin singüler sıfatını almasına neden olmaktadır. Bu tür problemlere singüler pertürbasyon problemi denilmektedir. Örnek.4.. de uygulanan yaklaşım burada da uygulanırsa 9

33 (.4.5) 8 yaklaşımı elde edilir. Beklenildiği üzere noktası civarlarında bir asimptotik yaklaşım elde edildi. Çünkü için oluşan lineer denklemin kökü dir. Ancak denklemi kuadratik bir denklemdir ve iki kökünün olması gerekmektedir. Oysa (.5..) yaklaşımı ise yalnız bir tek çözüm üretmektedir. Bu nedenle farklı bir çözüm yaklaşımının benimsenmesi gerekmektedir. Bu yaklaşım (...), (.4.6) formunda olsun. alınmasıyla açılımın iyi sıralı olması şartı sağlanmış olur. Sonuç olarak (.4.6) açılımının denklemine uygulanmasıyla (.4.7) A B C denklemi elde edilir. Bulunulan bu nokta oldukça önemlidir. (.4.7) denkleminin sol yanı a eşit olmalıdır. Bunun için ise polinom eşitliği kuralınca birbirini dengeleyen (balancing) terimlere ihtiyaç vardır. Bu ise 3 3 farklı durumun söz konusu olabileceğine işaret eder (terimler ikililer olarak birbirlerini dengeleyeceklerdir, aksi durumu sağlayan reel kökü yoktur). Şimdi ise bu durumları teker teker incelenmesi gerekmektedir. Durum : olması durumudur ki bu durumda B ve C terimleri birbirlerini dengeleyeceklerdir. Dengelemekten kasıt aynı dereceden olmalarıdır. Bu durumda daha önce elde edilmiş olan (.4.5) yaklaşımı elde edilir. Bu 8 nedenle diğer çözümü bulmak için diğer durumlar incelenmelidir. Durum : A ve C terimlerinin birbirlerini dengelediği durum ele alınsın. Bu durumda elde edilir. Bu durumda B teriminin katsayısı ' dan bağımsız, yani olmalıdır ki bu bir çelişkidir. Dolayısıyla diğer durum incelenmelidir.

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Alıştırmalar 1. 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz.

Alıştırmalar 1. 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz. Alıştırmalar 1 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz. Denklem Mertebe Derece a) 2 1 ( ) 4 6 c) 2 1 d) 2 2 e) 3 1 f) 2 4 g)

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984.

Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984. Çankırı Karatekin Üniversitesi Matematik Bölümü 2015 Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984. (Adi ) Bir ya da daha fazla bağımsız değişkenden oluşan bağımlı değişken ve türevlerini

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER HEDEFLER İÇİNDEKİLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER Özdeşlikler Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler Yüksek Dereceden Denklemler Eşitsizlikler

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

Okut. Yüksel YURTAY. İletişim : (264) Sayısal Analiz. Giriş.

Okut. Yüksel YURTAY. İletişim :  (264) Sayısal Analiz. Giriş. Okut. Yüksel YURTAY İletişim : Sayısal Analiz yyurtay@sakarya.edu.tr www.cs.sakarya.edu.tr/yyurtay (264) 295 58 99 Giriş 1 Amaç : Mühendislik problemlerinin bilgisayar ortamında çözümünü mümkün kılacak

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 5- SONLU FARKLAR VE İNTERPOLASYON TEKNİKLERİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ MAK 210 - Sayısal Analiz 1 İNTERPOLASYON Tablo halinde verilen hassas sayısal değerler veya ayrık noktalardan

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 8- SAYISAL İNTEGRASYON 1 GİRİŞ Mühendislikte sık karşılaşılan matematiksel işlemlerden biri integral işlemidir. Bilindiği gibi integral bir büyüklüğün toplam değerinin bulunması

Detaylı

EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER

EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER LAGRANGE YÖNTEMİ Bu metodu incelemek için Amaç fonksiyonu Min.z= f(x) Kısıtı g(x)=0 olan problemde değişkenler ve kısıtlar genel olarak şeklinde gösterilir. fonksiyonlarının

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 11 1.1. Sayı Kümeleri 12 1.1.1.Doğal Sayılar Kümesi 12 1.1.2.Tam Sayılar Kümesi 13 1.1.3.Rasyonel Sayılar Kümesi 14 1.1.4. İrrasyonel Sayılar Kümesi 16 1.1.5. Gerçel

Detaylı

Bir değişkenin bir sabite mümkün olduğu kadar çok yaklaşması durumu ancak onun limitiyle ifade edilebilir.

Bir değişkenin bir sabite mümkün olduğu kadar çok yaklaşması durumu ancak onun limitiyle ifade edilebilir. LİMİT VE SÜREKLİLİK A- LİMİTLER Bir top 10 metre yükseklikten bırakılmaktadır. Top yere vurduktan sonra ilk yüksekliğin 2/5 i kadar sıçramakta ve bunu her yükseliş için devam ettirmektedir. Topun sıçrayacağı

Detaylı

x e göre türev y sabit kabul edilir. y ye göre türev x sabit kabul edilir.

x e göre türev y sabit kabul edilir. y ye göre türev x sabit kabul edilir. TÜREV y= f(x) fonksiyonu [a,b] aralığında tanımlı olsun. Bu aralıktaki bağımsız x değişkenini h kadar arttırdığımızda fonksiyon değeri de buna bağlı olarak değişecektir. Fonksiyondaki artma miktarını değişkendeki

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

1. GİRİŞ Örnek: Bir doğru boyunca hareket eden bir cismin başlangıç noktasına göre konumu s (metre), zamanın t (saniye) bir fonksiyonu olarak

1. GİRİŞ Örnek: Bir doğru boyunca hareket eden bir cismin başlangıç noktasına göre konumu s (metre), zamanın t (saniye) bir fonksiyonu olarak DERS: MATEMATİK I MAT0(09) ÜNİTE: TÜREV ve UYGULAMALARI KONU: A. TÜREV. GİRİŞ Bir doğru boyunca hareket eden bir cismin başlangıç noktasına göre konumu s (metre) zamanın t (saniye) bir fonksiyonu olarak

Detaylı

Prof. Dr. Mahmut Koçak.

Prof. Dr. Mahmut Koçak. i Prof. Dr. Mahmut Koçak http://fef.ogu.edu.tr/mkocak/ ii Bu kitabın basım, yayım ve satış hakları Kitabın yazarına aittir. Bütün hakları saklıdır. Kitabın tümü ya da bölümü/bölümleri yazarın yazılı izni

Detaylı

İÇİNDEKİLER KISIM 1: BİRİNCİ MERTEBE ADİ DİFERENSİYEL DENKLEMLER

İÇİNDEKİLER KISIM 1: BİRİNCİ MERTEBE ADİ DİFERENSİYEL DENKLEMLER İÇİNDEKİLER KISIM 1: BİRİNCİ MERTEBE ADİ DİFERENSİYEL DENKLEMLER 1.1. Fiziksel Kanunlar ve Diferensiyel Denklemler Arasındaki İlişki... 1 1.2. Diferensiyel Denklemlerin Sınıflandırılması ve Terminoloji...

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Ortak Akıl MATEMATİK DENEME SINAVI

Ortak Akıl MATEMATİK DENEME SINAVI Ortak Akıl LYS MATEMATİK DENEME SINAVI 0505- Ortak Akıl Adem ÇİL Ali Can GÜLLÜ Ayhan YANAĞLIBAŞ Barbaros GÜR Barış DEMİR Celal İŞBİLİR Deniz KARADAĞ Engin POLAT Erhan ERDOĞAN Ersin KESEN Fatih TÜRKMEN

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

2012 LYS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ Niyazi Kurtoğlu

2012 LYS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ Niyazi Kurtoğlu .SORU 8 sayı tabanında verilen (5) 8 sayısının sayı tabanında yazılışı nedir?.soru 6 3 3 3 3 4 6 8? 3.SORU 3 ise 5? 5 4.SORU 4 5 olduğuna göre, ( )? 5.SORU (y z) z(y ) y z yz bulunuz. ifadesinin en sade

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

DOKUZ EYLÜL ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ YAYINLARI NO:89 MATEMATİK I (12. BASKI) Prof. Dr. A. Nihat BADEM Yrd. Doç. Dr.

DOKUZ EYLÜL ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ YAYINLARI NO:89 MATEMATİK I (12. BASKI) Prof. Dr. A. Nihat BADEM Yrd. Doç. Dr. MATEMATİK I (12. BASKI) Prof. Dr. A. Nihat BADEM Yrd. Doç. Dr. Ali Tekin TİN MATEMATİK I DOKUZ EYLÜL ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ YAYINLARI NO:89 Prof. Dr. A. Nihat BADEM Yrd. Doç. Dr. Ali Tekin

Detaylı

MATEMATiKSEL iktisat

MATEMATiKSEL iktisat DİKKAT!... BU ÖZET 8 ÜNİTEDİR BU- RADA İLK ÜNİTE GÖSTERİLMEKTEDİR. MATEMATiKSEL iktisat KISA ÖZET KOLAY AOF Kolayaöf.com 0362 233 8723 Sayfa 2 içindekiler 1.ünite-Türev ve Kuralları..3 2.üniteTek Değişkenli

Detaylı

EÜFBED - Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi Cilt-Sayı: 3-2 Yıl: 2010 199-206

EÜFBED - Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi Cilt-Sayı: 3-2 Yıl: 2010 199-206 99 EÜFBED - Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi Cilt-Sayı: 3- Yıl: 99-6 İKİNCİ MERTEBEDEN BİR DİFERENSİYEL DENKLEM SINIFI İÇİN BAŞLANGIÇ DEĞER PROBLEMİNİN DİFERENSİYEL DÖNÜŞÜM YÖNTEMİ İLE TAM ÇÖZÜMLERİ THE

Detaylı

SAYISAL ÇÖZÜMLEME. Yrd.Doç.Dr.Esra Tunç Görmüş. 1.Hafta

SAYISAL ÇÖZÜMLEME. Yrd.Doç.Dr.Esra Tunç Görmüş. 1.Hafta SAYISAL ÇÖZÜMLEME Yrd.Doç.Dr.Esra Tunç Görmüş 1.Hafta Sayısal çözümleme nümerik analiz nümerik çözümleme, approximate computation mühendislikte sayısal yöntemler Computational mathematics Numerical analysis

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Mühendislikte Sayısal Çözüm Yöntemleri NÜMERİK ANALİZ. Prof. Dr. İbrahim UZUN

Mühendislikte Sayısal Çözüm Yöntemleri NÜMERİK ANALİZ. Prof. Dr. İbrahim UZUN Mühendislikte Sayısal Çözüm Yöntemleri NÜMERİK ANALİZ Prof. Dr. İbrahim UZUN Yayın No : 2415 İşletme-Ekonomi Dizisi : 147 5. Baskı Eylül 2012 - İSTANBUL ISBN 978-605 - 377-438 - 9 Copyright Bu kitabın

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı 10.1 Türev Kavramı fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki bir değerine kadar bir artma verildiğinde varılan x = x 0 + noktasında fonksiyonun değeri olsun.

Detaylı

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 MATEMATİK TESTİ 11 HAZİRAN 2017 PAZAR Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının

Detaylı

Çözüm: Z 3 = 27 = 27CiS( +2k ) Z k =3CiS ( ) 3 3 k = 0 için z 0 = 2 k=1 için z 1 = 3

Çözüm: Z 3 = 27 = 27CiS( +2k ) Z k =3CiS ( ) 3 3 k = 0 için z 0 = 2 k=1 için z 1 = 3 p ve q iki önerme olsun p q q p dir. p: = 3 ve q: y< 8 alınırsa I ve III ün denk olduğu görülür. Yanıt B Z 3 = 7 = 7CiS( +k ) k Z k =3CiS ( ) 3 3 k = 0 için z 0 = k=1 için z 1 = 3 k = için z = Yanıt A

Detaylı

DERS ÖĞRETİM PROGRAMI FORMU

DERS ÖĞRETİM PROGRAMI FORMU DERS ÖĞRETİM PROGRAMI FORMU Dersin Adı Kodu Normal Kredisi ECTS Ders 4 Yarıyılı Kredisi uygulama 0 Diferansiyel Denklemler 0252311 3 4 6 Laboratuvar 0 (Saat/Hafta) Dersin Dili Türkçe Dersin Türü Zorunlu

Detaylı

1 Lineer Diferansiyel Denklem Sistemleri

1 Lineer Diferansiyel Denklem Sistemleri Outline İçindekiler 1 Lineer Diferansiyel Denklem Sistemleri 1 1.1 Lineer sistem türleri (iki bilinmeyenli iki denklem)................. 1 2 Normal Formda lineer denklem sistemleri (İki bilinmeyenli iki

Detaylı

İÇİNDEKİLER. iii ÖNSÖZ BÖLÜM 1 TEMEL KAVRAMLAR 1 BÖLÜM 2 LİNEER KISMİ DİFERENSİYEL DENKLEMLER 9

İÇİNDEKİLER. iii ÖNSÖZ BÖLÜM 1 TEMEL KAVRAMLAR 1 BÖLÜM 2 LİNEER KISMİ DİFERENSİYEL DENKLEMLER 9 İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ ix BÖLÜM 1 TEMEL KAVRAMLAR 1 1.1. Tanımlar 2 1.2. Diferensiyel Denklemlerin Çözümü (İntegrali) 5 1.3. Başlangıç Değer ve Sınır Değer Problemleri 7 BÖLÜM 2 LİNEER KISMİ DİFERENSİYEL DENKLEMLER

Detaylı

Matematik Ders Notları. Doç. Dr. Murat Donduran

Matematik Ders Notları. Doç. Dr. Murat Donduran Matematik Ders Notları Doç. Dr. Murat Donduran Mart 18, 28 2 İçindekiler 1 Tanımlı Integral Uygulamaları 5 1.1 Olasılık.............................. 5 3 4 İÇINDEKILER Bölüm 1 Tanımlı Integral Uygulamaları

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Analiz Cilt 2 Ünite 8-14 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1082 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI NO: 600

Detaylı

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 10 Eylemsizlik Momentleri Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R. C.Hibbeler, S. C. Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 10. Eylemsizlik Momentleri

Detaylı

TÜREV VE UYGULAMALARI

TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI 1-TÜREVİN TANIMI VE GÖSTERİLİŞİ a,b R olmak üzere, f:[a,b] R fonksiyonu verilmiş olsun. x 0 (a,b) için lim x X0 f(x)-f( x 0 ) limiti bir gerçel sayı ise bu limit değerine f fonksiyonunun

Detaylı

Taşkın, Çetin, Abdullayeva 2. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER

Taşkın, Çetin, Abdullayeva 2. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER MATEMATİK Taşkın, Çetin, Abdullayeva BÖLÜM. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER. ÖZDEŞLİKLER İki cebirsel ifade içerdikleri değişkenlerin (veya bilinmeyenlerin) her değeri içinbirbirine eşit oluyorsa,

Detaylı

MATEMATİK ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI DENEME. Diğer sayfaya geçiniz.

MATEMATİK ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI DENEME. Diğer sayfaya geçiniz. MATEMATİK. DENEME ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI. f : X tanımlı y = f() fonksiyonu için lim f ( ) = L ise aşağıdaki önermelerden kaç tanesi kesinlikle doğrudur? 0 I. X dir. 0 II. f() fonksiyonu

Detaylı

fonksiyonunun [-1,1] arasındaki grafiği hesaba katılırsa bulunan sonucun

fonksiyonunun [-1,1] arasındaki grafiği hesaba katılırsa bulunan sonucun . UŞAK FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ ANALİZ II FİNAL SORULARI ÇÖZÜMLERİ d belirli integralinin aşağıdaki çözümünün doğru olup olmadığını belirtiniz. Eğer çözüm yanlış ise sebebini açıklayınız.

Detaylı

13.Konu Reel sayılar

13.Konu Reel sayılar 13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık

Detaylı

BÖLÜM 1: TEMEL KAVRAMLAR

BÖLÜM 1: TEMEL KAVRAMLAR BÖLÜM 1: TEMEL KAVRAMLAR Hal Değişkenleri Arasındaki Denklemler Aralarında sıfıra eşitlenebilen en az bir veya daha fazla denklem kurulabilen değişkenler birbirine bağımlıdır. Bu denklemlerden bilinen

Detaylı

1203608-SIMÜLASYON DERS SORUMLUSU: DOÇ. DR. SAADETTIN ERHAN KESEN. Ders No:5 Rassal Değişken Üretimi

1203608-SIMÜLASYON DERS SORUMLUSU: DOÇ. DR. SAADETTIN ERHAN KESEN. Ders No:5 Rassal Değişken Üretimi 1203608-SIMÜLASYON DERS SORUMLUSU: DOÇ. DR. SAADETTIN ERHAN KESEN Ders No:5 RASSAL DEĞIŞKEN ÜRETIMI Bu bölümde oldukça yaygın bir biçimde kullanılan sürekli ve kesikli dağılımlardan örneklem alma prosedürleri

Detaylı

5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJENİN ADI DİZİ DİZİ ÜRETEÇ PROJEYİ HAZIRLAYAN ESRA DAĞ ELİF BETÜL ACAR

5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJENİN ADI DİZİ DİZİ ÜRETEÇ PROJEYİ HAZIRLAYAN ESRA DAĞ ELİF BETÜL ACAR 5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJENİN ADI DİZİ DİZİ ÜRETEÇ PROJEYİ HAZIRLAYAN ESRA DAĞ ELİF BETÜL ACAR ÖZEL BÜYÜKÇEKMECE ÇINAR KOLEJİ 19 Mayıs Mah. Bülent Ecevit Cad. Tüyap Yokuşu

Detaylı

Şekil 6.1 Basit sarkaç

Şekil 6.1 Basit sarkaç Deney No : M5 Deney Adı : BASİT SARKAÇ Deneyin Amacı yer çekimi ivmesinin belirlenmesi Teorik Bilgi : Sabit bir noktadan iple sarkıtılan bir cisim basit sarkaç olarak isimlendirilir. : Basit sarkaçta uzunluk

Detaylı

İkinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler

İkinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler A(x)y + B(x)y + C(x)y = F (x) (5) Denklem (5) in sağ tarafında bulunan F (x) fonksiyonu, I aralığı üzerinde sıfıra özdeş ise, (5) denklemine lineer homogen; aksi taktirde lineer homogen olmayan denklem

Detaylı

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir?

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler, değer kümelerine göre adlandırı - lırlar. Dizinin değer

Detaylı

Şekil 7.1 Bir tankta sıvı birikimi

Şekil 7.1 Bir tankta sıvı birikimi 6 7. DİFERENSİYEL DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜMLERİ Diferensiyel denklemlerin sayısal integrasyonunda kullanılabilecek bir çok yöntem vardır. Tecrübeler dördüncü mertebe (Runge-Kutta) yönteminin hemen hemen

Detaylı

Diferansiyel denklemler uygulama soruları

Diferansiyel denklemler uygulama soruları . Aşağıdaki diferansiyel denklemleri sınıflandırınız. a) d y d d + y = 0 b) 5 d dt + 4d + 9 = cos 3t dt Diferansiyel denklemler uygulama soruları 0.0.3 c) u + u [ ) ] d) y + = c d. y + 3 = 0 denkleminin,

Detaylı

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür.

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür. - 1 - ÖĞRENME ALANI CEBİR BÖLÜM KARMAŞIK SAYILAR ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Karmaşık Sayılar Karmaşık Sayıların Kutupsal Biçimi KARMAŞIK SAYILAR Kazanım 1 : Gerçek sayılar kümesini genişletme gereğini örneklerle

Detaylı

8.333 İstatistiksel Mekanik I: Parçacıkların İstatistiksel Mekaniği

8.333 İstatistiksel Mekanik I: Parçacıkların İstatistiksel Mekaniği MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 8.333 İstatistiksel Mekanik I: Parçacıkların İstatistiksel Mekaniği 2007 Güz Bu materyallerden alıntı yapmak ya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için

Detaylı

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık KORELASYON ve REGRESYON ANALİZİ Doç. Dr. İrfan KAYMAZ Tanım Bir değişkenin değerinin diğer değişkendeki veya değişkenlerdeki değişimlere bağlı olarak nasıl etkilendiğinin istatistiksel

Detaylı

LİNEER DALGA TEORİSİ. Page 1

LİNEER DALGA TEORİSİ. Page 1 LİNEER DALGA TEORİSİ Giriş Dalgalar, gerçekte viskoz akışkan içinde, irregüler ve değişken geçirgenliğe sahip bir taban üzerinde ilerlerler. Ancak, çoğu zaman akışkan hareketi neredeyse irrotasyoneldir.

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Adi Diferansiyel Denklemler...3. Birinci Mertebeden ve Birinci Dereceden. Diferansiyel Denklemler...9

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Adi Diferansiyel Denklemler...3. Birinci Mertebeden ve Birinci Dereceden. Diferansiyel Denklemler...9 İÇİNDEKİLER Ön Söz... Adi Diferansiyel Denklemler... Birinci Mertebeden ve Birinci Dereceden Diferansiyel Denklemler...9 Homojen Diferansiyel Denklemler...15 Tam Diferansiyel Denklemler...19 Birinci Mertebeden

Detaylı

Bu tanım aralığı pozitif tam sayılar olan f(n) fonksiyonunun değişim aralığı n= 1, 2, 3,, n,

Bu tanım aralığı pozitif tam sayılar olan f(n) fonksiyonunun değişim aralığı n= 1, 2, 3,, n, DİZİLER Tamamen belirli bir kurala göre sıralanmış sayılar topluluğuna veya kümeye Dizi denir. Belirli bir kurala göre birbiri ardınca gelen bu sayıların her birine dizinin terimi ve hepsine birden dizinin

Detaylı

BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ

BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ 1.1. Giriş Kinematik, daha öncede vurgulandığı üzere, harekete sebep olan veya hareketin bir sonucu olarak ortaya çıkan kuvvetleri dikkate almadan cisimlerin hareketini

Detaylı

Lineer Denklem Sistemleri

Lineer Denklem Sistemleri Lineer Denklem Sistemleri Yazar Yrd. Doç.Dr. Nezahat ÇETİN ÜNİTE 3 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Lineer Denklem ve Lineer Denklem Sistemleri kavramlarını öğrenecek, Lineer Denklem Sistemlerinin

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

4. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI.

4. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI. 4. HAFTA BLM33 SAYISAL ANALİZ Okt. Yasin ORTAKCI yasinortakci@karabuk.edu.tr Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi BLM33 DOĞRUSAL OLMAYAN (NONLINEAR) DENKLEM SİSTEMLERİ Mühendisliğin

Detaylı

PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR

PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR 2013-2014 PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ A B KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 1 / 31 12 32173 Üslü İfadeler 2 13 42016 Rasyonel ifade kavramını örneklerle açıklar ve

Detaylı

DERS İÇERİKLERİ, KAZANIMLAR, DERSLER ARASI İLİŞKİ Çizelge 2.

DERS İÇERİKLERİ, KAZANIMLAR, DERSLER ARASI İLİŞKİ Çizelge 2. DERS İÇERİKLERİ, KAZANIMLAR, DERSLER ARASI İLİŞKİ Çizelge 2. Kategoriler Alt kategoriler Ders içerikleri Kazanımlar Dersler arası ilişki I. Analiz I.1. Fonksiyonlar I.1.1. Fonksiyonlara ait bazı önemli

Detaylı

Değişken Katsayılı Adi Diferensiyel Denklemler Katsayıları bağımsız(x) değişkene bağlı diferensiyel denklemlerdir. Genel ifadesi şöyledir.

Değişken Katsayılı Adi Diferensiyel Denklemler Katsayıları bağımsız(x) değişkene bağlı diferensiyel denklemlerdir. Genel ifadesi şöyledir. 3. Yüksek Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemler Geçmiş konularda şu ana kadar ele alınan 1.mertebe-1.dereceden adi diferensiyel denklemler ancak 1.mertebe seviyesindeki belirli problemleri ifade edebilmektedir.

Detaylı

Cebirsel Fonksiyonlar

Cebirsel Fonksiyonlar Cebirsel Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 4 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; polinom, rasyonel ve cebirsel fonksiyonları tanıyacak ve bu türden bazı fonksiyonların grafiklerini öğrenmiş

Detaylı

AKSARAY KANUNİ ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ 2015-2016 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI MATEMATİK DERSİ 11.SINIFLAR ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI TEKNİKLER

AKSARAY KANUNİ ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ 2015-2016 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI MATEMATİK DERSİ 11.SINIFLAR ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI TEKNİKLER AKSARAY KANUNİ ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ 015-01 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI MATEMATİK DERSİ 11.SINIFLAR ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI SÜRE: MANTIK(30) ÖNERMELER VE BİLEŞİK ÖNERMELER(18) 1. Önermeyi, önermenin

Detaylı

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ. Bu testte 50 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan

Detaylı

Y = f(x) denklemi ile verilen fonksiyonun diferansiyeli dy = f '(x). dx tir.

Y = f(x) denklemi ile verilen fonksiyonun diferansiyeli dy = f '(x). dx tir. 1 İNTEGRAL BİR FONKSİYONUN DİFERANSİYELİ Tanım: f: [a,b] R, x f(x) fonksiyonu (a,b) aralığında türevli olmak üzere, x değişkeninin değişme miktarı x ise f '(x). x ifadesine f(x) fonksiyonunun diferansiyeli

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III Prof. Dr. Cemalettin KUBAT Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN İçerik Hessien Matris-Quadratik Form Mutlak ve Bölgesel Maksimum-Minimum Noktalar Giriş Kısıtlı ve kısıtsız fonksiyonlar için

Detaylı

ZAMAN SERİLERİNDE REGRESYON ANALİZİ

ZAMAN SERİLERİNDE REGRESYON ANALİZİ ZAMAN SERİLERİNDE REGRESYON ANALİZİ 1 1. GİRİŞ Trent, serinin genelinde yukarıya ya da aşağıya doğru olan hareketlere denmektedir. Bu hareket bazen düz bir doğru şeklinde olmaktadır. Bu tür harekete sahip

Detaylı

13. Karakteristik kökler ve özvektörler

13. Karakteristik kökler ve özvektörler 13. Karakteristik kökler ve özvektörler 13.1 Karakteristik kökler 1.Tanım: A nxn tipinde matris olmak üzere parametrisinin n.dereceden bir polinomu olan şeklinde gösterilen polinomuna A matrisin karakteristik

Detaylı

ERCİYES ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ ENERJİ SİSTEMLERİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ ISI TRANSFERİ LABORATUARI

ERCİYES ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ ENERJİ SİSTEMLERİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ ISI TRANSFERİ LABORATUARI ERCİYES ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ ENERJİ SİSTEMLERİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ ISI TRANSFERİ LABORATUARI DENEY FÖYÜ DENEY ADI ZORLANMIŞ TAŞINIM DERSİN ÖĞRETİM ÜYESİ DENEYİ YAPTIRAN ÖĞRETİM ELEMANI DENEY

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV VE TÜREV ALMA KURALLARI. Türev Türev Alma Kuralları

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV VE TÜREV ALMA KURALLARI. Türev Türev Alma Kuralları HEDEFLER İÇİNDEKİLER TÜREV VE TÜREV ALMA KURALLARI Türev Türev Alma Kuralları MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK Bu üniteyi çalıştıktan sonra Burada türevin tanımı verilecek, Geometride bir eğrinin bir noktadaki

Detaylı

BÖLÜM 6 LAPLACE DÖNÜŞÜMLERİ

BÖLÜM 6 LAPLACE DÖNÜŞÜMLERİ BÖLÜM 6 LAPLACE DÖNÜŞÜMLERİ 6.2. Laplace Dönüşümü Tanımı Bir f(t) fonksiyonunun Laplace alındığında oluşan fonksiyon F(s) ya da L[f(t)] olarak gösterilir. Burada tanımlanan s; ÇÖZÜM: a) b) c) ÇÖZÜM: 6.3.

Detaylı

FEN FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 2015-2016 YAZ OKULU DERS İÇERİĞİ. (Mühendislik Fakültesi Bütün Bölümler, Fen Fakültesi Kimya ve Astronomi Bölümleri)

FEN FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 2015-2016 YAZ OKULU DERS İÇERİĞİ. (Mühendislik Fakültesi Bütün Bölümler, Fen Fakültesi Kimya ve Astronomi Bölümleri) Bölümü Dersin Kodu ve Adı K MAT101 Genel I (Mühendislik Fakültesi Bütün Bölümler, Fen Fakültesi Kimya ve Astronomi Bölümleri) 1- Kümeler, reel sayılar, bir denklem veya eşitsizliğin grafiği 2- Fonksiyonlar,

Detaylı

BULANIK MANTIK VE SİSTEMLERİ 2014 2015 BAHAR DÖNEMİ ÖDEV 1. Müslüm ÖZTÜRK 148164001004 Bilişim Teknolojileri Mühendisliği ABD Doktora Programı

BULANIK MANTIK VE SİSTEMLERİ 2014 2015 BAHAR DÖNEMİ ÖDEV 1. Müslüm ÖZTÜRK 148164001004 Bilişim Teknolojileri Mühendisliği ABD Doktora Programı BULANIK MANTIK VE SİSTEMLERİ 2014 2015 BAHAR DÖNEMİ ÖDEV 1 Müslüm ÖZTÜRK 148164001004 Bilişim Teknolojileri Mühendisliği ABD Doktora Programı Mart 2015 0 SORU 1) Bulanık Küme nedir? Bulanık Kümenin (fuzzy

Detaylı

2014 LYS MATEMATİK. x lü terimin 1, 3. 3 ab olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 2b a ifade- sinin değeri kaçtır? olduğuna göre, x.

2014 LYS MATEMATİK. x lü terimin 1, 3. 3 ab olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 2b a ifade- sinin değeri kaçtır? olduğuna göre, x. 4 LYS MATEMATİK. a b b a ifade- ab olduğuna göre, sinin değeri kaçtır? 5. ifadesinin değeri kaçtır? 5. P() polinomunda katsaısı kaçtır? 4 lü terimin 4 log log çarpımının değeri kaçtır? 6. 4 olduğuna göre,.

Detaylı

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İkinci Dereceden Denklemler a, b ve c reel sayı, a ¹ 0 olmak üzere ax + bx + c = 0 şeklinde yazılan denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Aşağıdaki denklemlerden

Detaylı

2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır?

2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır? 017 LYS MATEMATİK DENEMESİ Soru Sayısı: 50 Sınav Süresi: 75 ı 1. 4. (1+ 5 ) 1+ 5 işleminin sonucu kaçtır? A) 5 B)3 5 C)+ 5 işleminin sonucu kaçtır? D)3+ 5 E)1+ 5 A) B) 1 C) 1 D) E) 3. 4 0,5.16 0,5 işleminin

Detaylı

Diferansiyel Denklemler (MATH 276) Ders Detayları

Diferansiyel Denklemler (MATH 276) Ders Detayları Diferansiyel Denklemler (MATH 276) Ders Detayları Ders Adı Diferansiyel Denklemler Ders Kodu MATH 276 Dönemi Ders Uygulama Laboratuar Kredi AKTS Saati Saati Saati Bahar 4 0 0 4 6 Ön Koşul Ders(ler)i Math

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Önsöz...2. Önermeler ve İspat Yöntemleri...3. Küme Teorisi Bağıntı Fonksiyon İşlem...48

İÇİNDEKİLER. Önsöz...2. Önermeler ve İspat Yöntemleri...3. Küme Teorisi Bağıntı Fonksiyon İşlem...48 İÇİNDEKİLER Önsöz...2 Önermeler ve İspat Yöntemleri...3 Küme Teorisi...16 Bağıntı...26 Fonksiyon...38 İşlem...48 Sayılabilir - Sonlu ve Sonsuz Kümeler...56 Genel Tarama Sınavı...58 Önermeler ve İspat Yöntemleri

Detaylı

HESSİEN MATRİS QUADRATİK FORM MUTLAK ve BÖLGESEL MAKS-MİN NOKTALAR

HESSİEN MATRİS QUADRATİK FORM MUTLAK ve BÖLGESEL MAKS-MİN NOKTALAR HESSİEN MATRİS QUADRATİK FORM MUTLAK ve BÖLGESEL MAKS-MİN NOKTALAR Kısıtlı ve kısıtsız fonksiyonlar için maksimum veya minimum (ekstremum) noktalarının belirlenmesinde diferansiyel hesabı kullanarak çeşitli

Detaylı

Yeşilköy Anadolu Lisesi

Yeşilköy Anadolu Lisesi Yeşilköy Anadolu Lisesi TANIM (KONUYA GİRİŞ) a, b, c gerçel sayı ve a ¹ 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Bu açık önermeyi

Detaylı

5. Boyut Analizi. 3) Bir deneysel tasarımda değişken sayısının azaltılması 4) Model tasarım prensiplerini belirlemek

5. Boyut Analizi. 3) Bir deneysel tasarımda değişken sayısının azaltılması 4) Model tasarım prensiplerini belirlemek Boyut analizi, göz önüne alınan bir fiziksel olayı etkileyen deneysel değişkenlerin sayısını ve karmaşıklığını azaltmak için kullanılan bir yöntemdir. Akışkanlar mekaniğinin gelişimi ağırlıklı bir şekilde

Detaylı

Projenin Amacı: Çok kullanılan trigonometrik oranların farklı ve pratik yöntemlerle bulunması

Projenin Amacı: Çok kullanılan trigonometrik oranların farklı ve pratik yöntemlerle bulunması Projenin Adı: Trigonometrik Oranlar için Pratik Yöntemler Projenin Amacı: Çok kullanılan trigonometrik oranların farklı ve pratik yöntemlerle bulunması GİRİŞ: Matematiksel işlemlerde, lazım olduğunda,

Detaylı

PROJE ADI: Bir Koniğin Üzerindeki Veya Dışındaki Bir Noktadan Çizilen Teğetlerin Denklemlerini Matrisler Yardımıyla Bulma

PROJE ADI: Bir Koniğin Üzerindeki Veya Dışındaki Bir Noktadan Çizilen Teğetlerin Denklemlerini Matrisler Yardımıyla Bulma PROJE ADI: Bir Koniğin Üzerindeki Veya Dışındaki Bir oktadan Çizilen Teğetlerin Denklemlerini Matrisler Yardımıyla Bulma PROJEİ AMACI: Bu projede herhangi bir koniğin üzerindeki veya dışındaki bir noktadan

Detaylı

Örnek...6 : Örnek...1 : Örnek...7 : Örnek...2 : Örnek...3 : Örnek...4 : Örnek...8 : Örnek...5 : MANTIK 2 MATEMATİKSEL ARAÇLAR AÇIK ÖNERMELER

Örnek...6 : Örnek...1 : Örnek...7 : Örnek...2 : Örnek...3 : Örnek...4 : Örnek...8 : Örnek...5 : MANTIK 2 MATEMATİKSEL ARAÇLAR AÇIK ÖNERMELER MANTIK MATEMATİKSEL ARAÇLAR AÇIK ÖNERMELER İçerisinde değişken olan ve değişkenin değerlerine göre doğru ya da yanlış olabilen önermelere açık önerme denir. Açık önermeler değişkenine göre P( x), Q( a)

Detaylı

ÖSS MATEMATİK TÜREV FASİKÜLÜ

ÖSS MATEMATİK TÜREV FASİKÜLÜ ÖSS MATEMATİK TÜREV FASİKÜLÜ GRAFİK ÇİZİMİ Bir fonksiyonun denklemi verilip grafiği istendiğinde aşağıdaki yolu izlemeliyiz. ) Fonksiyonun en geniş tanım kümesi bulunur. ) ± için fonksiyonun limiti bulunur.

Detaylı

Yazım hatalari olabilir. Yeni sorular eklenecek. 1 Sunday 12 th January, :17

Yazım hatalari olabilir. Yeni sorular eklenecek. 1 Sunday 12 th January, :17 Prof. Dr. İsmail Kömbe Matematik Analiz III/Final çalışma soruları Sonbahar 3 SORU Lütfen çözümlerinizi basamak basamak ve net bir şekilde yaziniz. n ( n + )n3/ serisinin yakinsak olup olmadigini inceleyiniz.

Detaylı

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? Örnek...4 : Genel terimi w n. Örnek...1 : Örnek...5 : Genel terimi r n

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? Örnek...4 : Genel terimi w n. Örnek...1 : Örnek...5 : Genel terimi r n DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler değer kümelerine göre adlandırılırlar. Dizinin değer kümesi

Detaylı

Öğrenim Kazanımları Bu programı başarı ile tamamlayan öğrenci;

Öğrenim Kazanımları Bu programı başarı ile tamamlayan öğrenci; Image not found http://bologna.konya.edu.tr/panel/images/pdflogo.png Ders Adı : ANALİZ I Ders No : 0310250035 : 4 Pratik : 2 Kredi : 5 ECTS : 8 Ders Bilgileri Ders Türü Öğretim Dili Öğretim Tipi Zorunlu

Detaylı

Diferansiyel Denklemler (MATH 276) Ders Detayları

Diferansiyel Denklemler (MATH 276) Ders Detayları Diferansiyel Denklemler (MATH 276) Ders Detayları Ders Adı Diferansiyel Denklemler Ders Kodu MATH 276 Dönemi Ders Uygulama Laboratuar Kredi AKTS Saati Saati Saati Bahar 4 0 0 4 6 Ön Koşul Ders(ler)i Math

Detaylı

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 9 Ağırlık Merkezi ve Geometrik Merkez Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R. C. Hibbeler, S. C. Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 9. Ağırlık

Detaylı

KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG 4 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

İÇİNDEKİLER BASİT EŞİTSİZLİKLER. HARFLİ İFADELER Harfli İfadeler ve Elemanları Eşitsizlik Sembolleri ve İşaretin Eşitsizlik İfadesi...

İÇİNDEKİLER BASİT EŞİTSİZLİKLER. HARFLİ İFADELER Harfli İfadeler ve Elemanları Eşitsizlik Sembolleri ve İşaretin Eşitsizlik İfadesi... İÇİNDEKİLER HARFLİ İFADELER Harfli İfadeler ve Elemanları... 1 Benzer Terim... Harfli İfadenin Terimlerini Toplayıp Çıkarma... Harfli İfadelerin Terimlerini Çarpma... Harfli İfadelerde Parantez Açma...

Detaylı