T.C. NEVŞEHİR HACI BEKTAŞ VELİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ SİNGÜLER PERTÜRBASYON PROBLEMLERİNİN ASİMPTOTİK ANALİZİ

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "T.C. NEVŞEHİR HACI BEKTAŞ VELİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ SİNGÜLER PERTÜRBASYON PROBLEMLERİNİN ASİMPTOTİK ANALİZİ"

Transkript

1 T.C. NEVŞEHİR HACI BEKTAŞ VELİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ SİNGÜLER PERTÜRBASYON PROBLEMLERİNİN ASİMPTOTİK ANALİZİ Tezi Hazırlayan Süleyman CENGİZCİ Tez Danışmanı Yrd. Doç. Dr. Aytekin ERYILMAZ Matematik Anabilim Dalı Yüksek Lisans Tezi TEMMUZ 4 NEVŞEHİR

2

3 T.C. NEVŞEHİR HACI BEKTAŞ VELİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ SİNGÜLER PERTÜRBASYON PROBLEMLERİNİN ASİMPTOTİK ANALİZİ Tezi Hazırlayan Süleyman CENGİZCİ Tez Danışmanı Yrd. Doç. Dr. Aytekin ERYILMAZ Matematik Anabilim Dalı Yüksek Lisans Tezi TEMMUZ 4 NEVŞEHİR

4

5

6 TEŞEKKÜR Dört yıllık lisans ve sonrasında iki yıllık yüksek lisans eğitimlerim süresince yaşadığım tüm zorluklarda yanımda olmuş, maddi ve manevi desteğini esirgememiş olan rahmetli büyükbabam Süleyman YILMAZ a; büyükannem Dudu YILMAZ a, annem Ferda CENGİZCİ ve kardeşim Şemsi CENGİZCİ ye, Niğde de tanımış olduğum ve her zaman destekçilerim olan hocalarım Semin GÜLEÇ ve Ebru GÜLEÇ e; akademik dünyayı tanımamda çok büyük katkıları olan, tanıştığım günü hayatımın dönüm noktası olarak nitelendirdiğim yardımcı danışman hocam Yrd. Doç. Dr. M. Tarık ATAY a ve Arş. Grv. Nurettin IRMAK a, yüksek lisans eğitimim sırasında tanıştığım, öğütleriyle ve destekleriyle her zaman yanımda olan danışman hocam Yrd. Doç. Dr. Aytekin ERYILMAZ a, Spectral Methods adlı dersini aldığım ve kendisinden çok şey öğrenmiş olduğum Orta Doğu Teknik Üniversitesi Mühendislik Bilimleri Bölümü öğretim üyesi Prof. Dr. Hakan I. TARMAN a, Nevşehir Hacı Bektaş Veli Üniversitesi ve Niğde Üniversitesi Matematik Bölümü öğretim üyelerine ve son olarak kıymetlim Tülin e sonsuz teşekkürlerimi sunarım. Süleyman CENGİZCİ iii

7 SİNGÜLER PERTÜRBASYON PROBLEMLERİNİN ASİMPTOTİK ANALİZİ (Yüksek Lisans Tezi) Süleyman CENGİZCİ NEVŞEHİR HACI BEKTAŞ VELİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ TEMMUZ 4 ÖZET Bu çalışmada asimptotik yaklaşım metotları incelenmiştir. Asimptotik metotların, akışkanlar ile ilgili denklemlerin, özellikle de lineer olmayan, çözümü zor Navier- Stokes denklemlerinin çözüm çalışmaları sırasında ortaya çıktığını söylemek yanlış olmayacaktır. Bunun dışında gök mekaniği, kuantum mekaniği, Newton mekaniği ve optik başta olmak üzere hemen hemen tüm fizik dallarında ve ayrıca kimya, biyoloji gibi diğer bilim dallarında karşılaşılan problemlerin matematiksel modellemelerinde asimptotik yaklaşımlar yardımıyla yüksek hassaslıkta çözümler elde edilebilmektedir. Bu tezde asimptotik yaklaşımlar başlangıç seviyesinden itibaren ele alınmış, çok sayıda örneğe yer verilmiş, farklı durumlar için ortaya çıkan farklı çözüm yöntemleri incelenmiştir. Bu yöntemler: Eşleştirilmiş açılımlar Metodu (MMAE), Ara Eşleştirme Metodu (Intermediate Matching), SCEM ve WKB Metodu dur. Ayrıca problemler sadece matematiksel açıdan ele alınmamış, aynı zamanda fiziksel temellerine de konu ve tez kapsamından çıkılmadan değinilmiştir. Anahtar kelimeler: Asimptotik Metotlar, Pertürbasyon Teorisi, Singüler Pertürbasyon, Sınır Tabaka Problemi, Başlangıç ve Sınır Değer Problemleri Tez Danışmanı: Yrd. Doç. Dr. Aytekin ERYILMAZ Sayfa Adedi: 7 iv

8 ASYMPTOTIC ANALYSIS OF SINGULAR PERTURBATION PROBLEMS (M. Sc. Thesis) Süleyman CENGİZCİ NEVSEHIR HACI BEKTAS VELI UNIVERSITY GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCES JULY 4 ABSTRACT In this study asymptotic approimation methods are eamined. That is not wrong to say that asymptotic approimation methods have emerged from the equations in fluid mechanics and dynamics especially from non-linear Navier-Stokes Equations which are tedious to solve. In addition to this, mainly in celestial mechanics, quantum mechanics, Newtonian mechanics and optics, virtually in all physics branches thanks to the asymptotic approimations high accuracy solutions can be obtained. In this study asymptotic approimations, from begining point to advanced levels, are investigated in an easy way and a lot of eamples are solved. For each different case, different ways and methods are followed to reach the solutions. These methods: The Method of Matched Asymptotic Epansions (MMAE), The Method of Intermediate Matching, The SCEM and The Method of WKB. Moreover, problems that are solved in this study were not only eamined from mathematical aspects but also eamined using their physical significances. Keywords: Asymptotic Methods, Perturbation Theory, Singular Perturbation, Boundary Layer Problem, Initial and Boundary Value Problems Thesis supervisor: Assist. Prof. Aytekin ERYILMAZ Page number: 7 v

9 İÇİNDEKİLER KABUL VE ONAY SAYFASI..i TEZ BİLDİRİM SAYFASI... ii TEŞEKKÜR. iii ÖZET iv ABSTRACT.. v İÇİNDEKİLER. vi TABLOLAR LİSTESİ...viii ŞEKİLLER LİSTESİ...i SİMGE VE KISALTMALAR LİSTESİ.... BÖLÜM GİRİŞ.. BÖLÜM ASİMPTOTİK YAKLAŞIMLARA AİT GENEL BİLGİLER Taylor Seri Açılımları ve L Hospital Kuralı Mertebe Sembolleri 7.3. Asimptotik Yaklaşımlar Asimptotik açılımlar Asimptotik serilerin yakınsaklığı ve hassaslığı Asimptotik açılımlarla işlemler Cebirsel ve Transandantal Denklemlerin Asimptotik Çözümleri Diferansiyel Denklemlerin Asimptotik Çözümlerine Giriş.... vi

10 .6. Asimptotik Yaklaşımların Geçerliliği BÖLÜM EŞLEŞTİRİLMİŞ ASİMPTOTİK AÇILIMLAR METODU Eşleştirilmiş Açılımlara Giriş Metodun İşleyişi Dış çözüm (Adım) Sınır tabaka çözümü (Adım ) Açılımların eşleştirilmesi (Adım 3) Birleştirilmiş çözüm (Adım 4) Ara eşleştirme Birden Fazla Sınır Tabakaya Sahip Problemler Dış çözüm (Adım ) Sınır tabakalar ve eşleme işlemi (Adım ) Birleşik çözümün elde edilmesi (Adım 3) Transandantal Olarak Küçük Terimler BÖLÜM ARDIŞIK TAMAMLAYICI AÇILIMLAR METODU BÖLÜM TARTIŞMA, SONUÇ VE ÖNERİLER..64 KAYNAKLAR 65 EKLER ÖZGEÇMİŞ.7 vii

11 TABLOLAR LİSTESİ Tablo 4. (4.3) probleminin. için mutlak hatalarını veren tablo.57 Tablo 4. (4.3) probleminin. için mutlak hatalarını veren tablo...58 Tablo 4.3 (4.7) probleminin. için mutlak hatalarını veren tablo.58 Tablo 4.4 (4.7) probleminin. için mutlak hatalarını veren tablo...59 viii

12 ŞEKİLLER LİSTESİ Şekil. Dikey atış hareketinin zamana bağlı grafiksel gösterimi...3 Şekil.3.. Örnek.3.5. f ile asimptotik yaklaşımı ( ) in kıyaslanması... Şekil.4.. Şekil.4.. Şekil.5.. Örnek.4.. in çözümlerini ' un değerleri için kıyaslayan grafik.9 Örnek.4.. farklı değerleri için asimptotik-gerçek çözüm grafiği. Örnek.5.. nin asimptotik - nümerik çözümlerini kıyaslayan grafik...7 Şekil için (3..) denkleminin asimptotik ve tam çözüm grafik..35 Şekil için (3..) denkleminin asimptotik ve tam çözüm grafiği...35 Şekil Eşleştirme Metodu nun temeli ve iç - dış açılımların ortak geçerlilik bölgesi olan örtüşme bölgesi ni gösteren şekil.. 36 Şekil (3..) probleminin. parametresi için ara eşleştirme çözümü..4 Şekil (3..) probleminin. için ara eşleştirme çözümü....4 Şekil (3.3.) denkleminin. için nümerik ve asimptotik çözümü 46 Şekil (3.3.) denkleminin çözümlerini. parametre değeri için kıyaslayan grafik 46 Şekil Örnek dış açılıma transandantal olarak küçük terimlerin etkisi. 5 Şekil 4.. (4.3) problemi. için SCEM - tam çözüm kıyaslayan grafik...59 Şekil 4.. (4.3) problemi. için MMAE - tam çözüm kıyaslayan grafik...6 Şekil 4.3. (4.3) problemi. için SCEM - tam çözüm kıyaslayan grafik..6 Şekil 4.4. (4.3) problemi. için MMAE - tam çözüm kıyaslayan grafik.6 Şekil 4.5. (4.7) problemi. için SCEM ve tam çözüm kıyaslayan grafik..6 Şekil 4.6. (4.7) problemi. için MMAE ve tam çözüm kıyaslayan grafik 6 Şekil 4.7. (4.7) problemi. için SCEM ve tam çözüm kıyaslayan grafik 6 Şekil 4.8. (4.7) problemi. için MMAE ve tam çözüm grafiği i

13 SİMGE VE KISALTMALAR LİSTESİ : Elemanıdır sembolü : Doğal sayılar kümesi : Reel (gerçel) sayılar kümesi : Küçük epsilon parametresi : Mertebe (gauge) fonksiyonu d d u : Adi türev operatörü : Kısmi türev operatörü : (Asimptotik olarak) denklik sembolü o : Asimptotik kıyaslayıcı (küçük o ) O : Asimptotik kıyaslayıcı (büyük O ) f (n) : f fonksiyonunun n. mertebeden türevi : parametresi sabitine yaklaşıyor (limit) J (z) : Bessel fonksiyonu : Ara değişken (intermediate variable) ep( ): e fonksiyonu : Sabit bir reel sayı : Sabit bir reel sayı : Sabit bir reel sayı

14 . BÖLÜM GİRİŞ Matematikte karşılaşılan problemlerin birçoğu aslında günlük hayatta meydana gelen fiziksel olayların matematiksel modellenmelerinin bir sonucudur. Bu problemlerin, özellikle de integral ve diferansiyel denklem içerenlerinin tam çözümlerinin bulunabilmesi her zaman mümkün olamamaktadır. Bu tür durumlarda genelde iki seçenekten biri benimsenmektedir. Bunlardan ilki, günümüzde yazılımların olağanüstü gelişimi ve işlemci hızlarının müthiş artmasıyla birlikte oldukça popüler hale gelmiş olan bilgisayarların kullanımıdır. Böylece hem vakit kaybetmeden, hem de zahmet çekmeden ilgili problemlerin sonucuna ulaşılabilmektedir. Diğer seçenek ise ilgili problem ya da problemlerin çözümüne asimptotik açılımlar yardımıyla yaklaşmaktır. Daha zahmetli olmalarına rağmen asimptotik açılımlar geçtiğimiz yüzyıldan bu yana uygulamalı matematiğin, mühendislik bilimlerinin, fiziksel matematiğin ve özellikle de akışkanlar mekaniğinin köşe taşlarından biri haline gelmiştir [7-8]. Asimptotik yaklaşımlar ile ilgili en basit ve açıklayıcı örnekler polinom kökleri bulunurken karşılaşılanlardır. Örneğin denklem incelendiğinde bu denklemin katsayılarının aslında katsayılarına ne kadar yakın olduğu göze çarpmaktadır şeklindeki kuadratik 43 denkleminin denkleminin katsayıları için ve 3. 3 (.) eşitliklerinin doğru olduğu açıktır. Bu noktada. alınması ile denklemi ( 4) (3 ) formuna dönüşür. Kuadratik denklem çözümü formülleri ile ( 4) (3 ) denkleminin çözümleri, şeklinde bulunur. Buradaki en önemli nokta için ( 4) (3 ) denkleminin 43 denklemine dönüştüğü ve dolayısıyla, çözümünün de ve 3 şeklinde oluşudur. Yani küçük bir parametresi ile oynanarak ilgili denklem istenilen şekle dönüştürülebilmektedir. Burada ilgilenilen

15 denklemi olduğundan. için çözümler.9748 ve.5 olarak bulunur. ( 4) (3 ) denkleminin kuadratik yapıda olması nedeniyle kök formülleri kullanılarak çözümler elde edilebildi. Ancak durum her zaman bu kadar basit olmamaktadır ve daha sonraki bölümlerde görüleceği üzere yaklaşımlar yapılmak zorunda kalınmaktadır. Asimptotik yaklaşımlar konusunun yapısını daha iyi anlamak amacıyla, bu tezin ana konusu olan diferansiyel denklemlere yaklaşık çözüm bulmayı örnekleyen, fiziksel temellere dayanan başka bir örneğin incelenmesi yerinde olacaktır. Bunun için Newton un. Kuralı ndan elde edilen dikey atış hareketi formülü incelenirse [6] gr t R, t (.) diferansiyel denklemine ulaşılır. Bu denklemde (t) nesnenin yerküre (dünya) yüzeyine olan uzaklığını, g yerçekim sabitini ve R yerkürenin yarıçapını belirtmektedir. Cismin dünyanın yüzeyinden atıldığı ve bir ilk hıza ( v ) sahip olduğu varsayılırsa (), '() v, v başlangıç koşulları elde edilir. Dolayısıyla (.) denklemi bu başlangıç koşulları ile birlikte bir başlangıç değer problemi oluşturmaktadır. Ancak bu başlangıç değer probleminin non-lineer doğası kapalı formda analitik bir çözüm elde etmeyi zorlaştırmaktadır. Hatta çoğu lineer olmayan problem için tam çözümü bulmak olanaksızdır. Bu nedenle problemi daha basit hale getirilip getirilemeyeceği, eğer basitleştirilebiliyor ise bunun doğuracağı sonuçlar araştırılır. Örneğin bu problem için (nesnenin yerküre yüzeyine olan uzaklığı) küçük bir değere sahip ise (.) denklemi gr ''(t) g, (), '() v t R R ye göre önemsenmeyecek derecede (.) başlangıç değer problemine dönüşür. (.) probleminin (.) problemine göre çok daha basit olduğu açıktır. Çünkü artık lineer bir problemdir. Probleme ait genel çözüm

16 '( t) gt c ( t) gt ct c şeklinde olup başlangıç şartlarının uygulanmasıyla () t gt vt çözümüne ulaşılır. Bu çözüm ise lise fizik derslerinden bilinen dikey atış hareketi formülüdür. Basit türev işlemleri ile cismin yüksekliğe ulaşacağı ve bu yüksekliğin t v g zamanında (noktasında) maksimum ( t ) v g m olduğu bulunur [6]. Şekil. Dikey atış hareketinin zamana bağlı grafiksel gösterimi Görüldüğü üzere (.) denklemi çeşitli varsayımlarla kolayca çözülebilen bir problem olan (.) problemine dönüştü. Burada karşılaşılan problem, (.) probleminde R ye göre çok küçük olduğu için ihmal edilen teriminin (.) denkleminde yok sayılışının denklemin çözümünde meydana getirdiği hatadır. Bu konu daha sonraki bölümlerde ayrıntılı bir biçimde işlenecektir. Denklem ve problemleri bu şekilde daha basit hale getirip çözme işlemini daha sistematik hale getirmek için değişkenleri ölçeklendirme yolu izlenir. Bunun için (.) 3

17 denklemi için t t c () t ve y( ) c dönüşümleri uygulanabilir. Burada t c ve c sırasıyla, ilgilenilen problem için karakteristik bir anı ve karakteristik bir değeri belirtirler. Bu karakteristik değerlerin seçilmesinde ilgilenilen problemi iyi ifade edebilecek nitelikte olmalarına dikkat etmekten başka sınırlayıcı bir durum yoktur. Örneğin (.) problemi için Şekil. yardımı ile c v g v g ve tc seçilebilir. Böylece problem y,, y(), y'() v o y Rg (.3) başlangıç değer problemine dönüşür. v Rg alınması ile de (.3) problemi y,, y(), y'() y (.4) problemine dönüşür. Görüldüğü gibi problemin çözümü parametresine bağlıdır. noktası civarlarında Taylor seri açılımı yardımıyla y y ( ) y ( )... (.5) şeklindeki yaklaşımla bulunulur. Ana hatları ile asimptotik yaklaşımlar önceki sayfalarda gösterilen örneklerdeki yaklaşımlarla ilgilenirler. Bu tür problemlerin ayrıntılı çözümlerine geçebilmek için konuyla ilgili bazı tanım ve teoremleri bilmek faydalı olacaktır. 4

18 . BÖLÜM ASİMPTOTİK YAKLAŞIMLARA AİT GENEL BİLGİLER.. Taylor Seri Açılımları ve L Hospital Kuralı Taylor Teoremi ve sonuçları matematikte kullanılan en önemli araçlardandır. Asimptotik yöntemlerde de geniş kullanıma sahiptir. Teorem... Verilen bir f () fonksiyonunun n. mertebeye kadar olan türevleri mevcut ve ( n ). mertebeden türevi olan ( n) f de belirli bir a b aralığı için sürekli olsun. Bu durumda, ve, ( a, b) aralığına ait noktalar olmak üzere f ( ) f ( ) ( ) f '( )... ( ) f ( ) R n n! n ( n) (..) ve R ( n )! ( ) ( n n ) ( n f ) (..) biçiminde tanımlıdır. Burada noktası ve arasında bulunan herhangi bir noktadır. Bu teorem ve sonuçları oldukça önemlidir. Çünkü herhangi bir f () fonksiyonuna n terimli Taylor serisi yardımıyla yaklaşıldığında (..) hata formülü yardımıyla bu yaklaşımda yapılan hata belirlenmektedir. Örnek... Bazı önemli fonksiyonların noktası civarlarındaki Taylor seri açılımları: 3! 5! 3 5 sin( )... 4! 4 cos( ) arcsin( ) arccos( )... 5

19 tan( )... 3 cot( ) e ln( ) ln( )... ln( a) a e a a sinh( ) cosh( )... tanh( ) 3 5 şeklindedir [6-8] Şimdi de matematiksel analizin önemli bir konusu olan limit işlemi ile ilgili L Hospital kuralını verelim. Teorem... f ( ) ve ( ) fonksiyonları (, b) aralığı üzerinde diferansiyellenebilir fonksiyonlar ve yine bu aralık üzerinde '( ) şartı sağlanıyor olsun. Ayrıca A olmak üzere f '( ) A olsun. Bu durumda aşağıdaki iki özellikten biri lim '( ) sağlanıyor ise f () lim () A dır: için f ve, ya da. 6

20 .. Mertebe Sembolleri Asimptotik yaklaşımlar ile ilgili tanımları vermeden önce mertebe sembollerinin ne anlama geldiğini vermek faydalı olacaktır. Bu semboller ilk olarak Bachmann (894) tarafından kullanılmaya başlanmış olsa da kullanımı Landau (99) sayesinde yaygınlaşmıştır. Bu nedenle bu semboller çoğu zaman Bachmann-Landau sembolleri olarak bilinirler [4,7]. Limit işlemi altındaki bir fonksiyonun davranışının doğru bir şeklide belirlenebilmesi için mertebe fonksiyonlarından yararlanılır. Örneğin, () fonksiyonunun için a yakınsama hızı f () fonksiyonuna göre daha düşüktür. Bu gerçeği ifade etmek ve bu tür kıyaslamaları yapabilmek için aşağıda tanımı verilen mertebe sembollerinden yararlanılmaktadır. Tanım... f () - L olmak üzere lim L sağlanıyorsa bu durum için () f O ( ) şeklinde ifade edilir ve için f fonksiyonu fonksiyonunun büyük O sudur biçiminde okunur. Tanım... f () lim () ise için f o( ) şeklinde ifade edilir ve için f fonksiyonu fonksiyonunun küçük o sudur biçiminde okunur. Örnek... için o eşitliği ele alınsın. Bu örnekte f () ve g()= şeklinde alınır ve Tanım... kullanılırsa f ( ) lim lim lim g( ) elde edilir. Örnek... için O() 3 eşitliği ele alınsın. f ( ) ve g( ) alınıp Tanım.3. göz önüne alınırsa 3 7

21 f () lim lim 3 lim L g() 3 3 olup - L özelliği sağlanmaktadır. Örnek..3. Aşağıda mertebe sembolleri ile ilgili çeşitli örnekler ve hangi nokta komşuluğunda geçerli oldukları verilmiştir. o( ), için sin( ) ( ), 3 o için O( ), için sin(3 ) O( ), için tan( ) ( ), O için 4 3e 4 3e O( e ), için O( ), için 6 O( 3 5 ), için o ln( ) ( ), için. Örnek..4. f() e fonksiyonu incelenip L Hospital kuralı uygulandığında nın tüm reel değerleri için f o ( ) olduğu görülür. Bu durum f, ya göre transandantal olarak küçüktür şeklinde ifade edilmektedir..3 Asimptotik Yaklaşımlar Bu tezin ana amacı diferansiyel denklemlerin çözümleri için asimptotik yaklaşımlar oluşturmaktır. Bu yüzden asimptotik yaklaşım kavramının ne anlama geldiğinin anlaşılması çok önemlidir. Tanım.3.. f ( ) ve ( ) fonksiyonları verilsin. f () lim () koşulu sağlanıyorsa için f ve fonksiyonları asimptotik olarak özdeştirler denir. Bu durum 8

22 f biçiminde ifade edilir. Bu aslında, için f ( ) ve ( ) fonksiyonlarının birbirlerinin asimptotik yaklaşımları olması demektir. Örnek.3.., 3 dur. Tanım.3.. i kullanarak bunu göstermek zor değildir. 5 Örnek.3.., e dır. Tanım.3.. yardımıyla 5 lim e lim lim lim ( e ) e e lim e elde edilir. Örnek.3.3. sin(3 ) 3, olduğu da Tanım.3.. kullanılarak kolayca gösterilebilir. Örnek.3.4. f ( ) sin( ) fonksiyonu ile ilgilenilsin. olmak üzere f () fonksiyonunun civarlarındaki Taylor seri açılımı ele alınsın. Böylece, Teorem... yardımıyla f ( ) cos( ) elde edilir. Bu sonuç kullanılarak aşağıdaki asimptotik yaklaşımlar elde edilebilir: A. f, B. 3, f 6 C. f. Bu asimptotik yaklaşımlardan en iyi (doğru, hassas) sonuç vereni B. iken en kötü yaklaşım C. dir. Tanım.3.. in bu karşılaştırmayı yapabilmek için pek yardımcı 9

23 f() olduğu söylenemez. Tanım.3.. in bu eksikliği.3.. bölümünde Asimptotik Açılımlar başlığı altında incelenecek olan tanımlar yardımıyla giderilecektir. Örnek.3.5. f ( ) e fonksiyonu için ele alınsın. Bu durumda küçük bir parametresi için f olduğu açıktır. Bununla beraber bu asimptotik yaklaşım ne kadar iyi sonuç verebileceği sorusu akla gelmektedir. Bu nedenle bu örnek Şekil.3.. üzerinde incelenecektir. Şekil.3.. den kolayca görülebileceği üzere noktasından uzak noktalarda yaklaşım oldukça iyidir. Ancak noktası civarlarında aynı durumdan bahsetmek mümkün değildir. ' un seçiminden bağımsız olarak f () olduğundan bu durum meydana gelmektedir ve yaklaşımın aralığında uniform olarak geçerli olmaması olarak adlandırılmaktadır. Belirli Bir Parametre Değeri İçin f Fonksiyonu İle Asimptotik Yaklaşımının Kıyaslanması f Fonksiyonu Asimptotik Yaklaşım Şekil.3.. Örnek.3.5. f ile asimptotik yaklaşımı olan ( ) in kıyaslanması

24 .3.. Asimptotik açılımlar Daha önce incelenen örneklerden de anlaşılacağı gibi bir fonksiyona ait asimptotik yaklaşım tek değildir. Aynı zamanda belirtilmelidir ki, şu ana kadar incelenen asimptotik yaklaşımların iyiliği ya da kötülüğü konusunda pek de bilgilenildiği söylenemez. Bu yüzden daha güçlü yapılar incelenmelidir. Bu noktaya kadar olan örneklerde ' un,,, şeklindeki kuvvetlerini (,,, 3,... ) kabul eden asimptotik açılımlara yer verildi. Ancak bilinmelidir ki farklı şekildeki kuvvetlerle de karşılaşılmaktadır. Hatta yeri geldikçe bu farklı türdeki fonksiyonların kullanılması ilgilenilen problem için daha uygun olacaktır. Bu nedenle bazı tanımlara ihtiyaç duyulmaktadır. Henri Poincaré e atfen Poincaré Açılımı adı da verilen asimptotik açılım tanımı aşağıda verilmiştir. Tanım.3... ( ), ( ), 3( ),... şeklindeki fonksiyonlar dizisi iken m için ( ) ( ( )) o özelliğini gerçekliyor ise bu dizi bir asimptotik dizidir. m m Yani m için m lim m özelliğinin sağlanması gerekmektedir. Tanım.3... ( ), ( ), 3( ),... bir asimptotik dizi olsun. Bu durumda f () fonksiyonu m terimli bir asimptotik açılıma sahiptir a k katsayıları ' dan bağımsız olmak üzere, için m k k m k f ( ) a o( ), m,,3,... dur. Bu durumda f a ( ) a ( )... a m m ( ) yazılabir. Burada bahsedilen k () için fonksiyonları açılımın baz fonksiyonları ya da gauge fonksiyonları olarak adlandırılırlar. Örnek.3... ( ) ep m m, m,,3,... fonksiyon dizisi, için bir asimptotik dizidir. Gerçekten de Tanım.3... gereğince m için ( m ) ep m lim lim lim ep m m ep asimptotik dizi olduğunu gösterir. elde edilir. Bu ise ilgili dizinin bir

25 n Örnek.3... ( ) fonksiyon dizisi için bir asimptotik dizidir. n n n Örnek ( ) e fonksiyon dizisi için asimptotik bir dizi oluşturur. n Yukarıda verilen tanım ve örneklerden sonra sıra asıl soruya geldi: Verilen bir f () fonksiyonuna ait asimptotik açılım nasıl bulunur?. Bunun için en sık kullanılan yöntemler: A. Taylor Teoremi, B. L Hospital Kuralı, C. Tahmin, dir. Tahmin yoluyla asimptotik açılımı belirlemek bir şans olayıdır ve tecrübe gerektirmektedir. Bundan daha ziyade Taylor Teoremi ve L Hospital Kuralı kullanılmaktadır. L Hospital Kuralı na göre ise Taylor Teoremi nin kullanılması çok daha avantajlıdır. Çünkü Taylor Teoremi yardımı ile açılımda yapılan hatayı analiz etme şansı doğmaktadır. Bu da Taylor Teoremi ni çok daha önemli kılmaktadır. Örnek f ( ) ep( ) fonksiyonun üç terimli asimptotik açılımı ele alınsın. Taylor seri açılım kullanılarak ya da doğrudan Örnek... den f e 6 3 ( ) ep( )... elde edilir. Örnek cos( ) f () fonksiyonu için iki terimli asimptotik açılım aransın. Burada Taylor Teoremi ni doğrudan uygulamak olanaksızdır. Çünkü f () fonksiyonu için tanımsızdır. Bu nedenle tanımsızlık yaratan bölümü göz ardı edip için tanımlı bölümü Taylor serisi ile ifade etmek gerekmektedir. Böylece f ( )... elde edilir. Beklenildiği gibi asimptotik açılım, f () fonksiyonu gibi noktasında tanımsızdır.

26 Örnek f () fonksiyonunun iki terimli asimptotik açılımı aransın. sin( ) 3... ve sin( )... olduğuna dikkat edilirse f () asimptotik açılımı elde edilir. Uyarı.3... Verilen bir f () fonksiyonuna ait için asimptotik açılım a () nn biçiminde olsun. Bu durumda katsayılar n a m lim m an n n f( ) ( ) m () ile tanımlıdır. Bu şekilde oluşturulan asimptotik açılım tektir. Örnek f() e fonksiyonu ve fonksiyonları verilsin. Bu durumda Uyarı.3... den gauge ( ), ( ), 3( ),... f a lim a a f lim f lim 3 elde edilir. Dolayısıyla f... elde edilir. Burada ilginç olan fonksiyonunun asimptotik açılıma hiçbir etkisinin olmayışıdır. Bunun nedeni ise 3 e e

27 fonksiyonunun çok hızlı a yaklaşmasıdır. Yani e o( ), a için, dir. Bu durumda bu e fonksiyonuna gauge fonksiyonlarına göre transandantal olarak küçüktür denir. Yine bu örnekte de görüldüğü gibi iki farklı fonksiyon aynı asimptotik açılıma sahip olabilmektedir..3.. Asimptotik serilerin yakınsaklığı ve hassaslığı Taylor seri açılımı ile elde edilen bir asimptotik açılımda daha fazla terim ekleyerek açılımın hassaslığını artırmak mümkündür. İstenilen hassaslıktaki sonuç elde edilene dek terim ekleme işine devam edilir. Ancak bir asimptotik açılım için bu her zaman doğru sonuç vermeyebilir. Çünkü asimptotik açılımlar için limit durumuyla ilgilenirken, serinin terim sayısının artması n durumudur. Bilinmelidir ki bir asimptotik açılım yakınsak olmayabilir. Yakınsak olan bir asimptotik açılım ise açılımı olduğu fonksiyona yakınsamayabilir. Örneğin, Örnek de incelenen f() e fonksiyonuna ait asimptotik açılım f... olarak bulunmuştu. Bu açılım ise aslında Dolayısıyla asimptotik açılım fonksiyonunun Taylor seri açılımıdır. fonksiyonuna yakınsamaktadır. Bu ise asimptotik açılımın açılımı olduğu fonksiyona yakınsamamasına bir örnektir. Iraksak asimptotik açılımlara örnek olarak özel bir fonksiyon olan ve J ( z ) ile gösterilen Bessel fonksiyonu verilebilir. J ( ) z () k k z k k ( k!) şeklinde ifade edilen bu fonksiyon göz önüne alınır ve f( ) J ( ) kabul edilirse küçük bir parametresi için f ( ) fonksiyonuna ait asimptotik açılım (Abramowitz ve Stegun, 97) 4

28 cos sin f 4 4 (.3..) şeklinde tanımlı olup buradaki ve (.3..) 4!8 4! (.3..3) 3 8 3!8 ile verilir. dan farklı değerdeki her için (.3..) ve (.3.3.3) açılımlarının ıraksak olduğunun gösterilmesi zor değildir. (.3..) şeklindeki ıraksak serinin ilk bir ya da iki terimi kullanılarak elde edilen hassaslık, J ( ) z () k k z k k ( k!) serisinin en az yirmi teriminin açılması ile elde edilebilmektedir [7,4]. Asimptotik açılımlar ile uğraşılırken yukarıda incelenen iki örnek karşılaşılabilecek durumlar açısından unutulmamalıdır Asimptotik açılımlarla işlemler Aynı baz (gauge, scale) fonksiyonlarına sahip olan asimptotik açılımlar için toplama ve çıkarma işlemlerinin yapılabileceğini göstermek zor değildir. Çarpma işlemi de zahmetli olmasına rağmen zor değildir. Ancak bir fonksiyonun türevinin asimptotik açılımının o fonksiyonun asimptotik açılımının türevine denk olduğunu söylemek doğru değildir. Özel olarak için f (, ) (, ) (, ) alınsın. Burada ilgilenilen soru d d d f (, ) (, ) (, ) d d d için olup olmadığıdır. Hemen belirtmeli ki bu her zaman doğru değildir. Örnek olarak f (, ) e sin( e ), fonksiyonu incelenirse küçük parametresi için f..... asimptotik açılımı elde d edilir. Oysa f (, ) e cos( e ) bir asimptotik açılım değildir. Diğer bir d işlem olan integral işleminde ise durum türev işlemine göre daha iyimserdir. 5

29 için f (, ) a ( ) ( ) a ( ) ( ) şeklindeki asimptotik açılım ile ilgilenildiğinde a b şartı sağlanmak üzere için f (, ) d a ( ) d ( ) a ( ) d ( ) b b b a a a bağıntısı geçerlidir. Örnek f () e d şeklinde tanımlı f fonksiyonunun iki terimli asimptotik açılımı ile ilgilenilsin. Taylor Seri Açılımı yardımı ile e... bulunur ve bu özel olarak için de geçerlidir. Dolayısıyla ( ) f d 3 elde edilir ki ilk iki terim istendiğinden f ( ) yazılır. 3 Örnek ilgilenilsin. f () d fonksiyonunun iki terimli asimptotik açılımı ile... 4 şeklinde Taylor açılımına sahiptir. Ancak bu için geçerlidir. noktasında için singülarite mevcuttur. Bu yüzden bu açılımın için integrallenebilirliğinden bahsedilemez. Bu nedenle olmak üzere f () d d 6

30 yazılabilir. Burada iki parçaya ayrılan integrallerden ilki çok küçük bir aralıkta singülarite ihtiva etmektedir. İkinci integral ise singülarite ihtiva etmediğinden integrandı için... 4 açılımı uygulanabilir durumdadır. Yani 3 d =... d elde edilir. İlk integral için de d arctan( )... bulunur ki bu iki integral açılımının toplanmasıyla 3 d f ( ) açılımı elde edilir. Örnek Hemen önceki örnekteki çözüme benzer yaklaşımda bulunularak 3 d 3 f ( ) ln( ) ln sin( ) 3 asimptotik açılımı elde edilir. Görüldüğü gibi bu açılımda logaritmik bir gauge fonksiyonu bulunmaktadır. Bu çok sık karşılaşılan bir durum olmamakla beraber bazen karşılaşılabilinmektedir..4. Cebirsel ve Transandantal Denklemlerin Asimptotik Çözümleri Giriş bölümünde de belirtildiği gibi yaklaşık çözümler üretebilmek adına asimptotik metotların kullanım alanları oldukça geniştir ve bunların en kolay tipte olanlarına cebirsel denklemlerde rastlanmaktadır. Bu tezin asıl amacı diferansiyel denklemlerin çözümlerine asimptotik yaklaşımlarda bulunmak olduğundan bu bölüm bir ön hazırlık gibi düşünülebilir. 7

31 Örnek.4.. Basit bir örnek olarak. kuadratik denklemi ele alınsın. değişkeninin katsayısı olan. değerinin diğer katsayılardan oldukça küçük olduğu gözlenmektedir. Bu yüzden yaklaşık bir çözüm elde edilmeye çalışılacaktır. Öncelikle hemen belirtilmeli ki MATLAB Ra programı kullanılarak tam çözümler (eact solutions) hemen aşağıda verilen kod yardımıyla >> format long >> roots([. -] ans = (.4.) şeklinde bulunur. Bu köklerin kuadratik denklem kökü formülleriyle bulunması biraz zahmetli olduğundan MATLAB Ra programından yararlanılmıştır. Şimdi de asimptotik bir yaklaşımda bulunulacak ve en son gerçek çözümle olan farkları (mutlak hatalar) değerlendirilecektir. için. denkleminin. formunda olduğu açıktır. Bu problem için... (.4.) şeklindeki bir yaklaşımın benimsenmesi olağandır ve burada ' dır. (.4.) yaklaşımı çözüm olarak kabul edilip denklemine uygulanırsa (.4.3) eşitliğine ulaşılır. Polinom eşitliği kullanılırsa ve O() O( ) elde edilir. Böylece (.4.) yaklaşımı (.4.4) iki terimli asimptotik yaklaşımına dönüşür. Çözümlerin kıyaslanması grafik üzerinde incelenirse Şekil.4.. den de görüldüğü üzere parametresinin değeri a 8

32 ÇÖZÜMLER yaklaştıkça asimptotik yaklaşım gerçek çözüme oldukça iyi bir hassaslıkla yaklaşmaktadır. Örnek.4.. ile verilen problem formunun regüler pertürbasyon problemi olarak anılmasına sıkça rastlanmaktadır. regüler sıfatı, ' un farklı değerleri için denklemin doğasının (denklemin mertebesinin, derecesinin, ) değişmediğini belirtmektedir. Parametre Değerleri İçin Tam Çözümler İle Asimptotik Çözümlerin Kıyaslanması ASİMPTOTİK YAKLAŞIM(kök) ASİMPTOTİK YAKLAŞIM(kök) TAM ÇÖZÜMLER PARAMETRE DEĞERİ Şekil.4.. Örnek.4.. in çözümlerini ' un farklı değerleri için kıyaslayan grafik Örnek.4.. Bu konunun ikinci örneği olarak şeklindeki kuadratik denklem ele alınsın. Burada ise parametresi en yüksek dereceli terimin önünde katsayı olarak bulunmaktadır. Bu ise özel olarak için denklemin lineer hale gelmesi anlamını taşır. Yani denklemin derecesi düşecektir. Bu önemli bir durumdur çünkü denklemin doğası değişmektedir ve problemin singüler sıfatını almasına neden olmaktadır. Bu tür problemlere singüler pertürbasyon problemi denilmektedir. Örnek.4.. de uygulanan yaklaşım burada da uygulanırsa 9

33 (.4.5) 8 yaklaşımı elde edilir. Beklenildiği üzere noktası civarlarında bir asimptotik yaklaşım elde edildi. Çünkü için oluşan lineer denklemin kökü dir. Ancak denklemi kuadratik bir denklemdir ve iki kökünün olması gerekmektedir. Oysa (.5..) yaklaşımı ise yalnız bir tek çözüm üretmektedir. Bu nedenle farklı bir çözüm yaklaşımının benimsenmesi gerekmektedir. Bu yaklaşım (...), (.4.6) formunda olsun. alınmasıyla açılımın iyi sıralı olması şartı sağlanmış olur. Sonuç olarak (.4.6) açılımının denklemine uygulanmasıyla (.4.7) A B C denklemi elde edilir. Bulunulan bu nokta oldukça önemlidir. (.4.7) denkleminin sol yanı a eşit olmalıdır. Bunun için ise polinom eşitliği kuralınca birbirini dengeleyen (balancing) terimlere ihtiyaç vardır. Bu ise 3 3 farklı durumun söz konusu olabileceğine işaret eder (terimler ikililer olarak birbirlerini dengeleyeceklerdir, aksi durumu sağlayan reel kökü yoktur). Şimdi ise bu durumları teker teker incelenmesi gerekmektedir. Durum : olması durumudur ki bu durumda B ve C terimleri birbirlerini dengeleyeceklerdir. Dengelemekten kasıt aynı dereceden olmalarıdır. Bu durumda daha önce elde edilmiş olan (.4.5) yaklaşımı elde edilir. Bu 8 nedenle diğer çözümü bulmak için diğer durumlar incelenmelidir. Durum : A ve C terimlerinin birbirlerini dengelediği durum ele alınsın. Bu durumda elde edilir. Bu durumda B teriminin katsayısı ' dan bağımsız, yani olmalıdır ki bu bir çelişkidir. Dolayısıyla diğer durum incelenmelidir.

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

1. GİRİŞ Örnek: Bir doğru boyunca hareket eden bir cismin başlangıç noktasına göre konumu s (metre), zamanın t (saniye) bir fonksiyonu olarak

1. GİRİŞ Örnek: Bir doğru boyunca hareket eden bir cismin başlangıç noktasına göre konumu s (metre), zamanın t (saniye) bir fonksiyonu olarak DERS: MATEMATİK I MAT0(09) ÜNİTE: TÜREV ve UYGULAMALARI KONU: A. TÜREV. GİRİŞ Bir doğru boyunca hareket eden bir cismin başlangıç noktasına göre konumu s (metre) zamanın t (saniye) bir fonksiyonu olarak

Detaylı

Mühendislikte Sayısal Çözüm Yöntemleri NÜMERİK ANALİZ. Prof. Dr. İbrahim UZUN

Mühendislikte Sayısal Çözüm Yöntemleri NÜMERİK ANALİZ. Prof. Dr. İbrahim UZUN Mühendislikte Sayısal Çözüm Yöntemleri NÜMERİK ANALİZ Prof. Dr. İbrahim UZUN Yayın No : 2415 İşletme-Ekonomi Dizisi : 147 5. Baskı Eylül 2012 - İSTANBUL ISBN 978-605 - 377-438 - 9 Copyright Bu kitabın

Detaylı

EÜFBED - Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi Cilt-Sayı: 3-2 Yıl: 2010 199-206

EÜFBED - Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi Cilt-Sayı: 3-2 Yıl: 2010 199-206 99 EÜFBED - Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi Cilt-Sayı: 3- Yıl: 99-6 İKİNCİ MERTEBEDEN BİR DİFERENSİYEL DENKLEM SINIFI İÇİN BAŞLANGIÇ DEĞER PROBLEMİNİN DİFERENSİYEL DÖNÜŞÜM YÖNTEMİ İLE TAM ÇÖZÜMLERİ THE

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

MATEMATiKSEL iktisat

MATEMATiKSEL iktisat DİKKAT!... BU ÖZET 8 ÜNİTEDİR BU- RADA İLK ÜNİTE GÖSTERİLMEKTEDİR. MATEMATiKSEL iktisat KISA ÖZET KOLAY AOF Kolayaöf.com 0362 233 8723 Sayfa 2 içindekiler 1.ünite-Türev ve Kuralları..3 2.üniteTek Değişkenli

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Analiz Cilt 2 Ünite 8-14 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1082 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI NO: 600

Detaylı

5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJENİN ADI DİZİ DİZİ ÜRETEÇ PROJEYİ HAZIRLAYAN ESRA DAĞ ELİF BETÜL ACAR

5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJENİN ADI DİZİ DİZİ ÜRETEÇ PROJEYİ HAZIRLAYAN ESRA DAĞ ELİF BETÜL ACAR 5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJENİN ADI DİZİ DİZİ ÜRETEÇ PROJEYİ HAZIRLAYAN ESRA DAĞ ELİF BETÜL ACAR ÖZEL BÜYÜKÇEKMECE ÇINAR KOLEJİ 19 Mayıs Mah. Bülent Ecevit Cad. Tüyap Yokuşu

Detaylı

fonksiyonunun [-1,1] arasındaki grafiği hesaba katılırsa bulunan sonucun

fonksiyonunun [-1,1] arasındaki grafiği hesaba katılırsa bulunan sonucun . UŞAK FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ ANALİZ II FİNAL SORULARI ÇÖZÜMLERİ d belirli integralinin aşağıdaki çözümünün doğru olup olmadığını belirtiniz. Eğer çözüm yanlış ise sebebini açıklayınız.

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı 10.1 Türev Kavramı fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki bir değerine kadar bir artma verildiğinde varılan x = x 0 + noktasında fonksiyonun değeri olsun.

Detaylı

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye

Detaylı

Şekil 7.1 Bir tankta sıvı birikimi

Şekil 7.1 Bir tankta sıvı birikimi 6 7. DİFERENSİYEL DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜMLERİ Diferensiyel denklemlerin sayısal integrasyonunda kullanılabilecek bir çok yöntem vardır. Tecrübeler dördüncü mertebe (Runge-Kutta) yönteminin hemen hemen

Detaylı

BÖLÜM 1: TEMEL KAVRAMLAR

BÖLÜM 1: TEMEL KAVRAMLAR BÖLÜM 1: TEMEL KAVRAMLAR Hal Değişkenleri Arasındaki Denklemler Aralarında sıfıra eşitlenebilen en az bir veya daha fazla denklem kurulabilen değişkenler birbirine bağımlıdır. Bu denklemlerden bilinen

Detaylı

8.333 İstatistiksel Mekanik I: Parçacıkların İstatistiksel Mekaniği

8.333 İstatistiksel Mekanik I: Parçacıkların İstatistiksel Mekaniği MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 8.333 İstatistiksel Mekanik I: Parçacıkların İstatistiksel Mekaniği 2007 Güz Bu materyallerden alıntı yapmak ya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için

Detaylı

1203608-SIMÜLASYON DERS SORUMLUSU: DOÇ. DR. SAADETTIN ERHAN KESEN. Ders No:5 Rassal Değişken Üretimi

1203608-SIMÜLASYON DERS SORUMLUSU: DOÇ. DR. SAADETTIN ERHAN KESEN. Ders No:5 Rassal Değişken Üretimi 1203608-SIMÜLASYON DERS SORUMLUSU: DOÇ. DR. SAADETTIN ERHAN KESEN Ders No:5 RASSAL DEĞIŞKEN ÜRETIMI Bu bölümde oldukça yaygın bir biçimde kullanılan sürekli ve kesikli dağılımlardan örneklem alma prosedürleri

Detaylı

Cebirsel Fonksiyonlar

Cebirsel Fonksiyonlar Cebirsel Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 4 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; polinom, rasyonel ve cebirsel fonksiyonları tanıyacak ve bu türden bazı fonksiyonların grafiklerini öğrenmiş

Detaylı

13. Karakteristik kökler ve özvektörler

13. Karakteristik kökler ve özvektörler 13. Karakteristik kökler ve özvektörler 13.1 Karakteristik kökler 1.Tanım: A nxn tipinde matris olmak üzere parametrisinin n.dereceden bir polinomu olan şeklinde gösterilen polinomuna A matrisin karakteristik

Detaylı

AKSARAY KANUNİ ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ 2015-2016 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI MATEMATİK DERSİ 11.SINIFLAR ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI TEKNİKLER

AKSARAY KANUNİ ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ 2015-2016 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI MATEMATİK DERSİ 11.SINIFLAR ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI TEKNİKLER AKSARAY KANUNİ ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ 015-01 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI MATEMATİK DERSİ 11.SINIFLAR ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI SÜRE: MANTIK(30) ÖNERMELER VE BİLEŞİK ÖNERMELER(18) 1. Önermeyi, önermenin

Detaylı

Y = f(x) denklemi ile verilen fonksiyonun diferansiyeli dy = f '(x). dx tir.

Y = f(x) denklemi ile verilen fonksiyonun diferansiyeli dy = f '(x). dx tir. 1 İNTEGRAL BİR FONKSİYONUN DİFERANSİYELİ Tanım: f: [a,b] R, x f(x) fonksiyonu (a,b) aralığında türevli olmak üzere, x değişkeninin değişme miktarı x ise f '(x). x ifadesine f(x) fonksiyonunun diferansiyeli

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

FEN FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 2015-2016 YAZ OKULU DERS İÇERİĞİ. (Mühendislik Fakültesi Bütün Bölümler, Fen Fakültesi Kimya ve Astronomi Bölümleri)

FEN FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 2015-2016 YAZ OKULU DERS İÇERİĞİ. (Mühendislik Fakültesi Bütün Bölümler, Fen Fakültesi Kimya ve Astronomi Bölümleri) Bölümü Dersin Kodu ve Adı K MAT101 Genel I (Mühendislik Fakültesi Bütün Bölümler, Fen Fakültesi Kimya ve Astronomi Bölümleri) 1- Kümeler, reel sayılar, bir denklem veya eşitsizliğin grafiği 2- Fonksiyonlar,

Detaylı

BÖLÜM 6 LAPLACE DÖNÜŞÜMLERİ

BÖLÜM 6 LAPLACE DÖNÜŞÜMLERİ BÖLÜM 6 LAPLACE DÖNÜŞÜMLERİ 6.2. Laplace Dönüşümü Tanımı Bir f(t) fonksiyonunun Laplace alındığında oluşan fonksiyon F(s) ya da L[f(t)] olarak gösterilir. Burada tanımlanan s; ÇÖZÜM: a) b) c) ÇÖZÜM: 6.3.

Detaylı

BULANIK MANTIK VE SİSTEMLERİ 2014 2015 BAHAR DÖNEMİ ÖDEV 1. Müslüm ÖZTÜRK 148164001004 Bilişim Teknolojileri Mühendisliği ABD Doktora Programı

BULANIK MANTIK VE SİSTEMLERİ 2014 2015 BAHAR DÖNEMİ ÖDEV 1. Müslüm ÖZTÜRK 148164001004 Bilişim Teknolojileri Mühendisliği ABD Doktora Programı BULANIK MANTIK VE SİSTEMLERİ 2014 2015 BAHAR DÖNEMİ ÖDEV 1 Müslüm ÖZTÜRK 148164001004 Bilişim Teknolojileri Mühendisliği ABD Doktora Programı Mart 2015 0 SORU 1) Bulanık Küme nedir? Bulanık Kümenin (fuzzy

Detaylı

2014 LYS MATEMATİK. x lü terimin 1, 3. 3 ab olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 2b a ifade- sinin değeri kaçtır? olduğuna göre, x.

2014 LYS MATEMATİK. x lü terimin 1, 3. 3 ab olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 2b a ifade- sinin değeri kaçtır? olduğuna göre, x. 4 LYS MATEMATİK. a b b a ifade- ab olduğuna göre, sinin değeri kaçtır? 5. ifadesinin değeri kaçtır? 5. P() polinomunda katsaısı kaçtır? 4 lü terimin 4 log log çarpımının değeri kaçtır? 6. 4 olduğuna göre,.

Detaylı

ZAMAN SERİLERİNDE REGRESYON ANALİZİ

ZAMAN SERİLERİNDE REGRESYON ANALİZİ ZAMAN SERİLERİNDE REGRESYON ANALİZİ 1 1. GİRİŞ Trent, serinin genelinde yukarıya ya da aşağıya doğru olan hareketlere denmektedir. Bu hareket bazen düz bir doğru şeklinde olmaktadır. Bu tür harekete sahip

Detaylı

BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ

BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ 1.1. Giriş Kinematik, daha öncede vurgulandığı üzere, harekete sebep olan veya hareketin bir sonucu olarak ortaya çıkan kuvvetleri dikkate almadan cisimlerin hareketini

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

ZAMAN SKALASINDA LİNEER OLMAYAN İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ. YÜKSEK LİSANS TEZİ Hakan TEMİZ. Danışman Doç. Dr. Mustafa Kemal YILDIZ

ZAMAN SKALASINDA LİNEER OLMAYAN İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ. YÜKSEK LİSANS TEZİ Hakan TEMİZ. Danışman Doç. Dr. Mustafa Kemal YILDIZ ZAMAN SKALASINDA LİNEER OLMAYAN İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ YÜKSEK LİSANS TEZİ Hakan TEMİZ Danışman Doç. Dr. Mustafa Kemal YILDIZ MATEMATİK ANABİLİM DALI Haziran, 2014 AFYON KOCATEPE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ

Detaylı

matematik LYS SORU BANKASI KONU ÖZETLERİ KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ Süleyman ERTEKİN Öğrenci Kitaplığı

matematik LYS SORU BANKASI KONU ÖZETLERİ KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ Süleyman ERTEKİN Öğrenci Kitaplığı matematik SORU BANKASI Süleyman ERTEKİN LYS KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ KONU ÖZETLERİ Öğrenci Kitaplığı SORU BANKASI matematik LYS EDAM Öğrenci Kitaplığı 18 EDAM ın yazılı izni olmaksızın,

Detaylı

BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM

BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM 4.1. Giriş Bir önceki bölümde, hareket denklemi F = ma nın, maddesel noktanın yer değiştirmesine göre integrasyonu ile elde edilen iş ve enerji denklemlerini

Detaylı

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1), G de bir ikili işlemdir. 2) a, b, c G için a( bc)

Detaylı

Toplam İkinci harmonik. Temel Üçüncü harmonik. Şekil 1. Temel, ikinci ve üçüncü harmoniğin toplamı

Toplam İkinci harmonik. Temel Üçüncü harmonik. Şekil 1. Temel, ikinci ve üçüncü harmoniğin toplamı FOURIER SERİLERİ Bu bölümde Fourier serilerinden bahsedeceğim. Önce harmoniklerle (katsıklıklarla) ilişkili sinüsoidin tanımından başlıyacağım ve serilerin trigonometrik açılımlarını kullanarak katsayıları

Detaylı

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır.

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır. 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1) a, b, c G için a ( b c) ( a b) c (Birleşme özelliği)

Detaylı

Türev Uygulamaları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV

Türev Uygulamaları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV Türev Uygulamaları Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 10 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; türev kavramı yardımı ile fonksiyonun monotonluğunu, ekstremum noktalarını, konvekslik ve konkavlığını, büküm

Detaylı

OTOMATİK KONTROL SİSTEMLERİ İŞARET AKIŞ DİYAGRAMLARI SIGNAL FLOW GRAPH

OTOMATİK KONTROL SİSTEMLERİ İŞARET AKIŞ DİYAGRAMLARI SIGNAL FLOW GRAPH OTOMATİK KONTROL SİSTEMLERİ İŞARET AKIŞ DİYAGRAMLARI SIGNAL FLOW GRAPH İŞARET AKIŞ DİYAGRAMLARI İşaret akış diyagramları blok diyagramlara bir alternatiftir. Fonksiyonel bloklar, işaretler, toplama noktaları

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43 İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 13 1.1 Doğal Sayılar 15 1.1.1. Tek ve Çift Sayılar 15 1.1.2. Asal Sayılar 15 1.1.3 Doğal Sayıların Özellikleri 15 1.1.4 Doğal Sayılarda Özel Toplamlar 16 1.1.5. Faktöriyel

Detaylı

BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİTİRME TEZİ E 3-BOYUTLU ÖKLİD UZAYINDA HELİSLER VE UYGULAMALARI.

BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİTİRME TEZİ E 3-BOYUTLU ÖKLİD UZAYINDA HELİSLER VE UYGULAMALARI. BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİTİRME TEZİ E -BOYUTLU ÖKLİD UZAYINDA HELİSLER VE UYGULAMALARI Hasibe ŞENOL 16104210046 Danışman: Yrd. Doç. Dr. Murat BABAARSLAN YOZGAT 201 ÖZET

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 6- İSTATİSTİK VE REGRESYON ANALİZİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 İSTATİSTİK VE REGRESYON ANALİZİ Bütün noktalardan geçen bir denklem bulmak yerine noktaları temsil eden, yani

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Rastgele Değişkenlerin Dağılımları I Prof. Dr. İrfan KAYMAZ Ders konusu Bu derste; Rastgele değişkenlerin tanımı ve sınıflandırılması Olasılık kütle fonksiyonu Olasılık yoğunluk

Detaylı

AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ. Anten Parametrelerinin Temelleri. Samet YALÇIN

AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ. Anten Parametrelerinin Temelleri. Samet YALÇIN AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ Anten Parametrelerinin Temelleri Samet YALÇIN Anten Parametrelerinin Temelleri GİRİŞ: Bir antenin parametrelerini tanımlayabilmek için anten parametreleri gereklidir. Anten performansından

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI İÇİNDEKİLER HEDEFLER DOĞRULAR VE PARABOLLER

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI İÇİNDEKİLER HEDEFLER DOĞRULAR VE PARABOLLER HEDEFLER İÇİNDEKİLER DOĞRULAR VE PARABOLLER Birinci Dereceden Polinom Fonksiyonlar ve Doğru Doğru Denklemlerinin Bulunması İkinci Dereceden Polinom Fonksiyonlar ve Parabol MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI

Detaylı

OLİMPİYATLARA HAZIRLIK İÇİN FONKSİYONEL DENKLEM PROBLEMLERİ ve ÇÖZÜMLERİ (L. Gökçe)

OLİMPİYATLARA HAZIRLIK İÇİN FONKSİYONEL DENKLEM PROBLEMLERİ ve ÇÖZÜMLERİ (L. Gökçe) OLİMPİYATLARA HAZIRLIK İÇİN FONKSİYONEL DENKLEM PROBLEMLERİ ve ÇÖZÜMLERİ (L. Gökçe) Merak uyandıran konulardan birisi olan fonksiyonel denklemlerle ilgili Türkçe kaynakların az oluşundan dolayı, matematik

Detaylı

MATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI

MATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI MATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI Konu Başlıkları Lineer Denklem Sistemlerinin Çözümü İntegral ve Türev İntegral (Alan) Türev (Sayısal Fark ) Diferansiyel Denklem çözümleri Denetim Sistemlerinin

Detaylı

10.Konu Tam sayıların inşası

10.Konu Tam sayıların inşası 10.Konu Tam sayıların inşası 1. Tam sayılar kümesi 2. Tam sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Pozitif ve negatif tam sayılar 4. Tam sayılar kümesinde çıkarma 5. Tam sayılar kümesinde sıralama 6. Bir

Detaylı

Kimya Mühendisliğinde Uygulamalı Matematik

Kimya Mühendisliğinde Uygulamalı Matematik Fen Bilimleri Enstitüsü Kimya Mühendisliği Anabilim Dalı Kimya Mühendisliğinde Uygulamalı Matematik DERS BİLGİ FORMU DERS BİLGİLERİ Dersin Adı Kodu Yarıyıl Kimya Mühendisliğinde Uygulamalı Matematik T

Detaylı

EM302 Yöneylem Araştırması 2 Doğrusal Olmayan Programlamaya Giriş. Dr. Özgür Kabak

EM302 Yöneylem Araştırması 2 Doğrusal Olmayan Programlamaya Giriş. Dr. Özgür Kabak EM302 Yöneylem Araştırması 2 Doğrusal Olmayan Programlamaya Giriş Dr. Özgür Kabak Doğrusal Olmayan Programlama Eğer bir Matematiksel Programlama modelinin amaç fonksiyonu ve/veya kısıtları doğrusal değil

Detaylı

ZAMAN SERİLERİNDE AYRIŞTIRMA YÖNTEMLERİ

ZAMAN SERİLERİNDE AYRIŞTIRMA YÖNTEMLERİ ZAMAN SERİLERİNDE AYRIŞTIRMA YÖNTEMLERİ 1 A. GİRİŞ Gözlemlerin belirli bir dönem için gün, hafta, ay, üç ay, altı ay, yıl gibi birbirini izleyen eşit aralıklarla yapılması ile elde edilen seriler zaman

Detaylı

6.12 Örnekler PROBLEMLER

6.12 Örnekler PROBLEMLER 6.1 6. 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 Çok Parçalı Taşıyıcı Sistemler Kafes Sistemler Kafes Köprüler Kafes Çatılar Tam, Eksik ve Fazla Bağlı Kafes Sistemler Kafes Sistemler İçin Çözüm Yöntemleri Kafes Sistemlerde

Detaylı

Kontrol Sistemlerinin Analizi

Kontrol Sistemlerinin Analizi Sistemlerin analizi Kontrol Sistemlerinin Analizi Otomatik kontrol mühendisinin görevi sisteme uygun kontrolör tasarlamaktır. Bunun için öncelikle sistemin analiz edilmesi gerekir. Bunun için test sinyalleri

Detaylı

Prof. Dr. Abdullah YILDIZ KİŞİSEL BİLGİLER: Adı Soyadı : Abdullah Yıldız Doğum Yeri : Kayseri/Yahyalı Doğum Tarihi:8.1.1951 ÖĞRENİM DURUMU :

Prof. Dr. Abdullah YILDIZ KİŞİSEL BİLGİLER: Adı Soyadı : Abdullah Yıldız Doğum Yeri : Kayseri/Yahyalı Doğum Tarihi:8.1.1951 ÖĞRENİM DURUMU : Prof. Dr. Abdullah YILDIZ KİŞİSEL BİLGİLER: Adı Soyadı : Abdullah Yıldız Doğum Yeri : Kayseri/Yahyalı Doğum Tarihi:8.1.1951 ÖĞRENİM DURUMU : 1972 Lisans, Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi 1982 Yüksek Lisans,

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Bölüm 1 MATEMATİKSEL İKTİSADA GİRİŞ 11 1.1.İktisat Hakkında 12 1.2.İktisatta Grafik ve Matematik Kullanımı 13

İÇİNDEKİLER. Bölüm 1 MATEMATİKSEL İKTİSADA GİRİŞ 11 1.1.İktisat Hakkında 12 1.2.İktisatta Grafik ve Matematik Kullanımı 13 İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 MATEMATİKSEL İKTİSADA GİRİŞ 11 1.1.İktisat Hakkında 12 1.2.İktisatta Grafik ve Matematik Kullanımı 13 Bölüm 2 STATİK DENGE ANALİZİ 19 2.1 İktisatta Denge Kavramı 20 2.1.1.

Detaylı

Karabük Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi...www.IbrahimCayiroglu.com. STATİK (2. Hafta)

Karabük Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi...www.IbrahimCayiroglu.com. STATİK (2. Hafta) AĞIRLIK MERKEZİ STATİK (2. Hafta) Ağırlık merkezi: Bir cismi oluşturan herbir parçaya etki eden yerçeki kuvvetlerinin bileşkesinin cismin üzerinden geçtiği noktaya Ağırlık Merkezi denir. Şekil. Ağırlık

Detaylı

8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR

8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR 8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR Şimdiye kadar bir gruptan diğer bir gruba tanımlı olan fonksiyonlarla ilgilenmedik. Bu bölüme aşağıdaki tanımla başlayalım. Tanım 8.1: G, ve H, iki grup ve f : G H

Detaylı

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 5 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; üstel ve logaritmik fonksiyonları tanıyacak, üstel ve logaritmik fonksiyonların grafiklerini

Detaylı

11.1 11.2. Tanım Akışkanların Statiği (Hidrostatik) Örnekler Kaldırma Kuvveti. 11.3 Örnek Eylemsizlik Momenti. 11.4 Eylemsizlik Yarıçapı

11.1 11.2. Tanım Akışkanların Statiği (Hidrostatik) Örnekler Kaldırma Kuvveti. 11.3 Örnek Eylemsizlik Momenti. 11.4 Eylemsizlik Yarıçapı 11.1 11. Tanım Akışkanların Statiği (Hidrostatik) Örnekler Kaldırma Kuvveti 11.3 Örnek Eylemsizlik Momenti 11.4 Eylemsizlik Yarıçapı 11.5 Eksen Takımının Değiştirilmesi 11.6 Asal Eylemsizlik Momentleri

Detaylı

11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler

11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler 11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler 1. Asal sayılar 2. Bir tam sayının bölenleri 3. Modüler aritmetik 4. Bölünebilme kuralları 5. Lineer modüler aritmetik 6. Euler

Detaylı

Newton un ikinci yasası: Bir cisim ivmesi cisim üzerine etki eden toplam kuvvet ile doğru orantılı cismin kütlesi ile ters orantılıdır.

Newton un ikinci yasası: Bir cisim ivmesi cisim üzerine etki eden toplam kuvvet ile doğru orantılı cismin kütlesi ile ters orantılıdır. Bölüm 5: Hareket Yasaları(Özet) Önceki bölümde hareketin temel kavramları olan yerdeğiştirme, hız ve ivme tanımlanmıştır. Bu bölümde ise hareketli cisimlerin farklı hareketlerine sebep olan etkilerin hareketi

Detaylı

Dersi Alan Dersi Veren Dersin Optik Kod Dersin Adı Saat Öğr. Grubu Öğretim Üyesi Yeri

Dersi Alan Dersi Veren Dersin Optik Kod Dersin Adı Saat Öğr. Grubu Öğretim Üyesi Yeri T. C. E. Ü. FEN FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 2015-2016 Öğretim Yılı Güz Dönemi Haftalık Ders Programı İkinci Öğretim A. Fakülte İçinde "BÖLÜMÜMÜZ" Öğrencilerine Verdiğimiz Dersler I. YARIYIL 1104001062003

Detaylı

KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG 9 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının

Detaylı

Bölüm 3: Vektörler. Kavrama Soruları. Konu İçeriği. Sunuş. 3-1 Koordinat Sistemleri

Bölüm 3: Vektörler. Kavrama Soruları. Konu İçeriği. Sunuş. 3-1 Koordinat Sistemleri ölüm 3: Vektörler Kavrama Soruları 1- Neden vektörlere ihtiyaç duyarız? - Vektör ve skaler arasındaki fark nedir? 3- Neden vektörel bölme işlemi yapılamaz? 4- π sayısı vektörel mi yoksa skaler bir nicelik

Detaylı

RÜZGAR YÜKÜNÜN BİR TİCARİ ARAÇ SERVİS KAPISINA OLAN ETKİLERİNİN İNCELENMESİ

RÜZGAR YÜKÜNÜN BİR TİCARİ ARAÇ SERVİS KAPISINA OLAN ETKİLERİNİN İNCELENMESİ RÜZGAR YÜKÜNÜN BİR TİCARİ ARAÇ SERVİS KAPISINA OLAN ETKİLERİNİN İNCELENMESİ Melih Tuğrul, Serkan Er Hexagon Studio Araç Mühendisliği Bölümü OTEKON 2010 5. Otomotiv Teknolojileri Kongresi 07 08 Haziran

Detaylı

ÜN TE II L M T. Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler

ÜN TE II L M T. Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler ÜN TE II L M T Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler MATEMAT K 5 BU BÖLÜM NELER AMAÇLIYOR? Bu bölümü çal flt n zda (bitirdi inizde), *Bir

Detaylı

BİR OFİS İÇİN TERMAL KONFOR ANALİZİNİN HESAPLAMALI AKIŞKANLAR DİNAMİĞİ YÖNTEMİ İLE MODELLENMESİ VE SAYISAL ÇÖZÜMÜ

BİR OFİS İÇİN TERMAL KONFOR ANALİZİNİN HESAPLAMALI AKIŞKANLAR DİNAMİĞİ YÖNTEMİ İLE MODELLENMESİ VE SAYISAL ÇÖZÜMÜ BİR OFİS İÇİN TERMAL KONFOR ANALİZİNİN HESAPLAMALI AKIŞKANLAR DİNAMİĞİ YÖNTEMİ İLE MODELLENMESİ VE SAYISAL ÇÖZÜMÜ Hazırlayan : Kadir ÖZDEMİR No : 4510910013 Tarih : 25.11.2014 KONULAR 1. ÖZET...2 2. GİRİŞ.........3

Detaylı

ERCİYES ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ ENERJİ SİSTEMLERİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ AKIŞKANLAR MEKANİĞİ LABORATUARI

ERCİYES ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ ENERJİ SİSTEMLERİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ AKIŞKANLAR MEKANİĞİ LABORATUARI ERCİYES ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ ENERJİ SİSTEMLERİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ AKIŞKANLAR MEKANİĞİ LABORATUARI DENEY FÖYÜ DENEY ADI SINIR TABAKA DENEYİ DERSİN ÖĞRETİM ÜYESİ DENEYİ YAPTIRAN ÖĞRETİM ELEMAN

Detaylı

Yığma yapı elemanları ve bu elemanlardan temel taşıyıcı olan yığma duvarlar ve malzeme karakteristiklerinin araştırılması

Yığma yapı elemanları ve bu elemanlardan temel taşıyıcı olan yığma duvarlar ve malzeme karakteristiklerinin araştırılması Yığma yapı elemanları ve bu elemanlardan temel taşıyıcı olan yığma duvarlar ve malzeme karakteristiklerinin araştırılması Farklı sonlu eleman tipleri ve farklı modelleme teknikleri kullanılarak yığma duvarların

Detaylı

SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER

SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER Sürekli Rassal Değişkenler Sürekli Rassal Değişken: Değerleriölçümyadatartımla elde edilen, bir başka anlatımla sayımla elde edilemeyen, değişkene sürekli rassal değişken denir.

Detaylı

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.

Detaylı

KESİN PROJE RAPORU PROJENİN ADI PROJEYİ HAZIRLAYANLAR BABÜR NEDİM ÇAĞATAY OKUL ADI VE ADRESİ DANIŞMAN ÖĞRETMEN

KESİN PROJE RAPORU PROJENİN ADI PROJEYİ HAZIRLAYANLAR BABÜR NEDİM ÇAĞATAY OKUL ADI VE ADRESİ DANIŞMAN ÖĞRETMEN KESİN PROJE RAPORU PROJENİN ADI HANGİ ADAYI SEÇELİM? PROJEYİ HAZIRLAYANLAR BABÜR NEDİM ÇAĞATAY OKUL ADI VE ADRESİ ÖZEL KÜLTÜR FEN LİSESİ ATAKÖY 9.-10. KISIM, 34156 BAKIRKÖY - İSTANBUL DANIŞMAN ÖĞRETMEN

Detaylı

İ çindekiler. xvii GİRİŞ 1 TEMEL AKIŞKANLAR DİNAMİĞİ BERNOULLİ DENKLEMİ 68 AKIŞKANLAR STATİĞİ 32. xvii

İ çindekiler. xvii GİRİŞ 1 TEMEL AKIŞKANLAR DİNAMİĞİ BERNOULLİ DENKLEMİ 68 AKIŞKANLAR STATİĞİ 32. xvii Last A Head xvii İ çindekiler 1 GİRİŞ 1 1.1 Akışkanların Bazı Karakteristikleri 3 1.2 Boyutlar, Boyutsal Homojenlik ve Birimler 3 1.2.1 Birim Sistemleri 6 1.3 Akışkan Davranışı Analizi 9 1.4 Akışkan Kütle

Detaylı

T. C. E. Ü. FEN FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ. 2013-2014 Öğretim Yılı Güz Dönemi Haftalık Ders Programı

T. C. E. Ü. FEN FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ. 2013-2014 Öğretim Yılı Güz Dönemi Haftalık Ders Programı A. Fakülte İçinde "BÖLÜMÜMÜZ" Öğrencilerine Verdiğimiz Dersler I. YARIYIL 405001072003 Soyut Matematik I 08.00-12.00 Mat. 1.gr. Prof.Dr.A.FIRAT A 003 405001072003 Soyut Matematik I 08.00-12.00 Mat. 2.gr.

Detaylı

Algoritma ve Akış Diyagramları

Algoritma ve Akış Diyagramları Algoritma ve Akış Diyagramları Bir problemin çözümüne ulaşabilmek için izlenecek ardışık mantık ve işlem dizisine ALGORİTMA, algoritmanın çizimsel gösterimine ise AKIŞ DİYAGRAMI adı verilir 1 Akış diyagramları

Detaylı

OTOMATİK KONTROL SİSTEMLERİ. DİNAMİK SİSTEMLERİN MODELLENMESİ ve ANALİZİ

OTOMATİK KONTROL SİSTEMLERİ. DİNAMİK SİSTEMLERİN MODELLENMESİ ve ANALİZİ OTOMATİK KONTROL SİSTEMLERİ DİNAMİK SİSTEMLERİN MODELLENMESİ ve ANALİZİ 1) İdeal Sönümleme Elemanı : a) Öteleme Sönümleyici : Mekanik Elemanların Matematiksel Modeli Basit mekanik elemanlar, öteleme hareketinde;

Detaylı

T. C. E. Ü. FEN FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ. 2015-2016 Öğretim Yılı Güz Dönemi Haftalık Ders Programı

T. C. E. Ü. FEN FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ. 2015-2016 Öğretim Yılı Güz Dönemi Haftalık Ders Programı T. C. E. Ü. FEN FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 2015-2016 Öğretim Yılı Güz Dönemi Haftalık Ders Programı A. Fakülte İçinde "BÖLÜMÜMÜZ" Öğrencilerine Verdiğimiz Dersler I. YARIYIL 405001072003 Soyut Matematik

Detaylı

Projenin Adı: Metalik Oranlar ve Karmaşık Sayı Uygulamaları

Projenin Adı: Metalik Oranlar ve Karmaşık Sayı Uygulamaları Projenin Adı: Metalik Oranlar ve Karmaşık Sayı Uygulamaları Projenin Amacı: Metalik Oranların elde edildiği ikinci dereceden denklemin diskriminantını ele alarak karmaşık sayılarla uygulama yapmak ve elde

Detaylı

BİLECİK ŞEYH EDEBALİ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE VE İMALAT MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ

BİLECİK ŞEYH EDEBALİ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE VE İMALAT MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ BİLECİK ŞEYH EDEBALİ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE VE İMALAT MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ MÜHENDİSLİKTE DENEYSEL METOTLAR II ZAMANA BAĞLI ISI İLETİMİ 1.Deneyin Adı: Zamana bağlı ısı iletimi. 2. Deneyin

Detaylı

AKIŞKANLAR MEKANİĞİ. Doç. Dr. Tahsin Engin. Sakarya Üniversitesi Makine Mühendisliği Bölümü

AKIŞKANLAR MEKANİĞİ. Doç. Dr. Tahsin Engin. Sakarya Üniversitesi Makine Mühendisliği Bölümü AKIŞKANLAR MEKANİĞİ Doç. Dr. Tahsin Engin Sakarya Üniversitesi Makine Mühendisliği Bölümü İLETİŞİM BİLGİLERİ: Ş Ofis: Mühendislik Fakültesi Dekanlık Binası 4. Kat, 413 Nolu oda Telefon: 0264 295 5859 (kırmızı

Detaylı

MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ. Akışkanlar Mekaniği MK-312 3/Güz (3+1+0) 3.5 7

MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ. Akışkanlar Mekaniği MK-312 3/Güz (3+1+0) 3.5 7 MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ Dersin Adı Kodu Sınıf / Y.Y. Ders Saati (T+U+L) Kredi AKTS Akışkanlar Mekaniği MK-312 3/Güz (3+1+0) 3.5 7 Dersin Dili : İngilizce Dersin Seviyesi

Detaylı

İl temsilcimiz sizinle irtibata geçecektir.

İl temsilcimiz sizinle irtibata geçecektir. Biz, Sizin İçin Farklı Düşünüyor Farklı Üretiyor Farklı Uyguluyoruz Biz, Sizin İçin Farklıyız Sizi de Farklı Görmek İstiyoruz Soru Bankası matematik konularını yeni öğrenen öğrenciler için TMOZ öğretmenlerince

Detaylı

Copyright The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. BÖLÜM 7. Adi Diferansiyel Denklemlerin Sayısal Çözümü

Copyright The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. BÖLÜM 7. Adi Diferansiyel Denklemlerin Sayısal Çözümü Copyright The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. BÖLÜM 7 Adi Diferansiyel Denklemlerin Sayısal Çözümü Copyright The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 5.KONU Cebiresel yapılar; Grup, Halka 1. Matematik yapı 2. Denk yapılar ve eş yapılar 3. Grup 4. Grubun basit özellikleri 5. Bir elemanın kuvvetleri

Detaylı

Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi ye Ku ru lu Baş kan lı ğı nın 24.08.2011 ta rih ve 121 sa yı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve 2011-2012

Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi ye Ku ru lu Baş kan lı ğı nın 24.08.2011 ta rih ve 121 sa yı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve 2011-2012 Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi e Ku ru lu Baş kan lı ğı nın.8. ta rih ve sa ı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve - Öğ re tim Yı lın dan iti ba ren u gu lana cak olan prog ra ma gö re ha zır

Detaylı

BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER

BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER YILLAR 00 00 00 00 00 00 007 008 009 00 ÖSS-YGS - - - - - - - - BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER a,b R ve a 0 olmak üzere ab=0 şeklindeki denklemlere Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler

Detaylı

DENEY 1 - SABİT HIZLA DÜZGÜN DOĞRUSAL HAREKET

DENEY 1 - SABİT HIZLA DÜZGÜN DOĞRUSAL HAREKET AMAÇ: DENEY 1 - SABİT HIZLA DÜZGÜN DOĞRUSAL HAREKET Bir nesnenin sabit hızda, net kuvvetin etkisi altında olmadan, düzgün bir hat üzerinde hareket etmesini doğrulamak ve bu hızı hesaplamaktır. GENEL BİLGİLER:

Detaylı

Prof.Dr.Ünal Ufuktepe

Prof.Dr.Ünal Ufuktepe İzmir Ekonomi Üniversitesi, Matematik Bölümü 21 Ocak 2012 KLASİK ANLAMDA TÜREV Fiziğin en temel işlevlerinden biri hareketi tanımlamaktır. Newton ve Leibniz hareketi tanımlama ve tahmin etme konusunda

Detaylı

İÇİNDEKİLER. BÖLÜM 1 Değişkenler ve Grafikler 1. BÖLÜM 2 Frekans Dağılımları 37

İÇİNDEKİLER. BÖLÜM 1 Değişkenler ve Grafikler 1. BÖLÜM 2 Frekans Dağılımları 37 İÇİNDEKİLER BÖLÜM 1 Değişkenler ve Grafikler 1 İstatistik 1 Yığın ve Örnek; Tümevarımcı ve Betimleyici İstatistik 1 Değişkenler: Kesikli ve Sürekli 1 Verilerin Yuvarlanması Bilimsel Gösterim Anlamlı Rakamlar

Detaylı

Yrd. Doç. Dr.Yiğit Aksoy

Yrd. Doç. Dr.Yiğit Aksoy Yrd. Doç. Dr.Yiğit Aksoy ÖĞRENİM DURUMU Derece Üniversite Bölüm / Program Lisans Celal Bayar Üniversitesi Makine Mühendisliği 00 Y. Lisans Celal Bayar Üniversitesi Makine Mühendisliği 00 Doktora Celal

Detaylı

2011 Third International Conference on Intelligent Human-Machine Systems and Cybernetics

2011 Third International Conference on Intelligent Human-Machine Systems and Cybernetics 2011 Third International Conference on Intelligent Human-Machine Systems and Cybernetics Özet: Bulanık bir denetleyici tasarlanırken karşılaşılan en önemli sıkıntı, bulanık giriş çıkış üyelik fonksiyonlarının

Detaylı

T.C. MALTEPE ÜNİVERSİTESİ FEN-EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK LİSANS PROGRAMI. 2013-14 Güz Yarıyılı. 1 yıl 1. yarıyıl Lisans Zorunlu

T.C. MALTEPE ÜNİVERSİTESİ FEN-EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK LİSANS PROGRAMI. 2013-14 Güz Yarıyılı. 1 yıl 1. yarıyıl Lisans Zorunlu AKTS Kredisi 5 T.C. MALTEPE ÜNİVERSİTESİ FEN-EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK LİSANS PROGRAMI Dersin adı: 2013-14 Güz Yarıyılı Genel Matematik I Dersin Kodu emat 151 1 yıl 1. yarıyıl Lisans Zorunlu 3 s/hafta

Detaylı

Prof.Dr. ÜNAL ERKAN MUMCUOĞLU. merkan@metu.edu.tr

Prof.Dr. ÜNAL ERKAN MUMCUOĞLU. merkan@metu.edu.tr Ders Bilgisi Ders Kodu 9060528 Ders Bölüm 1 Ders Başlığı BİLİŞİM SİSTEMLERİ İÇİN MATEMATİĞİN TEMELLERİ Ders Kredisi 3 ECTS 8.0 Katalog Tanımı Ön koşullar Ders saati Bu dersin amacı altyapısı teknik olmayan

Detaylı

H(s) B(s) V (s) Yer Kök Eğrileri. Şekil13. V s R s = K H s. B s =1için. 1 K H s

H(s) B(s) V (s) Yer Kök Eğrileri. Şekil13. V s R s = K H s. B s =1için. 1 K H s Yer Kök Eğrileri R(s) K H(s) V (s) V s R s = K H s 1 K H s B s =1için B(s) Şekil13 Kapalı çevrim sistemin kutupları 1+KH(s)=0 özyapısal denkleminden elde edilir. b s H s = a s a s K b s =0 a s K b s =0

Detaylı

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye KÜME AİLELERİ GİRİŞ Bu bölümde, bir çoğu daha önceden bilinen incelememiz için gerekli olan bilgileri vereceğiz. İlerde konular işlenirken karşımıza çıkacak kavram ve bilgileri bize yetecek kadarı ile

Detaylı

BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14

BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14 İÇİNDEKİLER Önsöz. V BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14 BÖLÜM II KÜMELER 17 2.1.Küme Tanımı ve Özellikleri 18 2.2 Kümelerin Gösterimi 19 2.2.1 Venn Şeması Yöntemi 19 2.2.2 Liste Yöntemi

Detaylı

AKIŞ ŞEMASI AKIŞ ŞEMASI AKIŞ ŞEMASI ŞEKİLLERİ GİRİŞ

AKIŞ ŞEMASI AKIŞ ŞEMASI AKIŞ ŞEMASI ŞEKİLLERİ GİRİŞ GİRİŞ AKIŞ ŞEMASI Bir önceki ünitede algoritma, bilgisayarda herhangi bir işlem gerçekleştirmeden ya da program yazmaya başlamadan önce gerçekleştirilmesi düşünülen işlemlerin belirli bir mantık ve plan

Detaylı

Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri. Ders izlence Formu

Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri. Ders izlence Formu Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri Ders izlence Formu Dersin Kodu ve İsmi Dersin Sorumlusu Dersin Düzeyi MAT407 REEL ANALİZ Prof. Dr. Ertan İBİKLİ ve

Detaylı

Mantıksal Operatörlerin Semantiği (Anlambilimi)

Mantıksal Operatörlerin Semantiği (Anlambilimi) Mantıksal Operatörlerin Semantiği (Anlambilimi) Şimdi bu beş mantıksal operatörün nasıl yorumlanması gerektiğine (semantiğine) ilişkin kesin ve net kuralları belirleyeceğiz. Bir deyimin semantiği (anlambilimi),

Detaylı

TEMEL SORU KİTAPÇIĞI ÖSYM

TEMEL SORU KİTAPÇIĞI ÖSYM 1-16062012-1-1161-1-00000000 TEMEL SORU KİTAPÇIĞI AÇIKLAMA 1. Bu kitapçıkta Lisans Yerleştirme Sınavı-1 Matematik Testi bulunmaktadır. 2. Bu test için verilen cevaplama süresi 75 dakikadır. 3. Bu testte

Detaylı

Cismin Ağırlığı Düzlemsel Alanda Ağırlık Merkezi - İntegrasyon Yöntemi Örnekler Düzlemsel Eğride Ağırlık Merkezi - İntegrasyon Yöntemi

Cismin Ağırlığı Düzlemsel Alanda Ağırlık Merkezi - İntegrasyon Yöntemi Örnekler Düzlemsel Eğride Ağırlık Merkezi - İntegrasyon Yöntemi 4. 4. Cismin ğırlığı Düzlemsel landa ğırlık erkezi - İntegrasyon Yöntemi Düzlemsel Eğride ğırlık erkezi - İntegrasyon Yöntemi 4.3 Bileşik Plak ve Teller 4.4 Pappus Guldinus Teoremleri 4.5 Üç Boyutlu Cisimlerde

Detaylı

MB5002 NÜMERİK ANALİZ

MB5002 NÜMERİK ANALİZ MB500 NÜMERİK ANALİZ Ders Notları Yrd. Doç. Dr. Emel YAVUZ DUMAN İstanbul Kültür Üniversitesi Matematik-Bilgisayar Bölümü c 01, Emel Yavuz Duman Tüm hakkı saklıdır. Bu notlar Örgün Öğretimde Uzaktan Öğretim

Detaylı