Cebir Notları. Kümeler Mustafa YAĞCI,

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Cebir Notları. Kümeler. 2003. Mustafa YAĞCI,"

Transkript

1 Cebir Notları Mustafa YAĞCI, Geometri derslerimizin başında nokta, doğru ve düzlem in neden tanımsız olduklarını hatta neden tanımsız olmak zorunda olduklarını konuşmuştuk. Cebir derslerinde de tanımsız olarak vermek zorunda olduğumuz birkaç kavram vardır. Tahmin ettiğiniz üzere küme de bu tanımsız kavramlardan biri. Onun için burada bir kümenin ne anlama geldiğini sezgisel olarak anlamaya çalışacağız. Konu anlatımı Matematik Dünyası Dergisi nde Ali Nesin in dilinden yapılmıştır. Bir küme, adına öğe dediğimiz bazı nesneleri içeren bir topluluktur. Doğal olarak sen şimdi Öğe ne ki? diyorsundur. Üzgünüm, o da tanımsız ama seni böyle üzgün üzgün bırakacak değilim. Örneklerle anlamanı sağlamaya gayret göstereceğim. Örneğin, ülkeler bir küme oluştururlar. Bir ülkenin şehirleri de. Hatta bir ülkenin şehirlerinin okulları da. Okulların sınıfları da bu sınıfın öğrencileri de birer küme oluştururlar. Bayanlar daha rahat anlasın diye bir başka örnek daha vereyim: Alışveriş listesi bile bir manada küme olarak görülebilir. Kümeyi az çok idrak ettik. Geldik öğe ye. Yani eleman a. Her ülke, ülkeler kümesinin bir elemanıdır. Her şehir de şehirler kümesinin. Ve bu böyle devam eder. Ülkeler kümesini Ü harfiyle, Türkiye yi de T harfiyle gösterirsek, T, Ü nün bir elemanı olur. Bunu T Ü yazarak gösteririz. Eğer Adana yı da A ile gösterirsek, A T demekte bir mahzur yoktur. Fakat Adana bir ülke olmadığından ülkeler kümesinin e- lemanı değildir. Bunu da A Ü yazarak gösteririz. Matematiksel bir kümenin elemanları da matematiksel nesne olmalılar elbet. Dolayısıyla, yukardaki örnekler matematiksel anlamda küme değildirler. Ama doğal sayılar kümesi matematiksel anlamda bir kümedir. Bu kümenin elemanları 0, 1, 2, 3 gibi sayılardır. Doğal sayılar kümesi simgesiyle gösterilir. Örneğin 5 ama 5. Eleman olarak sadece 2 yi, 3 ü, 5 i ve 7 yi içeren küme {2, 3, 5, 7} olarak yazılır. {2, 3, 4} başka bir kümedir. İlk verdiğimiz kümenin eleman sayısı 4, ikinci verdiğimiz kümenin eleman sayısı 3 tür. { simgesine açan parantez, } simgesine de kapatan parantez adı verilir. Küme parantezleri arasına aynı elemanı elli kere yazmak, o kümede o elemandan elli tane var anlamına gelmez! Aynı elemandan bir kümede ancak 1 tane olabilir. Örneğin, {a, a, a} kümesinin bir tek elemanı vardır, o da a dır. Şimdi size bir soru sorayım: {a, b} kümesinin kaç elemanı vardır? Hemen 2 dediğinizi duyar gibiyim. Aslında tam da 2 değil. Siz aceleden a = b olabileceğini düşünmediniz. Eğer a = b ise bu küme 1 elemanlıdır ama a b ise 2 elemanlıdır. O halde {a, b} kümesinin en az 1, en fazla 2 elemanı vardır. {a, b} ile {b, a} yazılımları arasında matematiksel olarak bir fark yoktur, ikisi de aynı kapıya çıkar, yani aynı kümeyi gösterir, çünkü elemanları aynıdır. Bu durumu genelleyip, aynı elemanlara sahip kümelere eşit kümeler diyeceğiz. Sözgelimi; A kümesi 8 den küçük asal sayılar kümesi, B kümesi {2, 3, 5, 7} kümesi ve C kümesi de x 4 17x x 2 247x = 0 denkleminin çözüm kümesi ise A = B = C eşitlikleri geçerlidir. i yumurta ya da patates biçiminde bir şekille gösteririz. Kümenin elemanlarını da bu yumurtanın içine yanına bir nokta koyarak gösteririz.

2 Yukardaki örnekte üç elemanlı A = {a, b, c} kümesi resmedilmiştir. d A olduğundan d, yumurtanın dışına yazılır. Bu gösterimi ilk olarak Venn soyadlı bir matematikçi yapmış, çok benimsendiği için halen bunu kullanırız. Bunun için bu şekillere Venn şeması veya Venn diyagramı da denir. Bir X kümesinin eleman sayısı s(x) veya n(x) sembolü ile gösterilir. Yukarda şeması çizilen A kümesi için s(a) = 3 eşitliği geçerlidir. İki kümenin elemanları farklı olup da sadece eleman sayıları eşit ise böyle kümelere denk kümeler denir. sembolü ile gösterilir. Yani; s(a) = s(b) ise A B diyeceğiz. Denk iki kümeye örnekleri siz düşününüz. Bulamamak için çaba sarfetmek lazım! Kimi zaman bir kümenin elemanları da küme olabilirler. Örneğin, {{0, 3, 5}, {0, 2}} kümesinin {0, 3, 5} ve {0, 2} kümeleri olmak üzere iki elemanı vardır. Küme olan bu elemanların da elemanları vardır. Bu durumu da aşağıdaki şekille gösterebiliriz. Görüldüğü gibi, aynı nesne hem küme olabiliyor hem de eleman. {0, 3, 5} bir kümedir ama bu küme bu örnekte olduğu gibi bir başka kümenin elemanı da olabilir. Bu gibi durumlarda aynı nesneyi aynı şekil üzerinde değişik bir biçimde resmetmekte fayda vardır: 1) Eleman olarak (yani nokta olarak) 2) Küme olarak (yani yumurta biçiminde bir şekille) Yukardaki bu şekilden daha karmaşık durumlar da olabilir. Sözgelimi; {{{{0}}}} kümesinin tek elemanı vardır, o da {{{0}}} kümesidir. {{{0}}} kümesinin de tek elemanı vardır, o da {{0}} kümesidir. {{0}} kümesinin de tek elemanı vardır, o da {0} kümesidir. {0} kümesinin de tek elemanı vardır, o da 0 dır. Bu örnek de aşağıdaki gibi resmedilebilir: Daha daha tuhaf durumlar da olabilir. Sözgelimi şu örneği ele alalım: A = {{0, 2},{2, 3, 4}, 2, 3}. Bunun şekli de aşağıdaki gibidir: Görüldüğü gibi bir küme hem bir nokta hem de patates olarak resmedilebilir. Bundan daha da acayip durumlar da istersek olabilir ama yeri burası değil! Boşküme. Hiç elemanı olmayan kümeye boşküme denir. Boşkümenin bitanecik bile elemanı yoktur ve bu küme simgesiyle gösterilir. O halde x ne olursa olsun, x. Boşküme var mıdır? Ya da olmalı mıdır? Elbette olmalıdır. Örneğin, her şeyi bilen insanlar kümesi boşkümedir, boyu 5 metre olan insanlar kümesi de boşkümedir, benden iyi matematik dersi veren öğretmenler kümesi de. Boşkümeden bol ne var! Sonuncu küme boş değildi tabii ki şaka yaptım. Ancak 1 tane boşküme vardır! Bunu hemen kanıtlayabiliriz. Aksini mi iddia ediyorsunuz? O zaman sizin dediğiniz gibi olsun. İki tane boşküme var olsun. Hiç elemanı olmayan bu iki kümeye X ve Y kümeleri diyelim. X = Y olması gerektiğini kanıtlarsam ben haklıyım, yoksa siz! Şimdilik X ile Y nin birbirine eşit olmadığını varsayalım. O zaman ikisinden birinde, diğerinde olmayan bir eleman olmalı çünkü her ikisinin de elemanları aynı olsaydı eşit olurlardı. Ama bu kümelerin hiç elemanı yok ki ikisinden birinde diğerinde olmayan eleman olsun! Demek ki X = Y imiş Boşkümeden sadece 1 tane olduğundan ona boşküme adını verme ve onu simgesiyle gösterme hakkını kendimizde buluyoruz. İki tane olsaydı örneğin, birine 1, diğerine 2 demek zorunda kalırdık. 2

3 Boşkümeyi boşlamayalım! En önemli bir iki kümeden biridir boşküme. 1 elemanlı çok küme vardır, 2 elemanlı da ama sıfır elemanlı tek küme vardır. Sadece bu özellik bile boşkümeyi diğer kümelerden ayırır, onu ayrıcalıklı kılar. Daha doğmamış eşekler kümesi nasıl bir kümedir? Daha doğmamış eşekler olduğundan daha doğmamış eşekler kümesine boşküme diyemeyiz. Ama daha doğmamış eşekler kümesinin bir tek elemanını bile gösteremezsiniz. Bundan da şu anlaşılıyor: Bir kümenin var olması için illa o kümenin bütün elemanlarını bilmemiz gerekmiyor. Bu şuna benzer: İkinci Dünya Savaşı nda ölen Fransızların sayısı belli bir doğal sayıdır. Bu sayıyı hiçbirimiz tam olarak bilmiyoruz diye böyle bir sayının olmadığını söyleyemeyiz. Şimdi birçok kişiye tuhaf gelecek bir teorem kanıtlayalım: Boşkümenin her elemanı 1 e eşittir! Kanıtın püf noktası boşkümenin hiç eleman içermemesidir. Diyelim ki savımız yanlış, yani boşkümenin her elemanı 1 e eşit değil O zaman boşkümede 1 e eşit olmayan bir eleman var anlamına gelir. Ama hani boşkümede hiç eleman yoktu? Hiç elemanı olmayan bir kümede hiç 1 e eşit olmayan bir eleman olabilir mi? Elbette olamaz. Demek ki boşkümenin her elemanı 1 e eşittir. Yukardaki kanıtın benzeri, boşkümenin her elemanının 2 ye eşit olduğunu da kanıtlar. Yani boşkümenin her elemanı hem 1 e hem de 2 ye eşittir, hatta 5 e ve 100 e bile! Neyse ki boşkümenin hiç elemanı yok. Olsaydı 1 = 2 gibi saçmasapan bir eşitlik kanıtlamış olacaktık. Yani bir bakıma boşkümenin elemanının olmadığını çelişki bularak kanıtlamış olduk. Boşkümenin her öğesi istediğimiz tüm özellikleri sağlar. Boşkümenin her elemanı sarıdır, yeşildir, uzundur, aynı zamanda kısadır da. Hiç elemanı olmayan bir kümenin tüm elemanları tüm özellikleri ve tüm eşitlikleri sağlar. Bunu boşkümenin hiç elemanı olmamasına borçluyuz. İşte bundan dolayı boşküme diğer bütün kümelerin hatta kendinin bile altkümesi olacak! Altküme. Eğer X kümesinin tüm elemanları aynı zamanda Y kümesinin elemanlarıysa, o zaman, tanım gereği, X kümesi Y kümesinin bir altkümesidir. Bunu X Y olarak gösteririz. Dilersek, Y ye X in bir üstkümesi de diyebiliriz ama bu terim matematikte çok kullanılmaz. Bunu da Y X yazarak gösteririz. Y, X i kapsar diye okuruz. Örneğin, çift doğal sayılar kümesi {0, 2, 4, 6, }, doğal sayılar kümesinin bir altkümesidir. Bir başka örnek: {0, 2} kümesi de çift doğal sayılar kümesinin alt kümesidir, aynı zamanda {0, 1, 2, 3} kümesinin de tabii ki Örnekleri çoğaltabilirsiniz. Bir küme 1 den çok kümenin altkümesi ve üstkümesi olabilir. Siz isteyin yeter! X hangi küme olursa olsun, X, X in bir altkümesidir, yani X X ilişkisi her küme için geçerlidir. Çünkü X in her elemanı X in de bir elemanıdır. Kuşkusu olan mı var? Bir kümenin altkümesiyle o kümenin elemanlarını birbirine karıştırmamak gerekir. Örneğin, sesli harfle başlayan şehirlerimizden oluşan küme, Türkiye nin şehirleri kümesinin bir altkümesidir ama elemanı değildir çünkü sesli harfle başlayan şehirler kümesi bir şehir değildir. Bir sınıfın kız öğrencilerinden oluşan küme, bir sınıfın öğrencilerinden oluşan kümenin bir altkümesidir ama bu da elemanı değildir. Sınıfta sadece bir tek kız öğrenci olsa bile. Hocam, ya sınıfın tamamı kız öğrencilerden oluşuyorsa? diye bir soru aklınız geldiyse, söyleyin hemen gitsin! Çünkü o zaman X X durumu olur ki, bunu konuşmuştuk. Kaç kere dedim, bu yazıları roman gibi değil, düşüne düşüne okuyun diye! Ancak kimileyin bir küme, bir başka kümenin hem altkümesi hem de elemanı olabilir. Örneğin, {0, 1} kümesi {0, 1, {0, 1}} kümesinin hem elemanı hem de altkümesidir. Boşküme her kümenin bir altkümesidir. Bunu da kanıtlayabiliriz. X herhangi bir küme olsun. Boşkümenin X in bir altkümesi olduğunu kanıtlamak istiyoruz. Diyelim ki bu doğru değil, yani diyelim ki boşküme X in bir altkümesi değil. O halde X de olmayan bir eleman içeriyor olmalı değil mi? Diğer türlü olsaydı altkümesi olurdu! Ama hani boşkümenin hiç elemanı yoktu. Demek ki boşkümenin her elemanı X in bir elemanıymış, yani boşküme her kümenin altkümesiymiş. Kanıtımız bitmiştir! {0, 1, 2} kümesinin altkümelerini teker teker yazalım, tam sekiz tane var: 0 elemanı olanlar 1 tane: 1 elemanı olanlar 3 tane: {0}, {1}, {2} 3

4 2 elemanı olanlar 3 tane: {0,1},{0,2},{1,2} 3 elemanı olanlar 1 tane: {0, 1, 2} Sadece {0, 1, 2} kümesinin değil, 3 elemanı olan her kümenin 8 tane altkümesi vardır. Genel olarak n elemanı olan bir kümenin 2 n tane altkümesi vardır. Bunun kanıtını daha sonra yapacağız. Permutasyon notlarına da bakabilirsiniz Örneğin, 0 tane elemanı olan boşkümenin bile bir altkümesi vardır, 2 0 = 1 olduğuna dikkat! O bir tane altküme de boşkümedir. Tek elemanlı { } kümesinin 2 1 = 2 alt kümesi vardır, ve { }. Burada { } kümesinin boşküme olmadığını da kapalı bir şekilde anlatmaya çalıştım, bilmem anladınız mı? İki elemanlı {,{ }} kümesinin de 4 tane altkümesi vardır:, { }, {{ }} ve {, { }}. Altkümeler kümesi. Bir kümenin tüm altkümelerini eleman olarak içeren ve bunlardan başka herhangi bir elemanı olmayan bir küme de vardır. Bu kümeye altkümeler kümesi veya kuvvet kümesi denir. X kümesinin kuvvet kümesi (X) olarak gösterilir fakat bu kümeler ÖSS müfredatında işlenmez, niyeyse Özalt küme. Bir kümenin kendisinden farklı alt kümelerine bu kümenin özalt kümeleri denir. n elemanlı bir A kümesi için özalt kümeler sayısı o halde 2 n 1 olmalıdır. Örnek. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} kümesinin altkümelerinin kaç tanesinde; a) 1, eleman olarak bulunmaz? b) 1, eleman olarak bulunur? c) 1 bulunur ama 2 bulunmaz? d) 1 bulunmaz ama 2 bulunur? e) 1 ve 2 eleman olarak bulunur? f) Ne 1 ne de 2 eleman olarak bulunur? g) 1 veya 2 eleman olarak bulunur? h) 1 ya da 2 eleman olarak bulunur? i) 1 ve 2 bulunur ama 3 bulunmaz? j) Belli v tanesi bulunur ama belli y tanesi bulunmaz? Çözüm: Her şık için gerekli açıklamalar aşağıda yapılmıştır. a) Madem ki 1, eleman olarak bulunmayacak, o zaman 1 i çöpe atalım, geri kalanlardan ne kadar altküme yapabilirsek, o kadar içinde 1 bulunmayan küme vardır. Bu da 2 7 = 128 dir. b) Bu soruyu iki türlü çözebiliriz. Birincisi, tüm altküme sayısından içinde 1 bulunmayan alt küme sayısını çıkardığımızda geriye kalanların içinde 1 eleman olarak bulunur demektir. Bu da = = 128 olarak bulunur. İkinci yol ise, madem 1 eleman olarak bulunacak, 1 i yanımıza alalım, diğerlerinden ne kadar altküme yapabilirsek, onları getirip 1 in yanına koyalım. Böylece içinde 1 in bulunduğunu ellerimizle garantilediğimiz 2 7 = 128 altküme olduğunu söyleyebiliriz. c) 1 bulunup, 2 bulunmayacaksa, 1 i yanımıza alır, 2 yi de çöpe atarız. Kalan 6 elemandan 2 6 = 64 tane altküme yapıp 1 in yanına koyarız. 2, zaten çöpte olduğundan sorun çıkarmaz. d) Bir önceki şıkkın çözümüyle aynı. Bunda da 2 yanımızda 1 çöpte, cevap 2 6 = 64. e) Madem hem 1 hem de 2 eleman olarak bulunacak, 1 i de 2 yi de yanımıza alalım. Diğerlerinden yaptığımız 2 6 = 64 altkümeyi getirir 1 le 2 nin yanına koyarız. f) Madem 1 de 2 de eleman olarak bulunmayacak, o halde hem 1 i hem de 2 yi çöpe atalım. Kalanlardan 2 6 = 64 tane altküme yapılabilir. g) 1 veya 2 var demek, 1 olsa 2 olmasa da olur, 2 olsa 1 olmasa da olur, hem de 1 de 2 de olsa da olur demektir. Bunlar da c, d, e şıklarında çözüldü: = 192. h) 1 ya da 2 var demek, 1 varsa 2 yok, 2 varsa 1 yok demektir. Veya ile aynı olmadığına dikkat edin. c, d seçeneklerinde bunlar çözülmüştü = 128. i) 1 ve 2 yi yanımıza alır, 3 ü çöpe atarız. Geriye 5 eleman kalır ki, bunlarla da 2 5 = 32 altküme yapılarak 1 ve 2 nin yanına iliştirilir. j) Bulunan belli v taneyi yanımıza alır, bulunmaması gereken belli y tanesini de çöpe atarız. Geriye 8 v y tane eleman kalır. O halde cevap 2 8 v y dir. Permutasyon. r < n olduğu bir durumda, n tane farklı nesnenin r tanesini aynı anda seçerek sıraya dizersek, yani bu nesnelerle bir sıralı r li oluşturursak, bu sıralamaya n nin r li bir permutasyonu denir. Oluşturabileceğimiz tüm sıralı r liler de n nin r li permutasyonlarının tümünü verir. Kaç farklı sıralı r li yapılabiliyorsa, n nin r li permutasyonu o kadardır denir. Örneğin, A = {a, b, c, d} kümesinden aynı anda 3 eleman seçelim. Bunlar da örneğin a, b, c olsun. O halde bca, A kümesinin 3 lü bir permu- 4

5 tasyonudur. Peki seçtiğimiz bu elemanları başka türlü sıraya dizebilir miydik? Tabii ki abc, acb, bac, bca, cab, cba gibi 6 farklı şekilde dizilebilirlerdi. O halde A nın 3 lü permutasyonlarının sayısı 6 dır deriz. Eğer 4 elemanın 4 ünü de seçseydik, abcd, abdc, acbd, acdb, gibi 24 farklı diziliş meydana gelirdi ki A nın 4 lü permutasyonlarının sayısı da 24 tür derdik. Dikkat ederseniz A kümesinin 3 lü permutasyonlarının sayısı 6 yani 3!, 4 lü permutasyonlarının sayısı da 24 yani 4! çıktı, demek ki bu hesaplamanın faktöryelle bir alakası olmalı diye şüpheye düştük. Yanılmadık, var! Ama tabii ki r! değil. Öyle olsaydı 1 li permutasyonların sayısı 1! = 1 çıkmalıydı halbuki A kümesinin a, b, c, d olmak üzere 4 farklı 1 li permutasyonu vardır. O halde n nin r li permutasyonlarının sayısı kaç? Şimdi bu soruya cevap arayacağız. Başlıyoruz: n nin r li permutasyonlarının sayısı. Önce r tane eleman seçeceğiz, sonra bu r tane elemanı değişik değişik sıralara dizeceğiz. Bunu yapabilmek için başkan ve yardımcılarını seçtiğimiz örneği aklınıza getirin. 1 başkan, 2 yardımcı ve 1 sekreter seçtiğimizden 4 lü bir kutu çizmiştik. Burada da r tane eleman seçeceğimizden r li bir kutu çizeceğiz. Nasıl ki başkana 8 aday var diye başkan kutusuna 8 yazmıştık, burada da ilk elemanın kutusuna n yazacağız. Sonraki kutuya (n 1), bir sonrakine (n 2) filan yazacağız ve bu böyle devam edecek. r ninci kutuya ise (n r + 1). Şimdi geriye bunları çarpmak kaldı. n(n 1)(n 2) (n r + 1) n( n 1)( n 2)...( n r+ 1)( n r)( n r 1) = ( n r)( n r 1) n! = ( n r)! Zor değilmiş değil mi? İşte bu n nin r li permutasyonu sayısı da P veya P(n, r) ile göste- n r rilir. Unutmamamız gereken bu eşitliği tekrar yazalım: n! P(n, r) = ( n r)! Uyarı. Biraz önceki işlemlerin başında bulduğumuz P(n, r) = n(n 1)(n 2) (n r + 1) eşitliği gereği, n nin r li permutasyonunu yani P(n, r) yi pratik yoldan hesaplamak isteyenler n den başlayan ve birer birer azalan r tane sayıyı çarpmalılar. Örneğin, P(11, 2) = 11 10, P(10, 3) = , P(15, 4) = gibi Teorem. P(n, 0) = 1. n! Kanıt: P(n, 0) = = ( n 0)! n! = 1. n! Teorem. P(n, 1) = n. n! n( n 1)! Kanıt: P(n, 1) = = = n. ( n 1)! ( n 1)! Teorem. P(n, n) = n!. n! n! Kanıt: P(n, n) = = = n!. ( n n)! 0! Soru. P(n, 4) = 4P(n, 3) olduğuna göre n kaçtır? n! n! Çözüm: = 4 ( n 4)! ( n 3)! olduğundan (n 3)! = 4(n 4)! yani (n 3)(n 4)! = 4(n 4)! olur ki n = 7 dir. Soru. 10 kişilik bir grupta herkes birbirine tokat atarsa, toplam kaç tokat atılmış olur? Çözüm: (A, B) sıralı ikilisi, A insanı B insanına tokat atmış demek olsun. Bu on insana isim verirsek, bu isimlerle yapabileceğimiz tüm sıralı ikililer bize atılmış bir tokat verir. O halde P(10, 2) = 10 9 = 90 tokat atılmış olur. Soru. 10 kişilik bir grupta herkes birbiriyle dans ederse, toplam kaç dans edilmiş olur? Çözüm: (A, B) sıralı ikilisi, A insanı B insanıyla dans etti demek olsun. Ama bu aynı zamanda B insanının da A ile dans etmiş olduğunu söyler. Yani deminki gibi çözeceğiz ama her dansı iki kere saymış olacağımızdan (ama ortada edilmiş tek dans olduğundan) cevabı ikiye böleceğiz. P(10, 2)/2 = 45. 5

6 ve Mustafa YAĞCI Alıştırmalar 1. P(n, 2) + P(n, 3) = 25 P(n, 1) ise n kaçtır? 2. P(n+2, 2) = 2 P(n+1, 2) ise n kaçtır? 3. P(10, 2) + P(9, 3) = P(n, 1) ise n kaçtır? 4. Herkesin birbirine hediye aldığı bir toplulukta toplam 110 hediye verilmişse, bu toplulukta kaç kişi vardır? Soru. A = {a, b, c, d} kümesinin içinde a bulunan 3 lü permutasyonlarının sayısı kaçtır? Çözüm: Önce a yı n olur n olmaz diye kenara bir ayıralım. A kümesinin a dışındaki elemanlarının kaç değişik 2 li permutasyonu var onu hesaplayalım, sonra bunların arasına a yı koyarız. P(3, 2) = 6 olur. Bu altı 2 li permutasyonun hepsinde a yı en başa da koyabiliriz, iki elemanın arasına da, en sona da O halde 3 6 = 18 tane içinde a bulunan 3 lü permutasyon vardır. Bu soruyu ilerde kombinasyon dersinde farklı bir şekilde daha çözeceğiz. Ben size o yolu tavsiye ederim. Soru. A ={a, b, c, d, e, f, g} kümesinin a ve b elemanlarını yan yana bulunduran 5 li permutasyonlarının sayısı kaçtır? Çözüm: Biz a ile b elemanlarını, birbirlerinden ayrılmasınlar diye, ab gibi tek bir elemanmış gibi düşünelim. O halde şu an A kümesi 7 değil, 6 elemanlı olur. ab elemanını yine n olur n olmaz diye kenara ayıralım. Kalan 5 eleman ile değişik sıralı 3 lüler yapıp, aralara bu ab elemanını serpiştireceğiz. Böylece 5 li permutasyonlar oluşacak. c, d, e, f, g elemanlarıyla P(5, 3) = 60 tane sıralı 3 lü yapılabilir. Bu ab leri en başa koyabileceğimiz gibi, birinci ile ikinci elemanın a- rasına da koyabiliriz, ikinci ile üçüncü elemanların arasına da, en sona da. Yani 4 seçenek var. O halde içinde ab bulunan 5 li permutasyon sayısı 60.4 = 240 tür. Son dikkat edilmesi gereken ise soruda ab bulunan demiyor, a ile b nin yan yana bulunduğu diyor, yani ba olsa da olur demek istiyor. Bulduğumuz sonucu 2 ile çarparsak soruyu çözmüş oluruz, cevabımız = 480. Kombinasyon dersinde bu soruyu tekrar çözeriz. Alıştırmalar 5. A = {a, b, c, d, e, f} kümesinin 3 lü permutasyonlarının kaç tanesinde b eleman olarak bulunur? 6. B = {a, b, c, d, e} kümesinin 4 lü permutasyonlarının kaç tanesinde a veya b eleman olarak bulunur? 7. C = {a, b, c, d, e, f} kümesinin 3 lü permutasyonlarının kaçında a bulunur ama e bulunmaz? 8. F = {1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanlarıyla içinde 1 ya da 2 yi barındıran kaç farklı 3 lü permutasyon yazılabilir? Kombinasyon. n tane farklı elemandan oluşan bir kümenin altkümelerine birer kombinasyon denir. n, r 0 r n olmak üzere, n elemanlı A kümesinin r elemanlı altkümelerinden her birine A kümesinin r li bir kombinasyonu denir ve C(n, n n r), C veya kısaca şeklinde gösterilir. r r Anlayacağınız, kümelerde elemanların sıralanışı önemli olmadığından kombinasyonda da sıra önemli değildir. Sadece elemanların neler ve kaç tane olduğu önemlidir. n Bir diğer önemli nokta da ifadesinin solunda r P ya da C harfi yazmıyorsa, bunun kombinasyon olarak anlaşılması gerektiğidir. C(n, r) nasıl hesaplanır? Yukardaki tanımdan anladığımız kadarıyla kombinasyonla bir miktar nesneyi seçiyoruz, bunu da permutasyonla sıralıyoruz. Peki, r tane nesne kaç değişik şekilde sıralanır? r! kadar değişik şekilde. O halde P(n, r) sayısını r! e bölmek C(n, r) yi verecektir. P( n, r) n! C(n, r) = = r! ( n r)!. r! 6

7 C(n, r) sayısını daha pratik olarak hesaplamak isteyen biri aynen permutasyondaki pratik kuralı uygular ama o sayıyı r! e böler. Örneğin, C(10, 2) =, C(13, 3) =, Teorem. C(n, 0) = 1. n! Kanıt: C(n, 0) = = 1 ( n 0)!.0! Teorem. C(n, n) = 1. n! Kanıt: C(n, n) = = 1 ( n n)!. n! Teorem. C(n, r) = C(n, n r). Kanıt: Bu teoremi de aynen yukardaki formülü kullanarak kanıtlayabiliriz ama bu sefer sözlü izah edelim. C(n, r) ne demek? n tane nesneden r tanesini seçmek. Peki geride ne bıraktığınızı düşündünüz mü? n r tane nesne. Seçtiğiniz r tane nesne değiştikçe, geride kalan n r tane nesne de değişmez mi? Dolayısıyla eşitlik doğrudur. Soru. C(3, 1) + C(3, 2) toplamı kaçtır? Çözüm: = 3 olduğundan C(3, 1) = C(3, 2) olduğunu biliyoruz. Sadece birini bulup, 2 ile çarpsak yetecek. C(3, 1) = 3 olduğundan cevap 6 dır. Soru. C(7, 3) = C(n, 1) C(n, n) olduğuna göre n kaçtır? Çözüm: C(n, 1) C(n, n) = n 1 olduğunu biliyoruz. Diğer yandan; C(7, 3) = = 35 olduğun dan n 1 = 35 olur ki n = 36. Soru. C(15, 2n + 1) = C(15, 3n 1) ise n nin alabileceği değerleri bulunuz. Çözüm: İki durum mümkündür. Ya 2n + 1 ile 3n 1 değerlerinin toplamı 15 dir veya bu değerler birbirlerine eşittir. 2n n 1 = 15 eşitliğinden n = 3 veya 2n + 1 = 3n 1 eşitliğinden n = 2 dir. Soru. 1 den 49 a kadar numaralandırılmış 49 toptan 6 sı çekiliyor. Çekilen 6 topun numarasını garanti bilmek için en az kaç tahminde bulunmak gerekir? Çözüm: Çeken adam kaç değişik şekilde bu 6 topu çekebilirse, bizim de en az o kadar tahminde bulunmamız lazım, yani C(49, 6) C(49, 6) = = Soru. 6 kişilik bir ekipten 4 kişi ve bu 4 kişi arasından da bir lider seçilecek. Bu seçim kaç farklı şekilde yapılabilir? Çözüm: Önce 6 kişiden kaç değişik şekilde 4 kişiyi seçebileceğimizi bulalım: C(6, 4) = C(6, 2) = 15. Şimdi de 4 kişi arasından 1 kişinin kaç farklı şekilde seçilebileceğini bulalım: C(4, 1) = 4. Saymanın temel ilkesine göre bu değerler çarpılmalıdır: 15.4 = 60 değişik seçenek vardır. Soru. Bir seyahat acentası başvuran 8 kişinin 5 ini İstanbul a, 3 ünü Ankara ya, 2 sini de İzmir e geziye yollayacaktır. Bunu kaç farlı şekilde yapması mümkün olur? Çözüm: Önce 5 kişi seçerek İstanbul a yolcu edelim. Bu C(8, 5) = C(8, 3) = 56 kadar farklı şekilde mümkün. Şimdi de kalan 5 kişiden 3 ünü seçip, Ankara ya yollayalım. Bu da C(5, 3) = C(5, 2) = 10 kadar farklı şekilde mümkün. Kalan 2 kişi mecburen İzmir e gidecek. O halde; C(10, 5) C(5, 3) C(2, 2) = = 560. Sıranın önemi var mı, bir düşünün bakalım! Alıştırmalar 9. C(0, 0) + C(6, 3) = 3 C(m, m 1) ise m kaçtır? 10. p, r, m sayıları birer sayma sayısı olmak üzere; C(p, 1) + C(r, r) C(m, 0) = C(p, 4) ise p kaçtır? 11. C(17, 2x) = C(17, x + 2) ise x in alabileceği değerler toplamı kaçtır? 12. C(n, n 3) + C(n, n 2) = 48 ise n kaçtır? toptan 2 sini satın almak isteyen bir çocuk, amacına kaç farklı şekilde ulaşabilir? 7

8 kişilik bir sınıfta 1 başkan kaç farklı şekilde seçilebilir? kişilik bir sınıfta 1 başkan ve 1 başkan yardımcısı kaç değişik şekilde seçilebilir? kişilik bir sınıftan 3 kişi trafik koluna seçilecektir. Seçilen bu 3 kişiden biri de başkan yapılacaktır. Trafik kolunun üyeleri ve başkan kaç değişik sekilde seçilebilir? i doktor 7 si hemşire olan 12 kişilik bir sağlık ekibinden acil vakalara bakmak üzere 1 doktor ve 2 hemşireli 3 kişilik küçük bir ekip oluşturmak isteniyor. Kaç farklı şekilde mümkündür? bay ve 3 bayan arasından, içlerinde 1 bayan olan 3 kişilik bir grup kaç farklı şekilde seçilebilir? bay ve 3 bayan arasından, içlerinde en az 1 bayan olan 3 kişilik bir grup kaç farklı şekilde seçilebilir? 20. İçlerinde 3 tanesi matematik öğretmeni olan 12 öğretmenden 3 tanesi doğuya mecburi hizmete yollanacaktır. En az ikisi matematik öğretmeni olmak zorundaysa bu seçim kaç farklı şekilde yapılabilir? 21. Bir otelde 1 tane 2 kişilik, 4 tane 3 kişilik oda vardır. 14 kişi bu otele kaç farklı şekilde yerleşebilir? 22. Bir antrenör, 22 kişilik kadrodan ilk 11 i ve yedek 5 i kaç değişik şekilde oluşturabilir? kişilik kadrosunda 3 farklı kalecisi bulunan bir antrenör, tek kalecili 11 oyuncuyu kaç değişik şekilde seçebilir? u yabancı olan 22 kişilik kadrosundan 11 kişi seçmek isteyen bir teknik direktör, bir maçta en çok 6 yabancı oynatabilme hakkına sahipse ve yabancılardaki tüm hakkını kullanmak istiyorsa, ilk 11 i kaç değişik şekilde seçebilir? 25. Bir gruptan 2 şer kişilik 2 ayrı grup 210 farklı şekilde oluşturulabiliyorsa, bu grupta kaç kişi vardır? farklı dersin 2 si aynı saatte verilmektedir. Bu derslerden 5 tanesini seçmeye mecbur bir öğrenci seçimini kaç farklı şekilde yapabilir? soruluk bir sınavda ilk 3 tanesini cevaplamaya mecbur olan bir öğrenci cevaplamak üzere bu 10 sorudan 8 ini kaç farklı şekilde seçebilir? n elemanlı bir kümenin r elemanlı altküme sayısı. Bir kümenin elemanlarıyla oluşturulabilecek her kümeye o kümenin bir altkümesi denmez miydi? Yani altküme oluşturmak için ille de elemanları bir kümenin elemanlarından seçmeliyiz. Seçme deyince de aklımıza kombinasyon gelmesin de ne gelsin? n elemanlı bir kümenin elemanlarından r tanesini seçerek, r elemanlı bir altküme oluşturmanın, n tane toptan r tanesini seçmekten zerre farkı yoktur. Bundan dolayı aradığımız sayı C(n, r) dir. Örnek. A = {a, b, c, d, e} kümesinin kaç tane 3 elemanlı altkümesi vardır? Çözüm: A kümesi 5 elemanlıdır. Bu 5 elemandan herhangi 3 tanesi her zaman 3 elemanlı bir altküme verir. O halde kaç farklı şekilde 3 eleman seçebileceğimizi bulmalıyız: C(5, 3) = C(5, 2) = 10. Örnek. 5 elemanlı bir kümenin en çok 2 elemanlı altkümelerinin adedi kaçtır? Çözüm: En çok 2 elemanlı altküme sayısı sorulduğundan 2 den az elemanlı olan altkümeleri de saymalıyız. O halde; C(5, 0) + C(5, 1) + C(5, 2) = = 16 Örnek. n elemanlı bir kümenin en çok n ele-manlı altküme sayısı kaçtır? Çözüm: n elemanlı bir kümenin n + 1 elemanlı altkümesi olamayacağına göre, en çok n elemanlı 8

9 altkümeleri demek tüm altkümeleri demektir. Yani cevap 2 n olmalı. Çözdük, çözdük de bu çözüm aklımıza bir şey getirdi: En çok n elemanlı altkümesi aynı zamanda C(n, 0) + C(n, 1) + C(n, 2) + + C(n, n) olduğundan bu toplamın aslında 2 n olduğunu kanıtlamış olduk. Unutma! C(n,0) + C(n,1) + C(n,2) + + C(n, n)= 2 n Örnek. A = {a, b, c, d, e} kümesinin a yı eleman olarak içermeyen kaç tane 3 elemanlı altkümesi vardır? Çözüm: Madem a eleman olarak bulunmayacak, o zaman a yı çöpe atalım. Geriye kalan b, c, d, e elemanlarından yapacağımız her 3 elemanlı altküme kesinlikle a yı barındırmayacaktır. O halde yanıt C(4, 3) = 4 tür. Örnek. A = {a, b, c, d, e} kümesinin a yı eleman olarak içeren kaç tane 3 elemanlı altkümesi vardır? Çözüm: Madem a eleman olarak garanti bulunacak, a yı kenara ayıralım. a nın yanına 2 eleman daha getireceğiz. Peki, bunu nerden getireceğiz? Diğer 4 elemandan seçerek. 4 elemandan ikisi C(4, 2) = 6 değişik şekilde seçilebileceğinden sorunun cevabı 6 dır. Aslında bu soruyu bir önceki sorunun çözümünü kullanarak da çözebilirdik. Herhangi bir şart içermeyen 3 elemanlı altkümeleri sayısı C(5, 3) = 10 olduğundan, bunlardan içinde a yı eleman olarak bulundurmayanları çıkartırsak cevap doğal olarak 10 4 = 6 olur. Örnek. A = {a, b, c, d, e, f} kümesinin a yı eleman olarak içeren ama b ve c nin ikisini de içermeyen kaç tane 3 elemanlı altkümesi vardır? Çözüm: a yı kenara ayır, b ve c yi de çöpe at. a nın yanına 2 eleman daha lazım. Bu 2 elemana kimler aday? d, e ve f. Yani 3 elemandan 2 si seçilecek, o halde yanıt C(3, 2) = 3 olmalıdır. Örnek. A = {a, b, c, d, e} kümesinin; i. a yı eleman olarak içermeyen kaç tane 4 elemanlı ii. a ve b nin ikisini birden eleman olarak içermeyen kaç tane 2 elemanlı iii. hem a hem de b bulunan kaç farklı 3 elemanlı iv. a bulunan ama b bulunmayan kaç farklı 4 elemanlı v. a veya b bulunan kaç farklı 4 elemanlı vi. a ya da b bulunan kaç farklı 4 elemanlı altkümesi vardır? Çözüm: i. Madem a bulunmayacak, a yı atalım. Geriye kalan 4 elemandan 4 elemanlı bir küme yapacakmışız. Bu da C(4, 4) kadar değişik şekilde mümkün, yani sadece 1 tanecik. ii. a ile b yi atalım. Geriye kalan 3 elemandan 2 tanesini seçeceğiz. C(3, 2) = 3. iii. a ve b yi ayıralım. Geriye kalan 3 tane elemandan a ve b nin yanına koymak üzere 1 tane seçmeliyiz. C(3, 1) = 3. iv. a yı yanımıza alalım, b yi çöpe atalım. Kalan 3 elemandan 3 tanesini de a nın yanına getirmeliyiz ki 4 eleman olsun. O halde cevap C(3, 3) = 1. v. a olup b olmasa da olur, b olup a olmasa da olur, her ikisi olsa da olur. Bunların her birini sırasıyla toplayalım: C(3, 3) + C(3, 3) + C(3, 2) = = 5. vi. a ya da b deyince her ikisini birden almıyorduk. O halde C(3, 3) + C(3, 3) = = Test 1 A = {{x, y}, {y}, {x},(x, y), z} kümesi için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) s(a) = 5 B) {y} A C) {(x, y)} A D) {(x, y), y} A E) {z} A 2. A ={x, y, {x, y}, (x, y), {(x, y)}} kümesinin kaç tane altkümesi vardır? A) 256 B) 64 C) 32 D) 16 E) 8 3. n elemanlı bir kümenin eleman sayısı 1 artırılırsa alt küme sayısı kaç artar? A) 1 B) 2 C) 4 D) n E) 2 n 4. 5 elemanlı bir kümenin 3 elemanlı kaç alt kümesi vardır? A) 14 B) 10 C) 9 D) 8 E) 4 9

10 5. 6 elemanlı bir kümenin en çok 2 elemanlı kaç altkümesi vardır? A) 16 B) 19 C) 20 D) 21 E) elemanlı bir kümenin en az 1 elemanlı kaç alt kümesi vardır? A) 127 B) 63 C) 31 D) 15 E) ve 3 elemanlı alt küme sayıları eşit olan kümenin 2 elemanlı kaç alt kümesi vardır? A) 24 B) 21 C) 18 D) 16 E) A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 2 eleman olarak bulunur? A) 4 B) 8 C) 16 D) 32 E) A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} kümesinin 2 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 7 eleman olarak bulunur? A) 6 B) 7 C) 8 D) 16 E) A = {1, 2, 3, 4, 5} kümesinin 2 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 3 eleman olarak yoktur? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) A = {1, 2, 3, 4, 5} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde en az bir çift sayı bulunur? A) 12 B) 18 C) 20 D) 22 E) A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 2 ve 5 eleman olarak bulunur? A) 12 B) 15 C) 18 D) 21 E) A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 2 ve 3 eleman olarak bulunur? A) 16 B) 18 C) 20 D) 24 E) A = {a, b, c, d, e, f} kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde b varken c yoktur? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) A = {a, b, c, d, e} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde a veya b vardır? A) 8 B) 12 C) 24 D) 26 E) A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 6 ya da 5 eleman olarak bulunur? A) 24 B) 32 C) 46 D) 64 E) A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 2 veya 3 eleman olarak bulunur? A) 32 B) 44 C) 48 D) 50 E) tane özalt kümesi olan kümenin 3 elemanlı alt kümesi kaç tanedir? A) 84 B) 82 C) 74 D) 72 E) 56 10

11 19. A = {a, b, c, d, e, f, g}, B = {a, b, c} kümeleri veriliyor. B X A koşulunu sağlayan kaç tane X kümesi yazılabilir? Peki bir kümeyi kendisi ile birleştirsek n olur? Yine aynı şey olur. Yeni bir eleman gelemez, dolayısıyla X X = X olur. A) 12 B) 16 C) 18 D) 24 E) Aşağıdakilerden hangisi bir kümenin alt küme sayısıyla özalt küme sayısının toplamı olamaz? A) 127 B) 63 C) 31 D) 7 E) 2 CEVAP ANAHTARI-1 1 D 2 C 3 E 4 B 5 E 6 A 7 B 8 D 9 A 10 D 11 E 12 B 13 A 14 D 15 C 16 D 17 E 18 A 19 B 20 E Şimdi kümelerle yapılan üç önemli işlemden sözedeceğiz: Birleşim, kesişim ve fark. Birleşim. İki veya daha çok kümede olan tüm elemanları içeren ve bunlardan başka eleman içermeyen kümeye bu kümelerin birleşim kümesi denir. Az kullanılsa da bileşim kümesi de denir. Örneğin, X = {1, 2, 3, 4} ve Y = {3, 4, 5} kümelerinin birleşim kümesi {1, 2, 3, 4, 5} kümesidir. Yani, iki kümenin en azından birinde olan olan elemanların kümesidir. X Y olarak gösterilir. Birleşim işleminin değişme özelliği vardır, yani her X ve Y kümesi için X Y = Y X eşitliği doğrudur. Peki bir kümeyi bir başka kümeyle değil de boşkümeyle birleştirsek n olur? Boşkümenin elemanı olmadığından yeni bir eleman eklenmez ki bu da X = X demektir. Bir kümenin bir altkümesiyle birleşimi yine kendisidir. Çünkü altkümesinde olan elemanlar zaten kendisinde de vardır. Ortak elemanı olmayan kümelere ise ayrık kümeler denir. Ayrık iki kümenin birleşimi yine bu iki kümedir. Birleşim işleminin birleşme özelliği de vardır, yani X (Y Z) = (X Y) Z olur. İnanmıyorsan dene! Üç yerine dört, hatta daha fazla kümenin de birleşimi alınabilir. Örneğin; [0, 1] [1, 2] [2, 3] [3, 4] = [0, 4]. Eğer a ve b gerçel sayılarsa, [a, b] kümesi a dan büyükeşit ve b den küçükeşit gerçel sayılar kümesidir, yani a x b eşitliklerinin sağlayan gerçel sayıları içeren kümedir. Eğer b < a ise [a, b] =. Ayrıca [a, a] = {a} dır. Bu tür kümelere kapalı aralık adı verilir. Diğer aralıklar da şöyle tanımlanır: (a, b] = {x : a < x b} [a, b) = {x : a x < b} (a, b) = {x : a < x < b} Bu sonuncu aralığa açık aralık denir. Sonsuz simgesinin yer aldığı aralıklar da aşağıdaki gibi tanımlanırlar: b} (, b] = {x : x b} (a, ) = {x : a < x} [a, ) = {x : a x} (, ) = (, b) = {x : x Kesişim. İki veya daha çok kümede ortak olan tüm elemanları içeren ve bunlardan başka eleman içermeyen kümeye bu kümelerin kesişim kümesi adı verilir. Örneğin, 11

12 X = {1, 2, 3, 4} ve Y = {3, 4, 5} kümelerinin kesişim kümesi {3, 4} kümesidir. Bu küme X Y olarak gösterilir. Kesişim işlemi de nerdeyse birleşim işleminin tüm özelliklerini sağlar. Örneğin, kesişim işleminin de değişme özelliği vardır, yani her X ve Y kümesi için X Y = Y X eşitliği geçerlidir. Kesişim işleminin de birleşme özelliği vardır, yani X (Y Z) = (X Y) Z olur. Bir kümenin kendisiyle kesişimi yine kendisidir, yani X X = X. Zira ortak olan elemanların hepsi alınıyordu ya, X ile X kümelerinin tüm elemanları ortak değil mi? Peki herhangi bir küme ile boşkümenin kesişimi nedir? Ortak bir elemanı var mı X kümesi ile boşkümenin? Siz söyleyin. Yok mu? Siz öyle zannedin. Var, boşküme! X kümesi ile boşkümenin ortak elemanları kümesinin 1 elemanı bile olmadığından bu küme de boşkümedir. Hala kafanı karıştırmayı beceremediysem hiç beceremem. Bir küme ile onun bir altkümesinin kesişimi altküme olan kümedir (üst sol şekil). Çünkü kesişim kümesinde sadece ortak elemanlar alınır. E, altkümedeki tüm elemanlar zaten asıl kümede var. Üst sağ şekilde görüldüğü üzere ayrık iki kümenin kesişimi de tabii ki boşkümedir. Fark. X ve Y iki kümeyse, X de olup da Y de olmayan elemanlardan oluşan kümeye X fark Y kümesi denir ve X \ Y veya X Y yazarak gösterilir. Fark işleminin de kendine has birkaç özelliği var elbet. Mesela herhangi bir kümenin boşküme-den farkı nedir, yani X nedir? Tanım gereği X de olan boşkümede olmayan elemanların kümesinin sorulduğunu anlıyoruz. Zaten boşkümede eleman olmadığından X de olan tüm elemanları cevap olarak alacağız, yani X = X eşitliği geçerlidir. Peki bir kümenin kendisinden farkı nedir? Yine tanımı düşünelim. Öyle bir eleman arıyoruz ki X de olacak ama X de olmayacak! Böyle bir eleman varsa benim de saçım var! Anlayacağınız X X =. Bir kümenin bir altkümesinden farkı yukarda-ki şeklin solunda gösterilmiştir. Bir altkümenin üstkümesinden farkı ise boşkümedir. Ayrık iki kümenin birinin diğerinden farkı ise kendisidir. Bunun nedenini ise siz düşününüz. Fark kümesiyle ilgili diğer bazı özellikler: X Y = ise X Y, (X Y) Y =, (X Y) Z = X (Y Z), X (Y Z) = (X Y) (X Z). Simetrik fark. (X Y) (Y X) kümesine X simetrik fark Y kümesi denir. X Y olarak gösterilir. Birkaç özelliğini verelim: X Y = Y X (X Y) Z = X (Y Z), X = X = X, X X =. Tümleyen ve Evrensel küme. Eğer E diye bir küme önceden verilmişse, kimileyin, E nin bir altkümesi için E X yerine X in tümleyeni denir ve X veya X olarak gösterilir. O zaman E nin her X ve Y altkümeleri için şu özellikler geçerlidir: (X ) = X, 12

13 (X Y) = X Y, (X Y) = X Y. Son iki eşitlik De Morgan Teoremi olarak bilinir. Bunun yanında belki de en önemlisi X X = E eşitliğidir. Yani E öyle bir kümedir ki X de olan ve olmayan her türlü elemanı içerir. İşte böyle, üzerinde işlem yapılan tüm kümeleri kapsayan kümeye evrensel küme denir. Ama evrensel küme durumdan duruma değişir. Yani rakamlardan bahsediyorsak evrensel küme 10 elemanlıdır. Haftanın günlerinden bahsediyorsak evrensel küme 7 elemanlı olur. Test 2 1. Bir kümenin 3 ten az elemanlı alt küme sayısı 16 dır. Bu kümenin alt küme sayısı kaçtır? A) 16 B) 32 C) 64 D) 128 E) E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} evrensel kümesi için aşağıdakilerden hangisi boş kümedir? A) Çift sayılar kümesi B) 5 le bölünebilir kümesi C) Tek sayılar kümesi D) 9 la bölünebilir kümesi E) Asal sayılar kümesi 3. A = {1, 2, 5, {2, 5}}, B = {1, 2, {2}, 3, 5} kümeleri veriliyor. A B nin alt küme sayısı kaçtır? A) 4 B) 8 C) 16 D) 32 E) Aşağıdakilerden hangisi evrensel kümeye eşit değildir? A) A B) A A C) (A ) A D) (A A ) E) (B B ) 5. A = {x : 3 x 2, x } B = {x : x > 5 veya x < 3, x + } kümeleri veriliyor. A B kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {1, 2} B) {0, 1, 2} C) {0, 2} D) A E) B 6. s(b ) = 12, s(b) = 8, s(a ) = 14 ise s(a B) en az kaçtır? A) 4 B) 6 C) 7 D) 8 E) A B olup s(a) = 12, s(b) = 8 ise s(a B) en çok kaçtır? A) 16 B) 17 C) 18 D) 19 E) B A olup s(a) = 10, s(b) = 7 ise s(a B) en az kaçtır? A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1 9. ise s(e) kaçtır? s(a) + s(b ) = 10, s(a ) + s(b) = 16 A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) A B = [0, 2), A B = ( 3, 4], A = [0, 4] ise B kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) ( 3, 2] B) ( 3, 3) C) ( 3, 2) D) ( 3, 0] E) [ 3, 2] 13

14 11. B A ise aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) A B = A B) A B = C) A B = B D) A B = B E) A B 12. E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} A ={1, 3, 5, 7, 9} C ={2, 3, 5, 8} kümeleri veriliyor. (A B ) B kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) B) {3, 5} C) {2, 5, 8} D) {1, 8} E) {1, 8, 9} 13. A B olmak üzere s(a) = 5, s(b) = 10 ise s(a B) nin alabileceği kaç tane değer vardır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) s(e) = 16, s(a B) = 6, s(b A) = 3, s(b A ) = 12 ise s(a B) kaçtır? A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) A B = {4}, A B = {1, 3}, A B ={1, 2, 3, 4, 5} ise s(b A) kaçtır? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) A B, s(a) = 5, s(b) = 6 olmak üzere s(a B) nin en büyük ve en küçük değerlerinin toplamı kaçtır? A) 17 B) 16 C) 15 D) 14 E) A ve B kümelerinin alt küme sayıları toplamı 20 ise s(a B) en çok kaçtır? A) 13 B) 4 C) 5 D) 6 E) (A B) C = olmak üzere s(a B) = 2, s(b A) = 3, s(c) = 5, s(a B) = 2 ise s(a B C) kaçtır? A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) A = {2, 3, 4, 6} B = {2, 4, 5, 7} C = {1, 2, 3, 7, 8} kümeleri veriliyor. Buna göre (A B ) (C B) kümesi kaç elemanlıdır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) s(a) = 8, s(b) = 10, s(b ) = 19, A B = ise s(a B) kaçtır? A) 12 B) 11 C) 10 D) 9 E) 8 CEVAP ANAHTARI-2 1 B 2 D 3 E 4 E 5 A 6 D 7 D 8 B 9 B 10 C 11 B 12 A 13 E 14 C 15 C 16 B 17 D 18 E 19 A 20 B Test 3 1. Venn şemasıyla verilen A ve B kümelerinde taranmış bölge aşağıdakilerden hangisiyle belirtilebilir? A) A B B) A B C) B D) A B E) B A B A 14

15 2. Şekilde A, B, C kümeleri verilmiştir. Aşağıdakilerden hangisi taranmış bölgeyi ifade eder? A C B 7. Yandaki Venn şemasında verilenlere göre {(A B) (B C )} C kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A B C A) (A B) C B) (A B) C C) C (A B) D) C (B A) E) (A B) C A) B) {1, 2} C) {3, 5} D) {7} E) {1, 2, 5, 7} 3. Aşağıdakilerden hangisi taralı bölgeyi belirtmez? A) C (A B) B) (A B) C C) A (B C) D) (A B) C E) B (C A) A C B 8. Yandaki Venn şemasında verilenlere göre B (A C ) kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {2, 4, 5, 7} B) {1, 2, 3} C) {3, 6, 8} D) {1, 8} E) {1, 6, 8} A C B 8 4. A, B ve C kümeleri için taralı bölge aşağıdakilerden hangisidir? A) (A B) C B) (A C) B C) B C D) (B A) C E) C (A B) 5. A, B ve C kümeleri için taralı bölge aşağıdakilerden hangisiyle belirtilebilir? A) A (B C ) B) (A B) C C) (A B) C D) (A B ) C E) (A B) C 6. A, B ve C kümeleri yandaki gibi veriliyor. Buna göre taralı alanı ifade etmek istersek aşağıdakilerden hangisi uygundur? A) (A B) C B) (B C ) C C) (A C) B D) (B C) A E) (A C) B A B A C A C B B C 9. Şekildeki taranmış bölge aşağıdakilerden hangisiyle ifade olunabilir? A) (A B) C B) C (A B) C) (A B) C D) [C (A B)] [(A B) C] E) [C (A B)] [(A B) C] 10. Aşağıdakilerden hangisi şekilde taranmış bölgenin adıdır? A) [B (A C)] (A B C) B) B (A C) C) B (A C) D) [B (A C)] B E) (A C) 11. A B = E olmak üzere A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 2, 4, 6, 7, 8} ise A B kümesinin özalt küme sayısı kaçtır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 A A B C B C 15

16 12. (A B) (A B) ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) A B) B C) A B D) A B E) A B 13. A (B A) ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) A B) B C) A B D) E) E 14. [B (B A)] (A B ) işleminin sonucu aşağıdaki kümelerin hangisine eşittir? A) A B) A B C) A B D) B E) A 15. [B (A B)] A ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) A B) C) A B D) A B E) B 16. (B A) (B A) ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) A B B) B C) B D) A E) A 17. (A B ) (A B ) kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) A B B) C) E D) A E) B 18. [(A B) (A A )] A kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) A B B) E C) B A D) A B E) 19. (A B ) [(A B ) (A B) ] işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) B) E C) B D) A E) A B 20. [A (A B)] B kümesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) A B B) A B C) A B D) A B E) A B 1. CEVAP ANAHTARI-3 1 D 2 C 3 B 4 A 5 D 6 C 7 A 8 E 9 E 10 A 11 D 12 A 13 D 14 C 15 C 16 D 17 D 18 A 19 B 20 E Test 4 s(a B) = 3, s(b A) = 2, s(a B) = 10 ise A B kümesinin kaç tane alt kümesi vardır? A) 2 B) 4 C) 16 D) 32 E) s(a B) = 3, s(b A) = 3 olup A B nin 127 tane özalt kümesi varsa s(b) kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) elemanlı bir evrensel kümede A E ve B E olmak koşuluyla, s(b ) = 14, s(a) = 20, s(a B) = 30 ise s(a B) kaçtır? A) 2 B) 3 C) 4 D) 6 E) B A ve ise s(b) kaçtır? s(a B) = 18, s(b ) s(a) = 14 A) 16 B) 12 C) 8 D) 4 E) 2 16

17 5. s(a B) = 4, s(a B) = 12 ve A B ise s(b A) en çok kaç olabilir? A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) s(a B) = 20, s(a B) = 2 s(b A) ve A B nin alt küme sayısı 32 ise s(a B) kaçtır? A) 10 B) 8 C) 6 D) 4 E) s(a B) = 12 s(a B) = 4 s(b), iken s(a B) = 21 ise s(a) kaçtır? A) 12 B) 15 C) 16 D) 17 E) s(a B) = 6 s(b), s(b A) = 2 s(a B), s(a) = 57 ise s(b) kaçtır? A) 27 B) 18 C) 10 D) 9 E) 8 9. s(a B) = 15, s(a B ) = 12 ise B nin alt küme sayısı A nın alt küme sayısının kaç katıdır? A) 3 B) 5 C) 6 D) 7 E) A B C veriliyor. s(a) = 8, s(b) = 11 ise s(a B) s(c) en çok kaç olabilir? A) 19 B) 18 C) 17 D) 16 E) C B A ve s(b) s(c) veriliyor. s(c) = 3, s(a) = 10 ise A B nin alt küme sayısı aşağıdakilerden hangisi olamaz? A) 4 B) 8 C) 32 D) 64 E) s(a) = 2 s(b A ), s(b) = 4 s(a B) ise A B kümesinin eleman sayısı aşağıdakilerden hangisi olamaz? A) 9 B) 12 C) 18 D) 27 E) A ve B iki kümedir. s(a) + s(b) = 14, s(a B) = 5 ise s(a B) kaçtır? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) A, B ve B A veriliyor. s(a) = 3x 4, s(b) = 2x 5, s(a B) = x + 2 ise s(a B) en az kaçtır? A) 1 B) 3 C) 12 D) 18 E) B A, A B ve A B kümelerinin alt kümeleri sayısı sırasıyla 16, 4 ve 512 ise s(a) kaçtır? A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) A, A B ve A B kümelerinin özalt küme sayıları sırasıyla 7, 127 ve 0 dır. Buna göre B kümesinin kaç alt kümesi vardır? A) 4 B) 8 C) 16 D) 32 E) A ve B kümelerinin alt küme sayılarının toplamı 24 tür. B nin 2 elemanı A nın, A nın 3 elemanı ise B nin elemanı değildir. Buna göre s(a B) kaçtır? A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3 17

18 18. A = {x : x 2 < 4, x + } ise s(a ) kaçtır? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) A = {x : 4 x < 10, x } B = {x : x 1 4, x } ise A B kümesi kaç elemanlıdır? A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) A = {x : x 2 4 0, x } B = {x : x 2 + 3x 10 > 0, x } olduğuna göre (A B) kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {x : x 2 + 7x , x 5, x } B) {x : x 2 + 7x , x 2, x } C) {x : x 2 + 7x , x 4, x } D) {x : x 2 + 7x , x 3, x } E) {x : x 2 + 8x , x 4, x } 1. CEVAP ANAHTARI-4 1 D 2 D 3 C 4 E 5 A 6 A 7 B 8 D 9 E 10 C 11 E 12 B 13 D 14 E 15 B 16 C 17 B 18 E 19 A 20 B Test 5 A = {x : x 480, x + } kümesinin kaç elemanı 3 ve 5 ile tam bölünebilir? A) 28 B) 30 C) 32 D) 36 E) A = {x : x < 480, x + } kümesinin kaç elemanı 4 ve 6 ile tam bölünebilir? 3. A = {x : x < 195, x + } kümesinin kaç elemanı 3 veya 5 ile tam bölünebilir? A) 81 B) 84 C) 86 D) 89 E) A = {x : x < 235, x + } kümesinin kaç elemanı 4 le bölünür ama 3 le bölünmez? A) 40 B) 39 C) 38 D) 37 E) A = {x : x 196, x + } kümesinin kaç elemanı 3 ve 4 le bölünürken, 7 yle bölünmez? A) 16 B) 15 C) 14 D) 13 E) A = {x : x < 131, x + } kümesinin kaç elemanı 3 veya 5 ile bölünüp, 10 ile bölünmez? A) 48 B) 56 C) 61 D) 70 E) A = {x : 13 x < 146, x } kümesinin kaç elemanı 3 veya 7 ile bölünüp, 6 ile bölünmez? A) 65 B) 63 C) 50 D) 35 E) A = {x : x = 4k, 30 x < 204, k } B = {x : x = 3k, 46 x < 210, k } kümeleri veriliyor. Buna göre s(a B) kaçtır? A) 10 B) 12 C) 13 D) 14 E) 15 A) 35 B) 36 C) 37 D) 39 E) 40 18

19 9. A = {x : x = 4k, 12 x 230, k } B = {x : x = 6k, 19 x 240, k } kümeleri veriliyor. Buna göre s(a B) kaçtır? A) 75 B) 74 C) 72 D) 70 E) A = {x : x = 5k, 12 x 140, k } B = {x : x = 4k, 30 x < 160, k } kümeleri veriliyor. Buna göre s(a B) kaçtır? A) 24 B) 20 C) 18 D) 16 E) A = {x : x = 4k, x > 125, k } B = {x : x = 6k, x 467, k } kümeleri veriliyor. Buna göre s(a B) kaçtır? A) 26 B) 28 C) 29 D) 30 E) kişilik bir grupta futbol veya basketbol oynanmaktadır. Her iki oyunu birden oynayan kişi sayısı 10 dur. Bu grupta 23 kişi futbol oynadığına göre basketbol oynayan kaç kişidir? A) 11 B) 21 C) 22 D) 23 E) İngilizce veya Almanca dillerinin konuşulduğu 40 kişilik bir toplulukta, 16 kişi her iki dili birden konuşmaktadır. Sadece İngilizce konuşanların sayısı, sadece Almanca konuşanların sayısı kadardır. Kaç kişi İngilizce konuşmaktadır? A) 24 B) 26 C) 27 D) 28 E) kişilik bir toplulukta futbol ve basketbol oynayanların sayısı 9 kişidir. Sadece futbol oynayanlar, sadece basketbol oynayanlar ve hiçbirini oynamayanların sayısı eşittir. Bu grupta futbol veya basketbol oynayanların sayısı kaçtır? A) 24 B) 30 C) 32 D) 33 E) kişilik bir toplulukta futbol ve basketbol oyunlarını oynayanlarının iki katının bir fazlası kadar futbol veya basketbol oynamayan vardır. Grupta 6 kişi futbol oynamaktadır. Sadece futbol oynayanların sayısı, sadece basketbol oynayanların sayısından iki fazladır. Sadece basketbol oynayan kaç kişi vardır? A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) Almanca veya İngilizce dillerinden en az birinin konuşulduğu bir toplulukta Almanca bilenlerin sayısı, her iki dili birden bilenlerin sayısının 2 katıdır. 10 kişinin İngilizce bildiği 15 kişilik bir toplulukta Almanca bilen kaç kişidir? A) 12 B) 10 C) 9 D) 8 E) Bir toplulukta futbol veya basketbol oynayanların veya bu oyunları oynamayanlar vardır. En az bir oyun bilenler 14 kişi, en çok bir oyun bilenler ise 10 kişidir. Her iki oyunu birden oynayanların sayısı oyun bilmeyenlerin 3 katı kadardır. Buna göre bu toplulukta kaç kişi vardır? A) 20 B) 19 C) 18 D) 17 E) Almanca veya İngilizce dillerinden sadece 1 dil bilenlerin sayısı 14 tür. Bu toplulukta en çok 1 dil bilenlerin sayısı 16 dır. Dil bilmeyen kaç kişi vardır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 19

20 19. Bir sınıfta basketbol oynamayanların sayısı 15, voleybol oynamayanların sayısı 18 dir. En çok birini oynayanların sayısı ise 23 tür. Basketbol ya da voleybol oynayan kaç kişi vardır? A) 10 B) 12 C) 13 D) 14 E) Bir sınıftaki öğrencilerin %70 i futbol, %40 ı basketbol oynamaktadır. Her ki oyunun birden oynayanların sayısı ise 5 tir. Yalnız basketbol oynayan kaç kişi vardır? A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) 15 CEVAP ANAHTARI-5 1 C 2 D 3 E 4 B 5 C 6 A 7 D 8 C 9 A 10 B 11 B 12 B 13 D 14 D 15 D 16 B 17 E 18 B 19 C 20 E Test 6 1. İngilizce ve Almanca dillerinden en az birinin konuşulduğu bir toplulukta İngilizce bilenler sınıfın %68 i, Almanca bilenler ise sınıfın %64 üdür. Bu sınıfta sadece Almanca bilen en az kaç kişi vardır? A) 10 B) 9 C) 8 D) 7 E) kişilik bir sınıfta 12 kişi İngilizce bilmektedir. İngilizce bilenlerin hepsi Almanca bilenlerin bir kısmından oluşmaktadır. Bu sınıfta Almanca bilmeyenlerin sayısı, Almanca bilenlerin sayısının beşte biri ise Almanca bilmeyen kaç kişi vardır? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 3. Futbol, voleybol veya basketbol oyunlarından en az birinin oynandığı bir grupta, 11 kişi futbol, 13 kişi basketbol ve 15 kişi voleybol oynamaktadır. 3 kişi futbol ve basketbol, 4 kişi futbol ve voleybol, 5 kişi voleybol ve basketbol oynamaktadır. 1 kişi bu oyunların üçünü birden oynamaktadır. Bu grupta toplam kaç kişi vardır? A) 24 B) 25 C) 26 D) 27 E) Dil bilmeyen 9 kişinin olduğu 44 kişilik bir toplulukta 17 kişi İngilizce, 17 kişi Almanca ve 17 kişi Fransızca bilmektedir. İngilizce ve Almanca bilen 5, İngilizce ve Fransızca bilen 6, Almanca ve Fransızca bilen 7 kişidir. Bu toplulukta her üç dili birden bilen kaç kişi vardır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 5. En fazla iki dilin konuşulduğu bir toplulukta Almanca konuşan herkes İngilizce, Fransızca konuşan herkes ise Rusça konuşabilmektedir. En çok 1 dil konuşanlar 8 kişidir. Bu grupta iki dil konuşanların sayısı 17 ise toplam kaç kişi vardır? A) 9 B) 18 C) 21 D) 25 E) Türkçe, Matematik ve Coğrafya derslerinden herhangi ikisinin seçildiği bir toplulukta Türkçe dersini 24, Matematik dersini 21, Coğrafya dersini ise 19 kişi seçmiştir. Türkçe dersini seçmeyen kaç kişi vardır? A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) kişilik bir grupta İngilizce, Almanca, Fransızca dillerinden en az biri konuşulmaktadır. Yalnız 1 dil bilen 40, her üç dili birden bilen 7 kişidir. Sadece 2 dil bilen kaç kişidir? A) 12 B) 8 C) 5 D) 4 E) 3 20

KÜMELER. A = {x : (x in özelliği)} Burada x : ifadesi öyle x lerden oluşur ki diye okunur. Küme oluşturur. Çünkü Kilis in üç tane ilçesi.

KÜMELER. A = {x : (x in özelliği)} Burada x : ifadesi öyle x lerden oluşur ki diye okunur. Küme oluşturur. Çünkü Kilis in üç tane ilçesi. KÜMELER Canlı yada cansız varlıkların oluşturduğu iyi A = {a, b, {a, b, c}} ise, s(a) = 3 tür. tanımlanmış nesneler topluluğuna küme denir. 2. Ortak Özellik Yöntemi Kümenin elemanlarını, daha somut ya

Detaylı

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT Kümelerde Temel Kavramlar 1. Kazanım : Küme kavramını açıklar; liste, Venn şeması ve ortak özellik yöntemleri ile gösterir. 2. Kazanım : Evrensel küme,

Detaylı

Develerle Eşekler Ali Nesin

Develerle Eşekler Ali Nesin Develerle Eşekler Ali Nesin MATEMATİĞE GİRİŞ Matematik 101 dersindesiniz, ilk dersiniz, birinci gününüz... Hiç matematik bilmediğinizi varsayıyor hocanız... Kümelerden başlayacaksınız matematiğe... İlk

Detaylı

Cebir Notları. Kümeler TEST I. Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr. www.matematikclub.com, 2006

Cebir Notları. Kümeler TEST I. Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr. www.matematikclub.com, 2006 , 2006 MC Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr Kümeler TEST I 1. s(a) = 13 s(a \ B) = 7 s(a B) = 23 ise, s(b) nedir? A) 6 B) 7 C) 10 D) 13 E) 16 7. Üç basamaklı 5 ve 7 ile tam bölünebilen,

Detaylı

Kümenin özellikleri. KÜMELER Burada x : ifadesi öyle x lerden oluşur ki diye okunur. Örnek: Kilis in ilçeleri

Kümenin özellikleri. KÜMELER Burada x : ifadesi öyle x lerden oluşur ki diye okunur. Örnek: Kilis in ilçeleri Canlı yada cansız varlıkların oluşturduğu iyi tanımlanmış nesneler topluluğuna küme denir. KÜMELER urada x : ifadesi öyle x lerden oluşur ki diye okunur. iyi tanımlanmış: herkes tarafından kabul edilen

Detaylı

Elemanların yerlerinin değiştirilmesi kümeyi değiştirmez. A kümesinin eleman sayısı s(a) ya da n(a) ile gösterilir.

Elemanların yerlerinin değiştirilmesi kümeyi değiştirmez. A kümesinin eleman sayısı s(a) ya da n(a) ile gösterilir. KÜMELER Küme : Nesnelerin iyi tanımlanmış listesine küme denir ve genellikle A, B, C gibi büyük harflerle gösterilir. Kümeyi oluşturan öğelere, kümenin elemanı denir. a elemanı A kümesine ait ise,a A biçiminde

Detaylı

Starboard dosya aç dosyayı seçerek Andropi teach menu içe aktar dosyayı seçiyoruz nesne olarak seç

Starboard dosya aç dosyayı seçerek Andropi teach menu içe aktar dosyayı seçiyoruz nesne olarak seç Not: Starboard programında dosya aç kısmından dosyayı seçerek açabilirsiniz. Yazı karakterlerinde bozulma oluyorsa program kapatılıp tekrar açıldığında yazı düzelecektir. Ben yaptığımda düzelmişti. Andropi

Detaylı

Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Kombinasyon

Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Kombinasyon Mustafa YAĞCI www.mustafayagci.com.tr, 2011 Cebir Notları Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Kombinasyon K ombinasyon. n tane farklı elemandan oluşan bir kümenin altkümelerine birer kombinasyon denir.

Detaylı

Cebir Notları. Bağıntı. 1. (9 x-3, 2) = (27, 3 y ) olduğuna göre x + y toplamı kaçtır? 2. (x 2 y 2, 2) = (8, x y) olduğuna göre x y çarpımı kaçtır?

Cebir Notları. Bağıntı. 1. (9 x-3, 2) = (27, 3 y ) olduğuna göre x + y toplamı kaçtır? 2. (x 2 y 2, 2) = (8, x y) olduğuna göre x y çarpımı kaçtır? www.mustafayagci.com, 003 Cebir Notları Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com (a, b) şeklinde sıra gözetilerek yazılan ifadeye sıralı ikili Burada a ve b birer sayı olabileceği gibi herhangi iki nesne

Detaylı

1 A IV. a. Kümelerin Gösterimleri-Boş Küme-Denk ve Eşit Kümeler A II. A. a VI. A. b C ) c. 1. A kümesini venn şeması ile gösteriniz.

1 A IV. a. Kümelerin Gösterimleri-Boş Küme-Denk ve Eşit Kümeler A II. A. a VI. A. b C ) c. 1. A kümesini venn şeması ile gösteriniz. Kümelerin Gösterimleri-Boş Küme-Denk ve Eşit Kümeler 1. kümesini venn şeması ile gösteriniz. 6. M kümesine denk olan N kümesini ortak özellik yöntemi ile gösteriniz. 2. B kümesini liste yöntemi ile gösteriniz.

Detaylı

İÇİNDEKİLER TOPLAMA YOLUYLA SAYMA YÖNTEMİ...59-60... 01-01 ÇARPMA YOLUYLA SAYMA YÖNTEMİ...61-64... 02-03 FAKTÖRİYEL...65-66...

İÇİNDEKİLER TOPLAMA YOLUYLA SAYMA YÖNTEMİ...59-60... 01-01 ÇARPMA YOLUYLA SAYMA YÖNTEMİ...61-64... 02-03 FAKTÖRİYEL...65-66... İÇİNDEKİLER Sayfa No Test No 3-PERMÜTASYON, KOMBİNASYON, BİNOM, OLASILIK VE İSTATİSTİK TOPLAMA YOLUYLA SAYMA YÖNTEMİ...59-60... 01-01 ÇARPMA YOLUYLA SAYMA YÖNTEMİ...61-64... 0-03 FAKTÖRİYEL...65-66...

Detaylı

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ AYRIK YAPILAR P r o f. D r. Ö m e r A k ı n v e Y r d. D o ç. D r. M u r a t Ö z b a y o ğ l u n u n Ç e v i r i E d i t ö r l ü ğ ü n ü ü s t l e n d i ğ i «A y r ı k M a t e m a t i k v e U y g u l a

Detaylı

Birkaç Oyun Daha Ali Nesin

Birkaç Oyun Daha Ali Nesin Birkaç Oyun Daha Ali Nesin B irinci Oyun. İki oyuncu şu oyunu oynuyorlar: Her ikisi de, birbirinden habersiz, toplamı 9 olan üç doğal sayı seçiyor. En büyük sayılar, ortanca sayılar ve en küçük sayılar

Detaylı

ÜNİTE 11 ÜNİTE 9 MATEMATİK. Kümeler. 1. Bölüm: Kümelerde Temel Kavramlar 2. Bölüm: Kümelerde İşlemler. 9. Sınıf Matematik

ÜNİTE 11 ÜNİTE 9 MATEMATİK. Kümeler. 1. Bölüm: Kümelerde Temel Kavramlar 2. Bölüm: Kümelerde İşlemler. 9. Sınıf Matematik ÜNİTE 11 ÜNİTE Kümeler 1. Bölüm: Kümelerde Temel Kavramlar 2. Bölüm: Kümelerde İşlemler 9 MATEMATİK 1. ÜNİTEDE HEDEFLENEN KAZANIMLAR 1. BÖLÜM: KÜMELERDE TEMEL KAVRAMLAR Kazanım 9.1.1.1: Küme kavramını

Detaylı

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT Kümelerde Temel Kavramlar 1. Kazanım : Küme kavramını açıklar; liste, Venn şeması ve ortak özellik yöntemleri ile gösterir. 2. Kazanım : Evrensel küme,

Detaylı

TEST - 1 ÖDEV TESTİ elemanlı alt kümelerinin sayısı 3 elemanlı alt kümelerinin. 1. A = {1, {2}, {1, 2}, 3, Ø} kümesi için aşağıdakilerden

TEST - 1 ÖDEV TESTİ elemanlı alt kümelerinin sayısı 3 elemanlı alt kümelerinin. 1. A = {1, {2}, {1, 2}, 3, Ø} kümesi için aşağıdakilerden 10 Kümeler ÖDEV TESTİ TEST - 1 6. 5 elemanlı alt kümelerinin sayısı 3 elemanlı alt kümelerinin sayısına eşit olan bir kümenin en az 6 elemanlı kaç alt kümesi vardır? ) 24 ) 28 C) 37 D) 38 E) 42 1. = {1,

Detaylı

Volkan Karamehmetoğlu

Volkan Karamehmetoğlu 1 Doğal Sayılar Tanımlar Rakam: Sayıları yazmaya yarayan sembollere denir. {1,2,3,4,5,6,7,8,9} Sayı: Rakamların çokluk belirten ifadesine denir. 365 sayısı 3-6-5 rakamlarından oluşmuştur. 2 Uyarı: Her

Detaylı

Cebir Notları. Kümeler. Gökhan DEMĐR, KÜME KAVRAMI

Cebir Notları. Kümeler. Gökhan DEMĐR, KÜME KAVRAMI , 2006 MC Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr Kümeler KÜME KVRMI Kümenin tanım yoktur. undan dolayı kümeyi tanıtmaya çalışalım. Küme kavramında bir topluluk, bir kolleksiyon ifadesi vardır.

Detaylı

Örnek Uzay: Bir deneyin tüm olabilir sonuçlarının kümesine Örnek Uzay denir. Genellikle harfi ile gösterilir.

Örnek Uzay: Bir deneyin tüm olabilir sonuçlarının kümesine Örnek Uzay denir. Genellikle harfi ile gösterilir. BÖLÜM 3. OLASILIK ve OLASILIK DAĞILIMLARI Rasgele Sonuçlu Deney: Sonuçlarının kümesi belli olan, ancak hangi sonucun ortaya çıkacağı önceden söylenemeyen bir işleme Rasgele Sonuçlu Deney veya kısaca Deney

Detaylı

KÜMELER. Kümeler YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 MATEMATĐK ĐM /LYS. UYARI: {φ} ifadesi boş kümeyi göstermez.

KÜMELER. Kümeler YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 MATEMATĐK ĐM /LYS. UYARI: {φ} ifadesi boş kümeyi göstermez. MTEMTĐK ĐM YILLR 00 00 004 005 006 007 008 009 010 011 ÖSS-YGS - 1 - - - - - 1 1 1/1 /LYS KÜMELER TNIM: in tam bir tanımı yoksa da matematikçiler kümeyi; iyi tanımlanmış nesneler topluluğu olarak kabul

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT223 AYRIK MATEMATİK Çizgelerde Eşleme 10. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Bir Dans Problemi Çizgelerde Eşleme Bir Dans Problemi

Detaylı

Toplam Olasılık Kuralı

Toplam Olasılık Kuralı Toplam Olasılık Kuralı Farklı farklı olaylara bağlı olarak başka bir olayın olasılığını hesaplamaya yarar: P (B) = P (A 1 B) + P (A 2 B) +... + P (A n B) = P (B/A 1 )P (A 1 ) + P (B/A 2 )P (A 2 ) +...

Detaylı

KÜMELER Test -1. 5. A a,b,c, 1,2, 5. 1. A a,b,c,d 2. A,1,2,3, 1. 7. s(a) = 10 ve s(b) = 7. 4. B x:0 x 40 ve x 5k, k. 8. s(a) = 9 ve s(b) = 4

KÜMELER Test -1. 5. A a,b,c, 1,2, 5. 1. A a,b,c,d 2. A,1,2,3, 1. 7. s(a) = 10 ve s(b) = 7. 4. B x:0 x 40 ve x 5k, k. 8. s(a) = 9 ve s(b) = 4 KÜMELER Test -1 1. A a,b,c,d kümesi için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) A B) a A C) d A D) {a, c} A E) {a} A 5. A a,b,c, 1,2, 5 kümesi için aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) s(a) = 6 B) b A C)

Detaylı

T.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ ZORN LEMMA

T.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ ZORN LEMMA T.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ ZORN LEMMA 080216072 ESRA BOSTANCI 080216013 NEDİM YAMİ 080216050 ÖYKÜ ÖZÇAKIR ÇANAKKALE-2012 İÇERİK ÖNSÖZ...............................................................

Detaylı

{ x,y x y + 19 = 0, x, y R} = 3 tir. = sonlu kümesinin 32 tane alt kümesinde

{ x,y x y + 19 = 0, x, y R} = 3 tir. = sonlu kümesinin 32 tane alt kümesinde 1. Aşağıdaki kümelerden hangisi sonsuz küme belirtir? A) A = { x 4 < x < 36,x N} B) B = { x 19 < x,x asal sayı} C) C = { x x = 5k,0 < x < 100,k Z} D) D = { x x = 5, x Z} E) E = { x x < 19,x N}. A, B ve

Detaylı

1. ÜNİTE TAM SAYILAR KONULAR 1. SAYILAR

1. ÜNİTE TAM SAYILAR KONULAR 1. SAYILAR 1. ÜNİTE TAM SAYILAR KONULAR 1. SAYILAR 2. Doğal Sayılar 3. Sayma Sayıları 4. Tam Sayılar(Yönlü sayılar) 5. Tam sayılarda Dört İşlem 6. Tek ve çift sayılar 7. Asal Sayılar 8. Bölünebilme Kuralları 9. Asal

Detaylı

SAYILAR TEORİSİ - PROBLEMLER

SAYILAR TEORİSİ - PROBLEMLER SAYILAR TEORİSİ - PROBLEMLER 1. (p + 1) q sayısının hangi p ve q asal sayıları için bir tam kare olduğunu 2. n+2n+n+... +9n toplamının bütün basamakları aynı rakamdan oluşan bir sayıya eşit olmasını sağlayan

Detaylı

TEOG. Kümeler KÜME VE ELEMAN KAVRAMI ÖRNEK KÜMELERİN GÖSTERİMİ ÖRNEK ÖRNEK KÜMENİN ELEMAN SAYISI ÖRNEK 3. ORTAK ÖZELLİK YÖNTEMİ 1.

TEOG. Kümeler KÜME VE ELEMAN KAVRAMI ÖRNEK KÜMELERİN GÖSTERİMİ ÖRNEK ÖRNEK KÜMENİN ELEMAN SAYISI ÖRNEK 3. ORTAK ÖZELLİK YÖNTEMİ 1. TEOG ümeler ÜE VE EEN VRI Elemanları belirlenebilen, belirli bir anlam taşıyan canlı ya da cansız varlıkların veya kavramların oluşturduğu topluluğa küme denir. ümeyi oluşturan varlıkların, kavramların

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT223 AYRIK MATEMATİK Kombinatoryal Yöntemler 2. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Tümevarım Yöntemi Kombinatoryal Yöntemler Tümevarım

Detaylı

PERMÜTASYON, KOMBİNASYON. Örnek: Örnek: Örnek:

PERMÜTASYON, KOMBİNASYON. Örnek: Örnek: Örnek: SAYMANIN TEMEL KURALLARI Toplama Kuralı : Sonlu ve ayrık kümelerin eleman sayılarının toplamı, bu kümelerin birleşimlerinin eleman sayısına eşittir. Mesela, sonlu ve ayrık iki küme A ve B olsun. s(a)=

Detaylı

t sayı tabanı ve üzere, A (abcde) sayısının basamakları: ( 2013) sayısını çözümleyelim. A (abcde) sayısının, ( 30214) sayısını çözümleyelim.

t sayı tabanı ve üzere, A (abcde) sayısının basamakları: ( 2013) sayısını çözümleyelim. A (abcde) sayısının, ( 30214) sayısını çözümleyelim. SAYI SİSTEMLERİ A. Basamak ve Taban Bir doğal sayıyı oluşturan rakamlardan her birine basamak, rakamların bulundukları yerdeki değerine basamak değeri ve bu doğal sayının tanımlandığı sayı sistemine de

Detaylı

Örnek...3 : 8 x (mod5) denkliğini sağlayan en küçük pozitif doğal sayısı ile en büyük negatif tam sa yısının çarpım ı kaçtır?

Örnek...3 : 8 x (mod5) denkliğini sağlayan en küçük pozitif doğal sayısı ile en büyük negatif tam sa yısının çarpım ı kaçtır? MOD KAVRAMI (DENKLİK) a ve b tam sayıları arasındaki fark bir m pozitif tam sayısına tam bölünebiliyorsa bu sayılara m modülüne göre denktir denir ve a b(modm) yazılır. Yani m Z +,m (a b) a b (mod m) dir

Detaylı

Matematiksel İktisat-I Ders-1 Giriş

Matematiksel İktisat-I Ders-1 Giriş Matematiksel İktisat-I Ders-1 Giriş 1 Matematiksel İktisat: Matematiksel iktisat ekonomik analizlerde kullanılan bir yöntemdir. Bu analizde iktisatçılar iktisat ile ilgili bir bilimsel soruya cevap ararlarken

Detaylı

b Üslü Sayılara Giriş b İşlem Önceliği b Ortak Çarpan Parantezine Alma ve Dağılma Özelliği b Doğal Sayı Problemleri b Çarpanlar ve Katlar - Kalansız

b Üslü Sayılara Giriş b İşlem Önceliği b Ortak Çarpan Parantezine Alma ve Dağılma Özelliği b Doğal Sayı Problemleri b Çarpanlar ve Katlar - Kalansız 1 b Üslü Sayılara Giriş b İşlem Önceliği b Ortak Çarpan Parantezine Alma ve Dağılma Özelliği b Doğal Sayı Problemleri b Çarpanlar ve Katlar - Kalansız Bölünebilme Kuralları b Asal Sayılar, Asal Çarpanlar,

Detaylı

ÖRNEK 2: A) K L M B) (K L) \ M C) (M L) \ K D) (K M ) \ (K L M)

ÖRNEK 2: A) K L M B) (K L) \ M C) (M L) \ K D) (K M ) \ (K L M) TET ÜEER ÖRNE 1: ofl kümeden farkl ve kümeleri için 3. s( ) = 4. s( ) = 5. s( ) oldu una göre, kümesinin eleman say - s en az kaçt r? ÖRNE 2: ) 12 ) 27 ) 35 D) 47 E) 60 (ÖSS - 1999) Yukar daki flemada

Detaylı

KÜMELER KÜMELER. Ortak Özellik Yöntemi: Kümenin içindeki elemanlar ortak bir özelliğe yazılır.

KÜMELER KÜMELER. Ortak Özellik Yöntemi: Kümenin içindeki elemanlar ortak bir özelliğe yazılır. Küme: elirli nesneler topluluğuna küme adını veriyoruz. n iyi sanatçı ( - ) n güzel şarkı ( - ) Sınıftaki en güzel kız ( - ) Sınıftaki mavi gözlü erkekler ( + ) Uçan insanlar ( + ) oş Küme: lemanı olmayan

Detaylı

SONUÇ YAYINLARI. 9. Sınıf Kümeler

SONUÇ YAYINLARI. 9. Sınıf Kümeler 9. SINIF SONUÇ YYINLRI 9. Sınıf Kümeler Bu kitabın tamamının ya da bir kısmının, kitabı yayımlayan şirketin önceden izni olmaksızın elektronik, mekanik, fotokopi ya da herhangi bir kayıt sistemiyle çoğaltılması,

Detaylı

YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK

YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK İÇİNDEKİLER Kümeler 5 44 Fonksiyonlar 1 45 88 Fonksiyonlar 2 89 124 Sayma Kuralları 125 140 Faktöriyel

Detaylı

TMÖZ Türkiye Matematik Öğretmenleri Zümresi

TMÖZ Türkiye Matematik Öğretmenleri Zümresi YGS MATEMATİK DENEMESİ-2 Muharrem ŞAHİN TMÖZ Türkiye Matematik Öğretmenleri Zümresi Eyüp Kamil YEŞİLYURT Gökhan KEÇECİ Saygın DİNÇER Mustafa YAĞCI İ:K Ve TMÖZ üyesi 14 100 matematik ve geometri sevdalısı

Detaylı

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ AYRIK YAPILAR P r o f. D r. Ö m e r A k ı n v e Y r d. D o ç. D r. M u r a t Ö z b a y o ğ l u n u n Ç e v i r i E d i t ö r l ü ğ ü n ü ü s t l e n d i ğ i «A y r ı k M a t e m a t i k v e U y g u l a

Detaylı

KÜMELER A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 30 B) 31 C) 32 D) 33 E) 34 A) 30 B) 25 C) 21 D) 19 E) 17 A) 24 B) 26 C) 28 D) 30 E) 32

KÜMELER A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 30 B) 31 C) 32 D) 33 E) 34 A) 30 B) 25 C) 21 D) 19 E) 17 A) 24 B) 26 C) 28 D) 30 E) 32 TARAMA TESTİ 1 KÜMELER 1. A= x N : x 6 A B x N : x 8 B \ A aşağıdakikerden hangisidir? A)7,8 B)6,7,8 C)8 D)7 E) 2. A = x N : 2 x 7, B = x N : 2 x 5 olduğuna göre,a \ B nin eleman sayısı kaç? 3. A = x N

Detaylı

5. A ve B gibi iki cümleden A nın bir, B nin iki elemanı A B cümlesinin elemanı değildir. dışında A. 9. A ve B iki kümedir.

5. A ve B gibi iki cümleden A nın bir, B nin iki elemanı A B cümlesinin elemanı değildir. dışında A. 9. A ve B iki kümedir. 1. KÜMELER 5. A ve B gibi iki cümleden A nın bir, B nin iki elemanı A B cümlesinin elemanı değildir. dışında A B nin alt cümleleri sayısı 63 olduğuna göre, A B cümlesinin alt cümleleri sayısı kaçtır? (51)

Detaylı

KÜMELER. Küme nesneler topluluğudur. Bu bölümde kümelerle kurulan matematiksel yapıyı tanıtacağız.

KÜMELER. Küme nesneler topluluğudur. Bu bölümde kümelerle kurulan matematiksel yapıyı tanıtacağız. KÜMELER Küme nesneler topluluğudur. u bölümde kümelerle kurulan matematiksel yapıyı tanıtacağız. Küme kavramı matematiğe girmeden önce matematik denilince akla sayılar ve şekiller gelirdi. Kümeler kuramının

Detaylı

YAZILI ÇALIŞMA TEKNİKLERİ. w w w. g e o m e t r i g o r m e t e k n i k l e r i. c o m. { } : boþ küme demek deðildir. ÇÖZÜMÜ:

YAZILI ÇALIŞMA TEKNİKLERİ. w w w. g e o m e t r i g o r m e t e k n i k l e r i. c o m. { } : boþ küme demek deðildir. ÇÖZÜMÜ: KONU BİLGİSİ 1.KÜME TNIMI VE GÖSTERÝM ÞEKÝLLERÝ Belli özellikleri saðlayan nesneler topluluðuna küme denir. Kümede tüm elemanlar net olmalýdýr. Kümeler büyük harflerle gösterilir. Bir kümede bir eleman

Detaylı

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 MATEMATİK TESTİ 19 HAZİRAN 2016 PAZAR Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının

Detaylı

1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 3. ÜNİTE. Bölüm 1 : Üslü Sayılar... 8. Bölüm 2 : Doğal Sayılar... 18. Bölüm 3 : Doğal Sayı Problemleri... 30

1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 3. ÜNİTE. Bölüm 1 : Üslü Sayılar... 8. Bölüm 2 : Doğal Sayılar... 18. Bölüm 3 : Doğal Sayı Problemleri... 30 İçindekiler 1. ÜNİTE Bölüm 1 : Üslü Sayılar... 8 Bölüm 2 : Doğal Sayılar... 18 Bölüm 3 : Doğal Sayı Problemleri... 30 Bölüm 4 :- Çarpanlar ve Katlar, Bölünebilme... 40 Bölüm 5 : Asal Sayılar, Ortak Bölenler,

Detaylı

L İ S E S İ MATEMATİK. Kümeler. Üzerine Kısa Çalışmalar

L İ S E S İ MATEMATİK. Kümeler. Üzerine Kısa Çalışmalar MTEMTİK T T Ü R K N D O L U L İ S E S İ M T E M T İ K Üzerine Kısa Çalışmalar KONY \ SELÇUKLU 017 MTEMTİK KÜMELER (CÜMLELER).1 Küme (Cümle) Kavramı Matematiğin dili mantıktır., matematiğin kendisini anlatabilmesini

Detaylı

Tanım Bir A kümesinin her elemanı, bir B kümesinin de elamanı ise, A kümesine B kümesinin alt kümesi denir.

Tanım Bir A kümesinin her elemanı, bir B kümesinin de elamanı ise, A kümesine B kümesinin alt kümesi denir. BÖLÜM 1 KÜMELER CEBİRİ Küme, iyi tanımlanmış ve farklı olan nesneler topluluğudur. Yani küme, belli bir kurala göre verilmiş nesnelerin listesidir. Nesneler reel veya kavramsal olabilir. Kümede bulunan

Detaylı

Kümeler Tarihi Küme Nedir Kümeler Tarihçesi

Kümeler Tarihi Küme Nedir Kümeler Tarihçesi Kümeler Tarihi Küme Nedir Kümeler Tarihçesi İnternetten Alınmış Hazır Bilgidir 29.12.2009 Matematik dilinde birlik sağlama gereksinimi on dokuzuncu yüzyıl sonlarına doğru duyuldu. Bu işi İlk görenlerin

Detaylı

TAM SAYILARLA İŞLEMLER

TAM SAYILARLA İŞLEMLER TAM SAYILARLA İŞLEMLER 5 4 3 2 1 1 TAM SAYILARLA TOPLAMA İŞLEMİ Devlet Meteoroloji İşleri Genel Müdürlüğü, bilimsel ve teknolojik gelişmeler ışığında meteorolojik gözlemler, hava tahminleri ve iklim değişiklikleri

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Ders 4: OLASILIK TEORİSİ Prof. Dr. İrfan KAYMAZ Giriş Bu bölüm sonunda öğreneceğiniz konular: Rastgele Olay Örnek Uzayı Olasılık Aksiyomları Bağımsız ve Ayrık Olaylar Olasılık Kuralları

Detaylı

ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ MODÜLER ARİTMETİK

ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ MODÜLER ARİTMETİK ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ MODÜLER ARİTMETİK ÇANAKKALE 2012 ÖNSÖZ Bu kitap Çanakkale Onsekiz Mart Üniversitesi Matematik Bölümünde lisans dersi olarak Cebirden

Detaylı

KOMBİNASYON - PERMÜTASYON Test -1

KOMBİNASYON - PERMÜTASYON Test -1 KOMİNSYON - PERMÜTSYON Test -. kişi arka arkaya sıralanacaktır. u kişiler kaç farklı sıra oluşturabilir?. kişilik bir sıraya, öğrenci kaç farklı dizilişte yan yana oturabilir?. farklı çatal, farklı kaşık

Detaylı

RASYONEL SAYILARIN MÜFREDATTAKİ YERİ MATEMATİK 7. SINIF RASYONEL SAYILAR DERS PLANI

RASYONEL SAYILARIN MÜFREDATTAKİ YERİ MATEMATİK 7. SINIF RASYONEL SAYILAR DERS PLANI RASYONEL SAYILARIN MÜFREDATTAKİ YERİ Rasyonel sayılar konusu 7.sınıf konusudur. Matematiğin soyut, zor bir ders olduğu düşüncesi toplumda çoğu kişi tarafından savunulan bir bakış açısıdır. Bu durum beraberinde

Detaylı

12. 13. Faktöryel: 01. 02. 03.

12. 13. Faktöryel: 01. 02. 03. ĐZMĐR FEN LĐSESĐ SINIF MATEMATĐK ÇALIŞMA SORULARI: (Permütasyon-Kominasyon-Binom ve Olasılık) Çarpmanın Temel Đlkesi: 0 Faktöryel: 06. 06. 11. 1 11. 4. a. b. 5. c. 6. 7. 8. 16. 9. 17. 30. 31. Permütasyon:

Detaylı

( ) (, ) Kombinasyon. Tanım: r n olmak üzere n elemanlı bir kümenin r elemanlı her alt kümesine bu n elemanın r li kombinasyonu denir.

( ) (, ) Kombinasyon. Tanım: r n olmak üzere n elemanlı bir kümenin r elemanlı her alt kümesine bu n elemanın r li kombinasyonu denir. Kombinasyon Tanım: r n olmak üzere n elemanlı bir kümenin r elemanlı her alt kümesine bu n elemanın r li kombinasyonu denir. n elemanın tüm r li kombinasyonlarının sayısı; (, ) C n r ( ) r n P n, r n!

Detaylı

5. SINIF MATEMATİK PROBLEM TESTİ

5. SINIF MATEMATİK PROBLEM TESTİ 1- Bir çiftçinin 23 ineği 45 tavuğu vardır. Her ineğinden günde ortalama 9 litre süt, her tavuğundan ise günde 1 yumurta almaktadır. Bu çiftçinin beşinci hafta sonunda elindeki süt ve yumurta miktarı aşağıdaki

Detaylı

I.BÖLÜM (Toplam 35 soru bulunmaktadır.)

I.BÖLÜM (Toplam 35 soru bulunmaktadır.) I.BÖLÜM (Toplam 35 soru bulunmaktadır.) 1. ve B ise aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur? )B=B B)B=B )(B) D)(B) E)(B) 5. 19 4 B5 7 Bölme işleminde ve B sıfırdan farklı birer rakam olmak üzere +B kaç

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Tam Sayılarda Bölünebilme...3. Kongrüanslar...13. Primitif (İlkel) Kökler ve İndeksler...26. Genel Tarama Sınavı...

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Tam Sayılarda Bölünebilme...3. Kongrüanslar...13. Primitif (İlkel) Kökler ve İndeksler...26. Genel Tarama Sınavı... İÇİNDEKİLER Ön Söz... Tam Sayılarda Bölünebilme...3 Kongrüanslar...13 Primitif (İlkel) Kökler ve İndeksler...6 Genel Tarama Sınavı...34 Primitif (İlkel) Kökler ve İndeksler Tanım: a, m Z, m > 1 ve (a,

Detaylı

YGS MATEMATİK PROBLEMLER NAMIK KARAYANIK

YGS MATEMATİK PROBLEMLER NAMIK KARAYANIK NELER ÖĞRENECEĞİZ? Denklem ve eşitsizlikleri gerçek hayat durumlarını modellemede ve problem çözmede kullanır. Gerçek hayat durumlarını temsil eden sözel ifadelerdeki ilişkilerin cebirsel, grafiksel ve

Detaylı

6. x ve y birer tam sayıdır. 7. a, b, c doğal sayılar olmak üzere, 8. a, b, c doğal sayılar olmak üzere, 9. x, y ve z birer tam sayı olmak üzere,

6. x ve y birer tam sayıdır. 7. a, b, c doğal sayılar olmak üzere, 8. a, b, c doğal sayılar olmak üzere, 9. x, y ve z birer tam sayı olmak üzere, İ l a s gün e ş & i l a s g ü n e ş İ l a s gün e ş & i l a s g ü n e ş İ l a s gün e ş & i l a s g ü n e ş İ l a s gün e ş & i l a s g ü n e ş İ l a s gün e ş & i l a s g ü n e ş İ l a s gün e ş & i l

Detaylı

BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER

BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER YILLAR 00 00 00 00 00 00 007 008 009 00 ÖSS-YGS - - - - - - - - BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER a,b R ve a 0 olmak üzere ab=0 şeklindeki denklemlere Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ 15. OKULLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI 9. SINIF ELEME SINAVI SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ 15. OKULLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI 9. SINIF ELEME SINAVI SORULARI EGE BÖLGESİ 5. OKULLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI. [( p q) q] [(p q) q ] bileşik önermesinin en sade şekli A) p B) p C) D) 0 E) q 4. A kümesinin eleman sayısı fazla; B kümesinin eleman sayısı eksik olsaydı

Detaylı

2013-2014 ATAKÖY CUMHURİYET ANADOLU LİSESİ 9. SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI

2013-2014 ATAKÖY CUMHURİYET ANADOLU LİSESİ 9. SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI 0-0 ATAKÖY CUMHURİYET ANADOLU LİSESİ 9. SINIF MATEMATİK İ YILLIK PLANI Temel Kavramlar 9... Küme kavramını örneklerle açıklar ve kümeleri ifade etmek için farklı gösterimler. 6 EYLÜL 0 EYLÜL Temel Kavramlar

Detaylı

Cebir Notları. Permutasyon-Kombinasyon- Binom TEST I. Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr. www.matematikclub.com, 2006

Cebir Notları. Permutasyon-Kombinasyon- Binom TEST I. Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr. www.matematikclub.com, 2006 MC www.matematikclub.com, 2006 Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr Permutasyon-Kombinasyon- Binom TEST I 1. Ankra'dan Đstanbul'a giden 10 farklı otobüs, Đstanbul'- dan Edirne'ye giden 6 farklı

Detaylı

TEMEL SAYMA KURALLARI

TEMEL SAYMA KURALLARI TEMEL SAYMA KURALLARI SAYMA Toplama Yoluyla Sayma A ve B sonlu ve ayrık kümeler olmak üzere, bu iki kümenin birleşiminin eleman sayısı; s(a,b) = s(a) + s(b) dir. Sonlu ve ayrık iki kümenin birleşiminin

Detaylı

2004 ÖSS Soruları. 5. a, b, c pozitif tam sayılar, c asal sayı ve. olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? işleminin sonucu kaçtır?

2004 ÖSS Soruları. 5. a, b, c pozitif tam sayılar, c asal sayı ve. olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? işleminin sonucu kaçtır? 1. 1 1 1c + m 1 + 4 işleminin sonucu kaçtır? 0 16 6 ) ) ) ) ) 1 9 9 6. a, b, c pozitif tam sayılar, c asal sayı ve 1 1 1 + = y 6 olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? ) a < b < c )

Detaylı

π θ = olarak bulunur. 2 θ + θ θ θ θ θ π 3 UŞAK FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ ANALİZ II VİZE SORULARI ÇÖZÜMLERİ 22.04.

π θ = olarak bulunur. 2 θ + θ θ θ θ θ π 3 UŞAK FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ ANALİZ II VİZE SORULARI ÇÖZÜMLERİ 22.04. UŞAK FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ ANALİZ II VİZE SORULARI ÇÖZÜMLERİ.04.006. Aşağıdaki gibi, M ve M merkezli br yarıçaplı iki dairenin kesişimi şeklinde bir park inşa edilmektedir. Bu iki dairenin

Detaylı

8. ÜNİTE TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR

8. ÜNİTE TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR 8. ÜNİTE TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR KONULAR 1. TRİGONOMETRİ 2. Açı 3. Yönlü Açı 4. Yönlü Yaylar 5. Birim Çember 6. Açı Ölçü Birimleri 7. Derece 8. Radyan 9. Grad 10. Esas Ölçü 11. TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR

Detaylı

π a) = cosa Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 17 Haziran 2007 Matematik II Soruları ve Çözümleri

π a) = cosa Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 17 Haziran 2007 Matematik II Soruları ve Çözümleri Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 7 Haziran 7 Matematik II Soruları ve Çözümleri. Karmaşık sayılar kümesi üzerinde * işlemi, Z * Z Z + Z + Z Z biçiminde tanımlanıyor. Buna göre, ( i) * ( + i) işleminin sonucu

Detaylı

Örnek...1 : Örnek...2 : A = { a, {a}, b, c, {b, d}, d }, B = { {a}, {c, d}, c, d, x, Δ } k ümeleri için s( AUB) kaçtır?

Örnek...1 : Örnek...2 : A = { a, {a}, b, c, {b, d}, d }, B = { {a}, {c, d}, c, d, x, Δ } k ümeleri için s( AUB) kaçtır? KÜMELER 2 İKİ KÜMENİN BİRLEŞİMİ A ve B gibi iki kümeden, A' ya veya B' ye ait olan elemanlardan oluşan yeni kümeye A ile B' nin birleşimi denir ve AUB ile gösterilir. Bu gösterim A birleşim B di ye okunur.

Detaylı

TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR.

TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR. TEOG Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar 1. DOĞAL SAYILAR 0 dan başlayıp artı sonsuza kadar giden sayılara doğal sayılar denir ve N ile gösterilir. N={0, 1, 2, 3,...,n, n+1,...} a ve b doğal sayılar olmak

Detaylı

SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR

SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR 1 SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR RAKAM: Sayıları ifade etmek için kullandığımız 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembollerinden her birine rakam denir. Soru: a ve b farklı rakamlar olmak üzere a + b nin alabileceği

Detaylı

TOPLAMADA KISAYOLLAR

TOPLAMADA KISAYOLLAR ARDIŞIK SAYILARIN TOPLANMASI TOPLAMADA KISAYOLLAR 1 Kural: Gruptaki en küçük sayı ile en büyük sayıyı topla, sonucu gruptaki sayıların miktarıyla çarp ve sonucu 2 ye böl. Örneğin 33 den 41 e kadar olan

Detaylı

Cebir Notları. Nesnelerin Dağılımları Mustafa YAĞCI,

Cebir Notları. Nesnelerin Dağılımları Mustafa YAĞCI, www.mustafayagci.com, 2006 Cebir Notları Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Nesnelerin Dağılımları Bu yazımızda, r ve n birer sayma sayısı olmak üzere, r tane nesneyi n farklı kutuya belli şartlar altında

Detaylı

Genel Yetenek ve Eğilim Belirleme Sınavı

Genel Yetenek ve Eğilim Belirleme Sınavı Türkiye Geneli Genel Yetenek ve Eğilim Belirleme Sınavı Aynı Günı Aynte Saat Sınav tarihi 9 Son basvuru tarihi 1 Nisan Nisan CUMARTESİ CUMA 16 16 3. sınıf 4, 5, 6,7 ve 8.sınıf Saat.00 Saat 14.00 Sözel

Detaylı

Ders 2: Küme Teorisi, Örnek Uzay, Permütasyonlar ve Kombinasyonlar

Ders 2: Küme Teorisi, Örnek Uzay, Permütasyonlar ve Kombinasyonlar Ders 2: Küme Teorisi, Örnek Uzay, Permütasyonlar ve Kombinasyonlar Küme Kavramı Küme İşlemleri Deney, Örnek Uzay, Örnek Nokta ve Olay Kavramları Örnek Noktaları Sayma Permütasyonlar Kombinasyonlar Parçalanmalar

Detaylı

Türev Kavramı ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV

Türev Kavramı ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV Türev Kavramı Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 9 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; türev kavramını anlayacak, türev alma kurallarını öğrenecek, türevin geometrik ve fiziksel anlamını kavrayacak,

Detaylı

Her türlü görüş, öneri ve eleştirilerinize açık olduğumu bilmenizi ister çalışmalarınızda ve sınavlarınızda başarılar dilerim.

Her türlü görüş, öneri ve eleştirilerinize açık olduğumu bilmenizi ister çalışmalarınızda ve sınavlarınızda başarılar dilerim. Önsöz Değerli Öğrenciler, u fasikül ortaöğretimde başarınızı yükseltmeye, üniversite giriş sınavlarında yüksek puan almanıza yardımcı olmak için özenle hazırlanmıştır. Konular anlamlı bir bütün oluşturacak

Detaylı

1. BÖLÜM. Sayılarda Temel Kavramlar. Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK. Kontrol Noktası 1

1. BÖLÜM. Sayılarda Temel Kavramlar. Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK. Kontrol Noktası 1 1. BÖLÜM Sayılarda Temel Kavramlar Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK Kontrol Noktası 1 Isınma Hareketleri 1 Uygun eşleştirmeleri yapınız. I. {0, 1, 2,..., 9} II. {1, 2, 3,...} III. {0, 1, 2,

Detaylı

İçindekiler. 3. Sonlu ve Sonsuz Kümeler Denk ve Eşit Kümeler Kümelerde Birleşim ve Kesişim

İçindekiler. 3. Sonlu ve Sonsuz Kümeler Denk ve Eşit Kümeler Kümelerde Birleşim ve Kesişim İçindekiler 1. Küme Kavramı...6-7 2. Kümelerin Gösterimi...8-15 3. Sonlu ve Sonsuz Kümeler... 16-17 4. lt Küme Kavramı... 18-27 5. Denk ve şit Kümeler... 28-29 6. Kümelerde irleşim ve Kesişim... 31-41

Detaylı

Gerçekten Asal Var mı? Ali Nesin

Gerçekten Asal Var mı? Ali Nesin Bu yazıda hile yapıyorum... Bir yerde bir hata var. Gerçekten Asal Var mı? Ali Nesin K endinden ve birden başka sayıya bölünmeyen a asal denir. Örneğin, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 asal dır. Ama 35 asal

Detaylı

MATEMATİK 1 TESTİ (Mat 1)

MATEMATİK 1 TESTİ (Mat 1) MATEMATİK TESTİ (Mat ). u testte 0 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. 7. kesrinin ondalık gösterimi aşağıdakilerden 0 hangisidir? 0, 0 0,

Detaylı

PERMÜTASYON TEKRARLI ve DAĐRESEL PERMÜTASYONLAR KOMBĐNASYON (L. Gökçe)

PERMÜTASYON TEKRARLI ve DAĐRESEL PERMÜTASYONLAR KOMBĐNASYON (L. Gökçe) PERMÜTASYON TEKRARLI ve DAĐRESEL PERMÜTASYONLAR KOMBĐNASYON (L. Gökçe) 1. 7 erkek, 4 kız yan yana dizilecektir. a) Kızlar yan yana olacak b) Herhangi iki kız yan yana gelmeyecek şekilde kaç farklı dizilim

Detaylı

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye KÜME AİLELERİ GİRİŞ Bu bölümde, bir çoğu daha önceden bilinen incelememiz için gerekli olan bilgileri vereceğiz. İlerde konular işlenirken karşımıza çıkacak kavram ve bilgileri bize yetecek kadarı ile

Detaylı

Adınız ve Soyadınız: Doğum Tarihiniz: Sorular hakkındaki genel düşünceniz:

Adınız ve Soyadınız: Doğum Tarihiniz: Sorular hakkındaki genel düşünceniz: Adınız ve Soyadınız: Doğum Tarihiniz: Sorular hakkındaki genel düşünceniz: Soru 1 (15 puan): Dedektif Konan bir gün çok ilginç bir vakayla karşılaşır: Ünlü bir matematikçi iş yerinde güpegündüz ölü bulunur.

Detaylı

1 8 'i 14 olan sayının 4 7. A) 32 B) 36 C) 64 D) 48 E) 92 nın farkı en az kaçtır? 9. 12! + 13! toplamı aşağıdakilerden hangisine tam bölünemez?

1 8 'i 14 olan sayının 4 7. A) 32 B) 36 C) 64 D) 48 E) 92 nın farkı en az kaçtır? 9. 12! + 13! toplamı aşağıdakilerden hangisine tam bölünemez? , 006 MC Ceir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir3@yahoo.com.tr Tam Sayılar TEST I 1. a > üzere a üç asamaklı ir sayıdır. Bu koşulları sağlayan 6 ile tam ölüneilen kaç farklı sayı vardır? A) 10 B) 9 C) 8 D) 7

Detaylı

Sınavlarda yer alan sorular, zorluk düzeylerine gore 5 e ayrılmaktadır.

Sınavlarda yer alan sorular, zorluk düzeylerine gore 5 e ayrılmaktadır. Sınavlarda yer alan sorular, zorluk düzeylerine gore 5 e ayrılmaktadır. Zorluk düzeyi Testeki yüzdesi 1. Çok Kolay %10 2. Kolay %20 3. Normal %40 4. Zor %20 5. Çok Zor %10 Aynı test içindeki soruların

Detaylı

ALES / İLKBAHAR 2008 DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ "A" OLARAK CEVAP KÂĞIDINA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. SAYISAL BÖLÜM SAYISAL-2 TESTİ

ALES / İLKBAHAR 2008 DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. SAYISAL BÖLÜM SAYISAL-2 TESTİ LES / İLKHR 008 İKKT! SORU KİTPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ "" OLRK EVP KÂĞIIN İŞRETLEMEYİ UNUTMYINIZ. SYISL ÖLÜM SYISL- TESTİ Sınavın bu bölümünden alacağınız standart puan, Sayısal ğırlıklı LES Puanınızın (LES-SY)

Detaylı

YGS MATEMATİK DENEME SINAVI I

YGS MATEMATİK DENEME SINAVI I YGS MATEMATİK DENEME SINAVI I Sınav 2015 ve sonrası YGS sınavlarının müfredatına uygundur. 1. -2 [3 (2-5)-(2-3 5)] = işleminin sonucu kaçtır? A) -10 B) -8 C) 6 D) 10 E) 12 5. A= 24 + 2 2 olup 24 2 2 ifadesinin

Detaylı

DÖĞRENCİLERİN DİKKATİNE!

DÖĞRENCİLERİN DİKKATİNE! D KİTAPÇIK TÜRÜ T.C. MİLLÎ EĞİTİM BAKANLIĞI ÖLÇME, DEĞERLENDİRME VE SINAV HİZMETLERİ GENEL MÜDÜRLÜĞÜ 8. SINIF MATEMATİK 205 8. SINIF. DÖNEM MATEMATİK DERSİ MERKEZİ ORTAK SINAVI 25 KASIM 205 Saat: 0.0 Adı

Detaylı

Öteki dersi ilk kez alıyorum ve genellikle hoşlanılmayan bir ders : mantık.

Öteki dersi ilk kez alıyorum ve genellikle hoşlanılmayan bir ders : mantık. Bu hafta üniversite açıldı. Felsefe Bölümü'nden iki ders alıyorum ve ikisi haftada 12 saat tutuyor. Benim durumumdaki bir insan için biraz fazla aslında ama bir derse (Felsefeye Giriş) dönemde de girmiştim,

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Matematk Deneme Sınavı. ab iki basamaklı saısı b ile bölündüğünde, bölüm 5 ve kalan b 5 tir. u şartlara uan kaç farklı ab iki basamaklı saısı vardır? ) 5 6 7 5. a, b, c, d, e sıfırdan farklı tamsaılar

Detaylı

A { x 3 x 9, x } kümesinin eleman sayısı A { x : x 1 3,x } kümesinin eleman sayısı KÜMELER

A { x 3 x 9, x } kümesinin eleman sayısı A { x : x 1 3,x } kümesinin eleman sayısı KÜMELER KÜMELER Küme, nesnelerin iyi tanımlanmış bir listesidir. Kümeyi oluşturan nesnelerin her birine kümenin elemanı denir. Kümeler genellikle A, B, C,... gibi büyük harflerle gösterilir. x nesnesi A kümesinin

Detaylı

matematik Ahmet bugün 9 yaşındadır. Dört yıl sonra annesinin yaşı Ahmet'in yaşının üç katı olacaktır.

matematik Ahmet bugün 9 yaşındadır. Dört yıl sonra annesinin yaşı Ahmet'in yaşının üç katı olacaktır. matematik KOLEJ VE BİLSEM SINAVLARINA HAZIRLIK Aşağıda verilen sayılar en yakın onluğa ya da yüzlüğe yuvarlanmıştır. Ahmet bugün 9 yaşındadır. Dört yıl sonra annesinin yaşı Ahmet'in yaşının üç katı olacaktır.

Detaylı

Ali ERGİN, Mustafa YAĞCI, Saymanın Temel Prensibi

Ali ERGİN, Mustafa YAĞCI, Saymanın Temel Prensibi Mustafa YAĞCI www.mustafayagci.com.tr, 01 Cebir Notları Ali ERGİN, Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Saymanın Temel Prensibi M atematikle ilk tanışmamız sayı saymayla başlamıştır desek sanırım yanılmış

Detaylı

DERS 1. ki De i kenli Do rusal Denklem Sistemleri ve Matrisler

DERS 1. ki De i kenli Do rusal Denklem Sistemleri ve Matrisler DERS ki De i kenli Do rusal Denklem Sistemleri ve Matrisler.. Do rusal Denklem Sistemleri. Günlük a amda a a dakine benzer pek çok problemle kar la r z. Problem. Manavdan al veri eden bir mü teri, kg armut

Detaylı

Örnek...2 : Örnek...3 : Örnek...1 : MANTIK 1. p: Bir yıl 265 gün 6 saattir. tan ım lam ak denir. ya nlış ye rine 0 sim gesi kullan ılır.

Örnek...2 : Örnek...3 : Örnek...1 : MANTIK 1. p: Bir yıl 265 gün 6 saattir. tan ım lam ak denir. ya nlış ye rine 0 sim gesi kullan ılır. Terim: Bir bilim dalı içerisinde konuşma dilinden farklı anlam ı olan sözcüklerden her birine o bilim dalının bir terimi denir. Önermeler belirtilirler.,,r,s gibi harflerle Örneğin açı bir geometri terimi,

Detaylı

4. x, y, z ve t birbirinden farklı gerçel sayılardır. y - z = x ve x.z.t = 0 olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

4. x, y, z ve t birbirinden farklı gerçel sayılardır. y - z = x ve x.z.t = 0 olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur? 04 - YGS / MAT GENETİK K.. Bu testte 40 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Temel Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. 5.. 5 7 işleminin sonucu kaçtır? D) 7 9 E) 7 C). 4 6 8.6

Detaylı

TEMEL SAYMA. Bill Gates

TEMEL SAYMA. Bill Gates Bölüm 1 TEMEL SAYMA YÖNTEMLERİ Firmamızın sahip olduğu tek şey insan düş gücüdür. Bill Gates Bu bölümde fazla kuramsal bilgi gerektirmeyen sayma problemleri üzerinde duracağız. Bu tür problemlerde sayma;

Detaylı