T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

Transkript

1 T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ ROUGH KÜME TEORİSİNDE TOPOLOJİK YAPILAR Naime TOZLU YÜKSEK LİSANS TEZİ Matematik Anabilim Dalı Haziran-2013 KONYA Her Hakkı Saklıdır

2

3

4 ÖZET YÜKSEK LİSANS TEZİ ROUGH KÜME TEORİSİNDE TOPOLOJİK YAPILAR Naime TOZLU Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı Danışman: Prof. Dr. Şaziye YÜKSEL 2013, 46 Sayfa Jüri Prof. Dr. Şaziye YÜKSEL Prof. Dr. Eşref HATIR Yrd. Doç. Dr. Yusuf BECEREN Bu çalışma dört bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde; tezde kullanılan kavramların literatür bilgileri verildi. İkinci bölümde; belirsizliğe iki farklı matematiksel yaklaşım olarak verilen rough küme teori ve soft küme teori ile ilgili temel kavramlar ve bazı özellikler verildi. Üçüncü bölümde; soft örtü yaklaşım uzayında rough küme tanımı, bazı yeni kavramlar ve temel sonuçlar verildi. Ayrıca, soft örtü yaklaşım uzayında topoloji kurma yöntemleri incelendi. Soft örtü alt yaklaşım ve iç operatörü arasındaki ilişki ve soft örtü üst yaklaşım ve kapanış operatörü arasındaki ilişki incelendi. Son olarak, soft örtü yaklaşım uzayının özel bir hali ve soft örtü üyelik fonksiyonu kavramı verildi. Dördüncü bölümde; soft örtü yaklaşım uzayında rough küme üzerinde bir topoloji kuruldu ve bu topolojiyle ilgili bazı temel kavramlar incelendi. Anahtar Kelimeler: Rough küme, Soft küme, Soft örtü yaklaşım uzayı, Soft örtü yaklaşım uzayında rough küme, Topoloji iv

5 ABSTRACT MS THESIS TOPOLOGICAL STRUCTURES IN ROUGH SET THEORY Naime TOZLU THE GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCE OF SELÇUK UNIVERSITY THE DEGREE OF MASTER OF SCIENCE IN MATHEMATICS Advisor: Prof. Dr. Şaziye YÜKSEL 2013, 46 Pages Jury Prof. Dr. ŞaziyeYÜKSEL Prof. Dr. Eşref HATIR Asst. Prof. Dr. Yusuf BECEREN This study consists of four sections. In the first section; literature knowledges of concepts used in thesis were given. In the second section; the basic concepts and some properties about rough set theory and soft set theory which have been given as two different mathematical approaches to vagueness were given. In the third section; the definition of rough set, some new concepts and basic results in the soft covering approximation space were given. Also, methods to construct the topology in the soft covering approximation space were investigated. The relationship between the soft covering lower approximation and the interior operator and the relationship between the soft covering upper approximation and the closure operator were investigated. Finally, a special case of the soft covering approximation space and the concept of soft covering membership function were given. In the fourth section; a topology was constructed on rough set in the soft covering approximation space and some basic concepts about this topology were investigated. Keywords: Rough set, Soft set, Soft covering approximation space, Rough set in the soft covering approximation space, Topology v

6 ÖNSÖZ Bu çalışma Selçuk Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü Öğretim Üyesi Prof. Dr. Şaziye YÜKSEL yönetiminde yapılarak, Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsüne Yüksek Lisans Tezi olarak sunulmuştur. Tez çalışmamı büyük bir titizlik ve dikkatle takip ederek bana her açıdan destek olan ve yol gösteren değerli hocam Prof. Dr. Şaziye YÜKSEL e sonsuz teşekkürlerimi, saygılarımı ve sevgilerimi sunarım. Ayrıca, çalışmalarımda yardımını ve dostluğunu esirgemeyen Arş. Gör. Zehra GÜZEL ERGÜL e ve her zaman yanımda olan sevgili aileme teşekkür etmeyi borç bilirim. Naime TOZLU KONYA-2013 vi

7 İÇİNDEKİLER ÖZET... iv ABSTRACT...v ÖNSÖZ... vi İÇİNDEKİLER... vii 1. GİRİŞ ÖN BİLGİLER Rough Kümeler Soft Kümeler SOFT ÖRTÜ YAKLAŞIM UZAYI Soft Örtü Yaklaşım Uzayında Rough Kümeler Soft Örtü Yaklaşım Uzayında Topoloji Kurma Yöntemleri Soft Örtü Yaklaşım Uzayında Eşitlik ve Kapsama Topolojideki İç ve Kapanış Operatörleri ile Soft Örtü Alt ve Üst Yaklaşım Operatörleri Arasındaki İlişki Soft Örtü Yaklaşım Uzayının Özel Hali Soft Örtü Üyelik Fonksiyonu SOFT ÖRTÜ YAKLAŞIM UZAYINDA ROUGH KÜME ÜZERİNDE KURULAN TOPOLOJİ Soft Örtü Yaklaşım Uzayında Rough Küme Üzerinde Kurulan Topolojide Açık Kümeler, Komşuluk ve Kapalı Kümeler Soft Örtü Yaklaşım Uzayında Rough Küme Üzerinde Kurulan Topolojide Taban ve Alt Taban Soft Örtü Yaklaşım Uzayında Rough Küme Üzerinde Kurulan Topolojide Süreklilik ve Homeomorfizm Soft Örtü Yaklaşım Uzayında Rough Küme Üzerinde Kurulan Topolojide Kompaktlık SONUÇLAR VE ÖNERİLER Sonuçlar Öneriler KAYNAKLAR ÖZGEÇMİŞ vii

8 SİMGELER VE KISALTMALAR Simgeler U :Evren küme E :Parametre kümesi R :İkili bağıntı U R :Bölüm kümesi [x] R :x in denklik sınıfı (U,A) :Bilgi sistemi (U, R) :Pawlak yaklaşım uzayı R :Alt yaklaşım R :Üst yaklaşım G = (F, A) :Soft küme P = (U, R ) :Soft yaklaşım uzayı S = (U, C ) :Soft örtü yaklaşım uzayı Md :Soft minimal tasvir S :Soft örtü alt yaklaşım S :Soft örtü üst yaklaşım τ :Topolojik yapı β :Topoloji tabanı S :Topoloji alt tabanı (X,τ) :Topolojik uzay X :X kümesinin içi X :X kümesinin kapanışı X :X kümesinin sınırı V :Komşuluk θ :Komşuluklar ailesi μ :Üyelik fonksiyonu :Birleşim :Kesişim :Alt küme = :Eşittir :Eşit değildir :Boş küme :Her :Vardır viii

9 ix

10 1 1. GİRİŞ Günlük hayatta karşılaştığımız birçok kavram kesinden çok şüphelidir. Klasik matematik kesin olmayan durumlarla ilgilenmez, tüm kavramlar belli olmalıdır, aksi halde kesin sonuca ulaşılamaz. Bundan dolayı, bazı bilim adamları kesin olmayan durumları çalışmışlardır. Bunlar fuzzy küme (Zadeh, 1965), rough küme (Pawlak, 1982) ve soft küme (Molodtsov, 1999) teorileridir. Bilgi sistemlerde belirsizlik ve taneciklenme ile ilgili Rough Küme Teori, Pawlak (1982) tarafından verildi. Bu teori, alt ve üst yaklaşımlar olarak adlandırılan iki küme tarafından evrenin herhangi bir alt kümesinin yaklaşımı ile ilgilidir. İyi bilinir ki, Pawlak ın rough küme modeli denklik bağıntısına dayalıdır. Ancak, rough kümeler farklı açılardan da ele alınmıştır. Örneğin, evrenin parçalanışı örtüye genelleştirilmiştir (Pomykala, 1987; Bryniarski, 1989). Örtü tabanlı rough kümeler, rough kümelerin önemli bir genelleştirmesidir. Zhu ve arkadaşlarının çalışmaları (Zhu ve Wang, 2003; Zhu, 2007; Zhu, 2009) temeldir ve önemlidir. Molodtsov (1999), belirsizliğe yeni bir yaklaşım olan soft küme teoriyi verdi. Bu teori, var olan metodların zorluklarından bağımsızdır. Bu teoride küme, parametrelerle belirlenir. Geniş bir alanda, birçok uygulamaya sahiptir (Molodtsov, 1999; Molodtsov, 2004). Feng Feng ve arkadaşları (2010) tarafından verilen soft rough kümeler, soft kümelerle rough kümelerin kombine edilmiş bir halidir. Burada, tartışılan evreni granülleştirmede denklik bağıntısı yerine soft küme kullanılır. Topoloji (Yüksel, 2011), kavramları sadece matematikte değil günlük hayatta da bulunan matematiğin bir dalıdır. Ayrıca, rough kümeleri çalışmak için de matematiksel bir araçtır (Lashin ve ark., 2005; Kondo, 2006; QingE ve ark., 2008; Mahanta ve Das, 2011; Medhat, 2011). Bu tezde, soft örtü yaklaşım uzayı, soft örtü alt ve üst yaklaşımlar ile soft örtü yaklaşım uzayında rough kümeler olarak adlandırılan yapılar verildi. Soft örtü alt ve üst yaklaşımların temel özellikleri incelendi ve sağlanmayan özellikler için örnekler verildi. Soft örtü yaklaşım uzayında çeşitli yollarla topolojiler kuruldu ve herhangi bir kümenin içi ve kapanışı ile sırasıyla soft örtü alt ve soft örtü üst yaklaşımı arasındaki ilişkiler incelendi. Ayrıca, soft örtü eşitlik ve soft örtü kapsama kavramları tanımlandı. Soft örtü yaklaşım uzayının özel bir hali ve soft örtü üyelik fonksiyonu verildi. Son olarak, soft örtü yaklaşım uzayında rough küme üzerinde bir topoloji kuruldu. Bu topolojik uzayda,

11 2 açık kümeler, kapalı kümeler, komşuluk, taban ve alt taban kavramları verildi. Soft örtü yaklaşım uzayında rough süreklilik, homeomorfizm, kompaktlık kavramları da verildi ve özellikleri incelendi.

12 3 2. ÖN BİLGİLER 2.1. Rough Kümeler Pawlak (1982) tarafından verilen rough küme teori, kesin olmayan ve belirsiz durumlar için verilmiş sistematik bir metottur. Tanım 2.1.1: (Pawlak ve Skowron, 2007) U sonlu nesnelerin kümesi ve A sonlu özelliklerin kümesi olmak üzere (U,A) ikilisi bir bilgi sistemidir. Her a A özelliği için V ; a özelliklerinin değer kümesi olmak üzere a: U V şeklinde bir dönüşümdür. R, U evreni üzerinde bir denklik bağıntısı olsun. (U,R) ikilisi Pawlak yaklaşım uzayı olarak adlandırılır. Genelde R, bilgi sisteminden elde edildiği ve U evrenindeki nesnelerin belirsizliği yüzünden bir parçalanma verdiği için ayırtedilemez bağıntı olarak verilir (Pawlak ve Skowron, 2007). x, y U için eğer (x,y) R ise x ve y ayırtedilemez olarak adlandırılır. R bağıntısının tüm denklik sınıflarının ailesi yani R denklik bağıntısıyla belirlenmiş parçalanış U R ile gösterilir. R bağıntısının bir denklik sınıfı yani U R parçalanışının x i içeren bloğu [x] ile gösterilir. R bağıntısının denklik sınıfları R temel kümeleri veya R temel granülleri gibi düşünülür. Temel küme gerçeklik hakkındaki bilginin temel yapı bloklarını gösterir. R denklik bağıntısı kullanılarak aşağıdaki işlemler tanımlanmıştır: R (X) = { [x] : [x] X } R (X) = { [x] : [x] X } Her X U için R (X) ve R (X) sırasıyla (U,R) Pawlak yaklaşım uzayına göre X in alt ve üst yaklaşımı olarak adlandırılır. Ayrıca, POZ (X) = R (X) NEG (X) = U R (X) SNR (X) = R (X) R (X) sırasıyla X kümesinin pozitif, negatif ve sınır bölgeleridir. Tanım 2.1.2: (Pawlak, 1982) (U,R) Pawlak yaklaşım uzayı olsun. Eğer R (X) = R (X) ise X U alt kümesi tanımlanabilirdir. Eğer SNR (X) ise X U alt kümesi rough küme olarak adlandırılır. (R (X), R (X)) çiftine X kümesinin rough kümesi denir ve X = (R (X), R (X)) ile gösterilir.

13 4 Teorem 2.1.1: (U,R) Pawlak yaklaşım uzayı ve A, B U olsun. Aşağıdakiler sağlanır: i. R (A) A R (A) ii. iii. iv. R ( ) = = R ( ) R (U) = U = R (U) R (R (A)) = R (A) v. R (R (A)) = R (A) vi. vii. viii. ix. R (R (A)) = R (A) R (R (A)) = R (A) R (A) = (R (A )) R (A) = (R (A )) x. R (A B) = R (A) R (B) xi. xii. xiii. xiv. xv. xvi. xvii. R (A B) R (A) R (B) R (A B) R (A) R (B) R (A B) = R (A) R (B) A B R (A) R (B) A B R (A) R (B) K U R için R (K) = K, K U R için R (K) = K. İspat: İspatı (Pawlak, 1991) de verilmiştir. Örnek 2.1.1: U = {a, b, c, d, e, f, g, h} sonlu evren kümesi, şart özellikleri C={Ateş, Hemoglobin, Kan basıncı, Oksijen doygunluğu} ve karar özelliği D={Rahatlık} olmak üzere aşağıdaki tablo verilsin.

14 5 Çizelge 2.1. Hipotermi sonrası anestezi hastaları U Ateş Hemoglobin Kan basıncı Oksijen doygunluğu Rahatlık a Düşük Orta Düşük Orta Düşük b Düşük Orta Normal Az Düşük c Normal İyi Düşük İyi Düşük d Düşük İyi Normal İyi Orta e Düşük İyi Normal Orta Orta f Normal Orta Normal İyi Orta g Normal Az Yüksek İyi Çok düşük h Yüksek İyi Yüksek Orta Çok düşük R = {(x, y): x ve y aynı kan basıncına sahip} şeklinde R bağıntısını tanımlayalım. Bu durumda R = {(a, a), (a, c, ), (c, c), (c, a), (b, b), (b, d), (b, e), (b, f), (d, d), (d, b), (d, e), (d, f), (e, e), (e, b), (e, d), (e, f), (f, f), (f, b), (f, d), (f, e), (g, g), (g, h), (h, h), (h, g)} ve U/R = {{a, c}, {b, d, e, f}, {g, h}} elde edilir. X = {a, b, c, g, h} U kümesini seçelim. R (X) = { [x] : [x] X } = {a, c, g, h} R (X) = { [x] : [x] X } = U bulunur. R (X) R (X) olduğundan X rough kümedir. Y = {b, d, e, f} kümesini seçelim. R (Y) = { [y] : [y] Y } = {b, d, e, f} R (Y) = { [y] : [y] Y } = {b, d, e, f} bulunur. R (Y) = R (Y) olduğundan Y tanımlanabilir kümedir.

15 Soft Kümeler U bir başlangıç evreni ve E, U evrenine göre olası tüm parametrelerin kümesi olsun. Genellikle parametreler; özellikler, karakteristikler ya da U evrenindeki nesnelerin özellikleridir. Soft küme kavramı aşağıdaki şekilde tanımlanmıştır: Tanım 2.2.1: (Molodtsov, 1999) G = (F, A) ikilisi, A E ve F: A P(U) küme değerli bir dönüşüm olmak üzere U üzerinde bir soft küme olarak adlandırılır. Diğer bir deyişle, U üzerinde soft küme, U evreninin alt kümelerinin parametrelenmiş bir ailesidir. ε A için F(ε), G = (F, A) soft kümesindeki ε-tahmini elemanlarının kümesi olarak düşünülebilir. Molodtsov, soft kümelere pek çok somut örnek vermiştir: Örnek 2.2.1: U = { h, h, h, h, h }, beş tane evi içeren evren ve E = {e, e, e, e, e } ile verilmiş parametreler kümesi öyleki e (i =1,2,3,4,5) güzel, modern, ucuz, yeşil çevreli, iyi yapılı olsun. (F, E) soft kümesi Bay X in almaya gönüllü olduğu evlerin cazipliği olarak alınsın. Bu durumda soft kümeyi tanımlamak demek; güzel, modern vb. evleri göstermektir. F dönüşümünü (.) evler olarak düşünelim; öyle ki nokta, e E parametrelerinin biriyle doldurulsun. Örneğin; F(e ), (güzel) evler demektir ve fonksiyonel değeri U evrenindeki tüm güzel evlerdir. F(e ) = {h }, F(e ) = {h, h }, F(e ) = {h, h, h } ve F(e ) = {h, h } olsun. O halde, (F, E) soft kümesi yaklaşımların bir koleksiyonu olarak düşünülebilir, öyle ki her yaklaşım, bir tahmin ve yaklaşık değer kümesi olmak üzere iki kısma sahiptir. Örneğin; ( güzel evler, {h } ) yaklaşımlardan biridir. Soft küme teoride bir şey tanımlamak ya da kurmak, geleneksel matematikten daha farklıdır (Molodtsov, 1999). Çünkü, soft küme teoride bir şeyin ilk kez tanımında doğal bir tahmin vardır ve klasik matematik gibi kesin çözümü tanımlamak gerekli değildir. Aktaş ve Çağman (2007), her rough kümenin bir soft küme gibi düşünülebileceğini göstermiştir. O halde soft küme teorisi, belirsiz bilgiyle ilgili çalışmalar için daha genel bir metottur. Teorem 2.2.1: (Aktaş ve Çağman, 2007) Her rough küme bir soft kümedir.

16 7 İspat: U evreninde R denklik bağıntısına göre X = (R (X), R (X)) rough kümesi alınsın. p (x) tahmini [x] X ve p (x) tahmini [x] X gibi düşünülsün. Bu durumda p (x) ve p (x) şartları parametre kümesinin elemanıdırlar, yani E = { p (x), p (x) } dir. F fonksiyonunu aşağıdaki şekilde yazılabilir: F: E P(U), F p (x) = {x U: p (x)doğru}, i = 1, 2. Böylece, her X rough kümesi bir soft küme gibi düşünülebilir: (F, E) = { ( p (x), R (X)), ( p (x), R (X))}. Aşağıdaki sonuç, soft kümeler ve ikili bağıntıların yakından ilgili olduğunu gösterir. Teorem 2.2.2: (Feng ve ark., 2010) G = (F, A), U evreni üzerinde bir soft küme olsun. O halde G soft kümesi, R A U ikili bağıntısını oluşturur ve bu bağıntı (x, y) R y F(x) x A, y U şeklinde tanımlanır. R, A parametre kümesinden U evrenine bir ikili bağıntı olsun. F : A P(U), F (x) = {y U: (x, y) R} öyle ki x A, küme değerli dönüşümü tanımlansın. O halde G = (F, A), U üzerinde bir soft kümedir. Üstelik G = G ve R = R dir. İspat: İlk kısım kolayca görülebilir. Bu nedenle G = G ve R = R olduğunu göstermek yeterlidir. G = (F, A), U evreni üzerinde bir soft küme ve x A olsun. O halde, her y U için tanımdan y F (x) (x, y) R y F(x) olur. Yani, her x A için F (x) = F(x). Böylece F = F ve (F, A) = (F, A) dır. Yani G = G dir. R A U, x A ve y U olsun. Tanımdan (x, y) R y F (x) (x, y) R olur. Böylece R = R elde edilir. R, G soft kümesinin kanonik bağıntısı olarak adlandırılır ve G, R ikili bağıntısının kanonik soft kümesi olarak adlandırılır. Tanım (Feng ve ark., 2010) G = (F, A), U evreni üzerinde bir soft küme olsun. Bu durumda P = (U, R ) çifti soft yaklaşım uzayı olarak adlandırılır. Diğer araştırmacıların da gösterdiği gibi bilgi sistemleri ve soft kümeler yakından ilişkilidir (Chen ve ark., 2005; Zou ve Xiao, 2008). U evreni üzerinde G = (F, A) soft

17 8 kümesi verilsin. Eğer U ve A, sonlu boştan farklı kümeler ise G doğal olarak bir bilgi sistemi oluşturur. Her a A özelliği için a: U V = {0,1} fonksiyonu a(x) = 1, x F(a) 0, diğer durumlar şeklinde tanımlanabilir. Böylece, her soft küme bir bilgi sistemi olarak düşünülebilir. Bu da soft kümelerin literatürde sıkça kullanılan tablo gösterimidir. Aksine, soft küme bilgi sistemini açıklamada kullanılabilir. (U, A) ikilisi bir bilgi sistemi olsun. B = {a} V parametre kümesi gibi alarak (F, B) soft kümesi ile tanımlanabilir. F(a, v) = {x U: a(x) = v}, a A ve v V

18 9 3. SOFT ÖRTÜ YAKLAŞIM UZAYI Soft küme kavramından, bir soft kümenin parametrelerin bir kümesinden evrenin güç kümesine küme değerli bir dönüşüm tarafından belirlendiği bilinir. Bu bölümde, özel bir soft küme kullanarak soft örtü yaklaşım uzayını kuracağız ve soft örtü yaklaşım uzayında rough kümeleri tanımlayacağız Soft Örtü Yaklaşım Uzayında Rough Kümeler Tanım 3.1.1: (Feng ve ark., 2010) G = (F, A), U evreni üzerinde bir soft küme olsun. Eğer F(a) = U ise G kümesine tam soft küme denir. Tanım 3.1.2: (Feng ve ark., 2010) G = (F, E), U evreni üzerinde bir tam soft küme olmak üzere eğer her e E için F(e) ise G kümesi, örtü soft küme olarak adlandırılır. Bundan sonra, örtü soft kümeyi C ile göstereceğiz. Tanım 3.1.3: G = (F, E), U evreni üzerinde bir örtü soft küme olsun. Bu durumda S = (U, C ) ikilisine soft örtü yaklaşım uzayı denir. Tanım 3.1.4: S = (U, C ) bir soft örtü yaklaşım uzayı olsun. Md (x) = {F(e): e E x F(e) a E x F(a) F(e) F(e) = F(a) } ailesi, C soft örtüsüne göre, x noktasının soft minimal tasviri olarak adlandırılır. Tanım 3.1.5: S = (U, C ) bir soft örtü yaklaşım uzayı olsun. X U alt kümesi için soft örtü alt ve üst yaklaşımları aşağıdaki gibi tanımlanır: S (X) = {F(e): e E F(e) X} S (X) = S (X) {Md (x): x X S (X)} X U alt kümesinin soft örtü pozitif, soft örtü negatif ve soft örtü sınır bölgeleri sırasıyla aşağıdaki şekildedir: POZ (X) = S (X) NEG (X) = U S (X) SNR (X) = S (X) S (X)

19 10 Eğer S (X) = S (X) ise X, soft örtü yaklaşım uzayında tanımlanabilir küme; S (X) S (X) ise X, soft örtü yaklaşım uzayında rough küme olarak adlandırılır. Diğer bir deyişle, SNR (X) ise X U, soft örtü yaklaşım uzayında rough kümedir. (S (X), S (X)) çifti X kümesinin soft örtü yaklaşım uzayında rough kümesi olarak adlandırılır ve X = (S (X), S (X)) ile gösterilir. Örnek 3.1.1: U = {a, b, c, d, e, f, g, h}, E = {e, e, e, e, e } ve S = (U, C ) soft örtü yaklaşım uzayı olsun. F(e ) = {a, b}, F(e ) = {b, c, d}, F(e ) = {e, f}, F(e ) = {g}, F(e ) = {g, h} olmak üzere X = {a, b, c} U alt kümesini ele alalım. S (X) = {F(e): e E F(e) X} = {a, b} S (X) = S (X) {Md (x): x X S (X)} = {a, b, c, d} O halde, S (X) S (X) olduğundan X, soft örtü yaklaşım uzayında rough kümedir. Y = {e, f, g} U alt kümesini ele alalım. S (Y) = {F(e): e E F(e) Y} = {e, f, g} S (Y) = S (Y) {Md (y): y Y S (Y)} = {e, f, g} O halde, S (Y) = S (Y) olduğundan Y, soft örtü yaklaşım uzayında tanımlanabilir kümedir. Teorem 3.1.1: S = (U, C ) soft örtü yaklaşım uzayı olsun. Soft örtü alt ve üst yaklaşımları aşağıdaki özelliklere sahiptir: i. S (U) = U = S (U) ii. S ( ) = = S ( ) iii. S (X) X S (X) iv. S (S (X)) = S (X) v. S (S (X)) = S (X) vi. X Y S (X) S (Y) vii. e E için S (F(e)) = F(e) viii. e E için S (F(e)) = F(e) İspat: i.,ii.,iii.,vii. ve viii. in ispatları, Tanım ve Tanım gereğince açıktır. iv. Teorem iii. gereğince S (S (X)) S (X). Her x S (X) için bir e E vardır öyle ki x F(e) ve F(e) X. Buradan Teorem vi. gereğince

20 11 S (F(e)) S (X). S (F(e)) = F(e) olduğundan F(e) S (X) olup buradan x S (S (X)). Bu nedenle S (X) S (S (X)) olur. Sonuç olarak, S (S (X)) = S (X). v. Teorem iii. gereğince S (X) S (S (X)). Her x S (X) için bir e E vardır öyle ki x F(e) ve F(e) S (X). Böylece, S (S (X)) = S (X). Teorem v. gereğince S (S (X)) = S (S (X)). Buradan her x S (S (X)) olup x S (X). Sonuç olarak, S (S (X)) = S (X) elde edilir. vi. X Y olduğundan her x S (X) için bir e E vardır öyle ki x F(e) ve F(e) X Y. Teorem vi. ve vii. gereğince F(e) S (Y) olup x S (Y). Sonuç olarak, S (X) S (Y). Teorem 3.1.2: S = (U, C ) soft örtü yaklaşım uzayı olsun. Soft örtü alt ve üst yaklaşımlar için aşağıdaki özellikler sağlanmaz: i. S (X Y) = S (X) S (Y) ii. S (X Y) = S (X) S (Y) iii. X Y S (X) S (Y) iv. S (X) = (S ( X)) v. S (X) = (S ( X)) vi. S S (X) = S (X) vii. S S (X) = S (X) Burada işareti tümleyen anlamına gelir. Yukarıdaki özelliklerin sağlanmadığına dair örnekler verelim. Örnek 3.1.2: U = {a, b, c, d, e, f, g}, E = {e, e, e, e } ve F(e ) = {a, b, c}, F(e ) = {b, c, d}, F(e ) = {d, e}, F(e ) = {f, g} olmak üzere S = (U, C ) soft örtü yaklaşım uzayı olsun. Varsayalım ki X = {a, b, c, d} U ve Y = {d, e} U olsun. i. S (X Y) = S (X) S (Y) olmadığını gösterelim. S (X) = {a, b, c, d}, S (Y) = {d, e} olmak üzere S (X) S (Y) = {d} dir. Ayrıca, S (X Y) = dir. Bu durumda S (X Y) S (X) S (Y) olduğu görülür. iv. S (X) = (S ( X)) olmadığını gösterelim.

21 12 (S ( X)) = {a, b, c} ve S (X) = {a, b, c, d} olmak üzere (S ( X)) S (X) olduğu görülür. v. S (X) = (S ( X)) olmadığını gösterelim. S ( X) = {a, b, c, d, e} ve S (X) = {a, b, c, d} olmak üzere (S ( X)) S (X) olduğu görülür. vi. S S (X) = S (X) olmadığını gösterelim. S S (X) = {f, g} ve S (X) = {e, f, g} olmak üzere S S (X) S (X) olduğu görülür. vii. S S (X) = S (X) olmadığını gösterelim. S S (X) = {d, e, f, g} ve S (X) = {e, f, g} olmak üzere S S (X) S (X) olduğu görülür. Örnek 3.1.3: U = {a, b, c, d, e, f, g}, E = {e, e, e, e } ve F(e ) = {a, b, c}, F(e ) = {b, c, d}, F(e ) = {d, e}, F(e ) = {f, g} olmak üzere S = (U, C ) soft örtü yaklaşım uzayı verilsin. X = {a, b} ve Y = {c, d} olsun. ii. S (X Y) = S (X) S (Y) olmadığını gösterelim. S (X) = {a, b, c, d}, S (Y) = {a, b, c, d, e} olmak üzere S (X) S (Y) = {a, b, c, d, e} dir. Ayrıca, S (X Y) = {a, b, c, d} dir. Bu durumda S (X Y) S (X) S (Y) olduğu görülür. Örnek 3.1.4: U = {a, b, c, d, e, f, g}, E = {e, e, e, e } ve F(e ) = {a, b, c}, F(e ) = {b, c, d}, F(e ) = {d, e}, F(e ) = {f, g} olmak üzere S = (U, C ) soft örtü yaklaşım uzayı verilsin. X = {d} ve Y = {b, c, d} olsun. iii. X Y S (X) S (Y) olmadığını gösterelim. X = {d} Y = {b, c, d} olduğu açıktır. S (X) = {d, e} ve S (Y) = {b, c, d} dir. Bu durumda S (X) S (Y) olduğu görülür. Şimdi, hangi durumlar altında Teorem deki i., ii. ve iii. özelliklerinin sağlandığını inceleyelim. S (X) = X olması için gerek ve yeter koşul X kümesinin C soft örtüsünün bazı elemanlarının birleşimine eşit olmasıdır. Benzer şekilde, S (X) = X olması için gerek ve yeter koşul X kümesinin C soft örtüsünün bazı elemanlarının birleşimine eşit olmasıdır.

22 13 Teorem 3.1.3: S = (U, C ) soft örtü yaklaşım uzayı ve X, Y U olsun. S (X Y) = S (X) S (Y) olması için gerek ve yeter koşul her e, e E için F(e ) F(e ) nin, soft örtünün sonlu tane elemanının birleşimine eşit olmasıdır. İspat: : F(e ) F(e ) = S (F(e )) S (F(e )) = S (F(e ) F(e )), F(e ) F(e ) = S (F(e ) F(e )) ve S (F(e ) F(e )) soft örtünün sonlu tane elemanının birleşimine eşit olduğundan F(e ) F(e ) soft örtünün sonlu tane elemanının birleşimine eşittir. : X Y X ise S (X Y) S (X) (3.1) X Y Y ise S (X Y) S (Y) (3.2) (3.1) ve (3.2) nin kesişimi alındığında S (X Y) S (X) S (Y) elde edilir. e E, e E, 1 i m ve1 j n olmak üzere S (X) = F(e ) F(e ) F(e ) ve S (Y) = F(e ) F(e ) F(e ). Herhangi bir 1 i m ve 1 j n için F(e ) F(e ) X Y. Teoremin varsayımından, F(e ) F(e ) soft örtünün sonlu tane elemanının birleşimine eşittir. O halde, 1 h l için F(p ) soft örtünün elemanı olmak üzere F(e ) F e = F(p ) F(p ). Buradan 1 h l için F(p ) S (X Y). 1 i m ve 1 j n için F(e ) F(e ) S (X Y). S (X) S (Y) = [F(e ) F(e )] olduğundan S (X) S (Y) S (X Y). Sonuç olarak, S (X Y) = S (X) S (Y) elde edilir. Teorem 3.1.4: S = (U, C ) soft örtü yaklaşım uzayı ve X, Y U olsun. X Y S (X) S (Y) olması için gerek ve yeter koşul her e, e E için F(e ) F(e ) nin, soft örtünün sonlu tane elemanının birleşimine eşit olmasıdır. İspat: : F(e ) F(e ) F(e ), S (F(e ) F(e )) S (F(e )) = F(e ) (3.3) F(e ) F(e ) F(e ), S (F(e ) F(e )) S (F(e )) = F(e ) (3.4)

23 14 (3.3) ve (3.4) ün kesişimi alındığında, S (F(e ) F(e )) F(e ) F(e ) elde edilir. Teorem iii. gereğince F(e ) F(e ) S (F(e ) F(e )). Sonuç olarak, S (F(e ) F(e )) = F(e ) F(e ) olup F(e ) F(e ), soft örtünün elemanlarının sonlu tanesinin birleşimine eşittir. : S (X) = S (X) F(e ) F(e ) öyle ki 1 i m olmak üzere bazı y X S (X) için y F(e ) X ve F(e ) Md (y ). X Y olduğundan açıktır ki, y Y. Eğer y Y S (Y) ise görmesi kolaydır ki 1 i m için F(e ) S (Y). Eğer y Y S (Y) ise y S (Y). Bu durumda 1 j m için bir F(e ) vardır öyle ki y F(e ) S (Y). Teoremin varsayımından, F(e ) F(e ) soft örtünün elemanlarının sonlu tanesinin birleşimine eşittir. F(e ) F e = F(e ) F(e ) öyle ki 1 h l için F(e ) C. Böylece, 1 j l için bir j vardır öyle ki y F(e ). F(e ) Md (y ) olduğundan F(e ) = F(e ), böylece F(e ) F(e ). Buradan 1 i m için F(e ) S (Y) S (Y). Teorem iii. ve iv. gereğince S (X) S (Y) S (Y). Sonuç olarak, S (X) S (Y). Teorem 3.1.5: S = (U, C ) soft örtü yaklaşım uzayı ve X, Y U olsun. X Y S (X) S (Y) olması için gerek ve yeter koşul S (X Y) = S (X) S (Y) olmasıdır. İspat: : X X Y ise S (X) S (X Y) (3.5) Y X Y ise S (Y) S (X Y) (3.6) (3.5) ve (3.6) nın birleşimi alındığında, S (X) S (Y) S (X Y) elde edilir. Buradan S S (X) S (Y) S S (X Y) ; Teorem v. gereğince S S (X) S (Y) S (X Y) (3.7) Teorem iii. gereğince X S (X) ve Y S (Y) ise S (X Y) S (S (X) S (Y)) (3.8)

24 15 (3.7) ve (3.8) gereğince S (X Y) = S (S (X) S (Y)). Buradan S (X Y) = S (X) S (Y) elde edilir. : X Y ise X Y = Y, S (Y) = S (X Y) = S (X) S (Y). Buradan S (X) S (Y) elde edilir. Sonuç 3.1.1: S = (U, C ) soft örtü yaklaşım uzayı ve X, Y U olsun. S (X Y) = S (X) S (Y) olması için gerek ve yeter koşul her e, e E için F(e ) F(e ) nin, soft örtünün sonlu tane elemanının birleşimine eşit olmasıdır Soft Örtü Yaklaşım Uzayında Topoloji Kurma Yöntemleri Teorem 3.2.1: U evren küme, S = (U, C ) soft örtü yaklaşım uzayı olsun. Her e, e E için F(e ) F(e ), soft örtünün sonlu tane elemanının birleşimine eşit olsun. τ = {X U: S (X) = X} ailesi U evreninin alt kümelerinin bir koleksiyonu olsun. τ, U evreni üzerinde bir topolojidir. İspat: a 1 ] X = ise Teorem ii. gereğince S ( ) = olduğundan τ ve X = U ise Teorem i. gereğince S (U) = U olduğundan U τ elde edilir. a 2 ] Her i I için A τ olsun. Buradan S (A ) = A olur. Bu durumda j I olmak üzere A A olacak şekilde bir A τ vardır. Teorem vi. gereğince S (A ) S ( S ( A A ) olup A τ olduğundan S (A ) = A dir. Buradan A ) elde edilir. Her j I için bu özellik geçerli olduğundan A S ( A ) (3.9) Ayrıca Teorem iii. gereğince S ( A ) A (3.10) olur. (3.9) ve (3.10) ifadelerinden S ( A ) = A olup A τ elde edilir.

25 16 a 3 ] Herhangi A, B τ kümelerini ele alalım. Bu durumda S (A) = A ve S (B) = B olur. Teorem gereğince S (A B) = S (A) S (B) = A B olur. Sonuç olarak, S (A B) = A B olup A B τ elde edilir. Teorem 3.2.2: U evren küme, S = (U, C ) soft örtü yaklaşım uzayı olmak üzere her e, e E için F(e ) F(e ), soft örtünün sonlu tane elemanının birleşimine eşit olsun. K = {X U: S (X) = X} ailesi U evreninin alt kümelerinin bir koleksiyonu olsun. K, U evreni üzerinde bir topolojidir. İspat: k 1 ] X = ise Teorem ii. gereğince S ( ) = olduğundan K ve X = U ise Teorem i. gereğince S (U) = U olduğundan U K elde edilir. k 2 ] Her i I için A K olsun. Buradan S (A ) = A olur. Bu durumda j I olmak üzere A A olacak şekilde bir A K vardır. Teorem gereğince S ( A ) S (A ) olup A K olduğundan S (A ) = A dir. Buradan S ( A ) A elde edilir. Her j I için bu özellik geçerli olduğundan S ( A ) A (3.11) Ayrıca Teorem iii. gereğince A S ( A ) (3.12) olur. (11) ve (12) ifadelerinden S ( A ) = A olup A K elde edilir. k 3 ] Herhangi A, B K kümelerini ele alalım. Bu durumda S (A) = A ve S (B) = B olur. Sonuç gereğince S (A B) = S (A) S (B) = A B olur. Sonuç olarak, S (A B) = A B olup A B K elde edilir. Teorem 3.2.3: U evren küme ve S = (U, C ) soft örtü yaklaşım uzayı olsun. C soft örtüsünün elemanları alt taban olarak alınıp U evreni üzerinde bir topoloji kurulur.

26 17 Örnek 3.2.1: S = (U, C ) soft örtü yaklaşım uzayı olsun. U = {h, h, h, h, h }, E = {e, e, e } olmak üzere F(e ) = {h, h, h }, F(e ) = {h, h }, F(e ) = {h, h }, olsun. Buradan S = C = {{h, h, h }, {h, h }, {h, h }} β = {h }, {h }, {h, h }, {h, h }, {h, h, h } τ = {, U, {h }, {h }, {h, h }, {h, h }, {h, h, h }, {h, h, h }, {h, h, h, h }} elde edilir Soft Örtü Yaklaşım Uzayında Eşitlik ve Kapsama Tanım 3.3.1: S = (U, C ) soft örtü yaklaşım uzayı ve X, Y U olsun. i. S (X) = S (Y) olması için gerek ve yeter koşul X ile Y kümelerinin soft örtü alttan eşit olmasıdır ve X = Y şeklinde gösterilir. ii. S (X) = S (Y) olması için gerek ve yeter koşul X ile Y kümelerinin soft örtü üstten eşit olmasıdır ve X = Y şeklinde gösterilir. iii. X = Y ve X = Y olması için gerek ve yeter koşul X ile Y kümelerinin soft örtü eşit olmasıdır ve X Y şeklinde gösterilir. Tanım 3.3.2: S = (U, C ) soft örtü yaklaşım uzayı ve X, Y U olsun. i. S (X) S (Y) olması için gerek ve yeter koşul Y kümesinin X kümesini soft örtü alttan kapsamasıdır ve X Y şeklinde gösterilir. ii. S (X) S (Y) olması için gerek ve yeter koşul Y kümesinin X kümesini soft örtü üstten kapsamasıdır ve X Y şeklinde gösterilir. iii. X Y ve X Y olması için gerek ve yeter koşul Y kümesinin X kümesini soft örtü kapsamasıdır ve X Y şeklinde gösterilir. Teorem 3.3.1: S = (U, C ) soft örtü yaklaşım uzayı ve X, Y, Z, X, Y U olsun. Aşağıdaki özellikler sağlanır: i. X Y ve Y X X = Y, ii. X Y ve Y X X = Y,

27 18 iii. X Y ve Y X X Y, iv. X Y ve X = X, Y = Y X Y, v. X Y ve X = Z Z Y, vi. X Y ve X = Z Z Y, vii. X Y ve X Z Z Y. İspat: i. Tanım gereğince X Y olması için gerek ve yeter koşul S (X) S (Y) ve Y X olması için gerek ve yeter koşul S (Y) S (X) olmasıdır. Buradan S (X) = S (Y) olduğundan X = Y elde edilir. ii. Tanım gereğince X Y olması için gerek ve yeter koşul S (X) S (Y) ve Y X olması için gerek ve yeter koşul S (Y) S (X) olmasıdır. Buradan S (X) = S (Y) olduğundan X = Y elde edilir. iii. Tanım gereğince X Y olması için gerek ve yeter koşul X Y ve X Y, Y X olması için gerek yeter koşul Y X ve Y X olmasıdır. Buradan X Y olması için gerek ve yeter koşul S (X) S (Y) (3.13) ve X Y olması için gerek ve yeter koşul S (X) S (Y) (3.14) olmasıdır. Benzer şekilde, Y X olması için gerek ve yeter koşul S (Y) S (X) (3.15) ve Y X olması için gerek ve yeter koşul S (Y) S (X) (3.16) olmasıdır. (3.13) ve (3.15) gereğince S (X) S (Y) ve S (Y) S (X) ise S (X) = S (Y). (3.14) ve (3.16) gereğince S (X) S (Y) ve S (Y) S (X) ise S (X) =

28 19 S (Y). Tanım gereğince X = Y ve X = Y olması için gerek ve yeter koşul X Y. iv. Tanım gereğince X = X olması için gerek ve yeter koşul S (X) = S (X ) olmasıdır. Benzer şekilde, Y = Y olması için gerek ve yeter koşul S (Y) = S (Y ) olmasıdır. Teorem vi. gereğince X Y ise S (X) S (Y) dir. S (X) = S (X ) ve S (Y) = S (Y ) olduğundan S (X ) S (Y ) olup Tanım gereğince X Y elde edilir. v. Tanım ve Tanım gereğince X Y olması için gerek ve yeter koşul S (X) S (Y) ve X = Z olması için gerek ve yeter koşul S (X) = S (Z). S (X) = S (Z) S (Y), S (Z) S (Y) olduğundan Tanım gereğince Z Y elde edilir. vi. v. in ispatına benzer şekilde yapılır. vii. v. ve vi. nın sonucu olarak elde edilir. Teorem 3.3.2: S = (U, C ) soft örtü yaklaşım uzayı ve X, Y, X, Y U olsun. Her e, e E için F(e ) F(e ), soft örtünün sonlu tane elemanının birleşimine eşit olsun. Aşağıdaki özellikler sağlanır: i. X = Y X Y = X = Y, ii. X = Y X Y = X = Y, iii. X = X ve Y = Y X Y = X Y, iv. X = X ve Y = Y X Y = X Y, v. X Y X Y = Y, vi. X Y X Y = X, vii. X Y ve X = X, Y = Y X Y, viii. X Y ve X = X, Y = Y X Y, ix. X Y ve X X, Y Y X Y. İspat: i. Tanım gereğince X = Y olması için gerek ve yeter koşul S (X) = S (Y) olmasıdır. Teorem gereğince S (X Y) = S (X) S (Y). Buradan S (X Y) = S (X) = S (Y) olup X Y = X = Y elde edilir.

29 20 ii. Tanım gereğince X = Y olması için gerek ve yeter koşul S (X) = S (Y) olmasıdır. Sonuç gereğince S (X Y) = S (X) S (Y). Buradan S (X Y) = S (X) = S (Y) olup X Y = X = Y elde edilir. iii. Tanım gereğince X = X olması için gerek ve yeter koşul S (X) = S (X ) olmasıdır. Benzer şekilde, Y = Y olması için gerek ve yeter koşul S (Y) = S (Y ) olmasıdır. Buradan S (X) S (Y) = S (X ) S (Y ) bulunur. Sonuç gereğince S (X Y) = S (X Y ) olup X Y = X Y elde edilir. iv. Tanım gereğince X = X olması için gerek ve yeter koşul S (X) = S (X ) olmasıdır. Benzer şekilde, Y = Y olması için gerek ve yeter koşul S (Y) = S (Y ) olmasıdır. Buradan S (X) S (Y) = S (X ) S (Y ) bulunur. Teorem gereğince S (X Y) = S (X Y ) olup X Y = X Y elde edilir. v. : Tanım gereğince X Y olması için gerek ve yeter koşul S (X) S (Y) olmasıdır. Her iki tarafın S (Y) ile birleşimini alırsak, S (X) S (Y) S (Y) olur. Sonuç gereğince S (X Y) S (Y) ve Teorem gereğince Y X Y ise S (Y) S (X Y). Buradan S (X Y) = S (Y) olup Tanım gereğince X Y = Y elde edilir. : Tanım gereğince X Y = Y olması için gerek ve yeter koşul S (X Y) = S (Y) olmasıdır. Sonuç gereğince S (X Y) = S (X) S (Y). Buradan S (X) S (Y) olup Tanım gereğince X Y elde edilir. vi. : Tanım gereğince X Y olması için gerek ve yeter koşul S (X) S (Y) olmasıdır. Her iki tarafın S (X) ile kesişimini alırsak, S (X) S (X) S (Y) olur. Teorem gereğince S (X) S (X Y) ve Teorem vi. gereğince X Y X ise S (X Y) S (X). Buradan S (X Y) = S (X) olup Tanım gereğince X Y = X elde edilir. : Tanım gereğince X Y = X olması için gerek ve yeter koşul S (X Y) = S (X) olmasıdır. Teorem gereğince S (X Y) = S (X) S (Y). Buradan S (X) S (Y) olup Tanım gereğince X Y elde edilir. vii. Tanım gereğince X = X olması için gerek ve yeter koşul S (X) = S (X ) olmasıdır. Benzer şekilde, Y = Y olması için gerek ve yeter koşul S (Y) = S (Y ) olmasıdır. Teorem gereğince X Y ise S (X) S (Y) olduğunu biliyoruz. Buradan S (X ) S (Y ) olup Tanım gereğince X Y elde edilir. viii. Tanım gereğince X = X olması için gerek ve yeter koşul S (X) = S (X ) olmasıdır. Benzer şekilde, Y = Y olması için gerek ve yeter koşul S (Y) = S (Y )

30 21 olmasıdır. Teorem vi. gereğince X Y ise S (X) S (Y) olduğunu biliyoruz. Buradan S (X ) S (Y ) olup Tanım gereğince X Y elde edilir. ix. vii. ve viii. in sonucu olarak elde edilir Topolojideki İç ve Kapanış Operatörleri ile Soft Örtü Alt ve Üst Yaklaşım Operatörleri Arasındaki İlişki Bu bölümde, evrenin soft örtüsünü topoloji için alt taban olarak alacağız ve elde edilen topolojide herhangi bir kümenin kapanışını, içini ve sınırını hesaplayıp, bunları sırasıyla soft örtü alt yaklaşımı, soft örtü üst yaklaşımı ve soft örtü sınır bölgesiyle karşılaştıracağız. Önerme 3.4.1: S = (U, C ) soft örtü yaklaşım uzayı ve X U olsun. Soft örtü alt yaklaşımı, soft örtünün elemanlarının alt taban olarak alınmasıyla elde edilen topolojinin içi tarafından kapsanır. İspat: C ailesi, U evreninin soft örtüsü, X U ve x S (X) olsun. Bu durumda x F(e) olacak şekilde bir F(e) S (X) vardır. F(e) kümesi, U evreni üzerinde tanımlanan topoloji için alt tabanın bir elemanı olduğundan her F(e) C olduğu açıktır. Böylece, x { F(e) U: F(e) X açık } olup x X. Bu durumda S (X) X bulunur. Önerme 3.4.2: S = (U, C ) soft örtü yaklaşım uzayı ve X U olsun. X kümesinin soft örtü üst yaklaşımı, soft örtüden üretilen topolojiye göre X kümesinin kapanışıyla karşılaştırılamaz. Sonuç 3.4.1: S = (U, C ) soft örtü yaklaşım uzayı ve X U olsun. X kümesinin soft örtü sınır bölgesi, soft örtüden üretilen topolojiye göre X kümesinin sınırıyla karşılaştırılamaz. Örnek 3.4.1: S = (U, C ) soft örtü yaklaşım uzayı olsun. U = {h, h, h, h, h }, E = {e, e, e } olmak üzere F(e ) = {h, h, h }, F(e ) = {h, h }, F(e ) = {h, h }

31 22 olsun. X = {h, h, h } kümesini ele alalım. S (X) = {h, h }, S (X) = {h, h, h, h }, SNR (X) = {h, h } ve Örnek gereğince X = {h, h }, X = U, X = {h, h, h } bulunur. Bu durumda S (X) X, S (X) X ve SNR (X) X elde edilir. Y = {h, h, h } kümesini ele alalım. S (Y) = {h, h }, S (Y) = U, SNR (Y) = {h, h, h } ve Örnek gereğince Y = {h, h }, Y = {h, h, h, h }, Y = {h, h } bulunur. Bu durumda S (Y) Y, Y S (Y) ve Y SNR (Y) elde edilir Soft Örtü Yaklaşım Uzayının Özel Hali Tanım 3.5.1: (Feng ve ark., 2011) {F(e): e E}, U evreninin bir parçalanmasını oluşturuyorsa U evreni üzerindeki G = (F, E) soft kümesi parçalı soft küme olarak adlandırılır. Her parçalı soft küme bir örtü soft kümedir, ancak tersi genellikle doğru değildir. Teorem 3.5.1: G = (F, E), U evreni üzerinde parçalı soft küme ve S = (U, C ) soft örtü yaklaşım uzayı olsun. U evreni üzerinde R denklik bağıntısı (x, y) R x, y U için e E öyle ki {x, y} F(e) şeklinde verilsin. Bu durumda her X U için R (X) = S (X) ve R (X) = S (X) olur. İspat: X U ve u U olsun. G = (F, E), U evreni üzerinde parçalı soft küme olduğundan u F(e ) olacak şekilde bir e E vardır. R, U evreni üzerinde yukarıdaki şekilde bir denklik bağıntısı olduğundan F(e ) = [u]. Her x U için x [u] (x, u) R e E {x, u} F(e) x F(e ). İlk olarak, R (X) = S (X) olduğunu gösterelim. u R (X) ise [u] X dir. Böylece u F(e ) = [u] X olacak şekilde bir e E vardır. Bu durumda u S (X) olup R (X) S (X) (3.17) elde edilir. Diğer taraftan, u S (X) olsun. Buradan u F(e ) X, F(e ) = [u] X. Böylece, u R (X) olup S (X) R (X) (3.18)

32 23 elde edilir. (3.17) ve (3.18) gereğince R (X) = S (X) olduğu görülür. Şimdi de, R (X) = S (X) olduğunu gösterelim. u R (X) olsun. Bu durumda [u] X olur. u F(e ) = [u] olacak şekilde bir e E vardır. [u] X olduğundan u [u] X ya da u X R (X). Yani, u F(e ) X ya da u X S (X). u X S (X) ve G = (F, E) parçalı soft küme olduğundan u F(e ) = Md (u) bir F(e ) vardır. Buradan u F(e ) X ya da u X S (X) olmak üzere u Md (u). Yani, u S (X). Bu durumda R (X) S (X) (3.19) elde edilir. Diğer taraftan, u S (X) olsun. u S (X) = S (X) {Md (u): u X S (X)}. u S (X) ya da u X S (X) için u F(e ). G = (F, E) parçalı soft küme olduğundan Md (u) = F(e ). u R (X) ya da u X R (X) için u [u], [u] X, u R (X). Yani S (X) R (X) (3.20) olur. (3.19) ve (3.20) gereğince R (X) = S (X) olduğu görülür. Teorem 3.5.2: S = (U, C ) soft örtü yaklaşım uzayı ve X U olsun. G = (F, E) parçalı soft küme olmak üzere soft örtünün alt taban olarak alınmasıyla elde edilen topolojiye göre X kümesinin içi ve kapanışı sırasıyla kümenin soft örtü alt yaklaşımına ve soft örtü üst yaklaşımına eşittir. İspat: G = (F, E) parçalı soft küme olduğundan R (X) = S (X) ve R (X) = S (X) elde edilir. Ayrıca R (X) = X ve R (X) = X (Pawlak, 1982). Bu durumda S (X) = X ve S (X) = X elde edilir. Örnek 3.5.1: G = (F, E) parçalı soft küme ve S = (U, C ) soft örtü yaklaşım uzayı olsun. U = {h, h, h, h, h, h, h }, E = {e, e, e } olmak üzere F(e ) = {h, h }, F(e ) = {h, h } ve F(e ) = {h, h, h } olsun. S = {h, h }, {h, h }, {h, h, h } β = {h, h }, {h, h }, {h, h, h }

33 24 τ =, U, {h, h }, {h, h }, {h, h, h } elde edilir. X = {h, h, h } kümesini ele alalım. X = {h, h }, X = {h, h, h, h }, X = {h, h } ve S (X) = {h, h }, S (X) = {h, h, h, h }, SNR (X) = {h, h } bulunur. Bu durumda X = S (X), X = S (X) ve X = SNR (X) olduğu görülür. Y = {h, h } kümesini ele alalım.y =, Y = {h, h, h }, Y = {h, h, h } ve S (Y) =, S (Y) = {h, h, h }, SNR (Y) = {h, h, h } bulunur. Görüldüğü gibi; Y = S (Y), Y = S (Y) ve Y = SNR (Y) dir Soft Örtü Üyelik Fonksiyonu Tanım 3.6.1: G = (F, E) parçalı soft küme ve S = (U, C ) soft örtü yaklaşım uzayı olsun. Soft örtü üyelik fonksiyonunu μ (x) = ( ) ( ) şeklinde tanımlayalım. öyle ki F(e ) C, x U (1) μ (x) = 1 x, soft örtü pozitif bölgeye aittir, (2) μ (x) = 0 x, soft örtü negatif bölgeye aittir, (3) 0 < μ (x) < 1 x, soft örtü sınır bölgeye aittir denir. Örnek 3.6.1: G = (F, E) parçalı soft küme ve S = (U, C ) soft örtü yaklaşım uzayı olsun. U = {h, h, h, h, h, h, h } ve E = {e, e, e } olmak üzere F(e ) = {h, h }, F(e ) = {h, h }, F(e ) = {h, h, h } olsun. X = {h, h, h } kümesini ele alalım. μ (h ) = {, } {,, } {, } = 1, benzer şekilde μ (h ) = 1, μ (h ) = μ (h ) =, μ (h ) = μ (h ) = μ (h ) = 0 bulunur. Buradan S (X) = POZ (X) = {h, h }, S (X) = {h, h, h, h }, NEG (X) = {h, h, h } ve SNR (X) = {h, h } elde edilir. Ayrıca, Y = {h, h } kümesini ele alalım. μ (h ) = μ (h ) = μ (h ) = μ (h ) = 0 ve μ (h ) = μ (h ) = μ (h ) = bulunur. Buradan da, S (Y) = POZ (Y) =, S (Y) = {h, h, h }, NEG (Y) = {h, h, h, h } ve SNR (Y) = {h, h, h } elde edilir.

34 25 4. SOFT ÖRTÜ YAKLAŞIM UZAYINDA ROUGH KÜME ÜZERİNDE KURULAN TOPOLOJİ S (X) ve S (X) kesin kümeler olduğundan S (X) ve S (X) üzerinde sırasıyla τ ve τ farklı topolojilerini verebiliriz. Böylece (S (X), τ ) ve (S (X), τ ) topolojik uzaylarını elde ederiz. S = (U, C ) soft örtü yaklaşım uzayı olmak üzere bu çalışma boyunca aşağıdaki notasyonları kullanacağız. (1) Soft örtü yaklaşım uzayında rough kümelerin kesişim işlemi: A B = (S (A) S (B), S (A) S (B)) (2) Soft örtü yaklaşım uzayında rough kümelerin birleşim işlemi: A B = (S (A) S (B), S (A) S (B)) 4.1. Soft Örtü Yaklaşım Uzayında Rough Küme Üzerinde Kurulan Topolojide Açık Kümeler, Komşuluk ve Kapalı Kümeler Tanım 4.1.1: S = (U, C ) soft örtü yaklaşım uzayı olsun. X = (S (X), S (X)) U olmak üzere A ve A sırasıyla (S (X), τ ) ve (S (X), τ ) topolojik uzaylarının alt kümeleri olsunlar. a A olmak üzere a noktasının S (X) içinde A kümesinin iç noktası olması için gerek ve yeter koşul a U A olacak şekilde bir U τ var olmasıdır. a A olmak üzere a noktasının S (X) içinde A kümesinin iç noktası olması için gerek ve yeter koşul a U A olacak şekilde bir U τ var olmasıdır. S (X) içinde A kümesinin tüm iç noktalarından oluşan küme, A kümesinin içi olarak adlandırılır. S (X) içinde A kümesinin tüm iç noktalarından oluşan küme, A kümesinin içi olarak adlandırılır. Bu kümeler sırasıyla A ve A ile gösterilir. A, S (X) de açık küme A = A A, S (X) de açık küme A = A A, A açık ve A S (X) A S (X) durumu sağlanıyorsa A = (A, A ), X kümesinde açık kümedir.

35 26 Teorem 4.1.1: A = (A, A ), X = (S (X), S (X)) U kümesinin alt kümesi olsun ve A S (X) A S (X) sağlansın. A kümesinin açık olması için gerek ve yeter koşul A kümesinin bazı açıkların birleşiminden oluşan sıralı ikili olmasıdır. İspat: Tanım gereğince A kümesinin S (X) içinde açık küme olması için gerek ve yeter koşul A = A olmasıdır. Her a A için a U A olacak şekilde bir U τ vardır. Buradan a U olur. O halde A, S (X) içindeki bazı açıkların birleşimine eşittir. Benzer şekilde A kümesinin açık olması için gerek ve yeter koşul A kümesinin S (X) içindeki bazı açıkların birleşimine eşit olmasıdır. A S (X) A S (X) sağlandığından A = (A, A ) kümesinin, X = (S (X), S (X)) kümesinde açık olması için gerek ve yeter koşul A = (A, A ) kümesinin bazı açıkların birleşiminden oluşan sıralı ikili olmasıdır. Tanım 4.1.2: S = (U, C ) soft örtü yaklaşım uzayı olsun. X = (S (X), S (X)) U olmak üzere V ve V sırasıyla (S (X), τ ) ve (S (X), τ ) topolojik uzaylarının alt kümeleri, a V ve a V sırasıyla S (X) ve S (X) içinde noktalar olsunlar. V, S (X) içinde a noktasının komşuluğu T τ a T V V, S (X) içinde a noktasının komşuluğu T τ a T V V, V komşuluk ve V S (X) V S (X) sağlanıyorsa V = (V, V ), X kümesinde a = (a, a ) noktasının komşuluğudur. a noktasının bütün komşuluklarından oluşan aileye a noktasının komşuluklar ailesi denir ve V ( ) ile gösterilir. Teorem 4.1.2: X = (S (X), S (X)) U, V ve V sırasıyla (S (X), τ ) ve (S (X), τ ) topolojik uzaylarının alt kümeleri olsun. x X olmak üzere, x noktasının V ( ) komşuluklar ailesi aşağıdaki özellikleri sağlar: v 1 ] x = (x, x ) noktasının her V komşuluğu için x V dir. v 2 ] x = (x, x ) noktasının her sonlu sayıda komşuluklarının kesişimi de x noktasının bir komşuluğudur. v 3 ] V ( ) ailesine ait herhangi bir kümenin üst kümesi de V ( ) ailesine aittir.

36 27 İspat: v 1 ] V, x noktasının komşuluğu olsun. Bu durumda V, x noktasının ve V, x noktasının komşuluğudur. Yani, x T V olacak şekilde bir T τ vardır ve x T V olacak şekilde bir T τ vardır. Ayrıca Tanım gereğince V S (X) V S (X) olduğundan (x, x ) (T, T ) (V, V ) olmak üzere x T V olacak şekilde bir T τ vardır. Sonuç olarak, x V elde edilir. v 2 ] Sonlu sayıda V ( ), V ( ),, V ( ) V ( ) komşulukları verilsin. V ( ) = (V ( ), V ( ) ), V ( ) = (V ( ), V ( ) ),, V ( ) = (V ( ), V ( ) ) olur. Bu durumda V ( ), V ( ),, V ( ) ; x noktasının sonlu tane komşuluğudur. Benzer şekilde, V ( ), V ( ),, V ( ) ; x noktasının sonlu tane komşuluğudur. V ( ) ( ), x noktasının komşuluğu T τ öyle ki x T V V ( ) ( ), x noktasının komşuluğu T τ öyle ki x T V V ( ) ( ), x noktasının komşuluğu T τ öyle ki x T V olur. Kesişim işleminden x T T T ( ) V elde edilir. U U U τ olduğundan; Tanım gereğince noktasının komşuluğudur. Benzer şekilde, ( ) V ( ) V, x noktasının komşuluğudur. ( ) ( ) ( ) ( ) V, V komşuluk ve V S (X) V S (X) olduğundan V ( ) ( ) ( ) = ( V, V ), x noktasının komşuluğudur. v 3 ] V = (V, V ) V ( ) komşuluğu verilsin. Bu durumda x = (x, x ) olmak üzere V, x noktasının ve V, x noktasının komşuluğudur. Yani, x T V olacak şekilde bir T τ vardır ve x T V olacak şekilde bir T τ vardır. Eğer x T V W ve x T V W ise W = (W, W ) de x = (x, x ) noktasının komşuluğu olur öyle ki W S (X) W S (X) dir. O halde, x T V W olmak üzere x noktasının herhangi bir V komşuluğunu kapsayan her küme de x noktasının komşuluğudur. Sonuç olarak, W V ( ) elde edilir., x Teorem 4.1.3: S = (U, C ) soft örtü yaklaşım uzayı, X = (S (X), S (X)) U olsun. τ = (τ, τ ), X kümesinin tüm açık kümelerinden oluşan bir aile olmak üzere aşağıdaki şartları sağlar:

37 28 a 1 ] X τ ve τ a 2 ] T, T τ T T τ a 3 ] i I için T τ τ τ τ ve τ, sırasıyla S (X) ve S (X) uzaylarının tüm açık kümelerinden oluşan açık kümelerin ailesidir. İspat: a 1 ] S (X) τ ve S (X) τ olup S (X) S (X) olduğundan X = (S (X), S (X)) τ olur. Ayrıca, τ ve τ olduğundan = (, ) τ olur. a 2 ] a ] gereğince T T = ise τ dur. T T = (S (T ) S (T ), S (T ) S (T )) olduğunu biliyoruz. T τ yani T açık olduğundan S (T ) ve S (T ) açık kümelerdir ve S (T ) S (X) S (T ) S (X) tir. Benzer şekilde, T τ yani T açık olduğundan S (T ) ve S (T ) açık kümelerdir ve S (T ) S (X) S (T ) S (X) tir. Varsayalım ki, S (T ) S (T ) ve S (T ) S (T ) olsun. Bu durumda x S (T ) S (T ) ve x S (T ) S (T ) olacak şekilde x ve x noktaları vardır. x V S (T ), x W S (T ), x V S (T ) ve x W S (T ) açık komşulukları vardır öyle ki x V W S (T ) S (T ) ve x V W S (T ) S (T ) olur. Komşulukların sonlu tanesinin kesişimi komşuluk olduğundan x N S (T ) S (T ) ve x N S (T ) S (T ) elde edilir. Böylece, x ve x noktaları sırasıyla S (T ) S (T ) ve S (T ) S (T ) nin iç noktalarıdır. Çünkü, S (T ) S (T ) ve S (T ) S (T ) açık kümelerdir. Varsayımdan, S (T ) S (T ) S (X) S (T ) S (T ) S (X) sağlanır. Buradan T T, X kümesinin açık kümesidir yani T T τ olduğu bulunur. a 3 ] Varsayalım ki T = (S (T ), S (T )) τ olsun. i {1,2, } olmak üzere S (T ) ve S (T ) ler açık kümelerdir ve S (T ) S (X) S (T ) S (X) şartını sağlarlar. a ] ye benzer şekilde ispat yapılır ve T τ elde edilir. Tanım 4.1.3: X = (S (X), S (X)) U olsun. τ, X kümesinin alt kümelerinin bir ailesi olmak üzere açıklar aksiyomunu (a ] a ]) sağlasın. τ ailesi, X kümesi üzerinde topoloji olarak adlandırılır. τ ailesinin elemanları, X kümesinin açık kümeleri olarak

38 29 adlandırılır. X soft örtü yaklaşım uzayında rough kümesi, topolojisi τ ile birlikte soft örtü yaklaşım uzayında rough topolojik uzay olarak adlandırılır ve (X, τ) ile gösterilir. Tanım 4.1.4: S = (U, C ) soft örtü yaklaşım uzayı ve X = (S (X), S (X)) U olsun. Eğer F ve F kümelerinin tümleyen kümeleri S (X) F ve S (X) F sırasıyla S (X) ve S (X) de açık kümeler ise F ve F sırasıyla S (X) ve S (X) in kapalı kümeleri olarak adlandırılır. Aynı zamanda F ve F, F S (X) F S (X) şartını sağlıyorsa F = (F, F ), X kümesinin kapalı kümesi olarak adlandırılır. Teorem 4.1.4: S = (U, C ) soft örtü yaklaşım uzayı ve X = (S (X), S (X)) U olsun. K = (K, K ), X kümesinin tüm kapalı kümelerinden oluşan aile olsun. Bu durumda K, aşağıdakileri sağlar: k 1 ] X K ve K k 2 ] F, F K F F K k 3 ] i I için F K F K İspat: k 1 ] Teorem a ] gereğince S (X) S (X), S (X) S (X) = (, ) = τ olduğundan X = (S (X), S (X)) K. (S (X), S (X) ) = (S (X), S (X)) = X τ olduğundan K olur. k 2 ] F = S (F ), S (F ), F = (S (F ), S (F )) K olsun. Bu durumda S (F ), S (F ) K ; S (F ), S (F ) K ve S (F ) S (X) S (F ) S (X); S (F ) S (X) S (F ) S (X) olur. S (X) S (F ) S (F ) = S (X) S (F ) (S (X) S (F )), S (X) (S (F ) S (F )) = (S (X) S (F )) (S (X) S (F )) olduğundan ve aynı zamanda S (X) S (F ), S (X) S (F ), S (X) S (F ), S (X) S (F ) açık kümeler olduğundan S (X) (S (F ) S (F )) ve S (X) (S (F ) S (F )), Teorem a ] gereğince açık kümelerdir. Tanım gereğince S (F ) S (F ) ve S (F ) S (F ) sırasıyla S (X) ve S (X) in kapalı kümeleridir. Bilinen varsayımdan, S (F ) S (F ) S (X) (S (F ) S (F )) S (X) vardır. Soft örtü yaklaşım uzayında rough kümelerin birleşim işleminden F F = (S (F ) S (F ), S (F ) S (F )) olup F F, X kümesinin kapalı kümesidir yani F F K dır.

39 30 k 3 ] Her i I için F = (S (F ), S (F )) K olsun. S (F ), S (F ) kapalı kümeler olsun ve S (F ) S (X) S (F ) S (X) sağlansın. S (X) S (F ) ve S (X) S (F ) açık kümelerdir. S (X) ( S (F )) = (S (X) S (F )), S (X) ( S (F )) = (S (X) S (F )) olduğundan ve Teorem a ] gereğince S (X) ( S (F )) ve S (X) ( S (F )) açık kümelerdir. Tanım gereğince S (F ) ve S (F ) kapalı kümelerdir. Bilinen varsayımdan, S (F ) S (X) S (F ) S (X) vardır. Soft örtü yaklaşım uzayında rough kümelerin kesişim işleminden F = ( S (F ), S (F )) olup F, X kümesinin kapalı kümesidir yani F K dır. Tanım 4.1.5: S = (U, C ) soft örtü yaklaşım uzayı ve X = (S (X), S (X)) U olsun. A ve A sırasıyla (S (X), τ ) ve (S (X), τ ) topolojik uzaylarının alt kümeleri olsunlar. x S (X) ve onun her V komşuluğu için V A ise x, S (X) içinde A kümesinin kapanış noktası olarak adlandırılır. Benzer şekilde, x S (X) ve onun her V komşuluğu için V A ise x, S (X) içinde A kümesinin kapanış noktası olarak adlandırılır. A kümesinin tüm kapanış noktalarının kümesine S (X) de A kümesinin kapanışı denir. Benzer şekilde, A kümesinin tüm kapanış noktalarının kümesine S (X) de A kümesinin kapanışı denir ve sırasıyla A ve A ile gösterilir. A = S (X) ve A = S (X) ise A ve A sırasıyla S (X) ve S (X) in yoğun alt kümeleri olarak adlandırılır. A ve A, A S (X) A S (X) durumunu sağlarsa A = (A, A ), X de A = (A, A ) kümesinin kapanışı olarak adlandırılır. Aynı zamanda, A ve A sırasıyla S (X) ve S (X) in yoğun alt kümeleri ise A = (A, A ), X kümesinin yoğun alt kümesi olarak adlandırılır. Teorem 4.1.5: S = (U, C ) soft örtü yaklaşım uzayı ve X = (S (X), S (X)) U olsun. A = (A, A ) X ve A S (X) A S (X) sağlansın. A X alt kümesinin kapalı küme olması için gerek ve yeter koşul A A olmasıdır. İspat: : A kapalı küme ise A ve A sırasıyla S (X) ve S (X) de kapalı kümelerdir ve A S (X) A S (X) sağlanır. A, S (X) de kapalı küme olduğundan A = A ve A, S (X) de kapalı küme olduğundan A = A olur. Böylece A A elde edilir.