1.1 SAYMA YÖNTEMLERİ PERMÜTASYON FAZLA SAYMAMA YÖNTEMLERİ KOMBİNASYON BİNOM VE YOL PROBLEMLERİ...

Transkript

1 İçindekiler 1 KOMBİNATORİĞE GİRİŞ SAYMA YÖNTEMLERİ PERMÜTASYON DEĞİŞİK SAYMA YÖNTEMLERİ FAZLA SAYMAMA YÖNTEMLERİ KOMBİNASYON KOMBİNASYONA GİRİŞ BİNOM VE YOL PROBLEMLERİ ÖZEL DAĞILIMLAR KATSAYILARI 1 OLAN DOĞRUSAL DENKLEMLER TEKRARLI KOMBİNASYON ÇÖZÜMLERİ SINIRLANDIRILMIŞ DENKLEMLER DAHİLİYET,HARİCİYET ve OLASILIK DAHİLİYET ve HARİCİYET DÜZENSİZSIRALILIK OLASILIK ŞARTLI OLASILIK PARC. ALANIŞ SAYISIveÜRETİCİ POLİNOMLAR PARÇALANIŞ SAYISI ÜRETİCİ POLİNOMLAR ÖZDEŞ OLMAYAN NESNELERİN DAĞILIMLARI ÖZDEŞ OLMAYAN NESNELER ve KUTULAR

2 2 İÇINDEKILER 6.2 ÖZDEŞ OLMAYAN NESNELER ve ÖZDEŞ KUTULAR KARIŞIK NESNELER ve ÖZDEŞ OLMAYAN KUTULAR KONFİGÜRASYON PROBLEMLERİ GÜVERCİN YUVASI İLKESİ KROMATİK ÜÇGENLER DÜZLEMİN BÖLÜNMESİ KAPLANABİLME PROBLEMLERİ İNDİRGEMELİ DİZİLER FİBONACCİ SAYILARI FİBONACCİ DİZİSİNİN GENEL TERİMİ İNDİRGEMELİ DİZİLER DOĞRUSAL İNDİRGEMELİ DİZİLER OYUN - TURNUVA PROBLEMLERİ PASKAL, BİNOM, TÜMEVARIM PASKAL ÜÇGENİ vebinom TEOREMİ I PASKAL ÜÇGENİ vebinom TEOREMİ II TÜMEVARIM İLKESİ GRAF TEORİSİ TANIMLAR BİR KÖŞENİN DERECESİ KARIŞIK PROBLEMLER KARIŞIKPROBLEMLER KONU SONLARINDAKİ PROBLEMLERİN ÇÖZÜMLERİ KOMBİNATORİĞE GİRİŞ Sayma Yöntemleri Permütasyon Değişik Sayma Yöntemleri Fazla Saymama Yöntemleri KOMBİNASYON Kombinasyona Giriş...285

3 İÇINDEKILER BinomveYolProblemleri ÖZEL DAĞILIMLAR Katsayıları 1 Olan Doğrusal Denklemler TekrarlıKombinasyon Çözümleri SınırlandırılmışDenklemler DAHİLİYET,HARİCİYET ve OLASILIK Dahiliyet ve Hariciyet Düzensiz Sıralılık Olasılık Şartlı Olasılık PARÇALANIŞ SAYISIveÜRETİCİ POLİNOMLAR Parçalanış Sayısı Üretici Polinomlar ÖZDEŞ OLMAYAN NESNELERİN DAĞILIMLARI KONFİGÜRASYON PROBLEMLERİ İNDİRGEMELİ DİZİLER FibonacciSayıları İndirgemeli Diziler Doğrusal İndirgemeliDiziler Oyun-Turnuva Problemleri PASKAL, BİNOM, TÜMEVARIM Paskal Üçgeni ve Binom Teoremi I Paskal Üçgeni ve Binom Teoremi II Tümevarım İlkesi GRAF TEORİSİ Tanımlar Bir Köşenin Derecesi

4 Bölüm 1 KOMBİNATORİĞE GİRİŞ Bu bölümde, en çok karşılaştuğımız Kaç tane? sorusuna cevap aramaya çalışacağız. Örneğin 14 ve 59 dahil olmak üzere bu sayıların arasında kaç tanetam sayı vardır? Bazen bu sorulara çok kolay cevap verebilirken bazen de zorlanırız. İhmal ettiğimiz bazı durumlar karşımıza çıkabilir. Bazı basit sayma tekniklerini bilmemiz cevap vermemize yardımcı olabilir. Günlük hayatta bir şeyleri saymamız gerektiği zamanlar çok olur. Bazen nesneleri, bazen insanları sayarız. Sayarken bazen birer birer, bazen ikişer ikişer, bazen de istenen sayıda gruplar halinde. Elbette ki en güzel olanı sonuca en hızlı ulaştıran sayma şekli olacaktır. Baştan söylemesi. Bu kitap ile saymayı yeniden öğreneceğiz. Aklınızdan ben zaten saymayı biliyorum diye geçebilir. Doğru. Ancak herşeyi birer birer saymaya vaktimiz yetmeyebilir. Dolayısıyla daha kısa yoldan saymayı öğrenmemiz gerekir. Bu durumda neyi saydığımız ve nasıl saydığımız önemlidir. Kitabımızın ilerleyen kısımlarında göreceğiniz formüller, tanımlar, kısa yollar, ip uçları bize doğru ve kısa sürede sayma konusunda yardımcı olacaktır. 5 erkek3kızöğrenci yan yana durup resim çektireceklerdir. İki kız öğrenci yan yana durmadan kaç farklışekilde poz verirler? 10 kişiden oluşan bir grup öğrenci sırasıyla 4, 3 ve 2 kişilik üç farklı gruba kaç farklı şekilde ayrılırlar? Bir öğrenci gruplardan hiçbirine dahil olmayacaktır. Bu iki basit örnek sayma problemlerinin Permütasyon ve Kombinasyon ile ilgili en temel problemleridir. Çözümlü sorularda kullanılan metodlara dikkat ederek ileride anlatılacak olan yöntemleri öğrenmeye çalışın. 7

5 8 BÖLÜM 1. KOMBİNATORİĞE GİRİŞ 1.1 SAYMA YÖNTEMLERİ Problem Aşağıdaki listede kaç tane sayı vardır? 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 Cevap 20. Çözüm oldukça kolay. Zaten cevap sorunun içinde verilmiş. Diğer sayma problemlerinide bu basit şekle indirgeyip çözmeye çalışacağız. Problem Aşağıdaki listede kaç tane sayı vardır? 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32 Bu soruyu bir önceki soruya nasıl benzetebiliriz. Her sayıdan 6 çıkartalım. Bu durumda aşağıdaki gibi başlangıçta bize sorulan sayıların sayısı kadar yeni sayılar elde ederiz. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26 Cevap 20 Problem a, b Z + ve b>aolmak üzere; a, b dahil a ile b arasında kaç tane tam sayı olduğunu veren bir formül bulunuz. a, a +1,a+2,..., b Yapmamız gereken a yı 1 yapacak şekilde bütün sayılardan bir sayı çıkartmak. a dan kaç çıkarsa 1 kalır? Yani (a 1). Her sayıdan (a 1) çıkartırsak 1, 2, 3, 4,..., b a +1 elde edilir. Bu durumda toplam b a + 1 tane sayı vardır. Problem ile 215 arasında 3 ile kalansız bölünebilen kaç sayı vardır? 62 3 =202 3 olduğundan listemizde 3 ün en küçük katı 3.21 = 63 olur. Benzer şekilde =712 3

6 1.1. SAYMA YÖNTEMLERİ 9 olduğundan listemizde 3 ün en büyük katı 3.71 = 213 olur. Dolayısıyla bizden istenen liste 63, 66, 69,..., 213 şeklindedir. Her bir terimi 3 ile bölersek 21, 22, 23,..., 71 elde edilir. Son olarak her bir terimden 20 çıkartırsak 1, 2, 3,..., 51 Dolayısıyla bizden istenen şartlara uyan 51 sayı vardır. Kısayol; = =51 ancak bir sonraki problemde bu kısayolun geçersiz olduğunu göreceksiniz. Problem Aşağıdaki problemleri çözünüz. a. 9 ile 101 arasında 10 ile bölünebilen kaç tam sayı vardır? b. 11 ile 103 arasında 10 ile bölünebilen kaç tam sayı vardır? c. (a) ve (b) şıklarındaki cevapları kıyaslayınız. (a) Listemiz aşağıdaki gibidir. 10, 20, 30,..., 100 dolayısıyla 10 tane istenen şartı sağlayan sayı vardır. (b) Listemiz aşağıdaki gibidir. 20, 30, 40,..., 100 dolayısıyla 9 tane istenen şartı sağlayan sayı vardır. (c) Cevaplar farklıdır. Kısayolu kullansaydık; = =9.2 elde edecektik. Fakat cevabın 9 mu yoksa 10 mu olduğuna karar veremeyecektik. Burdan anlaşıldığına göre emin değilsek kısayol çözümlerden kaçınalım.

7 10 BÖLÜM 1. KOMBİNATORİĞE GİRİŞ Problem basamaklı kaç tane tam-küp pozitif tam sayı vardır? Bütün dört basamaklı sayıları deneyerek hangisinin tam-küp olduğunu bulabiliriz aslında. Elbette bu soruyu böyle çözmeyeceğiz. Eğer bizden istenen sayıların en küçüğünü veenbüyüğünü bulursak bu bize yardımcı olabilir. Dört basamaklı en küçük sayı herkesin bildiği gibi 1000 = 10 3 Dört basamaklı en büyük sayıyı bulmak biraz daha zordur. Biraz deneme yapmamız gerekecek = 9261, 22 3 = 10648, dolayısıyla 9261 = 21 3 dört basamaklı en büyük sayıdır. Dolayısıyla bizden istenen liste; 10 3, 11 3, 12 3,..., 20 3, 21 3 şeklindedir. Dolayısıyla 10 dan 21 e kadar saymamız yeterlidir. Yani =12 tane bulunur. Problem P şehrinden Q şehrine yolculuk yapmak isteyen biri deniz, hava ve kara yolu ile sırasıyla 2, 3 ve 2 farklı yol varsa ise kaç farklışekilde gidebilir? Toplama prensibine 1 göre soruyu çözersek2+3+2=7farklışekilde bu yolculuk gerçekleşir. Problem Bir takvim yılında en fazla (en az) kaç tane ay ın 13 ü Cuma günü olur? Bu problemin çözümünü bir yıl 365 gün olacak şekilde çözmeye çalışalım. Benzer metod ile 366 içinde çözülebilir. Haftanın günlerindenpazar, pazartesi,...,cumartesi olan günleri sırası ile 0, 1, 2,..., 6 numaralandıralım. Eğer 13 Ocak 0 ise 13 Şubat 3 olacaktır. Çünkü Ocak31günden oluşurve31 = şeklinde yazılabilir. Benzer şekilde 13 Mart 3, 13 Nisan 6, 13 Mayıs 1,... ve 13 Aralık 5 olacaktır. Yani 13 Ocak tan 13 Aralığa kadar her ayın 13 üne karşılık gelen rakamlar aşağıdaki gibidir. 0, 3, 3, 6, 1, 4, 6, 2, 5, 0, 3, 5 Bu sıralamadan anlaşıldığına göre 5 rakamı bir yıl içerisinde iki kez denk gelmiştir. Ancak burada 13 Ocak pazar günüolarakkabül edilmişti. Farklı bir gün için bu rakamlar değişecektir. Önemli olan en fazla tekrarlanan rakamın olmasıdır. Bu da 1 Toplama Prensibi : Eğer birinci iş m yoldan ve ikinci iş n yoldan yapılabiliyorsa ve bu işler aynı zamanda olmuyorsa bu takdirde iki işten biri m + n yoldan yapılabilir

8 1.1. SAYMA YÖNTEMLERİ 11 3dür. Demek ki 365 günden oluşan bir yıl içerisinde en fazla üç taneayınonüçü cuma gününe denk gelebilir. Aşağıda verilen problemler ilerleyen konularımızda çözeceğimiz problem tipleri olduğundan şu an çözmeyeceğiz. Problem Bir kübün altı yüzeyi mavi veya kırmızı renk kullanılarak kaç farklı şekilde boyanabilir? Problem boyutundaki satranç tahtasının sol alt köşesindeki bir böcek birim karelerin kenarları boyunca sadece yukarı ve sağa doğru giderek sağ üst köşeye kaçfarklışekilde ulaşabilir? Problem farklı kitap şirketinden 10 kitap kaç farklışekilde alınabilir? (Not:10 kitap ta aynı şirketten ve aynı kitaplar olabilir.) Kitapların hepsi farklı olmak şartıyla kaç farklışekilde alınabilir? Problem , 5, 10, 25 ve 50 sayılarını istediğimiz kadar kullanarak sadece toplama işlemi ile kaç farklışekilde 100 sayısını elde ederiz? Problem farklı gömleği ve 4 farklı pantolonu olan biri, bir gömleği ve bir pantolonu kaçfarklışekilde giyebilir? Verilen sayılar küçük olduğundan liste yaparak her durumu kolayca sayabiliriz. G 1,G 2,G 3 gömleklerimiz, P 1,P 2,P 3,P 4 pantolonlarımız olmak üzere; G 1 P 1,G 1 P 2,G 1 P 3,G 1 P 4,G 2 P 1,G 2 P 2,G 2 P 3,G 2 P 4,G 3 P 1,G 3 P 2,G 3 P 3,G 3 P 4 12 farklı şekilde giyebilir. Burda şuna dikkat etmemiz yeterlidir. Bir çeşit gömlek ile 4 farklı pantolonu giyebileceğinden dolayı, 3 farklı gömlek ile toplam 3.4 = 12 farklı şekilde giyinebilir. Problem avrupa ülkesinden bir tanesi, 4 asya ülkesinden bir tanesi, 3 güney amerika ülkesinden bir tanesi ve 7 afrika ülkesinden bir tanesi kaç farklı komisyon oluşturulur? Avrupa ülkesinden bir tanesini 6 farklı şekilde seçebiliriz. Her avrupa ülkesi ile beraber bir asya ülkesini 4 farklı şekilde seçebiliriz. Dolayısıyla 6.4 = 24 farklı şekilde bir avrupa ve bir asya ülkesi seçilebilir.birinci ve ikinci adımlarda seçtiğimiz

9 12 BÖLÜM 1. KOMBİNATORİĞE GİRİŞ her bir seçim için 3 farklı güney amerika ülkesi seçebiliriz. Yani 24.3 =72farklı şekilde bir avrupa, bir asya ve bir güney amerika ülkesi seçilebilir. Benzer şekilde toplam 72.7 = 504 farklı şekilde bu dört ülkeden oluşan komisyon seçilebilir. Problem Birinci karakteri rakam ve ikinci karakteri harf olmak üzere, 7 karakterden oluşan ve herhangi bir karakteri O olmayan, kalan beş karakteri rakam veya harf olan kaç farklışifre yazılabilir? İlk karakter için 10 farklı rakam seçebiliriz.ikinci karakter için O hariç 28farklı harf seçebiliriz.kalan karakterler için ise = 38 farklı karakter seçebiliriz. Dolayısıyla toplam; tane şifre yazabiliriz. Problem farklı kitap bir rafta kaç farklışekilde dizilebilir? Soldan sağa doğru dizdiğimizi düşünecek olursak, ilk kitabı 4 farklı şekilde seçebiliriz. İkinci kitabı 3 farklı şekilde seçebiliriz. Üçüncü vedördüncü kitabı sırasıyla 2 ve 1 türlü seçebileceğimizden dolayı toplam; =24 farklı şekilde dizilebilir. Problem kişinin bulunduğu bir toplulukta bir başkan, bir başkan yardımcısı ve bir sekreter kaç farklışekilde seçilebilir? Benzer şekilde ilk önce başkanı 20 farklı şekilde, yardımcısını 19 farklı şekilde ve sekreteri 18 farklı şekilde seçebileceğimizden dolayı toplam; = 6840 şekilde seçilir. Problem n Z + olmak üzere n tane farklı kitabı bir rafa kaç farklışekilde dizebiliriz? Diğer sorularda olduğu gibi ilk olarak birinci kitabımızı seçelim. Rafın en soluna gelecek olan kitabı n farklı şekilde, ikinci kitabı n 1farklışekilde, üçüncü kitabı n 2farklışekilde,..., son kitabı 1 şekilde seçebileceğimizden dolayı toplam; n.(n 1).(n 2) farklı şekilde dizebiliriz.

10 1.1. SAYMA YÖNTEMLERİ 13 SORULAR 1. Aşağıdaki listede kaç tanesayıvardır? 36, 37, 38,..., 92, Aşağıdaki listede kaç tanesayıvardır? 4, 6, 8,..., 128, Aşağıdaki listede kaç tanesayıvardır? 33, 28, 23,..., 52, Aşağıdaki listede kaç tanesayıvardır? 147, 144, 141,..., 42, Aşağıdaki listede kaç tanesayıvardır? 3 2 3, 4 1 3, 5, 5 2 3,..., 261 3, ve 79 arasında kaç tane tam sayı vardır?( 25 ve 79 dâhil) 7. 86, 87, 88,...dizisinin 53. terimi nedir? 8. Ardışık 123 tam sayının en büyüğü 307 dir. En küçüğü kaçtır? 9. Ardışık r tane tam sayının en küçüğü niseenbüyüğü kaçtır? 10. Ardışık r tane tam sayının en büyüğü kiseenküçüğü kaçtır? 11. n, n + 1, n + 2,... n + k dizisinde kaç tane tam sayı vardır? 12. Aşağıda yazılan sayı dizilerinde kaç terim vardır? a. 60, 70, 80, b. 15, 18, 21, c. 17, 23, 29, 35,

11 14 BÖLÜM 1. KOMBİNATORİĞE GİRİŞ ve 2000 arasında; a. 11 ile bölünebilen kaç tanetamsayıvardır? b. 11 ile bölünebilen fakat 3 ile bölünemeyen kaç tane tam sayı vardır? c. 6 ile bölünebilen fakat 4 ile bölünemeyen kaça tane tam sayı vardır? < x<15 eşitsizliğini sağlayan kaç tanextamsayısıvardır? den küçük pozitif tam sayıların kaç tanesi 7 ile tam bölünür? ile 250 arasında kaç tane tamkare sayı vardır? ile 211 arasında kaç tane tek tamkare sayı vardır? 18. Çarpımları den küçük kaç taneardışık pozitif tam sayı dörtlüsüvar- dır? farklı gömleği, 5 farklı kravatı olan biri kaç farklışekilde bir gömlek ve bir kravatı giyebilir? 20. Her birinden 8 farklı renkte gömleği ve kravatı olan biri bir gömleği ve bir kravatı her ikisi aynı renk olmamak şartı ile kaç farklışekilde giyebilir? İlk üç karakteri rakam sonraki iki karakteri harf olan beş karakterli kaç farklı şifre yazılabilir? İlk iki karakteri çift rakam sonraki üç karakteri harf olan beş karakterli kaç farklı şifre yazılabilir? kişinin katıldığı bir yarışta ilk üç derece kaç farklışekilde gerçekleşebilir? 24. 1, 5, 10, ve 25 sayılarını istediğimiz kadar kullanarak sadece toplama işlemi ile kaç farklışekilde 47 sayısını elde ederiz? 25. Bir kutunun içinde 6 çift (her bir çift diğerinden farklı ) kol düğmesi vardır. Kutuya bakmadan ayni iki kol düğmesini çekmeyi garanti etmek içinenaz kaç koldüğmesini çekmemiz lazım?

12 1.1. SAYMA YÖNTEMLERİ Bir çekmecede 12 mavi renkte ve 12 siyah renkte çorap vardır. Aynı renkte bir çift çorap çekmeyi garanti etmek için aynı anda en az kaç çorap çekmek lazım? 27. Bir iç açısı tam sayı olan kaç tanedüzgün çokgen vardır? 28. Bir düzgün üçgen piramidin dört yüzü dört farklı boya ile kaç şekilde boyanabilir? 29. Bir küpün herhangi bir köşesinden karşı (diogonal) köşesine 3 kenar üzerinden kaç farklışekilde ulaşılabilir? kişi bir toplantı öncesinde tokalaşacaktır. Herkes birbirinin elini sıkacağına göre toplam kaç tane tokalaşma olur?

13 16 BÖLÜM 1. KOMBİNATORİĞE GİRİŞ 1.2 PERMÜTASYON Bu konuya aşağıdaki problemleri çözerek başlayalım. Problem farklı boyda 5 farklı model kemerden bir tanesi kaç farklışekilde seçilebilir? Cevap 35 olmalı. Birinci model kemerden yedi farklı boyda, ikinci model kemerden yedi farklı boyda,..., beşinci model kemerden yedi farklı boyda kemer olduğundan toplam; =7.5 =35 farklı şekilde seçme yapılabilir. m farklı çeşitten oluşam bir nesne topluluğunda her bir çeşit kendi arasında k farklı gruba ayrılabiliyor ise bu grupta toplam m.k tane nesne vardır.başka bir ifadeyle birbirinden ayrık iki olaydan birincisi m farklı yoldan, ikincisi k farklı yoldan gerçekleşiyor ise bu iki olay birlikte m.k yoldan gerçekleşebilir Problem A, B, C, D harflerini 1 kez kullanarak anlamlı - anlamsız 4 harfli kaç kelime yazılabilir? Aslında bütün kelimeleri kısa sürede yazabiliriz. ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB A ile başlayan 6 tane kelime yazıldığına göre aynı sayıda kelime B,C ve D için de yazılabilir. Dolayısıyla 6.4 = 24 elde edilir. Veya birinci harf 4, ikinci harf 3, üçüncü harf 2 ve son harf 1 şekilde seçilebileceğinden toplam; =24 farklı şekilde elde edilir. Problem harften oluşan bir alfabedeki harfleri kullanarak 3 harften oluşan kaç farklı araba plakası oluşturulabilir?

14 1.2. PERMÜTASYON 17 Kullanılan harf bir daha kullanılabileceğinden birinci harf 26, ikinci harf 26 ve üçüncü harf 26 farklı şekilde seçilebilir. Toplam; = farklı plaka yazılabilir. Problem harften oluşan bir alfabedeki harfleri kullanarak 3 harften oluşan harfleri farklı kaç farklı araba plakası oluşturulabilir? Kullanılan harf bir daha kullanılamayacağından birinci harf 26, ikinci harf 25 ve üçüncü harf 24 farklı şekilde seçilebilir. Toplam; = farklı plaka yazılabilir. Problem r, n Z + ve r<nolmak üzere; n tane üyesi olan bir topluluk içinden, r tane üye aşağıdaki şartlar altında seçilecektir. a. b. İlk üye kaç farklışekilde seçilebilir? İkinci üye kaç farklışekilde seçilebilir? c. Benzer şekilde devam edildiği zaman r. üye kaç farklışekilde seçilebilir? d. r kişi kaç farklışekilde seçilebilir? Birinci üyeyi n farklı şekilde seçebiliriz.ikinci üyeyi n 1farklışekilde seçebiliriz.üçüncü üyeyi n 2farklışekilde seçebiliriz.benzer şekilde r. üyeyi n r +1 farklı şekilde seçebiliriz.dolayısıyla n kişi arasından r kişiyi n.(n 1).(n 2).(n 3)...(n r +2).(n r +1) farklı şekilde seçebiliriz. n, r Z + ve r n olmak üzere; n elemanlı bir A kümesinin birbirinden farklı r tane elemanının her sıralanışına A kümesinin r li bir permütasyonu denir. n elemanlı bir kümenin r elemanlı bütün permütasyonlarınını sayısı aşağıdaki fomül ile bulunur

15 18 BÖLÜM 1. KOMBİNATORİĞE GİRİŞ n! P (n, r) = (n r)! = n.(n 1).(n 2)...(n r +1)= n! (n r)! n = r olması durumunda P (n, r) =P (n, n) =n! Problem A,B,C,D harflerinin herbirini bir kez kullanarak dört harfli kaç kelime yazılabilir? Yani 4 elemanlı bir kümenin bütün sıralanışlarının sayısı soruluyor. P (4, 4) Problem Aynı harf bir kez kullanılmak şartıyla alfabemizdeki bütün harfleri kullanarak üç harfli kaç kelime yazabiliriz? Alfabemizde 29 harf olduğundan üçlü permütasyonlarının sayısını bulmamız yeterlidir. P (29, 3) = = Problem ve 999 dahil olmak üzere; bu sayılar arasındaki tam sayılardan kaç tanesinin basamaklarındaki rakamlar birbirinden farklı tek sayılardır? 1, 3, 5, 7, 9 tek rakamların sayısı 5. Bizden istenen bu rakamlar ile elde edilmiş üç basamaklı sayıların sayısı. Dikkat edelim 723 gibi bir sayılar bizden istenmiyor. Aynı zamanda 313 gibi aynı rakamın iki kez kullanıldığı sayılar da dahil edilmeyecek. Bu durumda sadece 1, 3, 5, 7, 9 rakamlarını bir kez kullanacağız. Veya beş elemanlı bir kümenin üçlüpermütasyonlarının sayısını bulabiliriz. 5! P (5, 3) = (5 3)! = 5! =5.4.3 =60 2! Problem ve 999 dahil olmak üzere; bu sayılar arasındaki tam sayıların kaç tanesinin bütün rakamları farklıdır? Cevap P (10, 3) değil. Çünkü 0 sadece birler ve onlar basamağında kullanılabilir. Fakat P (10, 3) permütasyonlarında 089 gibi 0 başta olan durumlarda vardır. Dolayısıyla başka bir metod geliştirmemiz gerek. Öncelikler yüzler basamağına kaç farklı rakam gelir bunu soralım. Elbette 0 hariç 9 tane. Onlar basamağına ise 0 gelebilir ancak bir rakamı kullandığımız için 9 rakam gelebilir. Birler basamağına ise daha önceden iki rakam kullandığımızdan dolayı 8 rakam gelebilir. Toplam; elde edilir = 648