T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI

Transkript

1 T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI ADİ DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN YAKLAŞIK ÇÖZÜMÜ İÇİN KLASİK ORTOGONAL POLİNOM TABANLI TEKNİKLER YÜKSEK LİSANS TEZİ FATMA ÇELİKTAŞ DENİZLİ, OCAK - 05

2 T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI ADİ DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN YAKLAŞIK ÇÖZÜMÜ İÇİN KLASİK ORTOGONAL POLİNOM TABANLI TEKNİKLER YÜKSEK LİSANS TEZİ FATMA ÇELİKTAŞ DENİZLİ, OCAK - 05

3 KABUL VE ONAY SAYFASI FATMA ÇELİKTAŞ tarafıda hazırlaa ADİ DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN YAKLAŞIK ÇÖZÜMÜ İÇİN KLASİK ORTOGONAL POLİNOM TABANLI TEKNİKLER adlı tez çalışmasıı savuma sıavı tarihide yapılmış olup aşağıda verile jüri tarafıda oy birliği ile Pamukkale Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü Matematik Aabilim Dalı Yüksek Lisas Tezi olarak kabul edilmiştir. Jüri Üyeleri İmza Daışma Prof. Dr. Uğur YÜCEL... Üye Prof. Dr. Orha KARABULUT... Üye Doç. Dr. Murat SARI... Jüri üyeleri tarafıda kabul edilmiş ola bu tez PAÜ Fe Bilimleri Estitüsü Yöetim Kuruluca oaylamıştır.... Prof. Dr. Orha KARABULUT Fe Bilimleri Estitüsü Müdürü

4 Bu tezi tasarımı, hazırlaması, yürütülmesi, araştırmalarıı yapılması ve bulgularıı aalizleride bilimsel etiğe ve akademik kurallara özele riayet edildiğii; bu çalışmaı doğruda biricil ürüü olmaya bulguları, verileri ve materyalleri bilimsel etiğe uygu olarak kayak gösterildiğii ve alıtı yapıla çalışmalara atfedildiğie beya ederim. FATMA ÇELİKTAŞ

5 ÖZET ADİ DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN YAKLAŞIK ÇÖZÜMÜ İÇİN KLASİK ORTOGONAL POLİNOM TABANLI TEKNİKLER YÜKSEK LİSANS TEZİ FATMA ÇELİKTAŞ PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI (TEZ DANIŞMANI: PROF. DR. UĞUR YÜCEL) DENİZLİ, OCAK - 05 Bu tezde, adi diferasiyel deklemlerde spektral kollokasyo yötemleriyle ilgili bir çalışma suulmuştur. Bu yötemler içi gerekli klasik ortogoal poliomları (Jacobi, Legedre, Chebyshev, Laguerre ve Hermite poliomları) bazı özellikleri tekrar gözde geçirilerek, Chebyshev poliom sııfıı kullaıldığı duruma karşı gele türevleme matrisleri Chebyshev oktaları kullaılarak oluşturulmuştur. Bu matrisleri adi diferasiyel deklemler içi sıır değer problemlerii çözmede asıl kullaılacağı örekledirilmiştir. ANAHTAR KELİMELER: Ortogoal poliomlar, Spektral metotlar, Poliom yaklaşımı, Yaklaşık çözümler, Yakısaklık i

6 ABSTRACT CLASSICAL ORTHOGONAL POLYNOMIAL BASED TECHNIQUES FOR APPROXIMATE SOLUTION OF ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS MSC THESIS FATMA ÇELİKTAŞ PAMUKKALE UNIVERSITY INSTITUTE OF SCIENCE MATHEMATİCS (SUPERVISOR: PROF. DR. UĞUR YÜCEL ) DENİZLİ, JANUARY 05 I this thesis, a survey o spectral collocatio methods for ordiary differetial equatios is preseted. Properties of the classical orthogoal polyomials (Jacobi, Legedre, Chebyshev, Laguerre, ad Hermite polyomials) required i this cotext are reviewed. Differetiatio matrices correspodig to Chebyshev case are costructed usig the Chebyshev poits. It is illustrated how such matrices ca be used to solve boudary value problems for ordiary differetial equatios. KEYWORDS:Orthogoal polyomials, Spectral methods, Polyomial approximatio, Approximate solutios, Covergece ii

7 İÇİNDEKİLER Sayfa ÖZET... i ABSTRACT... ii İÇİNDEKİLER... iii ŞEKİL LİSTESİ...iv TABLO LİSTESİ... v ÖNSÖZ...vi. GİRİŞ.... ÖZEL POLİNOM AİLELERİ Sturm-Liouville Problemleri Gama ve Beta Foksiyoları Jacobi Poliomları Legedre Poliomları Chebyshev Poliomları Laguerre Poliomları Hermite Poliomları ORTOGONALLİK İç çarpımlar ve Normlar Ortogoal Foksiyolar CHEBYSHEV TÜREVLEME MATRİSLERİ ADİ DİFERANSİYEL DENKLEMLER İÇİN SINIR DEĞER PROBLEMLERİ SONUÇ VE ÖNERİLER KAYNAKLAR ÖZGEÇMİŞ... 5 iii

8 ŞEKİL LİSTESİ Sayfa Şekil.: Legedre poliomları, P ( x ), Şekil.: P poliomu... 0 Şekil.3: Chebyshev Poliomları 6... Şekil.4: T Poliomu... 3 Şekil.5: Laguerre Poliomları 6 ve (0) Şekil.6: L Poliomu Şekil.7: Ölçekledirilmiş Laguerre Foksiyoları ve Şekil.8: Hermite Poliomları Şekil.9: H9 Poliomu... x Şekil 4.0 : u( x) e si(5 x) i Chebyshev Türevlemesi Şekil 5.: x,, xn oktalarıa karşılık gele v ( v,, v ) T N vektörleri 3 4x Şekil 5.: e lieer sıır değer problemii çözümü uxx Şekil 5.3: (5.) lieer olmaya sıır değer problemii çözümü Şekil 5.4: (5.3) lieer sıır değer problemii ümerik çözümü Şekil 5.5: (5.8) lieer sıır değer problemii ümerik çözümü Şekil 5.6: (5.0) lieer sıır değer problemii ümerik çözümü... 4 Şekil 5.7: (5.) lieer olmaya sıır değer problemii ümerik çözümü iv

9 TABLO LİSTESİ Sayfa Tablo 5.: (5.) problemii ümerik souçları Tablo 5.: (5.3) lieer sıır değer problemii çözümüdeki mutlak hata Tablo 5.3: (5.8) lieer sıır değer problemii çözümüdeki mutlak hata Tablo 5.4: (5.0) problemii farklı metotlardaki değerleri... 4 Tablo 5.5: (5.) lieer olmaya sıır değer problemii çözümüdeki mutlak hata Tablo 5.6: (5.) özdeğer problemii çözümüdeki mutlak hata Tablo 5.7: (5.) özdeğer problemii farklı N değerleri içi mutlak hataları Tablo 5.8: (5.4) özdeğer problemii ümerik çözüm souçlarıı Ghelardoi (997) daki souçlarla karşılaştırılması v

10 ÖNSÖZ Bu çalışmam süresice her türlü yardım ve fedakarlığı sağlaya, bilgi ve tecrübesi ile çalışmama ışık tuta, ayrıca baa bu çalışmayı vererek kedimi geliştirmeye yöelik de birkaç adım ileride olmamı sağlaya, çalışmamı yöeticisi Sayı Hocam Prof. Dr. Uğur YÜCEL e ve her zama maddi ve maevi desteklerii esirgemeye aileme sosuz teşekkürlerimi suarım. vi

11 . GİRİŞ Spektral metotlar, diferasiyel deklemleri ümerik çözümleri içi 950'li yıllarda geliştirile "Solu Farklar Metodu" ve 960'lı yıllarda geliştirile "Solu Elemalar Metodu" a alteratif olarak 970'li yıllarda ortaya atılmıştır. Doğal olarak bahsedile üç metodu da temelleri daha da gerilere dayamaktadır. Spektral metotlar içi ortaya atıla bazı fikirler iterpolasyo ve açılım kadar eskidir. Bu koudaki algoritmik gelişmeler Laczos (938), Cleshaw (960), Fox ve Parker (968) tarafıda yapılmıştır. Daha sora Orszag (97) ve diğerlerii ala döüşümüü akışkalar mekaiği ve meteoroloji problemleri üzerie uygulamalarıyla metot ü kazamıştır. Moder spektral metotlar içi literatürde döüm oktası olarak kabul göre ilk yayılar Gottlieb ve Orszag (977) tarafıda yazıla kısa kitap, Gottlieb ve diğ. (984) tarafıda yapıla iceleme ve Cauto ve diğ. (988) tarafıda yazıla moografidir. Daha soraları Mercier (989), Boyd (000), Fuaro (99), Berardi ve Maday (99), Forberg (996), ad Kariadakis ve Sherwi (999) tarafıda yayılaa kitaplarla alaa katkılar yapılmıştır. Spektral metotlar so yirmi yıl içeriside hızlı bir gelişim göstermiştir. Isı iletimi, akışkalar mekaiği, kuatum mekaiği ve daha birçok farklı alaları ümerik simülasyolarıa uygulamıştır. Güümüzde de diferasiyel deklemleri ümerik çözümleri içi "Solu Farklar Metodu" ve "Solu Elemalar Metodu" u yaıda güçlü bir araç olarak yerii almıştır. Spektral metotları e belirleyici özelliği deeme foksiyoları olarak sosuz diferasiyelleebilir global foksiyoları çeşitli ortogoal sistemlerii kullamasıdır. Farklı deeme foksiyolarıı kullaımı farklı spektral yaklaşımları verir. Öreği, periyodik problemler içi trigoometrik poliomlar, periyodik olmaya problemler içi Legedre poliomları ve Chebyshev poliomları, yarı sosuz aralıkta Laguerre poliomları ve sosuz aralıkta Hermite poliomları gibi. Eğer basit bir bölgede bir kişi yüksek hassasiyetli bir adi diferasiyel deklem veya bir kısmi diferasiyel deklem çözmek isterse ve problemi verileri de düzgü ise spektral yötemler e iyi araç olarak düşüülebilir. Solu farklar veya

12 solu elemalar metoduu iki veya üç hassasiyet dereceli olduğu yerlerde spektral yötemler geelde o hassasiyet derecesie ulaşabilir. Bu çalışmada spektral metotları literatürde mevcut temel teorik souçları suulacak ve adi diferasiyel deklemlere bazı uygulamaları çalışılacaktır. Spektral metotlarda foksiyo yaklaşımları Sturm-Liouville problemleri olarak bilie özdeğer problemlerii poliom çözümleriyle yakıda ilişkili olduğuda ikici bölümde ilk öce bu problemler ele alıacak ve daha sora sırasıyla Jacobi poliomları, Legedre poliomları, Chebyshev poliomları, Laguerre poliomları ve so olarak Hermite poliomlarıı basit ve ayı zamada dikkate değer özellikleri özetleecektir. Üçücü bölümde, yaklaşım teorisii temel taşlarıda ola İç Çarpım ve Ortogoal foksiyolar ele alıacaktır. Çükü Bölüm de verilecek poliom ailelerii tümü uygu bir iç çarpıma göre ortogoal foksiyolar kümesi oluştururlar. Dördücü bölümde, Chebyshev oktaları kullaılarak Chebyshev türevleme matrisleri elde edilecek ve bu matrisler kullaılarak bazı foksiyoları türevlerie ulaşılacaktır. Beşici bölümde, Chebyshev türevleme matrislerii adi diferasiyel deklemler içi sıır değer problemlerie bazı uygulamaları verilecek ve altıcı bölümde temel gözlemler kısaca özetleecektir.

13 . ÖZEL POLİNOM AİLELERİ Spektral yötemlerle foksiyolara yaklaşımlar, Sturm-Liouville problemleri olarak bilie, adi diferasiyel deklemlerdeki özdeğer problemlerii poliom çözümleriyle ilişkilidir. Bu problemler, sıır-değer problemleri aalizide değişkelere ayırma metoduu uygulamasıda ortaya çıkar. Bu bölümde, bu tipte ola ve e çok kullaıla poliom ailelerii basit ve dikkate değer özelliklerii aa hatlarıyla vereceğiz (Fuaro 99).. Sturm-Liouville Problemleri I, de bir açık aralık olsu. I aralığıda w 0 ve I aralığıda a 0 sağlası. a : I, özdeğer problemii ele alalım: b : I ve w : I olmak üzere I aralığıda aşağıdaki. (.) au bu w u, Burada amaç bu problemi,u çözümlerii elde etmektir. Burada 'ya (.) problemii özdeğerleri, u 'ya da problemi özfoksiyoları adı verilir. u 'u tek olarak taımlaabilmesi içi çok değişik sıır-koşulları göz öüe alıabilir. Eğer I aralığıda a 0 ise (.) problemi düzgü (regüler) ve eğer I aralığıdaki e az bir oktada a 0 oluyorsa (.) problemi tekil (sigüler) olarak adladırılır. Çoğu durumda özdeğerler kümesi reel pozitif sayıları bir ıraksak dizisi şeklidedir. Özfoksiyolar ailesii birçoğu literatürde yaygı olarak çalışılmıştır. Buları temsile Bessel foksiyoları düşüülebilir. Buula birlikte biz burada (.) deklemii poliom çözümleriyle ilgileeceğiz. Buula ilgili aşağıdaki geel souç ispatsız olarak verilecektir. 3

14 . Teorem: ici derecede bir poliom u olsu. Eğer u (.) problemii çözümlerii bir dizisi ise, bu durumda u x x u x u x,, x I, (.) olacak şekilde, ve deklemie göre u x x u x Bu teorem bize 0 N reel dizileri bulmak mümküdür. (.) olacak şekilde, taımlayalım. u0 x ve u x değerleride başlaılarak, verile bir x I oktasıda ardışık olarak ici poliomu hesaplamamıza yarar. (.) deklemii türevi alıarak türev içi bezer bir ilişki elde ederiz. Bu ilişki u x x u x u x u x,, x I (.3) şeklide yazılabilir. (.) ve (.3) deklemleri ortak çözüldüğüde x oktasıda u ü verir. Yüksek mertebede türevler bezer yolla elde edilebilir.. Gama ve Beta Foksiyoları Poliom özfoksiyolarıı aalizie geçmede öce Gama ve Beta foksiyoları ve buları bazı öemli özelliklerii verelim. Herhagi bir reel pozitif x sayısı içi t x t e dt x, 0 şeklide taımlaa foksiyoa Gama foksiyou deir. Yukarıdaki dekleme kısmi itegral uyguladığıda x x x, x 0, (.4) foksiyoel deklemi elde edilir. bir tamsayı olduğuda tümevarımla (.4) deklemide temel bir bağıtı ola! elde edilir. Diğer öemli bağıtı 4

15 x ( x), 0 x. (.5) si x (.5) deklemide olduğu kolayca buluabilir. Beta foksiyou, x 0 ve y 0 olmak üzere (, ) x y B x y t ( t) dt 0 şeklide taımlaır. Bu taımda faydalaılarak x y x y ( x) ( y) t t dt, x 0, y 0, (.6) ( x y) şeklide kullaışlı bir eşitlik elde edilir. Biom katsayıları x x, k N, x k, (.7) k k! x k şeklide geelleştirilebilir..3 Jacobi Poliomları Şimdi, (.) içi poliom çözümleri aileside ilkii taımlayalım. Bu Jacobi poliomları olarak adladırılır. Bular, olmak üzere, gibi iki parametreye bağlıdır. Bu parametreleri uygu bir seçimi bizi iyi bilie diğer ailelere (Legedre poliomları, Chebyshev poliomları, v.b.) götürür. Şimdi, (.) problemide I, olarak alalım ve a, b ve w yi, a x x x x I b x 0, w x x x, x I, şeklide seçelim. Bu seçim bizi, sadeleştirmede sora, 5

16 x u x u u (.8) şeklide sigüler özdeğer problemie götürür. Bu problemi Frobeius metodu kullaılarak çözülmesiyle aşağıdaki souç elde edilir:. Teorem: (.8) deklemii çözümü sadece olduğuda ici derecede bir poliom olur., (.8) sigüler özdeğer problemii tek çözümü olarak ici derecede Jacobi poliomuu,, P,, P, N, (.9)! şeklide veya bua dek olarak, P, N, (.0) şeklide taımlayalım. Görüldüğü gibi (.8) problemi üzerie herhagi bir sıır koşulu koulmamıştır. Buları yerie çözümü poliom olma şartı kullaılmıştır. (.9) (veya (.0)) koşulu sadece tek bir özfoksiyo seçimi içi koulur, aksi taktirde bir sabit katı şeklide taımlıdır. Bu poliom ailesi içi iyi bilie birçok teorem ve özellik literatürde mevcuttur. Bularda biri Rodrigues formülüdür ve bu formül, d x x P ( x) x x, N! dx (.) 6

17 şeklidedir. Bu daha açık olarak k 0 k k P x x x, k ( ) x x,! k, (.) şeklide yazılabilir., parametre çiftii farklı seçimleriyle birçok formül Jacobi poliomlarıyla ilişkiledirilebilir. Bularda biri d, P x P, ( ), dx, (.3) şeklidedir. (.) veya (.) de, P0 ( x),, (.4) P ( x) x elde edilir. (.) ve (.) deklemleri yeterice pratik olmadığıda yüksek derecede poliomlar Teorem. kullaılarak taımlaabilirler. Daha açık olarak, (.5) Dahası, düzeltilebilirler.. Türevler (.3) ya da (.3) kullaılarak So olarak, I aralığıda aşağıdaki tahmii verelim (Szegö, 939): 7

18 x,, max max P x P max,,. (.6) Daha fazla özellikler ultra-küresel (ya da Gegebauer) poliomlar içi ispatlaabilir. Bular olmak üzere Jacobi poliomlarıdır..4 Legedre Poliomları Jacobi poliomlarıda 0 alıırsa Legedre poliomları elde edilir. Gösterimlerde kolaylık olması açısıda P (0,0) P kısaltmasıı kullaacağız. Şimdi bu poliomları temel özellikleride bazılarıı verelim. Teorem. ye göre x P x P P 0,, (.7) diferasiyel deklemii elde ederiz. (.9) ve (.0) koşullarıda sırasıyla P (), P ( ), olduklarıı elde ederiz. Yieleme formülü P ( x) x P ( x) P ( x), x I,, (.8) dir. P i çift (ya da tek) foksiyo olması içi gerek ve yeter şart i çift (ya da tek) olmasıdır ve buu kotrol etmekte kolaydır. Ayrıca (.7) de P ( ),, (.9) dir. Buda başka (.6) da P ( ),, x x (.0) olur. Ek olarak, (.3) ve (.6) birleşimide, türev içi aşağıdaki tahmi elde edilebilir: P ( x), x,. (.) 8

19 Kullaışlı diğer bir bağıtı (.8) de x 0 alıdığıda 0, tek ise P (0)!!, çift ise (.) şeklide buluur. Böylece lim P (0) 0 soucu çıkarılır. Şekil. de 6 içi P poliomlarıı grafikleri verilmiştir. Şekil. de P i davraışıı göstermektedir. Şekil.: Legedre poliomları, P ( x ), 6 Legedre poliomlarıı davraışları hakkıda bazı geel fikirler vermek içi aşağıdaki iki soucu verelim..3 Teorem: Herhagi 5 içi, x de 5 e arttığıda P ( x ) i birbiri ardı sıra gele ilişkili maksimum değerleri de artar. 9

20 .4 Teorem: Herhagi ve herhagi x I içi ( ) cos 0 P x x i x d. (.3) Şekil.: P poliomu.5 Chebyshev Poliomları Birici tür Chebyshev poliomları Jacobi poliomlarıda alımasıyla ilişkiledirile poliomlardır. Gerçekte!!! olmak üzere, T P,, (.4) 0

21 olarak taımlaır. Neticede bular x T xt T, (.5) 0, şeklideki Sturm-Liouville problemlerii çözümleridirler. (.5) de alıarak ve uygu boyut ayarı yapılarak T ( x) ve T ( x) x 0 olmak üzere T ( x) xt ( x) T ( x), x I,, (.6) şeklideki yieleme formülü elde edilir. Geel olarak T ( ) ( ), olduğu buluur. (.5) deklemi x oktasıda hesaplaırsa T ( ),, (.7) elde edilir. Ayrıca T i çift (tek) olması içi gerek ve yeter şart i çift (tek) olmasıdır. ici derecede Chebyshev poliomları içi açık bir ifade m T ( x) x k0 mk m k k k x x 3 x, x I,. (.8) (.8) de, ı tamsayı kısmıı gösterir. E çok dikkate değer taımlama T (cos ) cos, 0,, (.9) şeklidedir. Bu ifade cebirsel ve trigoometrik poliomları ilişkiledirmektedir. Bu öemli özellik x cos, 0, ve olmak üzere dt si (cos ), (.30) dx si

22 d T si cos cos (cos ) 3 3 dx si si (.3) kullaılarak ispat edilir. Böylece x yerie cos yazılarak (.5) deklemi sağlaır. Birçok özellik (.9) deklemii direkt soucudur. Özel olarak, T ( ),, x x I dır. Ayrıca T i I de tae kökü vardır. Dolayısıyla T ü I de tae kökü olur. I aralığıda T foksiyou maksimum değeri ola değerii defa alır. Şekil.3 de T i 6 içi grafikleri verilmiştir. Ek olarak da Şekil.4 de T çizilmiştir. Şekil.3: Chebyshev Poliomları 6 Diğer basit bağıtılar kolayca kurulabilir:

23 T ( x) e e x x x x, x cos I, i i (.3) T T T, (.33) T ( T ( x)) T ( x), x I,, m (.34) m m Şekil.4: T Poliomu İkici tür Chebyshev poliomları olarak bilie bir diğer poliom ailesi U T,, (.35) şeklide taımlaır. Bular da ayı zamada ultra-küresel poliomlardır. (.3) ve (.4) de yararlaılarak 3

24 ,, U P (.36) elde edilir. U ler birici tür Chebyshev poliomlarıyla bezer özellikleri sağlarlar..6 Laguerre Poliomları Bu bölümde, Sturm-Liouville problemii poliom çözümlerii bir diğer ailesi ola Laguerre poliomlarıı ele alacağız. (.) deki katsayıları ve I 0, olsu. Deklem x a( x) x e, x I x b( x) 0, w( x) x e, x I olarak taımlayalım. Bu durumda aşağıdaki özdeğer problemii elde ederiz: x u x u u 0. (.37) Bu deklemi sadece, olması durumuda poliom çözümleri mevcuttur. Bu edele, ici derecede Laguerre poliomu, problemii L, (.37) sigüler L (0),, (.38) koşuluu sağlaya tek çözümü olarak taımlaır. Rodrigues formülü x d x e x L ( x) e x,, x I (.39)! dx şeklidedir. Ayrıca aşağıdaki ifade de mevcuttur: k k L ( x) x,, x I k0 k k!. (.40) 4

25 Teorem. de yararlaılarak, L ( x) 0 ve aşağıdaki 3-terimli yieleme formülü elde edilir: L ( x) x olmak üzere x L ( x) L ( x) L ( x),. (.4) Çeşitli deklemler parametresii farklı değerlerie karşılık gele Laguerre poliomlarıyla ilişkiledirilebilir. Bulara bazı örekler aşağıda verilmiştir: d L L dx,, (.4) L L L,,. (.43) (.43) deklemide L Lk,, (.44) k0 elde edilir. Laguerre ve Jacobi poliomları aşağıdaki gibi bir asimptotik formülle ilişkiledirilebilir:, x L x P x ( ) lim, 0,. (.45) Bu ifade (.8) ve (.37) diferasiyel deklemlerii yardımıyla kotrol edilebilir. Şekil.5 te 6 içi (0) L ı ve Şeki.6 da (0) L 7 ı grafikleri görülmektedir. Pecerei ölçüsü Şekil.5 de 0, 0 600, 600 ve Şekil.6 da 0, 0 900,900. arttığıda Laguerre poliomlarıı gösterimii elde etmek zordur. Daha esek ümerik hesaplamalar içi foksiyou kullaarak S : I şeklide ölçekleme 5

26 Şekil.5: Laguerre Poliomları 6 ve 0 Şekil.6: (0) L7 Poliomu ˆ,, L S L (.46) taımlayalım. Amacımız Laguerre poliomlarıı okta değerleri hesap edildiğide 6

27 kötü-koşullu işlemlerde kaçımaktır. S ı etkili bir seçimi x S0 x, S x, (.47) k 4k (Fuaro,990a). Ölçekledirilmiş Laguerre Foksiyoları ı ailesi olarak ˆ, L gösterilebilir. Bular poliom değildir. L ı çizimleri içi Şekil.7 de verilmiştir. Burada pecere öl çüsü 0,50 300,300 dir. ˆ0 Şekil.7: Ölçekledirilmiş Laguerre Foksiyoları ve 0 Görüldüğü gibi ölçekledirilmiş Laguerre foksiyoları daha yumuşak bir davraış sergilemektedir. Burada ˆ (0), L olduğuu uutmayalım. (.4) de yerie koydukta ve sadeleştirdikte sora olmak üzere yieleme formülü ˆ 4 ˆ L x x L ( x) ( )(4 x) 4 Lˆ ( x) 4 x 4 (.48) 7

28 ile ˆ ( x ) L 0 olmak üzere ve 4 x x x 4 Lˆ ( ) elde edilir. Ayrıca türevler içi d ˆ 4 d ˆ L x x L ( x) dx ( )(4 x) dx 6 ˆ (4 x ) ˆ d ˆ L ( x) L ( x) L ( x) 4 x 4 x 4 4 x4 x 4 dx 4 (.49) ile d L dx ˆ x 0 0 ve d L ˆ dx x 5 4 x 4 elde edilir..7 Hermite Poliomları Bu bölümde so olarak H, Hermite poliomlarıı ele alacağız. H ler (.) deklemide x a x w( x) e, b x 0, x I alıarak elde edile sigüler olmaya Sturm-Liouville problemii çözümleridirler. Böylelikle H x xh x H x 0,, x (.50) şeklideki diferasiyel deklemi kolayca elde ederiz. Normalleştirme şartı aşağıdaki gibidir: H! 0,! çiftse (.5) 8

29 H! 0,! tekse (.5) ici derecede Bezer şekilde Rodrigues formülü H poliomu, i değerie göre çift ya da tek foksiyo olur. x d x H x e e,, x (.53) dx olarak buluur. Daha açık olarak ifade edecek olursak H x! m m x m0 m! m! 5 4 x x 3 x,, x. (.54) Karşılık gele 3-terimli yieleme formülü H0 x ve H x x olmak üzere H x xh x H x,. (.55) (.53) türevii alımasıda H x xh x H x,, x (.56) elde edilir. Böylece (.55) ile birlikte türev vb. hesaplamalar yapmak içi aşağıdaki basit bağıtıyı elde ederiz: H x H x,, x (.57) Şekil.8 ve Şekil.9 da Hermite poliomlarıı grafikleri verilmiştir. Pecerelerii ölçüleri 5, 5 900,900 ve 5, , Hermite poliomları 9

30 H x! L x, çiftse (.58) H x! xl x, tekse (.59) şeklide Laguerre poliomları kullaılarak ifade edilebilirler. Bular (.37)-(.38) ve (.50)-(.5) formülleri yardımıyla kolayca çıkarılabilirler. (.58)-(.59) yardımıyla (.46)-(.47) taımlarıı tekrar hatırlarsak H ˆ x L ˆ x, çiftse (.60) Hˆ x Lˆ x, tekse (.6) şeklide ölçekledirilmiş Hermite foksiyoları taımlaır. Souç olarak Hˆ 0, çiftse (.6) Hˆ 0, tekse (.63) elde edilir. Türevler (.48) ve (.49) deklemleri kullaılarak hesaplaabilir. Şekil.8: Hermite Poliomları 6 0

31 Şekil.9: H9 Poliomu

32 3. ORTOGONALLİK İç çarpımlar ve ortogoal foksiyolar yaklaşım teoriside temel kavramlardır. İkici Bölüm de verile aileleri tümü uygu bir iç çarpıma göre ortogoal foksiyolar kümesi oluştururlar. Bu özellik pek çok değişik diğer hususları ortaya çıkaracaktır. 3. İç çarpımlar ve Normlar Taım (İç çarpım): X bir reel vektör uzayı olsu. u, v X vektör çiftie bir u, v reel sayısı karşılık geldiğii kabul edelim., : X X foksiyou aşağıdaki üç özelliği sağlıyorsa X üzeride bir (reel) iç çarpım olarak adladırılır. Lieerlik özelliği: au bu, v a u, v b( u, v), u, v X (3.) Simetri özelliği: u, v v, u, u, v X (3.) Pozitif taımlılık özelliği: u, v 0, u X, u, u 0 u 0 (3.3) Bir iç çarpımla beraber X vektör uzayıa iç çarpım uzayı (reel iç çarpım uzayı) deir.. : X Taım (Norm): X bir iç çarpım uzayı olsu. Aşağıdaki özellikleri sağlaya şeklideki foksiyoa X de bir orm deir: u 0, u X, u 0 u 0 (3.4)

33 u u, u X, (3.5) u v u v, u, v X üçge eşitsizliği (3.6) Geel olarak iç çarpımlar ve ormlar bağımsız kavramlardır. Buula birlikte, her e zama X de bir iç çarpım varsa otomatik olarak bir orm u u, u, u X (3.7) şeklide taımlaır. Özellikle (3.6) eşitsizliği u, v u v, u, v X (3.8) şeklide iyi bilie Schwarz eşitsizliğii bir ya ürüüdür. Şimdi bir örek verelim. I aralığıda sürekli foksiyoları lieer uzayı olsu. w: I, w 0 koşuluu sağlaya ve sürekli itegralleebile 0 X C I bir foksiyo olsu. Bu takdirde, I sıırlı olduğu zama,, bir iç çarpım ve oa W karşılık gele w ormu u, v u v wdx, u, v C 0 I w (3.9) I 0 u, w u wdx u C I (3.0) I şeklide taımlaır. Burada w foksiyou ağırlık foksiyou olarak adladırılır. I sıırlı olmazsa (3.9) ve (3.0) daki itegralleri solu olmasıa dikkat etmek zorudayız. Bu kısa başlagıcı yardımıyla Sturm-Liouville problemlerii çözümlerii daha ayrıtılı aalizii yapmaya hazır hale gelmiş buluuyoruz. 3

34 3. Ortogoal Foksiyolar 0 u, v C I foksiyoları bir w ağırlık foksiyou içi koşuluu sağlarsa ortogoaldir deir. u, v 0 w (.) deklemideki a foksiyouu, I aralığıı uç oktalarıda sıfıra gittiğii varsayalım (yai, I aralığı sıırlı değilse aşağıdaki temel soucu elde ederiz: lim a x 0 ). Bu takdirde x 3. Teorem: özdeğerlerie karşılık gele (.) deklemii çözümlerii bir dizisi u olsu. m ise m olduğuu şart koşalım. Bu takdirde u u wdx m 0,, m, m (3.) I olur. Bu teorem, Bölüm de gösterile bütü poliom ailelerii, olara karşılık gele ağırlık foksiyou w olmak üzere, (3.9) iç çarpımıa göre ortogoal olduğuu gösterir. Yai, herhagi, m ve m içi (Jacobi) P x Pm x x x dx 0 (3.),, (Legedre) P x P x dx m 0 (3.3) (Chebyshev) T xt x dx m 0 (3.4) x 4

35 (Laguerre) x L x L x x e dx 0 (3.5) m 0 (Hermite) x H x Hm x e dx 0 (3.6) olur. Ölçekledirilmiş Laguerre (ya da Hermite) foksiyolarıı ortogoal olmadığıı uutmayalım. Ayrıca, b 0 olduğuu göz öüe alırsak, (3.) ve a uvdx buvdx uvwdx I I I deklemleri ortogoal poliomları au u m dx 0,, m, m (3.7) I deklemii sağladığıı gösterir. Bu da a ağırlık foksiyoua göre türevleri ortogoal poliomlar olduğuu gösterir. Herhagi içi, p e çok derecede poliom olduğuda puwdx 0 eşitliğii elde ederiz. Çükü, k içi p, u k ları lieer I birleşimidir. Deklem (3.3) de x cos alıırsa ve (.9) göz öüe alıdığıda, trigoometrik foksiyolar içi iyi bilie ortogoal bir bağıtı elde edilir: cos cos m d 0,, m, m (3.8) 0 Bu da Chebyshev poliomlarıı karakterize etmemize olaak sağlayacaktır. 5

36 3. Teorem: Herhagi içi (Jacobi), P ( x) x x dx!, 0, 0 (3.9) (Legedre) P ( x) dx (3.0) (Chebyshev), 0 dx T ( x), 0 (3.) x (Laguerre) 0 x L ( x) x e dx (3.)! (Hermite) x H ( x) e dx!. (3.3) 6

37 4. CHEBYSHEV TÜREVLEME MATRİSLERİ T x ), Birici tür Chebyshev poliomları ( ( ), ekstremuma sahiptir ve bular aralığıda tae x cos( j N), j 0,,, N (4.) j formülüyle buluabilirler. Bu bölümde bu oktaları kullaarak Chebyshev türevleme matrisleri oluşturulacak ve daha sora bu matrisler bazı foksiyoları türevlemesie uygulaacaktır. Chebyshev oktalarıda taımlı bir v ızgara foksiyou verildiğide w ayrık türevii aşağıdaki iki adımda hesaplayabiliriz. p x v j N olacak şekilde derecesi N ye eşit ya da daha küçük, 0 j poliom p olsu. wj p x j j alalım. Bu işlem lieer olduğuda dolayı N N bir matris ile çarpma olarak tipide D N ile göstereceğimiz w D v N şeklide temsil edilebilir. Buradaki N çift ya da tek keyfi bir pozitif tamsayıdır. İterpolasyo işlemi içi geel bir fikir oluşturmada N ve N durumlarıa bakmamız faydalı olacaktır. İlk olarak N durumuu göz öüe alalım. Bu durumda iterpolasyo oktaları x0 ve x. v 0 ve v leri kullaarak Lagrage formuda yazıla iterpolasyo poliomu p x xv xv 0 7

38 olur. Bu ifadei türevi alıırsa p x v v 0 elde edilir. Bu formül tipide aşağıdaki D matrisii verir: D Şimdi de N yi göz öüe alalım. İterpolasyo oktaları x0, x 0 ve x dir ve iterpolat p x x xv x xv x xv 0 ikici derecede bir deklemdir. Türevi p x x v xv x v 0 şeklide lieer bir poliomdur. Türevleme matrisi 3 3 tipideki D matrisidir ve bu matris yukarıdaki ifadede sırasıyla x, 0 ve - koulduğuda 3 D 0 (4.) 3 şeklide buluur. Şimdi keyfi N içi D N matrisii formülüü bulalım. 8

39 4. Teorem (Chebyshev Türevleme Matrisi): Herhagi N içi, N N tipideki Chebyshev spektral türevleme matrisi D N i satır ve sütuları 0 da N ye kadar idekslesi. Bu matrisi elemaları c i, i 0 ya da N, diğer durumlarda olmak üzere N N N 00 N NN, D D, (4.3) 6 6 x j DN, j,, N, (4.4) jj x j i j c i DN, i j i, j 0,, N, (4.5) ij c x x j i j şeklidedir. Chebyshev spektral türevleme matrisi D N yi hesaplamak içi program yazılırke (4.3)-(4.5) formüllerii tam alamıyla kullamak yerie; ilk öce matrisi köşege elemaları dışıdaki diğer elemalarıı (4.5) formülüyle hesaplamak, daha sora da (4.3) ve (4.4) formülleri ile verile köşege elemalarıı N D D, (4.6) N ii j0 ji N ij özdeşliğii kullaarak hesaplamak daha uygu olacaktır. x 4. Örek: u( x) e si(5 x) şeklideki periyodik olmaya düzgü foksiyou türevii Chebyshev spektral türevleme matrisi D N yi kullaarak 9

40 hesaplayalım. Şekil 4.0 da sırasıyla N 0 ve N 0 kullaarak elde edile u( x) i grafiği ve u ( x) teki hataı grafiği verilmiştir. u(x), N=0 0.0 u'(x) deki hata, N= u(x), N=0 0 x 0-0 u'(x) deki hata, N= x Şekil 4.0 : u( x) e si(5 x) i Chebyshev Türevlemesi 30

41 5. ADİ DİFERANSİYEL DENKLEMLER İÇİN SINIR DEĞER PROBLEMLERİ Bölüm 4 de D N Chebyshev türevleme matrisi taımlamıştı. Bu bölümde D N matrisii kullaarak adi diferasiyel deklemler içi bazı sıır değer problemlerii çözümleri üzeride duracağız. 5. Örek: İlk uygulama olarak, aşağıdaki lieer adi diferasiyel deklem içi sıır değer problemii göz öüe alalım [4]: 4x uxx e x u,, ( ) 0. (5.) Bu sıır değer problemi, aalitik çözümü bir boyutlu Poisso deklemidir. u x e x h 6 4x ( ) sih(4) cos (4) ola Problemi ümerik çözümü içi D N i karesi D N ile ikici türev hesaplaabilir. Problemi diğer yarısı u( ) 0 sıır koşullarıı kullaımıdır. Bu şekilde homoje Dirichlet sıır koşullarıa sahip basit problemler içi aşağıdaki gibi devam edilebilir. Hesaplama oktaları olarak x,, xn şeklide iç Chebyshev oktalarıı alalım (Şekil 5.). Bulara karşı gele bilimeyeler vektörü v ( v,, v ) T N olsu. v 0 v v v j vn v N x 0 x x x j xn x N Şekil 5.: x,, xn oktalarıa karşılık gele v ( v,, v ) T N vektörleri 3

42 Bu durumda spektral türevleme aşağıdaki şekilde uygulaabilir: p( ) 0 ve p( x ) v, j N olacak şekilde derecesi N ye eşit ya da küçük tek poliom p( x ) olsu. w p ( x ), j N alalım. j j j j O halde N N D, ( v0,, v ) T N vektörüü ( w0,, w ) T N N boyutlu bir matristir. Taımlaa bu işlem istediğimiz vektörüe döüştüre v0 v N 0 al. w 0 ve w N ihmal et. souçlarıa ulaşmamızı sağlar. Bu da D N i ilk ve so sütularıı herhagi bir etkisii olmadığıı (sıfırla çarpıldıklarıda dolayı) ve ilk ve so satırlarıı da herhagi bir işlevii kalmadığıı gösterir (ihmal edildikleride dolayı): w0 v0 w v DN. wn vn w v N N Diğer bir deyişle, bir Chebyshev spektral metotla bir-boyutlu Poisso problemii çözmek içi tipideki D i ilk ve so satır ve sütuları atılarak elde edile N N N D N matrisi kullaılabilir. O halde, D N kullaıldığıda (5.) i ümerik çözümü aşağıdaki formda bir lieer deklem sistemii çözme problemie idirgeir: 4x 4x, (,, N T D v f f ). N e e 3

43 Bu lieer deklem sistemi de uygu bir bilgisayar programı yardımıyla u u yaklaşım vektörü ( v,, v ) T N içi kolayca çözülebilir. Bu bölümde gerekli tüm programlar ve grafik çizimleri içi MATLAB, hata ölçümleri içi ise x x i şeklide taımlaa sosuz orm kullaılmıştır. max in Şekil 5. de (5.) problemii ümerik çözümüü grafiği verilmiştir. Bu grafiği elde etmek içi yazıla kod sadece Chebyshev oktalarıda u u yaklaşım vektörüü ( ( v,, v ) N ) hesaplasa bile, elde edile ümerik çözümde poliom iterpolasyou yapılarak problemi çözümü içi Şekil 5. deki düz çizgi grafiği elde edilmiştir. Bu iterpolasyo işlemi basit bir MATLAB komutuyla (polyval(polyfit( )) yapılmıştır. Bu durum buda soraki öreklere de uygulamıştır. 0.5 Maksimum Hata =.6e u(x) x Şekil 5.: uxx 4x e lieer sıır değer problemii çözümü 5. Örek: İkici uygulama olarak, u u e, x, u( ) 0, (5.) xx 33

44 şeklideki lieer olmaya sıır değer problemii ele alalım (Trefethe 000). Deklemi lieer olmamasıda dolayı ikici mertebede D N türevleme matrisii terslemek yukarıdaki örekte olduğu gibi yeterli olmayacaktır. Buu yerie problemi iterasyola çözebiliriz. Her iterasyo yötemii kullaımıda olduğu gibi burada da bir başlagıç tahmii kullamamız gereklidir. Buu içi sıfır vektörüü seçelim. Böylece olmak üzere v j e bileşeleri tarafıda taımlaa sütu vektörü e v D v, eski N yei e v şeklideki deklem sistemii iterasyo içi kullaabiliriz. Basit bir iterasyou 5 durdurma kriteri kullaarak (burada max v v 0 in elde edile souç Şekil 5.3 te grafik olarak verilmiştir. kullaılmıştır) yei eski 0. İterasyo Sayısı = 9, u(0) = u(x) x Şekil 5.3: (5.) lieer olmaya sıır değer problemii çözümü Şekil 5.3 te görüldüğü gibi 9 iterasyoda belirlee kriterde yakısaklık gerçekleşmiştir. Elde edile çözümü doğruluğuu görmek içi yazıla koda basit 34

45 bir ekleme yapılarak çeşitli N değerleri içi souçları yazdırabiliriz. Bu durum Tablo 5. de verilmektedir. N=6 olduğuda bile u(0) içi veya 3 haeli doğruluğa ulaşılabilmektedir. Tablo 5.: (5.) problemii ümerik souçları N İterasyo Sayısı u(0) Örek: Üçücü uygulama olarak, aşağıdaki lieer sabit katsayılı homoje adi diferasiyel deklem içi sıır değer problemii göz öüe alalım. y ( t) y( t) y( t) 0, y(0), y() 3. (5.3) t Bu problemi aalitik çözümü 3 y e t t e t. Problemi ümerik çözümü içi Örek 5. deki metot izleecektir. Fakat o metodu kullaabilmek içi problemi taımlı olduğu aralığı, ve sıır koşullarıı homoje olması gerekmektedir. Dolayısıyla ilk öce 0, aralığıı, aralığıa döüştürmemiz gerekmektedir. Herhagi a, b aralığı 35

46 b a b a t x, a t b, (5.4) döüşümüyle kolayca, aralığıa getirilebilir. O halde (5.3) problemide x t döüşümüü yaparsak, zicir kuralıda dy dy dx dy, (5.5) dt dx dt dx d y d dy d y 4 dt dx dt dx, (5.6) olduklarıda dolayı (5.3) problemi d y dx dy y 0, y, y 3, (5.7) dx 4 formua idirgemiş olur. Şimdi de sıır koşullarıı homoje yapmamız gerekmektedir. Buu içi de (5.7) problemide y x u x, döüşümüü yapalım. Bu durumda y u( x), y u( x), elde edilir. Bulduğumuz bu ifadeleri (5.7) deklemide yerie yazarsak x 3 u u u, u 0, 4 4 şeklide homoje sıır koşullarıa sahip sıır değer problemii elde ederiz. Bu problemi x,, xn şeklideki iç Chebyshev oktalarıda 36

47 D D I v f, 4 N N olarak lieer deklem sistemi formuda yazabiliriz. Burada I, N N boyutlu birim matris ve f de elemaları sütu vektörüdür. Bu sistem bilimeye x j 3 f j, j,,, N ola 4 v vektörü içi kolayca çözülerek iç Chebyshev oktalarıda u( x j ) değerleri buluur. Daha sorada yapıla döüşümlerde yerie koyma işlemleri gerçekleştirilerek ele alıa asıl (5.3) problemii yaklaşık çözümlerie ulaşılmış oluur. Şekil 5.4 de ele alıa problemi ümerik çözümüü grafiği verilmiştir. Tablo 5. de de mutlak hata verilmiştir. Souçlar icelediğide hataı e kadar küçük olduğu açıkça görülmektedir y(t) t Şekil 5.4: (5.3) lieer sıır değer problemii ümerik çözümü 5.4 Örek: Bu problemde değişke katsayılı, lieer, homoje adi diferasiyel deklem içi aşağıdaki sıır değer problemii göz öüe alalım: y ( t) 4 t y( t) ( t ) y( t) 0, y(0) 0, y(). (5.8) 37

48 Bu problemi aalitik çözümü t y te. Tablo 5.: (5.3) lieer sıır değer problemii çözümüdeki mutlak hata t j y aalitik y Mutlak Hata ümerik aralığı Bir öceki örekteki metodu izleyebilmemiz içi problemi taımlı olduğu 0, de, e döüştürmeliyiz. Buu içi (5.4) deklemii x kulladığımızda t döüşümüü elde ederiz. (5.5) ve (5.6) ifadelerii (5.8) problemide yerie koyduğumuzda d y dx dy x x y 0, y 0, y, (5.9) dx 4 elde edilir. Koşulları homoje yapmak içide faydalaılır. Bu durumda x y u( x) döüşümüde y u( x), y u ( x), ifadelerii (5.9) deklemide yerie yazarsak 38

49 x 3 u x u x u x, u 0, 4 4 şeklide, aralığıda homoje sıır koşullarıa sahip sıır değer problemii elde ederiz. Bu problemi x,, xn şeklideki iç Chebyshev oktalarıda D N x j D N x j 4 I v f, olarak lieer deklem sistemi formuda yazabiliriz. Burada I, N N boyutlu birim matris ve f de elemaları x j 3 f j x j, j,,, N 4, ola sütu vektörüdür. Bu sistem bilimeye v vektörü içi kolayca çözülerek iç Chebyshev oktalarıda u( x j ) değerleri buluur. Daha sora da bir öceki öreğe bezer şekilde yapıla döüşümlerde yerie koyma işlemleri gerçekleştirilerek ele alıa asıl (5.8) problemii yaklaşık çözümlerie ulaşılmış oluur. Şekil 5.5, problemi ümerik çözümüü grafiğii göstermektedir. Tablo 5.3 de mutlak hata verilmiştir. 5.5 Örek: Burada ele alıa problemde, aşağıdaki lieer değişke katsayılı homoje olmaya adi diferasiyel deklem içi sıır değer problemii göz öüe alalım (Gerald 994). t y ( t) y( t) t, y(), y(3). (5.0) 5 Bu problemi aalitik çözümü mevcut değildir. edilirse Daha öce verile Örek (5.3) ve (5.4) de yapıla işlemler burada da tekrar 39

50 y(t) t Şekil 5.5: (5.8) lieer sıır değer problemii ümerik çözümü Tablo 5.3: (5.8) lieer sıır değer problemii çözümüdeki mutlak hata t j y aalitik y Mutlak Hata ümerik x 3 3x 3 u u, u 0,

51 şeklide, aralığıda homoje sıır koşullarıa sahip sıır değer problemii elde ederiz. Bu problemi x,, xn şeklideki iç Chebyshev oktalarıda 3 x j D N I v f, 5 olarak lieer deklem sistemi formuda yazabiliriz. Burada I, N N boyutlu birim matris ve f de elemaları 3x j 3,,,, f j j N, 0 ola sütu vektörüdür. Şekil 5.6 da problemi Chebyshev spektral metodu kullaılarak yapıla ümerik çözümüü grafiği görülmektedir. Tablo 5. de, (5.0) problemii solu farklar metodu, atış metodu ve Chebyshev spektral metodu kullaılarak elde edile souçları karşılaştırılmıştır..5.5 y(t) t Şekil 5.6: (5.0) lieer sıır değer problemii ümerik çözümü 4

52 Tablo 5.4: (5.0) problemii farklı metotlardaki değerleri x Solu Farklar Metodu Atış Metodu Spektral Metot Örek: Bu uygulamaya gelice aşağıdaki lieer olmaya adi diferasiyel deklem içi sıır değer problemii göz öüe alalım. Bu problemi aalitik çözümü y( t ) y ( t) e, y(0) y() 0. (5.) c y log log csec t, c Bu problem Örek 5. deki probleme bezer bir problemdir. Burada sadece sıır koşulları farklıdır. Bu edele problemi taımlı olduğu 0, aralığıı, aralığıa döüştürme işlemi yapmamız yeterli olacaktır. (5.4) deklemi yardımıyla (5.) problemii y x e y 4 y( x) ( ), ( ) 0 formuda yazabiliriz. Bu aşamada sora Örek 5. de uyguladığımız ümerik çözüm yötemii uygulayabiliriz. Burada iterasyo içi kullaılacak sistem 4

53 D v, 4 veski N yei e şeklide olacaktır. Şekil 5.7 de, (5.) problemii Chebyshev spektral metodu kullaılarak elde edile ümerik çözümüü grafiği verilmiştir. Tablo 5.5 de problemi taımlı olduğu aralığı bazı oktalarıda ümerik ve aalitik souçlarla birlikte mutlak hata listelemektedir. 0 İterasyo Sayısı = 5, u(0) = y(t) t Şekil 5.7: (5.) lieer olmaya sıır değer problemii ümerik çözümü 5.7 Örek: Aşağıdaki sıır değer problemii (özdeğer problemii) göz öüe alalım: ( ) 0, (0) 0, () 0, (5.) y t y t y y Bu problemi özdeğerleri,,, olarak kolayca buluabilir. 43

54 Tablo 5.5: (5.) lieer olmaya sıır değer problemii çözümüdeki mutlak hata t j y aalitik y Mutlak Hata ümerik Örek 5.6 da olduğu gibi bu problemde de sıır koşulları homoje olduğuda dolayı problemi taımlı olduğu 0, aralığıı, aralığıa döüştürürke (5.4) deklemide yararlaırsak, olmak üzere y ( x) y, y( ) 0. (5.3) Problemii elde ederiz. Bu problemi x,, xn şeklideki iç Chebyshev oktalarıda D y y N olarak N N boyutlu özdeğer deklem sistemi formuda yazabiliriz. Bu sistemde uygu bir MATLAB komutu kullaılarak özdeğerleri içi çözülebilir. Daha sorada 4 kullaılarak ele alıa orijial problemi özdeğerlerie ulaşılabilir. Tablo 5.6 da (5.) özdeğer problemii ümerik ve aalitik souçlarıyla birlikte mutlak hatası verilmiştir. Bu hesaplamaları yaparke N 36 kullaılmıştır. 44

55 N değerii arttırdıkça, i arta değerleride mutlak hataı daha da azaldığı Tablo 5.7 de görülmektedir. Tablo 5.6: (5.) özdeğer problemii çözümüdeki mutlak hata aalitik ümerik Mutlak Hata (N=36) Örek: So uygulama olarak, aşağıdaki t y ( t) e y t y t, y(0) 0, y( ) 0, (5.4) özdeğer problemii göz öüe alalım (Ghelardoi 997). Örek 5.6 ve 5.7 de olduğu gibi burada da sıır koşulları homoje olduğuda, problemi taımlı olduğu 0, aralığıı, deklemide yararlaarak t x aralığıa döüştürmek içi (5.4) döüşümü yaparsak 45

56 Tablo 5.7: (5.) özdeğer problemii farklı N değerleri içi mutlak hataları N 54 N 7 N dy dy dx dy, (5.5) dt dx dt dx d y d dy 4 d y dt dx dt dx, (5.6) olur. Bulduğumuz bu ifadeleri (5.4) problemide yerie koyarsak, olmak üzere 4 d y x e y y, y 0, (5.7) dx 4 elde edilir. Bu problemi x,, xn şeklideki iç Chebyshev oktalarıda 46

57 olarak N N x j D N e I y y, 4 boyutlu özdeğer deklem sistemi formuda yazabiliriz. Bu sistemde uygu bir MATLAB komutu kullaılarak özdeğerleri içi çözülebilir. 4 Daha sorada kullaılarak ele alıa orijial problemi özdeğerlerie ulaşılabilir. Tablo 5.8 de (5.4) özdeğer problemii ümerik çözüm souçlarıı kayak Ghelardoi (997) daki souçlarla karşılaştırılması verilmiştir. Örek 5.7 deki gibi burada da hesaplamaları yaparke N 36 kullaılmıştır. Tablo 5.8: (5.4) özdeğer problemii ümerik çözüm souçlarıı Ghelardoi (997) daki souçlarla karşılaştırılması Ghelardoi 997 ümerik

58 6. SONUÇ VE ÖNERİLER Bu tezde, spektral metotları literatürde mevcut bazı temel teorik souçları verilmiş ve adi diferasiyel deklemlere uygulamaları çalışılmıştır. Spektral metotlarda foksiyo yaklaşımları Sturm-Liouville problemlerii poliom çözümleriyle yakıda ilişkili olduğuda ilk öce bu problemler ele alımış ve daha sora sırasıyla Jacobi poliomları, Legedre poliomları, Chebyshev poliomları, Laguerre poliomları ve Hermite poliomlarıı basit ve ayı zamada dikkate değer özellikleri özetlemiştir. Bu poliom ailelerii tümü uygu bir iç çarpıma göre ortogoal foksiyolar kümesi oluşturduklarıda üçücü bölümde yaklaşım teorisii temel taşlarıda İç Çarpım ve Ortogoal foksiyolar ele alımıştır. Dördücü bölümde, Chebyshev oktaları kullaılarak Chebyshev türevleme matrisleri elde edilmiş ve bu matrisler kullaılarak bazı foksiyoları türevlerie ulaşılmıştır. So olarak, beşici bölümde, Chebyshev türevleme matrislerii adi diferasiyel deklemler içi sıır değer problemlerie bazı uygulamaları verilmiştir. Verile uygulamalarda ikici mertebede lieer ve lieer olmaya bazı sıır değer problemleri ile buları özel bir hali ola ikici mertebede Sturm-Liouville problemleri ele alımıştır. Ele alıa bu problemleri Chebyshev spektral metoduyla çözümleri detaylı olarak icelemiştir. Bu problemler ikici mertebede bir adi diferasiyel deklem ile Dirichlet (veya birici tip) sıır koşulları (homoje veya homoje olmaya) içere problemlerdir. Chebyshev türevleme matrisleri, aralığıda tae Chebyshev oktası kullaılarak oluşturulduğuda dolayı, ele alıa problemleri taımlı oldukları aralıklar, değilse, bular uygu döüşümler yardımıyla bu aralığa döüştürüldükte sora çözümleri gerçekleştirilmiştir. Elde edile souçlar, eğer mevcutsa ele alıa problemleri aalitik çözümleriyle, değilse de literatürde mevcut diğer ümerik çözüm yötemlerii (solu farklar yötemi, atış yötemi, v.b. gibi) souçlarıyla karşılaştırılmış ve Chebyshev spektral metodu çözümlerii oldukça iyi souçlar verdiği gözlemlemiştir. Bu metot kısmi diferasiyel deklemlere de kolaylıkla uygulaabilirdir ve bular içi bazı souçlar literatürde mevcuttur. 48

59 7. KAYNAKLAR Berardi, C. ad Maday, Y., Approximatios spectrales de problems aux limites elliptiques, Berli: Spriger-Verlag, (99). Boyd, J. P., Chebyshev ad Fourier Spectral Methods, d ed., New York, (000). Cauto, C. Hussaii, M. Y. Quarteroi, A. ad Zag, T. A., Spectral Methods i Fluid Dyamics, Berli: Spriger-Verlag, (988). Cleshaw, C. W. ad Curtis, A. R., A method for umerical itegratio o a automatic computer, Numer. Math., 97-05, (960). Forberg, B., A practical guide to pseudospectral methods, UK: Cambridge Uiversity Press, Cambridge, (996). Fox, L. ad Parker, I. B., Chebyshev Polyomials i Numerical Aalysis, UK: Oxford Uiversity Press, Oxford, (968). Fuaro, D., Computatioal Aspects of Pseudospectral Laguerre Approximatios, Appl. Numer. Math., 6, , (990a). Fuaro, D., Polyomial Approximatio of Differetial Equatios, Berli Heidelberg: Spriger-Verlag, -6, (99). Gerald, C. F. ad Wheatley, P. O., Applied Numerical Aalysis, Fifth editio, Addisio-Wesley, (994). Ghelardoi, P., Approximatios of Sturm Liouville eigevalues usig Boudary Value Methods, Appl. Numer. Math., 3, 3 35, (997). Gottlieb, D., Hussaii, M. Y., ad Orszag, S. A., Itroductio: Theory ad Applicatios of Spectral Methods, i Voight, R. G., Gottlieb, D., ad Hussaii, M. Y., eds., Spectral Methods for Partial Differatial Equatios, SIAM, Philadelphia, (984). Gottlieb, D. ad Orszag, S. A., Numerical Aalysis of Spectral Methods: Theory ad Applicatios, SIAM, Philadelphia, (977). Kariadakis, G. E. ad Sherwi, S. J., Spectral/hp elemet method for CFD, UK: Oxford Uiversity Press, Oxford, (999). 49

60 Laczos, C., Trigoometric iterpolatio of empirical ad aalytical fuctios, J. Math. Phys. 7, 3-99, (938). Mercier, B., A Itroductio to the Numerical Aalysis of Spectral Methods, New York: Spriger-Verlag, (989). Orszag, S. A., Accurate solutio of the orr-sommerfeld stability equatio, J. Fluid Mech. 50, , (97). Trefethe, L. N., Spectral Methods i Matlab, Eglad: Oxford Uiversity, Oxford, (000). 50

61 8. ÖZGEÇMİŞ Ad Soyad : Fatma ÇELİKTAŞ Doğum Yeri ve Tarihi : Acıpayam / Lisas Üiversite : Celal Bayar Üiversitesi Elektroik Posta : f.celiktas@hotmail.com İletişim Adresi : Remzi Şeel Mah. Demirel Cad. No: Yatağa/ DENİZLİ 5