Bir ölçümün sonucu, istenilen anlamlı rakam sayısından daha fazla sayıda rakam 1,24 6,26 87,4 76,2

Transkript

1 ANLAMLI SAYILAR ÖLÇÜM HATALARI ve BİR DENEYİN ANALİZİ İ İ

2 Ölçme Bir fiziksel niceliğin ğ önceden saptanmış ş bir standarda göre sayısal değerinin ğ verilmesi işlemine ölçüm denir. Önceden saptanmış bu standarda da birim adı verilir. Bir ölçümün duyarlılığı, ölçümü ifade eden rakam sayısı ile belirlenir. Yapılan bir ölçümü belirlemede kullanılan rakamlara anlamlı rakamlar denir. Ölçme yaparken üzerinde önemle durulması gereken iki kavram vardır; doğruluk ve duyarlılık. Doğruluk : fiziksel bir niceliğin bir ölçümünün gerçek değere ne kadar yakın olduğunu gösterir. Duyarlılık : aynı büyüklüğün ölçülmesinden elde edilen iki değerin birbirine ne kadar yakın olduğunuğ gösterir.

3 Anlamlı Rakamlar Ondalıklı sayılarda virgülün yerini belirtmek için kullanılan sıfırlar anlamlı değildir. Örneğin, 0,0303 molarak verilen bir ölçüm sonucunda anlamlı rakam sayısı dir. Ölçüm sonucunun bir parçası olan sıfırlar anlamlıdır. Örneğin, 0, sayısınınanlamlıanlamlı rakam sayısı 5 tir sayısı gibi sıfırlar içeren bir sayının anlamlı rakam sayısını bulmak için bilimsel gösterim kullanmak daha uygundur = 4x10 3 (anlamlı rakam sayısı = 1) 4100 = 4,1x10 3 (anlamlı rakam sayısı = ) 4340 = 4,34x10 3 (anlamlı rakam sayısı = 3)

4 Bir ölçümün sonucu, istenilen anlamlı rakam sayısından daha fazla sayıda rakam içeriyorsa, Kural 1: Terk edilen ilk anlamsız rakam 5 ten küçük ise korunan son rakam olduğu ğ gibi kl kalır, değilse 1 artırılır: 1,446 1,4 6,563 6,6 Kural : Terk edilen ilk anlamsız rakam 5 ve korunan son anlamlı rakam tek ise, son anlamlı rakam 1artırılır: 87,35 87,4 Kural 3: Terk edilen ilk anlamsız rakam 5ve korunan son anlamlı rakam çift ise, değiştirilmez: 76,54 76,

5 Anlamlı sayılarda Çarpma ve Bölme İşlemi Sonucun anlamlı rakam sayısı, en az anlamlı rakama sahip olan sayının anlamlı rakam sayısı ile belirlenir. 0,745, = 0, ,885 iki anlamlı rakamla verilmelidir 0,4 Anlamlı sayılarda Toplama ve Çıkarma İşlemi Sonuç en az ondalık basamağa sahip sayıya göre belirlenir. 7, , -11,74 = 153,613 sonuç tk tek ondalık dlkbasamak kiçermeli 153,6

6 Ölçüm Sonuçları Nasıl Verilir? Ölçümler sonucunda elde edilen sayısal değerler, ancak ölçüm hataları ile birlikte verildiğinde anlamlı olur. Herhangi bir fiziksel x niceliğinin (uzunluk, zaman, gerilim, elektrik akımı, vb) değeri için x 1 ölçümünü yapalım. x 1 ölçümünün sonucu, x niceliğinin değerini belli bir yaklaşıklıkla verecektir. İkinci bir x ölçümü yaparsak, bunun sonucunun x 1 ölçümünün ü ü sonucundan biraz farklılaştığını kll ğ görürüz. öüü Diğer bir deyişle, x niceliği için çok sayıda ölçüm alırsak her bir ölçüm için farklı değer elde ederiz. Buna göre x niceliğinin değeri için, ölçüm sonuçlarının nasıl bir dağılım gösterdiğine ve en çok hangi değer etrafında toplandığına bakmak gerekecektir. Ölçüm sonuçlarının şu şekil verilmesi uygundur: Ölçülen Değer ğ = En iyi tahmin (Ortalama değer) ğ Hata

7 Ölçümdeki Hatalar Hiçbir fiziksel ölçüm hatasız değildir. Hatadan kasıt yanlış ya da kusur değil, belirsizliktir. Ölçümlerimiz, kullandığımız ölçü aletinin duyarlılığı, izlenilen deneysel yöntem ve deneyi yapan kişinin dikkat ve becerisine bağlı olarak belli bir hata sınırı içerisindedir. Ölçüm hataları: sistematik hatalar ve istatistiksel hatalar (Rastgele) olmak üzere iki kısma ayrılır. Sistematik hatalar: Bu tip hatalar, kullanılan ölçü aletlerinden, kişisel yetersizliklerden, deneyde izlenilen metottan ve dış etkilerden kaynaklanır. Bu tip hatalar, sonucu hep tek yönde etkiler. Sistematik hataları, deney yöntemini değiştirerek, daha hassas ölçü aletleri kullanarak ya da deney sonunda gerekli düzeltmeleri yaparak ortadan kaldırabiliriz. İstatistiksel hatalar (Rastgele): Ölçmeduyarlılığının doğal olarak sınırlı oluşundan kaynaklanan hatalardır. Bu hatalar sonucu çift yönlü etkiler. Daha fazla sayıda ölçüm alarak istatistiksel hataları azaltabiliriz.

8 Hata Hesabı: Fiziksel bir büyüklük için bir x ölçümünü yapalım (uzunluk, kütle, zaman ölçümü vb.). Ölçümümüzü n kez tekrar edelim. Ölçümümüz bir değer çevresinde Gauss dağılımı (normal dağılım) gösterecektir. ortalama değerli ve σ standart sapmalı Gauss dağılımı 1 xx f( x, x, ) e x ile verilir. Çok sayıda ölçümün alındığı bir durumda fiziksel olarak ölçümü tarif etmek için kullanılır. Ortalama Değer: Bir x niceliğinin ayrık n tane ölçümü için ortalama değer aritmetik ortalama alınarak bulunur. n 1 1 x x1 x x3... xn x n n i 1 i x değeri, bir fiziksel ölçüm için en olası değer ya da en iyi ölçüm değeridir.

9 Standart Sapma: Ayrık x i (i = 1,......,n) ölçümlerinin her birinin ortalama değerden farklılaştığını gösteren ifadeye sapma denir. i. ölçüm için sapma a x x i i x ne kadar a ile verilir. i değerleri pozitif, negatif veya sıfır olabilir. i lerin hepsi çok küçükse, ölçümlerimiz birbirine o kadar yakın demektir. Sapma değerlerinin aritmetik ortalaması sıfır verebilir. Dolayısı ile sapmanın ortalaması ölçümün ü güvenirliliği ile ilgili bilgi vermeyebilir. Bu sıkıntıdan kurtulmak için iki yol vardır. a n i1 a i 0 Sapma değerlerinin ortalamasını almak mutlak değerlerinin Sapma değerlerinin karelerini toplayıp kare- kökünü almak.

10 Mutlak Hata Hata: Sapma değerlerinin mutlak değerlerinin ortalamasını alırsak, pozitif iifbi bir sayı elde ederiz ve ölçümün ü güvenilirliği ile ilgili bir fikir edinebiliriz. Mutlak sapma; Standart Sapma: Ölçüm Ölçüm sonuçlarımızı daha hassas bir şekilde değerlendirmek istiyorsak, i mutlak lk hatadan başka bir tanımlamaya ihtiyacımız vardır. Standart sapma; 1 1 a a a a a a n n i n n nn i1 şeklinde tanımlanır. Mutlak hatayı kullanarak ölçüm sonuçlarını şu şekilde verebiliriz: x x a Bağıl Hata: x x / x n 1 1 a xi x 1 1 n i i1 n n i1 şeklinde tanımlanır. Bu ifade aslında, x 1,..., x n ölçümlerindeki sapmaların kare ortalama karekökü krekökü (kok değeri) olarak açıklanabilir. Standart sapma, ayrık x 1,..., x n ölçümlerindeki ortalama belirsizliği ifade eder. Standart sapmayı kullanarak kll k ölçüm sonuçlarını şu şekilde verebiliriz: x x g d g oranına bağıl hata denir. Bağıl hata çoğu zaman kesirsel hata olarak da adlandırılır ve yüzde olarak verilir. Örneğin, bir deney sonucu bağıl hata olarak veriliyorsa, ölçüm sonucu %0.3 hata yapılmış demektir.

11 Örnek: Bir Bir uzunluk 11 defa ölçülmüş ve çizelgedeki değerler elde edilmiştir. Ortalama uzunluğu, standart sapmayı ve bağıl hatayı hesaplayınız. n x x x x x i i i i 97,58 x ,1 + 0, n 1. 7,04 0, nn 1 i1 3. 6,85 0, ,08 + 0, ,15 + 0, ,1 + 0, , , x 8. 7,14 + 0, Bağıl hata : 9. 6, , xg 10. 7,03 0, xg xd 1, ,0 0, x g 6 7,05 cm x x 7, cm ( 6 cm olsun) 6 Toplam=97,58 Toplam= = % 4, i cm 0,04

12 En Küçük Kareler Yöntemi Deneysel verilerimizin, kuramsal olarak, y ax b gibi doğrusal bir fonksiyona uyduğunu varsayalım. Tanım gereği deneysel ve kuramsal veriler arasındaki farkların karelerinin toplamı, k d E y y ax b y a x abx b axy by y ifadesine sahiptir. Bu niceliğin ğ a ve b parametrelerine göre türevleri alınırsa, E ax bx xy 0 ax bx xy 1 a E ax nb y 0 ax bn y b eşitlikleri elde edilir. Bu iki eşitlik yerine koyma yöntemi ile kolayca çözülebilir. Buradan, a ve b parametreleri için aşağıdaki sonuçlar elde edilir. y a x n xy y x a n nx x x y x xy b nx x b

13 Örnek: n x y x xy y ax b a b n x x n xy y x , x y xxy nx x = 6,

14 Hatalarınyayılması (Propagation of errors) Ölçülen nicelikler başka bir fiziksel niceliğin hesaplanmasında kullanılıyorlarsa, ölçümdeki belirsizlikler hesaplanan nicelikte de bir belirsizlik oluşturur. Buna hatanın yayılması diyoruz. A A ve B B ölçülen nicelikler olsun, hesaplanacak nicelik C=A+B veya C=A Bise, hesaplanan C niceliğindeki belirsizlik, C A B biçiminde tanımlanır. C=AB veya C=A/B ise, hesaplanan C niceliğindeki belirsizlik, C A B C A B C=A n formunda ise (n=sabit), hesaplanan C niceliğindeki belirsizlik, C C n A A biçiminde tanımlanır.

15 En genel durumda ise, bir fiziksel nicelik çok sayıda farklı fiziksel niceliğin bir fonksiyonu olabilir. Böyle bir nicelik C(a, b,c,...) formuna sahiptir. a, b, c ölçülen a, bve c niceliklerindeki belirsizlikler olmak üzere, C deki belirsizlik, C C C C a b c... a b c bağıntısından hesaplanır. Bazı Örnekler: Yoğunluk ğ lk: d m d m V V d m V Ohm Yasası : V R V I R I R V I 1 K m v Kinetik Enerji : K mv 4 K m v m T 1 m k Periyod(Kütle - yay) : T k T m k

16 Deney Raporunun Hazırlanması: Genel olarak raporun içeriğinde şu bilgiler verilmelidir: 1- Deneyin adı - Deneyin amaçları 3- Deneyde kullanılan araç ve gereçler 4- Deneyle ilgili kuramsal bilgi 5- Deneyde elde edilen verilerin yazıldığı tablolar, yapılan hesaplamalar ve çizilen grafikler 6- Sonuç ve tartışma 7- Sorular ve cevapları

17 Deneyin adı: Yapılan deneyin adı büyük puntolarla açıkça yazılır. Deneyin amaçları amaçları: Deneyin yapılış amacı, ve hedeflenen sonuçlar mümkün olduğunca açık bir şekilde özetlenmelidir. Deneyde kullanılan araç ve gereçler gereçler: Deneyin yapılışında kullanılan araç ve gereçler maddeler halinde listelenmelidir. Deneyle ilgili kuramsal bilgi bilgi: Deneyde kullanılan matematiksel bağıntılar, bu bağıntılarda kullanılan fiziksel nicelikler ve yapılacak hesaplamalar açık seçik bir şekilde bu kesimde verilmelidir. Yapılan deneyle doğrudan ilgili olmayan kuram ve niceliklerden mümkün olduğunca kaçınılmalıdır. Hesaplamalarda dikkat edilmesi gereken noktalara burada değinmekte yarar vardır. Bu kesim mümkün olduğu kadar özet bir şekilde verilmeli ve gereksiz ayrıntılara girilmemelidir. Tablolar: Elde ettiğiniz bütün verilerin düzenli bir ekilde tabloya döküldüğü bölümdür. Bir tabloda blnanbütün bulunan bütün değerlerin birimleri ilgili yerlere yazılmalıdır.

18 Hesaplamalar: Bu bölüm raporun en önemli kesimlerindendir. Burada, deneyin amaçlar bölümündeü blitil belirtilen ifadelerin i hpi hepsi gerekli hesaplamalar l yapılarak ispatlanmalıdır. İlk olarak hesapları yaparken kullanılacak formül ve bağıntıların yazılması (düzenli olması isteniyorsa hesaplar başından itibaren numaralanmalıdır) ve daha sonrada hesaplamalar yapılmalıdır. Hesaplanmış değerlerin birimleri mutlaka yazılmalıdır. Hesaplamalar Grafikler: En başta uygun grafik kağıdının (logaritmik, lineer...) seçilmesi ile işe balanmalıdır. Sonra, hangi eksene hangi değişkenin yazılması gerektiğine karar verilmelidir. Genel bir kural olarak, bağımsız değişkeni x-eksenine bağımlı değişkeni de y-eksenine yerleştirmek gerekir. Ek olarak eksenlerin ölçekleri de ayarlanmalıdır. Ölçeklerin ayarlanmasında en büyük veriden en küçük veri çıkarılır ve eksenin uzunluğuna bölünür. Her iki eksen ii için deuygunolan en mantıklı ölçek seçilir. Eksenlere mutlaka birim yazılmalıdır.

19 Örnek: Aynı cins malzemeden yapılmış 6 adet cismin hacimleri ve kütleleri aşağıdaki tabloda verilmiştir. i Cismini yoğunluğunuğ ğ grafik çizerek bulunuz. (Not: hacim bağımsız değişken, kütle bağımlı değişkendir). V (cm 3 ) m(g) 4, 6,3 6,7 9,8 8,5 1, 11, 16,8 13,4 1,3 17,1 6,8 Yoğunluk : d m V Kütle (g) Eğim = d m = = V 9,14 5,66 =1,61 g/cm 3 V=5,66 m=9, Hacim (cm 3 )

20 Sonuç ve tartışma tartışma: Deneyde hedeflenen amaçlara ne oranda erişildiği, bu hedeflere ulaşmadaş karşılaşılanş ş deneysel güçlükler, gç bu güçlüklerin gç aşılmasış için öneriler vb. bu başlık altında kısa ve öz cümlelerle anlatılır. Sorular ve cevaplar cevaplar: Bu bölümde, deney föyünün arkasındaki sorular ve bu soruların cevapları verilmelidir.