ORTAÖĞRETİM MATEMATİK 11. SINIF DERS KİTABI YAZARLAR. Metin ŞİŞMAN Muslu LÖKÇÜ Turgut OĞUZ Özcan ATAK

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "ORTAÖĞRETİM MATEMATİK 11. SINIF DERS KİTABI YAZARLAR. Metin ŞİŞMAN Muslu LÖKÇÜ Turgut OĞUZ Özcan ATAK"

Transkript

1 ORTAÖĞRETİM MATEMATİK. SINIF DERS KİTABI YAZARLAR Metin ŞİŞMAN Muslu LÖKÇÜ Turgut OĞUZ Özcan ATAK DEVLET KİTAPLARI BİRİNCİ BASKI..., 0

2 MİLLÎ EĞİTİM BAKANLIĞI YAYINLARI... : 575 DERS KİTAPLARI DİZİSİ... : 555.?.Y Her hakkı saklıdır ve Millî Eğitim Bakanlığı aittir. Kitabın metin, soru ve şekilleri kısmen de olsa hiçbir surette alınıp yayınlanamaz. EDİTÖR Prof. Dr. Hüseyin ALKAN DİL UZMANI Hasan SILAY GÖRSEL TASARIM Rabia DALGIÇ EKİCİ ÖLÇME-DEĞERLENDİRME UZMANI Nuray SUNAR PROGRAM GELİŞTİRME UZMANI Ayşen GÜLEN REHBERLİK UZMANI Sinem BİLGİN ISBN Millî Eğitim Bakanlığı, Talim ve Terbiye Kurulunun gün ve 59 sayılı kararı ile ders kitabı olarak kabul edilmiş, Destek Hizmetleri Genel Müdürlüğünün gün ve 98 sayılı yazısı ile birinci defa.9 adet basılmıştır.

3

4

5

6

7 İÇİNDEKİLER.ÜNİTE KARMAŞIK SAYILAR KARMAŞIK SAYILAR...0 SANAL SAYI BİRİMİ VE KUVVETLERİ... KARMAŞIK SAYILARIN EŞİTLİĞİ... KARMAŞIK DÜZLEM...5 BİR KARMAŞIK SAYININ EŞLENİĞİ VE MODÜLÜ...7 KARMAŞIK SAYILARDA TOPLAMA VE ÇIKARMA İŞLEMLERİ... KARMAŞIK SAYILARDA TOPLAMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ... KARMAŞIK SAYILARDA ÇARPMA VE BÖLME İŞLEMLERİ...5 KARMAŞIK SAYILARDA ÇARPMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ...6 EŞLENİK VE MODÜL ÖZELLİKLERİ...9 KARMAŞIK SAYILARDA İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER... İKİ KARMAŞIK SAYI ARASINDAKİ UZAKLIK... KARMAŞIK SAYILARIN KUTUPSAL BİÇİMİ...7 KUTUPSAL BİÇİMDE VERİLEN KARMAŞIK SAYILARDA TOPLAMA ÇIKARMA, ÇARPMA VE BÖLME İŞLEMLERİ... KARMAŞIK SAYILARIN ORİJİN ETRAFINDA DÖNDÜRÜLMESİ...7 KARMAŞIK SAYININ KUVVETLERİ...8 KARMAŞIK SAYININ KÖKLERİ ÜNİTE DEĞERLENDİRME SORULARI...5. ÜNİTE ÜSTEL FONKSİYON ÜSTEL FONKSİYON...56 LOGARİTMA FONKSİYONU...6 ONLUK LOGARİTMA FONKSİYONU VE DOĞAL LOGARİTMA FONKSİYONU...70 LOGARİTMA FONKSİYONUNUN ÖZELLİKLERİ...7 TABAN DEĞİŞTİRME...77 ÜSLÜ VE LOGARİTMİK DENKLEMLER İLE EŞİTSİZLİKLER...8. ÜNİTE DEĞERLENDİRME SORULARI ÜNİTE PERMÜTASYON, KOMBİNASYON, OLASILIK VE İSTATİSTİK SAYMA YÖNTEMLERİ...90 FAKTÖRİYEL...9 PERMÜTASYON...96 DAİRESEL (DÖNEL) PERMÜTASYON...00 TEKRARLI PERMÜTASYON...0 KOMBİNASYON...06 BİNOM AÇILIMI...7 OLASILIK...0 OLASILIK FONKSİYONU... EŞ OLASILI (OLUMLU) LEM UZAY...7 KOŞULLU OLASILIK... BAĞIMLI VE BAĞIMSIZ OLAYLAR... 7

8 İSTATİSTİK...9 MERKEZİ EĞİLİM VE YAYILIM ÖLÇÜLERİ...5 STANDART SAPMA...55 STANDART PUANLAR ÜNİTE DEĞERLENDİRME SORULARI...6. ÜNİTE TÜMEVARIM VE DİZİLER TÜMEVARIM...7 TOPLAM SEMBOLÜ...79 TOPLAM SEMBOLÜNÜN ÖZELLİKLERİ...85 ÇARPIM SEMBOLÜ...89 ÇARPIM SEMBOLÜNÜN ÖZELLİKLERİ...90 DİZİLER...9 DİZİLERDE İŞLEMLER...00 MONOTON DİZİLER...0 ARİTMETİK DİZİLER...0 GEOMETRİK DİZİLER.... ÜNİTE DEĞERLENDİRME SORULARI ÜNİTE MATRİS, DETERMİNANT VE DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ MATRİS... MATRİS ÇEŞİTLERİ...7 İKİ MATRİSİN EŞİTLİĞİ...9 MATRİSLERDE TOPLAM İŞLEMİ VE ÖZELLİKLERİ... BİR MATRİSİN BİR GERÇEK SAYI İLE ÇARPIMI...5 MATRİSLERDE ÇARPMA İŞLEMİ...7 X TÜRÜNDEN BİR MATRİSİN ÇARPMA İŞLEMİNE GÖRE TERSİ... BİR MATRİSİN DEVRİĞİ (TRANSPOZU)... DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ...7 DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİNİN MATRİSLERLE GÖSTERİMİ VE Ü...9 DETERMİNANTLAR...5 SARRUS KURALI...6 EK (ADJOİNT) MATRİS...65 MATRİSLERİN ÇARPMA İŞLEMİNE GÖRE TERSİ YARDIMIYLA DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLE- RİNİN Ü...68 CRAMMER KURALI ÜNİTE DEĞERLENDİRME SORULARI...7 ÜNİTE DEĞERLENDİRME SORULARININ CEVAP ANAHTARI...77 KAYNAKÇA...78 SÖZLÜK

9 ORGANİZASYON ŞEMASI KAZANIMA AİT BAŞLIK Kazanıma ait keşfettirici çalışma LOGARİTMA FONKSİYONUNUN ÖZELLİKLERİ ETKİNLİK Etkinlikte sorgulama basamağı Etkinlikte sonuç basamağı log, log y, log 0 z ve ln e t eşitliklerindeki, y, z ve t değerlerini bulunuz. Logaritma fonksiyonunda tabana eşit sayının görüntüsünün hangi reel sayı olacağını tartışınız. log m, log 5 n, log p ve ln r eşitliklerindeki m, n, p ve r değerlerini bulunuz. İşlenişe ait çözümlü örnek log 5, log 5 7 y ise log 5 in ve y cinsinden eşitini bulalım. log a 5 5 a dir. Bilgi notu veya hatırlatma a R + - { }, n R ve, y R + için, a) log a a ve log a 0 b) log a (.y) log a + log a y c) log a ( y ) log a - log a y ç) log a n n.log a dir. İşlenişe ait pekiştirme soruları U UYGULAMA ) Aşağıdaki ifadelerin eşitlerini bulunuz. a) log 5 5 b) log 8 7 c) log 6 ç) log 9 6 d) log 5 8 Ünite sonu ölçme değerlendirme soruları. ÜNİTE DEĞERLENDİRME SORULARI A - Aşağıdaki ifadelerde boş bırakılan yerlere en uygun sözcük veya sözcükleri yazınız. ) Üstel fonksiyonunun ters fonksiyonuna... fonksiyonu denir. ) Tabanı e olan logaritma fonksiyonuna... fonksiyonu denir. ) Üstel fonksiyonun grafiği ile logaritma fonksiyonunun grafiği... doğrusuna göre simetriktir. B - Aşağıdaki cümlelerin karşısına yargılar doğru ise (D), yanlış ise (Y) yazınız. ) Tabanı 0 olan logaritmaya onluk logaritma denir. ( ) ) Bütün üstel fonksiyondur artandır. ( ) Haftalık saat ile ilgili etkinlik, örnek, bilgi notu ve uygulama kısımlarını ihtiva eder. KARMAŞIK SAYILARIN EŞİTLİĞİ ETKİNLİK Aşağıdaki A ve B kümelerinde verilen karmaşık sayıları inceleyiniz. A z z + 5 i + 5 i z 5 + i B w z 7 i - i w - + i w - + i w - - i A kümesindeki her bir karmaşık sayının B kümesindeki hangi karmaşık sayıya eşit olduğunu tartışınız. Eşit olduklarını söylediğiniz karmaşık sayıların gerçek ve sanal kısımlarını karşılaştırınız. İki karmaşık sayının eşitliği ile ilgili bir genellemede bulununuz.. ÜNİTE DEĞERLENDİRME SORULARI A - Aşağıdaki ifadelerde boş bırakılan yerlere en uygun sözcük veya sözcükleri yazınız. ) a, b R ve z a + b i ise b ye z karmaşık sayısının... denir. ) İki karmaşık sayının birbirine eşit olabilmesi için... olmalıdır. B - Aşağıdaki cümlelerin karşısına yargılar doğru ise (D), yanlış ise (Y) yazınız. ) Her tam sayı bir rasyonel sayıdır. ( ) ) Her irrasyonel sayı bir karmaşık sayıdır. ( ) ) Her doğal sayı bir sanal sayıdır. ( ) ) Arg (z.z ) Arg (z ).Arg (z ) tür. ( ) C - Aşağıdaki soruları yanıtlayınız. ) Aşağıda verilen karmaşık sayıların sanal ve gerçek kısımlarını bulunuz. a) z - i b) z 7 + i c) z 5 i ç) z 9 ) Aşağıda verilen denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz. a) b) c) z + 5 i + m ve z (n + ) i - 6 karmaşık sayıları birbirine eşit ise m ve n değerlerini bulalım. Önce z ve z karmaşık sayılarını standart biçimde yazalım. z + m + 5 i + m -6 ve 5 n + z z (n + ) i z m - 8 n olur. O hâlde, z + (- 8) + 5 i z i ve z ( + ) i z i 5 i olur. a, b, c, d R, z a + b i ve z c + d i olmak üzere, z z a c ve b d dir. UYGULAMA ) Aşağıda verilen karmaşık sayıların gerçek ve sanal kısımlarını bulunuz. a) z b) z 5 i c) z - i ç) z + 5 i d) z 5 i + e) z i ) Re( + i) + Im(( - ) i ) denklemini sağlayan değerini bulunuz. Haftalık saat ile ilgili ünite değerlendirme ve uygulama soruları gri zemin ile verilmiştir. 9

10 . ÜNİTE KARMAŞIK SAYILAR Mandelbrot kümesi, Benoit Mandelbrot un (Benö Mandelburo) teorisidir. Matematikte Mandelbrot kümesi, fraktal şekli oluşturan sınırları belirleyen, karmaşık düzlemdeki sayılar kümesidir. Fraktallar doğada, ağaçların yapraklarının diziliminde ve akciğerlerin damarlarının dallanmasında olduğu gibi birçok alanda doğal olarak bulunur. Mandelbrot kümesinin renklendirilmiş çizimi ETKİNLİK + 0 denkleminin doğal sayılar kümesindeki çözümünü bulunuz. Bu denklemin doğal sayılar kümesinin genişletilmesiyle elde edilen tam sayılar kümesindeki çözümünü tartışınız denkleminin tam sayılar kümesindeki çözümünü bulunuz. Aynı denklemin tam sayılar kümesinin genişletilmesiyle elde edilen rasyonel sayılar kümesindeki çözümünü tartışınız. - 0 ve denklemlerinin gerçek sayılar kümesindeki çözüm kümelerini bulunuz. Gerçek sayılar kümesinin genişletilmesiyle oluşturulabilecek yeni bir kümede denkleminin çözüm kümesinin boş kümeden farklı bir küme olup olamayacağını tartışınız. + 0 denkleminin gerçek sayılardaki çözüm kümesini bulalım dir. - R olduğundan Ç olur. Bazı denklemlerin gerçek sayılarda çözümü olmadığından bu denklemlerin boş kümeden farklı çözüm kümeleri için yeni bir sayı kümesine ihtiyaç vardır. Carl Friedrich Gauss (Karl Firidrih Gavs) ( ): Katkıda bulunduğu alanlardan bazıları; sayılar kuramı, analiz, diferansiyel geometri, jeodezi, elektrik, manyetizma, astronomi ve optiktir. Matematikçilerin prensi ve Antik Çağlardan beri yaşamış en büyük matematikçi olarak da bilinen Gauss, matematiğin ve bilimin pek çok alanını etkilemiştir. Tarihin en nüfuzlu matematikçilerinden biri olarak kabul edilir. Gauss, sanal sayıları doktora tezinde kullanması ile matematik dünyasında yeni bir pencere açmıştır. UYGULAMA ) Aşağıdaki ifadelerde boş bırakılan yerlere en uygun sözcük veya sözcükleri yazınız. a) Her denklemin gerçek sayılar kümesinde bir çözümü.... b) + 0 denkleminin doğal sayılar kümesindeki çözümü... tür. ) Aşağıdaki cümlelerin karşısına yargılar doğru ise (D), yanlış ise (Y) yazınız. a) denkleminin gerçek sayılarda kökü yoktur. ( ) b) denkleminin gerçek sayılarda kökü vardır. ( ) ) Aşağıdaki denklemlerin gerçek sayılar kümesinde çözüm kümelerini bulunuz. a) b) - 0 c) ç)

11 SANAL SAYI BİRİMİ VE KUVVETLERİ ETKİNLİK Aşağıda yapılan işlemleri inceleyerek verilen boşlukları örneğe uygun biçimde doldurunuz. -.(-) (-) (-) (-) Tüm negatif sayıların karekökleri için aynı işlem yapılabilir mi? Tartışınız. Negatif sayıların kareköklerinde ortak çarpan hakkında bir genellemede bulununuz. Negatif sayıların kareköklerini nasıl bir sembolle gösterebilirsiniz. Tartışınız. -6 ve -0 ifadelerinin her birini - cinsinden yazalım (-) ) (-) dir. Negatif sayıların karekökleri söz konusu olduğunda karşılaşılan - ortak çarpanına sanal sayı birimi denir. Matematikçi Euler (Öyler), bu sanal sayı birimini i ile göstermiştir. Yapısı göz önüne alındığında, - i i - olduğu görülür. a > 0 olmak üzere, -a a.i i. a olarak ifade edilir. Negatif sayıların kareköklerine sanal sayılar denir. - ve -7 şeklindeki köklü ifadeleri sanal sayı birimi cinsinden yazalım. - i olduğuna göre -. - i, i biçiminde yazılabilir işleminin sonucunu bulalım. (I) : (-).(-9) 6 6, (II) : i.i 6i 6.(-) -6 dır. - ve -9 sayıları birer gerçek sayı olmadığından (-).(-9) dir. Bu yüzden (I) deki çözüm yanlıştır. Bu işlemin doğru çözümü (II) de görüldüğü gibidir. ETKİNLİK Aşağıdaki işlemleri noktalı yerleri doldurarak sonuçlandırınız. i -, i - olduğuna göre, i i i i i i i i i.i... 5 i.i... 7 i.i i.i... 6 i.i... 8 i.i dır. i nin hangi kuvvetlerinde aynı sonuçları bulduğunuzu tartışınız. Sanal sayı biriminin kuvvetleri için bir genellemede bulununuz. i 60, i 7, i 8 ve i 0 sayılarını bulalım.

12 i 60 (i ) 5 5, i 7 i 7 + i 7. i (i ) 8. i 8. i. i i i 8 i 80 + i 80. i (i ) 0. i i - i 0 i 00 + i 00. i (i ) 5. i i 5. i - i k, m N ve k nın ile bölümünden kalan m ise i k i m dir. Dolayısıyla n N olmak üzere,, k n i k i, k n + -, k n + -i, k n + olur. i, i 79, i 86 ve i - sayılarının en sade şeklini bulalım. i i i i (i ) (i ) 9.i 9.(-i ) -i 86 (i ) 6.i 6.(-) - - (i ) -.i - -.i -.i - i.i - i - i -i bulunur. n N olmak üzere, i n + 7 ve i 0n - sayılarının en sade şeklini bulalım. i n + 7 i n. i 7 (i ) 6n.i.i 6n..(-i ) -i i 0n - i 0n. i - (i ) 50n.i - 50n.i -.i - i.i - i - i i bulunur. UYGULAMA ) Aşağıdaki soruları doğru cevapları ile eşleyiniz. -? - 5 9? -? -8? i i i 5 i i ) Aşağıdaki ifadelerde boş bırakılan yerlere uygun ifadeleri yazınız. a) Sanal sayı birimi... ile gösterilir. b) - i ise i 5 + i... dir. ) Aşağıdaki verilen ifadelerin en sade şeklini sanal sayı biriminin kuvvetlerinden yararlanarak bulunuz. a) i + 8n b) i - c) i -907 ç) i 98 d) i n e) i -8n + f) in +5 + i n - g) i00n + + i 76n + i 6n - 5 i -8n +

13 ETKİNLİK denklemi veriliyor. Denklemin diskriminantını bulunuz. -b + Δ -b - Δ ve bağıntılarından yararlanarak denklemin köklerini köklü ifade a a cinsinden yazınız. Sanal sayı birimi kullanarak kökleri (a + b i) biçiminde ifade ediniz. Elde ettiğiniz bu köklerin hangi sayı kümesine ait olabileceğini tartışınız denkleminin köklerini bulalım. Δ b - ac (-) dir. Bu durumda denklemin gerçek kökü yoktur. Kökleri sanal sayı biriminden yararlanarak yazalım. -b+ Δ a -(-) i. +i ve -b- Δ a -(-)- -6-6i - i olur.. a, b R ve i - sanal sayı birimi olmak üzere a + b i biçimindeki sayılara karmaşık sayılar denir. Bu sayıların oluşturduğu kümeye karmaşık (kompleks) sayılar kümesi adı verilir ve C ile gösterilir. Başka bir deyişle, C { z z a + b i, a, b R, i - } kümesi karmaşık sayılar kümesi olarak adlandırılır. Bu kümesinin elemanları standart biçimde z a + b i olarak gösterilir. Bu sayılara karmaşık sayılar denir. a R sayısına z nin gerçek kısmı Re(z), b R sayısına da z nin sanal kısmı Im(z) denir. Re(z) a ve Im(z) b biçiminde gösterilir. z + 6 i sayısının gerçek (reel) ve sanal kısımlarını bulalım. Re(z) ve Im(z) 6 dır. z + i, z ve z i karmaşık sayılarının gerçek ve sanal kısımlarını bulalım. z + i ise Re(z ) ve Im(z ) z + 0 i ise Re(z ) ve Im(z ) 0 z 0 + i ise Re(z ) 0 ve Im(z ) bulunur. Bu sayıları dikkatlice incelediğimizde z nin sanal kısmı sıfır ve z ün de gerçek kısmı sıfır olankarmaşık sayı olduğunu görmekteyiz. Dolayısıyla her gerçek sayının a + 0. i biçiminde, aynı şekilde her sanal sayının da 0 + b i biçiminde yazılabilen bir karmaşık sayı olduğu söylenebilir. O hâlde, hem gerçek sayılar hem de sanal sayılar kümesi karmaşık sayılar kümesinin birer alt kümeleridir. N Z Q R C Doğal Sayılar Tam Sayılar Rasyonel Sayılar Gerçek Sayılar Karmaşık Sayılar

14 KARMAŞIK SAYILARIN EŞİTLİĞİ ETKİNLİK Aşağıdaki A ve B kümelerinde verilen karmaşık sayıları inceleyiniz. A z z + 5 i + 5 i z 5 + i w z 7 i - i w - + i w - + i w - - i B A kümesindeki her bir karmaşık sayının B kümesindeki hangi karmaşık sayıya eşit olduğunu tartışınız. Eşit olduklarını söylediğiniz karmaşık sayıların gerçek ve sanal kısımlarını karşılaştırınız. İki karmaşık sayının eşitliği ile ilgili bir genellemede bulununuz. z + 5 i + m ve z (n + ) i - 6 karmaşık sayıları birbirine eşit ise m ve n değerlerini bulalım. Önce z ve z karmaşık sayılarını standart biçimde yazalım. z + m + 5 i + m -6 ve 5 n + z z (n + ) i z m - 8 n olur. O hâlde, z + (- 8) + 5 i z i ve z ( + ) i z i olur. a, b, c, d R, z a + b i ve z c + d i olmak üzere, z z a c ve b d dir. UYGULAMA ) Aşağıdaki soruları doğru cevapları ile eşleyiniz. Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz. a) b) c) { - + i, - - i } { 7, -} { 5 i, - 5 i } { i, - i } ) Aşağıda verilen karmaşık sayıların gerçek ve sanal kısımlarını bulunuz. a) z b) z 5 i c) z - i ç) z + 5 i d) z 5 i + e) z i ) Re( + i) + Im(( - ) i ) denklemini sağlayan değerini bulunuz. ) z - + i, z 5 + ( + y) i ve z z ise ( - y) farkı kaçtır? 5) k + i - + m i k - 5 i + - m i ise (k + m) toplamı kaçtır? A) - B) C) D) 5 E) 8

15 KARMAŞIK DÜZLEM ETKİNLİK Aşağıda verilen bazı sanal sayılar, sayı doğrusundaki katsayıları ile eşleştirilmiştir. Boş kutuları uygun biçimde doldurunuz i - i i Bunun gibi bütün sanal sayıların eşlendiği noktaların oluşturduğu sayı doğrusuna sanal sayı ekseni denir. Şimdi de aşağıdaki A, B ve C kümelerinin elemanlarını inceleyiniz. A 0 - B i 0 - i - i C + i - i - i 0 A kümesinin elemanlarını aşağıdaki gerçek eksende, B kümesinin elemanlarını aşağıdaki sanal eksende gösteriniz. 0 0 Gerçek eksen Sanal eksen Sanal eksen Gerçek eksen Gerçek ve sanal eksenlerin ortak noktası olan başlangıç noktasında bu eksenlerin birbirine dik kesiştirilmesi ile oluşan yukarıdaki düzlemi inceleyiniz. Oluşturulan bu düzlemde C kümesinin elemanlarını gösteriniz. Karmaşık sayılar kümesinin bütün elemanlarının gösterilip gösterilemeyeceğini tartışınız. z + 0. i, z 0 - i, z + 5 i, z - + i, z i ve z 6 - i karmaşık sayılarını gerçek ve sanal eksenlerin O noktasında dik kesişmesiyle oluşan düzlemde gösterelim. 5

16 Sanal eksen 5 z + 5 i z - + i z + 0. i z i - z 0 - i - - z 6 - i -5 Gerçek eksen Gerçek ve sanal eksenlerin başlangıç noktasında dik kesişmeleri ile oluşan sisteme karmaşık sayılar düzlemi ya da kısaca karmaşık düzlem adı verilir. a, b R olmak üzere, z a + b i karmaşık sayısı karmaşık düzlemde, Sanal eksen y b z a + b i veya b z a + b i 0 a Gerçek eksen 0 a biçiminde gösterilir. a) Re(z) < -, b) Im(z), c) Re(z) < - ve Im(z) eşitsizliklerini sağlayan z karmaşık sayılarını karmaşık düzlemde gösterelim. a) y b) y c) y

17 Sanal kısmı sıfır olan tüm karmaşık sayıların karmaşık düzlemdeki geometrik yerini bulalım. y 0 Gerçek eksen üzerindeki tüm noktalara karşılık gelen karmaşık sayıların sanal kısmı sıfır olduğundan aradığımız yer gerçek eksendir. UYGULAMA ) Aşağıda verilen karmaşık sayıları karmaşık düzlemde gösteriniz. a) - + i b) - i c) 5 i ç) d) + i ) Aşağıdaki ifadelerde boş bırakılan yerlere en uygun sözcük veya sözcükleri yazınız. a) Bir karmaşık sayı, gerçek kısmı... eksenden, sanal kısmı... eksenden alınarak karmaşık düzlemde gösterilir. b) Gerçek kısmı sıfır olan karmaşık sayıların geometrik yeri... eksendir. ) Aşağıdaki cümlelerin karşısına yargılar doğru ise (D), yanlış ise (Y) yazınız. a) z - i ise Re(z) + Im(z) 7 dir. ( ) b) a, b R ise z a + b i sayısına karmaşık sayı denir. ( ) ) a ve b olmak üzere, (a + b i) karmaşık sayılarını karmaşık düzlemde gösteriniz. BİR KARMAŞIK SAYININ EŞLENİĞİ VE MODÜLÜ ETKİNLİK Aşağıda verilen karmaşık sayı çiftlerinin her birini altlarında verilen karmaşık düzlemde gösteriniz. z - i ve z + i y z i ve z i y 0 0 Verilen sayı çiftlerinin karmaşık düzlemdeki görüntülerinin gerçek eksene göre durumlarını açıklayınız. Aşağıda verilen karmaşık sayılara karşılık gelen noktaların gerçek eksene göre simetriği olan noktaları bulalım ve bu noktalara karşılık gelen karmaşık sayıları inceleyelim. a) z + i b) z - - i 7

18 a) y b) y z + i br z - + i 0 br - z - i - br 0 br z - - i - y b z a + b i 0 a -b z a - b i a, b R olmak üzere, a + b i ve a - b i karmaşık sayılarına birbirinin eşleniği denir. Bir karmaşık sayı ile eşleniğinin karşılık geldiği noktalar gerçek eksene göre simetriktir. Herhangi bir z karmaşık sayısının eşleniği z ile gösterilir. z a + b i karmaşık sayısının eşleniği z a - b i karmaşık sayısıdır. ETKİNLİK Aşağıdaki sayı doğrusu üzerindeki noktalara karşılık gelen sayıları inceleyiniz Bu sayıların her birinin mutlak değeri ile eşlendiği noktanın başlangıç noktasına olan uzaklığını ilişkilendiriniz. Aşağıda verilen karmaşık düzlemlerde işaretlenen karmaşık sayıları inceleyiniz. y y y 0 z + 0. i 0 z + i z - i 0 z, z ve z karmaşık sayılarının başlangıç noktasına olan uzaklıklarını bulunuz. Bir karmaşık sayının başlangıç noktasına olan uzaklığının, gerçek ve sanal kısımlarının kullanılarak nasıl bulunabileceğini tartışınız. z i karmaşık sayısının başlangıç noktasına olan uzaklığını bulalım. z i karmaşık sayısına karşılık gelen noktayı karmaşık düzlemde işaretleyerek başlangıç noktasına birleştirelim. 8

19 A z i 5 br y 5 A BO nde Pisagor bağıntısından yararlanarak, OA OB + AB OA + 5 B - br O OA 69 OA br bulunur. y z a + b i b z 0 a a br b br Karmaşık düzlemde bir z karmaşık sayısına karşılık gelen noktanın başlangıç noktasına olan uzaklığına bu karmaşık sayının modülü denir ve z biçiminde gösterilir. a, b R ve z a + b i olmak üzere z karmaşık sayısının modülü karmaşık düzlemde, z a + b i a + b dır. z i ve z 8-6 i karmaşık sayılarının modüllerini bulalım. Sanal eksen 6 z i Gerçek eksen z z z 8-6 i z i ve z 8-6 i karmaşık sayılarına karşılık gelen noktaları karmaşık düzlemde işaretleyerek z ile z modülünü bulalım. z z (-6) Bir z karmaşık sayısının modülü ile eşleniği olan z karmaşık sayısının modülü birbirine eşittir. z z dür. z C, z 7 ve z - a i olduğuna göre a nın pozitif değerini bulalım. z - a i 7 + (-a) a a 9 a 0 a 0 a 0, a 0 olur. 9

20 z koşulunu sağlayan z karmaşık sayılarının karmaşık düzlemdeki geometrik yerini bulalım. z + y i alalım. z + y i + y + y olur. UYGULAMA ) Aşağıdaki ifadelerde boş bırakılan yerlere en uygun ifadeleri yazınız. a) 5 - i i i... dır. b) Karmaşık düzlemde bir karmaşık sayıya karşılık gelen noktanın orijine olan uzaklığına karmaşık sayının... denir. ) Aşağıdaki soruları doğru cevapları ile eşleyiniz. Modülü en küçük olan karmaşık sayıyı bulunuz. Gerçek kısmı 5 ve modülü olan karmaşık sayıları bulunuz. z - i ise z modülünü bulunuz. 5 i 5 - i 0 ) z - i, z 0 ve z + i karmaşık sayılarının modüllerini bulunuz. Modülleri karşılaştırınız. Modülleri birbirine eşit karmaşık sayıların karşılık geldiği noktaların geometrik yeri nedir? ) Aşağıda verilen çizelgedeki noktalı yerleri örneğe uygun biçimde doldurunuz. Karmaşık sayı Gerçek kısmı Sanal kısmı Modülü Karmaşık sayının eşleniği Eşleniğin gerçek kısmı Eşleniğin sanal kısmı Eşleniğin modülü z i z 8-5 i (-5) 7 z - - i z 7 - i z + i z - i z i

21 KARMAŞIK SAYILARDA TOPLAMA VE ÇIKARMA İŞLEMLERİ ETKİNLİK Aşağıdaki tabloyu inceleyerek boş bırakılan yerleri doldurunuz. z z z + z z - z i i i + i 5 i i - i i + i - 5 i + i i - i ( + i) - ( - 5 i) + i i + 8 i - i i - - i i - 5 i i i Karmaşık sayılarda toplama ve çıkarma işlemleri yapılırken gerçek kısımlar ve sanal kısımlar arasındaki bağıntıyı tartışınız. z + (m - ) i ve z n i için z + z - i olduğuna göre m.n değerini bulalım. z + z + (m - ) i + n i + n (m - ) i + 6 i n - + [(m - ) + 6 i ] n - + (m + ) i dır. Bu durumda, n - + (m + ) i - i n - ve m + - n m -5 dir. O hâlde, m.n (-5). 5 bulunur. Karmaşık sayılar toplanırken veya çıkarılırken gerçek kısımlar kendi aralarında ve sanal kısımlar kendi aralarında toplanır veya çıkarılır. ETKİNLİK z + i, z 5 + i ve z + z i karmaşık sayılarına karşılık gelen noktalar karmaşık düzlemde sırasıyla A, B ve C ile gösterilerek işaretlenmiş ve A ile B noktaları O ve C ile birleştirilmiştir. İnceleyiniz. 5 y z + i A C z + z i AO ve OB nu z ve z nin modüllerinden yararlanarak bulunuz. O B z 5 + i 5 6. Şekil

22 Oluşturulan A KC ile B LC nin hipotenüs uzunluklarını Pisagor bağıntısı yardımıyla bulunuz. AC ile OB nu ve OA ile BC nu karşılaştırınız. Oluşan OACB dörtgenine ne ad verildiğini tartışınız. 5 y A K C O B L 5 6 z + i, z 5 + i ve z - z - + i karmaşık sayıları elde ediliyor. z, -z ve z - z karmaşık sayıları karmaşık düzlemde aşağıdaki şekilde gösterilmiştir. OA ve OL nu z ve -z nin modüllerinden yararlanarak bulunuz. Oluşturulan T LM ve M RA nin hipotenüs uzunluklarını Pisagor bağıntısı yardımıyla bulunuz. OL ile MA nu ve OA ile LM nu karşılaştırınız. Oluşan OAML dörtgenine ne ad verildiğini tartışınız. 5 R A T M z - z - + i -5 - L -z -5 - i O - y z + i B z 5 + i 5 y B A z + 5 i Yandaki OABC paralelkenarında A noktasına z + 5 i, C noktasına z 7 + i karmaşık sayısı karşılık gelmektedir. O C 7 z 7 + i Buna göre B noktasına göre karşılık gelen karmaşık sayıyı bulalım. OABC paralelkenar olduğundan B köşesi z + z karmaşık sayısına karşılık gelir. O hâlde, z + z + 5 i i i bulunur. Karmaşık düzlemde ardışık üç köşesi z, i ve z karmaşık sayıları olan paralelkenarın dördüncü köşesi z + z karmaşık sayısı; z, i ve -z karmaşık sayıları olan paralelkenarın dördüncü köşesi z - z karmaşık sayısıdır. y y z z + z z - z z O z O z -z

23 ETKİNLİK TOPLAMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ Karmaşık sayılar kümesinden seçilen z + i, z + i ve z i karmaşık sayıları için, z + z toplamının sonucunun bir karmaşık sayı olup olmadığını tartışınız. z + z ile z + z ve (z + z ) + z ile z + (z + z ) toplamlarının sonuçlarını karşılaştırınız. z, z ve z karmaşık sayılarını i karmaşık sayısı ile toplayınız ve sonuçları inceleyiniz. z + (-z ) ile (-z ) + z toplamının hangi karmaşık sayıya eşit olduğunu söyleyiniz. Karmaşık sayılarda toplama işleminin özellikleri hakkında genellemelerde bulununuz. z + i, z - + i ve z 5 - i karmaşık sayıları için, a) z + z b) z + z ile z + z c) (z + z ) + z ile z + (z + z ) ç) z i ile i + z d) z + (-z ) ile (-z ) + z işlemlerini inceleyelim. a) z + z + i + (-) + i + (-) + i + i ( + 7 i) C dir. b) z + z + 7 i z + z - + i + + i i + i + 7 i dir. O hâlde, z + z z + z dir. c) z + z - + i i i - i + i (z + z ) + z + 7 i i i - i i z + (z + z ) + i + + i + + i + i i dir. O hâlde, (z + z ) + z z + (z + z ) dir. ç) z i + i i i + 0 i + i z i + z i + + i i + i + i z dir. O hâlde, z i i + z z dir. d) -z -( + i) - - i z + (-z ) + i + (- - i) + (-) + i + ( - i) i (-z ) + z - - i + + i (- i) + i i dir. O hâlde, z + (-z ) (-z ) + z i dir. z, z, z C için, ) (z + z ) C olduğundan toplama işleminin kapalılık özelliği vardır. ) z + z z + z olduğundan toplama işleminin değişme özelliği vardır. ) (z + z ) + z z + (z + z ) olduğundan toplama işleminin birleşme özelliği vardır. ) z i i + z z olduğundan (0 + 0 i) toplama işleminin etkisiz elemanıdır. 5) z + (-z ) (-z ) + z i olduğundan z a + b i karmaşık sayısının toplama işlemine göre tersi -z -a - b i dir. z - i 5 + i ve z -5 + i 6 + i sayıları veriliyor. z (z + z ) + z olduğuna göre z karmaşık sayısının toplama işlemine göre tersini bulalım. z - i 5 + i z -5 + i 6 + i z - - i z -. i i. +. i 8 i. z -5 +.(i ) + i 0 i. z -.. i -. (i ) i. z (i ) 5 i. z - i -. i. z i. z - i - i z i z - 7 i z - + i

24 z [( - 7 i) + (- + i)] + (- - i) -6 i + (- - i) i olduğundan z ün toplama işlemine göre tersi + 7 i karmaşık sayısı olur. UYGULAMA ) Aşağıdaki ifadelerdeki noktalı yerleri doldurunuz. a) z karmaşık sayısının eşleniği z ise z + z toplamı bir... sayıdır. b) z - i ve z - + i ise z + z... dır. ) z + i, z - i, z y + + i ve z y + ( + ) i k a r m a ş ı k s a y ı l a r ı a r a s ı n d a z + z z + z bağıntısı varsa + y toplamını bulunuz. (, y R) ) z ve z karmaşık sayıları veriliyor. z + i ve z + z 5 - i olduğuna göre z nin eşitini bulunuz. ) Toplamları bir gerçek sayı olan iki karmaşık sayı için ne söylenebilir? 5) O y A C B Yandaki karmaş k düzlemde verilen AOCB paralelkenar nda A noktas na z + i, C noktas - na z 6 + i karmaş k say s karş l k gelmektedir. Buna göre B köşesine karş l k gelen karmaş k say y yaz n z. 6) L M K y O Yandaki karmaş k düzlemde verilen OKLM paralelkenar nda K noktas na z i, L noktas na z i karmaş k say s karş l k gelmektedir. Buna göre M köşesine karş l k gelen karmaş k say y yaz n z. 7) Aşağıdaki soruları doğru cevapları ile eşleyiniz. z, z ve z karmaş k say lar için, z + z i, z + z 5 + i, z + z + 5 i toplamlar veriliyor. a) z + z + z toplam n bulunuz. b) z nin toplama işlemine göre tersinin eşleniğini bulunuz. + 6 i 5 + i i 8) y 6 z Yandaki karmaşık düzlemden yararlanarak aşağıdaki cümlelerin karşısına yargılar doğru ise (D), yanlış ise (Y) yazınız. z a) z - i ise Re(z) + Im(z) 7 dir. ( ) - O b) a, b R ise z a + b i sayısına karmaşık sayı denir. ( ) z - 9) z a + b i olmak üzere, z + z + i eşitliğini sağlayan z karmaş k say s n bulunuz.

25 KARMAŞIK SAYILARDA ÇARPMA VE BÖLME İŞLEMLERİ ETKİNLİK Aşağıdaki çizelgede verilen noktalı yerleri, örnekleri inceleyerek doldurunuz. z z z. z z z z. z i i i. i 6 i -6 i + i... i. i i 5 - i i... + i + i - 5 i ( + i).( - 5 i) 8-0 i + i - 5 i + i + i + i - i İki karmaşık sayının çarpımında nelere dikkat edilmesi gerektiğini tartışınız. z - i ve z + i karmaşık sayıları için z.z işleminin sonucunu bulalım. z.z ( - i).( + i).( + i) - i.( + i) + i - i - i + i - i - (-) 6 - i dir. a, b, c, d R ve z a + b i, z c + d i karmaşık sayıları için, z.z (a + b i).(c + d i) z.z (ac - bd) + (ad + bc) i dir. ETKİNLİK z 5 + i karmaşık sayısını inceleyiniz. - i Pay ve paydadaki ifadelerin karmaşık sayı olup olmadığını belirtiniz. z karmaşık sayısını paydanın eşleniği ile genişletiniz. Genişlettiğiniz bu karmaşık sayıyı standart biçimde yazınız. Pay ve paydası karmaşık sayı olan karmaşık sayıları standart biçimde yazmak için ne yapılması gerektiğini tartışınız. z - i ve z + i karmaşık sayıları için z z işleminin sonucunu bulalım. z z işleminde pay ve paydayı ( + i) nin eşleniği olan ( - i) karmaşık sayısı ile genişletelim. z - i ( - i).( - i) z + i ( + i).( - i) ( - i) - i ( - i) - 6 i - i + i - i -.(-) ( - i) - 6 i - i i 5 olur. Bu durumda, z z i olarak bulunur. z z işleminde pay ve payda z nin eşleniği ile çarpılarak payda gerçek sayıya dönüştürülür. Payda elde edilen karmaşık sayının gerçek ve sanal kısmı, paydadaki gerçek sayıya bölünür. 5

26 ETKİNLİK ÇARPMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ Karmaşık sayılar kümesinden seçilen z - i, z + i ve z - 5 i karmaşık sayıları için, z.z çarpımının sonucunun bir karmaşık sayı olup olmadığını tartışınız. z.z ile z.z ve (z.z ).z ile z.(z.z ) çarpımlarının sonuçlarını karşılaştırınız. z, z ve z karmaşık sayılarını karmaşık sayısı ile çarpınız ve sonuçları inceleyiniz. z. z ile z.z çarpımının hangi karmaşık sayıya eşit olduğunu söyleyiniz. Karmaşık sayılarda çarpma işleminin özellikleri hakkında genellemelerde bulununuz. z - i, z + i ve z - i karmaşık sayıları için, a) z.z işleminin sonucunu inceleyelim. b) z.z ile z.z işlemlerinin sonuçlarını karşılaştıralım. c) (z.z ).z ile z.(z.z ) işlemlerinin sonuçlarını karşılaştıralım. ç) z.z z eşitliğini sağlayan z karmaşık sayısını bulalım. d) z.z eşitliğini sağlayan z karmaşık sayısını bulalım. e) z.(z + z ) ile z.z + z.z işlemlerinin sonuçlarını karşılaştıralım. a) z.z ( - i).( + i).( + i) - i.( + i) + i - 6 i - i + i - 6 i i C dir. b) z.z 7 - i bulmuştuk. z.z ( + i).( - i).( - i) + i.( - i) - 6 i + i - i 7 - i bulunur. Bu durumda z.z z.z olduğu görülür. c) (z.z ).z [( - i).( + i)].( - i) [ + i - 6 i - i ].( - i) (7 - i).( - i) - 8 i - 8 i + 6 i i bulunur. z.(z.z ) ( - i).[( + i).( - i)] ( - i).[ 6 - i + i - 8 i ] ( - i).( - 8 i) - 8 i - 8 i + 6 i i bulunur. Bu durumda, (z.z ).z z.(z.z ) olduğu görülür. ç) z.z z ise ( - i).z - i dir. Buradan eşitliğin her iki tarafını ( - i) sayısına bölersek ( - i).z - i z olduğu görülür. - i - i d) z.z eşitliğinde ( - i).z ise z olur. Verilen eşitlikte pay ve paydayı ( + i) ile - i genişletirsek, z - i ( + i) ( + i) ( - i).( + i) ( + i) - i + i i bulunur. e) z.(z + z ) ( - i).[( + i) + ( - i)] ( - i).(5 - i) 5 - i - 0 i + i - i bulunur. z.z + z.z ( - i).( - i) + ( - i).( - i) [ + i - 6 i - i ] + [ - i - i + 8 i ] (7 - i) + (-6-8 i) - i bulunur. Bu durumda z.(z + z ) z.z + z.z olduğu görülür. 6

27 z, z, z karmaş k say lar için, ) z.z C olduğundan karmaş k say lar kümesi çarpma işlemine göre kapal d r. ) z..z z olduğundan say s karmaş k say lar kümesinde çarpma işlemine göre etkisiz elemand r. ) z..z olduğundan karmaş k say lar kümesinde çarpma işlemine göre s f r z z hariç her karmaş k say n n tersi vard r. z karmaş k say s n n çarpma işlemine göre tersi z - ile gösterilir. z - z biçiminde yaz l r. ) z.z z.z olduğundan karmaş k say lar kümesinde çarpma işleminin değişme özelliği vard r. 5) (z.z ).z z.(z.z ) olduğundan karmaş k say lar kümesinde çarpma işleminin birleşme özelliği vard r. 6) z.(z + z ) z.z + z.z olduğundan karmaş k say lar kümesinde çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağ lma özelliği vard r. + i + i + i + i işleminin sonucunda elde edilen karmaşık sayının eşleniğinin sanal kısmını bulalım. sayısını standart biçimde yazabilmek için pay ve payda + i nin eşleniği ile genişletelim. + i ( + i).( - i) + i 9-6 i ( - i) 6-8 i + i - i 0-5 i i 5 - i şeklinde yazılır. 5 Bu sayının eşleniği ise i olarak bulunur. Bu durumda eşleniğinin sanal kısmı ise 5 dir. z - i + i + + i - i karmaşık sayısının reel kısmını bulalım. z - i + i ( - i) + + i - i ( + i) ( - i).( - i) + ( + i).( + i) - i ( - i - i + i ) + ( + i + i + i ) ( - 5 i) + ( + 5 i) bulunur. Bu durumda Re(z) olur. 7

28 z i + i + i + i i ise z karmaşık sayısının gerçek kısmını bulalım. i i i i i i 5 i - i i 7 - i + i + i 8 olduğundan 0 0 z i + i + i + i + i 5 + i 6 + i 7 + i i 7 + i 8 + i 9 + i 0 + i + i z i + i i + i olduğundan z - + i bulunur. Bu durumda Re(z) - olur. z a + b i olmak üzere, z + z - 6 i eşitliğini sağlayan z karmaşık sayısını bulalım. z a + b i ve z a - b i karmaşık sayılarını z + z - 6 i eşitliğinde yerine yazarsak (a + b i) + (a - b i) - 6 i a + b i + a - b i - 6 i 6a - b i - 6 i olur. İki karmaşık sayı eşitliğinden 6a ve -b -6 ise a ve b bulunur. Bu durumda, z + i olur. UYGULAMA ) Aşağıdaki ifadelerdeki noktalı yerleri doldurunuz. a) z i ve z + i ise z.z... dır. b) z + i olduğuna göre Im( z - )... dır. ) Aşağıdaki soruları doğru cevapları ile eşleyiniz. ( - i).( - i 5 ).( - i 9 )? ( + i) + ( - i)? ( + i) + ( - i)? i + i 0 ) z a + b i olmak üzere,.z - z + i eşitliğini sağlayan z karmaşık sayısını bulunuz. ) z i + i + i + i + i 5 + i 6 + i i karmaşık sayısının standart şeklini bulunuz. 5) z - - i + i + + i karmaşık sayısının sanal kısmını bulunuz. 6) z a + b i için z. z a + b olduğunu gösteriniz. 7) z ( + i).( - i) - i karmaşık sayısı için Im(z) + Re(z) kaçtır? 8) z ( + i).( - i) işlemi için sayısının gerçek kısmını bulunuz. z 8

29 EŞLENİK VE MODÜL ÖZELLİKLERİ ETKİNLİK Aşağ daki diyagramda verilen daire içine, z ve z karmaş k say lar verilmiştir. Bu karmaşık sayılardan yararlanarak boşlukları doldurunuz. z : z... z - z... z. z... z... z + i z 5 - i z + z... z. z... (z )... z + z... z : z... z - z... Sonuçlar aynı olan kutular eşleyiniz. Yaptığınız eşlemeleri kullanarak karmaşık sayıların eşlenikleri ile ilgili özellikleri belirtiniz. z + i ve z 7 - i karmaşık sayıları için, a) (z ) ile z b) z + z ile z + z c) z - z ile z - z ç) z. z ile z. z d) ( z : z ) ile z : z karmaşık sayısını karşılaştıralım. z + i ve z 7 - i karmaşık sayıları için, z - i ve z 7 + i dir. a) (z ) ( - i) + i olur. Bu durumda (z ) z bulunur. b) z + z ( + i i ) ( - i ) + i z + z ( - i) + (7 + i) + i olur. Bu durumda z + z z + z dir. c) z - z [( + i) - (7 - i )] (- + 5 i ) i bulunur. z - z ( - i) - (7 + i) i dir. Bu durumda z - z z - z olur. ç) z. z [( + i).(7 - i )] (8 - i + i - 6 i ) ( + i) - i z. z ( - i).(7 + i ) 8 + i - i - 6 i - i dir. O hâlde, z. z z. z dir. ) d) ( z : z ) ( + i 7 - i (7 + i) ( ( + i).(7 + i) 9-9 i ) ( 8 + i + i + 6 i 58 ) ( + 6 i 58 ) ( 9 + i 9 ) 9 - i dir. 9 z : z - i ( - i).(7 - i) 8 - i - i + 6 i - 6 i 7 + i 9-9 i (7 - i) 9 - i dir. 9 Bu durumda ( z : z ) z : z olur. 9

30 z, z, z karmaş k say lar için, ) ( z ) z ) z + z z + z ) z - z z - z ) z. z z. z 5) ( z : z ) z : z (z 0) dır. ETKİNLİK A z z... z.z... z. z... B z... z. z... z z... Yandaki A ve B kartlar nda verilen işlemleri, z 5 + i ve z i alarak doldurunuz. Sonuçları aynı olan ifadeleri eşleyiniz. Yaptığınız eşlemeleri kullanarak karmaşık sayıların modülleri ile ilgili özellikleri belirtiniz. z 6 - i ve z + i karmaşık sayıları için, a) z z ile z z a) z z z z 6 - i + i ( - i) 6 - i + i b) z.z ile z. z c) z. z ile z işlemlerinin sonucunu karşılaştıralım. (6 - i).( - i) ( + i).( - i) i 0 + i (-) dir. 0 0 z z z z b) z.z (6 - i).( + i) 0-0 i z. z 6 - i. + i 6 + (-) dir. z.z z. z dir. c) z. z (6 - i).(6 + i) 6 + i - i - i 0 z 6 - i 6 - i. 6 - i dır. z. z z dir. dir. z, z karmaş k say lar için, ) z.z z. z ) z z z z ; (z i) ) z. z z dir. (5 + i).( - i) z + i karmaşık sayısı için z. z işleminin sonucunu bulalım. z. z z olduğundan (5 + i).( - i) z. z ( + i (5 + i).( - i) + i ) ( 5 + i. ) ( - i) + i 0

31 ( 5 + i. - i + i ) (.( 0 ) ) olur. z z y 5 z Yandaki karmaşık düzlemde z, z ve z karmaşık sayılarının modülleri verilmiştir. Buna göre, z + z.z - z.z z.z işleminin sonucunu bulalım. z z, z. z z 9, z.z z 5 ve z.z z. z. olduğundan z + z.z - z.z z.z bulunur. z. z + z eşitliğini sağlayan z karmaşık sayısı için z yi bulalım. z. z z olduğundan z + z olur. z olsun ( + ).( - ) 0 - veya dir. Dolayısıyla z - veya z dir. z, negatif olamayacağı için z bulunur. UYGULAMA ) Aşağıdaki soruları doğru cevapları ile eşleyiniz. ) ) z z - i ve z + i karmaşık sayıları için, a) z + z? b) z. z? c) z. z? ç) z. z? (5 + i).( + i) ( + i).(6-8 i) ( + i).( - i) ( + i).( + i) işleminin sonucunu bulunuz. ise z. z işleminin sonucunu bulunuz. A) 0,8 B),6 C), D),8 E) 6, 5 + i 5 - i + i ) z + i ve z. z ise z ifadesinin eşiti kaçtır? 5) z. z -. z + 0 eşitliğini sağlayan z karmaşık sayısı için z yi bulunuz. 6) z + i ise z 8 in modülünü bulunuz.

32 KARMAŞIK SAYILARDA İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER ETKİNLİK denkleminin çözüm kümesi için; Denklemin diskriminantını bulunuz. Çözüm kümesinin gerçek sayılar kümesinde varlığını tartışınız. Sanal sayı biriminden yararlanarak kökleri bulunuz ve birbiriyle karşılaştırınız. Bulduğunuz köklerin hangi sayı kümesine ait olduğunu belirtiniz denkleminin köklerini bulalım ve kökleri birbiriyle karşılaştırarak denklemin çözüm kümesini yazalım denkleminin köklerini bulalım ve birbiriyle karşılaştıralım. Denklemin diskrimantı, Δ b - ac (-8) dır. -b Δ Δ < 0 olduğundan gerçek kök yoktur., eşitliğinden, a - (-8) i.( - i) - i, - (-8) i.( + i) + i dir. - i ile + i birbirinin eşleniğidir. Bu denklemin çözüm kümesi, Ç { - i, + i } olur. a, b, c R, a 0 olmak üzere a + b + c 0 biçimindeki ikinci dereceden gerçek katsayılı bir denklemin köklerinden biri m + n i ise diğeri m - n i dir. (m, n R) Köklerinden biri - i olan gerçek katsayılı ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemi yazalım. kökü, kökünün eşleniği olacağından + i dir. Kökleri ve olan denklem, - ( + ) biçimindedir. + + i 6. ( - i).( + i) 9 - i 0 dur. O hâlde denklem, olarak bulunur. z + z + k - 0 denkleminin köklerinden birisi z -z - i ise k değerini bulalım..yol: z - - i kök olduğundan denklemi sağlar. O hâlde, (- - i) +.(- - i) + k i + i i + k k k 0 k 6 bulunur..yol: z - - i z - + i dir. z.z c k - (- - i).(- + i) a - i k - + k - 5 k - k 6 bulunur. + ( - i) i 0 denklemini çözelim.

33 Diskriminant, Δ b - ac ( - i) -..(7 - i) - i + i dir., -( - i ) i - 5 i - - i - - i, Denklemin çözüm kümesi, Ç { - - i, - + i } olur. - ( - i ) UYGULAMA - + i + 5 i -b Δ a i eşitliğinden, - + i dir. ) Aşağıdaki ifadelerdeki noktalı yerleri doldurunuz. a) Gerçek kat sayılı ikinci dereceden bir denklemin bir kökü - i ise diğer kökü... dir. b) denkleminin farklı iki kökü... dır. ) Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bularak doğru cevapları ile eşleştiriniz { i, i } { i, i } { i, + i } ) Köklerden biri aşağıda verilen ikinci dereceden gerçek katsayılı denklemi yazınız. a) - i b) i c) - i ) - + m - 0 denkleminin köklerinden biri + i ise m kaçtır? 5) denkleminin çözüm kümesini bulunuz. 6) - ( - i) i 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. İKİ KARMAŞIK SAYI ARASINDAKİ UZAKLIK ETKİNLİK y 5 O z B z A C 7 z i ve z + i karmaşık sayıları yandaki karmaşık düzlemde gösterilmiştir. Şekilden de yararlanarak bu iki karmaşık sayı arasındaki uzaklığı hesaplayınız. z - z karmaşık sayısının modülünü bulunuz. z ile z karmaşık sayılarının arasındaki uzaklık ile z - z ni karşılaştırınız. z - + i ve z - + i karmaşık sayıları arasındaki uzaklığı z - z ile karşılaştıralım. z B - z - A C y O.Yol: AC br, BC br dir. A BC de Pisagor bağıntısında, AB AC + BC AB + AB br olur..yol: z - z (- + i) - (- + i) - + i + - i + i z - z + i + ise z ile z a r a s ı n d a k i uzaklık, z - z ne eşittir. olmak üzere, z ile z karmaşık sayıları arasındaki uzaklık, bu sayıların farkının modülüne eşittir. Buna göre z ile z arasındaki uzaklık z - z ile gösterilir. z, z C, z a + b i ve z c + d i

34 ETKİNLİK y O z 8 z z 5 z + i z z z 6 z Yandaki karmaşık düzlemde + i karmaşık sayısına birim uzaklıkta bulunan çember üzerinde z, z, z ve z ; birim uzaklıkta bulunan çember üzerinde de z 5, z 6, z 7 ve z 8 noktaları işaretlenmiştir. z in + i ye uzaklığı z - ( + i) biçiminde gösterildiğine göre z, z, z ün + i ye uzaklıklarını ifade ediniz. + i karmaşık sayısına birim uzaklıkta bulunan tüm z karmaşık sayılarını ifade eden eşitliği yazınız. z 5 in + i ye uzaklığı z 5 - ( + i) biçiminde gösterildiğine göre z 6, z 7 ve z 8 in + i ye uzaklıklarını yazınız. + i karmaşık sayısına birim uzaklıkta bulunan tüm z karmaşık sayılarını ifade eden eşitliği yazınız. Karmaşık düzlemde z 0 sayısına r birim uzaklıkta bulunan z karmaşık sayılarını ifade eden bir genellemede bulununuz. z - ( - 5 i) eşitliğinin karmaşık düzlemdeki görüntüsünü çizelim. y O i z - ( - 5 i) eşitliği - 5 i karmaşık sayısına birim uzaklıkta bulunan z karmaşık sayılarını ifade eder. Dolayısıyla bu eşitlik, merkezi - 5 i ve yarıçapı birim olan çember üzerindeki noktalara karşılık gelen karmaşık sayılar olur. Karmaşık düzlemde z 0 karmaşık sayısından r birim uzaklıkta bulunan z karmaşık sayıları z - z o r eşitliğini sağlar ve merkezi z 0, yarıçapı r olan çemberi belirtir. Çemberi oluşturan z karmaşık sayılarının kümesi { z: z - z o r, z C } biçiminde gösterilir. z -( + i) eşitsizliğini sağlayan z karmaşık sayılarının karmaşık düzlemdeki görüntüsünü çizelim. y M(, ) O z - ( + i) eşitsizliğini karmaşık düzlemde + i sayısına olan uzaklığı birim ya da birimden daha az olan karmaşık sayıları ifade eder. Bu karmaşık sayılar, karmaşık düzlemde merkezi (, ) ve yarıçapı birim olan çemberin üzerinde ya da iç bölgesindedir.

35 z + - i > eşitsizliğini sağlayan z karmaşık sayılarının karmaşık düzlemdeki görüntüsünü çizelim. M(-, ) - O y z + - i > eşitsizliğini z - (- + i) > şeklinde düzenlediğimizde bu eşitsizlik karmaşık düzlemde - + i sayısına uzaklığı birimden büyük olan karmaşık sayıları ifade eder. Bu karmaşık sayılar, karmaşık düzlemde merkezi M(-, ) ve yarıçapı birim olan çemberin dış bölgesindedir. < z - i eşitsizliğini sağlayan z karmaşık sayılarının karmaşık düzlemdeki görüntüsünü bulalım. y 6 5 M(0, ) O < z - i eşitsizliği karmaşık düzlemde i sayısına uzaklığı birimden büyük, birimden küçük ya da eşit olan karmaşık sayıları ifade eder. Bu karmaşık sayılar, yarıçapı birim ve birim olan (0, ) merkezli çemberler arasında kalan bölgededir. z + y i, z 0 a + b i ve r R + olmak üzere; ) z - z 0 r eşitsizliği merkezi (a, b) ve yarıçapı r birim olan bir çemberi belirtir. ) z - z 0 < r eşitsizliği merkezi (a, b) ve yarıçapı r birim olan çemberin iç bölgesini belirtir. ) z - z 0 > r eşitsizliği merkezi (a, b) ve yarıçapı r birim olan çemberin dış bölgesini belirtir. A {z + y i z, i -} ve B {z + y i Re(z), i -} ise A B kümesine karmaşık düzlemde karşılık gelen bölgeyi gösterelim. z + y i olmak üzere z eşitsizliği karmaşık düzlemde merkezi (0, 0), yarıçapı birim olan çemberin iç bölgesini belirtir. Bu karmaşık sayıların geometrik yer denklemi ise y - O - A B + y i + y + y 6 şeklindedir. z + y i karmaşık sayısının reel kısmı Re(z) dir. Re(z) eşitsizliğinin geometrik yer denklemi dir. Bu iki durum karmaşık düzlemde yandaki gibi gösterilir. 5

36 z - - i eşitliğini sağlayan z karmaşık sayılarından modülü en küçük ve en büyük olanların modüllerini bulalım. z - - i z - ( + i) eşitliğini sağlayan z karmaşık sayıları M(, ) ve yarıçapı birim olan çember üzerindedir. O y z M K z Modülü en büyük olan karmaşık sayı z, en küçük olan ise z dir. O MK nde Pisagor bağıntısından yararlanırsak, OM OK + MK OM + OM 5 br bulunur. Çemberin yarıçapı da birim olduğundan z 5 - ve z olarak bulunur. UYGULAMA ) Aşağıda verilen ifadelerdeki noktalı yerleri doldurunuz. a) z, z 0 C ise z - z 0, z 0 ile z arasındaki... gösterir. b) z C ise z eşitliğini sağlayan noktaların geometrik yeri... dır. ) Aşağıdaki soruları doğru cevapları ile eşleyiniz. z + 5 i ve z - + i ise z - z değeri kaçtır? z ise z i nin alabileceği kaç tam sayı değeri vardır? ) Karmaşık düzlemde i noktası ile + a i noktası arasındaki uzaklık 0 br ise a değerlerinin toplamını hesaplayınız. ) z. z 9 eşitliğini sağlayan z karmaşık sayılarının geometrik yerini karmaşık düzlemde çiziniz. 5) y A Yandaki karmaşık düzlemde verilenlere göre; a) [AC] nin uzunluğunu, C b) [AB] nin uzunluğunu bulunuz. B - O 6) z - z z - z eşitliğini, seçeceğiniz z karmaşık sayıları ile gösteriniz. 7) A { z : z - + i <, Im(z) > - } kümesine karşılık gelen bölgeyi karmaşık düzlemde gösteriniz. 8) z i z - + i eşitliğini sağlayan noktaları karmaşık düzlemdeki görüntüsünü çiziniz. 9) z olmak üzere, z i nin en büyük değeri ile küçük değerinin toplamı kaçtır? 0) z i ve z i ise z - z nin en büyük değeri ile en küçük değerinin toplamı kaçtır? A) 0 B) 8 C) 6 D) 5 E)

37 KARMAŞIK SAYILARIN KUTUPSAL BİÇİMİ Fonksiyonların ve parametreler arasındaki bağıntıların kolayca anlaşılabilir biçimde ifade edilmesi için farklı grafiksel gösterim şekilleri kullanılır. y f() işlevi en iyi, iki boyutlu kartezyen koordinat sistemiyle gösterilir. Örnek olarak burada kartezyen koordinat sistemi ile radyo ve televizyon yayınlarındaki seslerin iletilmesinde kullanılan antenlere ait anten diyagramının çizimi görülüyor. Θ - db 0 db -0 db -0 db -0 db Bir anten diyagramının kartezyen koordinat sistemi ile gösterimi yandaki gibidir. -0 db 80 o 0 o 00 o 0 o 60 o 0 o 80 o Θ 70 o 00 o 0 o 0 o - db 0 o 0 o - db -0 db 60 o 90 o db 0 o Aynı anten diyagramının daha kolay kavranabilmesi için yandaki şekilde olduğu gibi kutupsal koordinatlar kullanılır. Diyagram üzerindeki bir nokta, kutupsal koordinatlar olarak adlandırılan bir açı ve bir uzaklık ile belirlenir. Bu diyagramdaki veriler bir noktaya yönlü olarak belirlenmiştir, bu nokta merkez noktasıdır. (Başka bir konumdan bakıldığında aynı nokta, tümüyle farklı yön ve uzaklıkta bulunur.) 0 o 80 o 50 o ETKİNLİK p 7p 6 p F E H p 6 5 p D C p A (, p 6 ) B K p 6 G 7p p 6 Yandaki şekilde görüldüğü gibi yatay eksen ile pozitif yönde p radyan açı yapan ve orijine 6 birim uzaklıkta bulunan A noktası (, p 6 ) ikilisi ile gösterilmiştir. İnceleyiniz. Aynı şekilde B, C, D, E, F, G, H ve K noktalarının. bileşenini orijine olan uzaklık ve. bileşenini yatay eksenle pozitif yönde yaptığı açı olacak şekilde belirtiniz. Şimdi de M (, p ), N (, p ), P p ( 5, ) ve R (, 7p ) noktalarını kutupsal koordinat sisteminde gösteriniz. Bir noktayı belirtmek için (kartezyen koordinatlardan farklı olarak) noktaya karşılık gelen ikililerdeki bileşenlerin neler olduğunu tartışınız. 7

38 Yatay ekseni kullanarak A (, p ), B p (, ), C p (, ) ve D p (, 6 ) noktalarını gösterelim. B (, p ) p p A(, p ) p A, B, C ve D noktaları yandaki gibi gösterilir. C (, p ) p 6 D (, p 6 ) Yatay eksene kutupsal eksen diyelim ve bu eksen üzerinde bir başlangıç noktası (merkez noktası) alalım. Bir B noktasının başlangıç noktasına olan uzaklığı r, kutupsal eksen ile yaptığı pozitif yönlü açının ölçüsü θ olmak üzere oluşturulan (r, θ) ikilisine B noktasının kutupsal koordinatları denir ve B(r, θ) biçiminde ifade edilir. B r şeklinde gösterilir. θ Kutupsal eksen Analitik düzlemdeki A(, ) noktasının kutupsal koordinatlarda nasıl ifade edildiğini bulalım. Dik koordinat sistemindeki ekseni ile kutupsal koordinat sisteminin kutupsal ekseni ve karşılıklı olarak başlangıç noktalarını bire bir eşleyelim. OAB de Pisagor bağıntısından, OA br dir. A(, ) O hâlde, r br dir. θ O B ETKİNLİK Kutupsal eksen tan θ ve θ 5o p tür. O hâlde, A noktası kutupsal biçimde A(, 5 o ) veya A (, p ) şeklinde ifade edilir. y O r θ A(, y) B Kutupsal eksen ve sin θ cinsinden ifade ediniz. Yanda kartezyen koordinatlarda verilen A(, y) noktası kutupsal koordinatlarda A(r, θ) olarak ifade edilmiştir. İnceleyiniz. OBA de cos θ değerini yazarak OB uzunluğunu r ve cos θ cinsinden ifade ediniz. OBA de sin θ değerini yazarak AB y uzunluğunu r 8

39 Ayrıca θ değerini hesaplamak için tan θ değerini ve y uzunlukları cinsinden yazınız. Kartezyen koordinatların bileşenlerinin her birinin kutupsal koordinatlar cinsinden nasıl ifade edilebileceğini tartışınız. A(, ) noktasını kutupsal koordinatlar cinsinden yazalım. O r θ A(, ) B Kutupsal eksen OBA de Pisagor bağıntısından, OA + ( ) cos θ OB OA sin θ AB OA OA br r br OB OA.cos θ.cos θ cos θ AB OA.sin θ.sin θ sin θ O hâlde, θ p ve A (, p ) olur. Kutupsal koordinatları (, 50 o ) olan A noktasının kartezyen koordinatları (a, b) ise a ve b değerlerini bulalım. b O 50 o A(a, b) B a Kutupsal eksen OBA de, OB a br, AB b br ve OA br (r ) dir. Ayrıca, cos 50 o OB cos 50 o a a.cos 50o OA sin 50 o AB sin 50 o b OA b.sin 50o olur. Kartezyen koordinatları (, y) olan A noktası kutupsal koordinatlarla (r, θ) olarak ifade edildiğinde, r.cos θ, y r.sin θ ve tan θ y olur. z + i karmaşık sayısını kutupsal koordinatlar cinsinden yazalım. Karmaşık düzlemde z + i karmaşık sayısına karşılık gelen nokta kartezyen koordinatlarla A(, ) olarak ifade edilir. A noktasının kutupsal koordinatlarını bulalım. O r θ A(, ) B Kutupsal eksen OBA de Pisagor bağıntısından, OA OB + AB OA ( ) + OA 6 OA ise r olur. 9

40 m(a OB) θ olmak üzere, tan θ AB OB tan θ tan θ θ p 6 dır. O hâlde, A noktasının kutupsal koordinatları (, p 6 ) olur. Buradan,.cos p 6 ve.sin p 6 yazabiliriz. Bu değerleri z + i karmaşık sayısında yazalım. z.cos p 6 +.sin p 6 i z. ( cos p 6 + i.sin p 6 ) dır. Genel olarak z + i y biçiminde gösterilen karmaşık sayı kutupsal koordinatları (r, θ) alınarak, z + i y r.cos θ + i.r.sin θ r.(cos θ + i.sin θ) biçiminde yazılır. Sanal Bu gösterime z nin kutupsal biçimi denir ve z r.cis θ eksen şeklinde de gösterilir. z + i y Kutupsal biçimdeki z r.cis (θ + k.60 o ), (k Z) y karmaşık sayıları da z r.cis θ ile temsil edilir. Kutupsal biçimde yazılan z r cis θ karmaşık sayısında Gerçek θ B eksen θ ya z nin argümenti adı verilir. 0 θ < 60 o (0 θ < p) ise θ ya z nin esas argümenti O denir. Arg(z) θ biçiminde gösterilir. z r Aşagıdaki karmaşık sayıları kutupsal biçimde yazınız. a) z + i b) z - + i c) z i ç) z - a) z + i z r + ( ) dir. tan θ ve z karmaşık sayısı. bölgede olduğundan Arg(z) θ p tür. O hâlde, z r.cis θ z.cis p z. ( cos p + i.sin p ) olur. b) z - + i z r (- ) + dir. tan θ. bölgede olduğundan Arg(z) θ 5p 6 tür. O hâlde, z r.cis θ z.cis 5p 6 z. 5p ( cos i.sin 5p 6 ) olur. ve z karmaşık sayısı c) z i 0 + i z r 0 + tür. tan θ tanımsız ve z karmaşık sayısı sanal eksen üzerinde olduğundan Arg(z) θ p tür. O hâlde, z r.cis θ z.cis p z. ( cos p + i.sin p ) olur. ç) z i z r (-) + 0 tür. tan θ 0 ve z karmaşık sayısı gerçek eksen üzerinde olduğundan Arg(z) θ 0 dır. O hâlde, z r.cis θ z.cis 0 z.(cos 0 + i.sin 0) olur. 0

Cebir Notları. Bağıntı. 1. (9 x-3, 2) = (27, 3 y ) olduğuna göre x + y toplamı kaçtır? 2. (x 2 y 2, 2) = (8, x y) olduğuna göre x y çarpımı kaçtır?

Cebir Notları. Bağıntı. 1. (9 x-3, 2) = (27, 3 y ) olduğuna göre x + y toplamı kaçtır? 2. (x 2 y 2, 2) = (8, x y) olduğuna göre x y çarpımı kaçtır? www.mustafayagci.com, 003 Cebir Notları Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com (a, b) şeklinde sıra gözetilerek yazılan ifadeye sıralı ikili Burada a ve b birer sayı olabileceği gibi herhangi iki nesne

Detaylı

ORTAÖĞRETİM MATEMATİK 11. SINIF DERS KİTABI YAZARLAR. Metin ŞİŞMAN Muslu LÖKÇÜ Turgut OĞUZ Özcan ATAK

ORTAÖĞRETİM MATEMATİK 11. SINIF DERS KİTABI YAZARLAR. Metin ŞİŞMAN Muslu LÖKÇÜ Turgut OĞUZ Özcan ATAK ORTAÖĞRETİM MATEMATİK. SINIF DERS KİTABI YAZARLAR Metin ŞİŞMAN Muslu LÖKÇÜ Turgut OĞUZ Özcan ATAK DEVLET KİTAPLARI ÜÇÜNCÜ BASKI., 0 MİLLÎ EĞİTİM BAKANLIĞI YAYINLARI... : 575 DERS KİTAPLARI DİZİSİ... :

Detaylı

Vektör Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN

Vektör Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN Vektör Uzayları Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 4 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Matematik ve mühendislikte birçok uygulamaları olan cebirsel yapılardan vektör uzayı ve alt uzay kavramlarını

Detaylı

2014 LYS MATEMATİK. P(x) x 2 x 3 polinomunda. 2b a ifade- x lü terimin. olduğuna göre, katsayısı kaçtır? değeri kaçtır? ifadesinin değeri kaçtır? 4.

2014 LYS MATEMATİK. P(x) x 2 x 3 polinomunda. 2b a ifade- x lü terimin. olduğuna göre, katsayısı kaçtır? değeri kaçtır? ifadesinin değeri kaçtır? 4. 04 LYS MATEMATİK. a b b a ifade- ab olduğuna göre, sinin değeri kaçtır? 5. P() polinomunda katsayısı kaçtır? 4 lü terimin. ifadesinin değeri kaçtır? 4. yy y 4y y olduğuna göre, + y toplamının değeri kaçtır?

Detaylı

7. SINIF ÖĞRETİM PROGRAMI

7. SINIF ÖĞRETİM PROGRAMI 7. SINIF ÖĞRETİM PROGRAMI Öğrenme Alanları ve Alt Öğrenme Alanları 7.1. Sayılar ve İşlemler 7.1.1. Tam Sayılarla Çarpma ve Bölme İşlemleri 7.1.2. Rasyonel Sayılar 7.1.3. Rasyonel Sayılarla İşlemler 7.1.4.

Detaylı

[ 1 i 6 2i. [ a b. Örnek...3 : Örnek...4 : 0 0 0. Örnek...5 : 1 3 2. Örnek...6 : i sanal sayı birimi olmak üzere, i. Örnek...1 : 3 4 2 8 =?

[ 1 i 6 2i. [ a b. Örnek...3 : Örnek...4 : 0 0 0. Örnek...5 : 1 3 2. Örnek...6 : i sanal sayı birimi olmak üzere, i. Örnek...1 : 3 4 2 8 =? A=[a i j] r x r bir kare matris ise bu kare matrisi reel bir sayıya eşleyen fonksiyona determinant denir. Örnek...3 : i sanal sayı birimi olmak üzere, [ 1 i 6 2i 3+i 2+2i] matrisinin determinantı kaça

Detaylı

2013-2014 EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI TED KDZ EREĞLİ KOLEJİ ORTAOKULU MATEMATİK 8.SINIF ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANDIR.

2013-2014 EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI TED KDZ EREĞLİ KOLEJİ ORTAOKULU MATEMATİK 8.SINIF ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANDIR. EYLÜL 2013-201 EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI TED KDZ EREĞLİ KOLEJİ ORTAOKULU MATEMATİK 8.SINIF ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANDIR. 9-13 Örüntü ve Süslemeler Dönüşüm Geometrisi 1. Doğru, çokgen ve çember modellerinden

Detaylı

DERS 1. ki De i kenli Do rusal Denklem Sistemleri ve Matrisler

DERS 1. ki De i kenli Do rusal Denklem Sistemleri ve Matrisler DERS ki De i kenli Do rusal Denklem Sistemleri ve Matrisler.. Do rusal Denklem Sistemleri. Günlük a amda a a dakine benzer pek çok problemle kar la r z. Problem. Manavdan al veri eden bir mü teri, kg armut

Detaylı

a) 6x6x6x6 b) 13x13x13 c) 9x9x9x9x9x9x9 tane küp olması için kaç tane daha küpe ihtiyaç vardır?

a) 6x6x6x6 b) 13x13x13 c) 9x9x9x9x9x9x9 tane küp olması için kaç tane daha küpe ihtiyaç vardır? 3BÖLÜM ÜSLÜ SAYILAR ÜSLÜ SAYILAR TEST 1 1) Aşağıdaki işlemlerin sonucunu üslü biçimde yazınız. a) 6x6x6x6 b) 13x13x13 c) 9x9x9x9x9x9x9 2) Aşağıdaki şekilde 3 3 tane küp olması için kaç tane daha küpe

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Matematk Deneme Sınavı. ve birer tamsaı olmak üzere; 7 olduğuna göre, farkının alabileceği en büük değer ile en küçük değerin farkı aşağıdakilerden hangisidir? 0 8 8. 0 olmak üzere; ifadesinin eşiti

Detaylı

ANALİTİK GEOMETRİ KARMA / TEST-1

ANALİTİK GEOMETRİ KARMA / TEST-1 NLİTİK GEMETRİ KRM / TEST-. (, ) noktasından geçen ve + = 0 doğrusuna paralel olan doğrunun eksenini kestiği noktanın ordinatı ) ) 7 ) 9 ). = (k 6) + b k = k doğrularının ekseni üzerinde dik kesişmeleri

Detaylı

2013 YGS MATEMATİK Soruları

2013 YGS MATEMATİK Soruları 0 YGS MTEMTİK Soruları. 0 YGS + m = olduğuna göre, m kaçtır? ) ) ) D) 6 E) 7. 0 YGS a ve b birer gerçel sayı olmak üzere, a a = b b a.b = olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır? ) 6 ) ) D) E). 0 YGS.(0,)

Detaylı

4 ab sayısı 26 ile tam bölünebildiğine göre, kalanı 0 dır.

4 ab sayısı 26 ile tam bölünebildiğine göre, kalanı 0 dır. BÖLME, BÖLÜNEBİLME A. Bölme İşlemi A, B, C, K doğal sayılar ve B 0 olmak üzere, Bölünen A 75, bölen B 9, bölüm C 8 ve kalan K tür. Yukarıdaki bölme işlemine göre, 1. 9 yani, K B dir. işlemine bölme denir.

Detaylı

8. ÜNİTE TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR

8. ÜNİTE TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR 8. ÜNİTE TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR KONULAR 1. TRİGONOMETRİ 2. Açı 3. Yönlü Açı 4. Yönlü Yaylar 5. Birim Çember 6. Açı Ölçü Birimleri 7. Derece 8. Radyan 9. Grad 10. Esas Ölçü 11. TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR

Detaylı

2014 2015 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KAZANIMLARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ

2014 2015 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KAZANIMLARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ 0 0 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KAZANIMLARININ SÜRE Ay Hafta D. Saati ÖĞRENME ALANI ALT ÖĞRENME ALANI KAZANIMLAR Geometri Örüntü Süslemeler. Doğru, çokgen çember modellerinden örüntüler

Detaylı

KILAVUZ SORU ÇÖZÜMLERİ Matematik

KILAVUZ SORU ÇÖZÜMLERİ Matematik FRAKTALLAR -. Ünite 9. A seçeneğinde verilen şekil adet doğru parçası, B seçeneğinde bulunan şekil 6 adet doğru parçası C seçeneğinde bulunan şekil ise 0 adet doğru parçası kullanılarak oluşturulmuştur.

Detaylı

Kümenin özellikleri. KÜMELER Burada x : ifadesi öyle x lerden oluşur ki diye okunur. Örnek: Kilis in ilçeleri

Kümenin özellikleri. KÜMELER Burada x : ifadesi öyle x lerden oluşur ki diye okunur. Örnek: Kilis in ilçeleri Canlı yada cansız varlıkların oluşturduğu iyi tanımlanmış nesneler topluluğuna küme denir. KÜMELER urada x : ifadesi öyle x lerden oluşur ki diye okunur. iyi tanımlanmış: herkes tarafından kabul edilen

Detaylı

ÜNİTE ÖĞRENME ALANI/ ALT ÖĞRENME ALANI SAYILAR Sayılar KAZANIMLAR 1. Deste ve düzineyi örneklerle açıklar. 2. Nesne sayısı 100 den az olan bir çokluğu

ÜNİTE ÖĞRENME ALANI/ ALT ÖĞRENME ALANI SAYILAR Sayılar KAZANIMLAR 1. Deste ve düzineyi örneklerle açıklar. 2. Nesne sayısı 100 den az olan bir çokluğu MATEMATİK 2. SINIF ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLAN ÜNİTE ÖĞRENME ALANI ALT ÖĞRENME ALANI KAZANIM TOPLAM KAZANIM SAYISI 1 SAYILAR Sayılar 1-2-3-4-5 Toplama Çıkarma 1 Çarpma 1-2 GEOMETRİ Örüntü ve Süslemeler

Detaylı

KAZANIMLAR, ETKİNLİK ÖRNEKLERİ VE AÇIKLAMALAR I. DÖNEM

KAZANIMLAR, ETKİNLİK ÖRNEKLERİ VE AÇIKLAMALAR I. DÖNEM KAZANIMLAR, ETKİNLİK ÖRNEKLERİ VE AÇIKLAMALAR I. DÖNEM ÖĞRENME ALANI: SAYILAR 12. MATEMATİK VE MESLEK MATEMATİĞİ DERSİ ÖĞRETİM PROGRAMI 29 DOĞAL SAYILAR Bu ünitenin sonunda öğrenciler; 1. Doğal sayılar

Detaylı

6. SINIF MATEMATİK (Yarışma tarihine kadar işlenmesi gereken konular) DOĞAL SAYILARLA İŞLEMLER

6. SINIF MATEMATİK (Yarışma tarihine kadar işlenmesi gereken konular) DOĞAL SAYILARLA İŞLEMLER NOT: Yarışmada öğrencilere yarıştıkları sınıf düzeyinden önceki tüm matematik müfredatlarını da içeren sorular ile sayısal ve mantıksal akıl yürütme soruları sorulabilir. 6. SINIF MATEMATİK (Yarışma tarihine

Detaylı

12. 13. Faktöryel: 01. 02. 03.

12. 13. Faktöryel: 01. 02. 03. ĐZMĐR FEN LĐSESĐ SINIF MATEMATĐK ÇALIŞMA SORULARI: (Permütasyon-Kominasyon-Binom ve Olasılık) Çarpmanın Temel Đlkesi: 0 Faktöryel: 06. 06. 11. 1 11. 4. a. b. 5. c. 6. 7. 8. 16. 9. 17. 30. 31. Permütasyon:

Detaylı

BİRİNCİ BÖLÜM SAYILAR

BİRİNCİ BÖLÜM SAYILAR İÇİNDEKİLER BİRİNCİ BÖLÜM SAYILAR 1.1 Tamsayılarda İşlemler... 2 1.1.1 Tek, Çift ve Ardışık Tamsayılar... 5 1.2 Rasyonel Sayılar... 6 1.2.1 Kesirlerin Birbirine Çevrilmesi... 7 1.2.2 Kesirlerin Genişletilmesi

Detaylı

Harita Projeksiyonları

Harita Projeksiyonları Harita Projeksiyonları Bölüm 4: Konik Projeksiyonlar Doç.Dr. İ. Öztuğ BİLDİRİCİ Koni en genel projeksiyon yüzeyidir. Koninin yüksekliği sıfır alınırsa düzlem, sonsuz alınırsa silindir elde edilir. Genel

Detaylı

Volkan Karamehmetoğlu

Volkan Karamehmetoğlu 1 Doğal Sayılar Tanımlar Rakam: Sayıları yazmaya yarayan sembollere denir. {1,2,3,4,5,6,7,8,9} Sayı: Rakamların çokluk belirten ifadesine denir. 365 sayısı 3-6-5 rakamlarından oluşmuştur. 2 Uyarı: Her

Detaylı

III İÇİNDEKİLER ÜNİTE 1 ÜNİTE 2 ÜNİTE 3 FRAKTALLAR 2 YANSIYAN VE DÖNEN ŞEKİLLER 6 HİSTOGRAM 10 ÜSLÜ SAYILAR 14 ÜSLÜ SAYILARLA ÇARPMA İŞLEMİ 18

III İÇİNDEKİLER ÜNİTE 1 ÜNİTE 2 ÜNİTE 3 FRAKTALLAR 2 YANSIYAN VE DÖNEN ŞEKİLLER 6 HİSTOGRAM 10 ÜSLÜ SAYILAR 14 ÜSLÜ SAYILARLA ÇARPMA İŞLEMİ 18 MATEMATİK III İÇİNDEKİLER ÜNİTE FRAKTALLAR YANSIYAN VE DÖNEN ŞEKİLLER 6 HİSTOGRAM 0 ÜSLÜ SAYILAR 4 ÜSLÜ SAYILARLA ÇARPMA İŞLEMİ 8 ÜSLÜ SAYILARLA BÖLME İŞLEMİ 8 BİLİMSEL GÖSTERİM 9 ÜNİTE OLASILIK, İSTATİSTİK

Detaylı

AÖĞRENCİLERİN DİKKATİNE!

AÖĞRENCİLERİN DİKKATİNE! A KİTAPÇIK TÜRÜ T.C. MİLLÎ EĞİTİM BAKANLIĞI 8. SINIF MATEMATİK 2015 8. SINIF 1. DÖNEM MATEMATİK DERSİ MERKEZİ ORTAK (MAZERET) SINAVI 12 ARALIK 2015 Saat: 10.10 Adı ve Soyadı :... Sınıfı :... Öğrenci Numarası

Detaylı

2. SINIFLAR HAYAT BİLGİSİ DERSİ TEMALARI ve KAVRAMLAR

2. SINIFLAR HAYAT BİLGİSİ DERSİ TEMALARI ve KAVRAMLAR 2. SINIFLAR HAYAT BİLGİSİ DERSİ TEMALARI ve KAVRAMLAR OKUL HEYECANIM BENİM EŞSİZ YUVAM DÜN, BUGÜN, YARIN Ders Programı Yardım Şekil Saygı Duygu Ulaşım Araçları Vücut Sağlık İletişim Nezaket Görsel Materyal

Detaylı

BİREYSELLEŞTİRİLMİŞ EĞİTİM PROGRAMI KISA DÖNEMLİ AMAÇLAR (ünite-konu amaçları)

BİREYSELLEŞTİRİLMİŞ EĞİTİM PROGRAMI KISA DÖNEMLİ AMAÇLAR (ünite-konu amaçları) UZUN DÖNEMLİ AMAÇLAR (yıl sonunda) RİTMİK SAYMALAR BİREYSELLEŞTİRİLMİŞ EĞİTİM PROGRAMI KISA DÖNEMLİ AMAÇLAR (ünite-konu amaçları) 100 e kadar ikişer ritmik sayar. ÖĞRETİMSEL AMAÇLAR BAŞ. BİTİŞ (Kazanımlar)

Detaylı

Elemanların yerlerinin değiştirilmesi kümeyi değiştirmez. A kümesinin eleman sayısı s(a) ya da n(a) ile gösterilir.

Elemanların yerlerinin değiştirilmesi kümeyi değiştirmez. A kümesinin eleman sayısı s(a) ya da n(a) ile gösterilir. KÜMELER Küme : Nesnelerin iyi tanımlanmış listesine küme denir ve genellikle A, B, C gibi büyük harflerle gösterilir. Kümeyi oluşturan öğelere, kümenin elemanı denir. a elemanı A kümesine ait ise,a A biçiminde

Detaylı

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 MATEMATİK TESTİ 19 HAZİRAN 2016 PAZAR Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının

Detaylı

2010-2011 9. SINIF. Yayın Planı

2010-2011 9. SINIF. Yayın Planı 2010-2011 Yayın Planı 2010-2011 İÇİNDEKİLER 1- Yaprak ler 2- Kitaplar Soru Bankaları Anlatımlı Kitaplar 3- Sınavlar Düzey Belirleme Sınavları (DBS) Düzey Kontrol Sınavları (DKS) Deneme Sınavları Dağılım

Detaylı

ALES / İLKBAHAR 2008 DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ "A" OLARAK CEVAP KÂĞIDINA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. SAYISAL BÖLÜM SAYISAL-2 TESTİ

ALES / İLKBAHAR 2008 DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. SAYISAL BÖLÜM SAYISAL-2 TESTİ LES / İLKHR 008 İKKT! SORU KİTPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ "" OLRK EVP KÂĞIIN İŞRETLEMEYİ UNUTMYINIZ. SYISL ÖLÜM SYISL- TESTİ Sınavın bu bölümünden alacağınız standart puan, Sayısal ğırlıklı LES Puanınızın (LES-SY)

Detaylı

http://acikogretimx.com

http://acikogretimx.com 09 S 0- İstatistik sorularının cevaplanmasında gerekli olabilecek tablolar ve ormüller bu kitapçığın sonunda verilmiştir.. şağıdakilerden hangisi istatistik birimi değildir? ) Doğum B) ile C) Traik kazası

Detaylı

Proje konularından istediğiniz bir konuyu seçip, hazırlamalısınız.

Proje konularından istediğiniz bir konuyu seçip, hazırlamalısınız. 5. SINIF MATEMATİK PROJE KONULARI (2012-2013) Atatürk ün geometri alanında yaptığı çalışmaların ülkemizdeki geometri öğretimine katkılarını açıklayınız. Geometrik cisimlerin (prizmalar ve piramitler) günlük

Detaylı

Alıştırma Toleransı -TERMİNOLOJİ

Alıştırma Toleransı -TERMİNOLOJİ Alıştırma Toleransı -TERMİNOLOJİ Mil: Dış şekli belirtir. Silindirik olmayan şekilleri de kapsar. Normal Mil (Esas Mil): Bir alıştırma ş sisteminde esas olark seçilen mil. Delik: İç şekli belirtir. Silindirik

Detaylı

İçindekiler 3. Türev... 3.1 Türev kavramı.. 001 3.2 Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi. 003. Alıştırmalar 3 1...

İçindekiler 3. Türev... 3.1 Türev kavramı.. 001 3.2 Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi. 003. Alıştırmalar 3 1... İçindekiler. Türev......... Türev kavramı.. 00. Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi. 00. Alıştırmalar.... 005. Bir fonksiyonun bir noktadaki soldan ve sağdan türevi..... 006.4 Bir fonksiyonun bir noktadaki

Detaylı

İÇİNDEKİLER TOPLAMA YOLUYLA SAYMA YÖNTEMİ...59-60... 01-01 ÇARPMA YOLUYLA SAYMA YÖNTEMİ...61-64... 02-03 FAKTÖRİYEL...65-66...

İÇİNDEKİLER TOPLAMA YOLUYLA SAYMA YÖNTEMİ...59-60... 01-01 ÇARPMA YOLUYLA SAYMA YÖNTEMİ...61-64... 02-03 FAKTÖRİYEL...65-66... İÇİNDEKİLER Sayfa No Test No 3-PERMÜTASYON, KOMBİNASYON, BİNOM, OLASILIK VE İSTATİSTİK TOPLAMA YOLUYLA SAYMA YÖNTEMİ...59-60... 01-01 ÇARPMA YOLUYLA SAYMA YÖNTEMİ...61-64... 0-03 FAKTÖRİYEL...65-66...

Detaylı

6. x ve y birer tam sayıdır. 7. a, b, c doğal sayılar olmak üzere, 8. a, b, c doğal sayılar olmak üzere, 9. x, y ve z birer tam sayı olmak üzere,

6. x ve y birer tam sayıdır. 7. a, b, c doğal sayılar olmak üzere, 8. a, b, c doğal sayılar olmak üzere, 9. x, y ve z birer tam sayı olmak üzere, İ l a s gün e ş & i l a s g ü n e ş İ l a s gün e ş & i l a s g ü n e ş İ l a s gün e ş & i l a s g ü n e ş İ l a s gün e ş & i l a s g ü n e ş İ l a s gün e ş & i l a s g ü n e ş İ l a s gün e ş & i l

Detaylı

DENEY NO: 9 ÜÇ EKSENLİ BASMA DAYANIMI DENEYİ (TRIAXIAL COMPRESSIVE STRENGTH TEST)

DENEY NO: 9 ÜÇ EKSENLİ BASMA DAYANIMI DENEYİ (TRIAXIAL COMPRESSIVE STRENGTH TEST) DENEY NO: 9 ÜÇ EKSENLİ BASMA DAYANIMI DENEYİ (TRIAXIAL COMPRESSIVE STRENGTH TEST) 1. AMAÇ: Bu deney, üç eksenli sıkışmaya maruz kalan silindirik kayaç örneklerinin makaslama dayanımı parametrelerinin saptanması

Detaylı

DÜZLEM AYNALAR ÇÖZÜMLER . 60 N N 45. N 75 N N I 20 . 30

DÜZLEM AYNALAR ÇÖZÜMLER . 60 N N 45. N 75 N N I 20 . 30 Tİ Tİ 49 3 75 75 4 5 5 80 80 6 35 7 8 0 0 70 70 80 0 0 80 9 0 50 0 50 0 DÜZE AAAR DÜZE AAAR BÖÜ BÖÜ AŞTRAAR AŞTRAAR DÜZE AAAR ÇÖZÜER 5 9 3 3 3 6 0 3 3 3 3 7 3 3 3 4 8 3 3 3 50 Tİ 3 5 9 6 0 3 7 4 8 Tİ 5

Detaylı

π θ = olarak bulunur. 2 θ + θ θ θ θ θ π 3 UŞAK FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ ANALİZ II VİZE SORULARI ÇÖZÜMLERİ 22.04.

π θ = olarak bulunur. 2 θ + θ θ θ θ θ π 3 UŞAK FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ ANALİZ II VİZE SORULARI ÇÖZÜMLERİ 22.04. UŞAK FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ ANALİZ II VİZE SORULARI ÇÖZÜMLERİ.04.006. Aşağıdaki gibi, M ve M merkezli br yarıçaplı iki dairenin kesişimi şeklinde bir park inşa edilmektedir. Bu iki dairenin

Detaylı

Algoritmalara Giriş 6.046J/18.401J

Algoritmalara Giriş 6.046J/18.401J Algoritmalara Giriş 6.046J/18.401J DERS 13 Amortize Edilmiş Analiz Dinamik Tablolar Birleşik Metod Hesaplama Metodu Potansiyel Metodu Prof. Charles E. Leiserson Kıyım tablosu ne kadar büyük olmalı? Amaç

Detaylı

TG 12 ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK

TG 12 ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ İLKÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının

Detaylı

Page 1. Page 3. Not: Doğrusal ölçüde uzunlukların ölçülendirilmesi şekildeki gibidir.

Page 1. Page 3. Not: Doğrusal ölçüde uzunlukların ölçülendirilmesi şekildeki gibidir. TEKNİK BİLİMLER MESLEK YÜKSEKOKULU Teknik Resim Ölçülendirmenin Gereği ve Önemi Parçaların üretimi için gerekli değerlerin belli kurallara göre resme (görünüşlere) yansıtılması işlemine ölçülendirme denir.

Detaylı

Ç NDEK LER. Bölüm 4: Üslü Say lar...44 Üslü fadeler...44 Al t rmalar...47 Test Sorular...49

Ç NDEK LER. Bölüm 4: Üslü Say lar...44 Üslü fadeler...44 Al t rmalar...47 Test Sorular...49 Ç NDEK LER Bölüm1: Say Sistemleri...1 Say Sistemi...2 Desimal (Onluk) Say Sistemi...2 Say Basamaklar ve Taban...4 Binary ( kilik) Say Sistemi...4 Oktal (Sekizlik) Say Sistemi...7 Heksadesimal (Onalt l

Detaylı

FOTOGRAMETRİK DEĞERLENDİRME - ÇİFT FOT. DEĞ. Analog ve Analitik Stereodeğerlendirme. Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ

FOTOGRAMETRİK DEĞERLENDİRME - ÇİFT FOT. DEĞ. Analog ve Analitik Stereodeğerlendirme. Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ FOTOGRAMETRİ II FOTOGRAMETRİK DEĞERLENDİRME - ÇİFT FOT. DEĞ. Analog ve Analitik Stereodeğerlendirme BEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ GEOMATİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ JDF336 FOTOGRAMETRİ II DERSi NOTLARI http://geomatik.beun.edu.tr/marangoz/

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Tam Sayılarda Bölünebilme...3. Kongrüanslar...13. Primitif (İlkel) Kökler ve İndeksler...26. Genel Tarama Sınavı...

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Tam Sayılarda Bölünebilme...3. Kongrüanslar...13. Primitif (İlkel) Kökler ve İndeksler...26. Genel Tarama Sınavı... İÇİNDEKİLER Ön Söz... Tam Sayılarda Bölünebilme...3 Kongrüanslar...13 Primitif (İlkel) Kökler ve İndeksler...6 Genel Tarama Sınavı...34 Primitif (İlkel) Kökler ve İndeksler Tanım: a, m Z, m > 1 ve (a,

Detaylı

Örnek...6 : Yandaki bölme işleminde A ve n birer doğal sayıdır. A nın alabileceği en küçük ve en bü yük değerleri bulunu z.

Örnek...6 : Yandaki bölme işleminde A ve n birer doğal sayıdır. A nın alabileceği en küçük ve en bü yük değerleri bulunu z. MODÜLER ARİTMETİK ( BÖLME BÖLÜNEBİLME KURALLARI ÖKLİT ALGORİTMASI DEĞERLENDİRME ) BÖLME İŞLEMİ VE ÖZELLİKLERİ A, B, C, K doğal sayılar ve B olmak üzere, BÖLÜNEN A B C BÖLEN BÖLÜM Örnek...5 : A, B, C birbirinden

Detaylı

Bilardo: Simetri ve Pisagor Teoremi

Bilardo: Simetri ve Pisagor Teoremi Bilardo: Simetri ve Pisagor Teoremi Meral Tosun 30 Ağustos 2015 Bilardo, uzunluğu genişliğinin iki katı olan masalarda en az 3 top ile oynanır. Oyundaki toplam top sayısına ve vuruş kurallarına göre değişik

Detaylı

BUCA EĞĠTĠM FAKÜLTESĠ DERGĠSĠ 29 (2011) ORTAÖĞRETĠMDE KOMPLEKS SAYILARLA ĠLGĠLĠ KAVRAM YANILGILARININ BELĠRLENMESĠ

BUCA EĞĠTĠM FAKÜLTESĠ DERGĠSĠ 29 (2011) ORTAÖĞRETĠMDE KOMPLEKS SAYILARLA ĠLGĠLĠ KAVRAM YANILGILARININ BELĠRLENMESĠ ORTAÖĞRETĠMDE KOMPLEKS SAYILARLA ĠLGĠLĠ KAVRAM YANILGILARININ BELĠRLENMESĠ DETERMINING THE CONCEPT ERRORS WITH REGARD TO COMPLEX NUMBERS IN SECONDARY EDUCATION Adem ÇELĠK 1 Mehmet Fatih ÖZDEMĠR** Özet

Detaylı

1. ÜNİTE TAM SAYILAR KONULAR 1. SAYILAR

1. ÜNİTE TAM SAYILAR KONULAR 1. SAYILAR 1. ÜNİTE TAM SAYILAR KONULAR 1. SAYILAR 2. Doğal Sayılar 3. Sayma Sayıları 4. Tam Sayılar(Yönlü sayılar) 5. Tam sayılarda Dört İşlem 6. Tek ve çift sayılar 7. Asal Sayılar 8. Bölünebilme Kuralları 9. Asal

Detaylı

İSTANBUL TİCARET ÜNİVERSİTESİ BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ BİLGİSAYAR SİSTEMLERİ LABORATUARI YÜZEY DOLDURMA TEKNİKLERİ

İSTANBUL TİCARET ÜNİVERSİTESİ BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ BİLGİSAYAR SİSTEMLERİ LABORATUARI YÜZEY DOLDURMA TEKNİKLERİ İSTANBUL TİCARET ÜNİVERSİTESİ BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ BİLGİSAYAR SİSTEMLERİ LABORATUARI YÜZEY DOLDURMA TEKNİKLERİ Deneyde dolu alan tarama dönüşümünün nasıl yapıldığı anlatılacaktır. Dolu alan tarama

Detaylı

Olasılık ve İstatistik Dersinin Öğretiminde Deney ve Simülasyon

Olasılık ve İstatistik Dersinin Öğretiminde Deney ve Simülasyon Olasılık ve İstatistik Dersinin Öğretiminde Deney ve Simülasyon Levent ÖZBEK Fikri ÖZTÜRK Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi İstatistik Bölümü Sistem Modelleme ve Simülasyon Laboratuvarı 61 Tandoğan/Ankara

Detaylı

TAM SAYILARLA İŞLEMLER

TAM SAYILARLA İŞLEMLER TAM SAYILARLA İŞLEMLER 5 4 3 2 1 1 TAM SAYILARLA TOPLAMA İŞLEMİ Devlet Meteoroloji İşleri Genel Müdürlüğü, bilimsel ve teknolojik gelişmeler ışığında meteorolojik gözlemler, hava tahminleri ve iklim değişiklikleri

Detaylı

İLKÖĞRETİM 6., 7., 8. SINIFLAR MATEMATİK DERSİ MÜFREDAT PROGRAMINDA GEÇEN CEBİR KONULARININ İNCELENMESİ MAT YL 2009 0001

İLKÖĞRETİM 6., 7., 8. SINIFLAR MATEMATİK DERSİ MÜFREDAT PROGRAMINDA GEÇEN CEBİR KONULARININ İNCELENMESİ MAT YL 2009 0001 T.C. ADNAN MENDERES ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİMDALI İLKÖĞRETİM 6., 7., 8. SINIFLAR MATEMATİK DERSİ MÜFREDAT PROGRAMINDA GEÇEN CEBİR KONULARININ İNCELENMESİ MAT YL 2009 0001

Detaylı

OPERATÖRLER BÖLÜM 4. 4.1 Giriş. 4.2. Aritmetik Operatörler

OPERATÖRLER BÖLÜM 4. 4.1 Giriş. 4.2. Aritmetik Operatörler BÖLÜM 4. OPERATÖRLER 4.1 Giriş Turbo Pascal programlama dilinde de diğer programlama dillerinde olduğu gibi operatörler, yapılan işlem türüne göre aritmetik, mantıksal ve karşılaştırma operatörleri olmak

Detaylı

Fizik ve Ölçme. Fizik deneysel gözlemler ve nicel ölçümlere dayanır

Fizik ve Ölçme. Fizik deneysel gözlemler ve nicel ölçümlere dayanır Fizik ve Ölçme Fizik deneysel gözlemler ve nicel ölçümlere dayanır Fizik kanunları temel büyüklükler(nicelikler) cinsinden ifade edilir. Mekanikte üç temel büyüklük vardır; bunlar uzunluk(l), zaman(t)

Detaylı

14-18 EKİM KURBAN BAYRAMI TATİLİ VE ARA TATİL

14-18 EKİM KURBAN BAYRAMI TATİLİ VE ARA TATİL 7-11 EKİM SAYILAR RASYONEL SAYILAR 16-227 EYLÜL/1-4 EKİM SAYILAR TAM SAYILARLA İŞLEMLER 9-13 EYLÜL 1. ÜNİTE: TAM SAYILARDAN RASYONEL SAYIL 1. Tam sayılarla toplama ve çıkarma işlemlerini yapar. [!] a-b

Detaylı

OBEB - OKEK Test -1. 6. OKEK( 14, 20) kaçtır? 1. OBEB(16, 20, 48) kaçtır? 7. OBEB, 2. OBEB(56, 140, 280) kaçtır? 3. OKEK(10, 15, 25) kaçtır?

OBEB - OKEK Test -1. 6. OKEK( 14, 20) kaçtır? 1. OBEB(16, 20, 48) kaçtır? 7. OBEB, 2. OBEB(56, 140, 280) kaçtır? 3. OKEK(10, 15, 25) kaçtır? OE - OKEK Test -1 1. OE(16, 0, 8) kaçtır? A) ) ) ) 6 E) 8 6. OKEK( 1, 0) kaçtır? A) 10 ) 160 ) 180 ) 10 E) 0. OE(56, 10, 80) kaçtır? 7. OE, 15 5 kaçtır? A) 1 ) 0 ) ) 8 E) A) 75 ) 75 ) 5 ) 5 E) 5. OKEK(10,

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Matematk Deneme Sınavı. ab iki basamaklı saısı b ile bölündüğünde, bölüm 5 ve kalan b 5 tir. u şartlara uan kaç farklı ab iki basamaklı saısı vardır? ) 5 6 7 5. a, b, c, d, e sıfırdan farklı tamsaılar

Detaylı

MATEMATİK 2+2 UYGULAMALI ÖĞRENME SETİ. Her Haftaya Bir Bölüm ÇEK KOPAR SINIF

MATEMATİK 2+2 UYGULAMALI ÖĞRENME SETİ. Her Haftaya Bir Bölüm ÇEK KOPAR SINIF MTEMTİK 3 SINIF UYGULMLI ÖĞRENME SETİ ÇEK KOPR 10 9 11 12 1 2 3 2+2 Her Haftaya ir ölüm 8 4 Copyright Şifre Yayıncılık ve Eğitim Gereçleri Tic..Ş. u kitabın her hakkı Şifre Yayıncılık ve Eğitim Gereçleri

Detaylı

BĐSĐKLET FREN SĐSTEMĐNDE KABLO BAĞLANTI AÇISININ MEKANĐK VERĐME ETKĐSĐNĐN ĐNCELENMESĐ

BĐSĐKLET FREN SĐSTEMĐNDE KABLO BAĞLANTI AÇISININ MEKANĐK VERĐME ETKĐSĐNĐN ĐNCELENMESĐ tasarım BĐSĐKLET FREN SĐSTEMĐNDE KABLO BAĞLANTI AÇISININ MEKANĐK VERĐME ETKĐSĐNĐN ĐNCELENMESĐ Nihat GEMALMAYAN Y. Doç. Dr., Gazi Üniversitesi, Makina Mühendisliği Bölümü Hüseyin ĐNCEÇAM Gazi Üniversitesi,

Detaylı

FEN BİLİMLERİ BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ

FEN BİLİMLERİ BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ FEN BİLİMLERİ BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ Dersin Adı Kodu Sınıf / Y.Y. Ders Saati (T+U+L) Kredi AKTS KOMPLEKS ANALİZ FM-311 3 / 1.YY 2 2+0+0 3 Dersin Dili : TÜRKÇE Dersin Seviyesi : Lisans

Detaylı

SAYILAR TEORİSİ - PROBLEMLER

SAYILAR TEORİSİ - PROBLEMLER SAYILAR TEORİSİ - PROBLEMLER 1. (p + 1) q sayısının hangi p ve q asal sayıları için bir tam kare olduğunu 2. n+2n+n+... +9n toplamının bütün basamakları aynı rakamdan oluşan bir sayıya eşit olmasını sağlayan

Detaylı

1- Düz ( düzlem ) Ayna

1- Düz ( düzlem ) Ayna AYNALAR VE KULLANIM ALANLARI Düz aynada ışık ışınları düzgün olarak yansımaya uğrar. Bunun sonucunda düz ayna çok parlak görünür ve düz aynada cisimlerin çok net görüntüsü oluşur. Düz ayna önünde duran

Detaylı

KATEGORİSEL VERİ ANALİZİ (χ 2 testi)

KATEGORİSEL VERİ ANALİZİ (χ 2 testi) KATEGORİSEL VERİ ANALİZİ (χ 2 testi) 1 Giriş.. Değişkenleri nitel ve nicel değişkenler olarak iki kısımda inceleyebiliriz. Şimdiye kadar hep nicel değişkenler için hesaplamalar ve testler yaptık. Fakat

Detaylı

8. SINIF ÖĞRETİM PROGRAMI

8. SINIF ÖĞRETİM PROGRAMI 8. SINIF ÖĞRETİM PROGRAMI Öğrenme Alanları ve Alt Öğrenme Alanları 8.1. Sayılar ve İşlemler 8.1.1. Çarpanlar ve Katlar 8.1.2. Üslü İfadeler 8.1.3. Kareköklü İfadeler 8.2. Cebir 8.2.1. Cebirsel İfadeler

Detaylı

ŞEFKAT KOLEJİ İMFO-2015 5.SINIF MATEMATİK SORULARI

ŞEFKAT KOLEJİ İMFO-2015 5.SINIF MATEMATİK SORULARI 0 K KOLJİ İMO-015 5.SINI MMİK SORULRI 1. efkat Koleji matematik öğretmenleri hazırladıkları matematik soru bankasındaki sayfaları numaralandırmak için 88 rakam kullanmışlardır. Buna göre bu soru bankası

Detaylı

MATEMATİK (haftalık ders sayısı 5, yıllık toplam 90 ders saati)

MATEMATİK (haftalık ders sayısı 5, yıllık toplam 90 ders saati) MATEMATİK (haftalık ders sayısı 5, yıllık toplam 90 ders saati) GİRİŞ XXI. yüzyılda matematik eğitimi yalnız doğa olaylarının araştırmasında ve teknikte değil insan oğlunun mantıklı, eleştirel ve estetik

Detaylı

b Üslü Sayılara Giriş b İşlem Önceliği b Ortak Çarpan Parantezine Alma ve Dağılma Özelliği b Doğal Sayı Problemleri b Çarpanlar ve Katlar - Kalansız

b Üslü Sayılara Giriş b İşlem Önceliği b Ortak Çarpan Parantezine Alma ve Dağılma Özelliği b Doğal Sayı Problemleri b Çarpanlar ve Katlar - Kalansız 1 b Üslü Sayılara Giriş b İşlem Önceliği b Ortak Çarpan Parantezine Alma ve Dağılma Özelliği b Doğal Sayı Problemleri b Çarpanlar ve Katlar - Kalansız Bölünebilme Kuralları b Asal Sayılar, Asal Çarpanlar,

Detaylı

ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ MODÜLER ARİTMETİK

ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ MODÜLER ARİTMETİK ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ MODÜLER ARİTMETİK ÇANAKKALE 2012 ÖNSÖZ Bu kitap Çanakkale Onsekiz Mart Üniversitesi Matematik Bölümünde lisans dersi olarak Cebirden

Detaylı

uzman yaklaşımı Branş Analizi öğretim teknolojileri ve materyal tasarımı Dr. Levent VEZNEDAROĞLU

uzman yaklaşımı Branş Analizi öğretim teknolojileri ve materyal tasarımı Dr. Levent VEZNEDAROĞLU Branş Analizi öğretim teknolojileri ve materyal tasarımı de yer alan öğretim teknolojileri ve materyal tasarımı sorularının çoğunluğu kolay, bir kısmı da orta düzeydedir. Sınavda siz öğretmen adaylarını

Detaylı

KUVVET VE ÖZELLiKLERi BÖLÜM 2

KUVVET VE ÖZELLiKLERi BÖLÜM 2 UVVET VE ÖZEiEi BÖÜ 2 ODE SOU 1 DE SOUAI ÇÖZÜE 1. Vektörel büyüklükler cebirsel işlemlerle ifade edilemez. I. ifade yanlıştır. uvvet vektörel bir büyüklük olduğunda yönü değişirse özelliği değişmiş olur.

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT223 AYRIK MATEMATİK Çizgeler 7. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Çift ve Tek Dereceler Çizgeler Çift ve Tek Dereceler Soru 51 kişinin

Detaylı

TEMEL İSTATİSTİK KAVRAMLAR

TEMEL İSTATİSTİK KAVRAMLAR TEMEL İSTATİSTİK KAVRAMLAR Y.Doç.Dr. İbrahim Turan Mart 2011 İSTATİSTİK NEDİR? Bir olay veya olguyu sayısal verilere dayanarak açıklamaktır. Metod Olarak İstatistik: İstatistiğe konu olabilen olaylara

Detaylı

G D S 4 2013 MART. Sınıf Ders Ünite Kazanım. 9. sınıf Dil ve Anlatım Türkçenin Ses Özellikleri 1. Türkçedeki seslerin özelliklerini açıklar.

G D S 4 2013 MART. Sınıf Ders Ünite Kazanım. 9. sınıf Dil ve Anlatım Türkçenin Ses Özellikleri 1. Türkçedeki seslerin özelliklerini açıklar. G D S 4 2013 MART Sınıf Ders Ünite Kazanım 9. sınıf Dil ve Anlatım Türkçenin Ses Özellikleri 1. Türkçedeki seslerin ni açıklar. 9. sınıf Dil ve Anlatım Türkçenin Ses Özellikleri 2. Türkçedeki ses uyumlarının

Detaylı

Dersin Kodu 1206.1105

Dersin Kodu 1206.1105 Genel Matematik I Dersin Adı Genel Matematik I Dersin Kodu 1206.1105 Dersin Türü Zorunlu Dersin Seviyesi Dersin AKTS Kredisi 5,00 Haftalık Ders Saati (Kuramsal) 4 Haftalık Uygulama Saati 0 Haftalık Laboratuar

Detaylı

SAYILAR - I 01. Doğal Sayılar ve Tam Sayılar Basamak Kavramı ve Taban Aritmetiği

SAYILAR - I 01. Doğal Sayılar ve Tam Sayılar Basamak Kavramı ve Taban Aritmetiği SAYILAR - I 01 Doğal Sayılar ve Tam Sayılar Basamak Kavramı ve Taban Aritmetiği 7 DOĞAL SAYILAR ve TAM SAYILAR - I 1. (6.3 ) : 1 işleminin sonucu kaçtır? 6. x 1 A) B) 1 C) 0 D) 1 E)! İşlemde öncelik sırasına

Detaylı

MATEMATİK 1 TESTİ (Mat 1)

MATEMATİK 1 TESTİ (Mat 1) MATEMATİK TESTİ (Mat ). u testte 0 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. 7. kesrinin ondalık gösterimi aşağıdakilerden 0 hangisidir? 0, 0 0,

Detaylı

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ "A" OLARAK CEVAP KÂĞIDINA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. SAYISAL BÖLÜM SAYISAL-2 TESTİ

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. SAYISAL BÖLÜM SAYISAL-2 TESTİ ALES İlkbahar 007 SAY DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ "A" OLARAK CEVAP KÂĞIDINA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. SAYISAL BÖLÜM SAYISAL- TESTİ Sınavın bu testinden alacağınız standart puan, Sayısal Ağırlıklı

Detaylı

BİR SAYININ ÖZÜ VE DÖRT İŞLEM

BİR SAYININ ÖZÜ VE DÖRT İŞLEM ÖZEL EGE LİSESİ BİR SAYININ ÖZÜ VE DÖRT İŞLEM HAZIRLAYAN ÖĞRENCİ: Sıla Avar DANIŞMAN ÖĞRETMEN: Gizem Günel İZMİR 2012 İÇİNDEKİLER 1. PROJENİN AMACI.. 3 2. GİRİŞ... 3 3. YÖNTEM. 3 4. ÖN BİLGİLER... 3 5.

Detaylı

ISBN NUMARASI: 65482464 ISBN NUMARASI: 65482464 ISBN NUMARASI: 65482464 ISBN NUMARASI: 65482464

ISBN NUMARASI: 65482464 ISBN NUMARASI: 65482464 ISBN NUMARASI: 65482464 ISBN NUMARASI: 65482464 Bu formun ç kt s n al p ço altarak ö rencilerinizin ücretsiz Morpa Kampüs yarıyıl tatili üyeli inden yararlanmalar n sa layabilirsiniz.! ISBN NUMARASI: 65482464 ISBN NUMARASI: 65482464! ISBN NUMARASI:

Detaylı

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 18 Haziran 2006. Matematik I Soruları ve Çözümleri

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 18 Haziran 2006. Matematik I Soruları ve Çözümleri Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 8 Haziran 006 Matematik I Soruları ve Çözümleri. a ve b sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak üzere, a.b b a a b olduğunu göre, a + b toplamı kaçtır? A) 3 B) 3 C) 0 D) E) 3

Detaylı

DOĞAL SAYILAR. 728 514 039, 30 960 425, 4 518 825 bölük bölük bölük bölük bölük bölük bölük bölük bölük

DOĞAL SAYILAR. 728 514 039, 30 960 425, 4 518 825 bölük bölük bölük bölük bölük bölük bölük bölük bölük MATEMATİ O ON NU UA AN NL L A A T T I I ML ML I I F F A AS S İ İ Ü ÜL LS S E E T T İ İ TEMALARI NA GÖREAYRI LMI Ş FASİ ÜL. SI NI F DOĞAL SAYILAR Günlük hayatta pek çok durumda sayıları kullanırız: Saymak,

Detaylı

. İLKOKULU 2/ A SINIFI MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK BEP PLANI

. İLKOKULU 2/ A SINIFI MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK BEP PLANI EYLÜL. İLKOKULU 2/ A SINIFI MATEMATİK İ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK BEP PLANI VARLIKLAR ARASINDAKİ İLİŞKİLER KISA DÖNEMLİ 1: Varlıkları az ve çok olma durumuna göre ayırt eder. 1. Farklı miktardaki iki varlık

Detaylı

İYON DEĞİŞİMİ AMAÇ : TEORİK BİLGİLER :

İYON DEĞİŞİMİ AMAÇ : TEORİK BİLGİLER : Gazi Üniversitesi Kimya Mühendisliği Bölümü KM 482 Kimya Mühendisliği Laboratuvarı III DENEY NO : 3b İYON DEĞİŞİMİ AMAÇ : İyon değişim kolonunun yükleme ve/veya geri kazanma işlemi sırasındaki davranışını

Detaylı

FONKSİYONLAR ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT

FONKSİYONLAR ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT FONKSİYONLAR ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİT Fonksionlar. Kazanım : Fonksion kavramı, fonksion çeşitleri ve ters fonksion kavramlarını açıklar.. Kazanım : Verilen bir fonksionun artan, azalan ve sabit

Detaylı

ÖZEL SAMANYOLU LİSELERİ

ÖZEL SAMANYOLU LİSELERİ ÖZEL SMNYOLU LİSELERİ 4. İLKÖĞRETİM MTEMTİK YRIŞMSI 2008 / MRT KİTPÇIĞI BİRİNCİ BÖLÜM Çoktan seçmeli 30 Test sorusundan oluşan ün süresi 90 dakikadır. Bu bölümün bitiminde kısa bir ara verilecektir. Elinizdeki

Detaylı

POL NOMLAR. Polinomlar

POL NOMLAR. Polinomlar POL NOMLAR ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN T POL NOMLAR Polinomlar 1. Kazan m: Gerçek kat say l ve tek de i kenli polinom kavram n örneklerle aç klar, polinomun derecesini, ba kat say s n, sabit

Detaylı

Soma Belediye Başkanlığı. Birleşme Raporu

Soma Belediye Başkanlığı. Birleşme Raporu Soma Belediye Başkanlığı Birleşme Raporu 2012 i GİRİŞ 1 MEVZUAT 2 2 SOMA NIN NÜFUSU 3 SOMA-TURGUTALP ARASINDAKİ MESAFE 4 GENEL İMAR DURUMU 5 TEMEL ALT YAPI HİZMETLERİ 8 DİĞER HUSUSLAR 13 25. Coğrafi Durum;

Detaylı

Almanca da Sıfatlar (Adjektive) ve Sıfat Tamlamaları - Genç Gelişim Kişisel Gelişim

Almanca da Sıfatlar (Adjektive) ve Sıfat Tamlamaları - Genç Gelişim Kişisel Gelişim - I. SIFATLAR Varlıkların durumlarını, renklerini, biçimlerini, sayılarını, sıralarını, yerlerini vs. özelliklerini belirten sözcüklere sıfat denir. Sıfatlar, isimlerden önce gelir ve isimlerle birlikte

Detaylı

SAYI BASAMAKLARI. çözüm

SAYI BASAMAKLARI. çözüm SAYI BASAMAKLARI Sayı Basamakları Günlük hayat m zda 0 luk say sistemini kullan r z. 0 luk say sistemini kullanmam z n nedeni, sayman n parmaklar m zla ba lamas ve iki elimizde toplam 0 parmak olmas olarak

Detaylı

Kenan Osmanoğlu / Kerem Köker. KPSS Matematik Konu Anlatımlı ISBN 978-605-318-091-3. Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarına aittir.

Kenan Osmanoğlu / Kerem Köker. KPSS Matematik Konu Anlatımlı ISBN 978-605-318-091-3. Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarına aittir. Kenan Osmanoğlu / Kerem Köker KPSS Matematik Konu Anlatımlı ISBN 97860518091 Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarına aittir. Pegem Akademi Bu kitabın basım, yayın ve satış hakları Pegem Akademi

Detaylı

MODEL SORU - 1 DEKİ SORULARIN ÇÖZÜMLERİ MODEL SORU - 2 DEKİ SORULARIN ÇÖZÜMLERİ

MODEL SORU - 1 DEKİ SORULARIN ÇÖZÜMLERİ MODEL SORU - 2 DEKİ SORULARIN ÇÖZÜMLERİ 1. BÖÜ VETÖE ODE SOU - 1 DEİ SOUAI ÇÖZÜEİ ODE SOU - DEİ SOUAI ÇÖZÜEİ 1. Bir kuvvetin tersi doğrultu ve büyüklüğü aynı yalnızca yönü ters olan kuvvettir. = olacağından, I. eşitlik yanlıştır. II. eşitlik

Detaylı

EEM 202 DENEY 5 SERİ RL DEVRESİ

EEM 202 DENEY 5 SERİ RL DEVRESİ SERİ RL DEVRESİ 5.1 Amaçlar i, v, v R ve v L için RMS değerlerini hesaplama Seri RL devresinde voltaj ve empedans üçgenlerini tanımlama Seri RL devresinin empdansının kazanç ve faz karakteristiklerini

Detaylı

7. SINIF MATEMATİK TESTİ A. 1. Yandaki eşkenar dörtgensel bölge şeklindeki uçurtma I, II, III ve IV nolu

7. SINIF MATEMATİK TESTİ A. 1. Yandaki eşkenar dörtgensel bölge şeklindeki uçurtma I, II, III ve IV nolu . Yandaki eşkenar dörtgensel bölge şeklindeki uçurtma I, II, III ve IV nolu çıtaların şekildeki gibi birleştirilmesi ile oluşturulmuştur. Aşağıdakilerden hangisindeki çıtalar birbirinin orta dikmesidir?

Detaylı

1. DERECEDEN İKİ BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER

1. DERECEDEN İKİ BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER 1. DERECEDEN İKİ BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER Örnek...3 : 3 x+ y= 5 2x 3 =2 y s i s t e m i n i s a ğ l a ya n y d e ğ e r i k aç t ır? a, b, c R, a 0, b 0, x v e y d e ğ i şk e n o l m a k ü ze r e, a x+ b

Detaylı

CSD-OS İşletim Sistemi Projesi - Fonksiyon Açıklama Standardı

CSD-OS İşletim Sistemi Projesi - Fonksiyon Açıklama Standardı CSD-OS İşletim Sistemi Projesi - Fonksiyon Açıklama Standardı C ve Sistem Programcıları Derneği Kasım 2002 İçindekiler: 1 -GIRIŞ 3 1.1.NEDEN STANDARTLARA IHTIYACIMIZ VAR? 3 2 -İMLA VE YAZIM 3 2.1.TÜRKÇE

Detaylı

kpss ezberbozan serisi MATEMATİK GEOMETRİ SORU BANKASI Eğitimde

kpss ezberbozan serisi MATEMATİK GEOMETRİ SORU BANKASI Eğitimde kpss ezberbozan serisi 2016 MATEMATİK GEOMETRİ SORU BANKASI Eğitimde 29. yıl KOMİSYON KPSS EZBERBOZAN MATEMATİK - GEOMETRİ SORU BANKASI ISBN 978-605-318-360-0 Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu

Detaylı

2013-2014 ATAKÖY CUMHURİYET ANADOLU LİSESİ 9. SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI

2013-2014 ATAKÖY CUMHURİYET ANADOLU LİSESİ 9. SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI 0-0 ATAKÖY CUMHURİYET ANADOLU LİSESİ 9. SINIF MATEMATİK İ YILLIK PLANI Temel Kavramlar 9... Küme kavramını örneklerle açıklar ve kümeleri ifade etmek için farklı gösterimler. 6 EYLÜL 0 EYLÜL Temel Kavramlar

Detaylı