Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download ""

Transkript

1 EK- ANKARA ÜNİVERSİTESİ BİLİMSEL ARAŞTIRMA PROJESİ KESİN RAPORU Dağıtımlı bir sıra tabanlı oun apa zekâsının geliştirilmesi Proje ürütücüsü: Yardımcı araştırmacı: Yrd. Doç. Dr. Şahin Emrah Doç.Dr. İman Askerbeli Yrd.Doç.Dr. Aşe Karaman Öğr.Gör. Bülent Tuğrul Arş.Gör. Yılmaz Ar Proje Numarası: 08A Başlama Tarihi: 0/06/008 Bitiş Tarihi: 0//009 Rapor Tarihi 7/0/00 Ankara Üniversitesi Bilimsel Araştırma Projeleri Ankara - 00

2 I. Dağıtımlı bir sıra tabanlı oun apa zekâsının geliştirilmesi Özet Yapa Zekâ YZ) makinelere düşünmei kazandırmaı hedefleen bilim dalıdır. Oun Yapa ZekâsıOYZ) ise makinelere oun onamaı öğretmei hedefleen bilim dalıdır. Projede Modern Yapa ZekânınYZ) temel modelleri, akıllı sistemlerin teorik altapısı ve pratik örnekleri araştırılıştır. Yapa zekânın tarihi, günümüzde geldiği nokta ve bundan sonraki olası gelişme süreci anlatılmıştır. Bunun anı sıra Oun Yapa Zekâsının OYZ) tarihi, gelişimi ve teorisi incelenmiş, domino ounu için bilgisaarda ugulanmıştır. Domino ounu, bilindiği üzere kişi vea 4 kişi tarafından onanan eski bir oundur. Projede ouncudan birinin bilgisaar olduğu tam olarak kodlaştırılmış ve ugulanmıştır. 4 ouncu varken bilgisaarlar bir ağla birleştirilmiş, ounculardan birinin vea bir kaçının makine olacağı durumun teorik altapısı incelenmiştir. Bunun için bulanık mantık kullanılmış, karşıa çıkan teorik sorular için çözüm öntemi üretilmiş ve bu öntem 009 Ekim TOBB ETÜ de gerçekleştirilen. Uluslar arası Fuzz Sistemler konferansında sunulmuştur.

3 Development of Artificial Intelligence for a Distributed Turn-based Game. Abstract Artificial IntelligenceAI) is a branch of science that aims to make machines 'think'. Game Articicial IntelligenceGAI), in particular, is the science of teaching machines how to pla games. In this project, the fundamentals models of AI, and the theoretical foundations and the practical examples of intelligent sstems were investigated. The past, the current and prospective states of AI were discussed. In addition, the theor of GAI was applied on the dominos game. Dominos is a well-known old game plaed with or 4 plaers. The version of the game with two plaers one being controlled b the computer) on a single machine has been full developed as software. For four plaers one or more artificial plaers ) with network support, the game has been designed and is still at development stage. Fuzz logic was used to resolve some theoretical problems that arose in the design. The methodolog was presented at the st International Fuzz Sstems Conference at TOBB ETÜ in October 009.

4 II.Amaç ve kapsam Projenin amacı bir vea ağla bağlı birkaç bilgisaara, sıra tabanlı bir ounu domino oununu) düşünerek onamaı öğretebilen öntemleri araştırmak ve domino ounun bilgisaar kodunu azmaktır. Bu amaçla Microsoft XNA teknolojisi kullanılmıştır. Bu teknoloji Microsoft tarafından bilgisaar ounlarını geliştirmek ve önetmek için üretilmiştir.

5 III.Materal ve Yöntem A. Zekâ ve Yapa zekâ YZ) Zekâ, bir problemle karşılaştığımızda o problem için çözüm üretebilmemizi sağlaabilen bir etenektir. Problem denince akla mutlaka zor bir soru gelmemelidir, örneğin, su içebilmek için kapalı bir musluğu açmak da basit de olsa bir zekâ işidir. Bu tür bir davranışı en akıllı saabileceğimiz havanlardan bile beklememiz çok zordur. Aslında modern tıp halen düşünmenin ne olduğunu, nasıl gerçekleştiğini çözememiştir. Dolaısıla insan zekâsının tam olarak ne olduğunu, nasıl ölçülebileceğini bilmioruz ama bunu bilmememiz günlük haatımızda karşımıza çıkan üzlerle problemi çözebilmemiz için engel değil. Haatımızı kolalaştırabilen araçlar araba, telefon, televizon, bilgisaar) icat edioruz, bu araçları kullanabilioruz. Bazen satranç, dama, oke vea bilgisaarlardaki strateji ounları gibi ounlar onuoruz ve kazanmaa çalışıoruz. Acaba bu işleri makineler de apabilir mi? 50 ıldan fazladır birçok bilim adamını düşündüren sorulardan biri de şudur: Makineler de insanlar gibi düşünebilirler mi? Makinenin düşünebilme eteneğine apa zekâ denebilir. Yapa zeka üzerine ilk çalışma olarak 943 ılında McCulloch ve Pitts tarafından apılmış Benin Boole cebiri ile modellenmesi çalışması gösterilmektedir. Yapa zekâ kavramı ise bilim adamları tarafından 956 ılında Dartmouth toplantısında kabul edilmiştir. 950 lerden 970 lere kadar olan dönem apa zekâ konusunda büük beklentilerin oluştuğu dönemdir. 950 lerde ilk YZ programları apılmıştır.965 de Robunson mantıksal sonuç çıkarma algoritmasını bulmuştur. 960 ların sonu-970 lerin başında YZ oluşturabilmenin varsaılandan çok daha zor bir iş olduğu fark edilior ve apa sinir ağları çalışmalarından vazgeçilior. 970 lerin sonuna doğru bilgi tabanlı sistemlerin geliştirilmesile Yapa Zeka bir endüstri haline gelior, 986 da Yapa sinir ağları çalışmalarına eniden başlanıor. 987 de Yapa Zeka bir bilim dalı olarak ortaa çıkıor.

6 995 de akıllı sistem ugulamaları, 000 lerde YZ kullanan robotlar haatımıza girior. Yapa zekâda temel aklaşım vardır: -Kuvvetli apa zekâ Makinelerin düşünerek davranış sergilemesi -Zaıf apa zekâ Makinelerin düşünmeden akıllı davranışta bulunması Yapa zekâda 4 temel model vardır: -İnsan gibi düşünen sistemler Bu tür modellerde insan beninin çalışması modellenmektedir. -İnsan gibi davranan modeller Bu tür modellerde insan gibi konuşabilir, insan gibi hareket eder -Rasonel düşünen sistemler Bu modeller mantıksal çıkarımlar apabiliorlar -Rasonel davranan sistemler Bu modeller bir problemle karşılaştıklarında en ugun davranışı sergileen modellerdir B. Oun apa zekâsı Klasik ounlar her zaman apa zekâ araştırmacılarının araştırma konusu olmuştur. Bu tür modellerde genellikle arama ağaçları kullanılmaktadır. Örnek olarak, aşağıdaki ounları gösterelim:. Japonların favori ounu olan Go ounu Go onaan YZ geliştirilmiştir ama ii onaan bir Go ustasını enemeecek bir YZ dir.. Satranç ounu Satranç onaan birçok YZ vardır. IBM Deep Blue 997 de düna satranç şampionu Gar Kasparov u enmiş olsa da halen de mükemmel bir satranç YZ nin var olduğunu sölemek için henüz erkendir. Ticari satranç programlarının büük bir kısmı inelemeli arama ağaçlarını ve ii ouncuların ounlarını kullanmaktadırlar.

7 3. Poker ounu Poker onaan YZ nın eksiği blöf olaıdır. İnsanların kolalıkla apabildiği blöfü makineler apamamaktadır. Günümüzde var olan üksek teknoloji bilgisaar ounlarını hızlı bir biçimde geliştirmektedir. Yalnız artık sadece görsellik üzerine gelişme eterli olmamaktadır. Ounların kalitesini artık kullanılan YZ ler belirlemektedir. Bu nedenle de firmalar YZ geliştirilmesine de para harcamak zorundalar. Buna rağmen ine de bu konuda şöle bir çelişki vardır. Aslında YZ konusunda akademik araştırmalar, ani ounların teorik altapısı, şu anda var olan ticari ounların YZ sına göre çok da ileri konumdadır. Bunun nedeni olarak, apa zekaa arılan kanak azlığını; sinir ağlarına şüphe ile aklaşılmasını; geliştirme sürelerinin azlığı; ileri YZ tekniklerinin kola anlaşılabilir olmamasını gösterebiliriz. Ounlarda kullanılan YZ teknikleri aşağıdakilerdir: Sonlu Durum Makineleri Bulanık Durum Makineleri Genetik Algoritmalar Yapa Yaşam Yapa Sinir Ağları Birim Davranışları C. XNA D ve XNA koordinat sistemi Ounun görselliği için XNA D platformu kullanılmıştır. Sol üst nokta XNA koordinat siteminde orijine denk gelmektedir. X ekseni orijinden sağa doğru çıkan bir ışındır. Y ekseni ise orijinden aşağıa doğru çıkan bir ışındır. 0,0) 04,0) 0,768)

8 D. Domino ounu Ounda 8 tane taş vardır. Her taş çizgile arılan kareden oluşmakta ve her karede den 6 a kadar olan ve 6 dahil olmak üzere) saılardan biri noktalarla aşağıdaki gibi azılmıştır. 0 saısı saısı * saısı * * 3 saısı * * * 4 saısı * * * * 5 saısı * * * * * 6 saısı * * * * * * olarak azılmıştır.

9 İki kişilik oun. İlk seferinde her ouncu 7 taş alıor. Oun sıra ile onanıor. Sırası gelen ouncu bu taşlardan birini açarak diğer taşlarla zincir oluşturacak biçimde masanın üzerine kouor. Zincir anı değerdeki karelerin uç uça gelmesile oluşmaktadır. Sırası geldiğinde hamle apamaan ouncu dağıtılmaan 4 taştan ikisini alıor. Taşlarını ilk bitiren ouncu, rakibinin elinde kalan taşların içeriklerinin toplamı kadar kazanıor. Dört kişilik oun. Tüm taşlar bir masa etrafında oturan 4 kişi arasında eşit palaştırılıor. Karşılıklı oturan kişiler bu ounda ortak oluorlar. Ouncular ine de taşları sırala masaa masadaki taşlarla uç uca zincir oluşturacak biçimde bırakıorlar. Sırası geldiğinde ugun taşı olmaan sırasını kabedior. Ortaklardan biri taşlarının tümünü masaa bıraktığında ounu kazanıorlar ve kazançları rakiplerinin elinde kalan taşların içeriklerinin toplamı kadar oluor. Bir ouncunun taşları bitmeden hiçbir ouncunun koacak taşı kalmazsa bu defa tüm eller açılıor ve elinde toplam içeriği en az olan ortaklar rakiplerinin ellerinde kalan taşların toplam içeriği kadar kazanıorlar.

10 Domino ounu, satranç ounu kadar olmasa da bir zeka ounudur ama anı zamanda satrançtan farklı olarak belirsizlikler içermektedir. Ouncu hamle aparken kendi elindeki ve erdeki taşları görüor. Bunun dışında ouncu erdeki taşların hangisinin kimin koduğunu aklında tutarak bu bilgile ortağının ve rakiplerinin ellerindeki taşları tahmin etmek zorundadır. Bu da ouna bir belirsiklik katmaktadır. Belirsizlikler 3 farklı öntemle modellenebilirler.. Rastlantısal olarak, ani olasılık teorisinin ardımıla. Bulanık manıkla 3. Aralılar teorsisinin ardımıla Bu projede biz bulanık mantık kullandık.

11 IV. Analiz ve Bulgular A.Teorik alt apı çalışması Ounda YZ belli bir anlamda en iisini seçebilmek zorundadır. Belirsizlik ortamında en iinin ne olduğunu tanımlamak gerekmektedir. Domino öle bir oundur ki bu ounu en ii onaabilen bir insanın da kazanmasını garantileebilmesi zordur. Ounun sonucu insanın bu ounu nasıl onaması dışında taşların dağılımını da bağlıdır. Dolaısıla bir belirsizlik vardır. Belirsizliğin modellenmesi için bulanık mantık seçilmesinin nedeni şudur: Olasılık teorisi kullanılmış olsadı en ii durumda gelen taşarın durumunda ouncunun kazanması olasılığını hesaplaabilirdik vea ortalama kazancı bulmuş olurduk. Osaki bizim amacımız YZ aratmaktı ani belirsizlik ortamında bilgisaarın karar verebilmesini sağlamaktı. Başka bir deimle bilgisaarın anen bir insan gibi davranmasını sağlamaa çalıştık. Belirsizlik ortamında karar vermee çalışan insan da kendisi için en iisini seçmee çalışıor ama ne azık ki en iinin ne olduğunu tam olarak bilemior. Bu çalışmalar bizi bulanık fonksionların tanımına, sürekliliğine ve özellikle çok değişkenli bulanık fonksionların analizine çıkardı. Bulanık kümeler teorisi ilk defa Zadeh tarafından 965 de ortaa atılmış, bu gün çok popüler bir teori olsa da ilk ıllar bilim insanları tarafından fazla rağbet görmemiştir. Teknolojinin gelişmesi ile bulanık mantık belirsizliklerin modellenmesi için daha çok kullanılmaa başlamıştır ama her model matematik altapı gerektirmektedir. Ne azık ki bulanık kümeler teorisinin ugulamada olduğu kadar oturuşmuş bir matematiksel teorisi bulunmamaktadır. Projede bu altapı üzerine araştırmalar apılmıştır. Araştırma sonuçlarından biri olan A novel approach to definition of fuzz functions makalesi Communications dergisinde aın için kabul edilmiştir.[0]

12 B. Bulanık koordinatlar Bulanık saıların en populeri üçgensel bulanık saılardır. Bu saılar, = a, b, c) ile gösterilir ve bu saıların üelik fonksionları aşağıdaki gibi tanımlanır: x a, a x b b a µ x) = x c, b x c b c Burada b a, b c. a reel saısını a, a, a) üçgensel bulanık saı olarak düşünebiliriz. Verilen [ 0,] α olabilirliği için = a, b, c) üçgensel saısının α kesiti sırasıla L α) = a+ α b a) ve R α) = c+ α b c) ile hesaplanır. Tanım. = a, b, c) üçgensel saısı verilmiş olsun. cr = b saısına saısının kesin kısmı denir. Aşağıdaki tanımlarda = a, b, c) ve = d, e, f ) üçgensel bulanık saılardır. Tanım. = olması için ancak ve ancak Tanım3. + = a+ d, b+ e, c+ f ) Tanım 4. ka, kb, kc), k 0 k = kc, kb, ka), k< 0 a = d, c= f, b= e olmalıdır. Tanım 5. = + ) Tanım 6. D ve F bulanık kümeler olsun. µ Dx) ve µ F x) sırasıla D ve F kümelerinin üelik fonksionları G= x, ) x D, F, µ x, ) = min µ x), µ )) kümesine D ve F olsu { G D F } kümelerinin kartezen çarpımı denir ve G= D F ile gösterilir. = a, b, c ) ve = a, b, c ) bulanık üçgensel saılar verilmiş olsun. x x x x Köşeleri A, ) ax a, A, ) ax c, A, ) 3 cx c, A, ) 4 cx a olan A A A3 A 4 dikdörtgeni XY koordinat sisteminde, = a, b, c ) ve = a, b, c ) bulanık saılar x x x x ikilisini ifade etmektedir. Bu dikdörtgenin B b, b ) noktası, derecesi olan noktaa karşılık gelmektedir. B bx, b ) noktasına A A A3 A 4 dikdörtgeninin kesin merkezi dielim ve S B ) ile gösterelim. XY koordinat sisteminde her x

13 = a, b, c ), = a, b, c ) ) ikilisi için sadece bir tane S B) dikdörtgeni vardır x x x x ve tam tersi her S B ) dikdörtgeni sadece bir tane = a, b, c ), = a, b, c ) ) bulanık üçgen saı ikilisi belirlemektedir. Bu x x x x nedenle S B) dikdörtgenine koordinatları, ) olan bulanık dikdörtgennokta) dielim ve S %, ) ile gösterelim. x x x e S % in apsisi ve e ordinatı denir. C. Bulanık Fonksionlar Bulanık üçgensel saılar kümesini E ile gösterelim. We call function, defined in ~ ~ A E kümesinden B E kümesine bulanık ~ f fonsionunu tanımlaalım ve ~ = ~ f ~ x) ile gösterelim. Örnek. üçgensel saıdır. ~ ~ f ~ x ~ ~ ) = x + b bulanık fonksion olsun. Burada b =,,3 ) verilen Genel durumda, k verilen reel saı ve b ~ verilen üçgensel saı ise ~ ~ f ~ x) = kx ~ + b ) bulanık fonksiondur. Koordinat sisteminde ~ x, ~ ) ikilisine karşılık gelen ~ S ~ x, ~ ) dikdörtgenlerinin geometric eri ~ f bulanık fonksionlarının grafiğidir, burada ~ ~ ~ ~ = f x) dir. S ~ x, ~ ) dikdörtgenlerinin kesin merkezlerinin geometrik erine bulanık fonksionun ana örüngesi denir. Not edelim ki ana örünge klasik anlamda bulanık fonksion olmak zorunda değil.. Bunu aşağıdaki örnekte görebiliriz. ~ ~ =,3,4),,3,5) B =,3,5),,4,6) bulanık saılar kümeleri olsun. Örnek. A { } ve { } ~ ~ ~ f : A B fonksionunu ~ f,3,4)) =,3,5) ~ f,3,5)) =,4,6) ile tanımlaalım. Bu durumda f ~ fonksonun grafiği aşağiki dibidir:

14 x Şekil Göründüğü gibi bu örnekte ana örünge { 3,3),3,4) } tanımlamamktadır. bir fonksion Tanım 7. Eğer = a, b, c ) ve = a, b, c) üçgensel saıları için a a, b b, c c koşullarının üçü de sağlanıorsa ve üçgensel saılarına ciddi farklı üçgensel saılar denir A ~ kümesi ciddi farklı üçgensel saılar kümesi olsun. Şimdi A ~ kümesinde tanımlı bulanık fonksionların ana örüngesi de bir fonksion olacaktır. E E kümesinde tanımlı d fonksionu aşağıdaki gibi tanımlaalım: Tanım 8. = a, b, ) ve = a, b, ) üçgensel saıları için,, ) c d = a a + b b + c c Önerme. d, ) metrik bir fonsiondur. c İspat d, ) 0 ve d, ) = 0 doğru ise = olduğu açıktır. Kolalıkla d, ) = d, ) olduğunu görebiliriz. = a, b, ), = a, b, ) ve = a, b, ) c olsun. Buradan, 3) c d = a a + b b + c c a c3 a + a a3 + b b + b b3 + c c + c c3 = d, ) + d, 3)

15 Tanım 9. A ~ kümesi ciddi farklı üçgensel saılar kümesi olsun. Aşağıdaki işaretlemei kullanalım: = { = % }, a = sup { a a, b, c) = A % } a inf a a, b, c) A = { = % }, b = sup { b a, b, c) = A % } b inf b a, b, c) A = { = % }, c = sup { c a, b, c) = A % } c inf c a, b, c) A Eğer her a a, a ), b b, b ) ve c c, c ) için = a, b, c) A ~ ise A ~ kümesine sıkı bulanık küme denir. Tanım 0. A ~ ve B ~ bulanık üçgensel saılar kümesi olsun. A ~ kümesi sıkı bulanık küme ve ~ f : A ~ B ~ bulanık fonksion olsun. A ~ alalım. Eğer her ε > 0 için öle bir δ > 0 varsa ki d, ) < δ koşulunu sağlaan her üçgensel saısı için ~ d ~ f ), f )) <ε eşitsizliğinin doğru oluor, ~ f fonksionuna için sürekli fonksion denir. Eğer ~ f fonksionu her A ~, için sürekli ise f~ fonksionu A ~ kümesinde süreklidir denir. Önerme. A ~ kümesinde sürekli f ~ fonksionunun ana örüngesi de sürekli fonksiondur. Bu önermenin ispatı [] de verilmiştir. Önerme e gore sürekli f ~ fonksionu aşağıdaki gibi açıklanabilir: Sürekli bir ana örünge üzerinde sürekli hareket eden dikdörtgenler vardırşekil.). Şekil. x

16 Örneğin, ana örüngesi aşağıdaki şekil3 de verilen f ~ fonksionu için ~ f 4,5,6))=4,6,8) olsun. Şekil.3) Şekil x Şekil 3 den görüldüğü gibi 0,5 olabilirlikli x= 4, 5 için ~ f fonksionu [4,8] aralığından çeşitli olabilirlikte değer almaktadır. Örneğin, ~ f 4,5;0,5) = 4;0 ~ f 4,5;0,5) = 5;0,5 ~ f 4,5;0,5) = 6; ~ f 4,5;0,5) = 7;0,5 ~ f 4,5;0,5) = 8;0

17 D.Domino ounu Yapa zekâ algoritması Giriş verileri: Hamle sırası geldiğinde elindeki taşlar ve masada açılmış taşlar Oun stratejisi: i. hamlede bilgisaar fi) bulanık fonksionun değerlerini ve olabilirliklerini değerlendirir. Olabilirliği en üksek olan ama elindeki toplam değeri minimize edecek taşı onar

18 V. Sonuç ve Öneriler Proje sonucunda aşağıdakiler apılmıştır:. Domino onaan apa zekâ tasarımı. Bulanık mantığa daalı apa zekâ modeli 3. Teorik altapı çalışmaları 4. kişilik domino ounun tasarımı ve kodlaştırılması 5. kişilik domino ounun görsel sunumu 6. 4 kişilik ounun tasarımı ve kodlaştırılması Projede araştırılan konu çok kapsamlıdır ve daha arıntılı araştırılabilmesi için daha büük bütçe, zaman ve uzmanlaşmış kişilerin güç birliği gerekmektedir.. Dünada oun apa zekası üretmee çalışan bir çok merkezler vardır ama bu merkezlerde teorik araştırmalardan daha çok pratik işlemler apılmaktadır. Örneğin, oun onaabilen robotlar üretilior. Doğal olarak robotun ounu en ii onaabilmesi hedeflenmektedir ama ilk aşamada robotun en ii şekilde onaabilmesinden daha çok herhangi bir şekilde onaabilmesi sağlanmaktadır. Gelecekte, üniversitemizde bilgisaar mühendisliği bölümünün gelişmesi ve genişlemesile apa zekâ grubu oluşturulabilir. Bu bağlamda bu proje ilk adım olarak değerlendirilebilir

19 VI. Kanaklar [] Zadeh L.A., Inf. Control 8 965) []Sugeno M.,Yasukawa T, IEEE Transactions on Fuzz Sstems ), 993) 7 3 [3] Takagi T., Sugeno M., IEEE Trans. Sst. Man Cbern. SMC-5 )985) 6 3. [4] Tanaka H., Fuzz Sets Sst. 4 99) [5] Mamdani E.H., Assilian S, in: Mamdani E.H., Gains B.R. Eds.), Fuzz Reasoning and Its Applications, Academic Press, New York, 98, pp [6] Türkşen I.B., Applied Soft Computing 8 008) [7] Demirci M., Fuzz Sets Sst ) [8] Sasaki M., Fuzz sets and sstems 55993),95-30 [9]Şahin Emrah, Iman Askerzade Fuzz Extreme of the Multivariable Crisp Functions Defined on Fuzz Domain,Proceedings. pp st International Fuzz Sstems Smposium FUZZYSS'09) [0] Şahin Emrah Amrahov, İ.N.Askerzade A novel approach to definition of fuzz functions Communications,Vol 59, issue,00 [] Luger, George; Stubblefield, William 004). Artificial Intelligence: Structures and Strategies for Complex Problem Solving 5th ed.). The Benjamin/Cummings Publishing Compan, Inc.. ISBN [] Nilsson, Nils 998). Artificial Intelligence: A New Snthesis. Morgan Kaufmann Publishers. ISBN [3] Russell, Stuart J.; Norvig, Peter 003), Artificial Intelligence: A Modern Approach nd ed.), Upper Saddle River, New Jerse: Prentice Hall, ISBN [4] Poole, David; Mackworth, Alan; Goebel, Rand 998). Computational Intelligence: A Logical Approach. New York: Oxford Universit Press. [5] Winston, Patrick Henr 984). Artificial Intelligence. Reading, Massachusetts: Addison-Wesle. ISBN

20 VII. Ekler A. Mali Bilanço ve Açıklamaları Bütçe kodu Ödenek adı Gelir miktarı Gider miktarı Proje Bütçesi Proje No 08A G-03- Tüketime Yönelik Mal ve Malzeme Alımları A G-03-3 Yolluklar A G-03-5 Hizmet Alımları Menkul Mal, Garimaddi Hak Alımları, 08A G-03-7 Bakım ve Onarım Toplam B. Makine ve Teçhizatın konumu ve İlerideki Kullanımına Dair Açıklamalar Proje kapsamında harcanan lira ile alınan bilgisaar ve azıcı Bilgisaar Mühendisliği bölümünde proje öneticisi Şahin Emrah ın odasında ve kullanımındadır. İleride de bilimsel araştırma amacıla kullanılması düşünülmektedir.

DERS 2. Fonksiyonlar

DERS 2. Fonksiyonlar DERS Fonksionlar.1. Fonksion Kavramı. Her bilim dalının önemli bir işlevi, çeşitli nesneler vea büüklükler arasında eşlemeler kurmaktır. Böle bir eşleme kurulması tahmin ürütme olanağı verir. Örneğin,

Detaylı

2. Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler x 2 2x + 2m + 1 = 0 denkleminin kökleri x 1 ve x 2 dir. 4x 1 + 5x 2 = 7 ise m aşağıdakilerden hangisidir?

2. Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler x 2 2x + 2m + 1 = 0 denkleminin kökleri x 1 ve x 2 dir. 4x 1 + 5x 2 = 7 ise m aşağıdakilerden hangisidir? MC www.matematikclub.com, 006 Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir3@ahoo.com.tr. Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler- TEST I A) 1 B) C) 3 D) 4 E) 5 1. 1/ = 0 denkleminin köklerinin toplamı aşağıdakilerden

Detaylı

91-03-01-517 YAPAY ZEKA (Artificial Intelligence)

91-03-01-517 YAPAY ZEKA (Artificial Intelligence) 91-03-01-517 YAPAY ZEKA (Artificial Intelligence) Dersi Veren Öğretim Üyesi Y. Doç. Dr. Aybars UĞUR Ders Web Sayfası : http://yzgrafik.ege.edu.tr/~ugur 27.09.2009 Y. Doç. Dr. Aybars UĞUR (517 Yapay Zeka)

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Murat ÖZDEMİR İÇİNDEKİLER HEDEFLER GRAFİK ÇİZİMİ. Simetri ve Asimtot Bir Fonksiyonun Grafiği

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Murat ÖZDEMİR İÇİNDEKİLER HEDEFLER GRAFİK ÇİZİMİ. Simetri ve Asimtot Bir Fonksiyonun Grafiği HEDEFLER İÇİNDEKİLER GRAFİK ÇİZİMİ Simetri ve Asimtot Bir Fonksionun Grafiği MATEMATİK-1 Prof.Dr.Murat ÖZDEMİR Bu ünitei çalıştıktan sonra; Fonksionun simetrik olup olmadığını belirleebilecek, Fonksionun

Detaylı

Fonksiyonlar ve Grafikleri

Fonksiyonlar ve Grafikleri Fonksionlar ve Grafikleri Isınma Hareketleri Aşağıda verilenleri inceleiniz. A f f(a) 7 çocuk baan f: Çocukları annelerine götürüor. Fonksion olma şartı: Her çocuğun annesi olmalı ve bir tane olmalı. (

Detaylı

NÜMERİK ANALİZ. Sayısal Yöntemlerin Konusu. Sayısal Yöntemler Neden Kullanılır?!! Denklem Çözümleri

NÜMERİK ANALİZ. Sayısal Yöntemlerin Konusu. Sayısal Yöntemler Neden Kullanılır?!! Denklem Çözümleri Saısal Yöntemler Neden Kullanılır?!! NÜMERİK ANALİZ Saısal Yöntemlere Giriş Yrd. Doç. Dr. Hatice ÇITAKOĞLU 2016 Günümüzde ortaa konan problemlerin bazılarının analitik çözümleri apılamamaktadır. Analitik

Detaylı

Örnek...1 : f (x)=2x 2 5x+6 parabolü K(2,p) noktasından geçiyorsa p kaçtır? Örnek...2 : Aşağıda çeşitli parabol grafikleri verilmiştir incele yi niz.

Örnek...1 : f (x)=2x 2 5x+6 parabolü K(2,p) noktasından geçiyorsa p kaçtır? Örnek...2 : Aşağıda çeşitli parabol grafikleri verilmiştir incele yi niz. a, b,c R,a 0 olmak koşulula f ()=a 2 +b+c fonksionuna ikinci dereceden bir değişkenli fonksion ve bu fonksionun belirttiği eğrie de parabol denir. Uarı ir parabolün grafiği başkatsaı olan a saısına bağlı

Detaylı

Gelecek için hazırlanan vatan evlâtlarına, hiçbir güçlük karşısında yılmayarak tam bir sabır ve metanetle çalışmalarını ve öğrenim gören

Gelecek için hazırlanan vatan evlâtlarına, hiçbir güçlük karşısında yılmayarak tam bir sabır ve metanetle çalışmalarını ve öğrenim gören Gelecek için hazırlanan vatan evlâtlarına, hiçbir güçlük karşısında ılmaarak tam bir sabır ve metanetle çalışmalarını ve öğrenim gören çocuklarımızın ana ve babalarına da avrularının öğreniminin tamamlanması

Detaylı

DERS 5. Çok Değişkenli Fonksiyonlar, Kısmi Türevler

DERS 5. Çok Değişkenli Fonksiyonlar, Kısmi Türevler DERS 5 Çok Değişkenli Fonksionlar Kısmi Türevler 5.1. Çok Değişkenli Fonksionlar. Reel saılar kümesi R ile gösterilmek üere ve her n için olarak tanımlanır. R R 3 {( ): R} = {( ) : R} = {( L ): L R} n

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Matematk Deneme Sınavı. abba dört basamaklı, ab iki basamaklı doğal saıları için, abba ab. a b eşitliğini sağlaan kaç farklı (a, b) doğal saı ikilisi vardır? 7 olduğuna göre, a b toplamı kaçtır? 9.,,

Detaylı

Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi ye Ku ru lu Baş kan lı ğı nın 24.08.2011 ta rih ve 121 sa yı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve 2011-2012

Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi ye Ku ru lu Baş kan lı ğı nın 24.08.2011 ta rih ve 121 sa yı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve 2011-2012 Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi e Ku ru lu Baş kan lı ğı nın.8. ta rih ve sa ı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve - Öğ re tim Yı lın dan iti ba ren u gu lana cak olan prog ra ma gö re ha zır

Detaylı

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ. Bu testte 50 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan

Detaylı

Chapter 1 İçindekiler

Chapter 1 İçindekiler Chapter 1 İçindekiler Kendinizi Test Edin iii 10 Birinci Mertebeden Diferansiel Denklemler 565 10.1 Arılabilir Denklemler 566 10. Lineer Denklemler 571 10.3 Matematiksel Modeller 576 10.4 Çözümü Olmaan

Detaylı

DERS 8. Artan ve Azalan Fonksiyonlar, Konkavlık, Maksimum ve Minimum

DERS 8. Artan ve Azalan Fonksiyonlar, Konkavlık, Maksimum ve Minimum DERS 8 Artan ve Azalan Fonksionlar, Konkavlık, Maksimum ve Minimum 8.. Artan ve Azalan Fonksionlar. Bir fonksionun vea onun grafiğinin belli bir aralık üzerinde artan vea azalan olmasının ne anlama geldiği

Detaylı

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür.

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür. - 1 - ÖĞRENME ALANI CEBİR BÖLÜM KARMAŞIK SAYILAR ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Karmaşık Sayılar Karmaşık Sayıların Kutupsal Biçimi KARMAŞIK SAYILAR Kazanım 1 : Gerçek sayılar kümesini genişletme gereğini örneklerle

Detaylı

1-A. Adı Soyadı. Okulu. Sınıfı LYS-1 MATEMATİK TESTİ. Bu Testte; Toplam 50 Adet soru bulunmaktadır. Cevaplama Süresi 75 dakikadır.

1-A. Adı Soyadı. Okulu. Sınıfı LYS-1 MATEMATİK TESTİ. Bu Testte; Toplam 50 Adet soru bulunmaktadır. Cevaplama Süresi 75 dakikadır. -A Adı Soadı kulu Sınıfı LYS- MATEMATİK TESTİ Bu Testte; Toplam Adet soru bulunmaktadır. Cevaplama Süresi 7 dakikadır. Süre bitiminde Matematik Testi sınav kitapçığınızı gözetmeninize verip Geometri Testi

Detaylı

Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Parabol Denkleminin Yazılması

Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Parabol Denkleminin Yazılması www.mustafaagci.com.tr, 11 Cebir Notları Mustafa YAĞCI, agcimustafa@ahoo.com Parabol Denkleminin Yazılması B ir doğru kaç noktasıla bellidi? İki, değil mi Çünkü tek bir noktadan geçen istediğimiz kadar

Detaylı

DERS 2. Fonksiyonlar - I

DERS 2. Fonksiyonlar - I DERS Fonksionlar - I.1. Fonksion Kavramı. Her bilim dalının önemli bir işlevi, çeşitli nesneler vea büüklükler arasında eşlemeler kurmaktır. Böle bir eşleme kurulması belli büüklükleri belirleme vea tahmin

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖNERMELER BİLEŞİK ÖNERMELER AÇIK ÖNERMELER İSPAT YÖNTEMLERİ

İÇİNDEKİLER ÖNERMELER BİLEŞİK ÖNERMELER AÇIK ÖNERMELER İSPAT YÖNTEMLERİ - MANTIK İÇİNDEKİLER Safa No Test No ÖNERMELER...-... - BİLEŞİK ÖNERMELER...-... -6 AÇIK ÖNERMELER...-6... 7-8 İSPAT YÖNTEMLERİ...7-8... 9-9 - KÜMELER KÜMELERDE TEMEL KAVRAMLAR...9-4... - KÜMELERDE İŞLEMLER...5-6...

Detaylı

Bu kitabın tüm basım ve yayın hakları Ömer ALSAN a. aittir. Kısmen de olsa alıntı yapılamaz. Metin ve sorular,

Bu kitabın tüm basım ve yayın hakları Ömer ALSAN a. aittir. Kısmen de olsa alıntı yapılamaz. Metin ve sorular, Bu kitabın tüm basım ve aın hakları Ömer ALSAN a aittir. Kısmen de olsa alıntı apılamaz. Metin ve sorular, Ömer ALSAN ın önceden izni olmaksızı n elektronik, mekanik, fotokopi a da herhangi bir kaıt sistemile

Detaylı

A A A A A A A A A A A

A A A A A A A A A A A LYS MATEMATİK TESTİ. Bu testte 5 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan kısmına işaretleiniz.. - - ^- h + c- m - (-5 )-(- ) işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) D) 5 E).

Detaylı

DERS 6. Çok Değişkenli Fonksiyonlarda Maksimum Minimum

DERS 6. Çok Değişkenli Fonksiyonlarda Maksimum Minimum DERS Çok Değişkenli onksionlarda Maksimum Minimum.. Yerel Maksimum Yerel Minimum. z denklemi ile tanımlanan iki değişkenli bir onksionu ve bu onksionun tanım kümesi içinde ab R verilmiş olsun. Tanım. Eğer

Detaylı

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar 61. y = 2 in grafiğinin büzülmesiyle de elde

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar 61. y = 2 in grafiğinin büzülmesiyle de elde DERS 4 Üstel ve Logaritmik Fonksionlar, Bileşik Faiz 4.. Üstel Fonksionlar. > 0, olmak üzere fonksiona taanında üstel fonksion denir. f = ( ) denklemi ile tanımlanan gösterimi ile ilgili olarak, okuucunun

Detaylı

12. SINIF. Fonksiyonlar - 1 TEST. 1. kx + 6 fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre aşağıdakilerden hangisidir? k. = 1 olduğuna göre k. kaçtır?

12. SINIF. Fonksiyonlar - 1 TEST. 1. kx + 6 fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre aşağıdakilerden hangisidir? k. = 1 olduğuna göre k. kaçtır? . SINIF M Fonksionlar. f ( + a ) + vef( ) 7 olduğuna göre a kaçtır? E) TEST. f ( ) k + 6 fonksionu sabit fonksion olduğuna f ( ) göre aşağıdakilerden k E). f( ) 6 k ve f ( ) olduğuna göre k kaçtır? E)

Detaylı

Ders 7: Konikler - Tanım

Ders 7: Konikler - Tanım Ders 7: Konikler - Tanım Şimdie kadar nokta ve doğrular ve bunların ilişkilerini konuştuk. Bu derste eni bir kümeden söz edeceğiz: kuadrikler ve düzlemdeki özel adı konikler. İzdüşümsel doğrular, doğrusal

Detaylı

PARABOL. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu

PARABOL. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu PARABL Bu bölümde birinci dereceden fonksion =f()=a+b ve ikinci dereceden fonksion =f()=a +b+c grafiklerini üzesel olarak inceleeceğiz. f()=a +b+c ikinci dereceden bir bilinmeenli polinom fonksionun grafiği

Detaylı

ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR

ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR Fonksionlar ve Özel Tanımlı Fonksionlar Özel tanımlı fonksionlar konusu fonksionların alt bir dalıdır. Bu konuu daha ii anlaabilmemiz için fonksionlar ile ilgili bilgilerimizi

Detaylı

ANKARA ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ

ANKARA ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ ANKARA ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ SANAL ARTIRILMIŞ VE AKILLI TEKNOLOJİLER (SAAT) LABORATUVARI SAAT Laboratuvarı Koordinatör: Yrd. Doç. Dr. Gazi Erkan BOSTANCI SAAT

Detaylı

BİLECİK ŞEYH EDEBALİ ÜNİVERSİTESİ AKADEMİK ÖZGEÇMİŞ FORMU

BİLECİK ŞEYH EDEBALİ ÜNİVERSİTESİ AKADEMİK ÖZGEÇMİŞ FORMU BİLECİK ŞEYH EDEBALİ ÜNİVERSİTESİ AKADEMİK ÖZGEÇMİŞ FORMU KİŞİSEL BİLGİLER Adı Soyadı Tolga YÜKSEL Ünvanı Birimi Doğum Tarihi Yrd. Doç. Dr. Mühendislik Fakültesi/ Elektrik Elektronik Mühendisliği 23.10.1980

Detaylı

Örnek...1 : Örnek...2 : Örnek...3 : A={0,1,2} kümesinden reel sayılara tanımlı f(x)=x² x fonksiyonu bire bir midir? Örnek...4 :

Örnek...1 : Örnek...2 : Örnek...3 : A={0,1,2} kümesinden reel sayılara tanımlı f(x)=x² x fonksiyonu bire bir midir? Örnek...4 : FONKSİYONLAR BÖLÜM 4 FONKSİYON TÜRLERİ: BİRE BİR FONKSİYON Bir fonksionun grafiğinden bire bir olup olmadığını anlamak için verilen tanım aralığında çizilen ata doğruların sadece bir defa grafiği kesmesini

Detaylı

FONKSİYONLAR FONKSİYONLAR... 179 198. Sayfa No. y=f(x) Fonksiyonlar Konu Özeti... 179. Konu Testleri (1 8)... 182. Yazılıya Hazırlık Soruları...

FONKSİYONLAR FONKSİYONLAR... 179 198. Sayfa No. y=f(x) Fonksiyonlar Konu Özeti... 179. Konu Testleri (1 8)... 182. Yazılıya Hazırlık Soruları... ÜNİTE Safa No............................................................ 79 98 Fonksionlar Konu Özeti...................................................... 79 Konu Testleri ( 8)...........................................................

Detaylı

MATEMATİK MATEMATİK-GEOMETRİ SINAVI LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 08

MATEMATİK MATEMATİK-GEOMETRİ SINAVI LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 08 LİSNS YRLŞTİRM SINVI- MTMTİK-GMTRİ SINVI MTMTİK TSTİ SRU KİTPÇIĞI 08 U SRU KİTPÇIĞI LYS- MTMTİK TSTİ SRULRINI İÇRMKTİR. . u testte 0 soru vardýr. MTMTİK TSTİ. evaplarýnýzý, cevap kâðýdýnın Matematik Testi

Detaylı

1997 ÖSS Soruları. 5. Rakamları birbirinden farklı olan üç basamaklı en büyük doğal sayı aşağıdakilerden hangisi ile kalansız bölünebilir?

1997 ÖSS Soruları. 5. Rakamları birbirinden farklı olan üç basamaklı en büyük doğal sayı aşağıdakilerden hangisi ile kalansız bölünebilir? 997 ÖSS Soruları. ( ) + ( ).( ) işleminin sonucu kaçtır? ) ) ) ) 8 6 ) 6. Rakamları birbirinden farklı olan üç basamaklı en büük doğal saı aşağıdakilerden hangisi ile kalansız bölünebilir? ) ) 9 ) 6 )

Detaylı

2005 ÖSS Soruları. 5. a, b, c gerçel sayıları için 2 a = 3 3 b = 4 4 c = 8 olduğuna göre, a.b.c çarpımı kaçtır?

2005 ÖSS Soruları. 5. a, b, c gerçel sayıları için 2 a = 3 3 b = 4 4 c = 8 olduğuna göre, a.b.c çarpımı kaçtır? . + c m 9 + c9 m 9 9 20 ) ) 9 ) 27 ) ) 82 9 5. a, b, c gerçel saıları için 2 a = b = c = 8 olduğuna göre, a.b.c çarpımı kaçtır? ) ) 2 ) ) ) 5 6. a, b, c gerçel saıları için, a.c = 0 a.b 2 > 0 2. 2 2 +

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Tekrar Zamanı TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU ÇÖZÜMLÜ TEST 1... 52 ÇÖZÜMLÜ TEST 2... 54 MAKS. - MİN. PROBLEMLERİ. Uygulama Zamanı 1...

İÇİNDEKİLER. Tekrar Zamanı TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU ÇÖZÜMLÜ TEST 1... 52 ÇÖZÜMLÜ TEST 2... 54 MAKS. - MİN. PROBLEMLERİ. Uygulama Zamanı 1... İÇİNDEKİLER TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU Teğet ve Normal Doğruların Eğimi... Teğet Doğrusunun Eğim Açısı... Teğet ve Normal Denklemleri... Eğrinin Teğetine Paralel ve Dik Doğrular... Grafikte Teğet I... 5

Detaylı

Gelecek için hazırlanan vatan evlâtlarına, hiçbir güçlük karşısında yılmayarak tam bir sabır ve metanetle çalışmalarını ve öğrenim gören

Gelecek için hazırlanan vatan evlâtlarına, hiçbir güçlük karşısında yılmayarak tam bir sabır ve metanetle çalışmalarını ve öğrenim gören Gelecek için hazırlanan vatan evlâtlarına, hiçbir güçlük karşısında ılmaarak tam bir sabır ve metanetle çalışmalarını ve öğrenim gören çocuklarımızın ana ve babalarına da avrularının öğreniminin tamamlanması

Detaylı

Önermeler mantığındaki biçimsel kanıtlar

Önermeler mantığındaki biçimsel kanıtlar Önermeler mantığındaki biçimsel kanıtlar David Pierce 26 Aralık 2011, saat 11:48 Bu yazının ana kaynakları, Burris in [1] ve Nesin in [4] kitapları ve Foundations of Mathematical Practice (Eylül 2010)

Detaylı

Mustafa YAĞCI, Parabol ile Eğrilerin Kesişimi

Mustafa YAĞCI, Parabol ile Eğrilerin Kesişimi www.mustafaagci.com.tr, 11 Ceir Notları Mustafa YAĞCI, agcimustafa@ahoo.com Paraol ile Eğrilerin Kesişimi P araol İle Doğrunun Birirlerine Göre Durumları. Aslında sadece paraol ve doğru çifti için değil,

Detaylı

PARABOL Test -1. y x 2x m 1 parabolü x eksenini kesmiyorsa m nin alabileceği değerler kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

PARABOL Test -1. y x 2x m 1 parabolü x eksenini kesmiyorsa m nin alabileceği değerler kümesi aşağıdakilerden hangisidir? PROL est -. m parabolü eksenini kesmiorsa m nin alabileceği değerler kümesi aşağıdakilerden hangisidir?. f a b c (, ) ) (, ) (, ) (, ) ( 6, ). m parabolü eksenini iki farklı noktada kesmektedir. una göre,

Detaylı

LYS GENEL KATILIMLI TÜRKİYE GENELİ ONLİNE DENEME SINAVI

LYS GENEL KATILIMLI TÜRKİYE GENELİ ONLİNE DENEME SINAVI LYS GENEL KATILIMLI TÜRKİYE GENELİ ONLİNE DENEME SINAVI LYS- MATEMATİK (MF-TM). Bu testte Matematik ile ilgili soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan kısmına işaretleiniz..

Detaylı

ANALİZ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

ANALİZ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI ÖABT ANALİZ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Yasin ŞAHİN ÖABT ANALİZ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Her hakkı saklıdır. Bu kitabın tamamı a da bir kısmı, azarın izni olmaksızın, elektronik, mekanik,

Detaylı

8. SINIF MATEMATİK A. 4. Bir basketbol sahasında orta yuvarlak denilen 2 olan dairesel bölgenin

8. SINIF MATEMATİK A. 4. Bir basketbol sahasında orta yuvarlak denilen 2 olan dairesel bölgenin . (- 3) -2 saısı aşağıdaki saılardan hangisi ile çarpılırsa sonuç 3 olur? 3 3 B) 3 C) 3 2 D) ( ) - 3-3 4. Bir basketbol sahasında orta uvarlak denilen ve alanı 9, 72 m 2 olan dairesel bölgenin çapı kaç

Detaylı

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ. Bu testte 50 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan

Detaylı

SAYISAL BÖLÜM. 5. a, b, c gerçel sayıları için. 2 a = 3. 3 b = 4. 4 c = 8. olduğuna göre, a b c çarpımı kaçtır? 6. a, b, c gerçel sayıları için

SAYISAL BÖLÜM. 5. a, b, c gerçel sayıları için. 2 a = 3. 3 b = 4. 4 c = 8. olduğuna göre, a b c çarpımı kaçtır? 6. a, b, c gerçel sayıları için SYISL ÖLÜM ĐKKT! U ÖLÜM VPLYĞINIZ TPLM SRU SYISI 90 IR. Đlk 45 soru Matematiksel Đlişkilerden Yararlanma Gücü, Son 45 soru Fen ilimlerindeki Temel Kavram ve Đlkelerle üşünme Gücü ile ilgilidir. şit ğırlık

Detaylı

FONKSİYONLAR ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT

FONKSİYONLAR ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT FONKSİYONLAR ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİT Fonksionlar. Kazanım : Fonksion kavramı, fonksion çeşitleri ve ters fonksion kavramlarını açıklar.. Kazanım : Verilen bir fonksionun artan, azalan ve sabit

Detaylı

Yard. Doç. Dr. İrfan DELİ. Matematik

Yard. Doç. Dr. İrfan DELİ. Matematik Unvanı Yard. Doç. Dr. Adı Soyadı İrfan DELİ Doğum Yeri ve Tarihi: Çivril/Denizli -- 06.04.1986 Bölüm: E-Posta Matematik irfandeli20@gmail.com, irfandeli@kilis.edu.tr AKADEMİK GELİŞİM ÜNİVERSİTE YIL Lisans

Detaylı

YARDIRMALI MATEMATİK TÜREV FASİKÜLÜ

YARDIRMALI MATEMATİK TÜREV FASİKÜLÜ YRIRMLI MTEMTİK TÜREV FSİKÜLÜ Maksimum-Minimum Problemleri MESUT ERİYES MKSİMUM - MİNİMUM PROLEMLERİ Maksimum ve minimum problemlerini çözmek için şu kurallar ugulanır; 1) Maksimum a da minimum olması

Detaylı

BÖLÜM 24 TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI

BÖLÜM 24 TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI YILLAR 966 967 968 969 97 97 97 975 976 977 978 980 98 98 98 98 985 986 987 988 989 990 99 99 99 99 995 996 997 998 006 007 ÖSS / ÖSS-I ÖYS / ÖSS-II 5 6 6 5

Detaylı

TÜRKİYE GENELİ DENEME SINAVI LYS - 1 MATEMATİK

TÜRKİYE GENELİ DENEME SINAVI LYS - 1 MATEMATİK TÜRKİY GNLİ SINVI LYS - 1 7 MYIS 017 LYS 1 - TSTİ 1. u testte 80 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan kısmına işaretleiniz. + k+ n 15 + 10 1. : = + 6 16 + 8 0 + 8 olduğuna

Detaylı

A A A A A A A A A A A

A A A A A A A A A A A LYS MTEMTİK TESTİ. Bu testte soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan kısmına işaretleiniz.. d + n - d + n d - + n- d + + n işleminin sonucu kaçtır?., R olmak üzere, + +

Detaylı

MÜFREDAT DERS LİSTESİ

MÜFREDAT DERS LİSTESİ MÜFREDAT DERS LİSTESİ MÜHENDİSLİK FAK. / BİLGİSAYAR MÜHENDİSL / 2010 BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ Müfredatı 0504101 Matematik I Calculus I 1 GÜZ 4 5 Z 0504102 Genel Fizik I General Physics I 1 GÜZ 4 4 Z 0504103

Detaylı

Örnek...1 : Örnek...5 : n bir pozitif tamsayı ise i 4 n + 2 +i 8 n + 1 2 +i 2 0 n + 6 =?

Örnek...1 : Örnek...5 : n bir pozitif tamsayı ise i 4 n + 2 +i 8 n + 1 2 +i 2 0 n + 6 =? KARMAŞIK SAYILAR Karmaşık saılar x 2 + 1 = 0 biçimindeki denklemlerin çözümünü apabilmek için tanım lanm ıştır. Örnek...2 : Toplamları 6 ve çarpımları 34 olan iki saı bulunuz. a ve b birer reel saı ve

Detaylı

ANALİZ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

ANALİZ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI ÖABT ANALİZ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Yasin ŞAHİN ÖABT ANALİZ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Her hakkı saklıdır. Bu kitabın tamamı a da bir kısmı, azarın izni olmaksızın, elektronik, mekanik, fotokopi a da herhangi bir

Detaylı

DOĞRUNUN ANALİTİK İNCELEMESİ

DOĞRUNUN ANALİTİK İNCELEMESİ Koordinatlar DOĞRUNUN ANALİTİK İNCELEMESİ Bilindiği gibi, düzlemdeki her bir noktaya bir (a,b) sıralı ikilisi, her bir (a,b) sıralı ikilisine bir nokta karşılık gelir. Eğer bir A noktasına karşılık gelen

Detaylı

DOĞRUSAL DENKLEMLER VE KOORDİNAT SİSTEMİ

DOĞRUSAL DENKLEMLER VE KOORDİNAT SİSTEMİ DOĞRUSAL DENKLEMLER VE KOORDİNAT SİSTEMİ Örnek : Taksi ile yapılan yolculukların ücreti taksimetre ile belirlenir Bir taksimetrenin açılış ücreti 2 TL, sonraki her kilometre başına 1 TL ücret ödendiğine

Detaylı

LYS MATEMATİK-2 SORU BANKASI LYS. M. Ali BARS. çözümlü sorular. yıldızlı testler. Sınavlara en yakın özgün sorular

LYS MATEMATİK-2 SORU BANKASI LYS. M. Ali BARS. çözümlü sorular. yıldızlı testler. Sınavlara en yakın özgün sorular LYS LYS 6 Sınavlara en akın özgün sorular MATEMATİK- SORU BANKASI çözümlü sorular ıldızlı testler M. Ali BARS M. Ali Bars LYS Matematik Soru Bankası ISBN 978-65-8-7-9 Kitapta er alan bölümlerin tüm sorumluluğu

Detaylı

Bilginin Görselleştirilmesi

Bilginin Görselleştirilmesi Bilginin Görselleştirilmesi Bundan önceki konularımızda serbest halde azılmış metinlerde gerek duduğumuz bilginin varlığının işlenmee, karşılaştırmaa ve değerlendirmee atkın olmadığını, bu nedenle bilginin

Detaylı

1977 ÜSS. 2 y ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? 1 x. 2 y. 1 y. 1 y. 1 x. 2 x. 2 x. 1 x. 1 y. 1 x. 1 y. 1 x. 1 y 2 C) 4 E)

1977 ÜSS. 2 y ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? 1 x. 2 y. 1 y. 1 y. 1 x. 2 x. 2 x. 1 x. 1 y. 1 x. 1 y. 1 x. 1 y 2 C) 4 E) 77 ÜSS. ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?. C) 4 E). Şekilde a+b+c+d açılarının toplamı kaç dik açıdır? (açılar pozitif önlüdür.) 4 C) 6 7 E) 8 Verilen şekilde açıların ölçüleri verilmiştir. En

Detaylı

VEKTÖRLER KT YRD.DOÇ.DR. KAMİLE TOSUN FELEKOĞLU

VEKTÖRLER KT YRD.DOÇ.DR. KAMİLE TOSUN FELEKOĞLU VEKTÖRLER KT YRD.DOÇ.DR. KMİLE TOSUN ELEKOĞLU 1 Mekanik olaları ölçmekte a da değerlendirmekte kullanılan matematiksel büüklükler: Skaler büüklük: sadece bir saısal değeri tanımlamakta kullanılır, pozitif

Detaylı

EĞİM, BİR DOĞRUNUN DENKLEMİ VE EĞİMİ ARASINDAKİ İLİŞKİ

EĞİM, BİR DOĞRUNUN DENKLEMİ VE EĞİMİ ARASINDAKİ İLİŞKİ Özgür EKER EĞİM, BİR DOĞRUNUN DENKLEMİ VE EĞİMİ ARASINDAKİ İLİŞKİ Eğim: ETKİNLİK : Bir bisiklet arışındaki iki farklı parkur aşağıdaki gibidir. I. parkurda KL 00 metre ve II. parkurda AB 00 metre olduğuna

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16. MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16. MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI. MATEMATİK YARIŞMASI 0. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI 5. sayısının virgülden sonra 9 99 999 5. basamağındaki rakam kaçtır? A) 0 B) C) 3 D) E) 8!.!.3!...4! 4. A= aşağıdaki hangi

Detaylı

2014 LYS MATEMATİK. x lü terimin 1, 3. 3 ab olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 2b a ifade- sinin değeri kaçtır? olduğuna göre, x.

2014 LYS MATEMATİK. x lü terimin 1, 3. 3 ab olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 2b a ifade- sinin değeri kaçtır? olduğuna göre, x. 4 LYS MATEMATİK. a b b a ifade- ab olduğuna göre, sinin değeri kaçtır? 5. ifadesinin değeri kaçtır? 5. P() polinomunda katsaısı kaçtır? 4 lü terimin 4 log log çarpımının değeri kaçtır? 6. 4 olduğuna göre,.

Detaylı

DERS 1. Doğrusal Denklem Sistemleri ve Matrisler

DERS 1. Doğrusal Denklem Sistemleri ve Matrisler DERS Doğrusal Denklem Sistemleri ve Matrisler Sosal ve Beşeri Bilimlerde Matematik I kitabımıda doğrusal denklemleri tanımlamıştık (safa 85). Arıca, matematiksel modeli doğrusal denklemler içeren problem

Detaylı

MATEMATİK BÖLÜMÜ BÖLÜM KODU:3201

MATEMATİK BÖLÜMÜ BÖLÜM KODU:3201 BÖLÜM KODU:01 011-01 01.Yarıyıl Dersleri 0.Yarıyıl Dersleri MTK 101 Analiz I Analysis I 4 1 5 6 MTK 10 Analiz II Analysis II 4 1 5 6 MTK 11 Lineer Cebir I Linear Algebra I 1 4 MTK 1 Lineer Cebir II Linear

Detaylı

BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ

BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ Dersin Adı Kodu Sınıf / Y.Y. Ders Saati (T+U+L) Kredi AKTS YAPAY ZEKA BG-421 4/2 2+1+0 2+.5 4 Dersin Dili : TÜRKÇE Dersin Seviyesi : LİSANS

Detaylı

- 2-1 0 1 2 + 4a a 0 a 4a

- 2-1 0 1 2 + 4a a 0 a 4a İKİNCİ DERECEDEN FNKSİYNLARIN GRAFİKLERİ a,b,c,z R ve a 0 olmak üzere, F : R R f() = a + b + c şeklinde tanımlanan fonksionlara ikinci dereceden bir değişkenli fonksionlar denir. Bu tür fonksionların grafikleri

Detaylı

T.C. ERCİYES ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ EĞİTİM ÖĞRETİM YILI DERS KATALOĞU

T.C. ERCİYES ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ EĞİTİM ÖĞRETİM YILI DERS KATALOĞU T.C. ERCİYES ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ - EĞİTİM ÖĞRETİM YILI DERS KATALOĞU Ders Kodu Bim Kodu Ders Adı Türkçe Ders Adı İngilizce Dersin Dönemi T Snf Açıl.Dönem P

Detaylı

İleri Bilgisayar Mimarileri (COMPE 532) Ders Detayları

İleri Bilgisayar Mimarileri (COMPE 532) Ders Detayları İleri Bilgisayar Mimarileri (COMPE 532) Ders Detayları Ders Adı İleri Bilgisayar Mimarileri Ders Kodu COMPE 532 Dönemi Ders Uygulama Saati Saati Laboratuar Saati Kredi AKTS Güz 3 0 0 3 7.5 Ön Koşul Ders(ler)i

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Önsöz...2. Önermeler ve İspat Yöntemleri...3. Küme Teorisi Bağıntı Fonksiyon İşlem...48

İÇİNDEKİLER. Önsöz...2. Önermeler ve İspat Yöntemleri...3. Küme Teorisi Bağıntı Fonksiyon İşlem...48 İÇİNDEKİLER Önsöz...2 Önermeler ve İspat Yöntemleri...3 Küme Teorisi...16 Bağıntı...26 Fonksiyon...38 İşlem...48 Sayılabilir - Sonlu ve Sonsuz Kümeler...56 Genel Tarama Sınavı...58 Önermeler ve İspat Yöntemleri

Detaylı

Ortak Akıl MATEMATİK DENEME SINAVI

Ortak Akıl MATEMATİK DENEME SINAVI Ortak kıl YGS MTMTİK DNM SINVI 0- Ortak kıl dem ÇİL han YNĞLIBŞ Barış DMİR Celal İŞBİLİR Deniz KRDĞ ngin POLT rsin KSN üp BULUT Fatih TÜRKMN Hakan BKIRCI Kadir LTINTŞ Köksal YİĞİT Muhammet YVUZ Muharrem

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Matematk Deneme Sınavı. n olmak üzere; n n toplamı ten büük n nin alabileceği tamsaı değerleri kaç tanedir? 9 B) 8 7.,, z reel saılar olmak üzere; ( 8) l 8 l z z aşağıdakilerden hangisidir? B) 8. tabanındaki

Detaylı

İki Eksenli Bir Helikopter Düzeneği İçin Bulanık Kontrolör Tasarımı

İki Eksenli Bir Helikopter Düzeneği İçin Bulanık Kontrolör Tasarımı İki Eksenli Bir Helikoter Düzeneği İçin Bulanık Kontrolör Tasarımı Yusuf Buğda, Mehmet Önder Efe, Elektrik ve Elektronik Mühendisliği Bölümü TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi, Ankara {bugda, onderefe}@etu.edu.tr

Detaylı

Örnek...1 : Örnek...3 : Örnek...2 :

Örnek...1 : Örnek...3 : Örnek...2 : FONKSİYONLR FONKSİYONUN EKSENLERİ KESİM NOKTLRI =f() fonksio - nunun ekseninin kestiği noktaların m apsisleri b, c, e dir. u noktalar a b f()= denkleminin kökleridir n =f() in p eksenini kestiği nokta

Detaylı

DERS 1. İki Değişkenli Doğrusal Denklem Sistemleri ve Matrisler

DERS 1. İki Değişkenli Doğrusal Denklem Sistemleri ve Matrisler DES İki Değişkenli Doğrusal Denklem Sistemleri ve Matrisler.. Doğrusal Denklem Sistemleri. Günlük aşamda aşağıdakine benzer pek çok problemle karşılaşırız. Problem. Manavdan alışveriş eden bir müşteri,

Detaylı

Konikler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Doç.Dr. Hüseyin AZCAN

Konikler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Doç.Dr. Hüseyin AZCAN Konikler Yazar Doç.Dr. Hüsein AZCAN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu ünitei çalıştıktan sonra; lise ıllarından da tanıdığınız çember, elips, parabol ve hiperbol gibi konik kesitleri olarak adlandırılan geometrik nesneleri

Detaylı

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 10 Eylemsizlik Momentleri Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R. C.Hibbeler, S. C. Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 10. Eylemsizlik Momentleri

Detaylı

Alkın Küçükbayrak alkin@superonline.com. Bilim Dalı Olarak ve Uygulamada "Yapay Zeka"

Alkın Küçükbayrak alkin@superonline.com. Bilim Dalı Olarak ve Uygulamada Yapay Zeka Alkın Küçükbayrak alkin@superonline.com Bilim Dalı Olarak ve Uygulamada "Yapay Zeka" Bir önceki yazımızda beyin simulatörlerinden bahsetmiştik. Beynin işlevlerini deşifre etmeye yönelik çalışmalardan biri

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Matematk Deneme Sınavı. Üç basamaklı doğal saılardan kaç tanesi, 8 ve ile tam bölünür? 8 9. ile in geometrik ortası z dir. ( z). ( z ). z aşağıdakilerden hangisidir?. 9 ifadesinin cinsinden değeri

Detaylı

KÜREYE GÖRE SİMETRİ: ÜÇ BOYUTLU UZAYDA APOLLONIUS VE PAPPUS TEOREMLERİ

KÜREYE GÖRE SİMETRİ: ÜÇ BOYUTLU UZAYDA APOLLONIUS VE PAPPUS TEOREMLERİ ÖZEL EGE LİSESİ KÜREYE GÖRE SİMETRİ: ÜÇ BOYUTLU UZAYDA APOLLONIUS VE PAPPUS TEOREMLERİ HAZIRLAYAN ÖĞRENCİLER: Barış TİRYAKİ Maide İdil İSPİR DANIŞMAN ÖĞRETMEN: Nila BAŞOĞLU İZMİR 016 İçindekiler Safa 1.

Detaylı

LYS MATEMATİK KONU ANLATIM FASİKÜLÜ

LYS MATEMATİK KONU ANLATIM FASİKÜLÜ Ders Adı.ınıf Mezun LY MATEMATİK KONU ANLATIM FAİKÜLÜ TÜREV KAF 0 Konu Bir doğrunun eğimi dik koordinat sisteminde X ekseni ile aptığı pozitif önlü açının tanjantıdır. Örneğin, şekilde verilen d doğrusunun

Detaylı

( 2x+1, 3y 1. Örnek...4 : A = {1, 2, 3} ve B = {a, b} kümeleri için, AxB ve BxA kümelerini liste biçimde yazınız.

( 2x+1, 3y 1. Örnek...4 : A = {1, 2, 3} ve B = {a, b} kümeleri için, AxB ve BxA kümelerini liste biçimde yazınız. SIRALI İKİLİ a ve b'nin (a,b) biçiminde tek bir eleman olarak yazılmasına sıralı ikili ya da kısaca ikili denir. Burada a' ya ikilinin birinci bileşeni, b' ye ise ikinci bileşeni denir. Örneğin ; (4, 3)

Detaylı

İÇİNDEKİLER UZAY AKSİYOMLARI... 001-006... 01-03 UZAYDA DOGRU VE DÜZLEMLER... 007-010... 04-05 DİK İZDÜŞÜM... 011-014... 06-07

İÇİNDEKİLER UZAY AKSİYOMLARI... 001-006... 01-03 UZAYDA DOGRU VE DÜZLEMLER... 007-010... 04-05 DİK İZDÜŞÜM... 011-014... 06-07 UZY GEMETRİ İÇİNDEKİLER Safa No Test No UZY KSİYMLRI... 001-00... 01-0 UZYD DGRU VE DÜZLEMLER... 007-010... 0-05 DİK İZDÜŞÜM... 011-01... 0-07 PRİZMLR... 015-0... 08-1 KÜP... 05-00... 1-15 SİLİNDİR...

Detaylı

İleri Yapay Zeka (COMPE 568) Ders Detayları

İleri Yapay Zeka (COMPE 568) Ders Detayları İleri Yapay Zeka (COMPE 568) Ders Detayları Ders Adı Ders Kodu Dönemi Ders Saati Uygulama Saati Laboratuar Saati Kredi AKTS İleri Yapay Zeka COMPE 568 Bahar 3 0 0 3 7.5 Ön Koşul Ders(ler)i Öğretim üyesinin

Detaylı

Bulanık Mantık : Bulanıklılık Kavramı

Bulanık Mantık : Bulanıklılık Kavramı Bulanık Mantık : Bulanıklılık Kavramı Doç. Dr. İsmail H. ALTAŞ Karadeniz Teknik Üniversitesi Mühendislik-Mimarlık Fakültesi Elektrik-Elektronik Mühendisliği Bölümü 61080 Trabzon E-mail : altas@ktu.edu.tr

Detaylı

Kablosuz Sensör Ağlar ve Eniyileme. Tahir Emre KALAYCI. 21 Mart 2008

Kablosuz Sensör Ağlar ve Eniyileme. Tahir Emre KALAYCI. 21 Mart 2008 Kablosuz Sensör Ağlar ve Eniyileme Tahir Emre KALAYCI 21 Mart 2008 Gündem Genel Bilgi Alınan Dersler Üretilen Yayınlar Yapılması Planlanan Doktora Çalışması Kablosuz Sensör Ağlar Yapay Zeka Teknikleri

Detaylı

( ANALİTİK DÜZLEM NOKTA BÖLGELER İKİ NOKTA ARASI UZAKLIK ORTA NOKTA ÜÇGENİN AĞIRLIK MERKEZİ VE ALANI DEĞERLENDİRME ) dört bölgeye ayrılır.

( ANALİTİK DÜZLEM NOKTA BÖLGELER İKİ NOKTA ARASI UZAKLIK ORTA NOKTA ÜÇGENİN AĞIRLIK MERKEZİ VE ALANI DEĞERLENDİRME ) dört bölgeye ayrılır. NİTİ GEMETRİ 1 ( NİTİ DÜZEM NT ÖGEER İİ NT RSI UZI RT NT ÜÇGENİN ĞIRI MEREZİ VE NI DEĞERENDİRME NİTİ DÜZEM Dİ RDİNT DÜZEMİ İki saı doğrusunun dik kesişmesile oluşan düzleme, dik koordinat düzlemi ve a

Detaylı

YÖNETİM BİLİŞİM SİSTEMLERİ BÖLÜMÜ YENİ DERS MÜFREDATI (1) FAKÜLTESİ: İŞLETME FAKÜLTESİ / BUSINESS SCHOOL

YÖNETİM BİLİŞİM SİSTEMLERİ BÖLÜMÜ YENİ DERS MÜFREDATI (1) FAKÜLTESİ: İŞLETME FAKÜLTESİ / BUSINESS SCHOOL (3) SINIFI: 1. Yıl Güz Dönemi MIS101 BİLGİSAYAR PROGRAMLAMA 1 COMPUTER PROGRAMMING 1 Z 3-0 4 BUS101 BİLİM VE TEKNOLOJİ TARİHİ HISTORY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY Z 3-0 4 BUS103 İŞLETMECİLER İÇİN MATEMATİK

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Noktanın Analitik İncelenmesi...3. Doğrunun Analitiği Analitik Düzlemde Simetri...25

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Noktanın Analitik İncelenmesi...3. Doğrunun Analitiği Analitik Düzlemde Simetri...25 İÇİNDEKİLER Ön Söz...2 Noktanın Analitik İncelenmesi...3 Doğrunun Analitiği...11 Analitik Düzlemde Simetri...25 Analitik Sistemde Eşitsizlikler...34 Çemberin Analitik İncelenmesi...40 Elips...58 Hiperbol...70

Detaylı

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye

Detaylı

Örnek...1 : Örnek...3 : Örnek...2 :

Örnek...1 : Örnek...3 : Örnek...2 : FONKSİYONLR FONKSİYONUN EKSENLERİ KESİM NOKTLRI fonksionunun ekseninin kestiği k noktaların m apsisleri b, c, e dir. u noktalar a b c f()= denkleminin n kök leridir p in eksenini kestiği nokta ise (,p)

Detaylı

DÖRT ROTORLU HAVA ARACI İÇİN GERÇEK ZAMANDA BULANIK MANTIKLA KONTROLÖR TASARIMI

DÖRT ROTORLU HAVA ARACI İÇİN GERÇEK ZAMANDA BULANIK MANTIKLA KONTROLÖR TASARIMI HAVACILIK VE UZAY TEKNOLOJİLERİ DERGİSİ TEMMUZ 203 CİLT 6 SAYI 2 (59-67) DÖRT ROTORLU HAVA ARACI İÇİN GERÇEK ZAMANDA BULANIK MANTIKLA KONTROLÖR TASARIMI Gökhan GÜL * Hava Harp Okulu HUTEN, Elektronik MühABD,

Detaylı

İleri Bilgisayar Mimarileri (COMPE 532) Ders Detayları

İleri Bilgisayar Mimarileri (COMPE 532) Ders Detayları İleri Bilgisayar Mimarileri (COMPE 532) Ders Detayları Ders Adı İleri Bilgisayar Mimarileri Ders Kodu COMPE 532 Dönemi Ders Uygulama Saati Saati Laboratuar Saati Kredi AKTS Güz 3 0 0 3 7.5 Ön Koşul Ders(ler)i

Detaylı

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Uzayda bir noktayı ifade edebilmek için ilk önce O noktasını (başlangıç noktası) ve bu noktadan geçen ve birbirine dik olan üç yönlü doğruyu seçerek sabitlememiz gerekir.

Detaylı

ELEKTRONİK DEVRELERİN MODELLENMESİNDE YÜKSEK BAŞARIMLI BİLGİ TABANLI YAPAY SİNİR AĞLARININ KULLANIMI

ELEKTRONİK DEVRELERİN MODELLENMESİNDE YÜKSEK BAŞARIMLI BİLGİ TABANLI YAPAY SİNİR AĞLARININ KULLANIMI ELEKTRONİK DEVRELERİN MODELLENMESİNDE YÜKSEK BAŞARIMLI BİLGİ TABANLI YAPAY SİNİR AĞLARININ KULLANIMI Murat ŞİMŞEK 1 İpek TÜRKER 2 N Serap ŞENGÖR 3 1,3 İstanbul Teknik Üniversitesi, Elektrik ve Elektronik

Detaylı

FONKSİYONLAR BÖLÜM 8. Örnek...3 : Örnek...1 : f(x)=2x+5 fonksiyonu artan mıdır? Örnek...4 :

FONKSİYONLAR BÖLÜM 8. Örnek...3 : Örnek...1 : f(x)=2x+5 fonksiyonu artan mıdır? Örnek...4 : FONKSİYONLAR BÖLÜM 8 Örnek...3 : ARTAN AZALAN FONKSİYONLAR ARTAN FONKSİYON f : A R R fonksionu verilsin. Her i B A için 1 < 2 f ( 1 )

Detaylı

Cebir Notları. Parabol Mustafa YAĞCI,

Cebir Notları. Parabol Mustafa YAĞCI, www.mustaaagci.com, 005 ebir Notları Mustaa YĞI, agcimustaa@ahoo.com Notlara çemberin tanımıla gireim de siz de Ne alaka! dein Nedir çemberin tanımı? Yuvarlak geometrik şekil değil elbet. Düna uvarlak

Detaylı

İleri Yapay Zeka (COMPE 568) Ders Detayları

İleri Yapay Zeka (COMPE 568) Ders Detayları İleri Yapay Zeka (COMPE 568) Ders Detayları Ders Adı Ders Kodu Dönemi Ders Saati Uygulama Saati Laboratuar Saati Kredi AKTS İleri Yapay Zeka COMPE 568 Bahar 3 0 0 3 7.5 Ön Koşul Ders(ler)i Öğretim üyesinin

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Matematk Deneme Sınavı. A.. n saısının tamsaı bölenlerinin saısı olduğuna göre, n 0. R de tanımlı " " işlemi; ο ο işleminin sonucu 0. (6) 6 (6) ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? 6 6 (6)

Detaylı

Bulanık Mantık Denetleyiciler

Bulanık Mantık Denetleyiciler Denetim sistemleri genel olarak açık döngülüvekapalı döngülü/geri beslemeli olarak iki tiptir. Açık döngülü denetim sistemlerinde denetim hareketi sistem çıkışından bağımsıdır. Kapalı döngülü sistemlerde

Detaylı

1) BU TESTTE TEMEL MATEMATİK VE GEOMETRİ OLMAK ÜZERE, TOPLAM 40 ADET SORU VARDIR. 2) BU TESTİN CEVAPLANMASI İÇİN TAVSİYE EDİLEN SÜRE 40 DAKİKADIR.

1) BU TESTTE TEMEL MATEMATİK VE GEOMETRİ OLMAK ÜZERE, TOPLAM 40 ADET SORU VARDIR. 2) BU TESTİN CEVAPLANMASI İÇİN TAVSİYE EDİLEN SÜRE 40 DAKİKADIR. YGS DENEESİ 2 1) U ESE EEL AEAİK VE GEOERİ OLAK ÜERE, OPLA ADE SORU VARDIR. 2) U ESİN CEVAPLANASI İÇİN AVSİYE EDİLEN SÜRE DAKİKADIR. 1) 2,.(!+1!+2!) =?, 1 A) ) 1 C) 2 D) ) +8 ( 2 + 1) ( 2 2+ 2 ) hangisidir?

Detaylı