İnşaat Mühendisliği Bölümü UYGULAMA 1- BOYUT ANALİZİ

Transkript

1 UYGULAMA - BOYUT ANALİZİ INS 36 HİDROLİK 03-GÜZ (Buckingham) teoremini tanımlayınız. Temel (esas) büyüklük ve temel (esas) boyut ne emektir? Açıklayınız. Bir akışkanlar mekaniği problemine teoremi uygulanığına temel büyüklükler nasıl seçilir. (Buckingham) teoremi, n aet boyutlu A i büyüklüğü arasınaki f(a, A,.., A i,, A n )=0 şekline bir bağıntı aima m = n r aet boyutsuz büyüklüğü arasına F(,,..,,.., )=0 şekline bir bağıntı haline önüştürülebilir ( r : A i büyüklüklerine görülen temel boyut sayısı 3 ). Temel büyüklük : Newton hareket kanununaki büyüklükler ( uzunluk, zaman, kuvvet) Temel boyut : Temel büyüklüklere ait boyutlar Boyut analizine esas eğişkenlerin seçimine ikkat eilmesi gereken kriterler: İlgili fiziksel büyüklükler ( A i ) belirlenir ve bunların boyutları yazılır. Bu büyüklüklere bulunan esas boyut sayısı belirlenir. terimlerinen oluşan fonksiyonun genel ifaesi yazılır A i büyüklükleri arasınan boyutsuz ve aynı boyuta sahip olmayan r tanesi seçilir (Seçilen bu büyüklüklerin en az bir tanesi r tane esas boyutun birini içermeli ve herhangi birinin boyutu iğerlerinin boyutlarının bir kombinezonu olmamalıır). terimleri teşkil eilir (aşağıa r=3 ve seçilen tekrarlanacak büyüklükler A, A, A 3 alınarak bir örnek verilmiştir)... x i, y i, z i üsleri, lerin boyutsuz oluğu üşünülerek boyut homojenliğinen yararlanılarak bulunur. Gerekirse terimlerinen biri, ( ) şekline iğerlerinin fonksiyonu olarak yazılabilir. Bu yapılırken bir boyutsuz sayının bütün üslerinin ve bir boyutsuz sayı ile çarpımının a boyutsuz oluğu özelliğinen yararlanılabilir. Sembol Büyüklük FLT boyut sistemi MLT boyut sistemi A alan L L a ivme L.T - L.T - D boru çapı L L E elastisite katsayısı F.L - M.L -.T - F kuvvet F M.L.T - g yerçekimi ivmesi L.T - L.T - m kütle F.L -.T M N güç F.L.T - M.L.T -3 p basınç F.L - M.L -.T - Q ebi L 3.T - L 3.T - R H hirolik yarıçap L L u hız L.T - L.T - inamik viskozite F.L -.T M.L -.T - kinematik viskozite L.T - L.T - özgül kütle F.L -4.T M.L -3 kayma gerilmesi F.L - M.L -.T - özgül ağırlık F.L -3 M.L -.T -

2 UYGULAMA - BOYUT ANALİZİ INS 36 HİDROLİK 03-GÜZ SORU : Bir boru içerisineki akıma borunun ıslak yüzeyinin birim alanına etki een kayma gerilmesi, f ( V, D, k,, ) oluğuna, yani sırasıyla ortalama akım hızının, boru çapının, boru pürüzlülüğünün, akışkanın viskozitesinin ve özgül kütlesinin fonksiyonu oluğuna göre, kayma gerilmesinin ifaesini ele einiz. SORU : Bir pompanın gücü, N, bastığı ebinin, Q, pompanın basma yüksekliğinin, H, ve pompanın bastığı akışkanın özgül ağırlığının,, fonksiyonu oluğuna göre, pompanın gücünü veren bağıntıyı boyut analizi ile ele einiz. SORU 3: Bir akım ortamına çaplı bir küresel engel varır. Akımın bu küresel engele uygulaığı F hiroinamik kuvveti akışkanın özgül kütlesine,, engel civarınaki ortalama akım hızına, V, ve kürenin,, çapına bağlı oluğuna göre, F kuvvetinin ifaesini boyut analizi ile belirleyiniz. SORU 4: Bir orifisten çıkan ieal akışkanın ebisi, akışkanın özgül kütlesi, orifisin çapı ve basınç farkına bağlıır. Buna göre, orifisten çıkan akışkanın ebisini veren bağıntıyı Buckingham teoremi ile ele einiz. Buluğunuz bağıntıyı biliğiniz şekli ile karşılaştırınız. SORU 5: Ortalama erinliği Rüzgar Yönü olan bir göle rüzgarın esmesi su yüzeyine H yüksekliğine permanan algaların oluşmasına sebep olmaktaır. L H nin göleki ortalama su erinliği,, gölün rüzgar oğrultusunaki uzunluğu, L, suyun özgül ağırlığı,, rüzgarın etkittiği kayma gerilmesi,, ile ilişkili oluğunu kabul eerek göleki alga yüksekliğini veren bağıntıyı ele einiz. SORU 6: Bir boru içerisineki üniform permanan laminer akım haline, enerji çizgisi eğimi, J, akışkanın özgül ağırlığı,, ile akışkanın inamik viskozitesine,, ortalama akım hızına, V, ve boru çapına, D, bağlı oluğuna göre, enerji çizgisi eğimini, J, veren bağıntıyı boyut analizi ile ele einiz.

3 ÇÖZÜM : İnşaat Fakültesi UYGULAMA - BOYUT ANALİZİ INS 36 HİDROLİK 03-GÜZ (, V, D, k,, ) 0 n=6 (Olaya etki een parametre sayısı) r=3 (Olaya etki een parametrelere gözlenen temel büyüklük sayısı) m=n-r=3 (Ele eilebilecek boyutsuz enklem sayısı) X Y Z V D Parametre F L T boyut sistemi M L T boyut sistemi [F L - ] [M L - T - ] V [L T - ] [L T - ] D [L] [L] k [L] [L] [F L - T] [M L - T - ] [F T L -4 ] [M L -3 ] M o L o T o = ( [ L T - ] X ) ( [ M L -3 ] Y ) ( [ L ] Z ) [ M L - T - ] M o : 0=Y + L o : 0=X 3Y +Z T o : 0=-X X =-; Y =-; Z =0 0 V D V Y V D X Z k M o L o T o = ( [ L T - ] X ) ( [ M L -3 ] Y ) ( [ L ] Z ) [ L ] M o : 0=Y L o : 0=X 3Y +Z + T o : 0=-X X =0; Y =0; Z =- 0 0 V D k k D X Y Z V D 3 M o L o T o = ( [ L T - ] X 3 ) ( [ M L -3 ] Y 3 ) ( [ L ] Z 3 ) [ M L - T - ] M o : 0=Y 3 + L o : 0=X 3 3Y 3 +Z 3 T o : 0=-X 3 X 3 =-; Y 3 =-; Z 3 =- V D VD VD ' 3 N 3 Re V D V f ; k D

4 ÇÖZÜM : N : Pompanın gücü [ F L T ] Q : Pompa ebisi [ L 3 T - ] H : Pompanın basma yüksekliği [ L ] : Akışkanın özgül ağırlığı [ F L -3 ] Esas eğişkenler :, Q, H n=4; r=3 m=n-r= aet sayısı ele eilebilir. x x z Q H N UYGULAMA - BOYUT ANALİZİ INS 36 HİDROLİK 03-GÜZ F o L o T o = ( [ L 3 T - ] X ) ( [ L ] Y ) ( [ F L -3 ] Z ) [ F L T - ] F o : L o : T o : 0=Z+ 0=3X+Y 3Z+ 0=-X X=-; Y=-; Z=- Q H N N Q H

5 ÇÖZÜM 3: F : [ F ] : [ F L -4 T ] V : [ L T - ] : [ L ] Esas eğişkenler :, V, n=4; r=3 UYGULAMA - BOYUT ANALİZİ INS 36 HİDROLİK 03-GÜZ m=n-r=4 3= aet sayısı ele eilebilir. x V y z F F o L o T o = ( [ F L -4 T ] X ) ( [ L T - ] Y ) ( [ L ] Z ) [ F ] F o : L o : T o : 0=X+ 0=-4X+Y+Z 0=X Y X=-; Y=-; Z=- V F F V F V

6 ÇÖZÜM 4: n=4; r=3 UYGULAMA - BOYUT ANALİZİ INS 36 HİDROLİK 03-GÜZ m=n-r=4 3= aet sayısı ele eilebilir. Temel eğişkenler,, p seçilerek x y p z Q F o L o T o = ( [ F L -4 T ] X ) ( [ L ] Y ) ( [F L - ] Z ) [ L 3 T - ] h Q F o : L o : T o : 0=X+Z 0=-4X+Y Z+3 0=X X=/; Y=-; Z=-/ p Q p h g Q h g h Orifis enklemi (Bernoulli enkleminen) : Q g h 4 V g h

7 ÇÖZÜM 5: İnşaat Fakültesi UYGULAMA - BOYUT ANALİZİ INS 36 HİDROLİK 03-GÜZ H: Dalga yüksekliği [ L ] L: Gölün rüzgar esne gönüneki uzunluğu [ L ] : Ortalama göl erinliği [ L ] : Suyun özgül ağırlığı [ F L -3 ] :Rüzgarın su yüzeyine oluşturuğu kayma gerilmesi [ F L - ] L Rüzgar Yönü n=5; r= m=n-r=3 aet sayısı ele eilebilir. Seçilen esas eğişkenler :, Y X H F o L o T o = ( [F L -3 ] X ) ( [ L ] Y ) [ L ] F o : 0=X L o : 0=-3X +Y + X =0; Y =- H H X Y L F o L o T o = ( [F L -3 ] X ) ( [ L ] Y ) [ L ] F o : 0=X L o : 0=-3X +Y + X =0; Y =- L L X Y 3 F o L o T o = ( [F L -3 ] X 3 ) ( [ L ] Y 3 ) [F L - ] F o : 0=X 3 + L o : 0=-3X 3 +Y 3 X 3 =-; Y 3 =- 3 f ; 3 H f L D ;

8 ÇÖZÜM 6: İnşaat Fakültesi UYGULAMA - BOYUT ANALİZİ INS 36 HİDROLİK 03-GÜZ J f (, D, V, ) n=m; n=3 r=m n=5 3= aet sayısı ele eilebilir. Esas eğişkenler :,, D Y z X V J V Parametre Hirolik eğim Dinamik viskozite Özgül ağırlık Ortalama hız F L T boyut sistemi M L T boyut sistemi [ - ] [ - ] [ F L - T ] [ M L - T - ] İlgili Bağıntı V J f D g u y [ F L -3 ] [ M L - T - ] g [ L T - ] [ L T - ] D Boru çapı [ L ] [ L ] F o L o T o = ( [F L -3 ] X ) ( [F L - T ] Y ) ( [ L ] Z ) [ L T - ] F o : 0=X +Y L o : 0=-3X Y +Z + T o : 0=Y X =-; Y =; Z =- V V D boyutsuz ifaesi için serbest eğişken boyutsuz J parametresi kullanılığına X, Y, Z eğerleri sıfır ele eilecektir. Dolayısıyla, =J olarak belirlenebilir.