DÜZLEM KAFES SİSTEMLERİN BULANIK DOĞRUSAL PROGRAMLAMA İLE OPTİMUM BOYUTLANDIRILMASI

Transkript

1 ISSN: e-journal o New World Scences Academy 009, Volume: 4, Number: 3, Artcle Number: 1A009 TECHNOLOGICAL APPLIED SCIENCES Receved: November 008 Accepted: June 009 Seres : A ISSN : Ömer Keleşoğlu Frat Unversty okelesoglu@rat.edu.tr Elazg-Turkey DÜZLEM KAFES SİSTEMLERİN BULANIK DOĞRUSAL PROGRAMLAMA İLE OPTİMUM BOYUTLANDIRILMASI ÖZET Bu çalışmada, bulanık üyelk onksyonu kullanılarak düzlem kaes sstemlern boyutlandırılması gerçekleştrlmştr. Özellkle keskn doğrusal programlama yerne yumuşak hesaplama yaklaşımlarından olan bulanık doğrusal programlama terch edlmştr. Boyutlandırma problem üyelk onksyonlarını kullanan br -kesme yaklaşımı olarak, br optmum karar oluşturularak çözülmüştür. Boyutlandırma problemnn ormülasyonunda deplasman, çekme gerlmes, burkulma gerlmes ve mnmum alan sınırlayıcıları gözönüne alınmıştır. -sevye kesen yaklaşımı, düzlem kaes sstemlern boyutlandırma problemler üzernde örneklenmş ve sonuçlar tartışılmıştır. Anahtar Kelmeler: Düzlem Kaes Sstem, Bulanık Doğrusal Programlama, Boyutlandırma, Çekme Gerlmes, Burkulma Gerlmes OPTIMUM DESIGN OF PLANE TRUSS SYSTEMS BY FUZZY LINEAR PROGRAMMING ABSTRACT In ths study, desgn o plane truss systems has been mplemented by uzzy membershp uncton. Especally t was preerred a uzzy lnear programmng whch s a sot calculaton method, nstead o hard lnear programmng. The desgn problem s solved by constructng an optmal decson uncton as a -level cut approach usng membershp uncton. The dsplacement, tensle stress, bucklng stress and mnmum sze constrants are consdered n the ormulaton o the desgn problem. The -cut approach s llustrated on plane truss systems desgn problems and the results are dscusses. Keywords: Plane Truss System, Fuzzy Lnear Programmng, Desgn, Tensle Stress, Bucklng Stress

2 e-journal o New World Scences Academy Technologcal Appled Scences, A009, 4, (3), GİRİŞ (INTRODUCTION) Mühendslkte ve dğer blm dallarında sstemler, kesn matematksel şlemler kullanmak suretyle modellenr. Günlük hayatta karşılaşılan problemlern büyük çoğunluğu br kesn olmama durumu veya br tanımlama durumu çerr. Bu problemlern daha etkn çözüleblmes çn br yol bulunması gerekmektedr. Günümüzde sstemler genel olarak kararlı, doğrusal ve zaman bağımlı değşmeyen br yapıya sahptr. Bu özellklern dışına çıkıldığı zaman sstem kontrol edlemeyecek hale gelecektr. Eğer bu sstem nsan gb hareket edeblen br yapıyla kontrol edleblrse, kararlı veya kararsız, doğrusal yada doğrusal olmayan, zamanla değşen veya değşmeyen br özellkte olsa dah uygun br şeklde çalıştırılablr. İşte bu durumlar blm adamlarını nsan gb algılayablen, karar vereblen ve hareket edeblen sstemler yapmaya yöneltmektedr [1]. Bulanık mantık ve bulanık küme teors, lk kez 1965 yılında Pro. Lot A. Zadeh taraından ortaya atılmış ve hızla gelşerek br çok blm adamının lgsn çeken araştırmaya açık yen br konu olmuştur []. Bulanık mantık haberleşme, kontrol, entegre devreler üretm, şletme, tıp, pskolo ve mühendslğn br çok dalında uygulanmıştır. Geleneksel küme teorsnde, br elemanın üyelk elemanı ya 0 yada 1 le gösterlr. Halbuk, bulanık küme teorsnde, bu değer 0 le 1 arasında herhang br değer olablr. Üyelk elemanı bulanık küme at olma derecesn gösterr. Bulanık doğrusal programlama problemlernn çözümünden bahseden çalışmalar Zmmermann le Tanaka taraından yapılmıştır [3 ve 4]. O zamandan ber bulanık doğrusal programlama le bulanık doğrusal olmayan programlama üzernde brkaç makale görüldü [5 ve 6]. Rao mekank sstemlern optmum boyutlandırma ve tanımını yaptı [7]. Tek br amaç onksyonu le yapıların optmum tasarımı Yuan ve Quan taraından ele alındı [8]. Bulanık kümelern nşaat mühendslğnde brkaç uygulanması Braun ve Yao taraından gerçekleştrld [9]. Mühendslk sstemlern sonlu elamanlarla çözümden bulanık kümeler kullanılmıştır [10]. Keleşoğlu doğrusal ve doğrusal olmayan uzay kaes sstemlern bulanık çok amaçlı optmzasyonu çn algortmalar sunmuştur [11, 1 ve 13].. ÇALIŞMANIN ÖNEMİ (RESEACH SIGNIFICANCE) Bu çalışmada, bulanık doğrusal programlama kullanılarak düzlem kaes sstemlern boyutlandırılması yapılmıştır. Boyutlandırma problemnn çözümü çn α-sevye kesen yaklaşımı kullanılmıştır. Boyutlandırmada kest alanları değşken olarak kullanılmış ve bulanık sınırlayıcılar altında yapı hacm mnmze edlmştr. Bulanık sınırlayıcılar olarak gerlme ve deplasman sınırlayıcıları kullanılmıştır. Sayısal uygulama olarak düzlem kaes sstemler çözülerek lteratürdek sonuçlarla karşılaştırılmıştır [14, 15, 16, 17, 18, 19 ve 0]. 3. BULANIK KÜME VE ÜYELİK FONKSİYONLARI (FUZZY SETS AND MEMBERSHIP FUNCTIONS) Üyelk onksyonları (membershp unctons) olarak blnrler ve 0 le 1 arasında br üyelk ağırlığına (gread o membershp) sahptrler. Üyelk ağırlığı belrl br değern br bulanık küme çersnde yer almasının güvenrllğnn ve emnlğnn br şaretdr. Üyelk onksyonları bçmsel olarak, denetlenen sürecn özellklerne göre değşk şekllerde olablr. Özet olarak, klask Boolean mantığından br değer br kümenn ya elemanıdır (logc 1) ya da değldr (logc 0). Buna karşın bulanık mantıkta her değern her küme çn br üyelk dereces vardır. Bu 331

3 e-journal o New World Scences Academy Technologcal Appled Scences, A009, 4, (3), üyelk dereces 0, 1 kapalı aralığındadır. Başka br değşle br değer br kümenn kısm üyes olablr. Bu özellk sayesnde bulanık mantık nsan düşünce sstemn klask var/yok mantığına göre daha y modelleyeblr ve nsanın tecrübelern matematksel adelere çok daha doğru şeklde dönüştüreblr. Bu çalışmada ele alınacak bulanık doğrusal programlama problemlernn çözümü çn doğrusal üyelk onksyonu bçm kullanılmıştır. Kolaylık sağlaması bakımından bu tür üyelk onksyon bçm ve kullanılacak çözüm yöntemlernn karar vercnn kararına ve karar sürecnn rasyonellğne uygun olduğu ön varsayımı yapılmıştır. 4. BULANIK DOĞRUSAL PROGRAMLAMA (FUZZY LINEAR PROGRAMMNG) Bulanık matematksel programlama yöntemlernden br olan bulanık doğrusal programlama, bulanık ortamda karar vermey sağlayan br teknktr. Bulanık çevrede karar verme deym le, sınırlayıcıların ya da amaçların ya da her ksnn yapı olarak bulanık olduğu br karar sürec kastedlmektedr. Bu amaçların ya da sınırlayıcıların sınırları kesn olarak tanımlanmamış alternat gruplar çerdğ anlamına gelr. Amaç onksyonu le sınırlayıcıların kesşm sonucu elde edlen çözümlere se bulanık karar denr. Bulanık alternatler olarak adlandırılırlar. Alternatler uzayındak en yüksek üyelk derecesne sahp bulanık karar ya da kararlar se, optmum karar olarak adlandırılır. Bulanık programlamada amaç optmum karara ulaşmaktır [11]. 5. BULANIK DOĞRUSAL PROGRAMLAMANIN MATEMATIKSEL FORMÜLASYONU (THE MATHEMATICAL FORMULATION OF THE FUZZY LINEAR PROGRAMMING) Boyutlandırma problemnn amaç onksyonu, sınırlayıcılarındak belrszlk ve karmaşık yapısını çözmek çn bulanık kümeler kullanılmıştır. Başlangıçta bulanık küme blgler, her br sınırlayıcı onksyonunun yern tutan üyelk elemanları bulunmaktadır. Üyelk onksyonlarının bçm doğrusal seçlerek, bulanık geçş bölges en uygun şeklde tanımlanmış. Gelştrlen yöntemn ormülasyonu aşağıdak alt bölümlerde tanımlanmıştır. Bulanık doğrusal programlama amaç onksyonu (x) ve x boyutlandırma değşkenn durumu: mn ( X ) (1) Boyutlandırma sınırlayıcılarının durumu: ~ g X ) b, 1,..., m () ( alt üst X X X 1,,..., n Burada, amaç onksyonu (X ), g (X ) bulanık sınırlayıcı onksyonu ve boyutlandırma değşkenlernn alt ve üst sınır değerler X, X olarak tanımlanmıştır. alt üst 33

4 e-journal o New World Scences Academy Technologcal Appled Scences, A009, 4, (3), g (X) Şekl 1. sevye kesen le üyelk onksyonu (Fgure 1. ( g (X) Membershp uncton wth cut-level )) ~ Şekl 1 dek bulanık bölge b b, b p ve p bulanık tolerans mktarı olarak tanımlanır. Her bulanık sınırlayıcı çn p blnr. Dolaysıyla denklem () eştszlğnn sağ yan değer b p ) olarak elde edlr ve burada 0,1 ( dır. Bu durum, bulanık sınırlayıcılar problem kesn br parametrk programlama problemne dönüştürülmüştür. Denklem (1) ve () göre bulanık sınırlayıcıların üyelk onksyonları 1 g ( X ) b g( X ) b g( X ) 1 b g( X ) b p p 0 g( X ) b p olmalı. Burada (X ) üyelk onksyonu olarak tanımlanır. Tanımlanmış g sürekl ve monoton onksyonlar ve bulanık sınırlayıcılar arasında tolerans bölgesdr. Denklem (1) çözmek çn amaç onksyonları ve mn olarak tanımlanır. üst mn ( X ), sınırlayıcı g X ), X X X (4) ( b mn ( X ), sınırlayıcı g X ) b p, mn ( alt X alt üst p X X (5) Şekl. sevye kesen le üyelk onksyonu (X) (Fgure. ( (X) Membershp uncton wth cut-level )) 333

5 e-journal o New World Scences Academy Technologcal Appled Scences, A009, 4, (3), üyelk onksyonu (X ), Şekl dek amaç onksyonlarının durumu 1 ( X ) mn ( X ) mn ( X ) 1 mn ( X ) (6) mn 0 ( X ) olarak tanımlanmıştır. Dolaysıyla, mn değerlern kullanarak amaç onksyonu çn sürekl aratan doğrusal br üyelk onksyonu oluşturulur. Optmal çözüm, mn arasında br değer alacağı çn optmal çözümün değer arttıkça uygunluk değer de artacaktır. -sevye kesen yaklaşımında değer br optmum çözümünü verr. Yan amaç onksyonun üyelk derecesnn en büyük değer optmum karar ulaşmamızı sağlar. Üyelk dereces denklem (7) de verlmştr. ( X ) ( X ) mn ( x) 1 (7) mn mn Bulanık programlama çn -sevye kesen yaklaşımı aşağıda verldğ gbdr. Değşkenler olarak X, T alınmıştır. mn ( X ) (8) Sınırlayıcılar ( X ) ( mn ) 0 doğrusal çn (X ) (9) Denklem () de her br sınırlayıcı onksyonuna sağ yan değerlerne (1- ) eklenr g( X ) b (1 ) p, (10) elde edlr. alt üst 0,1 ve X X X burada denklem (9) doğrusal programlamada kullanılacaktır. 6. SAYISAL UYGULAMALAR (THE NUMERICAL APPLICATIONS) Doğrusal Programlama le boyutlandırma, değşkenler, sınırlayıcılar ve amaç onksyonu yardımı le tanımlanmakta ve boyutlandırma se blnen şartlar altında yapılmaktadır. Belrszlk altında br boyutlandırma durumunda se amaç onksyonu ve sınırlayıcılar belrsz veya bulanıktır. Bulanık amaç onksyonu ve bulanık sınırlayıcılar, üyelk onksyonu yardımı le karakterze edleblr. Br boyutlandırma problemnn Doğrusal Programlama le kurulan modelnde yer alan değşkenlern katsayıları, sağ tara sabtler ve amaç onksyonu boyutlandırmadan elde edlen blgler ışığında bulanık ortamda ncelenmekte ve Bulanık Doğrusal Programlama algortması le bulandırılarak alternatler araştırılmaktadır. Bu çalışmada, -sevye kesen yaklaşımı kullanılarak Bulanık Doğrusal Programlama algortması gelştrlmştr. Gelştrlen algortma ANSYS paket programında yazılmış ve algortma düzlem kaes sstemlern optmum boyutlandırılmasına uygulanmıştır Üç Çubuklu Düzlem Kaes Sstemn Optmum Boyutlandırılması (The Optmum Desgn O The 3-Bars Plane Truss System) Şekl 3 dek üç çubuklu kaes sstemn 1 düğüm noktasına yatayda ve düşeyde P 1000N yükler etk etmektedr. Bu yükler altında kaes sstemn bulanık doğrusal programlama kullanılarak optmum boyutlandırılması stenmektedr. Amaç onksyonu olarak yapı hacm 334

6 e-journal o New World Scences Academy Technologcal Appled Scences, A009, 4, (3), alınmış, bulanık sınırlayıcılar olarak çubuklarda oluşan gerlmeler le yatay (u) ve düşey (v) deplasmanlar göz önüne alınmıştır. Yükleme 6 noktasının yataydak müsaade edleblr deplasmanı 7.5x10 m ve 6 bulanık tolerans bölges 5.0x10 m olarak verlmştr. Aynı düğüm 6 noktasının düşeydek müsaade edleblr deplasmanı 5.0x10 m ve 6 bulanık tolerans bölges.5x10 m olarak verlmştr. 1 ve nolu 6 çubuklardak gerlmeler 1.5x10 Pa ve bulanık tolerans bölgeler 5 5.0x10 Pa olarak alınmıştır. 3 nolu çubuktak, Euler burkulma gerlmes Euler 0. 1Pa ve bulanık tolerans bölges 0.9x Euler olarak verlmştr. Bu sınırlayıcılar altında kaes sstemn optmum boyutlandırılması stenmektedr. Boyutlandırma değşkenler A A, A, T x, x x dr. T X 1 3 1, 3 1 m 1 m 3 4 A 1 A A 3 =A 1 1 m v u N 1000 N Şekl 3. Üç çubuklu düzlem kaes sstem (Fgure 3. 3-Bars plane truss system) sevyekesen yaklaşımının bulanık matematksel ormülasyonu aşağıdak gb ade edlmştr. mn ( X ) x1 x (11) Sınırlayıcılar 6 6 g 1( X ) u( X ) 7.5x10 5x10 (1 ) (1) 6 6 g ( X ) v( X ) 5x10.5x10 (1 ) (13) ( X ) ( X ) 1.5x10 5x10 (1 ) 5 ( X ) 3 / ( X ) (1 ) 6 5 g ( X ) ( X ) 1.5x10 5x10 (1 ) (14) g (15) g Euler (16) Problemn çözümü çn gerekl olan malzeme özellkler; 11 elastste modülü E.05x10 Pa, çubukların malzeme yoğunluğu x10 kg / m olup, malzeme k grupta toplanmıştır. Boyutlandırma değşkenlernn aralığı 10 4 x 10 1, olarak verlmştr. 335

7 e-journal o New World Scences Academy Technologcal Appled Scences, A009, 4, (3), Tablo 1. Üç çubuklu kaes sstemn optmum boyutlandırılması (Table 1. Optmum Desgn or 3-bars plane truss system) Bu çalışmada Shh [14] 4 4 * 4 4 * x 1 ( x10 ) x ( x10 ) ( X ) x1 ( x10 ) x ( x10 ) ( X ) m m kg m m kg Tablo 1 de üç çubuklu kaes sstemn doğrusal davrandığı gözönüne alınarak sevyekesen yaklaşımının 0,1 aralığındak değerlernn arklı sevyelerne tekabül eden x 1 ve x çn optmum boyutlandırma değerler verlmştr. Bu optmum boyutlandırma sonuçları Shn nn [14] çalışmasındak sonuçlar le karşılaştırmış ve uygun değerler elde edldğ görülmüştür. Şekl 4. α-sevye kesenn amaç onksyonuna ve boyutlandırma değşkenne bağlı değşm (Fgure 4. The varaton o α cut-level related to obectve uncton and desgn varable) Şekl 3 de [0,1] değerler arasındak değşme bağlı olarak yapı hacm ve kest alanlarının değşm grağ verlmştr. Bu çalışmada amaç onksyonunun mn ve olarak ade edlen değerler sırasıyla ve 3.55 kg olarak elde edlmştr. Bu değerler denklem (7) yerne yazılırsa 336

8 e-journal o New World Scences Academy Technologcal Appled Scences, A009, 4, (3), ( X ) ( x) (17) amaç onksyon değer elde edlr. Bu üyelk onksyonu ve bulanık parametreler ANSYS paket program çersne yazılarak bulanık doğrusal boyutlandırma algortması oluşturulmuştur. Optmum boyutlandırma sonuçları Shh n [14] çalışması le karşılaştırılarak Tablo de verlmştr. Tablo. Üç çubuklu kaes sstemn bulanık dogrusal programlama le boyutlandırması (Table. The desgn o 3-bars truss system wth uzzy lnear programmng) Değşkenler, Amaç Fonksyonu Bu Çalışmada Shh [14] 4 x ( x10 ) m x ( x10 ) m Bulanık Doğrusal (x) kg Tablo de gelştrlen algortma le lteratürdek çok amaçlı optmzasyon sonucu karşılaştırıldığında %99.98 yakınsama başarısı gösterlmş ve kısa sürede uygun sonuç elde edlmştr. 6.. On Çubuklu Kaes Sstemn Optmum Boyutlandırılması (The Optmal Desgn O The 10-Bars Plane Truss System) Bulanık doğrusal programlama le optmum boyutlandırma çn knc örnek olarak Şekl 5 de görülen 10 çubuklu düzlem kaes sstem alınmıştır. Sstemn mesnet olmayan düğüm sayısı 4, elastste modülü 1x10 7 ps olup çubuklar on grupta toplanmıştır. Başlangıç kest alanı 0 n olarak seçlmştr. Sstemn 4 ve 6 lu düğüm noktalarının y yönünde yüklemeler mevcuttur. Amaç onksyonu olarak sstemn mnmum yapı hacm stenmekte ve sınırlayıcı olarak çubukların gerlmeler le 4 ve 6 düğüm noktalarının x, y yönündek deplasmanları n olarak gözönüne alınmıştır. ( alt) ( üst) Boyutlandırma değşkenlernn A A A ; 1,,..., 10 sınır ( alt) ( üst) değerler A 0.1n, A 50n,( 1,,3...,10) olarak verlmştr. ( alt ) ( üst) Gerlme sınırlayıcılarının ; 1,,3, sınır değerler ( alt) ( üst) 5000 ps, 5000 ps, ( 1,,3,...,10) olarak verlmş ve bulanık ( alt) ( üst) tolerans bölges 10000ps, 10000ps, ( 1,,3,...,10) olarak alınmıştır. Sstemn bulanık optmum boyutlandırılması stenmektedr. 337

9 e-journal o New World Scences Academy Technologcal Appled Scences, A009, 4, (3), n n n 6 Şekl 4. On çubuklu düzlem kaes system (Fgure Bars Plane Truss System) Tablo 3. On çubuklu kaes sstemn bulanık doğrusal programlama le boyutlandırması (Table 3. The desgn o 10-bars truss system wth uzzy lnear programmng) A1 A A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 α (x) 0 çn lb lb 1 çn Optmum Boyutlandırma Tablo 3 de 0 durumunda gerlmenn tolerans sınırlayıcı değerler göz önünde alınarak optmum boyutlandırma yapıldığında amaç onksyonu mn lb olarak bulunmuştur. 1 olması durumunda se optmum boyutlandırma lb elde edlmş ve bu durum aynı zamanda klask optmzasyon sonucuna eşttr. Bulanık doğrusal programlama çn gerekl optmum karar onksyonu denklem (7) de yerne yazılırsa ( X ) ( ) 0 (18) elde edlr. Bu denklem aynı zamanda bulanık amaç onksyonu (X ) dr. Denklem (18) ANSYS paket programında oluşturulan algortma çersnde yazılarak üyelk onksyon değer elde edlmş ve 338

10 e-journal o New World Scences Academy Technologcal Appled Scences, A009, 4, (3), amaç onksyonun bulanık optmum değer edlr. olarak elde ( X ) lb Tablo 4. On çubuklu düzlem kaes sstemn lteratürdek çalışmalar le karşılaştırılması (Table 4. The compresson o 10-bars truss system wth the results o lterature studes) Kest Alanları (n ) Gelleatly [15] Venkayya [16] Schmt [17] Qan [18] Belegundu [19] Camp [0] Bu Çalışmada A A A A A A A A A A Yapı Hacm mnf(x) (n 3 ) Tablo 4 da on çubuklu kaes sstemn geleneksel optmzasyon yöntemlerne karşı bulanık sınırlayıcılar ve üyelk onksyonu altında daha uygun sonuç verdğ görülmüştür. 7. SONUÇLAR (CONCLUSIONS) Bulanık doğrusal programlama yöntem, kesn (klask) doğrusal programlama yöntem kullanılarak çözüleblen problemlere br karar sürecnde görülen belrszlk dahl edldğnde kullanılan br yöntemdr. Günümüzde brçok karar sürecnn belrsz br yapıya sahp olduğu düşünülürse, bulanık doğrusal programlamanın etkn ve kullanışlı br yöntem olduğu sonucuna varılablr. Yapılan bu çalışma le bulanık doğrusal programlama algortması ANSYS paket programlama ortamında oluşturulmuş ve düzlem kaes sstemlern boyutlandırılmasında kullanılablrlğ ortaya konulmuştur. Yapılan bu çalışmanın lk örneğ lteratürde sıklıkla karşımıza çıkan üç çubuklu düzlem kaes sstem ele alınmış. Bu kaes sstem gelştrlen algortma le çözülerek, Shh [14] çalışmasındak sonuçlarla karşılaştırılmış ve %99.98 br yakınsama sağlanarak gelştrlen algortmanın geçerllğ kanıtlanmıştır. Sayısal çözümlerdek kaes sstemlern sonuçları kesn (klask) çözümlerle karşılaştırılmış ve y sonuçlar elde edlmştr. Bu yöntem genel amaçlı olup mühendslk sstemlern optmum boyutlandırılmasını yapablmektedr. Bu program küçük br yazılım le kısa sürede sonucu verdğnden, zamandan tasarru sağladığı gb uzun terasyon şlemler yapmaya gerek kalmayacaktır. KAYNAKLAR (REFERENCES) 1. Peker, H., (1995). Fuzzy (Bulanık) Lok Uygulamaları, Osman Gaz Ünverstes, Fen blmler, Yüksek lsans tez.. Zadeh, L., Fuzzy Sets, Inormaton and Control 8, Zmmermann, H.J., (1974). Optmzaton In Fuzzy Envronment. XXI Internatonal TIMS and 46 th Conerence, San Juan, Perto Rco, 4. Tanaka, H., Okuda, T., and Asa, K., (1974). On Fuzzy Mathematcal Programmng, J. Cybernetcs 3,

11 e-journal o New World Scences Academy Technologcal Appled Scences, A009, 4, (3), Jung, C.Y. and Pulmano, V.A., (1996). Improved Fuzzy Lnear Programmng Model For Structure Desgns. Computers &Structures Vol. 58, No. 3, Zmmermann, H.-J., (1978). Fuzzy Programmng and Lnear Programmng wth Several Obectve Functons, Fuzzy Sets and Systems, 1, Rao, S.S., Sundararau, K., Prakash, B.G., and Balakrshna, C., (199). Multobectve Fuzzy Optmzaton Technques or Engneerng Desgn, Computers &Structures, Vol. 4, No. 1, pp Yuan, W.G. and Quan, W.W., (1985). Fuzzy Optmum Desgn o Structures. Engneerng Optmz. 8, Brown, C.B. and Yao J.T.O., (1983). Fuzzy Sets and Structures Engneerng. ASCE J. Struct.Engng., 109, Chen, L. and Rao, S.S., (1997). Fuzzy Fnte-Element Approach or The Vbraton Analyss o Imprecsely-Dened Systems. Fnte Elements n Analyss and Desgn, 7, , (00). Lneer Olmayan Uzay Kaes Sstemlern Bulanık Mantık Yöntem le Optmzasyonu, Doktora Tez, Fırat Ünverstes Fen Blmler Ensttüsü, Elazığ. 1. Kelesoglu, O. and Ulker, M., (005). Mult-Obectve Fuzzy Optmzaton o Space Trusses by Ms-Excel, Advances n Engneerng Sotware, 36, ve Ülker, M., (005). Fuzzy Optmzaton o Geometrcal Nonlnear Space Truss Desgn, TUBITAK, Turksh J. Eng. Env. Sc., 9, Shh, C.S., Ch C.C., and Hsao, J.H, (003). Alternatve - Level-Cuts Methods or Optmum Structural Desgn wth Fuzzy Resources, Computers & Structures, 81, Gelleatly, R.A. and Berke, L., (1971). Optmal Structural Desgn, Report No. AFFDL-TR , Ar Force Flght Dynamcs Laboratory, Wrght Patterson Ar orce Base, Oho. 16. Venkayya, VB.., (1971). Desgn o Optmum Structures. Int J Computers & Structures, Schmt, L.A., (1975). Mura II. Approxmaton Concepts or Ecent Structural Synthess, NASA CR-55, Qan, L.X., Zhang, W.X., Su, Y.K., and Zhang, J.T., (198). Ecent Optmum Desgn o Structures-Program DDDU. 19. Belegundu, A.D., (1986). Study o Mathematcal Programmng Methods or Structural Optmzaton, PhD thess, Unversty o Iowa Cty, Iowa. 0. Camp, C., Shahram, P., and Guozhong, C., (1998). Optmzed Desgn o Two-Dmensonal Structures Usng Genetc Algorthm, J Struct Eng., 14(5):