9. SINIF MATEMATİK KONU ÖZETİ

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "9. SINIF MATEMATİK KONU ÖZETİ"

Transkript

1 SINIF MATEMATİK KONU ÖZETİ TOLGA YAVAN Matematik Öğretmeni

2 1. ÜNİTE: MANTIK İnsan diğer canlılardan ayıran en önemli özelliklerden biri düşünebilme yeteneğidir. Bireyler karşılaştıkları günlük olayları akıl süzgecinden geçirerek anlamlı kılarken, analiz ederken ya da olası sonuçları tahmin ederken düşünce üretirler. Dolayısı ile bireyler arası yarışmalarda problemlerin çözümünde düşünce üretiminin öne çıkarılması önemli bir göstergedir. Hemen her olguda olduğu gibi doğru düşünme kurallarının ortaya çıkması da tarih içinde bir gelişim izlemiştir. Buna bir başlangıç noktası seçilemez. Ancak, Antik Çağ dan günümüze gelen kanıtlarda mantık ile uğraşan düşünürlerin var olduğu görülmektedir. Bunlar arasında, mantık biliminin oluşmasında en etkili olanı Aristoteles (Aristo) dur. MÖ yıllarında ortaya çıkan usa vurma kurallarını Aristoteles sistemleştirmiştir. Organon (Alet) adlı 14 usa vurma kuralı, syllogism (selocizm) ortaya koymuştur. Bu kurallar, bugünkü biçimsel mantığın temellerini oluşturmaktadır ve 2000 yılı aşkın bir zaman dilimi içinde insanoğlunun düşünme ve doğruyu bulma eylemini etkilemiştir. Organon, insanlığa bırakılmış en büyük miraslardan biridir. Kısacası yaşamımız boyunca düşünme, hepimiz için çok önemlidir. Ancak ondan da önemlisi oluşturulan düşüncenin dayanaklarının doğru, kanıtlanmış, bilinen, görülen ve elde edilen doğrulardan yola çıkılarak üretilmiş olmasıdır. Düşüncenin bir başka özelliği karşısındakini de düşünce üretmeye yöneltmesidir. Böylesine anlamlı düşünme ve akıl yürütme yoluna Mantık dendiği bilinmektedir. Öyleyse mantık, temelleri yaklaşık 2500 yıl önce Aristo tarafından atılan, günümüze kadar sürekli geliştirilen, anlamlı ve sistemli düşünce üretme kurallarına dayanan bir yapıdır, denebilir. Günümüzde mantık, Aristo Mantığı ve Sembolik Mantık adlı iki ana başlık altında işlenmektedir. Yine bilindiği gibi Sembolik Mantık da kendi içinde iki alt başlığa ayrılmaktadır. Matematikçilerin çok kullandığı bu alt başlıklardan biri Önermeler Mantığı diğeri de Niceleyiciler Mantığı dır. Bilim dallarının tümünde ana dayanak olarak mantıklı düşünce kullanılır. Bilimin kavramlarını oluşturmada, aralarında ilişki kurmada ve onları yorumlamada mantıklı düşünme öne çıkar. Mantıklı düşünce ile en iyi uyum sağlayan bilim dalı matematik olarak bilinir. Ünlü fizikçi Einstein (Aynştayn) ın Matematik mantıklı düşünce yoludur. sözü de bilinen bu gerçeği vurgulamaktadır. Eğer bir birey mantık kavramını tam olarak öğrenir ve sembolik mantığı doğru kullanabilirse matematiği öğrenmede de büyük kolaylık sağlar düşüncesi vardır. O nedenle bireye mantıklı düşünme yollarını kazandırma matematik öğretiminin genel amaçları arasında yerini almıştır. Terim ve Tanım Bir bilim dalıyla ilgili özel anlam içeren sözcüklere, o bilim dalının terimleri denir. Bir terimin anlamını belirlemeye o terimi tanımlamak denir. Matematikte herhangi bir terim kendisinden önce tanımlanmış olan terimlerden yararlanılarak tanımlanırsa bu terime tanımlı terim adı verilir. Bazı terimleri ise tanımlayamayız, sezgi yoluyla kavrarız. Bu terimlere tanımsız terimler adı verilir. Nokta terimi tanımsız bir terimdir. Buna karşılık eşkenar üçgen, tüm kenar uzunlukları eşit olan üçgen şeklinde tanımlanan bir tanımlı terimdir. Tanımın Özellikleri 1. Tanım, tanımsız terimlere ya da daha önce tanımlanmış terimlere dayanmalıdır. 2. Tanım, daha önce (başka terimler İçin) yapılan tanımlarla çelişmemelidir. 3. Tanım, terimi hiçbir şüphe bırakmayacak kadar kesin olarak tanımlamalıdır. Önerme: Doğru ya da yanlış bir hüküm bildiren ifadelere önerme adı verilir. Önermeler p, q, r, s, t gibi harflerle isimlendirilir. Matematiksel mantık önermelerle uğraşır. Her önerme bir yargı, bir bildirim, bir bilgidir. Önermelerin Doğruluk Değeri Bir önermenin doğru ya da yanlış olması, bu önermenin doğruluk değeridir. Önerme doğru ise doğruluk değeri 1 ya da D ile, yanlış ise doğruluk değeri 0 ya da Y ile gösterilir. Doğruluk değerleri genellikle doğruluk tablosu denilen bir tablo ile gösterilir. 1

3 Birbirinden bağımsız n tane önermenin doğruluk tablosunda 2 n tane farklı değer satırı bulunur. p q Böyle bir tablo oluşturmak için: 1. Önce bağımsız önerme sayısı tespit edilir. Bağımsız önerme sayısı n ise tabloya tane değer satırı ve önerme sayısı kadar sütun çizilir. İlk n sütuna bağımsız değer alan önermeler yazılır. 2. İlk sütunda satırların ilk yarısı 1, diğer yarısı 0 ile doldurulur. 3. İkinci sütunda, ilk sütunda 1 olan satırların ilk yarısı 1, ikince yarısı 0; ilk sütunda 0 olan satırların ilk yarısı 1, ikinci yarısı 0 olarak doldurulur. 4. Bağımsız değer alan önermelere ait satırlar bir önceki sütuna bakılarak 3. adıma benzer şekilde doldurulur. 5. Bağımsız değer alamayan önermelere ait satırlar bağlaç ve değilleme kurallarına göre doldurulur. Denk Önermeler Doğruluk değeri aynı olan önermelere denk önermeler adı verilir. Denklik şeklinde gösterilir. "Senenin dokuzuncu ayındayız" önermesi ile "Eylül ayındayız" denk önermelerdir. Bir Önermenin Olumsuzu (Değili) Hükmünün olumsuzu alınarak oluşturulan yeni önerme, bu önermenin olumsuzu (değili) olarak adlandırılır. p önermesinin değili veya olumsuzu ve p' şeklinde gösterilir. Bir önerme ile değilinin değili denktir: ( ) p pˊ "Ev sıcak" önermesinin değili, "ev sıcak değil"; "a = 5" önermesinin değili a 5 önermesidir. BİLEŞİK ÖNERMELER İki veya daha fazla önermenin ve, veya, ise, ancak ve ancak gibi bağlaçlarla birleştirilmesinden elde edilen önermelere bileşik önerme adı verilir. Bileşik olmayan önermelere basit önerme denir. p q p q p q p q p q diğer hallerde diğer hallerde diğer hallerde veya diğer hallerde 0 VE İLE VEYA BAĞLAÇLARININ ÖZELLİKLERİ Her p, q, r önermesi için, 1. p p p ve p p p (Tek kuvvet özelliği) 2. p q q p ve p q q p (Değişme özelliği) 3. (p q) r p (q r) ve (p q) r p (q r) (Birleşme özelliği) 4. p (q r) (p q) (p r) ve p (q r) (p q) (p r) (Soldan dağılma özelliği) özellikleri vardır. De Morgan Kuralları Her p ve q önermesi için, (p q)ˊ pˊ qˊ ve (p q)ˊ pˊ qˊ dir. Bu denklikleri ilk bulan Augustus De Morgan (Ogust Dö Morgın) olduğu için, bu kurallara De Morgan Kuralları denir. İSE BAĞLACI (Koşullu Önerme) İse bağlacı sembolü ile gösterilir. İse bağlacı ile bağlanmış p ile q önermeleri p q biçiminde yazılır. p ise q diye okunur. p q bileşik önermesine koşullu önerme denir. p q önermesinde verilen p ve q önermelerinin; Yerleri değiştirilerek elde edilen önermeye p q önermesinin karşıtı denir. p q önermesinin karşıtı q p olarak gösterilir. Olumsuzları alınarak elde edilen önermeye p q önermesinin tersi denir. p q önermesinin tersi pˊ qˊ olarak gösterilir. Hem olumsuzları alınıp hem de yerleri değiştirilerek elde edilen önermeye p q önermesinin karşıt tersi denir. p q önermesinin karşıt tersi qˊ pˊ olarak gösterilir. p ve q önermeleri için p q pˊ q dur. ANCAK VE ANCAK BAĞLACI (İki Yönlü Koşullu Önerme) Ancak ve ancak bağlacı sembolü ile gösterilir. Ancak ve ancak bağlacı ile bağlanmış p ile q önermeleri p q biçiminde yazılır. p ancak ve ancak q diye okunur. Her p ve q önermeleri için, p q (p q) (q p) dir. TOTOLOJİ VE ÇELİŞKİ Bileşenlerinin doğruluk değerlerinden bağımsız olarak, her zaman doğru olan bileşik önermelere 2

4 totoloji; bileşenlerinin doğruluk değerlerinden bağımsız olarak, her zaman yanlış olan bileşik önermelere ise çelişki denir. AÇIK ÖNERMELER İçinde en az bir değişken bulunduran ve bu değişkenin aldığı değerlere göre doğru ya da yanlış hüküm bildiren önermelere açık önerme denir. Değişkenin açık önermeyi doğrulayan değerlerinin kümesine açık önermenin doğruluk kümesi denir. Denklem ve eşitsizlikler de birer açık önermedir. HER VE BAZI NİCELEYİCİLERİ VE Bazı niceleyicisi sembolü ile gösterilir, en az bir anlamına da gelir. Bu niceleyiciye varlıksal niceleyici denir. Her niceleyicisi sembolü ile gösterilir. Bu niceleyiciye evrensel niceleyici denir. Bazı niceleyicisinin olumsuzu her niceleyicisi, her niceleyicisinin olumsuzu da bazı niceleyicisidir. İSPAT YÖNTEMLERİ, TANIM, AKSİYOM VE TEOREM Doğruluğu ispatsız kabul edilen önermelere aksiyom adı verilir. p 1 olmak şartıyla, p q koşullu önermesi doğru ise bu önermeye teorem denir. p q teoreminde, p önermesi hipotez, q önermesi hüküm olarak isimlendirilir. 0 1 koşullu önermesi doğru olmasına karşın bir teorem değildir. Çünkü bir koşullu önermenin teorem olabilmesi için hem kendinin hem de hipotezinin doğru olması gerekir. Bir teoremin hükmünün, hipotezinden elde edilebileceğini, veya başka bir deyişle hükmün, hipotezin bir sonucu olduğunu göstermeye ispat adı verilir. Bir teoremin ispatlanması için kullanılan çeşitli yöntemler vardır. 3 Teoremin hipotezinin doğruluğundan yola çıkarak hükmünün de doğru olduğunun gösterilmesine doğrudan ispat yöntemi denir. Hükmün olumsuzundan hareketle hipotezin olumsuzunu elde etmeye olmayana ergi yöntemi ile ispat denir. Hipotezin doğru olduğu kabul edilip hükmün olumsuzunun hipotez ile çeliştiğinin gösterilmesine çelişki yöntemi ile ispat denir. Bir önermenin yanlışlığı için olumsuz bir örnek bulunarak ispatlama yöntemine aksine örnek vererek ispat yöntemi denir. Önemli Kurallar: 1. p p 1 p 3. p 0 p 4. p p q q' p' 9. p q (p q) (q p) 2. ÜNİTE: KÜMELER Kümeler, matematiğin nesnelerden oluşan, iyi tanımlanmış toplulukların özelliklerini inceleyen dalıdır. Söz konusu nesneler matematiksel nitelikli (ör. sayılar ya da fonksiyonlar) olabileceği gibi böyle bir niteliği taşımıyor da olabilir. Kümeler kuramı günlük yaşamda da kullanılmaktadır. Ancak kuramın, karmaşık matematiksel kavramların oluşturulmasında bir araç olarak kullanımı daha önemlidir. Sezgisel olarak küme kavramı, sayı kavramından daha önce geliştirilmiştir. Bir sürüdeki hayvanların, hiçbir sayma işlemi yapmaksızın bir torbadaki taş parçalarıyla ya da bir çubuğa açılan çentiklerle eşleştirilmesi buna bir örnek oluşturur. Matematik dilinde uluslararası birlik sağlama gereksinimi on dokuzuncu yüzyıl sonlarına doğru zorunlu hâle geldi. Alman matematikçi George Cantor (Corç Kantor) ( ) sonlu ve sonsuz kümeleri oluşturmak amacıyla ilk çalışmaları yapanlardan biridir. Cantor matematiksel küme kavramı ile uğraşmıştır. Aynı dönemlerde Bernard Bolzano (Bernart Balzano) (1851), sayılabilme problemini ortaya koyan sonsuz kümeler üzerine çalışmalar yapmış ve yayımlamıştır. Frege (Frek) 1893 yılında Aritmetiğin Temel Yasaları isimli yapıtının ilk cildinde Cantor unkine

5 çok yakın bir küme kavramı oluşturmuştur. Frege çalışmalarında sayıların tanımını küme kavramına dayalı olarak yeniden vermeyi denemiştir. Küme, matematiğin en temel terimlerinden birisi olmasına rağmen tanımsız bir terimdir. Kümeleri göstermek için üç farklı yöntem vardır: 1. Liste Yöntemi: Liste yönteminde; küme adı büyük harfle yazılır, küme parantezi oluşturulur ({ >), kümenin elemanları aralarına virgül koymak suretiyle parantez içine sıralanır. 2. Venn Şeması yöntemi: Venn şeması yönteminde; Venn şeması adı verilen kapalı eğri çizilir, küme adı eğrinin dışına büyük harfle yazılır, küme elemanları irice noktalarla belirtilir, bu noktaların yanına adları yazılır. 3. Ortak Özellik Yöntemi: Ortak özellik yönteminde; küme adı büyük harfle yazılır, küme parantezi oluşturulur ({ >), küme elemanlarını temsil eden değişken yazılır ve "öyle ki" şeklinde okunan : konur, küme elemanlarının ortak özelliklerinin tamamı yazılır. Bir a elemanının, bir A kümesine: 1. Ait olduğunu göstermek için sembolü kullanılır: a A 2. Ait olmadığını göstermek için de sembolü kullanılır: a A SONLU VE SONSUZ KÜME Sonlu sayıda elemandan oluşan kümelere sonlu küme, sonlu sayıda elemandan oluşmayan kümelere de sonsuz küme denir. Sonlu bir A kümesinin eleman sayısı s(a) ile gösterilir. BOŞ KÜME Hiçbir elemanı olmayan kümeye boş küme denir ve veya {} şeklinde gösterilir. Boş küme asla {0} şeklinde gösterilmez. ALT KÜME Bir A kümesinin her elemanı, bir B kümesinin de elemanı ise A kümesi B kümesinin alt kümesidir. A kümesi, B kümesinin alt kümesi olduğunda B kümesinin A kümesini kapsadığı söylenir. A B işareti A kümesinin B kümesinin alt kümesi olduğu; B A işareti ise B kümesinin A kümesini kapsadığı anlamına gelir. Her küme kendinin bir alt kümesidir. Boş küme her kümenin alt kümesidir. 4 Bir kümenin kendisinden farklı alt kümelerine öz alt kümeleri adı verilir. Bir A kümenin bütün alt kümelerinin kümesine A nın kuvvet kümesi denir ve P(A) ile gösterilir. Alt Küme Sayısına Ait Temel Değerler 1. n elemanlı bir kümenin k elemanlı alt kümelerinin sayısı C(n,k) kombinasyonuna eşittir. ( ) ( ) ( ) 2. Eleman sayısı n olan bir kümenin toplam 2 n tane alt kümesi, 2 n 1 tane öz alt kümesi vardır. Özellikleri 1. ( ) ( ) 2. ( ) ( ) 3. ( ) ( ) ( ) Özel Alt Küme Sayılarının Bulunmasına Dair Teoremler 1. n elemanlı herhangi bir A kümesinin herhangi bir a elemanı, kümenin tüm alt kümelerinin yarısında bulunur, diğer yarısında bulunmaz. 2. n elemanlı herhangi bir A kümesinin herhangi bir a elemanının bulunduğu alt kümelerin yarısında herhangi bir b elemanı bulunur, diğer yarısında bulunmaz. 3. n elemanlı herhangi bir A kümesinin herhangi bir a elemanı, k elemanlı alt kümelerin ( ) kadarında bulunur, gerisinde bulunmaz (n > k). 4. s(a) = k, s(b) = n ve k < n olmak üzere, AKB olacak şekilde tane farklı K kümesi yazılabilir. Örnek: 5 elemanlı A = {1,2,3,4,5} kümesinin toplam alt kümesinin yarısında, yani 16 tanesinde 1 elemanı bulunur, 16 tanesinde ise bulunmaz. A kümesinin 1 elemanını bulunduran 16 alt kümesinin yarısında, yani 8 tanesinde 2 elemanı bulunur, 8 tanesinde ise bulunmaz.

6 A kümesinin 1 elemanını bulundurup 2 elemanını bulundurmayan 8 alt kümesinin yarısında, yani 4 tanesinde 3 elemanı bulunur, 4 tanesinde bulunmaz. 4 elemanlı A = {a, b, c, d} kümesinin c elemanı 3 elemanlı alt kümelerin ( ) ( ) tanesinde bulunur; C(4,3)-3=1 tanesinde bulunmaz. Örnek: A = {a, b, c, d, e} kümesinin kaç tane alt kümesinde a ve c elemanlarından en az birinin bulunacağını bulalım. A kümesinin tane alt kümesi vardır. Buna göre, 32:2 = 16 alt kümede a elemanı; 16:2 = 8 alt kümede a ve c elemanı bulunmaz. Öyleyse 32-8=24 alt kümede a ve c elemanlarından en az biri bulunur. Örnek: A = {1,2,3} ve B = {1,2,3,4,5} olmak üzere, ACB şartını sağlayan kaç farklı C kümesi yazılabileceğini bulalım. s(a) = 3, s(b) = 5 olduğuna göre, C kümesi farklı şekilde oluşturulabilir. DENK VE EŞİT KÜMELER Aynı elemanlardan oluşan kümelere eşit kümeler; eleman sayıları aynı olan kümelere denk kümeler denir. Herhangi A ve B kümesinin eşitliği A = B, denkliği ise A B biçiminde ifade edilir. Eşit iki küme daima denktir. KÜMELERDE İŞLEMLER A ve B kümelerinin elemanları ile oluşturulabilen en geniş kümeye A ve B kümelerinin birleşim kümesi adı verilir ve A B şeklinde gösterilir. A B={x: x A x B} A ve B kümelerinin ortak elemanları ile oluşturulan kümeye A ve B kümelerinin kesişim kümesi adı verilir ve A B şeklinde gösterilir. A B={x: x A x B} İkiden fazla kümenin kesişimi benzer şekilde tanımlanır. Kesişim kümeleri boş olan kümeler ayrık kümeler olarak adlandırılır. Kümelerde Birleşim ve Kesişim İşleminin Özellikleri 1. Tek kuvvet özelliği A A=A ve A A=A 2. Değişme özelliği A B=B A ve A B=B A 5 3. Birleşme özelliği A (B C)=(A B) C ve A (B C)=(A B) C 4. Dağılma özelliği A (B C)=(A B) (A C) ve A (B C)=(A B) (A C) Boş küme ilişkileri A = A=A ve A = A= Kapsama ilişkileri 1. A B=B A B 2. A B=A A B 3. A A B ve B A B 4. A B A ve A B B BİRLEŞİM KÜMESİNİN ELEMAN SAYISI A ve B kümesinin birleşim kümesinin eleman sayısı, s(a B)=s(A)+s(B) s(a B) A, B ve C kümelerinin birleşim kümesinin eleman sayısı, s(a B C)= s(a)+s(b)+s(c) s(a B) s(a C) s(b C)+s(A B C) bağıntıları ile bulunur. EVRENSEL KÜME VE TÜMLEME Kümelerle yapılan işlemlerde işleme katılan, tüm kümeleri kapsayan en geniş kümeye evrensel küme denir ve E ile gösterilir. A kümesinde olmayan fakat E kümesinde olan elemanların oluşturduğu kümeye A kümesinin tümleyeni denir ve bu küme A' ile gösterilir. A kümesi ve A' kümesinin hiç ortak elemanı yoktur. A kümesi ile A' kümesinin eleman sayıları ile E kümesinin eleman sayıları arasında s(a)+s(a')=s(e) bağıntısı vardır. Evrensel kümenin özellikleri 1. E'= ve '=E 2. A E=E ve A E=A Tümleyen Küme A kümesinin elemanı olmayan evrensel küme elemanlarının oluşturduğu kümeye A kümesinin tümleyen kümesi denir ve A' şeklinde gösterilir. A'={x : x E x A}

7 Tümleyen kümenin özellikleri 1. (A') = A 2. A A'=E s(a) + s(a') = E 3. A A'= De Morgan kuralları 1. (A B)'=A' B' 2. (A B)'=A' B' İKİ KÜMENİN FARKI A kümesinde olan fakat B kümesinde olmayan elemanların kümesine A fark B kümesi denir ve A B biçiminde gösterilir. B kümesinde olan fakat A kümesinde olmayan elemanları n kümesine de B fark A kümesi denir ve B A biçiminde gösterilir. 3. ÜNİTE: BAĞINTI - FONKSİYON İŞLEM Fonksiyon terimi, bir çokluğun bir başkasına bağlı olarak değişmesi anlamıyla ilk kez 1673 yılında Leibniz (Laybniz) tarafından kullanıldı. Leibniz buna örnek olarak, Dairenin alanının r yarıçapına bağlı olarak r nin bir fonksiyonu, Serbest düşen bir topun hızının yere değinceye kadar geçen t zamanına bağlı olduğunu, hızın zamanının fonksiyonu olduğunu göstermiştir. Aynı yıllarda Euler (Öylır), fonksiyonu harflerle göstermek için formüller arıyordu. Sonunda, f fonksiyonu göstermek üzere, y = f(x) bağıntısını uygun buldu. Bunun y, x in bir fonksiyonudur. biçiminde okunmasını istemiştir. Buradaki x e f nin bağımsız değişkeni ve y ye f nin bağımlı değişkeni denir. Dirichlet (Dirihle) de fonksiyonu, bir kural içermesi ve bir kümenin her bir elemanını, diğer kümenin sadece bir elemanı ile eşleme olarak tanımladı da fonksiyon ile ilgili matematik programlarında kullanılan en iyi tanım Bourbaki (Burbek) in küme teorisi anlamında düzenlediği bir tanımdır. Bu tanım şöyle idi: A ile B ayrık olan ya da ayrık olmayan ve boş olmayan iki küme olsun. Eğer A kümesindeki tüm x lerin her birine, f ile verilen bağıntı ile B kümesindeki sadece bir tek y karşılık geliyorsa verilen bağıntı, A nın x değişken elemanları ile B nin y değişken elemanları arasındaki fonksiyon olarak adlandırılır. Günümüzde kullandığımız fonksiyon tanımı Dirichlet - Bourbaki tanımı olarak bilinmektedir. SIRALI İKİLİ (a, b) sıralı ikilisinde a ya sıralı ikilinin birinci bileşeni, b ye ise ikinci bileşeni denir. (a, b) sıralı ikilisi ile (b, a) sıralı ikilisi birbirinden farklıdır. Sıralı ikililerin eşitliği, (a, b) = (c, d) a = c b = d biçiminde ifade edilir. İKİ KÜMENİN KARTEZYEN ÇARPIMI Boş kümeden farklı A ve B kümeleri için 1. bileşeni A kümesinden, 2. bileşeni B kümesinden olmak üzere yazılan tüm sıralı ikililerin kümesine A ile B kümelerinin kartezyen çarpım kümesi denir ve A x B ile gösterilir. Bu durum, A x B = { (x, y) x A y B } biçiminde ifade edilir. Ayrıca s(a x B) = s(a).s(b) dir. Kartezyen çarpımının özellikleri: A, B ve C boş kümeden farklı kümeler olmak üzere, 1. A x B B x A 2. A x = x A = 3. A x (B C) = (A x B) (A x C) 4. A x (B C) = (A x B) (A x C) 5. A x B = A = veya B = özellikleri vardır. BAĞINTI A x B kümesinin alt kümelerinin her birine A dan B ye bir bağıntı denir. β kümesi A dan B ye bir bağıntı ise β (A x B) olarak ifade edilir. (x, y) β ise y elemanı β bağıntısı ile x e bağlıdır ve bu durum y β x şeklinde gösterilir. Eğer β, A x A nın bir alt kümesi ise β ya A dan A ya bağıntıdır veya β, A da tanımlı bir bağıntıdır denir. A x B kümesinin alt kümelerinin her biri A dan B ye bağıntı sayısı, AxB kümesinin alt küme sayısına eşittir. O hâlde A dan B ye bağıntı sayısı: 2 s(a).s(b) dir. BİR BAĞINTININ TERSİ A ve B boş kümeden farklı olmak üzere β, A dan B ye bir bağıntı olsun. β bağıntısındaki elemanların bileşenlerinin yerleri değiştirilerek elde edilen yeni bağıntıya β bağıntısının tersi denir ve β 1 ile gösterilir. β 1 bağıntısı B den A ya tanımlıdır. Bu durumda, β = { ( x, y) x A y B } A x B β 1 = { ( y, x) x A y B } B x A olur. 6

8 Her β bağıntısının grafiği aynı düzlemde y = x doğrusuna göre simetriği β 1 bağıntısının grafiğidir. BAĞINTININ ÖZELLİKLERİ A olmak üzere, β A x A olsun. 1. Yansıma özelliği: x A için (x, x) β oluyorsa β bağıntısına yansıyan bağıntı veya β bağıntısının yansıma özelliği vardır denir. Analitik düzlemde y=x doğrusu üzerinde bulunan tüm elemanlar β bağıntısına ait ise β yansıyandır. ( s(a)=n ise A da ) tane yansıyan, ( ) tane yansıyan olmayan bağıntı vardır. 2. Simetri özelliği: (x, y) β iken (y, x) β oluyorsa β bağıntısına simetrik bağıntı veya β bağıntısının simetri özelliği vardır denir. Analitik düzlemde β simetrik ise β ve β -1 aynı kümededir. Analitik düzlemde β ; köşegene göre simetrik ise β simetriktir. ( ) s(a)=n ise A da tane simetrik, ( ) tane simetrik olmayan bağıntı vardır. 3. Ters simetri özelliği: (x, y) β iken (y, x) β ve y x ise β bağıntısına ters simetrik bağıntı veya β bağıntısının ters simetri özelliği vardır denir. β simetrik değilse ters simetriktir denilemez. Ters simetrik bir bağıntının grafiğinde köşegene göre simetrik elemanlar bulunamaz. Köşegen üzerinde eleman bulunması ise ters simetri özelliğini bozmaz. ( ) s(a)=n ise A da ters simetrik bağıntı vardır. tane 4. Geçişme özelliği: (x, y) β ve (y, z) β iken (x, z) β oluyorsa β bağıntısına geçişken bağıntı veya β bağıntısının geçişme özelliği vardır denir. (a, b) β olmasına karşılık, β bağıntısında b ile başlayan bir eleman yoksa β bağıntısı geçişken olmaya devam eder. FONKSİYONLAR A ve B olmak üzere, A kümesinin her elemanını B kümesinin bir ve yalnız bir elemanına eşleyen f bağıntısına A dan B ye bir fonksiyondur denir. Yukarıdaki şemada verilen A dan B ye f fonksiyonu, f : A B, A veya f : x y biçiminde gösterilir. y = f(x) yazılır. x A ve y = f(x) B dir. A kümesine fonksiyonun tanım kümesi, B kümesine fonksiyonun değer kümesi ve f(a) kümesine de fonksiyonun görüntü kümesi denir. UYARI: Bir bağıntının fonksiyon olabilmesi için gerekli şartları akılda tutmak için aşağıdaki yöntem düşünülebilir. Bir anaokulunda anne ve çocukları arasında bir eşleme yapılmaktadır. Çocuklar tanım, anneler değer kümesinde olmak üzere. Bir çocuğun iki annesi olamaz. Annesiz çocuk olmaz. f : A B ve g : A B iki fonksiyon olmak üzere, x A için f(x) = g(x) ise f ile g fonksiyonlarına eşit fonksiyonlar denir. f = g şeklinde gösterilir. Dikey doğru kriteri: Bir fonksiyonun grafiğinde y eksenine çizilen her paralel doğru, eğriyi yalnız ve yalnız bir noktada keser. Verilen bir grafiğin fonksiyon grafiği olup olmadığını anlamak için, y eksenine paralel çizilen doğruların bu grafiği kaç noktada kestiğine bakmak yeterlidir. Denklik Bağıntısı 1. Yansıma 2. Simetri 3. Geçişme Sıralama Bağıntısı 1. Yansıma 2. Ters - Simetri 3. Geçişme 7

9 FONKSİYON ÇEŞİTLERİ BİRE BİR FONKSİYON (1-1) Tanım kümesinin farklı elemanlarını görüntü kümesindeki farklı elemanlara eşleyen fonksiyona bire bir fonksiyon denir. f : A B fonksiyonu 1-1 ise bu durum, x 1, x 2 A için, x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ) veya f(x 1 ) = f(x 2 ) x 1 = x 2 dir. Yatay Doğru Kriteri: f:a B fonksiyonunun, örten, içine veya bire bir olduğunu anlamak için, değer kümesindeki elemanlardan OX eksenine paralel doğrular çizilir. a) a B için, denklemi y=a olan doğrular, fonksiyonun grafiğini daima keserse fonksiyon örtendir. b) a B için, denklemi y=a olan doğrular, fonksiyonun grafiğini bazen keser bazen kesmezse fonksiyon içinedir. c) a B için, denklemi y=a olan doğruların eğriyi kesmesi durumunda, kesim noktası daima bir tane ise fonksiyon bire bir, birden fazla ise bire bir değildir. ÖRTEN FONKSİYON Görüntü kümesi değer kümesine eşit olan fonksiyona örten fonksiyon denir. f:a B, y B için, f(x)=y olacak biçimde x A dır. Örten olmayan fonksiyona içine fonksiyon denir. BİRİM (ÖZDEŞLİK) FONKSİYONU A boş kümeden farklı bir küme olmak üzere, A dan A ya (A da) tanımlı her elemanı kendine eşleyen fonksiyona birim fonksiyon denir. I: A A, I(x) = x biçiminde ifade edilir. SABİT FONKSİYON Görüntü kümesi bir elemanlı olan fonksiyonlara sabit fonksiyon denir. f sabit fonksiyon ise f: R R, x R için f(x) = c (c R) şeklinde ifade edilir. UYARI: a, b, c, d R ve a 0, c 0 için ( ) sabit fonksiyon ise dir. DOĞRUSAL FONKSİYON Elemanları bir doğru üzerinde bulunan fonksiyona doğrusal fonksiyon denir. Doğrusal fonksiyon m, n R olmak üzere f: R R, f(x) = mx + n biçiminde ifade edilir. UYARI: s(a)=n, s(b)=m olmak üzere; A dan B ye fonksiyon sayısı m n dir. A dan B ye fonksiyon olmayan bağıntı sayısı 2 n.m m n dır. A dan B ye birebir fonksiyonların sayısı i) n m ise P(m,n) ii) n > m ise 0 dır. A dan A ya tanımlanan birebir ve örten fonksiyonların sayısı n! dir. A dan A ya tanımlanan içine fonksiyonların sayısı n n n! dir. A dan B ye tanımlanan sabit fonksiyonların sayısı m dir. İŞLEM A olmak üzere A x A nın boş olmayan bir β alt kümesinden herhangi bir B kümesine tanımlı her fonksiyona bir ikili işlem veya kısaca işlem denir. A x A nın boş kümeden farklı bir β alt kümesinden A kümesine tanımlı her fonksiyona da A da bir ikili işlem ya da kısaca A da işlem denir. İŞLEMİN ÖZELLİKLERİ 1. Kapalılık Özelliği: Herhangi bir A kümesinde Δ işlemi tanımlandığında, x, y A için x Δ y A oluyorsa Δ işleminin A kümesinde kapalılık özelliği vardır ya da A kümesi Δ işlemine göre kapalıdır denir. 2. Değişme Özelliği: Herhangi bir A kümesinde işlemi tanımlandığında, x, y A için x y = y x oluyorsa A kümesinde işleminin değişme özelliği vardır denir. 8

10 3. Birleşme Özelliği: Herhangi bir A kümesinde Δ işlemi tanımlandığında, x, y, z A için (x Δ y) Δ z = x Δ (y Δ z) oluyorsa A kümesinde Δ işleminin birleşme özelliği vardır denir. 4. Dağılma Özelliği: Herhangi bir A kümesinde Δ ve işlemleri tanımlandığında, x, y, z A için x Δ (y z) = (x Δ y) (x Δ z) oluyorsa A kümesinde Δ işleminin işlemi üzerine soldan dağılma özelliği vardır denir. x, y, z A için (y z) Δ x = (y Δ x) (z Δ x) oluyorsa A kümesinde Δ işleminin işlemi üzerine sağdan dağılma özelliği vardır denir. 5. Etkisiz (Birim) Eleman Özelliği: Boş olmayan bir A kümesinde Δ işlemi verilsin. x A için x Δ e = e Δ x = x koşulunu sağlayan e A sayısına Δ işleminin etkisiz (birim) elemanı denir. İşlemin varsa etkisiz elemanı bir tanedir. İşlemin birleşme özelliği yoksa etkisiz elemanı yoktur. 6. Ters Eleman Özelliği: Boş kümeden farklı bir A kümesinde Δ işlemi verilsin. İşlemin etkisiz elemanı e olsun. x A için x Δ x 1 = x 1 Δ x = e koşulunu sağlayan x 1 sayısına x in tersi denir. Bir elemanın tersi varsa bir tanedir. 7. Yutan Eleman Özelliği: Boş kümeden farklı bir A kümesinde işlemi tanımlandığında eğer, x A için x m = m x = m olacak şekilde m A varsa bu m elemanına işleminin yutan elemanı denir. Yutan elemanın tersi yoktur. A = { a, b, c, d } kümesinde tanımlı işlemi tablo ile verildiğinde, Sonuçlarda görünen baş sütun ile baş satırın kesiştiği noktadaki eleman etkisiz elemandır. Bir b elemanının işlemine göre tersi bulunurken baş sütundaki b den satırca hareketle etkisiz eleman c ye ulaşılır. Buradan sütunca hareketle baş satıra çıkıldığında b nin tersi elde edilir. b 1 = d dir. Tablodaki elemanlar köşegene göre simetrik ise işlemin değişme özelliği, işlemin sonuçlarının tamamı A kümesinin elemanı ise işlemin kapalılık özelliği vardır. 9

11 FONKSİYONLARDA BİLEŞKE İŞLEMİ f: A B, g: B C tanımlı fonksiyonlar olmak üzere A C yazılabilecek fonksiyona g bileşke f fonksiyonu denir ve gof biçiminde gösterilir ve (gof )(x) = g [ f(x) ] dir. f ve g fonksiyonlarını gerçek sayılar üzerinde işlem yapan makineler olarak düşünürsek girdi x, çıktı (gof )(x) olur. UYARI: 1. fog gof 2. fo(goh) = (fog)oh BİR FONKSİYONUN BİLEŞKE İŞLEMİNE GÖRE TERSİ Genel olarak f: A B, 1-1 ve örten fonksiyonunun görüntü kümesindeki elemanları A kümesindeki aynı elemanlara eşleyen g: B A, 1-1 ve örten fonksiyona f fonksiyonunun tersi denir ve g = f 1 biçiminde gösterilir. Buna göre aşağıdaki şemadan da görülebileceği gibi, f(x) = y f 1 (y) = x ve (f 1 ) 1 = f olur. Kuralı verilen bir fonksiyonun tersini bulmak için y = f(x) denkleminden x çekilip sonra y nin yerine x yazılır. Özel olarak; a, b, c, d R ve a 0, c 0 olsun. ( ) ( ) dır. UYARI: 1. (fog) 1 = g 1 of 1 2. fof 1 = f 1 of = I ( I: birim fonksiyon ) 3. fog = h f = hog 1 ve g = f 1 oh GRAFİĞİ VERİLEN BİR FONKSİYONUN BAZI DEĞERLERİNİ BULMA y = f(x) fonksiyonunun grafiği üzerindeki bir nokta (a, b) ise b = f(a) dır. A sonlu veya sonsuz aralık olmak üzere f: A R fonksiyonu verilsin. Eğer x 1, x 2 A, x 1 < x 2 için f(x 1 ) < f(x 2 ) ise f fonksiyonuna kesin artan fonksiyon denir. Eğer x 1, x 2 A, x 1 < x 2 için f(x 1 ) > f(x 2 ) ise f fonksiyonuna kesin azalan fonksiyon denir. Kesin artan ve kesin azalan fonksiyonlar bire bir ve örtendir. Bir f fonksiyonunun grafiği ile f 1 fonksiyonunun grafiği y = x doğrusuna göre simetriktir. 10

12 4. ÜNİTE: SAYILAR Matematik öğrenirken gelişme sağlayabilmek için kavramlardan birini diğeri ile ilişkilendirmek çok önemlidir. Sayı kavramı, matematiksel kavramların başında yer alır. Eğer sayı kavramı tam olarak algılanır ise sonraki öğrenmelerde karşılaşılacak pek çok sıkıntı başlangıçta giderilmiş olacaktır. Sayılar ilk çağlardan beri insanların yaşamında çok önemli bir yer tutmuştur. İlk Çağ insanları, sayılar için kil tabletler üzerine çizikler kazımaya ya da kesilmiş ağaç dalına çentik yapmaya başlamakla ilk kez sayıları yazılı olarak ifade etmiş oluyorlardı. Kullanılan bu işaretler, rakam ve sayıların ilk yazılı ifadeleridir. Bunların yanında, sayıları belirtmek için değişik ses ve kelimeler de kullanmışlardır. Bilinen en eski sayma sistemlerinden biri, Eski Mısırlılara aittir. Eski Mısırlıların kullandıkları resim yazısının (hiyeroglif) başlangıç tarihi, MÖ 3300 yılına kadar gider. Bir başka deyişle Mısırlılar yaklaşık 5300 yıl önce, milyona kadar olan sayıları kapsayan bir sistem geliştirmişlerdir. Mısırlılara ait sayma sistemi, İlk Çağ mağara insanının önceleri kullandığı sayma sisteminin gelişmiş şeklidir. Eski Mısır aritmetiği hakkındaki bilgilerimiz, zamanımıza kadar ulaşmış papirüs tomarlarından elde edilmektedir. Bugün bu papirüsler bilim tarihinde, MÖ yılları için adlandırılan, Kahun (Kaun) ve Berlin papirüsleri ile MÖ 1700 ile 1600 yılları için adlandırılan, Hiksoslar devrinden (MÖ ) kalma Rhind (Rind) ve Moskova papirüsleridir. Mezopotamyalılarda rakamlar, çivi yazısında görülen çivi ya da oduncu kamasına benzeyen şekillerden oluşmaktadır. Bu işaretlerin (sembollerin) uygun biçimde, yan yana ya da büyük sayıları gösterebilmek için toplu olarak yazılması suretiyle 60 a kadarki sayıların gösterimi yapılabiliyordu. Bu tür yazım biçiminde, 0.1 ile 0.01 gibi rakamların arasındaki farkı anlamak bir hayli güçtü. Bunu anlayabilmek için metin ve konu yardımıyla sonuç çıkarma yollarına gidilirdi. Mezopotamyalılar, sıfır sembolünü kullanmamışlardır. Ancak astronomide bu amaçla özel bir sembol kullandıkları anlaşılmaktadır. MÖ 2000 yıllarında Mezopotamya da yaşayan Babillilerin, bilimin birçok dalında oldukça ileri bir seviyeye ulaşmış oldukları bilinmektedir. Öyle ki Babil şehrini zamanın bilim merkezi hâline getirmişlerdir. Özellikle matematik ve astronomide çok ilerlemişlerdir. Babilliler, 59 dan büyük sayıları da basamak düşüncesinden yararlanarak yazdılar. 60 sayısını taban olarak kullandılar. Gruplamalarını 60 lık olarak yani 60x2= şeklinde yaptılar. Böylece ilk kez sayılarda basamak düşüncesini geliştirmiş oldular. Babilliler, sayıları yazarken iki tane sembol ve bulunmayan basamakların yerini doldurmak için de (( : )) işaretini kullanmışlardır. Babil rakamları arasında da sıfır rakamını gösteren bir sembol yoktur. Buradan Babillilerin rakamları sağdan sola doğru yazarak ifade ettikleri anlaşılmaktadır. Bilindiği gibi günümüzde, sayıları belirten standart hâlde rakam ve sözcükler vardır. Sayılar, hem 1, 2, 3,... gibi sembollerle hem de bir, iki, üç,... gibi kelimelerle ifade edilebilmektedir. Dört adet kalemi, dört kalem kelimesi ile belirtip 4 rakam ile gösterebiliyoruz. DOĞAL SAYILAR Doğal sayılar, N={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, } şeklinde sıralanan tam sayılardır. Negatif değer almazlar. Bazı kaynaklarda "0" doğal sayı olarak alınmaz. Matematikte hala sıfırın bir doğal sayı alınıp alınmayacağı tartışma konusudur, ancak eğer cebirsel yapılar yapılmak isteniyorsa "0" sayısının doğal sayı olarak alınması avantaj sağlayabilir. Matematiğin diğer dallarında da problem hangi durumda daha kolay ifade edilebilecekse doğal sayılar kümesi de o şekilde alınır. Doğal sayının Peano belitleri tanımı; Sıfır bir doğal sayıdır. Her doğal sayının, yine bir doğal sayı olan bir ardılı vardır. Ardılı sıfır olan hiç bir doğal sayı yoktur. Ardılları eşit olan doğal sayılar da birbirine eşittir. Doğal sayılardan oluşan bir küme, sıfırı ve her doğal sayının ardılını içeriyorsa o küme doğal sayılar kümesine eşittir. Rakam: Sayıları yazmaya yarayan sembollerdir. Onluk sayma sisteminde 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 rakamları kullanılır. Sayı: Bir çokluğu ifade edecek şekilde, rakamların tek başına ya da birlikte kullanılmasıyla oluşturulan ifadelerdir. 2, 5, 19, 0,,,, π, e, ifadeleri birer sayıyı gösterir. 11

13 Sayma Sayıları Kümesi (N + ) N + = S = {1, 2, 3,... } Doğal Sayılar Kümesi (N) N = {0, 1, 2, 3,... } Tam Sayılar Kümesi (Z) Z = {..., 3, 2, 1} negatif tam sayılar kümesi, Z + = {1, 2, 3,... } pozitif tam sayılar kümesidir. Z = Z {0 } Z + = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Rasyonel Sayılar Kümesi (Q) Q = { : a Z, b Z ve b 0 } İrrasyonel Sayılar Kümesi (Q' ) Rasyonel olmayan sayılar kümesidir., π, e,... gibi Reel (Gerçel) Sayılar Kümesi (R) Rasyonel sayılarla irrasyonel sayıların birleşimine reel (gerçel) sayılar kümesi denir. R = Q Q' N + N Z Q R Q' R BİR DOĞAL SAYININ POZİTİF DOĞAL SAYI KUVVETİ a N ve n N + olmak üzere n tane a nın çarpımı, a n biçiminde yazılır. a üssü n veya a nın n. kuvveti diye ifade edilir. a n ifadesinde a ya taban, n ye üs denir. Özel olarak; a 2 : a nın karesi a 3 : a nın küpü diye okunur. BİR DOĞAL SAYININ HERHANGİ BİR TABANA GÖRE YAZILMASI 10 tabanında verilen bir sayı bölme işleminden faydalanarak değişik tabanlarda yazılabilir. 132 sayısının 5 tabanındaki yazılışını bulalım. 132 = (1012) 5 bulunur. a N + {1}, x 0 ve x, y, z N olmak üzere a tabanındaki (xyz) a sayısının 10 tabanındaki eşiti x.a 2 + y.a 1 + z.a 0 dır. (xyz) a sayısı için x < a, y < a ve z < a dır. 5 tabanındaki (1423) 5 sayısının basamaklarını yazarak çözümleyelim. (1423) 5 = = = 238 olur. Herhangi bir tabanda toplama işlemi yapılırken birler basamağındaki rakamlar toplamı, tabana bölünür. Kalan, birler basamağına yazılır. Bölüm ise bir sonraki basamaktaki rakamlar toplamına eklenir ve toplama işlemine bu şekilde devam edilir. UYARI: x, y, m ve n N + olmak üzere, 1) x m.x n = x m + n 2) x n.y n = (x.y) n 3) (x m ) n = (x n ) m = x m.n dir. O hâlde, sonuç (3112) 4 olur. 12

14 Çarpma işleminin her adımında rakamların çarpımı tabana bölünerek kalan, basamağa yazılır. Bölüm ise bir sonraki çarpıma elde var diyerek eklenir. Benzer işlem basamakları takip edilerek, f = 3, e = 2 ve d = 1 olur. bulunur. ASAL SAYILAR 1 den büyük, 1 ve kendisinden başka pozitif tam böleni olmayan doğal sayılara asal sayı denir. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,... asal sayılardır. En küçük asal sayı 2 dir. 2 den başka çift asal sayı yoktur. Herhangi Bir n Doğal Sayısına Kadar Olan Asal Sayıları Bulmak 1 den n ye kadar olan doğal sayılar yazılır. sayısından küçük olan bütün asal sayıların katları ile 1 çizilir. Çizilmemiş olan sayılar asal sayılardır. BİR DOĞAL SAYININ POZİTİF BÖLENLERİ İLE İLGİLİ FORMÜLLER Herhangi bir A sayısı A = a n.b m şeklinde asal çarpanlarına ayrılmış olsun. A nın pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı (n + 1).(m + 1) dir. (Negatif bölenlerinin sayısı da aynıdır. Bölenlerinin sayısı iki katıdır.) A nın pozitif tam sayı bölenlerinin toplamı (a 0 + a a n ).(b 0 + b b m ) dir. A nın pozitif tam sayı bölenlerinin çarpımı A ( )( ) dir. Ortak doğal sayı bölenleri yalnız 1 olan doğal sayılara aralarında asal sayılar denir. FAKTÖRİYEL n N + olmak üzere, 1 den n ye kadar olan tüm doğal sayıların çarpımına n faktöriyel denir ve n! biçiminde gösterilir. n! = n 0! = 1 ve 1! = 1 olarak kabul edilir. 2! = 1.2 = 2 3! = = 6 4! = = 24 5! = = n! = (n 1)!.n n! = (n 2)!.(n 1).n UYARI: n N +, m N + m<n olmak üzere n! içindeki m çarpanlarının sayısını bulmak için; a) m asal sayı ise, n, m sayısına bölünür. Bölüm m sayısından küçük oluncaya kadar bölme işlemine devam edilir. Bölümlerin toplamı n! içindeki m çarpanlarının sayısıdır. b) m asal sayı değilse, m nin en büyük asal çarpanı k olsun. n, k sayısına bölünür. Bölüm k sayısından küçük oluncaya kadar bölme işlemine devam edilir. Bölümlerin toplamı n! içindeki m çarpanlarının sayısıdır. Örnek: 25! = 3 n.a eşitliğinde A ve n doğal sayılardır. Buna göre, n nin alabileceği en büyük değeri bulalım. n doğal sayısı en çok 25! içindeki 3 çarpanlarının sayısı kadardır. 25 sayısını 3 e böleriz. Bölüm tekrar 3 e bölünür. Bu işleme bölüm 3 ten küçük çıkana kadar devam edilir. Bölümlerin toplamı 25! içindeki bütün 3 çarpanlarının sayısını verir. 25! de 8+2=10 tane 3 çarpanı vardır. Yani n nin en büyük değeri 10 dur. Örnek: 24! = 6 n.a eşitliğinde A ve n doğal sayılardır. Buna göre, n nin alabileceği en büyük değeri bulalım. 6 n = (2.3) n = 2 n.3 n olduğundan, 24! sayısının içinde kaç tane 6 çarpanı olduğunu bulmak için 3 çarpanlarının sayısını bulmak yeterlidir. Çünkü 3 çarpanı 2 çarpanından daha azdır. Belirleyici olan 3 çarpanıdır. 13

15 24! de 8+2=10 tane 6 çarpanı vardır. Yani n nin en büyük değeri 10 dur. Örnek: 73! sayısının sondan kaç basamağı sıfırdır? Verilen soru; A, n N, 73! = 10 n.a ise n en çok kaçtır? şeklinde de sorulabilirdi. 10 n = (2.5) 2 = 2 n.5 n olduğundan, 5 çarpanlarının sayısı kadar sondan basamağı sıfırdır. 73! sayısının sondan 14+2=16 basamağı sıfırdır. Örnek: 35! 1 sayısının sonunda kaç tane 9 rakamı vardır? 35! sayısının sondan kaç basamağı sıfırsa, 35! 1 sayısının da sonunda o kadar 9 rakamı vardır. 35! 1 sayısının sondan 7+1=8 basamağında 9 rakamı vardır. Örnek: 24! = 4 a.b eşitliğinde B bir tam sayı ise a nın alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır? 4 a = (2 2 ) a = 2 2a 2a = 22 a = 11 dir = 22 BÖLÜNEBİLME KURALLARI 2 İle Bölünebilme Birler basamağındaki rakamı çift olan doğal sayılar 2 ile tam bölünür. 2 ile tam bölünemeyen sayılar 1 kalanını verirler. 3 İle Bölünebilme Rakamlarının sayı değerleri toplamı 3 ün katı olan sayılar 3 ile tam bölünebilir. Bir sayının 3 ile bölümünden kalan, o sayının rakamlarının sayı değerleri toplamının 3 ile bölümünden kalana eşittir İle Bölünebilme Son iki rakamı (onlar ve birler basamağı) 00 ya da 4 ün katı olan sayılar 4 ile tam bölünür. Son iki rakamının 4 ile bölümünden elde edilen kalan, sayının 4 ile bölümünden elde edilen kalanına eşittir. 5 İle Bölünebilme Birler basamağı 0 ya da 5 olan sayılar 5 ile tam bölünür. Birler basamağındaki rakamın 5 ile bölümünden kalan, sayının 5 ile bölümünden elde edilen kalanına eşittir. 7 ile bölünebilme: Sayının son rakamının 2 katı bir önceki rakamdan çıkarılır. Elde edilen sayının 2 katı gene bir önceki rakamdan çıkarılır. Son basamağa kadar işleme devam edilir. Elde edilen sayı 7 ile bölünürse, bu sayı 7 ile bölünür. 8 İle Bölünebilme Bir doğal sayının son üç (yüzler, onlar, birler) basamağındaki üç basamaklı sayı 8 ile tam bölünürse bu doğal sayı 8 ile tam bölünür. Bir doğal sayının 8 ile bölümünden kalan bu doğal sayının son üç basamağındaki üç basamaklı sayının 8 ile bölümünden kalana eşittir. 9 İle Bölünebilme Rakamlarının sayı değerleri toplamı 9 un katı olan sayılar 9 ile tam bölünebilir. Bir sayının 9 ile bölümünden kalan, o sayının rakamlarının sayı değerleri toplamının 9 ile bölümünden kalana eşittir. 11 İle Bölünebilme Sayının rakamları birler basamağından başlanarak + ve işaretleri ile sınıflandırılır. + lı rakamların toplamı ile li rakamların toplamının farkı 11 in katı ise sayı 11 ile tam bölünür. Sayı 11 ile tam bölünemiyorsa, kalanı bulmak için, + lı rakamlar ile li rakamların farkının 11 ile bölümünden kalan bulunur. UYARI: Aralarında asal iki sayıya tam bölünebilen bir sayı, bu iki sayının çarpımına da tam bölünür. 2 ve 3 ile bölünebilen sayı 6 ile bölünür. 2 ve 5 ile bölünebilen sayı 10 ile bölünür. 3 ve 4 ile bölünebilen sayı 12 ile bölünür. 3 ve 5 ile bölünebilen sayı 15 ile bölünür. 2 ve 9 ile bölünebilen sayı 18 ile bölünür. 5 ve 9 ile bölünebilen sayı 45 ile bölünür.

16 EN KÜÇÜK ORTAK KAT (EKOK) VE EN BÜYÜK ORTAK BÖLEN (EBOB) İki veya daha çok doğal sayının en küçük ortak katları bulunurken, verilen sayılar asal çarpanlarına ayrılır ve üslü biçimde yazılır. Ortak asal çarpanlardan üssü en büyük olanlar ile ortak olmayan asal çarpanların çarpımı, en küçük ortak kat olur. İki veya daha çok doğal sayının en büyük ortak böleni bulunurken verilen sayılar asal çarpanlarına ayrılır ve üslü biçimde yazılır. Ortak asal çarpanlardan üssü en küçük olanların çarpımı en büyük ortak bölen olur. TAM SAYILAR Doğal sayılar kümesi ile 0 sayısının solundaki noktalara eşlenen { 1, 2, 3, } kümesinin birleşimine tam sayılar kümesi denir. Pozitif tam sayılar kümesi Z+ = { 1, 2, 3, } Negatif tam sayılar kümesi Z = { 1, 2, 3, } Çift tam sayılar kümesi Ç = {, 4, 2, 0, 2, 4, } Tek tam sayılar kümesi T = {, 3, 1, 1, 3, } ve Tam sayılar kümesi Z = Z {0} Z+ biçiminde ifade edilir. Pozitif iki tam sayının toplamı pozitif; negatif iki tam sayının toplamı negatiftir. Ters işaretli iki tam sayının toplamında ise mutlak değerce büyük olandan küçük olan çıkarılır, sonucun önüne büyüğün işareti yazılır. a, b, c Z için, 1) (a + b) Z (Toplama işleminin kapalılık özelliği) 2) a + b = b + a (Toplama işleminin değişme özelliği) 3) (a + b) + c = a + (b + c) (Toplama işleminin birleşme özelliği) 4) a + 0 = 0 + a = a (Toplama işlemine göre etkisiz (birim) eleman özelliği) 5) a + ( a) = ( a) + a = 0 (Toplama işlemine göre ters eleman özelliği) dir. Aynı işaretli iki tam sayının çarpımının sonucu pozitif, ters işaretli iki tam sayının çarpımının sonucu negatif işaretlidir. a, b, c Z için, 1) (a.b) Z (Çarpma işleminin kapalılık özelliği) 15 a, b dir. 2) a.b = b.a (Çarpma işleminin değişme özelliği) 3) (a.b).c = a.(b.c) (Çarpma işleminin birleşme özelliği) 4) a.1 = 1.a = a (Çarpma işlemine göre etkisiz (birim) eleman özelliği) 5) a.0 = 0.a = 0 (Çarpma işleminin yutan eleman özelliği) dir. Z olmak üzere a b = a + ( 1).b = a + ( b) Aynı işaretli iki tam sayının bölümünün sonucu pozitif, ters işaretli iki tam sayının bölümünün sonucu negatif işaretlidir. (+. + = +) (+. = ) (. = +) (+ : + = +) (+ : = ) ( : = +) MODÜLER ARİTMETİK Yansıma, simetri ve geçişme özelliklerini sağlayan bağıntıya denklik bağıntısı denir. β denklik bağıntısına göre aynı kümede bulunan elemanlar birbirine denktir. Bu durumda, { 0, 2, 4 } kümesinden { 1, 3, 5 } kümesinden tir. x e bağlı olan denk elemanların kümesi x in denklik sınıfı (kalan sınıfı) diye adlandırılır ve ile gösterilir. Genel olarak x in denklik sınıfı: β, A da bir denklik bağıntısı olmak üzere, = { y (x, y) β ve y A } biçiminde gösterilir. Buna göre incelediğimiz örnekteki denklik bağıntısı için = { 0, 2, 4 } ve = { 1, 3, 5 } olur. Bu durumu, biçiminde gösteririz. A kümesindeki sayıları 2 ile böldüğümüzde 0 kalanını veren sayılar nda; 1 kalanını veren sayılar da nda bulunurlar. m Z + olmak üzere denklik sınıflarının kümesi Z/m = {,,..., } dir. x, y, n Z ve m Z+ olmak üzere

17 Q için olarak ifade edilir. ise x = m.n + y dir. Dolayısıyla x y = m.n olur. O hâlde, x y sayısı m sayısına tam bölünür. Bu durum (x ile y aynı denklik sınıfında olduğundan) x y (mod m) biçiminde ifade edilir. Kısaca x y (mod m) m (x y) dir. MODÜLER ARİTMETİKTE İŞLEMLER a, b, c, d Z ve m Z + için, a b (mod m) c d (mod m) ise a + c b + d (mod m) ve a.c b.d (mod m) dir. İki rasyonel sayının çarpımında, payların çarpımı paya, paydaların çarpımı da paydaya yazılır. Verilen iki rasyonel sayının çarpımı; Q için olarak ifade edilir. rasyonel sayısının sıfırdan farklı rasyonel sayısına bölümü Bu durum; olarak yazılır. Q, ( c 0) olmak üzere olarak ifade edilir. a, b, n, x, m Z + olmak üzere, (a b ) 1 (mod m) ise (a b ) n 1 (mod m) dir. a, b Z/m için = ve = dir. m Z + olmak üzere Z/m kümesinde,,, Z/m için, 1. Z/m, Z/m (kapalılık özelliği) 2. =, = (değişme özelliği) 3. ( ) = ( ), ( ) = ( ) (birleşme özelliği) 4. = =, = = (etkisiz eleman özelliği) 5. = =, (ters eleman özelliği) ( ile, işlemine göre birbirinin tersi) = = (ters eleman özelliği) ( ile, işlemine göre birbirinin tersi) 6. = = (yutan eleman özelliği) dir. RASYONEL SAYILAR a, b Z, b 0 ve a ile b aralarında asal olmak üzere biçimindeki sayıya rasyonel sayı denir. a, b, c, d Z, b 0 ve d 0 olmak üzere ise b.c = a.d dir. Verilen iki rasyonel sayının toplamı; Q için olarak ifade edilir. İki rasyonel sayının farkı ise; 16 RASYONEL SAYILARDA TOPLAMA VE ÇARPMA İŞLEMLERİNİN ÖZELLİKLERİ Q için, 1) ( ) Q (Kapalılık özelliği) 2) (Değişme özelliği) 3) ( ) ( ) (Birleşme özelliği) 4) (Etkisiz eleman özelliği) 5) ( ) ( ) (Ters eleman özelliği) Q içi 1) ( ) Q (Kapalılık özelliği) 2) (Değişme özelliği) 3) ( ) ( ) (Birleşme özelliği) 4) (Etkisiz eleman özelliği) 5) (Ters eleman özelliği) 6) (Yutan eleman özelliği) RASYONEL SAYILARDA SIRALAMA Payları eşit olan rasyonel sayılarda paydası küçük olan daha büyüktür. Paydaları eşit pozitif rasyonel sayılardan payı büyük olan daha büyüktür. Payları eşit negatif rasyonel sayılar sıralanırken ( ) işareti paydaya taşınır. Paydalar karşılaştırılır ve paydası küçük olan daha büyüktür, denir.

18 Paydaları eşit negatif rasyonel sayılar sıralanırken ( ) işareti paya taşınır. Paylar karşılaştırılır ve payı büyük olan daha büyüktür, denir. Birbirinden farklı iki rasyonel sayı arasında en az bir rasyonel sayı bulunur. Bu durum bize rasyonel sayılar kümesinin yoğun olduğunu gösterir. Her bir rasyonel sayının bir devirli ondalık açılımı vardır. Her devirli ondalık açılım bir rasyonel sayıdır. GERÇEK SAYILARDA EŞİTSİZLİĞİN ÖZELLİKLERİ a, b, c, d R için, 1) a < b a + c < b + c 2) (a < b c > 0) a.c < b.c 3) (a < b c < 0) a.c > b.c 4) a < b b < c a < c 5) (a < b c < d) a + c < b + d 6) a, b, c, d R + için (a < b c < d) a.c < b.d 7) a ve b aynı işaretli iki gerçek sayı ve a < b dir. GERÇEK SAYILAR Rasyonel olmayan sayılara irrasyonel (rasyonel olmayan) sayılar denilmekte ve Q' ile gösterilmektedir. Buna göre sayı doğrusunda rasyonel olmayan sayılar da bulunmaktadır. Rasyonel sayılar kümesi ile irrasyonel sayılar kümesinin birleşimi, gerçek (reel) sayılar kümesini oluşturur. Böylece sayı doğrusu üzerindeki her noktaya bir gerçek say, her gerçek sayıya da sayı doğrusunda bir nokta karşılık gelir, diyebiliriz. Bu durum gerçek sayılar kümesinin elemanları ile sayı doğrusunun noktaları arasında bire bir ve örten bir eşleme olduğunu gösterir. Bir sayının irrasyonel olduğuna ondalık açılımına bakarak karar verilir. GERÇEK SAYILARDA TOPLAMA VE ÇARPMA İŞLEMLERİNİN ÖZELLİKLERİ x, y, z R olmak üzere, 1) (x + y) R (Kapalılık özelliği) 2) x + y = y + x (Değişme özelliği) 3) (x + y) + z = x + (y + z) (Birleşme özelliği) 4) x + 0 = 0 + x = x (Etkisiz eleman özelliği) 5) x + ( x) = ( x) + x = 0 (Ters eleman özelliği) x, y, z R olmak üzere, 1) (x.y) R (Kapalılık özelliği) 2) x.y = y.x (Değişme özelliği) 3) (x.y).z = x.(y.z) (Birleşme özelliği) 4) x.1 = 1.x = x (Etkisiz eleman özelliği) 5) (x 0) (Ters eleman özelliği) 6) x.0 = 0.x = 0 (Yutan eleman özelliği) 17 AÇIK, KAPALI VE YARI AÇIK ARALIKLAR a, b R olmak üzere, { x a < x < b, x R } kümesi a ve b den açık aralık denir ve (a, b) biçiminde gösterilir. { x a x b, x R } kümesi a ve b den kapalı aralık denir ve [a, b] biçiminde gösterilir. { x a < x b, x R } kümesi a dan açık, b den kapalı aralık denir ve (a, b] biçiminde gösterilir. { x a x < b, x R } kümesi a dan kapalı, b den açık aralık denir ve [a, b) biçiminde gösterilir. MUTLAK DEĞER Bir x gerçek sayısının sayı doğrusu üzerinde eşlendiği noktanın başlangıç noktasına (sıfıra) olan uzaklığına x sayısının mutlak değeri denir ve x ile gösterilir. i x R için, { i olur. Mutlak değer içindeki ifade pozitifse, dışarıya aynen çıkar; negatifse işaret değiştirerek çıkar. MUTLAK DEĞER ÖZELLİKLERİ x, y R, a, b R + için 1) x 0, f(x) 0 ise x ve f(x) ifadelerinin en küçük değeri sıfırdır. 2) x 0 3) x x x 4) x = x, x y = y x 5) x.y = x. y 6), (y 0) 7) x n = x n, (n N + ) 8) x = a (x = a veya x = a), (a 0) 9) x a a x a 10) x a ( x a x a ) 11) a x b ( a x b b x a ) 12) f(x) + g(x) = 0 f(x) = 0 ve g(x) = 0

19 13) x y x + y x + y (üçgen eşitsizliği) 14) x < y y < x < y ÜSLÜ İFADELER a R ve n Z + olmak üzere, n tane a nın çarpımı olan a n ye üslü ifade denir. a n = a.a...a n tane a n ifadesinde, a ya taban, n ye üs veya kuvvet denir. Üslü İfadelerin Özelikleri a, b R ve m, n Z + olmak üzere, 1) a 1 = a, a 0 = 1, 0 n = 0 dır. ( 0 0 belirsizdir. ) 2) a.a n + b.a n c.a n = (a + b c).a n 3) a n.a m = a n+m 4) a n.b n = (a.b) n 5) (a n ) m = a n.m = (a m ) n 6) 7) ( ) 8) Negatif sayıların tek kuvvetleri negatif, çift kuvvetleri pozitiftir. Pozitif sayıların ise tüm kuvvetleri pozitiftir. ÜSLÜ DENKLEMLER 1) a R { 1, 0, 1}, m, n Z + için a m = a n m = n dir. 2) a n = 1 denkleminde, a) n = 0 dır. (a 0 ise) b) a = 1 dir. (n R ise) c) a = 1 dir. (n çift ise) 3) a, b R ve n Z + için, a n = b n { i çi i ÜSLÜ İFADELERDE EŞİTSİZLİK 1) a > 1 iken a n < a m n < m dir. 2) 0 < a < 1 iken a n < a m n > m dir. KÖKLÜ İFADELER Kök sembolünün kullanılması çok eski dönemlere dayanmaktadır. Mısırlılar, Babilliler, Çinliler ve Hintliler bunun için özel işaretler kullanmışlardır. Bugün kullanılan kök işareti, kök anlamına gelen radix sözcüğünün baş harfi olan r den gelmektedir. Bu yüzden Latin yazarlar da kök için R harfini kullanmışlardır. Bu işaret zamanla bugünkü şeklini almıştır. n, 1 den büyük pozitif tam sayı olmak üzere, x n = a denklemini sağlayan x sayısına, a nın n. dereceden kökü denir ve x = şeklinde gösterilir. x n = a x { i çi i 2. dereceden (kare) kök a 3. dereceden (küp) kök a 4. dereceden kök a diye okunur. n Z + ve a R + için R dir. n pozitif tek tam sayı ve b R için R dir. n pozitif çift tam sayı ve c R için R dir. a, b R, b 0 ve a ile b aralarında asal olmak üzere biçiminde yazılamayan sayılara irrasyonel sayılar denir. Köklü İfadelerin Özellikleri 1) 2) i 3) { çi i 4) ( ) 5) (k Z + ) 6) ( n çift ise a > 0 olmalıdır. ) 7) 8) ( y 0 ) 9) ( ) 10) Paydanın Rasyonel Yapılması Çarpımları rasyonel sayı olan iki reel sayıdan her birine diğerinin eşleniği denir. ( ) ( ) olduğundan ( ) ile ( ) eşlenik ifadelerdir. Aşağıdaki tabloda sıklıkla kullanacağımız bazı ifadeler ve eşlenikleri verilmiştir. x y x.y a a b a + b a b 18

20 veya ifadeleri verildiğinde } olacak şekilde m, n R + varsa, biçiminde ifade edebiliriz. Sonsuz Kökler 1) 2) 3) ( ) ( ) ORAN - ORANTI ORAN Birimleri aynı olan iki çokluğun bölümüne (karşılaştırılmasına) oran denir. En az biri sıfırdan farklı olan a ve b büyüklükleri verildiğinde a nın b ye oranı a : b veya biçiminde gösterilir. Oran bir sayı belirtmekte olup birimi yoktur. Kesirlerde de olduğu gibi oranın payı ve paydası sıfırdan farklı bir sayı ile genişletilebilir veya sadeleştirilebilir. ORANTI İki veya daha fazla oranın eşitliğine orantı denir. veya a : b = c : d ikili orantısında b ve c ye içler, a ve d ye dışlar denir. orantısında k orantı sabitidir. biçimindeki üçlü orantı biçiminde de gösterilebilir. Bu gösterimde a ile b, c ile d ve e ile f doğru orantılıdır. Orantının Özelikleri 1) İçler çarpımı, dışlar çarpımına eşittir. b.c = a.d 2) İçler veya dışlar yer değiştirebilir. 3) m 0, n 0 olmak üzere, dır. 4) m, n, p aynı anda sıfır olmamak üzere, 19 dır. 5) a = b.k, c = d.k, e = f.k 6) n N + olmak üzere, dir. Doğru Orantı Herhangi bir şekilde birbirlerine bağlı olan iki büyüklükten birisi değiştirildiğinde, ikisindeki değişme oranı da aynı ise bu iki büyüklüğe doğru orantılıdır ya da kısaca orantılıdır denir. Doğru orantılı iki büyüklükten biri artarken diğeri de orantılı olarak artar veya biri azalırken diğeri de orantılı olarak azalır. Doğru orantılı iki büyüklüğün oranı sabittir. k > 0 olmak üzere, ise x ile y doğru orantılıdır. x ile y doğru orantılı ve k veya y = k.x tir. R + ise y = k.x doğru orantı denkleminin grafiği x, y, z sayıları sırası ile a, b, c sayıları ile doğru orantılı ise dir. Ters Orantı x ve y herhangi iki büyüklük olsun. Eğer x ile doğru orantılı ise x ile y ters orantılıdır denir. k R + olmak üzere; x ile y ters orantılı ise x. y = k veya dir. Ters orantılı iki büyüklükten biri arttıkça diğeri azalır. ters orantı denkleminin grafiği

İÇİNDEKİLER. Önsöz...2. Önermeler ve İspat Yöntemleri...3. Küme Teorisi Bağıntı Fonksiyon İşlem...48

İÇİNDEKİLER. Önsöz...2. Önermeler ve İspat Yöntemleri...3. Küme Teorisi Bağıntı Fonksiyon İşlem...48 İÇİNDEKİLER Önsöz...2 Önermeler ve İspat Yöntemleri...3 Küme Teorisi...16 Bağıntı...26 Fonksiyon...38 İşlem...48 Sayılabilir - Sonlu ve Sonsuz Kümeler...56 Genel Tarama Sınavı...58 Önermeler ve İspat Yöntemleri

Detaylı

(a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir.

(a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir. BĞANTI - FONKSİYON 1. Sıralı İkili : (a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir.! (x 1,x 2, x 3,x 4,...x n ) : sıralı n li denir. Örnek, (a,b,c) : sıralı

Detaylı

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır.

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır. TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Bir çokluk belirtmek için kullanılan sembollere rakam denir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri birer rakamdır. 2. TAMSAYILAR KÜMESİ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... }

Detaylı

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT Kümelerde Temel Kavramlar 1. Kazanım : Küme kavramını açıklar; liste, Venn şeması ve ortak özellik yöntemleri ile gösterir. 2. Kazanım : Evrensel küme,

Detaylı

BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14

BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14 İÇİNDEKİLER Önsöz. V BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14 BÖLÜM II KÜMELER 17 2.1.Küme Tanımı ve Özellikleri 18 2.2 Kümelerin Gösterimi 19 2.2.1 Venn Şeması Yöntemi 19 2.2.2 Liste Yöntemi

Detaylı

12-A. Sayılar - 1 TEST

12-A. Sayılar - 1 TEST -A TEST Sayılar -. Birbirinden farklı beş pozitif tam sayının toplamı 0 dur. Bu sayılardan sadece ikisi den büyüktür. Bu sayılardan üç tanesi çift sayıdır. Buna göre bu sayılardan en büyüğü en çok kaç

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar

TEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar TEMEL KAVRAMLAR Rakam: Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Bu semboller {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} kümesinin elemanlarıdır., b ve c birer rakamdır. 15 b = c olduğuna göre, + b + c

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 3.KONU Kümeler Teorisi; Küme işlemleri, İkili işlemler 1. Altküme 2. Evrensel Küme 3. Kümelerin Birleşimi 4. Kümelerin Kesişimi 5. Bir Kümenin Tümleyeni

Detaylı

KC00-SS.08YT05. Kolay Temel Matematik. Üniversite Haz rl k 1. 8 ( 3 + 2) 6. 3! 3 ( 3 3)": ( 3) x = 3 ve y = 2 3. ( 5) + ( 7) (+2) + 4

KC00-SS.08YT05. Kolay Temel Matematik. Üniversite Haz rl k 1. 8 ( 3 + 2) 6. 3! 3 ( 3 3): ( 3) x = 3 ve y = 2 3. ( 5) + ( 7) (+2) + 4 Üniversite Haz rl k Sözcükte Do al ve Say lar Söz Öbeklerinde ve Tam Say lar Anlam - I - I Kolay Temel Matematik. 8 ( + ) A) 7 B) 8 C) 9 D) 0 E) 6.! ( )": ( ) A) B) 0 C) D) E). 7. + 5 A) 6 B) 7 C) 8 D)

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 KÜMELER Bölüm 2 SAYILAR

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 KÜMELER Bölüm 2 SAYILAR İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 KÜMELER 11 1.1. Küme 12 1.2. Kümelerin Gösterimi 13 1.3. Boş Küme 13 1.4. Denk Küme 13 1.5. Eşit Kümeler 13 1.6. Alt Küme 13 1.7. Alt Küme Sayısı 14 1.8. Öz Alt Küme 16 1.9.

Detaylı

MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13. TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı

MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13. TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13 TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı ={(x,y): x ile y nin farkı n ile tam bölünür} = {(x,y): n x-y, n N + } bağıntısı bir denklik bağıntısıdır. (x,y) ise x y (mod

Detaylı

Örnek...6 : Örnek...1 : Örnek...7 : Örnek...2 : Örnek...3 : Örnek...4 : Örnek...8 : Örnek...5 : MANTIK 2 MATEMATİKSEL ARAÇLAR AÇIK ÖNERMELER

Örnek...6 : Örnek...1 : Örnek...7 : Örnek...2 : Örnek...3 : Örnek...4 : Örnek...8 : Örnek...5 : MANTIK 2 MATEMATİKSEL ARAÇLAR AÇIK ÖNERMELER MANTIK MATEMATİKSEL ARAÇLAR AÇIK ÖNERMELER İçerisinde değişken olan ve değişkenin değerlerine göre doğru ya da yanlış olabilen önermelere açık önerme denir. Açık önermeler değişkenine göre P( x), Q( a)

Detaylı

10.Konu Tam sayıların inşası

10.Konu Tam sayıların inşası 10.Konu Tam sayıların inşası 1. Tam sayılar kümesi 2. Tam sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Pozitif ve negatif tam sayılar 4. Tam sayılar kümesinde çıkarma 5. Tam sayılar kümesinde sıralama 6. Bir

Detaylı

p sayısının pozitif bölenlerinin sayısı 14 olacak şekilde kaç p asal sayısı bulunur?

p sayısının pozitif bölenlerinin sayısı 14 olacak şekilde kaç p asal sayısı bulunur? 07.10.2006 1. Kaç p asal sayısı için, x 3 x + 2 (x r) 2 (x s) (mod p) denkliğinin tüm x tam sayıları tarafından gerçeklenmesini sağlayan r, s tamsayıları bulunabilir? 2. Aşağıdaki ifadelerin hangisinin

Detaylı

TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR.

TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR. TEOG Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar 1. DOĞAL SAYILAR 0 dan başlayıp artı sonsuza kadar giden sayılara doğal sayılar denir ve N ile gösterilir. N={0, 1, 2, 3,...,n, n+1,...} a ve b doğal sayılar olmak

Detaylı

2. ÜNİTE RASYONEL,ÜSLÜ VE KÖKLÜ SAYILAR

2. ÜNİTE RASYONEL,ÜSLÜ VE KÖKLÜ SAYILAR 2. ÜNİTE RASYONEL,ÜSLÜ VE KÖKLÜ SAYILAR KONULAR 1. RASYONEL SAYILAR 2. Kesir Çeşitleri 3. Kesirlerin Sadeleştirilmesi 4. Rasyonel Sayılarda Sıralama 5. Rasyonel Sayılarda İşlemler 6. ÜSLÜ İFADE 7. Üssün

Detaylı

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür.

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür. - 1 - ÖĞRENME ALANI CEBİR BÖLÜM KARMAŞIK SAYILAR ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Karmaşık Sayılar Karmaşık Sayıların Kutupsal Biçimi KARMAŞIK SAYILAR Kazanım 1 : Gerçek sayılar kümesini genişletme gereğini örneklerle

Detaylı

MATEMATİK. Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU

MATEMATİK. Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU MATEMATİK Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU Mesleki Matematik 1 TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Sayıları yazmak için kullandığımız işaretlere rakam denir. Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Rakamlar 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

Detaylı

Matematik A A ile B nin Kartezyen Çarpımı: A Kümesinden B nin Farkı: A Kümesinden B ye Fonksiyon: Açı: Açık Önerme: Açıortay: Açısal Bölge: Aksiyom:

Matematik A A ile B nin Kartezyen Çarpımı: A Kümesinden B nin Farkı: A Kümesinden B ye Fonksiyon: Açı: Açık Önerme: Açıortay: Açısal Bölge: Aksiyom: Matematik A A ile B nin Kartezyen Çarpımı: Birinci bileşeni A dan, ikinci bileşeni B den alınarak elde edilen ikililerin kümesidir. A Kümesinden B nin Farkı: A kümesinin B kümesi ile ortak olmayan elemanlarından

Detaylı

ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI

ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI 1. 1999 ÖSS a, b, c pozitif gerçel (reel) sayılar olmak üzere a+ b ifadesindeki her sayı 3 ile çarpılırsa aşağıdakilerden hangisi elde c edilir? 3 a+ b A) B) c a+ 3b C)

Detaylı

MODÜLER ARİTMETİK. Örnek:

MODÜLER ARİTMETİK. Örnek: MODÜLER ARİTMETİK Bir doğal sayının ile bölünmesinden elde edilen kalanlar kümesi { 0,, } dir. ile bölünmesinden elde edilen kalanlar kümesi { 0,,, } tür. Tam sayılar kümesi üzerinde tanımlanan {( x, y)

Detaylı

SAYILAR SAYI KÜMELERİ

SAYILAR SAYI KÜMELERİ SAYILAR SAYI KÜMELERİ 1.Sayma Sayıları Kümesi: S=N =1,2,3,... 2. Doğal Sayılar Kümesi : N=0,1,2,... 3. Tamsayılar Kümesi : Z=..., 2, 1,0,1,2,... Sıfırın sağında bulunan 1,2,3,. tamsayılarına pozitif tamsayılar

Detaylı

8. 2 x+1 =20 x. 9. x 3 +6x 2-4x-24=0 10.

8. 2 x+1 =20 x. 9. x 3 +6x 2-4x-24=0 10. MAT-1 EK SORULAR-2 1. 6. A)7 B)8 C)15.D)56 E)64 Olduğuna göre x.a)1 B)2 C)3 D)4 E)6 7. 2. Birbirinden farklı x ve y gerçek A)5.B)6 C)7 D)8 E)9 sayıları için; x 2 +2009y=y 2 +2009x eşitliği sağlandığına

Detaylı

YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK

YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK İÇİNDEKİLER Kümeler 5 44 Fonksiyonlar 1 45 88 Fonksiyonlar 2 89 124 Sayma Kuralları 125 140 Faktöriyel

Detaylı

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ AYRIK YAPILAR P r o f. D r. Ö m e r A k ı n v e Y r d. D o ç. D r. M u r a t Ö z b a y o ğ l u n u n Ç e v i r i E d i t ö r l ü ğ ü n ü ü s t l e n d i ğ i «A y r ı k M a t e m a t i k v e U y g u l a

Detaylı

Rakam : Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir.

Rakam : Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir. A. SAYILAR Rakam : Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir. Sayı : Rakamların çokluk belirten ifadesine sayı denir.abc sayısı a, b, c rakamlarından oluşmuştur.! Her rakam bir sayıdır. Fakat bazı

Detaylı

SAYILAR SAYI KÜMELERİ

SAYILAR SAYI KÜMELERİ 1 SAYILAR SAYI KÜMELERİ 1.Sayma Sayıları Kümesi: S=N =1,2,3,... 2. Doğal Sayılar Kümesi : N=0,1,2,... 3. Tamsayılar Kümesi : Z=..., 2, 1,0,1,2,... Sıfırın sağında bulunan 1,2,3,. tamsayılarına pozitif

Detaylı

Cebir Notları. Gökhan DEMĐR, ÖRNEK : A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona

Cebir Notları. Gökhan DEMĐR, ÖRNEK : A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona , 2006 MC Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr Đşlem ĐŞLEM A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona ikili işlem denir. Örneğin toplama, çıkarma, çarpma birer işlemdir. Đşlemler

Detaylı

EBOB - EKOK EBOB VE EKOK UN BULUNMASI. 2. Yol: En Büyük Ortak Bölen (Ebob) En Küçük Ortak Kat (Ekok) www.unkapani.com.tr. 1. Yol:

EBOB - EKOK EBOB VE EKOK UN BULUNMASI. 2. Yol: En Büyük Ortak Bölen (Ebob) En Küçük Ortak Kat (Ekok) www.unkapani.com.tr. 1. Yol: EBOB - EKOK En Büyük Ortak Bölen (Ebob) İki veya daha fazla pozitif tamsayıyı aynı anda bölen pozitif tamsayıların en büyüğüne bu sayıların en büyük ortak böleni denir ve kısaca Ebob ile gösterilir. Örneğin,

Detaylı

1. ÜNİTE: MANTIK. Bölüm 1.1. Önermeler ve Bileşik Önermeler

1. ÜNİTE: MANTIK. Bölüm 1.1. Önermeler ve Bileşik Önermeler . ÜNİTE: MANTIK . ÜNİTE: MANTIK... Önerme Tanım (Önerme) BÖLÜM.. - Doğru ya da yanlış kesin bir hüküm bildiren ifadelere önerme adı veriler. Örneğin Bir hafta 7 gündür. (Doğru) Eskişehir Türkiye'nin başkentidir.

Detaylı

YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ LÜ SORU BANKASI ANKARA ÖN SÖZ Sevgili Öğrenciler, ÖSYM nin son yıllarda yaptığı sınavlardaki matematik sorularının eski sınav sorularından çok farklı olduğu herkes tarafından

Detaylı

TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada,

TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada, TAMSAYILAR Z = {.., -, -, -, 0,,,, } kümesinin her bir elemanına tamsayı denir. Burada, + Z = {,,,...} kümesine, pozitif tamsayılar kümesi denir. Z = {...,,,,} kümesine, negatif tamsayılar kümesi denir.

Detaylı

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT Kümelerde Temel Kavramlar 1. Kazanım : Küme kavramını açıklar; liste, Venn şeması ve ortak özellik yöntemleri ile gösterir. 2. Kazanım : Evrensel küme,

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 1.KONU Sembolik Mantık; Önermeler, Niceyiciler, Olumsuzluk, İspat yöntemleri KAYNAKLAR 1. Akkaş, S., Hacısalihoğlu, H.H., Özel, Z., Sabuncuoğlu, A.,

Detaylı

8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar

8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar 8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar 1. Eşit güçlü kümeler 2. Sonlu ve sonsuz kümeler 3. Doğal sayılar kümesi 4. Sayılabilir kümeler 5. Doğal sayılar kümesinde toplama 6. Doğal sayılar kümesinde

Detaylı

KPSS MATEMATİK KONU ANLATIMLI SORU BANKASI ANKARA

KPSS MATEMATİK KONU ANLATIMLI SORU BANKASI ANKARA KPSS MATEMATİK KONU ANLATIMLI SORU BANKASI ANKARA İÇİNDEKİLER Matematiğe Giriş... Temel Kavramlar... Bölme - Bölünebilme Kuralları... 85 EBOB - EKOK... Rasyonel Sayılar... Basit Eşitsizlikler... 65 Mutlak

Detaylı

Sunum ve Sistematik 1. BÖLÜM: ÖNERMELER

Sunum ve Sistematik 1. BÖLÜM: ÖNERMELER Sunum ve Sistematik. ÜNİTE: MANTIK KONU ÖZETİ Bu başlık altında, ünitenin en can alıcı bilgileri, kazanım sırasına göre en alt başlıklara ayrılarak hap bilgi niteliğinde konu özeti olarak sunulmuştur..

Detaylı

13.Konu Reel sayılar

13.Konu Reel sayılar 13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık

Detaylı

6. Ali her gün cebinde kalan parasının (2009) a, b ve c farklı pozitif tamsayılar, 9. x, y, z pozitif gerçek sayılar,

6. Ali her gün cebinde kalan parasının (2009) a, b ve c farklı pozitif tamsayılar, 9. x, y, z pozitif gerçek sayılar, 1. 9 2 x 2 ifadesinin açılımında sabit x terim kaç olur? A) 672 B) 84 C) 1 D) -84.E) -672 6. Ali her gün cebinde kalan parasının %20 sini harcamaktadır. Pazartesi sabahı haftalığını alan Ali ni Salı günü

Detaylı

Dik koordinat sisteminde yatay eksen x ekseni (apsis ekseni), düşey eksen ise y ekseni (ordinat ekseni) dir.

Dik koordinat sisteminde yatay eksen x ekseni (apsis ekseni), düşey eksen ise y ekseni (ordinat ekseni) dir. ANALĐTĐK GEOMETRĐ 1. Analitik Düzlem Bir düzlemde dik kesişen iki sayı doğrusunun oluşturduğu sisteme analitik düzlem denir. Analitik düzlem, dik koordinat sistemi veya dik koordinat düzlemi olarak da

Detaylı

a) Çıkarma işleminin; eksilen ile çıkanın ters işaretlisinin toplamı anlamına geldiğini kavrar.

a) Çıkarma işleminin; eksilen ile çıkanın ters işaretlisinin toplamı anlamına geldiğini kavrar. 7. SINIF KAZANIM VE AÇIKLAMALARI M.7.1. SAYILAR VE İŞLEMLER M.7.1.1. Tam Sayılarla Toplama, Çıkarma, Çarpma ve Bölme İşlemleri M.7.1.1.1. Tam sayılarla toplama ve çıkarma işlemlerini yapar; ilgili problemleri

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

TEMEL SAYMA. Bill Gates

TEMEL SAYMA. Bill Gates Bölüm 1 TEMEL SAYMA YÖNTEMLERİ Firmamızın sahip olduğu tek şey insan düş gücüdür. Bill Gates Bu bölümde fazla kuramsal bilgi gerektirmeyen sayma problemleri üzerinde duracağız. Bu tür problemlerde sayma;

Detaylı

MATEMATİK SORU BANKASI. ezberbozan serisi GEOMETRİ 30. KPSS tamamı çözümlü. eğitimde

MATEMATİK SORU BANKASI. ezberbozan serisi GEOMETRİ 30. KPSS tamamı çözümlü. eğitimde ezberbozan serisi MATEMATİK GEOMETRİ KPSS 2017 SORU BANKASI eğitimde tamamı çözümlü 30. Kerem Köker Kenan Osmanoğlu Levent Şahin Uğur Özçelik Ahmet Tümer Yılmaz Ceylan KOMİSYON KPSS EZBERBOZAN MATEMATİK

Detaylı

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir.

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. a) Pozitif doğal sayılar: Sıfır olmayan doğal sayılar kümesine Pozitif Doğal

Detaylı

1. BÖLÜM. Sayılarda Temel Kavramlar. Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK. Kontrol Noktası 1

1. BÖLÜM. Sayılarda Temel Kavramlar. Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK. Kontrol Noktası 1 1. BÖLÜM Sayılarda Temel Kavramlar Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK Kontrol Noktası 1 Isınma Hareketleri 1 Uygun eşleştirmeleri yapınız. I. {0, 1, 2,..., 9} II. {1, 2, 3,...} III. {0, 1, 2,

Detaylı

( 2x+1, 3y 1. Örnek...4 : A = {1, 2, 3} ve B = {a, b} kümeleri için, AxB ve BxA kümelerini liste biçimde yazınız.

( 2x+1, 3y 1. Örnek...4 : A = {1, 2, 3} ve B = {a, b} kümeleri için, AxB ve BxA kümelerini liste biçimde yazınız. SIRALI İKİLİ a ve b'nin (a,b) biçiminde tek bir eleman olarak yazılmasına sıralı ikili ya da kısaca ikili denir. Burada a' ya ikilinin birinci bileşeni, b' ye ise ikinci bileşeni denir. Örneğin ; (4, 3)

Detaylı

LİSE 1 MANTIK KONU ANLATIM FASİKÜLÜ

LİSE 1 MANTIK KONU ANLATIM FASİKÜLÜ LİSE 1 MANTIK KONU ANLATIM FASİKÜLÜ 1 ÖNERMELER Kesin olarak doğru ya da yanlış hüküm bildiren ifadelere önerme denir. Önermeler p ve q gibi harflerle ifade edilirler.bir önerme doğru ise, doğruluk değeri

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 5.KONU Cebiresel yapılar; Grup, Halka 1. Matematik yapı 2. Denk yapılar ve eş yapılar 3. Grup 4. Grubun basit özellikleri 5. Bir elemanın kuvvetleri

Detaylı

EĞİTİM-ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KAZANIMLARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ SÜRE

EĞİTİM-ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KAZANIMLARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ SÜRE Ay 2016 2017 EĞİTİM-ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KAZANIMLARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ SÜRE Hafta ÖĞRENME ALANI ALT ÖĞRENME ALANI KAZANIMLAR EYLÜL 3 4 Sayılar ve İşlemler Çarpanlar

Detaylı

NİSAN 2010 DENEMESİ A)75 B)80 C)85 D)90 E)95 A)0 B)1 C)2 D)3 E)4

NİSAN 2010 DENEMESİ A)75 B)80 C)85 D)90 E)95 A)0 B)1 C)2 D)3 E)4 NİSAN 21 DENEMESİ 1) ABCD dikdörtgeninin AB kenarı üzerindeki M noktasından geçen ve CM doğrusuna dik olan doğru AD kenarını E noktasında kesiyor. M noktasından CE doğrusuna indirilen dikmenin ayağı P

Detaylı

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İkinci Dereceden Denklemler a, b ve c reel sayı, a ¹ 0 olmak üzere ax + bx + c = 0 şeklinde yazılan denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Aşağıdaki denklemlerden

Detaylı

ales dört bin soru tarzına en yakın EŞİT AĞIRLIK ve SAYISAL ADAYLARA ALES SORU BANKASI Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan

ales dört bin soru tarzına en yakın EŞİT AĞIRLIK ve SAYISAL ADAYLARA ALES SORU BANKASI Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan ales 2015 tarzına en yakın dört bin soru EŞİT AĞIRLIK ve SAYISAL ADAYLARA ALES SORU BANKASI Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan ALES Eşit Ağırlık ve

Detaylı

SİDRE 2000 ORTAOKULU EĞİTİM-ÖĞRETİM YILI 8. SINIFLAR MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLAN

SİDRE 2000 ORTAOKULU EĞİTİM-ÖĞRETİM YILI 8. SINIFLAR MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLAN E Y L Ü L ÜNİTE SİDRE 000 ORTAOKULU 06-07 EĞİTİM-ÖĞRETİM YILI 8. SINIFLAR MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLAN 9.09.06/.09.06 6.09.06/0.09.06 Çarpanlar ve Katlar Çarpanlar ve Katlar 8... Verilen

Detaylı

AKSARAY KANUNİ ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ 2015-2016 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI MATEMATİK DERSİ 11.SINIFLAR ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI TEKNİKLER

AKSARAY KANUNİ ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ 2015-2016 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI MATEMATİK DERSİ 11.SINIFLAR ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI TEKNİKLER AKSARAY KANUNİ ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ 015-01 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI MATEMATİK DERSİ 11.SINIFLAR ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI SÜRE: MANTIK(30) ÖNERMELER VE BİLEŞİK ÖNERMELER(18) 1. Önermeyi, önermenin

Detaylı

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1), G de bir ikili işlemdir. 2) a, b, c G için a( bc)

Detaylı

ÖZEL ÇORUM ADA ÖZEL ÖĞRETİM KURSU MATEMATİK 3 BİLİM GRUBU ÇERÇEVE PROGRAMI

ÖZEL ÇORUM ADA ÖZEL ÖĞRETİM KURSU MATEMATİK 3 BİLİM GRUBU ÇERÇEVE PROGRAMI ÖZEL ÇORUM ADA ÖZEL ÖĞRETİM KURSU MATEMATİK 3 BİLİM GRUBU ÇERÇEVE PROGRAMI 1.KURUM ADI: Özel Çorum Ada Özel Öğretim Kursu 2. KURUMUN ADRESİ: Yavruturna Mah. Kavukçu Sok. No:46/A ÇORUM/MERKEZ 3. KURUCUNUN

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR A: SAYI Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Ör: 0,1,2,3,4,5,6 Rakamların çokluk belirtecek şekilde bir araya getirilmesiyle oluşturulan ifadeler ifadesine sayı denir.

Detaylı

1. Fonksiyonlar Artan, Azalan ve Sabit Fonksiyon Alıştırmalar Çift ve Tek Fonksiyon

1. Fonksiyonlar Artan, Azalan ve Sabit Fonksiyon Alıştırmalar Çift ve Tek Fonksiyon İçindekiler Cebir 1. Fonksiyonlar....... 1.1 Fonksiyonların Tanım, Değer ve Görüntü Kümesi...... 1.1.1 Fonksiyon.. 1.1. Görüntü Kümesi... 1.1.3 Eşit Fonksiyonlar. 1.1.4 Fonksiyonun Gösterimi. 1.1.4.1 Liste

Detaylı

TEMEL SAYMA KURALLARI

TEMEL SAYMA KURALLARI TEMEL SAYMA KURALLARI SAYMA Toplama Yoluyla Sayma A ve B sonlu ve ayrık kümeler olmak üzere, bu iki kümenin birleşiminin eleman sayısı; s(a,b) = s(a) + s(b) dir. Sonlu ve ayrık iki kümenin birleşiminin

Detaylı

ÜNİTE: TAM SAYILAR KONU: Tam Sayılar Kümesinde Çıkarma İşlemi

ÜNİTE: TAM SAYILAR KONU: Tam Sayılar Kümesinde Çıkarma İşlemi ÜNE: AM AYIAR N: am ayılar ümesinde Çıkarma şlemi ÖRNE RAR VE ÇÖZÜMER 1. [(+17) (+25)] + [( 12) (+21)] işleminin sonucu A) 41 B) 25 C) 25 D) 41 Çıkarma işlemi yapılırken çıkanın işareti değişir ve eksilen

Detaylı

Örnek...1 : Örnek...2 : A = { a, {a}, b, c, {b, d}, d }, B = { {a}, {c, d}, c, d, x, Δ } k ümeleri için s( AUB) kaçtır?

Örnek...1 : Örnek...2 : A = { a, {a}, b, c, {b, d}, d }, B = { {a}, {c, d}, c, d, x, Δ } k ümeleri için s( AUB) kaçtır? KÜMELER 2 İKİ KÜMENİN BİRLEŞİMİ A ve B gibi iki kümeden, A' ya veya B' ye ait olan elemanlardan oluşan yeni kümeye A ile B' nin birleşimi denir ve AUB ile gösterilir. Bu gösterim A birleşim B di ye okunur.

Detaylı

TABAN ARĠTMETĠĞĠ. ÇÖZÜM (324) 5 = = = = 89 bulunur. Doğru Seçenek C dir.

TABAN ARĠTMETĠĞĠ. ÇÖZÜM (324) 5 = = = = 89 bulunur. Doğru Seçenek C dir. TABAN ARĠTMETĠĞĠ Kullandığımız 10 luk sayma sisteminde sayılar {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} kümesinin elemanları (Rakam) kullanılarak yazılır. En büyük elemanı 9 olan, 10 elemanlı bir kümedir. Onluk sistemde;

Detaylı

ISBN NUMARASI: ISBN NUMARASI: ISBN NUMARASI: ISBN NUMARASI:

ISBN NUMARASI: ISBN NUMARASI: ISBN NUMARASI: ISBN NUMARASI: Bu formun ç kt s n al p ço altarak ö rencilerinizin ücretsiz Morpa Kampüs yarıyıl tatili üyeli inden yararlanmalar n sa layabilirsiniz.! ISBN NUMARASI: 65482465 ISBN NUMARASI: 65482465! ISBN NUMARASI:

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER HEDEFLER İÇİNDEKİLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER Özdeşlikler Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler Yüksek Dereceden Denklemler Eşitsizlikler

Detaylı

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 MATEMATİK TESTİ 11 HAZİRAN 2017 PAZAR Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının

Detaylı

1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 3. ÜNİTE. Bölüm 1 : Üslü Sayılar... 8. Bölüm 2 : Doğal Sayılar... 18. Bölüm 3 : Doğal Sayı Problemleri... 30

1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 3. ÜNİTE. Bölüm 1 : Üslü Sayılar... 8. Bölüm 2 : Doğal Sayılar... 18. Bölüm 3 : Doğal Sayı Problemleri... 30 İçindekiler 1. ÜNİTE Bölüm 1 : Üslü Sayılar... 8 Bölüm 2 : Doğal Sayılar... 18 Bölüm 3 : Doğal Sayı Problemleri... 30 Bölüm 4 :- Çarpanlar ve Katlar, Bölünebilme... 40 Bölüm 5 : Asal Sayılar, Ortak Bölenler,

Detaylı

KÜMELER. İyi tanımlanmış nesneler topluluğuna küme denir. Bir küme, birbirinden farklı nesnelerden oluşur. Bu nesneler somut veya soyut olabilir.

KÜMELER. İyi tanımlanmış nesneler topluluğuna küme denir. Bir küme, birbirinden farklı nesnelerden oluşur. Bu nesneler somut veya soyut olabilir. 1 KÜMELER İyi tanımlanmış nesneler topluluğuna küme denir. ir küme, birbirinden farklı nesnelerden oluşur. u nesneler somut veya soyut olabilir. Kümeyi oluşturan nesnelerin her birine eleman(öğe) denir.

Detaylı

2017 MÜKEMMEL YGS MATEMATİK

2017 MÜKEMMEL YGS MATEMATİK 2017 MÜKEMMEL YGS MATEMATİK 1. 2,31 0,33 0,65 0,13 + 3,6 0,6 işleminin sonucu kaçtır? A)0,5 B) 0,8 C)0,9 D)5 E)8 4. Üç basamaklı ABB doğal sayısı 4 e ve 9 a kalansız bölünmektedir. Buna göre, A+B toplamının

Detaylı

ÖZEL ÖĞRETİM KURSU MATEMATİK-III ÇERÇEVE PROGRAMI. : Kesikkapı Mah. Atatürk Cad. No 79 Fethiye /MUĞLA

ÖZEL ÖĞRETİM KURSU MATEMATİK-III ÇERÇEVE PROGRAMI. : Kesikkapı Mah. Atatürk Cad. No 79 Fethiye /MUĞLA ÖZEL ÖĞRETİM KURSU MATEMATİK-III ÇERÇEVE PROGRAMI 1.KURUMUN ADI 2.KURUMUN ADRESİ 3.KURUCUNUN ADI :Tercih Özel Öğretim Kursu : Kesikkapı Mah. Atatürk Cad. No 79 Fethiye /MUĞLA : ARTI ÖZEL EĞİTİM ÖĞRETİM

Detaylı

Kesirler. Kesirlere neden ihtiyaç duyulur?

Kesirler. Kesirlere neden ihtiyaç duyulur? Kesirlerin Öğretimi Kesirler Kesirlere neden ihtiyaç duyulur? Kesirler Doğal sayılar günlük yaşantımızda bazı problemlerin çözümünde yetersiz kalır. Kesirler Örneğin, 3 elmayı 2 arkadaşınıza paylaştırdığınızda

Detaylı

Bu tanım aralığı pozitif tam sayılar olan f(n) fonksiyonunun değişim aralığı n= 1, 2, 3,, n,

Bu tanım aralığı pozitif tam sayılar olan f(n) fonksiyonunun değişim aralığı n= 1, 2, 3,, n, DİZİLER Tamamen belirli bir kurala göre sıralanmış sayılar topluluğuna veya kümeye Dizi denir. Belirli bir kurala göre birbiri ardınca gelen bu sayıların her birine dizinin terimi ve hepsine birden dizinin

Detaylı

SAYILAR ( ) MATEMATİK KAF01 RAKAM VE DOĞAL SAYI KAVRAMI TEMEL KAVRAM 01. Sayıları ifade etmeye yarayan

SAYILAR ( ) MATEMATİK KAF01 RAKAM VE DOĞAL SAYI KAVRAMI TEMEL KAVRAM 01. Sayıları ifade etmeye yarayan SAYILAR RAKAM VE DOĞAL SAYI KAVRAMI MATEMATİK KAF01 TEMEL KAVRAM 01 Sayıları ifade etmeye yarayan { 0,1,, 3, i i i,9} kümesindeki semollere onluk sayma düzeninde rakam denir. N =... kümesinin elemanlarına

Detaylı

TMÖZ Türkiye Matematik Öğretmenleri Zümresi

TMÖZ Türkiye Matematik Öğretmenleri Zümresi YGS MATEMATĠK DENEMESĠ-1 Muharrem ġahġn TMÖZ Türkiye Matematik Öğretmenleri Zümresi Eyüp Kamil YEġĠLYURT Gökhan KEÇECĠ Saygın DĠNÇER Mustafa YAĞCI Ġ:K Ve TMÖZ üyesi 14 100 matematik ve geometri sevdalısı

Detaylı

Basým Yeri: Ceren Matbaacılık AŞ. Basým Tarihi: Haziran / ISBN Numarası: Sertifika No: 33674

Basým Yeri: Ceren Matbaacılık AŞ. Basým Tarihi: Haziran / ISBN Numarası: Sertifika No: 33674 kapak sayfası İÇİNDEKİLER. ÜNİTE DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER Gerçek Sayılar... 4 Doğal Sayılarda İşlemler... 4 Tam Sayılar... 4 Rasyonel Sayılar... 5 İrrasyonel Sayılar... 5 Gerçek (Reel) Sayılar... 6 9 Konu

Detaylı

11. SINIF MATEMATİK DERSİ İLERİ DÜZEY ÖĞRETİM PROGRAMI

11. SINIF MATEMATİK DERSİ İLERİ DÜZEY ÖĞRETİM PROGRAMI 11. SINIF MATEMATİK DERSİ İLERİ DÜZEY ÖĞRETİM PROGRAMI Programın öğrencilerde geliştirmeyi hedeflediği becerilerle 11. sınıf matematik öğretim programı ilişkisi Modelleme/Problem çözme Matematiksel Süreç

Detaylı

Viyana İmam Hatip Lisesi Öğrenci Seçme Sınavı - Matematik

Viyana İmam Hatip Lisesi Öğrenci Seçme Sınavı - Matematik Viyana İmam Hatip Lisesi Öğrenci Seçme Sınavı - Matematik 1. Ünite: Geometriden Olasılığa 1. Bölüm: Yansıyan ve Dönen Şekiller, Fraktallar Yansıma, Öteleme, Dönme Fraktallar 2. Bölüm: Üslü Sayılar Tam

Detaylı

SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon denir.

SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon denir. SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon Tanım 2: Bir grubun kendi üzerine izomorfizmine otomorfizm, grubun kendi üzerine homomorfizmine endomorfizm Sadece birebir olan

Detaylı

Yeşilköy Anadolu Lisesi

Yeşilköy Anadolu Lisesi Yeşilköy Anadolu Lisesi TANIM (KONUYA GİRİŞ) a, b, c gerçel sayı ve a ¹ 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Bu açık önermeyi

Detaylı

sayısının tamkare olmasını sağlayan kaç p asal sayısı vardır?(88.32) = n 2 ise, (2 p 1

sayısının tamkare olmasını sağlayan kaç p asal sayısı vardır?(88.32) = n 2 ise, (2 p 1 TAM KARELER 1. Bir 1000 basamaklı sayıda bir tanesi dışında tüm basamaklar 5 tir. Bu sayının hiçbir tam sayının karesi olamayacağını kanıtlayınız. (2L44) Çözüm: Son rakam 5 ise, bir önceki 2 olmak zorunda.

Detaylı

ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV

ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV - 1 - ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV Kazanım 1 : Türev Kavramını fiziksel ve geometrik uygulamalar yardımıyla açıklar, türevin tanımını

Detaylı

MATEMATİK SORU BANKASI GEOMETRİ KPSS KPSS. Genel Yetenek Genel Kültür. Sayısal ve Mantıksal Akıl Yürütme. Eğitimde

MATEMATİK SORU BANKASI GEOMETRİ KPSS KPSS. Genel Yetenek Genel Kültür. Sayısal ve Mantıksal Akıl Yürütme. Eğitimde KPSS Genel Yetenek Genel Kültür MATEMATİK Sayısal ve Mantıksal Akıl Yürütme KPSS 2016 Pegem Akademi Sınav Komisyonu; 2015 KPSS ye Pegem Yayınları ile hazırlanan adayların, 100'ün üzerinde soruyu kolaylıkla

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16. MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16. MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI. MATEMATİK YARIŞMASI 0. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI 5. sayısının virgülden sonra 9 99 999 5. basamağındaki rakam kaçtır? A) 0 B) C) 3 D) E) 8!.!.3!...4! 4. A= aşağıdaki hangi

Detaylı

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte 50 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için

Detaylı

MATEMATİK ASAL ÇARPANLARA AYIRMA. ÖRNEK 120 sayısını asal çarpanlarına ayırınız. ÖRNEK 150 sayısının asal çarpanları toplamını bulunuz.

MATEMATİK ASAL ÇARPANLARA AYIRMA. ÖRNEK 120 sayısını asal çarpanlarına ayırınız. ÖRNEK 150 sayısının asal çarpanları toplamını bulunuz. MATEMATİK ASAL ÇARPANLARA AYIRMA A S A L Ç A R P A N L A R A A Y I R M A T a n ı m : Bir tam sayıyı, asal sayıların çarpımı olarak yazmaya, asal çarpanlarına ayırma denir. 0 sayısını asal çarpanlarına

Detaylı

Ders 9: Bézout teoremi

Ders 9: Bézout teoremi Ders 9: Bézout teoremi Konikler doğrularla en fazla iki noktada kesişir. Şimdi iki koniğin kaç noktada kesiştiğini saptayalım. Bunu, çok kolay gözlemlerle başlayıp temel ve ünlü Bézout teoremini kanıtlayarak

Detaylı

Küme Temel Kavramları

Küme Temel Kavramları Kümeler Kümeler Küme, matematiksel anlamda tanımsız bir kavramdır. Bu kavram "nesneler topluluğu veya yığını" olarak yorumlanabilir. Bu tanımdaki "nesne" soyut ya da somut bir şeydir; fakat her ne olursa

Detaylı

SAYILAR MATEMATİK KAF03 BASAMAK KAVRAMI TEMEL KAVRAM 01. İki basamaklı en küçük sayı : İki basamaklı en büyük negatif sayı :.

SAYILAR MATEMATİK KAF03 BASAMAK KAVRAMI TEMEL KAVRAM 01. İki basamaklı en küçük sayı : İki basamaklı en büyük negatif sayı :. SAYILAR BASAMAK KAVRAMI İki basamaklı en küçük sayı : İki basamaklı en büyük negatif sayı :. Üç basamaklı rakamları farklı en küçük sayı :. SORU 5 MATEMATİK KAF03 TEMEL KAVRAM 01 Üç basamaklı birbirinden

Detaylı

5. a ve b birer pozitif tam sayıdır. A) 1 B) 2 C) 3 D) 14 E) a ve b birer doğal sayıdır. 7. a ve b birer pozitif tam sayıdır.

5. a ve b birer pozitif tam sayıdır. A) 1 B) 2 C) 3 D) 14 E) a ve b birer doğal sayıdır. 7. a ve b birer pozitif tam sayıdır. Üniversite Haz rl k Sözcükte Do al ve Say lar Söz Öbeklerinde ve Tam Say lar Anlam - I - I YGS Temel Matematik. 8 + 4. + 8 : 4 işleminin sonucu A) 8 B) 9 C) D) 5 E) 8 5. a ve b birer pozitif tam sayıdır.

Detaylı

Saygın KIRILMAZ, Tolga TANIŞ, Simay AYDIN

Saygın KIRILMAZ, Tolga TANIŞ, Simay AYDIN YAYIN KURULU Hazırlayanlar Saygın KIRILMAZ, Tolga TANIŞ, Simay AYDIN YAYINA HAZIRLAYANLAR KURULU Kurumsal Yayınlar Yönetmeni Saime YILDIRIM Kurumsal Yayınlar Birimi Dizgi & Grafik Mustafa Burak SANK &

Detaylı

2004 II. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI

2004 II. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI 4 II MATEMATİK YARIŞMASI I AŞAMA SORULARI 4? 4 4 A B denkleminde A ve B birbirinden farklı pozitif tam sayılar olduğuna göre, A + B toplamı kaçtır? işleminin sonucu kaçtır? 5 A) B) C) - D) E) - 8 4 x x

Detaylı

Ortak Akıl MATEMATİK DENEME SINAVI

Ortak Akıl MATEMATİK DENEME SINAVI Ortak kıl YGS MTEMTİK ENEME SINVI 1 01511-1 Ortak kıl dem ÇİL li an GÜLLÜ yhan YNĞLIŞ arbaros GÜR arış EMİR eniz KRĞ Ersin KESEN Fatih TÜRKMEN Hatice MNKN Kemal YIN Köksal YİĞİT Muhammet YVUZ Oral YHN

Detaylı

1. BÖLÜM: PERMÜTASYON (SIRALAMA) BÖLÜM: KOMBİNASYON (SEÇME) A. SEÇME (KOMBİNASYON) B. KOMBİNASYON GEOMETRİ İLİŞKİSİ

1. BÖLÜM: PERMÜTASYON (SIRALAMA) BÖLÜM: KOMBİNASYON (SEÇME) A. SEÇME (KOMBİNASYON) B. KOMBİNASYON GEOMETRİ İLİŞKİSİ İçindekiler 1. BÖLÜM: PERMÜTASYON (SIRALAMA)... 10 A. SAYMA KURALLARI... 10 B. FAKTÖRİYEL... 14 C. n ELEMANLI BİR KÜMENİN r Lİ PERMÜTASYONLARI (Dizilişleri)... 17 Ölçme ve Değerlendirme...20 Kazanım Değerlendirme

Detaylı

10. SINIF MATEMATİK FONKSİYONLARDA İŞLEMLER-2

10. SINIF MATEMATİK FONKSİYONLARDA İŞLEMLER-2 . SINIF MTEMTİK FONKSİYONLRD İŞLEMLER- ÇKEY NDOLU LİSESİ MTEMTİK ÖLÜMÜ . ÜNİTE.. FONKSİYONLRD DÖRT İŞLEM Neler öğreneceksiniz? Fonksiyonlarda dört işlem yani toplama çıkarma, çarpma ve bölmeyi öğreneceksiniz.

Detaylı

12.Konu Rasyonel sayılar

12.Konu Rasyonel sayılar 12.Konu Rasyonel sayılar 1. Rasyonel sayılar 2. Rasyonel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Rasyonel sayılar kümesinde çıkarma ve bölme 4. Tam rayonel sayılar 5. Rasyonel sayılar kümesinde sıralama

Detaylı

ÜSLÜ SAYILAR. AMAÇ 1: 6 ve 7. Sınıflarda görmüş olduğumuz üslü ifadelerdeki temel kavramları hatırlama

ÜSLÜ SAYILAR. AMAÇ 1: 6 ve 7. Sınıflarda görmüş olduğumuz üslü ifadelerdeki temel kavramları hatırlama AMAÇ 1: 6 ve 7. Sınıflarda görmüş olduğumuz üslü ifadelerdeki temel kavramları hatırlama KURAL: Bir sayının belli bir sayıda yan yana çarpımının kolay yoldan gösterimine üslü sayılar denir. Örneğin 5 sayısının

Detaylı

SINIF TEST. Üslü Sayılar A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 A) - 5 B) - 4 C) 5 D) 7. sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir?

SINIF TEST. Üslü Sayılar A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 A) - 5 B) - 4 C) 5 D) 7. sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir? 8. SINIF. Üslü Sayılar - = T olduğuna göre T kaçtır? A) - B) - C) D) 7 TEST.. 0 - işleminin sonucu kaç basamaklı bir sayıdır? A) B) C) 6 D) 7. n =- 7 için n ifadesinin değeri kaçtır? A) - 8 B) - C) 8 D)

Detaylı

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye KÜME AİLELERİ GİRİŞ Bu bölümde, bir çoğu daha önceden bilinen incelememiz için gerekli olan bilgileri vereceğiz. İlerde konular işlenirken karşımıza çıkacak kavram ve bilgileri bize yetecek kadarı ile

Detaylı

x13. ULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATI - 2005

x13. ULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATI - 2005 TÜBİTAK TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNOLOJİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM İNSANI DESTEKLEME DAİRE BAŞKANLIĞI x13. ULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATI - 005 BİRİNCİ AŞAMA SINAVI Soru kitapçığı türü A 1. AB = olmak üzere, A

Detaylı

ALES EŞİT AĞIRLIK VE SAYISAL ADAYLAR İÇİN ALES SORU BANKASI. Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan. Eğitimde

ALES EŞİT AĞIRLIK VE SAYISAL ADAYLAR İÇİN ALES SORU BANKASI. Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan. Eğitimde ALES 2017 EŞİT AĞIRLIK VE SAYISAL ADAYLAR İÇİN ALES SORU BANKASI Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan Eğitimde 30. yıl Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan ALES Eşit Ağırlık ve Sayısal Soru

Detaylı