Mustafa YAĞCI, Parabol ile Eğrilerin Kesişimi

Transkript

1 11 Ceir Notları Mustafa YAĞCI, Paraol ile Eğrilerin Kesişimi P araol İle Doğrunun Birirlerine Göre Durumları. Aslında sadece paraol ve doğru çifti için değil, denklemleri ilinen herhangi ir geometrik şeklin ir diğerine göre konumunu elirlemek için denklemlerini irirlerine eşitleriz. Ortaa çıkan denklemin kaç farklı reel kökü varsa, o kadar farklı noktada kesiştiklerini söleriz. Bunun mantığı şudur: Kesişim noktası her iki geometrik şeklin de üzerinde olduğundan, her iki geometrik şeklin de denklemini sağlıor olmalı, işte u üzden eşitlenen denklemlerden ortaa çıkan denklemin kökü zaten her iki denklemin de köküdür. Peki, a o denklemin tek kökü varsa? O zaman eğriler tek noktada kesişiorlardır vea teğetlerdir. Eğer hiç reel kökü oksa da kesişmiorlardır. Toparlaalım: = a + + c paraolünün = m + n doğrusuna göre konumunu elirlemek için verilen denklemleri eşitleriz. a + + c = m + n a + ( m) + (c n) = denkleminin diskriminantı olsun. > ise doğru paraolü iki farklı noktada keser, = ise doğru paraole teğettir, < ise doğru ile paraol kesişmezler. = paraolü ile = + 6 doğrusunun konumu için aşağıdakilerden hangisi söleneilir? Kesişmezler. B) Doğru, paraole ( 1, ) noktasında teğettir. C) Doğru, paraole ( 1, 5) noktasında teğettir. D) (, 1) ve ( 1, ) noktalarında kesişirler. E) (6, 7) ve ( 1, 5) noktalarında kesişirler. > = < Çözüm: = + 6, + + =, = = ( + 1) Görüldüğü gii eşitlenen denklemlerin ortaa çıkardığı denklemin tek kökü var, o halde doğru paraole tek noktada değior, ani teğet. = 1 için = = 5 olduğundan teğet değme noktası koordinatları ( 1, 5) tir. Doğru cevap: C. = + 11 paraolüle = 1 doğrusunun iririne göre durumu aşağıdakilerden Kesişmezler. B) Tek noktada kesişirler. C) Çakışıktırlar. D) İki noktada kesişirler. E) Ben nerden ileim. Çözüm: Her zamanki gii denklemleri ortak çözeceğiz = 1, =. Bu denklemin reel kökü olmadığından doğrula paraol kesişmezler. = k doğrusu = paraolünü orijine göre simetrik iki noktada kestiğine göre k kaçtır? B) C) D) 6 E) Çözüm: Orijine göre simetrik iki noktanın apsisleri toplamının olması gerektiği üzerine kurulmuş ir sorudur. Hemen kesişim noktaların apsislerini ulalım. Pardon, ulmaalım, toplamlarını a eşitleelim. = = k + (6 k) 11 = denkleminin kökler toplamı olmalıdır. /a = eşitliğinden = ani 6 k = olması gerektiğini uluruz. Demek ki k = 6 olmalıdır. Doğru cevap: D. Örnek [1967 ÜSS]. = - 1 eğrisine teğet ve = - doğrusuna paralel olan doğrunun denklemi aşağıdakilerden = 5 B) = 5 C) = 5 D) = 5 E) = + 5 Çözüm: = doğrusuna paralel olmak demek, eğimi olmak demektir. O halde = 1 eğrisine teğet olup, eğimi olan doğruu ulmalıız. O doğrunun denklemine = + a dielim. 1= + a a 1= eşitliğinin tamkare olması gerekliliğinden, = eşitliği çözülürse a 1 = ani a = 5 ulunur. O halde doğrunun denklemi = 5 dir. 11

2 Mustafa YAĞCI Paraol ile Eğrilerin Kesişimi Örnek [1987 ÖSS]. Denklemi = a ( ) olan paraol, denklemi = olan paraole teğet olduğuna göre, nin a türünden değeri nedir? a ± B) ± a C) ± a D) a ± E) ± a Çözüm: İki paraol denklemini eşitlediğimizde ortaa çıkan denklem ir tamkare olmalıdır. a ( ) = a + = + a = denkleminin diskriminantını a eşitleelim. = ( ) ( a ) = + = = a olduğundan =± a ulunur. f( ) = ve 8a g ( ) = + paraolleri verilmiştir. Bu paraollerin tepe noktaları ile kesim noktalarının elirttiği dörtgensel ölgenin alanı kaç irimkaredir? = + a+ doğrusu, = parao- lüle = + paraolüne anı noktada teğet olduğuna göre doğrunun eksenini kestiği noktanın ordinatı kaçtır? B) C) 1 D) 1 E) Çözüm: = + a+ + = + a+ denklemleri irer tamkare olmalıdır. İkinci eşitlikten aşlaalım: + = + a+ = + a + 6+ a = olduğundan a = 9 olmalıdır. Şimdi ilk denkleme akalım: = + a = = olduğundan = 11 olmalıdır. O halde doğrunun denklemi = + a+ = = olacağından, doğru eksenini (, ) noktasında keser. 56 B) 18 C) 6 D) E) 16 Çözüm: f () paraolünün tepe noktası (, ), g() paraolünün ise (, ) dir. Şimdi de kesim noktalarını ulalım. = + eşitliğinden = ani = vea = ulunur. Demek ki kesim noktaları (, 16) ve (, 16) imiş. Bu dört nokta ir deltoit oluşturacağından, alanı 8 = 18 dir. m parametresi değiştikçe, = m+ 5 m paraollerinin geçtiği sait nokta nedir? (1, ) B) (, 9) C) (, 9) D) (, 9) E) (, 9) Çözüm: m = için = + 5, m = 1 için = + olduğundan u paraollerin kesim noktasını ulmak ize cevaı verir. + = + 5 denkleminden =, uradan da = 9 çıkar. Demek ki ortak sait nokta da (, 9) dur. Doğru cevap: D. m = + 5 paraolüne aşlangıç noktasından çizilen teğetler iririne dik olduğuna göre, m nin alaileceği değerlerden negatif olanı kaçtır? 9 B) 11 C) 11 D) E) 1 Çözüm: Başlangıç noktasından çizilen teğetlere = n doğruları dielim + m 5 = n + (n m) + 5 = ulunur ki u denklemin tamkare olması gerekir. O halde n m = 1 olmalıdır. Diğer andan teğetler dik kesiştiğinden n nin değerlerinin çarpımı 1 olmalıdır. (m 1)(m + 1) = 1 eşitliğinden m = 99 ulunur. m nin negatif değeri 11 dir. 1

3 Mustafa YAĞCI Paraol ile Eğrilerin Kesişimi Yan şekildeki d doğrusu, paraole A( 1, ) noktasında teğettir. Buna göre d doğrusunun denklemi aşağıdakilerden = B) = C) = + 1 D) = + 6 E) = 1 Çözüm: Paraol orijinden geçtiği için denklemi = m şeklindedir. Bu paraol anı zamanda A( 1, ) noktasından da geçtiğinden = m ( 1) eşitliğinden m = ani paraol denklemi = olarak ulunur. Doğrunun denklemine de = a + dielim. Doğru da A( 1, ) den geçtiği için = a ( 1) + eşitliğinden = a + ani = + a olarak ulunur. O halde doğru denklemine = a + + a azailiriz. Paraolle doğru teğet olduğundan, = a + + a denkleminin tek kökü olmalıdır. Yani diskriminantı sıfır olmalıdır. a a = için = ( a) ( a) = a a = (a + ) eşitliğinden = olması için a = ulunur. O halde doğrunun denklemi =. A d Örnek [1967 ÜSS]. = + + paraolünün = + 1 doğrusuna en akın noktası aşağıdakilerden (, 1) B) (, ) C) (, ) D) (1, ) E) (, ) Çözüm: Aranan nokta, paraolün = + 1 doğrusuna paralel olan teğetinin paraole değdiği noktadır. O teğetin denklemi = + a olsun. Bu durumda + + = + a + + a = denklemi tamkare olmalıdır. Buradan a = ulunur. + + = ( + ) = eşitliğinden de değme noktasının apsisinin olduğunu anlarız. Paraol denkleminde erine azarsak, ordinatın da olduğunu uluruz. O halde aranan nokta (, ) olmalıdır. Doğru cevap: E. = m ile = eğrilerinin kesim noktalarının orta noktalarının geometrik eri nedir? = B) = C) = D) = E) = f () = + 1 paraolünün = 1 doğrusuna en akın noktasının apsisi kaçtır? 1 B) 1 C) D) E) 1 Çözüm: = 1 doğrusuna paralel olup, paraole teğet olan = + k doğrusunu düşünün. Teğet değme noktası aranan nokta olur. + 1 = + k + + (1 k) = 1 k = 1 k = 9 O halde ( + 1) = die = 1 dir. Çözüm: Kesim noktalarını ulalım önce. m = ( + m) = ( m) = Kesim noktalarının apsisleri ve (m + ) tür. O halde kesim noktaları (, ) ve (m +, m + m) olur. Kesim noktalarının orta noktası da m+ m + m, m + m + m olur. = ve = denirse, m = olacağından ( ) + ( ) = = 8 = = olur. Doğru cevap: D. 1

4 Mustafa YAĞCI Paraol ile Eğrilerin Kesişimi Şekildeki KL doğru parçasının üzerinde değişken ir B noktası alınıor. OABC dikdörtgenlerinin alanı olan A() fonksionunun denklemi aşağıdakilerden K C O A B L + eşitsizlik sistemini sağlaan ölge A, B, C, D, E olarak isimlendirilmiş ölgelerden E - D A C B + B) D) 1 + C) + E) 1 + Çözüm: KL doğrusunun denklemi + = 1 ani + = dır. B noktası u doğrunun üzerinde olduğundan koordinatları t, t şeklindedir. Demek ki dikdörtgenin alanı t 1 1 t t t = t t dir. Bunu A() = = ( ) 1 + şeklinde azailiriz. (, ) ve (, ) ortak noktalarına sahip f paraolü ile g doğrusunun grafikleri anda verilmiştir. Taralı ölgee karşılık gelen eşitsizlik sistemini azınız. ( ) + B) ( ) C) ( ) < < D) ( ) E) ( ) + Çözüm: Tepe noktası ve geçtiği ir noktası ilindiğinden paraol denklemini = ( ) olarak uluruz. Geçtiği iki noktası ilinen doğru denkleminin formülünden de doğrunun denklemi = + olarak ulunur. Taralı ölge paraolün üstü ile doğrunun alt ölgesinin kesişimi olduğundan eşitsizlik sistemi şöle olmalıdır: ( ) ve +. Düzenlersek, ( ) + ulunur. Doğru cevap: E. g f A B) B C) C D) D E) E Çözüm: + eşitsizliğini sağlaan ölgeler A ve D dir. eşitsizliğini sağlaan ölgeler de A ve B dir. O halde, her ikisini sağlaan ölge A olur. = paraolü ile = 1 doğrusu A ve B noktalarında kesişmektedirler. Buna göre AB doğru parçasının orta noktasının orijine olan uzaklığı kaç r dir? (, ) B) (, 1) C) (, ) D) (1, ) E) (, ) Çözüm: = 1 eşitliğinden A ve B noktalarının + + = denkleminin kökleri olduğunu anlarız. A noktası ( 1, 1 ), B noktası ise (, ) olsun. Bu durumda [AB] nin orta noktasının apsisi 1 ( ) 1 + ani - olacaktır. Bu orta nokta anı zamanda = 1 üstünde olduğundan ordinatı da 1 olmalıdır. = + paraolünün orijine göre simetriğinin denklemi aşağıdakilerden = B) = + C) = D) = + E) = Çözüm: Herhangi ir noktanın orijine göre simetriğini alırsak hem apsisi hem de ordinatı işaret değiştirir. O halde erine, erine de azmalıız. Yazarsak = + eşitliği = ( ) + ani = halini alır. Doğru cevap: C. 1

5 Mustafa YAĞCI Paraol ile Eğrilerin Kesişimi = paraolünün (, 5) noktasına göre simetriği olan paraolün alaileceği en üük değer kaçtır? 1 B) 11 C) 1 D) 1 E) 1 Çözüm: Bir paraolün alaileceği en üük değer, tepe noktasının ordinatıdır. Bu tepe noktasını ulmak için eski paraolün tepe noktasının (, 5) noktasına göre simetriğini almak gerekir. = = + 1 = ( 1) olduğundan tepe noktası (1, ) tür. (1, ) noktasının (, 5) noktasına göre simetriği (5, 1) olduğundan alaileceği en üük değer 1 tür. Doğru cevap: E. = paraolünün (, 7) noktasına göre simetriği olan paraolün alaileceği en küçük değer kaçtır? 1 B) 11 C) 1 D) 1 E) 1 Çözüm: = = = ( 1) + olduğundan verilen paraolün tepe noktasının koordinatları (1, ) dir. Bu paraolün (, 7) noktasına göre simetriğini alırsak, tepe noktasının da u noktaa göre simetriğini almış oluruz. (1, ) noktasının (, 7) e göre simetriği ( 1, 1) olduğundan, simetrik paraolün alaileceği en küçük değer 1 olmalıdır. Doğru cevap: C. Aşağıdaki paraollerden hangisi (, ) noktasına ve eksenine eşit uzaklıkta ulunan noktalardan oluşur? 1 1 = + + B) = 1 1 C) = + D) = + E) = + = paraolünün odak noktası aşağıdakilerden (1, ) B) (1, ) C) (1, ) D) (1, ) E) (1, ) Çözüm: Bir paraolün odak noktası daima paraolün simetri ekseni üzerinde er alır. Simetri ekseni de tepe noktasından geçen eksenine paralel doğrudur. C(, -) O(1, t) T(1,-5) = t 1 Bu paraolün tepe noktası (1, 5) olduğundan simetri ekseni = 1 doğrusu olup, odak noktasının apsisi de 1 dir. Ordinatına da t dielim. Odak noktasının tepe noktasına göre simetriği doğrultman üzerinde olacağından ve doğrultman da simetri eksene dik olduğundan doğrultmanın denklemi = t 1 olmalıdır. Paraolün ekseninin kestiği nokta olan C(, ) noktasının odak noktasına ve doğrultmana olan uzaklıklarının eşit olması gerektiğinden, ( t+ ) + (1 ) = ( t+ 6) eşitliğinden t i ulailiriz. t + 8t = t + 1t+ 6 t = t = olarak ulunur. O halde odak noktasının koordinatları 19 (1, ) olmalıdır. Hatta unu ularak doğrultman denklemini de ulmuş oluoruz = t 1 = ( ) 1=. Doğru cevap: C. Çözüm: (, ) noktasına ve eksenine eşit uzaklıkta ulunan noktalara (, ) noktaları dielim. ( ) + ( ) = ( ) + ( ) = ( ) + + = = ( ) = = + Doğru cevap: D. 15

6 Mustafa YAĞCI Paraol ile Eğrilerin Kesişimi CEVAPLI TEST 1 1. = paraolü ile = + doğrusunun irirlerine göre konumu için aşağıdakilerden hangisi doğrudur? 6. = + a doğrusunun = + 5 paraolüne teğet olması için a nın değeri ne olmalıdır? B) 1 C) D) 1 E) Doğru, paraolü kesmez. B) Doğru, paraole teğettir. C) Doğru, paraolü farklı iki noktada keser. D) Paraolün tepe noktası doğru üstündedir. E) Aralarındaki en kısa mesafe 1 irimdir.. = 9 doğrusunun = + 8 paraolüle iririne göre konumu aşağıdaki şıkların hangisinde doğru olarak verilmiştir? Doğru, paraole (, 8) noktasında teğettir. B) Doğru, paraole (1, 5) noktasında teğettir. C) Doğru, paraole (, 9) noktasında teğettir. D) Doğru, paraolü kesmez. E) Doğru, paraolü (1, 5) ve ( 1, 1) noktalarında keser.. = 8 doğrusunun = + 8 paraolüle iririne göre konumu aşağıdaki şıkların hangisinde doğru olarak verilmiştir? Doğru, paraole (, 8) noktasında teğettir. B) Doğru, paraole (, ) noktasında teğettir. C) Doğru, paraole (, ) noktasında teğettir. D) Doğru, paraolü kesmez. E) Doğru, paraolü (, 8) ve (,) noktalarında keser.. = + paraolüle = + 1 paraolünün irirlerine göre konumu hangi şıkta doğru verilmiştir? ve 1 apsisli iki noktada kesişirler. B) 1 ve apsisli iki noktada kesişirler. C) 1 apsisli noktada irirlerini keserler. D) 1 apsisli noktada irirlerine teğettirler. E) Kesişmezler. 5. = paraolüle = paraolünün irirlerine göre konumu hangi şıkta doğru verilmiştir? ve 1 apsisli iki noktada kesişirler. B) 1 ve apsisli iki noktada kesişirler. C) 1 apsisli noktada irirlerini keserler. D) 1 apsisli noktada irirlerine teğettirler. E) Kesişmezler. 7. = paraolünün tepe noktası = (m + ) + 9 doğrusunun üzerinde olduğuna göre m nin değeri kaçtır? 9 B) 7 C) 6 D) 6 E) 7 8. = a + paraolünün = 5 5 doğrusunu kesmediği ilindiğine göre a hangi aralıktadır? (, 1) B) (1, + ) C) ( 1, 1) D) (, 1] E) [1, + ) 9. = 7 + paraolü = 5 + m paraolünü farklı iki noktada kestiğine göre m aşağıdaki aralıkların hangisinden değerler alır? ( 1, 1) B) [ 1, 1) C) (, 1) D) (, + ) E) (, 1) 1. = paraolünün = + doğrusuna en akın noktasının apsisi aşağıdakilerden 1 B) C) D) E) 5 16

7 Mustafa YAĞCI Paraol ile Eğrilerin Kesişimi CEVAPLI TEST 1. = + + c = + 1 paraolleri kesişmediklerine göre c nin ulunduğu aralık aşağıdakilerden (1, ) D) B) (, ) C) ( 1, ) E) (1, + ) (, ) +. = + 6 paraolü ile = doğrusunun kesiştikleri noktaların apsisleri toplamı aşağıdakilerden 6. = paraolüle = + m doğrusu iririne teğettir. Teğet değme noktasının orijine olan uzaklığı aşağıdakilerden B) C) 6 D) 5 5 E) = + paraolünün = doğrusuna en akın noktasının apsisi kaçtır? 1 B) C) D) E) 5 5 B) C) D) E) 5. Aşağıda verilen doğrulardan hangisi = 6 paraolüne teğettir? = 7 B) = 5 C) = + 7 D) = + 5 E) = 7 8. = paraolüle = + 1 doğrusunun kesim noktalarının oluşturduğu kirişin orta nokta koordinatları aşağıdakilerden ( 1, ) B) (, ) C) (,5) D) (, ) E) (, 5). = m doğrusu ile = m + 1 paraolünün kesişmemesi için m nin alaileceği tam saı değeri kaçtır? B) C) D) E) 6 9. = + 1 doğrusu = + (m + ) + m + paraolüne teğetse m kaçtır? 1 B) C) D) E) 5 5. = + 1 paraolüle = + 1 doğrularının kesiştikleri iki nokta arasındaki uzaklık kaç irimdir? 9 B) C) 1 D) E) = (m + ) 9m + 1 paraollerinin geçtiği ortak sait noktaların ordinatları toplamı kaçtır? B) 16 C) D) 8 E) 5 17

8 Mustafa YAĞCI Paraol ile Eğrilerin Kesişimi CEVAPLI TEST 1. = m + 1 paraollerinin tepe noktalarının geometrik er denklemi aşağıdakilerden 6. Şekilde = + + c ve = + a + fonksionlarının grafiklerinin ekseni üzerinde kesiştikleri görülmektedir. Verilenlere göre a kaç olailir? 8 = 1 B) = 1 C) D) = E) = + = B) C) D) 5 E) 6. = paraolünün = + 5 denklemli kirişinin orta noktasının koordinatları aşağıdakilerden (, 11) B) (1, 5) C) ( 1, ) D) (, ) E) ( 5, 7) 7. Yanda verilen A, B, C, D, E ölgelerinden hangisi A ( ) + B 6< C D E eşitsizlik sistemini sağlaan (, ) sıralı ikililerinin elirttiği ölgedir? d A B) B C) C D) D E) E. a ir reel saı olmak üzere = a + 1 paraolüle = + (a + 1) + 7 paraolünün kesiştikleri noktaların apsisleri çarpımı kaçtır? B) C) D) E) 8. Yukarda = ve = fonksionlarının grafikleri ve A, B, C, D, E noktaları verilmiştir. Buna göre > ve > koşullarına uan nokta D C E B A. = a doğrusunun = a + a + 1 paraolüne teğet olailmesi için a nın alaileceği değerlerin toplamı kaçtır? B) 1 C) 1 D) 1 E) A B) B C) C D) D E) E 9. = f () paraolü ekseninin pozitif tarafına doğru irim kadırılarak, = g() paraolü elde edilmiştir. Aşağıdakilerden hangisi elde edilen u paraolün iç ölgesini elirtir? > ( + ) B) < ( + ) C) ( ) 5. Yanda eksenleri kestiği noktaları verilen paraol ile doğrunun kesim noktalarından iri olan P noktasının koordinatları aşağıdaki şıkların hangisinde doğru olarak verilmiştir? d - P =f() D) > ( ) E) < ( ) 1. = + 1 paraolünün orijine göre simetriği olan paraolün iç ölgesi hangi eşitsizlik sistemile anlatılailir? 7, B) 1, C), D) ( 1, ) E) ( 1, ) > 1 B) D) 1 E) < 1 C) <