MATEMATİK PROJESİ. HAZIRLAYANLAR SÜRER Sezgin 39 ALTUN Ayşin 64 TUNÇ Metin 80 ÜNLÜ Pınar 81 KÜÇÜKDURAN Pınar 92 ÖZTEKİN Ekrem 184

Transkript

1 MATEMATİK PROJESİ KONU Logaritmanın tarihçesi kullanıldığı alanlar ve sağladığı kolaylıklar HAZIRLAYANLAR SÜRER Sezgin 39 ALTUN Ayşin 64 TUNÇ Metin 80 ÜNLÜ Pınar 81 KÜÇÜKDURAN Pınar 92 ÖZTEKİN Ekrem 184 DANIŞMAN ÖĞRETMEN Şerife Çekiç

2 TEŞEKKÜR Çalışmamız boyunca deneyimlerini ve bilgilerini bizimle paylaşan rehber öğretmenimiz Şerife Çekiç e ve Matematik Bölümü ne, Aylin Musluoğlu na, ayrıca bize bu imkanları sağladığı için Okul İdaresi ne teşekkürü bir borç biliriz.

3 LOGARİTMANIN KISA TARİHÇESİ Logaritmayı ilk defa kullanan bilgin olarak Edinbourg yakınlarda doğmuş olan John Napier ( ) gösterilmektedir. Gerçekten bu konuda ilk eser onun tarafından 1614 de Minifici Logaritmorum Canonis Descripto adı ile yayınlanmıştı. Bir logaritma cetvelinin hazırlanmasında taban olarak 1 den büyük her hangi bir sayı seçilebilir. Napier, cetvelini (e) tabanına göre hazırlanmıştı. Fakat ancak cetveli tamamlandıktan sonra, taban olarak 10 sayısını almanın pratik maksatlara daha uygun geleceğini anladı. Yeniden bir cetvel hazırlanmayı düşündü ise de bizzat yapamadı, ancak arkadaşı Henri Briggs e ısrarla tavsiyede bulundu. Matematik Profesörü Henri Briggs bu tavsiyeye uyarak, 10 tabanına göre bir logaritma cetveli hazırlamaya koyuldu de yayınlanan cetvel dört ondalıklı olup 1 den e ve den e kadar sayıların logaritmalarını ihtiva etmekte idi. Hollanda matematikçilerinden Adrien Vlacq onun eksik bıraktığı den e kadar olan kısmı tamamladı ve 1826 de hazırladığı cetveli Briggs in adı altında yayımlandı. Bu yeni cetvel on ondalıklı olup 1 dn kadar ve 0 o den 90 o kadar açıların 1 için sinüs, tanjant ve sekant ın logaritmalarını ihtiva ediyordu. Daha sonra her bir 10 için sinüs ve tanjantın logaritmalarına ait ayrı bir cetvel yayınlandı. Valcq ın cetveli çok zaman lüzumundan fazla geniştir. Onun için çeşitli amaçlara göre, bu büyük cetvelden daha az ondalıklı, mesela beş, yedi ondalıklı cetveller düzenlenmiştir. Logaritmanın bulucusu olarak İsviçreli ve Keplerin iş arkadaşı dahi otodidak Jost Burgi yi de burada zikretmeden geçemeyeceğiz. Burgi 1610 dan önce logaritmayı hesaplamış ve onu gizli olarak kullanmıştı. Eserini 1620 de aritmetik ve geometrik diziler adı ile 1

4 yayınlanmasına rağmen, bir talihsizlik olarak uzun yıllar kimsenin dikkatini çekmemiştir. Ancak birinci dünya harbinden biraz önce İngltere de yapılan logaritmanın 300 üncü yıldönümünde, Burgi nin bu konudaki şeref hakkı tanıtıldı ve kabul edildi. LOGARİTMANIN TARİHSEL GELİŞİMİ Üslü olarak verilen bazı ifadelerin gerçek değerlerini, doğrudan doğruya bulmak, matematik yönünden yapılması zor bir işlemdir. Kaynaklar, bu tür birtakım hesaplamaları, kolaylıkla yapılmasını sağlayan, logaritmayı ilk kullananı, John Napier ( ) olduğunu göstermekte. John Napier tarafından, bu konuda "Minifici Logaritmorum Canonis Descripto" ( bir logaritma cetveli tanımı ve iki ayrı trigonometri ile bütün matematik hesaplarında kolay ve çabuk kullanılmasına genel açıklaması) adlı, zamanın bilim dili olan Latince olarak kaleme alınmış eser, ilk kez 1614 yılında Edinburg şehrinde yayınlandı. Böylece logaritma adını da John Napier koymuştur. Bir logaritma çizelgesinin hazırlanmasında, taban olarak 1 den büyük sayı seçilebilir. Napier, çizelgesini (e) tabanına göre hazırlamıştır. Fakat çizelgeyi tamamladıktan sonra, (e) sayısını almakla, zor bir sistem ortaya koyduğunu, uygulaması sırasında farkına vardı. Daha sonraki yıllarda, 10 tabanlı, yeni bir logaritma sisteminin hesaplama işlerinde büyük kolaylıklar sağlayabileceğini düşündü. Fakat, bu yeni sisteme ait, düşündüğü temel ilkeleri, bizzat ortaya koyamadan öldü. Ömrünün son günlerinde, arkadaşı olan, İngiliz matematikçi ve astronom Henri Briggs' ten ( ) düşüncelerinin tamamlanmasını istedi. Henri Biggs, bu isteğe uyarak, 10 tabanına göre, bir logaritma cetveli hazırlayarak, 1617 Yılında yayımlamıştır. Bu eser, 1'den 1000'e kadar olan sayıların 14 ondalıklı 2

5 logaritmalarını gösterir. Henri Briggs, ilk logaritma cetvellerinin yayımından 7 yıl sonra, yani 1624 yılında; önceleri, 1'den 'e daha sonra da, 'den 'e kadar olan sayıların 14 ondalıklı logaritmalarını kapsayan Logaritmik Aritmetik adlı bir eser daha yayımladı. Daha sonra, Hollandalı matematikçi Adrien Vlacq, Henry Briggs'ten eksik kalan, 'den 'a kadar olan sayıların logaritmik değerlerini hesap etti ve cetvellerini 1626 yılında, Briggs' in adı altında, Goude' de yayımladı. Bu yeni çizelgeler, 10 ondalıklı olup, 1'den 'a kadar sayılan, ve 0 dereceden 90 dereceye kadar olan açıların, 1'er açı dakika-sı aralıklı olarak, için sinüs, tanjant ve sekantın logaritma değerlerini kapsıyordu. Ayrıca, her biri 10" için, sinüs ve tanjantın logaritmalarına ilişkin bir çizelge yayımlandı. Logaritma cetvelleri üzerine eser hazırlayanlar, Adrien Vlacq' ın bu eserini temel kabul ederler. TÜRK İSLAM DÜNYASI'NDA LOGARİTMA Ülkemizde yazılan, matematik tarihi ile ilgili bazı kaynaklarda, Osmanlı Türkiye sinde, Logaritma ile ilgili ilk eserin, Osmanlı Türkiye sinin son matematikçilerinden İsmail Efendi ( ) tarafından 1772 yılında yazıldığı belirtilir. Konu ile ilgili ayrıntılı bilgi veren Cevdet Paşa Tarihi'ndeki, bilgilerin yanlış değerlendirilmesi sonucu da, memleketimizde yayınlanan bazı eserlerde: İsmail Efendi logaritmayı icat etti şeklinde bilgiler verilir. Logaritma ile ilgili ilk eserin, İskoçyalı John Napier ( ) tarafından yayımlandığı bilinen tarihi bir gerçektir. Bu durumda, logaritma ile ilgili bilgiler, İsmail Efendi' den 3

6 ortalama 80 yıl kadar önce Avrupa matematik dünyasında bilinmekte idi. Konuya biraz daha açıklık getirmek için; tarihi gelişimi içinde, ayrıntıları ile incelenmiş olan Bursalı Mehmet Tahir Efendi' nin Osmanlı Müellifleri adlı eserinde, şu bilgiler vardır: Üçüncü Ahmet zamanında, ( ), Paris'e giden 28 Mehmet çelebi aracılığıyla, Dominique Cassini' nin astronomi tabloları el-yazma İstanbul'a gelir. Bu eserin baş kısmında bulunan logaritma cetvelleri, zamanın güvenilir matematikçisi Kalfazade İsmail Çınari tarafından, 3.Mustafa zamanında ilk defa 1772 yılın-da, tercümesi yapılan Tuhferi Behic-i Rasini Tercüme-i Ziyc-i casini adındaki kitabın baş tarafına konmuştur. Daha sonraki yıllarda da, Mahmut Şevket Paşa ve Kirkor Kömürcüven tarafından, zamanın bilim dili olan Arapça olarak logaritma cetvelleri hazırlanmıştır. BATI DÜNYASI VE LOGARİTMA JOHN NAPİER VE LOGARİTMA Üslü bazı ifadelerin gerçek değerini doğrudan doğruya bulmak, matematik yönünden yapılması zor bir işlemdir. Kaynaklar, bu tür bir takım hesaplamaları, kolaylıkla yapılmasını sağlayan logaritmayı, ilk kullananın İşkoçyalı Boron Napier olduğunu göstermektedir. John Napier tarafından bu konuda Minifici Logaritmarum Canonis Descripto (bir logaritma cetveli tanımı ve iki ayrı trigonometri ile bütün matematik hesaplarında kolay ve çabuk kullanılmasının açıklanması) adlı, Latince hazırlanmış eser, Edinburg şehrinde 1614 yılında yayımlandı. Böylece ilk logaritma adını da John Napier koymuştur. 4

7 Napier 54 sayfa açıklama ve 90 sayfa cetvel halindeki eserini, o zaman Galler Prensi olan ve sonra İngiltere Kralı olup 1649 da idam edilen Charles e ithaf emiştir. Bir logaritma çizelgesinin hazırlanmasında taban olarak 1 den farklı bir sayı seçebilir. Napier, cetvelleri (e) tabanına göre hazırlamıştır. Fakat çizelgeyi tamamladıktan sonra, (e) sayısını almakla zor bir sistem ortaya koyduğunu,uygulaması sırasında farkına vardı daha sonraki yıllarda, 10 tabanlı yeni bir logaritma sisteminin hesaplama işlerinde büyük kolaylık sağlayabileceğini düşündü. Fakat bu yeni sistemine ait düşündüğü temel esasları bizzat ortaya koyamadan öldü. Napier ömrünün son yıllarında, o günlerde Londra da bulunan arkadaşı İngiliz matematikçi ve astronom Henry Briggs ten ( ) araştırmaların tamamlanmasın istemiştir. HENRY BRIGGS VE LOGARİTMA Henry Briggs, 10 tabanına göre bir logaritma cetveli hazırlayarak, 1617, yılında yayımlandı. Bu eser 1 den 1000 e kadar olan sayıların 14 ondalıklı logaritma değerlerini gösterir. Henry Briggs, ilk logaritma cetvellerinin yayımından 7 yıl sonra yani 1624 yılında; önceleri 1 den e kadar, daha sonra da den e kadar olan sayıların 14 ondalıklı logaritma değerlerini kapsayan Logaritmik aritmetik adlı bir eser daha yayımlandı. ADRİEN VLACQ VE LOGARİTMA Daha sonra Hollandalı matematikçi Adrien Vlacq, Henry Briggs ten eksik kalan, den e kadar olan sayıların logaritmik değerlerini hesap etti ve hazırladığı cetvellerini 5

8 1628 yılında, Henry Briggs in adı altında Goude de yayımlandı. Bu yeni çizgiler 10 ondalıklı olup, 1 den e kadar sayılar ile ve 0 o 90 o ye kadar olan açıların, 1 er açı dakikası aralıklı olarak sinüs, tangent ve secant ın logaritma değerlerini kapsıyordu. Bilahare de Adrien Vlacq, her 10 açı saniyesi aralıklarla sinüs, tangent ve secant değerlerinin logaritmalarına ilişkin bir çizelge yayımladı. Logaritma cetvelleri üzerinde eser hazırlayanlar, Adren Vlacq ın esrini temel kabul ederler. JOST BURGİ VE LOGARİTMA Ancak daha sonraları, İsviçreli matematikçi Jost Burgi ( ), 1603 den sonra 1611 yılına kadar Kassel de hazırladığı logaritma cetvelini Aritmetik Ve Geometrik Diziler adı ile 1620 yılında Prag da yayımladı. J. Burgi, eserindeki logaritma değerlerini araştırmalarında kullanmıştır. Fakat bu eser bir talihsizlik olarak veya kullanışlı olmadığından uzun yıllar kimsenin dikkatini çekmedi. LOGARİTMANIN KULLANIŞ ALANLARI Logaritmalar çok büyük çok küçük sayılarla yapılan işlemlerde kolaylık sağlamak için kullanılır. Örneğin: uzay bilimi ile ilgilenen bilim adamlarının yapmak zorunda olduğu hesaplamalar, gök cisimlerinin birbirine olan uzaklığı, çapları olan konularla ilgili oldukları için bu kişi çok büyük sayılarla uğraşmak zorunda kalır. Bu hesaplamaları kolaylaştırabilmek için 6

9 logaritmadan yaralanılır. Örneğin; uzaya gönderilecek belli bir yörüngeye yerleştirilecek olan uydunun kalkış hızı, yerçekimi ivmesinin çarpımının kareköküne eşit olmalıdır. Eğer yarıçapı yaklaşık olarak km olduğunu kabul edecek olursak hızında en az /2 m/ saat olması gerektiğini buluruz. Bulunan sonuçlara göre görülüyor ki kullanılması gereken sayılar çok büyüktür. Bu gibi durumlarda sayılar logaritmatik olarak ifade edilir ve logaritma özelliklerinden yararlanılarak çok büyük işlem kolaylığı sağlanır.

10 ALAN HESAPLARI Y = x k, x =a, x o, x = b, b> a, y = o a,b,k,x R doğruları ve eğrisiyle sınırlı bölge alanının bulunması. Y= x k b S = k. l n a x=a x=b 6 S = 4. l n = 4. l n3 = l n

11 LOGARİTMİK FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ AZALAN VE ARTAN FONKSİYONLAR a>1 olmak üzere, f: R + R, f(x) = log x a fonksiyonu, artan fonksiyondur. ÖRNEK: y = e x+2 fonksiyonu e=2,718...>1 olduğundan artan fonksiyondur. 0<a<1 olmak üzere, f: R + R, f(x) = log x a fonksiyonu, azalan fonksiyondur. ÖRNEK: y = log (x-2) 1/4 fonksiyonu 0<1/4<1 olduğundan azalan fonksiyondur. F: R + R, f(x)=log a X FONKSİYONUNUN GRAFİĞİ F:R + R, f(x)=log a x fonksiyonunun tanım kümesi, pozitif gerçek sayılar; değer kümesi ise, tüm gerçek sayılar kümesidir. Bu nedenle; x, (0,+ ) aralığında değerler alır. Grafik, koordinat düzleminde, x in pozitif değerler aldığı 1. ve 4. bölgelerde çizilir. X=1 için, y=log a 1= 0 olur. Grafik, x eksenini (1,0) noktasında keser. X=a için, y= log a a= 1 olur. Grafik, (a,1) noktasından geçer. F: R + R, f(x)= log a x foksiyonu; 1) a> 1 için, artan fonksiyondur.( x, 0 dan + a kadar artarken; y, - dan + a kadar artar.) 2) 0<a<1 için, azalan fonksiyondur.(x, 0 dan + a kadar artarken y, + dan - a kadar azalır.) 8

12 Bu bilgiler dahilinde, aşağıdaki tablolar düzenlenerek grafik çizilir. A>1 için; x 0 1 a + y=log a x

13 LOGARİTMA İLE İLGİLİ ALIŞTIRMALAR 3 1) Log 2 = a, log 3 = b ve log 11 = c ise, log 22 değerini nedir? ÇÖZÜM: log 3 = log 3- log 22 = log 3 log (2. 11) 22 = log 3 log 11 = b a c olur. 2) Log 3 x = 2 log 5 6 eşitliğinden x değeri nedir? ÇÖZÜM: log 5 x = 2 + log 5 6 = 2 log 5 ( x. 6) = 2 6x = 5 2 x = 6 25 bulunur. 3) Log 2 = a, log 3 = b ise, log 24 ifadesini, a ve b cinsinden yazalım. ÇÖZÜM: log 24 = log ( ) = log log 3 = 3log2 + log 3 = 3 a+b 4) Log 2 = 0,3010 olduğuna göre, 2 30 sayısı kaç basamaklıdır? ÇÖZÜM: 2 30 sayısının logaritmasını bulalım. Log 2 30 = 30 log 2 = 30. ( 0,3010 ) = 9,03 bulunur. Log 2 30 sayısının karakteritiği 9 olduğundan, 2 30 sayısı 10 basamaklıdır. ( Karakteristik, tam kısmın,basamak sayısının 1 eşitti.) 5) In [ log 5 ( log 3 (Inx) ) ] = 0 ise, x nedir? ÇÖZÜM: Log e [ log 10 5(log 3 ( In x ) ) ] = 0 log 10 5(log 3 (Inx) 9 = e 0 =1 5(log 3 (Inx) ) = 10 1 = 10 log 3 ( Inx) = 2 log e x = 3 2 = 9 x= e 9 6)Log 3 ( 6 3 x ) = 2 x ise, x kaçtır? ÇÖZÜM: Log 3 ( 6-3 x ) = 2 - x 6 3 x = 3 2-x 6 3 x = x

14 6 3 x = 9/3 2 -olur. 3 x = t alınırsa, 6 t = 9/t 6t t 2 = 9 t 2-6t+9 = 0 (t-3) 2 = 0 t = 3 bulunur. 11 T = 3 3 x = 3 x = 1 olur.

15 KAYNAKÇA KIZILIRMAK Abdullah İstanbul : Kurtuluş Matbaası (1963) Beş Ondalıklı Logaritma ve Sayılar Cetveli Dönmez Ali Versa Yayınları Bir Bilim Olarak Matematik Tarihi AYDIN Nesibe, ASMA Nevzat Aydın Yayınları Liseler İçin Matematik 2-3 Thema Larousse Matematik cilt 3