(Sopphie Germain Denklemi) çarpanlarına ayırınız. r s + t r s + t olduğunu ispatlayınız olduğunu. + + = + + eşitliğini ispatlayınız.

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "(Sopphie Germain Denklemi) çarpanlarına ayırınız. r s + t r s + t olduğunu ispatlayınız. + + + + olduğunu. + + = + + eşitliğini ispatlayınız."

Transkript

1 Sayılar Teorisi Kouları Geel Sıavları SINAV I(IDENTITIES WITH SQUARES) 4 4. a 4b (Sopphie Germai Deklemi) çarpalarıa ayırıız = A ise A ı sadece = durumuda asal olduğuu ispatlayıız.. Sıfırda farklı ardışık 4 pozitif tamsayıı çarpımlarıı hiçbir zama asal olamayacağıı çarpalara ayırma yaparak ispatlayıız. 4. Eğer r s t 5. ( a a ) ispatlayıız. 6. r s t r s t olduğuu ispatlayıız. ise ifadesii üç tam kare ifadei toplamı biçimide yazılabileceğii ( 4 ).( 4 ).( 4 4 ).( 46 4 ).( 58 4) ( 4 4 ).( 6 4 ).( 8 4 ).( 4 4)( 5 4) buluuz. 7. r s t u v ise r s t u v ( r s t u v ) ispatlayıız. ifadesii eşitii olduğuu 8. a b c ab bc ac ( a b) ( b c) ( c a) = eşitliğii ispatlayıız. 9. ( ).( ).( )...( ) = 4 4 ( ) 48 eşitliğii ispatlayıız.. > olmak üzere = olduğua göre < < olduğuu ispatlayıız.. Soru () u kullaarak <... < olduğuu gösteriiz.. < < olduğua göre = olduğuu ispatlayıız = deklemii çözüüz.

2 Sayılar Teorisi Kouları Geel Sıavları ifadesii çarpalarıa ayırıız. Ve buluuz. formudaki tüm asalları sayısıı yalız = durumuda asal olduğuu ispatlayıız. 6. cot ta = a ise cot ta =? SINAV II (IDENTITIES WITH CUBES). a, b, c, d R olmak üzere a b c d = ab bc cd da eşitliği var ise a = b = c = d olması gerektiğii kaıtlayıız.. { a, b, c, d } kümesi elamaları ile { },,,4 kümesii elemaları arasıda her bir elema yalızca tekbir elemaa gidecek şekilde bir eşleşme yapılıyor. Bua göre a. b b. c c. d d. a toplamıı alabileceği e büyük tamsayı değeri kaçtır? Kaıtlayarak gösteriiz. olmak üzere a ( b), b. ( c), c( d ), d. ( a). a, b, c, d çarpımlarıda e az bir taesii te küçük olması gerektiğii kaıtlayıız = eşitliğii 4. kaıtlayıız. a b c abc = a b c. a b c ab ac bc eşitliğii kaıtlayıız. 5. ( ) 6. olmak üzere ifadesii bir bileşik sayı olduğuu 4 kaıtlayıız.(bileşik sayı: asal olmaya) 7. ta cot = a olduğua göre ta cot = a a olduğuu kaıtlayıız Z olmak üzere ( ) ( ) durumuu sağlaya e büyük tamsayıyı ispatlayarak buluuz.(aime 986) =? (AIME 989) a = 4 olmak üzere a a 6 6 a ifadesii eşiti kaçtır?

3 Sayılar Teorisi Kouları Geel Sıavları a, b, c, d C olmak üzere a b c d = a b c d = olduğua göre; a, b, c, d sayı çiftleride birii toplamıı olduğuu kaıtlayıız.(itt 994) SINAV III (MICELLANEOUS ALGEBRAIC IDENTITIES) Z ifadesii 897 ile kalasız bölüebildiğii kaıtlaıyıız.(etvos 989) sayısıı p > 5. olacak şekilde bir çarpaı olduğu bilidiğie göre p sayısıı buluuz.(imo,99).... =... 4 dekliğii ispatlayıız. olarak verile Katala 4. (mod) ise =? 5. > y olmak üzere 6. (a) y y < (b) > ( 5555) >. y ifadesii ve olduğuu kaıtlayıız. ifadesii ispatlayıız. ifadesii 7 ile bölümüde kalaı buluuz. 8. Teorem(Mersee Asalları): asal ise Z sayısı da asal olmalıdır. Teoremi ispatlayıız. 9. Teorem(Fermat Asalları): asal ise Z sayısı i bir tam kuvveti olmalıdır. Teoremi ispatlayıız ifadesii çarpalara ayırıız A =... ifadesii B =... ifadesie kalasız bölüebildiğii kaıtlayıız.

4 Sayılar Teorisi Kouları Geel Sıavları ifadesii 946 ile kalasız bölüdüğüü kaıtlayıız. ( Z ). k k k k Z,, Z olmak üzere... k k = ifadesii... ile kalasız bölüebildiğii kaıtlayıız. SINAV IV (LOGARITHMS). log ab 4 a log ab i eşitii buluuz. b.,5.log ( ) 9 = 4 deklemii çözüüz. log log4 y log4 z =. log log9 y log9 z = deklem sistemii çözüüz. log 4 log6 y log6 z = log cos log cos = 6 6 deklemii çözüüz. A log 6 B log 7 A a. B b = c dekliğii sağlaya 5. 6 = = olsu. Bua göre tamsayıları buluuz. 6. a > olmak üzere < < a ike > olduğuu kaıtlayıız. log a 7. log π logπ > eşitsizliğii kaıtlayıız. 8. < < olmak üzere log > log eşitsizliğii kaıtlayıız ifadesii eşitii buluuz. log 996! log 996! log 996! log 996! Varsayalım, < < olsu. Bua göre; log log... log ifadesii eşitii buluuz. 5. ( log y log y ) = 6. deklem sistemii çözüüz.. y = 64 o o o. S = log ta log ta... log ta 89 ifadesii e sade halii buluuz.. ( log ).( log 4 ).( log4 5 )...( log5 5 ) =? 4. log 4 bir rasyoel sayıdır. Buluuz. 8 4

5 Sayılar Teorisi Kouları Geel Sıavları SINAV V (ARITHMETİC DIVISION ALGORITHM). Varsayalım r Z sayısı 59, 47, ve sayılarıı d > ile bölümüde ortak d r kaçtır?(ahsme-976). kala olsu. Bu göre durumuu sağlaya tüm pozitif tamsayıları buluuz.. Eğer 7 ise 7 ( 5 4) olduğuu kaıtlayıız. 4. Herhagi bir tamsayıı karesii k veya k formuda olduğuu kaıtlayıız. a b ise a ve b olduğuu kaıtlayıız. 5. Eğer 6. Tüm kearları birer tamsayı ola bir dik üçgede kearlarda birii uzuluğuu ile bölümüde kalaı olduğuu gösteriiz. 4 5 verilmiş olsu. Bua göre 4, 8 7,, ifadeleride 7. hagileri 5 ile kalasız bölüebilir. Gösteriiz. 8. p, p, p 4,5,7 de başka herhagi bir asal üçlü buluamayacağıı formuda kaıtlayıız. 9. ( ) ile kalasız bölüebile ve ( ).( 4 ) ( 57) formuda yazılabile e büyük pozitif tamsayıyı buluuz. 4 formuda yazılabile iki tamsayıı çarpımıı yie( 4 ) formuda yazılabileceğii gösteriiz. 6 formuda yazılabile sosuz çoklukta asal sayı olduğuu kaıtlayıız.... p bir asal sayı olmak üzere; eğer ve sayılarıda herhagi biri asal sayı ise diğerii bileşik bir sayı olduğuu kaıtlayıız. 4 formuda olup; ve 5 ile kalasız olarak bölüebile sosuz çoklukta sayı. buluabileceğii kaıtlayıız. 4. olacak şekilde seçilecek herhagi bir tamsayıı pozitif bileşik sayı şeklide yazılabileceğii gösteriiz. ifadesii ile kalasız olarak bölüemeyeceğii gösteriiz , y N olmak üzere. ( ) y. ( y ) ( ) biçimide ola acak y ve y durumuu da sağlaya sosuz çoklukta,y sayısıı buluabileceğii kaıtlayıız. 5

6 Sayılar Teorisi Kouları Geel Sıavları SINAV VI (DECIMAL SCALE).... ifadesii asal olmadığıı kaıtlayıız. tae. İki basamaklı bir tamsayı basamakları toplamıa bölüdüğüde kala e fazla kaç olabilir?.,7 kesirler ciside ifade ediiz. 4. (AIME 989) Z ve d { } Z olarak veriliyor. =, d 5d5d 5d5... olduğua göre kaçtır? 8 5. (AIME988) Küpüü so basamağı 888 ile bite e küçük pozitif tamsayı kaçtır? 6. (AIME988) f : Z Z ve k Z olmak üzere f k foksiyou k sayısıı basamaklarıı kareleri toplamıı ifade etmektedir. Bua göre; içi f k f f k f kaçtır? ( ) = ise 998 N 7. (IMO 988) N Z olmak üzere ifadesii eşiti N sayısıı basamaklarıı kareleri toplamıa eşit olduğua göre; üç basamaklı tüm N sayılarıı buluuz. 8. (IMO 96) S Z olmak üzere S sayısıı birler basamağı 6 dır. Acak bu 6 rakamı siliip sayıı e başıa yazıldığıda S sayısı 4 katıa çıktığıa göre; S sayısıı alabileceği e küçük sayı değeri kaçtır? A =,,,..., kümesii elamaları içeriside 9. (IMO 99) { } toplama işlemie girdikleri zama souca elde işlemi yapılmada ulaşıla kaç ardışık tam sayı ikilisi vardır?. (AIME 987) Toplamlarıda elde işlemi yapılmada souca gidile ikililere varsayalım Basit Sayılar diyelim (öreği;, 59,...vb). Bua göre toplamları 49 ola kaç tae basit sayı ikilisi vardır?. (AIME 994) Z ve P( ) de sayısıı sıfırda farklı basamaklarıı çarpımı olmak üzere veriliyor. Bua göre; S = P() P()... P(999) ifadesii eşitii buluuz.. E soldaki basamağı kapatıldığıda değeri ilk değerii sie eşit ola bir tamsayıı e sol basamağı 6 ise bu sayıları geel formuu buluuz.. (IMO 968) N olmak üzere sayısıı basamakları çarpımı olduğua göre bu durumu sağlaya sayılarıı buluuz. 4. A = 49,4489,444889,..., dizisii tüm elemalarıı bir tam tae 4 tae 8 kare olduğuu kaıtlayıız. 5. (AIME 99) < r < ve S kümesi de tüm r R elemalarıı kümesi olmak üzere her bir r, abcabcabc... =, abc biçimidedir. Bua göre S kümesii elemalarıı e düşük terimleri kesri biçimide yazabilmek içi kaç farklı payı yazılmasıa gerek vardır. 6. a, b Z olmak üzere a =... b =...5 ise a. b ifadesii bir tam kare olduğuu kaıtlayıız. m tae m tae 6

7 Sayılar Teorisi Kouları Geel Sıavları 7. olmak üzere tüm basamaklı sayıları toplamıı tae tae tae 9 tae olduğuu kaıtlayıız. 8. Z olmak üzere farkıı bir tam kare olduğuu kaıtlayıız.. SINAV VII (NON-DECIMAL SCALE ) ifadesii 6 tabaıa göre yazıız. 6 4,4 r olarak verile ifadei bir tam kare ifade olduğuu gösteriiz... (AIME 986) A = {,, 4,9,,,,... } dizisii elemaları belli bir sisteme göre dizilmişlerdir. Bua göre dizii. elemaıı buluuz., < 4. (AHSME 99) < olmak üzere = olarak, veriliyor. Bua göre = 5 durumu kaç değeri içi doğrudur? 5. A = {,,,, 7 } kümesii elemalarıı öyle üç gruba ayırıız ki her birii toplamı diğerleri ile ayı olsu. 6. : sayısıı tam değerii temsil etmek üzere = 45 deklem sistemii çözüüz.(not: soruu çözümü olmayabilir eğer yoksa ispat ediiz.). a, b, c N olmak üzere SINAV IX (WELL-ORDERING PRINCIPLE) a b = 4c olduğua göre a = b = c olduğuu kaıtlayıız. a b a b. (IMO 988) a, b Z olmak üzere ifadesi de bir tamsayı ise ifadesii bir ab ab tam kareye eşit olduğuu kaıtlayıız.. a b = 4c ifadesii tüm sayı çözümlerii buluuz. 4. y z = yz eşitliğii sadece = y = z = olduğuda sağladığıı kaıtlayıız. 5. y ( z w ) = dekliğii sağlaya, y, z, w tamsayılarıı olmadığıı kaıtlayıız. 7

8 Sayılar Teorisi Kouları Geel Sıavları SINAV X (MATHEMATICAL INDUCTION) 6. 7 ifadesii tüm N sayıları içi 69 sayısıı bir tam katı olduğuu tümevarım metodu ile kaıtlayıız.. ( ) ( ) ifadesii bir çift sayı olduğuu ve = b b,. k Z bir tek sayı ise 4. s k Z olmak üzere, [ s, ] Z eşitliğii var olduğuu kaıtlayıız. N olduğuu kaıtlayıız. s aralığıı i bir tam kuvvetii içerdiğii kaıtlayıız. 5. Taım: f =, f =, f = f f, olarak taımlaa dizi bir Fiboacci dizisidir. Bu taıma göre f. f = f olarak verile eşitliği kaıtlayıız. 6. Verile herhagi bir karei = 4,6,7,8... parça yei kareye bölüebileceğii kaıtlayıız.( Kareler farklı olmak zoruda değildir.) 7. Matemaya ülkeside bozuk paralar veya 5 matelira olarak verilmektedir. Bua göre 8 matelirada büyük veya eşit ola her para üstüü bozuk para ciside ödeebileceğii kaıtlayıız. 8. (USAMO 978) Herhagi bir N sayısı eğer = a a... ak biçimide yazılabiliyor ve... = eşitliği de sağlaıyorsa sayısıa iyi sayı a a a k diyelim. ile 7 arasıdaki tamsayıları birer iyi sayı oldukları bilidiğie göre ola her sayısıı iyi sayı olduğuu kaıtlayıız.( a, a,..., a k birbiride farklı olmak zoruda değildir.) ( ) 9. N, olmak üzere; < olduğuu kaıtlayıız a. a =, b = 4 ve b a =, b = 4 N olarak veriliyor. a > b999 olduğuu kaıtlayıız. π.... = cos eşitliğii kaıtlayıız.( N ). si tae kök işareti. si eşitsizliğii kaıtlayıız.( Z, R ). N olmak üzere; 4. ( ) ( )... > olduğuu kaıtlayıız. toplamıı 9 ile kalasız bölüebildiğii kaıtlayıız , < N > eşitsizliğii kaıtlayıız. k 6. k Z olmak üzere ifadesi bir tamsayıya eşit ise ifadesii de bir tamsayı k olduğuu kaıtlayıız. 4 = eşitliğii 7. Sophie Germai eşitliğii kullaarak gösteriiz. Daha sora bu eşitliği kullaarak ifadesii farklı asal çarpaı olduğuu kaıtlayıız. 8

9 Sayılar Teorisi Kouları Geel Sıavları 8. olmak üzere; f f... f = f eşitliğii kaıtlayıız.. SINAV XI (CONGRUENCES) sayısıı 7 ile bölümüde kalaı buluuz ( 8765) ifadesii 4 ile bölümüde kalaı buluuz.. 7 olduğuu modüler metot ile gösteriiz ( ) ( 5555 ) olduğuu gösteriiz. olduğuu gösteriiz. 7 sayısıı birler basamağıı buluuz. S =,5, 4, 48,... dizisii elemaları hem 7. (AIME 994) Arta bir dizi ola { } sayısıı pozitif bir tam katı hem de tam karede bir eksiktir. Bua göre dizii 994. terimii ile bölümüde kalaı buluuz. 5y, y tamsayı ikilisii = eşitliğii sağlaya herhagi bir buluamayacağıı kaıtlayıız. y 5 = eşitliğii sağlaya herhagi bir (, ) buluamayacağıı kaıtlayıız.. 7 y = eşitliğii sağlaya herhagi bir (, ) buluamayacağıı kaıtlayıız.. 7 a b olduğua göre 7 a ve 7 b olduğuu kaıtlayıız. y pozitif tamsayı ikilisii y pozitif tamsayı ikilisii. ifadesii sağda ilk iki basamağıı buluuz.. Bir tam kare tamsayıı basamaklarıı sayı değerleri toplamıı 99 sayısıa eşit olamayacağıı kaıtlayıız y z, y, z, y, z üçlülerii = Z dekliğii sağlaya buluamayacağıı kaıtlayıız. 5. 6ab47 sayısı eğer 99 ile kalasız bölüebiliyor ise; a ve b değerlerii buluuz. 6. =,,,... olmak üzere bir tam sayıı ile kalasız bölüebilmesi içi sayıı soda basamağıı ile kalasız bölüebilmesi gerektiğii kaıtlayıız. 7. > içi ( ) ifadesii 8. durumuu sağlaya Z sayılarıı buluuz. 9. (USAMO 979) Z, i =,,... olmak üzere i ifadesii kalasız böldüğüü gösteriiz.... = 599 deklemii sağlaya kaç farklı (,,,..., ) permütasyou buluabilir? 4. (PUTNAM 986) olarak verile ifadei birler basamağıı buluuz. a, a, a, a4,... a elemaları tamsayılar ola bir küme olsu. Öyle ki herhagi bir elema kümede çıkarıldığıda kala elamaları tamamı kullaılarak elemaları toplamı birbirie eşit ola elemalı iki küme elde edilebildiğie göre; a = a =... = a olduğuu kaıtlayıız.. (PUTNAM 97) Varsayalım { } 9

10 Sayılar Teorisi Kouları Geel Sıavları =!... ( ). olarak veriliyor. Bua göre,!!! N > olmak!! =!mod olduğuu kaıtlayıız. üzere 6. C(6, k).,, mod ( ) eşitliğii = k, 4k veya 4k k = olduğu durumlarda doğru olduğuu kaıtlayıız. 4. (Polish Mathematical Olympiad) y sayısıı ile kalasız bölüebilmesi içi ve y yerie gelebilecek sayıları buluuz olmak üzere 5 ifadesii 6 ile kalasız bölümesii sağlaya 5 = = tüm değerlerii buluuz. İpucu: ifadesii 5 ile kalasız bölüemeyeceğii kaıtlayıız. 6. k. C (, k ) k = 7. (IMO 975) Varsayalım S { a, a,...} = elemaları pozitif tamsayılarda oluşa arta bir dizi olsu. Bua göre; s içi am =. as y. at formuda yazılabile sosuz çoklukta a m olduğuu kaıtlayıız.(, y Z t > s) SINAV XII (DIVISIBILITY TESTS). (AHSME 99) 9da 9ye kadar ola iki basamaklı sayılar ya yaa yazılarak S = sayısı elde ediliyor. Bua göre s sayısıı böle ü e büyük kuvveti kaçtır? (IMO 975) 4444 sayısıı odalık açılımı yapıldığıda bulua sayısıı basamakları toplamı A ve A sayısıı da basamakları toplamı B ise; B sayısıı basamakları toplamı kaçtır? (A ve B oluk sistemde iki sayıdır.) k. (PUTNAM 95) Varsayalım; f = a. ifadesi. derecede bir polioma 4. eşit olduğua göre, eğer a, a ve f () ifadelerii hepsi tek sayı ise, k = f ( ) = ifadesii rasyoel bir kökü olmadığıı kaıtlayıız. f = f f olduğuu kaıtlayıız. mod 5. (Lagrage 975) f 6 f mod olduğuu kaıtlayıız. 6. (AHSME 99) sayısı eteresa bir sayıdır öyle ki, ve durumuu sağlar. Bua göre; 6 basamaklı kaç eteresa sayı vardır? 7. Eski bir fatura üzeride alıa 88 parça eşyaya karşılık 4, y ytl para verildiği yazmaktadır acak ve y i olduğu basamaklar tahrifatta dolayı okuamamaktadır. Bua göre her bir parça eşyaya e kadar ödemiş olabilir? 8 99 UM C Varsayalım a, a, a,..., a Z a olmak üzere = olarak taımlamış olsu. P a a a k R olmak üzere P( ) = durumuu sağlaya bir ı buluduğuu varsayalım. Bua göre k k ise a.... a. ifadesii de bir tamsayı olduğuu kaıtlayıız. k

11 Sayılar Teorisi Kouları Geel Sıavları SINAV XIII (MORE ON CONGRUENCES) = olarak verile S kümesi elemaları. (IMO 97) S {,,,, 4, 5} çarpımı birbirie eşit ola iki kümeye ayrılabildiğie göre i alabileceği değerleri buluuz.. durumuu sağlaya tüm doğal sayılarıı buluuz... durumuu sağlaya sosuz çoklukta tamsayısı olduğuu kaıtlayıız. p 4. p durumuu sağlaya tüm p asallarıı buluuz. 5. p q ve p,q pq p q asal sayılardır. Bua göre p. q ( a a a a) kaıtlayıız. a Z 6. p asal bir sayı olmak üzere; p 7. ( m, 4) = ise 8. p q ve p,q asal olmak üzere olduğuu p a p!. a olduğuu kaıtlayıız m olduğuu kaıtlayıız. p q q p pq mod olduğuu kaıtlayıız. p 9. p tek asal sayı olmak üzere mod( p) olduğuu kaıtlayıız. Z. p tek asal sayı olmak üzere kaıtlayıız.. p m p p olduğua göre, > olmak üzere p asal bir sayıdır ( ) p m p p olduğuu! mod olduğuu kaıtlayıız.. p > ve p asal olmak üzere....( p ).4...( p ) ( ) mod( p) olduğuu kaıtlayıız ( ) k 7 olduğuu kaıtlayıız. SINAV XIV (EULER THEOREM). 7 ifadesii so iki basamağıı buluuz.. (IMO 978) m, N m < olarak veriliyor. 978 m ifadesii so üç basamağı sırası ile 978 ifadesii so üç basamağıa eşit olduğua göre m i alabileceği e küçük değer kaçtır?. (IMO 984) Öyle bir (a,b) ikilisi buluuz ki; a. b a b 7 ile bölümeyecek. a. b a b a b ( p ) 7 7 ile bölüebilecek, şartlarıda ikisii de sağlası. 4. (USAMO 98) k. ifadesii birleşik bir sayı olmasıı sağlaya k Z biçimide bir sayıı her Z içi buluabileceğii kaıtlayıız. 5. a = 7 ve a 7 a = ise a elemaıı so iki basamağıı buluuz. 6. ( m, ) = olmak üzere ( ) φ φ m mod m olduğuu kaıtlayıız. toplamıı böle tüm N sayılarıı buluuz.! 8. = k, Z, k Z ise ( ) olduğuu kaıtlayıız.

12 Sayılar Teorisi Kouları Geel Sıavları toplamıı 7 ile bölümüde kala kaçtır? olduğuu kaıtlayıız. SINAV XV (MISCALLENEOUS PROBLEMS INVOLVING INTEGERS) ( m )!. ifadesii m, Z { } içi tamsayılar kümesii bir elemaı olduğuu m!! kaıtlayıız ifadesii ile kalasız bölüebildiğii kaıtlayıız.. A Z olmak üzere A sayısı da A sayısıı basamaklarıı yer değiştirilmesi ile oluşturula yei bir sayıdır. Bua göre eğer A A = ise A sayısıı ile kalasız bölüebildiğii kaıtlayıız. 4. Bazı pozitif tamsayıları toplamı 996 olduğua göre bu sayıları çarpımlarıı maksimum değeri kaçtır? 5. r R olmak üzere r Z biçimide yazılabile tüm pozitif tamsayıları buluuz. r toplamıı buluuz. 7. 7! ise ma =? tae ifadesii 864 ile kalasız bölüebildiğii kaıtlayıız. 9. 4! olduğuu gösteriiz. > içi bir bileşik sayı ise. = eşitliğii sağlaya R değerlerii buluuz.. = 999!! eşitliğii sağlaya kaç tamsayı değeri vardır?. (PUTNAM 948) Z olmak üzere = 4 olduğuu kaıtlayıız.. 6, N olduğuu kaıtlayıız. 4. a,b,c bir üçgei kearları olmak üzere ; ( ab bc ca) ( a b c) 4( ab bc ca) olduğuu kaıtlayıız. a 5. (IMO 979) a, b N öyle ki... b = ise 979 a olduğuu kaıtlayıız. 6. Sosuz sayıda tam kare üçgesel sayı (,,,.) buluduğuu kaıtlayıız. 7. ( m )! ( )! ifadesii bir tamsayıya eşit olduğuu kaıtlayıız. m!! 8. N olmak üzere (!)! ifadesii!! ile kalasız bölüebileceğii kaıtlayıız. 9. (OLYMPIADA MATHEMATICA ESPANOLA 985) Z olmak üzere... olduğuu kaıtlayıız.

13 Sayılar Teorisi Kouları Geel Sıavları a b = ise ( a b a ab b ). (, ) SINAV XVI (GCD AND LCM), = veya olması gerektiğii kaıtlayıız.. (IMO 959) 4 kesrii her N içi sadeleşemeye bir kesir olduğuu 4 kaıtlayıız. S =,4,6,... dizisii elemaları a =, =,,,.... (AIME 985) { } olarak veriliyor. Eğer (, ) 4., d = a a ise ma d kaçtır? m m m N ve m tek sayı olduğua göre, = olduğuu gösteriiz. 5. Ardışık seçile iki Fiboacci sayısıı aralarıda asal olduklarıı kaıtlayıız. 6. Hiçbir tek Fiboacci sayısıı 7 ile kalasız bölüemeyeceğii gösteriiz. 7. C Katala sayıları olarak taımlası. C = C(, ) ise C ifadesii bir tamsayıya eşit olduğuu kaıtlayıız. C,, C,, C,5,..., C, dizii elemalarıı e büyük 8. N ve ortak böleii buluuz. 9. a N olmak üzere; ( b a ) ( ) durumuu sağlaya b N sayılarıı (ispat ederek) buluuz. a ve b ; a b =, N bağıtısı ile veriliyor. Bua göre.. EBOB a, b = olduğuu gösteriiz. F = ifadesi bize. Fermat Sayısı ı verir. Bua göre ( m ) F, F =?. Geel terimi a 6 =, =,,,... ifadesii e büyük ortak böleii buluuz. p. p bir asal sayı olmak üzere p olduğuu kaıtlayıız.

14 Sayılar Teorisi Kouları Geel Sıavları SINAV XVIII (TELESCOPIC CANCELATION). N olmak üzere; ifadesii yi kalasız böldüğüü gösteriiz.. log log log...log 4 =?..... P ise P =? = D = 4... ( ). ise D içi kapalı bir form buluuz. 5..!.!.! ! toplamıı buluuz < olduğuu kaıtlayıız. 4 6 π π 4π 7. P = cos cos cos ise P? = a b ise a ve b tamsayılarıı buluuz..... ( ) SINAV XIX (SUMS, PRODUCTS, RECURSIONS) ( ). = eşitliğii kaıtlayıız = eşitliğii kaıtlayıız... (AIME 994)... 4 toplamıı buluuz = S ise S N olduğuu kaıtlayıız Orji oktasıda kalka bir kelebek birim yukarı, birim sağa, 4 birim aşağı, birim sola, birim yukarı... şeklide bir rota ile uçmaktadır. Bua göre bu kelebek 6 uçuşuu hagi koordiat oktasıda bitirir.... toplamıı eşitii buluuz toplamıı buluuz ( )... = eşitliğii kaıtlayıız. = eşitliğii kaıtlayıız (Gramm e göre). = 4

15 Sayılar Teorisi Kouları Geel Sıavları ifadesii eşitii buluuz k. = 4. olduğuu gösteriiz. k k k =. csc csc 4 csc8... csc = cot cot eşitliğii kaıtlayıız. SINAV XX (RECURSIONS). = 7 ve =., ise içi kapalı bir form buluuz.. = ve = , ise içi kapalı bir form buluuz.. = ve =., ise içi kapalı bir form buluuz. 4. = 7 ve =, ise içi kapalı bir form buluuz. 5. = ve =, ise içi kapalı bir form buluuz = ve = ise içi kapalı bir form buluuz. 7. = ve = 5 5 ise içi kapalı bir form buluuz. 8. = ve = ise içi kapalı bir form buluuz = ise içi kapalı bir form buluuz. = ve. a = 5 ve a j = a j a j, j ise a j içi kapalı bir form buluuz.. (AIME 994) Eğer ise = ve 9 = 94 ise 94 elemaıı ile bölümüde kala kaçtır?. = ve =, > ise içi kapalı bir form buluuz.. = ve =, > ise = olduğuu kaıtlayıız. = SINAV XXI (EQUATIONS IN ONE VARIABLE).. = si deklemii çözüüz. ( 8 5) ( ) = deklemii çözüüz.. = ise i yaklaşık değeri kaçtır? =. deklemii çözüüz = 54 deklemii çözüüz = deklemii çözüüz = deklemii çözüüüz. 5 5 = deklemii çözüüz. = deklemii çözüüz = 4 deklemii çözüüz. 5

16 Sayılar Teorisi Kouları Geel Sıavları π a. cos ifadesii eşiti ise ab=? 5 b. si = eşitliğii sağlaya kaç reel sayısı vardır? a b a. = 6 deklemii e göre çözüüz. a a b 7 5 = 68 deklemii çözüüz = deklemii çözüüz. si cos 5. = 7 deklemii çözüüz. 7. = ise kaçtır? 8. si = log e deklemii kaç reel çözümü vardır? 9. = deklemii çözüüz.. = 4deklemii çözüüz.. = olarak verile deklemi çözüüz.. = deklemii çözüüz.. ( 9 ) 99 9.( ) = deklemii çözüüz. 4. = 98 deklemii çözüüz. SINAV XXII (SYSTEM OF EQUATION). ( y).( z) ( y z) ( y ) ( z).( z y). deklem sistemii çözüüz.. a, b, c R ve a. b. c olmak üzere y z = a y ( z ) = b deklem sistemii çözüüz. z ( y) = c 6

17 Sayılar Teorisi Kouları Geel Sıavları y y = 8 deklem sistemii çözüüz. = y y 4. y. y = 9 deklem sistemii çözüüz. = 74 ( ) ( y ) ( )( y ) y = 8 sistemii çözüüz. y = 6.. =,. =,,. =,. = deklem sistemii çözüüz. 7. y. z = y z. = 4 deklem sistemii çözüüz. z. y = y z u = y z u = deklem sistemii çözüüz. y z u = 5 y z u = = 8 = 68 deklem sistemii çözüüz. = 48 y y y z z yz z SINAV XXIII (REMAINDERFACTOR THEOREMSPOLYNOMIALS) P poliomu P P. = durumuu sağlamaktadır. bölüdüğüde 6 kalaıı verdiğie göre ( 9) buluuz.. P,. derecede bir poliom olmak üzere P( ) ifadesii eşitii buluuz. P poliomu ( ) ile bölüdüğüde vereceği kalaı P k =, k =,,, 4,..., ise k ile 7

18 Sayılar Teorisi Kouları Geel Sıavları Katsayıları tamsayılar ola bir P( ) poliomuda i alacağı 4 farklı değer içi P( ) = 7 ise P( ) poliomuu hiçbir zama 4 e eşit olamayacağıı kaıtlayıız. 4.. derecede bir poliom ola P( ) veriliyor. P() =, P() =, P() =, P(4) = 5 ise P(6)? 5. f kaçtır? 6. 4 poliomu veriliyor. 5 = P poliomu vermektedir. Bua göre 7. ( ) ( ) ( 5 ) bölüdüğüde kala f i f, P poliomuu ( ) olarak verile elde edilecek kalaı buluuz. ile bölümüde kala ile bölüüce 4 kalaıı ile bölümüde kala kaçtır? P poliomu ( ) ile bölüdüğüde SINAV XXIV (VIETE S FORMULAE). α, β, γ sayıları = deklemii kökleri ise toplamıı α β γ buluuz = deklemii kökleri a,b,c ise a b c, a b c, a b c toplamlarıı buluuz.. (USAMO 97) y z = y z = sistemii tüm (reelyadacomple) çözümlerii buluuz. y z =.. a a a = r. r r ve r, r,..., r R olarak 4. veriliyor. Bua göre. a. a olduğuu gösteriiz (USAMO 984) 8 k 984 = deklemii kökler çarpımı ise k değerii buluuz p q = deklemii çift katlı kökü var olduğua göre, p q toplamıı buluuz. α, α, α,, α değerleri = deklemii kökleri olduğua göre 7. α α... α toplamıı buluuz. 8. Varsayalım α, β, γ elemaları = deklemii kökleri olsu bua göre ve α β γ toplamlarıı buluuz. α β γ 9. α, β R sayıları 5 7 = deklemlerii sağlıyorsa α β toplamıı buluuz. 5 = α α α β β β 8

19 Sayılar Teorisi Kouları Geel Sıavları SINAV XXV (LANGRANGE S INTERPOLATION). p =, p =, p =, p( 4) = 5 durumlarıı sağlaya. derecede p( ) poliomuu buluuz. p =, p =, p =, p 4 = 5, p 5 = 5 durumlarıı sağlaya 4. derecede. p( ) poliomuu buluuz.. p p p p p =, =, = 4, 4 = 5, 5 = 8 durumlarıı sağlaya 4. derecede p( ) poliomuu buluuz. 9

( 1) ( ) işleminde etkisiz eleman e, tersi olmayan eleman t ise te kaçtır? a) 4/3 b) 3/4 c) -3 d) 4 e) Hiçbiri

( 1) ( ) işleminde etkisiz eleman e, tersi olmayan eleman t ise te kaçtır? a) 4/3 b) 3/4 c) -3 d) 4 e) Hiçbiri V MERSİN MATEMATİK OLİMPİYATI (ÜNV ÖĞR) I AŞAMA SINAV SORULARI ( Nisa 8) de ye taımlı, birebir ve örte f ve g foksiyoları her bir içi koşuluu sağlası g( a ) = ve f ( ) ( ) ( ) f = g a 4 = a ise a sayısı

Detaylı

OLİMPİYAT SINAVI. 9 x.sin x + 4 / x.sin x, 0 x π İfadesinin alabileceği en küçük tamsayı değeri kaçtır? A) 14 B) 13 C) 12 D) 11 E) 10

OLİMPİYAT SINAVI. 9 x.sin x + 4 / x.sin x, 0 x π İfadesinin alabileceği en küçük tamsayı değeri kaçtır? A) 14 B) 13 C) 12 D) 11 E) 10 . ( ) ( ) 9 x.si x + 4 / x.si x, 0 x π İfadesii alabileceği e küçük tamsayı değeri A) 4 B) 3 C) D) E) 0. Yuvarlak bir masa etrafıda otura 5 şövalye arasıda rasgele seçile 3 taeside e az ikisii ya yaa oturma

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler...

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler... İÇİNDEKİLER Ö Söz... Poliomlar... II. ve III. Derecede Deklemler... Parabol... 9 II. Derecede Eşitsizlikler... 8 Trigoometri... 8 Logaritma... 59 Toplam ve Çarpım Sembolü... 7 Diziler... 79 Özel Taımlı

Detaylı

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+...

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+... MC formülüü doğruluğuu tümevarım ilkesi ile gösterelim. www.matematikclub.com, 00 Cebir Notları Gökha DEMĐR, gdemir@yahoo.com.tr Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri Tümevarım Metodu : Matematikte kulladığımız

Detaylı

MATEMATİK ÖĞRETMENİ ALIMI AKADEMİK BECERİ SINAVI ÇÖZÜMLERİ

MATEMATİK ÖĞRETMENİ ALIMI AKADEMİK BECERİ SINAVI ÇÖZÜMLERİ MTEMTİK ÖĞRETMENİ LIMI KDEMİK EERİ SINVI ÇÖZÜMLERİ SÜLEYMNİYE EĞİTİM KURUMLRI MTEMTİK ÖĞRETMENİ LIMI KDEMİK EERİ SINVI ÇÖZÜMLERİ SORULR. li ile etül ü de içide buluduğu 4 erkek ve 6 bayada oluşa bir grupta

Detaylı

Venn Şeması ile Alt Kümeleri Saymak

Venn Şeması ile Alt Kümeleri Saymak Ve Şeması ile lt Kümeleri Saymak Osma Ekiz Bu çalışmada verile bir kümei çeşitli özellikleri sağlaya alt küme veya alt kümlerii ve şeması yardımıyla saymaya çalışacağız. Temel presibimiz aradığımız alt

Detaylı

( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİKLERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z.

( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİKLERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z. KÜME KAVRAMI Küme matematiği taımsız bir kavramıdır. Acak kümeyi, iyi taımlamış kavram veya eseler topluluğu diye tarif edebiliriz. Kümeler A, B, X, K,... gibi büyük harflerle Bir kümeyi oluştura eseleri

Detaylı

Diziler ve Seriler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV

Diziler ve Seriler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV Diziler ve Seriler Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üiteyi çalıştıkta sora; dizi kavramıı taıyacak, dizileri yakısaklığıı araştırabilecek, sosuz toplamı alamıı bilecek, serileri yakısaklığıı

Detaylı

TÜME VARIM Bu bölümde öce,kısaca tümevarım yötemii, sorada ÖYS de karşılamakta olduğumuz sembolüü ve sembolüü ele alacağız. A. TÜME VARIM YÖNTEMİ Tümevarım yötemii ifade etmede öce, öerme ve doğruluk kümesi

Detaylı

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI Projesii Kousu: Bir çekirgei metre, metre veya 3 metre zıplayarak uzuluğu verile bir yolu kaç farklı şekilde gidebileceği ya da bir kişii veya (veya 3) basamak atlayarak basamak sayısı verile bir merdivei

Detaylı

1. TEMEL KAVRAMLAR Derleyen: Osman EKİZ ( )

1. TEMEL KAVRAMLAR Derleyen: Osman EKİZ ( ) . TEMEL KAVRAMLAR Derleye: Osma EKİZ Bu çalışmaı temelii Jiri Herma, Rada Kucera, Jaromir Simsa., Elemetary Problems ad Theorems i Algebra ad Number Theory isimli kitap oluşturmaktadır. İlgili bölümü çevirisi

Detaylı

BÖLÜM II. Asal Sayılar. p ab ise p a veya p b dir.

BÖLÜM II. Asal Sayılar. p ab ise p a veya p b dir. BÖLÜM II Asal Sayılar Taım. p > tam sayısıı de ve ediside başa bölei yosa bu sayıya asal sayı deir. de büyü asal olmaya sayılara da bileşi sayı deir. Teorem. Eğer p bir asal sayı ve p ab ise p a veya p

Detaylı

ASAL ÇARPANLARINA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ SORULAR

ASAL ÇARPANLARINA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ SORULAR ASAL ÇARPANLARINA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ SORULAR 1) 60 sayısıı asal çarpalarıa ayrılmış şekli aşağıdakilerde hagisidir? A)..5 D)..5 B)..5 E)..5 C)..5 1.Yötem: 60 180 90 45 60..5 tir. 15 5 5 1.Yötem: Öğrecilerimizi1.Yötemde

Detaylı

Matematik Olimpiyatları İçin

Matematik Olimpiyatları İçin KONU ANLATIMLI Matematik Olimpiyatları İçi İdirgemeli Diziler, Kombiatorik ve Cebirsel Uygulamaları LİSE MATEMATİK OLİMPİYATLARI İÇİN Lokma Gökçe, Osma Ekiz İdirgemeli Diziler ve Uygulamaları Lokma Gökçe,

Detaylı

p sayısının pozitif bölenlerinin sayısı 14 olacak şekilde kaç p asal sayısı bulunur?

p sayısının pozitif bölenlerinin sayısı 14 olacak şekilde kaç p asal sayısı bulunur? 07.10.2006 1. Kaç p asal sayısı için, x 3 x + 2 (x r) 2 (x s) (mod p) denkliğinin tüm x tam sayıları tarafından gerçeklenmesini sağlayan r, s tamsayıları bulunabilir? 2. Aşağıdaki ifadelerin hangisinin

Detaylı

8. Bir aritmetik dizide a 2 = 2, a 7 = 8 ise, ortak fark aşağıdakilerden

8. Bir aritmetik dizide a 2 = 2, a 7 = 8 ise, ortak fark aşağıdakilerden MC TEST I Seriler ve Diziler www.matematikclub.com, 2006 Cebir Notları Gökha DEMĐR, gdemir2@yahoo.com.tr 8. Bir aritmetik dizide a 2 = 2, a 7 = 8 ise, ortak fark aşağıdakilerde hagisidir? A) 0,8 B) 0,9

Detaylı

( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİK- LERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z.

( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİK- LERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z. KÜME KAVRAMI Küme matematiği taımsız bir kavramıdır. Acak kümeyi, iyi taımlamış kavram veya eseler topluluğu diye tarif edebiliriz. Kümeler A, B, X, K,... gibi büyük harflerle gösterilir. Bir kümeyi oluştura

Detaylı

PROJE RAPORU. PROJENİN ADI: Karmaşık Sayıların n. Dereceden Kökler Toplamı ve Trigonometrik Yansımaları

PROJE RAPORU. PROJENİN ADI: Karmaşık Sayıların n. Dereceden Kökler Toplamı ve Trigonometrik Yansımaları PROJE RAPORU PROJENİN ADI: Karmaşık Sayıları. Derecede Kökler Toplamı ve Trigoometrik Yasımaları PROJENİN AMACI: Karmaşık sayıı karekökleri toplamı sıfırdır. Peki. derecede kök toplamı içi de geçerli miydi?

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferasiyel Deklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulumak veya kullaım koşulları hakkıda bilgi içi http://ocw.mit.edu/terms web sitesii ziyaret ediiz.

Detaylı

SAYILAR DERS NOTLARI Bölüm 1 / 3 SAYILAR DERS NOTLARI KONU BASLIKLARI:

SAYILAR DERS NOTLARI Bölüm 1 / 3 SAYILAR DERS NOTLARI KONU BASLIKLARI: www.testhae.com SAYILAR DERS NOTLARI Bölüm / 3 SAYILAR DERS NOTLARI KONU BASLIKLARI: -RAKAM -SAYI -DOGAL SAYILAR -SAYMA SAYILARI -ÇFT DOGAL SAYILAR -TEK DOGAL SAYILAR -ARDISIK DOGAL SAYILAR -ARDISIK ILK

Detaylı

n, 1 den büyük bir sayma sayısı olmak üzere,

n, 1 den büyük bir sayma sayısı olmak üzere, KÖKLÜ SAYILAR, de üyük ir sayma sayısı olmak üzere, x = α deklemii sağlaya x sayısıa α ı yici derecede kökü deir. x m = x m O halde tersi düşüülürse, ir üslü sayıı üssü kesirli ise, o sayı köklü sayı içimide

Detaylı

BÖLÜM III. Kongrüanslar. ise a ile b, n modülüne göre kongrüdür denir ve

BÖLÜM III. Kongrüanslar. ise a ile b, n modülüne göre kongrüdür denir ve BÖLÜM III Kogrüaslar Taım 3. N sabit bir sayı, a, b Z olma üzere, eğer ( a b) ise a ile b, modülüe göre ogrüdür deir ve a b(mod ) şelide gösterilir. Asi halde, yai F ( a b) ise a ile b ye modülüe göre

Detaylı

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir.

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. a) Pozitif doğal sayılar: Sıfır olmayan doğal sayılar kümesine Pozitif Doğal

Detaylı

h)

h) ĐZMĐR FEN LĐSESĐ TÜMEVARIM-DĐZĐLER-SERĐLER ÇALIŞMA SORULARI TÜME VARIM:. Aşağıdaki ifadelerde geel bir kural çıkarabilir misiiz? a) p()= ++4 poliomuda değişkeie 0,,,, değerleri verdiğimizde elde edile

Detaylı

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYLARI

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYLARI 6. BÖLÜM VEKTÖR LARI -BOYUTLU (ÖKLİT) I Taım: Eğer pozitif bir tam sayı ise sıralı -sayı, gerçel sayılar kümesideki adet sayıı (a 1, a 2,, a ) bir dizisidir. Tüm sıralı -sayılarıı kümesi -boyutlu uzay

Detaylı

H.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı Kısım Bir Reel Değişkeli Foksiyolar Teorisi Prof.Dr.Hüseyi Çakallı 3 H.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı Reel

Detaylı

TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada,

TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada, TAMSAYILAR Z = {.., -, -, -, 0,,,, } kümesinin her bir elemanına tamsayı denir. Burada, + Z = {,,,...} kümesine, pozitif tamsayılar kümesi denir. Z = {...,,,,} kümesine, negatif tamsayılar kümesi denir.

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar

TEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar TEMEL KAVRAMLAR Rakam: Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Bu semboller {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} kümesinin elemanlarıdır., b ve c birer rakamdır. 15 b = c olduğuna göre, + b + c

Detaylı

Yrd.Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd.Doç. Dr. Mustafa Akkol komşuluğu: Taım: ; isteildiği kadar küçük seçilebile poziti bir sayı olmak üzere a a açık aralığıa a R sayısıı komşuluğu deir Örek : Taım: a a a a ve 0 00 olsu ' i 0 00 0 00 999 00 : Z R bir dizi deir

Detaylı

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6.

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6. Problemler 3 i Çözümleri Problemler 3 i Çözümleri Aşağıdaki özellikleri kaıtlamaızı ve buu yaıda daha fazla soyut kaıt vermeizi isteyeceğiz. h.h. eşitliğii ölçümü sıfır ola bir kümei tümleyei üzeride eşit

Detaylı

Fonksiyonlarda Limit. Dizi fonksiyonu, tanım kümesindeki bütün 1, 2, 3,, n, sayma sayılarına, sırasıyla

Fonksiyonlarda Limit. Dizi fonksiyonu, tanım kümesindeki bütün 1, 2, 3,, n, sayma sayılarına, sırasıyla Foksiyolarda Limit Foksiyolarda it: Bu bölümde y f ( ) foksiyou ve sayısı verildiğide, bağımsız değişkei sayısıa (solda veya sağda) yaklaşırke ya da sosuza yaklaşırke, foksiyou da bir L sayısıa (veya ya

Detaylı

ISBN - 978-605-5631-60-4 Sertifika No: 11748

ISBN - 978-605-5631-60-4 Sertifika No: 11748 ISBN - 978-605-563-60-4 Sertifia No: 748 GENEL KOORDİNATÖR: REMZİ ŞAHİN AKSANKUR REDAKTE: REMZİ ŞAHİN AKSANKUR SERDAR DEMİRCİ SABRİ ŞENTÜRK Basm Yeri: EVOS BASIM - ANKARA Bu itab tüm basm ve yay halar

Detaylı

İDEAL ÇARPIMLARI (IDEAL PRODUCTS)

İDEAL ÇARPIMLARI (IDEAL PRODUCTS) T.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ (IDEAL PRODUCTS) 070216013 TUĞBA ÖZMEN 080216038 AYŞE MUTLU 080216064 SEVİLAY HOROZ Nil ehri, Düyaı e uzu ehridir (6.650

Detaylı

ASAL SAYILAR - TAM BÖLENLER - FAKTÖRİYEL Test -1

ASAL SAYILAR - TAM BÖLENLER - FAKTÖRİYEL Test -1 ASAL SAYILAR - TAM BÖLENLER - FAKTÖRİYEL Test -1 1. ve y aralarında asal iki doğal sayıdır. 7 y 11 olduğuna göre, y farkı 5. 364 sayısının en büyük asal böleni A) 3 B) 7 C) 11 D) 13 E) 17 A) B) 3 C) 4

Detaylı

TÜBİTAK TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM ADAMI YETİŞTİRME GRUBU ULUSA L İLKÖĞRETİM MA TEMATİK OLİMPİYADI DENEME SINAVI.

TÜBİTAK TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM ADAMI YETİŞTİRME GRUBU ULUSA L İLKÖĞRETİM MA TEMATİK OLİMPİYADI DENEME SINAVI. TÜBİTAK TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM ADAMI YETİŞTİRME GRUBU ULUSA L İLKÖĞRETİM MA TEMATİK OLİMPİYADI DENEME SINAVI Birici Bölüm DENEME-4 Bu sıav iki bölümde oluşmaktadır. * Çokta seçmeli

Detaylı

{ 1 3 5} { 2 4 6} OLASILIK HESABI

{ 1 3 5} { 2 4 6} OLASILIK HESABI OLASILIK HESABI Bu derste, uygulamalarda sıkça karşılaşıla, Olasılık Uzaylarıda bazılarıa değieceğiz ve verilmiş bir Olasılık Uzayıda olasılık hesabı yapacağız. Ω. Ω solu sayıda elemaa sahip olsu. Ω {

Detaylı

ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI

ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI 1. 1999 ÖSS a, b, c pozitif gerçel (reel) sayılar olmak üzere a+ b ifadesindeki her sayı 3 ile çarpılırsa aşağıdakilerden hangisi elde c edilir? 3 a+ b A) B) c a+ 3b C)

Detaylı

biliniyordu: Eğer 2 a 1 bir asal sayıysa, o zaman S = 2 a 1 (2 a 1) yetkin bir sayıdır. Bunu toplayalım: O halde

biliniyordu: Eğer 2 a 1 bir asal sayıysa, o zaman S = 2 a 1 (2 a 1) yetkin bir sayıdır. Bunu toplayalım: O halde SAYILAR DÜNYASINDA GEZİNTİLER H. Turgay Kaptaoğlu Bu yazıda deri teorilere imede sayıları çoğulula da tamsayıları ilgiç özellileride bahsedeceğiz. Bu özellileri hiçbiri yei değil; yüzyıllar, hatta biyıllar

Detaylı

TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR

TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR 1.1. Kümeler ve Foksiyolar A ı bir elemaıa B i yalız bir elemaıı eşleye bağıtıya bir foksiyo deir. f : A B, Domf = U A ve ragef B dir. Taım 1.1.1. f : A B foksiyou içi V A olsu.

Detaylı

Permütasyon Kombinasyon Binom Aç l m. Olas l k ve statistik. Karmafl k Say lar

Permütasyon Kombinasyon Binom Aç l m. Olas l k ve statistik. Karmafl k Say lar 0 0 0 Gerçek Say lar Kümesii Geiflletme Gere i Kümesi Aalitik Düzlemde Gösterilmesi Efllei i Modülü da fllemler ki Karmafl k Say Aras daki Uzakl k Karmafl k Say Geometrik Yeri Kutupsal Gösterimi Karmafl

Detaylı

Mustafa Özdemir İrtibat İçin : veya Altın Nokta Yayınevi

Mustafa Özdemir İrtibat İçin : veya Altın Nokta Yayınevi 2 Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 4 Mustafa Özdemir MATEMATİK OLİMPİYATLARINA HAZIRLIK 4 (336 sayfa) ANALİZ CEBİR 1 TANITIM DÖKÜMANI (Kitabın içeriği hakkında bir bilgi verilmesi amacıyla bu döküman

Detaylı

1. BÖLÜM. Sayılarda Temel Kavramlar. Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK. Kontrol Noktası 1

1. BÖLÜM. Sayılarda Temel Kavramlar. Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK. Kontrol Noktası 1 1. BÖLÜM Sayılarda Temel Kavramlar Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK Kontrol Noktası 1 Isınma Hareketleri 1 Uygun eşleştirmeleri yapınız. I. {0, 1, 2,..., 9} II. {1, 2, 3,...} III. {0, 1, 2,

Detaylı

BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER

BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ İkici bölümde verileri frekas tablolarıı hazırlaması ve grafikleri çizilmesideki esas amaç; gözlemleri doğal olarak ait oldukları populasyo dağılışıı belirlemek ve dağılışı geel özelliklerii

Detaylı

Bağıntı YILLAR ) AxB BxA. 2) Ax(BxC) = (AxB)xC. 4) s(axb) = s(bxa) = s(a).s(b)

Bağıntı YILLAR ) AxB BxA. 2) Ax(BxC) = (AxB)xC. 4) s(axb) = s(bxa) = s(a).s(b) Bağıtı YILLAR 00 00 00 005 006 007 008 009 00 0 ÖSS-YGS - - - - - - - - - BAĞINTI ÖZELLĐKLER: SIRALI ĐKĐLĐ: (a,) şeklideki ifadeye ir sıralı ikili yada kısaca ikili deir (a,) sıralı ikiliside a ya irici

Detaylı

11. SINIF KONU ÖZETLİ SORU BANKASI

11. SINIF KONU ÖZETLİ SORU BANKASI . SINIF MATEMATİK KONU ÖZETLİ SORU BANKASI Mil li Eği tim Ba ka lı ğı Ta lim ve Ter bi ye Ku ru lu Baş ka lı ğı ı 4.8. ta rih ve sa yı lı ka ra rı ile ka bul edi le ve - Öğ re tim Yı lı da iti ba re uy

Detaylı

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? Örnek...4 : Genel terimi w n. Örnek...1 : Örnek...5 : Genel terimi r n

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? Örnek...4 : Genel terimi w n. Örnek...1 : Örnek...5 : Genel terimi r n DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler değer kümelerine göre adlandırılırlar. Dizinin değer kümesi

Detaylı

11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler

11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler 11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler 1. Asal sayılar 2. Bir tam sayının bölenleri 3. Modüler aritmetik 4. Bölünebilme kuralları 5. Lineer modüler aritmetik 6. Euler

Detaylı

sayısının tamkare olmasını sağlayan kaç p asal sayısı vardır?(88.32) = n 2 ise, (2 p 1

sayısının tamkare olmasını sağlayan kaç p asal sayısı vardır?(88.32) = n 2 ise, (2 p 1 TAM KARELER 1. Bir 1000 basamaklı sayıda bir tanesi dışında tüm basamaklar 5 tir. Bu sayının hiçbir tam sayının karesi olamayacağını kanıtlayınız. (2L44) Çözüm: Son rakam 5 ise, bir önceki 2 olmak zorunda.

Detaylı

3. Bir kabı, biri 17 diğeri 55 litre su alan ölçeklendirilmemiş iki kap yardımıyla tam olarak 1 litre suyla nasıl doldurursunuz açıklayınız. (10 P.

3. Bir kabı, biri 17 diğeri 55 litre su alan ölçeklendirilmemiş iki kap yardımıyla tam olarak 1 litre suyla nasıl doldurursunuz açıklayınız. (10 P. 0..006 MAT3 AYRIK MATEMATİK ARASINAV SORULARI Numarası :..................................... Adı Soyadı :...................................... F,. Fiboacci sayısıı gösterme üzere, ( 0 P.) (a) F + = F

Detaylı

TĐCARĐ MATEMATĐK - 5.2 Bileşik Faiz

TĐCARĐ MATEMATĐK - 5.2 Bileşik Faiz TĐCARĐ MATEMATĐK - 5 Bileşik 57ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER: Örek 57: 0000 YTL yıllık %40 faiz oraıyla yıl bileşik faiz ile bakaya yatırılmıştır Bu paraı yılı souda ulaşacağı değer edir? IYol: PV = 0000 YTL = PV (

Detaylı

Analiz II Çalışma Soruları-2

Analiz II Çalışma Soruları-2 Aaliz II Çalışma Soruları- So gücelleme: 04040 (I Aşağıdaki foksiyoları (ilgili değişkelere göre türevlerii buluuz 7 cos π 8 log (si π ( si ta e 9 4 5 6 + cot 0 sec sit t si( e + e arccos ( e cos(ta (II

Detaylı

12-A. Sayılar - 1 TEST

12-A. Sayılar - 1 TEST -A TEST Sayılar -. Birbirinden farklı beş pozitif tam sayının toplamı 0 dur. Bu sayılardan sadece ikisi den büyüktür. Bu sayılardan üç tanesi çift sayıdır. Buna göre bu sayılardan en büyüğü en çok kaç

Detaylı

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte 50 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için

Detaylı

1. Tabanı 2a büyük eksenli, 2b küçük eksenli elips ile sınırlanan ve büyük eksene dik her kesiti kare olan cismin 16ab 2 hacmini bulunuz.

1. Tabanı 2a büyük eksenli, 2b küçük eksenli elips ile sınırlanan ve büyük eksene dik her kesiti kare olan cismin 16ab 2 hacmini bulunuz. MAT -MATEMATİK (5-5 YAZ DÖNEMİ) ÇALIŞMA SORULARI. Tabaı a büyük ekseli, b küçük ekseli elips ile sıırlaa ve büyük eksee dik her kesiti kare ola cismi 6ab hacmii buluuz. Cevap :. y = ve y = eğrileri ile

Detaylı

MATEMATİK. Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU

MATEMATİK. Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU MATEMATİK Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU Mesleki Matematik 1 TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Sayıları yazmak için kullandığımız işaretlere rakam denir. Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Rakamlar 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

Detaylı

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir?

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler, değer kümelerine göre adlandırı - lırlar. Dizinin değer

Detaylı

6. Ali her gün cebinde kalan parasının (2009) a, b ve c farklı pozitif tamsayılar, 9. x, y, z pozitif gerçek sayılar,

6. Ali her gün cebinde kalan parasının (2009) a, b ve c farklı pozitif tamsayılar, 9. x, y, z pozitif gerçek sayılar, 1. 9 2 x 2 ifadesinin açılımında sabit x terim kaç olur? A) 672 B) 84 C) 1 D) -84.E) -672 6. Ali her gün cebinde kalan parasının %20 sini harcamaktadır. Pazartesi sabahı haftalığını alan Ali ni Salı günü

Detaylı

Olimpiyat Eğitimi CANSU DENEME SINAVI

Olimpiyat Eğitimi CANSU DENEME SINAVI TUSİ Ortaöğretim Öğretmenleri için Olimpiyat Eğitimi CANSU DENEME SINAVI 15.11.2013-29.11.2013 2 1. Bir x sayısı x = 1 1 + x eşitliğini sağlamaktadır. x 1 x hangisidir? in en basit hali aşağıdakilerden

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Ders 3: MERKEZİ EĞİLİM VE DAĞILMA ÖLÇÜLERİ Prof. Dr. İrfa KAYMAZ Taım Araştırma souçlarıı açıklamasıda frekas tablosu ve poligou isteile bilgiyi her zama sağlamayabilir. Verileri

Detaylı

T.C. SELÇUK ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ

T.C. SELÇUK ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ T.C. SELÇUK ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ AÇILARI VE KENARLARI ARĠTMETĠK, GEOMETRĠK VE HARMONĠK DĠZĠ OLUġTURAN ÜÇGENLER ĠLE x 3y z DĠOPHANTĠNE DENKLEMĠ ARASINDAKĠ ĠLĠġKĠ ÜZERĠNE BĠR ARAġTIRMA Tayfu

Detaylı

ILMO 2009. c www.sbelian.wordpress.com sbelianwordpress@gmail.com. İstanbul Liseler Arası Matematik Olimpiyatı (ILMO) sorularından bir

ILMO 2009. c www.sbelian.wordpress.com sbelianwordpress@gmail.com. İstanbul Liseler Arası Matematik Olimpiyatı (ILMO) sorularından bir İstabul L ıseler Arası Matemat ık Ol ımp ıyatı ILMO 9 Çözümler ı c www.sbelia.wordpress.com sbeliawordpress@gmail.com Her yıl KOÇ Üiversitesi Bi Topluluğu Öğreci Klübü tarafıda düzelee, İstabul Liseler

Detaylı

14. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI EKİP FİNAL SORULARI

14. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI EKİP FİNAL SORULARI 14. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI EKİP FİNAL SORULARI - 008 SORU -1 1 0.7 0.1 0.48 = 0.018 0.8 0. eşitliğini sağlayan sayısı kaçtır? [ 0.15] SORU - c d d c a b 4 c d b b a ifadesinin i i sayısal ldeğeri

Detaylı

YENİDEN DÜZENLENMİŞTİR.

YENİDEN DÜZENLENMİŞTİR. 0. Sııf MATEMATİK Soru Kitabı Mehmet ŞAHİN T.C MİLLİ EĞİTİM BAKANLIĞI Talim Terbiye Kurulu Başkalığı MATEMATİK Öğretim programıda yaptığı so gücelleme doğrultusuda YENİDEN DÜZENLENMİŞTİR. Emre ORHAN Mehmet

Detaylı

YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ LÜ SORU BANKASI ANKARA ÖN SÖZ Sevgili Öğrenciler, ÖSYM nin son yıllarda yaptığı sınavlardaki matematik sorularının eski sınav sorularından çok farklı olduğu herkes tarafından

Detaylı

Bu bölümde birkaç yak nsak dizi örne i daha görece iz.

Bu bölümde birkaç yak nsak dizi örne i daha görece iz. 19B. Yak sak Gerçel Dizi Örekleri Bu bölümde birkaç yak sak dizi öre i daha görece iz. Verdi imiz örekleri her biri hem kedi bafl a hem de kulla la yötem aç s da öemlidir. Örek 19B.1. lim 1/ = 1. Ka t:

Detaylı

MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13. TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı

MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13. TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13 TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı ={(x,y): x ile y nin farkı n ile tam bölünür} = {(x,y): n x-y, n N + } bağıntısı bir denklik bağıntısıdır. (x,y) ise x y (mod

Detaylı

YER ÖLÇÜLERİ. Yer ölçüleri, verilerin merkezini veya yığılma noktasını belirleyen istatistiklerdir.

YER ÖLÇÜLERİ. Yer ölçüleri, verilerin merkezini veya yığılma noktasını belirleyen istatistiklerdir. YER ÖLÇÜLERİ Yer ölçüler, verler merkez veya yığılma oktasıı belrleye statstklerdr. Grafkler bze verler yığılma oktaları hakkıda ö blg vermede yardımcı olurlar. Acak bu değerler gerçek değerler değldr,

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR Test -1

TEMEL KAVRAMLAR Test -1 TEMEL KAVRAMLAR Test -1 1. 6 ( ) 4 A) B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 5. 4 [1 ( 3). ( 8)] A) 4 B) C) 0 D) E) 4. 48: 8 5 A) 1 B) 6 C) 8 D) 1 E) 16 6. 4 7 36:9 18 : 3 A) 1 B) 8 C) D) 4 E) 8 3. (4: 3 + 1):4 A) 3 B) 5

Detaylı

Türkiye Ulusal Matematik Olimpiyatları DENEME SINAVI. 4. Deneme

Türkiye Ulusal Matematik Olimpiyatları DENEME SINAVI. 4. Deneme Türkiye Ulusal Matematik Olimpiyatları Birinci Aşama Zor Deneme Sınavı 11 Haziran 2016 DENEME SINAVI 4. Deneme Soru Sayısı: 32 Sınav Süresi: 210 dakika Başarılar Dileriz... Page 1 of 9 DENEME SINAVI (4.

Detaylı

MUTLAK DEĞER Test -1

MUTLAK DEĞER Test -1 MUTLAK DEĞER Test -. < x < olduğuna göre, x x ifadesinin eşiti aşağıdakilerden 7 B) 7 x C) x 7 D) x 7 E) 7 x 5. y < 0 < x olduğuna göre, y x x y x y ifadesinin eşiti aşağıdakilerden xy B) xy C) xy D) xy

Detaylı

Önce parantez içindeki işlemler yapılır. 150:(6+3.8)-5 = 150:(6+24)-5 = 150:30-5 = 5-5 = 0 ( A ) :5-3 = = 11 ( C )

Önce parantez içindeki işlemler yapılır. 150:(6+3.8)-5 = 150:(6+24)-5 = 150:30-5 = 5-5 = 0 ( A ) :5-3 = = 11 ( C ) Önce ÇARPMA ve Bölme, sonra Toplama ve Çıkarma. 3.4+10:5-3 = 12+2-3 = 11 ( C ) Önce parantez içindeki işlemler yapılır. 150:(6+3.8)-5 = 150:(6+24)-5 = 150:30-5 = 5-5 = 0 ( A ) 72:24+64:16 = 3+4 = 7 ( B

Detaylı

PERMÜTASYON, KOMBİNASYON, BİNOM, OLASILIK VE İSTATİSTİK...111. Konu Özeti...111. Testler (1 11)...115. Yazılıya Hazırlık Soruları (1 2)...

PERMÜTASYON, KOMBİNASYON, BİNOM, OLASILIK VE İSTATİSTİK...111. Konu Özeti...111. Testler (1 11)...115. Yazılıya Hazırlık Soruları (1 2)... ÜNİTE PERMÜTASYON, KOMBİNASYON, BİNOM, OLASILIK VE İSTATİSTİK Bölüm PERMÜTASYON, KOMBİNASYON BİNOM VE OLASILIK! = (...... ) PERMÜTASYON, KOMBİNASYON BİNOM, OLASILIK VE İSTATİSTİK PERMÜTASYON, KOMBİNASYON,

Detaylı

{ 1 3 5} UYGULAMA-2 OLASILIK HESABI { } i, i = 1, 2,, n elemanına aşağıdaki özelliklere sahip bir p. her bir ω. sayısı karşılık getirilsin.

{ 1 3 5} UYGULAMA-2 OLASILIK HESABI { } i, i = 1, 2,, n elemanına aşağıdaki özelliklere sahip bir p. her bir ω. sayısı karşılık getirilsin. UYGULAMA- OLASILIK HESABI Ω. Ω solu sayıda elemaa sahip olsu. Ω { ω, ω,, ω }, U olmak üzere, Ω ı her bir ω i, i,,, elemaıa aşağıdaki özelliklere sahip bir p i sayısı karşılık getirilsi. ) p 0, i,,...,

Detaylı

A A A A A A A A A A A

A A A A A A A A A A A LYS MATEMATİK TESTİ. Bu testte 5 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan kısmına işaretleiniz.. - - ^- h + c- m - (-5 )-(- ) işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) D) 5 E).

Detaylı

NİSAN 2010 DENEMESİ A)75 B)80 C)85 D)90 E)95 A)0 B)1 C)2 D)3 E)4

NİSAN 2010 DENEMESİ A)75 B)80 C)85 D)90 E)95 A)0 B)1 C)2 D)3 E)4 NİSAN 21 DENEMESİ 1) ABCD dikdörtgeninin AB kenarı üzerindeki M noktasından geçen ve CM doğrusuna dik olan doğru AD kenarını E noktasında kesiyor. M noktasından CE doğrusuna indirilen dikmenin ayağı P

Detaylı

MATEMATİK SORU BANKASI. ezberbozan serisi GEOMETRİ 30. KPSS tamamı çözümlü. eğitimde

MATEMATİK SORU BANKASI. ezberbozan serisi GEOMETRİ 30. KPSS tamamı çözümlü. eğitimde ezberbozan serisi MATEMATİK GEOMETRİ KPSS 2017 SORU BANKASI eğitimde tamamı çözümlü 30. Kerem Köker Kenan Osmanoğlu Levent Şahin Uğur Özçelik Ahmet Tümer Yılmaz Ceylan KOMİSYON KPSS EZBERBOZAN MATEMATİK

Detaylı

A= {1,2,3}, B={1,3,5,7}kümeleri veriliyor. A dan B ye tanımlanan aşağıdaki bağıntılardan hangisi fonksiyon değildir?

A= {1,2,3}, B={1,3,5,7}kümeleri veriliyor. A dan B ye tanımlanan aşağıdaki bağıntılardan hangisi fonksiyon değildir? ÖRNEK 1 : A= {1,,}, B={1,,5,7}kümeleri veriliyor. A da B ye taımlaa aşağıdaki bağıtılarda hagisi foksiyo değildir? A) {(1,), (,5), (,7)} B) {(1,), (1,5), (,1)} C) {(1,1), (,1), (,1)} D) {(1,5), (,1), (,7)}

Detaylı

Rakam : Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir.

Rakam : Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir. A. SAYILAR Rakam : Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir. Sayı : Rakamların çokluk belirten ifadesine sayı denir.abc sayısı a, b, c rakamlarından oluşmuştur.! Her rakam bir sayıdır. Fakat bazı

Detaylı

2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır?

2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır? 017 LYS MATEMATİK DENEMESİ Soru Sayısı: 50 Sınav Süresi: 75 ı 1. 4. (1+ 5 ) 1+ 5 işleminin sonucu kaçtır? A) 5 B)3 5 C)+ 5 işleminin sonucu kaçtır? D)3+ 5 E)1+ 5 A) B) 1 C) 1 D) E) 3. 4 0,5.16 0,5 işleminin

Detaylı

x13. ULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATI - 2005

x13. ULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATI - 2005 TÜBİTAK TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNOLOJİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM İNSANI DESTEKLEME DAİRE BAŞKANLIĞI x13. ULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATI - 005 BİRİNCİ AŞAMA SINAVI Soru kitapçığı türü A 1. AB = olmak üzere, A

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Matematk Deneme Sınavı. n olmak üzere; n n toplamı ten büük n nin alabileceği tamsaı değerleri kaç tanedir? 9 B) 8 7.,, z reel saılar olmak üzere; ( 8) l 8 l z z aşağıdakilerden hangisidir? B) 8. tabanındaki

Detaylı

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır.

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır. TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Bir çokluk belirtmek için kullanılan sembollere rakam denir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri birer rakamdır. 2. TAMSAYILAR KÜMESİ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... }

Detaylı

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İkinci Dereceden Denklemler a, b ve c reel sayı, a ¹ 0 olmak üzere ax + bx + c = 0 şeklinde yazılan denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Aşağıdaki denklemlerden

Detaylı

12. Ders Büyük Sayılar Kanunları. Konuya geçmeden önce DeMoivre-Stirling formülünü ve DeMoivre-Laplace teoremini hatırlayalım. DeMoivre, genel terimi,

12. Ders Büyük Sayılar Kanunları. Konuya geçmeden önce DeMoivre-Stirling formülünü ve DeMoivre-Laplace teoremini hatırlayalım. DeMoivre, genel terimi, . Ders Büyü Sayılar Kauları Kouya geçmede öce DeMoivre-Stirlig formülüü ve DeMoivre-Laplace teoremii hatırlayalım. DeMoivre, geel terimi, a!,,, 3,... e ola dizii yaısa olduğuu göstermiş, aca limitii bulamamış.

Detaylı

TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR.

TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR. TEOG Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar 1. DOĞAL SAYILAR 0 dan başlayıp artı sonsuza kadar giden sayılara doğal sayılar denir ve N ile gösterilir. N={0, 1, 2, 3,...,n, n+1,...} a ve b doğal sayılar olmak

Detaylı

İşlenmemiş veri: Sayılabilen yada ölçülebilen niceliklerin gözlemler sonucu elde edildiği hali ile derlendiği bilgiler.

İşlenmemiş veri: Sayılabilen yada ölçülebilen niceliklerin gözlemler sonucu elde edildiği hali ile derlendiği bilgiler. OLASILIK VE İSTATİSTİK DERSLERİ ÖZET NOTLARI İstatistik: verileri toplaması, aalizi, suulması ve yorumlaması ile ilgili ilkeleri ve yötemleri içere ve bu işlemleri souçlarıı probabilite ilkelerie göre

Detaylı

A) π B) 4 π C) 9 π D) 16 π E ) π 6. Çözüm: Yanıt:A. 5. ax +by+ 5 = 0 } denklemlerini aynı zamanda. Çözüm: Yanıt:B

A) π B) 4 π C) 9 π D) 16 π E ) π 6. Çözüm: Yanıt:A. 5. ax +by+ 5 = 0 } denklemlerini aynı zamanda. Çözüm: Yanıt:B . +? + + işlemii soucu aşağıdakilerde xy } y 5,x 4 5x 4y Ç 6y +7x 6.5+7.4 58 cm Yaıt:C hagisie eşittir? A) 7 B) 4 C) 7 4 D) 7 7 E ) 7 4. Aşağıda alaları verile dairelerde hagisii alaı sayıca çevresie eşittir?

Detaylı

İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ

İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ Prof.Dr.Hüseyi ÇAKALLI İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ Bu ölümde dizileri, yi tım kümesi doğl syılr kümesi, değer kümesi, reel syılr kümesii ir lt kümesi ol foksiyolrı iceleyeceğiz... Ykısk Diziler. Öce

Detaylı

Örnek 2.1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III. Markov Süreçleri Ders 7. Koşulsuz Durum Olasılıkları. Örnek 2.1

Örnek 2.1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III. Markov Süreçleri Ders 7. Koşulsuz Durum Olasılıkları. Örnek 2.1 Örek.1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III Markov Süreçleri Ders 7 Yrd. Doç. Dr. Beyazıt Ocakta Web site: ocakta.bau.edu.tr E-mail: bocakta@gmail.com Reault marka otomobil sahilerii bir soraki otomobillerii de Reault

Detaylı

16. ULUSAL ANTALYA MATEMATİK SORULARI A A A A A A A

16. ULUSAL ANTALYA MATEMATİK SORULARI A A A A A A A AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ 16. ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATLARI BİRİNCİ AŞAMA SORULARI A A A A A A A SINAV TARİHİ VESAATİ:16 NİSAN 2011 - Cumartesi 10.00-12.30 Bu sınav 25 sorudan oluşmaktadır vesınav

Detaylı

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 MATEMATİK TESTİ 11 HAZİRAN 2017 PAZAR Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının

Detaylı

ÖRNEK LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI - 1 GEOMETRİ TESTİ. Ad Soyad : T.C. Kimlik No:

ÖRNEK LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI - 1 GEOMETRİ TESTİ. Ad Soyad : T.C. Kimlik No: LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI - GEOMETRİ TESTİ ÖRNEK Ad Soyad : T.C. Kimlik No: Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının Metin Yayınları nın yazılı

Detaylı

BASIN KİTAPÇIĞI ÖSYM

BASIN KİTAPÇIĞI ÖSYM BASIN KİTAPÇIĞI 00000000 AÇIKLAMA 1. Bu kitapç kta Lisans Yerle tirme S nav -1 Matematik Testi bulunmaktad r. 2. Bu test için verilen toplam cevaplama süresi 75 dakikadır. 3. Bu kitapç ktaki testlerde

Detaylı

SINIF TEST. Üslü Sayılar A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 A) - 5 B) - 4 C) 5 D) 7. sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir?

SINIF TEST. Üslü Sayılar A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 A) - 5 B) - 4 C) 5 D) 7. sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir? 8. SINIF. Üslü Sayılar - = T olduğuna göre T kaçtır? A) - B) - C) D) 7 TEST.. 0 - işleminin sonucu kaç basamaklı bir sayıdır? A) B) C) 6 D) 7. n =- 7 için n ifadesinin değeri kaçtır? A) - 8 B) - C) 8 D)

Detaylı

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI Bezetimi e öemli faydalarıda birisi, uygulamaya koymada öce alteratifleri karşılaştırmaı mümkü olmasıdır. Alteratifler; Fabrika yerleşim tasarımları Alteratif üretim

Detaylı

1 RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER Sorular Sorular DOĞRUSAL DENKLEMLER Sorular DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ 25

1 RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER Sorular Sorular DOĞRUSAL DENKLEMLER Sorular DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ 25 İçindekiler RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER. Çözümlü Sorular............................. 2.2 Sorular................................... 5 2 TEK - TERİMLİ veçok-terimli İFADELER 7 2. Çözümlü Sorular.............................

Detaylı

SAYILAR TEORİSİ. KİTAPTA BULUNAN, TEOREM İSPATLARI, KONU ANLATIMI ve ÇÖZÜMLERİN OLDUĞU KISIMLAR, BU DÖKÜMANA KONULMAMIŞTIR.

SAYILAR TEORİSİ. KİTAPTA BULUNAN, TEOREM İSPATLARI, KONU ANLATIMI ve ÇÖZÜMLERİN OLDUĞU KISIMLAR, BU DÖKÜMANA KONULMAMIŞTIR. 2 SAYILAR TEORİSİ - MUSTAFA ÖZDEMİR SAYILAR TEORİSİ Bu kitap üniversitelerimizin Matematik ve Matematik Eğitimi bölümlerinde okutulmakta olan Sayılar Teorisi derslerine de yardımcı olacaktır. Bunun yanında,

Detaylı

ÇİN KALAN TEOREMİ. Chinese Remainder Theorem A.KILIÇ & V.SERT Ç ANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ

ÇİN KALAN TEOREMİ. Chinese Remainder Theorem A.KILIÇ & V.SERT Ç ANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ Chiese Remaider Theorem A.KILIÇ & V.SERT 2012 Ç ANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ İçidekiler Sayfa o Semboller 2 Ösöz 3 Öbilgiler 4 Geel Halkalar içi Çi Kala Teoremi 7 Çi Kala Teoremii Tamsayılar Halkasıa

Detaylı

MATEMAT K PERMÜTASYON - KOMB NASYON ÖRNEK 1: ÖRNEK 2:

MATEMAT K PERMÜTASYON - KOMB NASYON ÖRNEK 1: ÖRNEK 2: MATEMAT K PERMÜTASYON - KOMB NASYON ÖRNEK : ÖRNEK 2:, 6, 7, 8, 9 rakamlar kullaarak rakamlar birbiride farkl ola, üç basamakl ve 780 de küçük kaç de iflik say yaz labilir? A) 6 B) 2 C) 36 D) 30 E) 2 (999

Detaylı