İNTEGRAL İŞLEMLER LEMLERİ

Transkript

1 İKTİSADİ DİNAMİKLİK K VE İNTEGRAL İŞLEMLER LEMLERİ

2 2 İktisat biliminde dinamiklik kavramı, değişkenlerin değişim süreçlerini, dengeye geliş ya da uzaklaşmalarını içeren bir analiz tipidir. Daha önce karşılaştırmalı durağanlık analizinde, dengeden uzaklaşıldığında dengeye yeniden nasıl dönüldüğünü ele almıştık. Dinamik analizde ise, dengeye geliş süreci bir sorun olarak ele alınmaktadır. Diğer önemli nokta, zamanın sürekli ya da kesikli biçimde analize katılmış olmasıdır.

3 3 Dinamik bir modelde amaç, belirli bir değişim kalıbına bağlı olarak, ilgili değişkenin zaman içinde aldığı yolun (ilkel fonksiyonun) belirlenmesidir. Örneğin nüfusun zaman içinde şöyle değiştiğini bildiğimizi varsayalım: dh dt = t 2 Dinamik analiz, bu şekildeki bir değişim kalıbından hareketle, H=H(t) ilkel fonksiyonunu bulmak sürecidir. Bu, integral alma yöntemi ile yapılabilir. Bunu yukarıdaki örnek için yapalım: 2 H() t = 2t + c

4 4 İntegral işlemi, türev işleminin tersidir. İntegral sabitini belirleyebilecek yeterli bilgi varsa, f(x) fonksiyonunun integralini alarak, F(x) ilkel fonksiyonuna ulaşırız. f(x) in x e göre integralini şöyle gösterebiliriz: f ( xdx ) Burada f(x), integrali alınan fonksiyondur. dx integral işleminin x değişkenine göre yapıldığını söylemektedir. df( x) dx = f ( x) f( x) dx = F( x) + c c rasgele bir integral sabitidir.

5 Kural I: = +, ( ) n + n n+ xdx x c n 5 Örnek : = xdx x c Örnek 2: = xdx x c

6 6 Örnek 3: dx = x + c Örnek 4: x dx = x dx = x + c = x + c Örnek 5: dx x 4 dx x = = + x c = + 3x c

7 Kural II: x x edx= e + c 7 Kural IIa: = + ( ) ( ) f ( xe ) f x dx e f x c Kural III: x dx = ln x + c ya da x dx = ln x + c, ( x 0) Kural IIIa: f ( x) dx = ln f ( x ) + c, f ( x ) > 0 f( x)

8 Kural IV: 8 [ ] f ( x) + gx ( ) dx= f( xdx ) + gxdx ( ) = F( x) + Gx ( ) + c Örnek 6: x + x + dx = x dx + xdx + dx = + + x + c ( ) x x 4 2 Örnek 7: 2x 4x 2x 4x 2e + dx 2e dx dx 2 2 7x 5 = + + 7x + 5 = x 2 e ln(7x 5) c

9 Kural V: 9 kf ( x) dx = k f ( x) dx = kf( x) + c Örnek 8: 2 2 = 2 = xdx xdx x c Örnek 9: 3 e + dx e dx x dx dx x x = + x x = 5e + + 3ln x + c x x x

10 Kural VI (İkame( Kuralı): du f ( u) dx = f ( udu ) = F( u) + c dx 0 Bu kural, türevdeki zincir kuralından gelmektedir. Örnek 0: 2 2 x( x + ) dx Bu problemi iki şekilde çözebiliriz. Birincisinde parantezi çarpmayla dağıtırız, sonra oluşan ifadenin integralini alırız: x x + dx = x + x dx = x + x + c 2 ( ) (2 2 ) 2

11 İkincisinde ikame kuralını kullanırız: u 2 = x + olarak kabul edelim. du = ( 2 ) x dx 2 u xx + dx= udu= + c ( ) ( 2 x + ) 2 ( 4 2 = + c = x + 2x + ) + c = x + x + c 2

12 Örnek : 2 6 ( 2) x x + dx u 3 = x + 2 olarak kabul edelim. du = 3 2 x dx x x dx x x dx 6 ( + 2) = 2 3 ( + 2) = 2 = u du u c ( x 2) = + + c

13 Örnek 2: e x + dx u = 2x + 3 du = 2dx x+ 3 u u 2x+ 3 e dx= e du= e + c= e + c

14 Kural VII (Kısmi İntegral): 4 vdu= uv udv Bu kural, türevdeki temel çarpımın türevseli kuralından türetilmektedir. d( uv) = v du + udv d( uv) = v du + udv uv = v du + udv vdu= uv udv

15 Örnek 3: 5 ln xdx v = ln x dv = dx x du = dx u = x vdu= uv udv ln xdx= xln x x dx x = xln x x+ c = x(ln x ) + c

16 Örnek 4: 6 xx ( + ) 2 dx v = x dv = dx 2 du = ( x + ) dx u = ( x + ) 3 vdu= uv udv ( + ) = ( + ) ( + ) = ( + ) ( + ) xx dx x x x dx x x x c

17 Örnek 5: 7 x xe dx v = x dv = dx x du = e dx u = e x vdu= uv udv x x x xe dx = xe e dx x x x = xe e + c = e ( x ) + c

18 Örnek 6: 8 ( + 3)( + ) 2 x x dx v = x + 3 dv = dx 2 du = ( x + ) dx u = ( x + ) 3 vdu= uv udv ( + 3)( + ) = ( + ) ( + 3) ( + ) = ( + ) ( + 3) ( + ) x x dx x x x dx x x x c

19 Örnek 7: 9 xln xdx v = ln x dv = dx x du = xdx 2 x u = 2 vdu= uv udv 2 2 x x xln xdx = ln x dx 2 2 x x x x = ln x = ln x

20 Şu ana kadar belirsiz integraller üzerinde çalıştık. Belirsiz 20 integral herhangi bir sayısal değer almaz, yalnızca bir fonksiyonla ifade edilir. Buna karşın, şimdi ele alacağımız belirli integral konusu, integral alma işlemi sonucunda bir sayısal değer elde etme ile ilgilidir. Belirli integrali şöyle gösterebiliriz: b f ( x ) dx = F ( x ) = F ( b ) F ( a ) a a ] b

21 2 Örnek 8: xdx = x = (5) () = 24 Örnek 9: x dx ln x x x = = (ln 5 + 6) (ln+ 0) = ln 5 + 6

22 Her belirli integral, belirli bir değere sahiptir. Geometrik anlamda bu değer, verilen bir eğrinin altında kalan belirli bir alandır. Örneğin Şekil 4.a da y=f(x) fonksiyonu eğrisiyle x ekseni arasına sıkışmış olan belirli bir A alanını ölçmek istersek, şunu yapabiliriz. Önce [a,b] aralığını (dikdörtgensel) parçalara ayırırız. Bu dikdörtgenlerin her birinin taban kenarı Dx, yüksekliği de f(x) kadardır. Her bir dikdörtgenin alanını 22 taban kenar çarpı yükseklik ( f(x)dx ) yoluyla belirler ve toplarsak, y=f(x) fonksiyonu eğrisiyle x ekseni arasına sıkışmış olan A alanını yaklaşık olarak hesaplamış oluruz:

23 23 n * A = f( xi) xi i= Eğer dikdörtgen sayısını giderek artırırsak taban alanı daralır, yaklaşım giderek iyileşir ve sapma azalır. Dikdörtgen sayısı (n) sonsuza giderken, alan ölçme hatası sıfıra yaklaşır: n b lim ( ) ( ) lim n i= * f xi xi = f x dx = A = A alanı a n

24 Şekil 4.a Entegral ve Alan Hesabı 24 y B C D E y=f(x) A x 0 x x 2 x 3 x 4 x

25 Şekil 4.b Entegral ve Alan Hesabı 25 y y = f( x) 0 x x n (=a) (=b) x

26 Özellik I : 26 İntegralin sınırlarının değiştirilmesi, belirli integralin işaretini değiştirir. b b a a f( x) dx = f( x) dx a b [ ] f( xdx ) = Fa ( ) Fb ( ) = Fb ( ) Fa ( ) = f( xdx ) a b Özellik II : İntegral sınırları aynıysa, belirli integral sıfır değerine sahiptir. a a f( xdx ) = Fa ( ) Fa ( ) = 0

27 Özellik III : 27 Belirli bir integral, sonlu sayıdaki belirli alt integrallerin toplamıyla ifade edilebilir. d b c d f( x) dx = f( x) dx+ f( x) dx+ f( x) dx, ( a< b< c< d) a a b c Özellik IV : a b f ( xdx ) = f ( xdx ) a b

28 Özellik V : 28 a b kf ( x) dx = k f ( x) dx a b Özellik VI : b b b [ ] f ( x) + g( x) dx = f ( x) dx + g( x) dx a a a Özellik VII : (Kısmi İntegral) x= b x= b x= b [ ] vdu = uv udv x= a x= a x= a

29 Belirli integralin üst sınırının b gibi sabit bir parametre değil de, x gibi bir değişken olduğunu düşünelim. Bu durumda integralı şöyle yazarız: 29 a x f ( xdx ) = x Fa ( ) Buna göre, f(x) fonksiyonunun altında kalan alan x in bir fonksiyonudur. Sağ yandaki son terim sabit olduğundan, bu tür bir belirli integral, aslında ilkel fonksiyonlardandır ve belirsiz bir integrala dönüşmüştür.

30 Örnek 20: x 3 26 xdx= = = = Örnek 2: x x x x + dx x dx x dx 3 = + = = + =

31 3 Örnek 22: e dx = 2e dx = e x 2x 2x 2 2(2) 2() = e e 2 = 2e 2e 2 4 Örnek 23: + e dx = dx + x x x x dx = x x e e e [ ln 6 ln e] [ ln 7 ln( e) ] = + + [ ln ] [ ln( )] e

32 Sonsuz SınırlS rlı İntegral 32 a f( x) dx = F( ) F( a) ve b f( x) dx = F( b) F( ) İntegral sınırlarından bir tanesi olan belirli integrallere, uygun olmayan integral denir. Bu tür integrallerin değeri belirlenemez. Bu durumlarda limit kavramına başvururuz. b f( x) dx lim f( x) dx f( x) dx lim f( x) dx a b a b a a b Bu limitler varsa, uygun olmayan integralin yakınsak, yoksa ıraksak olduğunu söyleriz.

33 Örnek 24: b dx = lim dx = lim lim x x = + = x b 2 b 2 b b b 33 Örnek 25: b [ ] b dx = lim dx = lim ln x = lim( lnb) = x x b b b Örnek 26: f ( xdx ) = lim f( xdx ) b + a a b

34 34 Şekil 4.2 Entegralde Yakınsakl nsaklık k ve Iraksaklık y y f( x) = x 2 f( x) = x x x

35 Bazı durumlarda alt ve üst sınırlar belirli olsa da, integralı alınan fonksiyon, [a,b] aralığında sonsuz değerini alabilir. Bu türden integrallerde de limit kavramına başvururuz. 35 Örnek 27: 0 dx x x 0 + iken, /x olmaktadır. Bu nedenle tanımsızlaşan alt limit için a diyelim ve limit kavramını kullanalım. x a [ ln ] dx = x = ln a dx = lim dx = lim( ln a) = x + x + 0 a 0 a a 0 a

36 Örnek 28: 36 9 x 2 dx 0 x 0 + iken, /x olmaktadır a x dx = 2x = 6 2 a a a 0 a a 0 ( ) x dx = lim x dx = lim 6 2 a = 6 + +

37 Bazı durumlarda integralı 37 alınan fonksiyon [a,b] alt ve üst sınırlarında değil, (a,b) açık aralığında sonsuz değere sahip olabilir. Bu durumlarda, belirli integralin toplama özelliğinden yararlanarak, alt integrallerin toplamı biçiminde hesaplama yaparız. Örneğin x p iken, f(x) olduğunu varsayalım. b p b f ( xdx ) = f( xdx ) + f( xdx ) a a p Eğer her bir toplamdaki belirli integral birer limite sahipse, toplam integralin yakınsak olduğunu söyleyebiliriz.

38 Örnek 29: 38 3 dx x Burada x 0 iken, /x 3 olmaktadır. Bu nedenle integralı iki toplam biçiminde yazalım x dx = x dx+ x dx 0 b b 3 2 lim x dx lim x lim b 0 b b 2b 2 = = + = Toplam integralin birinci parçası ıraksak olduğundan, ikincisini incelemeden, bunun ıraksak bir integral olduğunu söyleyebiliriz.

39 39 Marjinal Fonksiyondan Toplam Fonksiyonun Elde Edilişi Toplam fayda, gelir ya da maliyet fonksiyonlarının birinci türevleri, bunların marjinal fonksiyonlarına eşittir. Dolayısıyla integral alma süreci, marjinal bir fonksiyondan, toplam fonksiyona ulaşmamızı sağlar. Örneğin bir firmanın marjinal maliyet fonksiyonu MC=2e 0.2Q ve toplam sabit maliyeti de 90 birimdir. Buna göre firmanın toplam maliyet fonksiyonunu belirleyelim.

40 40 dtc = MC dtc = ( MC ) dq dq dtc = ( MC) dq TC = ( MC) dq 2 2(0.2) Q 0.2Q TC = e dq = e dq Q 0.2Q TC = e + c = e + c

41 4 integral sabiti c nin değerini belirlemek için, toplam sabit maliyetin 90 olduğu bilgisinden yararlanırız. Üretim miktarı sıfırken oluşan toplam maliyet yalnızca sabit maliyettir. Yukarıda bulduğumuz integralda Q yerine sıfır yazarak ve 90 a eşitleyerek, c sabitini belirleriz. TFC = e + c = c = 0.2(0) TC Q 0.2Q ( ) = 0e + 80

42 Marjinal Tasarruf Fonksiyonundan Toplam Tasarruf Fonksiyonunun Belirlenmesi 42 Marjinal tasarruf fonksiyonunun aşağıda verildiği bir ekonomi varsayalım. Gelir düzeyi (Y) 8 birimken, toplam tasarruf düzeyi (S) sıfırdır. Buna göre bu ekonominin toplam tasarruf fonksiyonu nedir? MPS = Y

43 ds dy = MPS ds = ( MPS) dy 43 ds = ( MPS) dy S = ( MPS) dy = = /2 /2 S Y dy S Y Y c Y = 8 S = 0 /2 0 = 0.3(8) 0.2(8) + = 22.5 c c S = Y Y /

44 Yatırım m ve Sermaye Birikimi 44 dk() t dt It () dkt () = Itdt () dk() t = I() t dt K() t = I() t dt I() t 3 t = 0 K(0) = K /2 = t ve 0 /2 3/2 Kt () = 3t dt= 2t + c K(0) = K = c K( t) = 2t + K 3/2 0 0

45 Sermaye Stokunun Belirlenmesi 45 Net yatırım ise, dördüncü yılın sonundaki sermaye oluşumu nedir? It () = 3t /2 Kt () = Itdt () t 4 /2 3/2 4 () = 3 = 2 = 4 Kt t dt t

46 Sürekli Birikimdeki Bir Gelirin Bugünk nkü Değeri eri 46 Yıl başına D liralık sabit bir hızla y yıl süren ve yılda r nominal oranında indirgenen sürekli bir hasılat akımının şimdiki değeri nedir? y y rt D rt D rt Π= De dt = re dt = e r r 0 0 y 0 D Π= r ( ry e ) D= 3000, r = 0.06, y = 2 Π 5655

47 Pareto Gelir Dağı ğılımı 47 Pareto nun gelir dağılımı tanımına göre, nüfusun N kadarının, x gelirini ya da x den daha yüksek geliri elde etmesi şöyle tanımlanmıştır: dn = Ax dx B Buna göre, a ile b gelir aralığındaki birey sayısını belirleyelim. b B B dn = Ax dx N = Ax dx B b B B x b a N = A = A A B B B a a

48 Tüketici Artığı 48 Tüketici artığını kesin bir şekilde hesaplayabilmek için, entegral hesapları kullanırız. Örneğin x malının talep fonksiyonunun ve piyasa fiyatının aşağıdaki gibi olduğunu varsayalım. P = a bq, P = P Q* TA = ( a bq )dq P Q 0 2 Q* * 2 * * * * * bq b( Q ) = aq PQ = aq PQ * *

49 Şekil 4.3. Tüketici T Artığı 49 P a P TA E 0 Q a b Q

50 50 P * = 00 2Q P = 40 P Q* TA = ( 00 2Q )dq ( 40 ).( 30) Q = 00Q = ( 00).( 30) ( 30) 200 = E 30 D 50 Q

51 5 P 2 * = 00 Q P = TA = ( 00 Q )dq ( 36).( 8) P Q = 00Q E 3 ( 8) = ( 00).( 8) 288 = D Q

52 Domar Büyüme B Modeli 52 Domar modeline göre, yatırımlar ekonominin hem talep (çarpan) hem de arz (hızlandıran) yanını etkiler. Çarpanı şöyle yazabiliriz: Y dy di = I = s dt s dt Diğer yandan yatırımlardaki artış, kapasite etkisine yol açacaktır. κ yıllık potansiyel çıktı akımını, ρ kapasite-sermaye oranını göstersin. Buna göre, ekonominin K(t) sermaye stoku ile, bir yılda üretebileceği miktar: κ ρk

53 Üretimin (arzın) zaman içindeki büyümesi: 53 dκ dk = ρ =ρ I dt dt Domar modeline göre ekonominin dengeli bir gelişme süreci sağlayabilmesi için, arz ve talep eşit olmalıdır. dκ = dt dy dt Dolayısıyla modelin temel sorusu şudur: Ekonomide dengeli gelişme sürecinin sağlanabilmesi için, yatırımlar zaman içinde nasıl bir seyir izlemelidir?

54 Bu soruya yanıt vermek I(t) fonksiyonunun belirlenmesi demektir. Bunun için, ilk olarak süreç içindeki arz-talep dengesinden yola çıkalım. 54 dy dκ di di = =ρi =ρs dt dt s dt I dt I di = ρsdt ln I + c =ρ st + c ln I =ρ st + c 2 ( st c) = = > 0 = ln I ρ + c ρst ρst e e I e e I için I Ae t = 0 iken I(0) = A I( t) = I(0) e ρst

55 Şekil 4.3. Domar Büyüme Modelinde Optimal Yatırım m SüreciS 55 It () I() t = I(0) e ρst I(0) 0 t

56 Yatırımın fiili büyüme oranı (r), gerekli büyüme oranından (ρs) büyük ya da küçük olduğu durumlarda ne olacağına bakalım. Bunun için kapasite kullanım oranını (u) tanımlayalım: 56 u di di Y () t dy dt r = lim u= lim = sdt = Idt = t κ() t t dκ dt ρi ρs ρs r>ρs ya da r<ρs olmasına bağlı olarak, bir kapasite eksikliği (u>) ya da fazlalığı (u<) oluşur.

57 57 Fiili yatırım büyüme oranı oranı (r), gerekli yatırım büyüme oranından (ρs) büyük olursa, dy/dt>dκ/dt durumu ortaya çıkar, yani yatırımın talep etkisi, kapasite etkisinden büyük olur, ortaya bir talep fazlası çıkar. Tersi durumda ise, arz talebi aşar. Bu durum, ekonomide bir bıçak sırts rtında denge sürecine neden olmaktadır.