İNTEGRAL İŞLEMLER LEMLERİ
|
|
- Tülay Güler
- 7 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 İKTİSADİ DİNAMİKLİK K VE İNTEGRAL İŞLEMLER LEMLERİ
2 2 İktisat biliminde dinamiklik kavramı, değişkenlerin değişim süreçlerini, dengeye geliş ya da uzaklaşmalarını içeren bir analiz tipidir. Daha önce karşılaştırmalı durağanlık analizinde, dengeden uzaklaşıldığında dengeye yeniden nasıl dönüldüğünü ele almıştık. Dinamik analizde ise, dengeye geliş süreci bir sorun olarak ele alınmaktadır. Diğer önemli nokta, zamanın sürekli ya da kesikli biçimde analize katılmış olmasıdır.
3 3 Dinamik bir modelde amaç, belirli bir değişim kalıbına bağlı olarak, ilgili değişkenin zaman içinde aldığı yolun (ilkel fonksiyonun) belirlenmesidir. Örneğin nüfusun zaman içinde şöyle değiştiğini bildiğimizi varsayalım: dh dt = t 2 Dinamik analiz, bu şekildeki bir değişim kalıbından hareketle, H=H(t) ilkel fonksiyonunu bulmak sürecidir. Bu, integral alma yöntemi ile yapılabilir. Bunu yukarıdaki örnek için yapalım: 2 H() t = 2t + c
4 4 İntegral işlemi, türev işleminin tersidir. İntegral sabitini belirleyebilecek yeterli bilgi varsa, f(x) fonksiyonunun integralini alarak, F(x) ilkel fonksiyonuna ulaşırız. f(x) in x e göre integralini şöyle gösterebiliriz: f ( xdx ) Burada f(x), integrali alınan fonksiyondur. dx integral işleminin x değişkenine göre yapıldığını söylemektedir. df( x) dx = f ( x) f( x) dx = F( x) + c c rasgele bir integral sabitidir.
5 Kural I: = +, ( ) n + n n+ xdx x c n 5 Örnek : = xdx x c Örnek 2: = xdx x c
6 6 Örnek 3: dx = x + c Örnek 4: x dx = x dx = x + c = x + c Örnek 5: dx x 4 dx x = = + x c = + 3x c
7 Kural II: x x edx= e + c 7 Kural IIa: = + ( ) ( ) f ( xe ) f x dx e f x c Kural III: x dx = ln x + c ya da x dx = ln x + c, ( x 0) Kural IIIa: f ( x) dx = ln f ( x ) + c, f ( x ) > 0 f( x)
8 Kural IV: 8 [ ] f ( x) + gx ( ) dx= f( xdx ) + gxdx ( ) = F( x) + Gx ( ) + c Örnek 6: x + x + dx = x dx + xdx + dx = + + x + c ( ) x x 4 2 Örnek 7: 2x 4x 2x 4x 2e + dx 2e dx dx 2 2 7x 5 = + + 7x + 5 = x 2 e ln(7x 5) c
9 Kural V: 9 kf ( x) dx = k f ( x) dx = kf( x) + c Örnek 8: 2 2 = 2 = xdx xdx x c Örnek 9: 3 e + dx e dx x dx dx x x = + x x = 5e + + 3ln x + c x x x
10 Kural VI (İkame( Kuralı): du f ( u) dx = f ( udu ) = F( u) + c dx 0 Bu kural, türevdeki zincir kuralından gelmektedir. Örnek 0: 2 2 x( x + ) dx Bu problemi iki şekilde çözebiliriz. Birincisinde parantezi çarpmayla dağıtırız, sonra oluşan ifadenin integralini alırız: x x + dx = x + x dx = x + x + c 2 ( ) (2 2 ) 2
11 İkincisinde ikame kuralını kullanırız: u 2 = x + olarak kabul edelim. du = ( 2 ) x dx 2 u xx + dx= udu= + c ( ) ( 2 x + ) 2 ( 4 2 = + c = x + 2x + ) + c = x + x + c 2
12 Örnek : 2 6 ( 2) x x + dx u 3 = x + 2 olarak kabul edelim. du = 3 2 x dx x x dx x x dx 6 ( + 2) = 2 3 ( + 2) = 2 = u du u c ( x 2) = + + c
13 Örnek 2: e x + dx u = 2x + 3 du = 2dx x+ 3 u u 2x+ 3 e dx= e du= e + c= e + c
14 Kural VII (Kısmi İntegral): 4 vdu= uv udv Bu kural, türevdeki temel çarpımın türevseli kuralından türetilmektedir. d( uv) = v du + udv d( uv) = v du + udv uv = v du + udv vdu= uv udv
15 Örnek 3: 5 ln xdx v = ln x dv = dx x du = dx u = x vdu= uv udv ln xdx= xln x x dx x = xln x x+ c = x(ln x ) + c
16 Örnek 4: 6 xx ( + ) 2 dx v = x dv = dx 2 du = ( x + ) dx u = ( x + ) 3 vdu= uv udv ( + ) = ( + ) ( + ) = ( + ) ( + ) xx dx x x x dx x x x c
17 Örnek 5: 7 x xe dx v = x dv = dx x du = e dx u = e x vdu= uv udv x x x xe dx = xe e dx x x x = xe e + c = e ( x ) + c
18 Örnek 6: 8 ( + 3)( + ) 2 x x dx v = x + 3 dv = dx 2 du = ( x + ) dx u = ( x + ) 3 vdu= uv udv ( + 3)( + ) = ( + ) ( + 3) ( + ) = ( + ) ( + 3) ( + ) x x dx x x x dx x x x c
19 Örnek 7: 9 xln xdx v = ln x dv = dx x du = xdx 2 x u = 2 vdu= uv udv 2 2 x x xln xdx = ln x dx 2 2 x x x x = ln x = ln x
20 Şu ana kadar belirsiz integraller üzerinde çalıştık. Belirsiz 20 integral herhangi bir sayısal değer almaz, yalnızca bir fonksiyonla ifade edilir. Buna karşın, şimdi ele alacağımız belirli integral konusu, integral alma işlemi sonucunda bir sayısal değer elde etme ile ilgilidir. Belirli integrali şöyle gösterebiliriz: b f ( x ) dx = F ( x ) = F ( b ) F ( a ) a a ] b
21 2 Örnek 8: xdx = x = (5) () = 24 Örnek 9: x dx ln x x x = = (ln 5 + 6) (ln+ 0) = ln 5 + 6
22 Her belirli integral, belirli bir değere sahiptir. Geometrik anlamda bu değer, verilen bir eğrinin altında kalan belirli bir alandır. Örneğin Şekil 4.a da y=f(x) fonksiyonu eğrisiyle x ekseni arasına sıkışmış olan belirli bir A alanını ölçmek istersek, şunu yapabiliriz. Önce [a,b] aralığını (dikdörtgensel) parçalara ayırırız. Bu dikdörtgenlerin her birinin taban kenarı Dx, yüksekliği de f(x) kadardır. Her bir dikdörtgenin alanını 22 taban kenar çarpı yükseklik ( f(x)dx ) yoluyla belirler ve toplarsak, y=f(x) fonksiyonu eğrisiyle x ekseni arasına sıkışmış olan A alanını yaklaşık olarak hesaplamış oluruz:
23 23 n * A = f( xi) xi i= Eğer dikdörtgen sayısını giderek artırırsak taban alanı daralır, yaklaşım giderek iyileşir ve sapma azalır. Dikdörtgen sayısı (n) sonsuza giderken, alan ölçme hatası sıfıra yaklaşır: n b lim ( ) ( ) lim n i= * f xi xi = f x dx = A = A alanı a n
24 Şekil 4.a Entegral ve Alan Hesabı 24 y B C D E y=f(x) A x 0 x x 2 x 3 x 4 x
25 Şekil 4.b Entegral ve Alan Hesabı 25 y y = f( x) 0 x x n (=a) (=b) x
26 Özellik I : 26 İntegralin sınırlarının değiştirilmesi, belirli integralin işaretini değiştirir. b b a a f( x) dx = f( x) dx a b [ ] f( xdx ) = Fa ( ) Fb ( ) = Fb ( ) Fa ( ) = f( xdx ) a b Özellik II : İntegral sınırları aynıysa, belirli integral sıfır değerine sahiptir. a a f( xdx ) = Fa ( ) Fa ( ) = 0
27 Özellik III : 27 Belirli bir integral, sonlu sayıdaki belirli alt integrallerin toplamıyla ifade edilebilir. d b c d f( x) dx = f( x) dx+ f( x) dx+ f( x) dx, ( a< b< c< d) a a b c Özellik IV : a b f ( xdx ) = f ( xdx ) a b
28 Özellik V : 28 a b kf ( x) dx = k f ( x) dx a b Özellik VI : b b b [ ] f ( x) + g( x) dx = f ( x) dx + g( x) dx a a a Özellik VII : (Kısmi İntegral) x= b x= b x= b [ ] vdu = uv udv x= a x= a x= a
29 Belirli integralin üst sınırının b gibi sabit bir parametre değil de, x gibi bir değişken olduğunu düşünelim. Bu durumda integralı şöyle yazarız: 29 a x f ( xdx ) = x Fa ( ) Buna göre, f(x) fonksiyonunun altında kalan alan x in bir fonksiyonudur. Sağ yandaki son terim sabit olduğundan, bu tür bir belirli integral, aslında ilkel fonksiyonlardandır ve belirsiz bir integrala dönüşmüştür.
30 Örnek 20: x 3 26 xdx= = = = Örnek 2: x x x x + dx x dx x dx 3 = + = = + =
31 3 Örnek 22: e dx = 2e dx = e x 2x 2x 2 2(2) 2() = e e 2 = 2e 2e 2 4 Örnek 23: + e dx = dx + x x x x dx = x x e e e [ ln 6 ln e] [ ln 7 ln( e) ] = + + [ ln ] [ ln( )] e
32 Sonsuz SınırlS rlı İntegral 32 a f( x) dx = F( ) F( a) ve b f( x) dx = F( b) F( ) İntegral sınırlarından bir tanesi olan belirli integrallere, uygun olmayan integral denir. Bu tür integrallerin değeri belirlenemez. Bu durumlarda limit kavramına başvururuz. b f( x) dx lim f( x) dx f( x) dx lim f( x) dx a b a b a a b Bu limitler varsa, uygun olmayan integralin yakınsak, yoksa ıraksak olduğunu söyleriz.
33 Örnek 24: b dx = lim dx = lim lim x x = + = x b 2 b 2 b b b 33 Örnek 25: b [ ] b dx = lim dx = lim ln x = lim( lnb) = x x b b b Örnek 26: f ( xdx ) = lim f( xdx ) b + a a b
34 34 Şekil 4.2 Entegralde Yakınsakl nsaklık k ve Iraksaklık y y f( x) = x 2 f( x) = x x x
35 Bazı durumlarda alt ve üst sınırlar belirli olsa da, integralı alınan fonksiyon, [a,b] aralığında sonsuz değerini alabilir. Bu türden integrallerde de limit kavramına başvururuz. 35 Örnek 27: 0 dx x x 0 + iken, /x olmaktadır. Bu nedenle tanımsızlaşan alt limit için a diyelim ve limit kavramını kullanalım. x a [ ln ] dx = x = ln a dx = lim dx = lim( ln a) = x + x + 0 a 0 a a 0 a
36 Örnek 28: 36 9 x 2 dx 0 x 0 + iken, /x olmaktadır a x dx = 2x = 6 2 a a a 0 a a 0 ( ) x dx = lim x dx = lim 6 2 a = 6 + +
37 Bazı durumlarda integralı 37 alınan fonksiyon [a,b] alt ve üst sınırlarında değil, (a,b) açık aralığında sonsuz değere sahip olabilir. Bu durumlarda, belirli integralin toplama özelliğinden yararlanarak, alt integrallerin toplamı biçiminde hesaplama yaparız. Örneğin x p iken, f(x) olduğunu varsayalım. b p b f ( xdx ) = f( xdx ) + f( xdx ) a a p Eğer her bir toplamdaki belirli integral birer limite sahipse, toplam integralin yakınsak olduğunu söyleyebiliriz.
38 Örnek 29: 38 3 dx x Burada x 0 iken, /x 3 olmaktadır. Bu nedenle integralı iki toplam biçiminde yazalım x dx = x dx+ x dx 0 b b 3 2 lim x dx lim x lim b 0 b b 2b 2 = = + = Toplam integralin birinci parçası ıraksak olduğundan, ikincisini incelemeden, bunun ıraksak bir integral olduğunu söyleyebiliriz.
39 39 Marjinal Fonksiyondan Toplam Fonksiyonun Elde Edilişi Toplam fayda, gelir ya da maliyet fonksiyonlarının birinci türevleri, bunların marjinal fonksiyonlarına eşittir. Dolayısıyla integral alma süreci, marjinal bir fonksiyondan, toplam fonksiyona ulaşmamızı sağlar. Örneğin bir firmanın marjinal maliyet fonksiyonu MC=2e 0.2Q ve toplam sabit maliyeti de 90 birimdir. Buna göre firmanın toplam maliyet fonksiyonunu belirleyelim.
40 40 dtc = MC dtc = ( MC ) dq dq dtc = ( MC) dq TC = ( MC) dq 2 2(0.2) Q 0.2Q TC = e dq = e dq Q 0.2Q TC = e + c = e + c
41 4 integral sabiti c nin değerini belirlemek için, toplam sabit maliyetin 90 olduğu bilgisinden yararlanırız. Üretim miktarı sıfırken oluşan toplam maliyet yalnızca sabit maliyettir. Yukarıda bulduğumuz integralda Q yerine sıfır yazarak ve 90 a eşitleyerek, c sabitini belirleriz. TFC = e + c = c = 0.2(0) TC Q 0.2Q ( ) = 0e + 80
42 Marjinal Tasarruf Fonksiyonundan Toplam Tasarruf Fonksiyonunun Belirlenmesi 42 Marjinal tasarruf fonksiyonunun aşağıda verildiği bir ekonomi varsayalım. Gelir düzeyi (Y) 8 birimken, toplam tasarruf düzeyi (S) sıfırdır. Buna göre bu ekonominin toplam tasarruf fonksiyonu nedir? MPS = Y
43 ds dy = MPS ds = ( MPS) dy 43 ds = ( MPS) dy S = ( MPS) dy = = /2 /2 S Y dy S Y Y c Y = 8 S = 0 /2 0 = 0.3(8) 0.2(8) + = 22.5 c c S = Y Y /
44 Yatırım m ve Sermaye Birikimi 44 dk() t dt It () dkt () = Itdt () dk() t = I() t dt K() t = I() t dt I() t 3 t = 0 K(0) = K /2 = t ve 0 /2 3/2 Kt () = 3t dt= 2t + c K(0) = K = c K( t) = 2t + K 3/2 0 0
45 Sermaye Stokunun Belirlenmesi 45 Net yatırım ise, dördüncü yılın sonundaki sermaye oluşumu nedir? It () = 3t /2 Kt () = Itdt () t 4 /2 3/2 4 () = 3 = 2 = 4 Kt t dt t
46 Sürekli Birikimdeki Bir Gelirin Bugünk nkü Değeri eri 46 Yıl başına D liralık sabit bir hızla y yıl süren ve yılda r nominal oranında indirgenen sürekli bir hasılat akımının şimdiki değeri nedir? y y rt D rt D rt Π= De dt = re dt = e r r 0 0 y 0 D Π= r ( ry e ) D= 3000, r = 0.06, y = 2 Π 5655
47 Pareto Gelir Dağı ğılımı 47 Pareto nun gelir dağılımı tanımına göre, nüfusun N kadarının, x gelirini ya da x den daha yüksek geliri elde etmesi şöyle tanımlanmıştır: dn = Ax dx B Buna göre, a ile b gelir aralığındaki birey sayısını belirleyelim. b B B dn = Ax dx N = Ax dx B b B B x b a N = A = A A B B B a a
48 Tüketici Artığı 48 Tüketici artığını kesin bir şekilde hesaplayabilmek için, entegral hesapları kullanırız. Örneğin x malının talep fonksiyonunun ve piyasa fiyatının aşağıdaki gibi olduğunu varsayalım. P = a bq, P = P Q* TA = ( a bq )dq P Q 0 2 Q* * 2 * * * * * bq b( Q ) = aq PQ = aq PQ * *
49 Şekil 4.3. Tüketici T Artığı 49 P a P TA E 0 Q a b Q
50 50 P * = 00 2Q P = 40 P Q* TA = ( 00 2Q )dq ( 40 ).( 30) Q = 00Q = ( 00).( 30) ( 30) 200 = E 30 D 50 Q
51 5 P 2 * = 00 Q P = TA = ( 00 Q )dq ( 36).( 8) P Q = 00Q E 3 ( 8) = ( 00).( 8) 288 = D Q
52 Domar Büyüme B Modeli 52 Domar modeline göre, yatırımlar ekonominin hem talep (çarpan) hem de arz (hızlandıran) yanını etkiler. Çarpanı şöyle yazabiliriz: Y dy di = I = s dt s dt Diğer yandan yatırımlardaki artış, kapasite etkisine yol açacaktır. κ yıllık potansiyel çıktı akımını, ρ kapasite-sermaye oranını göstersin. Buna göre, ekonominin K(t) sermaye stoku ile, bir yılda üretebileceği miktar: κ ρk
53 Üretimin (arzın) zaman içindeki büyümesi: 53 dκ dk = ρ =ρ I dt dt Domar modeline göre ekonominin dengeli bir gelişme süreci sağlayabilmesi için, arz ve talep eşit olmalıdır. dκ = dt dy dt Dolayısıyla modelin temel sorusu şudur: Ekonomide dengeli gelişme sürecinin sağlanabilmesi için, yatırımlar zaman içinde nasıl bir seyir izlemelidir?
54 Bu soruya yanıt vermek I(t) fonksiyonunun belirlenmesi demektir. Bunun için, ilk olarak süreç içindeki arz-talep dengesinden yola çıkalım. 54 dy dκ di di = =ρi =ρs dt dt s dt I dt I di = ρsdt ln I + c =ρ st + c ln I =ρ st + c 2 ( st c) = = > 0 = ln I ρ + c ρst ρst e e I e e I için I Ae t = 0 iken I(0) = A I( t) = I(0) e ρst
55 Şekil 4.3. Domar Büyüme Modelinde Optimal Yatırım m SüreciS 55 It () I() t = I(0) e ρst I(0) 0 t
56 Yatırımın fiili büyüme oranı (r), gerekli büyüme oranından (ρs) büyük ya da küçük olduğu durumlarda ne olacağına bakalım. Bunun için kapasite kullanım oranını (u) tanımlayalım: 56 u di di Y () t dy dt r = lim u= lim = sdt = Idt = t κ() t t dκ dt ρi ρs ρs r>ρs ya da r<ρs olmasına bağlı olarak, bir kapasite eksikliği (u>) ya da fazlalığı (u<) oluşur.
57 57 Fiili yatırım büyüme oranı oranı (r), gerekli yatırım büyüme oranından (ρs) büyük olursa, dy/dt>dκ/dt durumu ortaya çıkar, yani yatırımın talep etkisi, kapasite etkisinden büyük olur, ortaya bir talep fazlası çıkar. Tersi durumda ise, arz talebi aşar. Bu durum, ekonomide bir bıçak sırts rtında denge sürecine neden olmaktadır.
Y = f(x) denklemi ile verilen fonksiyonun diferansiyeli dy = f '(x). dx tir.
1 İNTEGRAL BİR FONKSİYONUN DİFERANSİYELİ Tanım: f: [a,b] R, x f(x) fonksiyonu (a,b) aralığında türevli olmak üzere, x değişkeninin değişme miktarı x ise f '(x). x ifadesine f(x) fonksiyonunun diferansiyeli
Detaylıİktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan. seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını
OPTİMİZASYON İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını maksimize edecek olan üretim miktarının belirlenmesi; bir bireyin toplam
DetaylıTÜREV VE UYGULAMALARI
TÜREV VE UYGULAMALARI A R, a A ve f de A da tanımlı bir fonksiyon olsun. Eğer f(x) f(a) lim x a x a limiti veya x=a+h koymakla elde edilen f(a+h) f(a) lim h 0 h Bu türev f (a), df dx limiti varsa f fonksiyonu
DetaylıŞekil 23.1: Düzlemsel bölgenin alanı
Bölüm Belirli İntegral Şekil.: Düzlemsel bölgenin alanı Düzlemde kare, dikdörtgen, üçgen, çember gibi iyi bilinen geometrik şekillerin alanlarını bulmak için uygun formüller kullanıyoruz. Ama, uygulamada
DetaylıLys x 2 + y 2 = (6k) 2. (x 2k) 2 + y 2 = (2k 5) 2 olduğuna göre x 2 y 2 =? Cevap: 14k 2
1. 1 =? Lys 1 7. x + y = (6k) (x k) + y = (k 5) olduğuna göre x y =?. 6 a.b = ise a + 1 b. b 1 a =? 1k 8. x ve y birbirinden farklı pozitif gerçel sayılar olmak üzere, x y y x. x.y = (x y) ise x y =?.
DetaylıBirinci Mertebeden Diferansiyel Denklemler Edwards and Penney, Difarensiyel denklemler ve sınır değer problemleri (çeviri: Prof. Dr.
Birinci Mertebeden Diferansiyel Denklemler Edwards and Penney, Difarensiyel denklemler ve sınır değer problemleri (çeviri: Prof. Dr. Ömer Akın) AYRILABİLİR DENKLEMLER Birinci mertebeden dy = f(x, y) (1)
DetaylıKARŞILAŞTIRMALI DURAĞANLIK VE TÜREV
KARŞILA ILAŞTIRMALI DURAĞANLIK ANLIK VE TÜREV Karşılaştırmalı durağanlık, dışsal değişkenlerin ya da parametrelerin farklı değerler alması durumunda oluşabilecek farklı denge değerlerini karşılaştırılarak
DetaylıMAK 210 SAYISAL ANALİZ
MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 8- SAYISAL İNTEGRASYON 1 GİRİŞ Mühendislikte sık karşılaşılan matematiksel işlemlerden biri integral işlemidir. Bilindiği gibi integral bir büyüklüğün toplam değerinin bulunması
DetaylıKarşılaştırmalı Durağan Analiz ve Türev kavramı. 6. Bölüm :Alpha Chiang,Matematiksel İktisadın Temel Yöntemleri
Karşılaştırmalı Durağan Analiz ve Türev kavramı 6. Bölüm :Alpha Chiang,Matematiksel İktisadın Temel Yöntemleri 1 Karşılaştırmalı durağan analiz 6. Karşılaştırmalı Durağanlıklar ve Türev Kavramı 6.1 doğası
DetaylıBİRDEN ÇOK DEĞİŞ ĞİŞKEN DURUMUNDA
BİRDEN ÇOK DEĞİŞ ĞİŞKEN DURUMUNDA OPTİMİZASYON Şekil.1 i dikkate alalım. Maksimum nokta olan A ve minimum nokta olan B de z=f(x) fonksiyonunun bir durgunluk değeri vardır. Bir başka ifadeyle, z nin bir
Detaylıİstatistik I Ders Notları
İstatistik I Ders Notları Sürekli Rassal Değişkenler Hüseyin Taştan Kasım 2, 26 İçindekiler Sürekli Rassal Değişkenlerin Özellikleri 2 2 Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu 2 Birikimli Olasılık Fonksiyonu 6 4
DetaylıTÜREVİN UYGULAMALARI. Maksimum ve Minimum Değerler. Tanım : f bir fonksiyon ve D, f nin tanım kümesi olsun.
Maksimum ve Minimum Değerler Tanım : f bir fonksiyon ve D, f nin tanım kümesi olsun. TÜREVİN UYGULAMALARI D içindeki her x elemanı için f(c) f(x) ise f fonksiyonunun c noktasında mutlak maksimumumu vardır.
DetaylıDiferensiyel Denklemler I Uygulama Notları
2004 Diferensiyel Denklemler I Uygulama Notları Mustafa Özdemir İçindekiler Temel Bilgiler...................................................................... 2 Tam Diferensiyel Denklemler........................................................4
DetaylıMATEMATiKSEL iktisat
DİKKAT!... BU ÖZET 8 ÜNİTEDİR BU- RADA İLK ÜNİTE GÖSTERİLMEKTEDİR. MATEMATiKSEL iktisat KISA ÖZET KOLAY AOF Kolayaöf.com 0362 233 8723 Sayfa 2 içindekiler 1.ünite-Türev ve Kuralları..3 2.üniteTek Değişkenli
Detaylı1. Hafta Uygulama Soruları
. Hafta Uygulama Soruları ) x ekseni, x = doğrusu, y = x ve y = x + eğrileri arasında kalan alan nedir? ) y = x 3 ve y = 4 x 3 parabolleri arasında kalan alan nedir? 3) y = x, x y = 4 eğrileri arasında
DetaylıÜSTEL VE LOGARİTM FONKSİYONLAR
ÜSTEL VE LOGARİTM TMİK FONKSİYONLAR Şekil 5.1a Üsel Fonksiyonlar 2 y 10 8, 1 y = f = b b> 6 4 2-3 -2-1 1 2 3 Şekil 5.1b Üsel Fonksiyonlar 3 y 50 2 y = f = 2 40 30 20 y = f = 2 10-2 -1 1 2 3 4 Şekil 5.1c
DetaylıARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERİ GÜZ DÖNEMİ A A A A A A A
AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİTİRME ÖDEVİ I ARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERİ - 6 GÜZ DÖNEMİ ADI SOYADI :... NO :... A A A A A A A SINAV TARİHİ VE SAATİ : Bu sınav 4 sorudan oluşmaktadır ve sınav
DetaylıMIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009
MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.
DetaylıMATEMATİK-II dersi. Bankacılık ve Finans, İşletme, Uluslararası Ticaret. Bölümleri için FİNAL Çalışma Soruları
MATEMATİK-II dersi Bankacılık ve Finans, İşletme, Uluslararası Ticaret Bölümleri için FİNAL Çalışma Soruları ] e d =? = u d= du du d= udu u u e d= e d= e = edu= e + c= e + c ] e d =? = + = e + c e d e
Detaylı2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır?
017 LYS MATEMATİK DENEMESİ Soru Sayısı: 50 Sınav Süresi: 75 ı 1. 4. (1+ 5 ) 1+ 5 işleminin sonucu kaçtır? A) 5 B)3 5 C)+ 5 işleminin sonucu kaçtır? D)3+ 5 E)1+ 5 A) B) 1 C) 1 D) E) 3. 4 0,5.16 0,5 işleminin
DetaylıTÜREV VE UYGULAMALARI
TÜREV VE UYGULAMALARI 1-TÜREVİN TANIMI VE GÖSTERİLİŞİ a,b R olmak üzere, f:[a,b] R fonksiyonu verilmiş olsun. x 0 (a,b) için lim x X0 f(x)-f( x 0 ) limiti bir gerçel sayı ise bu limit değerine f fonksiyonunun
DetaylıMATRİS İŞLEMLER LEMLERİ
MTRİS İŞLEMLER LEMLERİ Temel matris işlemlerinin doğrudan matematik açılımını 2 yapmadan önce, bir eşanlı denklem sisteminin matris işlemleri kullanılarak nasıl daha kolay ve sistematik bir çözüm verdiğini,
DetaylıBir Fonksiyonun İlkeli. fonksiyonuna I üzerinde f nin ilkeli denir.
Bir Fonksiyonun İlkeli Tanım: Eğer bir I aralığındaki her x için F (x) = f(x) ise, F fonksiyonuna I üzerinde f nin ilkeli denir. Bir Fonksiyonun İlkeli Örneğin, f = x 2 olsun. Eğer Kuvvet Kuralı nı aklımızda
DetaylıTürev Uygulamaları. 4.1 Bağımlı Hız
Bölüm 4 Türev Uygulamaları 4.1 Bağımlı Hız Eğer bir balonun içine hava pompalarsak, balonun hem yarıçapı hem de hacmi artar ve artış hızları birbirine bağımlıdır. Fakat, hacmin artış hızını doğrudan ölçmek
Detaylı= 2 6 Türevsel denkleminin 1) denge değerlerinin bulunuz. 2) Bulmuş olduğunuz dengenin istikrarlı olup olmadığını tespit ediniz.
Siyasal Bilgiler Fakültesi İktisat Bölümü Matematiksel İktisat Ders Notu Prof. Dr. Hasan Şahin Faz Diyagramı Çizimi Açıklamarı = 2 6 Türevsel denkleminin 1) denge değerlerinin bulunuz. 2) Bulmuş olduğunuz
DetaylıMat Matematik II / Calculus II
Mat - Matematik II / Calculus II Çalışma Soruları Çok Değişkenli Fonksiyonlar: Seviye eğri ve yüzeyler, Limit ve süreklilik wolframalpha.com uygulamasında bir fonksiyonun tanım kümesini bulmak için: x
DetaylıMIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için
MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret
DetaylıDiferansiyel denklemler uygulama soruları
. Aşağıdaki diferansiyel denklemleri sınıflandırınız. a) d y d d + y = 0 b) 5 d dt + 4d + 9 = cos 3t dt Diferansiyel denklemler uygulama soruları 0.0.3 c) u + u [ ) ] d) y + = c d. y + 3 = 0 denkleminin,
DetaylıSÜREKLİ OLASILIK DAĞILIŞLARI
SÜREKLİ OLASILIK DAĞILIŞLARI Sürekli verilerin göstermiş olduğu dağılışa sürekli olasılık dağılışı denir. Sürekli olasılık dağılışlarının fonksiyonlarına yoğunluk fonksiyonu denilmekte ve bu dağılışlarla
DetaylıBirinci Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemler
Birinci Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemler Bir veya daha çok bağımlı değişken, bir veya daha çok bağımsız değişken ve bağımlı değişkenin bağımsız değişkene göre (diferansiyel) türevlerini içeren bağıntıya
DetaylıMIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009
MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.
DetaylıLineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN
Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,
DetaylıSağ Taraf Fonksiyonu İle İlgili Özel Çözüm Örnekleri(rezonans durumlar)
3.1.2.1. Sağ Taraf Fonksiyonu İle İlgili Özel Çözüm Örnekleri(rezonans durumlar) ÖRNEK: y + 4.y + 4.y = 5.sin2x diferensiyel denkleminin genel çözümünü bulalım: Homojen kısmın çözümü: y + 4.y + 4.y = 0
Detaylı1. KEYNESÇİ PARA TALEBİ TEORİSİ
DERS NOTU 06 IS/LM EĞRİLERİ VE BAZI ESNEKLİKLER PARA VE MALİYE POLİTİKALARININ ETKİNLİKLERİ TOPLAM TALEP (AD) Bugünki dersin içeriği: 1. KEYNESÇİ PARA TALEBİ TEORİSİ... 1 2. LM EĞRİSİ VE PARA TALEBİNİN
DetaylıPotansiyel Engeli: Tünelleme
Potansiyel Engeli: Tünelleme Şekil I: Bir potansiyel engelinde tünelleme E
DetaylıDERS İÇERİKLERİ, KAZANIMLAR, DERSLER ARASI İLİŞKİ Çizelge 2.
DERS İÇERİKLERİ, KAZANIMLAR, DERSLER ARASI İLİŞKİ Çizelge 2. Kategoriler Alt kategoriler Ders içerikleri Kazanımlar Dersler arası ilişki I. Analiz I.1. Fonksiyonlar I.1.1. Fonksiyonlara ait bazı önemli
Detaylıx e göre türev y sabit kabul edilir. y ye göre türev x sabit kabul edilir.
TÜREV y= f(x) fonksiyonu [a,b] aralığında tanımlı olsun. Bu aralıktaki bağımsız x değişkenini h kadar arttırdığımızda fonksiyon değeri de buna bağlı olarak değişecektir. Fonksiyondaki artma miktarını değişkendeki
DetaylıÇOKLU REGRESYON MODELİ. Bir bağımlı değişkene etki eden çok sayıda bağımsız değişkeni analize dahil ederek çoklu regresyon modeli uygulanabilir.
ÇOKLU REGRESYON MODELİ Bir bağımlı değişkene etki eden çok sayıda bağımsız değişkeni analize dahil ederek çoklu regresyon modeli uygulanabilir. Y=b 1 + b X + b X + u Y=b 1 + b X + b X +...+ b k X k + u
DetaylıOPTIMIZASYON Bir Değişkenli Fonksiyonların Maksimizasyonu...2
OPTIMIZASYON.... Bir Değişkenli Fonksiyonların Maksimizasyonu.... Türev...3.. Bir noktadaki türevin değeri...4.. Maksimum için Birinci Derece Koşulu...4.3. İkinci Derece Koşulu...5.4. Türev Kuralları...5
DetaylıMIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009
MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.
DetaylıKaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984.
Çankırı Karatekin Üniversitesi Matematik Bölümü 2015 Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984. (Adi ) Bir ya da daha fazla bağımsız değişkenden oluşan bağımlı değişken ve türevlerini
DetaylıİÇİNDEKİLER BÖLÜM 1: EKONOMİ İLE İLGİLİ DÜŞÜNCELER VE TEMEL KAVRAMLAR...
İÇİNDEKİLER BÖLÜM 1: EKONOMİ İLE İLGİLİ DÜŞÜNCELER VE TEMEL KAVRAMLAR... 1 1.1. EKONOMİ İLE İLGİLİ DÜŞÜNCELER... 3 1.1.1. Romalıların Ekonomik Düşünceleri... 3 1.1.2. Orta Çağ da Ekonomik Düşünceler...
DetaylıBirden Fazla RDnin Bileşik Olasılık Fonksiyonları
Birden Fazla RDnin Bileşik Olasılık Fonksiyonları Birden fazla x 1, x 2,..., x n gibi RDlerimiz olsun. Bunların bileşik olasılık fonksiyonları kesikli ve rastgele RDler için sırasıyla şu şekilde tanımlanır
Detaylı[ AN ] doğrusu açıortay olduğundan;
. Bir havuzu bir musluk 6 saatte, başka bir musluk 8 saatte dolduruyor. Bu iki musluk kapalı iken, havuzun altında bulunan üçüncü bir musluk, dolu havuzu saatte boşaltabiliyor. Üç musluk birden açılırsa,boş
DetaylıÜretim Girdilerinin lması
Üretim Girdilerinin Fiyatlandırılmas lması 2 Tam Rekabet Piyasasında Girdi Talebi Tek Değişken Girdi Durumu İlk olarak firmanın tek girdisinin işgücü () olduğu durumu inceleyelim. Değişken üretim girdisi
Detaylı1. Toplam Harcama ve Denge Çıktı
DERS NOTU 03 TOPLAM HARCAMALAR VE DENGE ÇIKTI - I Bugünki dersin içeriği: 1. TOPLAM HARCAMA VE DENGE ÇIKTI... 1 HANEHALKI TÜKETİM VE TASARRUFU... 2 PLANLANAN YATIRIM (I)... 6 2. DENGE TOPLAM ÇIKTI (GELİR)...
DetaylıDENKLEMLER CAUCHY-EULER DENKLEMİ. a n x n dn y dx n + a n 1x n 1 dn 1 y
SABİT KATSAYILI DENKLEMLERE DÖNÜŞTÜREBİLEN DENKLEMLER Bu bölümde sabit katsayılı diferansiyel denklemlere dönüşebilen değişken katsayılı diferansiyel denklemlerden Cauchy Euler ve Legendre difarensiyel
DetaylıSORULAR. 1. Aşa¼g daki limitleri bulunuz. Cevab n z n aşamalar n belirtiniz. lim. 1 n sin. lim. q 1 x 1+x
SOULA. Aşa¼g daki limitleri bulunuz. Cevab n z n aşamalar n belirtiniz. lim! lim sin(t )dt sin 4 np n! i= n sin i n. q + arcsin belirli integralini hesalay n z. Cevab n z n aşamalar n belirtiniz. 3. 4
DetaylıMAT 101, MATEMATİK I, FİNAL SINAVI 08 ARALIK (10+10 p.) 2. (15 p.) 3. (7+8 p.) 4. (15+10 p.) 5. (15+10 p.) TOPLAM
TOBB-ETÜ, MATEMATİK BÖLÜMÜ, GÜZ DÖNEMİ 2014-2015 MAT 101, MATEMATİK I, FİNAL SINAVI 08 ARALIK 2014 Adı Soyadı: No: İMZA: 1. 10+10 p.) 2. 15 p.) 3. 7+8 p.) 4. 15+10 p.) 5. 15+10 p.) TOPLAM 1. a) NOT: Tam
DetaylıFonksiyonlarda limiti öğrenirken değişkenlerin limitini ve sağdan-soldan limit kavramlarını öğreneceksiniz.
8.2. Fonksiyonlarda Limit Fonksiyonlarda limiti öğrenirken değişkenlerin limitini ve sağdan-soldan limit kavramlarını öğreneceksiniz. 8.2.1. Değişkenin Limiti Sonsuz sayıda değer alabilen bir x değişkeninin
DetaylıDİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ
DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte 50 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için
DetaylıMAK 210 SAYISAL ANALİZ
MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 2- HATA VE HATA KAYNAKLARI Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 GİRİŞ Bir denklemin veya problemin çözümünde kullanılan sayısal yöntem belli bir giriş verisini işleme tabi tutarak sayısal
Detaylıfonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı
10.1 Türev Kavramı fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki bir değerine kadar bir artma verildiğinde varılan x = x 0 + noktasında fonksiyonun değeri olsun.
DetaylıB: Bu şekildeki her bir nokta dikdörtgenin noktalarını temsil eder.
2. ÇOK KATLI İNTEGRALLER, DİFERENSİYEL DENKLEMLERE GİRİŞ 2.1. Çok Katlı İntegraller 2.1.1. İki Katlı İntegraller Fonksiyonu bir B bölgesinde sınırlı yani için olsun. B bölgesi alt bölgelere ayrılırsa;
DetaylıDiferensiyel denklemler sürekli sistemlerin hareketlerinin ifade edilmesinde kullanılan denklemlerdir.
.. Diferensiyel Denklemler y f (x) de F ( x, y, y, y,...) 0 veya y f ( x, y, y,...) x ve y değişkenlerinin kendileri ve türevlerini içinde bulunduran denklemlerdir. (Türevler; "Bağımlı değişkenin değişiminin
DetaylıMath 322 Diferensiyel Denklemler Ders Notları 2012
1 Genel Tanımlar Bir veya birden fazla fonksiyonun türevlerini içeren denklemlere diferensiyel denklem denmektedir. Diferensiyel denklemler Adi (Sıradan) diferensiyel denklemler ve Kısmi diferensiyel denklemler
Detaylı1. ÇÖZÜM YOLU: (15) 8 = = 13 13:2 = :2 = :2 = 1.2+1
. ÇÖZÜM YOLU: (5) 8 =.8+5 = 3 3:2 = 6.2+ 6:2 = 3.2+0 3:2 =.2+ En son bölümden başlayarak kalanları sıralarız. (5) 8 = (0) 2 2. ÇÖZÜM YOLU: 8 sayı tabanında verilen sayının her basamağını, 2 sayı tabanında
DetaylıUYGULAMALI MATEMATİK ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI
ÖABT UYGULAMALI MATEMATİK ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Yasin ŞAHİN ÖABT UYGULAMALI MATEMATİK ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Her hakkı saklıdır. Bu kitabın tamamı ya da bir kısmı, yazarın izni olmaksızın, elektronik, mekanik,
DetaylıMATEMATİK ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI DENEME. Diğer sayfaya geçiniz.
MATEMATİK. DENEME ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI. f : X tanımlı y = f() fonksiyonu için lim f ( ) = L ise aşağıdaki önermelerden kaç tanesi kesinlikle doğrudur? 0 I. X dir. 0 II. f() fonksiyonu
DetaylıMIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009
MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.
Detaylı0.1 Zarf Teoremi (Envelope Teorem)
Ankara Üniversitesi, Siyasal Bilgiler Fakültesi Prof. Dr. Hasan Şahin 0.1 Zarf Teoremi (Envelope Teorem) Bu kısımda zarf teoremini ve iktisatta nasıl kullanıldığını ele alacağız. bu bölüm Chiang 13.5 üzerine
Detaylı1) Toplam gelir fonksiyonu olarak verildiğine göre marjinal gelir fonksiyonu MG aşağıdakilerden hangisidir? A) ** B) C) D) E)
İktisadi ve İdari Bilimler Fakültesi MAT 152 Genel Matematik II Final Sorularının Çözümleri: 1) Toplam gelir fonksiyonu olarak verildiğine göre marjinal gelir fonksiyonu MG aşağıdakilerden hangisidir?
DetaylıHerhangi bir rastgele değişken için kümülatif dağılım fonksiyonu/cumulative distribution function (KDF/CDF) şu şekilde tanımlanır.
Kümülatif Dağılım Fonksiyonları Herhangi bir rastgele değişken için kümülatif dağılım fonksiyonu/cumulative distribution function (KDF/CDF) şu şekilde tanımlanır. F X (x) = P (X x) = x f X(x ) dx Sürekli
DetaylıKAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG 9 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının
DetaylıK ve L arasında ikame yoktur. Bu üretim fonksiyonu Şekil
MALİYET TEORİSİ 2 Maliyet fonksiyonunun biçimi, üretim fonksiyonunun biçimine bağlıdır. Bir an için reçel üreticisinin, bir birim kavanoz ve bir birim meyve toplayıcısı ile bir birim çıktı elde ettiği
DetaylıKesirli Türevde Son Gelişmeler
Kesirli Türevde Son Gelişmeler Kübra DEĞERLİ Yrd.Doç.Dr. Işım Genç DEMİRİZ Yıldız Teknik Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü 6-9 Eylül, 217 Kesirli Türevin Ortaya Çıkışı Gama ve Beta Fonksiyonları Bazı
DetaylıİKTİSAT BİLİMİ VE İKTİSATTAKİ TEMEL KAVRAMLAR
İÇİNDEKİLER Önsöz BİRİNCİ BÖLÜM İKTİSAT BİLİMİ VE İKTİSATTAKİ TEMEL KAVRAMLAR 1.1.İktisat Bilimi 1.2.İktisadi Kavramlar 1.2.1.İhtiyaçlar 1.2.2.Mal ve Hizmetler 1.2.3.Üretim 1.2.4.Fayda, Değer ve Fiyat
DetaylıİÇİNDEKİLER. Bölüm 1 MATEMATİKSEL İKTİSADA GİRİŞ 11 1.1.İktisat Hakkında 12 1.2.İktisatta Grafik ve Matematik Kullanımı 13
İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 MATEMATİKSEL İKTİSADA GİRİŞ 11 1.1.İktisat Hakkında 12 1.2.İktisatta Grafik ve Matematik Kullanımı 13 Bölüm 2 STATİK DENGE ANALİZİ 19 2.1 İktisatta Denge Kavramı 20 2.1.1.
DetaylıMonopol. (Tekel) Piyasası
Monopol (Tekel) Piyasası Sonsuz sayıda alıcı karşısında tek satıcının olduğu piyasa yapısına tekel diyoruz. Tekelci firmanın sattığı malın ikamesi yoktur ya da tanım gereği piyasaya giriş engellenmiştir.
DetaylıOLASILIK ve KURAMSAL DAĞILIMLAR
OLASILIK ve KURAMSAL DAĞILIMLAR Kuramsal Dağılımlar İstatistiksel çözümlemelerde; değişkenlerimizin dağılma özellikleri, çözümleme yönteminin seçimi ve sonuçlarının yorumlanmasında önemlidir. Dağılma özelliklerine
Detaylı2015 2016 BAHAR YARIYILI İKTİSADİ MATEMATİK VİZE SORU VE CEVAPLARI 1) Bir mala ait arz ve talep fonksiyonları aşağıdaki gibidir:
2015 2016 BAHAR YARIYILI İKTİSADİ MATEMATİK VİZE SORU VE CEVAPLARI 1) Bir mala ait arz ve talep fonksiyonları aşağıdaki gibidir: a) Bu malın arz ve talep denklemlerinin grafiklerini çiziniz (5 puan) (DÖÇ.1-).
DetaylıMAK 210 SAYISAL ANALİZ
MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 5- SONLU FARKLAR VE İNTERPOLASYON TEKNİKLERİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ MAK 210 - Sayısal Analiz 1 İNTERPOLASYON Tablo halinde verilen hassas sayısal değerler veya ayrık noktalardan
DetaylıŞekil 7.1 Bir tankta sıvı birikimi
6 7. DİFERENSİYEL DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜMLERİ Diferensiyel denklemlerin sayısal integrasyonunda kullanılabilecek bir çok yöntem vardır. Tecrübeler dördüncü mertebe (Runge-Kutta) yönteminin hemen hemen
DetaylıSonsuz Diziler ve Seriler
Sonsuz Diziler ve Seriler İki veya birden çok sonlu sayıdaki sayının nasıl toplanacağını herkes bilir. Peki sonsuz tane sayıyı nasıl toplarız? Bu sorunun cevabını bu bölümde vermeye çalışacağız. Diziler
DetaylıSoru 1. Soru 4. Soru 2. Soru 5. Soru 3. Soru 6.
İ s t a n b u l K ü l t ü r Ü n i v e r s i t e s i Matematik -Bilgisayar Bölümü MB500, MC 56, MC 56 - NÜMERİK ANALİZ (I) 0 Ocak 0 CEVAPLAR Talimatlar Sınav süresi 5 dakikadır. İlk 0 dakika sınav salonunu
DetaylıMatematik Ders Notları. Doç. Dr. Murat Donduran
Matematik Ders Notları Doç. Dr. Murat Donduran Mart 18, 28 2 İçindekiler 1 Tanımlı Integral Uygulamaları 5 1.1 Olasılık.............................. 5 3 4 İÇINDEKILER Bölüm 1 Tanımlı Integral Uygulamaları
Detaylıİstatistik I Bazı Matematik Kavramlarının Gözden
İsttistik I Bzı Mtemtik Kvrmlrının Gözden Geçirilmesi Hüseyin Tştn Ağustos 13, 2006 İçindekiler 1 Toplm İşlemcisi 2 2 Çrpım İşlemcisi 6 3 Türev 7 3.1 Türev Kurllrı.......................... 8 3.1.1 Sbit
DetaylıAppendix B: Olasılık ve Dağılım Teorisi
Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ekonometri I Ders Notları Ders Kitabı: J.M. Wooldridge, Introductory Econometrics A Modern Approach, 2nd. edition, Thomson Learning Appendix B: Olasılık ve Dağılım
DetaylıYTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I Ders Notları
Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ekonometri I Ders Kitabı: J.M. Wooldridge, Introductory Econometrics A Modern Approach, 2nd. edition, Thomson Learning Appendix B: Olasılık ve Dağılım Teorisi
DetaylıYTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I Ders Notları
Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ekonometri I Ders Kitabı: J.M. Wooldridge, Introductory Econometrics A Modern Approach, 2nd. edition, Thomson Learning Appendix B: Olasılık ve Dağılım Teorisi
Detaylıfonksiyonunun [-1,1] arasındaki grafiği hesaba katılırsa bulunan sonucun
. UŞAK FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ ANALİZ II FİNAL SORULARI ÇÖZÜMLERİ d belirli integralinin aşağıdaki çözümünün doğru olup olmadığını belirtiniz. Eğer çözüm yanlış ise sebebini açıklayınız.
Detaylı1. Yatırımın Faiz Esnekliği
DERS NOTU 08 YATIRIMIN FAİZ ESNEKLİĞİ, PARA VE MALİYE POLİTİKALARININ ETKİNLİKLERİ, TOPLAM TALEP (AD) EĞRİSİNİN ELDE EDİLİŞİ Bugünki dersin içeriği: 1. YATIRIMIN FAİZ ESNEKLİĞİ... 1 2. PARA VE MALİYE POLİTİKALARININ
Detaylı1991 ÖYS. 9. Parasının 7. ünü kardeşine veren Ali nin geriye lirası kalmıştır. Buna göre, Ali nin başlangıçtaki parası kaç liradır?
99 ÖYS.,8 + (, + ), işleminin sonucu kaçtır? B) 7 D) 86 987 B) D). a, b, c birer pozitif gerçel sayı ve a=b b=c olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur? a
DetaylıPARA, FAİZ VE MİLLİ GELİR: IS-LM MODELİ
PARA, FAİZ VE MİLLİ GELİR: IS-LM MODELİ Bu bölümde faiz oranlarının belirlenmesi ile faizin denge milli gelir düzeyinin belirlenmesi üzerindeki rolü incelenecektir. IS LM modeli, İngiliz iktisatçılar John
DetaylıDers 4: Rastgele Değişkenler ve Dağılımları
Ders 4: Rastgele Değişkenler ve Dağılımları Rastgele değişken kavramı Kesikli ve sürekli rastgele değişkenler İki boyutlu rastgele değişkenler Beklenen değer Varyans Örnek uzaydaki her elemanı bir sayıyla
DetaylıT I M U R K A R A Ç AY, H AY D A R E Ş, O R H A N Ö Z E R K A L K U L Ü S N O B E L
T I M U R K A R A Ç AY, H AY D A R E Ş, O R H A N Ö Z E R K A L K U L Ü S N O B E L 1 Denklemler 1.1 Doğru deklemleri İki noktası bilinen ya da bir noktası ile eğimi bilinen doğruların denklemlerini yazabiliriz.
DetaylıBİRİNCİ SEVİYE ÖRNEK SORULARI EKONOMİ
BİRİNCİ SEVİYE ÖRNEK SORULARI EKONOMİ SORU 1: Tam rekabet ortamında faaliyet gösteren bir firmanın kısa dönem toplam maliyet fonksiyonu; STC = 5Q 2 + 5Q + 10 dur. Bu firma tarafından piyasaya sürülen ürünün
DetaylıİÇİNDEKİLER. Önsöz... iii. KİTABIN KULLANIMINA İLİŞKİN BAZI NOTLAR ve KURUM SINAVLARINA İLİŞKİN UYARILAR... 1 BİRİNCİ BÖLÜM İKTİSATIN TEMELLERİ
İÇİNDEKİLER Önsöz... iii KİTABIN KULLANIMINA İLİŞKİN BAZI NOTLAR ve KURUM SINAVLARINA İLİŞKİN UYARILAR... 1 BİRİNCİ BÖLÜM İKTİSATIN TEMELLERİ 1. İKTİSATIN TEMELLERİ... 9 1.1. İKTİSADIN TANIMI... 9 1.2.
DetaylıDERS NOTU 01 TÜKETİCİ TEORİSİ
DERS NOTU 01 TÜKETİCİ TEORİSİ Bugünki dersin işleniş planı: I. Hanehalkı Karar Problemi... 1 A. Bütçe Doğrusu... 1 II. Seçimin Temeli: Fayda... 5 A. Azalan Marjinal Fayda... 5 B. Fayda Fonksiyonu... 9
DetaylıB. Sermaye stoğunun durağan durum değerini bulunuz. C. Bu ekonomi için altın kural sermaye stoğu ne kadardır?
A.Ü. SBE 2015-2016 Bahar Dönemi Makro İktisat - II Çalışma Soruları - 2 1. Nüfus artışı veya teknolojik ilerlemenin olmadığı Solow Modeli nde bazı parametreler şu şekilde olsun: s = 0.2(tasarruf oranı)
DetaylıİÇİNDEKİLER Sayfa ÖNSÖZ... v İÇİNDEKİLER... vi GENEL EKONOMİ 1. Ekonominin Tanımı ve Kapsamı... 1 1.1. Ekonomide Kıtlık ve Tercih... 1 1.2.
İÇİNDEKİLER Sayfa ÖNSÖZ... v İÇİNDEKİLER... vi GENEL EKONOMİ 1. Ekonominin Tanımı ve Kapsamı... 1 1.1. Ekonomide Kıtlık ve Tercih... 1 1.2. Ekonominin Tanımı... 3 1.3. Ekonomi Biliminde Yöntem... 4 1.4.
DetaylıSelçuk Üniversitesi 26 Aralık, 2013 Beyşehir Turizm Fakültesi-Konaklama İşletmeciliği Genel Ekonomi Dr. Alper Sönmez. Soru Seti 3
Soru Seti 3 1) Q D = 100 2P talep denklemi ve Q S = P 20 arz denklemi verilmiştir. Üretici ve tüketici rantlarını hesaplayınız. Cevap: Öncelikle arz ve talep denklemlerini eşitleyerek denge fiyat ve miktarı
DetaylıFEM ile, Hapsolmuş Kuantum Mekaniksel Sistemlerin Çözümü
FEM ile, Hapsolmuş Kuantum Mekaniksel Sistemlerin Çözümü Yöntem 8-Mayıs-24 (9-Mayıs-24) Bir boyutlu bir problem için ölçeklenmiş (boyutsuz) niceliklerle yazılmış Schrodinger denklemi ve Hamiltoniyen Hψ(z)
DetaylıAkışkan Kinematiği 1
Akışkan Kinematiği 1 Akışkan Kinematiği Kinematik, akışkan hareketini matematiksel olarak tanımlarken harekete sebep olan kuvvetleri ve momentleri gözönüne almadan; Yerdeğiştirmeler Hızlar ve İvmeler cinsinden
Detaylısonlu altörtüsü varsa bu topolojik uzaya tıkız diyoruz.
Ders 1: Önbilgiler Bu derste türev fonksiyonunun geometrik anlamını tartışıp, yalnız R n nin bir açık altkümesinde değil, daha genel uzaylarda tanımlı bir fonksiyonun türevi ve özel noktalarının nasıl
DetaylıÇEV 2006 Mühendislik Matematiği (Sayısal Analiz) DEÜ Çevre Mühendisliği Bölümü Doç.Dr. Alper ELÇĐ
Giriş ÇEV 2006 Mühendislik Matematiği (Sayısal Analiz) DEÜ Çevre Mühendisliği Bölümü Doç.Dr. Alper ELÇĐ Sayısal Analiz Nedir? Mühendislikte ve bilimde, herhangi bir süreci tanımlayan karmaşık denklemlerin
DetaylıUYGULAMALI MATEMATİK KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI
ÖABT UYGULAMALI MATEMATİK KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Yasin ŞAHİN ÖABT UYGULAMALI MATEMATİK KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Her hakkı saklıdır. Bu kitabın tamamı ya da bir kısmı, yazarın izni
DetaylıMIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009
MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.
Detaylı2. (1 + y ) ln(x + y) = yy dif. denk. çözünüz. 3. xy dy y 2 dx = (x + y) 2 e ( y/x) dx dif. denk. çözünüz.
D DİFERANSİYEL DENKLEMLER ÇALIŞMA SORULARI Fakülte No:................................................... Adı ve Soyadı:................................................. Bölüm:...................................................................
DetaylıDers Çözümler: 9.2 Alıştırmalar Prof.Dr.Haydar Eş. 2. Prof.Dr.Timur Karaçay /1a: Kritik noktalar:
100 Bölüm 9 Ders 09 9.1 Çözümler: 1. Prof.Dr.Haydar Eş 2. Prof.Dr.Timur Karaçay 9.2 Alıştırmalar 9 1. 215 /1a: Kritik noktalar: f (x) = 3x 2 + 6x = 0 = x 1 = 0, x 2 = 2 Yerel max değer: ( 2,1) Yerel min
Detaylı