MAT223 AYRIK MATEMATİK
|
|
- Koray Topbaş
- 7 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 MAT223 AYRIK MATEMATİK Fibonacci Sayıları 4. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR Öğretim Yılı
2 Fibonacci nin Tavşanları Fibonacci Sayıları Fibonacci nin Tavşanları 13. yüzyılda İtalyan matematikçi Leonardo Fibonacci aşağıdaki soruyu ortaya atmıştır: 2/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
3 Fibonacci nin Tavşanları Fibonacci Sayıları Fibonacci nin Tavşanları 13. yüzyılda İtalyan matematikçi Leonardo Fibonacci aşağıdaki soruyu ortaya atmıştır: Leonardo Fibonacci Soru Bir çiftçi tavşan yetiştiriciliği ile uğraşmaktadır. Her bir tavşan iki aylık olduğunda bir yavru vermektedir. Bu yavrular da aynı şekilde iki aylık olduğunda yine yavru vermektedir. Tavşanların hiç ölmediğini düşünür ve tüm tavşanların dişi olduğunu kabul edersek n. ayın sonunda bu çiftçinin kaç tavşanı olacaktır? 2/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
4 Fibonacci nin Tavşanları n nin küçük değerleri için bu soruya cevap vermek kolaydır. 3/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
5 Fibonacci nin Tavşanları n nin küçük değerleri için bu soruya cevap vermek kolaydır. n Tavşanlar 1 1 Sayı 3/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
6 Fibonacci nin Tavşanları n nin küçük değerleri için bu soruya cevap vermek kolaydır. n Tavşanlar Sayı 3/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
7 Fibonacci nin Tavşanları n nin küçük değerleri için bu soruya cevap vermek kolaydır. n Tavşanlar Sayı 3/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
8 Fibonacci nin Tavşanları n nin küçük değerleri için bu soruya cevap vermek kolaydır. n Tavşanlar Sayı 3/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
9 Fibonacci nin Tavşanları n nin küçük değerleri için bu soruya cevap vermek kolaydır. n Tavşanlar Sayı 3/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
10 Fibonacci nin Tavşanları n nin küçük değerleri için bu soruya cevap vermek kolaydır. n Tavşanlar Sayı 3/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
11 Fibonacci nin Tavşanları n nin küçük değerleri için bu soruya cevap vermek kolaydır. n Tavşanlar Sayı 3/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
12 Fibonacci nin Tavşanları n nin küçük değerleri için bu soruya cevap vermek kolaydır. n Tavşanlar Sayı. 3/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
13 Fibonacci nin Tavşanları Aslında tavşanların sayısının herhangi bir ay için nasıl arttığını belirlemek hiç de zor değildir. 4/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
14 Fibonacci nin Tavşanları Aslında tavşanların sayısının herhangi bir ay için nasıl arttığını belirlemek hiç de zor değildir. Açıktır ki, bir sonraki ayda doğacak (eklenecek) tavşan sayısı o aydaki en az iki aylık olan tavşanların sayısı kadardır. 4/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
15 Fibonacci nin Tavşanları Aslında tavşanların sayısının herhangi bir ay için nasıl arttığını belirlemek hiç de zor değildir. Açıktır ki, bir sonraki ayda doğacak (eklenecek) tavşan sayısı o aydaki en az iki aylık olan tavşanların sayısı kadardır. Bir başka ifadeyle, bir sonraki aydaki tavşan sayısını elde etmek için, önceki aydaki tavşanların sayısının eldeki tavşanların sayısına eklenmesi gerekir. Böylece her bir aydaki tavşan sayısı 4/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
16 Fibonacci nin Tavşanları Aslında tavşanların sayısının herhangi bir ay için nasıl arttığını belirlemek hiç de zor değildir. Açıktır ki, bir sonraki ayda doğacak (eklenecek) tavşan sayısı o aydaki en az iki aylık olan tavşanların sayısı kadardır. Bir başka ifadeyle, bir sonraki aydaki tavşan sayısını elde etmek için, önceki aydaki tavşanların sayısının eldeki tavşanların sayısına eklenmesi gerekir. Böylece her bir aydaki tavşan sayısı 1 4/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
17 Fibonacci nin Tavşanları Aslında tavşanların sayısının herhangi bir ay için nasıl arttığını belirlemek hiç de zor değildir. Açıktır ki, bir sonraki ayda doğacak (eklenecek) tavşan sayısı o aydaki en az iki aylık olan tavşanların sayısı kadardır. Bir başka ifadeyle, bir sonraki aydaki tavşan sayısını elde etmek için, önceki aydaki tavşanların sayısının eldeki tavşanların sayısına eklenmesi gerekir. Böylece her bir aydaki tavşan sayısı 1, 1+1 = 2 4/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
18 Fibonacci nin Tavşanları Aslında tavşanların sayısının herhangi bir ay için nasıl arttığını belirlemek hiç de zor değildir. Açıktır ki, bir sonraki ayda doğacak (eklenecek) tavşan sayısı o aydaki en az iki aylık olan tavşanların sayısı kadardır. Bir başka ifadeyle, bir sonraki aydaki tavşan sayısını elde etmek için, önceki aydaki tavşanların sayısının eldeki tavşanların sayısına eklenmesi gerekir. Böylece her bir aydaki tavşan sayısı 1, 1+1 = 2, 2+1 = 3 4/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
19 Fibonacci nin Tavşanları Aslında tavşanların sayısının herhangi bir ay için nasıl arttığını belirlemek hiç de zor değildir. Açıktır ki, bir sonraki ayda doğacak (eklenecek) tavşan sayısı o aydaki en az iki aylık olan tavşanların sayısı kadardır. Bir başka ifadeyle, bir sonraki aydaki tavşan sayısını elde etmek için, önceki aydaki tavşanların sayısının eldeki tavşanların sayısına eklenmesi gerekir. Böylece her bir aydaki tavşan sayısı 1, 1+1 = 2, 2+1 = 3, 3+2 = 5 4/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
20 Fibonacci nin Tavşanları Aslında tavşanların sayısının herhangi bir ay için nasıl arttığını belirlemek hiç de zor değildir. Açıktır ki, bir sonraki ayda doğacak (eklenecek) tavşan sayısı o aydaki en az iki aylık olan tavşanların sayısı kadardır. Bir başka ifadeyle, bir sonraki aydaki tavşan sayısını elde etmek için, önceki aydaki tavşanların sayısının eldeki tavşanların sayısına eklenmesi gerekir. Böylece her bir aydaki tavşan sayısı 1, 1+1 = 2, 2+1 = 3, 3+2 = 5, 5+3 = 8 4/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
21 Fibonacci nin Tavşanları Aslında tavşanların sayısının herhangi bir ay için nasıl arttığını belirlemek hiç de zor değildir. Açıktır ki, bir sonraki ayda doğacak (eklenecek) tavşan sayısı o aydaki en az iki aylık olan tavşanların sayısı kadardır. Bir başka ifadeyle, bir sonraki aydaki tavşan sayısını elde etmek için, önceki aydaki tavşanların sayısının eldeki tavşanların sayısına eklenmesi gerekir. Böylece her bir aydaki tavşan sayısı 1, 1+1 = 2, 2+1 = 3, 3+2 = 5, 5+3 = 8, 8+5 = 13 4/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
22 Fibonacci nin Tavşanları Aslında tavşanların sayısının herhangi bir ay için nasıl arttığını belirlemek hiç de zor değildir. Açıktır ki, bir sonraki ayda doğacak (eklenecek) tavşan sayısı o aydaki en az iki aylık olan tavşanların sayısı kadardır. Bir başka ifadeyle, bir sonraki aydaki tavşan sayısını elde etmek için, önceki aydaki tavşanların sayısının eldeki tavşanların sayısına eklenmesi gerekir. Böylece her bir aydaki tavşan sayısı 1, 1+1 = 2, 2+1 = 3, 3+2 = 5, 5+3 = 8, 8+5 = 13,... elde edilir. 4/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
23 Fibonacci nin Tavşanları Yukarıdaki bağıntıyı formüle etmek için n. aydaki tavşan sayısını F n ile gösterelim. 5/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
24 Fibonacci nin Tavşanları Yukarıdaki bağıntıyı formüle etmek için n. aydaki tavşan sayısını F n ile gösterelim. Bu durumda n = 1,2,3,... için yazabiliriz. F n+1 = F n +F n 1 5/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
25 Fibonacci nin Tavşanları Yukarıdaki bağıntıyı formüle etmek için n. aydaki tavşan sayısını F n ile gösterelim. Bu durumda n = 1,2,3,... için F n+1 = F n +F n 1 yazabiliriz. F 1 = 1, F 2 = 1, F 3 = 2, F 4 = 3, F 5 = 5 olduğunu zaten gördük. 5/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
26 Fibonacci nin Tavşanları Yukarıdaki bağıntıyı formüle etmek için n. aydaki tavşan sayısını F n ile gösterelim. Bu durumda n = 1,2,3,... için F n+1 = F n +F n 1 yazabiliriz. F 1 = 1, F 2 = 1, F 3 = 2, F 4 = 3, F 5 = 5 olduğunu zaten gördük. Yukarıdaki formül ile daha fazlasını da hesaplayabiliriz. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,... 5/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
27 Fibonacci nin Tavşanları Bu sayılara Fibonacci Sayıları denir. 6/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
28 Fibonacci nin Tavşanları Bu sayılara Fibonacci Sayıları denir. Eğer alınırsa, F 0 = 0, F 1 = 1 F n+1 = F n +F n 1 eşitliği ile birlikte Fibonacci sayıları tek türlü olarak elde edilir. Bu nedenle Fibonacci sayılarının tanımı bu şekilde verilebilir. 6/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
29 Fibonacci nin Tavşanları Bu sayılara Fibonacci Sayıları denir. Eğer alınırsa, F 0 = 0, F 1 = 1 F n+1 = F n +F n 1 eşitliği ile birlikte Fibonacci sayıları tek türlü olarak elde edilir. Bu nedenle Fibonacci sayılarının tanımı bu şekilde verilebilir. Yukarıdaki eşitlik doğrudan F n sayısını vermek yerine, ilk iki Fibonacci sayısı ile başlayıp, önceki iki Fibonacci sayısı yardımıyla her bir Fibonacci sayısını vermektedir. 6/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
30 Fibonacci nin Tavşanları Bu sayılara Fibonacci Sayıları denir. Eğer alınırsa, F 0 = 0, F 1 = 1 F n+1 = F n +F n 1 eşitliği ile birlikte Fibonacci sayıları tek türlü olarak elde edilir. Bu nedenle Fibonacci sayılarının tanımı bu şekilde verilebilir. Yukarıdaki eşitlik doğrudan F n sayısını vermek yerine, ilk iki Fibonacci sayısı ile başlayıp, önceki iki Fibonacci sayısı yardımıyla her bir Fibonacci sayısını vermektedir. Bu şekildeki tanımlamalara yinelemeli (recurrence) tanımlama denir. 6/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
31 Fibonacci nin Tavşanları Soru n basamaktan oluşan bir merdiveni her seferinde bir ya da iki basamak çıkmak koşuluyla kaç farklı şekilde çıkabilirsiniz? 7/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
32 Fibonacci nin Tavşanları Soru n basamaktan oluşan bir merdiveni her seferinde bir ya da iki basamak çıkmak koşuluyla kaç farklı şekilde çıkabilirsiniz? Yine n nin bazı küçük değerleri için inceleyelim: 7/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
33 Fibonacci nin Tavşanları Soru n basamaktan oluşan bir merdiveni her seferinde bir ya da iki basamak çıkmak koşuluyla kaç farklı şekilde çıkabilirsiniz? Yine n nin bazı küçük değerleri için inceleyelim: n Çıkış şekli Çıkış sayısı 7/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
34 Fibonacci nin Tavşanları Soru n basamaktan oluşan bir merdiveni her seferinde bir ya da iki basamak çıkmak koşuluyla kaç farklı şekilde çıkabilirsiniz? Yine n nin bazı küçük değerleri için inceleyelim: n Çıkış şekli Çıkış sayısı 1 1 adım 1 7/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
35 Fibonacci nin Tavşanları Soru n basamaktan oluşan bir merdiveni her seferinde bir ya da iki basamak çıkmak koşuluyla kaç farklı şekilde çıkabilirsiniz? Yine n nin bazı küçük değerleri için inceleyelim: n Çıkış şekli Çıkış sayısı 1 1 adım adım + 1 adım, 2 adım 2 7/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
36 Fibonacci nin Tavşanları Soru n basamaktan oluşan bir merdiveni her seferinde bir ya da iki basamak çıkmak koşuluyla kaç farklı şekilde çıkabilirsiniz? Yine n nin bazı küçük değerleri için inceleyelim: n Çıkış şekli Çıkış sayısı 1 1 adım adım + 1 adım, 2 adım adım + 1 adım + 1 adım, 2 adım + 1 adım, 1 adım + 2 adım 3 7/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
37 Fibonacci nin Tavşanları Soru n basamaktan oluşan bir merdiveni her seferinde bir ya da iki basamak çıkmak koşuluyla kaç farklı şekilde çıkabilirsiniz? Yine n nin bazı küçük değerleri için inceleyelim: n Çıkış şekli Çıkış sayısı 1 1 adım adım + 1 adım, 2 adım adım + 1 adım + 1 adım, 2 adım + 1 adım, 3 1 adım + 2 adım , 1+1+2, 1+2+1, 2+1+1, /41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
38 Fibonacci nin Tavşanları Soru n basamaktan oluşan bir merdiveni her seferinde bir ya da iki basamak çıkmak koşuluyla kaç farklı şekilde çıkabilirsiniz? Yine n nin bazı küçük değerleri için inceleyelim: n Çıkış şekli Çıkış sayısı 1 1 adım adım + 1 adım, 2 adım adım + 1 adım + 1 adım, 2 adım + 1 adım, 3 1 adım + 2 adım , 1+1+2, 1+2+1, 2+1+1, , , , , , 1+2+2, 2+1+2, /41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
39 Fibonacci nin Tavşanları Soru n basamaktan oluşan bir merdiveni her seferinde bir ya da iki basamak çıkmak koşuluyla kaç farklı şekilde çıkabilirsiniz? Yine n nin bazı küçük değerleri için inceleyelim: n Çıkış şekli Çıkış sayısı 1 1 adım adım + 1 adım, 2 adım adım + 1 adım + 1 adım, 2 adım + 1 adım, 3 1 adım + 2 adım , 1+1+2, 1+2+1, 2+1+1, , , , , , 1+2+2, 2+1+2, /41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
40 Fibonacci nin Tavşanları n basamaklı merdivenin J n farklı şekilde çıkılabildiğini kabul edelim. 8/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
41 Fibonacci nin Tavşanları n basamaklı merdivenin J n farklı şekilde çıkılabildiğini kabul edelim. J n+1 sayısını J k (1 k n) sayılarını kullanarak belirlemeye çalışalım. 8/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
42 Fibonacci nin Tavşanları n basamaklı merdivenin J n farklı şekilde çıkılabildiğini kabul edelim. J n+1 sayısını J k (1 k n) sayılarını kullanarak belirlemeye çalışalım. Eğer n+1 basamaklı merdiveni ilk başta bir adım atarak çıkmaya başlarsak, geriye n basamak kalır ve bu n basamağı J n farklı şekilde çıkabileceğimizi biliyoruz. 8/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
43 Fibonacci nin Tavşanları n basamaklı merdivenin J n farklı şekilde çıkılabildiğini kabul edelim. J n+1 sayısını J k (1 k n) sayılarını kullanarak belirlemeye çalışalım. Eğer n+1 basamaklı merdiveni ilk başta bir adım atarak çıkmaya başlarsak, geriye n basamak kalır ve bu n basamağı J n farklı şekilde çıkabileceğimizi biliyoruz. Eğer merdiveni ilk başta iki adım atarak çıkmaya başlarsak, geriye n 1 basamak kalır ve bu n 1 basamağı da J n 1 farklı şekilde çıkabileceğimizi biliyoruz. 8/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
44 Fibonacci nin Tavşanları n basamaklı merdivenin J n farklı şekilde çıkılabildiğini kabul edelim. J n+1 sayısını J k (1 k n) sayılarını kullanarak belirlemeye çalışalım. Eğer n+1 basamaklı merdiveni ilk başta bir adım atarak çıkmaya başlarsak, geriye n basamak kalır ve bu n basamağı J n farklı şekilde çıkabileceğimizi biliyoruz. Eğer merdiveni ilk başta iki adım atarak çıkmaya başlarsak, geriye n 1 basamak kalır ve bu n 1 basamağı da J n 1 farklı şekilde çıkabileceğimizi biliyoruz. Böylece olası iki durumu da incelemiş olduk. 8/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
45 Fibonacci nin Tavşanları n basamaklı merdivenin J n farklı şekilde çıkılabildiğini kabul edelim. J n+1 sayısını J k (1 k n) sayılarını kullanarak belirlemeye çalışalım. Eğer n+1 basamaklı merdiveni ilk başta bir adım atarak çıkmaya başlarsak, geriye n basamak kalır ve bu n basamağı J n farklı şekilde çıkabileceğimizi biliyoruz. Eğer merdiveni ilk başta iki adım atarak çıkmaya başlarsak, geriye n 1 basamak kalır ve bu n 1 basamağı da J n 1 farklı şekilde çıkabileceğimizi biliyoruz. Böylece olası iki durumu da incelemiş olduk. O halde elde edilir. J n+1 = J n +J n 1 8/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
46 Fibonacci nin Tavşanları n basamaklı merdivenin J n farklı şekilde çıkılabildiğini kabul edelim. J n+1 sayısını J k (1 k n) sayılarını kullanarak belirlemeye çalışalım. Eğer n+1 basamaklı merdiveni ilk başta bir adım atarak çıkmaya başlarsak, geriye n basamak kalır ve bu n basamağı J n farklı şekilde çıkabileceğimizi biliyoruz. Eğer merdiveni ilk başta iki adım atarak çıkmaya başlarsak, geriye n 1 basamak kalır ve bu n 1 basamağı da J n 1 farklı şekilde çıkabileceğimizi biliyoruz. Böylece olası iki durumu da incelemiş olduk. O halde elde edilir. J n+1 = J n +J n 1 Elde edilen bu formül ile Fibonacci sayılarını elde etmek için kullanılan formül aynı. 8/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
47 Fibonacci nin Tavşanları n basamaklı merdivenin J n farklı şekilde çıkılabildiğini kabul edelim. J n+1 sayısını J k (1 k n) sayılarını kullanarak belirlemeye çalışalım. Eğer n+1 basamaklı merdiveni ilk başta bir adım atarak çıkmaya başlarsak, geriye n basamak kalır ve bu n basamağı J n farklı şekilde çıkabileceğimizi biliyoruz. Eğer merdiveni ilk başta iki adım atarak çıkmaya başlarsak, geriye n 1 basamak kalır ve bu n 1 basamağı da J n 1 farklı şekilde çıkabileceğimizi biliyoruz. Böylece olası iki durumu da incelemiş olduk. O halde elde edilir. J n+1 = J n +J n 1 Elde edilen bu formül ile Fibonacci sayılarını elde etmek için kullanılan formül aynı. Buradan F n = J n diyebilir miyiz? 8/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
48 Fibonacci nin Tavşanları n basamaklı merdivenin J n farklı şekilde çıkılabildiğini kabul edelim. J n+1 sayısını J k (1 k n) sayılarını kullanarak belirlemeye çalışalım. Eğer n+1 basamaklı merdiveni ilk başta bir adım atarak çıkmaya başlarsak, geriye n basamak kalır ve bu n basamağı J n farklı şekilde çıkabileceğimizi biliyoruz. Eğer merdiveni ilk başta iki adım atarak çıkmaya başlarsak, geriye n 1 basamak kalır ve bu n 1 basamağı da J n 1 farklı şekilde çıkabileceğimizi biliyoruz. Böylece olası iki durumu da incelemiş olduk. O halde elde edilir. J n+1 = J n +J n 1 Elde edilen bu formül ile Fibonacci sayılarını elde etmek için kullanılan formül aynı. Buradan F n = J n diyebilir miyiz? Hayır! 8/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
49 Fibonacci nin Tavşanları n basamaklı merdivenin J n farklı şekilde çıkılabildiğini kabul edelim. J n+1 sayısını J k (1 k n) sayılarını kullanarak belirlemeye çalışalım. Eğer n+1 basamaklı merdiveni ilk başta bir adım atarak çıkmaya başlarsak, geriye n basamak kalır ve bu n basamağı J n farklı şekilde çıkabileceğimizi biliyoruz. Eğer merdiveni ilk başta iki adım atarak çıkmaya başlarsak, geriye n 1 basamak kalır ve bu n 1 basamağı da J n 1 farklı şekilde çıkabileceğimizi biliyoruz. Böylece olası iki durumu da incelemiş olduk. O halde elde edilir. J n+1 = J n +J n 1 Elde edilen bu formül ile Fibonacci sayılarını elde etmek için kullanılan formül aynı. Buradan F n = J n diyebilir miyiz? Hayır! 2 = F 3 J 3 = 3. 8/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
50 Fibonacci nin Tavşanları n basamaklı merdivenin J n farklı şekilde çıkılabildiğini kabul edelim. J n+1 sayısını J k (1 k n) sayılarını kullanarak belirlemeye çalışalım. Eğer n+1 basamaklı merdiveni ilk başta bir adım atarak çıkmaya başlarsak, geriye n basamak kalır ve bu n basamağı J n farklı şekilde çıkabileceğimizi biliyoruz. Eğer merdiveni ilk başta iki adım atarak çıkmaya başlarsak, geriye n 1 basamak kalır ve bu n 1 basamağı da J n 1 farklı şekilde çıkabileceğimizi biliyoruz. Böylece olası iki durumu da incelemiş olduk. O halde elde edilir. J n+1 = J n +J n 1 Elde edilen bu formül ile Fibonacci sayılarını elde etmek için kullanılan formül aynı. Buradan F n = J n diyebilir miyiz? Hayır! 2 = F 3 J 3 = 3. Ancak, J n = F n+1 yazabiliriz. 8/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
51 Bazı Özdeşlikler Fibonacci Sayıları Bazı Özdeşlikler Soru İlk n Fibonacci sayısının toplamı nedir? 9/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
52 Bazı Özdeşlikler Fibonacci Sayıları Bazı Özdeşlikler Soru İlk n Fibonacci sayısının toplamı nedir? 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55, 89,144,233,377,610,987,... 9/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
53 Bazı Özdeşlikler Fibonacci Sayıları Bazı Özdeşlikler Soru İlk n Fibonacci sayısının toplamı nedir? 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55, 89,144,233,377,610,987,... 0 = 0 9/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
54 Bazı Özdeşlikler Fibonacci Sayıları Bazı Özdeşlikler Soru İlk n Fibonacci sayısının toplamı nedir? 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55, 89,144,233,377,610,987,... 0 = = 1 9/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
55 Bazı Özdeşlikler Fibonacci Sayıları Bazı Özdeşlikler Soru İlk n Fibonacci sayısının toplamı nedir? 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55, 89,144,233,377,610,987,... 0 = = = 2 9/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
56 Bazı Özdeşlikler Fibonacci Sayıları Bazı Özdeşlikler Soru İlk n Fibonacci sayısının toplamı nedir? 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55, 89,144,233,377,610,987,... 0 = = = = 4 9/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
57 Bazı Özdeşlikler Fibonacci Sayıları Bazı Özdeşlikler Soru İlk n Fibonacci sayısının toplamı nedir? 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55, 89,144,233,377,610,987,... 0 = = = = = 7 9/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
58 Bazı Özdeşlikler Fibonacci Sayıları Bazı Özdeşlikler Soru İlk n Fibonacci sayısının toplamı nedir? 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55, 89,144,233,377,610,987,... 0 = = = = = = 12 9/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
59 Bazı Özdeşlikler Fibonacci Sayıları Bazı Özdeşlikler Soru İlk n Fibonacci sayısının toplamı nedir? 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55, 89,144,233,377,610,987,... 0 = = = = = = = 20 9/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
60 Bazı Özdeşlikler Fibonacci Sayıları Bazı Özdeşlikler Soru İlk n Fibonacci sayısının toplamı nedir? 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55, 89,144,233,377,610,987,... 0 = = = = = = = = 33 9/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
61 Bazı Özdeşlikler Fibonacci Sayıları Bazı Özdeşlikler Soru İlk n Fibonacci sayısının toplamı nedir? 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55, 89,144,233,377,610,987,... 0 = = = = = = = = 33 Tahmini olan? 9/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
62 Bazı Özdeşlikler Varsayım/Sanı (Conjecture) F 0 +F 1 +F 2 + +F n = 10/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
63 Bazı Özdeşlikler Varsayım/Sanı (Conjecture) F 0 +F 1 +F 2 + +F n = F n /41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
64 Bazı Özdeşlikler Varsayım/Sanı (Conjecture) F 0 +F 1 +F 2 + +F n = F n+2 1 Kanıt. Kanıtı tümevarım yöntemini kullanarak yapalım: 10/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
65 Bazı Özdeşlikler Varsayım/Sanı (Conjecture) F 0 +F 1 +F 2 + +F n = F n+2 1 Kanıt. Kanıtı tümevarım yöntemini kullanarak yapalım: n = 0, 1, 2, 3 için eşitliğin doğru olduğunu yukarıdan biliyoruz. 10/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
66 Bazı Özdeşlikler Varsayım/Sanı (Conjecture) F 0 +F 1 +F 2 + +F n = F n+2 1 Kanıt. Kanıtı tümevarım yöntemini kullanarak yapalım: n = 0, 1, 2, 3 için eşitliğin doğru olduğunu yukarıdan biliyoruz. n 1 için eşitliğin doğru olduğunu kabul edelim. 10/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
67 Bazı Özdeşlikler Varsayım/Sanı (Conjecture) F 0 +F 1 +F 2 + +F n = F n+2 1 Kanıt. Kanıtı tümevarım yöntemini kullanarak yapalım: n = 0, 1, 2, 3 için eşitliğin doğru olduğunu yukarıdan biliyoruz. n 1 için eşitliğin doğru olduğunu kabul edelim. Yani, F 0 +F 1 +F 2 + +F n 1 = F n+1 1 olsun. 10/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
68 Bazı Özdeşlikler Varsayım/Sanı (Conjecture) F 0 +F 1 +F 2 + +F n = F n+2 1 Kanıt. Kanıtı tümevarım yöntemini kullanarak yapalım: n = 0, 1, 2, 3 için eşitliğin doğru olduğunu yukarıdan biliyoruz. n 1 için eşitliğin doğru olduğunu kabul edelim. Yani, F 0 +F 1 +F 2 + +F n 1 = F n+1 1 olsun. Bu durumda eşitliğin n için de doğru olduğunu gösterelim. 10/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
69 Bazı Özdeşlikler Varsayım/Sanı (Conjecture) F 0 +F 1 +F 2 + +F n = F n+2 1 Kanıt. Kanıtı tümevarım yöntemini kullanarak yapalım: n = 0, 1, 2, 3 için eşitliğin doğru olduğunu yukarıdan biliyoruz. n 1 için eşitliğin doğru olduğunu kabul edelim. Yani, F 0 +F 1 +F 2 + +F n 1 = F n+1 1 olsun. Bu durumda eşitliğin n için de doğru olduğunu gösterelim. F 0 +F 1 +F 2 + +F n 1 +F n = (F n+1 1)+F n 10/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
70 Bazı Özdeşlikler Varsayım/Sanı (Conjecture) F 0 +F 1 +F 2 + +F n = F n+2 1 Kanıt. Kanıtı tümevarım yöntemini kullanarak yapalım: n = 0, 1, 2, 3 için eşitliğin doğru olduğunu yukarıdan biliyoruz. n 1 için eşitliğin doğru olduğunu kabul edelim. Yani, F 0 +F 1 +F 2 + +F n 1 = F n+1 1 olsun. Bu durumda eşitliğin n için de doğru olduğunu gösterelim. F 0 +F 1 +F 2 + +F n 1 +F n = (F n+1 1)+F n = F n+1 +F }{{ n 1 = } F n+2 10/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
71 Bazı Özdeşlikler Varsayım/Sanı (Conjecture) F 0 +F 1 +F 2 + +F n = F n+2 1 Kanıt. Kanıtı tümevarım yöntemini kullanarak yapalım: n = 0, 1, 2, 3 için eşitliğin doğru olduğunu yukarıdan biliyoruz. n 1 için eşitliğin doğru olduğunu kabul edelim. Yani, F 0 +F 1 +F 2 + +F n 1 = F n+1 1 olsun. Bu durumda eşitliğin n için de doğru olduğunu gösterelim. F 0 +F 1 +F 2 + +F n 1 +F n = (F n+1 1)+F n = F n+1 +F }{{ n 1 = F } n+2 1 F n+2 10/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
72 Bazı Özdeşlikler O halde tümevarım yöntemi gereği her n doğal sayısı için eşitlik doğru olur. 10/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi Varsayım/Sanı (Conjecture) F 0 +F 1 +F 2 + +F n = F n+2 1 Kanıt. Kanıtı tümevarım yöntemini kullanarak yapalım: n = 0, 1, 2, 3 için eşitliğin doğru olduğunu yukarıdan biliyoruz. n 1 için eşitliğin doğru olduğunu kabul edelim. Yani, F 0 +F 1 +F 2 + +F n 1 = F n+1 1 olsun. Bu durumda eşitliğin n için de doğru olduğunu gösterelim. F 0 +F 1 +F 2 + +F n 1 +F n = (F n+1 1)+F n = F n+1 +F }{{ n 1 = F } n+2 1 F n+2
73 Bazı Özdeşlikler Alıştırma (Alıştırma 4.2.9) 11/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
74 Bazı Özdeşlikler Alıştırma (Alıştırma 4.2.9) 11/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
75 Bazı Özdeşlikler Alıştırma (Alıştırma 4.2.9) 11/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
76 Bazı Özdeşlikler Alıştırma (Alıştırma 4.2.9) 11/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
77 Bazı Özdeşlikler Alıştırma (Alıştırma 4.2.9) 11/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
78 Bazı Özdeşlikler Alıştırma (Alıştırma 4.2.9) 8 8 = 64 11/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
79 Bazı Özdeşlikler Alıştırma (Alıştırma 4.2.9) 8 8 = 64 11/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
80 Bazı Özdeşlikler Alıştırma (Alıştırma 4.2.9) 8 8 = 64 11/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
81 Bazı Özdeşlikler Alıştırma (Alıştırma 4.2.9) 8 8 = 64 11/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
82 Bazı Özdeşlikler Alıştırma (Alıştırma 4.2.9) 8 8 = 64 11/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
83 Bazı Özdeşlikler Alıştırma (Alıştırma 4.2.9) 8 8 = 64 11/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
84 Bazı Özdeşlikler Alıştırma (Alıştırma 4.2.9) 8 8 = 64 11/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
85 Bazı Özdeşlikler Alıştırma (Alıştırma 4.2.9) 8 8 = = 65 11/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
86 Bazı Özdeşlikler Alıştırma (Alıştırma 4.2.9) 8 8 = = = 65? 11/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
87 Bazı Özdeşlikler Alıştırma (Alıştırma 4.2.9) 8 8 = = = 65? Bunun Fibonacci sayıları ile ne ilgisi var? 11/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
88 Bazı Özdeşlikler Öncelikle biraz hile yaptığımı itiraf edeyim. 12/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
89 Bazı Özdeşlikler Öncelikle biraz hile yaptığımı itiraf edeyim. İlk kareden ikinci şekil elde edilemez. 12/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
90 Bazı Özdeşlikler Öncelikle biraz hile yaptığımı itiraf edeyim. İlk kareden ikinci şekil elde edilemez. Şekilde geçen sayılar 5,8 ve 13 Fibonacci sayılarıdır. 12/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
91 Bazı Özdeşlikler Öncelikle biraz hile yaptığımı itiraf edeyim. İlk kareden ikinci şekil elde edilemez. Şekilde geçen sayılar 5,8 ve 13 Fibonacci sayılarıdır. F 5 = 5, F 6 = 8 ve F 7 = 13 12/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
92 Bazı Özdeşlikler Öncelikle biraz hile yaptığımı itiraf edeyim. İlk kareden ikinci şekil elde edilemez. Şekilde geçen sayılar 5,8 ve 13 Fibonacci sayılarıdır. F 5 = 5, F 6 = 8 ve F 7 = = /41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
93 Bazı Özdeşlikler Öncelikle biraz hile yaptığımı itiraf edeyim. İlk kareden ikinci şekil elde edilemez. Şekilde geçen sayılar 5,8 ve 13 Fibonacci sayılarıdır. F 5 = 5, F 6 = 8 ve F 7 = = (F 6 ) 2 = F 5 F /41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
94 Bazı Özdeşlikler Öncelikle biraz hile yaptığımı itiraf edeyim. İlk kareden ikinci şekil elde edilemez. Şekilde geçen sayılar 5,8 ve 13 Fibonacci sayılarıdır. F 5 = 5, F 6 = 8 ve F 7 = = (F 6 ) 2 = F 5 F 7 1 Peki F 5,F 6,F 7 yerine F 6,F 7,F 8 için yazarsak? 12/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
95 Bazı Özdeşlikler Öncelikle biraz hile yaptığımı itiraf edeyim. İlk kareden ikinci şekil elde edilemez. Şekilde geçen sayılar 5,8 ve 13 Fibonacci sayılarıdır. F 5 = 5, F 6 = 8 ve F 7 = = (F 6 ) 2 = F 5 F 7 1 Peki F 5,F 6,F 7 yerine F 6,F 7,F 8 için yazarsak? (F 7 ) 2 }{{} 169 = F 6 F 8 }{{} /41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
96 Bazı Özdeşlikler Öncelikle biraz hile yaptığımı itiraf edeyim. İlk kareden ikinci şekil elde edilemez. Şekilde geçen sayılar 5,8 ve 13 Fibonacci sayılarıdır. F 5 = 5, F 6 = 8 ve F 7 = = (F 6 ) 2 = F 5 F 7 1 Peki F 5,F 6,F 7 yerine F 6,F 7,F 8 için yazarsak? (F 7 ) 2 }{{} 169 = F 6 F 8 }{{} 168 Alıştırma (Alıştırma d) olduğunu gösteriniz. (F n+1 ) 2 = F n F n+2 +( 1) n 12/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
97 Bazı Özdeşlikler Kanıt. Kanıtı yine tümevarım yöntemini kullanarak yapalım: 13/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
98 Bazı Özdeşlikler Kanıt. Kanıtı yine tümevarım yöntemini kullanarak yapalım: n = 0 için (F 1 ) 2 = 1 = F 0 F 2 +( 1) 0 = 1 13/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
99 Bazı Özdeşlikler Kanıt. Kanıtı yine tümevarım yöntemini kullanarak yapalım: n = 0 için (F 1 ) 2 = 1 = F 0 F 2 +( 1) 0 = 1 13/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
100 Bazı Özdeşlikler Kanıt. Kanıtı yine tümevarım yöntemini kullanarak yapalım: n = 0 için (F 1 ) 2 = 1 = F 0 F 2 +( 1) 0 = 1 n için eşitliğin doğru olduğunu kabul edelim. 13/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
101 Bazı Özdeşlikler Kanıt. Kanıtı yine tümevarım yöntemini kullanarak yapalım: n = 0 için (F 1 ) 2 = 1 = F 0 F 2 +( 1) 0 = 1 n için eşitliğin doğru olduğunu kabul edelim. Yani, (F n+1 ) 2 = F n F n+2 +( 1) n olsun. 13/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
102 Bazı Özdeşlikler Kanıt. Kanıtı yine tümevarım yöntemini kullanarak yapalım: n = 0 için (F 1 ) 2 = 1 = F 0 F 2 +( 1) 0 = 1 n için eşitliğin doğru olduğunu kabul edelim. Yani, (F n+1 ) 2 = F n F n+2 +( 1) n olsun. n+1 için de eşitliğin doğru olduğunu gösterelim. 13/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
103 Bazı Özdeşlikler Kanıt. Kanıtı yine tümevarım yöntemini kullanarak yapalım: n = 0 için (F 1 ) 2 = 1 = F 0 F 2 +( 1) 0 = 1 n için eşitliğin doğru olduğunu kabul edelim. Yani, (F n+1 ) 2 = F n F n+2 +( 1) n olsun. n+1 için de eşitliğin doğru olduğunu gösterelim. Yukarıdaki eşitliğinin her iki tarafına F n+1 F n+2 eklersek, 13/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
104 Bazı Özdeşlikler Kanıt. Kanıtı yine tümevarım yöntemini kullanarak yapalım: n = 0 için (F 1 ) 2 = 1 = F 0 F 2 +( 1) 0 = 1 n için eşitliğin doğru olduğunu kabul edelim. Yani, (F n+1 ) 2 = F n F n+2 +( 1) n olsun. n+1 için de eşitliğin doğru olduğunu gösterelim. Yukarıdaki eşitliğinin her iki tarafına F n+1 F n+2 eklersek, (F n+1 ) 2 +F n+1 F n+2 = F n F n+2 +( 1) n +F n+1 F n+2 13/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
105 Bazı Özdeşlikler Kanıt. Kanıtı yine tümevarım yöntemini kullanarak yapalım: n = 0 için (F 1 ) 2 = 1 = F 0 F 2 +( 1) 0 = 1 n için eşitliğin doğru olduğunu kabul edelim. Yani, (F n+1 ) 2 = F n F n+2 +( 1) n olsun. n+1 için de eşitliğin doğru olduğunu gösterelim. Yukarıdaki eşitliğinin her iki tarafına F n+1 F n+2 eklersek, (F n+1 ) 2 +F n+1 F n+2 = F n F n+2 +( 1) n +F n+1 F n+2 n F n+1 (F n+1 +F n+2 ) = F }{{} n+2 (F n +F n+1 ) +( 1) }{{} F n+3 F n+2 13/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
106 Bazı Özdeşlikler Kanıt. Kanıtı yine tümevarım yöntemini kullanarak yapalım: n = 0 için (F 1 ) 2 = 1 = F 0 F 2 +( 1) 0 = 1 n için eşitliğin doğru olduğunu kabul edelim. Yani, (F n+1 ) 2 = F n F n+2 +( 1) n olsun. n+1 için de eşitliğin doğru olduğunu gösterelim. Yukarıdaki eşitliğinin her iki tarafına F n+1 F n+2 eklersek, (F n+1 ) 2 +F n+1 F n+2 = F n F n+2 +( 1) n +F n+1 F n+2 n F n+1 (F n+1 +F n+2 ) = F }{{} n+2 (F n +F n+1 ) +( 1) }{{} F n+3 F n+1 F n+3 F n+2 = (F n+2 ) 2 +( 1) n 13/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
107 Bazı Özdeşlikler Kanıt. Kanıtı yine tümevarım yöntemini kullanarak yapalım: n = 0 için (F 1 ) 2 = 1 = F 0 F 2 +( 1) 0 = 1 n için eşitliğin doğru olduğunu kabul edelim. Yani, (F n+1 ) 2 = F n F n+2 +( 1) n olsun. n+1 için de eşitliğin doğru olduğunu gösterelim. Yukarıdaki eşitliğinin her iki tarafına F n+1 F n+2 eklersek, (F n+1 ) 2 +F n+1 F n+2 = F n F n+2 +( 1) n +F n+1 F n+2 n F n+1 (F n+1 +F n+2 ) = F }{{} n+2 (F n +F n+1 ) +( 1) }{{} F n+3 F n+2 F n+1 F n+3 = (F n+2 ) 2 +( 1) n (F n+2 ) 2 = F n+1 F n+3 +( 1) n+1 13/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
108 Bazı Özdeşlikler Kanıt. Kanıtı yine tümevarım yöntemini kullanarak yapalım: n = 0 için (F 1 ) 2 = 1 = F 0 F 2 +( 1) 0 = 1 n için eşitliğin doğru olduğunu kabul edelim. Yani, (F n+1 ) 2 = F n F n+2 +( 1) n olsun. n+1 için de eşitliğin doğru olduğunu gösterelim. Yukarıdaki eşitliğinin her iki tarafına F n+1 F n+2 eklersek, (F n+1 ) 2 +F n+1 F n+2 = F n F n+2 +( 1) n +F n+1 F n+2 n F n+1 (F n+1 +F n+2 ) = F }{{} n+2 (F n +F n+1 ) +( 1) }{{} F n+3 F n+2 F n+1 F n+3 = (F n+2 ) 2 +( 1) n (F n+2 ) 2 = F n+1 F n+3 +( 1) n+1 O halde tümevarım yöntemi gereği her n doğal sayısı için eşitlik doğrudur. 13/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
109 Bazı Özdeşlikler Aşağıdaki özdeşliklerin de doğru olduğu yineleme formülü ve/veya tümevarım yöntemi kullanılarak gösterilebilir. 14/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
110 Bazı Özdeşlikler Aşağıdaki özdeşliklerin de doğru olduğu yineleme formülü ve/veya tümevarım yöntemi kullanılarak gösterilebilir. F 1 +F 3 +F 5 + +F 2n 1 = F 2n 14/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
111 Bazı Özdeşlikler Aşağıdaki özdeşliklerin de doğru olduğu yineleme formülü ve/veya tümevarım yöntemi kullanılarak gösterilebilir. F 1 +F 3 +F 5 + +F 2n 1 = F 2n F 0 F 1 +F 2 F 3 + F 2n 1 +F 2n = F 2n /41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
112 Bazı Özdeşlikler Aşağıdaki özdeşliklerin de doğru olduğu yineleme formülü ve/veya tümevarım yöntemi kullanılarak gösterilebilir. F 1 +F 3 +F 5 + +F 2n 1 = F 2n F 0 F 1 +F 2 F 3 + F 2n 1 +F 2n = F 2n 1 1 F 2 0 +F F 2 n = F n F n+1 14/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
113 Bazı Özdeşlikler Aşağıdaki özdeşliklerin de doğru olduğu yineleme formülü ve/veya tümevarım yöntemi kullanılarak gösterilebilir. F 1 +F 3 +F 5 + +F 2n 1 = F 2n F 0 F 1 +F 2 F 3 + F 2n 1 +F 2n = F 2n 1 1 F 2 0 +F F 2 n = F n F n+1 F 2 n +F 2 n 1 = F 2n 1 14/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
114 Bazı Özdeşlikler Aşağıdaki özdeşliklerin de doğru olduğu yineleme formülü ve/veya tümevarım yöntemi kullanılarak gösterilebilir. F 1 +F 3 +F 5 + +F 2n 1 = F 2n F 0 F 1 +F 2 F 3 + F 2n 1 +F 2n = F 2n 1 1 F 2 0 +F F 2 n = F n F n+1 Fn 2 +Fn 1 2 = F 2n 1 ( ) ( ) n n F 0 + F ( ) n F ( ) n F n = F 2n n 14/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
115 Fibonacci Sayıları İçin Bir Formül Fibonacci Sayıları İçin Bir Formül Teorem Fibonacci sayıları eşitliğini sağlar. F n = 1 5 [( 1+ ) n 5 ( 2 1 ) n ] /41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
116 Fibonacci Sayıları İçin Bir Formül Alıştırma Kanıtı tümevarım yöntemi ile yapalım: 16/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
117 Fibonacci Sayıları İçin Bir Formül Alıştırma Kanıtı tümevarım yöntemi ile yapalım: n = 0 ve n = 1 için formülün doğru olduğu açıktır. 16/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
118 Fibonacci Sayıları İçin Bir Formül Alıştırma Kanıtı tümevarım yöntemi ile yapalım: n = 0 ve n = 1 için formülün doğru olduğu açıktır. n 1 (n 2) için formülün doğru olduğunu kabul edelim (tümevarım hipotezi). 16/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
119 Fibonacci Sayıları İçin Bir Formül Alıştırma Kanıtı tümevarım yöntemi ile yapalım: n = 0 ve n = 1 için formülün doğru olduğu açıktır. n 1 (n 2) için formülün doğru olduğunu kabul edelim (tümevarım hipotezi). n için de formülün doğru olduğunu gösterelim. 16/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
120 Fibonacci Sayıları İçin Bir Formül Alıştırma Kanıtı tümevarım yöntemi ile yapalım: n = 0 ve n = 1 için formülün doğru olduğu açıktır. n 1 (n 2) için formülün doğru olduğunu kabul edelim (tümevarım hipotezi). n için de formülün doğru olduğunu gösterelim. F n = F n 1 +F n 2 16/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
121 Fibonacci Sayıları İçin Bir Formül Alıştırma Kanıtı tümevarım yöntemi ile yapalım: n = 0 ve n = 1 için formülün doğru olduğu açıktır. n 1 (n 2) için formülün doğru olduğunu kabul edelim (tümevarım hipotezi). n için de formülün doğru olduğunu gösterelim. F n = F n 1 +F n 2 ) n 1 ( ) ] n [ (1+ = [ ( ) n 2 ( ) n 2 ] 16/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
122 Fibonacci Sayıları İçin Bir Formül Alıştırma Kanıtı tümevarım yöntemi ile yapalım: n = 0 ve n = 1 için formülün doğru olduğu açıktır. n 1 (n 2) için formülün doğru olduğunu kabul edelim (tümevarım hipotezi). n için de formülün doğru olduğunu gösterelim. F n = F n 1 +F n 2 ) n 1 ( ) ] n [ (1+ = [ ( ) n 2 ( ) ] n [ (1+ = ) n 2 ( ) + ( ) n 2 ( ) ] /41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
123 Fibonacci Sayıları İçin Bir Formül Alıştırma Kanıtı tümevarım yöntemi ile yapalım: n = 0 ve n = 1 için formülün doğru olduğu açıktır. n 1 (n 2) için formülün doğru olduğunu kabul edelim (tümevarım hipotezi). n için de formülün doğru olduğunu gösterelim. F n = F n 1 +F n 2 ) n 1 ( ) ] n [ (1+ = [ ( ) n 2 ( ) ] n [ (1+ = [( = ) n 2 ( ) ) n ( ) n ] ( ) n 2 ( ) ] /41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
124 Fibonacci Sayıları İçin Bir Formül Alıştırma Kanıtı tümevarım yöntemi ile yapalım: n = 0 ve n = 1 için formülün doğru olduğu açıktır. n 1 (n 2) için formülün doğru olduğunu kabul edelim (tümevarım hipotezi). n için de formülün doğru olduğunu gösterelim. F n = F n 1 +F n 2 ) n 1 ( ) ] n [ (1+ = [ ( ) n 2 ( ) ] n [ (1+ = [( = ) n 2 ( ) ) n ( ) n ] ( ) n 2 ( ) ] O halde tümevarım yöntemi gereği formül her n doğal sayısı için doğrudur. 16/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
125 Fibonacci Sayıları İçin Bir Formül Önce bu formülün nasıl ortaya çıktığına değinelim: 17/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
126 Fibonacci Sayıları İçin Bir Formül Önce bu formülün nasıl ortaya çıktığına değinelim: Fibonacci sayılarının oldukça hızlı arttığını biliyoruz. 17/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
127 Fibonacci Sayıları İçin Bir Formül Önce bu formülün nasıl ortaya çıktığına değinelim: Fibonacci sayılarının oldukça hızlı arttığını biliyoruz. Acaba bu sayılar hangi hızla artıyor? 17/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
128 Fibonacci Sayıları İçin Bir Formül Önce bu formülün nasıl ortaya çıktığına değinelim: Fibonacci sayılarının oldukça hızlı arttığını biliyoruz. Acaba bu sayılar hangi hızla artıyor? Ardışık Fibonacci sayılarının oranlarına bakalım: 17/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
129 Fibonacci Sayıları İçin Bir Formül Önce bu formülün nasıl ortaya çıktığına değinelim: Fibonacci sayılarının oldukça hızlı arttığını biliyoruz. Acaba bu sayılar hangi hızla artıyor? Ardışık Fibonacci sayılarının oranlarına bakalım: 1 1 = 1 17/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
130 Fibonacci Sayıları İçin Bir Formül Önce bu formülün nasıl ortaya çıktığına değinelim: Fibonacci sayılarının oldukça hızlı arttığını biliyoruz. Acaba bu sayılar hangi hızla artıyor? Ardışık Fibonacci sayılarının oranlarına bakalım: 1 1 = 1, 2 1 = 2 17/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
131 Fibonacci Sayıları İçin Bir Formül Önce bu formülün nasıl ortaya çıktığına değinelim: Fibonacci sayılarının oldukça hızlı arttığını biliyoruz. Acaba bu sayılar hangi hızla artıyor? Ardışık Fibonacci sayılarının oranlarına bakalım: 1 1 = 1, 2 1 = 2, 3 2 = /41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
132 Fibonacci Sayıları İçin Bir Formül Önce bu formülün nasıl ortaya çıktığına değinelim: Fibonacci sayılarının oldukça hızlı arttığını biliyoruz. Acaba bu sayılar hangi hızla artıyor? Ardışık Fibonacci sayılarının oranlarına bakalım: 1 1 = 1, 2 1 = 2, 3 2 = 1.5, 5 3 = /41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
133 Fibonacci Sayıları İçin Bir Formül Önce bu formülün nasıl ortaya çıktığına değinelim: Fibonacci sayılarının oldukça hızlı arttığını biliyoruz. Acaba bu sayılar hangi hızla artıyor? Ardışık Fibonacci sayılarının oranlarına bakalım: 1 1 = 1, 2 1 = 2, 3 2 = 1.5, 5 3 = , 8 5 = /41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
134 Fibonacci Sayıları İçin Bir Formül Önce bu formülün nasıl ortaya çıktığına değinelim: Fibonacci sayılarının oldukça hızlı arttığını biliyoruz. Acaba bu sayılar hangi hızla artıyor? Ardışık Fibonacci sayılarının oranlarına bakalım: 1 1 = 1, 2 1 = 2, 3 2 = 1.5, 5 3 = , 8 5 = , 13 8 = /41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
135 Fibonacci Sayıları İçin Bir Formül Önce bu formülün nasıl ortaya çıktığına değinelim: Fibonacci sayılarının oldukça hızlı arttığını biliyoruz. Acaba bu sayılar hangi hızla artıyor? Ardışık Fibonacci sayılarının oranlarına bakalım: 1 1 = 1, 2 1 = 2, 3 2 = 1.5, 5 3 = , 8 5 = , 13 8 = , = /41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
136 Fibonacci Sayıları İçin Bir Formül Önce bu formülün nasıl ortaya çıktığına değinelim: Fibonacci sayılarının oldukça hızlı arttığını biliyoruz. Acaba bu sayılar hangi hızla artıyor? Ardışık Fibonacci sayılarının oranlarına bakalım: 1 1 = 1, 2 1 = 2, 3 2 = 1.5, 5 3 = , 8 5 = , 13 8 = , = , = /41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
137 Fibonacci Sayıları İçin Bir Formül Önce bu formülün nasıl ortaya çıktığına değinelim: Fibonacci sayılarının oldukça hızlı arttığını biliyoruz. Acaba bu sayılar hangi hızla artıyor? Ardışık Fibonacci sayılarının oranlarına bakalım: 1 1 = 1, 2 1 = 2, 3 2 = 1.5, 5 3 = , 8 5 = , 13 8 = , = , = , = /41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
138 Fibonacci Sayıları İçin Bir Formül Önce bu formülün nasıl ortaya çıktığına değinelim: Fibonacci sayılarının oldukça hızlı arttığını biliyoruz. Acaba bu sayılar hangi hızla artıyor? Ardışık Fibonacci sayılarının oranlarına bakalım: 1 1 = 1, 2 1 = 2, 3 2 = 1.5, 5 3 = , 8 5 = , 13 8 = , = , = , = , = /41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
139 Fibonacci Sayıları İçin Bir Formül Önce bu formülün nasıl ortaya çıktığına değinelim: Fibonacci sayılarının oldukça hızlı arttığını biliyoruz. Acaba bu sayılar hangi hızla artıyor? Ardışık Fibonacci sayılarının oranlarına bakalım: 1 1 = 1, 2 1 = 2, 3 2 = 1.5, 5 3 = , 8 5 = , 13 8 = , = , = , = , = , = /41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
140 Fibonacci Sayıları İçin Bir Formül Önce bu formülün nasıl ortaya çıktığına değinelim: Fibonacci sayılarının oldukça hızlı arttığını biliyoruz. Acaba bu sayılar hangi hızla artıyor? Ardışık Fibonacci sayılarının oranlarına bakalım: 1 1 = 1, 2 1 = 2, 3 2 = 1.5, 5 3 = , 8 5 = , 13 8 = , = , = , = , = , = , = /41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
141 Fibonacci Sayıları İçin Bir Formül Önce bu formülün nasıl ortaya çıktığına değinelim: Fibonacci sayılarının oldukça hızlı arttığını biliyoruz. Acaba bu sayılar hangi hızla artıyor? Ardışık Fibonacci sayılarının oranlarına bakalım: 1 1 = 1, 2 1 = 2, 3 2 = 1.5, 5 3 = , 8 5 = , 13 8 = , = , = , = , = , = , = , = /41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
142 Fibonacci Sayıları İçin Bir Formül Önce bu formülün nasıl ortaya çıktığına değinelim: Fibonacci sayılarının oldukça hızlı arttığını biliyoruz. Acaba bu sayılar hangi hızla artıyor? Ardışık Fibonacci sayılarının oranlarına bakalım: 1 1 = 1, 2 1 = 2, 3 2 = 1.5, 5 3 = , 8 5 = , 13 8 = , = , = , = , = , = , = , 377 = , İlk birkaç değeri göz ardı edersek ardışık Fibonacci sayılarının oranının e çok yakın olduğunu görüyoruz. 17/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
143 Fibonacci Sayıları İçin Bir Formül Önce bu formülün nasıl ortaya çıktığına değinelim: Fibonacci sayılarının oldukça hızlı arttığını biliyoruz. Acaba bu sayılar hangi hızla artıyor? Ardışık Fibonacci sayılarının oranlarına bakalım: 1 1 = 1, 2 1 = 2, 3 2 = 1.5, 5 3 = , 8 5 = , 13 8 = , = , = , = , = , = , = , 377 = , İlk birkaç değeri göz ardı edersek ardışık Fibonacci sayılarının oranının e çok yakın olduğunu görüyoruz. Bu bize Fibonacci sayılarının geometrik bir dizi olduğunu düşündürebilir. 17/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
144 Fibonacci Sayıları İçin Bir Formül Önce bu formülün nasıl ortaya çıktığına değinelim: Fibonacci sayılarının oldukça hızlı arttığını biliyoruz. Acaba bu sayılar hangi hızla artıyor? Ardışık Fibonacci sayılarının oranlarına bakalım: 1 1 = 1, 2 1 = 2, 3 2 = 1.5, 5 3 = , 8 5 = , 13 8 = , = , = , = , = , = , = , 377 = , İlk birkaç değeri göz ardı edersek ardışık Fibonacci sayılarının oranının e çok yakın olduğunu görüyoruz. Bu bize Fibonacci sayılarının geometrik bir dizi olduğunu düşündürebilir. Acaba Fibonacci sayıları ile aynı yineleme formülüne sahip bir geometrik dizi var mı bakalım. 17/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
145 Fibonacci Sayıları İçin Bir Formül G n dizisi G n = cq n şeklinde (c,q 0) G n+1 = G n +G n 1 yineleme formülünü sağlayan bir geometrik dizi olsun. 18/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
146 Fibonacci Sayıları İçin Bir Formül G n dizisi G n = cq n şeklinde (c,q 0) G n+1 = G n +G n 1 yineleme formülünü sağlayan bir geometrik dizi olsun. Bu durumda G n yerine değerini yazarsak, 18/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
147 Fibonacci Sayıları İçin Bir Formül G n dizisi G n = cq n şeklinde (c,q 0) G n+1 = G n +G n 1 yineleme formülünü sağlayan bir geometrik dizi olsun. Bu durumda G n yerine değerini yazarsak, olur. cq n+1 = cq n +cq n 1 18/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
148 Fibonacci Sayıları İçin Bir Formül G n dizisi G n = cq n şeklinde (c,q 0) G n+1 = G n +G n 1 yineleme formülünü sağlayan bir geometrik dizi olsun. Bu durumda G n yerine değerini yazarsak, olur. Gerekli sadeleştirmeyi yaparsak, elde ederiz. cq n+1 = cq n +cq n 1 q 2 = q /41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
149 Fibonacci Sayıları İçin Bir Formül G n dizisi G n = cq n şeklinde (c,q 0) G n+1 = G n +G n 1 yineleme formülünü sağlayan bir geometrik dizi olsun. Bu durumda G n yerine değerini yazarsak, olur. Gerekli sadeleştirmeyi yaparsak, elde ederiz. Bu denklemi çözersek, cq n+1 = cq n +cq n 1 q 2 = q /41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
150 Fibonacci Sayıları İçin Bir Formül G n dizisi G n = cq n şeklinde (c,q 0) G n+1 = G n +G n 1 yineleme formülünü sağlayan bir geometrik dizi olsun. Bu durumda G n yerine değerini yazarsak, olur. Gerekli sadeleştirmeyi yaparsak, elde ederiz. Bu denklemi çözersek, cq n+1 = cq n +cq n 1 q 2 = q + 1 olur. q 1 = ve q 2 = /41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
151 Fibonacci Sayıları İçin Bir Formül O halde elimizde Fibonacci sayıları ile aynı yineleme formülüne sahip iki geometrik dizi var: 19/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
152 Fibonacci Sayıları İçin Bir Formül O halde elimizde Fibonacci sayıları ile aynı yineleme formülüne sahip iki geometrik dizi var: ( 1+ ) n 5 G n = c 2 19/41 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
MAT223 AYRIK MATEMATİK
MAT223 AYRIK MATEMATİK Fibonacci Sayıları 4. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Fibonacci nin Tavşanları Fibonacci Sayıları Fibonacci
DetaylıMAT223 AYRIK MATEMATİK
MAT3 AYRIK MATEMATİK 4 Ders Doç Dr Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 00 0 Güz Dönemi 3 yüzyılda İtalyan matematikçi Leonardo Fibonacci aşağıdaki soruyu ortaya atmıştır:
DetaylıMAT223 AYRIK MATEMATİK
MAT223 AYRIK MATEMATİK Çizgeler 7. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Çift ve Tek Dereceler Çizgeler Çift ve Tek Dereceler Soru 51 kişinin
DetaylıMAT223 AYRIK MATEMATİK
MAT223 AYRIK MATEMATİK Kombinatoryal Olasılık 5. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Olaylar ve Olasılıklar Kombinatoryal Olasılık Olaylar
DetaylıMERDİVENİN EN ÜST BASAMAĞINA KAÇ FARKLI YOLLA ÇIKILIR?
MERDİVENİN EN ÜST BASAMAĞINA KAÇ FARKLI YOLLA ÇIKILIR? Amaç: n basamaklı bir merdivenin en üst basamağına her adımda 1, 2, 3, veya m basamak hareket ederek kaç farklı şekilde çıkılabileceğini bulmak. Giriş:
DetaylıSORULAR. 2. Noktaları adlandırılmamış 6 noktalı kaç ağaç vardır? Çizerek cevaplayınız.
MAT3 AYRIK MATEMATİK DERSİ DÖNEM SONU SINAVI 4.0.0 Numarası :..................................... Adı Soyadı :..................................... SORULAR. Prüfer kodu ( 3 3 ) olan ağacı çiziniz.. Noktaları
DetaylıÖZEL EGE LİSESİ FİBONACCİ DİZİLERİ YARDIMIYLA DEĞERİNİ HESAPLAYAN BİR FORMÜL
ÖZEL EGE LİSESİ FİBONACCİ DİZİLERİ YARDIMIYLA DEĞERİNİ HESAPLAYAN BİR FORMÜL HAZIRLAYAN ÖĞRENCİ: Tilbe GÖKÇEL DANIŞMAN ÖĞRETMEN: Emel ERGÖNÜL İZMİR 2013 İÇİNDEKİLER 1. PROJENİN AMACI... 3 2. GİRİŞ... 3
DetaylıMAT223 AYRIK MATEMATİK
MAT223 AYRIK MATEMATİK Geometride Kombinatorik 11. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Köşegenlerin Arakesiti Geometride Kombinatorik
DetaylıMAT223 AYRIK MATEMATİK
MAT223 AYRIK MATEMATİK Geometride Kombinatorik 11. Bölüm Doç. Dr. Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2011 2012 Güz Dönemi Köşegenlerin Arakesiti Geometride Kombinatorik
DetaylıProjenin Adı: Metalik Oranlar ve Karmaşık Sayı Uygulamaları
Projenin Adı: Metalik Oranlar ve Karmaşık Sayı Uygulamaları Projenin Amacı: Metalik Oranların elde edildiği ikinci dereceden denklemin diskriminantını ele alarak karmaşık sayılarla uygulama yapmak ve elde
DetaylıMATEMATİK ve DOĞA. Ayşe AYRAN Prof. Dr. Neşet AYDIN Çanakkale Onsekiz Mart Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Matematik Bölümü
MATEMATİK ve DOĞA Ayşe AYRAN Prof. Dr. Neşet AYDIN Çanakkale Onsekiz Mart Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Matematik Bölümü ÖZET Leonardo Fibonacci 13. yy yaşamış İtalyan bir matematikçidir. Fibonacci
DetaylıSevdiğim Birkaç Soru
Sevdiğim Birkaç Soru Matematikte öyle sorular vardır ki, yanıtı bulmak önce çok zor gibi gelebilir, sonradan saatler, günler, aylar, hatta kimi zaman yıllar sonra yanıtın çok basit olduğu anlaşılır. Bir
DetaylıMAT223 AYRIK MATEMATİK
MAT223 AYRIK MATEMATİK Euler Formülü 12. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Saldıraya Uğrayan Gezegen Euler Formülü Saldıraya Uğrayan
Detaylı5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJENİN ADI DİZİ DİZİ ÜRETEÇ PROJEYİ HAZIRLAYAN ESRA DAĞ ELİF BETÜL ACAR
5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJENİN ADI DİZİ DİZİ ÜRETEÇ PROJEYİ HAZIRLAYAN ESRA DAĞ ELİF BETÜL ACAR ÖZEL BÜYÜKÇEKMECE ÇINAR KOLEJİ 19 Mayıs Mah. Bülent Ecevit Cad. Tüyap Yokuşu
DetaylıMAT223 AYRIK MATEMATİK
MAT223 AYRIK MATEMATİK Çizgeler 7. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Çift ve Tek Dereceler Çizgeler Çift ve Tek Dereceler Soru 51 kişinin
DetaylıMAT223 AYRIK MATEMATİK
MAT223 AYRIK MATEMATİK Ağaçlar 8. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Ağacın Tanımı Ağaçlar Ağacın Tanımı Tanım Döngüsü olmayan tekparça
DetaylıÖrnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? Örnek...4 : Genel terimi w n. Örnek...1 : Örnek...5 : Genel terimi r n
DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler değer kümelerine göre adlandırılırlar. Dizinin değer kümesi
DetaylıÖrnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir?
DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler, değer kümelerine göre adlandırı - lırlar. Dizinin değer
DetaylıMuhammed ERKUŞ. Sefer Ekrem ÇELİKBİLEK
Hazırlayan: Sunan: Muhammed ERKUŞ Sefer Ekrem ÇELİKBİLEK 20047095 20043193 FİBONACCİ SAYILARI ve ALTIN ORAN Fibonacci Kimdir? Leonardo Fibonacci (1175-1250) Pisalı Leonardo Fibonacci Rönesans öncesi Avrupa'nın
DetaylıMAT223 AYRIK MATEMATİK
MAT223 AYRIK MATEMATİK Saymanın Temelleri 1. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Ayşe nin Doğum Günü Partisi Saymanın Temelleri Ayşe
DetaylıMAT223 AYRIK MATEMATİK
MAT223 AYRIK MATEMATİK Gezgin Satıcı Problemi 9. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Gezgin Satıcı Problemi Soru n tane şehri olan bir
Detaylı2. (x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 ) 10 ifadesinin açılımında kaç terim vardır?
Numarası : Adı Soyadı : SINAV YÖNERGESİ İşaretlemelerinizde kurşun kalem kullanınız. Soru ve cevap kağıtlarına numaranızı ve isminizi mürekkepli kalem ile yazınız. Sınavın ilk 30 dakikasında sınıftan çıkılmayacaktır.
DetaylıSINIF TEST. Üslü Sayılar A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 A) - 5 B) - 4 C) 5 D) 7. sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir?
8. SINIF. Üslü Sayılar - = T olduğuna göre T kaçtır? A) - B) - C) D) 7 TEST.. 0 - işleminin sonucu kaç basamaklı bir sayıdır? A) B) C) 6 D) 7. n =- 7 için n ifadesinin değeri kaçtır? A) - 8 B) - C) 8 D)
DetaylıMAT223 AYRIK MATEMATİK
MAT223 AYRIK MATEMATİK Gezgin Satıcı Problemi 9. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Gezgin Satıcı Problemi Soru n tane şehri olan bir
DetaylıTemel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir.
Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. a) Pozitif doğal sayılar: Sıfır olmayan doğal sayılar kümesine Pozitif Doğal
DetaylıVeri Ağlarında Gecikme Modeli
Veri Ağlarında Gecikme Modeli Giriş Veri ağlarındaki en önemli performans ölçütlerinden biri paketlerin ortalama gecikmesidir. Ağdaki iletişim gecikmeleri 4 farklı gecikmeden kaynaklanır: 1. İşleme Gecikmesi:
DetaylıTanım 2.1. X boş olmayan bir küme olmak üzere X den X üzerine bire-bir fonksiyona permütasyon denir.
2. SİMETRİK GRUPLAR Tanım 2.1. X boş olmayan bir küme olmak üzere X den X üzerine bire-bir fonksiyona permütasyon denir. Tanım 2.2. boş olmayan bir küme olsun. ile den üzerine bire-bir fonksiyonlar kümesini
DetaylıOYAK ADANA - BALIKESİR - BATMAN - BOLU - DÜZCE HATAY - KAHRAMANMARAŞ - MARDİN - ORDU RİZE - SAKARYA - SİVAS - TEKİRDAĞ - ZONGULDAK 7 NİSAN 2012
OYAK TÜBİTAK BİLİM İNSANI DESTEKLEME DAİRE BAŞKANLIĞI OYAK MATEMATİK YARIŞMASI FİNAL SINAVI ADANA - BALIKESİR - BATMAN - BOLU - DÜZCE HATAY - KAHRAMANMARAŞ - MARDİN - ORDU RİZE - SAKARYA - SİVAS - TEKİRDAĞ
DetaylıSAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ ÇÖZÜMLÜ SORULARI. 1) 1000a 10b ifadesi aşağıdaki sayılardan hangisinin. ÇÖZÜM: 1000a 10b 1000.a b 1.
SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ ÇÖZÜMLÜ SORULARI 1) 1000a 10b ifadesi aşağıdaki sayılardan hangisinin çözümlenmiş biçimidir? A) ab B) a0b C) a0b0 D) ab0 E) ab00 1000a 10b 1000.a 100.0 10.b 1.0 a0b0 Doğru Cevap:
DetaylıKareköklü Sayılar. sayısını en yakın onda birliğe kadar tahmin edelim.
1 2 sayısını en yakın onda birliğe kadar tahmin edelim. 3 sayısını en yakın onda birliğe kadar tahmin edelim. 28 sayısına en yakın tam kare sayılar 25 ve 36 dır. 4 sayısını en yakın onda birliğe kadar
DetaylıProje Adı: Sonlu Bir Aritmetik Dizinin Terimlerinin Kuvvetleri Toplamının İndirgeme Bağıntısıyla Bulunması.
Proje Adı: Sonlu Bir Aritmetik Dizinin Terimlerinin Kuvvetleri Toplamının İndirgeme Bağıntısıyla Bulunması. Projenin Amacı: Aritmetik bir dizinin ilk n-teriminin belirli tam sayı kuvvetleri toplamının
Detaylı10. DİREKT ÇARPIMLAR
10. DİREKT ÇARPIMLAR Teorem 10.1. H 1,H 2,, H n bir G grubunun alt gruplarının bir ailesi ve H = H 1 H 2 H n olsun. Aşağıdaki ifadeler denktir. a ) dönüşümü altında dır. b) ve olmak üzere her yi tek türlü
Detaylı1 Primitif Kökler. [Fermat ] p asal, p a a p 1 1 (mod p) a Z, a p a (mod p) [Euler] ebob(a, m) = 1, a φ(m) 1 (mod m) φ(1) := 1
Primitif Kökler [Fermat ] p asal, p a a p (mod p) a Z, a p a (mod p) [Euler] ebob(a, m) =, a φ(m) (mod m) φ : Z + Z + φ() := φ(m) := {x Z x < m, ebob(x, m) = } φ fonksiyonunun özellikleri: ) m >, φ(m)
Detaylı-ÖRÜNTÜ NEDİR? Bir örnek verebilir misin?
ÖRÜNTÜLERİ TAMIYALIM Fred bu örüntünün ne olduğunu anlayamadım bir türlü. Bana birde sen anlatır mısın? -ÖRÜNTÜ NEDİR? Örüntü, bir nesne veya olay kümesindeki elemanların ardışık olarak düzenli bir biçimde
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
Detaylı23. ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI SORULARI B B B B B B B
AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ 23. ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI SORULARI ADI SOYADI :... OKUL... ŞEHİR :...SINIF :... İMZA :... SINAV TARİHİ VESAATİ:29 Nisan 2018 - Pazar 10.00-12.30 u sınav 25 sorudan oluşmaktadır
Detaylı2. SİMETRİK GRUPLAR. Tanım 2.1. X boş olmayan bir küme olmak üzere X den X e birebir örten fonksiyona permütasyon denir.
2. SİMETRİK GRUPLAR Tanım 2.1. X boş olmayan bir küme olmak üzere X den X e birebir örten fonksiyona permütasyon denir. Tanım 2.2. X boş olmayan bir küme olsun. S X ile X den X e tüm birebir örten fonksiyonlar
DetaylıOnur NURTAN. Danışman Öğretmen: Mustafa YAZAGAN. Özel Atacan Anadolu Lisesi
KAĞIT KATLAMA YOLUYLA KESİRLERİN BELİRLENMESİ Onur NURTAN Danışman Öğretmen: Mustafa YAZAGAN Özel Atacan Anadolu Lisesi Özet: Kare biçimindeki kağıdı tam iki eş parçaya ayıran kırışığına kağıdımızı katlayarak
DetaylıProjenin Amacı: Çok kullanılan trigonometrik oranların farklı ve pratik yöntemlerle bulunması
Projenin Adı: Trigonometrik Oranlar için Pratik Yöntemler Projenin Amacı: Çok kullanılan trigonometrik oranların farklı ve pratik yöntemlerle bulunması GİRİŞ: Matematiksel işlemlerde, lazım olduğunda,
DetaylıT I M U R K A R A Ç AY, H AY D A R E Ş, O R H A N Ö Z E R K A L K U L Ü S N O B E L
T I M U R K A R A Ç AY, H AY D A R E Ş, O R H A N Ö Z E R K A L K U L Ü S N O B E L 1 Denklemler 1.1 Doğru deklemleri İki noktası bilinen ya da bir noktası ile eğimi bilinen doğruların denklemlerini yazabiliriz.
DetaylıMAT223 AYRIK MATEMATİK
MAT223 AYRIK MATEMATİK Kombinatoryal Olasılık 5. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Olaylar ve Olasılıklar Kombinatoryal Olasılık Olaylar
DetaylıMATEMATİK Fasikül 1 KONU ANLATIMLI FASİKÜL SET MEB TTKB NİN UYGULADIĞI 10 KÖK DEĞER FASİKÜLLERİMİZDE İŞLENMİŞTİR. EVLE OKUL BiR ARADA ATU
Türkiye de ilk defa EVLE OKUL BiR ARADA ATU MATEMATİK Fasikül 1 KONU ANLATIMLI FASİKÜL SET ÖZGÜN KONU ANLATIMI DEĞERLENDİRME SORULARI SINIF İÇİ UYGULAMALAR MEB TTKB NİN UYGULADIĞI 10 KÖK DEĞER FASİKÜLLERİMİZDE
DetaylıPERMÜTASYON, KOMBİNASYON. Örnek: Örnek: Örnek:
SAYMANIN TEMEL KURALLARI Toplama Kuralı : Sonlu ve ayrık kümelerin eleman sayılarının toplamı, bu kümelerin birleşimlerinin eleman sayısına eşittir. Mesela, sonlu ve ayrık iki küme A ve B olsun. s(a)=
Detaylı1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması
1.4. Tam Metrik Uzay ve Tamlaması 15 1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması Öncelikle şunu not edelim: (X, d) bir metrik uzay, (x n ), X de bir dizi ve x X ise lim n d(x n, x) = 0 = lim n,m d(x n, x m ) = 0
DetaylıT I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A
T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A Contents 1 Denklik Bağıntıları 5 Bibliography 13 1 Denklik Bağıntıları 1 1denklik 1.1 Eşitlik Günlük
DetaylıÇ.Ü Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi Yıl:2012 Cilt:28-2
SERBEST LİE CEBİRLERİNİN ALT MERKEZİ VE POLİSENTRAL SERİLERİNİN TERİMLERİNİN KESİŞİMLERİ * Intersections of Terms of Polycentral Series and Lower Central Series of Free Lie Algebras Zeynep KÜÇÜKAKÇALI
DetaylıDoğal Sayılarla Çarpma İşlemi. Doğal Sayılarla Bölme İşlemi
Onluklar ve Birlikler Doğal Sayılarla Çarpma İşlemi Doğal Sayılarla Bölme İşlemi Çarpma İşlemi Çarpanların Yerlerinin Değişimi Çarpım Tablosu Oluşturma 1 ve 0 ile Çarpma Çarpma Problemleri Bölme İşlemi
DetaylıARALARINDA ASAL SAYILAR
ARALARINDA ASAL SAYILAR Bir ( 1 ) sayısı her sayının bölenidir. İki tamsayının birden başka ortak böleni yoksa böyle iki tamsayıya aralarında asal tam sayılar denir. İki tamsayı asal sayı olmak zorunda
Detaylı23. ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI SORULARI A A A A A A A
KDENİZ ÜNİVERSİTESİ 23. ULUSL NTLY MTEMTİK OLİMPİYTI SORULRI DI SOYDI :... OKUL... ŞEHİR :...SINIF :... İMZ :... SINV TRİHİ VESTİ:29 Nisan 2018 - Pazar 10.00-12.30 Bu sınav 25 sorudan oluşmaktadır vesınav
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıDenklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere,
Bölüm 33 Denklemler 33.1 İkinci Dereceden Denklemler İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli
Detaylı13. Karakteristik kökler ve özvektörler
13. Karakteristik kökler ve özvektörler 13.1 Karakteristik kökler 1.Tanım: A nxn tipinde matris olmak üzere parametrisinin n.dereceden bir polinomu olan şeklinde gösterilen polinomuna A matrisin karakteristik
DetaylıÖzdeğer ve Özvektörler
Özdeğer ve Özvektörler Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 9 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; bir lineer dönüşümün ve bir matrisin özdeğer ve özvektör kavramlarını anlayacak, bir dönüşüm matrisinin
DetaylıMAT223 AYRIK MATEMATİK
MAT223 AYRIK MATEMATİK Tamsayılar, Bölenler ve Asal Sayılar 6. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Bölünebilme Tamsayılar, Bölenler ve
DetaylıÇARPANLAR ve KATLAR ASAL SAYILAR. Örnek-2 : 17 ve 27 sayılarının asal sayı olup olmadığını inceleyelim.
SINIF ÇARPANLAR ve KATLAR www.tayfunolcum.com 8.1.1.1: Verilen pozitif tam sayıların çarpanlarını bulur; pozitif tam sayıları üslü ifade ya da üslü ifadelerin çarpımı seklinde yazar. Çarpan ( bölen ) Her
DetaylıT.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ FEN FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ ÇİZGELERİ BOYAMAK HAZIRLAYAN FERHAN ÇİFTCİ 27991225984. DANIŞMAN Doç. Dr.
T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ FEN FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ ÇİZGELERİ BOYAMAK HAZIRLAYAN FERHAN ÇİFTCİ 27991225984 DANIŞMAN Doç. Dr. EMRAH AKYAR MAT401 MATEMATİK UYGULAMALARI 2011 2012 GÜZ DÖNEMİ 1 Ön Bilgiler
DetaylıÖrnek...4 : Özellik 2. w w w. m a t b a z. c o m. Bir (a n) geometrik dizisinin ilk terimi 1/2 ve
GEOMETRİK DİZİ Bir () dizisinin ardışık terimleri arasındaki oranı ayni sabit sayi ise, bu di zi ye geom etrik dizi denir. a n N +, n +1 =r ise, () ortak çarpanı r olan geom etrik dizi dir. Örnek...4 :
DetaylıA GRUBU Her bir yüzü düzgün beşgen olan düzgün 12-yüzlünün kaç ayrıtı vardır? A) 30 B) 24 C) 12 D) 36 E) 48
Numarası : Adı Soyadı : SINAV YÖNERGESİ 2. K 5 tam çizgesinin bir kenarı çıkarılarak elde edilen çizgenin köşe noktaları en az kaç renk ile boyanabilir? A) 3 B) 4 C) 2 D) 5 E) 6 İşaretlemelerinizde kurşun
DetaylıÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER
HEDEFLER İÇİNDEKİLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER Özdeşlikler Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler Yüksek Dereceden Denklemler Eşitsizlikler
Detaylıp sayısının pozitif bölenlerinin sayısı 14 olacak şekilde kaç p asal sayısı bulunur?
07.10.2006 1. Kaç p asal sayısı için, x 3 x + 2 (x r) 2 (x s) (mod p) denkliğinin tüm x tam sayıları tarafından gerçeklenmesini sağlayan r, s tamsayıları bulunabilir? 2. Aşağıdaki ifadelerin hangisinin
DetaylıMAT 101, MATEMATİK I, FİNAL SINAVI 08 ARALIK (10+10 p.) 2. (15 p.) 3. (7+8 p.) 4. (15+10 p.) 5. (15+10 p.) TOPLAM
TOBB-ETÜ, MATEMATİK BÖLÜMÜ, GÜZ DÖNEMİ 2014-2015 MAT 101, MATEMATİK I, FİNAL SINAVI 08 ARALIK 2014 Adı Soyadı: No: İMZA: 1. 10+10 p.) 2. 15 p.) 3. 7+8 p.) 4. 15+10 p.) 5. 15+10 p.) TOPLAM 1. a) NOT: Tam
DetaylıTEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR.
TEOG Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar 1. DOĞAL SAYILAR 0 dan başlayıp artı sonsuza kadar giden sayılara doğal sayılar denir ve N ile gösterilir. N={0, 1, 2, 3,...,n, n+1,...} a ve b doğal sayılar olmak
DetaylıT. C. Manisa Celal Bayar Üniversitesi Kırkağaç Meslek Yüksekokulu Öğretim Yılı Güz Yarıyılı MATEMATİK Dersi Final Sınavı Çalışma Soruları
T. C. Manisa Celal Bayar Üniversitesi Kırkağaç Meslek Yüksekokulu 016-017 Öğretim Yılı Güz Yarıyılı MATEMATİK Dersi Final Sınavı Çalışma Soruları 1) 3. [15 3(8: )] 9 =? a) 16 b) 14 c) 0 d) 14 e) 16 6)
DetaylıBoyut: Belirli bir doğrultuda ölçülmüş bir büyüklüğü ifade etmek için kullanılan geometrik bir terim.
FRAKTALLAR 1 2 * 3 Boyut: Belirli bir doğrultuda ölçülmüş bir büyüklüğü ifade etmek için kullanılan geometrik bir terim. Bir nokta «sıfır boyutlu» ludur. Doğrusal nokta toplulukları «bir boyutlu» bir doğru
Detaylı3. BÖLÜM MATRİSLER 1
3. BÖLÜM MATRİSLER 1 2 11 21 1 m1 a a a v 12 22 2 m2 a a a v 1 2 n n n mn a a a v gibi n tane vektörün oluşturduğu, şeklindeki sıralanışına matris denir. 1 2 n A v v v Matris A a a a a a a a a a 11 12
Detaylı1994 ÖYS. 6. x, y, z sıfırdan büyük birer tam sayı ve 2x+3y-z=94 olduğuna göre, x in en küçük değeri kaçtır?
99 ÖYS. Üç basamaklı abc sayısının birler basamağı tür. Birler basamağı ile yüzler basamağı değiştirildiğinde oluşan yeni sayı, abc sayısından 97 küçüktür. Buna göre, abc sayısının yüzler basamağı kaçtır?.,
DetaylıDers 10: Düzlemde cebirsel eğriler
Ders 10: Düzlemde cebirsel eğriler İzdüşümsel geometride bir doğruyu derecesi 1 olan homojen bir polinomun sıfırları kümesi olarak tarif ettik. Bir kuadrik, derecesi 2 olan homojen bir polinomla anlatılıyordu
DetaylıSıfırdan farklı a, b, c tam sayıları için aşağıdaki özellikler sağlanır.
SAYILAR TEORİSİ 1 Bölünebilme Bölme Algoritması: Her a ve b 0 tam sayıları için a = qb + r ve 0 r < b olacak şekilde q ve r tam sayıları tek türlü belirlenebilir. r sayısı a nın b ile bölümünden elde edilen
Detaylıfonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı
10.1 Türev Kavramı fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki bir değerine kadar bir artma verildiğinde varılan x = x 0 + noktasında fonksiyonun değeri olsun.
Detaylıiçin doğrudur. olmak üzere tüm r mertebeli gruplar için lemma nın doğru olduğunu kabul edelim. G grubunun mertebesi n olsun. ve olsun.
11. Cauchy Teoremi ve p-gruplar Bu bölümde Lagrange teoreminin tersinin doğru olduğu bir özel durumu inceleyeceğiz. Bu teorem Cauchy tarafından ispatlanmıştır. İlk olarak bu teoremi sonlu değişmeli gruplar
DetaylıMAT239 AYRIK MATEMATİK
MAT239 AYRIK MATEMATİK 6. Bölüm Emrah Akyar Eskişehir Teknik Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2018 2019 Öğretim Yılı Bölünebilme Tamsayılarda Bölünebilme Önce bazı temel gösterimleri
DetaylıÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV
- 1 - ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV Kazanım 1 : Türev Kavramını fiziksel ve geometrik uygulamalar yardımıyla açıklar, türevin tanımını
Detaylı2. Aşağıdaki pseudocode ile verilen satırlar işletilirse, cnt isimli değişkenin son değeri ne olur?
Numarası : Adı Soyadı : SINAV YÖNERGESİ İşaretlemelerinizde kurşun kalem kullanınız. Soru ve cevap kağıtlarına numaranızı ve isminizi mürekkepli kalem ile yazınız. Sınavın ilk 30 dakikasında sınıftan çıkılmayacaktır.
Detaylı7 2 işleminin sonucu kaçtır? A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3. Not : a buluruz. Doğru Cevap : E şıkkı
) 3 4 5 3 0 A) B) 6 C) 5 D) 4 E) 3 0 Not : a 0 3 4 5 3 4 5 3 3 3.3.3... ÜSLÜ SAYILAR QUİZİ VE CEVAPLARI 6 4 4 3 buluruz. Doğru Cevap : E şıkkı 0 ) n bir doğal saı olmak üzere, ( ) ( ) n ( ) n n n A) 4
Detaylı1. ÜNİTE:SAYILAR VE İŞLEMLER
1. ÜNİTE:SAYILAR VE İŞLEMLER 2 DERS SAATİ:Verilen iki doğal sayının aralarında asal olup olmadığını belirler. ASAL SAYILAR 1 ve kendisinden başka hiçbir sayma sayısı ile bölünemeyen 1 den büyük doğal sayılara
DetaylıSAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR
1 SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR RAKAM: Sayıları ifade etmek için kullandığımız 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembollerinden her birine rakam denir. Soru: a ve b farklı rakamlar olmak üzere a + b nin alabileceği
DetaylıKöklü Sayılar ,1+ 0,1+ 1, 6= m 10 ise m kaçtır? ( 8 5 ) 2x 3. + a =? (4)
Köklü Sayılar.,+ 0,+, 6= m 0 ise m kaçtır ( 8 5 ). a= ise a + a (). : :... = 8 0 0... eşitliğini sağlayan değeri nedir (). 99.0+.6+ (75) 5. + : + 8 7 8 () 6. > 0 ve = olduğuna göre ( ) + a+ b 7. a, b R
DetaylıBir yaz mda, kimbilir hangisinde,
Sonsuz Toplamlar Bir yaz mda, kimbilir hangisinde, 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 +... toplam n n sonsuz oldu unu, yani 1/1 1/1 + 1/2 1/1 + 1/2 + 1/3 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5
Detaylı( KARMAŞIK SAYI MODÜL VE ÖZELLİKLERİ İKİ KARMAŞIK SAYI ARASI UZAKLIK DÜZLEMDE BELİRTTİĞİ BÖLGELER ) 1) z = z = i.z = z =... 2) z 1.
BİR KARMAŞIK SAYININ MUTLAK DEĞERI (MODÜLÜ) Karmaşık düzlemde, bir karmaşık sayıya karşılık gelen noktanın (A noktasının), başlangıç noktasına uzaklığına bu sayının mutlak değeri (modülü) denir ve z şeklinde
DetaylıÖZEL EGE LĠSESĠ. ġeklġndekġ ĠFADELERĠN. SADELEġTĠRĠLEMEZ VEYA SADELEġTĠRĠLEBĠLĠR OLMASI ĠÇĠN GEREKEN KOġULLAR
ÖZEL EGE LĠSESĠ ġeklġndekġ ĠFADELERĠN SADELEġTĠRĠLEMEZ VEYA SADELEġTĠRĠLEBĠLĠR OLMASI ĠÇĠN GEREKEN KOġULLAR HAZIRLAYAN ÖĞRENCĠ: Ersin ĠSTANBULLU DANIġMAN ÖĞRETMEN: Defne TABU ĠZMĠR 2013 ĠÇĠNDEKĠLER 1.
DetaylıV 2 = J 2,1 J 2,2 = aşamada ise atılanlar = 27. ve kalanlar. kümeleridir. aralıklar 2 n 1 tanedir ve. V n = J n,1 J n,2 n 1 = tanedir ve
CANTOR KÜMELERİ H. Turgay Kaptanoğlu Yazımızın başlığında adı geçen Alman matematikçisi Georg Cantor (845 8), modern matematiğin temeli olan kümeler teorisinin kurucusu olarak kabul edilir. Cantor,. yüzyılın
DetaylıMatematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür.
- 1 - ÖĞRENME ALANI CEBİR BÖLÜM KARMAŞIK SAYILAR ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Karmaşık Sayılar Karmaşık Sayıların Kutupsal Biçimi KARMAŞIK SAYILAR Kazanım 1 : Gerçek sayılar kümesini genişletme gereğini örneklerle
DetaylıLineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN
Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,
DetaylıBÖLÜM 1 1- KOMPLEKS (KARMAŞIK) SAYILAR 1-1 KARMAŞIK SAYILAR VE ÖZELLİKLERİ
BÖLÜM - KOMPLEKS (KARMAŞIK) SAYILAR - KARMAŞIK SAYILAR VE ÖELLİKLERİ ax + bx +c ikinci derece denkleminin < iken reel köklerinin olmadığını biliyoruz. Örneğin x + denkleminin reel sayılar kümesinde çözümü
Detaylı13.Konu Reel sayılar
13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık
Detaylı2. K 6 tam çizgesinde kaç farklı mükemmel eşleme vardır? 4. Düzlemsel kodu (planar code) olan ağacın kaç köşe noktası vardır?
Ayrık Hesaplama Yapıları A GRUBU 0.06.01 Numarası :. K 6 tam çizgesinde kaç farklı mükemmel eşleme vardır? Adı Soyadı : SINAV YÖNERGESİ İşaretlemelerinizde kurşun kalem kullanınız. Soru ve cevap kağıtlarına
DetaylıIQ PLUS BUTİK EĞİTİM MERKEZİ
TÜRKÇE www.ilusegitim.com 0 232 2013 2013 www.ilusegitim.com www.ilusegitim.com 0 232 2013 2013 www.ilusegitim.com 2013 www.ilusegitim.com 0 232 2013 www.ilusegitim.com www.ilusegitim.com 0 232 www.ilusegitim.com
Detaylı12.Konu Rasyonel sayılar
12.Konu Rasyonel sayılar 1. Rasyonel sayılar 2. Rasyonel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Rasyonel sayılar kümesinde çıkarma ve bölme 4. Tam rayonel sayılar 5. Rasyonel sayılar kümesinde sıralama
DetaylıNesbitt Eşitsizliğine Farklı Bir Bakış
ÖZEL DARÜŞŞAFAKA LİSESİ SALİH ZEKİ V. MATEMATİK ARAŞTIRMA PROJELERİ YARIŞMASI Nesbitt Eşitsizliğine Farklı Bir Bakış Muhammed Osman Çorbalı Danışman Öğretmen: Yüksel Demir PROJE RAPORU 2014 PROJENİN AMACI:
DetaylıBASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI
Projesii Kousu: Bir çekirgei metre, metre veya 3 metre zıplayarak uzuluğu verile bir yolu kaç farklı şekilde gidebileceği ya da bir kişii veya (veya 3) basamak atlayarak basamak sayısı verile bir merdivei
DetaylıUYGUN MATEMATİK 5 SORU BANKASI. HAZIRLAYANLAR Fatih KOCAMAN Meryem ER. : Sad k Uygun E itim Yay nlar. : Yaz n Matbaas / stanbul
UYGUN MATEMATİK SORU BANKASI HAZIRLAYANLAR Fatih KOCAMAN Meryem ER AR-GE Editör : Ş. Yunus MUSLULAR : Dr. Özgür AYDIN Prg. Gel. Uzm. : Özden TAŞAR Pedagog Dan şman Dizgi Bask : Hilâl GENÇAY : Psikiyatr
DetaylıT I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A
T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A Contents 1 İyi Sıralama 5 Bibliography 13 1 İyi Sıralama Well Ordering İyi sıralama kavramı, doğal sayıların
DetaylıSayılar ve Altın Oranı. Mahmut Kuzucuoğlu. 16 Ağustos 2015
Sayılar ve Altın Oranı Mahmut Kuzucuoğlu Orta Doğu Teknik Üniversitesi Matematik Bölümü matmah@metu.edu.tr İlkyar-2015 16 Ağustos 2015 Ben kimim? Denizli nin Çal ilçesinin Ortaköy kasabasında 1958 yılında
DetaylıLeyla Bugay Doktora Nisan, 2011
ltanguler@cu.edu.tr Çukurova Üniversitesi, Matematik Bölümü Doktora 2010913070 Nisan, 2011 Yarıgrup Teorisi Nedir? Yarıgrup teorisi cebirin en temel dallarından biridir. Yarıgrup terimi ilk olarak 1904
DetaylıCebir. Notları. Faktöryel Mustafa YAĞCI,
www.mustafayagci.com, 003 Cebir Notları Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Tanım: n, 1 den büyük bir doğal sayı olmak üzere; 1 den n ye kadar olan doğal sayıların çarpımına n nin faktöryeli veya kısaca
Detaylı= 646 ] (n+2) 2 1 = n 2 + 4n+4 1 = (n 2 1)+4(n+1) MAT223 AYRIK MATEMATİK DERSİ 2.ARA SINAVI ÇÖZÜMLER
MAT3 AYRIK MATEMATİK DERSİ.ARA SINAVI 18.1.009 ÇÖZÜMLER 1. G çizgesinin silindiğinde kalan çizge tek parça olacak şekildeki kenarlarını birer birer silelim (G yoldan farklı olduğundan en az bir böyle bir
DetaylıAr tık Matematiği Çok Seveceksiniz!
Ar tık Matematiği Çok Seveceksiniz! MateMito AKILLI MATEMATİK DEFTERİ Artık matematikten korkmuyorum. Artık matematiği çok seviyorum. Artık az yazarak çok soru çözüyorum. Artık matematikten sıkılmıyorum.
DetaylıLimit Oyunları. Ufuk Sevim ufuk.sevim@itu.edu.tr 10 Ekim 2012
Limit Oyunları Ufuk Sevim ufuk.sevim@itu.edu.tr 10 Ekim 2012 1 Giriş Limit ve sonsuzluk kavramlarının anlaşılması birçok insan için zor olabilir. Hatta bazı garip örnekler bu anlaşılması zor kavramlar
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıPROJE ADI: TEKRARLI PERMÜTASYONA BİNOM LA FARKLI BİR BAKIŞ
PROJE ADI: TEKRARLI PERMÜTASYONA BİNOM LA FARKLI BİR BAKIŞ PROJENİN AMACI: Projede, permütasyon sorularını çözmek genellikle öğrencilere karışık geldiğinden, binom açılımı kullanmak suretiyle sorulara
Detaylı