VERİ, SAYMA VE OLASILIK

Transkript

1 Ünite 6 VERİ, SAYMA VE OLASILIK Bölüm 6.1. Merkezi Eğilim ve Yayılım Ölçüleri Bu Bölümde Neler Öğreneceğiz? Merkezi eğilim ölçülerinden aritmetik ortalama, tepe değer (mod), ortanca (medyan) kavramlarını ve merkezi yayılım ölçülerinden standart sapma, açıklık ve çeyrekler açıklığı kavramlarını, Merkezi eğilim ve yayılım ölçüleri yardımıyla veri gruplarını yorumlamayı. Neden Öğreneceğiz? Merkezi eğilim ve yayılım ölçülerini kullanarak gerçek/gerçekçi hayat durumlarını yorumlayabiliriz. Örneğin bireylerin başarılarını veya tercihlerini yorumlamada, bir sporcunun veya bir öğrencinin istikrarlı olup olmadığının yorumlanmasında, bir anket sonucunda elde edilen verileri doğru temsil yöntemleri ile göstermek ve birden fazla veri grubunun karşılaştırılmasında merkezi eğilim ve yayılım ölçülerinden yararlanabiliriz.

2 Bölüm 6.1. Merkezi Eğilim ve Yayılım Ölçüleri HAZIR MIYIZ? 1. Aşağıda verilen boşlukları aritmetik ortalama, ortanca, ve tepe değer kavramlarından uygun olanları yazarak doldurunuz. a) Bir veri grubunda verilerin toplamının veri sayısına bölümüne... denir. b) Bir veri grubunda en çok tekrar eden veriye... denir. c) Bir veri grubu küçükten büyüğe sıralandığında ortadaki değere...denir.. Büşra matematik dersi yazılılarında 58, 7 ve 8 almıştır. Büşra nın matematik yazılı notlarının aritmetik ortalaması kaçtır? 3. Bir grupta bulunan iki kişi 5, beş kişi 8, sekiz kişi 4 yaşındadır. Buna göre grubun yaş ortalaması kaçtır? 4. Aşağıdaki veri gruplarının ortanca (medyan) değerlerini bulunuz. a) 7, 99, 1 b) 1, 3, 15, c) 1,, 1,, 1,, 1 5. Aşağıdaki veri gruplarının tepe değerlerini (mod) bulunuz. a), 4, 1, 6, b) 8, 4, 4, 4, 7, 8, 5, 8 c) 4, 5, 6, 4, 5, 6 d) 1,, 3, 4 1

3 Bölüm 6.1. Merkezi Eğilim ve Yayılım Ölçüleri HAZIR MIYIZ? 6. Oyuncak satan bir dükkanın farklı günlerde sattığı top sayıları aşağıda verilmiştir., 5,, 6, 7, 9, 11, 8, 1, 1, 3 Bu verilerin; aritmetik ortalaması..., ortancası..., tepe değeri..., en büyük değeri..., en küçük değeri...dır. 7. Aşağıdaki ifadelerden doğru olanların solunda verilen boşluğa D, yanlış olanlara Y yazınız. Cevaplarınızı nedenleriyle açıklayınız. a. (...) Bir veri grubunda aritmetik ortalama her zaman en büyük değer ile en küçük değer arasındadır. b. (...) Bir veri grubunda ortanca değer veri grubuna ait olmak zorundadır. c. (...) Bir veri grubunda iki farklı tepe değer olabilir. ç. (...) Bir veri grubunun aritmetik ortalaması verilerin büyüklüğünden etkilenir. d. (...) Bir veri grubunun mod ve medyanı verilerin uç değerlerinin büyüklüğünden etkilenmez. 13

4 Bölüm 6.1 Merkezi Eğilim ve Yayılım Ölçüleri Neler Öğreneceğiz? Alt çeyrek, üst çeyrek, çeyrekler açıklığı ve standart sapma kavramlarını Merkezi eğilim ve yayılım ölçülerini kullanarak gerçek/gerçekçi hayat durumlarını yorumlamayı Anahtar Terimler Aritmetik ortalama Ortanca (Medyan) Tepe değer (Mod) En büyük değer En küçük değer Açıklık Standart sapma Alt çeyrek Üst çeyrek Çeyrekler açıklığı Merkezi Eğilim ve Yayılım Ölçüleri Başlarken Herhangi bir dersteki başarı durumunuz hakkında ne düşünüyorsunuz? Başarınız sınıfınızdaki öğrencilerle karşılaştırıldığında ne anlama gelmektedir? Herhangi bir amaca yönelik yapılmış bir anketin sonuçlarını neye göre ve nasıl yorumlamak gerekir? Bir basketbolcunun farklı maçlarda attığı sayılara bakarak istikrarı ve başarısı hakkında nasıl karar verebiliriz? Bu ve buna benzer soruları merkezi eğilim ve merkezi yayılım ölçülerini kullanarak yorumlayabiliriz. Daha önceki yıllarda aritmetik ortalama, ortanca, tepe değer, en büyük ve en küçük değer ve açıklık kavramlarını öğrenmiştik. Şimdi bu kavramları örneklerle hatırlayalım. 1 Bir marketin bir hafta içerisinde sattığı günlük ekmek sayıları aşağıdaki tabloda verilmiştir. Sembol ve Gösterimler X S Q 1 Günler Pazartesi Salı Çarşamba Perşembe Cuma Cumartesi Pazar Satılan Ekmek Sayısı Buna göre günlük ortalama kaç ekmek satıldığını bulmak için verilerin aritmetik ortalamasını hesaplayalım. Q 3 Q Aritmetik ortalamayı hesaplamak için bir hafta boyunca satılan toplam ekmek sayısını gün sayısına bölelim X = = = 5 7 Buna göre bu markette günlük ortalama 5 ekmek satılmıştır. 14

5 Merkezi Eğilim ve Yayılım Ölçüleri Bu veri grubunun ortanca (medyan), tepe değeri (mod), en küçük ve en büyük değer ile açıklığını bulmak için verileri küçükten büyüğe doğru sıralayalım Veri grubunda ortadaki değer dir. Veri grubu sıralandığında ortadaki değer ortanca (medyan) dır. Günlük satılan en fazla ekmek sayısı 45 olduğundan bu verilerin en büyük değerini, en az satılan ekmek sayısı da 15 olduğundan verilerin en küçük değerini gösterir. En büyük değer ile en küçük değer arasındaki fark olan = 3 ise verilerin açıklığını gösterir. Veriler incelendiğinde 15 sayısı 3 kez, sayısı 1 kez, 3 sayısı 1 kez, 35 sayısı 1 kez ve 45 sayısı 1 kez kullanılmıştır. En fazla tekrar eden sayı 15 olduğundan aynı zamanda bu sayı verilerin tepe değerini (mod) gösterir. Tepe değer bazı veri gruplarında birden fazla değer olabileceği gibi bazı veri gruplarında olmayabilir. Örneğin; 1,, 4, 4, 4, 5, 7, 7, 7, 8 veri grubunda 4 ve 7 sayıları diğerlerine göre en çok tekrar etmektedir. Bu nedenle veri grubunun tepe değeri 4 ve 7 dir. 1, 3, 6, 7, 8, 9 ve 1, 1, 1, 3, 3, 3, 6, 6, 6, 8, 8, 8 veri gruplarının tepe değeri yoktur. Çünkü her iki veri grubunun da diğerlerine göre daha çok tekrar eden herhangi bir elemanı yoktur. Sercan ın kütlesiyle (kg) ilgili arkadaşlarının tahminleri şu şekildedir: 46, 48, 44, 53, 47, 43, 44, 44 Bu veri grubunun merkezi eğilim ölçülerini bulalım. Anahtar Bilgi Aritmetik ortalama ( X ), bir veri grubundaki sayıların toplamının verilerin sayısına bölümüdür. x 1, x,..., x n için x X 1 + x + $$$ + x = n n Anahtar Bilgi Ortanca (medyan), bir veri grubu küçükten büyüğe sıralandığında veri grubunu eşit sayıda iki gruba ayıran değerdir. Tepe değer (mod), bir veri grubunda en çok tekrar eden sayıdır. En büyük değer, bir veri grubundaki en büyük sayıdır. En küçük değer, bir veri grubundaki en küçük sayıdır. Açıklık, en büyük değer ile en küçük değer arasındaki farktır. Merkezi eğilim ölçüleri aritmetik ortalama, ortanca ve tepe değerdir. Aritmetik ortalamayı verilerin toplamının veri sayısına bölünmesiyle hesaplayabiliriz. Aritmetik Ortalama: X = = = 46, Sercan ın ağırlık tahminlerinin ortalaması 46,15 kg dir. Anahtar Bilgi Bir veri grubunda aritmetik ortalama, tepe değer (mod) ve ortanca (medyan) merkezi eğilim ölçüleri olarak adlandırılır. 15

6 Bölüm 6.1 Merkezi Eğilim ve Yayılım Ölçüleri Ortanca ve tepe değeri bulmak için veri grubunu küçükten büyüğe sıralamalıyız. Dikkat Bir veri grubunda çift sayıda veri olması durumunda, ortanca; ortadaki iki terimin aritmetik ortalamasıdır. Yani, ortanca değer verilen veri grubunun içinde yer alan bir değer olmak zorunda değildir. 43, 44, 44, 44, 46, 47, 48, 53 Veri grubunda en çok tekrar eden değer 44 olduğundan tepe değeri 44 olur. Verileri sıraladığımızda ortadaki değer ortanca terimdir. Fakat veri grubunda 8 tane yani çift sayıda veri olduğundan ortanca terimi elde ederken ortadaki iki sayının ortalamasını almalıyız. Bu durumda veri grubu için Ortanca (meydan) = = 45 olarak bulunur. 3 İnceleyelim Merkezi eğilim ölçülerini verileri yorumlamada nasıl kullanırız? Bir veri grubunda aritmetik ortalama, ortanca ve tepe değer ne ifade eder? Acil servis çağrı merkezinde çalışan Aylin Hanım, son on gün içinde gelen asılsız ihbar sayılarını aşağıdaki gibi not etmiştir:,, 1,, 3,, 3,, 3, Buna göre merkezi eğilim ölçülerinden hangisinin ya da hangilerin veri grubunu iyi bir şekilde temsil edebileceğini bulalım. İlk olarak merkezi eğilim ölçülerinden aritmetik ortalamayı hesaplayalım: X = = 4 1 Elde ettiğimiz aritmetik ortalama diğerlerine göre sıra dışı bir değer olan ve veri grubunun en büyük değeri olan sayısından etkilenerek, gruptaki diğer tüm değerlerden daha büyük çıkmıştır. Dolayısıyla aritmetik ortalama, bu veri grubunu iyi şekilde temsil etmemektedir. Şimdi de verileri küçükten büyüğe doğru sıralayalım: 1,,,,,, 3, 3, 3, Ortanca değer ortadaki sayıların (5. ve 6. sıradaki) yani ve nin aritmetik ortalaması alınarak bulunur. Veri grubunda en çok tekrar eden değer olduğundan tepe değer, yani mod, dir. Bu durumda ortanca ve tepe değerlerinin günlük gelen asılsız ihbar sayılarını aritmetik ortalamaya göre daha iyi bir şekilde temsil ettiğini söyleyebiliriz. 16

7 Merkezi Eğilim ve Yayılım Ölçüleri Merkezi eğilim ölçülerini aşağıdaki veri grubu için bir grafik üzerinde inceleyelim.,,, 3, 4, 4, 6, 6, 6, 6, 6, 8, 9, 9, 1, 1, 13, 13, 13, 15, 17, 17, 1, 1, 1, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 8, 9, 3, 3 Bu verileri ve tekrar sayılarını sırasıyla x ve y eksenlerine yazarak aşağıdaki grafiği oluşturalım. 6 Tepe değerleri Tekrar sayısı Ortanca Aritmetik ortalama Veri grubu Veri grubunda bulunan 36 verinin tepe değeri grafikte en çok tekrar eden değerler olan 6 ve 5 tir. Ortanca, veri grubunda 36 veri olduğu için grubun ortasındaki 18. ve 19. verilerin aritmetik ortalaması ile bulunur. Grafiği kullanarak 18. ve 19. verileri belirlemek için en küçük veri olan nin sıklık değeri olan 3 ile toplama işlemine başlayıp sırasıyla diğer verilerin sıklık değerleriyle toplama işlemine devam ederek sonucu 18 ve 19 yapan iki veri belirlenir. Bu durumda 18. ve 19. verilerin her ikisinin de 13 olduğu görülmektedir. O halde ortanca 13 tür. Grafikteki her bir veri sıklık değeri ile çarpılarak tüm verilerin toplamı hesaplanır. Bu toplam veri sayısına yani sıklık değerleri toplamına bölünerek aritmetik ortalama X = = olarak bulunur. 17

8 Bölüm 6.1 Merkezi Eğilim ve Yayılım Ölçüleri 4 Bir alışveriş merkezinin (AVM) giriş katında bulunan 13 mağazaya son bir saat içinde gelen müşteri sayıları aşağıdaki gibidir: 5, 6, 4, 4, 7, 8, 6, 141, 1, 4, 8, 7, 11 Buna göre AVM nin bu katına gelen müşteri sayılarını temsil eden en uygun merkezi eğilim ölçüsünü bulalım. Dikkat Bir veri grubunda ortanca ve tepe değer, uç değerlerden aritmetik ortalamaya göre daha az etkilenir. İlk olarak merkezi eğilim ölçülerinden aritmetik ortalamayı hesaplayalım; X = = Veri grubundaki aritmetik ortalamanın, veri grubunun en büyük değeri olan 141 hariç diğer bütün sayılardan büyük olduğu görülmektedir. Aritmetik ortalama bu örnekte olduğu gibi aşırı uç değerlerden kolay etkilendiğinden verilerin genel eğilimini tam olarak temsil etmeyebilir. Bu durumda aşırı uç değerlerden daha az etkilenen tepe ve ortanca değerlerini inceleyelim. Veri grubunun tepe ve ortanca değerlerini bulmak için verileri küçükten büyüğe doğru sıralayalım: 4, 4, 4, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 1, 11, 141 En çok tekrar eden veri 4 olduğundan veri grubunun tepe değeri 4 tür. 4 aynı zamanda veri grubunun en küçük değeridir. Ancak buradaki tepe değer en küçük değer olması nedeniyle bu veri grubu için verilerin genel eğilimini tam olarak temsil etmemektedir. Merkezi eğilim ölçülerinden ortanca değerin ise 7 olduğu görülmektedir. Veriler genel olarak incelendiğinde, ortancanın bu veri grubunu aritmetik ortalama ve tepe değere göre daha iyi temsil ettiği görülmektedir. Bazen merkezi eğilim ölçüleri karar vermede yeterli olmayabilir. Bu durumda karar verme sürecinde merkezi yayılım ölçülerinden faydalanırız. Bu durum için aşağıdaki örneği inceleyelim. 18

9 Merkezi Eğilim ve Yayılım Ölçüleri 5 Harun Bey, bir otomobil firmasının İzmir bayiliğini yapmaktadır. Bu firmanın aylık satış hedefi vardır. Harun Bey, aylık hedefi gerçekleştirebilmek için bir satış elemanı almaya karar verir. Aşağıdaki tabloda, kendisine başvuran iki adayın son 1 aya ait sattıkları otomobil sayılarının merkezi eğilim ve yayılım ölçüleri verilmiştir. Aritmetik ortalama Ortanca Tepe değer Açıklık Oğuz 8, Sercan 7, Buna göre a. Harun Bey in satması gereken 9 otomobil olduğu bir ayda hangi satış elemanını tercih etmelidir? b. Satılması gereken 14 otomobil olduğunda Harun Bey hangi satış elemanını tercih etmelidir? Problemde verilenlere göre kişilerin aylık satış ortalamalarını gösteren aritmetik ortalamalar birbirine çok yakın değerlerdir. Bu durumda aritmetik ortalamaya göre karar vermek sağlıklı olmayabilir. a. Oğuz un satış performansına göre ortanca değeri 9 olduğundan son 1 ayın yarısı olan 5 aylık dilimde aylık minimum 9 tane otomobil satışı yaptığı görülmektedir. Sercan ın satışlarının ortancası 6 olduğu için son 1 ayın 5 ayında aylık minimum satışı 6 otomobildir. Harun Bey in bu durumda aritmetik ortalamaları birbirine yakın olan Oğuz ve Sercan dan, Oğuz u seçmesi daha uygun olacaktır. Dikkat Açıklık uç değerlerden etkilenen bir merkezi yayılım ölçüsüdür. Merkezi yayılım ölçülerinden çeyrekler açıklığı uç noktaların büyüklüğünden etkilenmediğinden veri grubunun dağılımı hakkında açıklığa göre daha iyi bilgi vermektedir. b. Oğuz un satış sayılarının en küçük değeri en fazla 6 (tepe değer 6), açıklığı da 5 olduğu için Oğuz un en yüksek aylık satışı en fazla 11 olabilir. Sercan ın satış sayılarının açıklığı 15 olduğundan aylık satış sayısının en küçük değeri sıfır olsa bile en azından bir aylık satış sayısı 15 dir. Bu yüzden Harun Bey in Sercan ı seçmesi uygun olacaktır. 19

10 Bölüm 6.1 Merkezi Eğilim ve Yayılım Ölçüleri Anahtar Bilgi Ortanca Q ile gösterilmektedir. Bir veri grubunda veriler küçükten büyüğe sıralandığında ortanca (medyan), veri grubunu terim sayıları eşit olacak şekilde iki gruba ayırır. Sol tarafta kalan veri grubuna alt grup, sağ tarafta kalan veri grubuna da üst grup denir. Alt grubun ortancasına alt çeyrek (Q 1 ), Üst grubun ortancasına üst çeyrek (Q 3 ) denir. Üst çeyrek ile alt çeyrek arasındaki farka ise çeyrekler açıklığı denir. Örneğin,, 6, 9, 1, 7, 8, 11 değerlerinden oluşan veri grubunun alt çeyreğini, üst çeyreğini ve çeyrekler açıklığını bulmak için öncelikle veriler küçükten büyüğe doğru sıralanır., 6, 7, 8, 9, 1, 11 8 sayısı veri grubunun ortasındaki sayı olduğundan ortanca (Q ) dır. Ortanca veri grubunu alt ve üst çeyrek olmak üzere ikiye ayırmıştır. Bu durumda verileri alt grup:, 6, 7 üst grup: 9, 1, 11 şeklinde yazılır. Alt grubun ortancası 6 olduğundan alt çeyrek Q 1 = 6 Üst grubun ortancası 1 olduğundan üst çeyrek Q 3 = 1 bulunur. Çeyrekler açıklığı ise 1 6 = 4 bulunur. Yukarıdaki tanımlanmış olan terimleri aşağıdaki veri grupları için de inceleyebiliriz. 4, 3, 4, 5, 8, 1, 1, 11, 7, 1 veri grubunun alt ve üst çeyrekleri ile çeyrekler açıklığı; Alt Grup Üst Grup 3, 4, 4, 5, 7, 8, 1, 1, 11, 1 Q = Q = + = 7, 5 Q = 1 3 Çeyrekler açıklığı=q 3 Q 1 =1 4 = 6 olur. Veri grubu 6, 5, 4,,, 11, 14, 5, 9, 5, 18, 16, 3, 13, 1, 7 olursa alt ve üst çeyrekleri ile çeyrekler açıklığı; Alt Grup Üst Grup 5, 5, 6, 7, 9, 11, 1, 13, 14, 16, 18,,, 3, 4, Q1 = = 8 Q = + = 13,5 Q 3 = + = 1 Çeyrekler açıklığı=q 3 Q 1 =1 8=13 olacaktır. 11

11 Merkezi Eğilim ve Yayılım Ölçüleri 6 Ali nin okulda düzenlen kitap kurdu etkinliğinde dokuz gün boyunca kaç sayfa kitap okuduğu aşağıdaki tabloda verilmiştir. Günler Sayfa sayıları Tablodaki veri grubunun alt çeyreğini, üst çeyreğini ve çeyrekler açıklığını bulalım. Verileri öncelikle küçükten büyüğe doğru sıralayalım Ortanca Anahtar Bilgi Alt çeyrek alt grubu eşit sayıda iki gruba; üst çeyrek üst grubu eşit sayıda iki gruba ayırır. Veri grubunun ortanca değeri 7, en küçük değeri ve en büyük değeri ise 3 dir. Alt çeyrek ve üst çeyrek hesaplanırken alt grubun ve üst grubun ortanca değerlerini buluruz Ortanca (medyan) Alt çeyrek Üst çeyrek 4 6 Q1 = = 5 dir. Q3 = + = 9 dur. Veri grubunun çeyrekler açıklığı ise üst ve alt çeyreğin farkı olduğundan, 9 5 = 4 olur. 111

12 Bölüm 6.1 Merkezi Eğilim ve Yayılım Ölçüleri Anahtar Bilgi Standart sapma, bir sayı dizisindeki elemanların aritmetik ortalamaya yakın olup olmadığı hakkında bilgi verir. Standart sapmanın küçük olması veri grubundaki değerlerin aritmetik ortalamaya yakın olduğunu gösterir. Açıklık ve çeyrekler açıklığı da merkezi yayılımı etkileyen değerler hakkında yeterli bilgi vermeyebilir. Bu durumda ise verilerin standart sapması veri grubu hakkında doğru yorum yapmamıza yardımcı olur. Bir veri grubunun standart sapma değeri aşağıdaki adımlar gerçekleştirilerek bulunur. 1. Verilerin aritmetik ortalaması bulunur.. Her bir veri ile aritmetik ortalama arasındaki fark bulunur. 3. Bulunan farkların her birinin karesi alınır ve elde edilen sayılar toplanır. 4. Bu toplam, veri sayısının 1 eksiğine bölünür ve çıkan sonucun karekökü alınır. Anahtar Bilgi Standart sapma, açıklık ve çeyrekler açıklığı merkezi yayılım ölçüleridir. Yukarıdaki adımları uygulayarak standart sapmanın formülünü oluşturalım. Veri grubumuz n elemanlı olsun ve grubun aritmetik ortalaması X olsun. Verilerde x 1, x, x 3,, x n şeklinde ise standart sapma (S); S = ( x1 - X) + ( x - X) + ( x3 - X) ( xn - X) n - 1 ile hesaplanır. Verilen bir veri grubunun standart sapmasının nasıl hesaplandığını bir örnek üzerinde gösterelim. 7 Bir sinema salonunda gösterimde olan bir filmi geçen hafta 1.3 seansında izleyenlerin sayısı aşağıdaki tabloda verilmiştir. Günler İzleyici sayısı İzleyici sayılarından oluşan bu veri grubunun standart sapmasını hesaplayalım. 11

13 Merkezi Eğilim ve Yayılım Ölçüleri Veri grubunun standart sapmasını hesaplayabilmemiz için öncelikle aritmetik ortalamasını bulmalıyız X = = 64 ' tür. 7 Standart sapma değeri için her bir değerin aritmetik ortalamayla farkını ve farkların karelerini bulmalıyız. İnceleyelim Sinema örneğinde her bir seanstaki izleyici sayısı 1 fazla olduğunda aritmetik ortalama ve standart sapma nasıl değişir? Veri (x i ) Aritmetik ortalama Fark: Veri Aritmetik Farkın karesi ( X ) ortalama (xi X (xi X Toplam 118 Veri grubundaki sayıların aritmetik ortalamayla farklarının kareleri toplamı 118 olduğu görülmektedir. Veri grubunun eleman sayısı 7 olduğundan standart sapma; S = Farklarınkareleri toplamı , 5 Veri grubundaki eleman sayıı s - 1 = 7-1 = bulunur. 8 Aynı okuldaki 1-A ve 1-B şubelerini okutan Serpil ve Mine Öğretmen in sınıflarındaki öğrencilerin dakikada okudukları kelime sayılarının aritmetik ortalamaları ve standart sapmaları aşağıdaki tabloda verilmiştir. Şube Aritmetik ortalama (kelime/dk) Standart Sapma 1-A 55 4, 1-B 55 7,9 Buna göre, Serpil ve Mine Öğretmen in öğrencilerinin okuma hızlarıyla ilgili ne söylenebilir? İnceleyelim. 113

14 Bölüm 6.1 Merkezi Eğilim ve Yayılım Ölçüleri Her iki şubedeki öğrencilerin dakikada okudukları ortalama kelime sayısı aynıdır: 55 kelime/dk. Standart sapmaları ise 1-A ve 1-B şubeleri için sırasıyla 4, ve 7,9 dur. Her iki sınıfın aritmetik ortalaması aynı olduğundan okuma hızlarının aynı olduğu düşünülebilir. Ancak standart sapma, bir sayı dizisindeki elemanların aritmetik ortalamaya yakın olup olmadığı hakkında bilgi vermektedir. Bu durumda, 1-A sınıfının standart sapmasının 1-B ye göre küçük olması, 1-A sınıfındaki öğrencilerin okuma hızlarının 1-B deki öğrencilere göre birbirine daha yakın olduğunu göstermektedir. Diğer bir deyişle 1-A sınıfındaki öğrencilerin okuma hızları, 1-B sınıfındaki öğrencilerin okuma hızlarına göre daha az değişiklik/değişkenlik göstermektedir. 9 Damla ve Burcu nun fizik yazılılarından almış oldukları notların aritmetik ortalamaları ve standart sapmaları aşağıdaki tabloda verilmiştir. Aritmetik ortalama Standart sapma Damla 7 1 Burcu 68 3 Öğrencilerden hangisinin yazılı sonuçlarının daha istikrarlı olduğuna karar verelim. 114

15 Merkezi Eğilim ve Yayılım Ölçüleri Standart sapmanın bir veri grubundaki sayıların aritmetik ortalamaya yakınlığı veya uzaklığı ile ilgili bilgi verdiğini biliyoruz. Yani standart sapma ne kadar küçükse veri grubundaki sayılar birbirine o kadar yakındır. Damla nın notlarının aritmetik ortalaması, Burcu nun notlarının aritmetik ortalamasından daha fazla olduğu için Damla nın daha başarılı olduğunu söyleyebiliriz. Fakat Burcu nun notlarının aritmetik ortalaması az olmasına rağmen standart sapması çok küçüktür. Bu ise Burcu nun notlarının aritmetik ortalamaya daha yakın olduğunu gösterir. Dolayısıyla Burcu nun standart sapması küçük olduğundan yazılı notları daha istikrarlıdır. 1 Öğretmenleri Hüseyin ve Cemre den birini matematik yarışmasına seçmek amacıyla farklı günlerde 36 sorudan oluşan 8 adet deneme uygulamıştır. Öğrencilerin denemede yaptıkları net sayıları aşağıdaki tabloda verilmiştir. Öğrenci Deneme Hüseyin Cemre Öğretmenin hangi öğrenciyi matematik yarışmasına seçmesinin daha uygun olacağına karar verelim. 115

16 Bölüm 6.1 Merkezi Eğilim ve Yayılım Ölçüleri Öğretmenin seçim yaparken denemelerde yüksek net yapan ve bu netlerde istikrarlı olan öğrenciyi tercih etmesi gerekmektedir. Hüseyin ve Cemre nin matematik netlerinin aritmetik ortalamalarını hesaplayalım. Hüseyin in netlerinin aritmetik ortalaması: = 1 Cemre nin netlerinin aritmetik ortalaması: = 1 8 Hüseyin ve Cemre nin netlerinin aritmetik ortalamaları aynı olduğundan standart sapmaları da incelenmelidir. Hüseyin in netlerinin standart sapması: S = ( 1-7) + ( 1-9) + ( 1-11) + ( 1-6) + ( 1-13) + ( 1-8) + ( 1-1) + ( 1-14) ( 8-1) = = ( 3) + ( 1) + (- 1) + ( 4) +- ( 3) + ( ) + (- ) + (- 4) ( 8-1) , Cemre nin netlerinin standart sapması: S = ( 1-5) + ( 1-16) + ( 1-9) + ( 1-17) + ( 1-4) + ( 1-9) + ( 1-1) + ( 1-8) ( 8-1) S = S = ( 5) +- ( 6) + ( 1) + (- 7) + ( 6) + ( 1) + (- ) + ( ) ( 8-1) , Hüseyin in yaptığı netlerin standart sapması, Cemre nin netlerinin standart sapmasından daha küçük olduğundan Hüseyin in tercih edilmesi, daha isabetli bir karar olacaktır. 116

17 MATEMATİK ATÖLYESİ Bu atölye çalışmasında merkezi eğilim ve yayılım ölçülerinin günlük hayat durumlarını modelleme ve karar vermede nasıl kullanılacağının, öğrencilerin kitap okuma performanslarının karşılaştırılması bağlamında incelenmesi amaçlanmıştır. Araç ve Gereçler: Hesap makinesi veya elektronik tablo yazılımı Kütüphane Bir lisede kütüphanecilik kulübü düzenlediği etkinlikte en çok kitap okuyan üç öğrenciye ödül vermeyi planlamaktadır. Kütüphane kayıtları incelenerek Pelin, Ersin, Ayten, Beril ve Ziya nın toplamda en çok kitap ödünç alan öğrenciler olduğu tespit edilmiştir. Aşağıda bu öğrencilerin aylara göre ödünç aldıkları kitap sayıları verilmiştir. Aylar Ekim Kasım Aralık Ocak Şubat Mart Nisan İsimler Pelin Ersin Ayten Beril Ziya Aşağıdaki tabloda istenilen merkezi eğilim ve yayılım ölçülerini hesaplayınız. Pelin Ersin Ayten Beril Ziya En büyük değer En küçük değer Ortanca Tepe değer Açıklık Alt çeyrek Üst çeyrek Çeyrekler açıklığı Aritmetik ortalama Standart sapma Kütüphanecilik kulübünün ödüllendireceği üç öğrenci kimler ve hangi sıralama ile olmalıdır? Neden? 117

18 MATEMATİK ATÖLYESİ Bu atölye çalışmasında merkezi eğilim ve yayılım ölçülerinin günlük hayat durumlarını modelleme ve karar vermede nasıl kullanılacağının üç basketbol oyuncusunun performanslarının yorumlanması bağlamında incelenmesi amaçlanmıştır. Araç ve Gereçler: Hesap makinesi veya elektronik tablo yazılımı Basketbol Yaşadığı şehrin belediye basketbol takımının koçluğunu yapan Fatih Bey in transfer etmeyi düşündüğü Turgay, Erdem ve Mert in oynadıkları son 9 maçta attıkları basket sayıları aşağıdaki tabloda verilmektedir. Maçlar Oyuncu Turgay Erdem Mert Aşağıdaki tabloda istenilen merkezi eğilim ve yayılım ölçülerini hesaplayınız. Turgay Erdem Mert En büyük değer En küçük değer Ortanca Tepe değer Açıklık Alt çeyrek Üst çeyrek Çeyrekler açıklığı Aritmetik ortalama Standart sapma Siz bu takımın koçu olan Fatih Bey in yerinde olsaydınız ve takıma istikrarlı bir oyuncu transfer etmek isteseydiniz hangi oyuncuyu tercih ederdiniz? Gerekçelerinizle açıklayınız. 118

19 Merkezi Eğilim ve Yayılım Ölçüleri 11 Matematik öğretmeni olan Kübra Hanım, her yıl TÜBİTAK tarafından gerçekleştirilen matematik olimpiyatlarında okullarını temsil etmek üzere iki öğrenci seçmektedir. Yıl içinde yaptığı on sınavdan ilk üçe giren Dilara, Enes ve Kıvanç ın bu sınavlardan aldıkları notlar aşağıda verilmiştir. Dilara Enes Kıvanç Kübra Hanım, matematik olimpiyatında okullarını temsil etmeleri için hangi iki öğrenciyi seçmelidir? Öncelikle her üç öğrencinin aldıkları notların aritmetik ortalamasını bulalım Dilara nın aritmetik ortalaması = 1 = 79 Enes in aritmetik ortalaması = = Kıvanç ın aritmetik ortalaması = = 79 1 Aritmetik ortalamalardan seçilecek iki kişiden birincisinin Enes olacağı anlaşılmaktadır. İkincisi için aritmetik ortalama ile karar veremeyeceğiz. Çünkü Dilara ve Kıvanç ın aritmetik ortalamaları eşittir. İkinci öğrenciyi belirleyebilmek için standart sapmalarına bakalım. Dilara nın notlarının standart sapması; S = ( 81-79) + ( 83-79) + ( 79-79) + ( 78-79) + ( 74-79) + ( 77-79) + ( 75-79) + ( 83-79) + ( 8-79) + ( 78-79) 1-1 Kıvanç ın notlarının standart sapması; S = ( 88-79) + ( 75-79) + ( 95-79) + ( 63-79) + ( 7-79) + ( 61-79) + ( 88-79) + ( 89-79) + ( 75-79) + ( 86-79) ,. 11, 83 dir. Dilara nın notlarının standart sapması Kıvanç ın standart sapmasından daha küçük olduğu için Dilara, Kıvanç a göre daha istikrarlı bir not dağılımına sahiptir. Bu yüzden olimpiyatlarda okulu temsilen Enes ile birlikte ikinci olarak Dilara nın seçilmesi daha uygun olacaktır. 119

20 Bölüm 6.1 Merkezi Eğilim ve Yayılım Ölçüleri 1 Ayşe ile Zeynep aynı okulun farklı iki şubesinde okumaktadır. Zeynep ve Ayşe nin Türkçe dersinin ortak yapılan sınavından aldıkları notlar ve bulundukları sınıfların bu sınava ait aritmetik ortalamaları ve standart sapmaları aşağıdaki tabloda verilmiştir. Aldığı not Aritmetik ortalaması Sınıfın Standart sapması Ayşe Zeynep 8 65 Kızların bulunduğu sınıf mevcutları aynı ise kimin sınıf içindeki başarı sıralaması daha iyidir? Ayşe ile Zeynep in Türkçe dersinin sınavından aldıkları notlar ve sınıflarının aritmetik ortalamaları eşittir. Sınıfların standart sapmaları farklı olduğundan sınav notlarının sınıf içindeki dağılımları da farklıdır. Ayşe nin bulunduğu sınıfın standart sapması, Zeynep in bulunduğu sınıfın standart sapmasından daha küçük olduğu için; bu sınıfın notları aritmetik ortalamaya diğer sınıfın notlarına göre daha yakındır. Yani Ayşe nin sınıfında aritmetik ortalamaya yakın olan öğrenci sayısı, Zeynep in sınıfındaki aritmetik ortalamaya yakın olan öğrenci sayısından daha fazladır. Böylece Ayşe daha çok öğrenciyi geride bırakmıştır. O halde aynı notlara sahip olan kızlardan Ayşe nin sınıf içi sıralaması Zeynep e göre daha iyidir. 1

21 Merkezi Eğilim ve Yayılım Ölçüleri KENDİMİZİ SINAYALIM Kavrama ve Muhakeme 1. Kütüphanecilik kulübü öğrencilerinden on beşinin aylık okudukları kitap sayıları aşağıda verilmiştir. 3, 6, 5, 7, 9, 9, 9, 7, 7, 15, 1, 13, 9, 4, 5 Bu veri grubu ile ilgili aşağıda verilen boşluklara aritmetik ortalaması, ortancası, tepe değeri ve açıklığı ifadelerinden uygun olanı yazınız. a. Okunan kitap sayılarının... 7 dir. b. Okunan kitap sayılarının... 1 dir. c. Okunan kitap sayılarının... 9 dur. ç. Okunan kitap sayılarının... 8 dir. 3. Akın ile Batuhan aynı yerde çalışan iki berberdir. İkisinin de bir hafta boyunca tıraş ettikleri müşteri sayısı aşağıdaki tabloda verilmiştir. Pazartesi Salı Çarşamba Perşembe Cuma Cumartesi Akın Batuhan Hangi berberin müşteri sayısı günlere göre daha fazla değişkenlik göstermektedir? Cevabınızı nedenleriyleaçıklayınız.. Bir beyaz eşya firmasına ait iki bayinin bir yıl boyunca haftalık ortalama sattıkları beyaz eşya sayısı ve standart sapmaları aşağıdaki tabloda verilmiştir. Aritmetik ortalama Standart Sapma 4. Çocuklar için tişört üretimi yapan Osman Bey, tişörtlerin üzerine hangi çizgi film karakterlerinin baskısını yapacaklarına dair bir anket uygulamaya karar verir. Bu anketin sonuçlarının değerlendirmesinde aşağıda verilen merkezi eğilim ve yayılım ölçülerinden hangisini kullanmalıdır? Cevabınızı nedenleriyle açıklayınız. Bayi ,7 Bayi 78 3,9 Hangi bayi daha iyi satış yapmaktadır? Neden? a. Aritmetik ortalama b. Tepe değer c. Ortanca ç. Standart sapma d. Çeyrekler açıklığı 11

22 Merkezi Eğilim ve Yayılım Ölçüleri KENDİMİZİ SINAYALIM Alıştırmalar 1. 3, 7, 6, 19, 34, 58, 6, x, 36, 4, 4, 38 Yukarıdaki verilerin tepe değerlerinden biri 7 olduğuna göre, bu veri grubunun aritmetik ortalamasını, ortancasını, standart sapmasını, açıklığını, alt çeyreğini, üst çeyreğini ve çeyrekler açıklığını belirleyiniz.. Bir belediye otobüsü kendi güzergâhında bir günde 9 sefer yapmaktadır. Haftanın belirli bir gününde taşıdığı yolcu sayıları aşağıdaki tabloda verilmiştir. Sefer No Yolcu sayısı Yolcu sayılarının merkezi eğilim ve yayılım ölçülerini hesaplayınız. 3. Bir simitçinin beş gün boyunca sattığı simit sayıları şöyledir: 75, 1, 9, 4, 8 dir. Bu sayıların standart sapmasını bulunuz. 1

23 Merkezi Eğilim ve Yayılım Ölçüleri BÖLÜM ÖZETİ Merkezi Eğilim Ölçüleri Aritmetik Ortalama X, bir veri grubundaki sayıların toplamının verilerin sayısına bölümüdür. x1, + x xn x1, x,..., xn için X = dir. n Ortanca (medyan), bir veri grubu küçükten büyüğe sıralandığında veri grubunu eşit sayıda iki gruba ayıran değerdir. Tepe değer (mod), bir veri grubunda en çok tekrar eden sayıdır. Bir veri grubunda aritmetik ortalama, tepe değer (mod) ve ortanca (medyan) merkezi eğilim ölçüleri olarak adlandırılır. Merkezi Yayılım Ölçüleri Açıklık, bir veri grubundaki en büyük değer ile en küçük değer arasındaki farka denir. Çeyrekler Açıklığı, bir veri grubunda veriler küçükten büyüğe sıralandığında ortanca (medyan) terim, veri grubunu terim sayıları eşit olacak şekilde iki gruba ayırır. Sol tarafta kalan veri grubuna alt grup, sağ tarafta kalan veri grubuna da üst grup denir. Alt grubun ortancasına alt çeyrek (Q 1 ), Üst grubun ortancasına üst çeyrek (Q 3 ) denir. Üst çeyrek ile alt çeyrek arasındaki farka ise çeyrekler açıklığı denir. Standart Sapma, n elemanlı bir veri grubu grubunun aritmetik ortalaması X olsun. Verilerde x 1,x,x 3,...,x n şeklinde ise standart sapma (S); S = ( x1- X) + ( x - X) + ( x3- X)...( xn - X) n - 1 ile hesaplanır. Merkezi Eğilim Ve Yayılım Ölçülerinin Yorumlanması Bir veri grubunda ortanca ve tepe değer, uç değerlerden aritmetik ortalamaya göre daha az etkilenir. Açıklık uç değerlerden etkilenen bir merkezi yayılım ölçüsüdür. Çeyrekler açıklığı ise uç noktaların büyüklüğünden etkilenmediğinden veri grubunun dağılımı hakkında açıklığa göre daha iyi bilgi vermektedir. Alt çeyrek alt grubu eşit sayıda iki gruba, üst çeyrek üst grubu eşit sayıda iki gruba ayırır. Standart sapma, bir sayı dizisindeki elemanların aritmetik ortalamaya yakın olup olmadığı hakkında bilgi verir. Standart sapmanın küçük olması veri grubundaki değerlerin aritmetik ortalamaya yakın olduğunu gösterir. 13

24 Bölüm Merkezi Eğilim ve Yayılım Ölçüleri BÖLÜM DEĞERLENDİRME 1. Aşağıdaki ifadelerde boşlukları uygun şekilde doldurunuz. a. Veri grubundaki değerlerin toplanarak veri sayısına bölünmesiyle elde edilen değere... denir. b. Bir veri grubunda en çok tekrar eden değere o veri grubunun... denir. c. Aritmetik ortalama, ortanca ve tepe değer ölçüleri olarak adlandırılır. ç. Son çeyrek ile ilk çeyrek arasındaki fark değerini verir. d. Açıklık ve standart sapma... ölçüleri olarak adlandırılır. e. Bir veri grubunda en büyük değer ile en küçük değer arasındaki farka... denir.. Bir mahallede küçük bir bakkal dükkânı olan Ferhat Amca, 7 günlük sattığı ürünlerden elde ettiği gelirleri bir sonraki hafta değerlendirmek için aşağıdaki şekilde bir deftere yazıyor. 4. Bir sınıf öğretmeni öğrencileri için gezi planlamaktadır. Sınıfa gidilebilecek gezi yerleri için bir anket uygulanacaktır. Öğretmen, bu anket sonuçlarını aşağıdaki merkezi eğilim yayılım ölçülerinden hangisini kullanarak değerlendirmelidir? A) Aritmetik ortalama B) Çeyrekler açıklığı C) Tepe değer D) Ortanca E) Standart Sapma 5. Bir okuldaki Kızılay kulübünün başkanlık seçimine dokuz aday katılmaktadır. Bu adayların kulüp üyelerinden aldıkları oylar aşağıdaki gibidir. 9, 8, 7, 8, 9, 8, 1, 9, 7 Alınan oy sayılarından oluşan bu veri grubunun en büyük değer, en küçük değer, aritmetik ortalama, ortanca, tepe değer ve açıklığını bulunuz. Bu veri grubundan en büyük ve en küçük değeri çıkardıktan sonra merkezi eğilim ölçülerini yeniden belirleyiniz. Bu durumda veri grubundaki en küçük ve en büyük değer; merkezi eğilim ölçülerinden hangisini en çok etkilemektedir? 1.gün.gün 3.gün 4.gün 5.gün 6.gün 7.gün 11 TL 8 TL 15 TL 95 TL 97 TL 19 TL 4 a. Ferhat Amca geçen haftanın verilerine göre bir günde ortalama ne kadar kazanmıştır? b. Ferhat Amca en fazla kazandığı 4 TL den en az kazandığı 8 TL yi çıkarırsa istatistiksel olarak neyi bulmuş olur? 3. Tarih öğretmeni Rıza Bey in 9. sınıflar için yaptığı ortak sınavın sonuçlarına göre 5 öğrencisi olan A şubesinin aritmetik ortalaması 65, 8 öğrencisi olan B şubesinin aritmetik ortalaması 55 ve 7 öğrencisi olan C sınıfının aritmetik ortalaması 67 dir. Buna göre bu şubelerde sınava giren tüm öğrenciler düşünüldüğünde sınavın aritmetik ortalaması kaçtır? 6. 6, 9, 1, 8, 1, 1, 1, 11, 1 veri grubuna göre; açıklık, alt çeyrek, üst çeyrek ve çeyrekler açıklığını bulunuz. 7. Bir hastanede 11 Nisan 13 Perşembe günü doğan çocukların boy ölçümleri aşağıdaki gibidir. 4 cm, 46 cm, 5 cm, 48 cm, 47 cm, 46 cm ve 49 cm dir. Bu veri grubunun; a. En küçük ve en büyük değerini bulunuz. b. Açıklığını bulunuz. c. Ortancasını bulunuz. ç. Alt ve üst çeyreğini bulunuz. d. Çeyrekler açıklığını bulunuz. 14

25 Bölüm Merkezi Eğilim ve Yayılım Ölçüleri BÖLÜM DEĞERLENDİRME 8. 4 soruluk matematik testinden on öğrencinin net sayıları 35, 7, 5, 3, 8, 3, 18, 3, 6, 1 şeklindedir. Bu veri grubunun en küçük ve en büyük değer, açıklık, ortanca, alt ve üst çeyrek ve çeyrekler açıklığını bulunuz adet yaş değerinin olduğu ve bu değerlerin aritmetik ortalamasının, ortancasının 18 ve çeyrekler açıklığının olacağı bir veri grubu oluşturunuz. 1. Kuyumcu Servet Bey sattığı ürünlerle ilgili televizyon ve radyo kanallarına reklam veriyor. 9. Günümüzde en tehlikeli hastalıklardan biri olan şeker hastalığı insanların yaşamlarını olumsuz etkilemektedir. Özel bir hastanede 35 erkek üzerinde yapılan açlık kan şekeri (mg/dl) ölçümleri aşağıdaki tabloda verilmiştir. Açlık kan şekeri (mg/dl) Erkek sayısı Bu verilerin alt çeyrek değerinden büyük, üst çeyrek değerinden küçük değerlere sahip erkekler şeker hastalığına aday olduğuna göre, grupta şeker hastalığına aday kaç erkek vardır? 1. a + 1, a + 3, a + 4, a + 6, a + 1 Veri grubunun alt çeyreği ile üst çeyreğinin toplamı 16 olduğuna göre Tv reklamını izleyen müşteriler Radyo reklamını duyan müşteriler 1.gün.gün 3.gün 4.gün TV reklamını izleyen müşteriler ve radyo reklamını duyan müşteriler kuyumcu Servet Bey in işyerine gelip ürün alıyorlar. Sizce ürünlerin tanıtımı için hangi reklam daha istikrarlıdır? 13. Aşağıdaki veri gruplarından hangisinin standart sapması daha büyüktür? a), 5, 3, 35 b) 1, 1, 14, 16 c) 45, 46, 47, 48 ç) 6, 1, 18, 4 d) 3, 33, 36, 39 a. a değerini bulunuz. b. Alt ve üst çeyreği bulunuz. c. Veri grubuna 18 sayısı eklenirse elde edilen yeni veri grubunun çeyrekler açıklığını bulunuz. 15

26 Bölüm Merkezi Eğilim ve Yayılım Ölçüleri BÖLÜM DEĞERLENDİRME 14. Caner in matematik ve fizik derslerinden aldığı notlar ile sınıfın bu derslerdeki aritmetik ortalamaları ve standart sapmaları aşağıdaki tabloda verilmiştir. Aldığı not Aritmetik ortalaması Sınıfın Standart sapması Matematik Fizik Aşağıda verilen durumlara uygun birer veri grubu oluşturunuz. a. Tepe değeri, ortancasından büyük olan b. Tepe değeri, aritmetik ortalamasından büyük olan c. Standart sapması sıfır olan ç. Aritmetik ortalama, ortanca ve tepe değeri eşit olan Buna göre Caner in hangi derste sınıf içerisindeki başarı sıralaması daha iyidir? öğrencinin bulunduğu bir sınıfta kimya ve coğrafya derslerinin yazılı notları aşağıdaki gibidir. Kimya: 45, 5, 6, 4, 31, 58, 48, 17, 57, 55, 55, 57, 3, 5, 59, 49, 17, 68, 37, 5, 35, 56, 59, 4 Coğrafya: 6, 65, 53, 64, 57, 8, 3, 74, 35, 78, 6, 1, 45, 5, 9, 6, 15, 7, 49, 57, 6, 5, 43, 15 a. Her bir ders için sınıfın aritmetik ortalamasını ve standart sapmasını hesaplayınız. b. Sınıftaki öğrencilerden Aydın, kimya ve coğrafya derslerinin her ikisinden de 85 almıştır. Aydın ın hangi dersteki başarı sırası daha iyidir? Neden? 18. Aşağıda verilen aritmetik ortalama, ortanca, tepe ve açıklık değerleri için beş sayılık bir veri grubu oluşturunuz. Aritmetik ortalama Ortanca Tepe değer Açıklık Veri grubu Veri Grubu 1 Veri Grubu Veri Grubu Matematik Öğretmeni Celal Hoca. dönemin son yazılısında öğrencilerine 18 soruluk bir test sınavı uygulamıştır. Öğrencilerinden 3 kişi 18 soruya, kişi 17 soruya, 4 kişi 16 soruya, 8 kişi 14 soruya ve 3 kişi de 1 soruya doğru cevap vermiştir. Doğru cevap sayılarının oluşturduğu sayı dizisinin; a. Standart sapmasını bulunuz. b. Çeyrekler açıklığını bulunuz. 16

27 Ünite 6 VERİ, SAYMA VE OLASILIK Bölüm 6.. Verilerin Grafikle Gösterilmesi Bu Bölümde Neler Öğreneceğiz? Verileri; sütun, histogram, çizgi ve daire grafikleriyle göstermeyi Grafikler yardımıyla veriler hakkında yorum yapmayı Kesikli ve sürekli veri türlerini Serpme ve kutu grafikleri oluşturularak yorumlamayı Neden Öğreneceğiz? Ülkemizdeki nüfus artışı dikkate alınarak önümüzdeki 15- yıl içindeki yakıt tüketimimiz ne olacaktır? 1 yıl boyunca ülke nüfusunun durumuna göre 1 yıl sonraki durum ne olabilir? gibi soruları elimizdeki verileri uygun grafiklerle göstererek ve yorumlayarak cevaplayabiliriz. Veriler farklı grafik türleriyle özetlenebilir ve yorum yapılabilir. Yapılan yorumların isabetli olabilmesi verilerin uygun grafiklerle gösterilmesine bağlıdır.

28 Bölüm 6.. Verilerin Grafikle Gösterilmesi HAZIR MIYIZ? 1. Aşağıdaki sütun grafiği basketbol okul takımında olan Ahmet ile Taha nın maçlarda attığı sayıları göstermektedir. Grafiğe göre; Basket Sayısı 4 Ahmet 18 Taha Maçlar 1. Maç. Maç 3. Maç 4. Maç a. Ahmet en az sayı hangi maçta atmıştır? b. Taha en fazla sayı hangi maçta atmıştır? c. Ahmet ve Taha toplam en az sayı hangi maçta atmışlardır? ç. Tüm maçlarda Ahmet ve Taha dan hangisi toplamda daha çok sayı atmıştır?. Kastamonu ilinin bir haftalık sıcaklık grafiği aşağıdaki çizgi grafiğinde verilmiştir. Bu grafiğe göre; Sıcaklık Pazartesi Salı a. Haftanın en sıcak günü hangisidir? b. Haftanın en soğuk günü hangisidir? Çarşamba Perşembe Cuma Cumartesi Pazar Günler c. Hangi ardışık iki gün arası en fazla sıcaklık değişimi olmuştur? 18

29 Bölüm 6.. Verilerin Grafikle Gösterilmesi HAZIR MIYIZ? 3. Mavi kapak kampanyasına katılan 9. sınıfların bir haftada topladığı mavi kapak sayıları aşağıdaki daire grafiğinde gösterilmiştir. 75 Mavi kapak / A 9 / B 9 / C Bu grafikte verilenlere göre; a. Toplam kaç mavi kapak toplanmıştır? b. 9/A sınıfını topladığı mavi kapak sayısını bulunuz. c. 9/B sınıfının topladığı mavi kapak sayısını bulunuz. 4. Aşağıdaki boşlukları uygun ifadelerle doldurunuz. a. Bir veri grubunda en büyük değer ile en küçük değer arasındaki farka... denir. b. Küçükten büyüğe sıralanmış veri grubunu ortadan iki eşit gruba ayıran terime... denir. c. Veri grubunda alt grubu iki eşit gruba ayıran terime..., üst grubu iki eşit gruba ayıran terime... denir. ç. Üst çeyrek ile alt çeyrek arasındaki farka... denir. 19

30 Bölüm 6. Verilerin Grafikle Gösterilmesi Neler Öğreneceğiz? Gerçek hayat durumunu yansıtan veri gruplarını uygun grafik türleri ile temsil ederek yorumlamayı Grafikleri Yorumlama Başlarken Günlük yaşantımızda grafikler; gazetelerde, dergilerde, televizyon programlarında, broşürlerde, sınav sonuç belgelerinde, internet gibi farklı ortamlarda verileri özetlemek için kullanılır. Örneğin; Bir ay süresince altın fiyatlarındaki ve petrol fiyatlarındaki değişikliği, Yaşa ve cinsiyete göre ihtiyaç duyulan günlük kalori miktarı, Anahtar Terimler Kesikli ve sürekli veri Sütun Grafiği Çizgi grafiği Daire grafiği Histogram İki şehrin aylık ortalama yağış ve sıcaklık miktarı, Bir giyim şirketinin ürün türüne göre aylık üretim miktarı, Öğrencilerin sınavlarda almış olduğu notlar gibi verileri daha etkili bir şekilde özetlemede ve karşılaştırmada grafikleri çok sık kullanırız. Bu bölümde veri gruplarını özetlemede kullanılabilecek uygun grafik türlerinden sütun, çizgi, daire grafiklerine ve histograma yer verilecek ve grafikler yardımıyla veriler hakkında yorumlar yapılacaktır. Verileri grafiklerle göstermek veriler arasında karşılaştırma ve yorumlamada en etkili yollardan biridir. Sütun Grafiği Belirli bir zaman aralığında bazı veri gruplarının gelişimini veya veri gruplarını karşılaştırmak amacıyla sütun grafiği kullanılabilir. Sütun grafiğinde veriler sütunlar veya çubuklarla gösterilir. Yatay ve düşey şekilde oluşturulan eksenler isimlendirilir. 13

31 Grafikleri Yorumlama 1 Salih proje çalışmasında Türkiye de her bölgeden seçtiği birer ilin bir günlük sıcaklıklarını karşılaştıracaktır. Seçtiği illerin bir günlük hava sıcaklık tahmini değerlerini internetten bularak aşağıdaki tabloyu oluşturmuştur. İstanbul Ankara İzmir Antalya Samsun Erzurum Diyarbakır Sıcaklık Veriler yardımıyla sütun grafiğini oluşturup sıcaklıkları karşılaştıralım. İllerin tahmini sıcaklıklarını karşılaştırmak için sütun grafiğini kullanabiliriz. Bunun için eksenleri Sıcaklık ve İller şeklinde isimlendiririz. İllerin hava sıcaklık değerlerini ise sütun şeklinde aşağıdaki gibi gösteririz. Sütun grafiğinin başlığını ise İllerin bir günlük tahmini sıcaklık değerleri yazabiliriz. İllerin bir günlük tahmini sıcaklık değerleri Sıcaklık ( C) İller İstanbul Ankara izmir Antalya Samsun Erzurum Diyarbakır Oluşturulan sütun grafiğine göre verileri karşılaştırabilir ve yorumlayabiliriz. Buna göre en sıcak il Diyarbakır, en soğuk il ise Erzurum olurken İzmir ve Antalya nın sıcaklıklarının eşit olduğu görülmektedir. 131

32 Bölüm 6. Verilerin Grafikle Gösterilmesi Yükseköğretime Geçiş Sınavıyla (YGS) ilgili veriler internet adresinde yayınlanmaktadır. Aşağıdaki tabloda Temel Matematik testine ilişkin 1, 11 ve 1 yıllarına ait doğru cevap sayısı 35-4 aralığında olan öğrencilerin sayıları verilmektedir. Öğrenci Sayısı Doğru Cevap Sayısı Tablodaki verileri sütun grafiğine dönüştürerek yorumlayalım. Yatay eksene doğru cevap sayılarını ve öğrenci sayılarını dikey eksene yazabiliriz. Buna göre tablodaki verileri aşağıdaki gibi bir sütun grafiğine dönüştürebiliriz. Temel Matematik 4-35 Doğru Sayısı Aday Dağılımı Doğru cevap sayısına göre öğrenci dağılımı 5 Aday sayısı Doğru cevap sayısı Tabloda bulunan verilerle oluşturulan sütun grafiği, yıllara göre YGS de Temel Matematik testinde doğru cevap veren aday sayılarının dağılımını göstermektedir. Grafik incelendiğinde testte 37 soru doğru yapan aday sayısının en düşük değerinin 11 yılında, en yüksek değerinin ise 1 yılında olduğu görülmek- 13

33 Grafikleri Yorumlama tedir. Testte 4 soruyu doğru cevaplayan aday sayısının yıllara göre azaldığı görülmektedir. Testte yıllara göre adayların en fazla kaç soruya doğru cevap verdiğine grafikte görebiliriz. Grafikte 1, 11 ve 1 yıllarında 35 soruya doğru cevap veren aday sayısı en fazla iken 4 soruya doğru cevap veren aday sayısı en azdır. Veri Türleri Sayısal veriler sürekli ve kesikli olmak üzere ikiye ayrılır: Sürekli veri, belli aralıkta bütün değerleri alabilir. Bir insanın ağırlığı, boyu, oda sıcaklığı sürekli veriye örnek olarak verilebilir. Kesikli veri ise belli bir aralıkta her değeri alamaz. Kişi sayısı, alınan kitap sayısı ve bir çokgenin kenar sayısı kesikli veriye örnek olarak verilebilir. 3 Yavuz, Serdar, Ahmet ve Dilşah ın, Tarih, Eğitim, Edebiyat ve Felsefe alanıyla ilgili son bir yılda okudukları kitap sayıları aşağıdaki tabloda verilmiştir. Alan Kişi Yavuz Serdar Ahmet Dilşah Tarih Eğitim Edebiyat Felsefe Öğrencilerin alanlarla ilgili okudukları kitapların sayılarını karşılaştırmak için uygun grafiği oluşturalım ve yorumlayalım. 133

34 Bölüm 6. Verilerin Grafikle Gösterilmesi Öğrencilerin okudukları kitap sayılarının alanlara göre karşılaştırılması gerektiğinden uygun grafik türü sütun grafiğidir. Bu verilerle aşağıdaki sütun grafiğini oluşturabiliriz Okunan kitap sayısı Yavuz Serdar Ahmet Dilşah Alan Tarih Eğitim Edebiyat Felsefe Grafikten şu yorumlar yapılabilir: a. Tarih alanında Serdar, eğitimde Ahmet, edebiyatta Yavuz ve felsefede ise Dilşah arkadaşlarına göre daha fazla kitap okumuştur. b. Serdar, Yavuz ve Dilşah en çok tarih alanındaki kitapları okumuş, Ahmet ise daha çok eğitim ile ilgili kitap okumuştur. Siz de yatay eksende alan yerine kişileri yerleştirerek sütun grafiğini yeniden oluşturunuz. Histogram Bir sınavda alınan puanların belirli bir aralıkta olan öğrenci sayılarını belirlemek ve sınıfın genel başarı durumu hakkında yorum yapmak için histogram oluşturabiliriz. Histogram oluşturulurken aralıklar ve bu aralıktaki veri sayıları belirlenir ve sütun grafiği şeklinde gösterilir. Histogramda bir eksene aralıklar, diğer eksene ise bu aralıktaki veri sayıları yazılır. 134

35 Grafikleri Yorumlama 4 Matematik öğretmeni Mustafa Bey, yaptığı sınavda öğrencilerin aldığı sonuçları aşağıdaki sütun grafiğinde göstermiştir Puan 6 Derya Alper Ali Fatma Erdal Selçuk Ramazan Levent Orhan Faruk Enver Şule Yağmur Ebru Ergün Zehra Tuğba Hasan Sevgi Rezzan Öğrenciler Belirli bir aralıkta not alan öğrencilerin sayılarını görmek istemektedir. Notları sıfırdan başlatarak veri genişliği 1 ar puan olacak şekilde sınav sonuçlarını özetleyen histogramı çizelim. Sütun grafiğindeki veri genişliği 1 ve notları 1 puandan başlatacağımızda oluşacak grupları ve bu gruplardaki öğrenci sayısını gösteren aşağıdaki tabloyu oluşturalım. Grup Genişliği Öğrenciler Öğrenci Sayısı Alper Ali Selçuk Fatma, Tuğba, Ebru Ramazan, Yağmur 61-7 Derya, Levent, Şule, Sevgi Orhan, Faruk, Zehra, Hasan Erdal, Enver, Ergün Rezzan 1 Tablodan da görüldüğü gibi her bir grupta kaç öğrenci olduğu belirlenmiş oldu. 135

36 Bölüm 6. Verilerin Grafikle Gösterilmesi Anahtar Bilgi Histogramda sütun grafiğinden farklı olarak sütunlar arasında herhangi bir boşluk yoktur ve sütunların uzunluğu ilgili grupta bulunan verilerin sayısını gösterir. Eksenleri puan aralıkları ve öğrenci sayısı olan histogram aşağıdaki gibi oluşturulur. Öğrenci sayısı Puan aralıkları Oluşturulan histogramdan belli puan aralıklarında not alan öğrenci sayılarını görmek sütun grafiğine göre daha kolaydır. 8 öğrencinin 61-8 puan aldığı görülmektedir. Ayrıca 9 puan üzerinde not alan bir öğrenci ve 81 puan üzerinde not alan 4 öğrenci bulunmaktadır. Sınıfta sınavdan 5 puan üzerinde alan öğrenci sayısının ise 14 olduğu ve sınıfın yarısından fazlasının 5 puan üzerinde not aldığı yorumları yapılabilir. 5 Bir deprem araştırmasında bir belediyeye ait sınırlar içindeki binaların yaşları araştırılıyor ve aşağıdaki sonuçlar elde ediliyor. Bina yaşı Bina sayısı 1 yaş 43 yaş 6 3 yaş 59 4 yaş 7 5 yaş 85 6 yaş 66 7 yaş 84 8 yaş 85 9 yaş 96 1 yaş 76 Bina yaşı Bina sayısı 11 yaş 71 1 yaş 8 13 yaş yaş 6 15 yaş yaş yaş yaş yaş 45 yaş 3 Bina yaşı Bina sayısı 1 yaş 45 yaş 35 3 yaş 4 4 yaş 44 5 yaş 3 5 yaş aralıklar için bina sayılarını grafikle göstermek isteyen araştırmacı şirket hangi grafik türünü tercih ederse uygun grafik türünü kullanmış olur? 136

37 Grafikleri Yorumlama Grup genişliği 5 olacak şekilde verileri gruplayabiliriz. Verileri grupladığımızda aşağıdaki tablo oluşur. Bina yaşı Bina sayısı 1-5 yaş yaş yaş yaş yaş 198 Tabloda binaların yaşları aralıklar şeklinde ve her aralıktaki bina sayısı gösterilmiştir. Eksenlerden biri bina yaşını diğerini ise bina sayısını gösterecek şekilde histogramı oluşturursak Bina sayısı Bina yaşı Histograma bakılarak en çok sayıda binanın 6-1 yaş aralığında, en az sayıda binanın ise 1-5 yaş aralığında olduğu görülmektedir. Bu durumda belediye sınırlarındaki binaların yaklaşık olarak yarısının 1-1 yıllık olduğunu söyleyebiliriz. 137

38 Bölüm 6. Verilerin Grafikle Gösterilmesi Çizgi Grafiği Bir ülkenin bir yıllık ihracat ve ithalat değerleri, borsada bir aylık altın ve paranın değerleri ve illerin bir haftalık tahmini hava sıcaklık değerleri gibi bir veri grubunun belirli bir zaman aralığındaki değişimini göstermede çizgi grafiği kullanılabilir. Grafik, yatay eksene zaman aralığı, düşey eksene ise veriler yazılarak oluşturulur. 6 Aşağıdaki tabloda Ankara ya ait 5 günlük tahmini en düşük ve en yüksek sıcaklık değerleri verilmiştir. Gün En Düşük Sıcaklık ( C) En Yüksek Sıcaklık ( C) Pazartesi 1 14 Salı 7 13 Çarşamba 4 11 Perşembe 4 1 Cuma 5 1 Ankara nın beş günlük tahmini hava sıcaklığındaki değişimi grafikle inceleyelim. Hava sıcaklığındaki değişimi zamana göre inceleyeceğimizde uygun grafik çizgi grafiği olacaktır. Grafiği oluşturabilmek için yatay eksene günleri, dikey eksene ise sıcaklık değerleri yazılır. Tablodaki her güne ait sıcaklık değerleri işaretlenir ve değerler bir çizgi ile birleştirilir. Ankara nın 5 günlük tahmini hava sıcaklığı Sıcaklık Pazartesi Salı Çarşamba Perşembe Cuma En yüksek sıcaklık ( C) En düşük sıcaklık ( C) Günler 138