ARAŞTIRMA MAKALESİ / RESEARCH ARTICLE. Ezgi NEVRUZ ¹, Yasemin GENÇTÜRK ²

Transkript

1 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ Bilim ve Tekoloi Dergisi A-Uygulamalı Bilimler ve Mühedislik Cilt: 15 Sayı: Sayfa: ARAŞTIRMA MAKALESİ / RESEARCH ARTICLE Ezgi NEVRUZ ¹ Yasemi GENÇTÜRK ² BAZI HASAR REZERV YÖNTEMLERİNİN PERFORMANSININ BENZETİM İLE KARŞILAŞTIRILMASI ÖZ Gelecekte ortaya çıkabilecek hasarları miktarı biliemeyeceğide hasar sürecide sigortacıı yeterli rezerv ayırması buu içi de beklee yükümlülüğüü doğru tahmi edecek bir rezerv yötemi seçmesi gerekmektedir. Performas testleri kullaılarak e uygu hasar rezerv yötemii seçilmesi mümküdür. Bir yötemi performası rezervi tahmi edile değeri ile gerçekleşe değeri arasıdaki sapma ile ölçülebilmektedir. Bu çalışmada hasar gelişim üçgeleri (sol-üst ve sağ-alt üçgeler) rastgele bildirilme faktörü yötemi rastgele geriye doğru gelişim faktörü yötemi değişe tutarlı bireysel hasarlar yötemi ve Petikäie ve Ratala yötemi olmak üzere dört farklı bezetim yötemiyle üretilmiştir. Bezetimi yapıla sol-üst üçgeler kullaılarak zicir merdive () yötemi Bühlma ı tamamlayıcı hasar oraı () yötemi ve üç farklı regresyo modeli ile toplam hasar rezerv tahmileri ve her bir kaza yılıa ilişki hasar rezerv tahmileri elde edilmiştir. Hasar rezerv tahmilerii gerçekleşe hasar rezervlerie yakılığı performas ölçütleri yardımıyla test edilmiştir. Aahtar Kelimeler: Bezetim Bühlma ı tamamlayıcı hasar oraı yötemi Hasar gelişim üçgei Hasar rezervi Performas ölçütleri Regresyo modelleri Zicir merdive yötemi. COMPARISON OF THE PERFORMANCE OF SOME LOSS RESERVING METHODS WITH SIMULATION ABSTRACT Sice kowig future losses precisely could ot be possible isurer should allocate a adequate reserve i the loss process. For this purpose isurer eeds to select a suitable reservig method which estimates the expected liabilities truely. It is possible to choose the most suitable reserve method by carryig out performace tests. The performace of a method ca be measured by the deviatio betwee the estimated ad the actual reserve. I this study the loss developmet triagles (upper-left ad lower-right triagles) are geerated by usig four simulatio methods: radom reportig factor method radom backward developmet factor method idiviual losses with chagig severity method ad Petikäie ad Ratala method. By usig the simulated upper-left triagles the estimated total reserves ad the estimated loss reserves for each accidet year are obtaied with the 1 Hacettepe Üiversitesi Aktüerya Bilimleri Bölümü Çakaya Akara Türkiye. E-posta: ezgievruz@hacettepe.edu.tr Fax: +90 (31) Hacettepe Üiversitesi Aktüerya Bilimleri Bölümü Çakaya Akara Türkiye. E-posta: yasemis@hacettepe.edu.tr Fax: +90 (31) Geliş: 15 Nisa 014 Düzeltme: 16 Mart 014 Kabul: 4 Nisa

2 Bilim ve Tekoloi Dergisi - A - Uygulamalı Bilimler ve Mühedislik 15 (1) chai ladder (CL) method the Bühlma complemetary loss ratio (BCLR) method ad three differet regressio models. The closeess of loss reserve estimatios to actual loss reserves is tested by the performace criteria. Keywords: Simulatio Bühlma complemetary loss ratio method Loss developmet triagle Loss reserve Performace criteria Regressio models Chai ladder method. 1. GİRİŞ Sigortacıı sektör içeriside tercih edilebilir olmasıı başlıca koşulu sözleşmeyle temiat altıa aldığı bir riski meydaa gelmesi durumuda sigortalılarıa karşı yükümlülüklerii karşılayabilme yeterliliğidir. Dolayısıyla ödememiş hasarları tahmi etmek ve bu hasarları karşılayacak büyüklükte rezerv ayırmak sigorta şirketii e öemli işlevleride biri olmaktadır. Büyük tutarlı hasarları etkileri hasarı bildirilmesi ve kapatılmasıdaki belirsizlikler gibi yapısal riskler göz öüe alıdığıda sigortacıı uygu bir hasar rezerv yötemi seçmesii büyük öem taşıdığı görülmektedir. Literatürde kabul görmüş ve belirli portföylerde iyi performas göstere çok sayıda hasar rezerv yötemi arasıda; gerek portföye gerekse rekabet içide buluula ortamı koşullarıa uygu ola yötemi seçilerek rezervi tahmi edilmesi sigortacıı kurumsal varlığıı ve rekabet gücüü devam ettirebilmesi oktasıda hayati öem arz etmektedir. Hasar rezerv yötemlerii karşılaştırılmasıyla ilgili çalışmalar çoğulukla geriye döük testler ve bezetim yötemleri üzerie yoğulaşmıştır. Hasar rezervide bezetim yötemlerii kullaıldığı Staard (1985) ile Petikäie ve Ratala (199) tarafıda yapıla çalışmalar literatürde öemli bir yere sahiptir. Bu çalışmalarda ögörüle yötemlerde sol-üst ve sağ-alt hasar gelişim üçgei verisi bezetimle üretilmekte ve sol-üst üçgede bulua hasar verisi sağ-alt üçgede gözlemleebilir olmaya fakat bezetim yoluyla elde edilmiş gerçek hasarları tahmiide kullaılmaktadır. Determiistik bir hasar rezerv yötemi ola yötemi basit olması edeiyle sıkça kullaıla yötemlerde biridir. Verrall (1994) hasar rezervide logaritmik doğrusal modelleri uygulamasıı icelemiştir. Doğrusal modelleri kullaılması parametre tahmilerii stadart hatalarıı elde edilebilmesii sağladığıda daha avatalıdır. Naraya ve Warthe (000) de bezetim yoluyla elde edile geçmiş hasar verisi kullaılarak geleeksel yötemler ve regresyo modelleri yardımıyla gelecek hasarlar tahmi edilmiştir. Bu çalışmada hasar rezerv yötemlerii performasıı bezetim ile karşılaştırılması amaçlamıştır. İkici Bölüm de hasar süreci ile hasar rezervlerii etkileşimi ve hasar gelişim üçgei hakkıda geel bilgi verilmiştir. Çalışmaı Üçücü Bölümü de hasar üçgeleri üretmek içi kullaıla bezetim yötemlerie yer verilmiştir. Çalışmaı Dördücü Bölümü de; yötemi yötemi ve üç farklı modeli buluduğu regresyo yötemleri ele alımıştır. Beşici Bölüm de ise çeşitli istatistiksel dağılımları kullaıldığı bezetim modelleri ve hasar rezerv yötemlerii birleştirilmesiyle elde edile searyolar taımlaarak hasar rezerv yötemlerii performaslarıı değerledirildiği bir uygulama yapılmıştır.. HASAR SÜRECİ Çalışmaı bu bölümüde hasar süreci ile hasar rezervii etkileşimi ve hasar verisii özetlemek amacıyla kullaıla hasar gelişim üçgei hakkıda geel bilgi verilecektir..1. Hasar Sürecii Hasar Rezervie Etkisi Hasar verisii sııfladırılmasıda bir hasarı tahmi edilee kadar hagi süreçlerde geçtiğii ve hasar sürecide kullaıla verii çeşidii iyi alamak; doğru rezerv tahmii yapılması açısıda öem taşımaktadır. Ödemiş hasarları birikimli (cumulative) ve aşamalı (icremetal) olması farklı hesaplamalar gerektirmektedir. Birikimli ödemiş hasarlar değerleme tarihi boyuca ödee bütü hasarları toplamıı; aşamalı hasar ödemeleri ise belirlemiş bir zama aralığı boyuca ödee bütü hasarları toplamıı ifade etmektedir. Ögörüle ihai hasarlar ile gerçek 16

3 Bilim ve Tekoloi Dergisi - A - Uygulamalı Bilimler ve Mühedislik 15 (1) ödee hasarlar arasıdaki fark ödememiş hasar tahmiii vermektedir. Kaza yılı verisi kullaıldığıda toplam ödememiş hasar muallak hasar ve meydaa gelmiş acak bildirilmemiş (IBNR) hasarda oluşmaktadır (Friedlad 009). Aktüeryal proeksiyo yötemi hasar yükümlülükleri içi sistematik bir süreçtir. Yötemi; algoritma veri seti ve müdahale oktaları olmak üzere üç temel elemaı vardır. Algoritma; hasarı gerçekleşmesi bildirilmesi ve kapatılmasıı matematiksel gösterimidir. Tahmi içi kullaıla veri seti yötem tarafıda girdi olarak kullaıla veridir. Müdahale oktaları ise varsayımları seçilmesi ya da aykırı verileri göz ardı edilmesi gibi görüş bildirile durumlardır (Jig et al. 009). Gelecekte ortaya çıkabilecek hasarları yasız tahmiii elde etmek her zama mümkü olmayabilir. Diğer tarafta; kabul edilebilir sıırlar içeriside bir rezerv tahmii ödememiş hasarları okta tahmii hakkıda fikir verebilir. Bu edele hasar rezerv sürecii okta tahmii ve güve aralığıı bir birleşimi olarak ifade edilmesi gerekmektedir (Khury 1980). Bu çalışmada hasar süreci stokastik modeller kullaılarak icelediğide; stokastik bir hasar rezervi sürecii aşamaları Reshaw ve Verrall (1998) ı ögördüğü gibi; hasara ilişki parametreleri esek olarak belirlediği bir modeli taımlaması taımlaa model yardımıyla elde edile verii hasar gelişim üçgei biçimie uygu bir şekilde (sol-üst üçge) düzelemesi ve sol-üst hasar gelişim üçgei ve uygu tahmi yötemleri yardımı ile hedef üçgei (sağ-alt üçge) elde edilmesi biçimide ele alımıştır... Hasar Gelişim Üçgei Hasar verisii özetlemek ve aaliz etmek içi yaygı olarak kullaıla ve birçok hasar tahmi yötemii öemli bir parçası ola hasar gelişim üçgei; hasar sayısı hasar tutarı gibi çeşitli veri gruplarıı değerii zama içerisideki değişimlerii (gelişimii) göstere bir tablodur (Friedlad 009). Bir hasar gelişim üçgeide kullaıla hasar verisi aşamalı ya da birikimli hasarlarda oluşmaktadır. Bir risk portföyüde portföyü her bir hasarı kaza yılıda ya da gelecekteki gelişim yılı içeriside kapatılsı. i kaza yılı 17 gecikme (erteleme) yılı içi S rastgele i değişkei (r.d.) aşamalı hasarları L i r.d. ise birikimli hasarları ifade etmek üzere hasar gelişim üçgeie dayalı hasar rezerv sürecide aşamalı ve birikimli hasarları i 1 takvim yılları içi gözlemleebilir olduğu ve i 1 1 takvim yıllarıda ise gözlemleebilir olmadığı varsayılsı. Aşamalı hasarları bilimesi durumuda birikimli hasarlar : Li S biçimide k1 taımlamaktadır. Sˆi aşamalı hasarları tahmi edicisi olmak üzere i 1 1 içi gözlemleemeye birikimli hasarları tahmii; Lˆ : L Sˆ (1) i i i 1 i k ki eşitliği ile elde edilmektedir (Schmidt ad Zocher 008). 3. RASTGELE HASAR GELİŞİM ÜÇGENLERİNİN BENZETİMİ Hasar rezerv yötemlerii karşılaştırılması amacıyla yapıla çalışmaları çoğuda geriye döük testler (hidsight testig) ya da bezetim tercih edilmektedir. Gelecekte gözleecek çevresel koşulları geçmişte farklı olması bekleildiğide geriye döük testleri kullaılması uygu olmamaktadır (Boles ad Staudt 010). Ayrıca geçmişe dayalı çalışmalar yatırımcıı tercihie göre yalı olmaya meyillidir. Tahmi edicileri özelliklerii aalitik olarak elde edilemediği durumlarda tahmi yötemlerii karşılaştırılması içi bezetim tekiklerii kullaılması daha uygu olacaktır. Bu çalışmada hem hasar gelişim üçgelerii üretilmeside rastgeleliği hesaba katılması hem de kullaıla varsayımları daha obektif olması sebebiyle bezetim tekikleri kullaılarak hasar verisi üretilecektir. Bezetim tekiklerii kullaarak model kurma ve geliştirmei bir avataı hasar sürecii modelleye algoritmaları belirleyebilmek değişkeleri algoritmada taımlayabilmek ve bularla ilgili istatistiksel varsayımlar yapabilmektir. Portföydeki muhtemel değişiklikleri soucu ortaya çıka yei bir bilgi ile varsayımlar gücelleerek bezetim modeli i k

4 Bilim ve Tekoloi Dergisi - A - Uygulamalı Bilimler ve Mühedislik 15 (1) yeide düzeleebilmektedir (Rollis 1997). Bir hasar gelişim üçgeii rastgele elemalarıı üretilebilmesi içi hasar sürecii modellemeside kullaıla bezetim modelii hasar verisii özelliklerii yasıtmaması rezervi hesaplamasıda da hatalara ede olabilmektedir. Bu sebeple her e kadar bezetim algoritmasıı yeterli olduğu düşüülse de; kullaılacak modeli şirketi iç diamiklerii dikkate alacak biçimde uyarlaması gerekmektedir. Bezetim yötemlerii ürettiği hasar gelişim üçgeleri stokastiktir ve herhagi bir hasar rezerv yötemie belirgi bir avata sağlamamaktadır (Naraya ad Warthe 000). Veri setii bezetim yoluyla elde edilmesi rezerv tahmileri yapılmada ve hasar rezerv yötemlerii performasları test edilmede öce gerçek rezerv miktarlarıı bilimesie olaak sağlamaktadır. Bu çalışmada pozitif aşamalı hasarlar ürete bezetim yötemleri seçilmiştir. kaza yılı ( i 1... ) dikkate alımış bütü hasarları vadesii ici gelişim yılıda dolduğu ( 1... ) varsayılarak i 1... içi birikimli hasarları elde edilmiştir. L i 3.1. Rastgele Bildirilme Faktörü Yötemi Rastgele bildirilme faktörü yötemide öcelikle her bir kaza yılı içi rastgele hasar C ik sayıları ve bireysel hasar tutarları üretilip toplam hasar tutarları elde edildikte sora toplam hasar tutarları eflasyo oraı ile büyütülerek her bir kaza yılı içi L i ihai hasar tutarları belirlemektedir: N i L L (1 e) C () ( i1) i i i k k içi U (01) i aralığıda tekdüze (uiform) dağılımlı rastgele sayı olmak üzere Ti 01 05U i 05l( ) rastgele bildirilme faktörleri üretilerek her bir kaza yılı içi belirlee ihai hasar Xi i i 1 L L e (3) e N i Burada X i birikimli bildirilme faktörü olup X T T... T T eşitliği i i1 i i i k k1 ile hesaplamaktadır (Naraya ad Warthe 000). 3.. Rastgele Geriye Doğru Gelişim Faktörü Yötemi Bu bezetim yötemide de rastgele bildirilme faktörü yötemide olduğu gibi ihai hasar tutarları belirledikte sora; gelişim periyotları içi ( ( 1) ) L i parametreleri i a ve 100 ( ( 1) ) i = b ola logormal dağılımlı 500 rastgele gelişim faktörü değişkeleri Yi üretilmektedir. Burada Y i i kaza yılı ve gelişim periyodu içi gelişim faktörüdür. ve parametreleri çok küçük bir değer olmak b üzere Pr( Y 1) 1 olacak şekilde i Y i seçildiğide büyük bir olasılıkla 1 de büyüktür. Gelişim faktörleri yardımıyla her bir kaza yılı içi bildirile hasarlar L ; (4) i 1 Li Yi biçimide geriye doğru hesaplamaktadır (Naraya ad Warthe 000) Değişe Tutarlı Bireysel Hasarlar Yötemi Değişe tutarlı bireysel hasarlar yötemide; hasarları bildirilmesi ve kapatılması içi geçe gecikme sürelerii üstel dağılıma sahip olduğu varsayımıa ek olarak bireysel hasar tutarı r.d.i ve parametreleriyle Pareto dağılımlı olduğu ve bireysel hasar tutarıı gecikmeyle birlikte değişeceği varsayılmaktadır. Bu yötemde her bir kaza yılı içi rastgele hasar sayıları ve bireysel hasar tutarları üretilmektedir. a biçimide ayı kaza yılıı gelişim yıllarıa dağıtılmaktadır. 18

5 Bilim ve Tekoloi Dergisi - A - Uygulamalı Bilimler ve Mühedislik 15 (1) Bireysel hasarları yüzdelik seviyesii zama boyuca sabit kalacağı fakat ve parametrelerii hasar kapatılaa kadar değişeceği varsayılmaktadır. i kaza yılıdaki k. bireysel hasar tutarı ola C ik ı yüzdelik Cik seviyesi Uik 1 1 edilmektedir. biçimide elde N i i kaza yılı içi hasar sayısıı göstermek üzere; k 1... N içi i hasarı meydaa gelme tarihi tekdüze dağılımda bildirilme gecikmesi ve X ik 3 X ik X ik 1 kapatılma gecikmesi üstel dağılımda (1) (1) üretildikte sora ve üzere; kaza yılıda meydaa gele i bireysel hasar içi hasar tutarı tahmii gelişim yılıdaki olmak ici k C ˆi k 0 ; 1... rik ˆ 1 Ci k ( ) 1 ; r 1/ ( ) i k 1... R i k (1 Uik ) 1 ( Ri k 1) 1 ; R 1/ ( 1) 1... Rik i k (1 Uik ) biçimide elde edilmektedir. Bu eşitliğe göre; eğer bir hasar gecikmeside kapatılmışsa C ˆi k daha soraki değerlemelerde sabit kalacaktır. x te küçük veya x e eşit e büyük tamsayıyı göstermek üzere (5) eşitliğide ri k mi ( Xi k 1 Xi k) ve x Ri k mi ( Xi k1 Xi k Xi k3) biçimidedir. Yai kaza yılıdaki ici hasar i r ik takvim yılıda bildirilmekte ve i R ik takvim yılıda kapatılmaktadır. Bir hasarı ihai değerii hasar gerçekleştikte soraki yıl içeriside bilimesi gerektiğide bildirilme tarihii göstere Xi k1 Xi k ve kapatılma tarihii göstere Xi k1 Xi k Xi k3 değerleri yi aşmamaktadır. Ayrıca ri k 1... R içi i k değeri arttıkça C ˆi k değerii arttığı ve buu da aşamalı hasarları pozitif olmasıı sağladığı görülmektedir. i C ˆi k ler hesapladıkta sora eflasyo oraıı göstermek üzere i kaza yılı ve gecikme yılı içi birikimli hasarlar; e k 19 N i ( i1) i i k k1 (5) L (1 e) Cˆ (6) eşitliği yardımıyla hesaplaır (Bühlma et al. 1980; Staard 1985) Petikäie ve Ratala Yötemi Petikäie ve Ratala yötemi toplam hasarları bir kaza yılıda diğerie büyüme göstereceği varsayımıa dayamaktadır. Hasarları bildirilme süreci ve takvim yıllarıa ait eflasyo oraları otoregresif süreçlerle modellemektedir. Sabit olmaya eflasyo oraı ve portföy büyüme faktörü hasar rezerv sürecie ekleerek i kaza yılı içi yıl gecikmeli aşamalı hasarlar Si K XP( i) X ( ) q( i ) INF( i 1) (7) biçimide üretildikte sora aşamalı hasarları toplamı alıarak L birikimli hasarlar elde i edilmektedir. (7) eşitliğide; K ilk kaza yılıı toplam hasarıyla bağlatılı sabit bir parametreyi; XP() i portföy büyüme faktörüü; X( ); 1... olmak üzere i 1 takvim yılıda bildirile hasarı i kaza yılı toplam hasarıa oraıı; q( i ) hasarları bildirilme

6 sürecii ve Bilim ve Tekoloi Dergisi - A - Uygulamalı Bilimler ve Mühedislik 15 (1) INF( t) hasarları vadesii t yılıa ait eflasyo oraı takvim yılıa ilişki birikimli eflasyo faktörüü göstermektedir. Tüm tarihide dolacağı varsayıldığı içi X( ) 1 olmalıdır. ( k 1) max 0 03; ( k) 0 06 w k ; (1) 006; w k ~ N(0;0015) olduğuda birikimli eflasyo faktörü t k olarak elde edilmektedir. Hasarları bildirilme süreci ise INF( t) 1 ( ) k1 q( i ) q( i 1) ; q( i0) 1; ~ N(0;005) i i 1 k takvim biçimidedir (Petikäie ad Ratala 199; Naraya ad Warthe 000). 4. HASAR REZERV YÖNTEMLERİ Hasar rezervi hesabı uzu yıllar sigortacıı yükümlülüğüe karar vermek içi kulladığı basit bir algoritma olarak algıladığıda determiistik modeller kullaılarak rezerv tahmii yapılmış acak 1970 lerde itibare hasar rezervii tahmiide rezervi değişkeliğii de vere stokastik modeller kullaılmaya başlamıştır (Wüthrich ad Merz 008). Rezerv tahmiide kullaıla yötemler geellikle geçmiş hasarları gruplaarak üçgesel hasarlar şeklide düzelemesie dayalı yötemlerdir (Wiser 001) Zicir Merdive Yötemi yötemi; herhagi bir dağılım varsayımıa gerek kalmaksızı hesaplama yapılmasıa olaak taıya determiistik bir yötemdir (Mack 1999). Bu yötemde gelecek hasarları gelişimii öceki yılları gelişimi ile bezer olduğu varsayıldığıda yötemi istikrarlı sigorta portföylerii rezerv tahmiide kullaılması uygudur (Friedlad 009). Yötemde her bir gelişim yılı içi hesaplaa gelişim faktörü (bağ oraı) kullaılarak ödememiş hasar tahmileri elde edilmektedir gelişim yılları içi f gelişim ˆ faktörleri 1 1 fˆ L L (8) i i 1 i1 i1 0 biçimide hesaplaır. (8) eşitliğide bulua gelişim faktörleriyle her bir kaza yılıı e so birikimli hasarı çarpılarak gelecek birikimli hasarlar Lˆi ˆ i L i i 1 f i elde edilir. Her bir kaza yılı içi ihai hasarlar Lˆ Lˆ L fˆ (9) i i i i 1 k ki eşitliğide hesapladıkta sora i kaza yılı içi rezerv tahmii Rˆ ˆ i Li Li i 1 ile elde edilir (Eglad ad Verrall 00). 4.. Bühlma ı Tamamlayıcı Hasar Oraı Yötemi İlk kez Bühlma (1983) tarafıda geliştirile ve ödemiş hasar verisie dayalı ola bu yötem belirli bir gecikme ile ödee hasarları oraıı zama boyuca sabit kaldığı varsayımıa dayamaktadır. Geçmiş hasar tecrübeside elde edile hasar oraları kullaılarak gelecek hasarlar tahmi edilmektedir. Her bir kaza yılıa ait aşamalı hasarlar eflasyo ile büyütülerek yılıdaki ihai değerleri elde edilir. Elde edile bu değerleri ortalaması alıarak hasar oraı 1 M S e 1 i i (1 ) ; 3... (10) 1 i1 biçimide buluur. Bu oralar kullaılarak

7 Bilim ve Tekoloi Dergisi - A - Uygulamalı Bilimler ve Mühedislik 15 (1) ˆ i Si M (1 e) ; i... ve i 3... (11) tahmi edildikte sora i kaza yılı içi rezerv tahmii Rˆ ˆ i S hesaplaır. i i 4.3. Regresyo Yötemleri Regresyo yötemleri okta tahmii ve güve aralığı tahmileri elde edilmesie olaak sağladığıda hasar gelişim üçgelerii regresyo ile modellemesie ola ilgi giderek artmaktadır. Regresyo yötemleri varyas tahmiii doğruda elde edilmesii sağlamaktadır (Naraya ad Warthe 000). Aşamalı hasarları bir dağılıma sahip olduğu varsayıla regresyo modelleride model parametreleri tahmi edilmede öce geellikle hasarları doğrusallaştırmak içi logaritmik döüşüm gibi belirli döüşümler uygulamaktadır. Regresyo yötemleri kullaılarak ödememiş hasarları tahmilerii elde edilebilmesi içi aşamalı hasarları pozitif olduğu hasar gelişim üçgeleri ele alımaktadır. Aşamalı hasarlarıı pozitif olduğu varsayımı altıda logaritmik döüşüm yardımı ile Z l( S ) ler elde edilir. ve i i i modeli parametrelerii hata terimii göstermek üzere regresyo modeli Zi i i biçimidedir. Regresyo modelide hata terimleri 0 ortalama ve varyaslı ormal dağılıma sahip bağımsız r.d.lerdir (Naraya ad Warthe 000). { Si : i 1... ; 1... i 1} r.d.i bağımsız ve logormal dağılımlı olduğu varsayıldığıda r.d. bağımsız ve ormal dağılımlıdır. Z i E[ Zi ] Xi ve Var( Zi ) olmak üzere aşamalı hasarları beklee değeri 1 E[ Si ] i expx i biçimidedir. Burada; X açıklayıcı değişkeleri satır i vektörüü ise parametreleri sütu vektörüü göstermektedir Regresyo Modellerii Yapısı Model 1: Z i i i i Bu modelde i 3... olmak üzere ve parametrelerii tümü birbiride farklıdır ve dır. Bu edele parametreler vektörü [ ] biçimidedir. Model : Z ( i1) i i Bu modelde i 3... içi i ( i 1) ve 3... içi parametreleri farklıdır. Bu edele parametreler vektörü [... ] biçimidedir. 1 0 Model 3: Zi ( i 1) ( 1) l( ) Bu modelde i 3... içi i ( i 1) ve 3... içi ( 1) l( ) biçimidedir. Bu edele parametreler vektörü: [ ] biçimidedir. Regresyo modellerii parametre sayıları farklıdır. Regresyo modelleri; birbirleriyle karşılaştırma amaçlı değil modeldeki parametre sayısıı azaltılmasıı etkisii icelemek amacıyla seçilmiştir Regresyo Yötemleri ile Rezerv Tahmii z Z11 Z1... Z1 Z1... Z 1 olmak üzere e küçük kareler yötemiyle parametreler vektörü; ˆ ( XX ) 1 Xz tahmi edildikte sora hata varyası 1 ˆ ( z X ˆ) ( z X ˆ) r p hesaplaır. Tahmi edile parametreler gelecekteki aşamalı hasarları ögörüsü içi kullaılmaktadır. 1 Burada r gözlem sayısı r ( 1) ve p parametre sayısı ike; X satırları X i ola ( r p) boyutudaki tasarım matrisi ve gözlemlee hasarları vektörüdür. Regresyo modellerideki parametre sayıları farklı olduğuda X tasarım matrisi her bir model içi farklılık göstermektedir. i i z 1

8 Bilim ve Tekoloi Dergisi - A - Uygulamalı Bilimler ve Mühedislik 15 (1) i aşamalı hasarları beklee değerii göstermek üzere ve i... içi leri yasız tahmii; ˆ i i... exp( X ˆ ) g 1 X ( XX ) X s 1 1 i i m i i biçimide elde edilir (Verrall 1991). ˆ (1) i yalı tahmii ike r s ˆ r p yasızdır ve m r p ise serbestlik derecesidir. Ayrıca gm() t foksiyou ye ilişki serbestlik derecesii m olması halide; k k m ( m k) t gm() t k0 m( m )...( m k) k! biçimidedir (Fiey 1941). p Veri logormal dağılıma sahip olduğuda uzuluğudaki herhagi bir Z satır vektörü a ve skaleri içi expz a tahmi edicisi ˆ 1 exp( ) m ( ) ˆ i yasız 1 Z g a Z X X Z s biçimidedir (Bradu ad Mudlak 1970). 5. UYGULAMA Çalışmaı bu bölümüde dört farklı bezetim yötemiyle R programlama dili kullaılarak adet hasar gelişim üçgei üretilmiştir. Üretile her bir hipotetik veri seti içi ve regresyo yötemleriyle kaza yıllarıa ilişki rezervler ve kaza yılı rezervlerii toplamı ola toplam rezervler tahmi edilmiştir. Hasar rezerv tahmileri ile bezetim yoluyla üretile gerçek hasar rezervleri arasıdaki sapmalar hesaplaarak yötemleri performasları icelemiştir. Hasar gelişim üçgelerii üretilmeside kullaıla bezetim yötemleride 11 alımıştır. Hasar rezervii tahmi edilmesi içi kullaıla üç regresyo yötemide; 11 olduğuda parametre sayısı Model 1 içi 1 ( ) Model içi 1 ( ) ve Model 3 içi ise 4 ( ) tür. Bu çalışmada kullaıla performas ölçütleri yalılık ortalama karesel hataları karekökü (OKHK) ortalama mutlak sapma (OMS) ortalama hata yüzdesi (OHY) ve korelasyodur (KOR). Geel olarak e iyi yötemi yasız ve beklee hata karesii miimize ede tahmiler ürete yötem olduğu savuulmaktadır. E küçük hata kareleri ölçütü performas ölçütlerii e güçlüsüdür. Yasızlık ise daha zayıf bir ölçüttür. Eğer ya ölçülebilir ve öemsizse yalı yötemler kabul edilebilirdir. Yalılığı kotrol edilebilir bir düzeyi içi hata karesi küçük ola yötem tercih edilmektedir (Jig et al. 009) Searyolar ve Veri Setleri Hasar sayısı ve bireysel hasar tutarı r.d. içi uygu istatistiksel dağılımlar belirleerek farklı beklee değer ve varyaslı 60 searyo oluşturulmuş ve her bir searyo içi bezetim ile hasar üçgeleri üretilmiştir. Rezerv tahmiii gerçek rezerv değerie yakı olması ihai hasarları tahmiideki hataı az olmasıa bağlı olduğuda ihai hasarları yai birikimli hasarları yapısıı iyi aaliz edilmesi gerekir. Birikimli hasarları dağılımı hasar sayısı ve bireysel hasar tutarı r.d.lerii dağılımları tarafıda belirlediğide; sigortacılıkta bu r.d.lerii modellemeside yaygı olarak kullaıla çeşitli istatistiksel dağılımlar ile searyolar çeşitledirilmiştir. İstatistiksel dağılımlar hasar sayısı r.d. içi Poisso dağılımı ve bireysel hasar tutarı r.d. içi logormal gamma ve Pareto dağılımları olarak belirlemiştir. Sigorta risklerii modellemeside hasar sayısı içi Poisso dağılımıı kullaışlı özellikleri vardır (Klugma et al. 004). Bickerstaff (197) ve Dropki (1964) sigortacılıkta hasar tutarı verisii logormal dağılım Hewitt (1966) ise gamma dağılımı kullaılarak modelleebileceğii belirtmişlerdir. Hasar tutarlarıı değişkeliğii yüksek olması yai veri setide meydaa gelme olasılığı düşük olmasıa rağme oldukça yüksek tutarlı hasarları da buluması (hasar tutarlarıı uzu kuyruklu olması) durumuda Pareto dağılımı doğru tahmiler vermektedir (Patrik 1980). Çalışmaı uygulama bölümüde hasar sayısı ve hasar tutarıı yüksek ya da düşük ortalama ve stadart sapmaya sahip olmasıı (uzu ya da kısa kuyruklu bir yapıya sahip olmasıı) e iyi rezerv yötemii seçimie etkisii icelemek amacıyla farklı ortalama ve stadart sapmaya sahip veri setleri üretilmiştir.

9 Bilim ve Tekoloi Dergisi - A - Uygulamalı Bilimler ve Mühedislik 15 (1) Rezerv tahmiii gerçek veri setleri içi yapılması mümküdür acak bu çalışmada amaç farklı rezerv yötemlerii performaslarıı karşılaştırılması olduğuda bezetim tekiği kullaılarak farklı yapıda veri setleri oluşturulmuştur. Bezetim yötemide; karesel gelişim yapısıda ola verii sağ-alt üçgei çıkarılarak sol-üst üçge verisiyle yapıla rezerv tahmii (sağ-alt üçgei tahmii) ile sağalt üçgede bulua gerçek verii karşılaştırılması yardımıyla rezerv yötemii performası değerledirilir. Dolayısıyla rezerv yötemlerii karşılaştırılması amacıyla yapıla çalışmalarda aaliz sol-üst ve sağ-alt üçgei mevcut olduğu gerçek veri setleri ile yapılabilir. Searyolar Searyolarda kullaıla bezetim yötemleri ve rezerv yötemleri varsayımlar ve r.d.lerii sahip olduğu dağılımlara ilişki ayrıtılı bilgi Tablo 1 de verilmiştir. Çalışmada amaç mevcut bir veriye uyumlu ola dağılımı ve o dağılıma ait parametreleri belirlemek ve etkilerii icelemek değil rezerv yötemlerii farklı ortalama ve stadart sapmalı dağılımlara sahip farklı veri setleride performaslarıı icelemektir. Bu edele Tablo 1 deki parametreler seçile dağılımları beklee değer ve varyas bilgileri kullaılarak mometler yötemi ile elde edilmiştir. Ort. dağılımı ortalamasıı S.S. ise dağılımı stadart sapmasıı ifade etmektedir. Tablo 1. Farklı bezetim ve rezerv yötemleriyle oluşturula searyolar Bezetim Yötemi Hasar sayısıı dağılımı Hasar tutarıı dağılımı Logormal µ=73659 σ= Ort.=5.000 S.S.= Logormal µ=73659 σ= Ort.=5.000 S.S.= Diğer Varsayımlar Hasar Rezerv Yötemi Searyo 1 Searyo Rastgele Poisso Bildirilme λ=100 Eflasyo oraı Searyo 3 Reg. Model 1 Faktörü Yötemi Ort.=100 e=%6 Searyo 4 S.S.=100 Reg. Model Searyo 5 Reg. Model 3 Searyo 6 Searyo 7 Poisso Rastgele Geriye λ=100 Eflasyo oraı Searyo 8 Doğru Gelişim Reg. Model 1 Ort.=100 e=%6 Searyo 9 Faktörü Yötemi S.S.=100 Reg. Model Searyo 10 Reg. Model 3 Searyo 11 Eflasyo oraı e=%6 Searyo 1 Meydaa gelme Searyo 13 tarihi Reg. Model 1 Pareto Searyo 14 Poisso Değişe Tutarlı λ=1.000 Reg. Model λ=100 Uiform (01) Bireysel Hasarlar θ=5 Ort.=100 Yötemi Ort.=667 S.S.=100 Bildirilme gecikmesi S.S.=1.491 Üstel (λ=05) Searyo 15 Reg. Model 3 Kapatılma gecikmesi Üstel (λ=0) Searyo 16 Searyo 17 X() azala K= Searyo 18 Riske maruz birim Reg. Model 1 sayısı büyümesi Petikäie (%1) ve - - Searyo 19 Ratala Yötemi Toplam hasarı bir Reg. Model kaza yılıda diğerie büyümesi (%6) Searyo 0 Eflasyo oraı Reg. Model 3 AR(1) 3

10 Searyolar Bilim ve Tekoloi Dergisi - A - Uygulamalı Bilimler ve Mühedislik 15 (1) Tablo 1. (Devam) Farklı bezetim ve rezerv yötemleriyle oluşturula searyolar Bezetim Yötemi Hasar sayısıı dağılımı Hasar tutarıı dağılımı Diğer Varsayımlar Hasar Rezerv Yötemi Searyo 1 Rastgele Gamma Searyo Poisso Bildirilme α=1/9 λ=100 Searyo 3 Faktörü β=1/ Eflasyo oraı e=%6 Reg. Model 1 Ort.=100 Searyo 4 Yötemi Ort.=5.000 S.S.=100 Reg. Model Searyo 5 S.S.= Reg. Model 3 Searyo 6 Gamma Searyo 7 Rastgele Geriye Poisso α=1/9 Doğru Gelişim λ=100 Searyo 8 β=1/ Eflasyo oraı e=%6 Reg. Model 1 Faktörü Ort.=100 Searyo 9 Ort.=5.000 Yötemi S.S.=100 Reg. Model S.S.= Searyo 30 Reg. Model 3 Searyo 31 Eflasyo oraı e=%6 Searyo 3 Meydaa gelme tarihi Pareto Değişe Tutarlı Poisso λ= Bireysel λ=100 Uiform (01) Searyo 33 θ=3 Hasarlar Ort.=100 Reg. Model 1 Ort.=5.000 Yötemi S.S.=100 Bildirilme gecikmesi S.S.=8.660 Üstel (λ=05) Searyo 34 Reg. Model Kapatılma gecikmesi Üstel (λ=015) Searyo 35 Reg. Model 3 Searyo 36 X() arta Searyo 37 K= Riske maruz birim Petikäie sayısı büyümesi (%1) Searyo 38 ve - - Reg. Model 1 Ratala Toplam hasarı bir Yötemi kaza yılıda diğerie büyümesi (%6) Searyo 39 Reg. Model Eflasyo oraı AR(1) Searyo 40 Reg. Model 3 4

11 Searyolar Bilim ve Tekoloi Dergisi - A - Uygulamalı Bilimler ve Mühedislik 15 (1) Tablo 1. (Devam) Farklı bezetim ve rezerv yötemleriyle oluşturula searyolar Bezetim Yötemi Hasar sayısıı dağılımı Hasar tutarıı dağılımı Diğer Varsayımlar Hasar Rezerv Yötemi Searyo 41 Logormal Searyo 4 Rastgele Poisso µ=61715 Bildirilme λ=1.000 Eflasyo oraı Searyo 43 σ=09356 Reg. Model 1 Faktörü Yötemi Ort.=1.000 e=%6 Ort.=500 Searyo 44 S.S.=1.000 S.S.=150 Reg. Model Searyo 45 Reg. Model 3 Searyo 46 Searyo 47 Logormal Poisso Rastgele Geriye µ=61715 λ=1.000 Eflasyo oraı Searyo 48 Doğru Gelişim σ=09356 Reg. Model 1 Ort.=1.000 e=%6 Faktörü Yötemi Ort.=500 Searyo 49 S.S.=1.000 S.S.=150 Reg. Model Searyo 50 Reg. Model 3 Searyo 51 Searyo 5 Gamma Rastgele Poisso α=100/9 Bildirilme λ=1.000 Eflasyo oraı Searyo 53 β=1/45 Reg. Model 1 Faktörü Yötemi Ort.=1.000 e=%6 Ort.=500 Searyo 54 S.S.=1.000 Reg. Model S.S.=150 Searyo 55 Reg. Model 3 Searyo 56 Searyo 57 Gamma Poisso Rastgele Geriye α=100/9 λ=1.000 Eflasyo oraı Searyo 58 Doğru Gelişim β=1/45 Reg. Model 1 Ort.=1.000 e=%6 Faktörü Yötemi Ort.=500 Searyo 59 S.S.=1.000 S.S.=150 Reg. Model Searyo 60 Reg. Model 3 Uygulamada Petikäie ve Ratala yötemi dışıdaki bezetim yötemleride eflasyo oraı sabit ve %6 olarak varsayılmıştır. Petikäie ve Ratala yötemide ise eflasyo oraı e düşük %3 olacak şekilde her takvim yılı içi AR(1) modelide elde edilmiştir. Ayrıca riske maruz birim sayısıı her bir kaza yılı içi geometrik olarak %1 oraıda artış gösterdiği ve bir kaza yılıda diğerie toplam hasarı geometrik olarak %6 oraıda büyüme gösterdiği varsayılmıştır. Değişe tutarlı bireysel hasarlar yötemide ise; hasarları meydaa gelme tarihi (01) aralığıda tekdüze dağılımlı hasarları bildirilme gecikmesi ortalama ile üstel dağılımlı ve hasarları kapatılma gecikmesi ise küçük hasar tutarlı searyolar içi 5 büyük hasar tutarlı searyolar içi ise 8 ortalama ile üstel dağılımlı varsayılmıştır. Ayrıca C ˆi k değerleri hesaplaırke küçük hasar tutarlı 1 searyolar içi ( ) 50(0 1)(106) ve ( ) (50 ( 1)) / 0 büyük hasar tutarlı 1 searyolar içi ise ( ) 500(0 1)(106) ve ( ) (60 ( 1)) / 0 olarak alımıştır. 5

12 Bilim ve Tekoloi Dergisi - A - Uygulamalı Bilimler ve Mühedislik 15 (1) 5.1. Toplam Hasar Rezervii Performası Çalışmaı bu kısmıda toplam rezerv tahmilerii gerçek toplam rezervlerde sapmaları ölçülerek performas ölçütlerii değerleri hesaplamıştır. Toplam hasar rezervii performasıa ilişki elde edile souçlar Searyo 1-0 içi Tablo de verilmiştir. Performas Ölçütleri Tablo. Searyo 1-0 içi toplam hasar rezervii performası Hasar Rezerv Yötemleri Regresyo Model 1 Model Model 3 Rastgele Bildirilme Faktörü Yötemi (Searyo 1-5) Gerçek Toplam Rezerv: Ortalama= ; Std. Sapma= Ya OKHK OMS OHY 378% 445% 5% 1049% 1463% KOR Rastgele Geriye Doğru Gelişim Faktörü Yötemi (Searyo 6-10) Gerçek Toplam Rezerv: Ortalama= ; Std. Sapma= Ya OKHK OMS OHY 590% 105% 694% 18% 36306% KOR Değişe Tutarlı Bireysel Hasarlar Yötemi (Searyo 11-15) Gerçek Toplam Rezerv: Ortalama= ; Std. Sapma= Ya OKHK OMS OHY 050% 04% 87% 075% 066% KOR Petikäie ve Ratala Yötemi (Searyo 16-0) Gerçek Toplam Rezerv: Ortalama= ; Std. Sapma= Ya OKHK OMS OHY 001% -3199% 1333% 010% 144% KOR Tablo icelediğide rastgele bildirilme faktörü yötemi kullaılarak elde edile veriler içi icelee yötemler içeriside e iyi hasar rezerv yötemii yötemi olduğu rastgele geriye doğru gelişim faktörü yötemi ile üretile hasar gelişim üçgeleri kullaıldığıda e iyi performas göstere hasar rezerv yötemii regresyo yötemleride Model olduğu söyleebilir acak performas ölçütleride ya ölçütü dikkate alıdığıda rezerv yötemii de uygu olduğu düşüülebilir. Değişe tutarlı bireysel hasarlar 6 yötemie göre elde edile souçlara bakıldığıda e güçlü ölçüt ola OKHK ye göre Model 3 ü performasıı diğer rezerv yötemleride yüksek olduğu görülmekle birlikte ya ölçütü dikkate alıdığıda yötemii performasıı daha iyi olduğu; geel olarak da Model 3 ve yötemii her ikisii de uygu yötemler oldukları söyleebilir. Petikäie ve Ratala yötemie göre ise e uygu rezerv yötemii yötemi olduğu acak Model i de iyi souçlar verdiği söyleebilir.

13 Bilim ve Tekoloi Dergisi - A - Uygulamalı Bilimler ve Mühedislik 15 (1) Petikäie ve Ratala yötemi dışıdaki tüm bezetim yötemleride hasar rezerv yötemlerie ilişki korelasyo katsayıları (KOR) geel olarak düşüktür. Performası yüksek ola hasar rezerv yötemlerie ilişki KOR u düşük olması şaşırtıcıdır acak bu ölçütü güçlü bir performas ölçütü olmaması edeiyle düşük KOR değerleri dikkate alımamıştır. Rastgele geriye doğru gelişim faktörü bezetim yötemide Model 3 ü güçlü performas ölçütleri içi çok yüksek değerler verdiği yai bu regresyo modelide kullaıla parametre sayısıı yetersiz kaldığı gözde kaçırılmamalıdır. Bireysel hasar tutarlarıı yüksek ortalama ve stadart sapmayla logormal dağılımlı 7 olduğu durumda e iyi hasar rezerv yötemii rastgele bildirilme faktörü yötemie göre yötemi ve rastgele geriye doğru gelişim faktörü bezetim yötemie göre Model olduğu söyleebilir. Bireysel hasar tutarlarıı düşük ortalama ve stadart sapmayla Pareto dağılımlı olduğu durumda ise değişe tutarlı bireysel hasarlar yötemie göre Model 3 ve yötemii uygu olduğu görülmektedir. Bildirilme yapısıı azala olması durumuda Petikäie ve Ratala bezetim yötemie göre hasar rezervi tahmiide e iyi performas göstere yötemi yötemi olduğu görülmektedir Toplam hasar rezervii performasıa ilişki elde edile souçlar Searyo 1-40 içi Tablo 3 te verilmiştir. Tablo 3. Searyo 1-40 içi toplam hasar rezervii performası Hasar Rezerv Yötemleri Performas Regresyo Ölçütleri Model 1 Model Model 3 Rastgele Bildirilme Faktörü Yötemi (Searyo 1-5) Gerçek Toplam Rezerv: Ortalama= ; Std. Sapma=60.44 Ya OKHK OMS OHY 398% 490% 69% 1171% 1607% KOR Rastgele Geriye Doğru Gelişim Faktörü Yötemi (Searyo 6-30) Gerçek Toplam Rezerv: Ortalama= ; Std. Sapma= Ya OKHK OMS OHY 568% 079% 657% 088% 36603% KOR Değişe Tutarlı Bireysel Hasarlar Yötemi (Searyo 31-35) Gerçek Toplam Rezerv: Ortalama= ; Std. Sapma= Ya OKHK OMS OHY 043% 01% 94% 074% -05% KOR Petikäie ve Ratala Yötemi (Searyo 36-40) Gerçek Toplam Rezerv: Ortalama= ; Std. Sapma= Ya OKHK OMS OHY 035% -3376% 131% 09% 067% KOR

14 Bilim ve Tekoloi Dergisi - A - Uygulamalı Bilimler ve Mühedislik 15 (1) Tablo 3 icelediğide rastgele bildirilme faktörü yötemi kullaılarak elde edile veriler içi e iyi hasar rezerv yötemii yötemi olduğu söyleebilir. Rastgele geriye doğru gelişim faktörü yötemi ile üretile hasar gelişim üçgeleri kullaıldığıda e iyi performas göstere hasar rezerv yötemii regresyo yötemleride Model olduğu acak performas ölçütleride ya ölçütü dikkate alıdığıda rezerv yötemii de uygu olduğu söyleebilir. Değişe tutarlı bireysel hasarlar yötemie göre elde edile souçlara bakıldığıda e güçlü ölçüt ola OKHK ye göre Model 3 ü performasıı diğer rezerv yötemleride yüksek olduğu görülmekle birlikte ya ölçütü dikkate alıdığıda yötemii performasıı daha iyi olduğu; geel olarak da Model 3 ve yötemii her ikisii de uygu yötemler olduğu söyleebilir. Petikäie ve Ratala yötemie göre ise veri setie e uygu rezerv yötemii yötemi olduğu acak Model i de iyi souçlar verdiği söyleebilir. Searyo 1-40 içi de Searyo 1-0 de olduğu gibi Petikäie ve Ratala yötemi dışıdaki tüm bezetim yötemleride hasar rezerv yötemlerie ilişki KOR değerleri düşüktür. Searyo 1-0 deki bezer sebeplerde dolayı rastgele geriye doğru gelişim faktörü bezetim yötemi içi Model 3 ü parametre sayısıı yetersiz kaldığı söyleebilir. Bireysel hasar tutarlarıı yüksek ortalama ve stadart sapmayla gamma dağılımlı olduğu durumda e iyi hasar rezerv yötemii rastgele bildirilme faktörü yötemie göre yötemi ve rastgele geriye doğru gelişim faktörü bezetim yötemie göre Model olduğu söyleebilir. Bireysel hasar tutarlarıı yüksek ortalama ve stadart sapmayla Pareto dağılımlı olduğu durumda ise değişe tutarlı bireysel hasarlar yötemie göre Model 3 ve yötemii uygu olduğu görülmektedir. Bildirilme yapısıı arta olması durumuda Petikäie ve Ratala bezetim yötemie göre hasar rezervi tahmiide e iyi performas göstere yötemi bildirilme yapısıı azala olduğu durumdaki souçlarla bezer bir şekilde yötemi olduğu söyleebilir. Toplam hasar rezervii performasıa ilişki elde edile souçlar Searyo içi Tablo 4 te verilmiştir. 8

15 Performas Ölçütleri Bilim ve Tekoloi Dergisi - A - Uygulamalı Bilimler ve Mühedislik 15 (1) Tablo 4. Searyo içi toplam hasar rezervii performası Hasar Rezerv Yötemleri Regresyo Model 1 Model Model 3 Rastgele Bildirilme Faktörü Yötemi (Searyo 41-45) Gerçek Toplam Rezerv: Ortalama= ; Std. Sapma= Ya OKHK OMS OHY 395% 107% 11% 554% 870% KOR Rastgele Geriye Doğru Gelişim Faktörü Yötemi (Searyo 46-50) Gerçek Toplam Rezerv: Ortalama= ; Std. Sapma=88.88 Ya OKHK OMS OHY 550% -001% 650% 54% 35791% KOR Rastgele Bildirilme Faktörü Yötemi (Searyo 51-55) Gerçek Toplam Rezerv: Ortalama= ; Std. Sapma= Ya OKHK OMS OHY 48% 107% 154% 550% 866% KOR Rastgele Geriye Doğru Gelişim Faktörü Yötemi (Searyo 56-60) Gerçek Toplam Rezerv: Ortalama= ; Std. Sapma= Ya OKHK OMS OHY 540% 006% 68% 6% 35777% KOR Tablo 4 icelediğide rastgele bildirilme faktörü yötemie göre logormal dağılımlı ve gamma dağılımlı veriler içi performas ölçütleri souçlarıda büyük değişiklikler olmadığı ve e iyi hasar rezerv yötemii her iki dağılım içi de yötemi olduğu söyleebilir. Rastgele geriye doğru gelişim faktörü yötemi ile logormal ve gamma dağılımlı hasar verisi kullaıldığıda performas ölçütleri souçlarıı değişmediği e iyi performas göstere hasar rezerv yötemii her iki dağılım içi de yötemi olduğu görülmektedir. Tüm searyolara ilişki elde edile souçlar icelediğide; ayı ortalama ve stadart sapmaya sahip veri setleride bireysel hasar tutarlarıı logormal ya da gamma dağılımlı olmasıı e iyi performas göstere hasar rezerv yötemlerii değiştirmediği soucua varılmıştır. Bireysel hasar tutarı r.d.i dağılımı ayı fakat ortalama ve stadart sapması farklı olduğuda elde edile souçlar icelediğide; 9 Hasar tutarlarıı logormal dağılımlı olması durumuda e iyi rezerv yötemii rastgele bildirilme faktörü bezetim yötemi baz alıdığıda hasar tutarı ortalaması ve stadart sapmasıı büyük veya küçük olması durumuda değişiklik göstermediği rastgele geriye doğru gelişim faktörü bezetim yötemi içi ise; e uygu rezerv yötemii ortalama ve stadart sapmaı büyük olduğu verilerde Model düşük olduğu verilerde ise olduğu Hasar tutarlarıı gamma dağılımlı olması durumuda e iyi performas göstere hasar rezerv yötemlerii logormal dağılıma sahip verilerle ayı olduğu

16 Bilim ve Tekoloi Dergisi - A - Uygulamalı Bilimler ve Mühedislik 15 (1) Hasar tutarlarıı Pareto dağılımlı olması durumuda ise verii ortalama ve stadart sapmasıı değişmesii e iyi performas göstere hasar rezerv yötemlerii etkilemediği biçimide özetleebilir. 6. SONUÇ ve ÖNERİLER Ödememiş hasarları tahmi etmek ve bu hasarları karşılayacak büyüklükte rezerv ayırmak içi sigorta şirketlerii portföyüe yai hasarlarıı büyüklüğüe ve değişkeliğie uyumlu bir rezerv yötemi kullaarak rezerv hesabı yapması sermaye yeterliliği açısıda e öemli gereklilikleride birisidir. Bu zorululukta yola çıkılarak bu çalışmada farklı rezerv yötemlerii farklı portföylerdeki performası icelemiştir. Belirli bir yılda sora herhagi bir hasar gelişimii olmadığı varsayıldığıda gözlemleebilir birikimli hasar verisi kullaılarak gelecekteki birikimli hasarlar ve rezerv tahmi edilmiştir. Bezetim yötemleri ve hasar rezerv yötemlerii kombiasyolarıyla yapıla uygulama ile; bireysel hasar tutarlarıı logormal dağılımlı olduğu durumda yötemi ve Model i hasar rezervi tahmiide daha iyi performas gösterdiği hasar tutarları düşük olduğuda ise yötemii tercih edilmesi gerektiği soucua varılmıştır. Bireysel hasar tutarlarıı gamma dağılımıa sahip olduğu durumda da bezer souçlar elde edilmiştir. Bireysel hasar tutarlarıı Pareto dağılımlı olduğu durumda ise Model 3 ü ve çok düşük ya değerleri ürete yötemii performaslarıı yüksek olduğu soucua ulaşılmıştır. Ayrıca toplam hasarları bir kaza yılıda diğerie büyüme göstereceği varsayımıa dayaa Petikäie ve Ratala bezetim yötemie göre hasar rezervi tahmiide e iyi performas göstere yötemi yötemi olduğu söyleebilir. Sigortacıı portföyüe ve rekabet içide buluduğu ortamı koşullarıa uygu ola hasar rezerv yötemii seçmesi gerektiğide; ödememiş hasarları tahmiide kullaıla yötemleri portföye ilişki bilgileri aalize katıp katmadığı büyük öem taşımaktadır. Öreği geleeksel zicir merdive yötemi kullaılırke çevresel faktörler de dikkate alımalıdır. Gelişim faktörleri farklı ağırlıkladırmalar kullaılarak çeşitledirilebilir 30 ve bular arasıda portföye uygu ola gelişim faktörleri seçilebilir. Petikäie ve Ratala yötemi dışıda kullaıla bezetim yötemleride eflasyo oraıı sabit olduğu varsayılmış ve riske maruz birim sayısıa ilişki herhagi bir bilgi aalize katılmamıştır. Riske maruz birim sayısıda ve eflasyo oraıda gelecekte meydaa gelebilecek değişiklikler hasar gelişim üçgeii yapısıı değiştirebilir. Bu durumları ortaya çıkması halide; portföyü durağa olduğu varsayımıı yapıldığı yötemiyle tahmi edile rezerv meydaa gelebilecek hasarları karşılamasıda yetersiz kalabilir. Hasar rezervii tahmiide kullaıla regresyo modellerii geel olarak iyi performas gösterdiği yapıla aalizler soucu ortaya çıkmıştır. Bu çalışmada literatürde daha öce deemiş modeller kullaılmıştır acak icelee veri seti aaliz edilerek regresyo modellerii yapısı geişletilebilir. Veriye uygu regresyo modeli belirledikte sora ödememiş hasarı karşılamak içi gerekli ola hasar rezerv tahmiii elde edilmesi gerekir. Bu çalışmada sadece hasar bilgisi ürete bezetim yötemleri kullaıldığıda sadece hasar tutarı bilgisie dayalı hasar rezerv yötemlerii performasları değerledirilmiştir. Yıllar itibarıyla kazaıla prim hasar sayısı gibi bilgileri de kullaa hasar rezerv yötemlerii performaslarıı iceleebileceği bezetim modelleri geliştirilebilir. KAYNAKLAR Bickerstaff D. R. (197). Automobile Collisio Deductibles ad Repair Cost Groups: The Logormal Model Proc. CAS Boles T. Staudt A. (010). O the Accuracy of Loss Reservig Methodology CAS E- Forum Fall Bradu D. Mudlak Y. (1970). Estimatio i Logormal Lieer Models JASA Vol Bühlma H. (1983). Estimatio of IBNR Reserves by The Methods of Chai- Ladder Cape-Cod ad Complemetary Loss Ratio Iteratioal Summer School 1983 Upublished.

17 Bilim ve Tekoloi Dergisi - A - Uygulamalı Bilimler ve Mühedislik 15 (1) Dropki L. B. (1964). Size of Loss Distributios i Workme s Compesatio Isurace Proc. CAS Eglad P. D. Verrall R. J. (00). Stadard Errors of Predictio i Claims Reservig: A Compariso of Methods Geeral Isurace Covetio & Asti Colloquium Lodo: Istitute of Actuaries Vol Fiey D. J. (1941). O the Distributio of a Variate Whose Logarithm is Normally Distributed JRSS Suppl Friedlad J. (009). Estimatig Upaid Claims usig Basic Techiques CAS-FCAS KPMG LLP Versio II. Hewitt C. C. (1966). Distributio by Size of Risk-A Model Proc. CAS Jig Y. Lebes J. Lowe S. (009). Claim Reservig: Performace Testig ad The Cotrol Cycle CAS: Variace Advacig The Sciece of Risk Vol. 3 Issue. Khury C. K. (1980). Loss Reserves: Performace Stadards Proc. CAS Klugma S. A. Paer H. H. Willmot G. E. (004). Loss Models: From Data to Decisios d Editio Joh Willey&Sos Ltd. Mack T. (1999). The Stadard Error of Chai- Ladder Reserve Estimates: Recursive Calculatio ad Iclusio of a Tail Factor ASTIN Bulleti Naraya P. Warthe T. V. (000). A Comparative Study of The Performace of Loss Reservig Methods Through Simulatio: Joural of Actuarial Practice Vol. 8. Petikäie T. Ratala J. (199). A Simulatio Procedure for Comparig Differet Claims Reservig Methods ASTIN Bull Vol. No Reshaw A. E. Verrall R. J. (1998). A Stochastic Model Uderlyig The Chai- Ladder Techique British Actuarial Joural Vol Rollis J. W. (1997). Performace Testig Aggregate ad Structural Reservig Methods: A Simulatio Approach CAS Forum Summer 1997 Vol Schmidt K. D. Zocher M. (008). The Borhuetter-Ferguso Priciple CAS: Variace Advacig The Sciece of Risk Vol. 3 Issue. Staard J. N. (1985). A Simulatio Test of Predictio Errors of Loss Reservig Techiques CAS Proceedigs May 1985 Vol Verrall R. J. (1991). O The Ubiased Estimatio of Reserves from Logliear Models Isurace: Mathematics ad Ecoomics Verrall R. J. (1994). Statistical Methods for The Chai Ladder Techique CAS Forum Sprig Wiser R. F. (001). Loss Reservig Revised ad Updated By Jo Elle Cockley ad Adrea Garder I: Foudatios of Casualty Actuarial Sciece New York Wüthrich M. V Merz M. (008). Stochastic Claims Reservig Methods i Isurace Joh Willey&Sos Ltd. Patrik G. (1980). Estimatig Casualty Isurace Loss Amout Distributios Proc. CAS

18