Stirling Say lar fiermin Çam* /

Transkript

1 Matemati Düyas, 5 Bahar Kapa Kousu: Sayma Birici Stirlig Say lar. ifliyi yuvarla masaya, her masada e az bir ifli olmas ofluluyla aç de ifli biçimde yerlefltirebiliriz? Soatai matematiçi art ö recili y llar - soa erdi ii, oysa bu tür sorular ö recileri hayat zehir etme içi icat edildi ii söyleyip soruyu soraa bafla-iflim-gücüm-mü-yo muamelesi çeer. Öre i ii masaya birer ifli oyup, geri ala o ifliyi üçücü masaya yerlefltirebiliriz. Tabii te bafl a oturaca o ii ifliyi de ifli biçimlerde (5)(8)( ) yerleflimi (tam 66 de ifli biçimde; ede?) seçebiliriz. Geri ala o ifliyi de üçücü masaya de ifli biçimlerde oturtabiliriz. Ya da her masaya, piflpiri oyayacalarm fl gibi dörder ifli yerlefltirebiliriz; piflpiri oyayaca dörtlü gruplar de ifli biçimlerde seçebiliriz elbet; ayr ca herhagi dört iflili bir grubu masa etraf a de ifli biçimlerde oturtabiliriz. Afla dai yerleflimler de ifli yerleflimler olara alg laaca (iflileri sa solu öemli olaca yai.) ( ) ( ) ( ) Ama afla dai fleildei yerleflimler de ifli alg lamayaca. ( ) ( ) ( ) * stabul Bilgi Üiversitesi Matemati Bölümü iici s f ö recisi. Stirlig Say lar fiermi Çam* / sermicam5@yahoo.com Sözü sas masalar yuvarla oluflu souçsuz de il, masalar bafl sou yo. Aca masa sa solu var. Öte yada ii de ifli masa aras da ayr m gözetmiyoruz. Diat ettiyseiz masalar aras da ayr m gözetmiyoruz, ama ifliler aras da ayr m gözetiyoruz. E er ifliler aras da da ayr m gözetmeseydi, sorumuzu patatesi çuvala aç de ifli biçimde oyabiliriz flelide sorard ; e de olsa patatesleri ve çuvallar iflilileri yotur. Yai iflileri umaras var ama masalar umaras yo. Geel soru flu: ifli tae yuvarla masaya, her masada e az bir ifli olmas ofluluyla aç de ifli biçimde yerlefltirilir? s(, ) ile gösterile bu say lara Birici Stirlig Say - lar ad verilir. Amac - m z s(, ) say lar olayca hesaplayabilme. Her masada e az bir ifli olmas gereti ide, ifli say s masa say s da az olursa böyle bir yerlefltirme yap lamayaca da s(, ) = d r. Dolay s yla oflullar sa lad varsayabiliriz. Üç ifli ii de ifli biçimde yuvarla bir masaya yerleflebilir. Deme i s(, ) =. Sym() ile lifli Her yerleflim ( )( 5)(6 7)(8) gibi bir yaz l mla gösterilebilir. Öre i, s(, ) yi hesaplama içi flu listeyi sayma gereir: ()( ), ()( ), ()( ), ()( ), ()( ), ()( ), ()( ), ()( ), ( )( ), ( )( ), ( )( ). Dolay s yla s(, ) =. Görüldü ü gibi s(, ), Sym() grubuda ayr dögüü çarp m olara yaz la elemalar say s d r. Dolay s yla, bir sorai sayfada bir ez daha a tlayaca m z formülü geçerlidir. s (, ) =!

2 Matemati Düyas, 5 Bahar Biraç Özel Durum. Biraç olay durumda s(, ) say lar bulal m. Öce hiç masa olmad, yai = durumuu ele alal m. E er ifli varsa, bu iflii hepsii birde tae masaya te bir biçimde oturtabiliriz: Kimseyi hiçbir masaya yerlefltirmeyiz olur biter! Bafla da çözüm yotur. Deme i s(, ) =. (Bu a l yürütmede matematite ziyade temel mat var, alamaya bu fl geçebilir, o adar öemli de il.) Öte yada e er e az bir ifli varsa, bu adar ço ifliyi masaya yerlefltiremeyiz. Deme i > ise, s(, ) =. E er sadece bir te masa varsa, yai = ise ya t e olaca? Heresi bu te masaya yerlefltirece iz. Bir umaral ifliyi masa herhagi bir yerie yerlefltirebiliriz (bofl yerler aras da bir ayr m yo.) Geri ala yere geri ala ifliyi yerlefltirece iz. Elbette ( )! de ifli biçimde yapabiliriz böyle bir yerleflimi. Deme i s(, ) = ( )! dir. E er = ise, yai masa say s ifli say s a eflitse, o zama her masaya bir ifli yerlefltirme zoruda al r z, yai bir te çözüm vard r. (Masalar aras da ayr m gözetmedi imizde te bir yerleflim vard r, yosa yerleflim say s! olurdu.) Deme i s(, ) =. fiimdi de masa say s ifli say s da bir esi oldu u duruma baal m: ifli ve masa olsu. de de büyü olsu, çüü = fl da = = ve bu durumu yuarda halletmiflti. Ne bofl bir masa e de ayata ala birii görme istiyoruz. Deme i masalarda birie (hagisi oldu u öemli de il) ii ifli oturaca, di er masalara da birer ifli yerlefltirece iz. Öemli ola ay masaya oturaca o ii ifliyi seçme; o ii ifli seçildi ide yerleflim pla edili ide ortaya ç - ar. ifli aras da ifli seçece iz.. Buu ( ) s (, ) = = de ifli biçimde yapabiliriz. Geel Durum. Geel durumu irdeleme içi, ifli, birbiride fars z masaya aç de ifli fleilde oturabilir? sorusua ii ayr ya t bulup ya tlar eflleyece iz. (Bu ez, il sorumuzu asie baz masalar bofl alabilir.) Birici Ya t: ifli masaya s(, ), masaya s(, ) ve geel olara içi masaya s(, ) farl fleilde oturabilir. Öyleyse, doldurdular masa say s göz öüde tutara, iflii masaya s(, ) de ifli biçimde yerleflecelerii buluruz. Birici ya t buldu. fiimdi ay soruya iici bir ya t bulal m. ici Ya t: Masalar birbiride ay rt edilemedileride, birici iflii te bir hamlesi var: Herhagi bir masaya oturma. ici ifli ya bofl masalarda birie yerleflece (hagi bofl masaya yerleflti- i öemli de il çüü masalar aras da ayr m gözetmiyoruz) ya da biricii oturdu u masaya (diyelim solua, flimdili sa -sol öemli de il ama ya da öemli olaca) yerleflece. Deme i iici iflii ii de ifli hamlesi var. Üçücü iflii yapabilece i hamleleri sayal m: ya bofl bir masaya geçece ya biricii heme solua oturaca ya da iicii heme solua oturaca. Deme i üçücüü toplam hamlesi var. Dördücü ifli bofl bir masaya geçebilir ya da biricii heme solua geçebilir ya da iicii heme solua geçebilir ya da üçücüü heme solua geçebilir. Dördücü iflii toplam hamlesi var. Geel olara -ici iflii hamlesi var. Deme i ifli masaya! biçimde oturabilir. ici ya t da buldu. Yuarda buldu umuz ii ya t eflleyelim: s(, ) =! buluruz. Biom atsay lar aras da da bezer bir ilifli vard r (bz. sayfa 5): =. i= i Biom atsay lar yla ilgili = + i i i eflitli ii sayfa 5 te a tlam flt. Birici Stirlig Say lar içi de bezer bir eflitli vard r ve bu eflitli sayeside de erii bildi imiz Birici Stirlig Say lar ullaara yeilerii hesaplayabiliriz. Teorem. ise, s(, ) = s(, ) + ( )s(, ). Ka t: ifliyi masaya, hiçbir masa bofl almayaca fleilde yerlefltirece iz. E so ifli ola yi ele alal m. i fl var: Ya te bafl a bir masada alaca ya da baflalar yla birlite olaca. E er umaral ifli bir masada te bafl aysa, geri ala masaya ifli hiçbir masa bofl almayaca fleilde yerlefltirilmifl demetir. Deme i bu fl ta s(, ) seçee var.

3 Matemati Düyas, 5 Bahar i yal z almamas içi ifliyi s(, ) de ifli biçimde masaya yerlefltirmeli ve yi ala iflide herhagi birii heme solua oturtmal y z, buu yapma da elbette yolu vard r. Deme i umaral iflii yal z almayaca- ( )s(, ) adar yerleflim biçimi vard r. Böylelile toplamda s(, ) + ( )s(, ) tae yerleflim belirleyebiliriz. Teorem i ullaara Birici Stirlig Say lar içi de biom aç l mlar dai atsay lar göstere Pascal üçgei gibi bir üçge (Birici Stirlig Üçgeii) oluflturabiliriz ve Birici Stirlig Say lar teer teer bulabiliriz. Birici Stirlig Say lar s(, ): s(, ): s(, ): s(, ): s(, ): 6 6 s(5, ): 5 5 s(6, ): s(7, ): s(8, ): s(9, ): Birici Stirlig Say lar Cebirsel Ta m. Nas l biom atsay lar (x + y) poliomuu atsay lar ysa, Birici Stirlig Say lar da bir poliomu atsay lar d r: Teorem. Birici Stirlig Say s s(, ), > içi, p (x) = x(x + ) (x + ) poliomuda x i atsay s d r, yai, p( x) = sx (, ). Ka t: p (x) poliomuda x terimii atsay s a, olsu, yai p( x) = a x, olsu. p (x) = (x + )p (x) oldu uda, bu poliomlar tümevar mla a ta elverifllidirler. Buda yararla p hesaplayal m: p( x) = ( x+ ) p ( x) = ( x+ ) a x, x a x = ( ) a x, + =, a x + = ( ) a x, + =, = a = x + a = x, ( ), = a, + ( a = + a x + a x, ( ), ),. Herhagi ii poliomu eflitli i, her Z içi bu poliomlar x terimlerii atsay lar eflit olmas alam a geldi ie göre, > içi, a, = a, a, = a, ve < < ie, a, = a, + ( )a, d r. Buldu umuz bu so ilifli sayeside a, ve a, atsay lar da hareetle tüm a, atsay lar bulabiliriz. a, = ve a, = eflitlileri de olayl la buluabilir. Görüldü ü üzere, a, ve s(, ) say lar birbirleriyle ay tümevar msal ba lat y sa l yorlar. Dolay s yla bafllag ç oflullar ay ysa a, ve s(, ) eflit olurlar. Niteim öyle de: s(, ) = = a, ve s(, ) = = a,. Deme i s(, ) = a, olmal. Yuardai poliomu ullaara, biom atsay lar içi buldu umuz eflitlileri bezerlerii Birici Stirlig Say lar içi de a tlayabiliriz: E er yuardai poliomda x = al rsa, il sayfada da (gri arede) a tlad m z s (, ) =! eflitli ii bir ez daha buluruz. E er x = al rsa içi ( ) s (, ) = buluruz. x = ald m zda buluaca eflitli i oura b ra yoruz. ici Stirlig Say lar. Birici Stirlig Say lar da sora ici Stirlig Say lar gelir. Bu sefer ifliyi her grupta e az bir ifli olaca fleilde gruba ay raca z. Böyle aç gruplaflma vard r? Her grup bir altüme oldu uda, buu elemal bir ümei tae ayr ve bofl olmaya altümeye parçala fl say s olara görebiliriz. Bu da t mlar say s a ici Stirlig Say lar deir ve bu say lar S(, ) olara simgeleir. Öre olara S(, ) yi bulal m. Dört elemal {,,, } ümesii ii ayr ve bofl olmaya altümeye parçalayaca z. flte bu parçala fllar: {}, {,, } {, }, {, } {, }, {, } {,}, {, } {,, }, {} {,, }, {} {,, }, {}.

4 Matemati Düyas, 5 Bahar Toplam 7 tae buldu umuzda, S(, ) = 7 dir. Amac m z S(, ) say lar olay bir biçimde hesaplayabilme. fle gee olay biraç souç bulmala bafllayal m. S(, ) = dir: E er imse yosa, bu iflileri (!) te bir biçimde gruba ay rabiliriz, imseyi hiçbir gruba somay z olur biter! (Gee mat yapt!) Ama e er > ise, S(, ) = d r elbette. E er = ise te bir parçala fl vard r, heresi te grupta toplayal m. Dolay s yla S(, ) = dir. E er = ise gee te bir parçala fl vard r, her grup bir iflide tefleül eder: S(, ) =. E er > ise parçalaya ümelerde e az biri boflüme olma zoruda olur; deme i bu durumda S(, ) =. Buda böyle eflitsizli ii varsayabiliriz. Biraz daha ciddi souçlara do ru yele açma zama geldi. S(, ) i hesaplayal m. ümede biride ii elema, di erleride birer elema olmal. elema aras da ay gruba düflece o ii elema seçece iz; buu aç de ifli biçimde yapaca m z biliyoruz: ( ) S (, ) = =. S(, ) yi de bulma o adar zor de il. Parçalaya ümelerde birii seçti mi di eri belirleir, iteim e er parçalaya ümelerde biri A ise di eri A tümleyei ola A c ümesi olma zorudad r. Ama burada A boflüme ya da tüm üme olamaz (yosa tümleyei bofl olur.) elemal bir ümei tae altümesi oldu uda, A içi seçee imiz var. Yal z bir fleye daha diat etme gereiyor: (A, A c ) parçala fl yla (A c, A) parçala fl ay parçala fllar. Deme i say s iiye bölmemiz gereiyor. Souç: S(, ) =. Birici Stirlig Say lar ve biom atsay lar içi yapt m z gibi ici Stirlig Say lar içi de tümevar msal bir ilifli bulal m, böylece bu say lar da üçülerde bafllayara teer teer hesaplayabilece iz. Teorem. içi S(, ) = S(, ) + S(, ) eflitli i geçerlidir. Ka t: {,,..., } ümesi altümeye ta m gere i S(, ) farl yolla parçalaabilir. Bu parçala fllarda, altümelerde birii {} oldu u tam S(, ) tae parçala fl vard r, çüü bu durumda {,,..., } ümesii ümeye parçalama zoruday z. elema altümelerde biride te elema olmad parçala fllar ise {,,..., } ümesii altümeye parçalay p yi bu altümelerde herhagi birie eleme yoluyla elde edilebilir. Buu yapma da S(, ) yolu var. Yai {,,..., } ümesi altümeye ay zamada S(, ) + S(, ) de ifli biçimde parçalaabilir. ici Stirlig Say lar S(, ): S(, ): S(, ): S(, ): S(, ): 7 6 S(5, ): 5 5 S(6, ): S(7, ): 6 5 S(8, ): S(9, ): fiimdi, ici Stirlig Say lar içi cebirsel bir ta m bulal m. x, içi q (x) = x(x )... (x + ) poliomuu ta mlayal m. Teorem. içi, x = S(, ) q( x). Ka t: Birici Stirlig Say lar içi verdi imiz bezer teoremdei gibi düflüece iz. fiu soruyu ii de ifli fleilde ya tlayal m: ifli aç de ifli biçimde umaralad r lm fl x baloa da t labilir? Bu sefer orijial sorumuzu tersie baz balolarda ifli olabilir. Ayr ca balolar umaralad rara her baloa bir iflili veriyoruz. Bu soruyu ii de- ifli biçimde ya tlayaca z. Birici ya t: Heresi x seçee i oldu ua göre, ifli x de ifli biçimde x baloa da t labilir. ici ya t: iflii x baloda taesie biecelerii, di er balolar bofl alaca düflüelim. Balolara daha sora bidirme üzere ifliyi gruba ay ral m. Bu gruplaflmay S(, ) de ifli biçimde yapabiliriz. fiimdi bu S(, ) gruplaflmada herhagi birii alal m. Birici grup x baloda birii seçece. ici grup geri ala x baloda birii seçece, geel olara ici grup geri ala x + baloda birii seçece. Deme i her gruplaflma x(x )... (x + ) = q (x) tae de ifli biifl fleli vard r. Buda da balou S(, )q (x) de ifli biçimde doldurulabilece i ç ar. Dolay s yla ya t

5 Matemati Düyas, 5 Bahar Sq (, ) ( x) d r ve böylece teorem a tlam flt r. Stirlig Say lar Aras dai lifli. Birici ve ici Stirlig Say lar aras da belemedi bir ilifli vard r: Teorem 5. m, Z içi, e er = m ise δ m, = e e r m ise olsu. O zama s (, Sm ) (, )( ) = ( ) δ m, eflitli i geçerlidir. Ka t: m içi δ m, = oldu uda, bu durumda, ssm (,)(, ) = ssm (,)(, ) çift te eflitli ii göstermeliyiz. Bir oulda ö reci, m s f ve tae daire biçimide masa olsu. S flar ve masalar aras da bir far olmas, her s f her s fa ve her masa her masaya bezesi. Her s fta e az bir masa olaca ve her masada e az bir ö reci olaca biçimde aç de- ifli masa da t m ve ö reci yerleflimi yap labilir? Ö recileri masalara s(, ) biçimde yerlefltirebiliriz. Bu yerlefltirmelerde birii yapt m zda daha öce aralar da far olmaya masalar birdebire ö reciler sayeside iflili aza rlar. Bu iflili azam fl masay m s fa hiçbir s f bofl almayaca fleilde S(, m) biçimide yerlefltirebiliriz. Deme i böyle bir masa da t m ve ö reci yerleflimi s(, )S(, m) de ifli biçimde yap labilir. Bu say lar tee ve çifte ayr ayr toplarsa, eflit oldular gösterme istedi imiz toplamlar buluruz. E er m eflitlileri sa lamazsa ya baz s flar masas z ya da baz masalar ö recisiz alaca da bu durumda s(, )S(, m) = d r. Dolay s yla m > ise istedi imiz eflitli i elde ederiz. fiimdi > m eflitsizli ii varsayal m. Ö recileri de ye adar umaralad ral m. O zama e az bir s fta birde fazla ö reci olacat r. Bir s fta te bafl a bulumaya e üçü umaral ö reci a olsu. a yla ay s fta bulua bir sorai umaral ö reci b olsu. Deme i a ile b ay s ftalar, a da üçü umaral ö reciler te bafllar alar ve a s f da umaras a yla b aras da ola bafla bir ö reci yo. i fl var: a ile b ya ay masada ya da ayr masalarda oturuyorlard r. E er a yla b ayr masalarda oturuyorlarsa, b i masas, b i sa dai ifli a heme sa a gelece fleilde ve oturufl s ras bozmada oldu u gibi a masas - a ataral m. Eside b i oturdu u ve flimdi bofl ala masay da atal m. Böylece masa say s bir azal r. E er a yla b ay masalarda oturuyorlarsa, b de dahil olma üzere, b i soluda ve a sa da ala ö recileri bu s rayla yei bir masaya ataral m. Böylece masa say s bir artar. Bu ii ifllemi birbirii tersi oldu ua diatiizi çeerim. Yai birii de ifltirdi ii di eri geri de ifltirir. Masa say s artt da ya da azald da, tese çift olur, çiftse te olur. Bu da yuardai eflitli i do ru oldu u alam a gelir. fiimdi de m = olsu. O zama s(, )S(, ) say lar da sadece s(, )S(, ) say s de ildir: s(, )S(, ) =. Bu durumda eflitli ço bariz. Al flt rmalar. Her, tamsay lar içi, s(, ) S(, ) eflitsizli ii a tlay. Eflitli hagi durumda geçerlidir?. Afla dai formülleri a tlay. (Graham, Kuth ve Patashi, Cocrete Mathematics.) S ( +, m+ ) = Sm (, ) s ( +, m+ ) = m s (, ) Sm (, ) = ( ) S ( +, m + ) m s (, m) = ( ) m s ( +, + ) m m msm! (, ) = ( ) S ( +, m+ ) = Sm (, )( m+ ) s ( +, m+ ) =! sm (, )/! m S( m + +, m) = S( +, ) m sm+ ( +, m) = ( + ) s ( +, ) m = ( ) S ( +, + ) sm (, ) m m m+ S (, m) = sm ( +, ) m+ + m m+ s (, m) = Sm ( +, ) m + +