θ x Örnek...1 : Örnek...2 : KARMAŞIK SAYILAR 3 Alıştırmalar KARMAŞIK SAYININ KUTUPSAL (TRİGONOMETRİK) GÖSTERİMİ 1) z = 1 + i 2) z = 1 i

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "θ x Örnek...1 : Örnek...2 : KARMAŞIK SAYILAR 3 Alıştırmalar KARMAŞIK SAYININ KUTUPSAL (TRİGONOMETRİK) GÖSTERİMİ 1) z = 1 + i 2) z = 1 i"

Nesrin Bayraktar
7 yıl önce
İzleme sayısı:

1 KARMAŞIK SAYININ KUTUPSAL (TRİGONOMETRİK) GÖSTERİMİ z = a + bi y karmaşık sayısının kartezyen bi koordinatları z=(a, b) dir. Ya da görüntüsü A noktasıdır. A Alıştırmalar Karmaş ık sa yıs ın ın kutupsal biçimini bulal ım. 1) z = 1 + i z =r= a +b i O 1 θ a x ) z = 1 i cosθ= a z sin θ= b z 3) z= i z = a + bi standart gösteriminde a ve b nin eşitleri yerine ya zıl ırsa. z = r.cosθ + i.r.sinθ olur. z = r.( cosθ + isinθ ) ye trigonometrik (kutupsal = polar) gösterim denir. Daha kısa olarak; z = r.cis θ biçiminde de gösterilir. z = (r, θ) biçimindeki yazım ile kutupsal koordinatlar gösterilir. Örnek...1 : z+3-i =4+i koşulunu sağlayan z karmaşık sa yısının argüm enti x ise secx nedir? ARGÜMENT Kosinüs ve sinüs fonksiyonlarının periyodu π olduğundan z = r.cis θ = r.cis(θ+ k.π ) ( k Z ) yazılabilir. Bu z sayısını sağlayan sonsuz tane açı vard ır. "θ + k açılarına z nin ARGÜMENTLERİ denir. 0 θ π olan θ açısına ise z karmaşık sa yısının ES AS AR GÜMENTİ denir. Arg(z) = Arg(a + bi) = θ biçiminde gösterilir. Örnek... : z=(cos0 isin0) ise z karmaşık sayısının argüm enti kaç derecedir? UYARI Arg(z) = Arg(a + bi) = θ ise tanθ= b a yazılabilir. 11. Sınıf Matematik Konu Anlatımı /8

2 Örnek...3 : z= cos70+isin70 ise z karmaşık sayısının argüm enti k aç derecedir? UYARI Toplama ve çıkarma işlemlerinde dönüşüm f ormülleri k ullanılabilir. Örnek...5 : Örnek...4 : =.cis18 0 ve =3.cis7 0 ve a). b) z 5 1 c) ( 10.z 4 ) z=sin55 icos55 ise z karmaşık sayısının argüm enti k aç derecedir? KUTUPSAL BİÇİMDE İŞLEMLER = r1.cis Ɵ1 ve z = r.cis Ɵ olmak üzere bunların çarpım ve bölümünü kolayca bulabilmek için karmaşık sayıların farklı bir gösterimini bilmemiz işlemleri anlamamızı kolaylaştırır. e i x =cosx+i.sinx dir. Örnek...6 : =5cis6 0 ve =cis17 0 ise z 3 1. z 6 Buna göre, =r 1cisƟ 1 ve =r cisɵ ise 1).=r 1.r cis(ɵ 1+Ɵ ) ) n =r 1 n cis(n.ɵ 1) 3) = r 1 r cis(ɵ 1 Ɵ ) olarak hesap edilir. UYARI 1 Arg(. )=Ɵ 1 +Ɵ Örnek...7 : =8cis0 0 ve =cis10 0 ise 3 6 Arg( n )=Ɵ 1 n Arg( )=Ɵ 1 Ɵ 11. Sınıf Matematik Konu Anlatımı /8

3 Örnek...8 : a). y Örnek...11 : =4cis70 ve =4cis10 ise + b) 4 c) Arg( z 4 1 ) 60 0 O x Örnek...1 : =cis15 ve =cis105 ise Örnek...9 : a). b) c) Arg ( 3. ) Örnek...13 : z+ i. =1 eşitliğini sağlayan z karmaşık sayısının argümenti ençok kaç derece olabilir? Örnek...10 : n bir doğal sayı ve z=( 3+i) n eşitliğiyle verilen z sayısı negatif bir reel sayı ise z sayısının en bü yük değeri kaç olabilir? Örnek...14 : x açısı dar bir açı olmak üzere, z=1+cosx+isinx ise Arg(z) 11. Sınıf Matematik Konu Anlatımı /8

4 Örnek...15 : x açısı dar bir açı olmak üzere Arg(z) 1+i.tanx i ise Örnek...16 : = i = z 3 = 61.i karmaşık 4 3. sayıları için Arg( ) kaç derecedir? z 3 Alıştırma Arg (z)=x olsun. Aşağıdaki karmaşık sayıların argümentini x türünden bulunu z. 1) Arg( z) ) Arg(z 1 ) 3) Arg( z) Örnek...17 : z= i 3+3 Karmaşık sayısı veriliyor. Arg( z ) k aç derecedir? Örnek...18 : = cis40, = cis130 ise + 4) Arg( z) 5) Arg(i. z) 6) Arg(z. z) Örnek...19 : Arg(z i)= 45 0 eşitliğini sağlayan z karmaşık sayılarını noktaları düzlemde gösterini z 11. Sınıf Matematik Konu Anlatımı /8

5 UYARI z o=a+ib karmaşık sayısının düzlemdeki görüntüsü K(a,b) ise Arg (z z o ) α koşulunu sağlayan z sayıları ]KP yarı doğrusu üzerindedir. y Örnek... : Arg(z 1)= π 3 ve Arg(z+1)=π şitliğini sağlayan 6 z karmaşık sayısını bulunuz P O z 0 K(a,b) α x Örnek...0 : Arg(z 3 5i)= π eşitliğini sağlayan z 3 karmaşık sayılarını noktaları düzlemde gösteriniz Örnek...1 : Arg(z+3 i)= 5π şitliğini sağlayan z karmaşık 3 sayılarını noktaları düzlemde gösteriniz 11. Sınıf Matematik Konu Anlatımı /8

6 DEĞERLENDİRME 1 1) z= karmaşık sayısının kutupsal koordinatlarını bulunuz. 5) =6cis56 ve =4cis18 ise Arg( z 3 1 z ) 6 ) z.(3i+4) =5 1i koşulunu sağlayan z karmaşık sayısının argümenti x ise cosecx nedir? 6) n bir doğal sayı ve z=(i 3+1) n eşitliğiyle verilen z sayısı negatif bir reel sayı ise z sa yıs ın ın en bü yük değeri kaç olabilir? 3) z= 3(cos50 isin50) ise z karmaşık sa yısının argüm enti kaç derecedir? 7) z +i. =1 eşitliğini sağlayan z karmaşık sayısının argümenti en az kaç derece olabilir? 4) =4cis3 ve =3cis1 ise. 3 8) z= i 3 +3 karmaşık sayısı veriliyor. Arg(z 4 ) kaç derecedir? 11. Sınıf Matematik Konu Anlatımı /8

7 9) =6cis67 0 ve =8cis187 0 ise + 1) Arg(z 4)= 5 π ve Arg(z+)=7π eşitliğini 4 4 sağlayan z karmaşık sayısını bulunuz? 10) = cis0, = cis140 ise 11) Arg(z+1 4i)= π eşitliğini sağlayan z 3 karmaşık sayılarını noktaları düzlemde gösterini z? 13) Im( )=9 koşulunu sağlayan z karmaşık sayılarını düzlemde gösteriniz? 11. Sınıf Matematik Konu Anlatımı /8

8 DEĞERLENDİRME 1) =1+i Argz=.Arg, z =5, Im(z)<0 ise z sayısını bulunuz? 5) =cis30, =cis α, = 3 İse α nın en küçük pozitif dğeri nedir? ) z i =1 İse Arg(z)=α nın en büyük değeri için tanα 6) z 3 i =1 için =(1,maks Arg(z)) ve z+ 3 i =1 için =(1,min Arg(z)) ise 3) Arg(z 1+i)= π değeri kaçtır? z =3 ise Im(z) nin en büyük 7) Arg(z 1 i)= π eşitliğinin sağlayan z 4 karmaşık sayılarını merkez kabul eden yarıçapları 1 den küçük olan çemberlerin kümesi A olsun. B={x+iy: x + y } ise A B kümesinin alanı kaç birim karedir? 4) z=4 cis40 0 karmaşık sayısını standart biçimde ifade ediniz. 8) Im( )=9 ve z =6 denklem sisteminin çözüm kümesi Karmaşık sayılar kümesinde kaç elemanlıdır. 11. Sınıf Matematik Konu Anlatımı /8

Benzer belgeler

( KARMAŞIK SAYI MODÜL VE ÖZELLİKLERİ İKİ KARMAŞIK SAYI ARASI UZAKLIK DÜZLEMDE BELİRTTİĞİ BÖLGELER ) 1) z = z = i.z = z =... 2) z 1.

( KARMAŞIK SAYI MODÜL VE ÖZELLİKLERİ İKİ KARMAŞIK SAYI ARASI UZAKLIK DÜZLEMDE BELİRTTİĞİ BÖLGELER ) 1) z = z = i.z = z =... 2) z 1. BİR KARMAŞIK SAYININ MUTLAK DEĞERI (MODÜLÜ) Karmaşık düzlemde, bir karmaşık sayıya karşılık gelen noktanın (A noktasının), başlangıç noktasına uzaklığına bu sayının mutlak değeri (modülü) denir ve z şeklinde