MODERN MANTIK DERS NOTLARI

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "MODERN MANTIK DERS NOTLARI"

Transkript

1 1 ERZURUM TEKNİK ÜNİVERSİTESİ EDEBİYAT FAKÜLTESİ FELSEFE BÖLÜMÜ DERS NOTLARI ERZURUM-2015

2 2 III. NİCELEME MANTIĞI 1. Doğruluk Fonksiyonu Mantığının Yetersizliği ya da Niçin Niceleme Mantığı? Niceleme mantığı (yüklemler mantığı) da doğruluk fonksiyonu mantığı (önermeler mantığı) gibi iki değerli mantıktır. Ancak doğruluk fonksiyonu mantığı önermeleri nitelik yönünden ele aldığından onların niceliğini göstermede yetersizdir. İşte niceleme mantığı doğruluk fonksiyonu mantığının yetersizliği sonucu geliştirilen bir mantık sistemidir. Önermeler mantığı bir önermeyi birçok amaç için yeterli ayrıntıda analiz edebilme sistemine sahip değildir. Örneğin bu mantık önermeleri nitelik yönünden ele aldığından onların niceliğini göstermede yetersizdir. Bu yüzden günlük dildeki terimleri, yüklemeleri ve niceleyicileri büyük ölçüde sembolize edemez. Önermeler mantığının önermelerin iç yapısını, niceliğini ifade etmedeki yetersizliğinden dolayı yeni bir mantık sistemine ihtiyaç duyulmuştur. Bu ihtiyacın bir sonucu olarak da niceleme mantığı geliştirilmiştir. Örneğin, Her asal sayı bir doğal sayıdır. ve Bazı insanlar öğretmendir. önermelerini ele alalım. Önermeler mantığında bu önermeler birer basit önerme olup p, q gibi sembollerle gösterilir. Bu önermelerden birincisi tümel, ikincisi tikel önermedir. Bir önermeyi p, q gibi sembollerle sembolleştirdiğimizde onun tümel mi ya da tikel mi olduğunu anlaşılamaz. Yani niceliği konusunda bize bilgi veremez. Bir önermenin niceliği konusunda ancak bir başka mantık sistemi, yani niceleme mantığı bilgi verir. Niceleme mantığı, önermeler mantığının bu tür eksikliklerini ortadan kaldırarak önermelerin ve çıkarımların daha ayrıntılı sembolleştirilmesini sağlar. Niceleme mantığında yalnızca bileşik önermelerin değil, basit önermelerin iç yapısı ve niceliği de sembolleştirilmektedir. Böylece önerme ve çıkarımların daha kesin ve güvenli denetlemesi imkânı sağlanılmıştır. Bu yüzden niceleme mantığı önermeler mantığı gibi iki değerli mantık olmasına karşın her çeşit önermeyi özne ve yüklemleri açısından sembolleştirebildiğinden, ondan daha kapsamlı mantık sistemidir. Aslında doğruluk fonksiyonu mantığının yetersizliği kendi içinde de fark edilmişti. Doğruluk tablosunun sınırlı olmasından dolayı onun yerine çözümleyici çizelge geliştirilmişti. Çözümleyici çizelge doğruluk tablosu ile denetlemeye göre önermeyi en küçük bileşenlerine kadar ayırıp denetleyebilmesinden dolayı daha kapsamlı bir sistemdi. Ancak önermeleri en küçük bileşenlerine kadar denetlemesine karşın önermelerin iç yapısını denetlemede yetersiz kalıyordu. Hatta geçerli olması gereken bazı çıkarımlar çözümleyici çizelgede bile geçersiz çıkabilmekteydi. Örneğin, Aristoteles in en kesin kıyas dediği, Tüm insanlar ölümlüdür. Sokrates bir insandır. O halde, Sokrates ölümlüdür. çıkarımı çözümleyici çizelgede geçersiz çıkmaktadır. Bu tür önerme veya çıkarımlar önermeler mantığında doğru olarak denetlenip yorumlanamamaktadır. İşte bu türden yetersizlikleri giderebilmek için niceleme mantığı geliştirilmiştir.

3 3 2. Niceleme Mantığının Tanımı ve Kapsamı Niceleme mantığı, önermeler mantığı değişmezlerine, her (bütün) anlamına gelen tümel niceleme sembolü ile ( ), bazı (en az bir) anlamına gelen tikel niceleme sembolünü ( ) katmakla elde edilen genişletilmiş mantık sistemidir. Yani niceleyicileri kapsayan mantık sistemidir. Başka bir deyişle niceleme mantığı, niceleyici ve nicelenmiş değişkenli deyimleri inceleyen mantık bölümüdür. Niceleme mantığının önermeleri olan basit önermeler, özne yüklem ilişkisine dayandıkları için, niceleme mantığına yüklemler mantığı da denir. Niceleme mantığı, önermeler mantığından daha kapsamlı olduğundan, önermeler mantığında geçerli olan tüm çıkarımlar niceleme mantığında da geçerlidir. Ancak tersi doğru değildir. Yani niceleme mantığında geçerli olan çıkarımlar önermeler mantığında geçerli değildir. Niceleme mantığında, önermenin yüklemi tek bir özneye aitse birli yüklem, iki özneye aitse ikili yüklem, üç özneye aitse üçlü yüklem, n sayıda özneye aitse n li yüklem adını alır. Örneğin, Önerme Yüklem Sayısı Sembolleştirilmesi Ahmet canlıdır. Birli Yüklem Fa Ayşe ve Ali kardeştir. İkili Yüklem Fab Sarıçam, sedir ve servi iğne yapraklıdır. Üçlü Yüklem Fabc 3. Niceleme Mantığında Temel Tanımlar ve Sembolleştirme a) Niceleme Mantığında Temel Tanımlar 1. Tekil Önerme ve Genel Önerme Tekil önerme, tek bir özneye belli bir yüklemde bulunan önermedir. Örneğin, Ali çalışkandır. Bu basit önermenin içerisinde hiçbir niceleyici deyimi geçmemesinden dolayı tekil önermedir. Genel önerme, içerisinde niceleyici geçen önermedir. Örneğin, Bazı insanlar öğretmendir. Bu önermenin içerisinde niceleyici deyimi geçmesinden dolayı genel önermedir. 2. Açık Önerme ve Kapalı Önerme Açık önerme, bir önermede geçen bir ya da birden çok adın yerine bağsız olacak biçimde birer değişken koymakla elde edilen deyimdir. Başka bir deyişle açık önerme, içinde değişken geçen ve kendisi bir doğruluk değeri taşımayan, ama değişken yerine belirli bir terim konulduğunda doğru veya yanlış olabilen, yani bir önerme haline dönüşen ifadedir. Örneğin, başarılıdır., önermesinde, in yerine Ahmet terimi konulursa, önerme Ahmet başarılıdır. halini alır ve bir doğruluk değerine sahip olmuş olur. Kapalı önerme ise, içinde hiçbir bağsız değişken geçmeyen tam deyim veya önermedir. Başka bir deyişle kapalı önerme, belli bir doğruluk değeri taşıyan veya belli bir doğruluk değeri almış olan önerme, yani açık olmayan önermelerdir. Örneğin

4 4 Zeynep çalışkandır. önermesi kapalı önermedir. Çünkü içerisinde hiçbir değişken geçmemektedir. Ad ve yüklem apaçıktır, herhangi bir şekilde yorumlamaya açık değildir. Ancak kapalı önermede ad veya yüklem her zaman anlamlı değildir, bazen anlamlı olmayabilir. 3. Ad Sembolü ve Yüklem Sembolü Ad sembolü (ad simgesi), bir önermede özneyi temsil eden dil değişkenidir. Yani herhangi bir önermede özeyi temsil etmek için ona verilen a, b, c, d gibi sembollerdir. Yüklem sembolü, bir önermede yüklemi temsil eden dil değişkenidir. Yani herhangi bir önermede yüklemi temsil etmek için ona verilen F, G, H gibi sembollerdir. Niceleme mantığında tekil veya genel önermede özne a, b, c, d gibi küçük harflerle, yüklem ise F, G, H gibi büyük harflerle gösterilir. Örneğin Ali çalışkandır. tekil önermesi, niceleme mantığında Ali öznesi a, çalışkandır yüklemi ise F ile gösterilerek Fa şeklinde sembolize edilir. 4. Evren, Özelleme, Gerçekleme ve Açılım Evren, yorumlanmış dilin sözünü ettiği tüm nesneleri oluşturmağa yarayan yapı taşları öbeği; belli bir yorumla verilip, yorumun belirlediği tüm anlamları oluşturmaya yarayan dildışı nesne öbeğidir. Yani evren, bir değişkenin alabileceği tüm değerlerin kümesidir. Evren, niceleme mantığında E: {..} şeklinde gösterilir. Özelleme, evrende bulunan değerlerin değişkenin yerine konulmasıdır. Böyle elde edilen önermeye de özelleme önermesi denir. Gerçekleme, evrene ait değerlerden birinin veya birden fazlasının özelleme önermesini doğru kılması halidir. Bu durumda gerçekleme, bir n li değer dizisinin belli bir yorumda bir n li tamdeyimi gerçeklemesi, n li tamdeyimin bu değerler dizisine göre oluşturulan özelleme önermesinin söz konusu yorumda doğru olması demektir. Örnek 1) filozoftur. önermesini E: {Sokrates, Platon, Ali, Ayşe} dizisine göre tek tek özelleme ve gerçeklemesini yaparak doğruluk değerini belirleyiniz? filozoftur. E: {Sokrates, Platon, Ali, Ayşe} Sokrates filozoftur. Özelleme (D) Platon filozoftur. Özelleme (D) Ali filozoftur. Özelleme (Y) Ayşe filozoftur. Özelleme (Y) Sokrates filozoftur. Gerçekleme (D) Platon filozoftur. Gerçekleme (D)

5 5 Örnek 2) 3x + 6 = 0 önermesini E: {-2, 3} dizisine göre tek tek özelleme ve gerçeklemesini yaparak doğruluk değerini belirleyiniz? 3x + 6 = 0 E: {-2, 3} (3. -2) + 6 = = 0 0 = 0 Özelleme (D) (3. 3) + 6 = = 0 15 = 0 Özelleme (Y) (3. -2) + 6 = = 0 0 = 0 Gerçekleme (D) Örnek 3) x katıdır. önermesini E: {Kalem, kitap, oksijen} dizisine göre tek tek özelleme ve gerçeklemesini yaparak doğruluk değerini belirleyiniz? katıdır. E: {Kalem, kitap, oksijen} Kalem katıdır. Özelleme (D) Kitap katıdır. Özelleme (D) Oksijen katıdır. Özelleme (Y) Kalem katıdır. Gerçekleme (D) Kitap katıdır. Gerçekleme (D) Açılım ise verilen sonlu evrene göre önermenin özellemesinin yapılmasıdır. Bir açık önermede, evrendeki her değer için bir özelleme elde edilir. İşte bu özellemenin toplamına açılım denir. Örneğin, x 8 = 0 önermesi açık önermedir. Bu önermede x değişkendir. Bu açık önermede x in yerine konulabilecek 2, 5, 8 sayılarının her biri o değişkenin değerleri, evren ise E: {2, 5, 8} olacaktır. Bu evrende x in yerine konulan her değer bir özelleme önermesi oluşturacaktır. 2 8 = 0, 5 8 = 0 ve 8 8 = 0 önermeleri hem birer özelleme önermesidir hem de açılımdır. 2 ve 5 değerleri önermeyi yanlış kılarken, 8 değeri önermeyi doğru kılmıştır. Bu açılımda yalnızca 8 değeri verilen önermeyi gerçeklemiştir.

6 6 b) Sembolleştirme 1. Tekil Önermelerin Sembolleştirilmesi i. Basit Önermelerin Sembolleştirilmesi Basit önermeleri sembolleştirirken ad sembolleri olarak a, b, c, d, e,... ; yüklem sembolleri olarak F, G, H, K, L, M,... kullanılır. Örnek 1) Farabi filozoftur. basit önermesini birli yüklemler mantığında verilen sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz? Çözüm: Farabi filozoftur. basit önermesini sembolleştirmek için öncelikle Farabi adı a küçük harfi ile filozoftur yüklemi de büyük F harfi ile sembolleştirilir. Böylelikle Fa sembolü elde edilmiş olur. Fa gibi bir önermeyi okurken önce özne olan a söylenir. Sonra yüklem olan F söylenir. a, F dir şeklinde okunur. Farabi filozoftur. a F af Fa Örnek 2) 2, 3 ten küçüktür. basit önermesini birli yüklemler mantığında verilen sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz? 2, 3 ten küçüktür. a b G abg Gab Örnek 3) Zeynep İstanbul dan dönüyor. basit önermesini birli yüklemler mantığında verilen sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz? Zeynep İstanbul dan dönüyor. a F af Fa Örnek 4) Kar yağıyor. basit önermesini birli yüklemler mantığında verilen sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz? Kar yağıyor. a G Ga

7 7 Örnek 5) Sürat felakettir. basit önermesini birli yüklemler mantığında verilen sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz? Sürat felakettir. b H Hb Örnek 6) Dünya dönüyor. basit önermesini birli yüklemler mantığında verilen sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz? Dünya dönüyor. c H Hc ii. Bileşik Önermelerin Sembolleştirilmesi Bileşik önermeler sembolleştirilirken önce önerme eklemleri tespit edilir. Daha sonra basit önermelerin sembolleştirilmesinde olduğu gibi ad sembolleri olarak a, b, c, d, e, gibi küçük harfler; yüklem sembolleri olarak da F, G, H, K, L, gibi büyük harfler kullanılarak sembolleştirme yapılır. Örnek 1) Kar yağmış değil. bileşik önermesini birli yüklemler mantığında verilen sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz? Kar yağmış değil. a F Fa Örnek 2) Ali yurda giderse Ali uyur. bileşik önermesini birli yüklemler mantığında verilen sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz? Ali yurda gider ise Ali uyur. a F a G Fa Ga Örnek 3) Çiğdem akıllıdır ve Çiğdem çalışkan değildir. bileşik önermesini birli yüklemler mantığında verilen sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz? Leyla akıllıdır ve Leyla çalışkan değildir. a F Λ a G Fa Λ Ga

8 8 Örnek 4) Platon, Sokrates in öğrencisi ise Platon büyük bir filozoftur. bileşik önermesini birli yüklemler mantığında verilen sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz? Platon, Sokrates in öğrencisi ise Platon büyük bir filozoftur. a F a G Fa Ga Örnek 5) Mantık bir bilimdir ve felsefe bir bilim değildir. bileşik önermesini birli yüklemler mantığında verilen sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz? Mantık bir bilimdir ise felsefe bir bilim değildir. a F b F Fa Fb Örnek 6) Dünya dönüyor ise hem güneş bir gezegendir hem de dünya bir gezegendir. bileşik önermesini birli yüklemler mantığında verilen sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz? Dünya dönüyor ise hem güneş bir gezegendir hem de dünya bir gezegendir. a F b G Λ a G Fa (Gb Λ Ga) Örnek 7) Ahmet çalışıyor ve Zeynep çalışıyor ancak ve ancak Ali çalışmıyor ise Zeynep çalışmıyor değil. bileşik önermesini birli yüklemler mantığında verilen sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz? Ahmet çalışıyor ve Zeynep çalışıyor ancak ve ancak Ahmet çalışmıyor ise Zeynep a F Λ b F a F b çalışmıyor değil. F (Fa Λ Fb) ( Fa Fb) Bu bileşik önermede değiller birbirlerini götüreceğinden, (Fa Λ Fb) ( Fa Fb) biçiminde yazılır.

9 9 iii. Açık Önermelerin Sembolleştirilmesi Açık önermeler sembolleştirilirken öncelikle değişkenler (x, y, z gibi) olduğu gibi bırakılır. Sonra önerme içinde geçen nicelemeler ve önerme eklemleri tespit edilir. Daha sonra da basit ve bileşik önermelerin sembolleştirilmesinde olduğu gibi ad sembolleri olarak a, b, c, d, e, gibi; yüklem sembolleri olarak da F, G, H, K, L, gibi semboller kullanılarak sembolleştirme yapılır. Ancak önerme niceleme açılımıyla verilmemişse öncelikle niceleme mantığındaki açılım biçimine göre yeniden yazılarak sembolleştirilmesinin yapılmalıdır. Örnek 1) Bazı x ler için x sıvıdır. basit önermesini birli yüklemler mantığında verilen sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz? Bazı x ler için x sıvıdır. x x F xfx Örnek 2) Bütün x ler için x iletkendir. basit önermesini birli yüklemler mantığında verilen sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz? Bütün x ler için x iletkendir. x x G xgx Örnek 3) Bütün x ler için x tek sayı ise bazı x ler için x tek sayıdır. bileşik önermesini birli yüklemler mantığında verilen sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz? Bütün x ler için x tek sayı ise bazı x ler için x tek sayıdır. x x F x x F xf x xfx Örnek 4) Bütün x ler için x bir insan ise x ölümlüdür. bileşik önermesini birli yüklemler mantığında verilen sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz? Bütün x ler için x bir insan ise x ölümlüdür. x x F x F x (F x Gx)

10 10 Örnek 5) Bazı x ler için x omurgalıdır ve x memelidir. bileşik önermesini birli yüklemler mantığında verilen sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz? Bazı x ler için x omurgalıdır ve x memelidir. x x F Λ x G x (Fx Λ Gx) Örnek 6) Bütün insanlar ölümlüdür. bileşik önermesini birli yüklemler mantığında verilen sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz? Çözüm: Bütün insanlar ölümlüdür. gibi bir bileşik önermeyi sembolleştirebilmek için önerme önce niceleme mantığındaki açılım ve okunuş biçimine göre yeniden yazılmalıdır. Sonra da yazılan bu yeni önermeye göre önerme sembolleştirilmelidir. Buna göre yukarıda verilen önermenin niceleme mantığında açılımı ve sembolleştirilmesi şudur: Bütün insanlar ölümlüdür. Bütün x ler için, x insan ise x ölümlüdür. x x F x G x (Fx Gx) Örnek 7) Bazı omurgalılar memelidir. bileşik önermesini birli yüklemler mantığında verilen sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz? Bazı omurgalılar memelidir. Bazı x ler için, x omurgalı ise x memelidir. x x F x G x (Fx Gx) Örnek 8) Hiçbir ağaç taş değildir. bileşik önermesini birli yüklemler mantığında verilen sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz? Hiçbir ağaç taş değildir. Hiçbir x için, x ağaç ise x taş değildir. x x F x G x (Fx Gx)

11 11 Örnek 9) Bazı insanlar öğretmendir. bileşik önermesini birli yüklemler mantığında verilen sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz? Bazı insanlar öğretmendir. Bazı x ler için, x insan ise x öğretmendir. x x F x G x (Fx Gx) Örnek 10) Hiçbir at iki ayaklı değildir. bileşik önermesini birli yüklemler mantığında verilen sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz? Hiçbir at iki ayaklı değildir. Hiçbir x için, x at ise x iki ayaklı değildir. x x F x G x (Fx Gx) iv. Çıkarımların Sembolleştirilmesi Niceleme mantığında çıkarımlar da bileşik ve açık önermelerin sembolleştirilmesinde olduğu gibi sembolleştirilir. Önce varsa nicelemeler ve önerme eklemleri tespit edilir, sonra adlar ve yüklemler, ad (a, b, c, d, e, ) ve yüklem (F, G, H, K, L, ) sembolleriyle sembolleştirilerek çıkarım sembolleştirilir. Ancak açık önermelerin sembolleştirilmesinde de olduğu gibi eğer önerme niceleme açılımıyla verilmemişse öncelikle niceleme mantığındaki açılım biçimine göre yeniden yazılarak sembolleştirilmesi yapılmalıdır. Örnek 1) Tüm insanlar ölümlüdür. Sokrates insandır. O halde, Sokrates ölümlüdür. Yukarıdaki çıkarımı birli yüklemler mantığında verilen sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz?

12 12 Tüm x ler için, x insan ise x ölümlüdür. x x F x G x (Fx Gx) Sokrates insandır. a F Fa O halde, Sokrates ölümlüdür. a G Ga x (Fx Gx), Fa Ga Örnek 2) İbni Sina İlk Çağ veya Orta Çağ filozofudur. İbni Sina İlk Çağ filozofu değildir. O halde, İbni Sina Orta Çağ filozofudur. Yukarıdaki çıkarımı birli yüklemler mantığında verilen sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz? İbn-i Sina İlk Çağ veya Orta Çağ filozofudur. a F V G Fa V Ga İbn-i Sina İlk Çağ filozofu değildir. a F Fa O halde, İbn-i Sina Orta Çağ filozofudur. a G Ga Fa V Ga, Fa Ga Örnek 3) Bazı insanlar öğretmendir. Tüm insanlar canlıdır. O halde, bazı canlılar öğretmendir. Yukarıdaki çıkarımı birli yüklemler mantığında verilen sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz?

13 13 Bazı x ler için, x insan ise x öğretmendir. x x F x G x (Fx Gx) Tüm x ler için, x insan ise x canlıdır. x x F x H x (Fx Hx) O halde, bazı x ler için, x canlı ise x öğretmendir. x x H x G x (Hx Gx) x (Fx Gx), x (Fx Hx) x (Hx Gx) Örnek 4) Her metal genleşir. Demir metaldir. O halde, demir genleşir. Yukarıdaki çıkarımı birli yüklemler mantığında verilen sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz? Tüm x ler için, x metal ise x genleşir. x x F x G x (Fx Gx) Demir metaldir. b F Fb O halde, demir genleşir. b G Gb x (Fx Gx), Fb Gb Örnek 5) Bazı insanlar öğretmendir. Ayşe insandır. O halde, Ayşe öğretmendir. Yukarıdaki çıkarımı birli yüklemler mantığında verilen sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz?

14 14 Bazı x ler için, x insan ise x öğretmendir. x x F x G x (Fx Gx) Ayşe insandır. a F Fa O halde, Ayşe öğretmendir. a G Ga x (Fx Gx), Fa Ga Örnek 6) Öğrenci çalışkan değilse, öğrenci sınıf geçemez. Öğrenci çalışkan değildir. O halde, öğrenci sınıf geçemez. Yukarıdaki çıkarımı birli yüklemler mantığında verilen sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz? Öğrenci çalışkan değilse, öğrenci sınıf geçemez. a F a G Fa Ga Öğrenci çalışkan değildir. a F Fa O halde, öğrenci sınıf geçemez. a G Ga Fa Ga, Fa Ga Örnek 7) Bütün insanlar iki ayaklıdır. Bazı insanlar yeşil gözlüdür. O halde, bazı iki ayaklılar yeşil gözlüdür. Yukarıdaki çıkarımı birli yüklemler mantığında verilen sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz?

15 15 Bütün x ler için, x insan ise x iki ayaklıdır. x x F x G x (Fx Gx) Bazı x ler için, x insan ise x yeşil gözlüdür. x x F x H x (Fx Hx) O halde, bazı x ler için, x iki ayaklı ise x yeşil gözlüdür. x x G x H x (Gx Hx) x (Fx Gx), x (Fx Hx) x (Gx Hx) Örnek 8) Tüm kanser yapan şeyler zararlıdır. Sigara içmek kanser yapar. O halde, sigara içmek zararlıdır. Yukarıdaki çıkarımı birli yüklemler mantığında verilen sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz? Tüm x ler için, x kanser yapıyor ise x zararlıdır. x x F x G x (Fx Gx) Sigara içmek kanser yapar. b F Fb O halde, sigara içmek zararlıdır. b G Gb x (Fx Gx), Fb Gb Örnek 9) Her insan akıllıdır. Bazı canlılar akıllı değildir. O halde, bazı canlılar akıllı değildir. Yukarıdaki çıkarımı birli yüklemler mantığında verilen sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz?

16 16 Her x için, x insan ise x akıllıdır. x x F x G x (Fx Gx) Bazı x ler için, x canlı ise x akıllı değildir. x x H x G x (Hx Gx) O halde, bazı x ler için, x canlı ise x akıllı değildir. x x H x G x (Hx Gx) x (Fx Gx), x (Hx Gx) x (Hx Gx) v. Genel Önermelerin Sembolleştirilmesi Genel önerme, içerisinde niceleyici geçen önermelerdir. Tümel niceleyici ( ) ve tikel niceleyici ( ) olmak üzere iki tür niceleyici vardır. Genel önermeler, açık önermelerin ve çıkarımların sembolleştirilmesinde olduğu gibi sembolleştirilir. Verilen önermede önce nicelemeler ve önerme eklemleri tespit edilir, sonra adlar ve yüklemler, ad (a, b, c, d, e, ) ve yüklem (F, G, H, K, L, ) işaretleriyle sembolleştirilir. Ancak açık önermelerin ve çıkarımların sembolleştirilmesinde de olduğu gibi eğer önerme niceleme açılımıyla verilmemişse öncelikle niceleme mantığındaki açılım biçimine göre yeniden yazılarak sembolleştirilmesinin yapılması gerekir. Aksi halde sembolleştirme yanlış yapılmış olur. Bu kurallar öncelik ve sonralık ilişkisine göre uygulanarak genel önermelerin sembolleştirilmesi yapılmalıdır. Örnek 1) Hiçbir kare üçgen değildir. bileşik önermesini birli yüklemler mantığında verilen sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz? Hiçbir kare üçgen değildir. Hiçbir x için, x kare ise x üçgen değildir. x x F x G x (Fx Gx) Örnek 2) Bütün kareler dörtgendir. bileşik önermesini birli yüklemler mantığında verilen sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz? Bütün kareler dörtgendir. Bütün x ler için, x kare ise x dörtgendir. x x F x G x (Fx Gx)

17 17 Örnek 3) Bazı insanlar avukat değildir. bileşik önermesini birli yüklemler mantığında verilen sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz? Bazı insanlar avukat değildir. Bazı x ler için, x insan ise x avukat değildir. x x G x H x (Gx Hx) Örnek 4) Hiçbir balık kuş değildir. bileşik önermesini birli yüklemler mantığında verilen sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz? Hiçbir balık kuş değildir. Hiçbir x için, x balık ise x kuş değildir. x x F x G x (Fx Gx) Örnek 5) Bütün çiçekler bitkidir. bileşik önermesini birli yüklemler mantığında verilen sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz? Bütün çiçekler bitkidir. Bütün x ler için, x çiçek ise x bitkidir. x x G x H x (Gx Hx) Örnek 6) Bazı kitaplar ciltli değildir. bileşik önermesini birli yüklemler mantığında verilen sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz? Bazı kitaplar ciltli değildir. Bazı x ler için, x kitap ise x ciltli değildir. x x F x G x (Fx Gx) Örnek 7) Bütün insanlar akciğer solunumu yapar. bileşik önermesini birli yüklemler mantığında verilen sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz? Bütün insanlar akciğer solunumu yapar.

18 18 Bütün x ler için, x insan ise x akciğer solunumu yapar. x x F x G x (Fx Gx) Örnek 8) Hiçbir cisim iletken değildir. bileşik önermesini birli yüklemler mantığında verilen sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz? Hiçbir cisim iletken değildir. Hiçbir x için, x cisim ise x iletken değildir. x x G x H x (Gx Hx) Örnek 9) Bazı insanlar filozoftur. bileşik önermesini birli yüklemler mantığında verilen sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz? Bazı insanlar filozoftur. Bazı x ler için, x insan ise x filozoftur. x x G x H x (Gx Hx) Örnek 10) Bazı öğrenciler felsefe ya da sosyoloji öğrencisidir. bileşik önermesini birli yüklemler mantığında verilen sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz? Bazı öğrenciler felsefe ya da sosyoloji öğrencisidir. Bazı x ler için, x öğrenci ise x ya felsefe ya da sosyoloji öğrencisidir. x x F x G V H x [Fx (Gx V Hx)] 4. Niceleme Mantığında Doğruluk Değeri Hesabı a) Tümel Önermelerin Doğruluk Hesabı xfx formundaki bir tümel önermenin doğruluğunu hesaplayabilmek için önce önermenin verilen evrene göre açılımı, yani özellemesi yapılır. Sonra özellemesi yapılan önermeler tümel evetleme eklemiyle (Λ) birbirine bağlanarak bileşik tümel evetleme önermesi oluşturulur. Daha sonra bu yeni önermenin doğruluk değeri doğruluk tablosundan hareketle hesaplanır. Yapılan hesaplamaya göre eğer tüm özellemeler doğru ise tümel niceleme önermesi de doğrudur. En az bir yanlışlayıcı değer var ise tümel niceleme önermesi

19 19 yanlıştır. O halde xf x gibi bir tümel önermesinin bütün özellemelerinin doğru olması demek, tüm bu özellemelerinin tümel evetleme eklemiyle (Λ) birleştirilebilir olması demektir. Örnek 1) x (x filozoftur.) önermesinin E: {Sokrates, Platon, Kant} evrenindeki açılımını yaparak doğruluk değerini hesaplayınız? Çözüm: Bu ve buna benzer soruları çözebilmek için aşağıdaki işlem akışı takip edilmelidir. Birinci aşamada soruda verilenler tespit edilir ve eksiksiz olarak yazılır. x (x filozoftur.) E: {Sokrates, Platon, Kant} İkinci aşamada verilen tümel niceleyici önermenin doğruluk değerini hesaplamadan önce sembolleştirilmesi yapılır. xf x E: {a, b, c} Üçüncü aşamada verilen evrene göre sembolleştirilmesi ve açılımı (özellemesi) yapılan önermeler tümel evetleme eklemiyle (Λ) birbirine bağlanarak bileşik tümel evetleme önermesi oluşturulur. Sokrates filozoftur. Λ Platon filozoftur. Λ Kant filozoftur. Fa Fb Fc Dördüncü aşamada ise oluşturulmuş olan bu yeni tümel evetleme önermesinin doğruluk değeri doğruluk tablosundan hareketle hesaplanır. Sokrates filozoftur. Λ Platon filozoftur. Λ Kant filozoftur. Fa Fb Fc Fa Λ Fb Λ Fc D Λ D Λ D Verilen evrenin önermede hepsinin birden doğrulayıcı yorumlaması vardır. D Örnek 2) x (x tek sayıdır.) önermesinin E: {1, 2, 4, 5} evrenindeki açılımını yaparak doğruluk değerini hesaplayınız? x (x tek sayıdır.) E: {1, 2, 4, 5} xf x E: {a, b, c, d} 1 tek sayıdır. Λ 2 tek sayıdır. Λ 4 tek sayıdır. Λ 5 tek sayıdır. Fa Λ Fb Λ Fc Λ Fd D Λ Y Λ Y Λ D Verilen evrenin önermede hepsinin birden doğrulayıcı yorumlaması yoktur. Y

20 20 Örnek 3) x (x katıdır.) önermesinin E: { taş, buz, tahta} evrenindeki açılımını yaparak doğruluk değerini hesaplayınız? x (x katıdır.) E: {taş, buz, tahta} xf x E: {a, b, c} Taş katıdır. Λ Buz katıdır. Λ Tahta katıdır. Fa Λ Fb Λ Fc D Λ D Λ D D Verilen evrenin önermede hepsinin birden doğru yorumlayıcısı vardır. Örnek 4) x (x negatiftir.) önermesinin E: {Tam sayılar: -2, -1, 1, 2. } evrenindeki açılımını yaparak doğruluk değerini hesaplayınız? x (x negatiftir.) E: {Tam sayılar: -2, -1, 1, 2, } xf x E: {a, b, c, d, } - 1 negatiftir. Λ 1 negatiftir. Λ -2 negatiftir. Λ 2 negatiftir. Fa Λ Fb Λ Fc Λ Fd D Λ Y Λ D Λ Y Y Verilen evrenin önermede hepsinin birden doğrulayıcı yorumlaması yoktur. Örnek 5) x (x özkütlesi ağırdır.) önermesinin E: {Demir, platin, altın, civa} evrenindeki açılımını yaparak doğruluk değerini hesaplayınız? x (x özkütlesi ağırdır.) E: {Demir, platin, altın, civa} xg x E: {a, b, c, d} Demir ağırdır. Λ Platin ağırdır. Λ Altın ağırdır. Λ Civa ağırdır. Ga Λ Gb Λ Gc Λ Gd D Λ D Λ D Λ D D Verilen evrenin önermede hepsinin birden doğrulayıcı yorumlaması vardır.

21 21 Örnek 6) x (x canlıdır.) önermesinin E: {Güvercin, akasya, bakır, çita} evrenindeki açılımını yaparak doğruluk değerini hesaplayınız? Örnek 7) x (x beyazdır.) önermesinin E: {Süt, pamuk, elma, gül} evrenindeki açılımını yaparak doğruluk değerini hesaplayınız? b) Tikel Önermelerin Doğruluk Hesabı xfx formundaki bir tikel önermenin doğruluğunu hesaplayabilmek için önce önermenin verilen evrene göre açılımı, yani özellemesi yapılır. Sonra özellemesi yapılan önermeler tikel evetleme eklemiyle (V) birbirine bağlanarak bileşik tikel evetleme önermesi oluşturulur. Daha sonra da bu yeni önermenin doğruluk değeri doğruluk tablosundan hareketle hesaplanır. Yapılan hesaplamaya göre tikel niceleme önermesinde en az bir özelleme gerçekleniyorsa tikel önerme doğru, hiçbir özelleme gerçeklenmiyorsa tikel önerme yanlıştır. Yani Fx önermesinin tüm özellemeleri yanlış ise tikel önerme de yanlıştır. Örnek 1) x (x romancıdır.) önermesinin E: {Newton, Zola, Tolstoy} evrenindeki açılımını yaparak doğruluk değerini hesaplayınız? x (x romancıdır.) E: {Newton, Zola, Tolstoy} xf x E: {a, b, c} Newton romancıdır. V Zola romancıdır. V Tolstoy romancıdır. Fa V Fb V Fc Y V D V Y D Verilen evrenin önermede hepsinin birden doğrulayıcı yorumlaması vardır. Örnek 2) x (x fizikçidir.) önermesinin E: {Rousseau, Şinasi, Mehmet Akif} evrenindeki açılımını yaparak doğruluk değerini hesaplayınız? x (x fizikçidir.) E: {Rousseau, Şinasi, Mehmet Akif} xf x E: {a, b, c} Rousseau fizikçidir. V Şinasi fizikçidir. V Mehmet Akif fizikçidir. Fa V Fb V Fc Y V Y V Y Y Verilen evrenin önermede hepsinin birden doğrulayıcı yorumlaması yoktur.

22 22 Örnek 3) x (x kanatlıdır.) önermesinin E: {Serçe, sincap, güvercin} evrenindeki açılımını yaparak doğruluk değerini hesaplayınız? x (x kanatlıdır.) E: {Serçe, sincap, güvercin} xf x E: {a, b, c} Serçe kanatlıdır. V Sincap kanatlıdır. V Güvercin kanatlıdır. Fa V Fb V Fc D V Y V D D Verilen evrenin önermede hepsinin birden doğrulayıcı yorumlaması vardır. Örnek 4) x (x sıvıdır.) önermesinin E: {Su, zeytin yağı, kolonya} evrenindeki açılımını yaparak doğruluk değerini hesaplayınız? x (x sıvıdır.) E: {Su, zeytin yağı, kolonya} xf x E: {a, b, c} Su sıvıdır. V Zeytin yağı sıvıdır. V Kolonya sıvıdır. Fa V Fb V Fc D V D V D D Verilen evrenin önermede hepsinin birden doğrulayıcı yorumlaması vardır. Örnek 5) x (x şairdir.) önermesinin E: {Halide Edip Adıvar, Reşat Nuri Güntekin, Peyami Safa} evrenindeki açılımını yaparak doğruluk değerini hesaplayınız? x (x şairdir.) E: {Halide Edip Adıvar, Reşat Nuri Güntekin, Peyami Safa} xf x E: {a, b, c} H. Edip Adıvar şairdir. V R. Nuri Güntekin şairdir. V Peyami Safa şairdir.} Fa V Fb V Fc Y V Y V Y Verilen evrenin önermede hepsinin birden doğrulayıcı yorumlaması yoktur. Y

23 23 Örnek 6) x (x iğne yapraklıdır.) önermesinin E: {Çam, göknar, kestane, sedir} evrenindeki açılımını yaparak doğruluk değerini hesaplayınız? Örnek 7) x (x deniz taşıtıdır.) önermesinin E: {Taka, kağnı, vapur, yaya} evrenindeki açılımını yaparak doğruluk değerini hesaplayınız? c) Çıkarımların Doğruluk Değeri Hesabı Niceleme mantığında bir çıkarımın doğruluk değerini hesaplayabilmek için önce çıkarımın verilen evrene göre bir açılımı, yani özellemesi yapılır. Sonra öncüller birbirlerine tümel evetleme eklemiyle (Λ) sonuç önermesine ise koşul eklemiyle ( ) bağlanarak bir koşul önermesi oluşturulur. Daha sonra bu koşul önermesinin doğruluk değeri verilen evrende özellemenin gerçeklenip gerçeklenmediğine göre doğruluk değeri hesaplanır. Sonuçta verilen evrenin hepsi çıkarımda birden doğrulanmışsa çıkarım doğrudur, doğrulanmamışsa çıkarım yanlıştır. Doğru olan çıkarımlar aynı zamanda geçerli, doğrulanmamış çıkarımlar ise geçersizdir. Yorumlanmış bir çıkarımın geçerli olması, en az bir sembolik karşılığının geçerli olması demektir. Örnek 1) x(fx Gx), Fa Ga çıkarımını a: Sokrates; Fx: x insandır; Gx: x ölümlüdür yorumlama biçimine göre yorumlayarak, E: {Ali, Ayşe} evrenindeki açılımını ve doğruluk değerini hesaplayınız? a: Sokrates E: {Ali, Ayşe} Fx: x insandır. Gx: x ölümlüdür. x(x insandır. x ölümlüdür.), Sokrates insandır. Sokrates ölümlüdür. x{[(ali insandır. Ali ölümlüdür.) Λ (Ayşe insandır. Ayşe ölümlüdür.)] Λ Sokrates insandır.} Sokrates ölümlüdür. {[(D D) Λ (D D)] Λ D} D {[D Λ D] Λ D} D {D Λ D} D D D D Verilen evrenin çıkarımda hepsinin birden doğrulayıcı yorumlaması olduğundan çıkarım geçerlidir. Yani çıkarımın öncülleri sonucuyla birlikte doğru olduğundan GEÇERLİ dir.

24 24 Örnek 2) xfx Λ xgx x(fx Λ Gx) çıkarımını Fx: x tektir; Gx: x negatiftir yorumlama biçimine göre yorumlayarak, E: {-2, 1} evrenindeki açılımını ve doğruluk değerini hesaplayınız? Fx: x tektir. E: {-2, 1} Gx: x negatiftir. x(x tektir.) Λ x(2 negatiftir.) x(x tektir. Λ x negatiftir.) [(-2 tektir.) V (1 tektir.)] Λ [(-2 negatiftir.) V (1 negatiftir.)] [(-2 tektir.) Λ (-2 negatiftir.)] V [(1 tektir.) Λ (1 negatiftir.)] [(Y V D) Λ (D V Y)] [(Y Λ D) V (D Λ Y)] [D Λ D) [Y V Y] D Y Y Verilen evrenin çıkarımda hepsinin birden doğrulayıcı yorumlaması olduğundan çıkarım geçersizdir. Yani çıkarımın öncülleri sonucuyla birlikte doğru olmadığından GEÇERSİZ dir. Örnek 3) x(fx Gx), xgx xfx çıkarımını Fx: x tektir; Gx: x pozitiftir yorumlama biçimine göre yorumlayarak, E: {2} evrenindeki açılımını ve doğruluk değerini hesaplayınız? Fx: x tektir. E: {2} Gx: x pozitiftir. x(x tektir. x pozitiftir.), x(x pozitiftir.) x(x tektir.) (2 tektir. 2 pozitiftir.) Λ 2 pozitiftir. 2 tektir. [(Y D) Λ D] Y [D Λ D] Y D Y Y Verilen evrenin çıkarımda hepsinin birden doğrulayıcı yorumlaması olduğundan çıkarım geçersizdir. Yani çıkarımın öncülleri sonucuyla birlikte doğru olmadığından GEÇERSİZ dir.

25 25 Örnek 4) x(fx Gx), x Gx x Fx çıkarımını Fx: x elementtir; Gx: x serttir yorumlama biçimine göre yorumlayarak, E: {Kurşun, elmas} evrenindeki açılımını ve doğruluk değerini hesaplayınız? Fx: x elementtir. Gx: x serttir. E: {Kurşun, elmas} x(x elementtir. x serttir.), x (x serttir.) x (x elementtir.) {[(Kurşun elementtir. Kurşun serttir) V (Elmas elementtir. Elmas serttir)] Λ (Kurşun serttir. V Elmas serttir.)} (Kurşun elementtir. V Elmas elementtir.) {[(D Y) V (D D)] Λ (Y V D)} (D V D) {[Y V D] Λ (D)} (D) {D Λ Y} Y Y Y D Verilen evrenin çıkarımda hepsinin birden doğrulayıcı yorumlaması olduğundan çıkarım geçerlidir. Yani çıkarımın öncülleri sonucuyla birlikte doğru olduğundan GEÇERLİ dir. Örnek 5) xfx xgx xfx Λ xgx çıkarımını Fx: x çiçektir; Gx: x güzel kokuludur yorumlama biçimine göre yorumlayarak, E: {Kurşun, elmas} evrenindeki açılımını ve doğruluk değerini hesaplayınız? Fx: x çiçektir. Gx: x güzel kokuludur. E: {Gül, karanfil} x(x çiçektir.) x(x güzel kokuludur.) x(x çiçektir.) Λ x(x güzel kokuludur.) [(Gül çiçektir. Gül güzel kokuludur) V (Karanfil çiçektir. Karanfil güzel kokuludur] [(Gül çiçektir Λ Karanfil çiçektir.) V (Gül güzel kokuludur. Λ Karanfil güzel kokuludur.)] [(D D) V (D D)] [(D Λ D) V (D Λ D)] [D V D] [D V D] D D D

26 26 Verilen evrenin çıkarımda hepsinin birden doğrulayıcı yorumlaması olduğundan çıkarım geçerlidir. Yani çıkarımın öncülleri sonucuyla birlikte doğru olduğundan GEÇERLİ dir. Örnek 6) x (Fx Gx), xgx x Fx sembolik çıkarımını Fx: x uçucudur; Gx: x gazdır yorumlama biçimine göre yorumlayarak, E: {oksijen, tahta} evrenindeki açılımını ve doğruluk değerini hesaplayınız? Örnek 7) x (Fx V Gx), x Gx x Fx sembolik çıkarımını Fx: x taşıttır; Gx: x havayolu taşıtıdır yorumlama biçimine göre yorumlayarak, E: {uçak, planör} evrenindeki açılımını ve doğruluk değerini hesaplayınız? 5. Niceleme Mantığında Çözümleyici Çizelge İle Denetleme Çözümleyici çizelge ile denetleme yöntemi önermeler mantığında kullanıldığı gibi niceleme mantığında da kullanılır. Ancak niceleme mantığında çözümleyici çizelgenin uygulanabilmesi için bazı yeni kurallara da ihtiyaç vardır. Bunlar çözümleme kuralları (niceleyici değilleme kuralları) ile özelleme kurallarıdır. a) Çözümleme Kuralları 1. Niceleyici Değilleme Kuralları ve Doğruluk Değeri Hesapları Niceleyici değilleme kuralları, tümel önermenin tikel önermeye, tikel önermenin tümel önermeye dönüştürülmesini sağlayan kurallardır. Tümel niceleyicinin değillemesini tikel niceleyici, tikel niceleyicinin değillemesini tümel niceleyici kılan bu kurallar ikiye ayrılır. a) Tümel Niceleyicinin Değilleme Kuralı ve Doğruluk Hesabı xfx x Fx Tümel niceleyicinin değillemesinde xfx önermesi eşdeğerdir. xfx x Fx önermesiyle x Fx diye gösterilir. Örnek 1) x [(x sıvıdır.) (x katıdır.)] önermesinin E: {Su, buz, likit yağı} evrenindeki açılımını yaparak doğruluk değerini hesaplayınız?

27 27 x [(x sıvıdır.) (x katıdır.)] x [(su sıvıdır.) (su katıdır.)] [D Y] [D D] [D] Y x [(buz sıvıdır.) (buz katıdır.)] [Y D] [D D] [D] Y x [(likit yağı sıvıdır.) (likit yağı katıdır.)] [D Y] [D D] [D] Y Y V Y V Y Y Verilen evrenin önermede hepsini birden doğrulayıcı yorumlaması yoktur. Örnek 2) x [(x hikayedir.) Λ (x Ömer Seyfettin in eseridir.)] önermesinin E: {Diyet, Kaşağı, Kumpanya} evrenindeki açılımını yaparak doğruluk değerini hesaplayınız? x[(x hikayedir.) Λ (x Ömer Seyfettin in eseridir.)] x [( Diyet hikayedir.) Λ ( Diyet, Ömer Seyfettin in eseridir.)] [D Λ D] [D] Y x [( Kaşağı hikayedir.) Λ ( Kaşağı, Ömer Seyfettin in eseridir.)] [D Λ D] [D] Y

28 28 x [( Yalnız Efe hikayedir.) Λ ( Kumpanya, Ömer Seyfettin in eseridir.)] [D Λ Y] [Y] D Y V Y V D D Verilen evrenin önermede hepsini birden doğrulayan yorumlaması vardır. Örnek 3) x [(x Karadeniz e dökülür.) (x Akdeniz e dökülür.)] önermesinin E: {Kızılırmak, Çoruh, Seyhan} evrenindeki açılımını yaparak doğruluk değerini hesaplayınız? x [(x Karadeniz e dökülür.) (x Akdeniz e dökülür.)] x [(Kızılırmak Karadeniz e dökülür.) (Kızılırmak Akdeniz e dökülür.)] [D Y] [D D] [D] Y x [(Çoruh Karadeniz e dökülür.) (Çoruh Akdeniz e dökülür.)] [D Y] [D D] [D] Y x [(Seyhan Karadeniz e dökülür.) (Seyhan Akdeniz e dökülür.)] [Y D] [Y Y] [D] Y Y V Y V Y Y Verilen evrenin önermede hepsini birden doğrulayıcı yorumlaması yoktur.

29 29 Örnek 4) x [(x ovadır.) (x Akdeniz Bölgesi ndedir.)] önermesinin E: {Çukurova, Bafra Ovası, Maraş Ovası} evrenindeki açılımını yaparak doğruluk değerini hesaplayınız? x[(x ovadır.) (x Akdeniz Bölgesindedir.)] x [(Çukurova ovadır.) (Çukurova Akdeniz Bölgesi ndedir.)] [D D] [D] Y x [(Bafra Ovası ovadır.) ( Bafra Ovası Akdeniz Bölgesi ndedir.)] [D Y] [Y] D x [(Maraş Ovası ovadır.) ( Maraş Ovası Akdeniz Bölgesi ndedir.)] [D D] [D] Y Y V D V Y D Verilen evrenin önermede hepsini birden doğrulayan yorumlaması vardır. Örnek 6) x [(x enfeksiyon hastalığıdır.) (x bulaşıcıdır.)] önermesinin E: {AIDS, kanser, verem} evrenindeki açılımını yaparak doğruluk değerini hesaplayınız? Örnek 7) x [(x ağaçtır.) (x geniş yapraklıdır.)] önermesinin E: {Meşe, kayın, ladin} evrenindeki açılımını yaparak doğruluk değerini hesaplayınız? b) Tikel Niceleyicinin Değilleme Kuralı ve Doğruluk Hesabı xfx x Fx Tikel niceleyicinin değillemesinde de x Fx önermesi xfx önermesiyle eşdeğerdir. x Fx xfx diye gösterilir.

30 30 Örnek 1) x[(x kanatlıdır.) Λ (x siyahtır.)] önermesinin E: {Kumru, karga, leylek} evrenindeki açılımını yaparak doğruluk değerini hesaplayınız? x [(x kanatlıdır.) Λ (x siyahtır.)] x [(kumru kanatlıdır.) Λ (kumru siyahtır.)] [D Λ Y] [Y] D x [(karga kanatlıdır.) Λ (karga siyahtır.)] [D Λ D] [D] Y x [(leylek kanatlıdır.) Λ (leylek siyahtır.)] [D Λ Y] [Y] D D Λ Y Λ D Y Verilen evrenin önermede hepsini birden doğrulayıcı yorumlaması yoktur. Örnek 2) x[(x > 1) Λ (x < 6)] önermesinin E: {2, 3, 5} evrenindeki açılımını yaparak doğruluk değerini hesaplayınız x [(x > 1) Λ (x < 6)] x [(2 > 1) Λ (2 < 6)] [D Λ D] [D Λ Y] [Y] D x [(3 > 1) Λ (3 < 6)] [D Λ D] [D Λ Y] [Y] D

31 31 x [(5 > 1) Λ (5 < 6)] [D Λ D] [D Λ Y] [Y] D D Λ D Λ D D Verilen evrenin önermede hepsini birden doğrulayıcı yorumlaması vardır. Örnek 3) x[(x masal kahramanıdır.) Λ (x akıllıdır.)] önermesinin E: {Dev, Keloğlan, Köroğlu} evrenindeki açılımını yaparak doğruluk değerini hesaplayınız? x [(x masal kahramanıdır.) Λ (x akıllıdır.)] x [(Dev masal kahramanıdır.) Λ (Dev akıllıdır.)] [D Λ Y] [Y] D x [(Keloğlan masal kahramanıdır.) Λ (Keloğlan akıllıdır.)] [D Λ D] [D] Y x [(Köroğlu masal kahramanıdır.) Λ (Köroğlu akıllıdır.)] [D Λ D] [D] Y D Λ Y Λ Y Y Verilen evrenin önermede hepsini birden doğrulayıcı yorumlaması yoktur. Örnek 4) x[(x metaldir.) (x iletkendir.)] önermesinin E: {Gümüş, bakır, altın} evrenindeki açılımını yaparak doğruluk değerini hesaplayınız?

32 32 x[(x metaldir.) (x iletkendir.)] x [(Gümüş metaldir.) (Gümüş iletkendir.)] [D Λ D] [D] Y x [(Bakır metaldir.) (Bakır iletkendir.)] [D Λ D] [D] Y x [(Altın metaldir.) (Altın iletkendir.)] [D Λ Y] [Y] D Y Λ Y Λ Y Y Verilen evrenin önermede hepsini birden doğrulayıcı yorumlaması yoktur. Örnek 5) x[(x Doğu Anadolu Bölgesindedir.) Λ (x dağdır.)] önermesinin E: {Palandöken Dağları, Ağrı Dağı, Kaçkar Dağları, Süphan Dağı} evrenindeki açılımını yaparak doğruluk değerini hesaplayınız? Örnek 6) x[(x genetik hastalıktır.) Λ (x bulaşıcıdır.)] önermesinin E: {Diyabet, AIDS, lenfoma, HIV} evrenindeki açılımını yaparak doğruluk değerini hesaplayınız? 2. Özelleme Kuralları a) Tümel Özelleme Kuralı Niceleme mantığında çözümleyici çizelge ile denetleme yapılırken, açık bir yol üzerinde xfx gibi bir tümel niceleme önermesi geçiyorsa, bu önermenin özellemesi, bu yol üzerindeki önermelerin herhangi birinde geçen a gibi bir ad sembolü ve F gibi bir yüklem sembolü kullanılarak yapılır. Tümel özelleme kaldırılarak daha önce yol üzerinde geçmiş olan herhangi bir ad sembolü yoksa özelleme isteğe bağlı olarak seçilen bir ad sembolü ile yapılır. Daha önce geçmiş bir ad sembolü varsa bilinmezin yerine daha önce geçen ad sembolü konur. Yol üzerinde birden fazla ad sembolü bulunuyorsa, tümel özellemenin özellemesi ayrı ayrı yapılır. Tümel özelleme kuralı aşağıdaki gibi gösterilir.

33 33 xfx veya xpx Fa Pa Örnek 1) xgx, Fb Gb çıkarımını özelleyerek çözümleyici çizelge ile denetleyiniz? 1. xgx (Önc.) Fb (Önc.) Gb ( Snç.) Gb (1) Yol kapalıdır. Örnek 2) x( Fx Gx), Gc Fc çıkarımını özelleyerek çözümleyici çizelge ile denetleyiniz? 1. x( Fx Gx) (Önc.) Gc (Önc.) Fc ( Snç.) 2. Fc Gc (1) (2) Fc Gc Tüm yollar kapalıdır. Örnek 3) xfb, x( Fx V Gx), xfx önermelerini özelleyerek çözümleyici çizelge ile denetleyiniz? Fb 1. xfb (Ö.) 3. x(fx V Gx) (Ö.) 2. xfx (Ö.) Fb (1) Fb (2) 4. Fb V Gb (3) (4) Gb Bir yol açıktır.

34 34 Örnek 4) x(fx Gx), Gc Fc V Gc çıkarımını özelleyerek çözümleyici çizelge ile denetleyiniz? 2. x(fx Gx) (Önc.) Gc (Önc.) 1. ( Fc V Gc) ( Snç.) Fc (1) Gc 3. Fx Gx (2) (3) Fc Gc Tüm yollar kapalıdır. Fc Gc Örnek 5) xfx, x Fx önermelerini özelleyerek çözümleyici çizelge ile denetleyiniz? 1. xfx (Ö.) 2. x Fx (Ö.) Fa (1) Fa (2) Yol kapalıdır. Örnek 6) x( Fx V Gx), Fx Gx x (Fc Gc) çıkarımını özelleyerek çözümleyici çizelge ile denetleyiniz? Örnek 7) x(fx Λ Gx), Fx Gx x (Fb V Gb) çıkarımını özelleyerek çözümleyici çizelge ile denetleyiniz? b) Tikel Özelleme Kuralı Çözümleyici çizelge üzerindeki açık yol veya yollar üzerinde xfx gibi bir tikel niceleme önermesi varsa, bu önermeyi özellemek için, açık yol üzerinde daha önce geçmiş olan herhangi bir ad sembolü bulunup bulunmadığına bakılır. Yol üzerinde bir ad sembolü geçiyorsa, tikel niceleme önermesinin özellemesi, bu ad sembolünden farklı bir ad sembolü seçilerek yapılır. Tikel özelleme kuralı şöyle gösterilir:

35 35 xfx veya xpx Fa Pa Örnek 1) xfx, x(fx V Ga) önermelerini özelleyerek çözümleyici çizelge ile denetleyiniz? Fb 1. xfx (Ö.) 2. x(fx V Ga) (Ö.) Fa (1) 3. Fb V Ga (2) (3) Ga Yollar açıktır. Örnek 2) x(gx Λ Ga) Fa çıkarımını özelleyerek çözümleyici çizelge ile denetleyiniz? 1. x(gx Λ Ga) (Önc.) Fa ( Snç.) 2. Gb Λ Ga (1) Gb (2) Ga Yol açıktır. Örnek 3) x(fx Λ Gx), Fa Ga çıkarımını özelleyerek çözümleyici çizelge ile denetleyiniz? 1. x(fx Λ Gx) (Önc.) Fa (Önc.) Fa ( Snç.) 2. Fb Λ Gb (1) Fb (2) Gb Yol açıktır.

36 36 Örnek 4) x(fx Λ Gx), Fx Gx Fa V Ga çıkarımını özelleyerek çözümleyici çizelge ile denetleyiniz? Fc 1. x(fx Λ Gx) (Önc.) 4. Fx Gx (Önc.) 3. (Fa V Ga) ( Snç.) 2. Fb Λ Gb (1) Fb (2) Gb Fa (3) Ga 5. Fc Gc (4) (5) Gc Tüm yollar açıktır. Örnek 5) x(fx Λ Ga) Ga çıkarımını özelleyerek çözümleyici çizelge ile denetleyiniz? 1. x(fx Λ Ga) (Önc.) Ga ( Snç.) 2. Fb Λ Ga (1) Fb (2) Ga Yol kapalıdır. Örnek 6) x (Fx Gx), Fx Λ Gx Fa Ga çıkarımını özelleyerek çözümleyici çizelge ile denetleyiniz? Örnek 7) x( Fx V Gx), Fx Gx Fb Gb çıkarımını özelleyerek çözümleyici çizelge ile denetleyiniz? b) Niceleme Mantığında Denetleme Niceleme mantığında önermelerin tutarlılık, geçerlilik, eşdeğerlik, çıkarımların geçerlilik denetlemesi yalnızca çözümleyici çizelgeyle yapılabilir. Önermeler mantığında geçerli olan kurallar niceleme mantığında da geçerlidir. Tekil önermelerin çözümlenip denetlenmesinde önermeler mantığının çözümleme kuralları yeterlidir. Ancak, genel önermelerin çözümlenip denetlenmesinde önermeler mantığının çözümleme kuralları yanında

37 37 niceleme mantığına özgü kurallara da ihtiyaç vardır. Bu kurallar uygulanmaksızın niceleme mantığında denetleme yapılamaz. Bunlar önceki ünitede öğrenmiş olduğumuz niceleyici değilleme kuralları ve özelleme kurallarıdır. c) Niceleme Mantığında Denetlemede İşlem Akışı Niceleme mantığında çözümleyici çizelge ile denetleme yapılırken her adımda takip edilmesi gereken işlem önceliği vardır. Bu işlem akışı öncelik sırasına göre aşağıdaki gibidir. 1. Tümel niceleyici değilleme kuralı 2. Tikel niceleyici değilleme kuralı 3. Alt alta yazma kuralları 4. Tikel özelleme kuralı 5. Çatal açma kuralları 6. Tümel özelleme kuralı d) Çözümleyici Çizelge İle Denetleme 1. Tek Bir Önermenin Tutarlılığının Denetlenmesi Niceleme mantığında çözümleyici çizelge ile tek bir önermenin tutarlığını denetleyebilmek için önce önerme işlem akışı sırasına göre denetlenir. Denetleme sonucuna göre bir veya birden fazla yol açık ise önerme tutarlı, tüm yollar kapalı ise önerme tutarsızdır. Örnek 1) xfx Λ xfx önermesinin tutarlı olup olmadığını denetleyiniz? 1. xfx Λ xfx (Ö.) 2. xfx (1) (1. Adımda alt alta yazma kuralı uygulandı.) 3. xfx 4. x Fx (2) (2. Adımda tümel niceleyici değilleme kuralı uygulandı.) 5. x Fx (3) (3. Adımda tikel niceleyici değilleme kuralı uygulandı.) Fa (4) (4. Adımda tikel özelleme kuralı uygulandı.) Fa (5) (5. Adımda tümel özelleme kuralı uygulandı.) Yol açık olduğundan önerme TUTARLI dır. Örnek 2) xgx xfx önermesinin tutarlı olup olmadığını denetleyiniz? 1. xgx xfx (Ö.) (1) 2. xgx 4. xfx 3. x Gx (2) Fa (4) Ga (3) Yollar açık olduğundan önerme TUTARLI dır.

38 38 Örnek 3) x(fx Λ Gx) ( xfx V xgx) önermesinin tutarlı olup olmadığını denetleyiniz? 1. x(fx Λ Gx) ( xfx V xgx) Ö. (1) 2. x(fx Λ Gx) 5. xfx V xgx 3. x (Fx Λ Gx) (2) 6. Fa V Ga (5) 4. (Fa Λ Ga) (3) (6) (4) Fa Ga Fa Ga Tüm yollar açık olduğundan önerme TUTARLI dır. Örnek 4) x(fx Λ Fx) önermesinin tutarlı olup olmadığını denetleyiniz? 1. x(fx Λ Fx) (Ö.) 2. (Fa Λ Fa) (1) Fa (2) Fa Yol kapalı olduğundan önerme TUTARSIZ dır. Örnek 5) x (Fx Fx) önermesinin tutarlı olup olmadığını denetleyiniz? 1. x (Fx Fx) Ö. 2. (Fa Fa) (1) Fa (2) Fa Yol açık olduğundan önerme TUTARLI dır. Örnek 6) x(fx V Gx) Λ x( Fx Gx) önermesinin tutarlı olup olmadığını denetleyiniz?

39 39 1. x(fx V Gx) Λ x( Fx Gx) (Ö.) 5. x(fx V Gx) (1) 2. x( Fx Gx) 3. x ( Fx Gx) (2) 4. ( Fa Ga) (3) Fa (4) Ga 6. Fa V Ga (5) Fa (6) Ga Tüm yollar kapalı olduğundan önerme TUTARSIZ dır. Örnek 7) xgx V x(hx Hx) önermesinin tutarlı olup olmadığını denetleyiniz? 1. xgx V x(hx Hx) (Ö.) (1) 4. xgx 2. x(hx Hx) Ga (4) 3. Ha Ha (2) (3) Ha Ha Tüm yollar açık olduğundan önerme TUTARLI dır. Örnek 8) x(fx Fx) x (Fx Fx) önermesinin tutarlı olup olmadığını denetleyiniz? 1. x(fx Fx) x (Fx Fx) (Ö.) (1) 2. x(fx Fx) 5. x (Fx Fx) 3. x (Fx Fx)(2) 6. (Fa Fa) (5) 4. (Fa Fa)(3) Fa Fa (6) (4) Fa Fa Tüm yollar kapalı olduğundan önerme TUTARSIZ dır.

40 40 Örnek 9) x(fx V Gx) ( xfx Λ xgx) önermesinin tutarlı olup olmadığını denetleyiniz? Örnek 10) x (Fx Λ Gx) V ( xfx xgx) önermesinin tutarlı olup olmadığını denetleyiniz? 2. Birden Fazla Önermelerin Tutarlılığının Denetlenmesi Niceleme mantığında çözümleyici çizelge ile birden fazla önermelerin tutarlılığı denetlenirken önce önermeler alt alta yazılır. Sonra önermeler işlem akışı sırasına göre denetlenir. Denetleme sonucuna göre bir veya birden çok yol açık ise önermeler tutarlı, tüm yollar kapalı ise önermeler tutarsızdır. Örnek 1) xfx, Fa önermelerinin bir arada tutarlı olup olmadığını denetleyiniz? 1. xfx Ö. Fa Ö. Fa (1) Yol kapalı olduğundan önermeler birbirleriyle TUTARSIZ dır. Örnek 2) x(fx Fx), Gb önermelerinin bir arada tutarlı olup olmadığını denetleyiniz? 1. x(fx Fx) (Ö.) Gb (Ö.) 2. Fa Ga (1) Fa (2) Ga Tüm yollar açık olduğundan önermeler birbirleriyle TUTARLI dır. Örnek 3) x(gx V Hx), x( Gx Λ Hx) önermelerinin bir arada tutarlı olup olmadığını denetleyiniz? 1. x(gx V Hx) (Ö.) 2. x( Gx Λ Hx) (Ö.) 4. x (Gx V Hx) (1) 3. Ga Λ Ha (2) Ga (3) Ha 5. (Gx V Hx) (4) Ga (5) Ha Yol kapalı olduğundan önermeler birbirleriyle TUTARSIZ dır.

41 41 Örnek 4) xfx Hc, Hc önermelerinin bir arada tutarlı olup olmadığını denetleyiniz? 1. xfx Hc (Ö.) Hc (Ö.) (1) xfx Hc x Fx Fa En az bir yol açık olduğundan önermeler birbirleriyle TUTARLI dır. Örnek 5) xgx, x (Gx Fx) önermelerinin bir arada tutarlı olup olmadığını denetleyiniz? 1. xgx (Ö.) 2. x (Gx Fx) (Ö.) 4. x Fx (1) 3. (Ga Fa) (2) Ga (3) Fa Ga (4) Yol kapalı olduğundan önermeler birbirleriyle TUTARSIZ dır. Örnek 6) x Fx Λ xgx, x(fx Gx) önermelerinin bir arada tutarlı olup olmadığını denetleyiniz? 1. x Fx Λ xgx (Ö.) x(fx Gx) (Ö.) 2. x Fx (1) 3. xgx Fa (2) Gb (3) 5. Fa Ga (4) (5) Fa Fa Ga Ga 7. Fb Gb (6) Fb Gb (7) Fb Gb En az bir yol açık olduğundan önermeler birbirleriyle TUTARLI dır.

42 42 Örnek 7) x(gx Fx), Fa önermelerinin bir arada tutarlı olup olmadığını denetleyiniz? 1. x(gx Fx) (Ö.) Fa (Ö.) 2. Gb Fb (1) Gb (2) Gb Tüm yollar açık olduğundan önermeler birbirleriyle TUTARLI dır. Örnek 8) x(gx V Hx), xgx önermelerinin bir arada tutarlı olup olmadığını denetleyiniz? 2. x(gx V Hx) (Ö.) 1. xgx (Ö.) Ga (1) 3. Ga V Ha (2) Ga Ha Tüm yollar açık olduğundan önermeler birbirleriyle TUTARLI dır. Örnek 9) xfx, xfx önermelerinin bir arada tutarlı olup olmadığını denetleyiniz? 1. xfx (Ö.) 2. xfx (Ö.) 3. x Fx (1) 4. x Fx (2) Fa (3) Fa (4) Yol açık olduğundan önermeler birbirleriyle TUTARLI dır. Örnek 10) x (Fx V Gx) Λ Fx, xfx V xgx önermelerinin bir arada tutarlı olup olmadığını denetleyiniz? Örnek 11) x (Fx Gx) Λ Fx, xfx xgx önermelerinin bir arada tutarlı olup olmadığını denetleyiniz? 3. Önermelerin Geçerliliğinin Denetlenmesi Niceleme mantığında çözümleyici çizelge ile önermelerin geçerliliği denetlenirken önce önermenin tümünün değili alınır. Sonra işlem akışı sırasına göre önerme denetlenir. Denetleme sonucuna göre tüm yollar kapalı ise önerme geçerli, en az bir yol bile açıksa önerme geçersizdir. Buna göre geçerli olan her önerme tutarsız, geçersiz olan her önerme ise tutarlıdır.

43 43 Örnek 1) x [(Fx Λ Gx) Fx] önermesinin geçerli olup olmadığını denetleyiniz? 1. x [(Fx Λ Gx) Fx] ( Ö.) 2. x [(Fx Λ Gx) Fx] (1) 3. (Fa Λ Ga) Fa (2) 4. Fa Λ Ga (3) Fa Fa (4) Ga Önermenin değillemesi tutarsız olduğundan önerme GEÇERLİ dir. Örnek 2) x(gx Hx) V xgx önermesinin geçerli olup olmadığını denetleyiniz? 1. [ x(gx Hx) V xgx] ( Ö.) 4. x(gx Hx) (1) 2. xgx 3. x Gx (2) Ga (3) 5. Ga Λ Ha (4) Ga (5) Ha Önermenin değillemesi tutarlı olduğundan önerme GEÇERSİZ dir. Örnek 3) x[(fx Gx) ( xfx xgx) önermesinin geçerli olup olmadığını denetleyiniz? 1. [ x[(fx Gx) ( xfx xgx)] ( Ö.) 5. x[(fx Gx) (1) 2. ( xfx xgx) 7. xfx (2) 3. xfx 4. x Fx (3) Fa (4) 6. Fa Ga (5) Fa Fa (7) (6) Ga Önermenin değillemesi tutarsız olduğundan önerme GEÇERLİ dir.

44 44 Örnek 4) ( xfx Λ xgx) x(fx Λ Gx) önermesinin geçerli olup olmadığını denetleyiniz? 1. [( xfx Λ xgx) x(fx Λ Gx)] ( Ö.) 3. xfx Λ xgx (1) 2. x(fx Λ Gx) x (Fx Λ Gx) (2) 4. xfx (3) 5. xgx Fa (4) Gb (5) 7. (Fa Λ Ga) (6) (7) Fa Ga 9. (Fb Λ Gb) (8) Fb (9) Gb Önermenin değillemesi tutarlı olduğundan önerme GEÇERSİZ dir. Örnek 5) x[(fx Λ Gx) ( xfx Λ xgx) önermesinin geçerli olup olmadığını denetleyiniz? 1. [ x[(fx Λ Gx) ( xfx Λ xgx)] ( Ö.) 2. x[(fx Λ Gx) (1) 4. ( xfx Λ xgx) 3. Fa Λ Ga (2) Fa (3) Ga (4) 5. xfx 6. xgx 7. x Fx (5) 8. x Gx (6) Fa (7) Ga (8) Önermenin değillemesi tutarsız olduğundan önerme GEÇERLİ dir. Örnek 6) x[(fx Λ Gx) Gx)] önermesinin geçerli olup olmadığını denetleyiniz?

MODERN (SEMBOLİK) MANTIK

MODERN (SEMBOLİK) MANTIK MODERN (SEMBOLİK) MANTIK A. ÖNERMELER MANTIĞI 1. Önermelerin Sembolleştirilmesi Önermeler mantığında her bir yargı, q, r... gibi sembollerle ifade edilir. Örnek: Dünya gezegendir. Dünya nın şekli elistir.

Detaylı

DOĞRULUK TABLOSU / ÇİZELGESİ İLE DENETLEME

DOĞRULUK TABLOSU / ÇİZELGESİ İLE DENETLEME DOĞRULUK TABLOSU / ÇİZELGESİ İLE DENETLEME (, q...) gibi basit bir önerme doğru veya yanlış yorumlanabileceğinden, (D) veya (Y) değerine sahi olabilir. Buna karşılık herhangi bir önerme eklemiyle kurulan

Detaylı

B. ÇOK DEĞERLİ MANTIK

B. ÇOK DEĞERLİ MANTIK B. ÇOK DEĞERLİ MANTIK İki değerli mantıkta önermeler, doğru ve yanlış olmak üzere iki değer alabilir. Çünkü özdeşlik, çelişmezlik ve üçüncü hâlin olanaksızlığı ilkelerine göre, önermeler başka bir değer

Detaylı

MODERN (SEMBOLİK) MANTIK

MODERN (SEMBOLİK) MANTIK MOERN (SEMBOLİK) MANTIK Modern mantık, mantık unsurlarını sembollerle ifade eden ve bu sembollerle işlemler yaarak sağlam çıkarımlara ulaşmayı amaçlayan bir disilindir. Klâsik mantık gibi modern mantığın

Detaylı

MODERN MANTIK DERS NOTLARI

MODERN MANTIK DERS NOTLARI 1 ERZURUM TEKNİK ÜNİVERSİTESİ EDEBİYAT FAKÜLTESİ FELSEFE BÖLÜMÜ DERS NOTLARI ERZURUM-2015 2 I. MODERN MANTIĞA GİRİŞ 1. Modern Mantık ve Semiyotik Nedir? Modern Mantık (Sembolik Mantık): Önermeleri ve çıkarımları

Detaylı

İçinde x, y, z gibi değişkenler geçen önermelere açık önerme denir.

İçinde x, y, z gibi değişkenler geçen önermelere açık önerme denir. 2. Niceleme Mantığı (Yüklemler Mantığı) Önermeler mantığı önermeleri nitelik yönünden ele aldığı için önermelerin niceliğini göstermede yetersizdir. Örneğin, "Bazı hayvanlar dört ayaklıdır." ve "Bütün

Detaylı

Yüklemler Mantığında Çözümleyici Çizelgeler (Çürütme Ağaçları)

Yüklemler Mantığında Çözümleyici Çizelgeler (Çürütme Ağaçları) Yüklemler Mantığında Çözümleyici Çizelgeler (Çürütme Ağaçları) Daha önce kanıtlamaların geçerliliği üzerine söylenenlerden hatırlanacağı gibi, bir kanıtlamanın geçerli olabilmesi için o kanıtlamadaki öncüller

Detaylı

Editörler Prof.Dr.Işıl Bayar Bravo & Doç.Dr.Mustafa Yıldız MODERN MANTIK

Editörler Prof.Dr.Işıl Bayar Bravo & Doç.Dr.Mustafa Yıldız MODERN MANTIK Editörler Prof.Dr.Işıl Bayar Bravo & Doç.Dr.Mustafa Yıldız MODERN MANTIK Yazarlar Prof.Dr.Hüseyin Subhi Erdem Prof.Dr.Işıl Bayar Bravo Doç. Dr.Aytekin Özel Doç. Dr.Mustafa Yıldız Yrd.Doç.Dr.Abdullah Durakoğlu

Detaylı

Öncelikle Niceleme /Yüklemler Mantığının temel kavramları ve sembolleştirilmesi ile ilgili bilgileri özetleyelim:

Öncelikle Niceleme /Yüklemler Mantığının temel kavramları ve sembolleştirilmesi ile ilgili bilgileri özetleyelim: IV. Ünite: SEMBOLİK MANTIK NİCELEME MANTIĞI / YÜKLEMLER MANTIĞI Önermeler mantığının önermelerin içyapısını, niceliğini ifade etmedeki yetersizliğinden dolayı yeni bir mantık sistemine gerek duyulmuştur:

Detaylı

II.Ünite: KLASİK MANTIK (ARİSTO MANTIĞI)

II.Ünite: KLASİK MANTIK (ARİSTO MANTIĞI) II.Ünite: KLASİK MANTIK (ARİSTO MANTIĞI) A. KAVRAM, TERİM - Kavramlar Arası İlişkiler - İçlem - kaplam ilişkisi - Beş tümel - Tanım B. ÖNERMELER - Önermeler Arası İlişkiler C. ÇIKARIM Ve Türleri - Kıyas

Detaylı

Kategorik Yargılar. Bazı dört ayaklı hayvanlar antiloptur. Tüm antiloplar otçuldur. Bazı dört ayaklı hayvanlar otçuldur.

Kategorik Yargılar. Bazı dört ayaklı hayvanlar antiloptur. Tüm antiloplar otçuldur. Bazı dört ayaklı hayvanlar otçuldur. Kategorik Yargılar Önermeler mantığı sadece doğruluk değeri işlemlerini (doğruluk değerinin saptanmasını) ve bununla ilgili operatörleri (önerme eklemlerini) göz önüne alır. Söz konusu bu doğruluk fonksiyonu

Detaylı

Çözümleyici Çizelgeler (Çürütme Ağaçları)

Çözümleyici Çizelgeler (Çürütme Ağaçları) Çözümleyici Çizelgeler (Çürütme Ağaçları) İki veya üçten fazla cümle harfi içeren ikb ler söz konusu olduğunda doğruluk tablosu, denetleme yapmak için hantal ve yetersiz bir yöntem haline gelmektedir.

Detaylı

Bir kavramın işaret ettiği herhangi bir varlıkta bir özelliğin bulunup bulunmadığını ifade etmenin tek yolu önerme kurmaktır. Yani öznesiyle yüklemi

Bir kavramın işaret ettiği herhangi bir varlıkta bir özelliğin bulunup bulunmadığını ifade etmenin tek yolu önerme kurmaktır. Yani öznesiyle yüklemi Bir kavramın işaret ettiği herhangi bir varlıkta bir özelliğin bulunup bulunmadığını ifade etmenin tek yolu önerme kurmaktır. Yani öznesiyle yüklemi arasında bağ bulunan bir cümle kurmaktır. Dolayısıyla

Detaylı

ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK 3.5 ÇÖZÜM

ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK 3.5 ÇÖZÜM Biçimselleştirme Burada sunulan haliyle bu sembolik gösterim diline önermeler mantığı dili denir. Şimdi günlük dilden çeşitli cümlelerin sembolik biçimler şeklinde nasıl ifadelendirilebileceğini (yani

Detaylı

SEMBOLİK MANTIK MNT102U

SEMBOLİK MANTIK MNT102U DİKKATİNİZE: BURADA SADECE ÖZETİN İLK ÜNİTESİ SİZE ÖRNEK OLARAK GÖSTERİLMİŞTİR. ÖZETİN TAMAMININ KAÇ SAYFA OLDUĞUNU ÜNİTELERİ İÇİNDEKİLER BÖLÜMÜNDEN GÖREBİLİRSİNİZ. SEMBOLİK MANTIK MNT102U KISA ÖZET KOLAY

Detaylı

A Tüm S ler P dir. Tümel olumlu. E Hiçbir S, P değildir. Tümel olumsuz. I Bazı S ler P dir. Tikel olumlu. O Bazı S ler P değildir.

A Tüm S ler P dir. Tümel olumlu. E Hiçbir S, P değildir. Tümel olumsuz. I Bazı S ler P dir. Tikel olumlu. O Bazı S ler P değildir. Yargı cümlelerinde sınıf terimler birbirlerine tüm ve bazı gibi deyimlerle bağlanırlar. Bunlara niceleyiciler denir. Niceleyiciler de aynen doğruluk fonksiyonu operatörleri (önerme eklemleri) gibi mantıksal

Detaylı

6.8 Aşağıdaki biçimlerin neden birer ikb olmadıklarını açıklayınız.

6.8 Aşağıdaki biçimlerin neden birer ikb olmadıklarını açıklayınız. 6.7 x ( Fx zgzx) biçiminin bir ikb olduğunu gösteriniz. Kural 1 gereği Fa ve Gba birer ikb dir. Bu durumda, kural 2 ve 4 gereği, sırasıyla Fa ve zgza birer ikb dir. Bu iki biçime kural 3 ün uygulanması

Detaylı

Sunum ve Sistematik 1. BÖLÜM: ÖNERMELER

Sunum ve Sistematik 1. BÖLÜM: ÖNERMELER Sunum ve Sistematik. ÜNİTE: MANTIK KONU ÖZETİ Bu başlık altında, ünitenin en can alıcı bilgileri, kazanım sırasına göre en alt başlıklara ayrılarak hap bilgi niteliğinde konu özeti olarak sunulmuştur..

Detaylı

YZM 3217 YAPAY ZEKA DERS#6: MANTIK

YZM 3217 YAPAY ZEKA DERS#6: MANTIK YZM 3217 YAPAY ZEKA DERS#6: MANTIK Önermeler Doğru veya yanlış değer alabilen ifadelerdir Bir önerme hem doğru hem de yanlış olamaz Bir önerme kısmen doğru yada kısmen yanlış olamaz Örnekler: Dünya yuvarlaktır.

Detaylı

Örnek...2 : Örnek...3 : Örnek...1 : MANTIK 1. p: Bir yıl 265 gün 6 saattir. w w w. m a t b a z. c o m ÖNERMELER- BİLEŞİK ÖNERMELER

Örnek...2 : Örnek...3 : Örnek...1 : MANTIK 1. p: Bir yıl 265 gün 6 saattir. w w w. m a t b a z. c o m ÖNERMELER- BİLEŞİK ÖNERMELER Terim: Bir bilim dalı içerisinde konuşma dilinden farklı anlamı olan sözcüklerden her birine o bilim dalının bir terimi denir. Önermeler belirtilirler. p,q,r,s gibi harflerle Örneğin açı bir geometri terimi,

Detaylı

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ AYRIK YAPILAR P r o f. D r. Ö m e r A k ı n v e Y r d. D o ç. D r. M u r a t Ö z b a y o ğ l u n u n Ç e v i r i E d i t ö r l ü ğ ü n ü ü s t l e n d i ğ i «A y r ı k M a t e m a t i k v e U y g u l a

Detaylı

DERS ÖĞRETİM PLANI TÜRKÇE. 1 Dersin Adı: Sembolik Mantık II. 2 Dersin Kodu: FLS Dersin Türü: Seçmeli. 4 Dersin Seviyesi: Lisans

DERS ÖĞRETİM PLANI TÜRKÇE. 1 Dersin Adı: Sembolik Mantık II. 2 Dersin Kodu: FLS Dersin Türü: Seçmeli. 4 Dersin Seviyesi: Lisans DERS ÖĞRETİM PLANI TÜRKÇE 1 Dersin Adı: Sembolik Mantık II 2 Dersin Kodu: FLS 3010 3 Dersin Türü: Seçmeli 4 Dersin Seviyesi: Lisans 5 Dersin Verildiği Yıl: 3 6 Dersin Verildiği Yarıyıl: Bahar/VI.yarıyıl

Detaylı

Mantıksal Operatörlerin Semantiği (Anlambilimi)

Mantıksal Operatörlerin Semantiği (Anlambilimi) Mantıksal Operatörlerin Semantiği (Anlambilimi) Şimdi bu beş mantıksal operatörün nasıl yorumlanması gerektiğine (semantiğine) ilişkin kesin ve net kuralları belirleyeceğiz. Bir deyimin semantiği (anlambilimi),

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Önsöz...2. Önermeler ve İspat Yöntemleri...3. Küme Teorisi Bağıntı Fonksiyon İşlem...48

İÇİNDEKİLER. Önsöz...2. Önermeler ve İspat Yöntemleri...3. Küme Teorisi Bağıntı Fonksiyon İşlem...48 İÇİNDEKİLER Önsöz...2 Önermeler ve İspat Yöntemleri...3 Küme Teorisi...16 Bağıntı...26 Fonksiyon...38 İşlem...48 Sayılabilir - Sonlu ve Sonsuz Kümeler...56 Genel Tarama Sınavı...58 Önermeler ve İspat Yöntemleri

Detaylı

YZM 3217 YAPAY ZEKA DERS#6: MANTIK

YZM 3217 YAPAY ZEKA DERS#6: MANTIK YZM 3217 YAPAY ZEKA DERS#6: MANTIK Önermeler Doğru veya yanlış değer alabilen ifadelerdir Bir önerme hem doğru hem de yanlış olamaz Bir önerme kısmen doğru yada kısmen yanlış olamaz Örnekler: Dünya yuvarlaktır.

Detaylı

Venn Diyagramları Kategorik önermelerle ilgili işlemlerde kümeler arası ilişkileri göz önüne almak bu konuda bize yardımcı olur. Bir kategorik önerme, kesişen iki daire ile temsil edilir ve buradaki daireler

Detaylı

KÜMELER VE MANTIK KESİLİ MATEMATİKSEL YAPILAR

KÜMELER VE MANTIK KESİLİ MATEMATİKSEL YAPILAR KÜMELER VE MANTIK KESİLİ MATEMATİKSEL YAPILAR Kümeler Koşullu ve Mantıksal Denklik Kümeler Kümeler Ayrık Kümeler De-Morgan Kuralı Z (Zahlen; alm.) tamsayılar kümesi Z negatif tamsayılar kümesi, Z nonneg

Detaylı

Bir önermenin anlamlı olması onun belli bir doğruluk değeri taşıması demektir. Doğru bir önerme de yanlış bir önerme de anlamlıdır.

Bir önermenin anlamlı olması onun belli bir doğruluk değeri taşıması demektir. Doğru bir önerme de yanlış bir önerme de anlamlıdır. 1 FEL 201: KLAİK MANTIK DER NOTLARI-2 KONU: ÖNERME ÖNERMENİN DOĞAI Önerme, yargı bildiren/belirten cümledir. Yargı bildirmeyen/belirtmeyen cümle örnekleri: oru cümleleri, emir cümleleri, ünlem cümleleri

Detaylı

2. Matematiksel kavramları organize bir şekilde sunarak, bu kavramları içselleştirmenizi sağlayacak pedagojik bir alt yapı ile yazılmıştır.

2. Matematiksel kavramları organize bir şekilde sunarak, bu kavramları içselleştirmenizi sağlayacak pedagojik bir alt yapı ile yazılmıştır. Sevgili Öğrenciler, Matematik ilköğretimden üniversiteye kadar çoğu öğrencinin korkulu rüyası olmuştur. Buna karşılık, istediğiniz üniversitede okuyabilmeniz büyük ölçüde YGS ve LYS sınavlarında matematik

Detaylı

BM202 AYRIK İŞLEMSEL YAPILAR. Yrd. Doç. Dr. Mehmet ŞİMŞEK

BM202 AYRIK İŞLEMSEL YAPILAR. Yrd. Doç. Dr. Mehmet ŞİMŞEK BM202 AYRIK İŞLEMSEL YAPILAR Yrd. Doç. Dr. Mehmet ŞİMŞEK Önermelerin Eşdeğerlikleri Section 1.3 Totoloji, Çelişkiler, ve Tesadüf Bir totoloji her zaman doğru olan bir önermedir. Örnek: p p Bir çelişki

Detaylı

Öncülün öznesi sonucun yüklemi ve öncülün yüklemi sonucun öznesi olduğu çıkarımlardır.

Öncülün öznesi sonucun yüklemi ve öncülün yüklemi sonucun öznesi olduğu çıkarımlardır. Doğrudan Çıkarımlar Bir kategorik önermeden diğer bir kategorik önermenin çıkarsandığı çıkarımlara doğrudan çıkarımlar denir. Bunlar, öncül bir önerme ve sonuç bir önerme olmak üzere sadece iki önermeden

Detaylı

12. SINIF MANTIK DERSİ SÖKE ANADOLU LİSESİ 1. ORTAK SINAVI KAZANIM TABLOSU (Sınav Tarihi: 4 Nisan 2017)

12. SINIF MANTIK DERSİ SÖKE ANADOLU LİSESİ 1. ORTAK SINAVI KAZANIM TABLOSU (Sınav Tarihi: 4 Nisan 2017) 12. SINIF MANTIK DERSİ SÖKE ANADOLU LİSESİ 1. ORTAK SINAVI KAZANIM TABLOSU (Sınav Tarihi: 4 Nisan 2017) ÜNİTE: 2-KLASİK MANTIK Kıyas Çeşitleri ÜNİTE:3-MANTIK VE DİL A.MANTIK VE DİL Dilin Farklı Görevleri

Detaylı

AYRIK YAPILAR. ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FıRAT ÜNIVERSITESI TEKNOLOJI FAKÜLTESI YAZıLıM MÜHENDISLIĞI BÖLÜMÜ, ELAZIĞ

AYRIK YAPILAR. ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FıRAT ÜNIVERSITESI TEKNOLOJI FAKÜLTESI YAZıLıM MÜHENDISLIĞI BÖLÜMÜ, ELAZIĞ AYRIK YAPILAR P r o f. D r. Ö m e r A k ı n v e Y r d. D o ç. D r. M u r a t Ö z b a y o ğ l u n u n Ç e v i r i E d i t ö r l ü ğ ü n ü ü s t l e n d i ğ i «A y r ı k M a t e m a t i k v e U y g u l a

Detaylı

Bilimsel Yasa Kavramı. Yrd.Doç.Dr. Hasan Said TORTOP Kdz.Ereğli-2014

Bilimsel Yasa Kavramı. Yrd.Doç.Dr. Hasan Said TORTOP Kdz.Ereğli-2014 Bilimsel Yasa Kavramı Yrd.Doç.Dr. Hasan Said TORTOP Kdz.Ereğli-2014 Bilimsel yasa her şeyden önce genellemedir. Ama nasıl bir genelleme? 1.Bekarla evli değildir. 2. Bahçedeki elmalar kırmızıdır 3. Serbest

Detaylı

FARABİ DE BEŞ TÜMEL. Doktora Öğrencisi, Sakarya İlahiyat Fakültesi, İslam Felsefesi Bilim Dalı,

FARABİ DE BEŞ TÜMEL. Doktora Öğrencisi, Sakarya İlahiyat Fakültesi, İslam Felsefesi Bilim Dalı, FARABİ DE BEŞ TÜMEL Yakup ÖZKAN Giriş Farabi (ö. 950) ortaçağın en önemli felsefecilerinden biridir. Eserlerinin arasında Mantık Bilimi ile ilgili olanları daha fazladır. Farabi, mantıkçı olarak İslam

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 1.KONU Sembolik Mantık; Önermeler, Niceyiciler, Olumsuzluk, İspat yöntemleri KAYNAKLAR 1. Akkaş, S., Hacısalihoğlu, H.H., Özel, Z., Sabuncuoğlu, A.,

Detaylı

Önermelerin doğru veya yanlış olabilmesine doğruluk değerleri denir.

Önermelerin doğru veya yanlış olabilmesine doğruluk değerleri denir. A. MANTIĞIN ALANI ve İLKELERİ 1- Mantığın Tanımı Mantığın temel amacı (bilimsel dilden günlük dile kadar tüm alanlardaki) ifadeleri genel bir yöntemle inceleyerek doğruluk ya da yanlışlık yargısıyla değerlendirebilmektir.

Detaylı

Bu tanım aralığı pozitif tam sayılar olan f(n) fonksiyonunun değişim aralığı n= 1, 2, 3,, n,

Bu tanım aralığı pozitif tam sayılar olan f(n) fonksiyonunun değişim aralığı n= 1, 2, 3,, n, DİZİLER Tamamen belirli bir kurala göre sıralanmış sayılar topluluğuna veya kümeye Dizi denir. Belirli bir kurala göre birbiri ardınca gelen bu sayıların her birine dizinin terimi ve hepsine birden dizinin

Detaylı

Russell ın Belirli Betimlemeler Kuramı

Russell ın Belirli Betimlemeler Kuramı Russell ın Belirli Betimlemeler Kuramı Russell ın dil felsefesi Frege nin anlam kuramına eleştirileri ile başlamaktadır. Frege nin kuramında bilindiği üzere adların hem göndergelerinden hem de duyumlarından

Detaylı

Lineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar

Lineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar Lineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar Bir Matrisin Rankı A m n matrisinin determinantı sıfırdan farklı olan alt kare matrislerinin boyutlarının en büyüğüne A matrisinin rankı denir. rank(a)

Detaylı

Elektronların Dizilişi ve Kimyasal Özellikleri

Elektronların Dizilişi ve Kimyasal Özellikleri Elektronların Dizilişi ve Kimyasal Özellikleri ELEKTRON ALIŞVERİŞİ VE SONUÇLARI: Helyum (2), neon (10), argon (18)in elektron dağılımları incelendiğinde Eğer bu üç elementin birer elektronu daha olsaydı,

Detaylı

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ AYRIK YAPILAR P r o f. D r. Ö m e r A k ı n v e Y r d. D o ç. D r. M u r a t Ö z b a y o ğ l u n u n Ç e v i r i E d i t ö r l ü ğ ü n ü ü s t l e n d i ğ i «A y r ı k M a t e m a t i k v e U y g u l a

Detaylı

Venn Diyagramları Kategorik önermelerle ilgili işlemlerde kümeler arası ilişkileri göz önüne almak bu konuda bize yardımcı olur. Bir kategorik önerme, kesişen iki daire ile temsil edilir ve buradaki daireler

Detaylı

KLASİK MANTIK MNT402U KISA ÖZET

KLASİK MANTIK MNT402U KISA ÖZET KLASİK MANTIK MNT402U KISA ÖZET DİKKAT Burada ilk 4 sayfa gösterilmektedir. Özetin tamamı için sipariş veriniz www.kolayaof.com 1 1.ÜNİTE Klasik Mantığın Konusu ve Yöntemi KLASİK MANTIĞIN TANIMI VE KONULARI

Detaylı

Yeşilköy Anadolu Lisesi

Yeşilköy Anadolu Lisesi Yeşilköy Anadolu Lisesi TANIM (KONUYA GİRİŞ) a, b, c gerçel sayı ve a ¹ 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Bu açık önermeyi

Detaylı

Önermeler mantığındaki biçimsel kanıtlar

Önermeler mantığındaki biçimsel kanıtlar Önermeler mantığındaki biçimsel kanıtlar David Pierce 26 Aralık 2011, saat 11:48 Bu yazının ana kaynakları, Burris in [1] ve Nesin in [4] kitapları ve Foundations of Mathematical Practice (Eylül 2010)

Detaylı

1. ÜNİTE: MANTIK. Bölüm 1.1. Önermeler ve Bileşik Önermeler

1. ÜNİTE: MANTIK. Bölüm 1.1. Önermeler ve Bileşik Önermeler . ÜNİTE: MANTIK . ÜNİTE: MANTIK... Önerme Tanım (Önerme) BÖLÜM.. - Doğru ya da yanlış kesin bir hüküm bildiren ifadelere önerme adı veriler. Örneğin Bir hafta 7 gündür. (Doğru) Eskişehir Türkiye'nin başkentidir.

Detaylı

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ AYRIK YAPILAR P r o f. D r. Ö m e r A k ı n v e Y r d. D o ç. D r. M u r a t Ö z b a y o ğ l u n u n Ç e v i r i E d i t ö r l ü ğ ü n ü ü s t l e n d i ğ i «A y r ı k M a t e m a t i k v e U y g u l a

Detaylı

LİSE 1 MANTIK KONU ANLATIM FASİKÜLÜ

LİSE 1 MANTIK KONU ANLATIM FASİKÜLÜ LİSE 1 MANTIK KONU ANLATIM FASİKÜLÜ 1 ÖNERMELER Kesin olarak doğru ya da yanlış hüküm bildiren ifadelere önerme denir. Önermeler p ve q gibi harflerle ifade edilirler.bir önerme doğru ise, doğruluk değeri

Detaylı

7. Sınıf Fen ve Teknoloji Dersi 4. Ünite: Madde ve Yapısı Konu: Elementler ve Sembolleri

7. Sınıf Fen ve Teknoloji Dersi 4. Ünite: Madde ve Yapısı Konu: Elementler ve Sembolleri ÖĞRETĐM TEKNOLOJĐLERĐ VE MATERYAL GELĐŞĐMĐ 7. Sınıf Fen ve Teknoloji Dersi 4. Ünite: Madde ve Yapısı Konu: Elementler ve Sembolleri Çalışma Yaprağı Konu Anlatımı-Değerlendirme çalışma Yaprağı- Çözümlü

Detaylı

(2) Mona Lisa tablosunu yapan ya Rembrandt tı veya Michelangelo ydu. O tabloyu Rembrandt yapmadı. Michelangelo yaptı.

(2) Mona Lisa tablosunu yapan ya Rembrandt tı veya Michelangelo ydu. O tabloyu Rembrandt yapmadı. Michelangelo yaptı. Kanıtlama Biçimleri Buradan itibaren biçimsel mantığı ele almaya başlıyoruz. Biçimsel mantık kanıtlamaların biçimini inceler, pek çok kanıtlamanın ortaklaşa paylaştığı akıl yürütmelere dair kimi soyut

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ 10. OKULLARARASI MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIFLAR SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ 10. OKULLARARASI MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIFLAR SORULARI 0 KULLARARASI MATEMATİK YARIŞMASI 0 SINIFLAR SRULARI (5xy) dört basamaklı sayıdır 5 x y 6 - a 3 Yukarıdaki bölme işlemine göre y nin alabileceği değerler toplamı kaçtır? 4 m pozitif bir tamsayı olmak üzere;

Detaylı

Varsayımlar ve Tanımlar Tekil Yükleri Aktaran Kablolar Örnekler Yayılı Yük Aktaran Kablolar. 7.3 Yatayda Yayılı Yük Aktaran Kablolar

Varsayımlar ve Tanımlar Tekil Yükleri Aktaran Kablolar Örnekler Yayılı Yük Aktaran Kablolar. 7.3 Yatayda Yayılı Yük Aktaran Kablolar 7.1 7.2 Varsayımlar ve Tanımlar Tekil Yükleri Aktaran Kablolar Örnekler Yayılı Yük Aktaran Kablolar 7.3 Yatayda Yayılı Yük Aktaran Kablolar 7.4 Örnekler Kendi Ağırlığını Taşıyan Kablolar (Zincir Eğrisi)

Detaylı

ELEMENT VE BİLEŞİKLER

ELEMENT VE BİLEŞİKLER ELEMENT VE BİLEŞİKLER 1- Elementler ve Elementlerin Özellikleri: a) Elementler: Aynı cins atomlardan oluşan, fiziksel ya da kimyasal yollarla kendinden daha basit ve farklı maddelere ayrılamayan saf maddelere

Detaylı

Örnek...6 : Örnek...1 : Örnek...7 : Örnek...2 : Örnek...3 : Örnek...4 : Örnek...8 : Örnek...5 : MANTIK 2 MATEMATİKSEL ARAÇLAR AÇIK ÖNERMELER

Örnek...6 : Örnek...1 : Örnek...7 : Örnek...2 : Örnek...3 : Örnek...4 : Örnek...8 : Örnek...5 : MANTIK 2 MATEMATİKSEL ARAÇLAR AÇIK ÖNERMELER MANTIK MATEMATİKSEL ARAÇLAR AÇIK ÖNERMELER İçerisinde değişken olan ve değişkenin değerlerine göre doğru ya da yanlış olabilen önermelere açık önerme denir. Açık önermeler değişkenine göre P( x), Q( a)

Detaylı

AKIŞ ŞEMASI AKIŞ ŞEMASI AKIŞ ŞEMASI ŞEKİLLERİ GİRİŞ

AKIŞ ŞEMASI AKIŞ ŞEMASI AKIŞ ŞEMASI ŞEKİLLERİ GİRİŞ GİRİŞ AKIŞ ŞEMASI Bir önceki ünitede algoritma, bilgisayarda herhangi bir işlem gerçekleştirmeden ya da program yazmaya başlamadan önce gerçekleştirilmesi düşünülen işlemlerin belirli bir mantık ve plan

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar

TEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar TEMEL KAVRAMLAR Rakam: Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Bu semboller {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} kümesinin elemanlarıdır., b ve c birer rakamdır. 15 b = c olduğuna göre, + b + c

Detaylı

ELEMETLER VE BİLEŞİKLER ELEMENTLER VE SEMBOLLERİ

ELEMETLER VE BİLEŞİKLER ELEMENTLER VE SEMBOLLERİ ELEMENTLER VE SEMBOLLERİ Elementler Aynı cins atomlardan oluşan, fiziksel ya da kimyasal yollarla kendinden daha basit ve farklı maddelere ayrılamayan saf maddelere element denir. Elementler çok sayıda

Detaylı

HİKMET YURDU Düşünce Yorum Sosyal Bilimler Araştırma Dergisi

HİKMET YURDU Düşünce Yorum Sosyal Bilimler Araştırma Dergisi HİKMET YURDU Düşünce Yorum Sosyal Bilimler Araştırma Dergisi ISSN: 1308-6944 www.hikmetyurdu.com Hikmet Yurdu, Ocak Haziran 2012, Yıl: 5, C: 5, Sayı: 9, ss. 115-135 Klasik Mantıktan Modern Mantığa Geçiş:

Detaylı

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir.

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. a) Pozitif doğal sayılar: Sıfır olmayan doğal sayılar kümesine Pozitif Doğal

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Mantık Kurallarının Elektrik Devrelerine Uygulanması... 14

İÇİNDEKİLER. Mantık Kurallarının Elektrik Devrelerine Uygulanması... 14 İÇİNDEKİLER 1. BÖLÜM MANTIK Giriş... 1 Genel Olarak Mantık... 1 Mantığın Tarihçesi ve Modern Mantığın Doğuşu... 1 Mantık Öğretimin Önemi ve Amacı... 2 Önerme... 3 VE İşlemi (Birlikte Evetleme, Mantıksal

Detaylı

Rakam : Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir.

Rakam : Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir. A. SAYILAR Rakam : Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir. Sayı : Rakamların çokluk belirten ifadesine sayı denir.abc sayısı a, b, c rakamlarından oluşmuştur.! Her rakam bir sayıdır. Fakat bazı

Detaylı

İSTATİSTİK DERS NOTLARI

İSTATİSTİK DERS NOTLARI KARADENİZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ BEŞİKDÜZÜ MESLEK YÜKSEKOKULU İSTATİSTİK DERS NOTLARI BÖLÜM 2 İSTATİSTİK VE GRAFİK ÖĞR. GÖR. COŞKUN ALİYAZICIOĞLU BEŞİKDÜZÜ - 2017 1 İstatistik çalışmaları sonucu elde edilen

Detaylı

1. BÖLÜM Mantık BÖLÜM Sayılar BÖLÜM Rasyonel Sayılar BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler

1. BÖLÜM Mantık BÖLÜM Sayılar BÖLÜM Rasyonel Sayılar BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler ORGANİZASYON ŞEMASI 1. BÖLÜM Mantık... 7. BÖLÜM Sayılar... 13 3. BÖLÜM Rasyonel Sayılar... 93 4. BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler... 103 5. BÖLÜM Mutlak Değer... 113 6. BÖLÜM Çarpanlara Ayırma...

Detaylı

DERS NOTLARI. Yard. Doç. Dr. Namık AKÇAY İstanbul Üniversitesi Fen Fakültesi

DERS NOTLARI. Yard. Doç. Dr. Namık AKÇAY İstanbul Üniversitesi Fen Fakültesi DERS NOTLARI Yard. Doç. Dr. Namık AKÇAY İstanbul Üniversitesi Fen Fakültesi DERS-3 29.02.2016 Boolean Algebra George Boole (1815-1864) 1854 yılında George Boole tarafından özellikle lojik devrelerde kullanılmak

Detaylı

13.Konu Reel sayılar

13.Konu Reel sayılar 13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık

Detaylı

MİNTERİM VE MAXİTERİM

MİNTERİM VE MAXİTERİM MİNTERİM VE MAXİTERİM İkili bir değişken Boolean ifadesi olarak değişkenin kendisi (A) veya değişkenin değili ( A ) şeklinde gösterilebilir. VE kapısına uygulanan A ve B değişkenlerinin iki şekilde Boolean

Detaylı

2013 YGS MATEMATİK. a a olduğuna göre, a kaçtır? olduğuna göre, m kaçtır? A) 1 2 C) 1 4 E) 4 9 B) 3 2 D) 1 9 A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

2013 YGS MATEMATİK. a a olduğuna göre, a kaçtır? olduğuna göre, m kaçtır? A) 1 2 C) 1 4 E) 4 9 B) 3 2 D) 1 9 A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 0 YGS MATEMATİK. m olduğuna göre, m kaçtır?. a a a a olduğuna göre, a kaçtır? A) B) ) D) 6 E) 7 A) B) ) D) 9 E) 9.. (0,) (0,) işleminin sonucu kaçtır? A) 0,06 B) 0,08 ) 0, D) 0, E) 0, A B B D B A BD 9?

Detaylı

(a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir.

(a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir. BĞANTI - FONKSİYON 1. Sıralı İkili : (a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir.! (x 1,x 2, x 3,x 4,...x n ) : sıralı n li denir. Örnek, (a,b,c) : sıralı

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 5- SONLU FARKLAR VE İNTERPOLASYON TEKNİKLERİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ MAK 210 - Sayısal Analiz 1 İNTERPOLASYON Tablo halinde verilen hassas sayısal değerler veya ayrık noktalardan

Detaylı

5. SINIF SOSYAL BİLGİLER BÖLGEMİZİ TANIYALIM TESTİ. 1- VADİ: Akarsuların yataklarını derinleştirerek oluşturdukları uzun yarıklardır.

5. SINIF SOSYAL BİLGİLER BÖLGEMİZİ TANIYALIM TESTİ. 1- VADİ: Akarsuların yataklarını derinleştirerek oluşturdukları uzun yarıklardır. 1- VADİ: Akarsuların yataklarını derinleştirerek oluşturdukları uzun yarıklardır. PLATO: Çevresine göre yüksekte kalmış, akarsular tarafından derince yarılmış geniş düzlüklerdir. ADA: Dört tarafı karayla

Detaylı

ÖZ ÖBEĞİN TÜMLEYENİ KÜME MİDİR, ÖZ ÖBEK MİDİR? 1. Ahmet İnam

ÖZ ÖBEĞİN TÜMLEYENİ KÜME MİDİR, ÖZ ÖBEK MİDİR? 1. Ahmet İnam ÖZ ÖBEĞİN TÜMLEYENİ KÜME MİDİR, ÖZ ÖBEK MİDİR? 1 Ahmet İnam Bu çalışmada Russell Paradoksunun çözülmesi için oluşturulan aksiyomatik sistemlerden Von Neumann, Bernays, Gödel ve Morse un geliştirdiği yapı

Detaylı

10. SINIF KONU ANLATIMI. 46 EKOLOJİ 8 BİYOMLAR Karasal Biyomlar

10. SINIF KONU ANLATIMI. 46 EKOLOJİ 8 BİYOMLAR Karasal Biyomlar 10. SINIF KONU ANLATIMI 46 EKOLOJİ 8 BİYOMLAR Karasal Biyomlar EKOSİSTEM İLE BİYOM ARASINDAKİ İLİŞKİ Canlıların yeryüzünde dağılışını etkileyen abiyotik ve biyotik faktörlere olarak bitki ve hayvan topluluklarını

Detaylı

ELEMENTLER VE BİLEŞİKLER

ELEMENTLER VE BİLEŞİKLER ELEMENTLER VE BİLEŞİKLER 1- Elementler ve Elementlerin Özellikleri a) ELEMENTLER Aynı cins atomlardan oluşan, fiziksel ya da kimyasal yollarla kendinden daha basit ve farklı maddelere ayrılamayan saf maddelere

Detaylı

Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Đlkbahar / Sayısal II / 13 Mayıs Matematik Sorularının Çözümleri

Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Đlkbahar / Sayısal II / 13 Mayıs Matematik Sorularının Çözümleri Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı ALES / Đlkbahar / Sayısal II / 1 Mayıs 01 Matematik Sorularının Çözümleri 1. 9! 8! 7! 9! + 8! + 7! 7!.(9.8 8 1) 7!.(9.8+ 8+ 1) 6 81 9 7. 4, π, π π,14

Detaylı

BAHAR DÖNEM SONU - 1. OTURUM - Cumartesi 09:30 2. YARIYIL

BAHAR DÖNEM SONU - 1. OTURUM - Cumartesi 09:30 2. YARIYIL ANADOLU ÜNİVERSİTESİ İKTİSAT VE İŞLETME FAKÜLTELERİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ A 1206 2015 - BAHAR DÖNEM SONU - 1. OTURUM - Cumartesi 09:30 ÖĞRENCİNİN 2. YARIYIL SOYADI :... ADI :... TC KİMLİK NO / ÖĞRENCİ

Detaylı

IV.Ünite: SEMBOLİK MANTIK: D - Çok Değerli Mantık Özet

IV.Ünite: SEMBOLİK MANTIK: D - Çok Değerli Mantık Özet ÇOK DEĞERLİ MANTIK Klasik mantık sistemleri, sadece belirli koşullarda oluşan, kesin doğruluk değerleri doğru ya da yanlış olan önermelerle ilgilenirler. Belirsizlikle ilgilenmezler. İki değerlikli bu

Detaylı

2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır?

2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır? 017 LYS MATEMATİK DENEMESİ Soru Sayısı: 50 Sınav Süresi: 75 ı 1. 4. (1+ 5 ) 1+ 5 işleminin sonucu kaçtır? A) 5 B)3 5 C)+ 5 işleminin sonucu kaçtır? D)3+ 5 E)1+ 5 A) B) 1 C) 1 D) E) 3. 4 0,5.16 0,5 işleminin

Detaylı

Küme Temel Kavramları

Küme Temel Kavramları Kümeler Kümeler Küme, matematiksel anlamda tanımsız bir kavramdır. Bu kavram "nesneler topluluğu veya yığını" olarak yorumlanabilir. Bu tanımdaki "nesne" soyut ya da somut bir şeydir; fakat her ne olursa

Detaylı

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ AYRIK YAPILAR P r o f. D r. Ö m e r A k ı n v e Y r d. D o ç. D r. M u r a t Ö z b a y o ğ l u n u n Ç e v i r i E d i t ö r l ü ğ ü n ü ü s t l e n d i ğ i «A y r ı k M a t e m a t i k v e U y g u l a

Detaylı

BMT 206 Ayrık Matematik. Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1

BMT 206 Ayrık Matematik. Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1 BMT 206 Ayrık Matematik Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1 Kümeler Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 2 Kümeler Kümeler Ayrık Matematiğin en temel konularından biridir Sayma problemleri için önemli Programlama dillerinin

Detaylı

SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR

SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR 1 SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR RAKAM: Sayıları ifade etmek için kullandığımız 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembollerinden her birine rakam denir. Soru: a ve b farklı rakamlar olmak üzere a + b nin alabileceği

Detaylı

Bölüm 1 Elektrik Alanları. Prof. Dr. Bahadır BOYACIOĞLU

Bölüm 1 Elektrik Alanları. Prof. Dr. Bahadır BOYACIOĞLU E Bölüm 1 Elektrik Alanları Prof. Dr. Bahadır BOYACIOĞLU ELEKTRİK ALANLARI Elektrik Yüklerinin Özellikleri Coulomb Kanunu Elektrik Alanı Düzgün Bir EA da Yüklü Parçacıkların Hareketi Elektrik Yüklerinin

Detaylı

Saygın KIRILMAZ, Tolga TANIŞ, Simay AYDIN

Saygın KIRILMAZ, Tolga TANIŞ, Simay AYDIN YAYIN KURULU Hazırlayanlar Saygın KIRILMAZ, Tolga TANIŞ, Simay AYDIN YAYINA HAZIRLAYANLAR KURULU Kurumsal Yayınlar Yönetmeni Saime YILDIRIM Kurumsal Yayınlar Birimi Dizgi & Grafik Mustafa Burak SANK &

Detaylı

Elektronların Dağılımı ve Kimyasal Özellikleri

Elektronların Dağılımı ve Kimyasal Özellikleri Elektronların Dağılımı ve Kimyasal Özellikleri Helyum (2), neon (10), argon (18)in elektron dağılımları incelendiğinde Eğer bu üç elementin birer elektronu daha olsaydı, her birinde yeni bir katman oluşacaktı.

Detaylı

Örnek...4 : A = { a, b, c, d, {a}, {b,c}} kümesi veriliyor. Aşağıdakilerin doğru mu yanlış mı olduğunu yazınız.

Örnek...4 : A = { a, b, c, d, {a}, {b,c}} kümesi veriliyor. Aşağıdakilerin doğru mu yanlış mı olduğunu yazınız. KÜME KAVRAMI Küme matematiğin tanımsız bir kavramıdır. Ancak kümeyi, iyi tanımlanmış kavram veya nesneler topluluğu diye tarif edebiliriz. Kümeler A, B, X, K,... gibi büyük harflerle gösterilir. Bir kümeyi

Detaylı

2. Karışımın Ağaç Türleri Meşcere karışımında çok değişik ağaç türleri bulunur. Önemli olan, ağaçların o yetişme ortamı özelliklerine uyum gösterip

2. Karışımın Ağaç Türleri Meşcere karışımında çok değişik ağaç türleri bulunur. Önemli olan, ağaçların o yetişme ortamı özelliklerine uyum gösterip 2. Karışımın Ağaç Türleri Meşcere karışımında çok değişik ağaç türleri bulunur. Önemli olan, ağaçların o yetişme ortamı özelliklerine uyum gösterip karışıma katılabilmeleridir. Karışımdaki ağaç türleri

Detaylı

C PROGRAMLAMA YRD.DOÇ.DR. BUKET DOĞAN PROGRAM - ALGORİTMA AKIŞ ŞEMASI

C PROGRAMLAMA YRD.DOÇ.DR. BUKET DOĞAN PROGRAM - ALGORİTMA AKIŞ ŞEMASI C PROGRAMLAMA DİLİ YRD.DOÇ.DR. BUKET DOĞAN 1 PROGRAM - ALGORİTMA AKIŞ ŞEMASI Program : Belirli bir problemi çözmek için bir bilgisayar dili kullanılarak yazılmış deyimler dizisi. Algoritma bir sorunun

Detaylı

Önermeler. Önermeler

Önermeler. Önermeler Önermeler ers 1 1-1 Önermeler 1-2 1 Önerme Mantığı ve İspatlar Mantık önermelerin doğruluğunu kanıtlamak için kullanılır. Önermenin ne olduğu ile ilgilenmek yerine bazı kurallar koyar ve böylece önermenin

Detaylı

Örnek: Demir, bakır, alüminyum, çinko, kurşun, altın gibi elementler atomik yapılıdır.

Örnek: Demir, bakır, alüminyum, çinko, kurşun, altın gibi elementler atomik yapılıdır. ELEMENT VE BİLEŞİKLER : 1- Elementler ve Elementlerin Özellikleri : a) Elementler : Aynı cins atomlardan oluşan, fiziksel ya da kimyasal yollarla kendinden daha basit ve farklı maddelere ayrılamayan saf

Detaylı

BMT 206 Ayrık Matematik. Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1

BMT 206 Ayrık Matematik. Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1 BMT 206 Ayrık Matematik Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1 Ayrık Matematik Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 2 Önermeler Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 3 Önermeler Önermeler Mantığı, basit ifadelerden mantıksal bağlaçları

Detaylı

ÖZEL ÇORUM ADA ÖZEL ÖĞRETİM KURSU MATEMATİK 3 BİLİM GRUBU ÇERÇEVE PROGRAMI

ÖZEL ÇORUM ADA ÖZEL ÖĞRETİM KURSU MATEMATİK 3 BİLİM GRUBU ÇERÇEVE PROGRAMI ÖZEL ÇORUM ADA ÖZEL ÖĞRETİM KURSU MATEMATİK 3 BİLİM GRUBU ÇERÇEVE PROGRAMI 1.KURUM ADI: Özel Çorum Ada Özel Öğretim Kursu 2. KURUMUN ADRESİ: Yavruturna Mah. Kavukçu Sok. No:46/A ÇORUM/MERKEZ 3. KURUCUNUN

Detaylı

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte 50 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

FELSEFESİ KISA ÖZET KOLAYAOF

FELSEFESİ KISA ÖZET KOLAYAOF DİKKATİNİZE: BURADA SADECE ÖZETİN İLK ÜNİTESİ SİZE ÖRNEK OLARAK GÖSTERİLMİŞTİR. ÖZETİN TAMAMININ KAÇ SAYFA OLDUĞUNU ÜNİTELERİ İÇİNDEKİLER BÖLÜMÜNDEN GÖREBİLİRSİNİZ. BİLİM FELSEFESİ KISA ÖZET KOLAYAOF 2

Detaylı

mustafacosar@hitit.edu.tr http://web.hitit.edu.tr/mustafacosar

mustafacosar@hitit.edu.tr http://web.hitit.edu.tr/mustafacosar Algoritma ve Programlamaya Giriş mustafacosar@hitit.edu.tr http://web.hitit.edu.tr/mustafacosar İçerik Algoritma Akış Diyagramları Programlamada İşlemler o o o Matematiksel Karşılaştırma Mantıksal Programlama

Detaylı

* Cümle içinde, tırnak içinde verilen cümleler büyük harfle başlar. Tolstoy, Amaç olmayınca hayatın da bitmesi gerekir. demiştir.

* Cümle içinde, tırnak içinde verilen cümleler büyük harfle başlar. Tolstoy, Amaç olmayınca hayatın da bitmesi gerekir. demiştir. YAZIM KURALLARI BÜYÜK HARFLERİN YAZIMI *Bitmiş cümleler büyük harfle başlar. İnanmak, başarmanın yarısıdır. * Cümle içinde, tırnak içinde verilen cümleler büyük harfle başlar. Tolstoy, Amaç olmayınca hayatın

Detaylı

ÇARPANLAR VE KATLAR ÖĞRENİYORUM

ÇARPANLAR VE KATLAR ÖĞRENİYORUM ÖĞRENİYORUM Bir pozitif tam sayıyı birden fazla pozitif tam sayının çarpımı şeklinde yazarken kullandığımız her bir sayıya o sayının çarpanı denir. Örnek: nin çarpanları,, 3, 4, 6 ve dir. UYGULUYORUM Verilmeyen

Detaylı

Canlı ve cansız varlıklara, çeşitli somut ve soyut kavramlara ad olan sözcük türüdür.

Canlı ve cansız varlıklara, çeşitli somut ve soyut kavramlara ad olan sözcük türüdür. İsimler (Adlar) Canlı ve cansız varlıklara, çeşitli somut ve soyut kavramlara ad olan sözcük türüdür. Özel İsimler Özel adlar, benzerleri bulunmayan, yaratılışta tek olan varlıklara verilen adlardır. Kişi

Detaylı

8.SINIF CEBirsel ifadeler

8.SINIF CEBirsel ifadeler KAZANIM : 8.2.1.1. Basit cebirsel ifadeleri anlar ve farklı biçimlerde yazar. Hatırlatma 2 + 4y - 5 ifadesi bir cebirsel ifadedir ve değişkenler ve y dir. Cebirsel İfade: İçinde bir veya birden fazla bilinmeyen

Detaylı