MODERN MANTIK DERS NOTLARI

Transkript

1 1 ERZURUM TEKNİK ÜNİVERSİTESİ EDEBİYAT FAKÜLTESİ FELSEFE BÖLÜMÜ DERS NOTLARI ERZURUM-2015

2 2 III. NİCELEME MANTIĞI 1. Doğruluk Fonksiyonu Mantığının Yetersizliği ya da Niçin Niceleme Mantığı? Niceleme mantığı (yüklemler mantığı) da doğruluk fonksiyonu mantığı (önermeler mantığı) gibi iki değerli mantıktır. Ancak doğruluk fonksiyonu mantığı önermeleri nitelik yönünden ele aldığından onların niceliğini göstermede yetersizdir. İşte niceleme mantığı doğruluk fonksiyonu mantığının yetersizliği sonucu geliştirilen bir mantık sistemidir. Önermeler mantığı bir önermeyi birçok amaç için yeterli ayrıntıda analiz edebilme sistemine sahip değildir. Örneğin bu mantık önermeleri nitelik yönünden ele aldığından onların niceliğini göstermede yetersizdir. Bu yüzden günlük dildeki terimleri, yüklemeleri ve niceleyicileri büyük ölçüde sembolize edemez. Önermeler mantığının önermelerin iç yapısını, niceliğini ifade etmedeki yetersizliğinden dolayı yeni bir mantık sistemine ihtiyaç duyulmuştur. Bu ihtiyacın bir sonucu olarak da niceleme mantığı geliştirilmiştir. Örneğin, Her asal sayı bir doğal sayıdır. ve Bazı insanlar öğretmendir. önermelerini ele alalım. Önermeler mantığında bu önermeler birer basit önerme olup p, q gibi sembollerle gösterilir. Bu önermelerden birincisi tümel, ikincisi tikel önermedir. Bir önermeyi p, q gibi sembollerle sembolleştirdiğimizde onun tümel mi ya da tikel mi olduğunu anlaşılamaz. Yani niceliği konusunda bize bilgi veremez. Bir önermenin niceliği konusunda ancak bir başka mantık sistemi, yani niceleme mantığı bilgi verir. Niceleme mantığı, önermeler mantığının bu tür eksikliklerini ortadan kaldırarak önermelerin ve çıkarımların daha ayrıntılı sembolleştirilmesini sağlar. Niceleme mantığında yalnızca bileşik önermelerin değil, basit önermelerin iç yapısı ve niceliği de sembolleştirilmektedir. Böylece önerme ve çıkarımların daha kesin ve güvenli denetlemesi imkânı sağlanılmıştır. Bu yüzden niceleme mantığı önermeler mantığı gibi iki değerli mantık olmasına karşın her çeşit önermeyi özne ve yüklemleri açısından sembolleştirebildiğinden, ondan daha kapsamlı mantık sistemidir. Aslında doğruluk fonksiyonu mantığının yetersizliği kendi içinde de fark edilmişti. Doğruluk tablosunun sınırlı olmasından dolayı onun yerine çözümleyici çizelge geliştirilmişti. Çözümleyici çizelge doğruluk tablosu ile denetlemeye göre önermeyi en küçük bileşenlerine kadar ayırıp denetleyebilmesinden dolayı daha kapsamlı bir sistemdi. Ancak önermeleri en küçük bileşenlerine kadar denetlemesine karşın önermelerin iç yapısını denetlemede yetersiz kalıyordu. Hatta geçerli olması gereken bazı çıkarımlar çözümleyici çizelgede bile geçersiz çıkabilmekteydi. Örneğin, Aristoteles in en kesin kıyas dediği, Tüm insanlar ölümlüdür. Sokrates bir insandır. O halde, Sokrates ölümlüdür. çıkarımı çözümleyici çizelgede geçersiz çıkmaktadır. Bu tür önerme veya çıkarımlar önermeler mantığında doğru olarak denetlenip yorumlanamamaktadır. İşte bu türden yetersizlikleri giderebilmek için niceleme mantığı geliştirilmiştir.

3 3 2. Niceleme Mantığının Tanımı ve Kapsamı Niceleme mantığı, önermeler mantığı değişmezlerine, her (bütün) anlamına gelen tümel niceleme sembolü ile ( ), bazı (en az bir) anlamına gelen tikel niceleme sembolünü ( ) katmakla elde edilen genişletilmiş mantık sistemidir. Yani niceleyicileri kapsayan mantık sistemidir. Başka bir deyişle niceleme mantığı, niceleyici ve nicelenmiş değişkenli deyimleri inceleyen mantık bölümüdür. Niceleme mantığının önermeleri olan basit önermeler, özne yüklem ilişkisine dayandıkları için, niceleme mantığına yüklemler mantığı da denir. Niceleme mantığı, önermeler mantığından daha kapsamlı olduğundan, önermeler mantığında geçerli olan tüm çıkarımlar niceleme mantığında da geçerlidir. Ancak tersi doğru değildir. Yani niceleme mantığında geçerli olan çıkarımlar önermeler mantığında geçerli değildir. Niceleme mantığında, önermenin yüklemi tek bir özneye aitse birli yüklem, iki özneye aitse ikili yüklem, üç özneye aitse üçlü yüklem, n sayıda özneye aitse n li yüklem adını alır. Örneğin, Önerme Yüklem Sayısı Sembolleştirilmesi Ahmet canlıdır. Birli Yüklem Fa Ayşe ve Ali kardeştir. İkili Yüklem Fab Sarıçam, sedir ve servi iğne yapraklıdır. Üçlü Yüklem Fabc 3. Niceleme Mantığında Temel Tanımlar ve Sembolleştirme a) Niceleme Mantığında Temel Tanımlar 1. Tekil Önerme ve Genel Önerme Tekil önerme, tek bir özneye belli bir yüklemde bulunan önermedir. Örneğin, Ali çalışkandır. Bu basit önermenin içerisinde hiçbir niceleyici deyimi geçmemesinden dolayı tekil önermedir. Genel önerme, içerisinde niceleyici geçen önermedir. Örneğin, Bazı insanlar öğretmendir. Bu önermenin içerisinde niceleyici deyimi geçmesinden dolayı genel önermedir. 2. Açık Önerme ve Kapalı Önerme Açık önerme, bir önermede geçen bir ya da birden çok adın yerine bağsız olacak biçimde birer değişken koymakla elde edilen deyimdir. Başka bir deyişle açık önerme, içinde değişken geçen ve kendisi bir doğruluk değeri taşımayan, ama değişken yerine belirli bir terim konulduğunda doğru veya yanlış olabilen, yani bir önerme haline dönüşen ifadedir. Örneğin, başarılıdır., önermesinde, in yerine Ahmet terimi konulursa, önerme Ahmet başarılıdır. halini alır ve bir doğruluk değerine sahip olmuş olur. Kapalı önerme ise, içinde hiçbir bağsız değişken geçmeyen tam deyim veya önermedir. Başka bir deyişle kapalı önerme, belli bir doğruluk değeri taşıyan veya belli bir doğruluk değeri almış olan önerme, yani açık olmayan önermelerdir. Örneğin

4 4 Zeynep çalışkandır. önermesi kapalı önermedir. Çünkü içerisinde hiçbir değişken geçmemektedir. Ad ve yüklem apaçıktır, herhangi bir şekilde yorumlamaya açık değildir. Ancak kapalı önermede ad veya yüklem her zaman anlamlı değildir, bazen anlamlı olmayabilir. 3. Ad Sembolü ve Yüklem Sembolü Ad sembolü (ad simgesi), bir önermede özneyi temsil eden dil değişkenidir. Yani herhangi bir önermede özeyi temsil etmek için ona verilen a, b, c, d gibi sembollerdir. Yüklem sembolü, bir önermede yüklemi temsil eden dil değişkenidir. Yani herhangi bir önermede yüklemi temsil etmek için ona verilen F, G, H gibi sembollerdir. Niceleme mantığında tekil veya genel önermede özne a, b, c, d gibi küçük harflerle, yüklem ise F, G, H gibi büyük harflerle gösterilir. Örneğin Ali çalışkandır. tekil önermesi, niceleme mantığında Ali öznesi a, çalışkandır yüklemi ise F ile gösterilerek Fa şeklinde sembolize edilir. 4. Evren, Özelleme, Gerçekleme ve Açılım Evren, yorumlanmış dilin sözünü ettiği tüm nesneleri oluşturmağa yarayan yapı taşları öbeği; belli bir yorumla verilip, yorumun belirlediği tüm anlamları oluşturmaya yarayan dildışı nesne öbeğidir. Yani evren, bir değişkenin alabileceği tüm değerlerin kümesidir. Evren, niceleme mantığında E: {..} şeklinde gösterilir. Özelleme, evrende bulunan değerlerin değişkenin yerine konulmasıdır. Böyle elde edilen önermeye de özelleme önermesi denir. Gerçekleme, evrene ait değerlerden birinin veya birden fazlasının özelleme önermesini doğru kılması halidir. Bu durumda gerçekleme, bir n li değer dizisinin belli bir yorumda bir n li tamdeyimi gerçeklemesi, n li tamdeyimin bu değerler dizisine göre oluşturulan özelleme önermesinin söz konusu yorumda doğru olması demektir. Örnek 1) filozoftur. önermesini E: {Sokrates, Platon, Ali, Ayşe} dizisine göre tek tek özelleme ve gerçeklemesini yaparak doğruluk değerini belirleyiniz? filozoftur. E: {Sokrates, Platon, Ali, Ayşe} Sokrates filozoftur. Özelleme (D) Platon filozoftur. Özelleme (D) Ali filozoftur. Özelleme (Y) Ayşe filozoftur. Özelleme (Y) Sokrates filozoftur. Gerçekleme (D) Platon filozoftur. Gerçekleme (D)

5 5 Örnek 2) 3x + 6 = 0 önermesini E: {-2, 3} dizisine göre tek tek özelleme ve gerçeklemesini yaparak doğruluk değerini belirleyiniz? 3x + 6 = 0 E: {-2, 3} (3. -2) + 6 = = 0 0 = 0 Özelleme (D) (3. 3) + 6 = = 0 15 = 0 Özelleme (Y) (3. -2) + 6 = = 0 0 = 0 Gerçekleme (D) Örnek 3) x katıdır. önermesini E: {Kalem, kitap, oksijen} dizisine göre tek tek özelleme ve gerçeklemesini yaparak doğruluk değerini belirleyiniz? katıdır. E: {Kalem, kitap, oksijen} Kalem katıdır. Özelleme (D) Kitap katıdır. Özelleme (D) Oksijen katıdır. Özelleme (Y) Kalem katıdır. Gerçekleme (D) Kitap katıdır. Gerçekleme (D) Açılım ise verilen sonlu evrene göre önermenin özellemesinin yapılmasıdır. Bir açık önermede, evrendeki her değer için bir özelleme elde edilir. İşte bu özellemenin toplamına açılım denir. Örneğin, x 8 = 0 önermesi açık önermedir. Bu önermede x değişkendir. Bu açık önermede x in yerine konulabilecek 2, 5, 8 sayılarının her biri o değişkenin değerleri, evren ise E: {2, 5, 8} olacaktır. Bu evrende x in yerine konulan her değer bir özelleme önermesi oluşturacaktır. 2 8 = 0, 5 8 = 0 ve 8 8 = 0 önermeleri hem birer özelleme önermesidir hem de açılımdır. 2 ve 5 değerleri önermeyi yanlış kılarken, 8 değeri önermeyi doğru kılmıştır. Bu açılımda yalnızca 8 değeri verilen önermeyi gerçeklemiştir.

6 6 b) Sembolleştirme 1. Tekil Önermelerin Sembolleştirilmesi i. Basit Önermelerin Sembolleştirilmesi Basit önermeleri sembolleştirirken ad sembolleri olarak a, b, c, d, e,... ; yüklem sembolleri olarak F, G, H, K, L, M,... kullanılır. Örnek 1) Farabi filozoftur. basit önermesini birli yüklemler mantığında verilen sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz? Çözüm: Farabi filozoftur. basit önermesini sembolleştirmek için öncelikle Farabi adı a küçük harfi ile filozoftur yüklemi de büyük F harfi ile sembolleştirilir. Böylelikle Fa sembolü elde edilmiş olur. Fa gibi bir önermeyi okurken önce özne olan a söylenir. Sonra yüklem olan F söylenir. a, F dir şeklinde okunur. Farabi filozoftur. a F af Fa Örnek 2) 2, 3 ten küçüktür. basit önermesini birli yüklemler mantığında verilen sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz? 2, 3 ten küçüktür. a b G abg Gab Örnek 3) Zeynep İstanbul dan dönüyor. basit önermesini birli yüklemler mantığında verilen sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz? Zeynep İstanbul dan dönüyor. a F af Fa Örnek 4) Kar yağıyor. basit önermesini birli yüklemler mantığında verilen sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz? Kar yağıyor. a G Ga

7 7 Örnek 5) Sürat felakettir. basit önermesini birli yüklemler mantığında verilen sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz? Sürat felakettir. b H Hb Örnek 6) Dünya dönüyor. basit önermesini birli yüklemler mantığında verilen sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz? Dünya dönüyor. c H Hc ii. Bileşik Önermelerin Sembolleştirilmesi Bileşik önermeler sembolleştirilirken önce önerme eklemleri tespit edilir. Daha sonra basit önermelerin sembolleştirilmesinde olduğu gibi ad sembolleri olarak a, b, c, d, e, gibi küçük harfler; yüklem sembolleri olarak da F, G, H, K, L, gibi büyük harfler kullanılarak sembolleştirme yapılır. Örnek 1) Kar yağmış değil. bileşik önermesini birli yüklemler mantığında verilen sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz? Kar yağmış değil. a F Fa Örnek 2) Ali yurda giderse Ali uyur. bileşik önermesini birli yüklemler mantığında verilen sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz? Ali yurda gider ise Ali uyur. a F a G Fa Ga Örnek 3) Çiğdem akıllıdır ve Çiğdem çalışkan değildir. bileşik önermesini birli yüklemler mantığında verilen sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz? Leyla akıllıdır ve Leyla çalışkan değildir. a F Λ a G Fa Λ Ga

8 8 Örnek 4) Platon, Sokrates in öğrencisi ise Platon büyük bir filozoftur. bileşik önermesini birli yüklemler mantığında verilen sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz? Platon, Sokrates in öğrencisi ise Platon büyük bir filozoftur. a F a G Fa Ga Örnek 5) Mantık bir bilimdir ve felsefe bir bilim değildir. bileşik önermesini birli yüklemler mantığında verilen sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz? Mantık bir bilimdir ise felsefe bir bilim değildir. a F b F Fa Fb Örnek 6) Dünya dönüyor ise hem güneş bir gezegendir hem de dünya bir gezegendir. bileşik önermesini birli yüklemler mantığında verilen sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz? Dünya dönüyor ise hem güneş bir gezegendir hem de dünya bir gezegendir. a F b G Λ a G Fa (Gb Λ Ga) Örnek 7) Ahmet çalışıyor ve Zeynep çalışıyor ancak ve ancak Ali çalışmıyor ise Zeynep çalışmıyor değil. bileşik önermesini birli yüklemler mantığında verilen sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz? Ahmet çalışıyor ve Zeynep çalışıyor ancak ve ancak Ahmet çalışmıyor ise Zeynep a F Λ b F a F b çalışmıyor değil. F (Fa Λ Fb) ( Fa Fb) Bu bileşik önermede değiller birbirlerini götüreceğinden, (Fa Λ Fb) ( Fa Fb) biçiminde yazılır.

9 9 iii. Açık Önermelerin Sembolleştirilmesi Açık önermeler sembolleştirilirken öncelikle değişkenler (x, y, z gibi) olduğu gibi bırakılır. Sonra önerme içinde geçen nicelemeler ve önerme eklemleri tespit edilir. Daha sonra da basit ve bileşik önermelerin sembolleştirilmesinde olduğu gibi ad sembolleri olarak a, b, c, d, e, gibi; yüklem sembolleri olarak da F, G, H, K, L, gibi semboller kullanılarak sembolleştirme yapılır. Ancak önerme niceleme açılımıyla verilmemişse öncelikle niceleme mantığındaki açılım biçimine göre yeniden yazılarak sembolleştirilmesinin yapılmalıdır. Örnek 1) Bazı x ler için x sıvıdır. basit önermesini birli yüklemler mantığında verilen sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz? Bazı x ler için x sıvıdır. x x F xfx Örnek 2) Bütün x ler için x iletkendir. basit önermesini birli yüklemler mantığında verilen sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz? Bütün x ler için x iletkendir. x x G xgx Örnek 3) Bütün x ler için x tek sayı ise bazı x ler için x tek sayıdır. bileşik önermesini birli yüklemler mantığında verilen sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz? Bütün x ler için x tek sayı ise bazı x ler için x tek sayıdır. x x F x x F xf x xfx Örnek 4) Bütün x ler için x bir insan ise x ölümlüdür. bileşik önermesini birli yüklemler mantığında verilen sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz? Bütün x ler için x bir insan ise x ölümlüdür. x x F x F x (F x Gx)

10 10 Örnek 5) Bazı x ler için x omurgalıdır ve x memelidir. bileşik önermesini birli yüklemler mantığında verilen sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz? Bazı x ler için x omurgalıdır ve x memelidir. x x F Λ x G x (Fx Λ Gx) Örnek 6) Bütün insanlar ölümlüdür. bileşik önermesini birli yüklemler mantığında verilen sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz? Çözüm: Bütün insanlar ölümlüdür. gibi bir bileşik önermeyi sembolleştirebilmek için önerme önce niceleme mantığındaki açılım ve okunuş biçimine göre yeniden yazılmalıdır. Sonra da yazılan bu yeni önermeye göre önerme sembolleştirilmelidir. Buna göre yukarıda verilen önermenin niceleme mantığında açılımı ve sembolleştirilmesi şudur: Bütün insanlar ölümlüdür. Bütün x ler için, x insan ise x ölümlüdür. x x F x G x (Fx Gx) Örnek 7) Bazı omurgalılar memelidir. bileşik önermesini birli yüklemler mantığında verilen sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz? Bazı omurgalılar memelidir. Bazı x ler için, x omurgalı ise x memelidir. x x F x G x (Fx Gx) Örnek 8) Hiçbir ağaç taş değildir. bileşik önermesini birli yüklemler mantığında verilen sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz? Hiçbir ağaç taş değildir. Hiçbir x için, x ağaç ise x taş değildir. x x F x G x (Fx Gx)

11 11 Örnek 9) Bazı insanlar öğretmendir. bileşik önermesini birli yüklemler mantığında verilen sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz? Bazı insanlar öğretmendir. Bazı x ler için, x insan ise x öğretmendir. x x F x G x (Fx Gx) Örnek 10) Hiçbir at iki ayaklı değildir. bileşik önermesini birli yüklemler mantığında verilen sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz? Hiçbir at iki ayaklı değildir. Hiçbir x için, x at ise x iki ayaklı değildir. x x F x G x (Fx Gx) iv. Çıkarımların Sembolleştirilmesi Niceleme mantığında çıkarımlar da bileşik ve açık önermelerin sembolleştirilmesinde olduğu gibi sembolleştirilir. Önce varsa nicelemeler ve önerme eklemleri tespit edilir, sonra adlar ve yüklemler, ad (a, b, c, d, e, ) ve yüklem (F, G, H, K, L, ) sembolleriyle sembolleştirilerek çıkarım sembolleştirilir. Ancak açık önermelerin sembolleştirilmesinde de olduğu gibi eğer önerme niceleme açılımıyla verilmemişse öncelikle niceleme mantığındaki açılım biçimine göre yeniden yazılarak sembolleştirilmesi yapılmalıdır. Örnek 1) Tüm insanlar ölümlüdür. Sokrates insandır. O halde, Sokrates ölümlüdür. Yukarıdaki çıkarımı birli yüklemler mantığında verilen sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz?

12 12 Tüm x ler için, x insan ise x ölümlüdür. x x F x G x (Fx Gx) Sokrates insandır. a F Fa O halde, Sokrates ölümlüdür. a G Ga x (Fx Gx), Fa Ga Örnek 2) İbni Sina İlk Çağ veya Orta Çağ filozofudur. İbni Sina İlk Çağ filozofu değildir. O halde, İbni Sina Orta Çağ filozofudur. Yukarıdaki çıkarımı birli yüklemler mantığında verilen sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz? İbn-i Sina İlk Çağ veya Orta Çağ filozofudur. a F V G Fa V Ga İbn-i Sina İlk Çağ filozofu değildir. a F Fa O halde, İbn-i Sina Orta Çağ filozofudur. a G Ga Fa V Ga, Fa Ga Örnek 3) Bazı insanlar öğretmendir. Tüm insanlar canlıdır. O halde, bazı canlılar öğretmendir. Yukarıdaki çıkarımı birli yüklemler mantığında verilen sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz?

13 13 Bazı x ler için, x insan ise x öğretmendir. x x F x G x (Fx Gx) Tüm x ler için, x insan ise x canlıdır. x x F x H x (Fx Hx) O halde, bazı x ler için, x canlı ise x öğretmendir. x x H x G x (Hx Gx) x (Fx Gx), x (Fx Hx) x (Hx Gx) Örnek 4) Her metal genleşir. Demir metaldir. O halde, demir genleşir. Yukarıdaki çıkarımı birli yüklemler mantığında verilen sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz? Tüm x ler için, x metal ise x genleşir. x x F x G x (Fx Gx) Demir metaldir. b F Fb O halde, demir genleşir. b G Gb x (Fx Gx), Fb Gb Örnek 5) Bazı insanlar öğretmendir. Ayşe insandır. O halde, Ayşe öğretmendir. Yukarıdaki çıkarımı birli yüklemler mantığında verilen sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz?

14 14 Bazı x ler için, x insan ise x öğretmendir. x x F x G x (Fx Gx) Ayşe insandır. a F Fa O halde, Ayşe öğretmendir. a G Ga x (Fx Gx), Fa Ga Örnek 6) Öğrenci çalışkan değilse, öğrenci sınıf geçemez. Öğrenci çalışkan değildir. O halde, öğrenci sınıf geçemez. Yukarıdaki çıkarımı birli yüklemler mantığında verilen sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz? Öğrenci çalışkan değilse, öğrenci sınıf geçemez. a F a G Fa Ga Öğrenci çalışkan değildir. a F Fa O halde, öğrenci sınıf geçemez. a G Ga Fa Ga, Fa Ga Örnek 7) Bütün insanlar iki ayaklıdır. Bazı insanlar yeşil gözlüdür. O halde, bazı iki ayaklılar yeşil gözlüdür. Yukarıdaki çıkarımı birli yüklemler mantığında verilen sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz?

15 15 Bütün x ler için, x insan ise x iki ayaklıdır. x x F x G x (Fx Gx) Bazı x ler için, x insan ise x yeşil gözlüdür. x x F x H x (Fx Hx) O halde, bazı x ler için, x iki ayaklı ise x yeşil gözlüdür. x x G x H x (Gx Hx) x (Fx Gx), x (Fx Hx) x (Gx Hx) Örnek 8) Tüm kanser yapan şeyler zararlıdır. Sigara içmek kanser yapar. O halde, sigara içmek zararlıdır. Yukarıdaki çıkarımı birli yüklemler mantığında verilen sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz? Tüm x ler için, x kanser yapıyor ise x zararlıdır. x x F x G x (Fx Gx) Sigara içmek kanser yapar. b F Fb O halde, sigara içmek zararlıdır. b G Gb x (Fx Gx), Fb Gb Örnek 9) Her insan akıllıdır. Bazı canlılar akıllı değildir. O halde, bazı canlılar akıllı değildir. Yukarıdaki çıkarımı birli yüklemler mantığında verilen sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz?

16 16 Her x için, x insan ise x akıllıdır. x x F x G x (Fx Gx) Bazı x ler için, x canlı ise x akıllı değildir. x x H x G x (Hx Gx) O halde, bazı x ler için, x canlı ise x akıllı değildir. x x H x G x (Hx Gx) x (Fx Gx), x (Hx Gx) x (Hx Gx) v. Genel Önermelerin Sembolleştirilmesi Genel önerme, içerisinde niceleyici geçen önermelerdir. Tümel niceleyici ( ) ve tikel niceleyici ( ) olmak üzere iki tür niceleyici vardır. Genel önermeler, açık önermelerin ve çıkarımların sembolleştirilmesinde olduğu gibi sembolleştirilir. Verilen önermede önce nicelemeler ve önerme eklemleri tespit edilir, sonra adlar ve yüklemler, ad (a, b, c, d, e, ) ve yüklem (F, G, H, K, L, ) işaretleriyle sembolleştirilir. Ancak açık önermelerin ve çıkarımların sembolleştirilmesinde de olduğu gibi eğer önerme niceleme açılımıyla verilmemişse öncelikle niceleme mantığındaki açılım biçimine göre yeniden yazılarak sembolleştirilmesinin yapılması gerekir. Aksi halde sembolleştirme yanlış yapılmış olur. Bu kurallar öncelik ve sonralık ilişkisine göre uygulanarak genel önermelerin sembolleştirilmesi yapılmalıdır. Örnek 1) Hiçbir kare üçgen değildir. bileşik önermesini birli yüklemler mantığında verilen sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz? Hiçbir kare üçgen değildir. Hiçbir x için, x kare ise x üçgen değildir. x x F x G x (Fx Gx) Örnek 2) Bütün kareler dörtgendir. bileşik önermesini birli yüklemler mantığında verilen sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz? Bütün kareler dörtgendir. Bütün x ler için, x kare ise x dörtgendir. x x F x G x (Fx Gx)

17 17 Örnek 3) Bazı insanlar avukat değildir. bileşik önermesini birli yüklemler mantığında verilen sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz? Bazı insanlar avukat değildir. Bazı x ler için, x insan ise x avukat değildir. x x G x H x (Gx Hx) Örnek 4) Hiçbir balık kuş değildir. bileşik önermesini birli yüklemler mantığında verilen sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz? Hiçbir balık kuş değildir. Hiçbir x için, x balık ise x kuş değildir. x x F x G x (Fx Gx) Örnek 5) Bütün çiçekler bitkidir. bileşik önermesini birli yüklemler mantığında verilen sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz? Bütün çiçekler bitkidir. Bütün x ler için, x çiçek ise x bitkidir. x x G x H x (Gx Hx) Örnek 6) Bazı kitaplar ciltli değildir. bileşik önermesini birli yüklemler mantığında verilen sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz? Bazı kitaplar ciltli değildir. Bazı x ler için, x kitap ise x ciltli değildir. x x F x G x (Fx Gx) Örnek 7) Bütün insanlar akciğer solunumu yapar. bileşik önermesini birli yüklemler mantığında verilen sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz? Bütün insanlar akciğer solunumu yapar.

18 18 Bütün x ler için, x insan ise x akciğer solunumu yapar. x x F x G x (Fx Gx) Örnek 8) Hiçbir cisim iletken değildir. bileşik önermesini birli yüklemler mantığında verilen sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz? Hiçbir cisim iletken değildir. Hiçbir x için, x cisim ise x iletken değildir. x x G x H x (Gx Hx) Örnek 9) Bazı insanlar filozoftur. bileşik önermesini birli yüklemler mantığında verilen sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz? Bazı insanlar filozoftur. Bazı x ler için, x insan ise x filozoftur. x x G x H x (Gx Hx) Örnek 10) Bazı öğrenciler felsefe ya da sosyoloji öğrencisidir. bileşik önermesini birli yüklemler mantığında verilen sembolleştirme biçimine göre sembolleştiriniz? Bazı öğrenciler felsefe ya da sosyoloji öğrencisidir. Bazı x ler için, x öğrenci ise x ya felsefe ya da sosyoloji öğrencisidir. x x F x G V H x [Fx (Gx V Hx)] 4. Niceleme Mantığında Doğruluk Değeri Hesabı a) Tümel Önermelerin Doğruluk Hesabı xfx formundaki bir tümel önermenin doğruluğunu hesaplayabilmek için önce önermenin verilen evrene göre açılımı, yani özellemesi yapılır. Sonra özellemesi yapılan önermeler tümel evetleme eklemiyle (Λ) birbirine bağlanarak bileşik tümel evetleme önermesi oluşturulur. Daha sonra bu yeni önermenin doğruluk değeri doğruluk tablosundan hareketle hesaplanır. Yapılan hesaplamaya göre eğer tüm özellemeler doğru ise tümel niceleme önermesi de doğrudur. En az bir yanlışlayıcı değer var ise tümel niceleme önermesi

19 19 yanlıştır. O halde xf x gibi bir tümel önermesinin bütün özellemelerinin doğru olması demek, tüm bu özellemelerinin tümel evetleme eklemiyle (Λ) birleştirilebilir olması demektir. Örnek 1) x (x filozoftur.) önermesinin E: {Sokrates, Platon, Kant} evrenindeki açılımını yaparak doğruluk değerini hesaplayınız? Çözüm: Bu ve buna benzer soruları çözebilmek için aşağıdaki işlem akışı takip edilmelidir. Birinci aşamada soruda verilenler tespit edilir ve eksiksiz olarak yazılır. x (x filozoftur.) E: {Sokrates, Platon, Kant} İkinci aşamada verilen tümel niceleyici önermenin doğruluk değerini hesaplamadan önce sembolleştirilmesi yapılır. xf x E: {a, b, c} Üçüncü aşamada verilen evrene göre sembolleştirilmesi ve açılımı (özellemesi) yapılan önermeler tümel evetleme eklemiyle (Λ) birbirine bağlanarak bileşik tümel evetleme önermesi oluşturulur. Sokrates filozoftur. Λ Platon filozoftur. Λ Kant filozoftur. Fa Fb Fc Dördüncü aşamada ise oluşturulmuş olan bu yeni tümel evetleme önermesinin doğruluk değeri doğruluk tablosundan hareketle hesaplanır. Sokrates filozoftur. Λ Platon filozoftur. Λ Kant filozoftur. Fa Fb Fc Fa Λ Fb Λ Fc D Λ D Λ D Verilen evrenin önermede hepsinin birden doğrulayıcı yorumlaması vardır. D Örnek 2) x (x tek sayıdır.) önermesinin E: {1, 2, 4, 5} evrenindeki açılımını yaparak doğruluk değerini hesaplayınız? x (x tek sayıdır.) E: {1, 2, 4, 5} xf x E: {a, b, c, d} 1 tek sayıdır. Λ 2 tek sayıdır. Λ 4 tek sayıdır. Λ 5 tek sayıdır. Fa Λ Fb Λ Fc Λ Fd D Λ Y Λ Y Λ D Verilen evrenin önermede hepsinin birden doğrulayıcı yorumlaması yoktur. Y

20 20 Örnek 3) x (x katıdır.) önermesinin E: { taş, buz, tahta} evrenindeki açılımını yaparak doğruluk değerini hesaplayınız? x (x katıdır.) E: {taş, buz, tahta} xf x E: {a, b, c} Taş katıdır. Λ Buz katıdır. Λ Tahta katıdır. Fa Λ Fb Λ Fc D Λ D Λ D D Verilen evrenin önermede hepsinin birden doğru yorumlayıcısı vardır. Örnek 4) x (x negatiftir.) önermesinin E: {Tam sayılar: -2, -1, 1, 2. } evrenindeki açılımını yaparak doğruluk değerini hesaplayınız? x (x negatiftir.) E: {Tam sayılar: -2, -1, 1, 2, } xf x E: {a, b, c, d, } - 1 negatiftir. Λ 1 negatiftir. Λ -2 negatiftir. Λ 2 negatiftir. Fa Λ Fb Λ Fc Λ Fd D Λ Y Λ D Λ Y Y Verilen evrenin önermede hepsinin birden doğrulayıcı yorumlaması yoktur. Örnek 5) x (x özkütlesi ağırdır.) önermesinin E: {Demir, platin, altın, civa} evrenindeki açılımını yaparak doğruluk değerini hesaplayınız? x (x özkütlesi ağırdır.) E: {Demir, platin, altın, civa} xg x E: {a, b, c, d} Demir ağırdır. Λ Platin ağırdır. Λ Altın ağırdır. Λ Civa ağırdır. Ga Λ Gb Λ Gc Λ Gd D Λ D Λ D Λ D D Verilen evrenin önermede hepsinin birden doğrulayıcı yorumlaması vardır.

21 21 Örnek 6) x (x canlıdır.) önermesinin E: {Güvercin, akasya, bakır, çita} evrenindeki açılımını yaparak doğruluk değerini hesaplayınız? Örnek 7) x (x beyazdır.) önermesinin E: {Süt, pamuk, elma, gül} evrenindeki açılımını yaparak doğruluk değerini hesaplayınız? b) Tikel Önermelerin Doğruluk Hesabı xfx formundaki bir tikel önermenin doğruluğunu hesaplayabilmek için önce önermenin verilen evrene göre açılımı, yani özellemesi yapılır. Sonra özellemesi yapılan önermeler tikel evetleme eklemiyle (V) birbirine bağlanarak bileşik tikel evetleme önermesi oluşturulur. Daha sonra da bu yeni önermenin doğruluk değeri doğruluk tablosundan hareketle hesaplanır. Yapılan hesaplamaya göre tikel niceleme önermesinde en az bir özelleme gerçekleniyorsa tikel önerme doğru, hiçbir özelleme gerçeklenmiyorsa tikel önerme yanlıştır. Yani Fx önermesinin tüm özellemeleri yanlış ise tikel önerme de yanlıştır. Örnek 1) x (x romancıdır.) önermesinin E: {Newton, Zola, Tolstoy} evrenindeki açılımını yaparak doğruluk değerini hesaplayınız? x (x romancıdır.) E: {Newton, Zola, Tolstoy} xf x E: {a, b, c} Newton romancıdır. V Zola romancıdır. V Tolstoy romancıdır. Fa V Fb V Fc Y V D V Y D Verilen evrenin önermede hepsinin birden doğrulayıcı yorumlaması vardır. Örnek 2) x (x fizikçidir.) önermesinin E: {Rousseau, Şinasi, Mehmet Akif} evrenindeki açılımını yaparak doğruluk değerini hesaplayınız? x (x fizikçidir.) E: {Rousseau, Şinasi, Mehmet Akif} xf x E: {a, b, c} Rousseau fizikçidir. V Şinasi fizikçidir. V Mehmet Akif fizikçidir. Fa V Fb V Fc Y V Y V Y Y Verilen evrenin önermede hepsinin birden doğrulayıcı yorumlaması yoktur.

22 22 Örnek 3) x (x kanatlıdır.) önermesinin E: {Serçe, sincap, güvercin} evrenindeki açılımını yaparak doğruluk değerini hesaplayınız? x (x kanatlıdır.) E: {Serçe, sincap, güvercin} xf x E: {a, b, c} Serçe kanatlıdır. V Sincap kanatlıdır. V Güvercin kanatlıdır. Fa V Fb V Fc D V Y V D D Verilen evrenin önermede hepsinin birden doğrulayıcı yorumlaması vardır. Örnek 4) x (x sıvıdır.) önermesinin E: {Su, zeytin yağı, kolonya} evrenindeki açılımını yaparak doğruluk değerini hesaplayınız? x (x sıvıdır.) E: {Su, zeytin yağı, kolonya} xf x E: {a, b, c} Su sıvıdır. V Zeytin yağı sıvıdır. V Kolonya sıvıdır. Fa V Fb V Fc D V D V D D Verilen evrenin önermede hepsinin birden doğrulayıcı yorumlaması vardır. Örnek 5) x (x şairdir.) önermesinin E: {Halide Edip Adıvar, Reşat Nuri Güntekin, Peyami Safa} evrenindeki açılımını yaparak doğruluk değerini hesaplayınız? x (x şairdir.) E: {Halide Edip Adıvar, Reşat Nuri Güntekin, Peyami Safa} xf x E: {a, b, c} H. Edip Adıvar şairdir. V R. Nuri Güntekin şairdir. V Peyami Safa şairdir.} Fa V Fb V Fc Y V Y V Y Verilen evrenin önermede hepsinin birden doğrulayıcı yorumlaması yoktur. Y

23 23 Örnek 6) x (x iğne yapraklıdır.) önermesinin E: {Çam, göknar, kestane, sedir} evrenindeki açılımını yaparak doğruluk değerini hesaplayınız? Örnek 7) x (x deniz taşıtıdır.) önermesinin E: {Taka, kağnı, vapur, yaya} evrenindeki açılımını yaparak doğruluk değerini hesaplayınız? c) Çıkarımların Doğruluk Değeri Hesabı Niceleme mantığında bir çıkarımın doğruluk değerini hesaplayabilmek için önce çıkarımın verilen evrene göre bir açılımı, yani özellemesi yapılır. Sonra öncüller birbirlerine tümel evetleme eklemiyle (Λ) sonuç önermesine ise koşul eklemiyle ( ) bağlanarak bir koşul önermesi oluşturulur. Daha sonra bu koşul önermesinin doğruluk değeri verilen evrende özellemenin gerçeklenip gerçeklenmediğine göre doğruluk değeri hesaplanır. Sonuçta verilen evrenin hepsi çıkarımda birden doğrulanmışsa çıkarım doğrudur, doğrulanmamışsa çıkarım yanlıştır. Doğru olan çıkarımlar aynı zamanda geçerli, doğrulanmamış çıkarımlar ise geçersizdir. Yorumlanmış bir çıkarımın geçerli olması, en az bir sembolik karşılığının geçerli olması demektir. Örnek 1) x(fx Gx), Fa Ga çıkarımını a: Sokrates; Fx: x insandır; Gx: x ölümlüdür yorumlama biçimine göre yorumlayarak, E: {Ali, Ayşe} evrenindeki açılımını ve doğruluk değerini hesaplayınız? a: Sokrates E: {Ali, Ayşe} Fx: x insandır. Gx: x ölümlüdür. x(x insandır. x ölümlüdür.), Sokrates insandır. Sokrates ölümlüdür. x{[(ali insandır. Ali ölümlüdür.) Λ (Ayşe insandır. Ayşe ölümlüdür.)] Λ Sokrates insandır.} Sokrates ölümlüdür. {[(D D) Λ (D D)] Λ D} D {[D Λ D] Λ D} D {D Λ D} D D D D Verilen evrenin çıkarımda hepsinin birden doğrulayıcı yorumlaması olduğundan çıkarım geçerlidir. Yani çıkarımın öncülleri sonucuyla birlikte doğru olduğundan GEÇERLİ dir.

24 24 Örnek 2) xfx Λ xgx x(fx Λ Gx) çıkarımını Fx: x tektir; Gx: x negatiftir yorumlama biçimine göre yorumlayarak, E: {-2, 1} evrenindeki açılımını ve doğruluk değerini hesaplayınız? Fx: x tektir. E: {-2, 1} Gx: x negatiftir. x(x tektir.) Λ x(2 negatiftir.) x(x tektir. Λ x negatiftir.) [(-2 tektir.) V (1 tektir.)] Λ [(-2 negatiftir.) V (1 negatiftir.)] [(-2 tektir.) Λ (-2 negatiftir.)] V [(1 tektir.) Λ (1 negatiftir.)] [(Y V D) Λ (D V Y)] [(Y Λ D) V (D Λ Y)] [D Λ D) [Y V Y] D Y Y Verilen evrenin çıkarımda hepsinin birden doğrulayıcı yorumlaması olduğundan çıkarım geçersizdir. Yani çıkarımın öncülleri sonucuyla birlikte doğru olmadığından GEÇERSİZ dir. Örnek 3) x(fx Gx), xgx xfx çıkarımını Fx: x tektir; Gx: x pozitiftir yorumlama biçimine göre yorumlayarak, E: {2} evrenindeki açılımını ve doğruluk değerini hesaplayınız? Fx: x tektir. E: {2} Gx: x pozitiftir. x(x tektir. x pozitiftir.), x(x pozitiftir.) x(x tektir.) (2 tektir. 2 pozitiftir.) Λ 2 pozitiftir. 2 tektir. [(Y D) Λ D] Y [D Λ D] Y D Y Y Verilen evrenin çıkarımda hepsinin birden doğrulayıcı yorumlaması olduğundan çıkarım geçersizdir. Yani çıkarımın öncülleri sonucuyla birlikte doğru olmadığından GEÇERSİZ dir.

25 25 Örnek 4) x(fx Gx), x Gx x Fx çıkarımını Fx: x elementtir; Gx: x serttir yorumlama biçimine göre yorumlayarak, E: {Kurşun, elmas} evrenindeki açılımını ve doğruluk değerini hesaplayınız? Fx: x elementtir. Gx: x serttir. E: {Kurşun, elmas} x(x elementtir. x serttir.), x (x serttir.) x (x elementtir.) {[(Kurşun elementtir. Kurşun serttir) V (Elmas elementtir. Elmas serttir)] Λ (Kurşun serttir. V Elmas serttir.)} (Kurşun elementtir. V Elmas elementtir.) {[(D Y) V (D D)] Λ (Y V D)} (D V D) {[Y V D] Λ (D)} (D) {D Λ Y} Y Y Y D Verilen evrenin çıkarımda hepsinin birden doğrulayıcı yorumlaması olduğundan çıkarım geçerlidir. Yani çıkarımın öncülleri sonucuyla birlikte doğru olduğundan GEÇERLİ dir. Örnek 5) xfx xgx xfx Λ xgx çıkarımını Fx: x çiçektir; Gx: x güzel kokuludur yorumlama biçimine göre yorumlayarak, E: {Kurşun, elmas} evrenindeki açılımını ve doğruluk değerini hesaplayınız? Fx: x çiçektir. Gx: x güzel kokuludur. E: {Gül, karanfil} x(x çiçektir.) x(x güzel kokuludur.) x(x çiçektir.) Λ x(x güzel kokuludur.) [(Gül çiçektir. Gül güzel kokuludur) V (Karanfil çiçektir. Karanfil güzel kokuludur] [(Gül çiçektir Λ Karanfil çiçektir.) V (Gül güzel kokuludur. Λ Karanfil güzel kokuludur.)] [(D D) V (D D)] [(D Λ D) V (D Λ D)] [D V D] [D V D] D D D

26 26 Verilen evrenin çıkarımda hepsinin birden doğrulayıcı yorumlaması olduğundan çıkarım geçerlidir. Yani çıkarımın öncülleri sonucuyla birlikte doğru olduğundan GEÇERLİ dir. Örnek 6) x (Fx Gx), xgx x Fx sembolik çıkarımını Fx: x uçucudur; Gx: x gazdır yorumlama biçimine göre yorumlayarak, E: {oksijen, tahta} evrenindeki açılımını ve doğruluk değerini hesaplayınız? Örnek 7) x (Fx V Gx), x Gx x Fx sembolik çıkarımını Fx: x taşıttır; Gx: x havayolu taşıtıdır yorumlama biçimine göre yorumlayarak, E: {uçak, planör} evrenindeki açılımını ve doğruluk değerini hesaplayınız? 5. Niceleme Mantığında Çözümleyici Çizelge İle Denetleme Çözümleyici çizelge ile denetleme yöntemi önermeler mantığında kullanıldığı gibi niceleme mantığında da kullanılır. Ancak niceleme mantığında çözümleyici çizelgenin uygulanabilmesi için bazı yeni kurallara da ihtiyaç vardır. Bunlar çözümleme kuralları (niceleyici değilleme kuralları) ile özelleme kurallarıdır. a) Çözümleme Kuralları 1. Niceleyici Değilleme Kuralları ve Doğruluk Değeri Hesapları Niceleyici değilleme kuralları, tümel önermenin tikel önermeye, tikel önermenin tümel önermeye dönüştürülmesini sağlayan kurallardır. Tümel niceleyicinin değillemesini tikel niceleyici, tikel niceleyicinin değillemesini tümel niceleyici kılan bu kurallar ikiye ayrılır. a) Tümel Niceleyicinin Değilleme Kuralı ve Doğruluk Hesabı xfx x Fx Tümel niceleyicinin değillemesinde xfx önermesi eşdeğerdir. xfx x Fx önermesiyle x Fx diye gösterilir. Örnek 1) x [(x sıvıdır.) (x katıdır.)] önermesinin E: {Su, buz, likit yağı} evrenindeki açılımını yaparak doğruluk değerini hesaplayınız?

27 27 x [(x sıvıdır.) (x katıdır.)] x [(su sıvıdır.) (su katıdır.)] [D Y] [D D] [D] Y x [(buz sıvıdır.) (buz katıdır.)] [Y D] [D D] [D] Y x [(likit yağı sıvıdır.) (likit yağı katıdır.)] [D Y] [D D] [D] Y Y V Y V Y Y Verilen evrenin önermede hepsini birden doğrulayıcı yorumlaması yoktur. Örnek 2) x [(x hikayedir.) Λ (x Ömer Seyfettin in eseridir.)] önermesinin E: {Diyet, Kaşağı, Kumpanya} evrenindeki açılımını yaparak doğruluk değerini hesaplayınız? x[(x hikayedir.) Λ (x Ömer Seyfettin in eseridir.)] x [( Diyet hikayedir.) Λ ( Diyet, Ömer Seyfettin in eseridir.)] [D Λ D] [D] Y x [( Kaşağı hikayedir.) Λ ( Kaşağı, Ömer Seyfettin in eseridir.)] [D Λ D] [D] Y

28 28 x [( Yalnız Efe hikayedir.) Λ ( Kumpanya, Ömer Seyfettin in eseridir.)] [D Λ Y] [Y] D Y V Y V D D Verilen evrenin önermede hepsini birden doğrulayan yorumlaması vardır. Örnek 3) x [(x Karadeniz e dökülür.) (x Akdeniz e dökülür.)] önermesinin E: {Kızılırmak, Çoruh, Seyhan} evrenindeki açılımını yaparak doğruluk değerini hesaplayınız? x [(x Karadeniz e dökülür.) (x Akdeniz e dökülür.)] x [(Kızılırmak Karadeniz e dökülür.) (Kızılırmak Akdeniz e dökülür.)] [D Y] [D D] [D] Y x [(Çoruh Karadeniz e dökülür.) (Çoruh Akdeniz e dökülür.)] [D Y] [D D] [D] Y x [(Seyhan Karadeniz e dökülür.) (Seyhan Akdeniz e dökülür.)] [Y D] [Y Y] [D] Y Y V Y V Y Y Verilen evrenin önermede hepsini birden doğrulayıcı yorumlaması yoktur.

29 29 Örnek 4) x [(x ovadır.) (x Akdeniz Bölgesi ndedir.)] önermesinin E: {Çukurova, Bafra Ovası, Maraş Ovası} evrenindeki açılımını yaparak doğruluk değerini hesaplayınız? x[(x ovadır.) (x Akdeniz Bölgesindedir.)] x [(Çukurova ovadır.) (Çukurova Akdeniz Bölgesi ndedir.)] [D D] [D] Y x [(Bafra Ovası ovadır.) ( Bafra Ovası Akdeniz Bölgesi ndedir.)] [D Y] [Y] D x [(Maraş Ovası ovadır.) ( Maraş Ovası Akdeniz Bölgesi ndedir.)] [D D] [D] Y Y V D V Y D Verilen evrenin önermede hepsini birden doğrulayan yorumlaması vardır. Örnek 6) x [(x enfeksiyon hastalığıdır.) (x bulaşıcıdır.)] önermesinin E: {AIDS, kanser, verem} evrenindeki açılımını yaparak doğruluk değerini hesaplayınız? Örnek 7) x [(x ağaçtır.) (x geniş yapraklıdır.)] önermesinin E: {Meşe, kayın, ladin} evrenindeki açılımını yaparak doğruluk değerini hesaplayınız? b) Tikel Niceleyicinin Değilleme Kuralı ve Doğruluk Hesabı xfx x Fx Tikel niceleyicinin değillemesinde de x Fx önermesi xfx önermesiyle eşdeğerdir. x Fx xfx diye gösterilir.

30 30 Örnek 1) x[(x kanatlıdır.) Λ (x siyahtır.)] önermesinin E: {Kumru, karga, leylek} evrenindeki açılımını yaparak doğruluk değerini hesaplayınız? x [(x kanatlıdır.) Λ (x siyahtır.)] x [(kumru kanatlıdır.) Λ (kumru siyahtır.)] [D Λ Y] [Y] D x [(karga kanatlıdır.) Λ (karga siyahtır.)] [D Λ D] [D] Y x [(leylek kanatlıdır.) Λ (leylek siyahtır.)] [D Λ Y] [Y] D D Λ Y Λ D Y Verilen evrenin önermede hepsini birden doğrulayıcı yorumlaması yoktur. Örnek 2) x[(x > 1) Λ (x < 6)] önermesinin E: {2, 3, 5} evrenindeki açılımını yaparak doğruluk değerini hesaplayınız x [(x > 1) Λ (x < 6)] x [(2 > 1) Λ (2 < 6)] [D Λ D] [D Λ Y] [Y] D x [(3 > 1) Λ (3 < 6)] [D Λ D] [D Λ Y] [Y] D

31 31 x [(5 > 1) Λ (5 < 6)] [D Λ D] [D Λ Y] [Y] D D Λ D Λ D D Verilen evrenin önermede hepsini birden doğrulayıcı yorumlaması vardır. Örnek 3) x[(x masal kahramanıdır.) Λ (x akıllıdır.)] önermesinin E: {Dev, Keloğlan, Köroğlu} evrenindeki açılımını yaparak doğruluk değerini hesaplayınız? x [(x masal kahramanıdır.) Λ (x akıllıdır.)] x [(Dev masal kahramanıdır.) Λ (Dev akıllıdır.)] [D Λ Y] [Y] D x [(Keloğlan masal kahramanıdır.) Λ (Keloğlan akıllıdır.)] [D Λ D] [D] Y x [(Köroğlu masal kahramanıdır.) Λ (Köroğlu akıllıdır.)] [D Λ D] [D] Y D Λ Y Λ Y Y Verilen evrenin önermede hepsini birden doğrulayıcı yorumlaması yoktur. Örnek 4) x[(x metaldir.) (x iletkendir.)] önermesinin E: {Gümüş, bakır, altın} evrenindeki açılımını yaparak doğruluk değerini hesaplayınız?

32 32 x[(x metaldir.) (x iletkendir.)] x [(Gümüş metaldir.) (Gümüş iletkendir.)] [D Λ D] [D] Y x [(Bakır metaldir.) (Bakır iletkendir.)] [D Λ D] [D] Y x [(Altın metaldir.) (Altın iletkendir.)] [D Λ Y] [Y] D Y Λ Y Λ Y Y Verilen evrenin önermede hepsini birden doğrulayıcı yorumlaması yoktur. Örnek 5) x[(x Doğu Anadolu Bölgesindedir.) Λ (x dağdır.)] önermesinin E: {Palandöken Dağları, Ağrı Dağı, Kaçkar Dağları, Süphan Dağı} evrenindeki açılımını yaparak doğruluk değerini hesaplayınız? Örnek 6) x[(x genetik hastalıktır.) Λ (x bulaşıcıdır.)] önermesinin E: {Diyabet, AIDS, lenfoma, HIV} evrenindeki açılımını yaparak doğruluk değerini hesaplayınız? 2. Özelleme Kuralları a) Tümel Özelleme Kuralı Niceleme mantığında çözümleyici çizelge ile denetleme yapılırken, açık bir yol üzerinde xfx gibi bir tümel niceleme önermesi geçiyorsa, bu önermenin özellemesi, bu yol üzerindeki önermelerin herhangi birinde geçen a gibi bir ad sembolü ve F gibi bir yüklem sembolü kullanılarak yapılır. Tümel özelleme kaldırılarak daha önce yol üzerinde geçmiş olan herhangi bir ad sembolü yoksa özelleme isteğe bağlı olarak seçilen bir ad sembolü ile yapılır. Daha önce geçmiş bir ad sembolü varsa bilinmezin yerine daha önce geçen ad sembolü konur. Yol üzerinde birden fazla ad sembolü bulunuyorsa, tümel özellemenin özellemesi ayrı ayrı yapılır. Tümel özelleme kuralı aşağıdaki gibi gösterilir.

33 33 xfx veya xpx Fa Pa Örnek 1) xgx, Fb Gb çıkarımını özelleyerek çözümleyici çizelge ile denetleyiniz? 1. xgx (Önc.) Fb (Önc.) Gb ( Snç.) Gb (1) Yol kapalıdır. Örnek 2) x( Fx Gx), Gc Fc çıkarımını özelleyerek çözümleyici çizelge ile denetleyiniz? 1. x( Fx Gx) (Önc.) Gc (Önc.) Fc ( Snç.) 2. Fc Gc (1) (2) Fc Gc Tüm yollar kapalıdır. Örnek 3) xfb, x( Fx V Gx), xfx önermelerini özelleyerek çözümleyici çizelge ile denetleyiniz? Fb 1. xfb (Ö.) 3. x(fx V Gx) (Ö.) 2. xfx (Ö.) Fb (1) Fb (2) 4. Fb V Gb (3) (4) Gb Bir yol açıktır.

34 34 Örnek 4) x(fx Gx), Gc Fc V Gc çıkarımını özelleyerek çözümleyici çizelge ile denetleyiniz? 2. x(fx Gx) (Önc.) Gc (Önc.) 1. ( Fc V Gc) ( Snç.) Fc (1) Gc 3. Fx Gx (2) (3) Fc Gc Tüm yollar kapalıdır. Fc Gc Örnek 5) xfx, x Fx önermelerini özelleyerek çözümleyici çizelge ile denetleyiniz? 1. xfx (Ö.) 2. x Fx (Ö.) Fa (1) Fa (2) Yol kapalıdır. Örnek 6) x( Fx V Gx), Fx Gx x (Fc Gc) çıkarımını özelleyerek çözümleyici çizelge ile denetleyiniz? Örnek 7) x(fx Λ Gx), Fx Gx x (Fb V Gb) çıkarımını özelleyerek çözümleyici çizelge ile denetleyiniz? b) Tikel Özelleme Kuralı Çözümleyici çizelge üzerindeki açık yol veya yollar üzerinde xfx gibi bir tikel niceleme önermesi varsa, bu önermeyi özellemek için, açık yol üzerinde daha önce geçmiş olan herhangi bir ad sembolü bulunup bulunmadığına bakılır. Yol üzerinde bir ad sembolü geçiyorsa, tikel niceleme önermesinin özellemesi, bu ad sembolünden farklı bir ad sembolü seçilerek yapılır. Tikel özelleme kuralı şöyle gösterilir:

35 35 xfx veya xpx Fa Pa Örnek 1) xfx, x(fx V Ga) önermelerini özelleyerek çözümleyici çizelge ile denetleyiniz? Fb 1. xfx (Ö.) 2. x(fx V Ga) (Ö.) Fa (1) 3. Fb V Ga (2) (3) Ga Yollar açıktır. Örnek 2) x(gx Λ Ga) Fa çıkarımını özelleyerek çözümleyici çizelge ile denetleyiniz? 1. x(gx Λ Ga) (Önc.) Fa ( Snç.) 2. Gb Λ Ga (1) Gb (2) Ga Yol açıktır. Örnek 3) x(fx Λ Gx), Fa Ga çıkarımını özelleyerek çözümleyici çizelge ile denetleyiniz? 1. x(fx Λ Gx) (Önc.) Fa (Önc.) Fa ( Snç.) 2. Fb Λ Gb (1) Fb (2) Gb Yol açıktır.

36 36 Örnek 4) x(fx Λ Gx), Fx Gx Fa V Ga çıkarımını özelleyerek çözümleyici çizelge ile denetleyiniz? Fc 1. x(fx Λ Gx) (Önc.) 4. Fx Gx (Önc.) 3. (Fa V Ga) ( Snç.) 2. Fb Λ Gb (1) Fb (2) Gb Fa (3) Ga 5. Fc Gc (4) (5) Gc Tüm yollar açıktır. Örnek 5) x(fx Λ Ga) Ga çıkarımını özelleyerek çözümleyici çizelge ile denetleyiniz? 1. x(fx Λ Ga) (Önc.) Ga ( Snç.) 2. Fb Λ Ga (1) Fb (2) Ga Yol kapalıdır. Örnek 6) x (Fx Gx), Fx Λ Gx Fa Ga çıkarımını özelleyerek çözümleyici çizelge ile denetleyiniz? Örnek 7) x( Fx V Gx), Fx Gx Fb Gb çıkarımını özelleyerek çözümleyici çizelge ile denetleyiniz? b) Niceleme Mantığında Denetleme Niceleme mantığında önermelerin tutarlılık, geçerlilik, eşdeğerlik, çıkarımların geçerlilik denetlemesi yalnızca çözümleyici çizelgeyle yapılabilir. Önermeler mantığında geçerli olan kurallar niceleme mantığında da geçerlidir. Tekil önermelerin çözümlenip denetlenmesinde önermeler mantığının çözümleme kuralları yeterlidir. Ancak, genel önermelerin çözümlenip denetlenmesinde önermeler mantığının çözümleme kuralları yanında

37 37 niceleme mantığına özgü kurallara da ihtiyaç vardır. Bu kurallar uygulanmaksızın niceleme mantığında denetleme yapılamaz. Bunlar önceki ünitede öğrenmiş olduğumuz niceleyici değilleme kuralları ve özelleme kurallarıdır. c) Niceleme Mantığında Denetlemede İşlem Akışı Niceleme mantığında çözümleyici çizelge ile denetleme yapılırken her adımda takip edilmesi gereken işlem önceliği vardır. Bu işlem akışı öncelik sırasına göre aşağıdaki gibidir. 1. Tümel niceleyici değilleme kuralı 2. Tikel niceleyici değilleme kuralı 3. Alt alta yazma kuralları 4. Tikel özelleme kuralı 5. Çatal açma kuralları 6. Tümel özelleme kuralı d) Çözümleyici Çizelge İle Denetleme 1. Tek Bir Önermenin Tutarlılığının Denetlenmesi Niceleme mantığında çözümleyici çizelge ile tek bir önermenin tutarlığını denetleyebilmek için önce önerme işlem akışı sırasına göre denetlenir. Denetleme sonucuna göre bir veya birden fazla yol açık ise önerme tutarlı, tüm yollar kapalı ise önerme tutarsızdır. Örnek 1) xfx Λ xfx önermesinin tutarlı olup olmadığını denetleyiniz? 1. xfx Λ xfx (Ö.) 2. xfx (1) (1. Adımda alt alta yazma kuralı uygulandı.) 3. xfx 4. x Fx (2) (2. Adımda tümel niceleyici değilleme kuralı uygulandı.) 5. x Fx (3) (3. Adımda tikel niceleyici değilleme kuralı uygulandı.) Fa (4) (4. Adımda tikel özelleme kuralı uygulandı.) Fa (5) (5. Adımda tümel özelleme kuralı uygulandı.) Yol açık olduğundan önerme TUTARLI dır. Örnek 2) xgx xfx önermesinin tutarlı olup olmadığını denetleyiniz? 1. xgx xfx (Ö.) (1) 2. xgx 4. xfx 3. x Gx (2) Fa (4) Ga (3) Yollar açık olduğundan önerme TUTARLI dır.

38 38 Örnek 3) x(fx Λ Gx) ( xfx V xgx) önermesinin tutarlı olup olmadığını denetleyiniz? 1. x(fx Λ Gx) ( xfx V xgx) Ö. (1) 2. x(fx Λ Gx) 5. xfx V xgx 3. x (Fx Λ Gx) (2) 6. Fa V Ga (5) 4. (Fa Λ Ga) (3) (6) (4) Fa Ga Fa Ga Tüm yollar açık olduğundan önerme TUTARLI dır. Örnek 4) x(fx Λ Fx) önermesinin tutarlı olup olmadığını denetleyiniz? 1. x(fx Λ Fx) (Ö.) 2. (Fa Λ Fa) (1) Fa (2) Fa Yol kapalı olduğundan önerme TUTARSIZ dır. Örnek 5) x (Fx Fx) önermesinin tutarlı olup olmadığını denetleyiniz? 1. x (Fx Fx) Ö. 2. (Fa Fa) (1) Fa (2) Fa Yol açık olduğundan önerme TUTARLI dır. Örnek 6) x(fx V Gx) Λ x( Fx Gx) önermesinin tutarlı olup olmadığını denetleyiniz?

39 39 1. x(fx V Gx) Λ x( Fx Gx) (Ö.) 5. x(fx V Gx) (1) 2. x( Fx Gx) 3. x ( Fx Gx) (2) 4. ( Fa Ga) (3) Fa (4) Ga 6. Fa V Ga (5) Fa (6) Ga Tüm yollar kapalı olduğundan önerme TUTARSIZ dır. Örnek 7) xgx V x(hx Hx) önermesinin tutarlı olup olmadığını denetleyiniz? 1. xgx V x(hx Hx) (Ö.) (1) 4. xgx 2. x(hx Hx) Ga (4) 3. Ha Ha (2) (3) Ha Ha Tüm yollar açık olduğundan önerme TUTARLI dır. Örnek 8) x(fx Fx) x (Fx Fx) önermesinin tutarlı olup olmadığını denetleyiniz? 1. x(fx Fx) x (Fx Fx) (Ö.) (1) 2. x(fx Fx) 5. x (Fx Fx) 3. x (Fx Fx)(2) 6. (Fa Fa) (5) 4. (Fa Fa)(3) Fa Fa (6) (4) Fa Fa Tüm yollar kapalı olduğundan önerme TUTARSIZ dır.

40 40 Örnek 9) x(fx V Gx) ( xfx Λ xgx) önermesinin tutarlı olup olmadığını denetleyiniz? Örnek 10) x (Fx Λ Gx) V ( xfx xgx) önermesinin tutarlı olup olmadığını denetleyiniz? 2. Birden Fazla Önermelerin Tutarlılığının Denetlenmesi Niceleme mantığında çözümleyici çizelge ile birden fazla önermelerin tutarlılığı denetlenirken önce önermeler alt alta yazılır. Sonra önermeler işlem akışı sırasına göre denetlenir. Denetleme sonucuna göre bir veya birden çok yol açık ise önermeler tutarlı, tüm yollar kapalı ise önermeler tutarsızdır. Örnek 1) xfx, Fa önermelerinin bir arada tutarlı olup olmadığını denetleyiniz? 1. xfx Ö. Fa Ö. Fa (1) Yol kapalı olduğundan önermeler birbirleriyle TUTARSIZ dır. Örnek 2) x(fx Fx), Gb önermelerinin bir arada tutarlı olup olmadığını denetleyiniz? 1. x(fx Fx) (Ö.) Gb (Ö.) 2. Fa Ga (1) Fa (2) Ga Tüm yollar açık olduğundan önermeler birbirleriyle TUTARLI dır. Örnek 3) x(gx V Hx), x( Gx Λ Hx) önermelerinin bir arada tutarlı olup olmadığını denetleyiniz? 1. x(gx V Hx) (Ö.) 2. x( Gx Λ Hx) (Ö.) 4. x (Gx V Hx) (1) 3. Ga Λ Ha (2) Ga (3) Ha 5. (Gx V Hx) (4) Ga (5) Ha Yol kapalı olduğundan önermeler birbirleriyle TUTARSIZ dır.

41 41 Örnek 4) xfx Hc, Hc önermelerinin bir arada tutarlı olup olmadığını denetleyiniz? 1. xfx Hc (Ö.) Hc (Ö.) (1) xfx Hc x Fx Fa En az bir yol açık olduğundan önermeler birbirleriyle TUTARLI dır. Örnek 5) xgx, x (Gx Fx) önermelerinin bir arada tutarlı olup olmadığını denetleyiniz? 1. xgx (Ö.) 2. x (Gx Fx) (Ö.) 4. x Fx (1) 3. (Ga Fa) (2) Ga (3) Fa Ga (4) Yol kapalı olduğundan önermeler birbirleriyle TUTARSIZ dır. Örnek 6) x Fx Λ xgx, x(fx Gx) önermelerinin bir arada tutarlı olup olmadığını denetleyiniz? 1. x Fx Λ xgx (Ö.) x(fx Gx) (Ö.) 2. x Fx (1) 3. xgx Fa (2) Gb (3) 5. Fa Ga (4) (5) Fa Fa Ga Ga 7. Fb Gb (6) Fb Gb (7) Fb Gb En az bir yol açık olduğundan önermeler birbirleriyle TUTARLI dır.

42 42 Örnek 7) x(gx Fx), Fa önermelerinin bir arada tutarlı olup olmadığını denetleyiniz? 1. x(gx Fx) (Ö.) Fa (Ö.) 2. Gb Fb (1) Gb (2) Gb Tüm yollar açık olduğundan önermeler birbirleriyle TUTARLI dır. Örnek 8) x(gx V Hx), xgx önermelerinin bir arada tutarlı olup olmadığını denetleyiniz? 2. x(gx V Hx) (Ö.) 1. xgx (Ö.) Ga (1) 3. Ga V Ha (2) Ga Ha Tüm yollar açık olduğundan önermeler birbirleriyle TUTARLI dır. Örnek 9) xfx, xfx önermelerinin bir arada tutarlı olup olmadığını denetleyiniz? 1. xfx (Ö.) 2. xfx (Ö.) 3. x Fx (1) 4. x Fx (2) Fa (3) Fa (4) Yol açık olduğundan önermeler birbirleriyle TUTARLI dır. Örnek 10) x (Fx V Gx) Λ Fx, xfx V xgx önermelerinin bir arada tutarlı olup olmadığını denetleyiniz? Örnek 11) x (Fx Gx) Λ Fx, xfx xgx önermelerinin bir arada tutarlı olup olmadığını denetleyiniz? 3. Önermelerin Geçerliliğinin Denetlenmesi Niceleme mantığında çözümleyici çizelge ile önermelerin geçerliliği denetlenirken önce önermenin tümünün değili alınır. Sonra işlem akışı sırasına göre önerme denetlenir. Denetleme sonucuna göre tüm yollar kapalı ise önerme geçerli, en az bir yol bile açıksa önerme geçersizdir. Buna göre geçerli olan her önerme tutarsız, geçersiz olan her önerme ise tutarlıdır.

43 43 Örnek 1) x [(Fx Λ Gx) Fx] önermesinin geçerli olup olmadığını denetleyiniz? 1. x [(Fx Λ Gx) Fx] ( Ö.) 2. x [(Fx Λ Gx) Fx] (1) 3. (Fa Λ Ga) Fa (2) 4. Fa Λ Ga (3) Fa Fa (4) Ga Önermenin değillemesi tutarsız olduğundan önerme GEÇERLİ dir. Örnek 2) x(gx Hx) V xgx önermesinin geçerli olup olmadığını denetleyiniz? 1. [ x(gx Hx) V xgx] ( Ö.) 4. x(gx Hx) (1) 2. xgx 3. x Gx (2) Ga (3) 5. Ga Λ Ha (4) Ga (5) Ha Önermenin değillemesi tutarlı olduğundan önerme GEÇERSİZ dir. Örnek 3) x[(fx Gx) ( xfx xgx) önermesinin geçerli olup olmadığını denetleyiniz? 1. [ x[(fx Gx) ( xfx xgx)] ( Ö.) 5. x[(fx Gx) (1) 2. ( xfx xgx) 7. xfx (2) 3. xfx 4. x Fx (3) Fa (4) 6. Fa Ga (5) Fa Fa (7) (6) Ga Önermenin değillemesi tutarsız olduğundan önerme GEÇERLİ dir.

44 44 Örnek 4) ( xfx Λ xgx) x(fx Λ Gx) önermesinin geçerli olup olmadığını denetleyiniz? 1. [( xfx Λ xgx) x(fx Λ Gx)] ( Ö.) 3. xfx Λ xgx (1) 2. x(fx Λ Gx) x (Fx Λ Gx) (2) 4. xfx (3) 5. xgx Fa (4) Gb (5) 7. (Fa Λ Ga) (6) (7) Fa Ga 9. (Fb Λ Gb) (8) Fb (9) Gb Önermenin değillemesi tutarlı olduğundan önerme GEÇERSİZ dir. Örnek 5) x[(fx Λ Gx) ( xfx Λ xgx) önermesinin geçerli olup olmadığını denetleyiniz? 1. [ x[(fx Λ Gx) ( xfx Λ xgx)] ( Ö.) 2. x[(fx Λ Gx) (1) 4. ( xfx Λ xgx) 3. Fa Λ Ga (2) Fa (3) Ga (4) 5. xfx 6. xgx 7. x Fx (5) 8. x Gx (6) Fa (7) Ga (8) Önermenin değillemesi tutarsız olduğundan önerme GEÇERLİ dir. Örnek 6) x[(fx Λ Gx) Gx)] önermesinin geçerli olup olmadığını denetleyiniz?