Dik Üçgende Dar Açıların. Trigonometrik Oranları

Transkript

1 ölüm 5. ik Üçgen ve Trigonometri Neler Öğreneceğiz? ik üçgende bir çının sinüs, kosinüs, tnjnt ve kontnjnt değerlerini ik üçgende 0, 5 ve 60 lik çı ölçülerinin trigonometrik ornlrını Eşkenr üçgenin ükseklik uzunluğu ile kenr uzunluğu rsındki ilişkii irim çemberi 0 ile 80 rsındki çı ölçülerinin trigonometrik değerlerini 5... ik Üçgende r çılrın şlrken Trigonometrik Ornlrı Günümüzde stronomi, geometri, fizik, optik ve hritcılık gibi lnlrd sıklıkl kullnıln trigonometrinin ort çıkışı eski çğlr dnmktdır. irçok bilim insnı Piri Reis in ün hritsını hzırlrken trigonometriden rrlnmış olbileceğini dile getirmektedir. nhtr Terimler Trigonometri Trigonometrik orn Sinüs Kosinüs Tnjnt Kotnjnt irim çember E Yukrıdki şekilde verilen ve E dik üçgenlerinin krşılıklı çılrı eş olduğun- dn.. benzerlik kurlın göre + E dir. u üçgenler için benzerlik ornı, Sembol ve Gösterimler sin cos tn cot = şeklinde zılbilir. Orntının özellikleri kullnılrk E E = orn- tısı zılbilir. ir diğer ifde ile dik üçgenin çılrı değiştirilmedikçe ilgili kenrlrının uzunluklrı rsındki ornlr d değişmemektedir. ik üçgenin kenr uzunluklrı rsınd er ln ornlr trigonometrik ornlr dı verilir. u bölümde sinüs, kosinüs, tnjnt ve kotnjnt isimleri ile bilinen trigonometrik ornlr incelenecektir. 87 Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lnı ve Vektörler

2 ik Üçgende r çılrın Trigonometrik Ornlrı ir dik üçgende bir dr çının sinüs değeri, çının krşısınd bulunn dik kenr uzunluğunun hipotenüs uzunluğun ornıdır. u değer, çının köşesinde bulunn noktı gösteren hrfin önüne sin zılrk gösterilir. Kr ı ik Kenr Uzunlugu b sin = = Hipotenüs Uzunlugu c ir dik üçgende bir dr çının kosinüs değeri, çı komşu oln dik kenr uzunluğunun hipotenüs uzunluğun ornıdır. u değer, çının köşesinde bulunn noktı gösteren hrfin önüne cos zılrk gösterilir. Komuik Kenr Uzunlugu cos = = Hipotenüs Uzunlugu c nhtr ilgi Hipotenüs Krşı dik kenr Komşu dik kenr c b ir dik üçgende bir dr çının tnjnt değeri, çının krşısınd bulunn dik kenr uzunluğunun çı komşu oln dik kenr uzunluğun ornıdır. u değer, çının köşesinde bulunn noktı gösteren hrfin önüne tn zılrk gösterilir. Kr ı ik Kenr Uzunlugu b tn = = KomuikKenr Uzunlugu 5 Yndki dik üçgeninde = 5 cm = cm = cm olrk verilior. ir dik üçgende bir dr çının kotnjnt değeri, çı komşu oln dik kenr uzunluğunun çının krşısınd bulunn dik kenr uzunluğun ornıdır. u değer, çının köşesinde bulunn noktı gösteren hrfin önüne cot zılrk gösterilir. Komuik Kenr Uzunlugu cot = = Kr ı ik Kenr Uzunlugu b un göre, çısının trigonometrik ornlrını bullım. Mtemtik Trihi Mtemtiğin önemli bir dlı oln trigonometri Yunnc üçgen (trigon) ve ölçüm (metrio) sözcüklerinin birleştirilmesile oluşup kökleri eski zmnlrd stronomi ve denizcilik lnınd pıln çlışmlr dnmktdır. Trigonometrinin kurucusu olrk M.Ö. 90 ılınd İznik te doğmuş Yunn stronomu Hipprkhos kbul edilir. Topdemir, G. H. (0). Hipprkhos ve Trigonometrinin doğuşu. ilim ve Teknik, 58, (s.88-90) Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lnı ve Vektörler 87

3 ölüm 5. ik Üçgen ve Trigonometri unu bilior mudunuz çı ölçülerinin trigonometrik değerleri bilimsel hesp mkineleri rdımıl bulunbilir. ilimsel hesp mkinelerinde bir çı ölçüsünün trigonometrik değerini bulmk için çı ölçüsü derece cinsinden zılrk istenen trigonometrik ornı gösteren tuş bsılır. Kr ı ik KenrUzunlu u sin = olduğundn sin = = Hipotenüs Uzunlu u Komuik Kenr Uzunlu u cos = olduğundn cos = = Hipotenüs Uzunlu u Kr ı ik KenrUzunlu u tn = olduğundn tn = = Komuik Kenr Uzunlu u Komuik Kenr Uzunlu u cot = olduğundn cot = = olrk bulunur. Kr ı ik KenrUzunlu u 5 5 sin () = 0,079 Yndki resimde görülen bisiklet rmpsı er ile lik çı pmktdır. Rmpnın noktsı erden 5 cm ükseklikte olduğun göre rmpnın uzunluğunu bullım. ikkt ir çısının trigonometrik ornı şeklinde verildiğinde, çizilecek oln dik üçgenin b kenrlrındn ikisi, k R + olmk üzere k ve bk şeklinde olmlıdır. nck trigonometrik ornlr zıldığınd k değerleri sdeleşeceğinden trigonometrik ornlrın sorulduğu sorulrın çözümlerinde kenr uzunluklrı ve b olrk lınbilir. sin nin klşık değeri hesp mkinesi rdımıl 0, olrk bulunur. 5 dik üçgeninde sin = olduğundn sin = dir. 5 urdn 0,. olup. 70 cm olrk bulunur. ir dik üçgeninde m( V 5 ) = 90 olup sin = olduğun göre cos, tn ve cot değerlerini bullım. 5 çısının krşı kenr uzunluğu 5 br, hipotenüs uzunluğu br olrk lınbilir. u durumd Pisgor Teoremi nden = br olur. 5 ölece cos =, tn = ve cot = 5 bulunur. 87 Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lnı ve Vektörler

4 ik Üçgende r çılrın Trigonometrik Ornlrı Yndki şekilde verilen dikdörtgeni 6 birim kreden oluşmktdır. β un göre tn ve tn b değerlerini bullım. G H E β β K F E E dik üçgeninde tn = ornıl bulunbileceğinden tn = tür. mhke ( ) = mgfe ( ) = b olduğundn tn b değeri GFE EG üçgeninde tn b = = = olrk bulunur. GF 5 unu bilior mudunuz H β H Ynd verilen dik üçgeninde = cm H = cm m( ) = m^hh= 90 dir. m ( ) = olduğun göre cos değerini hespllım. H dik üçgeninde mh ( ) = b olsun. Üçgenin iç çı ölçüleri toplmındn + b = 90 olur. dik üçgeninde m ( ) = 90 olduğundn mh ( ) = olmlıdır. ölece H dik üçgeninde cos = bulunur. bul Vef (90-998) Müslümn Türk bilginlerinden biri oln bul Vef kendi zmnının büük bir mtemtikçisi ve stronomudur. bul Vef nın trigonometri problemlerinin çözümünde kullnıln tblolrın hzırlnmsınd gösterdiği bşrı, trigonometrinin gelişmesinde tıln önemli dımlrdn biri olrk gösterilmektedir. Trigonometride bugün kullndığımız sinüs, kosinüs, terimleri ilk def bu dönemde kullnılmıştır ve rpç kelimelerdir. ki,. (008). Kurmdn Ugulmı Mtemtik Eğitimi. Hrf Yıncılık. Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lnı ve Vektörler 875

5 ölüm 5. ik Üçgen ve Trigonometri m Yndki resimde bir deniz fenerine klşn iki elkenli görülmektedir. Fenerin deniz seviesinden üksekliği 5 m olduğun göre elkenliler rsındki uzklığın klşık değerini hespllım. tn (5),768 tn () 0,687 unu bilior mudunuz dik üçgenini kullnrk nu bullım. tn 5 = olcğındn tn5., 8 lınırs 5 m 5 7,. ve. 8, m bulunur. 5 dik üçgenini kullnrk nu bullım. 5 tn = olcğındn tn. 0, 6 lınırs 06,. ve. 0, m bulunur. = olduğundn. 0, - 8,., m bulunur. 7 ikizkenr üçgen = m ( ) = m ( ) = tn = olduğun göre tn değerini bullım. Fotoğrft görülen rç (Sekstnt), güneşin ve ıldızlrın ufuk çizgisi ile ptıklrı çıı ölçmede kullnılmktdır. Gemilerin denizlerdeki konumlrının bulunmsınd, ölçülen bu çılrın trigonometrik ornlrındn rrlnılır. rnes. (007). Encclopedi of Trigonometr. elhi: Globl Medi. 5 H tn nin köşesinden [] n dik bir doğru prçsı çizelim. H = olduğundn H = olur. H = br ve H = br olrk lınırs --5 üçgeni olcğındn = 5 br olur. ikizkenr olduğundn = = 5 br olup H = br olduğundn H H = br olup tn = = = bulunur. H 876 Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lnı ve Vektörler

6 ik Üçgende r çılrın Trigonometrik Ornlrı zı çı Ölçülerinin ( ) Trigonometrik Ornlrı 0, 5 ve 60 lik çı ölçülerinin trigonometrik ornlrını bulbilmek için bzı özel üçgenleri kullncğız. u çı ölçülerinden 5 nin trigonometrik ornlrını ikizkenr dik üçgenden, 0 ve 60 nin trigonometrik ornlrını eşkenr üçgenden rrlnrk hesplcğız ik Üçgeni Yndki ikizkenr dik üçgenin kenr uzunluklrı rsındki ilişkii inceleerek 5 lik çının trigonometrik ornlrını bullım. 5 ik kenr uzunluklrı birim oln ikizkenr dik üçgenini ele llım. u ikizkenr dik üçgenin hipotenüs uzunlu- ğu Pisgor Teoreminden bulunbilir. dik üçgeninde Pisgor Teoremi ugulnırs; 5 = + = + eşitliğinden = ve = br bulunur. un göre dik üçgeninde; sin 5 = = = tn 5 = = = ve cos 5 = = = cot 5 = = = olrk bulunur. 8 Şekilde erle dik durumlu oln ğcın erdeki gölgesi m olduğun göre ğcın bounu ve değerini bullım. 5 dik üçgeninde tn = dir. m( W ) = 5 ve tn5 = olduğundn = ise = eşitliğinden = m bulunur. enzer şekilde sin sin = ve 5 = olduğundn = ise = m olrk bulunur. Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lnı ve Vektörler 877

7 ölüm 5. ik Üçgen ve Trigonometri unu bilior mudunuz ik Üçgeni Üç kenrının uzunluklrı birbirine eşit oln üçgene eşkenr üçgen denildiğini önceki ıllrd öğrenmiştik. u bölümde eşkenr üçgenin bir kenrının uzunluğu ile bir kenrın it üksekliğinin uzunluğu rsındki ilişkii ve 0 ile 60 nin trigonometrik ornlrını inceleeceğiz. unun için şğıdki dımlrı tkip ediniz. Resimde görülen Uluslrrsı Uz İstsonu nd bulunn robotik kol, bğlntı noktlrındki çılrın kontrol edilmesile çlışmktdır. Kolun ucund bulunn stronotun konumunun belirlenmesi, bu çılrın trigonometrik ornlrının kullnımıl mümkün olmktdır. dım Kâğıd cetvel ve çıölçer rdımıl bir kenrının uzunluğu cm oln bir eşkenr üçgeni çiziniz rnes. (007). Encclopedi of Trigonometr. elhi: Globl Medi. dım kenrının ort noktsını bulrk bu noktı olrk isimlendiriniz. noktsını noktsı ile birleştiriniz dım Oluşn üçgenindeki ve çılrının ölçülerinin kç derece olduğunu zınız. m ( ) =... m ( ) =... üçgeninin iç çı ölçülerini göz önünde bulundurduğunuzd bu üçgenin türü hkkınd ne söleebilirsiniz? dım üçgeninde nu hesplınız dım 5 üçgeninin çı ölçüleri ile kenr uzunluklrı rsındki ilişkii çıklınız? Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lnı ve Vektörler

8 ik Üçgende r çılrın Trigonometrik Ornlrı Sonuç r çılrının ölçüleri 0 ve 60 oln bir dik üçgende; 0 lik çının krşısındki dik kenrın uzunluğu, hipotenüs uzunluğunun rısın eşittir. 60 lik çının krşısındki dik kenrın uzunluğu, 0 lik çının krşısındki dik kenr uzunluğunun ktın eşittir r çılrının ölçüleri 0 ve 60 oln bir dik üçgende kenr uzunluklrı rsındki ilişkii kullnrk bu çılrın trigonometrik ornlrı bullım: sin 0 = = cos 0 = = tn 0 = = = cot 0 = = = sin 60 = = cos 60 = = tn 60 = = = cot 60 = = = nhtr ilgi Yndki değerlerden de görülebileceği gibi birbirini 90 e tmmln çılrdn (tümler çılr) birinin sinüsü diğerinin kosinüsüne, birinin tnjntı diğerinin kotnjntın eşittir. 9,5 myerle dik durumlu oln elektrik direği erden,5 m ükseklikten kırılrk er ile 0 lik çı pck şekilde düşmüştür. 0 un göre direğin kırılmdn önceki bounu bullım. üçgeninde m ( ) = 60 olcğındn üçgeni üçgeni olur. üçgeninde sin 0 = olup ireğin kırılmdn önceki bou,5 + =,5 m dir., 5 = orntısındn = m bulunur. Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lnı ve Vektörler 879

9 ölüm 5. ik Üçgen ve Trigonometri Mtemtik Trihi El irunî (97-05) m( E) = 90 E Yndki kdırkt kdırğın bou 8 m, kdırk er ile 0, merdiven ise er ile 5 lik çı pmktdır. un göre merdivenin bounu bullım. r rl Gölü nün güneinde Gzne de doğn Müslümn Türk bilgini El irunî, dünnın rıçpını kendine hs metodul hesplrk bugün modern letlerle ulşıln sonuc çok kın bir değer elde etmiştir. u öntemde irunî, üksekliğini bildiği bir tepenin zirvesine çıkrk bulunduğu konumdn ufuk çizgisine bkıp şekildeki çısını ölçmüş ve r cos = r + tepenin üksekligi ornındn dünnın rıçpını hesplmıştır. ki,. (008). Kurmdn Ugulm Mtemtik Eğitimi. Hrf Yıncılık. [H] [] çizilirse H üçgeni üçgeni; H üçgeni olur. H H üçgeninde sin 0 = olduğundn 0 5 H H = olur. 8 urdn H = m bulunur. H H üçgeninde sin 5 = olduğundn = olup = m bulunur. sin0 + cos 60 + tn60 cot 60 sin 5 + cos 0 5 işleminin sonucunu bullım. İşlemde er ln trigonometrik ornlr erlerine zılırs; sin0 + cos 60 + tn60 cot 60 = sin 5 + cos d n + d n = 5 = 8 5 olrk bulunur. 880 Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lnı ve Vektörler

10 ik Üçgende r çılrın Trigonometrik Ornlrı 0 G H dik üçgeninde G ğırlık merkezi [] [] mgh ( ) = 0 GH = cm [GH] ^ [] olduğun göre = değerini bullım. 0 G 60 H N [G doğrusl uztılıp [] nı kestiği nokt N olrk isimlendirilirse [N] kenrort olur. GHN üçgeni olduğundn GN = GH = = 6 cm elde edilir. G ğırlık merkezi olduğundn G = GN olup G = cm olrk bulunur. N = G + GN = + 6 = 8 cm olur. ik üçgende hipotenüse it kenrortın uzunluğu hipotenüs uzunluğunun rısın eşit olduğundn = = N eşitliğinden = 8 = 6 cm olrk elde edilir. Yndki şekilde eşkenr üçgen m ( ) = = olduğun göre tn değerini bullım. = ve = olsun. üçgeninin kenrın it üksekliği çizilirse H = H olcğındn H = ve H = olur. H Eşkenr üçgenin ükseklik uzunluğu kenr uzunluğunun ktı olduğundn H = = elde edilir. H dik üçgeninde tn = = olrk bulunur. Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lnı ve Vektörler 88

11 MTEMTİK TÖLYESİ u töle çlışmsınd ölçüsü 0 ile 80 rsındki çılrın trigonometrik ornlrını birim çember üzerinde inceleeceğiz. rç ve Gereçler: inmik geometri zılımı dım inmik geometri zılımı rcılığı ile merkezi orijin rıçpı birim oln bir çember (birim çember), = ve = doğrulrını oluşturunuz. Koordint sisteminin I. bölgesinde ve birim çember üzerinde bir P noktsı belirleiniz. O P dım P noktsı ile çemberin merkezinden geçen d doğrusunu çiziniz. u doğrunun = ve = doğrulrı ile kesim noktlrını belirleerek sırsıl E ve H olrk isimlendiriniz. d doğrusunun eğim çısını ölçünüz. O P E H dım d P noktsını değeri 0 ile 80 rsınd klck şekilde birim çember üzerinde sürükleiniz. nın frklı ölçüleri için trigonometrik değerlerini zılımın hesplm özelliklerini kullnrk belirleiniz. rıc P, E, H noktlrının ilgili koordintlrını zılım rcılığı ile tespit ediniz ve şğıdki tblo zınız. sin cos tn cot P noktsının ordintı P noktsının psisi E noktsının ordintı H noktsının psisi Sonuç: Tblou inceleiniz. P, E ve H noktlrının koordintlrı ile çısının trigonometrik değerleri rsınd gözlemlediğiniz ilişkileri zınız. u ilişkileri gerekçeleri ile birlikte çıklınız Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lnı ve Vektörler

12 ik Üçgende r çılrın Trigonometrik Ornlrı irim Çember ve Trigonometrik eğerler Önceki ıllrd dik koordint sistemini ve koordint sistemindeki noktlrın gösterimlerini öğrenmiştiniz. ir önceki bölümde ise dr çılrın trigonometrik ornlrını bir dik üçgenin kenr uzunluklrındn rrlnrk tnımlmıştık. u kısımd dr çılr için tnımldığımız trigonometrik ornlrı dik koordint sistemi rdımıl dik ve geniş çılr için de tnımlcğız. Merkezi orijin ve rıçpı birim oln çembere birim çember denir. çılrın trigonometrik ornlrını birim çember rdımıl d bulbiliriz. ik koordint düzleminin I. bölgesinde ve birim çember üzerinde bir (, ) noktsını ele llım. (, ) O H noktsını orijine birleştiren doğru prçsını çizerek bu doğru prçsının eğim çısını olrk isimlendirelim. Yndki şekilde oluşn OH dik üçgeninde, H OH sin = = = ve cos = = = O O olduğundn noktsının koordintlrı (cos, sin ) şeklinde zılbilir. O cos sin H şk bir ifdele noktsının psisi nın kosinüs değerine, ordintı çısının sinüs değerine eşittir. E O H = irim çemberin olduğu koordint düzleminde = ve = doğrulrını çizelim. = Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lnı ve Vektörler 88

13 ölüm 5. ik Üçgen ve Trigonometri O dik üçgeninde tn değeri; nhtr ilgi sin cot cos O tn H tn = = = olrk bulunur. O şk bir ifdele çısının tnjnt değeri O ışınının = doğrusunu kestiği noktnın ordint değerine eşittir. H iğer trftn OH dik üçgeninde; tn = olrk OH zılbilir. tn irim çember üzerindeki çısın krşı gelen P(, ) noktsının koordintlrı sırsıl kosinüs ve sinüs değerlerini gösterdiğinden eksenine kosinüs ekseni, eksenine sinüs ekseni denir. enzer şekilde = doğrusu tnjnt ekseni, = doğrusu kotnjnt ekseni olrk isimlendirilir. sin Yukrıd H = sin ve OH = cos olduğu göz önüne lınırs tn = şeklinde cos ifde edilebilir. E O H = doğrusu eksenine prlel olduğu için mo ( ) = meo ( ) dir. nhtr ilgi (, ) H E O cot H çısının kotnjnt değeri OE dik üçgeninden; E E cot = = = E olrk bulunur. OE şk bir ifdele çısının kotnjnt değeri O ışınının = doğrusunu kestiği noktnın psis değerine eşittir. irim çember üzerinde verilen bir (,) noktsının koordintlrı için OH dik üçgeninde Pisgor Teoremi zılırs, + = eşitliği her zmn geçerlidir. iğer trftn OH dik üçgeninde; OH cot = olrk zılbilir. H cos OH = cos ve H = sin olduğu göz önüne lınırs cot = şeklinde ifde sin edilebilir. 88 Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lnı ve Vektörler

14 ik Üçgende r çılrın Trigonometrik Ornlrı O, Şekildeki O ışını birim çemberi d, n noktsınd kesmektedir. mo ( ) = çı ölçüsünün trigonometrik ornlrını bullım. noktsı birim çember üzerinde olduğundn noktsının psisi cos, ordint değeri sin sin olur. u durumd cos = ve sin = dir. tn = olduğundn cos cos tn = = ve cot = ise cot = = = olrk bulunur. sin Geniş çılrın Trigonometrik eğerleri Şu n kdr dr çılrın trigonometrik ornlrını birim çember ile ilişkilendirerek inceledik. u inceleme sonucund elde etmiş olduğumuz ilişkiler dik ve geniş çılrın trigonometrik ornlrını hesplmd d geçerlidir. noktsı koordint düzleminde II. bölgede ve birim çember üzerinde bir nokt olsun. (, ) mo ( ) = ve sinüs değerleri sırsıl noktnın psis ve ordintı O olcğındn cos = ve sin = dir. II. bölgede oln bir noktnın psisi negtif, ordintı pozitif olduğundn cos değeri negtif, sin değeri pozitiftir. r çılr için ptığımız tnjnt ve kotnjnt tnımlrındn geniş çı ölçüsünün tnjnt değeri, O ışınının uzntısının = doğrusunu kestiği E noktsının ordint değerine ve kotnjnt değeri, O ışınının = doğrusunu kestiği noktsının psis değerine eşit olur. IV. bölgede oln E noktsının ordintı ve II. bölgede oln noktsının psisi negtif olduğundn tn ve cot değerleri negtiftir. O = E = nhtr ilgi geniş çı ise sin pozitif, cos, tn ve cot değerleri negtiftir. Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lnı ve Vektörler 885

15 ölüm 5. ik Üçgen ve Trigonometri 5 Şekildeki O ışını birim çemberi d-, noktsınd kesmektedir. n O mo ( ) = çı ölçüsünün trigonometrik ornlrını bullım. nhtr ilgi Ölçüleri birbirini 80 e tmmln çılrın (bütünler çılr)sinüs değerleri birbirine eşittir. Örneğin sin 70 = sin 0 dir. u çı ölçülerinin kosinüs, tnjnt ve kotnjnt değerleri ise ters işretli olup mutlk değerce birbirine eşittir. Örneğin tn 0 = tn 50 dır. noktsının psis değeri cos, ordint değeri sin eşit olduğundn cos =- ve sin = olur. sin tn = olduğundn tn cos = =- =- ve cot = ise cos sin - - cot = =- olrk bulunur. dr çı ölçüsü olmk üzere, II. bölgedeki geniş çılrı şeklinde ifde edebiliriz. H O H Yndki şekilde OH ile OH ' eksenine göre simetriktir. olısıl ve noktlrının ordintlrı birbirine eşittir. u durumd ile 80 çı ölçülerinin sinüs değerleri nı olur. sin = sin(80 ) rıc OH ile OH ' ' eksenine göre simetrik olduğundn OH = OH dür. u durumd H noktsı ekseninin pozitif kısmınd ve H noktsı ekseninin negtif kısmınd olduğu için ile 80 çı ölçülerinin kosinüs değerleri zıt işretli olur. şk bir ifdele; cos(80 ) = cos dır. Trigonometrik ornlrdn tnjnt ve kotnjntı, sinüs ve kosinüs ornlrı rdımıl tnımlmıştık. u durumd dr çı ölçüsü için 80 geniş çı ölçüsünün tnjnt ve kotnjnt değerleri; sin( 80 - ) sin tn( 80 - ) = = =-tn cos( 80 - ) - cos cos( 80 - ) cos cot( 80 - ) = = - =- cot şeklinde olur. sin( 80 - ) sin 886 Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lnı ve Vektörler

16 ik Üçgende r çılrın Trigonometrik Ornlrı 6 50 lik çının trigonometrik değerlerini bullım. sin50 = sin( 80-0 ) = sin 0 = cos50 = cos( 80-0 ) =- cos 0 =- tn50 = tn( 80-0 ) =- tn 0 =- cot50 = cot( 80-0 ) =- cot 0 =- olrk bulunur. 7 Yndki dik üçgeninde m ( ) = 90 = cm = cm olduğun göre m ( ) = çı ölçüsünün trigonometrik ornlrını bullım. β üçgeninde Pisgor Teoreminden = + dir. Verilen uzunluklr eşitlikte erine zılırs, = + ve ise = cm bulunur. üçgeninde m ( ) = b olsun. dik üçgen olduğundn b dr çı ölçüsü olup bu çının trigonometrik değerleri; sinb =, cos b =, tnb = ve cot b = tür. Öte ndn + b den = 80 b olduğu için, sin = sin β =, cos =- cos β =-, tn =- tn β =- ve cot =- cot β =- olrk bulunur. Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lnı ve Vektörler 887

17 ik Üçgende r çılrın Trigonometrik Ornlrı KENİMİZİ SINYLIM Kvrm ve Muhkeme. şğıd verilen ifdelerin nın doğru olnlr için nlış olnlr için Y zınız.. (...) ir dr çının tnjnt değeri bu çının tümleeninin kotnjnt değerine eşittir. b. (...) ir dr çının tnjntı dim bsit kesirdir. c. (...) ir dr çının sinüsü dim bsit kesirdir.. 0 < < 90 < < 80 olduğun göre şğıdkilerden hngisinin ve hngilerinin sonucu sıfır eşit olbilir? I. sin + cos II. tn + sin III. cot cos IV. cot tn. şğıdki şekillerde verilen dik üçgenlerin diğer kenrlrının uzunluklrını cinsinden bulunuz.. 60 E F... b şğıd verilen ifdelerin nın doğru olnlr için nlış olnlr için Y zınız.. (...) sin 50 = sin 0 b. (...) sin 0 = sin 60 c. (...) tn 0 = tn 60 ç. (...) cos 5 = cos 5 K c. ç. T şğıdki tblou doldurunuz L M 5 S R sin cos tn cot 888 Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lnı ve Vektörler

18 ik Üçgende r çılrın Trigonometrik Ornlrı KENİMİZİ SINYLIM. lıştırmlr 0 Yndki dik üçgeninde [] [] = br = 0 br olduğun göre ve çılrının trigonometrik ornlrını bulunuz.. 0 k H z Yndki üçgeninde [H] [] dir. Verilenlere göre,, z ve k değerlerini bulunuz. sin =... cos =... tn =... cot = Ynd verilen eşkenr üçgeninde H = cm ve k [H] []. ir üçgeninde m( W ) = 90 ve sin = olduğun göre şğıdki boşluklrı 5 doldurunuz. H z olduğun göre,, z, k uzunluklrını bulunuz.. cos =... b. tn = şğıdki şekillerde verilenlere göre değerlerini bulunuz.. β θ E Ynd şekilde verilen çı ve uzunluk ölçülerine göre; I. sin b II. cot q III. tn değerlerini bulunuz.. b K E L 8 6 F Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lnı ve Vektörler 889

19 ik Üçgende r çılrın Trigonometrik Ornlrı KENİMİZİ SINYLIM Ugulm ve Problem Çözme. şğıd birim krelerle oluşturulmuş pılr verilmiştir. Her bir şeklin ltınd verilen trigonometrik ornlrı bulunuz.. b.. 0 E Verilenlere göre cot değerini bulunuz. Yndki şekilde [] [] [E] [] dir.. tn =... sin = Yndki dik üçgeninde [] [] dir. β θ Verilenlere göre tn değerini bulunuz. 6. Sekiz özdeş kreden oluşturulmuş ndki şekilde sinβ tn işleminin sonucu nee eşittir? cos θ 6 8. E 5 Yndki şekilde,, noktlrı doğrusl olduğun göre cot değeri kçtır? Yukrıd verilen şekilde [] [] m ( ) =, = 6 cm, = 8 cm ve = olduğun göre tn değerini bulunuz. 890 Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lnı ve Vektörler

20 ik Üçgende r çılrın Trigonometrik Ornlrı KENİMİZİ SINYLIM 7. 6 E [] kenrort Yndki şekilde [] [] [E] [] E = 6 br E = br 0. 0 [] [] m ^ h= m^ h = 0 br = br = br m ^ h= m ( ) = ise sin değeri kçtır? Yukrıd verilen şekilde m ( ) < 90 olduğun göre cos değeri kçtır? 8. [] [E] [] [E] üçgeninde verilenlere göre = değeri kç br dir? β [] [] E m ^ h= me ^ h= b dır. Yukrıdki şekilde cot = olduğun göre tn b değeri kçtır?. şğıd verilen şekillerde değerleri kç br dir?. b. 5 0 S 5 5 T E 9. 8 E ise kç birimdir? 0 Yndki dik üçgeninde = 8 br E = br me ( ) = 0. Ynd verilen şekilde eşkenr üçgen ve ikizkenr üçgen dir. = br ise ile noktlrı rsındki uzklığı bulunuz. Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lnı ve Vektörler 89

21 ik Üçgende r çılrın Trigonometrik Ornlrı KENİMİZİ SINYLIM m 5 5 m 0 h 60 8 m Yukrıdki resimde verilen kenr uzunluklrı ve çı ölçülerine göre evin erden üksekliği bulunuz. v Yukrıdki resimde bir kmonun kssın rmp rdımıl ük çıkrn bir işçi görülmektedir. Rmpnın uzunluğu m ve zemin ile ptığı çı 0 olduğun göre şekilde verilen h ve v uzunluklrı nee eşittir? 5. li 8. şe 0 Yukrıdki resimde görünen thterevllinin uzunluğu m olduğun göre li nin erden üksekliğini hesplınız. ve nolu hv koridorlrınd seir hlindeki uçklrın rotlrı birbirine prleldir. Hv koridorlrının rsındki dike uzklık 600m olduğun göre iki uçğın rsındki mesfei hesplınız. ( sin. 0, 5) 6. 0 m, m 9. 0 Resimde görülen nehrin genişliğini ölçmek isteen bir kişi nehrin krşısındki ğcın tm hizsındn m ok önünde ilerlior ve 0 m boundki direğin gölgesinin bou, m olduğun göre çısının ölçüsünün klşık değeri kç derecedir? (Hesp mkinesi ve trigonometrik tblo kullnılbilir.) noktsın gelior. Elindeki çıölçerile m ( ) = 0 olduğunu görüor. u kişi nehrin genişliğini kç m olrk hesplmıştır? 89 Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lnı ve Vektörler

22 ik Üçgende r çılrın Trigonometrik Ornlrı KENİMİZİ SINYLIM 0.. Yndki şekilde E 0 O 0 = = cm = 8+ 8 cm = 8 cm m ( ) = 50 m ( ) = 5 olduğun göre ile noktlrı rsındki uzklığı bulunuz.. Şekildeki birim çembere göre,,, ve E noktlrının koordintlrını bulunuz. m 8 m 8 m. Şekilde verilen uzunluk ve çı ölçülerine göre deniz üzerinde bulunn elkenlinin kıı oln mesfesinin klşık değerini hesplınız. (Hesp mkinesi ve trigonometrik tblo kullnılbilir.). 5 m 0 60 noktsınd bulunn işçi eli hizsınd bulunn ükü mkr rdımıl ukrı kldırcktır. m ( ) = 60 ve = 8 m olduğun göre; =? b. İşçi ipi tutrk ok önünde ürüüp m ^ h= 0 olduğund dururs ük ilk konumundn kç m ükselir? Yukrıdki gibi noktsındn kııl 60 lik çıl üzmee bşln bir üzücü her 5 kulç ttığınd rotsını şekildeki gibi değiştirior. un göre kçıncı kulçt noktsının hizsın gelmiş olur? ( kulç = 80 cm) Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lnı ve Vektörler 89

23 ölüm 5. ik Üçgen ve Trigonometri Neler Öğreneceğiz? ir üçgenin iki kenr uzunluğu ve bu kenrlrın oluşturduğu çının ölçüsü verildiğinde üçüncü kenrın uzunluğunu bulmı ir üçgenin üç kenr uzunluğu verildiğinde çılrının ölçülerini bulmı 5... Kosinüs Teoremi şlrken Mrs üzei üzerindeki krterlerin genişliği hesplnırken kosinüs teoreminden rrlnılır. u öntemde, robotlr krterin içine girmeden, krterin genişliğini görecek noktlrı belirleerek bu noktlrın referns noktsın uzklıklrını bulup, referns çısını kullnrk krterin genişliğini hesplrlr. Referns çısı nhtr Terimler Kosinüs Teoremi h önceki kısımlrd bir üçgenin bir çı ölçüsünün 90 olmsı durumund kenr uzunluklrı rsındki ilişkii Pisgor teoremi rdımıl ifde etmiştik. ununl birlikte üçgen eşitsizliği ve Pisgor teoreminde, çının ölçüsünün 90 den büük d küçük olmsı durumund üçgenin kenr uzunluklrının sğlmsı gereken eşitsizlikleri öğrenmiştik. u eşitsizlikler şğıd gösterilmiştir. c =b +c b c b >90 0 > b + c c <90 0 b < b + c u bölümde iki kenrının uzunluklrı ve bu kenrlrın oluşturduğu çının ölçüsünün bilinmesi durumund, bir üçgenin üçüncü kenr uzunluğunun nsıl hesplncğını öğreneceğiz. şğıdki teorem, üçgenin iki kenr uzunluğu ve bu kenrlrın oluşturduğu çının ölçüsü ile üçüncü kenrının uzunluğu rsınd nsıl bir ilişki olduğunu ifde etmektedir. u teorem kosinüs teoremi olrk ifde edilir. 89 Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lnı ve Vektörler

24 Kosinüs Teoremi Kosinüs Teoremi Teorem β c b θ ir üçgeninin iç çı ölçüleri, β, θ ve bu çılrın krşısındki kenrlr sırsıl, b, c olsun. u tkdirde üçgenin kenr uzunluklrı ve çı ölçüleri rsınd şğıdki eşitlikler vrdır. c = + b b cos θ = c + b cb cos b = c + c cos β İspt Verilenler: İstenen: b = c + c cos β üçgeninin köşesinden [] n dik olck şekilde [] nı çizelim. = m ve = n olsun. ve dik üçgenlerinde c b sırsıl Pisgor teoremi zılırs; m b = ( n) + m ve c = m + n β İlk eşitlikteki tm kre ifdenin çılımı pılırs, n n b = - n + n + m elde edilir. b = - n + c n üçgeninde cos β = olduğundn n = c cos β dır. c Yukrıdki eşitlikte n erine c cos β zılırs; b = + c - n & b = + c -c cos β elde edilir. u teorem bir üçgende iki kenrın uzunluklrı ve bu kenrlrın oluşturduğu çının ölçüsünün bilinmesi durumund üçgenin üçüncü kenr uzunluğunun nsıl hesplnbileceğini ifde etmektedir. Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lnı ve Vektörler 895

25 ölüm 5. ik Üçgen ve Trigonometri unu bilior mudunuz olmk üzere, değeri büüdükçe bu Ynd verilen üçgeninde = 0 cm, = 8 cm ve m_ i = 60 0 olduğun göre nu hespllım. çı ölçüsünün kosinüs değeri küçülür. üçgeninde kosinüs teoremi ugulnırs; 0 = + - cos 60 olup verilen ölçüler erlerine zılırs = $ 0 $ 8 $ & = 6-80 & = 8 & = cm olrk bulunur. km 65 5 km Yndki şekilde Mrs üzeindeki bir robotun bir krterin genişliğini ölçtüğü durum verilmiştir. Robotun ptığı ölçümler sonucund = km, = 5km ve m_ i = 65 olrk belirlenmiştir. un göre krterin genişliği oln ve noktlrı rsındki mesfei bullım. cos (65) 0,6 km 65 5 km ve noktlrını birleştirerek üçgenini & oluşturlım. nde kosinüs teoreminden 0 = + - cos 65 olur. Hesp mkinesi rdımıl cos 65 değeri klşık olrk 0, olrk bulunur. u değerler erine zılırs $ $ 5$ 0, burdn. 69-5, &. 7, 8 olup,. 7, 8 = 76, km olrk bulunur. 896 Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lnı ve Vektörler

26 Kosinüs Teoremi 50 m 0 m 70 m Yndki şekilde rlrındki uzklık 50 m, noktsındki limn uzklıklrı 0 ve 70 m oln iki kığın durumu verilmiştir. Verilenlere göre m_ i = değerini bullım. ikkt üçgeninde kosinüs teoremine göre 70 = $ 0$ 50 $ cos dir. urdn 900 = cos olup 500 = 000 cos ve burdn cos = - olrk bulunur. cos değeri negtif olduğundn ölçüsü oln çı geniş çı olup = 0 olrk bulunur. 6 E Yndki şekilde, ve noktlrı doğrusl, = cm = 6 cm E = cm E = cm = cm ise E = değerini bullım. E m^ VEh m_ V i ise F dir. ir üçgenin iki kenrının uzunluğu sbit klmk şrtıl bu iki kenrın oluşturduğu çının ölçüsü büüdükçe çının krşısınd bulunn uzunluk rtr. F nhtr ilgi üçgeninde kosinüs teoreminden, 6 = $ $ 5$ cos olup b 6 = cos E eşitliğinden cos = bulunur. 8 m_ i+ m_ i= + b = 80 0 olduğundn 6 cosb =- cos ' dr ı. E üçgeninde kosinüs teoremi zılırs = + - $ $ $ cos b eşitliğinden = $ c- m ve burdn 8 = cm olrk bulunur. θ ütünler çılrın ölçülerinin kosinüs değerleri mutlk değerce eşit olup ters işretlidir. cos = cos θ Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lnı ve Vektörler 897

27 ölüm 5. ik Üçgen ve Trigonometri ikkt geniş çı ölçüsü ise cos negtiftir. 5 Şekilde resimdeki gibi 5 metrelik bir iple uçurtm uçurn bir çocuğun uçurtmsı rüzgârın etkisile doğrusl bir ol izleerek dn e uçrken mkrdn 5 metre ip çılmıştır. m_ i = 8 0 olduğu- 8 n göre uçurtmnın ldığı ol oln ğunu bullım. = uzunlu- cos (8) 0,669 Uçurtm konumundn konumun gittiğinde mkrdn 5 m ip çıldığın göre = = 0 m dir. Uçurtmnın ldığı olu bulmk için üçgeninde Kosinüs Teoremi ugulnırs, $ 5$ 0$ 0, 67 &. 5-0 = 885 eşitliğinden uçurtmnın ldığı ol. 9, 7m olrk bulunur. 6 üçgeninde 6 = cm = 6 cm ve m_ i 60 0 = uzunluğunun lbileceği tmsı de- olduğun göre ğerlerini bullım. Üçgen eşitsizliğine göre üçgeninde 6-6+ & 0 şeklindedir. = uzunluğunun lbileceği değerler, 898 Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lnı ve Vektörler

28 Kosinüs Teoremi iğer trftn m_ i = 60 0 olduğundn Kosinüs Teoremine göre, $ $ 6$ cos 60 olmlıdır. Son eşitsizlikte cos60 0 değeri erine zılırs; $ $ 6$ den 8 olmlıdır. u durumd = uzunluğunun lbileceği tmsı değerleri 8 0 rlığındki 6, 7, 8 ve 9 olur. 7 noktsındn hrekete geçen bisikletliden ve nolu bisikletliler nı doğrultud ve nolu bisikletliler nı doğrultud ilerlemektedir. elirli bir süre sonr bisikletlilerden nolu 8 km, nolu 6 km, nolu km, nolu 8 km ol ldığınd ve nolu bisikletliler rsındki uzklık 6 km olduğun göre ve nolu bisikletliler rsındki mesfe kç km olur? unu bilior mudunuz K G oğrultu ile ön birbirinden frklı kvrmlrdır. ir doğrultu bounc iki frklı ön vrdır. Örneğin kuze güne doğrultusund kuze önünde. 8 6 θ θ 8 6 isikletlilerin son durumu ndki şekilde görüldüğü gibidir. Ters çılrın ölçüleri eşit olduğundn m_ i= m_ E i= i olsun ve E üçgenlerinde cos θ değeri zılırs, cos i = = dir. $ 8$ $ 6$ 8 nhtr ilgi c b u eşitlikten 00 - = = $ 8 $ $ 6$ 8 olup & 66 = 00 - & = ve =. 58, km olrk bulunur. üçgeninde kosinüs teoremi, b + c - cos = bc biçiminde de kullnılbilir. Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lnı ve Vektörler 899

29 ölüm 5. ik Üçgen ve Trigonometri unu bilior mudunuz z 8 Kııdki noktsın uzklıklrı sırsıl 50 m, 80 m ve 0 m oln,, kıklrının birbirine göre konumlrı şekilde görülmektedir. un göre kıklr rsındki uzklıklrı bullım. θ elirli bir noktdn rlrınd belirli bir çı olck şekilde ilerleen iki hreketlinin ldıklrı ollr biliniors bu iki hreketli rsındki uzklık kosinüs teoremi ile bulunbilir. üçgeninde kosinüs teoreminden z 0 = $ 50$ 80$ cos 60 = = 900 ise = 70 m dir. üçgeninde kosinüs teoreminden = $ 0$ 80$ cos 60 = = 900 ise = 70 m dir. üçgeninde kosinüs teoreminden z = $ 50$ 0 $ cos 0 = = 900 ise z= 70 mdir. 900 Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lnı ve Vektörler

30 KENİMİZİ SINYLIM Kosinüs Teoremi lıştırmlr. şğıdki üçgenlerde verilenlere göre değerlerini bulunuz.. b.. üçgeninde m_ V i 60 0 olduğun göre in lbileceği en küçük tmsı değerini bulunuz E F Ugulm ve Problem Çözme. şğıd şekillerde verilenlere göre değerlerini bulunuz.. b. E 6 6 E. 5 üçgeninde m_ V i 0 0 olduğun göre in lbileceği tmsı değerleri kç tnedir? c. 5 E. Kenr uzunluklrı rsınd = b + c - bc d = e + f - = + z + ef z bğıntılrı oln, EF, XYZ üçgenlerinde m_ W i, m_ W i ve m_ W Xi kç derecedir? 5. v v m_ i 0 = 0, V = 0km/ s, V = 50 km/ s noktsındn nı nd şekildeki gibi belirtilen hızlrl hreket eden rçlrın rsındki mesfe st sonr kç km olur? Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lnı ve Vektörler 90

31 Kosinüs Teoremi KENİMİZİ SINYLIM Irmk Şekilde üçgen şeklindeki çocuk prkının ırmk kenrı korkuluklrl kptılcktır. = 8m, = 0m ve m_ i = 55 0 olduğun göre pılck korkuluğun uzunluğunu hesplınız. ^cos5. 0, 9h Şekildeki üstten görünümü verilen geminin genişliği sbit ve metre oln knldn geçtiği bilinmektedir. in en küçük tmsı değerini bulunuz. = = 0m, m_ i = 5 ^cos 5. 07, h m m E 50 m 0 0 m F 80 m 60 0 m km 5 km Yukrıdki resimde görülen dğın ve noktlrını doğrusl olrk bğlck biçimde bir tünel pılırs oldn geçecek rçlr için ol klşık olrk ne kdr kıslır? ^cos5 0, 0, 7h Şekildeki,, kıklrı kııdn şekildeki rotlrı izleip sırsıl, E, F noktlrın gelior., E, F noktlrının hrekete ilk bşldıklrı nokt uzklıklrı, ve z olduğun göre, ve z, değerlerini sırlınız. 90 Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lnı ve Vektörler

32 KENİMİZİ SINYLIM Kosinüs Teoremi 0. Yndki resimde bir römorkör trfındn çekilen bir ük gemisi görülmektedir m 0 m m_ V i 0 0 olduğun göre in lbileceği değerler hngi rlıktdır? Gemii çeken her bir hltın uzunluğu 0 m ve hltlrın oluşturduğu çının ölçüsü m_ i = 0 0 olduğun göre geminin genişliğini bulunuz. ^cos0. 0, 9h. 0 m E 0 m Shil d. 0 m 60 m Uzun Sokk 80 m Yukrıdki krokie göre Shil ddesi nin uzunluğu kç metredir? Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lnı ve Vektörler 90

33 ölüm 5. ik Üçgen ve Trigonometri ÖLÜM ÖZETİ ik Üçgen b c c b 90 0 h ir dik üçgende, hipotenüsün uzunluğunun kresi, dik kenrlrın uzunluklrının kreleri toplmın eşittir. b = + c Kenr uzunluklrı, b, c birim oln bir üçgenin kenr uzunluklrı rsınd + b = c şeklinde bir ilişki vrs m_ W i = 90 0 dir. ik üçgende hipotenüse it kenrort uzunluğu, hipotenüs uzunluğunun rısı kdrdır. = = ik Üçgende r çılrın Trigonometrik Ornlrı c b bir dik üçgen olmk üzere W ile V nın trigonometrik ornlrı; p H k ir dik üçgende hipotenüse it üksekliğin uzunluğunun kresi, bu üksekliğin hipotenüs üzerinde ırdığı doğru prçlrının uzunluklrının çrpımın eşittir. h = p. k sin = Krşı ik Kenr Uzunluğu = b = cos Hipotenüs Uzunluğu c Komşu ik Kenr Uzunluğu cos = = = sin Hipotenüs Uzunluğu c c h b Krşı ik Kenr Uzunluğu b tn = = = cot Komşu ik Kenr Uzunluğu p H k ir dik üçgende, bir dik kenrın uzunluğunun kresi, hipotenüse it üksekliğin hipotenüs üzerinde ırdığı prçlrdn kendi trfınd olnın uzunluğu ile hipotenüs uzunluğunun çrpımın eşittir. Komşu ik Kenr Uzunluğu cot = = = tn Krşı ik Kenr Uzunluğu b b = k. c = p. 90 Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lnı ve Vektörler

34 ik Üçgen ve Trigonometri 5 lik çı ölçüsünün trigonometrik ornlrı sin5 = tn5 = cos5 = cot5 = 0 ve 60 lik çı ölçülerinin trigonometrik ornlrı sin0 tn0 = cos0 = = cot0 = çı ölçüsünün tnjnt değeri, O ışınının = doğrusunu kestiği noktnın ordintın eşittir. çı ölçüsünün kotnjnt değeri, O ışınının = doğrusunu kestiği noktnın psisine eşittir. dr ve geniş bir çı ölçüsü olmk üzere, sin cos tn = cot = cos sin Kosinüs Teoremi dr ı. sin6 0 = cos6 0 = tn6 0 = cot6 0 = c b irim Çember ir üçgenin kenr uzunluklrı ve çı ölçüleri rsınd şğıdki eşitlikler vrdır. = b + c bc cos b = + c c cos c = + b b cos O Merkezi orijin ve rıçp uzunluğu birim oln çembere birim çember denir. çı ölçüsünün kosinüs değeri, noktsının psisine eşittir. çı ölçüsünün sinüs değeri, noktsının ordintın eşittir. Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lnı ve Vektörler 905

35 ölüm 5.. ik Üçgen ve Trigonometri ÖLÜM EĞERLENİRME. 6 olduğun göre = kçtır? Yndki şekilde = = cm cm = cm = 6 cm 5. m. Şekildeki verilen üçgeninde 6 m 5 m = 8 cm = cm [] [] [] [] dir. = olduğun göre = kçtır? Yukrıdki şekilde 5 ktlı bir binnın son ktınd çıkn ngını söndürmee çlışn bir itfie eri görülmektedir. Ktlr rsı m ve verilen uzunluk ölçülerine göre itfie rcının merdiveninin uzunluğunu bulunuz... 5 olduğun göre E = kçtır? F Yndki şekilde bir üçgen, = cm = 5 cm = cm [] [] Yndki şekilde dik üçgen, F = F = E = E m_ EFi = 0 olduğun göre m ^ h= kç derecedir? H Yndki şekilde dik üçgen [] kenrort N [] [], [N] [], [H] [H] ve H = cm olduğun göre E 8 E olduğun göre F = kçtır? F = ornı kçtır? dik üçgen [] [] = E = cm E = cm F = 8 cm F = cm 906 Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lnı ve Vektörler

36 ölüm 5.. ik Üçgen ve Trigonometri ÖLÜM EĞERLENİRME m 50 m z 0 m 0 m 0 m 0 m Şekilde tepesindeki kuş önce, sonr ve sonr d noktsın doğrusl şekilde süzülüor. u sırd ldığı ollr sırsıl,, z metre olduğun göre,, z değerlerini büükten küçüğe doğru sırlınız.. β E dikdörtgen = br tnb =, cot = ise = kçtır?. dik üçgeninde 9. β [] ^ [] Sin = 5 = ise tn b =? E dikdörtgeni sekiz birim kree bölünmüştür. [E] [] olduğun göre E = kç br dir?. eşkenr üçgen $ = ise tn =? 0.,7 m 6, m destek Ynd resmi görülen evin çtısının sçk kısmın destek oln thtnın uzunluğunu bulunuz.. şğıdkilerden hngisi nlıştır?. sin 0 > sin b. cos 5 > cos 0 c. tn 0 > sin 0 ç. sin 66 > cos 66 d. sin > cos Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lnı ve Vektörler 907

37 ölüm 5.. ik Üçgen ve Trigonometri ÖLÜM EĞERLENİRME 5. 8 m 8. 0 < < < 90 iken şğıdkilerden hngileri dim doğrudur? 8 m üksekliğindeki kulenin tepe noktsındn pistteki bir uçk şekildeki gibi göründüğüne göre, uçğın kulee uzklığının klşık değerini hesplınız. tn 0,. sin < sin b. cos < cos c. tn < tn ç. cot < tn d. sin < cos E 5 5 F 0 H Yndki verilen uzunluklr ve çı ölçülerine göre [E] [] [ E] ' [ FH] ' [ ] 9. Yndki şekilde 8 m_ i= m_ F i = cm = 6 cm 6 8 = = 8 cm F olduğun göre = kç cm dir? = uzunluğunu bulunuz G olduğun göre Yukrıdki şekilde G noktsı üçgeninin ğırlık merkezi [] [] [G] [] = ornı nee eşittir? 0. 0 m 0 0 m 0 0 m noktsındn ol çıkn kık şekildeki rotı izleerek olun devm edior. e geldiğinde kık noktsındn kç metre uzklşmıştır? 908 Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lnı ve Vektörler

38 Ünite 5 İK ÜÇGEN VE TRİGONOMETRİ, ÜÇGENİN LNI VE VEKTÖRLER ölüm 5.. u ölümde Neler Öğreneceğiz? Üçgenin lnını veren bğıntılrı Üçgenin lnıl ilgili ugulmlrı Sinüs Teoremini Neden Öğreneceğiz? ln hesplmlrı birçok frklı durumd krşımız çıkmktdır. Örneğin inşt ustlrı bir bnod kç tne fns kullnılcğını; bocılr ev borken kç litre bo gideceğini d döşemeciler koltuk vb. kplrken ne kdr kumş kullnılcğını ln hesbı prk belirlemektedirler. Üçgenin lnı

39 ölüm 5.. Üçgenin lnı HZIR MIYIZ?. şğıdki ifdelerin önlerindeki boşluğ doğru olnlr için nlış olnlr için Y zınız.. (...) Üçgenin lnı, bir kenrının uzunluğu ile bu kenr it ükseklik uzunluğunun çrpımın eşittir. b. (...) ik üçgenin lnı, dik kenr uzunluklrı çrpımının rısın eşittir. c. (...) Üçgenlerin ükseklikleri dim üçgenin iç bölgesinde kesişir. ç. (...) Üçgenin bir kenrın it kenrort üçgenin o kenrını iki eş prç ırır. d. (...) Üçgenin ğırlık merkezi kenrortlrı : ornınd böler. e. (...) Üçgenin iç çıortlrı kestikleri kenrlrı dim iki eş prç ırır. f. (...) İkizkenr üçgende eş kenrlr çizilen üksekliklerin uzunluklrı eşittir. g. (...) Eşkenr üçgende tüm üksekliklerin uzunluklrı eşittir.. şğıd verilen üçgenlerin lnlrını hesplınız.. b. F br br K 5 br 0 br E. şğıd verilen trigonometrik ifdelerin değerlerini bulunuz.. sin 0 =? b. sin 5 =? c. sin 60 =? ç. sin 90 =? d. sin 0 =? e. sin 5 =? f. sin 50 =?. şğıdki üçgenlerde bilinmeen kenr uzunluklrını bulunuz.. b. br br F br br E 5. şğıd verilen ifdeleri b şekline getiriniz.. 8 =? b. + =? c =? 90 Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lnı ve Vektörler

40 MTEMTİK TÖLYESİ u töle çlışmsınd, bir üçgenin iki kenr uzunluğu ve bu kenrlrın oluşturduğu çının ölçüsü verildiğinde üçgenin lnının nsıl bulunbileceğini inceleeceğiz. rç ve Gereçler: inmik geometri zılımı dım inmik geometri zılımı kullnrk bir üçgeni ve üçgeninin kenrın it üksekliğini çiziniz. u üksekliği [H] olrk gösteriniz. H dım Yzılımın ilgili ölçüm rçlrını kullnrk şğıd verilenleri hesplınız. =... =... H =... sin =... dım H Yzılımın hesp pm özelliği rdımıl bir önceki dımd bulduğunuz değerleri kullnrk şğıdki ifdelerin sonuçlrını bulunuz. ulduğunuz sonuçlrı şğı not ediniz. ( ) = H =... sin =... dım ulduğunuz her iki sonuç rsındki ilişkii çıklınız. üçgeninin frklı kenr uzunluklrı ve çı ölçüleri için ukrıd bulduğunuz sonuçlrı inceleiniz. Sonuç Yptığınız işlemler sonund bir üçgenin iki kenr uzunluğu ve bu kenrlrın oluşturduğu çının ölçüsünün sinüs değeri ile üçgenin lnı rsınd belirlemiş olduğunuz ilişkii şğı zınız Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lnı ve Vektörler 9