SAYILAR. b Kümesine Rasyonel sayılar kümesi denir. SAYI KÜMELERĠ:

Transkript

1 SAYILAR SAYI KÜMELERĠ: GĠRĠġ: Nasıl atom maddenin, hücre canlının temel taģı ise sayılar da matematiğin temel taģlarıdır. Bu bölümde yalnızca atom veya hücreyi bir bütün olarak değil, atomun elektronlarını ve çekirdeğini, hücrenin çekirdeğini ve DNA larını da inceleyeceğiz. Sayılar, ana kurallar ile birlikte doğru kullanıldıklarında matematik seyretmesi doyumsuz bir sanat eserine dönüģür. ÖSS Matematikte baģarılı olmak isteyen öğrencinin sayılar ile arasının çok iyi olması gerekir. Bu yüzden öncelikle sayı kümelerine kuģ bakıģı bir göz atalım. Önemli özelliklerinden birkaçını da vurgulayalım. Z - = {, -3, -2, -1 } Negatif tamsayılar. En büyük Negatif tamsayı -1 dir. Z + = { 1, 2, 3, } Pozitif tamsayılar. Sayma sayıları. En küçük Pozitif tamsayı 1 dir. Z = Z - {0} Z + UYARI 0 sayısı Negatif bir tamsayı olmadığı gibi Pozitif bir tamsayı da değildir. RASYONEL SAYILAR KÜMESĠ DOĞAL SAYILAR KÜMESĠ N = { 0, 1, 2, 3,, n, n+1, n+2, } Kümesine Doğal sayılar kümesi denir. En küçük doğal sayı 0 dır. TAMSAYILAR KÜMESĠ Z={,-3,-2,-1, 0, 1, 2, 3,, n, n+1, n+2, } Kümesine Tamsayılar kümesi denir. Her doğal sayı, aynı zamanda bir Tamsayıdır. N Z a Q = { a, b tamsayı, b 0 } b Kümesine Rasyonel sayılar kümesi denir. UYARI Ondalık sayılar, 0,23 ; 45,67 ; 123,4567 ; Devirli ondalık sayılar, 2,333 ; 36, ; 0, birer Rasyonel sayıdır. Her Tamsayı, paydası 1 olan bir Rasyonel sayıdır. a Tamsayı olmak üzere; a 1 = a dır. N Z Q 1

2 ĠRRASYONEL SAYILAR KÜMESĠ a b ( a, b tamsayı, b 0 ) Ģeklinde yazılamayan sayılara irrasyonel sayılar denir. Ġrrasyonel sayılar kümesi Q ile gösterilir. 3 2, 5, 3,14,..., e 2,71... sayıları birer Ġrrasyonel sayıdır. Rasyonel ve İrrasyonel sayı kümelerinin ortak elemanları yoktur. Q Q = Ø DÖRT ĠġLEM: Matematikte baģarılı olmanın temel koģullarından biri de dört iģlemi hatasız ve çabuk yapmaktır. Toplama, çıkarma, çarpma ve bölme iģlemlerini tüm sayı kümelerinde sıkılmadan, çok sayıda alıģtırma yaparak pekiģtirmek gerekir. Biz öncelikle bu iģlemlerin temel özelliklerini belirtelim. Toplama ve çarpma iģlemlerinin değiģme özelliği vardır. a+b = b+a a.b = b.a GERÇEK (REEL) SAYILAR KÜMESĠ Rasyonel sayılarlar kümesi ile Ġrrasyonel sayılar kümesinin birleģimine Gerçek sayılar kümesi denir. R = Q Q Doğal sayılar, Tamsayılar, Rasyonel ve İrrasyonel sayılar birer Gerçek sayıdır. N Z Q R 4+7=7+4=11 4.7=7.4=28 Toplama ve çarpma iģlemlerinin birleģme özelliği vardır. (a+b)+c = a+(b+c) (a.b)c = a(b.c) (2+3)+4=2+(3+4)=2+3+4=9 (2.3)4=2(3.4)=2.3.4=24 Çarpma iģleminin,toplama iģlemi üzerine dağılma özelliği vardır. (a+b)c = a.c+b.c a(b+c) = a.b+a.c (3+4)5= =15+20=35 3(4+5)= =12+15=27 Toplama iģlemine göre; Etkisiz (Birim) eleman 0 dır. a+0 = 0+a = a 6+0=0+6=6 4+0=0+4=4 2

3 Çarpma iģlemine göre; Etkisiz (Birim) eleman 1 dir. 1.a = a.1 = a 1.7=7.1=7 1.12=12.1=12 Toplama iģlemine göre; a gerçel sayısının tersi (toplamsal tersi) -a sayısıdır. a+(-a) = 0 12+(-12)=12-12=0 5+(-5)=5-5=0 Çarpma iģlemine göre; sıfırdan farklı bir a sayısının tersi (çarpımsal tersi) a -1 = 1 a = =1 sayısıdır. 1 a( ) = 1 (a 0) a Ġki sayının farkı; birinci sayı ile ikinci sayının toplamsal tersinin toplamıdır. a-b = a+(-b) 14-5=14+(-5)=9 12-8=12+(-8)=4 Ġki sayının bölümü; bölünen sayı ile bölen sayının çarpımsal tersinin çarpımıdır. (Bir sayının 0 ile bölümü tanımsızdır) a 1 = a:b=a.( ) (b 0) b b 12 5 = 12: 5 = = 2: 3 = Sayının -1 ile çarpımı; o sayının toplamsal tersine eģittir. (-1)a = -a (-1)14=-14 (-1)(-12)=12 Çarpanlardan birinin toplamsal tersi alındığında; çarpımın toplamsal tersi bulunur. (-a)b = a(-b) = -(a.b) (-3).4=3(-4)=-(3.4)=-12 [-(-2)].3=(-2)(-3)=6 Çarpanların ikisinin de toplamsal tersi alındığında; çarpım değiģmez. (-a)(-b) = a.b (-4)(-5)=4.5=20 6.(-7)=(-6).7=-42 Sayının 0 ile çarpımı; her zaman 0 dır. (0 sayısı, çarpma iģleminde Yutan elemandır.) 0.a = a.0 = 0 0.2=2.0=0 0.15=15.0=0 Kendinizi sınamak için aģağıdaki dört iģlem sorularını yapıp yanıtlarınızı kontrol ediniz =? =? =? 48:12 =? 8+0 =? 8-0 =? 8.0 =? 8:0 =? 0+12 =? 0-12 =? 0.12 =? 0:12 =? =? =? =? 10:20 =? 0+0 =? 0-0 =? 0.0 =? 0:0 =? 3

4 48+12 = =36, =576 48:12 =4 8+0 =8 8-0 =8, 8.0 =0 8:0 =TANIMSIZ 0+12 = = =0 0:12 = = = =200 10:20 =0,5 0+0 =0 0-0 =0 0.0 =0 0:0 =TANIMSIZ DNA ( 5) ĠĢleminin sonucu kaçtır? A)-2 B)-1 C)0 D)1 E)2-6+14=8 3-(-5)=3+5=8 değerleri yerlerine yazıldığında; ( 5) = 8 8 = 1 bulunur. Doğru Seçenek D dir. UYARI 0 sayısı ile iģlem yaparken çok dikkatli olunmalıdır. Matematik öğrenmenin en tatsız taraflarından biri sıfır sayısı ile geçinmeyi öğrenmektir. Her öğrenilen iģlemi bir de 0 sayısı ile denemek insanın hep aklını kurcalar. Bunların en kötüsü de sıfırı, sıfıra bölmektir. Bu durumda Matematik bilen aslana, sıfır bölü sıfır nedir? diye soran kiģinin yaptığı ölümcül hatayı yapmıģ oluruz. a 0 için : 0 0 dır. a a 0 TANIMSIZDIR. GENETĠK KOPYA ( 5) ĠĢleminin sonucu kaçtır? A)-2 B)-1 C)0 D)1 E)2 DNA ( 2) 1 + ( 3) ĠĢleminin sonucu kaçtır? A)-3 B)-2 C)0 D)2 E)3-2+2(-2)=-2-4=-6 1+(-3)=1-3=-2 değerleri yerlerine yazıldığında; 0 0 TANIMSIZDIR. 2+2( 2) 1+( 3) = 6 2 = 3 bulunur. Doğru Seçenek E dir. 4

5 GENETĠK KOPYA-2 3 3( 3) 4 + ( 2) ĠĢleminin sonucu kaçtır? A)-2 B)-1 C)0 D)1 E)2 DNA-4 Buna göre A+B toplamı kaçtır? A)5 B)6 C)7 D)8 E)9 DNA-3 73-AB= =AB AB=25 bulunur. A=2 ve B=5 dir. A+B=2+5=7 olmalıdır. Doğru Seçenek C dir. Buna göre, A+B toplamı aģağıdakilerden hangisidir? GENETĠK KOPYA-4 A)12 B)13 C)14 D)15 E)16 EĢitliğin bir tarafında toplam veya fark durumundaki bir terim, eģitliğin diğer tarafına iģaret değiģtirerek geçer. 74+AB=132 AB= AB=58 olacağından, A=5 ve B=8 dir. A+B=5+8=13 olmalıdır. Doğru Seçenek B dir. Buna göre A+B toplamı kaçtır? A)10 B)11 C)12 D)13 E)14 DNA-5 GENETĠK KOPYA-3 Yukarıdaki çarpma iģleminde 1. Çarpan kaçtır? Buna göre, A.B çarpımı aģağıdakilerden hangisidir? A)1234 B)1324 C)1243 D)1342 E)1432 A)6 B)8 C)12 D)15 D)18 5

6 Çarpma iģleminde; 1.satır=(1. Çarpan)x(2. Çarpanın birler basamağı) 2.satır=(1. Çarpan)x(2. Çarpanın onlar basamağı) 3.satır=(1. Çarpan)x(2. Çarpanın yüzler basamağı) olarak yazıldığından; (1. Çarpan)x3=3702 verilmiģ. EĢitliğin her iki tarafı 3 ile bölündüğünde 1.çarpan.3 3 = (1.Çarpan) = 1234 bulunur. Doğru Seçenek A dır. Toplamdaki sayıların birler basamağındaki rakamların toplamı: A+B=6 veya A+B=16 olmalıdır. Onlar basamağındaki rakamların toplamı: B+A=16 olursa, birler basamağındaki rakamlar toplamından gelen elde var 1 ile birlikte toplamın sonucu 176 olur. Öyleyse; A+B=16 dır. Doğru Seçenek C dir. GENETĠK KOPYA-6 Buna göre, A+B toplamı kaçtır? A)14 B)15 C)16 D)17 E)18 GENETĠK KOPYA-5 DNA-7 Yukarıdaki çarpma iģleminde 1. Çarpan kaçtır? A)876 B)867 C)786 D)687 E)678 DNA-6 Buna göre, A+B toplamı kaçtır? A)14 B)15 C)16 D)17 E)18 Buna göre, A-B farkı kaçtır? A)1 B)2 C)3 D)4 E)5 Birler basamağındaki rakamlar farkı; B-A=8 olduğu düģünüldüğünde, Onlar basamağındaki rakamlar farkı; A-B bulunamaz. Öyleyse; birler basamağı için, B den A çıkmaz, AB nin onlar basamağı olan A dan bir onluk alıp; 10+B-A=8 ve 10-8=A-B A-B=2 olmalıdır. Onlar basamağında iģlem yapıldığında; A dan bir alınmıģtı, A-1-B=1 ve A-B=2 olduğu görülür. Doğru Seçenek B dir. 6

7 GENETĠK KOPYA-7 Buna göre, A-B farkı kaçtır? A)1 B)2 C)7 D)8 E)9 DNA-8 Buna göre, D+N+A toplamı kaçtır? A)11 B)12 C)13 D)14 E)15 NA iki basamaklı sayısının kendisi ile çarpımı (karesi), yine NA ile sonlanan DNA üç basamaklı sayısına eģit verilmiģ. 25x25=625 eģitliği dıģında bu özelliği sağlayan sayı yoktur. 25x25=625 NAxNA=DNA Bu durumda; N=2, A=5 ve D=6 olup, D+N+A=6+2+5=13 bulunur. Doğru Seçenek C dir. GENETĠK KOPYA-8 Dört iģlem yaparken iģlem önceliğine dikkat edilmelidir. Parantezli iģlemlerde önce parantez içindeki iģlem yapılır. Parantez yoksa; önce çarpma ve bölme, sonra toplama ve çıkarma iģlemleri yapılır. DNA :4-4 ĠĢleminin sonucu kaçtır? A) 3 B) 12 C) 15 D) 16 E) 20 Önce çarpma ve bölme iģlemlerini yapalım; sonra toplama ve çıkarma iģlemlerini yapacağız :4-4 = = 20-5 = 15 Doğru Seçenek C dir. GENETĠK KOPYA :3-3 ĠĢleminin sonucu kaçtır? A) 3 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12 DNA (5-2) ĠĢleminin sonucu kaçtır? A)-1 B)0 C) 1 D)3 E)13 Buna göre, A kaçtır? A)3 B)4 C)6 D)7 E)9 Önce parantez içindeki iģlemin sonucunu bulalım, sonra çarpma ve çıkarma iģlemlerini yapacağız. 5-2(5-2) = 5-2(3) = 5-6 = -1 Doğru Seçenek A dır. 7

8 GENETĠK KOPYA-10 (5-2)5-2 ĠĢleminin sonucu kaçtır? A)-1 B)0 C) 1 D)3 E)13 DNA :(2.4) ĠĢleminin sonucu kaçtır? A)2 B) 8 C)16 D)32 E)256 Önce parantez içindeki iģlemi yaparız. 128:(2.4)=128:8=16 Doğru Seçenek C dir. GENETĠK KOPYA-11 (128:2).4 ĠĢleminin sonucu kaçtır? A)2 B) 8 C)16 D)32 E)256 DNA :2.4 ĠĢleminin sonucu kaçtır? A)2 B) 8 C)16 D)32 E)256 Çarpma ve bölme iģlemlerinin ardı ardına kullanıldığı parantezsiz iģlemlerde; önce soldaki iģlem yapılır. 128:2.4=64.4=256 Doğru Seçenek E dir. DNA [3-4:(5-6)] iģleminin sonucu kaçtır? A) -13 B) -3 C) 0 D) 3 E) 13 Ġçteki küçük parantezden baģlanarak, adım adım dıģa doğru iģlem yapılır. 1-2[3-4:(5-6)] =1-2[3-4:(-1)] =1-2[3+4]=1-2[7]=1-14 =-13 Doğru Seçenek A dır. GENETĠK KOPYA :[4-3(2-1)] iģleminin sonucu kaçtır? A) -13 B) -3 C) 0 D) 1 E) 13 Sayı kümelerini biraz daha çeģitlendirip, dört iģlem yapmayı sürdürelim. ÇĠFT SAYILAR Ç={...-6,-4,-2,0,2,4,6,...,2n-2,2n,2n+2,...} 2 nin katı olan tamsayılardır. Birler basamağı 0,2,4,6 veya 8 dir. TEK SAYILAR T={ ,-1,1,3,5,...,2n-1,2n+1,2n+3,...} Birler basamağı 1,3,5,7 veya 9 dur. IġIK-1 T±T=Ç Ç±Ç=Ç GENETĠK KOPYA :4 ĠĢleminin sonucu kaçtır? T.T=T T±Ç=T Ç.Ç=Ç T.Ç=Ç A)2 B) 8 C)32 D)64 E)256 n pozitif tamsayısı için; T n = T ve Ç n = Ç dır. ( Ç 0 = 1 ) 8

9 DNA-14 a bir tamsayı olduğuna göre, aģağıdakilerden hangisinin sonucu kesinlikle tek sayıdır? A)a+1 B)a 2-1 C)a 2 +2a D)2a-3 E)a 2 +2a+1 a bir tek sayı ise; a+1, a 2-1 ve a 2 +2a+1 ifadeleri birer çift sayı, a bir çift sayı ise; a 2 +2a çift sayı gösterir. a ister tek, ister çift sayı olsun; 2a çift sayı, 2a-3 kesinlikle bir tek sayıdır. Doğru Seçenek D dir. GENETĠK KOPYA-14 n bir tamsayı olduğuna göre, aģağıdakilerden hangisinin sonucu kesinlikle çift sayıdır? A)2n+6 B)n 2 +4 C)n 3 D)3n+4 E)n 2-2n+1 DNA-15 x bir çift sayı olduğuna göre, aģağıdakilerden hangisinin sonucu tek sayıdır? GENETĠK KOPYA-15 n bir tek sayı olduğuna göre, aģağıdakilerden hangisinin sonucu çift sayıdır? A)n 2 +3n B)3n+2 C)n 2 +5n+3 D)3n-4 E)2n-3 DNA-16 ArdıĢık üç çift sayıdan küçüğünün iki katı, ikinciden 20 fazladır. Üçüncü sayı kaçtır? A)22 B)24 C)26 D)28 E)30 Sayılardan küçüğüne x dersek, Ġkinci sayı x+2, üçüncü sayı x+4 olacaktır. 2x = x verilmiģ. x=22 bulunur. Üçüncü sayı x+4 = 22+4 =26 olur. Doğru Seçenek C dir. GENETĠK KOPYA-16 ArdıĢık dört tek sayıdan en küçüğünün üç katı, en büyüğüne eģittir. Bu sayıların toplamı kaçtır? A)22 B)24 C)26 D)28 E)30 A)3x+2 B)x 3 +2 C)5x 3 D)x 2 +3x E)4x+3 x bir çift sayı iken; 3x+2, x 3 +2, 5x 3 ve x 2 +3x sayıları çift, 4x+3 sayısı tek sayıdır. Doğru Seçenek E dir. DNA-17 ArdıĢık üç tek sayının toplamı 249 ise bu sayılardan en küçüğü kaçtır? A)79 B)81 C)83 D)85 E)87 9

10 Sayılardan küçüğüne x dersek, Ġkinci sayı x+2, üçüncü sayı x+4 olacaktır. x + x+2 + x+4 = 249 verilmiģ. 3x+6=249 3x=243 x=81 bulunur. Doğru Seçenek B dir. GENETĠK KOPYA-17 ArdıĢık üç tek sayının toplamı 105 ise en büyüğü kaçtır? A) 31 B) 33 C) 35 D) 37 E) 39 DNA-18 a ve b ardıģık doğal sayılar, x=ab+1 olduğuna göre, aģağıdakilerden hangisi kesinlikle tek sayıdır? A) x(a+1) B) a(x+b) C) b(a-1) D) x(a+b) E) b(x+a) ArdıĢık iki doğal sayıdan biri tek, diğeri çift olduğundan; a+b Toplamları tek sayı, ab Çarpımları çift sayıdır. ab çift sayı, x=ab+1 tek sayıdır. a tek ise, a+1 çift, x(a+1) çift sayıdır. a çift ise, a(x+b) çift sayıdır. b çift ise, b(a-1) çift sayıdır. b çift ise, b(x+a) çift sayıdır. x tek sayı, a+b tek sayı olduğundan, x(a+b) tek sayıdır. Doğru Seçenek D dir. GENETĠK KOPYA-18 x ve y ardıģık tamsayılar olmak üzere, aģağıdakilerden hangisi kesinlikle çift sayıdır? A)x+y B)2x+y C)x+2y D)x+xy+y E)3xy DNA-19 a,b,c doğal sayılar olmak üzere ; a. b 3 c ise aģağıdakilerden hangisi 2 her zaman doğrudur? A) a+b tek sayıdır. B) a ve b çift sayıdır. C) a ve b tek sayıdır. D) c çift sayıdır. E) a ve b den biri tek sayıdır. a.b+3 2 = c a. b + 3 = 2c EĢitliğinde, c ne olursa olsun 2c bir çift sayıdır. a.b+3 sayısının çift sayı olması için, a.b nin tek sayı olması gerekir. a.b nin tek sayı olması, a ve b nin tek sayı olması ile mümkündür. Doğru Seçenek C dir. GENETĠK KOPYA-19 x, y ve z birer tamsayı ve 2x+1=y.z olduğuna göre, aģağıdakilerden hangisi doğrudur? A)y ve z tek sayılardır. B)y ve z çift sayılardır. C)y+z tek sayıdır. D)y ve z den biri tek, diğeri çifttir. E)x tek sayıdır. 10

11 KONU TESTĠ :5-3=? ĠĢleminin sonucu kaçtır? A) 9 B)10 C)11 D)12 E)13 7. A-B=C Çıkarma iģleminde; A+B+C toplamının eģiti aģağıdakilerden hangisidir? A)2A B)2B C)2C D)AB E)AC 2. 72:24+64:16=? ĠĢleminin sonucu kaçtır? A)6 B)7 C)8 D)9 E) :3=? ĠĢleminin sonucu kaçtır? A)13 B) 15 C) 28 D)21 E) :(6+3.8)-5=? iģleminin sonucu kaçtır? A) 0 B) 3 C) 5 D) 8 E) :(8-3).2+6=? ĠĢleminin sonucu kaçtır? 8. a, b, c doğal sayıları için; a+b tek sayı, c 2 çift sayıdır. AĢağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur? A)c tek sayıdır. B)a+c tek sayıdır. C)b+c çift sayıdır. D)a.b.c tek sayıdır. E)a.b.c çift sayıdır. 9. AĢağıdakilerden hangisi tek sayıdır? A) B) C) D) E) x ve y pozitif tamsayılarından, x çift, y tek sayıdır. AĢağıdakilerden hangisi tek sayıdır? A)x.y B)x+2y C)x y D)y x E)x 3.y 2 A)10 B)11 C)12 D)13 E) [5-(5-3)]=? ĠĢleminin sonucu kaçtır? A)-10 B)-4 C)0 D)4 E) ArdıĢık iki tek sayıdan büyüğü küçüğünün üç katıdır. Bu iki tek sayının toplamı kaçtır? A)4 B)8 C)12 D)16 E)20 11

12 12. Tek sayılar T, çift sayılar Ç ile gösterildiğinde; aģağıdakilerden hangisi yanlıģtır? 16. A,B ve C farklı rakamlar olmak üzere; A2C8 ve C66B dört basamaklı, A79 üç basamaklı sayılardır. A)DZÇ=Ç B)DZT=T C)T±T=Ç D)ÇxÇ=Ç E)ÇxT=T Çıkarma iģlemindeki A+B+C toplamı kaçtır? 13. x, y, z çift sayılar olduğuna göre, aģağıdakilerden hangisi her zaman çift sayıdır? A) x + y z 2 D) x.y.z 2 B) x y+z 2 E) x+y 2 z C) x+y+z ArdıĢık dört tek sayının toplamı K dır. Buna göre, bu sayılardan en büyüğünün K türünden eģiti aģağıdakilerden hangisidir? A)12 B)14 C)15 D)16 E)18 YANITLAR 1.C 2.B 3.D 4.A 5.D 6.C 7.A 8.E 9.D 10.D 11.A 12.E 13.D 14.A 15.D 16.E A) K B) K 4 3 C) K D) K 4 2 E) K a,b ve c sayma sayıları ve a+b=c olduğuna göre; a+b+c toplamı aģağıdakilerden hangisi olabilir? A)25 B)37 C)43 D)52 E)69 TENEFFÜS!!! 1:2:3:4:5:6:7:8:9:10 Yukarıdaki iģlemde uygun yerlere, istenildiği kadar parantez kullanarak sonucun 7 olmasını sağlayabilirmisiniz? 12

13 Sayı kümelerini tanıyıp, dört iģlemi pekiģtirdikten sonra artık bu bilgilerimizi problem çözümlerinde kullanmaya baģlayalım. Sayı kümelerinin varsa en küçük veya en büyük elemanlarını bilmek, bizi sayı problemlerinde doğru sonuca götürür. Soru çözmeye geçmeden, sayılar arasında biraz daha dolaģalım. Ġki basamaklı, en küçük doğal sayı: 10 en büyük doğal sayı: 99 Ġki basamaklı, rakamları farklı en büyük doğal sayı: 98 Üç basamaklı, en küçük doğal sayı: 100 Üç basamaklı, rakamları farklı en küçük doğal sayı: 102 Üç basamaklı, en büyük doğal sayı: 999 Üç basamaklı, rakamları farklı en büyük doğal sayı: 987 En büyük negatif tamsayı: -1 Ġki basamaklı, en büyük negatif tamsayı: -10 Ġki basamaklı, en küçük negatif tamsayı: -99 Ġki basamaklı, rakamları farklı en küçük negatif tamsayı: -98 Üç basamaklı, en büyük negatif tamsayı: -100 Üç basamaklı, rakamları farklı en büyük negatif tamsayı: -102 Üç basamaklı, en küçük negatif tamsayı: -999 Üç basamaklı, rakamları farklı en küçük negatif tamsayı: -987 DNA-1 Ġki basamaklı, en büyük pozitif tek tamsayı ile iki basamaklı, en küçük negatif çift tamsayının toplamı kaçtır? A)-1 B)0 C)1 D)89 E)90 Ġki basamaklı, en büyük pozitif tek tamsayı 99, Ġki basamaklı, en küçük negatif çift tamsayı -98 olduğuna göre, 99+(-98)=99-98=1 Doğru Seçenek C dir. GENETĠK KOPYA-1 Ġki basamaklı en küçük pozitif çift tamsayı ile iki basamaklı en büyük negatif tek tamsayının toplamı kaçtır? A)-1 B)0 C)1 D)9 E)10 IġIK-1 Sonucu bilinen bir toplamda, toplanan terimlerden birinin en büyük olması isteniyorsa; diğerlerinin olabildiğince küçük olması gerekir. Karşıtı da doğrudur. DNA-2 a,b Doğal sayıları için; a+b = 14 ise b nin en büyük değeri kaçtır? A) 0 B) 1 C) 7 D) 13 E) 14 13

14 Ġki doğal sayının toplamında; b nin en büyük değeri istendiğinden, a en küçük değerini almalıdır. Doğal sayılar içinde en küçük değer 0 olduğundan a=0 olmalıdır. Bu durumda; a+b=14 eģitliğinde; a=0 alındığında; 0+b=14 ve b=14 olacaktır. Doğru Seçenek E dir. GENETĠK KOPYA-2 a,b Pozitif tamsayıları için; a+b = 14 ise b nin en büyük değeri kaçtır? A)0 B) 1 C) 7 D) 13 E) 14 DNA-3 a,b,c doğal sayıları için; a+b+c=36 ise c nin alabileceği en büyük değer kaçtır? A)11 B)12 C)13 D)35 E)36 c nin en büyük değeri alabilmesi için, a ve b nin en küçük değerlerini alması gerekir. En küçük doğal sayı 0 olduğundan, a=b=0 alındığında; 0+0+c=36 c=36 bulunur. Doğru Seçenek E dir. UYARI Sayılar ile ilgili sorularda, kullanılan sayıların hangi sayı kümesinin elemanı olduğuna dikkat edilmelidir. IġIK-2 Bir çıkarma iģleminde; Farkın küçük olması isteniyorsa, eksilen sayı küçük, çıkan sayı büyük olmalıdır. Farkın büyük olması isteniyorsa, eksilen sayı büyük, çıkan sayı küçük olmalıdır. DNA-4 a,b sayma sayıları olmak üzere; a-b=14 ise a nın en küçük değeri kaçtır? A)0 B)7 C)13 D)14 E)15 Farkları sabit olduğundan, a nın en küçük olması için, b nin de en küçük olması gerekir. En küçük sayma sayısı 1 olduğundan; b=1 için; a-1=14 ve a=15 bulunur. Doğru Seçenek E dir. GENETĠK KOPYA-4 a,b doğal sayılar olmak üzere; a-b = 14 ise a nin en küçük değeri kaçtır? A)0 B) 7 C)7 D) 14 E) 15 GENETĠK KOPYA-3 a,b,c farklı doğal sayılar olmak üzere; a+b+c=36 ise c nin alabileceği en büyük değer kaçtır? Yukarıda verilen sorulara dikkat edildiğinde, soruda kullanılan sayı kümeleri farklı ise, soruların yanıtları da farklı olmaktadır. A)11 B)12 C)13 D)35 E)36 14

15 DNA-5 ĠkiĢer basamaklı iki tam sayının farkı en çok kaç olabilir? A)89 B)90 C)180 D)198 E)200 a-b farkının en büyük değeri alabilmesi için, a nın en büyük, b nin en küçük olması gerekir. Ġki basamaklı en büyük tamsayı: 99 En küçük tamsayı: -99 olduğundan a-b=99-(-99)=99+99=198 bulunur. Doğru Seçenek D dir. GENETĠK KOPYA-5 ĠkiĢer basamaklı iki tam sayının farkı en az kaç olabilir? A)0 B)-89 C)-180 D)-198 E)-200 Kutulardaki Ģeker sayılarını; x, x+1, x+2, x+3, x+4, x+5, x+6, x+7 olarak alalım. Son kutudaki x+7 Ģeker diğer kutulara; kutularda x+6 Ģar Ģeker bulunacak Ģekilde 1, 2, 3, 4, 5, 6 tane dağıtılırsa; x+6, x+1+5, x+2+4, x+3+3, x+4+2, x+5+1 her birinde Ģeker sayısı x+6 olacaktır. Dağıtılan Ģeker sayısı; =21=x+7 BaĢlangıçta en çok Ģeker bulunan kutuda; x+7=21 tane Ģeker vardır. Doğru Seçenek D dir. GENETĠK KOPYA-6 Her çocuğun en az bir kalem aldığı ve alınan kalem sayılarının farklı olduğu bir dağıtımda; 15 kalem üç çocuğa dağıtılıyor. En çok kalem alan çocuk kaç kalem alabilir? A)10 B)11 C)12 D)13 E)14 DNA-6 Sekiz Ģeker kutusunun her birinde farklı sayıda Ģeker bulunmaktadır. Bu kutulardan rastgele biri boģaltılıp diğer kutulara uygun biçimde dağıtılınca diğer yedi kutunun her birinde Ģeker sayısı aynı oluyor. BaĢlangıçta en çok Ģeker bulunan kutuda en az kaç Ģeker vardır? A)14 B)15 C)16 D)21 E)28 HAZĠNE-1 Toplamları sabit iki Gerçek sayının çarpımlarının en büyük olması için sayıların eģit olması gerekir. Doğal sayılarda ve Tam sayılarda; sayılar eşit olamıyorlarsa en yakın değerleri almalıdır. DNA-7 a,b Gerçek sayılar olmak üzere; a+b = 5 ise a.b çarpımının en büyük değeri kaçtır? A)2 B)2,5 C)3 D)6 E)6,25 15

16 Toplamları 5 olan eģit iki Gerçel sayı için a=b=2,5 alınırsa; a.b=(2,5)(2,5)=6,25 bulunur. Doğru Seçenek E dir. GENETĠK KOPYA-7 a,b Gerçek sayılar olmak üzere; a+b = 8 ise a.b çarpımının en büyük değeri kaçtır? A)4 B)8 C)12 D)16 E)20 DNA-9 Çevreleri sabit dikdörtgenler içinde alanı en büyük olan karedir. Dikdörtgen Ģeklindeki bir bahçe 60m. uzunluğundaki tel ile çevrilecektir. Alanının en büyük değeri kaç olabilir? A)225 B)250 C)360 D)400 E)640 DNA-8 a = 3-x ve b = x+7 ise, a.b nin en büyük değeri kaçtır? A)16 B)25 C)36 D)49 E)68 a+b=(3-x)+(x+7)=10 a ve b nin toplamları x e bağlı olmayıp sabit olduğundan, çarpımlarının en büyük değeri alması için sayıların eģit olması gerekir. a+b=10 a=b= 10 = 5 olmalıdır. 2 a.b=5.5=25 çarpımın en büyük değeridir Doğru Seçenek B dir. GENETĠK KOPYA-8 x=a+9 ve y=5-a ise, x.y çarpımının en büyük değeri kaçtır? Çevre = 2a+2b = 60 a+b = 30 Alan = a.b Toplamı 30 olan iki sayının çarpımlarının en büyük olması istendiğinden, sayılar eģit olmalıdır. a=b= 30 2 =15 a.b =15.15 = 225 alanın en büyük değeridir. Doğru Seçenek A dır. GENETĠK KOPYA-9 Bir tarafı duvarla çevrili dikdörtgen Ģeklinde bir bahçe 60m uzunluğundaki tel ile çevrilecektir. Alanın en büyük değeri kaç olabilir? A)225 B)250 C)360 D)450 E)640 A)25 B)45 C)49 D)75 E)81 16

17 DNA-10 Bir kenarının tümü, diğer kenarının yarısı duvar örülmüģ kalan kısmı tel ile çevrili dikdörtgen bir bahçe yapılacaktır. 60m. uzunluğundaki tel ile çevrilecek alan en çok kaç m 2 olabilir? A)225 B)250 C)360 D)450 E)600 Tel kullanılacak kısmın uzunluğu; b+a+ b 2 = 3b 2 + a = 60 toplanan terimlerin eģit olması gerektiğinden; a=30, olur. 3b 2 = 30 3b = 60 b = 20 Alan =a.b=30.20=600 m 2. dir. Doğru Seçenek E dir. GENETĠK KOPYA-10 a, b doğal sayılar olmak üzere; a+b = 6 ise a 2.b nin en büyük değeri kaçtır? A)18 B)27 C)32 D)34 E)36 HAZĠNE-2 Çarpımları sabit iki doğal sayının toplamlarının en küçük olması için sayıların eģit (veya en yakın) olması gerekir. DNA-11 x,y N için x.y = 36 ise x+x.y+y ifadesinin en küçük değeri kaçtır? A)36 B)42 C)48 D)54 E)60 x ve y doğal sayılarının çarpımları sabit olduğundan,toplamlarının küçük olması için sayıların eģit olması gerekir. x.y =36 olduğundan ; x=6 ve y=6 alınır. x+x.y+y = = 48 bulunur. Doğru Seçenek C dir. GENETĠK KOPYA-11 Kenar uzunlukları tamsayı ve alanı alanı 25 birim kare olan bir dikdörtgenin çevresi en az kaç birim olabilir? A)10 B)12 C)15 D)20 E)25 DNA-12 x,y tamsayıları için: x.y=36 ise x+y toplamının en küçük değeri kaçtır? A)-37 B)-12 C)0 D)12 E)37 Çarpımları 36 olan tamsayıların toplamlarını alalım. (-1).(-36)=36 (-1)+(-36)=-37 (-2).(-18)=36-2)+(-18)=-20 (-3).(-12)=36-3)+(-12)= = = = = = =15 4.9=36 4+9=13 6.6=36 6+6=12 17

18 Görüldüğü gibi çarpanlar birbirine yaklaģtıkça toplamın mutlak değeri küçülmektedir. Çarpanlar negatif olabiliyorsa, toplamın en küçük değeri bu çarpanların toplamı ile bulunur. Soruda çarpanlar -1 ve -36 olarak alındığında elde edilen toplam en küçük olur. (-1).(-36)=36 (-1)+(-36)=-37 Doğru Seçenek A dır. GENETĠK KOPYA-12 x,y Z için, x.y=9 ise x+y toplamının en küçük değeri kaçtır? A)-10 B)-6 C)0 D)6 E)10 DNA-13 a, b ve c tamsayıları için, a.b=16 a.c=25 olduğuna göre, a+b+c toplamının en büyük değeri kaçtır? A)13 B)14 C)41 D)42 E)53 Her iki eģitliğin ortak çarpanı olan a yı en küçük aldığımızda, diğer çarpanlar büyük olacaktır. a=1 için; b=16 ve c=25 olur. a+b+c= =42 bulunabilecek en büyük değerdir. Doğru Seçenek D dir. GENETĠK KOPYA-13 a, b ve c tamsayıları için, a.b=20 a.c=24 olduğuna göre, a+b+c toplamının en küçük değeri kaçtır? DNA-14 a, b ve c pozitif tamsayıları için; a.b=18 a.c=24 olduğuna göre, a+b+c toplamının en küçük değeri kaçtır? A)-43 B)-42 C)0 D)13 E)43 Toplamın küçük olması için, a, b ve c nin küçük olması gerekir. a sayısı her iki çarpımda ortak olduğundan, a nın en büyük değeri olan 6 sayısı alınırsa, b ve c sayıları en küçük değerleri alırlar. 6.b=18 b=3 6.c=24 c=4 bulunur. a+b+c=6+3+4=13 olur. Doğru Seçenek D dir. GENETĠK KOPYA-14 x, y ve z doğal sayıları için, x.y.z=8 olduğuna göre, x+y+z toplamı en az kaçtır? A)5 B)6 C)7 D)8 E)9 DNA-15 a, b ve c doğal sayıları için, a-b=7 a-c=5 olduğuna göre, a+b+c toplamının en küçük değeri kaçtır? A)8 B)9 C)12 D)13 E)14 A)15 B)-15 C)-30 D)-45 E)-60 18

19 a-b=7 a=b+7 a-c=5 a=c+5 eģitliklerinde; a nın küçük olabilmesi için b ve c nin de küçük olması gerekir. b=0 seçilirse, a=0+7 ve a=7 a=c+5 eģitliğinden de 7=c+5 ve c=2 bulunur. a+b+c=7+0+2 olur. Doğru Seçenek B dir. GENETĠK KOPYA-15 a, b ve c pozitif tamsayıları için, a-b=7 a-c=5 olduğuna göre, a+b+c toplamının en küçük değeri kaçtır? A)8 B)9 C)12 D)13 E)14 GENETĠK KOPYA-16 T=(x+2) 2 +5 Ġfadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır? A)-2 B)2 C)3 D)5 E)7 DNA-17 Toplamları 72 olan üç farklı tamsayının en büyüğü, en az kaçtır? A)22 B)23 C)24 D)25 E)26 Sayıları eģit düģündüğümüzde; 72:3=24=a olur. Dağılım; a-1, a ve a+1 olarak Yapıldığında, a+1 istenen koģulu sağlar. a+1=24+1=25 bulunur. Doğru Seçenek D dir. DNA-16 A=8-(x-3) 2 ifadesi x in hangi gerçek değeri için en büyük olur? A)0 B)1 C)2 D)3 E)8 Farkın büyük olması için; (x-3) 2 ifadesi en küçük değerini almalıdır. x in gerçek değerleri için tam karenin alabileceği en küçük değer 0 dır. (x-3) 2 =0 x-3=0 x=3 bulunur. Doğru Seçenek D dir. GENETĠK KOPYA-17 Toplamları 47 olan üç tamsayının en küçüğü, en çok kaçtır? A)13 B)14 C)15 D)16 E)17 UYARI En küçük veya en büyük değer bulma sorularında kullanılan sayıların birbirine en yakın (eģit olabiliyorsa eģit değerleri) ve birbirinden en farklı değerleri denenmelidir. Tamkare ifadelerin her zaman pozitif değerler aldığı, alabileceği en küçük değerin sıfır olduğu unutulmamalıdır. 19

20 KONU TESTĠ 1. a ve b pozitif tamsayıları için; a+b=11 olduğuna göre 2a+3b toplamının en büyük değeri kaçtır? A) 22 B) 23 C) 26 D) 32 E) a ve b tam sayılar olmak üzere; (a-3) 2 +(b+1) 2 = 0 ise a + 2b toplamının değeri kaçtır? A) -1 B) 0 C) 1 D) 2 E) 3 2. Çarpımları iki basamaklı en büyük çift sayıya eģit olan iki doğal sayının toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır? A)20 B)21 C)34 D)51 E) tane kalem üç çocuğa dağıtılacaktır. Her çocuğun en az bir tane kalem aldığı bu dağıtımda en çok kalem alan çocuk en az kaç kalem alabilir? A)3 B)4 C)5 D)6 E)7 3. Ġki basamaklı en büyük pozitif çift tamsayı ile iki basamaklı en büyük negatif tek tamsayının toplamı kaçtır? 8. a,b doğal sayılar olmak üzere; a+b = 10 ise a.b çarpımının en büyük değeri kaçtır? A)5 B)10 C)20 D)25 E)50 A)87 B)88 C)97 D)98 E)99 4. a.b = 1200 ve b tek sayıdır. b nin en büyük değeri için, a+b toplamı kaç olur? 9. a,b doğal sayılar olmak üzere; a+b = 5 ise a.b çarpımının en büyük değeri kaçtır? A)2 B)3 C)5 D)6 E)10 A)91 B)243 C)324 D)432 E) a, b, c tamsayılar, a+b+c=12 olduğuna göre a 2 +b 2 +c 2 toplamının en küçük değeri kaçtır? 10. a ve b doğal sayıları için; a.b=16 ise, 1 a + 1 b toplamının en küçük değeri kaçtır? A)27 B)48 C)60 D)72 E)144 A) 1 16 B) 1 8 C) 1 4 D) 1 2 E) 1 20

21 11. x,y Z için, x.y=-16 ise x+y toplamının en küçük değeri kaçtır? A)-17 B)-15 C)0 D)15 E) A ve B ikiģer basamaklı iki tamsayı olmak üzere, A-B farkının en küçük değeri kaçtır? A)-198 B)-188 C)-108 D)-100 E) x ve y tamsayıları için, x+y=9 olduğuna göre x 2 +y 2 toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır? A)13 B)25 C)41 D)61 E) a ve b pozitif tamsayıları için; a+b=11 olduğuna göre 2a+3b toplamının en küçük değeri kaçtır? 1.D 2.E 3.A 4.A 5.B 6.C 7.C 8.D 9.D 10.D 11.B 12.C 13.B 14.D 15.A 16.A A) 22 B) 23 C) 24 D) 25 E) ĠkiĢer basamaklı iki doğal sayının farkı en çok kaçtır? A)100 B)99 C)90 D)89 E) A ve B ikiģer basamaklı iki tamsayı olmak üzere, A-B farkı en çok kaçtır? A)198 B)188 C)108 D)100 E)89 21

22 DOĞAL SAYILAR TANIM Sonlu kümelerin bire-bir eģleme bağıntısına göre ortaya çıkan denklik sınıflarından her birine bir doğal sayı denir. N = { 0, 1, 2, 3,, n, n+1, n+2, } Kümesinin elemanları birer doğal sayıdır. Hiç elemanı olmayan kümeler denktir. Denklik sınıfı 0 doğal sayısı ile gösterilir. Bir elemanlı kümeler denktir. Denklik sınıfları 1 doğal sayısı ile gösterilir. Ġki elemanlı kümeler denktir. Denklik sınıfları 2 doğal sayısı ile gösterilir. n elemanlı kümeler denktir. Denklik sınıfları n doğal sayısı ile gösterilir. IġIK-1 Herhangi iki veya daha fazla doğal sayının toplamı her zaman bir doğal sayıdır. Herhangi iki veya daha fazla doğal sayının çarpımı her zaman bir doğal sayıdır. ÇĠFT SAYILAR: N Ç = { 0, 2, 4, 6,, 2n, 2n+2, 2n+4, } En küçük çift Doğal sayı 0 dır. TEK SAYILAR: N T = { 1,3,5,7,, 2n-1, 2n+1, 2n+3, } En küçük tek doğal sayı 1 dir. Doğal sayılar kümesinin alt kümelerini ve özelliklerini inceleyelim. SAYMA SAYILARI : (Pozitif tamsayılar) N = { 1, 2, 3,, n, n+1, n+2, } Kümesinin elemanları birer sayma sayısıdır. En küçük sayma sayısı 1 dir. ARDIġIK SAYILAR n bir doğal sayı göstermek üzere; n, n+1, n+2, Ģeklindeki sayılara ArdıĢık doğal sayılar denir. Genel olarak; n bir tamsayı göstermek üzere; ardıģık çift sayılar 2n, 2n+2, 2n+4,. Ģeklinde, ardıģık tek sayılar 2n+1, 2n+3, 2n+5, Ģeklinde gösterilir. 22

23 DNA-1 ArdıĢık üç doğal sayıdan en küçüğü ile en büyüğünün toplamı 36 iken, bu üç sayının toplamı kaçtır? A)18 B) 36 C)45 D)54 E) 63 ArdıĢık doğal sayıları; n, n+1, n+2 Ģeklinde gösterdiğimizde en küçüğü n, en büyüğü n+2 olduğundan n + n+2 =36 verilmiģ. 2n+2 = 36 2n = 34 n =17 bulunur. Sayılar : 17, 18 ve 19 dur. Toplamları: =54 bulunur. Doğru Seçenek D dir. GENETĠK KOPYA-1 ArdıĢık üç çift doğal sayının toplamı 72 ise, en büyüğü kaçtır? A)22 B)24 C)26 D)28 E)36 Toplamlara baktığımızda; Ortadaki sayı ile terim sayısının çarpımının sonucu verdiğini görebiliriz. Ortadaki sayı; en küçük terim ile en büyük terimin toplamının yarısıdır. Yeni bir hazine bulunmuģtur. HAZĠNE-1 ArdıĢık ilk n tane Sayma sayısının toplamı; toplamdaki son sayı ile ardıģığının çarpımının yarısına eģittir n = n(n+1) 2 DNA Toplamının sonucu kaçtır? A) 1000 B) 1050 C)5000 D)5050 E)6000 ArdıĢık doğal sayıların toplamının bulunması pek çok soruda karģımıza çıkacağından, bunu kısa yoldan bulmanın yollarını arayalım. ĠĢe 1 den baģlayarak ardıģık sayma sayılarının toplamı ile baģlayalım. 1=1 1+2=3= 1, =6= =10=2, =15= =21=3, =28=4.7.. HAZĠNE-1 den; son sayı 100, ardıģığı 100+1=101 olduğundan istenen toplam; = 100(100+1) 2 = = 5050 dir. Doğru Seçenek D dir. GENETĠK KOPYA Toplamının sonucu kaçtır? A)50 B)55 C)60 D)75 E)100 23

24 HAZĠNE-2 a, (a+r), (a+2r), (a+3r),, (a+nr) Ģeklindeki dizilere Aritmetik dizi denir. r: Ortak fark Son terim Ġlk terim n+1: Terim sayısı = Ortak fark İlk terim +Son terim Ortadaki sayı = Bir aritmetik dizinin tüm terimlerinin toplamı: TOPLAM = 0rtadaki sayı x Terim sayısı DNA Toplamının sonucu kaçtır? A)2500 B)2640 C)2860 D)2900 E)3210 D)1440 E)1500 UYARI Ortadaki sayı, toplanan terimlerden biri olmayabilir. DNA Toplamının sonucu kaçtır? A)150 B)155 C)165 D)175 E)200 Ġstenen toplam; = = 9(9+1) 2 = = = = = = 165 olur. Doğru Seçenek C dir. Toplam = ilk terim +son terim Ortak fark = r = 3 2. (terim sayısı) YADA!!! Ortadaki sayı= ilk say ı+son say ı son terim ilk terim Terim sayısı = ortak fark 2 = =15 Terim sayısı = son terim ilk terim ortak fark + 1 = = 11 Terim sayısı = = 40 Toplam = GENETĠK KOPYA Toplamının sonucu kaçtır? + 1 = = = = Doğru Seçenek C dir. Toplam=Ortadaki sayıxterim sayısı =15.11=165 Tercih sizin GENETĠK KOPYA Toplamının sonucu kaçtır? A)2500 B)2550 C)2600 D)2650 E)2700 A)1230 B)1320 C)

25 DNA Toplamının sonucu nedir? A)20000 B)20100 C)20200 D)20300 E)20400 Toplamdaki sayılar 4 ün katı olduğundan 4 parantezine alınabilir =4( ) Parantez içindeki toplam DNA-2 de bulunmuģtu. Bu durumda; =4( ) =4. 100(100+1) 2 = = =20200 olacaktır. Doğru Seçenek C dir. YADA!!! Ortadaki sayı = =202 ilk say ı+son say ı 2 = DNA-6 0, irrasyonel sayısında 0 dan sonraki onikinci 2 den önce yazılan 1 lerin toplamı kaçtır? A)12 B)24 C)48 D)78 E)96 Verilen Ġrrasyonel sayıda; 2 rakamlarının önünde sırasıyla, 1 tane, 2 tane, 3 tane,, 12 tane 1 bulunmaktadır. Soruda bizden istenen toplam: toplamıdır = 12(12+1) = 78 bulunur. 2 Doğru Seçenek D dir. GENETĠK KOPYA-6 son terim ilk terim Terim sayısı = ortak fark + 1 = = 100 Toplam=Ortadaki sayıxterim sayısı = =20200 En alt sırasında 15 tane bidon bulunan Ģekildeki gibi bir istifte, toplam kaç bidon vardır? Tercihini yapamayanlar için A)120 B)125 C)130 D)145 E)150 GENETĠK KOPYA Toplamının sonucu kaçtır? A)2525 B)25250 C) D) E)

26 DNA-7 ArdıĢık ilk n sayma sayısının toplamını veren sayılara Üçgen sayılar denir n= n(n+1) 2 n( n 1) n N + için Ģeklinde yazılabilen 2 sayılardır. 1, 3, 6, 10, 15,... gibi. AĢağıdaki sayılardan hangisi üçgen sayıdır? DNA-8 {1}, {2,3}, {4,5,6}, küme dizisindeki 100. kümenin : en büyük elemanı kaçtır? A)100 B)500 C)5000 D)5050 E)6000 Kümelerin en büyük elemanlarına dikkat edildiğinde; 1. Kümede 1 2. Kümede 3 3. Kümede 6 birer üçgen sayı olduğu görülür. Bu durumda 100. kümenin en büyük elemanı da 100. Üçgen sayı yani ilk 100 sayma sayısının toplamı olan; A)16 B)24 C)32 D)36 E)48 Üçgen sayılar, n N + için; Ģeklinde yazılabilen sayılardır. n N + için; n(n+1) 2 n(n+1) =2.36=72=8.9 n=8, n+1=9 =36 n(n+1) 2 100(100+1) 2 = = 5050 dir. Doğru Seçenek D dir. GENETĠK KOPYA-8 {1}, {2,3}, {4,5,6}, küme dizisindeki 100. kümenin : en küçük elemanı kaçtır? A)100 B)4950 C)4951 D)5050 E)6000 Seçeneklerde; iki katı, ardıģık iki doğal sayının çarpımı olan 36 aranan sayıdır. Doğru Seçenek D dir. GENETĠK KOPYA n=66 ise, n doğal sayısı kaçtır? IġIK-2 n tane ardıģık doğal sayının toplamının n e bölümü (aritmetik ortası) dizinin ortasındaki sayıyı verir. A)10 B)11 C)12 D)13 E)14 26

27 DNA-9 ArdıĢık beģ doğal sayının toplamı 400 ise bu sayılardan en büyüğü kaçtır? GENETĠK KOPYA-10 ArdıĢık 9 tane tamsayının toplamı 9 ise, bu sayılardan en büyüğü kaçtır? A)79 B)80 C)81 D)82 E)83 A)4 B)5 C)6 D)7 E)8 Aritmetik orta = Toplam = 400 = 80 Terim say ısı 5 Aritmetik orta = Ortadaki terim = 80 78, 79, 80, 81, = 82 sayıların en büyüğüdür. Doğru Seçenek D dir. GENETĠK KOPYA-9 11 tane ardıģık pozitif tamsayının toplamı 2002 ise en küçüğü kaçtır? A)176 B)177 C)178 D)182 E)187 DNA-11 n ve m pozitif tamsayılar olmak üzere: n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+ +(n+m)=1000 ise; n+m toplamı kaçtır? A)15 B)45 C)60 D)70 E)85 Toplamda; m+1 tane n ve m toplamı olduğundan; (m+1)n+ m(m+1) 2 = (m+1)n+m(m+1) = 2000 DNA-10 ArdıĢık 17 tane tamsayının toplamı 17 dir. Bu sayıların çarpımı kaçtır? A)-170 B)-17 C)0 D)17 E)170 Aritmetik orta = Toplam = 17 = 1 Terim say ısı 17 Aritmetik orta = Ortadaki sayı = 1 (m+1)(2n+m) = 2000 = m+1 çift, 2n+m tek olacağından; m+1 = 2 4 = 16 m = 15 2n+m = 5 3 = 125 2n = 110 n = 55 n+m = = 70 bulunur. Doğru Seçenek B dir. UYARI n ve m pozitif tam sayılar olmak üzere; n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+ +(n+m)= m+1 (2n+m) 2, -2, -1, 0, 1, 2, 3, Ortadaki sayı 1 olduğundan, sayılardan biri de 0 sayısıdır. Tüm sayıların çarpımında, çarpanlardan biri sıfır olduğundan, çarpım sıfır olur. Doğru Seçenek C dir. GENETĠK KOPYA-11 n bir doğal sayı olmak üzere, 63 sayısı, 63=n+(n+1)+ +(n+k) biçiminde ardıģık doğal sayıların toplamı olarak yazıldığında, n=8 ise, k kaçtır? A)3 B)4 C)5 D)6 E)7 27

28 DNA tane ardıģık pozitif tamsayının toplamı 7 4 olduğuna göre, bu sayılardan en küçüğü kaçtır? A) 24 B) 25 C) 26 D) 27 E) 28 Aritmetik orta = Toplam = 74 = Terim say ısı = 49 Aritmetik orta = Ortadaki terim = 49 0rtadaki terim 49 olduğundan, kendisinden küçük 24 teri, kendisinden büyük 24 terim bulunur. Sayılardan en küçüğü; 49-24=25 olur. Doğru Seçenek B dir. GENETĠK KOPYA n = 10n EĢitliğini geçekleyen n doğal sayısı kaçtır? A)15 B)16 C)17 D)18 E)19 GENETĠK KOPYA-13 n bir doğal sayı olmak üzere; 1 den n ye kadar doğal sayıların toplamı A, 5 ten n ye kadar doğal sayıların toplamı B ile gösteriliyor. A+B=370 ise A nın değeri kaçtır? A)176 B)180 C) 184 D)190 E)192 DNA =K olarak veriliyor. Karesi alınan sayılar birer azaltılırsa toplamın sonucu kaç olur? A)K-10 B)K-19 C)K-90 D)K-100 E)K-101 Karesi alınan sayılardan birer çıkarıldığında toplam; (1-1) 2 +(2-1) 2 +(3-1) 2 + +(10-1) 2 = Ģekline dönüģür ki bu toplam K dan 10 2 =100 noksandır. Doğru Seçenek D dir. DNA =2550 olduğuna göre, toplamının sonucu kaçtır? A)2400 B)2450 C)2500 D)2550 E) = n(n+1) 2 = GENETĠK KOPYA =A olarak veriliyor. Karesi alınan sayılar birer artırılırsa toplamın sonucu kaç olur? A)A+121 B)A+120 C)A+11 D)A+10 E)A+1 ( )+( )=5050 ( )+(2550)= = =2500 olur. Doğru Seçenek C dir. 28

29 DNA-15 A= n(n+1) B= (n+1)(n+2) n=10 için B nin A türünden eģiti aģağıdakilerden hangisidir? A)A+132 B)A+130 C)A+12 D)A+10 E)12.A n=10 için; A= B= olur. B sayısı, A dan; fazladır. B=A+130 olur. Doğru Seçenek B dir. GENETĠK KOPYA-15 T = Toplamının her bir teriminin birinci çarpanı 1 azaltılırsa, T sayısı ne kadar azalır? A)79 B)80 C)81 D)82 E)83 DNA ĠĢleminin sonucu kaçtır? A)-11 B)-10 C)-9 D)-8 E) ĠĢleminde gruplandırma yaparsak; =(1-2)+(3-4)+(5-6)+. +(19-20) =(-1)+(-1)+(-1)+ +(-1) 20 tane terimde, ikiģerli 10 grup olacağından, =10(-1)=-10 bulunur. Doğru Seçenek B dir. GENETĠK KOPYA ĠĢleminin sonucu kaçtır? A)100 B)99 C)51 D)50 E)49 DNA ĠĢleminin sonucu kaçtır? A)35 B)45 C)55 D)65 E)75 a 2 -b 2 =(a-b)(a+b) özdeģliğinden; =(10-9)(10+9)=1.19= =(8-7)(8+7)=1.15= =(6-5)(6+5)=1.11= =(4-3)(4+3)=1.7= =(2-1)(2+1)=1.3=3 olduğundan = bulunur. Ortadaki terim (aritmetik orta)=11 Terim sayısı=5 olduğundan, toplamın sonucu; 11.5=55 tir. Doğru Seçenek C dir. IġIK-3 ArdıĢık iki doğal sayıdan, büyüğünün karesi ile küçüğünün karelerinin farkı, sayıların toplamına eģittir =(21-20)(21+20)=1.41= =(75-74)(75+74)=1.149=149 gibi GENETĠK KOPYA ĠĢleminin sonucu kaçtır? A)-210 B)-190 C)-180 D)-160 E)

30 IġIK-4 ArdıĢık ilk n çift sayma sayısının toplamı: n n n 1 dir. IġIK-5 ArdıĢık ilk n tek sayma sayısının toplamı: n 1 n dir. DNA-18 ArdıĢık ilk 40 pozitif çift tamsayının toplamı A, ardıģık ilk 40 pozitif tek tamsayının toplamı B ise, A-B farkı kaçtır? A) 0 B) 1 C) 40 D) 400 E) 720 A= n=80 ise n=40 olduğundan; A=n(n+1)=40(40+1)=40.41=1640 B= n-1=79 ise n=80 olduğundan; B=n 2 =40 2 =1600 A-B= =40 bulunur. Doğru Seçenek C dir. YADA!!! Toplamında; 40 tane tek, 40 tane çift pozitif tamsayı vardır. ĠkiĢerli gruplandırdığımızda; (1+2)+(3+4)+(5+6)+ +(79+80) Her grupta fark 1 olup, 40 grup vardır. A-B=40.1=40 olur. 2 GENETĠK KOPYA ĠĢleminin sonucu kaçtır? A)250 B)2401 C)2500 D)2601 E)5000 DNA-19 n N için, n 2 Ģeklindeki sayılara Kare sayılar denir. 0, 1, 4, 9, 16, gibi. ArdıĢık ilk 100 doğal sayıdan kaç tanesi kare sayıdır (tam karedir)? A)8 B)9 C)10 D)11 E) =0, 1 2 =1, 2 2 =4, 3 2 =9,, 9 2 =81, 10 2 =100 olduğundan, Ġlk 100 doğal sayı içinde; 0, 1, 4, 9, 16,, 81 olmak üzere 10 tane kare sayı vardır. Doğru Seçenek C dir. GENETĠK KOPYA-19 AĢağıdaki sayılardan hangisi ardıģık iki üçgen sayının toplamı değildir? A)4 B)9 C)16 D)25 E)75 30

31 KONU TESTĠ 1. AĢağıdakilerden hangisi ardıģık üç doğal sayının toplamı olamaz? 6. On bir tane ardıģık tamsayının toplamı 2002 ise en büyüğü kaçtır? A)176 B)177 C)178 D)182 E)187 A)48 B)63 C)75 D)82 E)96 2. ArdıĢık üç doğal sayının en küçüğü ile en büyüğünün toplamı 88 dir. Bu üç sayının toplamı kaçtır? n 125 EĢitsizliğini sağlayan en büyük n doğal sayısı kaçtır? A)14 B)15 C)16 D)17 E)18 A)130 B)131 C)132 D)134 E) ArdıĢık 13 tane tamsayının toplamı 13 tür. Bu sayıların en büyüğü kaçtır? A)6 B)7 C)8 D)9 E)10 8. ArdıĢık 2008 tane tamsayının çarpımı 0 dır. Bu sayılardan en büyüğü en çok kaçtır? A)2010 B)2009 C)2008 D)2007 E) n=a olduğuna göre, n+(n+1)+(n+2)+ +2n toplamının A türünden eģiti aģağıdakilerden hangisidir? A)A B)2A C)3A D)A 2 E)A 3 9. a, b ve c ardıģık üç doğal sayı, a 2 +b 2 =c 2 ise a+b+c toplamı kaçtır? A)7 B)12 C)15 D)18 E)24 5. n bir doğal sayı olmak üzere, 45 sayısı; n+(n+1)+(n+2)+ +(n+k)=45 biçiminde ardıģık doğal sayıların toplamı olarak yazıldığında, k nın alabileceği en büyük değer kaçtır? 10. ( ):11 ĠĢleminin sonucu kaçtır? A)7 B)9 C)11 D)18 E)24 A)4 B)5 C)8 D)9 E)14 31

32 11. ( ):( ) ĠĢleminin sonucu kaçtır? A)2 B)4 C)6 D)8 E) A=12 11 ve B=11 12 sayıları için aģağıdakilerden hangisi çift sayıdır? A) A-B B) A+B C) (A+1)B D) (A-1)B E)A.B 12. ( )- ( ) ĠĢleminin sonucu kaçtır? A)3 B)6 C)9 D)2003 E)2004 YANITLAR 13. a,b,c,d ardıģık dört tek sayı olmak üzere; a<b<c<d için (a-b)(c-d)(a-d)(b-c) iģleminin sonucu kaçtır? 1.D 2.C 3.B 4.C 5.D 6.E 7.B 8.D 9.B 10.D 11.A 12.C 13.E 14.B 15.E 16.E A)16 B)24 C)32 D)40 E) ArdıĢık üç pozitif tamsayının çarpımı, toplamlarının 21 katıdır. Bu sayıların toplamı kaçtır? A)23 B)24 C)25 D)26 E) n doğal sayısının ardıģığı ( n den sonra gelen doğal sayı) n* ile gösterildiğine göre ; (3.4*)* sayısının ardıģığı kaçtır? A) 13 B) 14 C) 15 D) 16 E) 17 32

33 KONU TESTĠ 1. ArdıĢık ilk 100 pozitif tam sayının karelerinin toplamı A dır. ArdıĢık ilk 100 pozitif çift tam sayının karelerinin toplamı aģağıdakilerden hangisidir? 5. ArdıĢık dört çift sayının toplamı aģağıdakilerden hangisi olamaz? A)84 B)100 C)116 D)132 E)144 A) 2.A B) 4.A C) 2.A 2 D) 4.A 2 E) 200.A 2. 1 den 55 e kadar olan tamsayılar soldan sağa doğru yazılarak N= Ģeklinde 101 basamaklı bir N sayısı oluģturuluyor. Buna göre, N nin soldan 55. rakamı kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 6 E) 9 6. ArdıĢık beģ tek sayının toplamı 165 olduğuna göre, bu sayılardan en büyüğü kaçtır? A)33 B)35 C)37 D)39 E)41 7. ArdıĢık üç tek sayının toplamı, üç basamaklı bir doğal sayıdır. Bu sayılardan en küçüğü en az kaçtır? A)33 B)35 C)37 D)39 E) Toplamının değeri kaçtır? A)663 B)695 C)717 D)771 E) =T ise toplamının T türünden eģiti aģağıdakilerden hangisidir? A)T B)2.T C)T+25 D)T+50 E)T ArdıĢık altı doğal sayıdan son dördünün toplamı 62 olduğuna göre, ilk dördünün toplamı kaçtır? A)54 B)55 C)56 D)57 E)58 9. ArdıĢık dokuz tek sayının toplamı 873 olduğuna göre, bu sayıların en büyüğü kaçtır? A)87 B)91 C)97 D)107 E)109 33

34 10. a, b ve c ardıģık üç çift sayı olup, a<b<c dir. Buna göre; (a-b)+(a-c)+(b-c) toplamı kaçtır? A)-10 B)-8 C)-6 D)-4 E) Toplamının değeri kaçtır? A)416 B)425 C)432 D)441 E) Ġfadesinde, tek sayıların her biri 1 artırılır, çift sayıların her biri 2 azaltılırsa toplamdaki değiģme için aģağıdakilerden hangisi doğrudur? Toplamının değeri kaçtır? A)800 B)820 C)830 D)840 E)850 A)100 azalır. B)50 azalır. C)değiĢmez. D)50 artar. E)100 artar. 12. ArdıĢık yedi tamsayının, en küçüğü ile en büyüğünün toplamı 24 olduğuna göre, bu yedi sayının toplamı kaçtır? 1.B 2.B 3.D 4.A 5.E 6.C 7.A 8.D 9.D 10.B 11.B 12.E 13.C 14.B 15.A 16.E A)60 B)66 C)72 D)78 E) ArdıĢık beģ çift sayının toplamı 100 ise, bu sayıların en büyüğü ile en küçüğünün toplamı kaçtır? A)36 B)38 C)40 D)42 E) n = 190 ise, n kaçtır? A)18 B)19 C)20 D)21 E)22 34

35 BASAMAK ANALĠZĠ RAKAMLAR Doğal sayılar kümesinin alt kümelerinden biri olan; { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } kümesine Rakamlar kümesi, bu kümenin elemanlarına da Rakam denir. Rakamlar, Onluk sistemde sayıları yazmak için kullanılan sembollerdir. UYARI Rakamlar, birer doğal sayıdır. Sayılar, rakamların bir arada yazılması ile oluģturulur. 304 ; -12 ; 4,5 ; 29 ; 22 7 birer sayıdır. DNA-1 a ve b birer rakam olmak üzere; 3a+2b=22 ise, a+b toplamının alabileceği kaç farklı değer vardır? A)1 B)2 C)3 D)4 E)5 Bu tip sorularda; değiģkenlerden birine uygun değerler verilerek diğeri bulunur. 2b ve 22 çift olduğundan, a ya en küçük çift sayı değeri vermekle baģlayalım. a=0 için; 3.0+2b=22 ve b=11 olur. b=11 bir rakam değildir, alınmaz. a=2 için; 3.2+2b=22 ve b=8 a=4 için; 3.4+2b=22 ve b=5 a=6 için; 3.6+2b=22 ve b=2 a=8 için; 3.8+2b=22 ve b=-1 b=-1 bir rakam değildir, alınmaz. a+b toplamı; 2+8=10, 4+5=9 ve 6+2=8 olmak üzere 3 farklı değer alır. Doğru Seçenek C dir. UYARI Soruda; a nın aldığı değerler, b nin katsayısı olan 2 Ģer, 2 Ģer artarken, b nin aldığı değerler, a nın katsayısı olan 3 er, 3 er azalmaktadır. GENETĠK KOPYA-1 a ve b birer rakam olmak üzere; a+b=12 ise, a nın alabileceği kaç farklı değer vardır? A)4 B)5 C)6 D)7 E)8 DNA-2 x, y ve z farklı rakamlar olmak üzere; 4x-3y+z ifadesinin alabileceği en büyük ve en küçük değerlerin toplamı kaçtır? A)18 B)26 C)44 D)52 E)80 x ve z büyük (x in katsayısı büyük olduğundan, x en büyük) y küçük alındığında ifade büyük değer alacağından; x=9, y=0, z=8 alınırsa =44 en büyük değerdir. x ve z küçük (x in katsayısı büyük olduğundan, x en küçük) y büyük alındığında ifade küçük değer almaktadır. x=0, y=9, z=1 alınırsa =-26 en küçük değeridir. En büyük ve en küçük değerlerin toplamı 44+(-26)=44-26=18 dir. Doğru Seçenek A dır. 35

36 GENETĠK KOPYA-2 a, b ve c farklı rakamlar olmak üzere; a+2b-3c ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır? A)24 B)25 C)26 D)27 E)28 DNA-3 a ve b birer rakam olmak üzere; 2a-3b=0 ise, Yazılabilecek en büyük ab iki basamaklı sayısı kaçtır? Genel olarak; Soldaki ilk basamağa; 0 dıģında 9 rakamdan birini, yanındaki basamağa; 10 rakamdan birini, yanındaki basamağa; yine 10 rakamdan birini yazabiliriz. Matematiğin en önemli kurallarından biri olan, çarpmanın temel ilkesi gereği, yazılabilecek sayıların adedi; dur. A)32 B)64 C)96 D)97 E)98 Öncelikle; 2a-3b=0 eģitliğinde, a ya verilecek değerler 3 ün katları, b nin değerleri de 2 nin katları olacaktır. ab sayısını en büyük olması için; a büyük, b büyük olmalıdır. a nın alabileceği en büyük değer 9, a nın bu değeri için de b=6 olur. ab=96 yazılabilecek en büyük sayıdır. Doğru Seçenek C dir. GENETĠK KOPYA-3 a ve b birer rakam olmak üzere; 3a=4b eģitliğini gerçekleyen kaçtane iki basamaklı ab sayısı yazılabilir? A)1 B)2 C)3 D)4 E)5 Sayıları oluģturmaya baģlamıģ iken, kaçar tane sayı yazılabileceğine de bir göz atalım. Bir basamaklı; 10 tane doğal sayı, 9 tane sayma sayısı, Ġki basamaklı; 90 tane doğal sayı, Üç basamaklı; 900 tane doğal sayı, Dört basamaklı; tane doğal sayı yazılabilir. DNA-4 Üç basamaklı, rakamları farklı kaç tane abc doğal sayısı yazılabilir? A)9OO B)800 C)720 D)648 E)600 Soldaki ilk basamağa; 0 dıģında 9 rakamdan birini yazabiliriz. Ortadaki basamağa; a yerine yazılan rakam dıģında geriye kalan 9 rakamdan birini yazabiliriz. Son basamağa; a ve b yerine yazılan iki rakam dıģında kalan 8 rakamdan biri yazılabilir. Sonuç olarak: 9.9.8=648 tane üç basamaklı, rakamları farklı doğal sayı vardır. Doğru Seçenek D dir. GENETĠK KOPYA-4 Ġki basamaklı kaç tane çift doğal sayı yazılabilir? A)50 B)45 C)40 D)36 E)35 36

37 DNA sayfalık bir kitabın sayfalarını numaralandırmak için kaç tane rakam kullanılır? A)15512 B)1521 C)1543 D)1598 E)1629 Bir basamaklı 9 tane sayma sayısı, Ġki basamaklı 90 tane sayma sayısı olduğundan; 9+90=99 sayfa bir ve iki basamaklı sayılar ile numaralandırılır =444 sayfa üç basamaklı sayılar ile numaralandırılmıģtır. Bir basamaklı sayılarda: 9.1=9 Ġki basamaklı sayılarda: 90.2=180 Üç basamaklı sayılarda: 444.3=1332 tane rakam kullanılır. Toplam: =1521 rakam kullanılır. Doğru Seçenek C dir. GENETĠK KOPYA sayfalık bir kitabın sayfalarını numaralandırırken 4 rakamı kaç kez kullanılır? A)10 B)18 C)19 D)20 E)21 HAZĠNE-1 a i ler birer rakam, n sayma sayısı göstermek üzere; her A doğal sayısı A = a 10 +a a 10+a n n n 1 n IġIK-1 a, b, c, d birer rakam, a 0 olmak üzere; Ġki basamaklı doğal sayılar; ab = 10.a+b a onlar, b birler basamağıdır. Üç basamaklı doğal sayılar; abc = 100.a+10.b+c a yüzler, b onlar, c birler basamağıdır. Dört basamaklı doğal sayılar; abcd = 1000.a+100.b+10.c+d a binler, b yüzler, c onlar, d birler basamağı olarak adlandırılır ve çözümlenir. ab0 üç basamaklı sayısı; ab.10 abc üç basamaklı sayısı; abc = ab0 + c =ab.10 + c veya abc = a00 + bc = a.100 +bc biçimlerinde de gruplandırılabilir. Örneğin; abcd = ab00 + cd = 100.ab + cd gibi. SAYI DEĞERĠ Bir doğal sayının yazılıģında; rakamın bulunduğu basamağa bağlı olmadan tek baģına gösterdiği değere, bu rakamın sayı değeri denir. BASAMAK DEĞERĠ Rakamların bulundukları basamaklara göre aldığı değere, bu rakamın basamak değeri denir. biçiminde gösterilebilir. Bu gösterime A doğal sayısının çözümlenmiģ Ģekli denir. A = a n a n-1 a 1 a 0 doğal sayısı n+1 basamaklı bir doğal sayıdır. 678 = = sayısında; 6, 7 ve 8 rakamların sayı değerleri, 600, 70 ve 8 rakamların basamak değerleridir. 37

38 IġIK-2 Bir sayıyı oluģturan rakamların basamak değerleri toplamı, sayının kendisini verir = = , 3, 4 ve 5 rakamların sayı değerleri, 2000, 300, 40 ve 5 rakamların basamak değerleridir = = = = = = = biçimlerinde de gruplara ayrılabilir. DNA-6 Kendisini oluģturan rakamların, sayı değerlerinin çarpımı 40 olan dört basamaklı en küçük doğal sayının birler basamağı kaçtır? A)O B)1 C)2 D)5 E)8 abcd dört basamaklı doğal sayısında; a.b.c.d=40 verilmiģtir. Sayının küçük olması istendiğinden; soldaki basamaktaki rakamların sayı değerlerinin küçük olması gerekir. 40= = = yazılımlarından; a=b=1, c = 5, d = 8 alınırsa ; abcd = 1158 olacaktır. Birler basamağındaki rakam 8 dir. Doğru Seçenek E dir. GENETĠK KOPYA-6 Kendisini oluģturan rakamların, sayı değerlerinin toplamı 20 olan dört basamaklı en büyük doğal sayının onlar basamağında hangi rakam kullanılır? A)0 B)1 C)2 D)3 E)4 DNA-7 3,4,5,6,7 rakamları birer kez kullanılarak yazılan abcde beģ basamaklı sayısında; a+b=d+e dir. Bu koģullara uyan kaç tane abcde sayısı yazılabilir? A)4 B)12 C)18 D)24 E)28 KoĢula uygun rakam gruplarını bulalım. 4+7= = =4+5 Ģeklinde üç ana grup oluģturulabilir. Ġlk grup için; c yerine kullanılmayan 3 ü yazar, soluna 47 veya 74, sağına 56 veya 65 olmak üzere 4 farklı sayı, soluna 56 veya 65, sağına 47 veya 74 olmak üzere 4 farklı sayı yazılabileceğinden toplam 8 sayı vardır. Diğer iki grup için de benzer iģlemlerle 8 er sayı yazılabileceğinden, 8+8+8=24 sayı yazılabilir? Doğru Seçenek D dir 38

39 GENETĠK KOPYA-7 1,2,3,4 rakamları birer kez kullanılarak yazılan abcd dört basamaklı sayısında; a+b=c+d dir. Bu koģulara uygun yazılabilecek en küçük abcd sayısında b+c toplamı kaçtır? A)3 B)4 C)5 D)6 E)7 DNA-8 abc üç basamaklı sayısında; a nın sayı değeri 1 artırılır, b nin sayı değeri 1 azaltılır ve c nin sayı değeri 2 artırıldığında; abc sayısının değeri kaç artar? A)112 B)108 C)102 D)92 E)88 abc=100.a+10.b+c dir. (a+1).100+(b-1).10+c+2 =100.a b-10+c+2 =100.a+10.b+c =abc+92 Sayının değeri 92 artmıģtır. Doğru Seçenek D dir. GENETĠK KOPYA-8 abc üç basamaklı sayısında; a, b ve c nin sayı değerleri 2 Ģer artırıldığında, abc sayısının değeri kaç artar? A)2 B)22 C)188 D)200 E)222 DNA-9 abab dört basamaklı sayısı, ab iki basamaklı sayısının kaç katıdır? A)10 B)11 C)100 D)101 E)110 abab=1000.a+100.b+10.a+b =1010.a+101.b =101(10.a+b) =101.ab abab sayısı, ab sayısının 101 katıdır. Doğru Seçenek D dir. GENETĠK KOPYA-9 aaa üç basamaklı sayısı, a nın kaç katıdır? A)11 B)100 C)110 D)111 E)121 DNA-10 ab ve ba iki basamaklı doğal sayıları için; ab+ba=132 olduğuna göre, ab sayısının en büyük değeri için a.b çarpımı kaçtır? A)81 B)72 C)54 D)36 E)27 Sayıları çözümlediğimizde; ab+ba= a+b+10.b+a= a+11.b=132 11(a+b)=132 a+b=12 bulunur. a=9 ve b=3 için aranan koģullar sağlanır ab=93 yazılabilecek en büyük sayıdır. a.b=9.3=27 olur. Doğru Seçenek E dir. 39

40 GENETĠK KOPYA-10 ab ve ba iki basamaklı doğal sayıların toplamı aģağıdakilerden hangisi olamaz? A)11 B)22 C)33 D)44 E)55 DNA-12 ab iki basamaklı bir doğal sayı, x bir gerçel sayı olmak üzere: a.x = 94 ve b.x = 141 ise ab.x çarpımı kaçtır? A)1024 B) 1081 C)1212 D)1425 E)1437 DNA-11 xy ve yx iki basamaklı doğal sayılar, xy+yx = 66 ise xy-yx farkı en çok kaçtır? A)12 B)18 C)24 D)36 E)44 xy = 10.x+y yx = 10.y+x olarak çözümlendiğinde; xy+yx=(10.x+y)+(10.y+x)=11(x+y)=66 x+y=6 bulunur. xy-yx=(10.x+y)-(10.y+x)=9(x-y) farkının büyük olması istenmektedir. x in büyük, y nin küçük olması gerekir. Toplamları 6 olan iki rakamdan x =5 ve y =1 için aranan koģullar sağlanır. xy=51 ve yx=15 olmalıdır. xy-yx=51-15=36 aranan en büyük farktır. Doğru Seçenek D dir. GENETĠK KOPYA-11 ab ve ba iki basamaklı doğal sayılar arasındaki fark aģağıdakilerden hangisi olamaz? A)9 B)18 C)27 D)36 E)46 ab=10.a+b çözümlemesi kullanıldığında; ab.x = (10.a+b)x = 10.a.x+b.x bulunur. a.x = 94 ve b.x = 141 yazılırsa ab.x = = = 1081 olur. Doğru Seçenek B dir. GENETĠK KOPYA-12 ab iki basamaklı bir doğal sayı, x bir gerçel sayı olmak üzere: a.x = 52 ve b.x = 91 ise ab.x çarpımı kaçtır? A)143 B)438 C)611 D)4732 E)5291 DNA-13 ab iki basamaklı sayısının rakamları yer değiģtirildiğinde, elde edilen iki basamaklı sayının değeri, verilen sayıdan 27 fazla olmaktadır. b-a farkı kaçtır? A)2 B)3 C)4 D)5 E)6 Önce sözlü ifadeyi eģitlik halinde yazalım; ba sayısı, ab sayısından 27 fazla ise ba=ab+27 yazılabilir. Çözümleme yapıldığında; 10.b+a=10.a+b+27 9.b-9.a=27 9(b-a)=27 b-a=3 bulunur. Doğru Seçenek B dir. 40

41 GENETĠK KOPYA-13 ab iki basamaklı sayısının rakamları yer değiģtirildiğinde, elde edilen iki basamaklı sayının değeri, verilen sayıdan 36 noksan olmaktadır. a-b farkı kaçtır? A)2 B)3 C)4 D)5 E)6 DNA-14 aa ve bb iki basamaklı sayıları için; aa.bb = 2178 olduğuna göre a+b toplamının en büyük değeri kaçtır? A)9 B)10 C)11 D)12 E)13 aa=10.a+a=11.a bb=10.b+b=11.b çözümlemeleri kullanılırsa aa.bb=11.a.11.b=121.a.b=2178 a.b=18 bulunur. Çarpımları 18 olan iki sayının çarpımlarının büyük olması için, sayıların bir birinden uzak olması gerektiğinden; a=2 ve b=9 alınmalıdır. a+b=11 en büyük değerdir. Doğru Seçenek C dir. GENETĠK KOPYA-14 aa ve bb iki basamaklı sayıları için; aa+bb=176 olduğuna göre, a.b çarpımının en büyük değeri kaçtır? DNA-15 Rakamları toplamı 10 olan iki basamaklı bir sayının üç katının iki eksiği, sayının ters yazılıģına eģit olduğuna göre, bu sayının birler basamağındaki rakam kaçtır? A)1 B)2 C)4 D)5 E)8 ab iki basamaklı sayısı için; verilenleri eģitlik durumunda yazarsak; a+b=10 3.ab-2=ba olur. Çözümleme yaptığımızda; 3(10.a+b)-2=10.b+a 30.a+3.b-2=10.b+a 30.a+3.b-10.b-a=2 29.a-7.b=2 bulunur. Bulunan eģitlikler a=2 ve b=8 değerleri için sağlanır. ab=28 sayısının birler basamağı 8 dir. Doğru Seçenek E dir. GENETĠK KOPYA-15 Basamaklarının sayı değerlerinin toplamı 8 olan iki basamaklı bir sayının rakamları yer değiģtirdiğinde, sayı 36 azalmaktadır. Bu iki basamaklı sayı kaçtır? A)26 B)35 C)53 D)62 E)71 A)16 B)24 C)52 D)63 E)64 41

42 DNA-16 a4b2 sayısı, a2b4 sayısından kaç fazladır? A)168 B)178 C)188 D)198 E)208 Sayılar çözümlendiğinde; a4b2=1000.a b+2 a2b4=1000.a b+4 a4b2-a2b4 = 1000.a b+2 -(1000.a b+4) =400+2-(200+4) =198 olur. Doğru Seçenek D dir. YADA!!! a4b2 sayısının yüzler basamağı, a2b4 sayısının yüzler basamağından 2 fazla olduğundan; ikinci sayıdan 200 fazla, benzer Ģekilde birler basamağı 2 az olduğundan, sayıdan 2 azdır =198 fazladır. GENETĠK KOPYA-16 xyz üç basamaklı sayısının her basamağının sayı değeri, kendisi kadar artırıldığında sayı 143 artıyor. x+y+z toplamı kaçtır? A)6 B)7 C)8 D)9 E)12 DNA-17 2abc dört basamaklı doğal sayısının 4 katı, dört basamaklı cba2 doğal sayısı ise; a+b+c toplamı kaçtır? A)15 B)16 C)17 D)18 E)19 4.2abc=cba2 4( a+10.b+c)=1000.c+100.b+10.a +2 eģitliği düzenlediğimizde; 498.c+30.b-195.a=3999 bulunur. EĢitliği gerçekleyen a, b, c değerleri arandığında a=8, b=7 ve c=1 için doğrulandığı görülür. a+b+c=8+7+1=16 dır. Doğru Seçenek B dir. GENETĠK KOPYA-17 abc üç basamaklı sayısı ac iki basamaklı sayısının yedi katıdır. a+b+c toplamı kaçtır? A)5 B)6 C)7 D)8 E)9 Bu bölümde üslü sayılarla iģlemler yapacağımızdan, üslü sayılarla ilgili kuralları bir hatırlayalım. a n.a m =a m+n a n.b n =(a.b) n (a n ) m =a n.m 42

43 UYARI 10 n-1 sayısı, sondan n-1 basamağı 0 olan, n basamaklı en küçük doğal sayıdır. 10 n -1 sayısı, n tane 9 rakamı ile yazılan, n basamaklı en büyük doğal sayıdır. IġIK-4 m ve n basamaklı iki doğal sayının çarpımı; m+n-1 veya m+n basamaklı bir doğal sayıdır. UYARI Soldaki ilk basamaklarında bulunan rakamların, sayı değerlerinin çarpımı iki basamaklı ise çarpım m+n basamaklıdır. IġIK-3 A sayısı m basamaklı pozitif bir tamsayı ve n bir doğal sayı olmak üzere ; N = A.10 n Ģeklinde yazılabilen bir doğal sayı; sonunda n tane 0 bulunan m+n basamaklı bir sayıdır = sayısı, sonunda 4 tane sıfır bulunan, 7 basamaklı bir sayıdır. DNA-19 A sayısı 666 tane 3 ten, B sayısı 666 tane 6 dan oluģmuģtur. A.B çarpımı kaç basamaklıdır? A)18 B)1331 C)1332 D)1334 E)1335 Soldaki ilk basamakları 6 ve 6 dır. 6.6=32 sayısı iki basamaklıdır. Bu yüzden A.B çarpımı m+n basamaklı olacağından =1332 basamaklıdır. Doğru Seçenek C dir. DNA-18 A= sayısı kaç basamaklıdır? A)1999 B)2000 C)2001 D)2002 E) = 25.(2.5) 1999 = Sondan 1999 basamağı sıfır olan 2001 basamaklı bir sayıdır. Doğru Seçenek C dir. GENETĠK KOPYA çarpımından elde edilen sayı kaç basamaklıdır? A)18 B)19 C)20 D)21 E)22 GENETĠK KOPYA-18 A = sayısı kaç basamaklıdır? A)11 B)12 C)21 D)22 E)23 43

44 KONU TESTĠ sayısının rakamları toplamı kaçtır? A)218 B)219 C)220 D)221 E) yılının rakamları toplamı 28 dir. Takip eden X yılındaki rakamlar toplamı 28 olacaktır. Buna göre X-1999 farkı kaçtır? A) 9 B) 90 C) 900 D) 909 E) Ġki basamaklı ab sayısının rakamları yer değiģtirdiğinde sayının değeri 36 azalmaktadır. Bu koģulu sağlayan iki basamaklı ab sayılarının en büyüğü için a+b toplamı kaçtır? A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) den 123 e kadar ( 1 ve 123 dahil) doğal sayıların yan yana yazılmasıyla elde edilen sayı kaç basamaklıdır? A) 123 B) 171 C) 249 D) 258 E) , 4, 6 ve 8 rakamlarını birer kez kullanarak yazılabilen iki basamaklı ab ve cd doğal sayılarının toplamının en büyük değeri kaçtır? A) 128 B) 130 C) 134 D) 146 E) abc üç basamaklı sayısının rakamları kullanılarak yazılabilecek altı tane iki basamaklı sayının toplamı T ise; T oranı kaçtır? a b c 7. A= sayısı kaç basamaklıdır? A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) Üç basamaklı 6ab sayısı, üç basamaklı ab8 sayısından 349 fazladır. Buna göre a+b toplamı kaçtır? A) 7 B) 8 C) 9 D) 12 E) abc ve def üç basamaklı doğal sayılardır. abc-def = 222 eģitliğinde, a rakamı 1 azaltılır, e rakamı 2 artırıldığında sonuç kaç olur? A) 122 B) 112 C) 102 D) 92 E) a, b, c, d, e farklı birer rakamdır. abc üç basamaklı, de iki basamaklı doğal sayıları için: abc-de farkının en küçük değeri kaçtır? A) 1 B) 4 C) 6 D) 12 E) 25 A) 11 B) 22 C) 33 D) 44 E) 55 44

45 sayısının rakamları toplamı kaçtır? A) 89 B) 90 C) 99 D) 899 E) Üç basamaklı bir doğal sayının, iki basamaklı bir doğal sayı ile çarpımı en çok m, en az n basamaklı ise, m+n toplamı kaçtır? A)4 B)6 C)9 D)12 E) a üç basamaklı bir sayıdır. Bu sayının rakamları yer değiģtirilerek yazılabilecek altı üç basamaklı sayının toplamı 3108 ise a kaçtır? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) Birbirlerinden farklı, üç basamaklı iki doğal sayının toplamı T dir. Buna göre, T kaç farklı değer alabilir? A)1795 B)1796 C)1797 D)1780 E) ab ve cd iki basamaklı sayıları için; a+b=6 ve c.d=6 dır. ab-cd farkının en büyük değeri kaçtır? A)32 B)36 C)44 D)48 E)55 YANITLAR 1.B 2.E 3.E 4.D 5.B 6.C 7.C 8.C 9.C 10.B 11.D 12.C 13.C 14.B 15.C 16.C 14. aa ve bb iki basamaklı doğal sayılardır. (aa) 2 +(bb) 2 =1573 olduğuna göre, a+b toplamı kaçtır? A)4 B)5 C)6 D)7 E)13 45

46 KONU TESTĠ 1. abc üç basamaklı sayısında; a ve c yer değiģtirdiğinde sayının değeri 495 azalmaktadır. Buna göre a-c farkı kaçtır? A)-5 B)-4 C)4 D)5 E)6 2. Ġki basamaklı kaç tane doğal sayı yazılabilir? A)89 B)90 C)91 D)99 E) Ġki basamaklı doğal sayıların tümü yazılırken 5 rakamı kaç kez kullanılır? A)9 B)10 C)11 D)19 E)20 6. Soldan sağa ve sağdan sola okunuģları aynı olan sayılara yansıyan sayılar denir. Örneğin; 747, 6556, 62326,. sayıları yansıyandır. BeĢ basamaklı kaç tane yansıyan çift doğal sayı vardır? A)400 B)800 C)1000 D)2000 E) = 8 38 = = 8 46 = = 8 Yukarıda verilen eģitlikler bir kurala göre verilmiģtir. Aynı kurala göre 26 sayısının eģiti nedir? A)8 B)12 C)16 D)18 E)24 4. Dört basamaklı,rakamları farklı en küçük doğal sayının rakamları toplamı kaçtır? A)1 B)6 C)7 D)8 E)9 8. ab, ba ve c4 iki basamaklı doğal sayılar olmak üzere ; ab ba = c4 ise c kaçtır? A) 9 B) 8 C) 7 D) 5 E) 3 5. Karesi dört basamaklı bir doğal sayı olan en küçük iki basamaklı doğal sayının rakamları çarpımı kaçtır? A)3 B)4 C)6 D)8 E) = N sayısının sonunda kaç tane 0 vardır? A)14 B)15 C)16 D)17 E)18 46

47 ġeklinde pozitif tamsayıların ardarda yazılması ile elde edilen 100 basamaklı sayının birler basamağında hangi rakam bulunur? A)1 B)3 C)4 D)5 E) sayısının eģiti aģağıdakilerden hangisidir? A) B) C) D) E) 4(10 6 1) Ġki basamaklı bir doğal sayı; rakamları toplamı ile rakamları çarpımının toplamına eģittir. Bu koģula uygun iki basamaklı en büyük doğal sayı kaçtır? sayfalık bir kitabın sayfa numaraları yazılırken kaç tane rakam kullanılır? A)1203 B)1206 C)1208 D)1209 E)1210 A)19 B)39 C)89 D)98 E) ab iki basamaklı sayısı için; ab.a =265 ve ab.b = 159 ise a+b toplamı kaçtır? A)5 B)6 C)7 D)8 E)9 16. ArdıĢık ilk 2008 pozitif tek sayının çarpımı N dir. N in birler basamağındaki rakam aģağıdakilerden hangisidir? A) 0 B) 1 C) 4 D) 5 E) 9 YANITLAR 1.D 2.B 3.D 4.B 5.C 6.A 7.B 8.D 9.B 10.D 11.E 12.D 13.E 14.C 15.A 16.D 13. ab iki basamaklı, bxa üç basamaklı doğal sayıları için; 7.ab = bxa ise a.b çarpımı kaçtır? A)2 B)3 C)4 D)6 E)8 47

48 TABAN ARĠTMETĠĞĠ A)75 B)85 C)89 D)92 E)96 Kullandığımız 10 luk sayma sisteminde sayılar {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} kümesinin elemanları (Rakam) kullanılarak yazılır. En büyük elemanı 9 olan, 10 elemanlı bir kümedir. Onluk sistemde; sayının çözümlenmiş şeklinde, 10 un kuvvetleri kullanılır. Sayının değeri; kendisini oluşturan rakamların basamak değerlerinin toplamıdır. 435 = = Dört yüz+ Otuz+ BeĢ SAYI TABANI n sayı tabanında sayılar; {0, 1, 2,, n-1} kümesinin elemanları kullanılarak yazılır. ( n > 1 ) En büyük elemanı (n-1) olan, n elemanlı bir kümedir. HAZĠNE-1 n sayı tabanında verilmiģ bir sayının, 10 luk sistemdeki değeri; a,b,c,d < n olmak üzere; (324) 5 = = = = 89 bulunur. Doğru Seçenek C dir. GENETĠK KOPYA-1 2, sayı tabanını göstermek üzere; (110111) 2 sayısının 10 sayı tabanındaki yazılıģı hangisidir? A)22 B)33 C)44 D)55 E)66 DNA-2 6, sayı tabanını göstermek üzere; (1234) 6 sayısının 10 sayı tabanındaki yazılıģı hangisidir? A)204 B)234 C)308 D)310 E)326 (1234) 6 = = = =310 bulunur. Doğru Seçenek D dir. GENETĠK KOPYA-2 9, sayı tabanını göstermek üzere; (432) 9 sayısının 10 luk sistemdeki karģılığı kaçtır? (abcd) n = a.n 3 +b.n 2 +c.n 1 +d.n 0 dır. A)324 B)326 C)351 D)353 E)357 DNA-1 5, sayı tabanını göstermek üzere; (324) 5 sayısının 10 sayı tabanındaki yazılıģı hangisidir? DNA-3 5, sayı tabanını göstermek üzere; 2(abc) 5 = (cba) 5 ise a+b+c toplamı kaçtır? A)5 B)6 C)8 D)9 E)10 48

49 (abc) 5 ve (cba) 5 sayılarının 10 sayı tabanındaki karģılıkları; (abc) 5 =a.5 2 +b.5+c (cba) 5 =c.5 2 +b.5+a dır. Bu değerler verilen eģitlikte yerlerine yazıldığında; 2(abc) 5 = (cba) 5 2(a.5 2 +b.5+c) = c.5 2 +b.5+a 50a+10b+2c = 25c+5b+a 49a+5b = 23c eģitliği a =1, b =4, c =3 için doğrulanır. a+b+c = = 8 bulunur. Doğru Seçenek C dir. GENETĠK KOPYA-3 a sıfırdan farklı bir rakamı, 4 ve n sayı tabanını göstermek üzere, (aaa) 4 = (aa) n olduğuna göre, n kaçtır? A)16 B)18 C)20 D)24 E)25 DNA-4 5 sayı tabanında üç basamaklı kaç tane sayı yazılabilir? A)25 B)50 C)75 D)100 E)125 5 sayı tabanında kullanılacak rakamlar {0,1,2,3,4} kümesinden alınır. (abc) 5 sayısında; a yı 0 dıģında 4 rakamdan biri, b yi 5 rakamdan biri, c yi 5 rakamdan biri olarak seçebileceğimizden, 4.5.5=100 sayı yazılabilir. Doğru Seçenek D dir. GENETĠK KOPYA-4 3 sayı tabanında yazılabilecek üç basamaklı sayının, 10 luk sistemdaki karģılığı kaçtır? A)26 B)27 C)39 D)40 E)42 IġIK-1 (abcd) n sayısının on tabanındaki karģılığı: n çift ise d ye bağlıdır: d tek ise tek, çift ise çifttir. n tek ise a+b+c+d toplamına bağlıdır: toplam tek ise tek, çift ise çifttir. DNA-5 9, sayı tabanını göstermek üzere; (23a) 9 sayısının on tabanındaki karģılığı çift sayı ise, a nın alabileceği değerler toplamı kaçtır? A)12 B)14 C)16 D25 E)26 9, tek sayı olduğundan; 2+3+a toplamının çift olması gerekir. Toplamı çift yapan a değerleri: 1, 3, 5 ve 7 dir =16 bulunur. Doğru Seçenek C dir. GENETĠK KOPYA-5 7 sayı tabanında verilen (65a3) 7 sayısının, 10 tabanındaki karģılığı tek sayı ise, a nın alabileceği kaç farklı değer vardır? A)1 B)2 C)3 D)4 E)5 49

50 DNA-6 8 sayı tabanında verilen (7654a) 8 sayısının, 10 tabanındaki karģılığı tek sayı ise a nın alabileceği değerlerin toplamı kaçtır? A)12 B)14 C)16 D)25 E)26 8, çift olduğundan; a nın tek sayı olması, sayının 10 tabanındaki karģılığının tek sayı olmasını gerektirir. a nın alabileceği tek değerler; 1,3,5 ve 7 dir =16 bulunur. Doğru Seçenek C dir. GENETĠK KOPYA-6 6, sayı tabanıdır. (1234a) 6 sayısının, 10 tabanındaki karģılığı çift sayı ise, a nın alabileceği değerlerin toplamı kaçtır? A)4 B)6 C)7 D)8 E)9 IġIK-2 n sayı tabanında verilen (abcde) n sayısının, 10 tabanındaki karģılığının (n-1) sayısına bölünebilmesi için; rakamlar toplamının (n-1) sayısına bölünebilmesi gerekir. DNA-7 [ (10)(11)(12)(13)(14)] 15 sayısı 15 tabanında yazılmıģtır. 10 tabanındaki karģılığı: olduğuna göre bu sayının 7 ile bölümünden kalan kaçtır? A)0 B)1 C)2 D)3 E)6 15 in 7 ile bölümünden kalan 1 olduğundan terimlerin 7 ile bölümlerinden kalanlar: = =105 2 toplamının 7 ile bölümünden kalandır. 105= olup, kalan 0 dır. Doğru Seçenek A dır. GENETĠK KOPYA-7 6 sayı tabanında verilen (234a) 6 sayısının 10 tabanındaki karģılığının 5 ile bölünebilmesi için a kaç olmalıdır? A)0 B)1 C)2 D)3 E)5 IġIK-3 10 sayı tabanında verilen sayıyı, n sayı tabanında yazmak için verilen sayının içinde n in kuvvetleri aranır. 29 un 2 tabanında yazılıģını bulmak için; 29 ard arda 2 ye bölünür. 29= = = = =2.0+1 En son kalandan baģlayarak diğerleri sıra ile yazıldığında, 29 sayısının 2 tabanında yazılıģı bulunmuģ olur. 29=(11101) 2 dir. İlk bölme işleminden bulunan kalan, sağdaki ilk basamağı verir. 50

51 DNA-8 22 sayısı 3, 4 ve 5 sayı tabanlarında yazıldığında kaç kez 2 rakamı kullanılır? A)2 B)3 C)4 D)5 E)6 22 sayısını ard arda 3 ile bölüp, en son kalandan baģlayarak elde edilen kalanları sıra ile yazalım. 22= = = =(211) 3 2 rakamı 1 kez kullanıldı. Aynı iģlemleri 4 için yapalım. 22= = = =(112) 4 2 rakamı 1 kez kullanıldı. Aynı iģlemleri 5 için yapalım. 22= =5.0+4 DNA sayısı 4 sayı tabanında yazıldığında kaç basamaklı olur? A)6 B)8 C)12 D)15 E) = = sayı tabanında, 4 8 sayısını yazarken; 4 8 in katsayısı 1, diğer kuvvetlerinin katsayısı 0 olacağından 4 8 = ( ) 4 yazılır = ( ) 4-1 = ( ) 4 8 basamaklıdır. Doğru Seçenek B dir. GENETĠK KOPYA sayısı 2 sayı tabanında yazıldığında oluģan sayının rakamları toplamı kaçtır? A) 1 B) 25 C) 208 D) 2007 E) =(42) 5 2 rakamı 1 kez kullanıldı. 2 rakamı toplam 3 kez kullanıldı. Doğru Seçenek B dir. GENETĠK KOPYA-8 25 sayısının, 2 sayı tabanında yazılmıģ Ģekli aģağıdakilerden hangisidir? A)(111) 2 B)(1011) 2 C)(1101) 2 D)(11100) 2 E)(11001) 2 IġIK-3 10 luk sistemdeki dört iģlem kuralları, n sayı tabanında verilen sayılar için de aynen geçerlidir. 10 luk sistemdeki 10 lu demetler yerine, n sayı tabanında n li demetler kullanılır. (201) 5 +(44) 5 toplama iģleminde; 1+4=5=1.5+0 olduğundan, 1+4=5 değil, 0 yazılıp, elde 1 var denilecek ve iģlem 0+4=4, elde 1 vardı, 4+1=5=1.5+0 dan, 0 yazılıp tekrar elde 1 var deyip, 2+1=3 diyerek sonlanacaktır. (201) 5 +(44) 5 =(300) 5 bulunur. 51

52 (201) 5 -(44) 5 çıkarma iģleminde; Gerekirse diğer basamaklardan 5 lik desteler alınır. 1 den 4 ü değil, 5+1=6 dan 4 ü çıkarıp birler basamağına 2 yazılacaktır. (201) 5 -(44) 5 = (102) 5 bulunur. (865) 9.(71) 9 çarpma ve yapılacak toplama iģlemlerinde de; her 9 luk deste için elde 1 var denilecektir. 7.5=35 değil, 35=3.9+8 olduğundan; kalan 8 i yazıp, elde 9 un katsayısı olan 3 var diyerek iģlem yapılacaktır. (865) 9.(71) 9 = (68055) 9 bulunur. GENETĠK KOPYA-10 6, sayı tabanıdır. (345) 6 +(15) 6 ĠĢleminin sonucunun, 6 sayı tabanındaki yazılımı aģağıdakilerden hangisidir? A)(403) 6 B)(404) 6 C)(405) 6 D)(414) 6 E)(423) 3 DNA-11 7, sayı tabanıdır. (654) 7 -(25) 7 ĠĢleminin sonucunun, 7 sayı tabanındaki yazılımı aģağıdakilerden hangisidir? DNA-10 5 sayı tabanı olmak üzere; (234) 5 +(23) 5 ĠĢleminin 5 tabanına göre sonucu aģağıdakilerden hangisidir? A)(212) 5 B)(222) 5 C)(312) 5 D)(322) 5 E)(332) 5 Sağdaki ilk basamaklardan toplamaya baģladığımızda; 4+3=7 7=1.5+2 Sonucun ilk basamağı 2 olup, elde 1 var denilecektir. 3+2=5 ikinci basamaklar toplamı. 5+1=6 elde 1 vardı. 6=1.5+1 Sonucun ikinci basamağı 1 olup, elde 1 var Sonucun son basamağı; 2+1=3 elde 1 vardı, (234) 5 +(23) 5 =(312) 5 bulunur. Doğru Seçenek C dir. A)(606) 7 B)(616) 7 C)(626) 7 D)(636) 7 E)(641) 7 Sağdaki ilk basamaklardan çıkarma iģlemine baģladığımızda; 4 den 5 çıkmaz, 654 ün 5 olan ikinci basamağı 7 nin katsayısı olduğundan bir yedilik deste aldığımızda; 7+4=11 ve 11-5=6 olacaktır. 654 ün 5 olan ikinci basamağından 1 alınmıģtı, 5-1=4 kaldı. 4-2=2 sonucun ikinci basamağıdır. Son basamakta iģlem yapılmadığı için, aynen kalır ve 6 dır. (654) 7 -(25) 7 =(626) 7 bulunur. Doğru Seçenek C dir. GENETĠK KOPYA-11 4, sayı tabanı olmak üzere; (100) 4 sayısının bir eksiği, aynı sayı tabanında hangisidir? A)(10) 4 B)(11) 4 C)(22) 4 D)(30) 4 E)(33) 4 52

53 DNA-12 9, sayı tabanı olmak üzere; (865) 9.(71) 9 ĠĢleminin sonucunun, 7 sayı tabanındaki yazılımı aģağıdakilerden hangisidir? A)58045 B)68045 C)68055 D)68145 E)68155 GENETĠK KOPYA-12 6, sayı tabanıdır. (55) 6 sayısının iki katı, aynı tabanda kaça eģittir? A)111 B)124 C)134 D)144 E)154 DNA-13 a sayı tabanıdır. (62) a.(14) a = (808) a ise a kaçtır? A)9 B)10 C)11 D)12 E)13 Yukarıdaki iģlemi dillendirdiğimizde; 865 in 1 ile çarpımı 865 dir. 865 i, 7 ile çarparken; 7.5=35= yazılır, elde 3 var denir. 7.6=42, 42+3=45= yazılır, elde 5 var denir. 7.8=56, 56+5=61= in 9 tabanındaki karģılığı 67 yazılır. Ġkinci çarpım; 8067 dir. Son olarak uygun toplama iģlemi yapalım; 5 aģağıya alınır, 6+8=14=1.9+5, 5 aģağıya, elde 1 var, 8+0=8, 8+1=9= yazılır, elde 1 var, 7+1=8 8 yazılır. 6 aģağıya alınır. (62) a =6.a+2 (14) a =a+4 ve (808) a =8.a 2 +8 olduğundan (62) a.(14) a = (808) a (6a+2)(a+4) = 8a a 2 +26a+8 = 8a 2 +8 a 2-13a = 0 a(a-13)=0 a=0 alınamayacağından a-13=0 ve a =13 tür. Doğru Seçenek E dir. GENETĠK KOPYA-13 n sayı tabanı olmak üzere; (13) n +(31) n = 24 ise n kaçtır? A)4 B)5 C)6 D)7 E)7 SONUÇ; bulunur. Doğru Seçenek C dir. 53

54 DNA-14 b ve c sayı tabanıdır. (32) b = (21) c ve (21) b = (13) c ise b+c toplamı kaçtır? A)8 B)12 C)13 D)14 E)15 (32) b =3.b+2 ve (21) c =2.c+1 3.b+2=2.c+1 (21) b =2.b+1 ve (13) c =c+3 2.b+1=c+3 2.b+1=c+3 c=2b-2 3.b+2=2.c+1 3.b+2=2(2b-2)+1 b=5 ve c=2.5-2 c=8 bulunur. b+c=5+8=13 olur. Doğru Seçenek C dir. (abc) 9 =a.9 2 +b.9+c=81.a+9.b+c (cba) 7 =c.7 2 +b.7+a=49.c+7.b+a Sayıların 10 luk sistemdeki karģılıklarıdır (abc) 9 = (cba) 7 81.a+9.b+c=49.c+7.b+a 80.a+2.b-48.c=0 40.a+b-24.c=0 eģitliği a=1, b=8 ve c=2 için sağlanır. a+b+c=1+8+2=11 bulunur. Doğru Seçenek D dir. GENETĠK KOPYA-15 b sayı tabanında (121) b = 81 ise b kaçtır? A) 7 B) 8 C) 9 D) 6 E) 5 GENETĠK KOPYA ve 9 sayı tabanı olmak üzere ; (ab) 11 = (ba) 9 ise b a farkı kaçtır? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 DNA-16 2 ve 8 sayı tabanını göstermektedir. ( ) 2 = (X) 8 ise X hangisidir? A)76543 B)76532 C)76521 D) E)76432 DNA-15 7 ve 9 sayı tabanıdır. (abc) 9 = (cba) 7 ise a+b+c toplamı kaçtır? A)8 B)9 C)10 D)11 E)12 8=2 3 olduğundan her üç basamağın 10 sayı tabanındaki karģılıkları sıralanırsa, sayının 8 sayı tabanındaki karģılığı yazılmıģ olur. (111) 2 = = 7 (110) 2 = = 6 (101) 2 = = 5 (011) 2 = 2+1 = 3 (010) 2 = 2 (X) 8 = (76532) 8 Doğru Seçenek B dir. 54

55 GENETĠK KOPYA-16 2 sayı tabanında yazılan on basamaklı en büyük sayının, 8 sayı tabanında yazılıģı aģağıdakilerden hangisidir? A) 777 B) 1177 C) 1717 D) 1777 E) 7777 DNA ve 4 sayı tabanıdır. (199) 16 = ( X ) 4 eģitliğini sağlayan X aģağıdakilerden hangisidir? A) 1212 B) 2121 C) D) E) (199) 16 sayısının her basamağı ayrı ayrı 4 sayı tabanında yazılır. Bulunan ifadelerin yan yana yazılmasıyla, sayı 4 tabanına çevrilmiģ olur. DNA-18 0,5 ondalık sayısının 2 sayı tabanındaki gösterimi aģağıdakilerden hangisidir? A)0,1 B)0,01 C)0,1 D)0,101 E)0,10 n sayı tabanında verilmiģ abc, de n sayısının, 10 sayı tabanındaki karģılığı a. n 2 + b. n 1 + c. n 0 + d. n 1 + e. n 2 + olduğundan; 0,5 = 5 10 = 1 2 = 2 1 = 0,1 2 dir. Doğru Seçenek A dır. GENETĠK KOPYA-18 5 sayı tabanında verilen (0,24) 5 sayısının, ondalık sayı karģılığı nedir? A)0,5 B)0,6 C)0,56 D)0,65 E)0,7 9=2.4+1=(21) 4 9=2.4+1=(21) 4 1=0.4+1=(01) 4 =(1) 4 (199) 16 =( ) 4 bulunur. Doğru Seçenek C dir. GENETĠK KOPYA-17 9 ve 3 sayı tabanıdır. (57) 9 =(X) 3 eģitliğinin sağlayan X, aģağıdakilerden hangisidir? A)121 B)212 C)221 D)1221 E)

56 KONU TESTĠ 1. x sayı tabanıdır. (41) x =3.(14) x ise x kaçtır? A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) sayı tabanıdır. [(33) 8 ] 2 sayısının aynı tabandaki eģiti hangisidir? A)121 B)131 C)232 D)1331 E) ve 10 sayı tabanıdır. (12012) 3 =(x) 10 ise x kaçtır? A) 110 B) 120 C) 130 D) 140 E) b sayı tabanıdır. (23) b.(14) b = (333) b ise b kaçtır? A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) sayı tabanında, üç basamaktan daha az basamakla yazılabilen kaç tane doğal sayı vardır? A)6 B)7 C)8 D)9 E)10 9. b sayı tabanıdır. (321) b = 86 ise (123) b sayısının onluk sistemde değeri kaçtır? A) 27 B) 38 C) 51 D) 66 E) sayısı 2 sayı tabanında yazıldığında kaç tane 0 rakamı kullanılır? A)0 B)1 C)2 D)2007 E) ve 10 sayı tabanıdır (33) 6 +(22) 6 =(X) 10 ise X nedir? 10. b sayı tabanında, c 2 sayısı 10 olarak yazılıyorsa ; b 2 sayısının c sayı tabanında yazılıģı aģağıdakilerden hangisidir? A) 100 B) 1000 C) D) E) A)15 B)25 C)35 D)45 E) sayısı 4 sayı tabanında yazıldığında kullanılan tüm rakamların toplamı kaçtır? 11. a 3 ve a pozitif tamsayı iken; (a+1) 2 nin a sayı tabanında yazılıģı aģağıdakilerden hangisidir? A)11 B)22 C)121 D)222 E)1111 A) 1 B) 3 C) 9 D) 18 E) 27 56

57 12. 2,3,5,9 ve 12 sayı tabanıdır. AĢağıdaki sayılardan en büyüğü hangisidir? A) (0,10) 2 B) (0,12) 3 C) (0,21) 5 D) (0,42) 9 E) (0,53) n ve 2n sayı tabanıdır. (8888) n =(A) 2n ise, A aģağıdakilerden hangisidir? A)1248 B)1334 C)1428 D)1532 E) sayı tabanıdır. (33) 9.(44) 9 çarpımının eģiti aģağıdakilerden hangisidir? A)(5500) 9 B)(1573) 9 C)(1452) 9 D)(1200) 9 E)(700) a sayı tabanıdır. A=(1254) a ve 2.A=(2541) a ise, a kaçtır? 1.E 2.D 3.D 4.A 5.C 6.D 7.D 8.B 9.B 10.C 11.C 12.B 13.B 14.B 15.B 16.A A)6 B)7 C)8 D)9 E) ve 10 sayı tabanıdır. (33) 6.(22) 6 =(X) 10 ise, X aģağıdakilerden hangisidir? A)250 B)294 C)350 D)454 E)556 57

58 FAKTÖRĠYEL TANIM Pozitif ilk n tam sayının çarpımı n = n! biçiminde gösterilir. n Faktöriyel okunur. 1!=1 2!=1.2=2 3!=1.2.3=6 4!= =24 5!= =120 gibi. Özel olarak; 0! = 1 olarak tanımlanmıģtır. IġIK-1 n! = n.(n-1)! n! =n.(n-1)(n-2)! 6!=6.5! 6!=6.5.4! gibi. HAZĠNE-1 Faktöriyel iģleminin, toplama, çıkarma, çarpma ve bölme iģlemleri üzerine dağılma özelliği yoktur. 2! + 3! 5! 2! + 3! = = = 8 dir. DNA-1 12! 8!.4! iģleminin sonucu kaçtır? A)45 B)55 C)99 D)120 E)495 12! = ! = = = 495 8!.4! 8! Doğru Seçenek E dir. GENETĠK KOPYA Ġfadesinin eģiti aģağıdakilerden hangisidir? A)6! B)35! C)34! DNA-2 D) 36! 6! E) 36! 6! iģleminin sonucu kaçtır? A)10 B)100 C)1000 D)10000 E) ! 100! 99! = 100! ! = ! 100! 99! = ! ! GENETĠK KOPYA-2 13! 12! 10!+11! = 100!(101 1) 99! = = Doğru Seçenek D dir. Ġfadesinin eģiti aģağıdakilerden hangisidir? A)11 B)12 C)23 D)132 E) DNA-3 3n+1! 3n 1! hangisidir? ifadesinin eģiti aģağıdakilerden A)n(n+1) B)3n(n+1) C)3n(3n-1) D)3n(3n+1) E)3n 58

59 3n+1! 3n 1! = 3n+1 3n 3n 1! 3n 1! = 3n(3n + 1) GENETĠK KOPYA-3 2n+3! 2n+1! Doğru Seçenek D dir. ifadesinin eģiti aģağıdakilerden hangisidir? A)(2n+3)(2n+2) B)(2n+3)(2n+1) C)2n(2n+1) D)2n+2 E)2 DNA-4 77!+78! toplamı, 77! in kaç katıdır? A)8 B)37 C)77 D)78 E)79 77!+78! = 77!+78.77! = 77!(1+78) = 79.77! OluĢan son çarpımda, istenen toplamın 77! Ġn 79 katı olduğu görülür. Doğru Seçenek E dir. GENETĠK KOPYA-4 67!-66! farkı, 66! in kaç katıdır? A)33 B)34 C)65 D)66 E)67 DNA Çarpımının eģiti aģağıdakilerden hangisidir? =(2.1)(2.2)(2.3)..(2.50) = olduğu hatırlandığında; = ! bulunur. Doğru Seçenek D dir. GENETĠK KOPYA Çarpımının eģiti aģağıdakilerden hangisidir? A)3.100! B)3.300! C) ! D) ! E) ! DNA-6 x,y doğal sayıları için; 20.x! = y! olduğuna göre; y nin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır? A)20 B)23 C)25 D)26 E)27 IġIK-1 de; n.(n-1)!=n! özelliği kullanılırsa; 20.19!=20! olacağından, x=19 vee y=20 olur. n(n-1)(n-2)!=n! özelliği kullanılırsa; 5.4.3!=5! Olacağından, x=3 ve y=5 olur. y nin alabileceği değerlerin toplamı; 20+5=25 dir. Doğru Seçenek C dir. A)2.50! B)2.100! C)100.50! D) ! E) ! 59

60 GENETĠK KOPYA-6 a ve b doğal sayıları için, a! = 30.b! olduğuna göre; b nin alabileceği değerlerler toplamı kaçtır? A)29 B)30 C)32 D)33 E)34 DNA-7 0!+1!+2! ! toplamının birler basamağı kaçtır? A)0 B)3 C)4 D)7 E)8 0!=1 1!=1 2!=1.2=2 3!=1.2.3=6 4!= =24 5!= =120 6!= =720 EĢitliklerine bakıldığında; 5! ve sonrası 0 ile sonlanmaktadır. ( birler basamağı 0 dır. ) 0!+1!+2! ! Toplamının birler basamağını 4! e kadar olan sayılar belirler. 0!+1!+2!+3!+4! ! = = Toplamın birler basamağı, =4 bulunur. Doğru Seçenek C dir. IġIK-2 n 5 için; n! sayısının birler basamağı 0 dır. GENETĠK KOPYA-7 1!+3!+5! ! basamağı kaçtır? A)0 B)4 C)6 D)7 E)8 Toplamının birler IġIK-3 n! sayısının içinde bulunan tüm x (x, asal sayı) çarpanlarının sayısı: n in ard arda x e bölümlerinden elde edilen bölümler toplamı kadardır. n! sayısının içinde bulunan tüm x çarpanlarının (x=a.b, a ve b asal) sayısı, a<b için, b çarpanlarının sayısı kadardır. DNA-8 a ve b pozitif tamsayılar olmak üzere; 10! = a.2 b eģitliğinde, b nin alabileceği değerler toplamı kaçtır? A)8 B)15 C)21 D)25 E)36 IġIK-3 den, 10 sayısı ard arda 2 ye bölünerek, bölümler toplamı aranır. 10=2.5 5= = =8 b nin alabileceği en büyük değerdir. YADA!!! 10! = =(2.5).9.(2 3 ).7.(2.3).5.(2 2 ) = (2 8 ) a= b=8 alınabileceği gibi, eģitlik b nin 8 den küçük değerleri için de doğru olur. b nin alabileceği değerler: 1,2,3,4,5,6,7 ve 8 dir =36 aranan toplamdır. Doğru Seçenek E dir. 60

61 GENETĠK KOPYA-8 100!=K.5 x EĢitliğinde, K ve x pozitif tam sayılar olmak üzere, x in en büyük değeri kaçtır? A)20 B)24 C)25 D)26 E)50 DNA-9 12! 6 n sayısını tamsayı yapan n in en büyük doğal sayı değeri kaçtır? A)4 B)5 C)6 D)8 E)10 6=2.3 olduğundan, IġIK-3, 2 ve 3 çarpanları için uygulanır. 12=2.6 6=2.3 3= =10 tane 2 çarpanı, 12=3.4 4= =5 tane 3 çarpanı vardır = =2 5 (2.3) 5 = olduğundan, 5 tane 6 çarpanı oluģturulabilir. n in en büyük değeri 5 tir. Yalnız 3 çarpanlarının sayısını bulmak yeterlidir. Çünkü 3 çarpanlarının sayısı, 2 çarpanlarının sayısından azdır. Doğru Seçenek B dir. GENETĠK KOPYA-9 30! 15 n sayısını tamsayı yapan n in en büyük doğal sayı değeri kaçtır? A)2 B)6 C)7 D)14 E)21 IġIK-4 n! sayısının sonundaki 0 ların sayısı, n! sayısı içindeki 10 çarpanlarının (10=2.5 ve 2<5 olduğundan, tüm 5 çarpanlarının) sayısı kadardır. DNA ! sayısının sonunda kaç tane 0 vardır? A)400 B)480 C)498 D)499 E) sayısı içindeki 5 çarpanlarını arayacağız. 2008= = = = =500 tane 5 çarpanı, 500 tane 10 çarpanı ve bundan dolayı da 2008! Sayısının sonunda 500 tane 0 vardır. Doğru Seçenek E dir. GENETĠK KOPYA ! sayısının sonunda kaç tane 0 vardır? A)199 B)200 C)245 D)246 E)250 IġIK-5 n!-1 sayısının sonundaki 9 ların sayısı, n! sayısının sonundaki 0 ların sayısı kadardır. DNA-11 [(3!)!]!-1 sayısının sonunda kaç tane 9 vardır? A)177 B)178 C)179 D)180 E)181 61

62 [(3!)!]!-1 sayısının sonundaki 9 ların sayısı, [(3!)!]! sayısının sonundaki 0 ların sayısı kadardır. [(3!)!]! = [6!]! = 720! 720! = sayısı içinde 10 =2.5 çarpanlarının sayısını bulacağız. Bunun için 720 sayısını ard arda 5 e bölüp, bölümler toplamı alınmalıdır. 720= = = = = 178 tane 5 çarpanı vardır. 720! =A sayısının sonunda 178 tane 0 rakamı vardır. 720! 1 = A sayısının sonunda da 178 tane 9 rakamı bulunur. Doğru Seçenek B dir. GENETĠK KOPYA !-1 Sayısının sonunda kaç tane 9 vardır? A)2 B)23 C)24 D)25 E)26 DNA !+2.2!+3.3!+...+n.n! = (n+1)!-1 olduğu bilindiğine göre; 1.(1!)+2.(2!)+3.(3!)+ +10.(10!) = A sayısının sonunda kaç tane 9 vardır? A)1 B)2 C)3 D)4 E)5 1.1!+2.2!+3.3!+...+n.n! = (n+1)!-1 olduğu bilindiğine göre; 1.(1!)+2.(2!)+3.(3!)+ +10.(10!)=(10+1)!-1 =11!-1 dir. 11=5.2+1 Olduğundan, 11! sayısının sonunda 2 tane 0, 11!-1 sayısının sonunda da 2 tane 9 vardır. GENETĠK KOPYA-12 T=1.1!+2.2!+3.3! ! olduğuna göre, T+1 sayısının sonunda kaç tane 0 vardır? A)1 B)2 C)3 D)4 E)5 DNA-13 12! a,b Z ve çift tamsayı ise b 2 a. 3 a+b nin en büyük değeri kaçtır? A)9 B)10 C)14 D)15 E)16 12! = sayısı içinde 2 ve 3 çarpanlarının kaçar tane olduğunu bulmak için; 12 sayısı ard arda 2 ye bölünüp, bölenler toplamı alınır. 12!=A.2 a biçiminde yazılır. 12=6.2 6=3.2 3= =10 tane 2 çarpanı vardır. 12 sayısı ard arda 3 e bölünüp, bölenler toplamı alınır. 12!=B.3 b biçiminde yazılır. 12=4.3 4= =5 tane de 3 çarpanı vardır. 62

63 a=10 alınır ve 12! içindeki tüm 2 çarpanları ile sadeleģtirilirse, elde edilen sayı tek sayı olacağından a=9 alınmak zorundadır. a+b=9+5=14 bulunur. Doğru Seçenek C dir. GENETĠK KOPYA-14 99!=9 n.a eģitliğinde, A ve n pozitif tamsayıları için n in en büyük değeri kaçtır? A)11 B)24 C)33 D)34 E)35 GENETĠK KOPYA-13 20! 2 n Ġfadesinin bir tek sayı gösterdiği bilindiğine göre, N doğal sayısının değeri kaçtır? A)10 B)15 C)17 D)18 E)19 DNA-14 88! 8 n Sayısının bir tamsayı olduğu bilindiğine göre, n pozitif tamsayısının en büyük değeri kaçtır? A)11 B)12 C)22 D)27 E)28 8=2 3 olduğundan; 88! sayısı içindeki 2 çarpanlarını arayalım 88= = = = = = =85 tane 2 çarpanı, (2 3 ) 28.2= olduğundan, 28 tane 8 çarpanı vardır. n in en büyük değeri 28 dir. Doğru Seçenek E dir. DNA-15 5, 10, 15,, 95, 100 Aritmetik dizisinin tüm terimlerinin çarpımı olan sayının sondan kaç basamağı 0 dır? A)18 B)19 C)20 D)21 E) =(5.1)(5.2)(5.3)..(5.20) = ! Sayının içindeki 10=2.5 çarpanlarının sayısı aranacak. 20= =2.5 5= = =18 tane 2 çarpanı var. 20= = tane 5 çarpanı var = =(2.5) = Sayının son 18 basamağı 0 dır. Doğru Seçenek A dır. GENETĠK KOPYA-15 23!+24! sayısının sonunda kaç tane 0 vardır? A)4 B)6 C)7 D)9 E)11 63

64 DNA-16 K=44!-4! K sayısının son üç basamağı aģağıdakilerden hangisidir? A)000 B)996 C)076 D)976 E)006 44! Sayısı; 44= =5.1+3 Sonunda 8+1=9 tane sıfı bulunan bir sayı, 4!= =24 olduğundan K=44!-4! = = 9976 Son üç basamak 976 dır. Doğru Seçenek D dir. GENETĠK KOPYA-16 A=75!-5 Sayısının son iki basamağı aģağıdakilerden hangisidir? 50= = =12 tane 5 çarpanı, 50! sayısının sonunda 12 tane 0 var. 60= = =14 tane 5 çarpanı, 60! sayısının sonunda 14 tane 0 var. 50!+60! sayısının sonunda, 50! sayısının sonundaki 0 sayısı kadar, 12 tane 0 vardır. Doğru Seçenek C dir. GENETĠK KOPYA-17 75!-70!-1 ĠĢleminden elde edilen sayının sondan kaç basamağı 9 dur? A)31 B)30 C)16 D)15 E)14 A)00 B)05 C)70 D)85 E)95 UYARI n! ± m! sayısının sonundaki 0 sayısı, n-m 5 için, m! in sonundaki 0 sayısı kadardır. DNA-17 50!+60! ĠĢleminden elde edilen sayının sondan kaç basamağı 0 dır? A)2 B)10 C)12 D)14 E)26 64

65 KONU TESTĠ 1. x,y N ve 12.x! = y! olduğuna göre; y nin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır? A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) 16 15!.25! sayısı tek sayı ise 2 n kaçtır? 6. n A) 11 B) 22 C) 33 D) 44 E) 242 x 2.! y! 25 eģitliğini sağlayan x! en büyük x sayısı kaçtır? A) 20 B) 21 C) 22 D) 23 E) 24 80! 7. A= sayısının sonunda kaç tane 40! sıfır vardır? A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) !!! k.n! ( k Z + ) 3! eģitliğini sağlayan en büyük n sayısı için n kaçtır? A) 718 B) 719 C) 720 D)721 E) A = 33! 3! olduğuna göre; A sayısının son iki basamağı aģağıdakilerden hangisidir? A) 00 B) 04 C) 06 D) 94 E) ! 5. 2 (1004!) tane 0 vardır? sayısının sonunda kaç 8. n!5! = 6! ise n kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) !.7! Çarpımının eģiti aģağıdakilerden hangisidir? A)8! B)8!+1 C)9! D)10! E)7! (1!) 2 +(2!) 2 +(3!) 2 + +(10!) 2 toplamından elde edilen sayının birler basamağı kaçtır? A) 0 B) 3 C) 6 D) 7 E) 9 A) 0 B) 2 C) 4 D) 200 E)

66 11. 7!+8!+9! ! Toplamının onlar basamağında hangi rakam bulunur? A)1 B)3 C)4 D)6 E)9 16. A)5! B)10! C)145 D)154 E) ! Sayısının sonunda kaç tane 0 vardır? ! Sayısının sonunda kaçtane 0 vardır? A)16 B)14 C)12 D)10 E )8 A)124 B)218 C)432 D)500 E) ! Sayısı 6 sayı tabanında yazıldığında sondan kaç basamağı 0 olur? A)20 B)22 C)24 D)25 E)26 1.E 2.D 3.B 4.D 5.B 6.C 7.C 8.C 9.D 10.D 11.C 12.A 13.B 14.D 15.C 16.B ! Sayısı 7 n ile bölünebilmektedir. n'in en büyük tamsayı değeri kaçtır? A)144 B)146 C)152 D)164 E) !+4!+5! Toplamının eģiti aģağıdakilerden hangisidir? 66

67 BÖLME - BÖLÜNEBĠLME TANIM A,B,C,D N ve B 0 için; A : BÖLÜNEN C : BÖLÜM B : BÖLEN D : KALAN HAZĠNE-1 BÖLÜNEN = BÖLENxBÖLÜM + KALAN UYARI Pek çok arkadaģınızın düģtüğü; 234 sayısının ilk iki basamağı olan 23 de, bölen 23 sayısı 1 defa var, Bölüm 1, kalan 4 tür YANLIġına düģmeyin. Bu durumda; 234= eģitliğinin doğru olmadığına dikkat edilmelidir. Bölme iģlemi sırasında; bölünen sayıdan basamak indirildiğinde, ilk kalanla birlikte bölenden küçük ise bir basamak daha indirmeden, bölüme 0 basamağının eklenmesi unutulmamalıdır. GENETĠK KOPYA-1 ab3 gibi üç basamaklı bir sayı, ab gibi iki basamaklı bir sayıya bölünüyor. Bölüm ile kalanın toplamı kaçtır? DNA-1 A)3 B)4 C)10 D)12 E)13 Yukarıdaki bölme iģlemine göre; bölüm ile kalanın toplamı kaçtır? A)4 B)5 C)10 D)14 E)15 Bölme iģlemi, Bölüm ÖzdeĢliği Ģeklinde yazıldığında; BÖLÜNEN = BÖLENxBÖLÜM + KALAN 234=23.BÖLÜM+KALAN EĢitliği sağlayan sayılar; BÖLÜM = 10 Kalan = 4 olur. IġIK-1 0 D < B Kalan, bölenden küçüktür ve pozitiftir. DNA-2 abcd gibi dört basamaklı bir sayı, 19 sayısına bölünüyor. Kalanın alabileceği değerlerin toplamı kaçtır? A)18 B)37 C)171 D)190 E)201 IġIK-1 den, kalan 19 dan küçük her doğal sayı olabilir = = 171 olur. 2 BÖLÜM + KALAN = = 14 Doğru Seçenek D dir. 67

68 GENETĠK KOPYA-2 BeĢ basamaklı bir doğal sayı, üç basamaklı bir doğal sayıya bölündüğünde, kalan sayı en çok kaç olabilir? A)9 B)98 C)99 D)998 E)999 IġIK-2 D = 0 ise A = B.C olur. B sayısına, A nın bir böleni denir. (ya da A ya B nin katıdır denir.) Kısaca; a sayısı, b sayısına bölünebilir diyerek ifade edilir. Tam bölünmelerde ; kalan sıfıra eģittir. DNA-3 a,b ve c farklı rakamlar olmak üzere; abc üç basamaklı sayısı, ab iki basamaklı sayısına tam olarak bölünebiliyorsa, abc sayısının en büyük ve en küçük değerlerinin toplamı kaçtır? A)860 B)980 C)1000 D)1100 E)1200 abc=ab0+c=ab.10+c çözümlemesi ile bölüm özdeģliği karģılaģtırıldığında; tam bölünmelerde kalan 0 olacağından, c=0 olmalıdır. ab0 ın en büyük değeri; 980 en küçük değeri; 120 dir. Toplam: = 1100 olur. Doğru Seçenek D dir. GENETĠK KOPYA-3 abcabc altı basamaklı sayısı, abc üç basamaklı sayısının kaç katıdır? IġIK-3 A-D ve A+(B-D) sayıları, B sayısına tam bölünür. Bölünenden, kalan çıkarılır veya Bölünene, bölen ile kalanın farkı eklenirse elde edilen yeni sayı bölenin katı olur. DNA sayısından büyük, 26 sayısına bölünebilen en küçük sayının tüm rakamları toplamı kaçtır? A)9 B)10 C)12 D)13 E) sayısını 26 ya bölme iģleminde; 2018= olduğundan, Bölüm:77, Kalan:16 dır. Bölen ile kalanın farkı: 26-16=10 Bölünen ile farkın toplamı: =2028 Sayısı, 26 nın katı olan, 2018 den büyük, en küçük sayıdır. Rakamları toplamı: =12 dir. Doğru Seçenek D dir. GENETĠK KOPYA sayısından küçük, 26 sayısına bölünebilen en büyük sayının tüm rakamları toplamı kaçtır? A)4 B)10 C)12 D)13 E)16 IġIK-4 D < C ise B ile C aralarında yer değiģtirebilir. A)11 B)101 C)111 D)1001 E)

69 DNA-5 Yukarıdaki bölme iģleminde kalan kaçtır? A)2 B)3 C)4 D)6 E)8 IġIK-5 a b ve b c ise a c dir. a sayısı b nin bir böleni ve b sayısı da c nin bir böleni ise; a sayısı c ninde bir bölenidir. DNA-6 A pozitif tamsayısı, B sayısının 4 katı, B sayısı da C sayısının 6 katı ise A sayısı, C sayısının kaç katıdır? A)4 B)6 C)12 D)24 E)48 olduğundan; 9 < 75 tir. Soruda; bölüm, bölenden küçük olduğundan, yer değiģtirebilirler. Kalan 3 tür. Doğru Seçenek B dir. GENETĠK KOPYA-5 Yukarıdaki bölme iģleminde kalan ile bölenin toplamı kaçtır? A)72 B)75 C)78 D)80 E)82 2. TANIM a, b N ve b 0 ise a = b.q + r olacak Ģekilde ve tek türlü belirlenen q, r Z vardır. ( 0 r < b ) Eğer a = b.q olacak Ģekilde bir q N varsa b sayısına a nın bir böleni ( yada a ya b nin bir katı ) denir. b a yazılır. Kısaca; a sayısı, b sayısına bölünebilir diyerek ifade edilir. A pozitif tamsayısı, B sayısının 4 katı; A=4.B B sayısı da C sayısının 6 katı; B=6.C EĢitlikleri bir arada kullandığımızda; A=4.B=4.(6.C)=24.C olur. A sayısı, C nin 24 katıdır. Doğru Seçenek D dir. GENETĠK KOPYA-6 A, B, C Pozitif tamsayıları göstermek üzere; A sayısı B nin 3 katı, B sayısı da C nin 4 katı ise A+B 6.C iģleminin sonucu kaçtır? A)2 B)3 C)4 D)6 E)12 IġIK-6 a b, a c ve m, n Z ise a (mb+nc) dir. a sayısı b ve c nin bir böleni ise bunların katlarının toplamının (farkının) da bir bölenidir. 69

70 DNA-7 a ve b pozitif tamsayılarının 7 ile bölümünden kalanlar sırası 3 ve 4 tür. 4.a+5.b toplamının 7 ile bölümünden kalan kaçtır? A)2 B)3 C)4 D)5 E)6 a=7.x+3 4.a=4(7x+3)=28x+12 b=7.y+4 5.b=5(7y+4)=35y+20 bölüm özdeģlikleri yazıldığında; 4.a+5.b=(28x+12)+(35y+20) =28x+35y+32 =7(4x+5y+4)+4 Toplamın 7 bölümünde bölüm; 4x+5y+4 kalan; 4 tür. Doğru Seçenek C dir. GENETĠK KOPYA-7 A doğal sayısı 8 e bölündüğünde 5 kalanını, B doğal sayısı 8 e bölündüğünde x kalanını veriyor. A+B toplamı 8 e bölündüğünde 3 kalanını verdiğine göre x kaçtır? A)4 B)5 C)6 D)7 E)8 DNA-8 a + aa + aaa toplamı 3.a sayısının kaç katıdır? A)11 B)13 C)17 D)23 E)41 Sayılarını çözümlediğimizde; aa = 10.a+a = 11.a aaa = 100.a+10.a+a=11.a a+aa+aaa = a+11.a+111.a = 123.a = 3.41.a 123.a sayısı, 3.a nın 41 katıdır. Doğru Seçenek E dir. GENETĠK KOPYA-8 ab iki basamaklı sayısının 7 ile bölümünden kalan 1 dir. ab sayısının her rakamının sayı değeri 3 artırılırsa, bulunan yeni sayının 7 ile bölümünden kalan kaç olur? A)4 B)5 C)6 D)7 E)8 DNA-9 Dört basamaklı bir sayı 131 ile bölündüğünde 112 kalanını, 132 ile bölündüğünde 98 kalanını vermektedir. Bu sayı kaçtır? A)1945 B)1946 C)1947 D)1948 E)1949 IġIK-7 a b ve b 0 ise 0< a b dir. a sayısı b nin bir böleni ise b den küçük veya eģittir. IġIK-8 a b ve b a ise a= b dir. a sayısı b nin, b sayısı da a nın bir böleni ise sayılar mutlak değerce eģittir. Bölüm özdeģliği gereğince; A = 131x+112 A = 132y+98 yazılır. Ġkinci eģitlikte; A = 132y+98 = (131+1)y+98 = 131y+y+98 ĠĢlemleri yapılır ve birinci eģitlik ile karģılaģtırılırsa x = y ve y+98 =112 den x = y = 14 bulunur. A = = 1946 dır. Doğru Seçenek B dir. 70

71 GENETĠK KOPYA-9 Üç basamaklı bir sayı 12 ile bölündüğünde 9 kalanını, 13 ile bölündüğünde 1 kalanını vermektedir. Bu üç basamaklı sayının rakamları toplamı kaçtır? A)4 B)5 C)6 D)7 E)8 DNA-10 x43y ve x34y dört basamaklı sayıları sırası ile 9 un A ve B katıdır. A-B farkı kaçtır? A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11 x43y=x y x34y=x y çözümlemeleri taraf tarafa çıkarıldığında; x43y-x34y=(x y) - (x y) x43y-x34y=90 x43y=9.a x34y=9.b bölüm özdeģlikleri. x43y-x34y=9.a-9.b 90=9(A-B) A-B=10 bulunur. Doğru Seçenek D dir. DNA sayısının 111 sayısına bölümü kaç basamaklıdır? A) 8 B) 9 C) 10 D) 24 E) 25 BÖLÜNEN=BÖLEN.BÖLÜM+KALAN Bölüm özdeģliğinde; Bölünen sayı, bölen ile bölümün çarpımından oluģtuğuna göre, basamak sayısı, bölen ve bölümün basamak sayıları toplamına eģit veya bir küçüğü olacaktır. Bölen ve bölünenin soldaki ilk basamakları küçük olduğundan, toplamın bir eksiği olur. Bölünen sayı; 27 basamaklı Bölen sayı; 3 basamaklı olduğuna göre 27=3+x-1 den x=25 bulunur. Bölüm 25 basamaklıdır. Doğru Seçenek D dir. GENETĠK KOPYA sayısı 37 ile bölündüğünde, bölüm kaç basamaklı bir sayı olur? A)2 B)3 C)4 D)5 E)6 GENETĠK KOPYA-10 5a3b ve 2a4b dört basamaklı sayıları sırası ile 20 nin x ve y katıdır. x-y farkı kaçtır? A)35 B)73 C)94 D)127 E)149 DNA-12 1 n 25 tamsayıları için, 2n+1 sayıları 3 ile tam bölünebilmektedir. KoĢulu sağlayan n tamsayılarının 3 ile bölümünden kalan kaçtır? A)-2 B)-1 C)0 D)1 E)2 71

72 2n+1 sayısının 3 ile tam olarak bölünebilmesi, 3 ün katı olması demektir. 2n+1=3.k (k Z) 2n=3.k-1 2n sayısı, 3 ile bölündüğünde 2 kalanını veriyor. n sayısı, 3 ile bölündüğünde 1 kalanını verir. Doğru Seçenek D dır. GENETĠK KOPYA-12 1 n 25 tamsayıları için, 2n+1 sayıları 3 ile tam bölünebilmektedir. KoĢulu sağlayan kaç tane n tamsayısı vardır? A)7 B)8 C)9 D)10 E)11 72

73 KONU TESTĠ 1. n pozitif tamsayısının 5 ile bölümünden kalan 3 tür. AĢağıdaki sayılardan hangisi 5 ile bölünebilir? A)n+3 B)n+2 C)n+1 D)n-1 E)n-2 6. A ve B doğal sayıları için; olduğuna göre; A-B farkı kaçtır? A)108 B)113 C)119 D)121 E) sayısının en az kaç katı 60 ile tam bölünür? A) 2 B) 3 C) 5 D) 6 E) 9 7. Ġki basamaklı bir sayının, rakamları toplamına bölümünden kalan en çok kaç olabilir? A)12 B)13 C)14 D)15 E) n sayısı, 5 ile bölündüğünde 3 kalanını vermektedir. n in en küçük pozitif tam sayı değeri kaçtır? A)1 B)2 C)3 D)4 E)5 4. Bir N sayısının X e bölümünden kalan 24 tür. 2.N sayısının X e bölümünden kalan 11 ise, X kaçtır? A)13 B)35 C)37 D)42 E)59 5. n tamsayısının 8 e bölümünden kalan 3 tür. 6.n sayısının 8 e bölümünden kalan kaç olur? 8. Dört basamaklı abcd sayısı üç basamaklı abc sayısına bölündüğünde bölüm ile kalanın farkı 6 olduğuna göre, Bölüm ile kalanın toplamı kaçtır? A)14 B)15 C)16 D)17 E)18 9. a ve b farklı rakamlar olmak üzere, 1a3 üç basamaklı sayısı b6 iki basamaklı sayısına bölündüğünde bölüm 5, kalan 13 olmaktadır. a+b toplamının en büyük değeri kaçtır? A)6 B)9 C)12 D)15 E)16 A)0 B)1 C)2 D)3 E)4 73

74 10. ab ve cd iki basamaklı sayılarının 9 ile bölümlerinden kalanlar sırasıyla 7 ve 5 tir. abcd dört basamaklı sayısının 9 ile bölümünden kalan kaçtır? sayısının 17 ye bölümünden elde edilen bölüm kaç olur? A)10 B)11 C)100 D)101 E)110 A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) M sayısının 9 ile bölümünden kalan 6, N sayısının 27 ile bölümünden kalan 9 olduğuna göre, M.N çarpımının 27 ye bölümünden kalan kaç olur? A)0 B)6 C)9 D)15 E) sayısı X e bölündüğünde 8 kalanını, 698 sayısı X e bölündüğünde 9 kalanını vermektedir. 242 ve 698 sayılarının toplamının aynı sayıya bölümünden kalan 4 ise ortak bölen kaçtır? A)11 B)13 C)17 D)19 E) Pozitif iki sayıdan biri diğerinin üç katıdır. 54 sayısının her iki sayıya bölümünden elde edilen bölümler arasındaki fark 4 tür. Buna göre bu iki sayı arasındaki fark kaçtır? 15. Bir A doğal sayısı 3 ile bölündüğünde bölüm x, kalan2, x sayısı 4 ile bölündüğünde kalan 1 dir. Buna göre, A sayısının 12 ile bölümünden kalan kaçtır? A)2 B)3 C)4 D)5 E)7 16. A ve x pozitif tamsayılar olmak üzere, A sayısı 6 ile bölündüğünde, bölüm 2x+1, kalan 1 dir. A sayısı 7 ile bölündüğünde, bölüm 9, kalan x-1 olduğuna göre, A sayısı kaçtır? A)67 B)71 C)72 D)75 E)83 YANITLAR 1.B 2.A 3.D 4.C 5.C 6.B 7.D 8.A 9.C 10.A 11.A 12.B 13.D 14.D 15.D 16.A A)5 B)9 C)12 D)18 E)27 74

75 BÖLÜNEBĠLME KURALLARI Bu bölümde; verilen bir doğal sayının, hangi doğal sayılar ile bölünebileceğini ve bölme iģlemi sonucunda kalanın ne olacağını bölme iģlemi yapmadan bulma yöntemleri anlatılacaktır. Bu yöntemleri bilmek, pek çok soruda bize büyük kolaylıklar sağlar. IġIK-1 En küçük doğal sayı olan 0 ile baģlayalım. Hangi sayılar 0 ile bölünebilir? sorusunun yanıtı işlemi tanımsız olmalıdır. 0 sayısı ile bölme Herhangi bir sayının, 0 sayısı ile bölümünden söz edilemez. DNA-1 AĢağıdaki sayılardan hangisi 3 ile bölünebilir? A)43 B)76 C)125 D)542 E) sayısının basamaklarındaki rakamların sayı değerleri toplamı =15 olup, 3 ün katıdır sayısı, 3 ile bölünebilir. Doğru Seçenek E dir. GENETĠK KOPYA-1 457a dört basamaklı sayısının, 3 ile bölünebilmesi için; a nın alabileceği değerlerin toplamı kaçtır? UYARI a 0 için a o =TANIMSIZ A)8 B)9 C)12 D)15 E) = TANIMSIZ IġIK-2 Doğal sayıların tümü, 1 ile bölünebilir. Bir doğal sayının 1 e bölümü, kendisine eģittir. DNA-2 56a8 dört basamaklı sayısının, 3 ile bölümünden kalanın 1 olduğu bilindiğine göre; a nın alabileceği kaç farklı değer vardır? a 1 = a a. 1 = 1. a = a A)1 B)2 C)3 D)4 E)5 IġIK-3 Birler basamağı çift (0,2,4,6,8) olan sayılar, 2 ile bölünebilir. IġIK-4 Rakamları toplamı 3 ve 3 ün katı olan sayılar, 3 ile bölünebilir. Rakamları toplamının 3 e bölümünden bulunacak kalan, sayının 3 e bölümünden bulunacak kalanı verir. 56a8 sayısının basamaklarındaki rakamların sayı değerleri toplamı 5+6+a+8=19+a dır. Sayının 3 ile bölümünden kalanın 1 olması için, rakamları toplamının 3 e bölümünden kalanın 1 olması gerekir. 19+a=3k+1 (k Z) olmalıdır. a=0,3,6,9 için koģul sağlanır. a, 4 farklı değer alabilir. Doğru Seçenek D dir. 75

76 GENETĠK KOPYA-2 4A12 dört basamaklı sayısının, 3 ile bölümünden kalanın 2 olduğu bilindiğine göre; A nın alabileceği değerlerin toplamı kaçtır? GENETĠK KOPYA-3 73A2 dört basamaklı sayısının 4 ile bölünebilmesi için A nın alabileceği kaç farklı değer vardır? A)1 B)2 C)3 D)4 E)5 A)7 B)9 C)12 D)15 E)18 IġIK-5 Bir doğal sayının onlar ve birler basamağındaki rakamların oluģturduğu iki basamaklı sayı, 4 ün katı ise; bu doğal sayı 4 e bölünebilir. Son iki basamağın 4 e bölümündeki kalan, sayının 4 e bölümündeki kalanı verir. Onlar basamağındaki sayının iki katı ile birler basamağının toplamı 4 ün katı olan sayılar, 4 e bölünebilir. (2a 1 +a o toplamı, 4 ün katı ise) UYARI Ard arda iki kez 2 ile bölünebilen sayılar, 4 ile bölünebilir. DNA-3 AĢağıdaki sayılardan hangisi 4 ile bölünebilir? DNA a beģ basamaklı sayısı 4 ile bölündüğünde 3 kalanını vermektedir. a nın alabileceği değerler toplamı kaçtır? A)9 B)10 C)12 D)15 E) a sayısının son iki basamağının oluģturduğu 5a iki basamaklı sayısının 4 ile bölümünden 3 kalanı bulunmalıdır. 5a=4k+3 (k Z) olmalıdır. a=1,5,9 için koģul sağlanır =15 a nın alabileceği değerler toplamıdır. Doğru Seçenek D dir. GENETĠK KOPYA-4 123a dört basamaklı sayısının 4 e bölümünden kalan 1 ise, a nın alabileceği kaç farklı değer vardır? A)1 B)2 C)3 D)4 E)5 A)134 B)238 C)312 D)526 E) sayısının son iki basamağı 12 olup, 12=3.4 sayısı 4 ün katıdır. 312 sayısı, 4 ile bölünebilir. Doğru Seçenek C dir. DNA sayısından en az kaç çıkarılırsa bulunan sayı 2, 3 ve 4 ile tam olarak bölünebilir? A) 11 B) 12 C) 16 D) 26 E)

77 4 ile bölünebilen sayılar, 2 ile de bölünebilir. 2 ile bölünebilenler, 4 ile de bölünebilir denilemez. Hem 2, hem de 4 ile bölünebilen sayılar için; 4 ile bölünebilenleri bulmak yeterlidir. Hem 3, hem de 4 ile bölünebilen en küçük pozitif tamsayı 12 dir. 12 ile bölünebilen sayılar, hem 3, hem 4 ve hem de 2 ile bölünebilir. 2327= olduğundan, 2327 nin 12 ile bölümünden kalan 11 dir. Sayıdan 11 çıkarıldığında (veya 1 eklendiğinde) bulunan sayı 12 ile (2,3 ve 4 ile) bölünebilir. Doğru Seçenek A dır. Birler basamağı 6 olan sayıların, tüm kuvvetlerinin birler basamağı 6 dır ve kuvvetlerinin de birler basamağı 6 dır. 6 nın 5 e bölümünden kalan 1 olduğundan; ve in 5 e bölümünden kalanlar 1 dir. Toplamın 5 e bölümünden kalan 1+1=2 dir. Doğru Seçenek C dir. GENETĠK KOPYA Sayısının 5 ile bölümünden kalan kaçtır? A)0 B)1 C)2 D)3 E)4 GENETĠK KOPYA-5 12 ye bölündüğünde, 11 kalanını veren pozitif bir tamsayının 3 ile bölümünden kalan a, 4 ile bölümünden kalan b ise, a+b toplamı kaçtır? A)2 B)3 C)4 D)5 E)6 IġIK-6 Birler basamağı 0 veya 5 olan sayılar, 5 ile bölünebilir. Birler basamağının 5 e bölümündeki kalan, sayının 5 e bölümünden kalanı verir. DNA sayısının 5 ile bölümünden kalan kaçtır? A)0 B)1 C)2 D)3 E)4 DNA-7 Rakamları birbirinden farklı olan, üç basamaklı 4ab sayısı 3 ve 5 ile kalansız bölünebiliyor. Buna göre a kaç farklı değer alabilir? A)3 B)4 C)5 D)6 E)7 3 ile bölünebilmesi için rakamları toplamı 3 ün katı olmalıdır. 4+a+b=3k (k Z) 5 ile bölünebilmesi için birler basamağı 0 veya 5 olmalıdır. b=0 veya b=5 b=0 için; 4+a+0=3k a=2,5,8 olabilir. b=5 için; 4+a+5=3k a=0,3,6,9 olur. Rakamları farklı olacağından; a=2,5,8,0,3,6,9 olmak üzere 7 farklı değer alabilir? Doğru Seçenek E dir. 4ab sayısı 15 ile bölünebilir. 77

78 GENETĠK KOPYA-7 4 ve 5 ile bölünebilen iki basamaklı kaç tane doğal sayı yazılabilir? A)3 B)4 C)5 D)6 E)8 IġIK-7 2 ve 3 ile bölünebilen sayılar, 6 ile bölünebilir. Rakamları toplamı 3 ün katı olan, çift sayılar 6 ile bölünebilir. DNA-9 AĢağıdaki sayılardan hangisi 2,3,4,5 ve 6 sayıları ile bölünebilen en küçük pozitif tamsayıdır? A)24 B)36 C)60 D)75 E)120 6 ya bölünebilen sayılar, 2 ve 3 e 4 e bölünebilen sayılar, 2 ye bölünebilir. 4 ve 6 ya bölünebilen sayılar 12 ile 12 ve 5 e bölünebilen sayılar 60 ile bölünebilir. Doğru Seçenek C dir. DNA-8 abc üç basamaklı sayısının 6 katı xy02 ise x+y toplamı kaç farklı değer alır? A)2 B)3 C)4 D)5 E)6 6.abc = xy02 verildiğinden xy02 sayısı 6 ile bölünebilir. (6 nın katıdır.) 2 ve 3 ile bölünebilmelidir. Birler basamağı 2 olduğundan sayı çifttir x+y+0+2=3.k (3 ün katı olacak) k=1,2,3, için x+y toplamı 1, 4, 7, 10, 13, 16??? olabilir =5994 olduğundan xy02 sayısında x+y toplamı en çok (5+9=14) 14 olabilir. Doğru Seçenek D dir. GENETĠK KOPYA-8 5aaaa beģ basamaklı sayısı 6 ile bölünebiliyorsa a kaçtır? A)0 B)2 C)4 D)6 E)8 GENETĠK KOPYA-9 6 ile bölünebilen iki basamaklı en büyük doğal sayı ile iki basamaklı en küçük doğal sayının toplamı kaçtır? A)96 B)102 C)108 D)114 E)120 IġIK-8 Bir doğal sayının yüzler,onlar ve birler basamağındaki rakamların oluģturduğu üç basamaklı sayı 8 in katı ise; bu doğal sayı 8 e bölünebilir. Yüzler basamağı çift olanlarda; Son iki basamağın oluģturduğu sayı 8 in katı olanlar, Yüzler basamağı tek olanlarda; Son iki basamağın oluģturduğu sayının 4 eksiği 8 in katı olanlar, 8 ile bölünebilir. Son üç basamağın 8 e bölümündeki kalan, sayının 8 e bölümündeki kalanı verir. UYARI Ard arda üç kez 2 ile bölünebilen sayılar, 8 ile bölünebilir. 78

79 DNA-10 1, 3, 6 rakamları birer kez kullanılarak yazılabilecek üç basamaklı farklı sayılardan; 4 ile bölünebilen A sayısının, 8 ile bölünebilen B sayısı ile toplamı kaç olabilir? A)136 B)180 C)316 D)452 E)496 A ve B sayıları, sırası ile 4 ve 8 ile bölüneceğinden öncelikle 2 ile bölünebilmelidirler. Bunun için birler basamakları çift olmalıdır. Sayı 6 ile bitmelidir. 316:2= :2= sayısı iki kez 2 ile bölünebildiğinden, A=316 sayısı 4 ile bölünebilir. 136:2=68 68:2=34 34:2= sayısı üç kez 2 ile bölünebildiğinden, B=136 sayısı 8 ile bölünebilir. A+B= =452 olur. Doğru Seçenek D dir. GENETĠK KOPYA sayısının 8 ile bölümünden kalan kaç olur? A)2 B)3 C)4 D)5 E)6 DNA-11 23A5B beģ basamaklı sayısı 8 ile bölünebilmektedir. B nin alabileceği değerler toplamı kaçtır? A)6 B)8 C)10 D)12 E)16 23A5B sayısı 8 ile bölünebiliyorsa; A çift iken; 5B sayısı 8 in katı olmalıdır. B=6 için 56=7.8 A tek iken; 5B sayısının 4 eksiği 8 in katı olmalıdır. B=2 için 52-4=48=6.8 B nin alabileceği değerler 6 ve 2 dir. Toplam: 6+2=8 olur. Doğru Seçenek B dir. GENETĠK KOPYA A sayısının 8 ile bölümü 3 kalanını verdiğine göre, A kaç olmalıdır? A)1 B)3 C)5 D)7 E)9 IġIK-9 Rakamları toplamı 9 un katı olan sayılar, 9 ile bölünebilir. Rakamları toplamının 9 a bölümünden bulunacak kalan, sayının 9 a bölümünden bulunacak kalanı verir. DNA-12 3A4A5A altı basamaklı sayısı 9 ile bölünebilmektedir. A nın alabileceği değerlerin toplamı kaçtır? A)8 B)10 C)15 D)18 E)24 3+A+4+A+5+A = 12+3A = 9.k olmalıdır. k nın 2,3 ve 4 değerleri için; A rakamı 2,5 ve 8 olabileceğinden; 2+5+8=15 olur. Doğru Seçenek D dir. 79

80 GENETĠK KOPYA-12 [3(230+x)] 2 = 492a04 ise a kaç olmalıdır? A)1 B)3 C)6 D)7 E)8 IġIK-10 Birler basamağı 0 olan sayılar, 10 ile bölünebilir. Sayının birler basamağındaki rakamın sayı değeri, verilen sayının 10 ile bölümündeki kalandır. DNA a sayısının 9 ile bölümünden kalan 1 dir. Aynı sayı 8 sayı tabanında yazıldığında birler basamağı kaç olur? A)1 B)2 C)3 D)5 E) a sayısının 9 ile bölümünden kalan 1 ise; a=9k+1 dir. 30+a=9k+1 k=4 için a=7 olmalıdır sayısını 8 sayı tabanında yazarken birler basamağına, sayısının 8 e bölümünden bulunan kalan geleceğinden, 267 sayısında, 2 çift, 67=8.8+3 olduğundan aranan rakam 3 tür Doğru Seçenek C dir. DNA toplamının birler basamağı kaçtır? A)0 B)1 C)6 D)7 E)9 Toplamdaki terimleri teker teker incelediğimizde; 9 un tek kuvvetlerinin 9, 9, 9 3 =729, 9 5 =59049,.. 9 un çift kuvvetlerinin 1, 9 2 =81, 9 4 =6561, ile sonlandığını görebiliriz. Toplamdaki terimlerin yarısının birler basamağı 1, diğer yarısının birler basamağı 9 olduğundan; Toplamın tümünün birler basamağı 1+9=10 olduğundan 0 dır. Doğru Seçenek A dır. GENETĠK KOPYA-13 23A5B beģ basamaklı sayısının 9 ile bölümünden kalan 4 olduğuna göre, A+B toplamı kaç farklı değer alabilir? A)2 B)3 C)4 D)5 E)6 GENETĠK KOPYA Toplamını veren sayının birler basamağı kaçtır? A)0 B)1 C)5 D)6 E)9 80

81 DNA-15 4, 5, 6, 8, 10 sayılarına bölündüğünde 3 kalanını veren en küçük pozitif üç basamaklı tam sayının rakamları toplamı kaçtır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 8 e bölünebilen sayılar, 4 e 10 a bölünebilen sayılar, 5 e 6 ve 8 e bölünebilen sayıların da 24 e bölünebilir. 24 ve 10 a bölünebilen sayılar 120 ye bölünebilir. 4, 5, 6, 8 ve 10 sayılarına bölünebilen en küçük pozitif tamsayı 120, 4,5,6,8 ve 10 sayılarına bölündüğünde 3 kalanını veren en küçük pozitif tamsayı 123 tür. 123 ün rakamları toplamı: 1+2+3=6 olur. Doğru Seçenek D dir. GENETĠK KOPYA-15 8 ve 10 sayılarına bölündüğünde 7 kalanını veren üç basamaklı en büyük doğal sayının rakamları toplamı kaçtır? A)15 B)16 C)18 D)19 E)22 IġIK-11 Tek numaralı basamaktaki rakamlar toplamı ile çift numaralı basamaktaki rakamlar toplamının farkı 11 in katı olan sayılar, 11 ile bölünebilir. (N= 100A+B için A+B sayısı 11 in katı ise, N sayısı 11 ile bölünebilir) Tek numaralı basamaktaki rakamlar toplamı ile çift numaralı basamaktaki rakamlar toplamının farkının 11 e bölümünden kalan, sayının 11 e bölümünden kalanı verir. DNA a7 sayısının 11 e bölünebilmesi için a kaç olmalıdır? A)0 B) 1 C)3 D)7 E) a7 ( ) (5+2+6+a) = 22-(13+a) = 9-a = 11.k k=0 için 9-a=0 ve a=9 olmalıdır. Doğru Seçenek E dir. GENETĠK KOPYA a altı basamaklı sayısının 11 e bölünebilmesi için a kaç olmalıdır? A)1 B)2 C)3 D)4 E)5 DNA sayısının iki basamaklı en büyük böleni kaçtır? A)11 B)33 C)66 D)77 E) sayısında; =36=4.9 olduğundan Sayı 9 ile bölünebilir. ( )-( )=18-18=0=0.11 Olduğundan sayı 11 ile de bölünebilir. 9 ve 11 ile bölünebilen sayılar 99 ile bölünebilir. Doğru Seçenek E dir. 81

82 GENETĠK KOPYA-17 Rakamları farklı, 9 basamaklı, 11 ile bölünebilen en küçük doğal sayı aģağıdakilerden hangisidir? A) B) C) D) E) TANIM 1 den baģka ortak böleni olmayan doğal sayılara, aralarında asaldır denir. 7 ; ; ; 29 4 ; 6 ; 27 Sayıları aralarında asaldır. DNA-18 Dört basamaklı, tam kare doğal sayılar arasında sadece bir tanesi aabb biçimindedir. a+b toplamı kaçtır? A) 6 B) 9 C) 11 D) 13 E) 14 aabb=a.1000+a.100+b.10+b=1100.a+11.b =11(100.a+b) =11.a0b Çözümlemesinden elde edilen çarpımın bir tam kare olması için, a0b sayısı içinde 11 çarpanı bulunmalıdır. (sayı 11 in katı olmalıdır) a0b sayısının 11 ile bölünebilmesi için de (a+b)-0=11k a+b=11 olmalıdır. Doğru Seçenek C dir. GENETĠK KOPYA-18 AĢağıdaki doğal sayılardan hangisi bir doğal sayının karesidir? A)4477 B)5566 C)6655 D)7744 E)3388 IġIK-12 3 ve 4 ile bölünebilen sayılar, 12 ile bölünebilir. UYARI 3 ve 4 sayıları aralarında asal olup, 12=3.4 tür. 12=2.6 olduğu halde, 2 ve 6 aralarında asal olmadığından, 2 ve 6 için uygulanamaz. DNA a8 sayısı 12 ile bölünebiliyorsa a kaçtır? A)3 B)4 C)5 D)6 E)7 4 ve 3 ile bölünebilmelidir. 4 ile bölünebilmesi için; a8 sayısı 4 ün katı olmalıdır. a nın alabileceği değerler: 0, 2, 4, 6, 8 3 ile bölünebilmesi için; a+8 = 23+a=3.k olmalıdır. a nın alabileceği değerler : 1, 4, 7 a nın her iki koģulu da sağlayan değeri 4 tür. Doğru Seçenek B dir. 82

83 GENETĠK KOPYA-19 A321B beģ basamaklı, rakamları farklı doğal sayısının 12 ile bölünebilmesi için A kaç olmalıdır? A)3 B)4 C)6 D)8 E)9 DNA-20 n pozitif tam sayısı, 3, 5 ve 12 ile bölünebilmektedir. AĢağıdakilerden hangisi aynı sayılar ile bölünebilir? A)n-2 B)n-1 C)n+1 D)n+15 E)n+60 12=3.4 olduğundan, 12 ile bölünebilen sayılar 3 ile bölünebilir. 5 ve 12 ile bölünebilen sayılar, 5 ve 12 aralarında asal olduğundan 5.12=60 ile bölünebilirler. 3,5 ve 12 ile bölünebilen en küçük pozitif tam sayı 60 tır. n sayısı aranan koģulu sağladığından, n+60 sayısı aranan sayıdır. Doğru Seçenek E dir. GENETĠK KOPYA-20 n pozitif tam sayısı, 4, 8 ve 12 ile bölünebilmektedir. AĢağıdakilerden hangisi aynı sayılar ile bölünebilir? A)n+12 B)n+16 C)n+24 D)n+32 E)n+36 DNA sayısı 2,3,4,5,6,8,9,10 ve 12 sayılarından kaç tanesi ile bölünebilir? A)3 B)4 C)6 D)8 E)9 Birler basamağı 8 dir. 2 ile bölünebilir. Rakamlar toplamı: =22 dir. 22 sayısı 3 ün katı olmadığından, bölenlerinden biri 3 değildir. Son iki basamağı 68 dir. 68=4.17 olup, 4 ile bölünebilir. Birler basamağı 0 veya 5 olmadığından, bölenlerinden biri 5 değildir. 3 ile bölünemediğinden, 6 bölenlerinden biri değildir. Son üç basamak 168 dir. Yüzler basamağı 1 ve tek, 68+4=72 72=9.8 olup, 8 ile bölünebilir. Rakamlar toplamı: =22 dir. 22 sayısı 9 un katı olmadığından, bölenlerinden biri 9 değildir. (3 ile bölünemediğinden, 9 ile de bölünemez) Birler basamağı 0 olmadığından, 10 bölenlerinden biri değildir için (7+6)-(1+8)=13-9=4 4 sayısı 11 in katı olmadığından, bölenlerinden biri 11 değildir. 3 ile bölünemediğinden, 12 bölenlerinden biri değildir. 83

84 2, 4 ve 8 olmak üzere üç tanesi ile bölünebilir. Doğru Seçenek A dır. GENETĠK KOPYA sayısı 2,3,4,5,6,8,9,10 ve 12 sayılarından kaç tanesi ile bölünebilir? A)1 B)2 C)3 D)4 E)5 DNA-22 Dört basamaklı 8A6B sayısının 15 ile bölünebilmesi için a+b toplamının en büyük değeri kaç olmalıdır? A)8 B)10 C)12 D)13 E)15 15=3.5 ve 3 ile 5 aralarında asal olduğundan verilen sayının 15 ile bölünebilmesi için, 3 ve 5 ile bölünebilmesi gerekir. 8A6B sayısının 5 ile bölünebilmesi için B=0 veya B=5 olmalıdır. 8A6B sayısının 3 ile bölünebilmesi için 8+A+6+B=3k 14+A+B=3k olmalıdır. B=0 için; 14+A+0=3k 14+A=3k A=1,4,7 olabilir. B=5 için; 14+A+5=3k 19+A=3k A=2,5,8 olabilir. A+B nin en büyük değeri; 8+5=13 olur. Doğru Seçenek D dir. GENETĠK KOPYA-22 BeĢ basamaklı A234B sayısı 15 ile bölünebildiğine göre, A+B toplamının en büyük değeri kaçtır? A)9 B)10 C)12 D)14 E)15 DNA-23 a b olmak üzere abab dört basamaklı sayısı 18 ile bölünebilmektedir. a nın alabileceği değerlerin toplamı kaçtır? A)16 B)17 C)20 D)22 E)25 18=2.9 ve 2 ile 9 aralarında asal olduğundan verilen sayının 18 ile bölünebilmesi için; 2 ve 9 ile bölünebilmesi gerekir. 2 için: b = 0, 2, 4, 6, 8 olabilir. 9 için: a+b+a+b = 2a+2b = 2(a+b) toplamı 9 un katı olmalıdır. b=0 ise a=9 b=2 ise a=7 b=4 ise a=5 b=6 ise a=3 b=8 ise a=1 olacaktır. a nın alabileceği değerlerin toplamı =25 bulunur. Doğru Seçenek E dir. GENETĠK KOPYA-23 BeĢ basamaklı 234ab sayısı 18 ile bölünebildiğine göre, a nın alabileceği en küçük değer kaçtır? A)0 B)1 C)2 D)3 E)4 84

85 DNA-24 BeĢ basamaklı 9876AB sayısı 20 ile bölünebildiğine göre, AB iki basamaklı sayısının en büyük değeri kaçtır? A)20 B)40 C)60 D)80 E)90 20=4.5 ve 4 ile 5 aralarında asal olduğundan verilen sayının 20 ile bölünebilmesi için 4 ve 5 ile bölünebilmesi gerekir. 5 için; B=0 veya B=5 olmalıdır. 4 için; AB sayısının 4 ile bölünebilmesi gerekir. B çift olmalıdır. B=0 için AB nin 4 e bölünebilmesi, Son iki basamağın 00, 20, 40, 60, nin katı olması ile mümkündür. Sayının 20 ile bölünebilmesi için; son iki basak 20 nin katı olmalıdır. En büyük değeri 80 dir Doğru Seçenek D dir. GENETĠK KOPYA ile bölündüğünde 18 kalanını veren bir sayının, 4 ve 5 ile bölündüğünde a ve b kalanlarını verdiği bilindiğine göre, a+b toplamı kaçtır? A)2 B)3 C)4 D)5 E)6 DNA-25 23A5B beģ basamaklı sayısı 24 ile bölünebilmektedir. A, kaç farklı değer alabilir? 24=3.8 ve 3 ile 8 aralarında asal olduğundan verilen sayının 24 ile bölünebilmesi için 3 ve 8 ile bölünebilmesi gerekir. 23A5B sayısı 8 ile bölünebiliyorsa; A çift iken; 5B sayısı 8 in katı olmalıdır. B=6 için 56=7.8 A tek iken; 5B sayısının 4 eksiği 8 in katı olmalıdır. B=2 için 52-4=48=6.8 B nin alabileceği değerler 6 ve 2 dir. 23A5B sayısı 3 ile bölünebiliyorsa; 2+3+A+5+B=10+A+B=3k olmalıdır. A tek iken, B=2 için; 10+A+2=12+A=3k A=3,9 A çift iken, B=6 için; 10+A+6=16+A=3k A=2,8 olmak üzere A, 4 farklı değer alabilir. Doğru Seçenek B dir. GENETĠK KOPYA-25 A543B beģ basamaklı sayısı 24 ile bölünebilmektedir. A nın alabileceği değerlerin toplamı kaçtır? A)7 B)8 C)11 D)12 E)13 A)3 B)4 C)6 D)8 E)9 85

86 DNA-26 Dört basamaklı, 25 ile bölünebilen kaç tane doğal sayı vardır? A)90 B)180 C)270 D)360 E)450 Sayının 25 ile bölünebilmesi için son iki basamağı: 00, 25, 50,75 olmalıdır. abcd dört basamaklı sayısında, a yerine 9 rakam, b yerine 10 rakam yazılabileceğinden son iki basamağı cd olan 9.10=90 sayı yazılabilir. Her birinden 90 tane sayı olacağından 4.90=360 tane sayı vardır. Doğru Seçenek D dir. 9 için: 7+a+9+b=16+a+b=9k b=2 ise 16+a+2=18+a=9k a, 0 veya 9 b=6 ise 16+a+6=22+a=9k a, 5 olmalıdır. a+b=0+2=2 a+b=9+2=11 a+b=5+6=11 olacağından en büyük değeri 11 dir. Doğru Seçenek C dir. GENETĠK KOPYA-27 3A4B sayısı 36 ile bölünebiliyorsa, a kaç farklı değer alabilir? A)1 B)2 C)3 D)4 E)5 GENETĠK KOPYA sayısının 25 ile bölümünden kalan kaçtır? A)5 B)10 C)15 D)20 E)21 DNA-27 7a9b sayısı 36 ile bölünebiliyorsa a+b toplamının en büyük değeri kaçtır? A)9 B)10 C)11 D)12 E)13 36=4.9 ve 4 ile 9 aralarında asal olduğundan verilen sayının 36 ile bölünebilmesi için 4 ve 9 ile bölünebilmesi gerekir. DNA-28 x01y sayısı 72 ile bölünebiliyorsa, x+y toplamı kaçtır? A)8 B)9 C)10 D)11 E)17 72=8.9 ve 8 ile 9 aralarında asal olduğundan verilen sayının 72 ile bölünebilmesi için 8 ve 9 ile bölünebilmesi gerekir. 8 için; 01y, 8 in katı olmalıdır. y=6 olmalı. 9 için; x+0+1+y=x+0+1+6=x+7=9k x=2 olmalı. x+y=2+6=8 olur. Doğru Seçenek A dır. 4 için; 9b sayısı 4 ün katı olacağından, b, 2 veya 6 olmalı, 86

87 GENETĠK KOPYA-28 A34B sayısı 72 ile bölünebiliyorsa A+B toplamı kaçtır? A)7 B)8 C)9 D)11 E)12 DNA-30 toplamının 11 ile bölümünden kalan 8 ise a kaçtır? A)1 B)2 C)3 D)4 E)5 DNA-29 6 ya tam olarak bölünemeyen pozitif tamsayılar küçükten büyüğe doğru sıralanıyor. Bu sıralamadaki 100. sayı aģağıdakilerden hangisidir? A)109 B)111 C)119 D)123 E)125 ArdıĢık her 6 pozitif tamsayıdan biri 6 ya tam olarak bölünebilir, diğer beģ tanesi bölünemez. Bu durumda sayıları beģer beģer gruplandırdığımızda; 100:5=20 tane beģli gurup bulunur. Her grup 6 sayı için yazıldığından 20.6=120 sayı için oluģturulmuģtur. Son grup içindeki son sayı 119 dur. Doğru Seçenek C dir. GENETĠK KOPYA-29 4 e tam olarak bölünemeyen tamsayılar küçükten büyüğe doğru sıralanıyor. Bu sıralamadaki 50. Sayı aģağıdakilerden hangisidir? Basamak sayısı çift olanlar 11 ile bölünebilir. Örneğin; aaaa sayısı için (a+a)-(a+a)=0=11k Basamak sayısı tek olanların 11 ile bölümünden kalan a dır. Örneğin; aaaaa sayısı için (a+a+a)-(a+a)=a 1,3,5,7,9 ve 11 basamaklı sayıların her birinden kalan a olduğundan, Toplamın 11 e bölümünden kalan 6.a dır. 6.a=11k+8 olması için a=5 olmalıdır. Doğru Seçenek E dir. GENETĠK KOPYA-30 AĢağıdaki sayılardan kaç tanesi 11 ile bölünebilir? I.616 II.264 III.4596 IV.4562 V.2090 A)1 B)2 C)3 D)4 E)5 A)61 B)62 C)63 D)65 E)66 87

88 KONU TESTĠ A42 sayısı 3 ile bölünebiliyor. A nın alabileceği kaç farklı değer vardır? A)2 B)3 C)4 D)5 E)9 6. [3(460+x)] 2 = 1971a16 eģitliğinin doğru olması için a =? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) A427B altı basamaklı bir doğal sayıdır. Sayı 6 ile bölünebiliyorsa A+B toplamı kaç farklı değer alabilir? A)2 B)3 C)4 D)5 E) ile 1000 sayıları arasında 7 ve 8 ile bölünebilen kaç doğal sayı vardır? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 3. A < B olmak üzere, üç basamaklı 5AB sayısının 5 ile bölümünden kalan 3 tür. Bu sayının 4 ile bölünebilmesi için A nın alabileceği değerlerin toplamı kaçtır? A) 6 B) 8 C) 12 D) 16 E) Bir A sayısının rakamlarının sayı değerlerinin toplamı 16 dır. Buna göre, A 2 sayısının 9 ile bölümünden kalan kaçtır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) iģleminden elde edilen sayının 9 ile bölümünden kalan kaçtır? A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 8 9. ab ve cd iki basamaklı sayılarının 9 ile bölümlerinden kalanlar sırasıyla 7 ve 5 tir. abcd dört basamaklı sayısının 9 ile bölümünden kalan kaçtır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) toplamının 9 ile bölümünden kalan kaçtır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) a6a41 beģ basamaklı sayısı 9 ile bölünebiliyorsa a kaçtır? A) 3 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 88

89 11. A=6 6-1 sayısı aģağıdakilerden hangisine tam bölünemez? A) 5 B) 7 C) 31 D)36 E) n tamsayısının 8 e bölümünden kalan 3 tür. 6.n sayısının 8 e bölümünden kalan kaç olur? A)0 B)1 C)2 D)3 E)4 12. n pozitif tamsayısının 5 ile bölümünden kalan 3 tür. AĢağıdaki sayılardan hangisi 5 ile bölünebilir? A)n+3 B)n+2 C)n+1 D)n-1 E)n n bir tamsayı olmak üzere, (2n+2) 2 sayısının 4 ile bölümünden kalan kaç olur? A)0 B)1 C)2 D)3 E)4 13. n tamsayısı3, 5 ve 12 ile bölünebilmektedir. n den küçük ve bu sayılarla bölünebilen büyük sayı aģağıdakilerden hangisidir? A)n-3 B)n-5 C)n-12 D)n-15 E)n , 7 ve 20 ile bölünebilen en küçük pozitif tamsayı aģağıdakilerden hangisidir? 1.C 2.E 3.C 4.E 5.E 6.C 7.B 8.A 9.A 10.E 11.D 12.B 13.E 14.C 15.C 16.A A)35 B)70 C)140 D)200 E)280 89

90 KONU TESTĠ 1. Rakamları toplamı 9 olan, 3 ile bölünebilen iki basamaklı en küçük doğal sayı aģağıdakilerden hangisidir? 6. Yalnızca 1 ve 0 rakamları kullanılarak yazılabilecek doğal sayılardan 225 ile bölünebilen en küçük sayı kaç basamaklıdır? A)3 B)9 C)10 D)11 E)12 A)27 B)33 C)72 D)18 E)90 2. AĢağıdaki sayılardan hangisi 3 ile bölünemez? A)339 B)342 C)552 D)1111 E) A6B dört basamaklı doğal sayısı 72 ile bölünebildiğine göre, A nın alabileceği değerlerin çarpımı kaçtır? A)10 B)12 C)14 D)16 E)18 3. {1,2,3,4,5,6} kümesinin elemanları ile yazılan, rakamları tekrarsız beģ basamaklı doğal sayılardan kaç tanesi 4 ile bölünebilir? 8. AĢağıdaki sayılardan hangisi 99 ile bölünebilir? A)3744 B) C) D) E) A)144 B)168 C)192 D)216 E) n ve 352 n sayıları 7 ile bölündüklerinde aynı kalanı vermektedir. Buna göre n in en küçük pozitif tamsayı değeri kaçtır? A)2 B)3 C)4 D)5 E) Toplamının 6 ile bölümünden kalan kaçtır? 9. aab üç basamaklı sayısı 12 ile bölünebilmektedir. a < 4 olduğuna göre, b nin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır? A)6 B)8 C)10 D)12 E) Altı basamaklı 65a43b doğal sayısı 12 ile bölünebilmektedir. Buna göre, a kaç farklı değer alabilir? A)3 B)4 C)5 D)6 E)7 A)0 B)2 C)3 D)4 E)5 90

91 Toplamı aģağıdaki sayılardan hangisi ile tam bölünemez? A)2 B)3 C)21 D)27 E) Üç basamaklı abc doğal sayısı 5 ile bölünebilmektedir. 9 ile bölümünden kalan 1 ise, a.b çarpımının en büyük değeri kaçtır? A)15 B)24 C)48 D)49 E) Dört basamaklı a01b doğal sayısı 8 ve 9 ile bölünebilmektedir. Buna göre a+b toplamı kaçtır? A)5 B)6 C)7 D)8 E) BeĢ basamaklı 12a3b doğal sayısı a b için 4 ve 9 ile bölünebildiğine göre, a kaçtır? A)1 B)2 C)3 D)6 E)7 1.D 2.D 3.C 4.B 5.A 6.C 7.C 8.B 9.E 10.E 11.C 12.D 13.A 14.B 15.C 16.D 14. Dört basamaklı abba doğal sayısı 15 ile bölünebildiğine göre, b nin alabileceği değerler toplamı kaçtır? A)9 B)12 C)18 D)23 E) BeĢ basamaklı 561xy doğal sayısı 45 ile bölünebildiğine göre, x in en büyük değeri kaçtır? A)1 B)5 C)6 D)7 E)8 91

92 KONU TESTĠ 1. {0,1,2,3,4,5} rakamları kullanılarak yazılabilen, rakamları tekrarsız, 4 basamaklı, 3 ile bölünebilen en büyük sayı 4,5,6,8,9 sayılarından kaç tanesi ile bölünebilir? A)1 B)2 C)3 D)4 E)5 2. Her hangi bir tek sayının karesinin, 8 e bölümünden kalan kaçtır? 6. Üç basamaklı doğal sayılardan kaç tanesi 27 ile bölünebilir? A)30 B)31 C)32 C)33 E) A407B altı basamaklı sayısı 12 ile bölünebilmektedir. A-B farkının en büyük değeri kaçtır? A)7 B)6 C)5 D)4 E)3 A)0 B)1 C)2 D)3 E) ab6 sayısı 8 ile bölünebilen beģ basamaklı bir sayıdır. a+b toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır? A)12 B)14 C)15 D)16 E)17 4. A84B84 altı basamaklı sayısı 72 ile bölünebiliyor. A nın alabileceği kaç farklı değer vardır? A)1 B)3 C)4 D)5 E)6 8. 5A55B beģ basamaklı sayısı 72 ile bölünebiliyor. A kaçtır? A)1 B)2 C)3 D)4 E)6 9. A B 18 basamaklı sayısı 99 ile bölünebiliyor. A+B toplamı kaçtır? A)6 B)8 C)10 D)12 E) sayısı 2,3,4,5,6,7,8,9,10 sayılarından kaç tanesi ile bölünebilir? A)4 B)5 C)6 D)7 E)8 5. Ġlk 200 pozitif tamsayı içinde 3,4,5 ve 6 ile bölünebilen kaç tane sayı vardır? A)3 B)4 C)5 D)6 E)7 92

93 sayısı 2,3,4,5,6,7,8,9,10 sayılarından kaç tanesi ile bölünebilir? A)4 B)5 C)6 D)7 E)8 16. n! sayısının 9 a bölünebilmesi için n in en küçük değeri kaç olmalıdır? ( n! = n alınacaktır ) A)3 B)4 C)5 D)6 E)9 12. AĢağıdaki sayılardan hangisi 7 ile bölünebilir? A)673 B)694 C)745 D)756 E)827 1.B 2.B 3.E 4.D 5.A 6.E 7.E 8.A 9.C 10.B 11.A 12.D 13.C 14.D 15.A 16.D 13. 5,7 ve 20 ile bölünebilen en küçük pozitif tam sayı aģağıdakilerden hangisidir? A)35 B)70 C)140 D)200 E) , 10, 15, 21 ve 28 ile bölünebilen beģ basamaklı en büyük doğal sayı aģağıdakilerden hangisidir? A)99840 B)99900 C)99920 D)99960 E) aaaa dört basamaklı sayısı, 6 ile bölünebilmektedir. Verilen sayının, 6 ile bölümünden elde edilen bölümün rakamları toplamı kaçtır? A)4 B)6 C)12 D)24 E)32 93

94 ASAL SAYILAR TANIM 1 ve kendisinden baģka hiç bir doğal sayıya bölünemeyen 1 den büyük doğal sayılara asal sayılar denir. 2, 3, 5, 7, 11, gibi. En küçük asal sayı 2 dir. 2 sayısı dıģında, diğer asal sayılar tek sayıdır. DNA-1 a,b,c asal sayılar ve a< b< c dir. a+b+c = 22 ve a.b+b.c+c.a = 131 ise b.c çarpımı kaçtır? A)7 B)13 C)14 D)26 E)91 a+b+c = 22 toplamı çift olduğundan sayılardan en az biri çift olmalıdır. Bu durumda kesinlikle a =2 olmalıdır. 2.b+b.c+2.c=131 2(b+c)+b.c=131 eģitliğinde deneme ile b =7 ve c =13 olacağı bulunur. b.c = 7.13 = 91 olacaktır. Doğru Seçenek E dir. GENETĠK KOPYA-1 x ve y asal sayılar olmak üzere, 2x+y=16 ise, x+y toplamı kaçtır? A)5 B)7 C)9 D)11 E)13 DNA sayısından küçük 25 tane asal sayı vardır. 100 den farklı kaç tane n tamsayısı için n den küçük asal sayıların sayısı 25 tir? A)2 B)3 C)4 D)5 E)6 100 sayısından küçük en büyük asal sayı 97 dir. 100 sayısından büyük en küçük asal sayı 101 dir. 100 asal sayı değildir. 98, 99, 101 sayılarından küçük asal sayılar 25 tanedir. Doğru Seçenek B dir. GENETĠK KOPYA-2..., 59, 53, 47,?, Asal sayı dizisinde? yerine hangi sayı yazılabilir? A)37 B)41 C)43 D)45 E)46 HAZĠNE-1 a,b,c, farklı asal sayılar, p,q,r, sayma sayıları olmak üzere ; N > 1 için her bir N doğal sayısı N = a p.b q.c r olacak Ģekilde tek türlü asal çarpanlarına ayrılır. UYARI Atom parçalandığında ortaya çıkan büyük enerji, Matematikte bir Doğal sayının asal çarpanlara ayrılması ile eģ değerli olabilir. Bu yüzden sayı problemlerinin pek çoğunda çözüme, verilen Doğal sayıları asal çarpanlara ayırmakla başlamakta yarar vardır. DNA sayısının asal çarpanlara ayrılmıģ biçimi aģağıdakilerden hangisidir? A) B) C) D) E)

95 540 sayısını, en küçük asal sayı olan 2 ile bölmeye baģlar ve içindeki tüm asal sayı bölenlerini ararız. DNA-5 a,b,c asal sayılar, a = 3 b-2.13 c-2 olduğuna göre ; a+b+c toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır? A)2 B)3 C)4 D)5 E)8 a'nın asal sayı olması için, 3 b-2 veya 13 c-2 den birinin 1 olası gerekir. Toplamın küçük olması istendiğinden; 13 c-2 =1 ve 3 b-2 =3 olmalıdır. Doğru Seçenek A dır. GENETĠK KOPYA-3 72 sayısının asal çarpanlara ayrılmıģ biçimi aģağıdakilerden hangisidir? A)2.3 B)2 2.3 C) D) E) a 0 için; a 0 =1 ve a 1 =a olduğundan c-2=0, c=2, 13 c-2 =13 0 =1 b-2=1, b=3, 3 b-2 =3 1 =3 a = 3 b-2.13 c-2, a=3.1=3 olmalıdır. a+b+c =3+3+2=8 bulunur. Doğru Seçenek E dir. DNA sayısının en küçük iki asal çarpanının toplamı kaçtır? A)2 B)5 C)7 D)10 E)12 250=2.5 3 Ģeklinde çarpanlara ayrıldığında, en küçük iki asal çarpanının 2 ve 5 olduğu görülür. 2+5=7 bulunur. Doğru Seçenek C dir. GENETĠK KOPYA-5 a,b,c birbirinden farklı asal sayılar, N = a 2.b 3.c 4 eģitliği veriliyor. N in en küçük değeri için a+b+c toplamı kaçtır? A)5 B)7 C)8 D)10 E)12 GENETĠK KOPYA-4 90 sayısının tüm asal çarpanlarının toplamı kaçtır? A)2 B)5 C)7 D)10 E)12 DNA-6 x,y N ve x 2 -y 2 = 13 ise x kaç olmalıdır? A)5 B)6 C)7 D)8 E)9 95

96 a 2 -b 2 =(a-b)(a+b) özdeģliğinden; x 2 -y 2 = (x-y)(x+y) x ve y doğal sayı olduğundan, x+y ve x-y de doğal sayı olacaktır. 13 bir asal sayı olduğundan, ancak 1.13 biçiminde iki doğal sayının çarpımı olarak yazılabilir. x 2 -y 2 = (x-y)(x+y)=1.13 x-y = 1 ve x+y = 13 olmak zorundadır. Sistem çözüldüğünde; x =7 ve y =6 bulunur. Doğru Seçenek C dir. GENETĠK KOPYA-6 a,b doğal sayıları için; a 2 -b 2 =7 ise b kaçtır? A)2 B)3 C)4 D)5 E)6 DNA-7 1 den büyük asal olmayan bir tamsayının rakamlarının toplamı, sayı asal çarpanlarına ayrılarak yazıldığında, bu yazılıģta bulunan tüm asal çarpanlarının rakamlarının toplamına eģit oluyorsa bu tür sayılara Smith sayısı adı verilir. Örneğin, 728 sayısı asal çarpanlarına 728= biçiminde ayrılır = olduğundan 728 bir Smith sayısıdır. Bu tanıma göre, aģağıdaki sayılardan hangisi bir Smith sayısıdır? A)21 B)24 C)27 D)36 E)45 GENETĠK KOPYA-7 Asal olmayan 1 den büyük tamsayılara birleģik tamsayı denir. AĢağıdakilerden hangisi birleģik tamsayı değildir? A)12 B)18 C)21 D)23 E)25 DNA-8 n doğal sayı olmak üzere, 2 2n +1 biçiminde yazılabilen asal sayılara Fermat asalı denir. AĢağıdakilerden hangisi Fermat asalıdır? A)7 B)15 C)17 D)23 E)29 n=0 için; 2 2n +1= = =2+1=3 n=1 için; 2 2n +1= = =4+1=5 n=2 için; 2 2n +1= = =16+1=17 sayısı Fermat asalıdır. Doğru Seçenek C dir. GENETĠK KOPYA-8 n doğal sayı olmak üzere, 2 n -1 biçiminde yazılabilen asal sayılara Mersenne asalı denir. AĢağıdakilerden hangisi Mersenne asalıdır? A)5 B)11 C)13 D)31 E)37 27= =3+3+3 olduğundan 27 bir Smith sayısıdır. Doğru Seçenek C dir 96

97 DNA-9 a,n N + için a =2 ve n asal sayı ise a n -1 asaldır = =31 AĢağıdaki sayılardan hangisi asaldır? A) B) C) D) E) ifadesinde n=29 asal olduğundan sayısı da asaldır. Doğru Seçenek E dir Ġki asal sayının toplamı da bir asal sayı ise bu sayılardan küçüğü 2 dir. a+b=19 eģitliğinde 19 asal sayı, a ve b de asal sayı olduğundan; a=2 dir. Doğru Seçenek A dır. GENETĠK KOPYA-10 k pozitif tamsayı olmak üzere, 4k+1 biçiminde yazılabilen sayılara Hilbert asalı denir. AĢağıdakilerden hangisi Hilbert asalıdır? A)3 B)7 C)11 D)17 E)19 GENETĠK KOPYA-9 n! + 1 < p < n! + n koģulunu sağlayan p lerden hiçbiri asal değildir. 5!+1 < p < 5!+5 koģulunu sağlayan bir p asal sayısı yoktur. 12!+1 < X < 12!+12 koģulunu sağlayan kaç tane asalsayı vardır? A)0 B)1 C)2 D)3 E)4 Asal sayıların birkaç güzel özelliğini de örneklerle verelim. 2 den büyük bütün çift doğal sayılar, iki asal sayının toplamı olarak yazılabilir. 36=7+29=13+23 Tüm çift doğal sayılar, iki asal sayının farkıdır. 12=23-11 DNA-10 a ve b asal sayılar, a < b olmak üzere, a+b=19 ise, a kaçtır? 5 den büyük tüm pozitif tamsayılar, üç asal sayının toplamı olarak yazılabilir. 35= A)2 B)3 C)5 D)7 E)11 97

98 ARALARINDA ASAL SAYILAR TANIM 1 den baģka ortak böleni olmayan doğal sayılara, aralarında asaldır denir. 7 ; ; ; 29 4 ; 6 ; 27 Sayıları aralarında asaldır. UYARI ArdıĢık doğal sayılar aralarında asaldır. 14 ; ; 19 UYARI Aralarında asal sayıların toplamları ve çarpımları da aralarında asaldır. 56=7.8 7 ye bölünür. 88= e bölünür. 105= e bölünür. 156= e bölünür. Seçenekler içinde 3 e, 7 ye ve 11 e bölünemeyen sayı 1001 ile aralarında asaldır. 128 aranan sayıdır. Doğru Seçenek D dir. GENETĠK KOPYA-11 AĢağıdaki sayılardan hangisi 72 sayısı ile aralarında asaldır? A)24 B)36 C)50 D)75 E) = =91 20 ve 91 sayıları aralarında asaldır. UYARI ArdıĢık iki sayının toplamı ile bunların karelerinin toplamı aralarında asaldır. 4+5= =41 9 ve 41 sayıları aralarında asaldır. DNA-12 1 n 100 koģulunu sağlayan doğal sayılardan; Kaç tanesi 15 sayısı ile aralarında asaldır? A)20 B)33 C)47 D)53 E)67 DNA-11 AĢağıdaki sayılardan hangisi 1001 sayısı ile aralarında asaldır? A) 56 B) 88 C) 105 D) 128 E) 156 Aralarında asal olmaları için, 1 den baģka ortak bölenleri olmamalıdır. 1001= olduğundan, Bölenleri; 3, 7 ve 11 dir. Verilen doğal sayılardan, 15 ile aralarında asal olanlar; 15 = 3.5 olduğundan (bölenleri 3 ve 5) 3 ve 5 sayılarından herhangi birine bölünmemelidir. (1 den baģka ortak bölenleri olamaz) Bu sayıları bulmak için biz önce 3 e ve 5 e bölünebilenlerin sayısını bulmalıyız. Verilen 100 doğal sayı içinde, 3 e bölünebilen sayıların adedi; 98

99 100 ün, 3 e bölümünden bulunacak bölüm kadardır. 100 = den 33 tanesi 3 ile, Benzer Ģekilde; 5 sayısı için 100 = 5.20 den 20 tanesi 5 ile, 3 ve 5 ile bölünebilen sayılar 15 ile de bölünebileceğinden; 100 = dan 6 tanesi 3 ve 5 ile bölünebilir. Kümelerin eleman sayıları için; s(a B)=s(A)+s(B)-s(A B) olduğundan 3 veya 5 ile bölünebilen sayılar; = 47 tanedir. Ne 3 e ne de 5 e bölünemeyen, 15 sayısı ile aralarında asal olan sayılar da; = 53 tanedir. Doğru Seçenek D dir. a+b+c toplamının küçük olması için sayılar küçük seçilmelidir. En küçük asal sayı 2 olduğundan a=2 seçildiğinde c=4a c=4.2=8 olur. b=3 alındığında, kendisi asal olup, c=8 sayısı ile de aralarında asaldır. a+b+c=2+3+8=13 toplamın en küçük değeridir. Doğru Seçenek E dir. GENETĠK KOPYA-13 a, b, c ardıģık üç asal sayıdır. a+b+c toplamı en az kaçtır? A)6 B)8 C)10 D)12 E)19 GENETĠK KOPYA-12 1 n 100 koģulunu sağlayan doğal sayılardan; Kaç tanesi 6 sayısı ile aralarında asaldır? A)16 B)28 C)33 D)42 E)50 DNA-13 a ve b asal sayılar, b ve c sayıları da aralarında asal sayılardır. c=4a ise a+b+c toplamının en küçük değeri kaçtır? A)9 B)10 C)11 D)12 E)13 99

100 KONU TESTĠ 1. Sıfırdan farklı bir doğal sayının 13 katı ile 17 katı toplanıyor. Bu toplamın en az kaç farklı asal çarpanı vardır? sayısının kaç tane farklı asal sayı çarpanı vardır? A)2 B)3 C)4 D)5 E)7 A)2 B)3 C)4 D)5 E)6 2. AĢağıdaki sayılardan hangisi 12 sayısı ile aralarında asaldır? den küçük ve 100 ile aralarında asal kaç tane doğal sayı vardır? A) 32 B) 36 C) 40 D) 45 E) 49 A)8 B)9 C)10 D)11 E) n 100 koģulunu sağlayan doğal sayılardan; Kaç tanesi 8 sayısı ile aralarında asaldır? ile 70 arasındaki dokuz tamsayıdan kaç tanesi 12 sayısı ile aralarında asaldır? A)2 B)3 C)4 D)5 E)6 A)12 B)38 C)50 D)62 E)88 4. Rakamlarının karelerinin toplamı 1 olan sayılara Mutlu sayılar denir. Örneğin; 13 sayısı için, = =1 AĢağıdakilerden hangisi Mutlu sayıdır? A)21 B)23 C)102 D)201 E) x ve y doğal sayıları için; x 2 -y 2 =13 ise, x+y toplamı kaçtır? A)12 B)13 C)14 D)26 E)28 9. x ve y pozitif tamsayıları için; x.y =13 ise, x+y toplamı kaçtır? A)13 B)14 C)16 D)20 E)26 100

101 10. x asal sayısı için 17x+1 ifadesi tam kare ise, x kaçtır? A) 15 B) 17 C) 19 D) 23 E) a,b ve c farklı rakamlar, ab ve bc aralarında asal iki basamaklı sayılardır. ab+bc toplamının en küçük değeri için; ab-bc farkı kaçtır? A)7 B)8 C)9 D)10 E) !+88! Sayısının en büyük asal sayı böleni kaçtır? A)87 B)88 C)89 D)90 E) , 45, 79, 90, 97 Sayılarından kaç tanesi asal sayıdır? A)1 B)2 C)3 D)4 E)5 12. Aralarında asal üç sayının çarpımı 720 dir. Bu üç sayının toplamının en küçük değeri kaçtır? A)22 B)27 C)30 D)45 E)62 1.B 2.D 3.C 4.B 5.B 6.C 7.B 8.B 9.B 10.B 11.C 12.B 13.C 14.B 15.B 16.B 13. 7, 5 ve 3 sayıları, a.b+c=22 eģitliğinde yerlerine yazıldığında, a,b,c sıralaması için aģağıdakilerden hangisi doğrudur? A)7,5,3 B)7,3,5 C)3,5,7 D)3,7,5 E)5,7, ve 0 rakamlarını kullanarak yazılabilecek asal sayının rakamları toplamı kaçtır? A)1 B)2 C)3 D)4 E)5 101

102 DOĞAL SAYI BÖLENLERĠ Bu bölümde; bir doğal sayıyı asal çarpanlara ayırmanın bize sağladığı baģka kolaylıkları inceleyeceğiz. Örneğin; N = 120 doğal sayısının kaç tane doğal sayı böleni vardır?sorusunu çözmek için; 1,2,3,4,5,6,.., 120 diyerek tüm bölenlerini bulmak oldukça zamanımızı alacaktır. HAZĠNE-1 N = a p.b q.c r (p+1)(q+1)(r+1) vardır. sayısının, tane doğal sayı böleni IġIK-1 Doğal sayı bölenlerinin toplamsal tersleri de N sayısının bir böleni olacağından; N in tam sayı bölenlerinin sayısı, doğal sayı bölenlerinin iki katı kadardır. DNA sayısının kaç tane doğal sayı böleni vardır? A)12 B)13 C)14 D)15 E)16 GENETĠK KOPYA-1 72 sayısının kaç tane doğal sayı böleni vardır? A)3 B)4 C)6 D)7 E)12 DNA-2 A= sayısının kaç tane doğal sayı böleni vardır? A)64 B)80 C)100 D)125 E)150 A= =( )( )( ) = = ġeklinde asal çarpanlara ayrıldığında; (4+1)(4+1)(4+1)=5.5.5=125 tane doğal sayı böleni vardır. Doğru Seçenek D dir. GENETĠK KOPYA-2 N=12 2 sayısının kaç tane doğal sayı böleni vardır? A)3 B)4 C)6 D)13 E)15 N = 120 = olarak yazıldığında; kural gereği (3+1)(1+1)(1+1)=4.2.2=16 tane Doğal sayı böleni vardır. Ġlk soru olduğu için bir kez bu bölenleri tek tek yazalım ve biraz da irdeleyelim. Bölenler; 1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,20,24,30,40,60,12 0 olmak üzere 16 tanedir. Doğru Seçenek E dir. DNA ile aralarında asal abc üç basamaklı sayısının 12 tane pozitif tamsayı böleni varsa abcabc altı basamaklı sayısının kaç tane pozitif tam sayı böleni vardır? A)24 B)36 C)48 D)72 E)96 102

103 abcabc sayısını çözümleyelim. abcabc = = a+10000b+1000c+100a+10b+c = a+10010b+1001c = 1001(100a+10b+c) = 1001.abc = abc abc sayısının 12 tane pozitif tam sayı böleni olduğundan, asal çarpanlarının üslerinin birer fazlasının çarpımı 12 dir. abcabc = abc sayısının, pozitif tam sayı bölenlerinin sayısını bulmak için; tüm asal çarpanlarının üslerinin birer fazlası çarpılacağından (1+1)(1+1)(1+1).12 = 96 tane pozitif tam sayı böleni vardır. Doğru Seçenek E dir. Bu yüzden; 1800 = = 2.5.( ) yazdığımızda; 10 çarpanı dıģında in (2+1)(2+1)(1+1) =3.3.2= 18 tane doğal sayı böleni vardır. Bu 18 tane bölen 10 ile çarpıldığında; 1800 ün 10 un katı olan 18 tane böleni bulunur. Doğru Seçenek D dir. GENETĠK KOPYA sayısının doğal sayı bölenlerinden kaç tanesi tek sayıdır? A)4 B)6 C)12 D)18 E)24 GENETĠK KOPYA sayısının 96 tane doğal sayı böleni olduğu bilindiğine göre; verilen sayının sondan kaç basamağı O dır? A)3 B)4 C)5 D)6 E)7 DNA sayısının doğal sayı bölenlerinden kaç tanesi 10 un katıdır? A)12 B)14 C)16 D)18 E) sayısını asal çarpanlarına ayıralım = olur. DNA-5 7! Sayısının doğal sayı bölenlerinden kaç tanesi tek sayıdır? A) 4 B) 6 C) 19 D) 12 E) 24 7! = = = Tek sayıların içinde 2 çarpanı olmayacağından; 7! = 2 4 ( ) ifadesinde parantez içindeki sayının doğal sayı bölenleri tektir. (2+1)(1+1)(1+1)=3.2.2=12 tane tek doğal sayı böleni vardır. Doğru Seçenek D dir. Bölenlerinin 10 un katı olması için; A=10.B=(2.5).B Ģeklinde yazılabilmelidir. 103

104 GENETĠK KOPYA-5 10! Sayısının kaç tane tamsayı böleni vardır? A)128 B)256 C)270 D)512 E)540 DNA-7 Kendisinden farklı pozitif çarpanlarının toplamı, kendisine eģit olan pozitif tam sayıya mükemmel sayı denir. 6, 28, 496, gibi. 6 nın bölenleri ; 1,2,3, =6 28 in bölenleri ; 1,2,4,7,14, =28 DNA-6 N 2 =360 2 sayısının doğal sayı bölenlerinden kaç tanesi N sayısından küçüktür? A)24 B)48 C)52 D)96 E)105 N 2 =( ) 2 = olduğundan; N 2 sayısının (6+1)(4+1)(2+1)=7.5.3=105 tane doğal sayı böleni vardır. Bu 105 tane bölenden biri N olduğundan geriye kalan 105-1=104 tane böleninden Yarısı N den küçük, yarısı N den büyüktür tanedir. = = = 104 = Doğru Seçenek C dir. GENETĠK KOPYA-6 A=250 doğal sayısının karesinin doğal sayı bölenlerinden kaç tanesi A dan büyüktür? A)6 B)7 C)8 D)10 E)12 2 n -1 asal ise 2 n-1 (2 n -1) mükemmel sayıdır. AĢağıdaki sayılardan hangisi hem mükemmel sayı, hem de üçgen sayıdır? A)7 B)21 C)28 D)36 E)45 28 in bölenleri ; 1,2,4,7,14, =28 Mükemmel sayı =28 Üçgen sayı. Doğru Seçenek C dir. GENETĠK KOPYA-7 Kendisinden farklı pozitif çarpanlarının toplamı, kendisinden büyük olan pozitif tam sayıya güçlü sayı denir. 12, 30, 36, gibi. 12 nin bölenleri ; 1,2,3,4,6, =16 > un bölenleri; 1,2,3,5,6,10,15, =42 > 30 En küçük tek abundant sayı 945 tir. AĢağıdaki sayılardan hangisi güçlü sayı değildir? A)12 B)15 C)18 D)20 E)24 104

105 DNA-8 Kendisinden farklı pozitif çarpanlarının toplamı, kendisinden küçük olan pozitif tam sayıya güçsüz sayı denir. 8, 15, 35, gibi. 8 in bölenleri ; 1,2,4, =7 < 8 15 in bölenleri;1,3,5, =9 < 15 Yukarıda, bölenlerinin sayısı ve toplamı ile doğal sayılar arasında yapılan tanımlar, ders kitaplarında olmadığı halde geçmiģ yıllarda ÖSS sorusu olarak sorulmuģtur. Bu yüzden, konunun ayrıntılarına değinmiģ olduk. AĢağıdaki sayılardan hangisi güçsüz sayı değildir? A)4 B)5 C)6 D)8 E)16 4 ün bölenleri: 1,2,4 1+2=3 < 4 5 in bölenleri: 1,5 1 < 5 6 nın bölenleri ; 1,2,3, =6 Mükemmel sayı. 8 in bölenleri: 1,2,4, =7 < 8 16 nın bölenleri: 1,2,4,8, =15 < 16 Doğru Seçenek C dir. DNA sayısının pozitif tamsayı bölenlerinden kaç tanesi tam karedir? A)3 B)4 C)5 D)6 E)7 360= olarak asal çarpanlarına ayrıldığında; 2 2 =4, 3 2 =9 ve (2.3) 2 =6 2 =36 0lmak üzere 3 tane tam kare böleni var. Doğru Seçenek A dır. GENETĠK KOPYA-9 x Z + için x 3 sayısı in bir bölenidir. x in en büyük değeri kaçtır? A)10 B)12 C)15 D)20 E)25 GENETĠK KOPYA-8 Kendisinden küçük tüm doğal sayılar içinde en çok doğal sayı böleni olan sayılara çok bölenli sayı denir. 6, 12, 24,. gibi. AĢağıdaki sayılardan hangisi güçsüz sayı değildir? A)4 B)6 C)12 D)16 E)24 DNA-9 Kenar uzunlukları tamsayı ve alanı 180 cm 2 olan kaç farklı dikdörtgen vardır? A)6 B)8 C)9 D)12 D)18 105

106 Kenar uzunlukları a ve b olan dikdörtgenin alanı a.b dir. a.b=180 eģitliğinde a ve b sayıları, 180 in bölenleridir. 180= olduğundan, (2+1)(2+1)(1+1)=3.3.2=18 tane (a,b) pozitif tamsayı ikilisi yazılabilir. Kenar uzunlukları (a,b) ve (b,a) olan dikdörtgenler aynı sayılacağından: 18:2=9 farklı dikdörtgen vardır. Doğru Seçenek C dir. GENETĠK KOPYA-9 1 ile arasında en çok doğal sayı böleni olan sayı aģağıdakilerden hangisidir? A)720 B)750 C)840 D)864 E)960 DNA sayısının tam sayı bölenlerinin toplamı kaçtır? A)0 B)60 C)72 D)123 E)132 72= olduğundan, 72 sayısının 4.3=12 tane doğal sayı böleni ve bu bölenlerin negatif olanları ile birlikte 12+12=24 tane tamsayı böleni vardır. (-72)+(-36)+(-24) =0 dır. Bir doğal sayının tüm tamsayı bölenlerinin toplamı 0 dır. Doğru Seçenek A dır. GENETĠK KOPYA sayısının, asal sayı bölenleri dıģında tam sayı bölenlerinin toplamı kaçtır? A)-28 B)-9 C)O D)9 E)19 HAZĠNE-2 N = a p.b q.c r sayısının doğal sayı bölenlerinin toplamı; (1+a+a 2 + +a p )(1+b+b 2 + +b q )(1+c+c 2 + +c r ).. 1 a p 1 1 b q 1 c =.. dir. a 1 b 11 r c 11 DNA sayısının doğal sayı bölenlerinin toplamı kaçtır? A)0 B)144 C)223 D)288 E) sayısını asal çarpanlara ayıralım. 144=12 2 =(2 2.3) 2 = =20 tane doğal sayı böleni var. Bu bölenlerin toplamı; ( )( )=31.13=223 Veya doğrudan; = = = Doğru Seçenek C dir. GENETĠK KOPYA sayısının doğal sayı bölenlerinin toplamı kaçtır? A)125 B)156 C)225 D)250 E)

107 HAZĠNE-3 N = a p.b q.c r sayısı kendisinden küçük a p.b q.c r (1- )(1- )(1- ) tane sayı ile a b c aralarında asaldır. DNA sayısı kendisinden küçük kaç tane doğal sayı ile aralarında asaldır? A)2 B)3 C)4 D)6 E)8 20 = 4.5=2 2.5 olduğundan; = = tane sayı ile aralarında asaldır. YADA!!! Ne 2 ne de 5 ile bölünmemelidir. 20:2=10 tanesi 2 ile, 20:5=4 tanesi 5 ile, 20:10=2 tanesi de hem 2, hem de 5 ile bölünebilmektedir =12 tanesi 2 veya 5 ile bölünebildiğinden; 20-12=8 tanesi 20 sayısı ile aralarında asaldır. Doğru Seçenek E dir. GENETĠK KOPYA sayısı kendisinden küçük kaç tane doğal sayı ile aralarında asaldır? A)12 B)18 C)24 D)30 E)36 HAZĠNE-4 N = a p.b q.c r sayısının doğal sayı bölenlerinin çarpımı; N ( p 1)( q 1)( r 1)... dir. DNA-13 A= ve A sayısının bütün doğal sayı bölenlerinin çarpımı B ise A x =B eģitliğini sağlayan x sayısı kaçtır? A)3 B)4 C)6 D)9 E)12 A nın doğal sayı bölenlerinin çarpımını (5 1)( 2 1) B = 800 = = = olarak buluruz. A x =800 9 x =9 bulunur. Doğru Seçenek D dir. GENETĠK KOPYA sayısının pozitif tamsayı bölenlerinin çarpımı kaçtır? A)2 52 B)2 45 C)2 43 D)2 42 E)2 36 DNA-14 Kenar uzunlukları tamsayı ve alanı sayıca çevresine eģit olan dikdörtgenlerden alanı en büyük olan kaç birim karedir? A)9 B)12 C)16 D)18 E)24 Dikdörtgenin kenar uzunluklarını a ve b ile gösterelim. Alan = a.b Çevre = 2(a+b) a.b = 2(a+b) verilmiģ. a.b = 2a+2b a.b-2b=2a b(a-2)=2a b = 2a 2 a 2 +4 = = a 2 a 2 a 2 107

108 a ve b, kenar uzunluğu gösterdiği için pozitif tam sayı olmalıdır. b nin pozitif tam sayı olması için, a-2 nin 4 ün böleni olması gerekir. 4 ün bölenleri; -4, -2, -1, 1, 2, 4 a-2=-4 için; a=-2 olamaz. a-2=-2 için; a=0 olamaz. a-2=-1 için; a=1, b=-2 olamaz. a-2=1 için; a=3, b=6 ve a.b=18 a-2=2 için; a=4, b=4 ve a.b=16 a-2=4 için; a=6, b=3 ve a.b=18 alanın en büyük değeri; kenarlardan biri 3 birim, diğeri 6 birim olduğunda 18 birim kare olarak bulunur. Doğru Seçenek D dir. GENETĠK KOPYA-14 a ve b pozitif tam sayılar ve a+ 6 b = 10 olduğuna göre, a nın alabileceği değerler toplamı kaçtır? A)12 B)14 C)16 D)24 E)28 DNA ifadesinin en küçük doğal sayı 2n 1 değeri için n doğal sayısı kaç olmalıdır? A)1 B)3 C)13 D)20 E) n 1 ifadesinin bir doğal sayı olması için, 2n-1 in bölen olması gerekir. 100 ün bölenleri:1,2,4,5,10,20,25,50 ve 100 dür. En küçük doğal sayı olması için de paydanın büyük olması gerekir. 100 ve 50 için, n doğal sayı değildir. 2n-1=25 n=13 olmalıdır. Doğru Seçenek C dir. GENETĠK KOPYA-15 6 n+1 ifadesini tamsayı yapan kaç tane n tamsayısı vardır? A)4 B)6 C)8 D)10 E)12 DNA x = y 3 eģitliğini sağlayan en küçük pozitif y sayısı kaçtır? A)30 B)90 C)150 D)270 D) sayısını asal çarpanlara ayıralım. 180 = olur. x = 2 a.3 b.5 c alınırsa; 180.x = ( )(2 a.3 b.5 c ) =2 a+2.3 b+2.5 c+1 = y 3 olacağından a+2, b+2, c+1 sayıları 3 ün katı olmalıdır. a =1, b =1, c =2 için: x = = 150 ve y = = 30 bulunur. Doğru Seçenek A dır. GENETĠK KOPYA x = N 3 eģitliğinde x ve N pozitif tamsayılardır. En küçük x sayısı kaçtır? A) 210 B) 420 C) 630 D) 2450 E)

109 DNA-17 x, y, A, B pozitif tam sayıları için; 90.x = A 2 ve 90.y = B 3 ise x+y toplamının en küçük değeri kaçtır? A)300 B)310 C)320 D)360 E)400 90= x=A 2 x=2.5=10 olmalıdır. GENETĠK KOPYA-18 a çarpımı bir doğal sayının kübüdür. a sayısının en küçük pozitif tamsayı değeri kaçtır? A)8 B)12 C)15 D)18 E) y=B 3 y= =300 olmalıdır. x+y=10+300=310 bulunur. Doğru Seçenek B dir. GENETĠK KOPYA-17 n,x,y pozitif tam sayıları için; 14.n = x 2 ve 21.n = y 3 ise n in en küçük değeri kaçtır? A)2.3.7 B) C) D) E) DNA-18 m ve n sayma sayıları olmak üzere; n! + 1 = m 2 eģitliğini sağlayan en küçük m+n toplamı kaçtır? A)7 B)9 C)11 D)15 E)16 n = 1,2,3,4, değerleri eģitlikte kullanıldığında, n=4 için m=5 n=5 için m=11 ve n=7 için m=71 bulunur. m+n=5+4=9 toplamın en küçük değeridir. Doğru Seçenek B dir. 109

110 KONU TESTĠ 1. a, b ve c pozitif tamsayılar, a 2 +b 2 =c 2 ise, (a,b ve c Pisagor Sayıları iken) AĢağıdaki sayılardan hangisi (c-b)(c+b) çarpımının pozitif tamsayı bölenlerinin sayısı olamaz? tane pozitif tamsayı böleni olan en büyük iki basamaklı pozitif tamsayı kaçtır? A) 84 B) 90 C) 92 D) 96 E) 99 A)9 B)17 C)25 D)36 E) sayısının n sayısına bölümünden kalan 6 dır. KoĢulu sağlayan kaç tane n pozitif tamsayısı vardır? 7. Ġki basamaklı tam kare sayılardan hangisinin 9 tane doğal sayı böleni vardır? A)25 B)36 C)49 D)64 E)81 A) 8 B) 10 C) 12 D) 16 E) Ġlk beģ asal sayının toplamı kaçtır? A)26 B)27 C)28 D)29 E)30 8. Dört tane doğal sayı böleni olan en küçük doğal sayı A, altı tane doğal sayı böleni olan en küçük doğal sayı B ise A+B toplamı kaçtır? A) 10 B) 12 C) 16 D) 18 E) ! Sayısının kaç tane pozitif tamsayı böleni vardır? A)16 B)80 C)160 D)240 E) A=6 x.2 x-2 doğal sayısının 40 tane tamsayı böleni olduğuna göre, A kaçtır? 5. Sekizer tane pozitif tamsayı böleni olan üç farklı doğal sayının toplamı en az kaçtır? A)72 B)94 C)118 D)124 E)136 A)108 B)144 C)208 D)216 E) x.y=840 eģitliğini gerçekleyen kaç tane (x,y) pozitif tamsayı ikilisi yazılabilir? A)16 B)32 C)48 D)64 E)96 110

111 11. m ve n pozitif tamsayılar olmak üzere, 60.m=n 3 eģitliğini gerçekleyen m nin en küçük değeri kaçtır? A)45 B)50 C)90 D)225 E) ile bölünemeyen a ve b pozitif tam sayıları için a.b = ise a+b toplamı kaçtır? A)520 B)641 C)1258 D)2504 E) AĢağıdaki sayılardan hangisinin kendisinden farklı pozitif tamsayı çarpanlarının toplamı, kendisinden küçüktür? A)12 B)30 C)36 D)45 E) m ve n pozitif tamsayılar olmak üzere; m = n 2 dir. n-m kaç farklı değer alabilir? A)1 B)2 C)3 D)4 E)7 13. x ve y pozitif tamsayılardır. y = 4x+3 eģitliğini sağlayan x y değerlerinin toplamı kaçtır? A)5 B)7 C)12 D)17 E)19 1.D 2.D 3.C 4.C 5.B 6.D 7.B 8.D 9.E 10.B 11.E 12.D 13.C 14.E 15.B 16.A sayısının asal çarpanlara ayrılmıģ biçimi aģağıdakilerden hangisidir? A)2.3.7 B) C) D) E)

112 ORTAK BÖLENLERĠN EN BÜYÜĞÜ: Ġki yada daha fazla sayma sayısının her birini tam bölen en büyük sayma sayısına En Büyük Ortak Bölen denir. (O.B.E.B) HAZĠNE-1 Verilen sayılar asal çarpanlarına ayrıldığında; asal çarpanlarından ortak olanlarının en küçük üslülerinin çarpımı, sayıların O.B.E.B ini verir. DNA ve 180 sayılarının ortak bölenlerinden en büyüğü kaçtır? A)2 B)3 C)6 D)12 E)18 Öncelikle verilen sayıları asal çarpanlarına ayırmak gerekir. 168= = Ortak asal çarpanları; 2 ve 3 tür. 2 3 ve 2 2 den küçük olanı 2 2, 3 ve 3 2 den küçük olanı 3 tür. 168 ve 180 sayılarının ortak bölenlerinden en büyüğü; 2 2.3=12 dir. O.B.E.B(168, 180)=2 2.3=12 dir. Doğru Seçenek D dir. UYARI 168 = = Sayısı, 168 ve 180 sayılarını bölen ortak bölenlerin en büyüğüdür = 12 Sayılarınfarkı, ortak bölene tam olarak bölünür. Bölümler: 14 ve 15 aralarında asaldır. GENETĠK KOPYA ve 540 sayılarının ortak bölenlerinden en büyüğü kaçtır? A)4 B)9 C) 12 D)24 E)36 ORTAK KATLARIN EN KÜÇÜĞÜ: Ġki yada daha fazla sayma sayısının hepsinin katı olan en küçük sayma sayısına En küçük ortak kat denir. (O.K.E.K) HAZĠNE-2 Verilen sayılar asal çarpanlarına ayrıldığında; asal çarpanlarından ortak olanlarının en büyük üslüleri ile ortak olmayanlarının tümünün çarpımı, sayıların O.K.E.K ini verir. DNA-2 12, 18 ve 30 sayılarının ortak katlarından en küçüğü kaçtır? A)60 B)90 C)120 D)180 E)

113 Öncelikle verilen sayıları asal çarpanlarına ayırmak gerekir. 12= = =2.3.5 Ortak asal çarpanlar; 2 ve 3 tür. 2 2 ve 2 den büyük olanı 2 2, 3 ve 3 2 den büyük olanı 3 2 dir. Ortak olmayan çarpan; 5 12, 18 ve 30 sayılarının ortak katlarından en küçüğü; =180 dir. O.K.E.K(12, 18, 30)=180 Doğru Seçenek D dir. UYARI 180 = = = 30.6 DNA-3 a ve b sayıları için; OKEK(a,b) =108 ve OBEB(a,b) =3 ise a.b çarpımı kaçtır? A)108 B)111 C)216 D)324 E)972 Sayıların çarpımı, OBEB ve OKEK lerinin çarpımına eģit olduğundan; a.b = OBEB(a, b).okek(a, b) a.b = = 324 bulunur. Doğru Seçenek D dir. GENETĠK KOPYA-3 OBEB(6,21)=A ve OKEK(6,21)=B ise, A.B çarpımı kaçtır? A)36 B)42 C)84 D)126 E) sayısı, 12, 18 ve 30 sayılarınınkatı olan en küçük sayıdır. Bölümler: 15, 10 ve 6 sayıları aralarında asaldır. IġIK-2 Aralarında asal sayıların OKEK i bu sayıların çarpımı, OBEB i ise 1 dir. GENETĠK KOPYA ve 180 sayılarının ortak katlarından en küçüğü kaçtır? A)12 B)360 C)1440 D)2520 E)2800 IġIK-1 A ve B gibi iki sayının çarpımı bu sayıların OBEB ve OKEK lerinin çarpımına eģittir. DNA-4 24 ve 25 sayılarının ortak bölenlerinin en büyüğü ile ortak katlarının en küçüğünün toplamı kaçtır? A)49 B)491 C)600 D)601 E) ve 25 sayıları 1 den baģka ortak bölenleri olmadığından aralarında asaldır.(ardıģık doğal sayılar aralarında asaldır) 113

114 OBEB(24,25)=1 OKEK(24,25)=24.25=600 OBEB(24,25)+OKEK(24,25)=1+600=601 Doğru Seçenek D dir. IġIK-3 Hem A ve hem de B gibi iki doğal sayıya da bölünebilen sayılar, bunların OKEK i ile bölünebilen sayılardır. GENETĠK KOPYA-4 8 ve 21 sayılarının ortak bölenlerinin en büyüğü ile ortak katlarının en küçüğünün toplamı kaçtır? A)168 B)169 C)216 D)217 E)321 DNA-5 5 ile x aralarında asal sayılar, OKEK(5x, 5+x) = 520 ise x in değeri aģağıdakilerden hangisidir? A)6 B)8 C)12 D)16 E)20 Aralarında asal sayıların, toplamları ve çarpımları da aralarında asal olduğundan; 5x ve 5+x sayıları da aralarında asaldır. OKEK(5x, 5+x) = 5x.(5+x) = 520 x.(5+x) = 104 x 2 +5x-104=0 (x-8)(x+13)=0 x-8=0 x 1 = 8 x+13=0 x 2 = doğal sayı olmadığından; x=8 olur. Doğru Seçenek B dir. GENETĠK KOPYA-5 A sayma sayısıdır. OKEK(A, A+1)+A = 48 ise A kaçtır? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 DNA-6 x sayısı 30, 45, 75 sayılarını tam bölüyor, 12, 18, 24 sayıları da y doğal sayısını tam bölüyor. x in en büyük değeri ile, y nin en küçük değerinin toplamı kaçtır? A)72 B)87 C)102 D)117 E)132 3O, 45 ve 75 sayılarını tam bölen en büyük sayı, bunların OBEB idir. 30= = =3.5 2 olduğundan; x = OBEB(30, 45, 75) = 3.5=15 y doğal sayısı, 12, 18 ve 24 sayılarına bölünebilen en küçük sayı ise bunların OKEK idir. 12= = =2 3.3 y=okek(12,18,24)= =72 x+y = = 87 bulunur. Doğru Seçenek B dir. GENETĠK KOPYA-6 A sayma sayısı 12, 18, 30 sayılarına tam bölünmekte, B doğal sayısı bu sayıları tam bölmektedir. A nin en küçük değeri kaçtır? B A)12 B)15 C)24 D)30 E)36 114

115 DNA-7 Boyutları 8 ve 12 metre olan dikdörtgen halılar ile kare Ģeklinde bir alan kaplanacaktır. En az kaç halı gerekir? A)4 B)6 C)8 D)9 E)12 Kare Ģeklindeki alanın kenar uzunlukları 8 ve 12 nin katı olmalıdır. 8=2 3 12=2 2.3 olduğundan OKEK(8,12)=2 3.3=8.3=24 bulunur. DNA-8 Boyutları 8 ve 12 metre olan dikdörtgen Ģeklindeki bir salon kare Ģeklindeki eģ halılar ile kaplanacaktır. En az kaç halı gerekir? A)3 B)6 C)8 D)9 E)12 Salonun kenar uzunlukları, kare Ģeklindeki halıların kenar uzunluklarına bölünebilmelidir. 8=2 3 12=2 2.3 olduğundan OBEB(8,12)=2 2 =4 bulunur. 8:4=2 12:4=3 2.3=6 tane halı gerekir.!!! Dikdörtgenlerden kare oluşturuldu. Karenin alanı=24.24=576 Bir halının alanı=8.12=96 Halı sayısı= Karenin alan ı = 576 Bir halının alan ı 96 = 6 olur. Doğru Seçenek B dir. GENETĠK KOPYA-7 15 cm. ve 20 cm. kenar uzunluğu olan seramikler ile kare Ģeklinde bir yüzey oluģturulacaktır. En az kaç seramik gerekir? A)7 B)9 C)12 D)15 E)20!!! Dikdörtgen karelere bölündü. Salonun alanı=8.12=96 m 2. Bir halının alanı=4.4=16 m 2. Halı sayısı = Salonun alan ı = 96 Bir halının alan ı = 6 olur. 16 Doğru Seçenek B dir. GENETĠK KOPYA-8 Kenar uzunlukları 15 m. ve 20 m. olan dikdörtgen Ģeklindeki bir bahçenin çevresine eģit aralıklarla ağaçlar dikilecektir. KöĢelere de ağaçların dikildiği bu ağaçlandırmada en az kaç ağaç dikilebilir? A)7 B)12 C)14 D)16 E)20 115