Ludwick Tipi Doğrusal Olmayan Malzemeden Yapılmış Bir Konsol Kirişteki Doğrusal Kabullerin Yer Değiştirmeler Üzerindeki Etkisinin İncelenmesi

Transkript

1 BAÜ Fe Bil. Est. Dergisi Cilt 6() 5-5 (04) Ludwick Tipi Doğrusal Olmaya alzemede Yapılmış Bir osol irişteki Doğrusal abulleri Yer Değiştirmeler Üzerideki Etkisii İcelemesi İbrahim EREN * Yıldız Tekik Üiversitesi akie Fakültesi akie üh. Bölümü, Yıldız ampüsü, İstabul. Özet Bu çalışmada Ludwick tipi malzemede yapılmış bir kosol kirişte, serbest uçta etkiye momet etkisiyle meydaa gele büyük yer değiştirmeleri hesabıda doğrusal kabulleri etkisi icelemiştir. alzeme ve geometrik doğrusallaştırmaı etkileri tablo ve şekillerle açıklamış, geometrik doğrusallaştırmaı, malzemeyi doğrusal kabul etme durumua göre yer değiştirmeler üzerideki saptırma etkisii daha düşük olduğu gösterilmiştir. Aahtar elimeler: Büyük yer değiştirmeler, doğrusal olmaya malzeme, geometrik doğrusal olmama. Determiig the effect of liearizatio over the large deflectios o catilever beams made of oliear Ludwick type material Abstract I this study, Liearizatio effect is ivestigated for catilever beams made of Ludwick type material subjected to a momet at the free ed. aterial ad geometrical liearizatio effects are explaied by usig tables ad figures. It is see the geometrical liearizatio effect is lower tha the material liearizatio effect, over the deflectios. eywords: Large deflectios, geometrical o-liearity, material o-liearity.. Giriş Taşıyıcı sistemlerde farklı yüklemeler altıda oluşa büyük yer değiştirmeler ile ilgili uzuca zamadır yapılmış çok sayıda çalışma bulumaktadır. Öemie biae bu aladaki çalışmalar güümüzde de sürmektedir. Değişik mühedislik alalarıda * İbrahim EREN, er@yildiz.edu.tr, Tel: ()

2 EREN İ. karşılaşıla birçok durumda, yapıla doğrusallaştırmalar ile elde edile souçlar yeteri derecede yaklaşık olabilmektedir. Oysaki elastik eğri içi iyi bilie eğrilik ifadesi doğrusal olmadığı gibi gerçek malzeme de doğrusal gerilme-şekil değiştirme ilişkisie sahip değildir. Bu gerçek göz öüe alıdığıda yer değiştirmeler, geellikle aalitik yötemlerle belirleemez, daha ziyade yaklaşık ve sayısal yötemler kullamak gerekir. Üiform ve üiform olmaya, tekil ve yayılı yüklü doğrusal elastik kosol kirişlerdeki büyük yer değiştirmeler, birçok çalışmada icelemiştir [-8]. Prathap ve Varada [9], Serbest ucuda tekil kuvvet etkiye, Ramberg-Osgood tipi lieer olmaya malzemede yapılmış kosol kirişlerdeki büyük yer değiştirmeleri icelemişlerdir. Ayı problem, serbest ucuda momet etkiye kosol kirişler içi Varada ve Joseph [0] tarafıda çözülmüştür. Serbest ucuda tekil kuvvet etkiye Ludwick tipi lieer olmaya kosol kirişlerdeki büyük yer değiştirmeler, Lewis ve oasa [] tarafıda icelemiştir. Ayı yazarlar [], ayı problemi serbest ucuda momet etkiye kosol kirişler içi de çözümlemişlerdir. Lo ve Gupta [3], eğilme problemleride; elastik limiti öteside, malzeme gerilme şekil değiştirme ilişkisii logaritmik alarak, dikdörtge kesitli kirişlerdeki büyük yer değiştirmeleri icelemiştir. Lee[4], üiform yayılı yüklü ve serbest ucuda tekil kuvvet etkiye, Ludwick tipi lieer olmaya malzemede oluşa, kosol kirişlerdeki büyük yer değiştirmeleri hesaplamıştır. Yakı zamalarda ise Güve, Baykara ve Bayer [5], serbest uç oktasıda momet etkiye Ludwick tipi, doğrusal olmaya, çift modüllü (çekme ve basıçtaki gerilme-şekil değiştirme ilişkisi farklı ola) malzemede yapılmış kosol kirişleri, uç oktasıdaki büyük yer değiştirmeleri, kapalı formda ifade ederek, sayısal souçları, malzeme sabitlerii değişimie göre tablolaştırarak vermişlerdir. Baerjee ve arkadaşları [6], Shootig Yötemi ve Adomia ayrıştırma yötemlerii kullaarak rastgele yükleme koşulları altıdaki bir kosol kirişteki büyük yer değiştirmeleri hesaplamışlardır. Solao-Carrillo [7], Ludwick tipi malzemede yapılmış, serbest ucuda tekil yüklü ve boyuca düzgü yayılı yüklü kosol kirişlerdeki büyük yer değiştirmeleri kedi geliştirdiği ve adıı verdiği bir formülle hesaplamıştır. Che [8], kompleks yük ve değişke kiriş özellikleri içi kosol kirişlerdeki büyük yer değiştirmeleri momet itegral işlemi kullaarak yei bir itegral yaklaşımı ile icelemiştir. Vaz ve Caire [9] zamaa bağlı değişke, serbest ucuda tekil yüklü, lieer viskoelastik malzemede yapılmış, uzamaz ari kirişlerdeki büyük yer değiştirmeleri quasi-statik ve harcaadepolaa eerjilerde yaralaarak icelemişlerdir. utyalarao ve arkadaşları [0], kiriş ekseie göre eğimi sabit kala bir uç yükleme koşulu içi kosol kirişlerdeki büyük yer değiştirmeleri araştırmışlardır. Humer ve Irschik [], bir ucu akastre diğer ucu kayıcı akastre mesetli ari kirişlerdeki düzgü yayılı yükü yer değiştirmeler üzerideki etkisii Reisser geometrik yaklaşımlarıı ve St. Veat-irchhoff malzemesii kullaarak hesaplamışlardır. Batista [], Serbest uçta izleye bir kuvvet etkisideki kosol kirişi Reisser kayma-şekil değiştirme eşitlikleri yardımıyla büyük yer değiştirmelerii icelemiştir.. Serbest ucuda momet etkiye dikdörtge kesitli Ludwick tipi doğrusal olmaya malzemede yapılmış kosol kirişlerdeki büyük yer değiştirmeler Doğrusal olmaya malzemede yapılmış kirişler içi deeysel gerilme-şekil değiştirme eğrisi, () deklemideki Ludwick bağıtısı ile ifade edilebilmektedir, []. B () 6

3 BAÜ Fe Bil. Est. Dergisi Cilt 6() 5-5 (04) Burada σ gerilme, ε birim şekil değiştirme, B ve ise malzeme özelliklerie bağlı sabitlerdir. σ (doğrusal olmaya malzeme) < = (doğrusal malzeme) > (doğrusal olmaya malzeme) Şekil. Ludwick tipi malzeme içi gerilme-birim şekil değiştirme ilişkisi, [] Şekil de Ludwick tipi malzeme içi malzeme sabiti i değişimie bağlı olarak gerilme birim şekil değiştirme eğrileri verilmiştir. ε B S x v L C y Şekil. Serbest uç oktasıda momet etkiye kosol kiriş. Serbest uç oktasıda momet etkiye kosol kirişi, momet etkiside öceki ve soraki durumu Şekil de gösterilmektedir. Burada mometi, L kirişi ilk boyuu, S yay uzuluğuu, eğim açısıı, yatay yer değiştirmeyi, v düşey yer değiştirmeyi göstermektedir. irişlerdeki büyük yer değiştirmeler buluurke, doğrusallaştırma yapılmaksızı gerçek eğrilik deklemi kullaılmalıdır, []. d ds y(x) ( (y(x)) ) 3 () () deklemide κ, eğrilik ifadesi verilmiştir. Dikdörtge kesitli, Ludwick tipi malzemede meydaa gele kiriş kesitide eğrilik bağıtısı 7

4 EREN İ. (3) şeklide alıır, []. Burada, malzemei ve kesiti geometrik ve fiziksel özelliklerie bağlı bir büyüklüktür, []. B h b ( ) (4) () ifadesii her iki tarafı itegre edildiğide; y(x) dx C (5) ( (y(x)) ) Yukarıdaki eşitlik işlem pratikliği açısıda aşağıdaki gibi alımıştır, [8]. dx C G (6) Burada, G y (x) (7) ( (G) ) olarak buluur. (3) ve (6) deklemleri kullaılarak; y(x) dx C x C (8) ( (y(x)) ) ifadesi yazılır. (8) deklemide Şekil de görülebilecek ola sıır şartları kullaıldığıda x = 0 da y(x) sıfır olacaktır. Burada itegral sabiti C i de sıfır olduğu görülmektedir. O halde (6) deklemi aşağıdaki gibi yazılır: G x (9) Yay uzuluğu aşağıdaki gibidir, []. (L) 0 ( (y(x)) ) L (0) (7), (9) eşitlikleri ile (0) yay uzuluğu eşitliği kullaılırsa ; 8

5 BAÜ Fe Bil. Est. Dergisi Cilt 6() 5-5 (04) (L) 0 G ( ( ) ) L () ( (G) ) şeklide yazıla () deklemi Simpso yötemi yardımıyla itegre edilir, elde edile eşitlikte Newto yötemi ile kök bulma işlemi uygulaarak yatay yer değiştirme değerleri buluur. Daha sora düşey yer değiştirmeleri hesaplayabilmek içi, kosol kirişi başlagıç oktasıdaki x = 0 da y(x) sıfır olmalıdır, şeklide yazılabile sıır şartı kullaılıp, Ruge-utta yötemi yardımıyla y(x) eterpolasyo foksiyou elde edilmektedir () L, kiriş uzuluğu 50.8 cm, b, dikdörtge kesiti geişliği.54 cm, h, dikdörtge kesiti yüksekliği cm olmak üzere gerilme-birim şekil değiştirme bağıtısı () deki gibi verile N.P.8 alümiyum alaşımda yapılmış, [] bir kosol kirişteki yer değiştirmeler, Tablo de verilmektedir. () deki deklemde σ, gerilme birimi ksi olarak alımaktadır. Tablo i oluştururke B i 66. ksi ola büyüklüğüü yerie, birim döüşümü yaparak N/cm (0.455 GPa) alımıştır. 3. Doğrusal elastik malzemede yapılmış kosol kirişlerdeki büyük yer değiştirmeleri buluması Bu bölümde, yukarıda verile geometrik kesit özelliklerie sahip alümiyum alaşımıda oluşa Şekil deki gibi bir kosol kirişteki yer değiştirmeler geometrik doğrusal olmama durumua göre icelemiştir. Burada daha öce malzeme özelliklerie bağlı olarak bahsedile B değeri içi artık doğrusal elastik malzeme kullaıldığıda, elastiklik modülü E ye eşittir deilebilir. Doğrusal malzeme içi = olacağıda () eşitliğide aşağıdaki ifade yazılır: σ = Eε (3) Doğrusal elastik malzeme içi () ve (3) deklemleride; y(x) κ = (+(y (x)) ) = 3 (4) elde edilir., eğilme rijitliği EI ya eşittir. 3 = Ebh EI (5) (4) deki eşitliği her iki tarafı itegre edildiğide; 9

6 EREN İ. y(x) κdx+c = = x + C = G (6) (+(y (x)) ) ifadesi yazılır. (6) deklemide x = 0 da y(0) = 0 olacağıda C itegrasyo sabiti de sıfır olacaktır. G aşağıdaki gibi olur: x = G (7) Sırasıyla yay uzuluğu içi Simpso yötemi, yatay yer değiştirme değerleri içi Newto kök bulma yötemi, Daha sora düşey yer değiştirmeleri bulabilmek içi Ruge-utta yötemi kullaılır. Üstteki bölümdeki boyutlara sahip olmak üzere gerilme-birim şekil değiştirme bağıtısı (3) deki gibi verile alümiyum alaşımda yapılmış bir kosol kirişteki yer değiştirmeler, Tablo de verilmektedir. E, Elastiklik modülüü değeri bir alümiyum alaşım içi ortalama N/cm ( 70 GPa) olarak alımıştır. 4. Ludwick tipi, geometrik lieer kosol kirişlerdeki büyük yer değiştirmeleri buluması Bir öceki bölümde, malzemei doğrusal olduğu ve geometrik doğrusal olmama halii buluduğu durum iceledi. Şimdi ise malzemei doğrusal olmadığı ve geometrik doğrusallığı kabul edildiği durum iceleip, Şekil deki gibi bir kosol kirişteki yer değiştirmeler hesaplaacaktır. alzeme doğrusal olmadığıda gerilme-şekil değiştirme ilişkisi içi () eşitliğideki Ludwick bağıtısı kullaılır. Geometrik doğrusallaştırma yapıldığıda eğrilik; κ = y (x) = (8) olarak yazılır., (4) eşitliğideki gibi alıır. (8) deklemii her iki tarafı itegre edildiğide ; y (x) = κdx+c = x+c (9) ifadesi yazılır. Şekil de de görüleceği gibi sıır şartlarıda x = 0 da y(0) = 0olarak alıabileceğide, C itegrasyo sabiti de sıfır olacaktır. Bua göre; y (x) = x (0) olarak yazılır. 0

7 BAÜ Fe Bil. Est. Dergisi Cilt 6() 5-5 (04) (0) eşitliği yerie yazılarak, (0) deklemide verile yay uzuluğu itegre edildiğide; (-L+Δ) - ( + (L-Δ) (L-Δ)- ArcSih[ ] L () ifadesi elde edilir. Farklı momet değerleri içi (4) eşitliğide verile ifadesi de yerie yazılmak suretiyle () eşitliğide, Newto yötemi yardımıyla kök bulma işlemi uygulaarak Δ, yatay yer değiştirme değerleri buluur. (8) eşitliğide verile deklem iki kere itegre edildiğide, (3),( 4) eşitlikleride verile ve Şekil de de görülebile sıır şartları yerie yazıldığıda, y(x) ifadesi aşağıdaki gibi olur: y(x) = x () Daha öceki bölümlerde belirtile kesit geometrisie sahip, gerilme-birim şekil değiştirme bağıtısı () deki gibi verile N.P.8 alümiyum alaşımda yapılmış bir kosol kirişteki yer değiştirmeler, tablo de verilmektedir. () eşitliğide x = L Δ yazıldığıda Şekil deki kirişte, farklı momet değerleri içi hesaplaa, serbest uç oktadaki düşey yer değiştirmeleri büyüklükleri, tablo de gösterilmektedir. 5. Doğrusal elastik kosol kirişlerdeki yer değiştirmeleri buluması Bu bölümde, malzeme ve geometrik olarak doğrusal bir kirişteki yer değiştirmeler hesaplamıştır. Doğrusal elastik kirişte aşağıdaki eşitlikler yazılabilir: σ = Eε (3) κ = y (x) = = (4) EI Yukarıda E, Elastiklik modülü EI ise eğilme rijitliğidir. (4) eşitliğide de görüleceği gibi doğrusal elastik malzemede ifadesi EI ya eşittir. EI, ise (5) de verile eşitlik yardımıyla buluur. (4) eşitliğii her iki tarafı itegre edildiğide; y(x) = x + C (5) ifadesi elde edilir. x = 0 da Şekil de de görüleceği gibi y(0)=0 sıır şartıda C = 0 olacaktır.

8 EREN İ. y(x) = x (6) (6) eşitliği yerie yazılarak, (0) deklemide verile yay uzuluğu, itegre edildiğide ; (L-Δ) ( + (L-Δ) (L-Δ) + ArcSih[ ] L (7) ifadesi elde edilir. Farklı momet değerleri içi (7) eşitliğide, Newto yötemi yardımıyla kök bulma işlemi uygulaarak Δ, yatay yer değiştirme değerleri buluur. Tablo. Serbest uç oktasıda momet etkiye bir kosol kirişte doğrusal olmama halii yer değiştirmeler üzerideki etkisi, [3]. omet ( N.cm ) Referas Souç, [] (Ludwick tipi lieer olmaya geometrik lieer olmama hali) Ruge-utta yötemiyle hesaplaa (Ludwick tipi lieer olmaya geometrik lieer olmama hali) (Ludwick tipi lieer olmaya geometrik lieer) (Lieer geometrik lieer olmama hali) (Lieer geometrik lieer) h ( ) h ( ) h ( ) h ( ) h ( ) 59,7 0,0843,53 0,0843,5333 0,0838,57 0,776 7,67 0,735 7, ,67 0,096 3,990 0,097 3,99 0,067 3,9678 0,937 8,3763 0,8764 8,649 7,64 0,48 6,0345 0,485 6,037 0,4658 5,9553,089 9,8,0306 8,85 937,6,035 8,804,033 8,806 0,964 8,56,999 9,863,94 9,57 363,57,0833,47,0848,46,830,7856,5057 0,5998,3663 0, ,54 3,9848 6,94 3,988 6,945 3,783 5,5048,76,338,5463 0, ,5 7,39,8 7,466,84 5,0485 9,4884,963,0586,7336, ,48,484 8,05,555 7,868 7,3755 3,4645,08,7799,97, ,47 6,058 30,838 6,86 9,3005 8,667 5,3759,3409 3,384,06,398 (4) eşitliğide verile deklem iki kere itegre edildiğide, (3), (4) eşitlikleride verile ve Şekil de de görülebile sıır şartları yerie yazıldığıda y(x) ifadesi aşağıdaki gibi olur: x y(x) = (8) Öceki bölümlerdeki boyutlara sahip gerilme-birim şekil değiştirme bağıtısı (3) deki gibi verile alümiyum alaşımda yapılmış bir kosol kirişteki yer değiştirmeler, tablo de verilmektedir. Farklı momet değerleri içi serbest uç oktadaki düşey yer değiştirmeleri büyüklükleri, tablo de gösterilmektedir.

9 BAÜ Fe Bil. Est. Dergisi Cilt 6() 5-5 (04) 6. Souçlar Bu çalışmada icelee problem içi doğrusallaştırmaı yer değiştirmeler üzerideki etkisii yorumlaması adıa aşağıdaki Tablo ve Şekil 3 yararlı olacaktır. Tablo. Serbest uç oktasıda momet etkiye bir kosol kirişte farklı doğrusallık kabullerie göre büyük düşey yer değiştirmeleri Referas souca göre değişimi. omet ( N.cm ) Referas Souç, [] (Ludwick tipi lieer olmaya geometrik lieer olmama hali) Ruge-utta yötemiyle hesaplaa (Ludwick tipi lieer olmaya geometrik lieer olmama hali) (Ludwick tipi lieer olmaya geometrik lieer) (Lieer geometrik lieer olmama hali) (Lieer geometrik lieer) δv Referasa göre Değişim (%) Referasa göre Değişim (%) Referasa göre Değişim (%) Referasa göre Değişim (%) 59,7,53,5333 0,0474,57-0,04 7,67 0,64 7, , ,67 3,990 3,99 0,050 3,9678-0,5589 8, ,97 8,649 04,690 7,64 6,0345 6,037 0,0447 5,9553 -,35 9,8 5,608 8,85 46, ,6 8,804 8,806 0,0409 8,56 -,799 9,863,0490 9,57 8,38 363,57,47,4 0,0370,786-5,0850 0,6-4,6348 0,89-7, ,54 6,94 6,945 0,0307 5,505-8,473,33-33,063 0,837-36, ,5,8,84 0,039 9,488 -,5335,059-45,8794,47-48,56 384,48 8,05 7,868-0,6485 3,465-6,3476,78-54,4389,093-56, ,47 30,838 9,30-4,9857 5,376-7,7 3,38-57,3954,398-59,7957 Şekil 3. Serbest uç oktasıda momet etkiye bir kosol kirişte doğrusal olmama halii yer değiştirmeler üzerideki etkisii grafik olarak gösterimi 3

10 EREN İ. Tablo ve Şekil 3 te de görüleceği gibi düşey yer değiştirme açısıda kapalı çözüm ile elde edile Referas souçlar, [] ile Ruge-utta yötemiyle bulua değerler çok yakıdır ve sapma % i altıdadır. Yalızca e yüksek momet değeride sapma % 5 e yakıdır ki momet arttığıda sapmaı artacağı gözükmektedir. Doğrusal olmaya malzeme ve geometrik doğrusal olma hali içise değerlerdeki sapma büyük momet değerleride % 7 lere kadar çıkmakta küçük momet değerleride ise tolere edilebilecek % i altıda sapma değerleride kalmaktadır. alzeme doğrusal kabul edildiğide düşey yer değiştirmeler açısıda sapma % 00 lere kadar çıkmaktadır. Burada da görüleceği gibi geometrik doğrusallaştırmaı yer değiştirmeler üzerideki etkisi, malzemei doğrusal kabulüü yer değiştirmeler üzerideki etkisi kadar büyük değildir. ayaklar []. Bisshopp,. E., Drucker, D.C., Large deflectios of catilever beams, The Quarterly of Applied athematics, 3, 7-75, (945). []. Scott, E. J., Carver, D. R. ve a., O the liear differetial equatio for beam deflectio, Joural of Applied echaics,, 45-48, (955). [3]. Lau, J. H., Large deflectios of beams with combied loads, Joural of Egieerig echaics, 08, 80-85, (98). [4]. Rao, B. N., Rao, G. V., O the large deflectio of catilever beams with ed rotatioal load, ZA - Joural of Applied athematics ad echaics, 66, , (986). [5]. Baker, G., O the large deflectios of o- prismatic catilevers with a fiite depth, Computers & Structures, 46, , (993). [6]. Lee, B.., Wilso, J.F. ve Oh, S.J., Elastica of catilevered beams with variable cross sectios, Iteratioal Joural of No-Liear echaics, 8, , (993). [7]. Frisch-Fay, R., Flexible Bars, Butter Worths, Lodo, (96). [8]. Fertis, D. G., Noliear echaics, CRC Pres, New York, (999). [9]. Prathap, G., Varada, T.., The ielastic large deformatio of beams, Joural of Applied echaics, 43, , (976). [0]. Varada, T. L., Joseph, D., Ielastic Fiite Deflectios of Catilever Beams, Joural of the Aeroautical Society of Idia, 39, 39-4, (987). []. Lewis, G., oosa, F., Large deflectios of catilever beams of o-liear materials, Computers & Structures, 4, , (98). []. Lewis, G., oosa, F., Large deflectios of catilever beams of o-liear materials of the ludwick type subjected to a ed momet, Iteratioal Joural of No-Liear echaics, 7, -6, (98). [3]. Lo, C.C., Gupta, S.D., Bedig of a oliear rectagular beam i large deflectio, Joural of Applied echaics, 45, 3-5, (978). [4]. Lee,., Large deflectios of catilever beams of o-liear elastic material uder a combied loadig, Iteratioal Joural of No-Liear echaics, 37, , (00). [5]. Güve, U., Baykara, C. ve Bayer, İ., Large deflectios of a catilever beam of oliear bimodulus material subjected to a ed momet, The Joural of Reiforced Plastics ad Composites, 4,,3-36, (005). 4

11 BAÜ Fe Bil. Est. Dergisi Cilt 6() 5-5 (04) [6]. Baerjee, A., Bhattacharya, B. ve allik, A.., Large deflectio of catilever beams with geometric o-liearity: Aalytical ad umerical approaches, Iteratioal Joural of No-Liear echaics, 43, 5, , (008). [7]. Solao-Carrillo, E., Semi-exact solutios for large deflectios of catilever beams of o-liear elastic behavior. Iteratioal Joural of No-Liear echaics, 44,, 53 56, (009). [8]. Che, L., A itegral approach for large deflectio catilever beams, Iteratioal Joural of No-Liear echaics, 45, 3, , (00). [9]. Vaz,.A., Caire,., O the large deflectios of liear viscoelastic beams, Iteratioal Joural of No-Liear echaics, 45,, 75 8, (00). [0]. utyalarao,., Bharathi, D. ve Nageswara Rao, B., Large deflectios of a catilever beam uder a iclied ed load, Applied athematics ad Computatio, 7, 7, , (00). []. Hummer, A., Irschik, H., Large deformatio ad stability of extecible with ukow legth, Iteratioal Joural of Solids ad Structures, 48, 9, 30-30, (0). []. Batista,., Large deflectios of shear-deformable catilever beam subject to a tip follower force, Iteratioal Joural of echaical Scieces, 75, , (03). [3]. Ere, İ., irişlerdeki büyük yer değiştirmeler üzerie bazı yei çözümler, Doktora Tezi, Yıldız Tekik Üiversitesi, Fe Bilimleri Estitüsü, İstabul, (006). 5