MATEMATİKSEL TEMELLER. Karl aus Photographien und Laserscanneraufnahmen, YBF yayın n No.19,1978. YRD.DOÇ.DR.
|
|
|
- Bilge Uyanık
- 7 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 Bu bölüm b m : Kl Kus, Photogmmetie, Bnd, Geometishe Infomtionen us Photogphien und Lsesnneufnhmen, ISBN dlı knğı ğın çeviisi pılk ve Pof.D.. Ahmet şn, n, Hv Fotogmetisinde İki Boutlu Doğusl Dönüşümle D ve Ugulmlı,, KTÜ Bsımevi, ın n No., BF ın n No.9,978 Pof.D.. Ahmet şn, n, Fotogmeti- des Notlı,, TÜ,, Alık, 996 dlı knkl lnılk lk hzılnm lnmıştı. bm@ildiz.edu.t RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM
2 Fotogmetide kullnıln fklı lım öntemlei slınd mtemtiksel temellee dnı. BENERLİK ve AFFIN DÖNÜŞÜMLERİ P, noktlı hehngi bi koodint sisteminde tnımlı olsunl. Diğe bi sistemin ise tnımlnn sistemle st önü tesinde α dönüklüğü olsun. P noktsının diğe sistemdeki koodintlı: bm@ildiz.edu.t RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM
3 b b P α.sinα.osα b.osα b.sinα α b b α bm@ildiz.edu.t RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM
4 .osα.sinα.sinα.osα Bud α çısı koodint eksenleinin dönüklük kosinüsü olk tnımlnk olus, mtis gösteimi ile: os os os os R R zılbili. Bud R dönüklük mtisi olk dlndıılı.bu mtis kesel bi mtisti fkt simetik değildi. bm@ildiz.edu.t RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM
5 Dönüklük mtisindeki ik elemnlının stgele mi seçilebileeği oks belli kull ugun olk mı değe ldığı sounun çözümü için, koodint eksenleini i, j biim vektöle olk seçelim ve bunlın -sistemindeki bileşenleini hespllım:.osα.sinα.sinα.osα Eşitliklei göz önünde bulunduulduğund: bm@ildiz.edu.t RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM
6 osα i sinα sinα j osα j i α α bm@ildiz.edu.t RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM
7 Bibileine dik konumd oln biim vektölein otogonlite koşullını sğlmsı geeki bi otogonlitekoşulu ve iki noml denklem. T i i os α sin α j T j os α sin α T i j osα sinα sinα osα Bud otogonllik koşulını ideleelim: *.69.9* Otogonllik koşullı eine getiilmediği için düzlemsel bi dönüklükten-benzelikten söz edilemez. Bud otogonllik koşulını ideleelim: * *.634 bm@ildiz.edu.t RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM
8 ÖDEV- -sistemine bi dikdötgen eleştielim ve bu diktötgenin köşeleini ukıdki he iki öneğe göe -sistemine dönüştüelim. Sonuçlı kşılştıdığınızd fk nedi? ÖDEV- Öle bi mtis tnımlın ki bi dönüklük ve bi de n tesliği oluşsun os α, sin α, sin α, -os α bm@ildiz.edu.t 8 RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM
9 9 RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM E R R R mtisin invesi ile çpımı biim mtisi vei. Diğe tftn R mtisinin tnspozesi ile çpımı d biim mtisi vei., j j i j j i i i j i j i T T T T T T T R R R T ile çpılk olus : R E R R R T T T bm@ildiz.edu.t FOTOGRAMETR FOTOGRAMETRİNİN TEMELLER N TEMELLERİ
10 Doğusl dönüşümle genel olk: -b bd, b Bu sistemin tesi lınk olus: b -bd -b -d-b b ise ötelemei d ise dönme mekezinin koodint bşlngıı olduğunu göstei. bm@ildiz.edu.t RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM
11 Aşğıdki şekillede koodint sistemlei bibine tes değilse düzgün otogonllik soldki şekil, eğe tes ise düzgün olmn otogonllik sğdki şekil söz konusudu. P O α O d O O d α α P bm@ildiz.edu.t RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM
12 RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM GENEL BENERLİK DÖNÜŞÜMÜ - d şeklinde zılbili. Budn: - d FOTOGRAMETR FOTOGRAMETRİNİN TEMELLER N TEMELLERİ ' ' ' ' d d
13 Ölçek fktöü ve dönme çısı: k tnα bm@ildiz.edu.t RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM
14 NN - I/III II/III NN , ,49-375,3 - ' -' - ' -' -* - ' -' - ' -' 7,4476, , ,49 566,9 539,38 55,7 4878,9 543,74 58,4 74, ,74 58,4 5, 54,7 56,7 566,86 ' ' - ' - - d 49468,83 DÖNÜŞTÜRÜLMÜŞ KOORDİNATLAR ' 495,6-953,3 ' - ' - d 49468,83 495, , , , ,48 ' 4468, ,4 766, , , , ,963 ' 96, , , , , , ,54 bm@ildiz.edu.t RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM
15 RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM DENGELEMELİ BENERLİK DÖNÜŞÜMÜ En küçük kele öntemindeki dollı ölçüle dengelemesine göe düzeltme denklemlei: FOTOGRAMETR FOTOGRAMETRİNİN TEMELLER N TEMELLERİ.. ' '.. ' ' v v v v
16 Mtis gösteimi ile: v Noml denklemle: T K b ' K K b K ' Noml denklemle çık zılk olus: [ ]b []b 3 []b 4 [ ] []b - []b3 []b4 [ - ] []b - []b nb3 [ ] []b []b nb4 [ ] T bm@ildiz.edu.t RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM
17 n, otk nokt sısını ; köşeli pntezle den n e kd toplmlı Göstemektedi. He iki sistemde de, koodint bşlngıçlı, otk noktldn Oluşn kümenin ğılık mekezlei olk seçilise: m [ ]/n, m [ ]/n, m []/n, m []/n Ve koodintl bu bşlngıçl göe ötelenise: ' ' i i i i m m [ '] [ '] [ ] [ ] ' ' i i Bu koodintl noml denklemlede eine zılıs köşegen teimlein dışındki teimle sıfı olu. Bun göe, pmetelei: i i m m bm@ildiz.edu.t RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM
18 RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM olk bulunu. FOTOGRAMETR FOTOGRAMETRİNİN TEMELLER N TEMELLERİ ] [ ] [ '] [ '] [, ] [ ] [ '] [ '] [ n n ] [ ] [ '] [, ] [ ] [ '] [ 4 3 Bi noktnın otlm htsı v, v klıntı htlın bğlı olk; 4 ] [ ] [ n v v v v m Bi noktnın konum htsı ise; ] [ ] [ m n v v v v m p
19 RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM Bilinmeenlein otlm htsı: FOTOGRAMETR FOTOGRAMETRİNİN TEMELLER N TEMELLERİ n m m m m m m 4 3 ] [ ] [ Bilinmeenlein bi fonksionu olk ölçek ve dönüklüğün otlm htlı: ] [ ] [ m m m α λ
20 Dönüştüüleek otk nokt d hehngi bi noktnın koodintlı i, i olsun. Dönüşümden son bu noktnın koodint otlm htsı: m ' m ' [ i i ] n m olu. Bud ilgili noktlın otk noktl i i kümesinin ğılık mekezine uzklığıdı. bm@ildiz.edu.t RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM
21 Nokt Model Koodintlı Ve. Az. Koo. Dönüştüülen Model KKlıntı Htl. No: " " v v 5 54,7 539,38 458,5, 458,57,33 -,76 -,39 4 5, 566, ,6 37, ,6 37,444 -,96, ,86 7, ,74 8,,6999 -,89 497,4 499,4 435,9 437,5 435,95 437,46 -,478,4867 n4 [vv],665,389 S 369,96 5, ,5 8638, Kontol S/n 59,49 58, ,63 59,555 Sv Sv 4,3E- Nokt Ağılık Mekezi Oijin Olduğun Göe Kood Dönüşüm Elemnlının Hesbı ' ' ' ' 5-5, -,4575-7,87 58,355 [''] 64874, 4-7,53-37,987-74,63-9,5 [''] 5345,3 53 9,49 8,95 74,775 3,65 I [''] [''] 86359,5 85,5 9,55 487,73 7,45 [''] , [''] 53477,9 II [''] - [''] 59,3 [''] 8698,9 [''] 347,5 III [''] [''] 597 lose I / III 7, S -9,E-3,73E- -7,3E- lsine II / III b,9686 []/n-[]/n-b[]/n 7,83 eni NoktModel Koodintlı Dönüştüülen Koodin[]/n-[]/n-b[]/n -367 " " l Sq b 7, ,9 55, ,4 39,59 e tnb/ 7, , , ,8 59,673 mp Sq[vv]/n, ,74 58, , , ,35 496,6 445,58 89,6 bm@ildiz.edu.t RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM
22 Otogonl olmn bi mtisle pıln dönüşüme Affin dönüşüm deni. Özelliklei: Hehngi bi doğunun dönüşümü ine bi doğudu. Bi doğu üzeinde bulunmn üç nokt dönüşümden son ine bi nokt üzeinde değildi. Plel doğul dönüşümden son d pleldi. Kesişen doğul dönüşümden son ine kesişi ve kesişme noktsı bibileine kşılık gelile. Açıl dönüşümden son değişi. Belili bi önde ölçek değişmez klı. önle bilikte ölçek de değişi. Bi doğu üzeindeki doğu pçlının kşılıklı onlı değişmez klı. Geometik şekillein lnlı dönüşümden son sbit bi mikt değişi. Bu sbi mikt dönüşüm mtisinin deteminntın eşitti. bm@ildiz.edu.t RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM
23 Affin dönüşüm şğıdki şekilde tnımlnı: A Bud: ve iki öteleme,,,, otogonllik koşulunu Sğlmn döt elemndı ve bi tftn he iki koodint önünde belli bi Ölçek diğe tftn koodint eksenlei etfınd iki bğımsız dönüklüğü içei Benzelik dönüşümü Affin dönüşümün özel bi hlidi. Affin dönüşümde dönüklük mtisi otogonl olmmsın kşın benzelik Dönüşümde otogonldi. Bunun nınd ölçek fktöü he eksen için sbitti. bm@ildiz.edu.t RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM
24 Budn ffin dönüşümü bğıntılı: m mr ÖDEV-4 ik pmeteleinin hesplnbilmesi için he iki sistemde eşlenik kç det nokt geeksinim duulu? b b d bm@ildiz.edu.t RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM
25 b b d Çözüm için he iki sistemde de bilinen eşlenik nokt geeksinim duulu. Bu duumd: b b d b b d bm@ildiz.edu.t RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM
26 RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM ve 3, ve 4 eşitliklei bibileinden çıkılk olus: b b Olu. Mtis gösteimi ile b b b bm@ildiz.edu.t FOTOGRAMETR FOTOGRAMETRİNİN TEMELLER N TEMELLERİ
27 RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM Budn, b pmetelei: b, d pmetelei ise dönüşüm fomülünden:?? Nokt No bm@ildiz.edu.t FOTOGRAMETR FOTOGRAMETRİNİN TEMELLER N TEMELLERİ
28 A Affin Dönüşümü genel hlile ukıdki biçimde tnımlmıştık. Benzelik dönüşümünde söz konusu koodint sistemlei dik koodint sistemlei idi os Affin dönüşümde dik ve eğik koodint sistemlei söz konusu olbili.,,,,, pmeteleini hesplınız RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM
29 RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM z z z os os os os os os os os os R R z FOTOGRAMETR FOTOGRAMETRİNİN TEMELLER N TEMELLERİ
30 κ ω ψ κ Biini eksen İkini eksen Üçünü eksen ω ψ RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM
31 zz ω ω z ω z ωψ ω ωψ κ z ωψ z ωψκz ωψκ ωψ ω ω ω ωψ ωψ ωψκ ψ Bi z koodint sisteminde tnımlı P noktsı bu sistemle ω,ψ,κ dönüklükleine ship sistemine dönüştüülü. Bud dönüşüm mtisi şğıdki gibi tnımlnı: bm@ildiz.edu.t RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM
32 RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM z z ψ ψ ' ' os sin sin os os sin sin os ' ' z z z z ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ os sin sin os ' ' ' os sin sin os R z z FOTOGRAMETR FOTOGRAMETRİNİN TEMELLER N TEMELLERİ
33 z z ω ω κ R ω osω sinω sinω osω R κ κ osκ sinκ sinκ osκ R RψRωRκ bm@ildiz.edu.t RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM
34 R ωψκ osψ osκ osψ sinκ osω sinκ sinω sinψ osκ osω sinκ sinω sinψ osκ sinω sinκ osω sinψ osκ sinω osκ osω sinψ sinκ Bud bibiini izleen dönüklükle: sinψ osψ sinψ osψ sinψ R R. dönüklük. dönüklük Toplm dönüklük : R R R Bud R ve R dönüklük mtisleinin çpımı ile genel dönüklük mtisi elde edili. bm@ildiz.edu.t RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM
35 Bud mtis çpımı geçekleştiiliken dönüklük sısın mutlk dikkt Edilmelidi. R T R R T R T R T ÖRNEK-: ω gon ψ.4 gon κ gon veildiğine göe R dönüklük mtisinin elemnlını hesplınız. elde edilen mtisin otogonl olup olmdığını test ediniz. bm@ildiz.edu.t RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM
36 ÖRNEK-: Bi P noktsı z sisteminde tnımlnmış olsun. Bu sistem sistemi ile ω,ψ,κ Dönüklüğü olsun, sistemi nı zmnd sistemi ile de ω,ψ,κ dönüklükleine ship olsun. P noktsının sistemindeki koodintlını ve z ile sistemi sındki ω,ψ,κ dönüklükleini hesplınız ω.3948gon ψ.4gon κ.8479gon R mtisi ω.76gon ψ.853gon κ.33gon R mtisi bm@ildiz.edu.t RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM
37 R R İkini çözüm R R R R R mtisi dımı ile ω,ψ,κ dönüklüklei hesplnbili. bm@ildiz.edu.t RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM
38 Mekezsel İzdüşüm negtif H P P pozitif P O H P 99,6. M H P P P O: Pojeksion mekezi H: Resim sl noktsı : Kme sbiti M: Resim ot noktsı bm@ildiz.edu.t RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM
39 negtif H P P O pozitif P H P P P Bud P esim noktsı ve P noktsı Asındki ilişki kolineite eş doğudşlık koşulu ile tnımlnı bm@ildiz.edu.t RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM
40 O,, P, H, M - P - - bm@ildiz.edu.t RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM
41 Özel Duum: ve sistemindeki eksenle bibiine plel olsun, ni tm düşe fotoğf söz konusu olsun. Bu duumd: λ λ λ λ İdel bi duum için elde edilen bu denklemlee İzdüşüm denklemlei deni. Bu denklemle oumlnk olus;,, koodintlı ve kme sbiti sl uzklık bilinen bi Düşe fotoğft,, zi noktsın kşılık lnız, koodintı elde edili. ni P uz noktsın kşılık fotoğft tek bi P noktsı kşılık geli. Bunun tesi doğu Değildi, ni P fotoğf noktsın kşılık OP izdüşüm doğusund sonsuz nokt Kşılık geli. bm@ildiz.edu.t RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM
42 O,, P, H, M - P - - bm@ildiz.edu.t RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM
43 RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM Şimdi genel duum ele lınk olus, iki sistemin dönüşüm poblemi elde edili. Genel olk: λ Bu eşitliklede. ve. stı ı ı 3. stı bölüneek olus: ukıdki he iki tfı /λr - ile çpılk olus: λ FOTOGRAMETR FOTOGRAMETRİNİN TEMELLER N TEMELLERİ
44 RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM ukıdki eşitlikle he bi obje noktsın bi esim noktsının kşılık geldiğini göstemektedi. FOTOGRAMETR FOTOGRAMETRİNİN TEMELLER N TEMELLERİ
45 RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM ukıdki eşitlikle ise koodintın bğlı olk bi esim noktsın sonsuz sıd zi noktsının kşılık geldiğini göstei. Dolısı ile bi fotoğftn objee ilişkin üç boutlu koodintl elde edilemez. FOTOGRAMETR FOTOGRAMETRİNİN TEMELLER N TEMELLERİ
46 , : Asl noktnın koodintlı : Kme odk uzklığı İç öneltme elemnlı olk dlndıılı.,, ω,ψ,κ : İzdüşüm mekezinin koodintlı : Resmin üç dönüklüğü Bu ltı pmete dış öneltme elemnlı olk dlndıılı. Toplm 9 pmete fotoğfın mekezsel izdüşümünü tnıml. Bud kme odk uzklığı kme klibson polı ile bilini. İdel duumd ; olmsı bekleni. bm@ildiz.edu.t RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM
47 ÖDEV: 6.67 mm,. mm m, m, 5.74m R P m., P m., P m. P m., P 698.3m., P m. veildiğine göe bu noktl it esim koodintlını hesplınız, gfik olk gösteiniz. bm@ildiz.edu.t RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM
48 DÜLEMSEL MERKEİ İDÜŞÜM VE PROJEKTİF DÖNÜŞÜM Obje düzleminde kbul edilise: H, O,, - M P, Eşitliği şğıdki eşitliğe dönüşü: P - - bm@ildiz.edu.t RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM
49 RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM b b b Budki i i i b,, ukıdki eşitliğe bğlı olk : şeklinde tnımlnı. A A Eşitliğinde he iki tf e bölüneek olus: 3 FOTOGRAMETR FOTOGRAMETRİNİN TEMELLER N TEMELLERİ
50 b b b 3 3 Eşitliklei elde edili. Bu eşitliklein nlmı şudu: Bi fotoğf düzlemsel objelein tnımlnmsınd kullnılbili 8 bğımsız pmete bi düzlemsel objenin mekezi izdüşümünü tnıml. Mekezi izdüşümdeki 9 meknsl bğımsız pmetenin 8 düzlemsel pmetee indigenmesinin nedeni şudu: Bi obje düzlemindeki mekezi izdüşüm 9 pmetenin bğımlılığındn oluşu. Özel bi duum için Obje düzlemi fotoğf düzlemine plel kbul edilise bu bğımlılık kol tnımlnbili. Budki bğımlılık kme sbiti ve izdüşüm mekezinin koodintı sınddı ve / onı bilini. bm@ildiz.edu.t RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM
51 Budki temel poblem genel duum için 8 pmetenin belilenmesidi. Bunun için he iki sistemde 4 kontol noktsın geeksinim duulu. O Q O P Q P Q P bm@ildiz.edu.t RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM
52 ÖDEV: Resim koodintlı [mm] Obje koodintlı [mm] A B C D P ?? b b b Şeklinde 8 denklem zılı. bm@ildiz.edu.t RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM
53 RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM b b b b b b m m 55,74,78.,58,33.,63 479, 736,85.,58 466,9.,68 839,43,78.,58,33.,63 8,69 84,7.,58 8,65.,68 FOTOGRAMETR FOTOGRAMETRİNİN TEMELLER N TEMELLERİ
54 RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM Özel Duum: Resim düzlemi obje düzlemine plel olk kbul edilise: ni ψω Dönüklük mtisi şğıdki şekilde tnımlnı: os sin sin os κ κ κ κ R Bu duum eşitliğine ugulnk olus: os sin sin os os sin sin os m olus z ızıl m B B κ κ κ κ κ κ κ κ elde edili. FOTOGRAMETR FOTOGRAMETRİNİN TEMELLER N TEMELLERİ
55 RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM Bu özel duumd fotoğf bi hit gibi düşünülebili. Bud sdee ölçek küçültülmüştü. Bu duumd ukıd zıln eşitlik bi süzlem ffin dönüşümü tnıml. ni bu duumd iki öteleme, bi dönüklük ve bi ölçek fktöü söz konusudu. Bud ölçek fktöü: / di. mr m os sin sin os m B κ κ κ κ S s O κ kbulü ile s/s/ sbit/m B FOTOGRAMETR FOTOGRAMETRİNİN TEMELLER N TEMELLERİ
56 b b b 3 3 Eşitliği dımı ile Obje düzlemindeki ve Fotoğf düzlemindeki koodintlı dımı ile fotoğf düzlemindeki hehngi bi nokt obje düzlemi insinden ifde edilebili. Bud iç ve dış öneltme elemnındn oluşn dokuz pmeteli mekezi izdüşümlü ışın demetlei pojektif geometi ile bğlntılı olk esim ile obje sınd geçeli olu. Pojektif geometide metkezi izdüşümlüışın demetleine ltentif olk şğıdki özellikle geçelidi: Eğe kontol noktlı dımı ile dönüşüm pılks klşık değelee geek oktu. Pojektif geometi dolısı ile iç öneltme elemnlının bilinmesine geek oktu Affin dönüşüm, pojektif dönüşümün özel bi hlidi. bm@ildiz.edu.t RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM
57 ÖDEV: sistemindeki kontol noktlı,,,,3,,4, olk veilmiş olsun. sisteminde ise,,,,3,4,4,4 olsun. Bun ek olk sisteminde 5.5,.5 noktsı veilşmiş olsun. Bu noktnın sistemindeki koodintlını hesplınız. ptığınız dönüşümü oumlınız. RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM
58 -ekseni obje ekseninde, ekseni de esim doğultusund olsun. Bu duumd olu. 3, 3 ve bi doğunun mekezi izdüşümünü tnıml. Dolısı ile 3 kontol noktsı ile diğe noktl dönüştüülmüş olu. SORU: neden 3 konol noktsı? ukıdki eşitlik nı zmnd çifte on özelliğini tnıml. Bi doğu üzeinde bulunn döt nokt için zılk bi çifte on mekezsel izdüşümde sbitti. D C B A S D AC BC AD sbit BD C B A bm@ildiz.edu.t RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM
59 Mekezi izdüşümün diğe bi özelliği de: Plel doğulın izdüşümlei kesişebili. Ank izdüşüm düzlemine plel oln doğul izdüşümde de plel klı. Plel doğulın izdüşümde kesişme noktsın Kçış Noktsı deni. Kesişen doğul izdüşümde de kesişi. Kesişme noktlı bibiine kşılık geli. K K Ufuk çizgisi bm@ildiz.edu.t RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM
60 ÖRNEK: APBQC doğusu boun bi fotoğf çekilmiş olsun. AB4,5 m., BC5. m P,Q noktlının koodintlını hesplınız. A p B Q C bm@ildiz.edu.t RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM
61 . BLÜM M SONU bm@ildiz.edu.t RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM
Katı cisimlerin hareketlerinin tanımlanması ve analizi iki yönden önem taşır.
RİJİT (KTI) CİSMİN KİNEMTİĞİ Ktı cisimlein heketleinin tnımlnmsı e nlizi iki yönden önem tşı. iincisi sıkç kşılşıln bi duum olup mç, değişik tipte km, dişli, çubuk e bu gibi mkin elemnlını kullnk belili
Elektromanyetik Teori Bahar Dönemi. KOORDİNAT SİSTEMLERİ ve DÖNÜŞÜMLER
KOORDİNT SİSTEMLERİ ve DÖNÜŞÜMLER i önceki bölümde Kteen koodint sisteminde işlemleimii ptık. Kteen koodint sisteminden bşk biçok koodint sistemlei vdı. u bölümde kteen koodint sistemine ek olk silindiik
LYS 1 / GEOMETRİ DENEME ÇÖZÜMLERİ
LYS / GOMRİ NM ÇÖZÜMLRİ eneme -. 9 9 de [] hem çı oty hem yükseklik olduğu için ikizken üçgen u duumd 9 cm ve olu. de [ ] ot tbn olduğu için cm. α 0 0 α 0 m ^ h α olsun. 0 - - 90 üçgenini çizip desek ve
TYT / MATEMATİK Deneme - 3
TYT / MTEMTİK Deneme -. (0,) 0 (0,) = 0 00 00 0 80 00 = = = bulunu. 00 00 00 6. 7! 8! = 7 6! 8! =! ( 8) = 0! = 0 0 = = b c budn b c = = 8 bulunu.. Syı = olsun = & = 8 & = 0 u syının ü ise 0 = bulunu. 7.
TYT Temel Yeterlilik Testi
Otöğetim lnı MF - 01 TYT Temel Yetelilik Testi Geometi Des Föyü Geometik Kvml Doğud çıl Nokt: Klemin syfy bıktığı ize deni. Uygulylım 1. şğıdki boşluklı dolduunuz. ) Doğu...boyutludu. Noktsı noktsı oyutsuzdu.,,
LYS 1 / GEOMETRİ DENEME ÇÖZÜMLERİ
Y / Rİ N ÇÖZÜRİ eneme -. de ' çizilise + olcğındn cm, cm ve cm bulunu. ikizken üçgeninde m^\ m ^\ desek iki iç çının toplmı bi dış çı olcğındn m^\ olu. ikizken üçgeninde m^\ m^\ dı. m^\ m^\ dı. (Yöndeş
YERSEL FOTOGRAMETRİ. Doç. Dr. Naci YASTIKLI. İstanbul 2010
YERSEL FOTOGRAMETRİ Doç. D. Nci YASTIKLI İstnbul 21 YERSEL FOTOGRAMETRİ İÇERİK Tnım ve Kvml Yesel Fotogmetinin Kullnım Alnlı Yesel Fotogmetinin Sınıflndıılmsı Yesel Fotogmetide Koodint Sistemlei Koodint
LYS1 / 4.DENEME MATEMATİK TESTİ ÇÖZÜMLERİ
. İki bsmklı toplm sı vdı. ile lınd sl olmsı için ve e tm bölünmemeli e bölünen sıl 8 det e bölünen sıl det LYS /.NM MTMTİK TSTİ ÇÖZÜMLİ 8. - ` j - 8 k - 8 8-8 8 nck ʼin ktı oln sıl ( tne) kee lındı. -
1. y(m) Kütle merkezinin x koordinatı x = 3 br olduğundan, Kütle merkezinin x koordinatı, ... x KM = = 5m + 4m K = 10m olur.
0. BÖLÜM AĞIRLI MEREZİ ALIŞTIRMALAR ÇÖZÜMLER AĞIRLI MEREZİ. y(m) m m m 8m (m) 0 8m ütle mekezinin koodintı, m+ m+ M m + m + m.( ) + m. + 8m. + m.( ) + 8m. m+ m+ 8m+ m+ 8m + 9+ 8+ 6 8 m olu. ütle mekezinin
Adı ve Soyadı : Nisan 2011 No :... Bölümü :... MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ ARA SINAV SORULARI
Adı ve Soydı :................ 16 Nisn 011 No :................ Bölümü :................ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ ARA SINAV SORULARI 1) Aşğıdkile hngisi/hngilei doğudu? I. Coulomb yssındki Coulomb sbiti k
LYS 1 / MATEMATİK DENEME ÇÖZÜMLERİ
YS / TTİ N ÇÖZÜRİ eneme -. +. + + ti. - + + - + + > ise - + - + evp. ^ + ^- ^- +. z z + + + + evp z + -. c- m z z + - + + + z z z ^ ^ evp. çift sı olmlı Ç+ T T. Ştı sğln sdece vdı.. + + lde tne sl sı vdı.
DRC. 1. x 2 + 2xy + y 2 = 25 x + y = ± , 4, 6,..., 48 numaralı bölmeler yakılıyor. ( 24 tane ) 5. f ( x + 3 ) = x.
eneme - 8 / YT / MT MTMTİK NMSİ. + + + ± + 8 9 9. s( + ) s() İ İ + 9 9 7... ( I ) + 9 + 9 7... ( II ) I ve II den [ 7, 7 ] fklı tm sı değei lbili. evp.,,,..., 8 numlı bölmele kılıo. ( tne ), 9,,..., numlı
KATILARDA DAYANIKLILIK
BÖÜM 3 ATIARDA DAANIII MODE SORU - DEİ SORUARIN ÇÖZÜMERİ 4.. Cnlılın dynıklılığı, biim ğılığ düşen kesitlnı olk ifde edili., kkteistik uzunlukolmk üzee, kesitlnı kesitlnı Dynıklılık ğılık cim 3 di. Bu
LYS 1 / GEOMETRİ DENEME ÇÖZÜMLERİ
YS / GMTİ NM ÇÖZÜMİ eneme -.. 70 70 b desek olu. b Ç ` j cm olduğundn + b b - dı. de 6 @ ot tbnı çizilise benzelik ydımıyl biim bulunu. 6@ ' 6@ olduğundn m^\ h m ^\ h 70c di. ikiz ken üçgen çıktığındn
TOPLAM FARK FORMÜLLERİ İKİ KAT AÇI FORMÜLLERİ TRİGONOMETRİK DENKLEMLER ANALİZ TESTLERİ
ÖÜ OP OÜİ inüs oplm - k omülü... osinüs oplm - k omülü...9 njnt ve otnjnt oplm - k omüllei... oplm - k omülleinin Geometik Şekillee ygulnmsı... G İ...9 ÖÜ İİ Ç OÜİ inüs İki t çı omülü... osinüs İki t çı
5. ( 8! ) 2 ( 6! ) 2 = ( 8! 6! ). ( 8! + 6! ) Cevap E. 6. Büyük boy kutu = 8 tane. Cevap A dakika = 3 saat 15 dakika olup Göksu, ilk 3 saatte
Deneme - / Mt MTEMTİK DENEMESİ Çözümle. 7 7 7, 0, 7, + + = + + 03, 00,, 3 0 0 7 0 0 7 =. +. +. 3 = + + = 0 ulunu.. P ve pd eklenecek sı olsun. - + =- + + & - + =-- - & + = ^--h + & =- ulunu. + 3. Veilen
Nokta (Skaler) Çarpım
Nokta (Skale) Çapım Statikte bazen iki doğu aasındaki açının, veya bi kuvvetin bi doğuya paalel ve dik bileşenleinin bulunması geeki. İki boyutlu poblemlede tigonometi ile çözülebili, ancak 3 boyutluda
ÜNITE. Analitik Geometri. Düzlemde Vektörler Test Düzlemde Vektörler Test Düzlemde Vektörler Test
ÜNITE nlitik Geometi üzleme Vektöle Test -... üzleme Vektöle Test -... üzleme Vektöle Test -... üzleme Vektöle Test -... önüşüm Geometisi Test -... önüşüm Geometisi Test -... önüşüm Geometisi Test -...7
TEST 12-1 KONU. çembersel hareket. Çözümlerİ ÇÖZÜMLERİ s ise. 1. H z ve ivme vektörel olduğundan her ikisinin yönü değişkendir. 7.
KOU çebesel heket Çözüle S - ÇÖÜMLR. H z ve ive vektöel olduğundn he ikisinin yönü değişkendi. 6. 30 s ise 3 4 sniye f Hz 4. F, ıçp vektöü ile hız vektöü sındki çı 90 di. k 7. 000 7. 7 h 3600s 0 /s X t
KKKKKKK. Adı Soyadı : Numarası : Bölümü : İmzası : VERİLER
Adı Soydı : Numsı : Bölümü : İmzsı : EİLE e - =e + =p=1,6x10-19 C Metik Ön Tkıl g=10 m/s 2 k=(1/4πε0)=9x10 9 N.m 2 /C 2 10 9 gig G εo=9,0x10-12 C 2 /N.m 2 10 6 meg M π=3 10 3 kilo k mp =1,7x10-27 kg 10-2
LYS1 / 1.DENEME MATEMATİK TESTİ ÇÖZÜMLERİ
.. (,! Z ) min için! `, j LYS /.NM MTMTİK TSTİ ÇÖZÜMLRİ evp:. {,,,,,, 7,, 9} Z/'te $ 7,,. $,,. $ 9,,. k ve k ve k ve k f p f p f p f pf pf p evp:. ` j! k 7 ` j! ` j` j 7 ` j!! `-j! `- j!!!.. b. c b c b
SORU. m(cdo ) = = 20 olur. OB = OD = OC = r den; m(bco ) = 30, m(dco ) = 20 ve. [AB ile [AD B ve D noktalar nda çembere te ettir.
GMR eginin bu sy s nd Çembede ç l, Kiiflle ötgeni, e et Kiifl Özelliklei konusund çözümlü soul ye lmktd. u konud, ÖSS de ç kn soul n çözümü için geekli temel bilgilei ptik yoll, soul m z n çözümü içinde
a 2 =h 2 +r 2 DERS: MATEMATĐK 8 KONU:KONĐ FORMÜLLERĐ ANLATIMI HAZIRLAYAN: ÖMER ASKERDEN ADI: SOYADI:
1) KONĐ: Bi çembein bütün noktlının çembein dışındki bi nokt ile bileştiilmesinden elde edilen cisme koni deni. Kısc Koni, tbnı die oln pimitti. DĐK KONĐ PĐRAMĐT 1-A)DĐK KONĐ: Bi dik üçgenin, dik kenlındn
ELEKTRIKSEL POTANSIYEL
FİZK 14-22 Des 7 ELEKTRIKSEL POTANSIYEL D. Ali ÖVGÜN DAÜ Fizik Bölümü Kynkl: -Fizik 2. Cilt (SERWAY) -Fiziğin Temellei 2.Kitp (HALLIDAY & RESNIK) -Ünivesite Fiziği (Cilt 2) (SEARS ve ZEMANSKY) www.ovgun.com
MADDESEL NOKTALARIN DİNAMİĞİ
MÜHENDİSLİK MEKNİĞİ DİNMİK MDDESEL NKTLRIN DİNMİĞİ www.mkin.selcuk.edu. DİNMİK MDDESEL NKTLRIN DİNMİĞİ İÇİNDEKİLER. GİRİŞ - Konum, Hız e İme - Newon Knunlı. MDDESEL NKTLRIN KİNEMTİĞİ - Doğusl Heke - Düzlemde
Öğrenci Yerleştirme Sınavı (Öys) / 20 Haziran Matematik Soruları Ve Çözümleri
Öğenci Yeleştime Sınvı (Öys) Hzin 99 Mtemtik Soulı Ve Çözümlei. Rkmlı bibiinden fklı oln üç bsmklı en büyük tek syı şğıdkileden hngisine klnsız bölünebili? A) B) C) 6 D) 8 E) 9 Çözüm Rkmlı bibiinden fklı
21. İlk 5 dakikanın sonunda Burak ve Onur un bulundukları. Cevap B. Burak 100. = 45 olup farkları = 22 bulunur. Cevap C
Deneme - / Mt MEMİK DENEMESİ Çözümle.. c + m. d ı. 4 4 6 4 4 6 ( 6) ( 4) ( ) ( ) y 5 7. y c + m. y d ı. 4 8 6 ( ) ( ) ( ) olduğun göe, 6 6y 8y bulunu.. y - + + y - y - y y - y 6 6. ^009, h. ^0, 07h > c
KATI CİSİMLER. Aşağıdaki şekilde, ABCDEFGH tabanlı ABCDEFGHA B C D E F G H sekizgen dik prizması verilmiştir.
I İSİMLR tı isimlein İsimlendiilmesi ve Özeliklei şğıdki şekilde, tnlı sekizgen dik pizmsı veilmişti. Pizml tnlındki çokgene ve diklikeğiklik duumun göe ' ' ' ' isim lıl., ' ' ' ', dikdötgenleine ynl yüzey
LYS 1 / MATEMATİK DENEME ÇÖZÜMLERİ
LYS / MEMİK ENEME ÇÖZÜMLERİ enee -. - + - + - - + - + - 7 - evp E. - + + 9 ifdelei tf tf çplı. ^- h^ + + 9h - 7. + + + ifdesinde zlı. + 7 ise + 7 evp + + + + + + + + + + +. z + z + + + z + z + dı. z z
ELEKTRİK ALANI, ELEKTRİK POTANSİYELİ, İŞ VE ENERJİ
25 II. BÖLÜM LKTRİK ALANI, LKTRİK POTANSİYLİ, İŞ V NRJİ 2.1. LKTRİK ALANI V ALAN ŞİDDTİ lektik ükleinin etkisini göstediği lnl, elektik lnı olk dlndıılı. lektik lnı içeisindeki üklü cisimlee elektik lnı
LYS 1 / MATEMATİK DENEME ÇÖZÜMLERİ
LYS / MTMTİK NM ÇÖZÜMLRİ eneme -. ) - - + ) - 7 - + ) - - +. + m ; + m + ^ ^ > H + ) - - + ^ ) 7- - + Sılın plı eşit olduğun göe, pdsı en üük oln sı en küçüktü. un göe seçeneğindeki sının pdsı en üük olduğundn
Mekanik olayları ölçmekte ya da değerlendirmekte kullanılan matematiksel büyüklükler:
VEKTÖRLER KT 1 Mekanik olaylaı ölçmekte ya da değelendimekte kullanılan matematiksel büyüklükle: Skale büyüklük: sadece bi sayısal değei tanımlamakta kullanılı, pozitif veya negatif olabili. Kütle, hacim
TG 8 ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK
KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN İLGİSİ TESTİ İLKÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG ÖAT İLKÖĞRETİM MATEMATİK u testlein he hakkı saklıdı. Hangi amaçla olusa olsun, testlein tamamının veya bi
Tanımlar, Geometrik ve Matemetiksel Temeller. Yrd. Doç. Dr. Saygın ABDİKAN Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ. JDF329 Fotogrametri I Ders Notu
FOTOGRAMETRİ I Tanımlar, Geometrik ve Matemetiksel Temeller Yrd. Doç. Dr. Saygın ABDİKAN Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ JDF329 Fotogrametri I Ders Notu 2015-2016 Öğretim Yılı Güz Dönemi İzdüşüm merkezi(o):
Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Parabolün Tepe Noktası
Mustf YĞCI www.mustfgci.com.tr, 11 Ceir Notlrı Mustf YĞCI, gcimustf@hoo.com Prolün Tepe Noktsı Ö nce ir prolün tepe noktsı neresidir, onu htırltlım. Kc, prolün rtmktn zlm ve zlmktn rtm geçtiği nokt dieiliriz.
5 ÖABT / MTL ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG. 678 ( sin + cos )( sin- cos )( sin+ cos ) lim sin- cos " = lim ( sin+ cos ) = bulunu. ". # # I = sin d = sin sin d sin = u sin d = dv du = sin : cos
Temel Elektrik Kavramlar Aşağıdaki notlar, D.J.Griffit s in Elektromanyetik Teori kitabından alınmıştır.
1 Temel Elektik Kvml Aşğıdki notl, D.J.Giffit s in Elektomnyetik Teoi kitındn lınmıştı. 1- Elektik Aln (E) Yüklü i cisim, fzl elekton vey potonu oln i cisimdi. Cisimdeki u fzl net yükün üyüklüğü, fzl oln
Katı Cismin Uç Boyutlu Hareketi
Katı Cismin Uç outlu Haeketi KĐNEMĐK 7/2 Öteleme : a a a ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ / / /, 7/3 Sabit Eksen Etafında Dönme : Hız : wx bwe bwe wx be he x we wx bwe e d b be d be he b h O n n n ɺ ɺ θ θ θ θ θ ( 0 Đme : d d
BASİT MAKİNELER BÖLÜM 4
BASİ AİNEER BÖÜ 4 ODE SORU DE SORUARIN ÇÖZÜER fi ip fiekil-i fi fiekil-i ip N fiekil-ii fiekil-ii Çuuklın he iinin ğılığın diyelim Şekil-I de: Desteğe göe moment lısk, Şekil-I de: Şekil-II de: 4 ESEN AINARI
2 Diğer sayfaya geçiniz
TYT / MTEMTİK Deneme - 5. + c m $ ^+ & & + & Cevp : 5. ^ ise 'dn son gelen tm ke oln syı ^ + di. Yni ^ + + + ulunu. Cevp : E 6. 5! + 6! + 7! 5! + 6$ 5! + 7$ 6$ 5! 8! 7! 8$ 7! 7!. ise ^ + ^ + > H ^ + +
Belirsiz İntegral...415. İntegral Alma Yöntemleri... 425 Değişken Değiştirme Yöntemi... 425
Belisiz İntegl... İntegl Alm Yöntemlei... Değişken Değiştime Yöntemi... d c Biçimindeki İnteglle... 9 A B d Biçimindeki integlle... c Kesili Fonksionlın İntegli... 8 Tigonometik Fonksionlın İntegli...
VEKTÖRLER DOÇ.DR. KAMİLE TOSUN FELEKOĞLU
VEKTÖRLER DOÇ.DR. KMİLE TOSUN ELEKOĞLU 1 Mekanik olaylaı ölçmekte ya da değelendimekte kullanılan matematiksel büyüklükle: Skale büyüklük: sadece bi sayısal değei tanımlamakta kullanılı, pozitif veya negatif
DERS 12. Belirli İntegral
DERS Belili İntegl.. Bi eği ltınd kln ln. Bi [, ] kplı lığı üzeinde süekli i onksionu veilmiş olsun ve e [, ] için olduğunu kul edelim. in giği ile ekseni sınd kln ölgenin lnı ile u deste göeeğimiz elili
ÇEMBERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
ÇEMBERİN ANALİTİK İNCELENMESİ Öncelikle çembein tanımını hatılayalım. Neydi çembe? Çembe, düzlemde bi noktaya eşit uzaklıkta bulunan noktala kümesiydi. O halde çembein analitik incelenmesinde en önemli
UZAYDA VEKTÖRLER / TEST-1
UZAYDA VEKTÖRLER / TEST-. A(,, ) ve B(,, ) noktlrı rsındki uklık kç birimdir? 6. A e e e B e e e AB vektörü ile nı doğrultud ıt öndeki birim vektör şğıdkilerden ( e e e ). A(, b, ) B(,, ) noktlrı ve U
Cevap C. 400 / 0 ( mod 8 ) A harfi. 500 / 4 ( mod 8 ) D harfi. Cevap C. 6. I. n tam sayı ise. n 2 = 4k 2 4k + 1 veya n 2 = 4k 2
MTMTİ NMSİ. 8 h + + h. ( a, b ) 0 h. + h h+ h h. + h + bulunu. 0... 7 sayısında asal çapanladan bie tane olduğundan pozitif bölen sayısı kada ( a, b ) sıalı ikilisi vadı. ( + ). ( + ). ( + ). ( + ) tane
Tek ve Çift Fonksiyonlar. Özel Tanýmlý Fonksiyonlar. Bir Fonksiyonun En Geniþ Taným Kümesi. 1. Parçalý Fonksiyonlar. 2. Mutlak Deðer Fonksiyonu
Fonksionlr Konu Özeti. Köklü fonksionlrın en geniş tnım kümesi: f( f( n f( g( fonksionun en geniş tnım kümesi, g( koşulunu sğln noktlr kümesidir. f( f( n f( g( tüm reel sılrd tnımlıdır. fonksionu g( in
ÇÖZÜM SORU. Küpün yan yüzünü açal m. En k sa yol, do rusal uzakl k oldu undan, Bir dikdörtgenler prizmas n n ayr tlar a, b, c dir.
GMTR eginin bu sy s nd Uzy Geometi, isimlein ln ve Hcimlei konusund çözümlü soul ye lmktd. u konud, ÖSS de ç kn soul n çözümü için geekli temel bilgilei ve ptik yoll, soul m z n çözümü içinde t ltmy mçld
ÜNITE. Uzay Geometri. Katı Cisimler Test Katı Cisimler Test Katı Cisimler Test Katı Cisimler Test
ÜNI Uzy Geometi tı isimle est -... tı isimle est -... tı isimle est -... tı isimle est -... tı isimle est -...7 tı isimle est -...9 Uzy oğu ve üzlem est -...0 Uzy oğu ve üzlem est -... Uzy oğu ve üzlem
KATI CÝSÝMLER KATI CİSİMLER KATI CİSİMLER
KTI ÝSÝMLR KTI İSİMLR YILLR 1966 1967 1968 1969 1970 1971 197 197 197 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 198 198 198 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 199 1995 1996 1997 1998 1999 001 001 00 00 00 005
4. f ( x ) = x m x + m. Cevap C. m açılımındaki bir terim, x. 5. cx 3 + Cevap D. 6. x 2 + ( a + 4 ) x + 3a + 3 ifadesinin tam kare olması için
Deneme - / YT / MT MTMTİ DNMSİ Çözümle. < n < 0. f ( ) m + m p ve q asal saıla olmak üzee, n p. q vea p şeklinde olmalıdı. n {.,.,. 7,.,.,. 7,. 9,.,. 9,.,. 7,.,.,. 7,. 9,. 7,.,, } 9 tane bulunu.. { 7,,,
M1003 ÇÖZÜM : 4 YANIT : E M1101. ÇÖZÜM : x YANIT : C M0102 ÇÖZÜM : 6 YANIT : E
- 8. LYS Mtemtik Soulı Ve Çözümlei M + +. eel sısının değei kçtı? M. > eşitsizliğinin en geniş çözüm kümesi şğıdkileden hngisidi? ) ) ÇÖZÜM : ve ) ) ve olduğundn di.. YNIT : ) ) R ) Z ) R + ) R {} ) R
ELEKTROSTATİK (II) Giriş
Elektomnyetik Teoi Bh 5-6 önemi ELEKTROTATİK (II) Giiş Bundn önceki bölümde yük dğılımı bilindiğinde elektik lnın Coulomb yssı kullnılk nsıl hesp edileceği üeine konuştuk. Htılycğını gibi Coulomb yssını
A, A, A ) vektör bileşenleri
Elektromnetik Teori hr 006-007 Dönemi VEKTÖR VE SKLER KVRMI Mühendislik, fiik ve geometri ugulmlrınd iki türlü büüklük kullnılır: skler ve vektör. Skler, sdece büüklüğü oln niceliklerdir. elli bir ölçeği
Fotogrametrinin Optik ve Matematik Temelleri
Fotogrametrinin Optik ve Matematik Temelleri Resim düzlemi O : İzdüşüm (projeksiyon ) merkezi P : Arazi noktası H : Asal nokta N : Nadir noktası c : Asal uzaklık H OH : Asal eksen (Alım ekseni) P OP :
VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: STATICS
Seventh Edition VECTOR MECHANICS OR ENGINEERS: STATICS edinand P. Bee E. Russell Johnston, J. Des Notu: Hai ACAR İstanbul Teknik Üniveistesi Tel: 285 31 46 / 116 E-mail: acah@itu.edu.t Web: http://atlas.cc.itu.edu.t/~acah
xda da yda da zda da r = Yarıçap xel da=ρdθdρ 4R 3π
ĞLK MEKEZİ (CENTD) ğılık meke plel kuvvetleen ot çıkn geometk kvmı. Ylnıc plel kuvvetlen ğılık meke vı. ğılık meke fksel csmn ve pçcıkl sstemnn tüm ğılığının toplnığı nokt olk üşünülü. Dügün geometk csmlee
açılara bölünmüş kutupsal ızgara sisteminde gösteriniz. KOORDİNATLAR Düzlemde seçilen bir O başlangıç noktası ve bir yarı doğrudan oluşan sistemdir.
KUTUPSAL KOORDİNATLAR (POLAR Düzlemde seçilen bi O başlangıç noktası ve bi yaı doğudan oluşan sistemdi. açılaa bölünmüş kutupsal ızgaa sisteminde gösteiniz. Not: Kolaylık olması açısından Katezyen Koodinat
Bölüm 11: Doğrusal Olmayan Optik Alıştırmalar
Bölüm : Dğusal Olmayan Optik Alıştımala. (a Şiddeti I (W/m laak veilen ışığın, dğusal kıılma indisi n lan madde tamı içinde elektik alanının (E laak veilebileceğini gösteiniz. 7, 4 I E = (b I=,5 W/cm laze
BÖLÜM 2 GAUSS KANUNU
BÖLÜM GAUSS KANUNU.1. ELEKTRİK AKISI Elektik akısı, bi yüzeyden geçen elektik alan çizgileinin sayısının bi ölçüsüdü. Kapalı yüzey içinde net bi yük bulunduğunda, yüzeyden geçen alan çizgileinin net sayısı
VEKTÖRLER 1. BÖLÜM. Vektörel Büyüklüğün Matematiksel Tanımı : u = AB yada u ile gösterilir.
. BÖLÜM VEKTÖRLER Tanım:Matematik, istatistik, mekanik, gibi çeşitli bilim dallaında znlk, alan, hacim, yoğnlk, kütle, elektiksel yük, gibi büyüklükle, cebisel kallaa göe ifade edilile. B tü çoklklaa Skale
yatay Þekil I A) E 1 =E 2 = E 3 B) E 1 <E 2 = E 3 C) E 2 <E 1 < E 3 D) E 3 <E 2 < E 1
S ÜNÝERSÝTE HAZIRI ÖZ-DE-BÝR AINARI ÝZÝ DENEE SINAI A Sou syýsý: 0 nýtlm süesi: 5 dkik Bu testle ilgili ynýtlýnýzý optik fomdki izik bölümüne iþetleyiniz. Doðu ynýtlýnýzýn syýsýndn ynlýþ ynýtlýnýzýn syýsýnýn
AKM 202. Akışkanlar Mekaniği. Ders Notları. 8.Bölüm. Sıkıştırılamaz Viskoz İç Akış İTÜ. Gemi İnşaatı ve Deniz Bilimleri Fakültesi.
AKM 0 Akışknl Mekniği Des Notlı 8.Bölüm Sıkıştıılmz iskoz İç Akış İTÜ Gemi İnştı ve Deniz Bilimlei Fkültesi Hzıln Yd. Doç. D. Şfk N Etük Od No:47 Tel: () 85 638 e-ost: etk@it.ed.t DES NOTAI SIKIŞTIIAMAZ
Belirsiz İntegral İntegral Alma Yöntemleri Değişken Değiştirme Yöntemi
Belisiz İntegl... İntegl Alm Yöntemlei... Değişken Değiştime Yöntemi... d c Biçimindeki İnteglle... 9 A B d Biçimindeki integlle... c Kesili Fonksionlın İntegli... 8 Tigonometik Fonksionlın İntegli...
LYS 1 / GEOMETRİ DENEME ÇÖZÜMLERİ
YS / EETRİ EEE ÇÖZÜERİ enee -.. H E desek E E EH (E uğund ot tn) olu. ` j $ $ c hlde, ^h $ $ 0 0 0 0 üüüş esfesi 0 c di. ulunu. evp de 0 0 0 ile c di. de 0 0 0 ile c di. hlde, lnın nık klcğı üüüş esfesi
Düzlemde eğrisel hareket, parçacığın tek bir düzlem içerisinde eğrisel bir yörünge boyunca yaptığı harekettir. Belirli bir koordinat sisteminde
Düzlemde eğrisel hreket, prçcığın tek bir düzlem içerisinde eğrisel bir örünge bounc ptığı hrekettir. Belirli bir koordint sisteminde tnımlmdn önce, sonuçlrın koordint sisteminden bğımsız olmsı nedenile
Ankara Üniversitesi Diş Hekimliği Fakültesi Ankara Aysuhan OZANSOY
FİZ11 FİZİK Ankaa Üniesitesi Diş Hekimliği Fakültesi Ankaa Aysuhan OZANSOY Bölüm-III : Doğusal (Bi boyutta) Haeket 1. Ye değiştime e Haeketin Tanımı 1.1. 1 Mekanik Nedi? 1.. Refeans çeçeesi, Konum, Ye
Aydınlanma. I x. 4. Her iki du rum da ki ay dın lan ma lar ya zı lıp oran la nır sa, 5. a) Kay nağın top lam ışık akı sı,
ADAA BÖÜ Alıştıml Sınıf Çlışmsı Ayınlnm ve noktlınki yınlnml yzılıp onlnıs, ( + ) 5 ( + ) 6 m 3 ı sy m m e ışı ğın % 4 ını ge çi i ğin en, ge çen ışı ğın şi e ti, 4 4 Ι Ι 9 36 c olu Şe kile nok t sın ki
4. 89 / 5 ( mod p ) 84 / 0 ( mod p ) 60 / 4 ( mod p ) 56 / 0 ( mod p ) Cevap E. Cevap C. 6. x 0 f ( 0 ) = 1, f ( 1 ) = 2,...
eneme - / YT / MT MTMTİK NMSİ Çözümle. O ( b, c ) d ise b dm, c dk O ( a, b ) d ise b dm, a dn I. d tek saı iken a çift ise m ve n nin otak böleni olu. O ( a, b ) d olmaz. d tek ise a tek saıdı. ( oğu
LYS1 / 3.DENEME MATEMATİK TESTİ ÇÖZÜMLERİ
. `n 5j- `n- j - n - n vey n- n n 8. 8 8 LYS /.NM MTMTİK TSTİ ÇÖZÜMLRİ evp: evp:. - f p$ f - p f p 9 - - 5! 5 -! 5 5 5. 8... 5 5. 5.. y 8 8 5 5... z < y < z _. ` j. $ ` j ` ise y. ` j y $ ` j ` j yk. `
Basit Makineler Çözümlü Sorular
Basit Makinele Çözümlü Soula Önek 1: x Çubuk sabit makaa üzeinde x kada haeket ettiilise; makaa kaç tu döne? x = n. n = x/ olu. n = sabit makaanın dönme sayısı = sabit makaanın yaıçapı Önek : x Çubuk x
LİNEER CEBİR MATRİSLER: şeklindeki tablosuna mxn tipinde bir matris denir. [a ij ] mxn şeklinde gösterilir. m satır, n sütun sayısıdır.
![LİNEER CEBİR MATRİSLER: şeklindeki tablosuna mxn tipinde bir matris denir. [a ij ] mxn şeklinde gösterilir. m satır, n sütun sayısıdır.](/thumbs/63/48686411.jpg "LİNEER CEBİR MATRİSLER: şeklindeki tablosuna mxn tipinde bir matris denir. [a ij ] mxn şeklinde gösterilir. m satır, n sütun sayısıdır.")
LİNEER CEBİR MTRİSLER: i,,,...,m ve j,,,..., n için ij sılrının. m m...... n n mn şeklindeki tblosun mn tipinde bir mtris denir. [ ij ] mn şeklinde gösterilir. m stır, n sütun sısıdır. 5 mtrisi için ;
LYS Matemat k Deneme Sınavı
LYS Mtemtk Deneme Sınvı. İki bsmklı bir sının rkmlrı toplmı dir. Rkmlrı er değiştirdiğinde elde edilen sı, ilk sının sinden fzldır.. Birbirinden frklı tne pozitif tmsının OKEK i olduğun göre, en çok kçtır?
r r r r
997 ÖYS. + 0,00 0,00 = k 0,00 olduğuna göe, k kaçtı? B) C). [(0 ) + ( 0) ] [(9 0) (0 ) ] işleminin sonucu kaçtı? B) C) 9 6. Bi a doğal sayısının ile bölündüğünde bölüm b, kalan ; b sayısı ile bölündüğünde
HİPERBOL. Merkezi O noktası olan hiperbole merkezil hiperbol denir. F ve F' noktalarına hiperbolün odakları denir.
Merkezi Hiperoll HİPERBL Merkezi noktsı oln hiperole merkezil hiperol denir. F ve F' noktlrın hiperolün odklrı denir. dklr rsı uzklık FF' dir. odklr rsı uzklık e sl eksen uzunluğu değerine hiperolün dış
DERS 12. Belirli İntegral
DERS Belili İntegl.. Bi eği ltınd kln ln. Bi [, ] kplı lığı üzeinde süekli i f fonksionu veilmiş olsun ve e [, ] için f olduğunu kul edelim. f in gfiği ile ekseni sınd kln ölgenin lnı ile u deste göeeğimiz
VEKTÖRLER ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİT
VKTÖRLR ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT VKTÖRLR 1. Kznım : Vektör kvrmını çıklr.. Kznım : İki vektörün toplmını ve vektörün ir gerçek syıyl çrpımını ceirsel ve geometrik olrk gösterir. VKTÖRLR 1.
Vektörler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Yrd.Doç.Dr.Nevin MAHİR
Vektörler zr rd.doç.dr.nevin MAHİR ÜNİTE 3 Amçlr Bu üniteyi çlıştıktn sonr; Düzlemde vektör kvrmını öğrenecek, İki vektörün eşitliği, toplmı, doğrusl bğımlılığı ile bir vektörün bir gerçel syı ile çrpımı,
Elektromanyetik Teori Bahar Dönemi ELEKTROSTATİK (III) Elektriksel potansiyel
Elektomnetik Teoi Bh 5-6 Dönemi ELEKTROSTATİK (III) Elektiksel otnsiel Bunn önceki bölümlee elektik lnın Coulomb ve Guss slı kullnılk nsıl hes eileceğini inceleik. Elektik lnı elektik skle otnsiel ve kısc
TEST - 1 BAS T MAK NELER. fiekil-ii
BA A EER E - fiekil-i fiekil-ii difllisi fiekil - II deki konuma yönünde devi yapaak gelebili Bu duumda difllisi yönünde döne f f ve kasnakla n n ya çapla eflit oldu undan kasna- tu atasa, de tu ata,,
Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ. BEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ GEOMATİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ JDF329 FOTOGRAMETRİ I DERSi NOTLARI
FOTOGRAMETRİ I GEOMETRİK ve MATEMATİK TEMELLER Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ BEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ GEOMATİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ JDF329 FOTOGRAMETRİ I DERSi NOTLARI http://geomatik.beun.edu.tr/marangoz/
Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ. BEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ GEOMATİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ JDF329 FOTOGRAMETRİ I DERSi NOTLARI
FOTOGRAMETRİ I GEOMETRİK ve MATEMATİK TEMELLER Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ BEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ GEOMATİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ JDF329 FOTOGRAMETRİ I DERSi NOTLARI http://geomatik.beun.edu.tr/marangoz/
İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Matris Cebiri...3. Elementer İşlemler Determinantlar Lineer Denklem Sistemleri Vektör Uzayları...
İÇİNDEKİLER Ön Söz... Mtris Cebiri... Elementer İşlemler... Determinntlr...7 Lineer Denklem Sistemleri...8 Vektör Uzylrı...6 Lineer Dönüşümler...48 Özdeğerler - Özvektörler ve Köşegenleştirme...55 Genel
LYS 1 / GEOMETRİ DENEME ÇÖZÜMLERİ
LYS / GMİ NM ÇÖZÜMLİ eneme -. 0 ' 0 ile l eş üçgenle olduğundan; = 0 cm l = 0 cm ve = desek l = olu. l de pisago ise l = cm. 0 @ nin ota noktasını olaak işaetlielim. u duumda, = cm ( de ota taan) = cm
1993 ÖYS. 1. Rakamları birbirinden farklı olan üç basamaklı en büyük tek sayı aşağıdakilerden hangisine kalansız bölünebilir?
ÖYS. Rkmlrı birbirinden frklı oln üç bsmklı en büyük tek syı şğıdkilerden hngisine klnsız bölünebilir? D) 8 E) 7. +b= b olduğun göre, b kçtır? D) 8 E). İki bsmklı, birbirinden frklı pozitif tmsyının toplmı
İntegral Uygulamaları
İntegrl Uygulmlrı Yzr Prof.Dr. Vkıf CAFEROV ÜNİTE Amçlr Bu üniteyi çlıştıktn sonr; düzlemsel ln ve dönel cisimlerin cimlerinin elirli integrl yrdımı ile esplnileceğini, küre, koni ve kesik koninin cim
Elektromagnetik Alan Teorisi
Elektomgnetik ln Teoisi ttik ln teoisi Zmnl eğişim ok Elektosttik ln sttik elektik ln) Mgnetosttik ln sttik mgnetik ln) Dlg Teoisi enince inmik ln mnl eğişim v) kl gelio Mtemtiksel Temelle + B = B + B
TG 2 ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK
KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ İLKÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ Şubt TG ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlein he hkkı sklıdı. Hngi mçl olus olsun, testlein tmmının ve bi kısmının
( ) ( ) ÖABT Analitik Geometri KONU TESTİ Noktanın Analitik İncelemesi. Cevap D. Cevap C. noktası y ekseni üzerinde ise, a + 4 = 0 A 0, 5 = 1+
ÖABT Analitik Geometri KONU TESTİ Noktanın Analitik İncelemesi. a+ = b 4. a = b 0+ a b a b = b a+ b = 0. A ( a + 4, a) noktası y ekseni üzerinde ise, ( + ) a + 4 = 0 A 0, 5 a = 4 B b, b 0 noktası x ekseni
Geometri Notları. Uzay Geometrisi. Gökhan DEMĐR, 2006
www.mtemtikclub.com, 006 Geometi Notlı Gökn MĐR, gemi@yoo.com.t Uzy Geometisi Tnım : Üzeine çlışm yptığımız noktlın kümesine uzy eni. Öneğin tek nokt üzeine çlışıyos uzyınız bu noktı. un koşutsuz uzy,
TG 11 ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK
KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞREMENLİK ALAN BİLGİSİ ESİ İLKÖĞREİM MAEMAİK ÖĞREMENLİĞİ G ÖAB İLKÖĞREİM MAEMAİK Bu testlein he hkkı sklıdı. Hngi mçl olus olsun, testlein tmmının ve i kısmının İhtiç Yıncılık
4. DEVİRLİ ALT GRUPLAR
4. DEVİRLİ ALT GRUPLAR Tım 4.1. M, bi G gubuu bi lt kümei olu. M yi kpy, G i bütü lt guplıı keitie M i üettiği (doğuduğu) lt gup dei ve M ile göteili. M i elemlı d M gubuu üeteçlei (doğuylı) dei. Öeme
BÖLÜM 5 İDEAL AKIŞKANLARDA MOMENTUMUN KORUNUMU
BÖLÜM 5 İDEAL AKIŞKANLARDA MOMENTUMUN KORUNUMU Linee İmpuls-Momentum Denklemi Haeket halinde bulunan bi cismin hehangi bi andaki doğusal hızı, kütlesi m olsun. Eğe dt zaman aalığında cismin hızı değişiyosa,
YILLAR ÖSS-YGS /LYS /1 0/1 ÇÖZÜM: 1) xοy A ise ο işlemi A da kapalıdır.
YILLAR 00 00 00 005 006 007 008 009 00 0 ÖSS-YGS /LYS - - - 0/ 0/ ĐŞLEM ( ) ( ) (+ ) ( ) 7 6 76+ bulunur ve e bğlı bütün tnımlı fonksionlr bir işlem belirtir i göstermek için +,,*, gibi işretler kullnılır
2013 2013 LYS LYS MATEMATİK Soruları
LYS LYS MATEMATİK Soulaı. LYS 5. LYS ( + a ) = 8 < < olmak üzee, olduğuna öe, a kaçtı? I. A) D) II. + III. (.) ifadeleinden hanileinin değei neatifti? A) Yalnız I Yalnız II Yalnız III D) I ve III II ve
11. SINIF GEOMETRİ. A, B ve C noktaları O merkezli çember üzerinde. Buna göre, BE uzunluğu kaç cm dir? B) 7 3 C) 8 3 A) 5 2 E) 9 5 D) 7 5 (2008 - ÖSS)
ÇMR ÖSS SRULRI 1., ve noktlrı merkezli çember üzerinde m( ) = m( ) =. ir dik üçgeni için, = cm ve = 4 cm olrk veriliyor. Merkezi, yrıçpı [] oln bir çember, üçgenin kenrını ve noktlrınd kesiyor. un göre,
Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Kimya Bölümü 2014-2015 Bahar Yarıyılı Bölüm-4 30.03.2015 Ankara Aysuhan OZANSOY
FİZ2 FİZİK-II Ank Ünivesitesi Fen Fkültesi Kimy Bölümü 24-25 Bh Yıyılı Bölüm-4 Ank Aysuhn OZANSOY Bölüm 4. Elektiksel Potnsiyel. Elektiksel Potnsiyel Eneji 2. Elektiksel Potnsiyel ve Potnsiyel Fk 3. Noktsl
TEOG. Tam Sayılar ve Mutlak Değer ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK TAMSAYILAR MUTLAK DEĞER
TEOG Tm Syılr ve Mutlk Değer TAMSAYILAR Eksi sonsuzdn gelip, rtı sonsuz giden syılr tm syılr denir ve tm syılr kümesi Z ile gösterilir. Z = {...,,, 1,0,1,,,... } Tmsyılr kümesi ikiye yrılır: ) Negtif Tmsyılr:
FIRÇASIZ DOĞRU AKIM MOTOR SİSTEMİNİNİN DENEYSEL OLARAK GERÇEKLEŞTİRİLMESİ VE SİMÜLASYONU
FRÇASZ DOĞRU AKM MOOR SİSEMİNİNİN DENEYSE OARAK GERÇEKEŞİRİMESİ VE SİMÜASYONU Es KANDEMİR 1 H.ık DURU 2 Si ÇAMUR 3 Biol ARİFOĞU 4 Esoy BEŞER 5 Elektik Mühendisliği Bölümü Mühendislik Fkültesi Koceli Ünivesitesi,
AKM 205-BÖLÜM 4-UYGULAMA SORU VE ÇÖZÜMLERİ
AKM 5-BÖÜM -UYGUAMA SORU VE ÇÖZÜMERİ 1. Aşğıd erilen dimi, iki otl ız lnını dikkte lınız: V (, ) (.66.1) i (.7.1) j B kış lnınd ir drm noktsı r mıdır? Vrs nerededir? Kller: 1. Akış dimidir.. Akış -otldr.