10 Mart Fen Liseleri, Sosyal Bilimler Liseleri, Güzel Sanatlar ve Spor Liseleri ile Her Türdeki Anadolu Liseleri. Öğretmenlerini Seçme Sınavı

Transkript

1 Mart Fen Liseleri, Sosyal Bilimler Liseleri, Güzel Sanatlar ve Spor Liseleri ile Her Türdeki Anadolu Liseleri Öğretmenlerini Seçme Sınavı Matematik Soruları ve Çözümleri p : Her gerçek sayısı için > q : En az bir tam sayısı için önermelerinin doğruluk değerleri aşağıdakilerden hangisidir? A) p, q B) p, q C) p, q D) p, q Çözüm p : Her gerçek sayısı için > için : > olmalıdır > > < olduğuna göre, p olur q : En az bir tam sayısı için ( ) olduğuna göre, q olur Dolayısıyla önermelerinin doğruluk değerleri, p ve q dir

2 < a < b < c < olduğuna göre, aşağıdaki tam sayılardan hangisi olabilir? c b a A) B) C) D) Çözüm < a < b < c < olduğuna göre,? c b a < c < < < c < b < < < b < < b < a < < < a 9 < < a Taraf tarafa toplanırsa, < < c b a 9 8 < < c b a, < <, c b a

3 a ² a b eşitliği kaç farklı (a, b ) tam sayı sıralı ikilisi için sağlanır? A) 8 B) C) D) 9 Çözüm a² a ² ab b a b a a sayısının tam sayı bölenleri a ise a {, 8,, 9,,,,,,,,,,, 9,, 8, } 8 tane a tam sayısı olduğundan, b tam sayıları da bulunur veya ²² sayısının pozitif bölen sayısı : ( )( ) 9 sayısını tam bölen 9 tane pozitif ve 9 tanede negatif tam sayı olacağından, sayısının toplam 8 tane tam sayı böleni vardır Buna göre (a, b ) tam sayı sıralı ikilileri 8 tane olur

4 9 kaçtır? A) B) C) 8 D) Çözüm 9? a olsun a ( a ) 9 a ² a 9 ( a 7)² a 7 a olduğuna göre, 7 8 elde edilir

5 m bir asal sayı olduğuna göre, m aşağıdakilerden hangisidir? A) 9 B) C) 7 D) 7 Çözüm I Yol A) 9 ( ) ( )(( ) ) çarpanlarına ayrılır B) 7 ( ) 7 7 ( )( ) çarpanlarına ayrılır C) 7 7 asal olduğundan 7 de asaldır D) 7 9 ( ) II Yol ( )(( ) ) çarpanlarına ayrılır n Mersenne asal sayıları : n asal ise asaldır 7 asal olduğu için 7 asaldır Not : a b ( ab)( a ab b )

6 Bir bölme işleminde bölünen, bölenin iki katı ile bölündüğünde bölüm azalıyor, kalan ise değişmiyor Đlk bölme işleminde bölüm kaçtır? A) 7 B) C) D) Çözüm Bölünen A Bölen a Bölüm b Kalan k A ab k Bölünen A Bölen a Bölüm b Kalan k A a(b ) k veya A ab k a(b ) k ab ab a a ab b olur

7 7 7 > eşitsizliğini sağlayan tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır? A) B) C) 9 D) 7 Çözüm 7 I Yol 7 > 7 > > tam sayı değerleri {,,,,, } tam sayı değerlerinin toplamı : ( ) ( ) ( ) ( ) 9 olur II Yol 7 > < 7 < > > tam sayı değerleri {,,,,, } tam sayı değerlerinin toplamı : ( ) ( ) ( ) ( ) 9 olur

8 8 ( ² )( ² ) ² 8 eşitsizliğini sağlayan kaç tam sayısı vardır? A) B) C) D) 7 Çözüm 8 ( ² )( ² ) ² 8 ( )( )² ( )( ) ( ) ( ) ( ) ve ( tanımsız ) Buna göre tam sayılarının değerleri {,,,, } olur

9 9 kişilik bir sınıfta, öğrencilerin her biri Đngilizce, Almanca ve Japonca dillerinden en az birini bilmektedir Öğrencilerin si Đngilizce, i Almanca, i ise Japonca bilmektedir Sınıfta bu dillerden sadece ikisini bilen öğrenci olmadığına göre, her üç dili de bilen kaç öğrenci vardır? A) B) C) D) Çözüm 9 a b c a a b b c c a b c a b c a b c a b c

10 a ² a denkleminin köklerinin toplamı kaçtır? A) B) C) D) Çözüm a ² a a olsun ² ( )( ) a a a a a a olamaz Buna göre denklemin köklerinin toplamı : ( ) elde edilir

11 Boş olmayan iki kümenin alt küme sayıları farkı m, öz alt küme sayıları toplamı n olduğuna göre, eleman sayısı az olan kümenin alt küme sayısı aşağıdakilerden hangisidir? A) nm B) nm C) nm D) nm Çözüm Đki kümenin alt küme sayıları farkı m Öz alt kümelerinin sayıları toplamı n X kümesinin eleman sayısı : Alt kümelerinin sayısı : Özalt kümesinin sayısı : Y kümesinin eleman sayısı : y Alt kümelerinin sayısı : y y Özalt kümesinin sayısı : y m y y n n y m y n m n m n m n y y m n m m y n m Not : Alt Kümelerinin Sayısı n elemanlı bir A kümesinin alt kümelerinin sayısı n Özalt kümelerinin sayısı dir n dir

12 A {(, y) R² y } B {(, y) R² y > } C {(, y) R² y } için aşağıdakilerden hangisindeki boyalı bölge A B C kümesini gösterir?

13 Çözüm A {(, y) R² y } y için y y için B {(, y) R² y > } B {(, y) R² y } y için y y için

14 C {(, y) R² y } olduğuna göre, A B C? elde edilir

15 Bir ABC üçgeninde AB cm, AC 8 cm dir ABC nin çevrel çemberinin yarıçap uzunluğu cm olduğuna göre, BC kenarına ait yüksekliği kaç santimetredir? A) 7 B) C) D) Çözüm I Yol ABC üçgeninin çevrel çemberinin yarıçapı ise Çevrel çemberinin yarıçapı bilinen üçgenin alanına göre, alan(abc) 8 BC BC kenarı ve bu kenara ait yüksekliğine göre, alan(abc) BC h alan(abc) 8 BC BC h h bulunur

16 II Yol AHC dik üçgeninde, derecenin karşısındaki kenar hipotenüsün yarısına eşit olduğundan, AH olur

17 Şekildeki ABCD dikdörtgeninde [CH] [DB] tir AD sinα ve AB cosα olduğuna göre, CH aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) DA AB B) C) Çözüm AB ² BH D) DH HB DAB dik üçgeninde pisagor teoremine göre, BD ² cos ² α sin ² α BD ABCD dikdörtgeninde BD köşegen olduğundan, alan(abd) alan(bcd) BD olduğuna göre, AB AD BD CH CH AB AD

18 Şekilde, ABC ve E [ AC], [ BC] EDC eşkenar üçgendir D ve AB DC olduğuna göre, tan( BED ) kaçtır? A) 9 B) C) 7 D) Çözüm EHD dik üçgeninde pisagor teoremine göre, ( )² ² EH ² EH DEB üçgeninde, a b a b tan a tan( b) tan tanb tan tanb

19 Şekilde [, π] aralığında grafiği verilen fonksiyon aşağıdakilerden hangisi olabilir? π A) f ( ) cos π B) f ( ) cos C) f ( ) sin D) f ( ) sin

20 Çözüm y π y π y 9π y π y f ( ) sin f ( ) sin sin π π π f ( ) sin sin π π f ( ) sin sinπ 9π 9π π f ( ) sin sin π f ( π ) sin sin π

21 7 tan cos cos denkleminin [, π] aralığında kaç tane kökü vardır? A) B) C) D) Çözüm 7 sin tan cos cos cos cos cos sin cos sin sin cos olduğuna göre, sincos cos cos sincos cos cos (sin) π 9 π 7 sin sin π π

22 8 z cos7 isin 7 ise arg(z ) kaç derecedir? A) B) C) D) 7 Çözüm 8 z cos7 isin 7 arg(z )? cos sin ² sin sin cos olduğuna göre, z ( sin ²) isin cos z sin ² isin cos z sin ² isin cos z sin (sin icos ) sina cos(9a) olduğuna göre, z sin (cos isin ) Arg(z ) olur

23 9 Karmaşık düzlemde köşeleri z 8 i sayısının küpköklerine karşılık gelen noktalar olan üçgensel bölgenin alanı kaç birimkaredir? A) B) C) D) Çözüm 9 z 8i nin küpkökleri? z 8i z 8(cos 7 isin 7) z z θ kπ θ kπ cos isin Bu formülden k nın,, değerleri için üç farklı değer bulunur 7 kπ 7 kπ z 8(cos 7 isin 7) z 8 cos isin k için : z (cos9 sin 9) z i i k için : z [cos(9 ) isin(9 )] z [cos sin ] i z z i i k için : z [cos(9 ) isin(9 )] z [cos sin ] i z z i i

24 Üçgenin alanı elde edilir

25 Not : cos cos sin sin cos cos sin sin Not : Karmaşık Sayının Küpkökü [ cos( θ kπ ) isin( θ k )] z z π karmaşık sayısının küpkökü z n n [ cosn( θ kπ ) isinn( θ k )] z π formülünde n yazılırsa, z z cos ( θ kπ ) isin ( θ kπ ) θ kπ θ kπ z z cos isin olur Bu formülden k nın,, değerleri için üç farklı değer bulunur Buna göre modülü z ve argümenti θ olan z karmaşık sayısının küp kökleri, z z θ θ cos isin z z θ π θ π cos isin θ π θ π z z cos isin olur

26 7 a, c R ve b R olmak üzere, f : (, ) R, f ( ) a log ( c) fonksiyonunun grafiği şekilde verilmiştir b Buna göre f () kaçtır? A) B) C) D)

27 Çözüm 7 f ( ) a log ( c) b c için f () tanımsız olduğuna göre, c c için y a log () b a log b a a için y log () b log b b b b f ( ) log ( ) f () log ( ) f () log f ) log ( f ( ) log f ( ) f ( )

28 7 Her pozitif gerçek sayısı için log logy log olduğuna göre, y aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) 7 B) C) Çözüm 7 D) ² log logy log log log logylog logy log log log logy log logy log logy y

29 7 (, ] kümesinin f : RR, f ( ) ² fonksiyonu altındaki ters görüntüsü aşağıdakilerden hangisidir? A) (, ] B) (, ) (, ) C) [, ) D) [, ) (, ] Çözüm 7 (, ] kümesinin f : R R, f ( ) ² fonksiyonunun altındaki ters görüntüsü? y ² m y f ( ) m f () y f () y ve y olur Buna göre, [, ) (, ] elde edilir

30 7 Bir atıcının hedefi vurma olasılığı tür Bu atıcının arka arkaya yapacağı atışlar sonucunda hedefi ilk kez dördüncü atışta vurma olasılığı nedir? A) B) C) D) 8 Çözüm 7 Bir atıcının hedefi vurma olasılığı tür atışında hedefi vuramama olasılığı atışında hedefi vuramama olasılığı atışında hedefi vuramama olasılığı atışında hedefi vurma olasılığı Đstenen olasılık olur

31 7 Hilesiz üç zar aynı anda atılıyor Zarlardan ikisinin üst yüzündeki sayıların toplamının, diğer zarın üst yüzündeki sayıya eşit olma olasılığı nedir? A) B) 7 C) 8 D) Çözüm 7 I Yol s(e) ise elde edilir II Yol ( ) 7

32 7 S simetrik grubunda f ( )( ) permütasyonunun mertebesi kaçtır? A) B) C) D) Çözüm 7 I Yol f ( )( ) Permütasyonların çarpımı soldan sağa doğru yapıldığına göre, f f f f f f Buna göre S simetrik grubunda f ( )( ) permütasyonunun mertebesi dır Not : Permütasyonların çarpımı soldan sağa doğru yapılmaktadır

33 II Yol f ( )( ) Permütasyonların çarpımı soldan sağa doğru yapıldığına göre, f ( )( ) olup f, iki ayrık devirin çarpımı olarak ifade edilebilir f S permütasyonunun mertebesi; f nin ayrık devirlerinin mertebelerinin en küçük ortak katı olacağından, okek(, ) olur

34 7 Her birinin taban yarıçap uzunluğu cm olan K, K, K,, K konileri verilmiştir K in yüksekliği cm ve sonraki her koninin yüksekliği bir öncekinin yüksekliğinin si dir Bu koninin hacimleri toplamı π cm³ olduğuna göre, e en yakın tam sayı aşağıdakilerden hangisidir? A) 8 B) C) D)

35 Çözüm 7 Koninin hacmi π r² h ise K π² K π K π² K π K π² K π K π² K π π K K K K π π π π

36 77 ² ² ()² toplamı kaçtır? 9 A) B) 9 C) D) Çözüm 77 ² ² ()² k² 9 (k)(k k ) k² k² k (k² ) k k² [(k² ) ] k k² [(k² ) ] k k² k k² k k² k k k² k k² k (k)(k ) Kesrin paydası çarpanlardan oluştuğu için basit kesirlere ayrılarak işleme devam edilir

37 ) )( ( k k k B k A ) ( ) ( k B k A B A B A k ) ( B A B A A A B A olduğundan, B olur ) )( ( k k k B k A k k k k ) )( ( k k k k k k 8 k k k

38 78 f ( ) sgn( ² 9) ² ile tanımlı f : RR fonksiyonunun kaç noktada türevi yoktur? A) B) C) D) Çözüm 78 f () fonksiyonunu sıfır yapan noktalarda fonksiyonun türevi yoktur f ( ) sgn( ² 9) ² sgn( ² 9) ² 9 ² 9 ve ² ² ( )( ) ve Buna göre fonksiyonun noktada türevi yoktur

39 79 lim( cot ) değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) e ² B) e C) D) Çözüm 79 lim( cot ) lim( cot ) cot ( ) ) cot ( belirsizliği vardır ( cot y ) ln cot y ln ( ) lny cotln limlny limcotln belirsizliği vardır tan cot cot olduğuna göre, tan limlny lim ln belirsizliği vardır tan L Hospital teoremi uygulanırsa, ln lim ( ) / (tan) / ln lim tan ² ln lim( cot ) limlny ln lim lnyα a α lim y e olduğuna göre, a limy lim ln e y lim( cot ) elde edilir

40 8 lim değeri kaçtır? A) B) C) D) Çözüm 8 I Yol lim lim belirsizliği vardır L Hospital teoremi uygulanırsa, ( lim ) / ( ) / lim II Yol lim belirsizliği vardır L Hospital teoremi uygulanırsa, ( lim ) / ( ) / lim ² ²

41 8 Şekildeki eğri aşağıdaki fonksiyonların hangisinin grafiği olabilir? A) f ( ) ²( ² 9) B) g ( ) ( ² 9) C) h ( ) ²( ) D) k ( ) ( )² Çözüm 8 ( ) g () a( ( ))( )( ) g () a ( )( ) g () a (² 9)

42 8 Bir kenarının uzunluğu cm olan kare şeklindeki bir kartonun köşelerinden eş karesel bölgeler kesilip şekildeki gibi üstü açık bir kutu yapılacaktır Kutunun hacminin en büyük olabilmesi için kesilen karelerin bir kenar uzunluğu kaç santimetre olmalıdır? A) B) C) 8 D)

43 Çözüm 8 Kutunun hacmi ( )( ) V () ( )² / Kutunun hacminin en büyük olabilmesi için V ( ) olmalıdır / V ( ) ( )² ( )( ) / V ( ) ( )² ( ) / V ( ) ( )( ) / V ( ) ( )( ) / V ( ) ( )( ) ve bulunur Kutunun hacmi V () ( )² için : V () olduğundan, olamaz için : V () cm³ olduğundan, olur

44 e ln 8 d aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) e ln(e) B) e ln C) ln D) e ln(e) Çözüm 8 e ln d ln u olsun u e d du d du d e u du Đntegralin üst sınırı : e u Đntegralin alt sınırı : u e ln d u e u du a d a c lna ( e) u du olduğuna göre, u (e) ln(e) (e) ln(e) e ln(e) ln(e) (e) ln(e) e ln(e) bulunur

45 π cos 8 sin ² π d aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) B) arctan C) arctan D) arctan Çözüm 8 π cos sin ² π d π π sin ² d π cos sin ² π d π π sin ² d? ( ) sin ²( ) tek fonksiyon olduğuna göre, sin ² f ( ) f ( ) ise a a π f ( ) d olduğundan, π sin ² d olur π π cos sin ² d? cos( ) sin ²( ) cos sin ² çift fonksiyon olduğuna göre, f ( ) f ( ) ise a a a f ( ) d f ( ) d olduğundan, π π cos sin ² d π cos sin ² d ise

46 sin t olsun cos d dt d dt cos Đntegralin üst sınırı : π t sin π t Đntegralin alt sınırı : t sin t π cos sin ² d cos t² cos dt dt t ² arctant arctan arctan( ) arctan elde edilir Buna göre π cos sin ² π d π π sin ² d π cos sin ² π d arctan arctan bulunur

47 8 y eğrisi, y ve doğruları ile şekildeki boyalı bölgenin alanı kaç birimkaredir? O ekseni tarafından sınırlanan A) ln B) ln ln C) ln D) ln

48 Çözüm 8 y doğrusu ile y Boyalı alan alan( I ) alan( II ) alan( I ) y eğrisinin kesişim noktaları : alan( II ) d d ln Boyalı alan alan( I ) alan( II ) ln ln ln ln ln ln

49 8 ² y² ve ² z² silindirlerinin arakesiti olan bölgenin hacmi kaç birimküptür? A) B) C) 8 D) Çözüm 8 I Yol G, yz koordinat sisteminde istenilen bölge olsun G nin hacmi V ddydz olduğuna göre, G ² y² y² ² y m ² ² z² z² ² z m ² ² y ² ² z ² V ddydz G ² y ² ² dz dy z ² d ² y ² z ² ² dy d ² ( ² ( ²) ) dy y ² d ² ² dy y ² d ² y ² ² d

50 [ ² ( ² ( ²) )] [ ² ² ] ( ²) d ( ²) d d d ³ ³ ( )³ ( ) 8

51 II Yol ² y² ve ² z² silindirlerinin arakesiti olan bölgenin hacmi? G, yz koordinat sisteminde istenilen bölge olsun ² z² z² ² z m ² z m ² yüzeyi G bölgesi ve G bölgesini taban kabul eden dik silindirin arasında kalan bölgenin V hacmine eşit olduğundan, G nin hacmi V f (, y) ddy olur G ² y² y² ² y m ² ² y ² z ² ve z ² olduğundan, V f (, y) ddy olur G f (, y ddy V ) G ² ² dy y ² d ² y ² ² d [ ² ( ² ( ²) )] [ ² ( ² )] [ ² ] d d d ³

52 )³ ( ) ( ³

53 III Yol G, yz koordinat sisteminde istenilen bölge olsun Simetriden yararlanarak, şeklin birinci bölgedeki 8 lik parçasının hacmi hesaplanırsa y ² z f (, y) ² olduğundan, V f (, y) ddy olur V f, y) ddy G ( ² G ² dyd ² ² y d [ ² ( ² ) ] d [ ² ( ² )] d

54 [ ² ] d ³ ³ ³ 8 8 Buna göre toplam hacim bulduğumuz birinci bölgedeki hacmin 8 katı olacağından, 8 V G 8 elde edilir

55 87 Şekilde [DE] // [AC], [AB] [CD] {G}, [AB] [DE] {F} ve CG doğru parçası BCA açısının açıortayıdır AC cm, BE cm, EC cm olduğuna göre, DF kaç santimetredir? A) B) C) D) Çözüm 87 CG açıortay ise m(acg) m(gcb) [DE] // [AC] olduğuna göre, m(acg) m(cde) iç ters açılar Buna göre DEC üçgeni ikizkenar üçgen olur ve EC DE DF olsun FE olur BEF BCA 8 bulunur

56 88 Şekilde ABCD bir paralelkenar, L [DC], K [AD]ve [KB] [AL] {N} dir AK DK, A(AKN) cm² ve A(NLB) cm² olduğuna göre, A(ANB) kaç santimetrekaredir? A) B) 8 C) D)

57 Çözüm 88 AK olsun AK DK olduğundan, DK olur A(ANB) A olsun A(AKB) A ABCD paralel kenarına ait BD köşegeni çizilirse, Yükseklikleri eşit olan üçgenlerin alanları oranı taban uzunlukları oranına eşit olduğundan, AK DK A(KDB) (A ) A 8 A(ADB) A(ABCD) A(ADB) A A(LAB) A A(LAB) A(ABCD) Buna göre A(ADB) A(ABCD) A(LAB) olduğuna göre, A A A A bulunur

58 89 A (,) vektörünün B (,) vektörü üzerindeki dik izdüşüm vektörü aşağıdakilerden hangisidir? A), B), C), D), Çözüm 89 I Yol A (,) vektörünün B (,) vektörü üzerindeki dik izdüşümü U vektörü olsun U B A B U ( ) ² ² U Buna göre izdüşüm vektörü : B U U B U (,) ² ² U,

59 II Yol A (,) vektörünün B (,) vektörü üzerindeki dik izdüşümü U vektörü olsun U < A, B> B < B, B> olduğuna göre, ( ) (,) (,), Not : Standart Đç Çarpım u a, a, a,, a ) ve v b, b, b,, b ) ise ( n ( n n R de, n < u, v> a i b i dir i

60 Not : Đzdüşüm Vektörü A ve B vektörleri arasındaki açı θ, A vektörünün B vektörü üzerindeki dik izdüşümü U olsun Taralı üçgenden U cos θ cosθ U A A Diğer taraftan A B A B cosθ cosθ A B A B Buna göre U A B A A B U B A B B Sonuç olarak izdüşüm vektörü : U U olur B

61 9 Kartezyen koordinat düzleminde y doğrusu şekildeki gibi bir elipsin odaklarının birinden ve B köşesinden geçtiğine göre, elipsin alanı kaç π birimkaredir? A) 8 B) 8 C) D)

62 Çözüm 9 y için y y için Yedek eksen uzunluğu : BB b b Odaklar arası uzaklık : FF c c Asal eksen uzunluğu : AA a a ² b² c² olduğuna göre, Elipsin alanı π a b π π elde edilir a ² ² ² a

63 9 R ³ te A (,, ) ve B (,, ) vektörlerinin gerdiği alt uzayın denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) yz B) y z C) y z D) y z Çözüm 9 I Yol A (,, ) ve B (,, ) vektörlerinin gerdiği uzay P düzlemi olsun P düzleminin normali : n ise n A B e e e e ( ) e e n (,, ) olur P düzleminde keyfi bir (, y, z) noktası için n P n P (,, )(, y, z ) y z y z Buna göre P uzayının denklemi : yz olur

64 veya P (, y, z) ; A (,,) ; B (,,) n P ( A B ) P ise ( P, A, B ) ( A B ) P y z y z ( ) y( ) z( ) y z yz Buna göre P uzayının denklemi : yz olarak bulunur

65 II Yol,), ( A ; ) (,, B ; ),, ( z y P Noktaları sütun olarak matrise yazılıp satır işlemleri ugulanırsa z y z y z y z y y ) ( z y y 8 z y y Sonuç olarak z y z y elde edilir

66 9 A (,, ), B (,, ) ve C (,, ) noktalarından geçen düzlemin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) y z B) y z C) y z D) z

67 Çözüm 9 A (,, ), B (,, ) ve C (,, ) noktalarından geçen düzlemin denklemi : AB ve AC vektörlerini şekildeki gibi oluşturalım AB (,, ( )) AB (,, ) AC (,, ( )) AC (,, ) Bu vektörlerin vektörel çarpımı iki vektörü yeni bir vektöre götürür Bu vektörün özelliği ise vektörel çarpıma giren her iki vektöre de dik olan vektör olmasıdır Buna göre, Bu durumda AB AC vektörü hem AB hem de AC vektörlerine diktir AB AC vektörü normal vektör olarak alınabilir n normal vektörü göstermek üzere n AB AC e e e e 8 e 8 e n (8,, 8) olur

68 Buradan Diğer taraftan A, B ve C noktaları tarafından belirlenen düzlemde ( n vektörünün varlığı düzlemin varlığını garanti eder) keyfi bir P (, y, z) noktası için AP (, y, z ( )) AP (, y, z ) AP vektörü de normal vektöre dik olur AP n AP n olmalıdır Bu durumda iki vektörün skaler çarpımından düzlemin denklemi AP n (, y, z )(8,, 8) ( )8 (y )( ) (z )8 y z y z elde edilir

69 veya AP n AP ( AB AC ) olduğundan skaler çarpımları (sıfır) olur AP ( AB AC ) ise Buna göre, A, B ve C noktalarından geçen düzlemin denklemi karma çarpım özelliğinden ( AP, AB, AC ) AP ( AB AC ) y z olur Sarrus yöntemiyle bu determinant hesaplanırsa y z y z y z [ 8(z ) (y )] [ 8( ) ] 8z 8 y y 8z 8 y z O halde düzlemin denklemi y z olur

70 9 a matrisinin rankı a nın hangi değeri için olamaz? A) B) C) D) Çözüm 9 a matrisinin rankının olmaması için determinantı (sıfır) olmalıdır Sarrus kuralına göre matrisin determinantı alınırsa, a a ( )a ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a a 8 a a a

71 9 Bir lineer denklem sisteminde aşağıdaki işlemlerden hangisi yapıldığında, bu denklem sistemine denk olan bir denklem sistemi elde edilmez? A) Lineer denklem sistemindeki iki denklemin yer değiştirmesi B) Denklemlerden birinin iki tarafının ile çarpılması C) Denklemlerden birinin katının bir diğer denkleme eklenmesi D) Denklemlerin her birinin sağ tarafına eklenmesi Çözüm 9 Bir lineer denklem sisteminde, i) Đki denklemin yerlerini değiştirmek, ii) Denklemlerden herhangi birini sıfırdan farklı bir sayı ile çarpmak iii) Denklemlerden herhangi birisinin bir katını diğer bir denkleme eklemek lineer denklem sisteminin çözümünü değiştirmez Bu işlemlerden bir ya da bir kaçı arka arkaya uygulandıktan sonra elde edilen yeni sistem ile eski sisteme denk sistemler denir Buna göre Denklemlerin her birinin sağ tarafına eklenmesi sonucunda denk sistemler elde edilmez

72 9 T(,, ) (,, ) şeklinde tanımlanan T : R³ R³ lineer dönüşümünün matris gösterimi aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) D) Çözüm 9 R³ de standart tabanın E { e (,, ), e (,, ), e (,, ) } olduğunu biliyoruz T : R³ R³ dönüşümünde T(,, ) (,, ) olduğuna göre, T ( e ) T (,, ) (,, ) (,, ) T ( e ) T (,, ) (,, ) (,, ) T ( e ) T (,, ) (,, ) (,, ) Bir vektörün standart tabana göre bileşenleri kendi bileşenleri olduğundan T ( e ) (,, ) e e e T ( e ) (,, ) e e e T ( e ) (,, ) e ( ) e e olur Buna göre T dönüşüm matrisi olarak elde edilir

73 Not : Bir Lineer Dönüşümün Matrisi T : V W lineer dönüşümü verilsin E {,,,, n } ve F { y, y, y,, ym V ve W vektör uzaylarının birer tabanı olsun } kümeleri sırasıyla Burada boy V n, boy W m olduğuna dikkat ediniz V nin E deki taban vektörlerinin T altındaki görüntüleri, T ( ), T( ), T( ),, T( n ) W dir Bu vektörler, W nin taban vektörlerinin bir lineer bileşimi olarak yazılabilir T ( ) T ( ) a y a y a y m a y a y a y m T ( n ) a a y n y an y mn m m m eşitliklerini sağlayan tek türlü y ij R (i,,, m ; j,,, n ) sayıları vardır Yukarıdaki eşitliklerdeki y i lerin katsayılarının oluşturduğu matrisin transpozesi olan m n boyutlu A ( a ij ) matrisine T lineer dönüşümünün E ve F tabanlarına göre matrisi denir ve A a a a a m a a a a m a a a a m a a a a n n n mn m n ile gösterilir Buna göre, T : V W lineer dönüşümünün tanım kümesi n boyutlu, değer kümesi m boyutlu ise dönüşümü temsil eden matris m n boyutludur

74 9 A ve ² ) ( f ise ) (A f nedir? A) 8 8 B) C) D) Çözüm 9 ² ) ( f (A) f (A) f 7 8 (A) f 7 8 (A) f 8 8

75 97 p bir asal sayı olmak üzere, ² (mod p ) kongrüensinin tüm çözümleri aşağıdakilerin hangisinde verilmiştir? A) (mod p ) veya p (mod p ) B) (mod p ) veya p (mod p ) C) (mod p ) D) (mod p ) Çözüm 97 ² ² (mod p ) ( )( ) (mod p ) p (mod p ) Bu durumda ² (mod p ) kongrüensinin tüm çözümleri : (mod p ) veya p (mod p ) olur

76 98 Z in 9 tarafından üretilen alt grubunun mertebesi kaçtır? A) B) C) D) 9 Çözüm 98 G <> bir devirli grup, k G olsun Bu taktirde, G sonlu ve Buna göre G m ise m k obeb( k, m) dir mertebe ( 9 ) 9 obeb(9,) bulunur II Yol G bir grup, G olsun G kümesinin kardinalitesine G grubunun mertebesi denir Mertebesi sonlu olan bir gruba sonlu grup, sonsuz olan bir gruba sonsuz grup denir G içinde tarafından üretilen devirli alt grubun mertebesine in mertebesi denir G nin mertebesi, G ile ; G bir grup, G, G nin mertebesi, ile gösterilir m N olsun Bu taktirde, m olması için gerek ve yeter koşul, m e olması ve m nin bu özelliğe sahip en küçük doğal sayı olmasıdır Toplamsal Z grubunda 9 tarafından üretilen alt grubunun mertebesi Bu durumda m 9 m 9 m olur

77 99 Aşağıdakilerden hangisi devirli bir gruptur? A) Z Z B) Z Z C) Z Z D) Z Z Çözüm 99 Z nin devirli olması için gerek ve yeter şart obeb ( m, n) olduğundan, m Z n obeb(, ) olduğundan, Z Z devirli gruptur obeb(, ) Z Z devirli bir grup değildir obeb(, ) Z Z devirli bir grup değildir obeb(, ) Z Z devirli bir grup değildir

78 y // y / y y ( ) / y () başlangıç değer probleminin çözümü aşağıdakilerden hangisidir? A) y e e B) y e e C) y e e D) y e e Çözüm I Yol / y () verildiğinden, / Seçeneklerin türevleri hesaplanıp, için y () olmalıdır A) y e e y / e e / için y () bulunur B) y e e y / e e / için y () bulunur C) y e e y / e e / için y () bulunur D) y e e y / e e / için y () 7 bulunur

79 II Yol y // y / y y ( ) / y () y? Homojen diferansiyel denklemin karakteristik denklemi yazılırsa, r ² r ( r )( r ) r r ise homojen diferansiyel denklemin genel çözümüne göre, y C e C e olur y ( ) C e e C C C / y () y C e Ce y / C e ( ) C e C e e ( ) C C C C C C C C 8 C ve C bulunur Buna göre y C e Ce y e e elde edilir

80 Not : Homojen Diferansiyel Denklemin Genel Çözümü a, a, a, a,, a n, a n reel sabitler olmak üzere a ( n) // / an y ay ay ay f ( ) şeklindeki bir diferansiyel denkleme ( n) n y n yinci mertebeden sabit katsayılı lineer diferansiyel denklem denir Bu diferansiyel denklemine karşı gelen homojen diferansiyel denklem ( n) ( n) // / an y an y a y a y a y dır Buna göre, homojen diferansiyel denklemin genel çözümü ise y r e (r : sabit) fonksiyonunun homojen diferansiyel denkleminin bir çözümü olması için n n an r an r a r ar a olmalıdır Bu denkleme homojen diferansiyel denklemin karakteristik denklemi denir Karakteristik denklemin bütün kökleri reel ve birbirinden farklı olsun Bu kökler, r, r,, r n rn ile gösterilirse r, r r r rn y e, y e, y e,, yn e, yn e rn fonksiyonları homojen diferansiyel denklemin lineer bağımsız çözümleri olduğundan, homojen diferansiyel denklemin genel çözümü r r r rn h C e C e C e Cne dir y Adnan ÇAPRAZ adnancapraz@yahoocom AMASYA