ÇİZGE KURAMI KESİKLİ MATEMATİKSEL YAPILAR GÜZ
|
|
|
- Ufuk Oz
- 7 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 ÇİZGE KURAMI KESİKLİ MATEMATİKSEL YAPILAR GÜZ
2 Çizgeler Yollar ve Çevrimler Çizge Olarak Modelleme Çizge Olarak Modelleme Yönlü Çizge Kenar - Köşe 2 / 90
3 Çizgeler Yollar ve Çevrimler Çizge Olarak Modelleme Çizge Olarak Modelleme Yönlü Çizge Kenar - Köşe köşe (vertex) kenar (edge) 3 / 90
4 Çizgeler Yollar ve Çevrimler Çizge Olarak Modelleme Çizge Olarak Modelleme Yönlü Çizge Kenar - Köşe Esk den Ank ya bir yol (path) 4 / 90
5 Yönlü Çizge Çizgeler Yollar ve Çevrimler Çizge Olarak Modelleme Yönlü Çizge Kenar - Köşe Tanım 7.1.1: Bir G çizgesi (ya da yönsüz çizgesi) köşelerden oluşan bir V kümesinden ve kenarlardan oluşan bir E kümesinden oluşur. Herbir e E kenarı iki v ve w köşesiyle ilişkilendirilir ve e=(v,w) ya da e=(w,v) şeklinde yazılır. V köşeler kümesi ve E kenarlar kümesinden oluşan G yönlü çizgesi herbir e E kenarı ile ilişkilendirilmiş köşelerin sıralı çiftinden oluşur. 5 / 90
6 Kenar - Köşe Çizgeler Yollar ve Çevrimler Çizge Olarak Modelleme Yönlü Çizge Kenar - Köşe İki v ve w köşesi ile ilişkilendirilmiş olan bir e kenarına, v ve w köşelerini ayıran kenar; v ve w köşelerine ise, e kenarında bitişen köşeler denir. G çizgesi V köşeler ve E kenarlar kümesinden oluşmuş ise, G=(V,E) şeklinde yazılır. 6 / 90
7 Kenar - Köşe Çizgeler Yollar ve Çevrimler Çizge Olarak Modelleme Yönlü Çizge Kenar - Köşe Örnek 7.1.2: Şekle göre G çizgesi V={Ankara, Kırıkkale, Kırşehir, Aksaray, Konya, İsparta, Afyon Eskişehir} köşeler kümesinden ve E={e 1,e 2,e 3,e 4,e 5, e 6,e 7,e 8,e 9,e 10,e 11,e 12 } kenarlar kümesinden oluşmuştur. 7 / 90
8 Kenar - Köşe Çizgeler Yollar ve Çevrimler Çizge Olarak Modelleme Yönlü Çizge Kenar - Köşe 8 / 90
9 Döngü Çizgeler Yollar ve Çevrimler Kenar Köşe Döngü Ağırlıklı Çizge yalıtık köşe döngü (loop) paralel kenarlar 9 / 90
10 Ağırlıklı Çizge Çizgeler Yollar ve Çevrimler Kenar Köşe Döngü Ağırlıklı Çizge Tüm kenarları sayılarla etiketlenmiş olan çizgeye ağırlıklı çizge (weighted graph) denir. Bir ağırlıklı çizgede bir yolu oluşturan kenarların ağırlıkları toplamına o yolun uzunluğu denir. 10 / 90
11 Ağırlıklı Çizge Çizgeler Yollar ve Çevrimler Kenar Köşe Döngü Ağırlıklı Çizge 11 / 90
12 Ağırlıklı Çizge Çizgeler Yollar ve Çevrimler Kenar Köşe Döngü Ağırlıklı Çizge Bir algoritma C++ programlama diliyle çeşitli programcılar tarafından yazılmaktadır. Biz program içinde şu özelliklere bakıyoruz: program içinde yer alan satır sayısı, program içinde yer alan return deyimi sayısı, program içinde yer alan fonksiyon sayısı Program Program satırı sayısı return deyimi sayısı Fonksiyon çağrımı sayısı v=(p 1,p 2,p 3 ) ve w=(q 1,q 2,q 3 ) olmak üzere s(v,w):= p 1 -q 1 + p 2 -q 2 + p 3 -q 3 12 / 90
13 N-Küp Çizgeler Yollar ve Çevrimler N-Küp Tam Çizge Çift Eşlikli Çizge Bir n-küp, n 1 olmak üzere herbir köşesi 0,1,...,2 n -1 ile etiketlenmiş olan ve 2 n sayıda işlemciye sahip olan küptür. İki köşenin etiketi arasındaki fark sadece 1 bit ise, bu iki köşe arasında bir kenar vardır. 13 / 90
14 N-Küp Çizgeler Yollar ve Çevrimler N-Küp Tam Çizge Çift Eşlikli Çizge 14 / 90
15 N-Küp Çizgeler Yollar ve Çevrimler N-Küp Tam Çizge Çift Eşlikli Çizge n-küp ortogonal izdüşümle düzgün 2n-kenarlıya izdüşürülebilir. [Kaynak: ki/hypercube ] 15 / 90
16 Tam Çizge Çizgeler Yollar ve Çevrimler N-Küp Tam Çizge Çift Eşlikli Çizge Tanım: Herbir köşe çifti arasında tek bir kenarın bulunduğu basit çizgelere n adet köşeden oluşan tam çizge denir ve bu K n ile gösterilir. 16 / 90
17 Tam Çizge Çizgeler Yollar ve Çevrimler N-Küp Tam Çizge Çift Eşlikli Çizge 17 / 90
18 Çizgeler Yollar ve Çevrimler Çift Eşlikli Çizge N-Küp Tam Çizge Çift Eşlikli Çizge Tanım: Bir G=(V,E) çizgesi verilsin. Eğer V 1 V 2 =, V 1 V 2 =V olacak şekilde V kümesinin iki alt kümesi var ve E kümesindeki herbir kenar, V 1 kümesindeki bir kenar ile V 2 kümesindeki bir kenarı birleştiriyorsa bu tür çizgelere çift eşlikli çizge denir. 18 / 90
19 Çizgeler Yollar ve Çevrimler Çift Eşlikli Çizge N-Küp Tam Çizge Çift Eşlikli Çizge Örnek : V 1 ={1,4,6,7}, V 2 ={2,3,5,8} (kaynak 19 / 90
20 Çizgeler Yollar ve Çevrimler Çift Eşlikli Çizge N-Küp Tam Çizge Çift Eşlikli Çizge Örnek : V 1 ={v 1,v 2,v 3 }, V 2 ={v 4,v 5 } çift eşlikli çizge çift eşlikli değil 20 / 90
21 Çizgeler Yollar ve Çevrimler Tam Çift Eşlikli Çizge Çift Eşlikli Çizge Tam Çift Eşlikli Çizge Yol Tanım : Eğer bir G basit çizgesinin köşeler kümesi biri m adet köşe içeren V 1 ve diğeri n adet köşe içeren V 2 gibi iki ayrık kümeye parçalanıyor ve v 1 V 1, v 2 V 2 olmak üzere herbir v 1, v 2 çifti arasında tekbir kenar varsa G çizgesine m ve n kenarlı tam çift eşlikli çizge denir ve K m,n ile gösterilir. 21 / 90
22 Çizgeler Yollar ve Çevrimler Tam Çift Eşlikli Çizge Çift Eşlikli Çizge Tam Çift Eşlikli Çizge Yol Örnek: 2 ve 4 köşeden oluşan K 2,4 tam çift eşlikli çizgedir. 22 / 90
23 Yol Çizgeler Yollar ve Çevrimler Çift Eşlikli Çizge Tam Çift Eşlikli Çizge Yol Tanım 7.2.1: Bir çizgede iki köşe v 0 ve v n olsunlar. v 0 köşesinden v n köşesine uzunluğu n olan bir yol n+1 adet köşeden ve n adet kenardan oluşan v 0 ile başlayıp, v n ile biten (v 0,e 1,v 1,e 2,v 2,...,v n-1,e n,v n ) şeklinde bir dizidir. 23 / 90
24 Yol Çizgeler Yollar ve Çevrimler Çift Eşlikli Çizge Tam Çift Eşlikli Çizge Yol Örnek: (1,e 1,2, e 2,3,e 3,4,e 4,2) dizisi uzunluğu 4 olan 1 köşesinden 2 köşesine bir yoldur. 24 / 90
25 Bağlantılı Çizge Çizgeler Yollar ve Çevrimler Bağlantılı Çizge Alt Çizge Bileşen Tanım : G çizgesinden alınan herhangi iki köşe arasında bir yol bulunabiliyorsa, G çizgesine bağlantılıdır denir. bağlantısız çizge 25 / 90
26 Bağlantılı Çizge Çizgeler Yollar ve Çevrimler Bağlantılı Çizge Alt Çizge Bileşen (kaynak: 26 / 90
27 Alt Çizge Çizgeler Yollar ve Çevrimler Bağlantılı Çizge Alt Çizge Bileşen Tanım : G=(V,E) bir çizge olsun. Eğer 1. V / V ve E / E ve 2. Her e / E / için, e / kenarının bitim noktaları v / ve w / olduğunda, v /,w / V / ise, bu durumda (V /,E / ) ikilisine G çizgesinin bir alt çizgesi denir 27 / 90
28 Alt Çizge Çizgeler Yollar ve Çevrimler Bağlantılı Çizge Alt Çizge Bileşen 28 / 90
29 Bileşen Çizgeler Yollar ve Çevrimler Bağlantılı Çizge Alt Çizge Bileşen Tanım : G çizge ve G çizgesinde bir köşe v olsun. Eğer G çizgesinin bir G / altçizgesi, v köşesi ile başlayan bir yolu oluşturan tüm kenar ve köşelerden oluşuyorsa bu G / altçizgesine v köşesini kapsayan G çizgesinin bileşeni denir. 29 / 90
30 Çevrim Çizgeler Yollar ve Çevrimler Bileşen Çevrim Königsberg Köprü Problemi Tanım: G çizgesinde iki köşe v ve w olsunlar. Eğer v köşesinden w köşesine olan bir yol tekrarı olan herhangi bir köşe içermiyorsa bu yola basit yol denir. Eğer v köşesinden yine v köşesine tekrar etmeyen kenarlar ile sıfır olmayan uzunlukta bir yol varsa bu yola çevrim (circuit) denir. Eğer v köşesinden başlayıp yine v köşesinde biten, başlangıç ve bitiş köşeleri hariç tekrar etmeyen köşeler ile bir yol varsa bu yola basit çevrim denir. 30 / 90
31 Çevrim Çizgeler Yollar ve Çevrimler Bileşen Çevrim Königsberg Köprü Problemi 31 / 90
32 Çizgeler Yollar ve Çevrimler Königsberg Köprü Problemi Bileşen Çevrim Königsberg Köprü Problemi (kaynak: 32 / 90
33 Çizgeler Yollar ve Çevrimler Königsberg Köprü Problemi Köşe Derecesi Herhangi bir G çizgesinde, G çizgesinin tüm köşelerini ve kenarlarını içeren bir çevrim bulunabiliyorsa bu çevrime bir Euler çevrimi denir. 33 / 90
34 Köşe Derecesi Çizgeler Yollar ve Çevrimler Königsberg Köprü Problemi Köşe Derecesi Tanım : Bir çizgede bulunan bir v köşesinden ayrılan tüm kenarların sayısı (v) ile gösterilir ve buna v köşesinin köşe derecesi denir. Teorem : Eğer bir G çizgesi bir Euler çevrimine sahipse, bu durumda G bağlantılıdır ve her bir köşenin köşe derecesi çifttir. Teorem : Eğer G bir bağlantılı çizge ve çizgede her bir köşenin köşe derecesi çift ise, bu durumda G bir Euler çevrimi içerir. 34 / 90
35 Euler Teoremi Çizgeler Yollar ve Çevrimler Köşe Derecesi Euler Teoremi Uyarı 35 / 90
36 Uyarı Çizgeler Yollar ve Çevrimler Köşe Derecesi Euler Teoremi Uyarı 36 / 90
37 Örnek Çizgeler Yollar ve Çevrimler Köşe Derecesi Euler Teoremi Örnek Aşağıda verilen G çizgesi açıkça bağlantılıdır ve (v 1 )= (v 2 )= (v 3 )= (v 5 )=4, (v 4 )=6, (v 6 )= (v 7 )=2 olmaktadır. Böylece tüm köşelerin derecesi çift olduğundan G bir Euler çevrimine sahiptir ve bu örneğin (v 6,v 4,v 7,v 5,v 1,v 3,v 4,v 1,v 2,v 5,v 4,v 2,v 3,v 6 ) ile verilebilir. 37 / 90
38 Köşe Derecesi Çizgeler Yollar ve Çevrimler Köşe Derecesi Basit Çevrim Hamilton Çevrimi Teorem : m adet kenarı ve {v 1,v 2,...,v n } köşeleriyle bir çizge G olsun, bu durumda ile verilir. Bir başka deyişle bir çizgede tüm köşelerin köşe derecelerinin toplamı çifttir. 38 / 90
39 Köşe Derecesi Çizgeler Yollar ve Çevrimler Köşe Derecesi Basit Çevrim Hamilton Çevrimi Sonuç : Herhangi bir çizgede tek dereceli köşelerin sayısı çifttir. Teorem : Bir çizgenin bir v köşesinden bir diğer w köşesine (v w), çizgenin tüm kenar ve köşelerinden oluşan tekrar etmeyen kenarlar ile bir yol içermesi için gerekli ve yeterli koşul çizgenin bağlantılı, v ve w köşelerinin tek dereceye sahip yegane köşeler olmasıdır. 39 / 90
40 Basit Çevrim Çizgeler Yollar ve Çevrimler Köşe Derecesi Basit Çevrim Hamilton Çevrimi Teorem : Eğer G çizgesi v köşesinden yine v köşesine herhangi bir çevrim içerirse, bu durumda G çizgesi v köşesinden yine v köşesine bir basit çevrim içerir. 40 / 90
41 Basit Çevrim Çizgeler Yollar ve Çevrimler Köşe Derecesi Basit Çevrim Hamilton Çevrimi Aşağıdaki çizge bir Euler çevrimi içerirmi? 41 / 90
42 Yollar ve Çevrimler Hamilton Çevrimi ve Pazarlamacı Problemi Hamilton Çevrimi Köşe Derecesi Basit Çevrim Hamilton Çevrimi (kaynak: 42 / 90
43 Yollar ve Çevrimler Hamilton Çevrimi ve Pazarlamacı Problemi Hamilton Çevrimi Köşe Derecesi Basit Çevrim Hamilton Çevrimi Eğer G çizgesinde var olan bir çevrim, G çizgesindeki herbir köşeyi başlangıç ve bitiş köşeleri hariç yalnız bir kez içeriyorsa bu tür çizgelere Hamilton çevrimi denir. (kaynak: 43 / 90
44 Yollar ve Çevrimler Hamilton Çevrimi ve Pazarlamacı Problemi Köşe Derecesi Basit Çevrim Hamilton Çevrimi Hamilton Çevrimi ve Platonik Nesneler (kaynak: 44 / 90
45 Yollar ve Çevrimler Hamilton Çevrimi ve Pazarlamacı Problemi Hamilton Çevrimi Köşe Derecesi Basit Çevrim Hamilton Çevrimi AGFECDBA Bir Hamilton çevrimidir. Hamilton çevrimi yoktur. 45 / 90
46 Yollar ve Çevrimler Hamilton Çevrimi ve Pazarlamacı Problemi Hamilton Çevrimi Köşe Derecesi Basit Çevrim Hamilton Çevrimi Teorem : G=(V,E) basit çizgesi için, eğer V =n 3 ve eğer her v V için (v) n/2 ise, bu durumda G bir Hamilton çevrimi içerir. 46 / 90
47 Yollar ve Çevrimler Hamilton Çevrimi ve Pazarlamacı Problemi Hamilton Çevrimi Köşe Derecesi Basit Çevrim Hamilton Çevrimi 47 / 90
48 Yollar ve Çevrimler Hamilton Çevrimi ve Pazarlamacı Problemi Hamilton Çevrimi Köşe Derecesi Basit Çevrim Hamilton Çevrimi Teorem: n adet köşe içeren basit G çizgesinin en az ½(n-1)(n-2)+2 adet kenarı varsa bu durumda G bir Hamilton çevrimseli içerir. 48 / 90
49 Yollar ve Çevrimler Hamilton Çevrimi ve Pazarlamacı Problemi Hamilton Çevrimi Köşe Derecesi Basit Çevrim Hamilton Çevrimi Teorem : G=(V,E) basit çizge ve V =n 3 olsun. Eğer birbiri ile herhangi bir kenarla bağlantılı olmayan herbir v ve w köşe çifti için (v)+ (w) n koşulu sağlanırsa, G çizgesi bir Hamilton çevrimseli içerir. 49 / 90
50 Yollar ve Çevrimler Hamilton Çevrimi ve Pazarlamacı Problemi Hamilton Çevrimi Köşe Derecesi Basit Çevrim Hamilton Çevrimi yukarıdaki çizgede bir Hamilton çevrimi yukarıdaki çizge herhangi bir Hamilton çevrimi içermez. (a,b,c,d,e,f,g,a) ile verilebilir. 50 / 90
51 Yollar ve Çevrimler Hamilton Çevrimi ve Pazarlamacı Problemi Hamilton Çevrimi Köşe Derecesi Basit Çevrim Hamilton Çevrimi yukarıdaki çizgede bir Hamilton çevrimi içerir. yukarıdaki çizge herhangi bir Hamilton çevrimi içermez. 51 / 90
52 Yollar ve Çevrimler Hamilton Çevrimi ve Pazarlamacı Problemi Köşe Derecesi Basit Çevrim Hamilton Çevrimi Hamilton Çevrimi 52 / 90
53 Yollar ve Çevrimler Hamilton Çevrimi ve Pazarlamacı Problemi Hamilton Çevrimi Köşe Derecesi Basit Çevrim Hamilton Çevrimi 53 / 90
54 Yollar ve Çevrimler Hamilton Çevrimi ve Pazarlamacı Problemi Gray Kodlaması Hamilton Çevrimi Gray Kodlaması Atın Yolu n-küpün bir Hamilton çevrimi içermesi için gerekli ve yeterli koşul n 2 olması ve aşağıdaki koşulları sağlayan n adet bit ten oluşan karakter dizilerinin bir s 1, s 2,...,s n (*) dizisinin var olmasıdır. 54 / 90
55 Yollar ve Çevrimler Hamilton Çevrimi ve Pazarlamacı Problemi Gray Kodlaması Hamilton Çevrimi Gray Kodlaması Atın Yolu 1. Her n-bit karakter dizisi dizi içinde herhangi bir yerde bulunur. 2. i=0,...,2 n -1 için s i ve s i+1 karakter dizileri arasındaki fark kesinlikle tekbir bit tedir. 3. s n ile s 1 karakter dizileri arasındaki fark kesinlikle tekbir bit tedir. (*) ile verilen diziye Gray kodlaması denir. n 2 olduğunda Gray kodu s 1, s 2,..., s n, s 1 Hamilton çevrimine karşı gelir. 55 / 90
56 Yollar ve Çevrimler Hamilton Çevrimi ve Pazarlamacı Problemi Gray Kodlaması Hamilton Çevrimi Gray Kodlaması Atın Yolu Teorem: 0,1 dizisi G 1 ile gösterilsin. Aşağıda verilen kurallarla G n-1 e bağlı olarak G n dizisi tanımlayalım: 1) G n-1 dizisini tersten yazmakla elde edilen dizi, G R n-1 ile tanımlansın 2) G n-1 dizisindeki herbir bileşenin önüne 0 eklemekle elde edilen yeni dizi, G / n-1 ile gösterilsin. 3) G R n-1 dizisindeki herbir bileşenin önüne 1 eklemekle elde edilen yeni dizi, G // n-1 ile gösterilsin. 4) G / n-1 dizisini G // n-1 dizisinin takip etmesiyle elde edilen dizi G n olsun Bu durumda herbir pozitif n tamsayısı için, G n bir Gray kodlamasıdır. 56 / 90
57 Yollar ve Çevrimler Hamilton Çevrimi ve Pazarlamacı Problemi Gray Kodlaması Hamilton Çevrimi Gray Kodlaması Atın Yolu 57 / 90
58 Yollar ve Çevrimler Hamilton Çevrimi ve Pazarlamacı Problemi Atın Yolu Hamilton Çevrimi Gray Kodlaması Atın Yolu Bir n x n tahta üzerinde atın yolu, atın herhangi bir kareden başlayıp legal hareketlerle tahta üzerinde bulunan tüm kareleri ziyaret edip yine başlangıç yerine gelmesidir. 58 / 90
59 Yollar ve Çevrimler Hamilton Çevrimi ve Pazarlamacı Problemi Atın Yolu Hamilton Çevrimi Gray Kodlaması Atın Yolu (kaynak: 59 / 90
60 Yollar ve Çevrimler Hamilton Çevrimi ve Pazarlamacı Problemi Dijkstra En Kısa Yol Algoritması Atın Yolu Dijkstra En Kısa Yol Algoritması Çizgelerin Matris Gösterimi Bu algoritma bağlantılı, ağırlıklı çizgede bir a köşesinden bir başka z köşesine olan en kısa yolun uzunluğunu bulur. (i,j) kenarının ağırlığı w(i,j)>0 dır ve x köşesinin etiket değeri L(x) dir. Girdi: Tüm ağırlıkları pozitif olan bir bağlantılı, ağırlıklı çizge; a ve z köşeleri Çıktı: L(z) değeri 1. dijkstra(w,a,z,l) { 2. L(a)=0 3. for all vertices x a 4. L(x)= 5. T:= set of all vertices 6. // T is the set of vertices whose shortest distance from 7. // a has not be found 8. while (z T) { 9. choose v T with minimum L(v) 10. T=T-{v} 11. for each x T adjacent to v 12. L(x):=min{L(x),L(v)+w(v,x)} 13. } } 60 / 90
61 Yollar ve Çevrimler Hamilton Çevrimi ve Pazarlamacı Problemi Dijkstra En Kısa Yol Algoritması Atın Yolu Dijkstra En Kısa Yol Algoritması Çizgelerin Matris Gösterimi 61 / 90
62 Yollar ve Çevrimler Hamilton Çevrimi ve Pazarlamacı Problemi Dijkstra En Kısa Yol Algoritması Atın Yolu Dijkstra En Kısa Yol Algoritması Çizgelerin Matris Gösterimi Teorem 7.4.3: Dijkstra En Kısa Yol Algoritması bir a köşesinden bir z köşesine olan en kısa yolu bulur. 62 /90
63 Yollar ve Çevrimler Hamilton Çevrimi ve Pazarlamacı Problemi Dijkstra En Kısa Yol Algoritması Atın Yolu Dijkstra En Kısa Yol Algoritması Çizgelerin Matris Gösterimi 63 /90
64 Yollar ve Çevrimler Hamilton Çevrimi ve Pazarlamacı Problemi Dijkstra En Kısa Yol Algoritması Atın Yolu Dijkstra En Kısa Yol Algoritması Çizgelerin Matris Gösterimi Teorem 7.4.5: n adet köşeden oluşan bir basit, bağlantılı ve ağırlıklı çizgeyi girdi olarak alan Dijkstra algoritması için en kötü durum çalışma zamanı (n 2 ) olmaktadır. 64 / 90
65 Yollar ve Çevrimler Hamilton Çevrimi ve Pazarlamacı Problemi Çizgelerin Matris Gösterimi Atın Yolu Dijkstra En Kısa Yol Algoritması Çizgelerin Matris Gösterimi 65 /90
66 Yollar ve Çevrimler Hamilton Çevrimi ve Pazarlamacı Problemi Çizgelerin Matris Gösterimi Atın Yolu Dijkstra En Kısa Yol Algoritması Çizgelerin Matris Gösterimi 66 /90
67 Yollar ve Çevrimler Hamilton Çevrimi ve Pazarlamacı Problemi Çizgelerin Matris Gösterimi Atın Yolu Dijkstra En Kısa Yol Algoritması Çizgelerin Matris Gösterimi Teorem: Bir basit çizgenin matris ifadesi A matrisi ise, i,j=1,2,... için A n matrisinin ij. bileşeni i. köşeden j. köşeye uzunluğu n olan yolların sayısını verir. 67 /90
68 Çevrimler Hamilton Çevrimi ve Pazarlamacı Problemi Eşyapılı Çizgeler Düzlemsel Çizgeler Çizgelerin Matris Gösterimi Çevrimler Tekerlek Tanım: Bir çevrim n adet köşe ile {v 1,v 2 }, {v 2,v 3 },..., {v n-1,v n }, {v n,v 1 } kenarlarından oluşur ve kısaca C n ile gösterilir. 68 / 90
69 Hamilton Çevrimi ve Pazarlamacı Problemi Eşyapılı Çizgeler Düzlemsel Çizgeler Tekerlek Çizgeler Çizgelerin Matris Gösterimi Çevrimler Tekerlek Çizgeler Tanım: n adet köşeden oluşan ve tek bir köşesinin, bir çevrimin herbir köşesine tekbir kenarla bağlı olduğu çizgelere tekerlek çizgeler denir ve W n ile gösterilir. n-1 köşe derecesine sahip olan bu özellikli köşeye göbek köşe (hub) denir. 69 /90
70 Hamilton Çevrimi ve Pazarlamacı Problemi Eşyapılı Çizgeler Düzlemsel Çizgeler Tekerlek Çizgeler Çizgelerin Matris Gösterimi Çevrimler Tekerlek Çizgeler 70 /90
71 Hamilton Çevrimi ve Pazarlamacı Problemi Eşyapılı Çizgeler Düzlemsel Çizgeler Eşyapılı Olma Özelliği Eşyapılı Olma Özelliği Değişmezlik Özelliği Düzlemsellik Özelliği 71 /90
72 Hamilton Çevrimi ve Pazarlamacı Problemi Eşyapılı Çizgeler Düzlemsel Çizgeler Eşyapılı Olma Özelliği Eşyapılı Olma Özelliği Değişmezlik Özelliği Düzlemsellik Özelliği Tanım 7.6.1: G 1 ve G 2 iki çizge olsunlar. Eğer G 1 çizgesinin köşelerinden G 2 çizgesinin köşelerine birebir, üzerine f fonksiyonu var ve G 1 çizgesinin kenarlarından G 2 çizgesinin kenarlarına birebir, üzerine g fonksiyonu varsa, ve böylece G 1 çizgesinde köşeleri v ve w olan bir e kenarı için gerekli ve yeterli koşul G 2 çizgesinde köşeleri f(v) ve f(w) olan kenar g(e) ise, G 1 ve G 2 çizgelerine eşyapılıdırlar denir. f ve g fonksiyonlarına G 1 den G 2 ye eşyapı dönüşümleri denir 72 /90
73 Hamilton Çevrimi ve Pazarlamacı Problemi Eşyapılı Çizgeler Düzlemsel Çizgeler Eşyapılı Olma Özelliği Eşyapılı Olma Özelliği Değişmezlik Özelliği Düzlemsellik Özelliği Teorem 7.6.4: G 1 ve G 2 gibi iki çizgenin eşyapılı olması için gerekli ve yeterli koşul çizgelerin köşelerinin herhangi bir sırasına göre oluşturulan matrislerin eşit olmasıdır. 73 /90
74 Hamilton Çevrimi ve Pazarlamacı Problemi Eşyapılı Çizgeler Düzlemsel Çizgeler Eşyapılı Olma Özelliği Eşyapılı Olma Özelliği Değişmezlik Özelliği Düzlemsellik Özelliği Sonuç 7.6.5: G 1 ve G 2 iki basit çizge olsunlar. Aşağıdaki ifadeler denktir. 1) G 1 ve G 2 eşyapılıdırlar, 2) G 1 çizgesinin köşeler kümesinden, G 2 çizgesinin köşeler kümesine aşağıdaki özelliği sağlayan bir f birebir, üzerine fonksiyonu vardır: G 1 çizgesinde v ve w iki köşenin komşu olması için gerekli ve yeterli koşul G 2 çizgesinde de f(v) ve f(w) köşelerinin de komşu olmasıdır. 74 /90
75 Hamilton Çevrimi ve Pazarlamacı Problemi Eşyapılı Çizgeler Düzlemsel Çizgeler Değişmezlik Özelliği Eşyapılı Olma Özelliği Değişmezlik Özelliği Düzlemsellik Özelliği Tanım: Eğer G 1 çizgesi P özelliğine sahip olduğunda G 2 çizgesi de P özelliğine sahipse, bu P özelliğine değişmez (invariant) özellikdir denir. 75 /90
76 Hamilton Çevrimi ve Pazarlamacı Problemi Eşyapılı Çizgeler Düzlemsel Çizgeler Değişmezlik Özelliği Eşyapılı Olma Özelliği Değişmezlik Özelliği Düzlemsellik Özelliği 7 adet kenarı var özelliği değişmez kalmıyor 76 / 90
77 Hamilton Çevrimi ve Pazarlamacı Problemi Eşyapılı Çizgeler Düzlemsel Çizgeler Değişmezlik Özelliği Eşyapılı Olma Özelliği Değişmezlik Özelliği Düzlemsellik Özelliği köşe derecesi 3 olan bir köşe var özelliği değişmez kalmıyor (Eşyapılı Değiller) 77 / 90
78 Hamilton Çevrimi ve Pazarlamacı Problemi Eşyapılı Çizgeler Düzlemsel Çizgeler Değişmezlik Özelliği Eşyapılı Olma Özelliği Değişmezlik Özelliği Düzlemsellik Özelliği 3 uzunluğunda bir basit çevrim var özelliği değişmez kalmıyor (Eşyapılı Değiller) 78 /90
79 Hamilton Çevrimi ve Pazarlamacı Problemi Eşyapılı Çizgeler Düzlemsel Çizgeler Düzlemsellik Özelliği Eşyapılı Olma Özelliği Değişmezlik Özelliği Düzlemsellik Özelliği Tanım 7.7.1: Bir çizge kenarları birbirilerini kesmeyecek şekilde çizilebiliyorsa, çizgeye düzlemsel çizgedir denir. 79 / 90
80 Hamilton Çevrimi ve Pazarlamacı Problemi Eşyapılı Çizgeler Düzlemsel Çizgeler Düzlemsellik Özelliği Eşyapılı Olma Özelliği Değişmezlik Özelliği Düzlemsellik Özelliği K 5 düzlemsel değildir. 80 / 90
81 Hamilton Çevrimi ve Pazarlamacı Problemi Eşyapılı Çizgeler Düzlemsel Çizgeler Seri İndirgeme Düzlemsellik Özelliği Seri İndirgeme Homemorf Çizgeler Tanım 7.7.3: Eğer G çizgesi derecesi 2 olan bir v köşesine, v 1 v 2 olacak şekilde (v,v 1 ), (v,v 2 ) kenarlarına sahipse, bu durumda (v,v 1 ), (v,v 2 ) kenarlarına seri içindedir denir. G çizgesinde (v,v 1 ), (v,v 2 ) kenarlarını kaldırarak bunlar yerine (v 1,v 2 ) kenarını yerleştirme işlemine v köşesine göre seri indirgeme denir. Elde edilen yeni G / çizgesine G çizgesinden seri indirgeme yöntemiyle elde edilmiştir denir 81 / 90
82 Hamilton Çevrimi ve Pazarlamacı Problemi Eşyapılı Çizgeler Düzlemsel Çizgeler Seri İndirgeme Düzlemsellik Özelliği Seri İndirgeme Homemorf Çizgeler 82 / 90
83 Hamilton Çevrimi ve Pazarlamacı Problemi Eşyapılı Çizgeler Düzlemsel Çizgeler Homemorf Çizgeler Düzlemsellik Özelliği Seri İndirgeme Homemorf Çizgeler Tanım 7.7.5: Eğer G 1 ve G 2 çizgeleri birtakım seriye indirgeme işlemleri sonucunda eşyapılı iseler, bu iki çizgeye homemorfiktirler denir. 83 /90
84 Hamilton Çevrimi ve Pazarlamacı Problemi Eşyapılı Çizgeler Düzlemsel Çizgeler Kuratowski Teoremi Homemorf Çizgeler Kuratowski Teoremi Euler Formülü Teorem 7.7.7: G çizgesinin düzlemsel olması için gerekli ve yeterli koşul çizgenin K 5 ve K 3,3 çizgelerine homemorf bir altçizge içermemesidir. 84 / 90
85 Hamilton Çevrimi ve Pazarlamacı Problemi Eşyapılı Çizgeler Düzlemsel Çizgeler Kuratowski Teoremi Homemorf Çizgeler Kuratowski Teoremi Euler Formülü 85 / 90
86 Hamilton Çevrimi ve Pazarlamacı Problemi Eşyapılı Çizgeler Düzlemsel Çizgeler Euler Formülü Homemorf Çizgeler Kuratowski Teoremi Euler Formülü Teorem 7.7.9: Eğer G çizgesi e adet kenardan, v adet köşeden ve f adet yüzden oluşan bir düzlemsel çizge ise, bu durumda f=e-v+2 olur. 86 / 90
87 Eşyapılı Çizgeler Düzlemsel Çizgeler Çizge Renklendirme Çizge Renklendirme Kuratowski Teoremi Euler Formülü Çizge Renklendirme G = V, E tekrar etmeyen kenarlarla bir çizge ve C = c 1, c 2,, c n n adet rengin herhangi bir kümesi olsun. f: V C türünde bir fonksiyona n adet renk kullanarak G çizgesini renklendiren fonksiyon denir. Herhangi bir v köşesi için, f(v) değeri v köşesinin rengi olmaktadır. Eğer herhangi iki v ve w gibi komşu köşe farklı renklere sahipse çizge uygun renklendirmiştir denir. 87 /90
88 Eşyapılı Çizgeler Düzlemsel Çizgeler Çizge Renklendirme Çizge Renklendirme C = {r, w, b, y, } Kuratowski Teoremi Euler Formülü Çizge Renklendirme 88 /90
89 Kromatik Sayı Eşyapılı Çizgeler Düzlemsel Çizgeler Çizge Renklendirme Euler Formülü Çizge Renklendirme Kromatik Sayı Bir G çizgesinin uygun renklendirilebilmesi için gerekli olan en az renk sayısına G çizgesinin kromatik sayısı denir ve bu χ(g) ile gösterilir 89 /90
90 Eşyapılı Çizgeler Düzlemsel Çizgeler Çizge Renklendirme Harita Renklendirme Çizge Renklendirme Kromatik Sayı Harita Renklendirme Bir M haritası verildiğinde, M haritasına karşı herbir köşenin bir bölgeyi ve herbir kenarın komşu olma özelliğini gösterdiği bir G M çizgesi oluşturulur. G M çizgesinin uygun renklendirilmesi M haritasının renklendirilmesi olmaktadır. 90 /90
91 Eşyapılı Çizgeler Düzlemsel Çizgeler Çizge Renklendirme Harita Renklendirme Çizge Renklendirme Kromatik Sayı Harita Renklendirme 91 /90
92 Eşyapılı Çizgeler Düzlemsel Çizgeler Çizge Renklendirme Kromatik Polinom Kromatik Sayı Harita Renklendirme Kromatik Polinom G bir çizge ve n 0 bir tamsayı olsun, n adet renk kullanarak G çizgesinin uygun renklendirilmelerinin sayısı P G(n) olsun. Bu P G değerine G çizgesinin kromatik polinomu denir. χ(g) değeri P G (x) 0 yapan en küçük x değeridir. 92 /90
93 Eşyapılı Çizgeler Düzlemsel Çizgeler Çizge Renklendirme Kromatik Polinom Kromatik Sayı Harita Renklendirme Kromatik Polinom TEOREM 1: Eğer G çizgesi G 1, G 2,, G m bileşenleriyle bağlantısız bir çizgeyse, bu durumda P G x = P G1 (x)p G2 (x) P m (x) olur, yani G çizgesinin kromatik polinomu G çizgesinin bileşenlerinin kromatik polinomlarının çarpımına eşittir. 93 /90
köşe (vertex) kenar (edg d e)
BÖLÜM 7 köşe (vertex) kenar (edge) Esk den Ank ya bir yol (path) Tanım 7.1.1: Bir G çizgesi (ya da yönsüz çizgesi) köşelerden oluşan bir V kümesinden ve kenarlardan oluşan bir E kümesinden oluşur. Herbir
BMT 206 Ayrık Matematik. Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1
BMT 206 Ayrık Matematik Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1 Graph (Çizge) Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 2 Graph (Çizge) Köşe (vertex) adı verilen düğümlerden ve kenar (edge) adı verilip köşeleri birbirine bağlayan
Çizgeler (Graphs) Doç. Dr. Aybars UĞUR
Çizgeler (Graphs) ve Uygulamaları Doç. Dr. Aybars UĞUR Giriş Şekil 12.1 : Çizge (Graph) Çizge (Graph) : Köşe (vertex) adı verilen düğümlerden ve kenar (edge) adı verilip köşeleri birbirine bağlayan bağlantılardan
YZM 2116 Veri Yapıları
YZM 2116 Veri Yapıları Yrd. Doç. Dr. Deniz KILINÇ Celal Bayar Üniversitesi Hasan Ferdi Turgutlu Teknoloji Fakültesi Yazılım Mühendisliği BÖLÜM - 11 Bu bölümde, Graph (Çizge - Graf) Terminoloji Çizge Kullanım
VERİ YAPILARI. GRAPH LAR Düzce Üniversitesi Teknoloji Fakültesi ÖĞR.GÖR.GÜNAY TEMÜR 1
VERİ YAPILARI GRAPH LAR Düzce Üniversitesi Teknoloji Fakültesi ÖĞR.GÖR.GÜNAY TEMÜR 1 GRAPH (ÇİZGE - GRAF) Terminoloji Çizge Kullanım Alanları Çizge Gösterimi Komşuluk Matrisi Komşuluk Listesi Çizge Üzerinde
Graf Veri Modeli. Düğümler kümesi. Kenarlar kümesi
Graf Veri Modeli Graf, bir olay veya ifadenin düğüm ve çizgiler kullanılarak gösterilme şeklidir. Fizik, Kimya gibi temel bilimlerde ve mühendislik uygulamalarında ve tıp biliminde pek çok problemin çözümü
GRAPH LAR Düzce Üniversitesi Teknoloji Fakültesi VERİ YAPILARI. Bilgisayar Mühendisliği ÖĞR.GÖR.GÜNAY TEMÜR 1
VERİ YAPILARI GRAPH LAR Düzce Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Bilgisayar Mühendisliği ÖĞR.GÖR.GÜNAY TEMÜR 1 GRAPH (ÇİZGE - GRAF) Terminoloji Çizge Kullanım Alanları Çizge Gösterimi Komşuluk Matrisi Komşuluk
MAT223 AYRIK MATEMATİK
MAT223 AYRIK MATEMATİK Çizgeler 7. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Çift ve Tek Dereceler Çizgeler Çift ve Tek Dereceler Soru 51 kişinin
Algoritma Geliştirme ve Veri Yapıları 10 Graf Veri Modeli. Mustafa Kemal Üniversitesi
Algoritma Geliştirme ve Veri Yapıları 10 Graf Veri Modeli Graf, matematiksel anlamda, düğümler ve bu düğümler arasındaki ilişkiyi gösteren kenarlardan oluşan bir kümedir; mantıksal ilişki düğüm ile düğüm
Tanım 8.1.1:Bir T (serbest) ağacı aşağıdaki özelliğisağlayan bir basit çizgedir: Tçizgesindeiki köşevvewise, bu durumdavd köşesinden w köşesine tek
BÖLÜM 8 Tanım 8.1.1:Bir T (serbest) ağacı aşağıdaki özelliğisağlayan bir basit çizgedir: Tçizgesindeiki köşevvewise, bu durumdavd köşesinden w köşesine tek birbasit yol vardır. Bir kkl köklü ağaçğ ise,
BÖLÜM III: Şebeke Modelleri. Şebeke Kavramları. Şebeke Kavramları. Şebeke Kavramları. Yönlü Şebeke (Directed Network) Dal / ok
8.0.0 Şebeke Kavramları BÖLÜM III: Şebeke Modelleri Şebeke (Network) Sonlu sayıdaki düğümler kümesiyle, bunlarla bağlantılı oklar (veya dallar) kümesinin oluşturduğu yapı şeklinde tanımlanabilir ve (N,A)
Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak
![Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak](/thumbs/17/146647.jpg "Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak")
10.Konu İç çarpım uzayları ve özellikleri 10.1. ve üzerinde uzunluk de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor teoreminden dir. 1.Ö.: [ ] ise ( ) ( ) ve ( ) noktaları gözönüne alalım.
Çizge teorisi. 1736, Euler, Königsberg Köprüleri problemini çözdü
Çizge Algoritmaları Çizge teorisi 1736, Euler, Königsberg Köprüleri problemini çözdü Königsberg Köprüleri Problemi C A D B Çizge örneği 4 öğrenci: A, B, C, D 4 iş: FF, SC, W, BS FF SC W BS A B C D Soru:Tüm
Temel Kavramlar. (r) Sıfırdan farklı kompleks sayılar kümesi: C. (i) Rasyonel sayılar kümesi: Q = { a b
Bölüm 1 Temel Kavramlar Bu bölümde bağıntı ve fonksiyon gibi bazı temel kavramlar üzerinde durulacak, tamsayıların bazı özellikleri ele alınacaktır. Bu çalışma boyunca kullanılacak bazı kümelerin gösterimleri
Lisans. Ayrık Matematik Çizgeler. Konular. Tanım çizge: G = (V, E) Tanım. c T. Uyar, A. Yayımlı, E. Harmancı
Lisans Ayrık Matematik Çizgeler H. Turgut Uyar Ayşegül Gençata Yayımlı Emre Harmancı 2001-2013 You are free: to Share to copy, distribute and transmit the work to Remix to adapt the work c 2001-2013 T.
KARAKTER DİZGİLERİ, BAĞINTILAR, FONKSİYONLAR KESİKLİ MATEMATİKSEL YAPILAR
KARAKTER DİZGİLERİ, BAĞINTILAR, FONKSİYONLAR KESİKLİ MATEMATİKSEL YAPILAR 2012-2013 Karakter Dizgisi Karakter Dizgisi Üzerine İşlemler Altdizgi Tanım 3.1.1: Bir X kümesi üzerinde bir karakter dizgisi (string)
Bir algoritma aşağıdaki ğ dki özelliklere sahip komutların sonlu bir kümesidir.
BÖLÜM 4 Bir algoritma aşağıdaki ğ dki özelliklere sahip komutların sonlu bir kümesidir. Kesinlik : Algoritma adımları kesin olarak tespit edilmelidir. Bir teklik: Her bir adımın yürütülmesinde sonuçlar
3. Herhangi bir G çizgesi için aşağıdaki önermelerden hangi(ler)si her zaman doğrudur?
Ayrık Hesaplama Yapıları A GRUBU.0.05 Numarası : Adı Soyadı : SINAV YÖNERGESİ İşaretlemelerinizde kurşun kalem kullanınız. Soru ve cevap kağıtlarına numaranızı ve isminizi mürekkepli kalem ile yazınız.
8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar
8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye
SINAV YÖNERGESİ. Numarası : CEVAP. Adı Soyadı : ANAHTARI A) 512 B) 513 C) 256 D) 1024 E) 1025 A) 252 B) 256 C) 3024 D) 126 E) =?
Ayrık Hesaplama Yapıları A GRUBU 0.0.01 Numarası Adı Soyadı : CEVAP : ANAHTARI SINAV YÖNERGESİ İşaretlemelerinizde kurşun kalem kullanınız. Soru ve cevap kağıtlarına numaranızı ve isminizi mürekkepli kalem
Graflar - Çizgeler. Ders 9. Graflar ve Tanımlar
Graflar - Çizgeler Ders 9 9-1 Graflar ve Tanımlar Bir grafın ne olduğunu açıklamadan önce belki de ne olmadığını söylemek daha iyi olabilir. Bu bölümde kullanılan graf bir fonksiyonun grafiği değildir.
Algoritmalara Giriş. Prof. Erik Demaine. November 16, 2005 Copyright by Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson L18.1
Algoritmalara Giriş 6.06J/8.0J Ders 8 En Kısa Yollar II Bellman-Ford algoritması Doğrusal Programlama ve fark kısıtları VLSI yerleşimi küçültülmesi Prof. Erik Demaine November 6, 00 Copyright 00- by Erik
MAT223 AYRIK MATEMATİK
MAT223 AYRIK MATEMATİK Euler Formülü 12. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Saldıraya Uğrayan Gezegen Euler Formülü Saldıraya Uğrayan
Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir?
DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler, değer kümelerine göre adlandırı - lırlar. Dizinin değer
Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? Örnek...4 : Genel terimi w n. Örnek...1 : Örnek...5 : Genel terimi r n
DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler değer kümelerine göre adlandırılırlar. Dizinin değer kümesi
VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ
1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.
MAT223 AYRIK MATEMATİK
MAT223 AYRIK MATEMATİK Ağaçlar 8. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Ağacın Tanımı Ağaçlar Ağacın Tanımı Tanım Döngüsü olmayan tekparça
ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER
ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER GİRİŞ Özdeğerler, bir matrisin orijinal yapısını görmek için kullanılan alternatif bir yoldur. Özdeğer kavramını açıklamak için öncelikle özvektör kavramı ele alınsın. Bazı vektörler
7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;
İÇ ÇARPIM UZAYLARI 7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;.= 1 1 + + Açıklanmış ve bu konu uzunluk ve uzaklık kavramlarını açıklamak için kullanılmıştır. Bu bölümde öklit
13.Konu Reel sayılar
13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık
1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol
ORGANİZASYON ŞEMASI . BÖLÜM Polinomlar... 7. BÖLÜM II. Dereceden Denklemler.... BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler... 9. BÖLÜM Parabol... 5 5. BÖLÜM Trigonometri... 69 6. BÖLÜM Karmaşık Sayılar... 09 7.
Bu kısımda işlem adı verilen özel bir fonksiyon çeşidini ve işlemlerin önemli özelliklerini inceleyeceğiz.
Bölüm 3 Gruplar Bu bölümde ilk olarak bir küme üzerinde tanımlı işlem kavramını ele alıp işlemlerin bazı özelliklerini inceleyeceğiz. Daha sonra kümeler ve üzerinde tanımlı işlemlerden oluşan cebirsel
GRAFLAR (ÇİZGELER) karşılık gelen başka bir kenar yoktur. Sonuç olarak, bir basit grafta uv, köşe
1 GRAFLAR (ÇİZGELER) 1. GRAFLAR VE GRAF MODELLERİ Tanım: Bir G=(V,E) grafı, boş olmayan köşeler (veya düğümler) kümesi V ve kenarlar kümesi E den meydana gelir. Her kenar kendisi ile bağlantılı 1 veya
MAT223 AYRIK MATEMATİK
MAT223 AYRIK MATEMATİK Gezgin Satıcı Problemi 9. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Gezgin Satıcı Problemi Soru n tane şehri olan bir
İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN
İç-Çarpım Uzayları Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; R n, P n (R), M nxn vektör uzaylarında iç çarpım kavramını tanıyacak ve özelliklerini görmüş olacaksınız.
Algoritmalar. Ders 14 En Kısa Yollar II Bellman-Ford algoritması Floyd-Warshall algoritması
Algoritmalar ers En Kısa Yollar II Bellman-Ford algoritması Floyd-Warshall algoritması November, 00 opyright 00- by Erik. emaine and harles E. Leiserson Negatif-ağırlıklı çevrimler Hatırlatma: Eğer graf
11.Hafta En kısa yollar I-II-III Devam. Negatif Ağırlıklı En Kısa Yollar Doğruluk Çözümleme
11.Hafta En kısa yollar I-II-III Devam Negatif Ağırlıklı En Kısa Yollar Doğruluk Çözümleme 1 En Kısa Yollar II Bellman-Ford algoritması 2 3 Negatif Maliyetli Çember Eğer graf negatif maliyetli çember içeriyorsa,
PROGRAMLAMAYA GİRİŞ. Öğr. Gör. Ayhan KOÇ. Kaynak: Algoritma Geliştirme ve Programlamaya Giriş, Dr. Fahri VATANSEVER, Seçkin Yay.
PROGRAMLAMAYA GİRİŞ Öğr. Gör. Ayhan KOÇ Kaynak: Algoritma Geliştirme ve Programlamaya Giriş, Dr. Fahri VATANSEVER, Seçkin Yay., 2007 Algoritma ve Programlamaya Giriş, Ebubekir YAŞAR, Murathan Yay., 2011
MAT223 AYRIK MATEMATİK
MAT223 AYRIK MATEMATİK Gezgin Satıcı Problemi 9. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Gezgin Satıcı Problemi Soru n tane şehri olan bir
A GRUBU Her bir yüzü düzgün beşgen olan düzgün 12-yüzlünün kaç ayrıtı vardır? A) 30 B) 24 C) 12 D) 36 E) 48
Numarası : Adı Soyadı : SINAV YÖNERGESİ 2. K 5 tam çizgesinin bir kenarı çıkarılarak elde edilen çizgenin köşe noktaları en az kaç renk ile boyanabilir? A) 3 B) 4 C) 2 D) 5 E) 6 İşaretlemelerinizde kurşun
Ayrık Fourier Dönüşümü
Ayrık Fourier Dönüşümü Tanım: 0 n N 1 aralığında tanımlı N uzunluklu bir dizi x[n] nin AYRIK FOURIER DÖNÜŞÜMÜ (DFT), ayrık zaman Fourier dönüşümü (DTFT) X(e jω ) nın0 ω < 2π aralığında ω k = 2πk/N, k =
Tanım 2.1. X boş olmayan bir küme olmak üzere X den X üzerine bire-bir fonksiyona permütasyon denir.
2. SİMETRİK GRUPLAR Tanım 2.1. X boş olmayan bir küme olmak üzere X den X üzerine bire-bir fonksiyona permütasyon denir. Tanım 2.2. boş olmayan bir küme olsun. ile den üzerine bire-bir fonksiyonlar kümesini
1. GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G (e ye birim eleman denir) vardır.
1. GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir., ) cebirsel 1) a b cg,, için a( bc) ( ab) c (Birleşme özelliği)
Tanım 5.1.1: n ve d tamsayılar ve d 0 olsun. Eğer n=dq olacak şekilde bir q tamsayısı varsa d sayısı n sayısını böler denir. Burada q sayısına bölüm
BÖLÜM 5 Bölenlerl Tanım 5.1.1: n ve d tamsayılar ve d 0 olsun. Eğer n=dq olacak şekilde bir q tamsayısı varsa d sayısı n sayısını böler denir. Burada q sayısına bölüm ve d sayısına da bölen denir. Eğer
KÜMELER VE MANTIK KESİLİ MATEMATİKSEL YAPILAR
KÜMELER VE MANTIK KESİLİ MATEMATİKSEL YAPILAR Kümeler Koşullu ve Mantıksal Denklik Kümeler Kümeler Ayrık Kümeler De-Morgan Kuralı Z (Zahlen; alm.) tamsayılar kümesi Z negatif tamsayılar kümesi, Z nonneg
BBM Discrete Structures: Final Exam Date: , Time: 15:00-17:00
BBM 205 - Discrete Structures: Final Exam Date: 12.1.2017, Time: 15:00-17:00 Ad Soyad / Name: Ögrenci No /Student ID: Question: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Total Points: 6 16 8 8 10 9 6 8 14 5 10 100 Score:
Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir.
Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. a) Pozitif doğal sayılar: Sıfır olmayan doğal sayılar kümesine Pozitif Doğal
Algoritma ve Akış Diyagramları
Algoritma ve Akış Diyagramları Bir problemin çözümüne ulaşabilmek için izlenecek ardışık mantık ve işlem dizisine ALGORİTMA, algoritmanın çizimsel gösterimine ise AKIŞ DİYAGRAMI adı verilir 1 Akış diyagramları
Yrd. Doç. Dr. A. Burak İNNER
Yrd. Doç. Dr. A. Burak İNNER Kocaeli Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Yapay Zeka ve Benzetim Sistemleri Ar-Ge Lab. http://yapbenzet.kocaeli.edu.tr Ders Adı : Bilgisayar Mühendisliğinde Matematik Uygulamaları
YZM ALGORİTMA ANALİZİ VE TASARIM DERS#9: AÇGÖZLÜ ALGORİTMALAR
YZM 3207- ALGORİTMA ANALİZİ VE TASARIM DERS#9: AÇGÖZLÜ ALGORİTMALAR Aç Gözlü (Hırslı) Algoritmalar (Greedy ) Bozuk para verme problemi Bir kasiyer 48 kuruş para üstünü nasıl verir? 25 kuruş, 10 kuruş,
AYRIK YAPILAR. ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FıRAT ÜNIVERSITESI TEKNOLOJI FAKÜLTESI YAZıLıM MÜHENDISLIĞI BÖLÜMÜ, ELAZIĞ
AYRIK YAPILAR P r o f. D r. Ö m e r A k ı n v e Y r d. D o ç. D r. M u r a t Ö z b a y o ğ l u n u n Ç e v i r i E d i t ö r l ü ğ ü n ü ü s t l e n d i ğ i «A y r ı k M a t e m a t i k v e U y g u l a
Tanım Bir X kümesi üzerinde bir karakter dizgisi (string) X kümesindeki. boş karakter dizgisi (null string) denir ve l ile gösterilir.
BÖLÜM 3 Karakter Dizgileriil i Tanım 3.1.1 Bir X kümesi üzerinde bir karakter dizgisi (string) X kümesindeki öğelerden oluşan bir sonlu dizidir. Hiç bir öğesi olmayan bir karakter dizgisine boş karakter
BMB204. Veri Yapıları Ders 11. Çizgeler (Graph) Erdinç Uzun NKÜ Çorlu Mühendislik Fakültesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü
BMB204. Veri Yapıları Ders 11. Çizgeler (Graph) Erdinç Uzun NKÜ Çorlu Mühendislik Fakültesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü Dersin Planı Çizgeler Çizge Tanım Çeşitleri Çizge Üzerinde Arama Önce derinliğine
Algoritmalar ve Karmaşıklık
Algoritmalar ve Karmaşıklık Ders 11 Algoritma Ayrık matematikte karşılaşılan bir çok problem sınıfı mevcuttur. Örneğin, verilen tamsayı grubu içindeki en büyük olanının bulunması, verilen bir kümenin bütün
A GRUBU Noktaları adlandırılmış K 6 tam çizgesinin tam olarak 3 noktalı kaç tane alt çizgesi vardır? A) 9 B) 20 C) 24 D) 60 E) 160
A GRUBU.. Numarası :............................................. Adı Soyadı :............................................. SINAV YÖNERGESİ İşaretlemelerinizde kurşun kalem kullanınız. Soru ve cevap kağıtlarına
Algoritmalar ve Programlama. Algoritma
Algoritmalar ve Programlama Algoritma Algoritma Bir sorunu / problemi çözmek veya belirli bir amaca ulaşmak için gerekli olan sıralı mantıksal adımların tümüne algoritma denir. Algoritma bir sorunun çözümü
Algoritma ve Akış Diyagramları
Algoritma ve Akış Diyagramları Bir problemin çözümüne ulaşabilmek için izlenecek ardışık mantık ve işlem dizisine ALGORİTMA, algoritmanın çizimsel gösterimine ise AKIŞ DİYAGRAMI adı verilir. 1 Akış diyagramları
YZM ALGORİTMA ANALİZİ VE TASARIM DERS#3: ALGORİTMA ANALİZİ#2
YZM 3207- ALGORİTMA ANALİZİ VE TASARIM DERS#3: ALGORİTMA ANALİZİ#2 Özyineli Olmayan (Nonrecursive) Algoritmaların Matematiksel Analizi En büyük elemanı bulma problemi En Büyük Elemanı Bulma Problemi Girdi
harfi almanca kökenli (Zahlen) Z X bir sonlu küme ise, X = X deki öğelerin sayısını gösterir
BÖLÜM 1 Kümeler harfi almanca kökenli (Zahlen) Z X bir sonlu küme ise, X = X deki öğelerin sayısını gösterir Tanım 1.1.1: X ve Y herhangi iki küme olsunlar. Eğer X Y= ise, X ve Y kümelerine ayrıktırlar
Graflar bilgi parçaları arasındaki ilişkileri gösterirler.
Graflar (Graphs) Graf gösterimi Uygulama alanları Graf terminolojisi Depth first dolaşma Breadth first dolaşma Topolojik sıralama Yrd.Doç.Dr. M. Ali Akcayol Graflar Graflar bilgi parçaları arasındaki ilişkileri
Ders 9: Bézout teoremi
Ders 9: Bézout teoremi Konikler doğrularla en fazla iki noktada kesişir. Şimdi iki koniğin kaç noktada kesiştiğini saptayalım. Bunu, çok kolay gözlemlerle başlayıp temel ve ünlü Bézout teoremini kanıtlayarak
T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A
T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A Contents Rasyonel Fonksiyonlar 5 Bibliography 35 Inde 39 Rasyonel Fonksiyonlar Polinomlar Yetmez! Bölme
Bir özvektörün sıfırdan farklı herhangi bri sabitle çarpımı yine bir özvektördür.
ÖZDEĞER VE ÖZVEKTÖRLER A n n tipinde bir matris olsun. AX = λx (1.1) olmak üzere n 1 tipinde bileşenleri sıfırdan farklı bir X matrisi için λ sayıları için bu denklemi sağlayan bileşenleri sıfırdan farklı
Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN
Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,
İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
Özdeğer ve Özvektörler
Özdeğer ve Özvektörler Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 9 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; bir lineer dönüşümün ve bir matrisin özdeğer ve özvektör kavramlarını anlayacak, bir dönüşüm matrisinin
BMT 206 Ayrık Matematik. Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1
BMT 206 Ayrık Matematik Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1 Fonksiyonlar Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 2 Fonksiyonlar Tanım: A ve B boş olmayan kümeler. A dan B ye bir f fonksiyonu f: A B ile gösterilir ve A nın her
Lineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar
Lineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar Bir Matrisin Rankı A m n matrisinin determinantı sıfırdan farklı olan alt kare matrislerinin boyutlarının en büyüğüne A matrisinin rankı denir. rank(a)
A) 1 B) 10 C) 100 D) 1000 E) Sonsuz. öğrencinin sinemaya tam bir kez birlikte gidecek şekilde ayarlanabilmesi aşağıdaki n
İLMO 008. Aşama Sınavı Soru Kitapçığı - A. 009 009 009 + +... + n toplamı hiçbir n doğal sayısı için aşağıdakilerden hangisiyle bölünemez? A) B) n C) n+ D) n+ E). ( x!)( y!) = z! eşitliğini sağlayan (x,
10. DİREKT ÇARPIMLAR
10. DİREKT ÇARPIMLAR Teorem 10.1. H 1,H 2,, H n bir G grubunun alt gruplarının bir ailesi ve H = H 1 H 2 H n olsun. Aşağıdaki ifadeler denktir. a ) dönüşümü altında dır. b) ve olmak üzere her yi tek türlü
2. SİMETRİK GRUPLAR. Tanım 2.1. X boş olmayan bir küme olmak üzere X den X e birebir örten fonksiyona permütasyon denir.
2. SİMETRİK GRUPLAR Tanım 2.1. X boş olmayan bir küme olmak üzere X den X e birebir örten fonksiyona permütasyon denir. Tanım 2.2. X boş olmayan bir küme olsun. S X ile X den X e tüm birebir örten fonksiyonlar
2. K 6 tam çizgesinde kaç farklı mükemmel eşleme vardır? 4. Düzlemsel kodu (planar code) olan ağacın kaç köşe noktası vardır?
Ayrık Hesaplama Yapıları A GRUBU 0.06.01 Numarası :. K 6 tam çizgesinde kaç farklı mükemmel eşleme vardır? Adı Soyadı : SINAV YÖNERGESİ İşaretlemelerinizde kurşun kalem kullanınız. Soru ve cevap kağıtlarına
1.4. KISMİ SIRALAMA VE DENKLİK BAĞINTILARI
Reel sayılar kümesinin "küçük ya da eşit", bağıntısı ile sıralanmış olduğunu biliyoruz. Bu bağıntı herhangi bir X kümesine aşağıdaki şekilde genelleştirilebilir. Bir X kümesi üzerinde aşağıdaki yansıma,
Math 103 Lineer Cebir Dersi Final Sınavı
Haliç Üniversitesi, Uygulamalı Matematik Bölümü Math 3 Lineer Cebir Dersi Final Sınavı 3 Araliık 7 Hazırlayan: Yamaç Pehlivan Başlama saati: : Bitiş Saati: 3:4 Toplam Süre: Dakika Lütfen adınızı ve soyadınızı
3. BÖLÜM MATRİSLER 1
3. BÖLÜM MATRİSLER 1 2 11 21 1 m1 a a a v 12 22 2 m2 a a a v 1 2 n n n mn a a a v gibi n tane vektörün oluşturduğu, şeklindeki sıralanışına matris denir. 1 2 n A v v v Matris A a a a a a a a a a 11 12
Genel Graf Üzerinde Mutlak 1-merkez
Genel Graf Üzerinde Mutlak 1-merkez Çözüm yöntemine geçmeden önce bazı tanımlara ihtiyaç vardır. Dikkate alınan G grafındaki düğümleri 1 den n e kadar numaralandırın. Uzunluğu a(i, j)>0 olarak verilen
3.2. DP Modellerinin Simpleks Yöntem ile Çözümü Primal Simpleks Yöntem
3.2. DP Modellerinin Simpleks Yöntem ile Çözümü 3.2.1. Primal Simpleks Yöntem Grafik çözüm yönteminde gördüğümüz gibi optimal çözüm noktası, her zaman uygun çözüm alanının bir köşe noktası ya da uç noktası
Algoritmalar. Çizge Algoritmaları. Bahar 2017 Doç. Dr. Suat Özdemir 1
Algoritmalar Çizge Algoritmaları Bahar 201 Doç. Dr. Suat Özdemir 1 En Kısa Yol Problemi Çizgelerdeki bir diğer önemli problem de bir düğümden diğer bir düğüme olan en kısa yolun bulunmasıdır. Bu problem
11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler
11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler 1. Asal sayılar 2. Bir tam sayının bölenleri 3. Modüler aritmetik 4. Bölünebilme kuralları 5. Lineer modüler aritmetik 6. Euler
15. Bağıntılara Devam:
15. Bağıntılara Devam: Yerel Bağıntılardan Örnekler: Doğal sayılar kümesi üzerinde bir küçüğüdür (< 1 ) bağıntısı: < 1 {(x, x+1) x N} {(0,1), (1, 2), } a< 1 b yazıldığında, a doğal sayılarda bir küçüktür
10.Konu Tam sayıların inşası
10.Konu Tam sayıların inşası 1. Tam sayılar kümesi 2. Tam sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Pozitif ve negatif tam sayılar 4. Tam sayılar kümesinde çıkarma 5. Tam sayılar kümesinde sıralama 6. Bir
Motivasyon Matrislerde Satır İşlemleri Eşelon Matris ve Uygulaması Satırca İndirgenmiş Eşelon Matris ve Uygulaması Matris Tersi ve Uygulaması Gauss
Motivasyon Matrislerde Satır İşlemleri Eşelon Matris ve Uygulaması Satırca İndirgenmiş Eşelon Matris ve Uygulaması Matris Tersi ve Uygulaması Gauss Jordan Yöntemi ve Uygulaması Performans Ölçümü 2 Bu çalışmada,
SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR
1 SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR RAKAM: Sayıları ifade etmek için kullandığımız 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembollerinden her birine rakam denir. Soru: a ve b farklı rakamlar olmak üzere a + b nin alabileceği
Elementer matrisler, ters matrisi bulmak, denk matrisler
4.Konu Elementer matrisler, ters matrisi bulmak, denk matrisler 1. Elementer matrisler 2. Ters matrisi bulmak 3. Denk matrisler 1.Elementer matrisler 1.Tanım: tipinde Tip I., Tip II. veya Tip III. te olan
= 646 ] (n+2) 2 1 = n 2 + 4n+4 1 = (n 2 1)+4(n+1) MAT223 AYRIK MATEMATİK DERSİ 2.ARA SINAVI ÇÖZÜMLER
![= 646 ] (n+2) 2 1 = n 2 + 4n+4 1 = (n 2 1)+4(n+1) MAT223 AYRIK MATEMATİK DERSİ 2.ARA SINAVI ÇÖZÜMLER](/thumbs/68/59690875.jpg "= 646 ] (n+2) 2 1 = n 2 + 4n+4 1 = (n 2 1)+4(n+1) MAT223 AYRIK MATEMATİK DERSİ 2.ARA SINAVI ÇÖZÜMLER")
MAT3 AYRIK MATEMATİK DERSİ.ARA SINAVI 18.1.009 ÇÖZÜMLER 1. G çizgesinin silindiğinde kalan çizge tek parça olacak şekildeki kenarlarını birer birer silelim (G yoldan farklı olduğundan en az bir böyle bir
18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu
MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr
Problem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4. Problem 5. PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisan c Copyright Titu Andreescu and Jonathan Kane
PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisan 2010 İLKÖĞRETİM - PROBLEMLERİ c Copyright Titu Andreescu and Jonathan Kane Çeviri Sibel Kılıçarslan CANSU ve Fatih Kürşat CANSU Problem 1 Eğer 125 + n + 135 + 2n
MUTLAK DEĞER Test -1
MUTLAK DEĞER Test -. < x < olduğuna göre, x x ifadesinin eşiti aşağıdakilerden 7 B) 7 x C) x 7 D) x 7 E) 7 x 5. y < 0 < x olduğuna göre, y x x y x y ifadesinin eşiti aşağıdakilerden xy B) xy C) xy D) xy
Diziler. Yrd.Doç.Dr.Bülent ÇOBANOĞLU
Diziler Yrd.Doç.Dr.Bülent ÇOBANOĞLU Dizi (Array) Nedir? Bellekte sürekli yer kaplayan artarda sıralanmış aynı türden verilerin oluşturduğu kümeye dizi (array) denir. Dizi, çok fazla miktardaki tek tip
BMT 206 Ayrık Matematik. Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1
BMT 206 Ayrık Matematik Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1 Kümeler Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 2 Kümeler Kümeler Ayrık Matematiğin en temel konularından biridir Sayma problemleri için önemli Programlama dillerinin
2017 MÜKEMMEL YGS MATEMATİK
2017 MÜKEMMEL YGS MATEMATİK 1. 2,31 0,33 0,65 0,13 + 3,6 0,6 işleminin sonucu kaçtır? A)0,5 B) 0,8 C)0,9 D)5 E)8 4. Üç basamaklı ABB doğal sayısı 4 e ve 9 a kalansız bölünmektedir. Buna göre, A+B toplamının
1 BAĞINTILAR VE FONKSİYONLAR
1 BAĞINTILAR VE FONKSİYONLAR Bu bölümde ilk olarak Matematikte çok önemli bir yere sahip olan Bağıntı kavramnı verip daha sonra ise Fonksiyon tanımı verip genel özelliklerini inceleyeceğiz. Tanım 1 A B
Lineer Cebir. Doç. Dr. Niyazi ŞAHİN TOBB. İçerik: 1.1. Lineer Denklemlerin Tanımı 1.2. Lineer Denklem Sistemleri 1.3. Matrisler
Lineer Cebir Doç. Dr. Niyazi ŞAHİN TOBB İçerik: 1.1. Lineer Denklemlerin Tanımı 1.2. Lineer Denklem Sistemleri 1.3. Matrisler Bölüm 1 - Lineer Eşitlikler 1.1. Lineer Eşitliklerin Tanımı x 1, x 2,..., x
SORULAR. 2. Noktaları adlandırılmamış 6 noktalı kaç ağaç vardır? Çizerek cevaplayınız.
MAT3 AYRIK MATEMATİK DERSİ DÖNEM SONU SINAVI 4.0.0 Numarası :..................................... Adı Soyadı :..................................... SORULAR. Prüfer kodu ( 3 3 ) olan ağacı çiziniz.. Noktaları
Math 103 Lineer Cebir Dersi Ara Sınavı
Haliç Üniversitesi, Uygulamalı Matematik Bölümü Math 3 Lineer Cebir Dersi Ara Sınavı 9 Kasım 27 Hazırlayan: Yamaç Pehlivan Başlama saati: 3: Bitiş Saati: 4:5 Toplam Süre: Dakika Lütfen adınızı ve soyadınızı
Proje Adı: Sonlu Bir Aritmetik Dizinin Terimlerinin Kuvvetleri Toplamının İndirgeme Bağıntısıyla Bulunması.
Proje Adı: Sonlu Bir Aritmetik Dizinin Terimlerinin Kuvvetleri Toplamının İndirgeme Bağıntısıyla Bulunması. Projenin Amacı: Aritmetik bir dizinin ilk n-teriminin belirli tam sayı kuvvetleri toplamının
10.Hafta Minimum kapsayan ağaçlar Minimum spanning trees (MST)
1 10.Hafta Minimum kapsayan ağaçlar Minimum spanning trees (MST) Kapsayan ağaç Spanning Tree (ST) Bir Kapsayan Ağaç (ST); G, grafındaki bir alt graftır ve aşağıdaki özelliklere sahiptir. G grafındaki tüm
1994 ÖYS. 6. x, y, z sıfırdan büyük birer tam sayı ve 2x+3y-z=94 olduğuna göre, x in en küçük değeri kaçtır?
99 ÖYS. Üç basamaklı abc sayısının birler basamağı tür. Birler basamağı ile yüzler basamağı değiştirildiğinde oluşan yeni sayı, abc sayısından 97 küçüktür. Buna göre, abc sayısının yüzler basamağı kaçtır?.,
ULAŞTIRMA MODELİ VE ÇEŞİTLİ ULAŞTIRMA MODELLERİ
ULAŞTIRMA MODELİ VE ÇEŞİTLİ ULAŞTIRMA MODELLERİ Özlem AYDIN Trakya Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü ULAŞTIRMA MODELİNİN TANIMI Ulaştırma modeli, doğrusal programlama probleminin özel bir şeklidir.
ÖSYM. 1. Bu testte 40 soru vardır. 2. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz AYT/Matematik
MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte 40 soru vardır. 2. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz. 1. 2. a bir gerçel sayı olmak üzere, karmaşık sayılarda eşitliği veriliyor.