HACETTEPE ÜNİVERSİTESİ / MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ TENSÖREL ANALİZE GİRİŞ BİTİRME PROJESİ. Levent Özkarayel. Fizik Mühendisliği Bölümü Lisans Öğrencisi

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "HACETTEPE ÜNİVERSİTESİ / MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ TENSÖREL ANALİZE GİRİŞ BİTİRME PROJESİ. Levent Özkarayel. Fizik Mühendisliği Bölümü Lisans Öğrencisi"

Transkript

1 HCTTP ÜNİVRSİTSİ / MÜHNDİSLİK FKÜLTSİ TNSÖRL NLİZ GİRİŞ BİTİRM PROJSİ Levent Özkarayel Fzk Mühendslğ Bölümü Lsans Öğrencs Proe Danışmanı: Doç. Dr. Mehmet Dlaver HZİRN 05

2 ÖNSÖZ Tensörel analzn rş düzeynde ncelendğ bu çalışmada blsn, vaktn ve deneymn benmle paylaşmaktan sakınmayan değerl hocam Doç. Dr. Mehmet Dlaver e yürekten teşekkür ederm. yrıca lsans öğrenclğm boyunca, kendlernden çokça şey öğrendğm, verdkler derslern tümünü heyecanla takp ettğm ve blmsel başarılarını örnek aldığım sayıdeğer hocalarım Prof. Dr. Mehmet Cankurtaran a ve Prof. Dr. Mustafa Polat a bu çalışma veslesyle en çten şükranlarımı sunarım. Buünlere onlarsız hçbr şeklde elemeyeceğm bldğm sevl aleme, borcumu hçbr zaman ödeyemeyecek olacağımı blsem de bu çalışmayı thaf ederm. Levent Özkarayel Hazran 05 Btrme Proesnn İnternet Sürümüne Yapılan Güncelleme: Levent Özkarayel, 5 Hazran 05 te Prof. Dr. Metn Önder, Doç. Dr. hmet Mect Öztaş ve Doç. Dr. Mehmet Dlaver den oluşan ür karşısında bu çalışmanın sunumunu erçekleştrmş ve bu tarhten yaklaşık br hafta sonra Hacettepe Ünverstes Fzk Mühendslğ bölümünden 3,5 not ortalamasıyla mezun olmuştur.

3 İÇİNDKİLR.GİRİŞ....İNDİS NOTSYONU..... İnds Notasyonuna Grş..... Smetrk ve smetrk Sstemler nsten Toplama Kuralı Cebrsel İşlemler Toplama ve Çıkarma Çarpma e-permütasyon Sembolü ve Kronecker Delta e - δ Özdeşlğ Dönüşüm Denklemler Türevlern Hesaplanması TNSÖR KVRMI V DÖNÜŞÜMÜ Dual Baz Vektörler Ters (Recprocal) Bazlar Koordnat Dönüşümler Vektör Dönüşümü Kontravarant Bleşenler Kovarant Bleşenler Yüksek Mertebeden Tensörler ÖZL TNSÖRLR Metrk Tensör Konue Metrk Tensör ssocated Tensör Fzksel Bleşenler Ortoonal Koordnatlarda Fzksel Bleşenler TNSÖRLRD TÜRV Chrstoffel Semboller I. Tp Chrstoffel Sembolü II. Tp Chrstoffel Sembolü Kovarant Türev... 33

4 6... Kovarant Türevn Fzksel Yorumu SONUÇ KYNKLR... 37

5 ŞKİLLR DİZİNİ Şekl : İk boyutlu kartezyen koordnat sstem çn ortoonal zdüşüm... 8 Şekl : Ortoonal olmayan koordnat sstemnde paralel zdüşüm Şekl 3: Ortoonal olmayan koordnat sstemnde ortoonal zdüşüm... 9 Şekl 4: Paralel ve Ortoonal zdüşüm sonucu elde edlen kovarant ve kontravarant bleşenler Şekl 5: Koordnat eğrler ve koordnat yüzeyler... 4 Şekl 6: Küresel koordnatlardak br P noktasının österm... 4 Şekl 7: Fzksel Bleşenler... 6 v

6 .GİRİŞ Fzkte, mühendslkte, blmde ve matematkte, tensörler bazı temel yasaların temsl edlmesnde kullanılırlar. Özellkle fzkte enel örellkten elektrodnamğe kadar, fzğn brçok alanında tensörler çokça kullanım alanına sahptrler. Skaler br alan, br skaler sayı le br nokta arasındak karşılamayı tanımlar. N-boyutlu br vektör alanı se, N-sayı le br nokta arasındak karşılamadır. Bu kavram N-kare, N-küp ve daha büyük mertebeler çn br nokta üzernden enelleştrlrse; bu sayılar bell dönüşümler sağladıkları takdrde, tensör alanları olarak tanımlanırlar. Temel olarak, skaler alanlar, rankı veya mertebes 0 olan tensör alanlarını, vektörel alanlar se, rankı veya mertebes olan tensör alanlarını fade eder. İnds notasyonunu ncelemek tensörel analz çn y br başlanıç noktasıdır.

7 .İNDİS NOTSYONU.. İnds Notasyonuna Grş a ve b vektörler a a eˆ a eˆ a eˆ b b eˆ b eˆ b eˆ şeklnde verlmş olsunlar. Burada ê,,ê, ê3 ortoonal baz vektörlerdr. a a, a, a, b b, b, b 3 3 Şeklnde de österleblen a ve b vektörlernn matrs formunda baz vektörler se; eˆ,0, eˆ,, eˆ,0,0 0,0 3 0, olarak verlr. İnds notasyonu vektörlern östermnde büyük kolaylık ve sadelk sağlar. Vektörün bleşenlern temsl etmek üzere br nds tayn edlr. Bu ndsn alableceğ sayı aralığı belrlenr, böylece tek östermle vektörün bütün bleşenler tanımlanablr. İnds notasyonu uzun hesaplamalar sırasında daha sade ve kullanışlı br yapı sunar. Tüm bu österm nds notasyonunda; y a x a x a x y a x 3 3 y a x a x a x y a x 3 3 y a x a x a x y a x y 3 a x şeklnde tek br toplam sembolü altında yapılablr. Bu österm, toplam sembolü de kaldırılarak; halne etrleblr. Böylece vektörler; olarak yazılır. y a x,,, a ve b ; a a ve b b,,3 y a x,,,3 Yukarıdak östermde ndsne serbest nds, ndsne se toplam nds denr. Serbest ndsn, eştlğn her k tarafında da aynı olması erektğne dkkat edlmeldr.

8 Br fadenn nds sayısı, mertebey temsl eder. İnds olmayan br sstem, 0. mertebeden sstemdr, özel olarak skaler smn alır. Br tane nds barındıran sstemler,. mertebeden sstemlerdr ve özel olarak vektör adı verlr. İk veya daha fazla ndse sahp olan sstemler se sahp olduğu nds sayısı mertebesndedr. Örneğn; T kl veyat prqm µ veya T sn sstemlernn heps, 4. mertebeden sstem olarak smlendrlr... Smetrk ve smetrk Sstemler Br sstemn sahp olduğu k ndsnn sırayla yer değştrmes, sstem değştrmyorsa o sstem smetrktr denr. Bu koşulu sağlayan sstemler, smetrk sstemler olarak smlendrlr. T k sstem çn eğer; Tk Tk Tk Tk oluyorsa, T k sstem smetrktr. İnds değşm, sstemn şaretn değştryorsa, bu durumda sstem asmetrk olarak smlendrlr. Tk T k Tk Tk durumunda, T k sstem asmetrktr..3. nsten Toplama Kuralı nsten Toplama Kuralı, nds notasyonunda kullandığımız toplam sembölünün fadeden çıkartılarak daha sade br österm elde etmeye yarayan br kabuldür. ğer br eştlkte, eştlğn her k tarafında k defa tekrar eden br nds varsa toplamın bu nds üzernden alınacağı anlaşılır. Bu tekrarlanan ndse toplam nds dğer tekrarlanmayan ndse de serbest nds adı verlr. İk vektörün skaler çarpımı ncelenrse; ve B vektörler,=,,3 olmak üzere, B Bcos olarak yazılır. ve B vektörlern büyüklüğünü belrtr, nds se toplam ndsdr. Toplama kuralı le; 3 3 B B B Bcos 3

9 olarak yazılablr..4. Cebrsel İşlemler.4.. Toplama ve Çıkarma Herhan k sstemn toplanablmes ve ya çıkarılablmes çn sstemlern aynı tp ve özdeş ndslere sahp olmaları erekmektedr. µ P ve µ Q sstemler çn µ µ µ P Q S ve P Q R µ µ µ şeklnde toplama ve çıkarma yapılır. µ ncak P ve.4.. Çarpma k µ Q sstemler çn toplama veya çıkarma yapılamaz. Toplama ve çıkarma çn erekl olan eşt nds kuralı çarpma çn eçerl değldr. İk sstemn çarpımı, lk sstemn bütün bleşenlernn knc sstemn bütün bleşenleryle ayrı ayrı çarpılmasıyla elde edlr. Çarpma sonucu oluşan yen sstemn mertebes, çarpmaya ren sstemlern mertebelernn toplamıdır. M k ve N µ sstemler çn; M N K k µ k µ şeklnde çarpma yapılır..5. e-permütasyon Sembolü ve Kronecker Delta Kronecker Delta ve e-permütasyon Sembolü, nds notasyonunda sıklıkla kullanılan k semboldür. e-permütasyon sembolü; e... k ;,,..., k,,,...,n ; Çft Permütasyon se e... k - ;,,...,k,,,...,n ; Tek Permütasyon se 0 ; Dğer durumlar tanımına sahptr. k e,,,,3 k çn k e ornal haln permütasyonu 0 olduğundan, çft permütasyona sahptr. 4

10 e 3 fadesnde, le yer değştrmş ve permütasyon olmuştur, tek permütasyon olduğundan tanım ereğ; e3 dr. Dolayısı le; olacaktır. e3 e3 e3 e3 e3 e3 e, e, e 3 b tekrarlanan durumlar se 0 dır. Kronecker Delta; tanımına sahptr.,,,3 fades çn; olur..5.. e - δ Özdeşlğ, 0, 33 ve e - δ özdeşlğ, Permütasyon Sembolü ve Kronecker Deltayı brbrne bağlayan br eştlktr. şeklnde verlr. e e k mn m kn n km.6. Dönüşüm Denklemler Br noktanın N-boyutlu uzaydak koordnatları olan x bağımsız değşkenlernn, başka br N- boyutlu uzaydak x bağımsız değşkenlerne dönüşümü; x = x (, N x x,..., x ),,..., şeklnde verlr. Bu dönüşüm denklemnn koordnat sstemnden bağımsız olması erekmektedr. Bu koşulun sağlanablmes çn erek ve yeter şart, Jacoban determnantının sıfırdan farklı olmasıdır. N 5

11 x x x... N x x x x x x... N x x x x x J ( ) x x x x x... x x x N N N ğer Jacoban determnantı sıfırdan farklı se, dönüşüm ve dönüşümün ters dönüşümü vardır denr. Ters dönüşüm de; N olarak österlr. N (,,..., ), (,,..., ) x x x x x N.7. Türevlern Hesaplanması Φ, x bağımsız değşkenlernn skaler br fonksyonu olsun; Φ=Φ ( N x, x,..., x ),,..., N Bu bağımsız değşkenlern türev alırsak; x bağımsız değşkenler set le lşkl olduğunu varsayıp kısm x x x x... N x x x x x x x x x m olur. İknc kısm türev de, x değşkenne öre alınırsa; Parantez çndek term G le fade edlrse; ve bu termn x x x x x x x x x x m m m G G x, x,..., x x m x değşkenne öre türev alınırsa; N N 6

12 k k G G x x x x x x x x m k m k m Bulunan bu fade knc kısm türevde yerne konulursa; k x x x x x x x x x x x x m m k m fades elde edlr. Burada ve m ndsler serbest, ve k ndsler toplam ndslerdr. 7

13 3.TNSÖR KVRMI V DÖNÜŞÜMÜ 3.. Dual Baz Vektörler Herhan br vektörün, ortoonal br koordnat sstemndek fades, vektörün koordnat eksenlerne olan zdüşüm bleşenlernn baz vektörleryle çarpılmasıyla verlr. ( e e e ) 3 3 ncak vektör fadesnn koordnat sstemnn eksenlerne olan zdüşümlern elde etmenn temel olarak k farklı yolu vardır. Bunlar paralel zdüşüm ve ortoonal zdüşüm olarak fade edlen yöntemlerdr. ksenlere paralel önderlen br ışığın oluşturduğu zdüşüme paralel zdüşüm, eksenlere dk önderlen ışığın oluşturduğu zdüşüme ortoonal zdüşüm denr. Ortoonal br koordnat sstemnde ışığı paralel veya dk olarak öndermek arasında br fark yoktur. Yan ortoonal br koordnat sstem çn paralel zdüşüm le ortoonal zdüşüm aynı durumları fade eder. Şekl : İk boyutlu kartezyen koordnat sstem çn ortoonal zdüşüm Burada vektörü, baz vektörler cnsnden; olarak fade edlr. e e x y Ortoonal olmayan br koordnat sstem çn paralel zdüşüm ve ortoonal zdüşüm karşımıza farklı sonuçlar çıkarır. ksenlere paralel önderlen ışık vektörün büyüklüğünde değşme yol açmazken, eksenlere dk önderlen ışık, vektörün büyüklüğünde değşme yol açar. 8

14 Şekl : Ortoonal olmayan koordnat sstemnde paralel zdüşüm. Şekl 3: Ortoonal olmayan koordnat sstemnde ortoonal zdüşüm 9

15 Şekl 4: Paralel ve Ortoonal zdüşüm sonucu elde edlen kovarant ve kontravarant bleşenler. Ortoonal olmayan br koordnat sstemnde vektörel br ncelğn österm, seçlen zdüşüm yöntemne öre değşklk österecektr. Bu k farklı östermde temsl yapılacak vektörün fades çn yen baz vektöler ortaya atmak erekr. Bu baz vektörler kovarant ve kontravarant baz vektörlerdr. Vektörün ortoonal zdüşüm sonucu elde edlen bleşenler, kovarant bleşenler, paralel zdüşüm sonucu elde edlen bleşenler se kontravarant bleşenler olarak tanımlanır. Kovarant bleşenler, alt nds le österlrken, kontravarant bleşenler üst nds le österlr. Kovarant bleşenler, kontravarant bazlar le kontravarant bleşenler se kovarant bazlar le yazılır ve böylelkle vektörün büyüklüğü her k österm çn de aynı olur. x x e e österm vektörünün kovarant bleşenlernn kontravarant baz vektörleryle yazımıyken, y y x y ex ey österm vektörünün kontravarant bleşenlernn kovarant baz vektörleryle fadesdr. Vektörün büyüklüğünü değştrmeyen bu kovarant ve kontravarant baz vektörlernn ksne brden dual baz vektörler denr. 3.. Ters (Recprocal) Bazlar ( e e e ) 3 3 Burada,, 3, vektörünün e, e, e 3 bazlarına öre bleşenlerdr. vektörü; ( e ) e ( e ) e ( e ) e 3 3 0

16 olarak da fade edleblr. (,, 3), ortoonal (lneer bağımsız) ancak brm uzunlukta olmayan bazlar olsun; Bu durumda vektörü, bu yen sstem cnsnden; olarak yazılablr. Burada vektörünün bleşenler () () =,,3 olarak verlr ve () fades nds üzernden toplam alınmayacağını belrtr. koşulu sağlanıyorsa, (,, 3) ve 3,, bazları, ters (Recprocal) baz olarak smlendrrler. Bu koşul, olmasını erektrr. vektörü kovarant bleşenler cnsnden; Kontravarant bleşenler cnsnden de; 3 3 olarak fade edlr. 3 3 Ters bazların brbrne dk olmasından dolayı şu bağıntı yazılablr; V 3 burada V, belrlenmes ereken br sabttr. Kronecker lşksn kullanarak bu sabt belrlemek kolaydır, her k taraf vektörüyle skaler çarpılır ve fade düzenlenrse; elde edlr. 3 V ( ) olduğuna öre olur. V 3 ( ) olduğundan V sabt; V ( 3)

17 olarak bulunur. Böylece ters baz vektörler; lşksnden ( 3 ), V ( 3 ), V 3 ( ) V ( 3) 3, ( 3) 3, ( 3) 3 olarak bulunur. Burada V sabtnn eometrk fades, paralelyüzlünün hacm olmasıdır. olurken eş bazların çarpımı se uzayın metrğn tanımlar. ve vektörünün kontravarant baz vektörleryle yazılmış fadesn kovarant baz vektörüyle çarparsak; olduğu örülür. 3 3 vektörünün bu sefer kovarant baz vektörleryle yazılmış fadesn kovarant baz vektörüyle çarparsak; 3 3 öncek eştlkten olduğunu bldğmzden sonuç olarak; elde edlr. Bütün bleşenler çn yazılırsa; olduğu örülür. Genel olarak; k k ve k k şeklnde br vektörün kovarant ve kontravarant bleşenlernn lşks fade edlmş olur.

18 3.3. Koordnat Dönüşümler Koordnat set (x,y,z) den dğer br koordnat set olan (u,v,w) br dönüşüm olduğunu varsayalım. Dönüşüm denklemler; x x( u, v, w), y y( u, v, w) ve z z( u, v, w) Şeklnde tanımlanırken ters dönüşüm denklemler se; şeklnde tanımlı olacaktır. u u( x, y, z), v v( x, y, z) ve w w( x, y, z) Bu dönüşüm denklemler, br koordnat yüzey set tanımlar. Koordnat yüzeylernn denklemler; u( x, y, z) c, v( x, y, z) c ve w( x, y, z) c3 olur ve burada c, c ve c3 brer sabttr. Bu yüzeyler koordnat eğrleryle kesşrler; Burada konum vektörü; olarak fade edlmektedr. Dual baz vektörlern dkkate alırsak; r u, c, c 3, r ( c, v, c 3), r (c,c,w) r = r( u, v, w) x( u, v, w) e y( u, v, w) e z( u, v, w) e 3 u, = v, 3 w fadeler, koordnat yüzeylernn kesşmlernn ortak noktaları olarak değerlendrleblr. 3,, vektör sstem, koordnat yüzeylernn normallerdr ve baz vektör sstem olarak seçleblr. ynı şeklde; = r u, = r r, 3 v w fadeler de koordnat yüzeylernn kesşmlernn ortak noktaları olarak değerlendrleblr, bu durumda se 3 (,, ) vektör sstem, baz vektör sstem olarak seçleblr, bu sstem se koordnat eğrlernn teğet vektörlerdr. Böylece normal bazlar ve teğetsel bazlar, ters bazlar setn oluşturmuş olur. 3

19 Şekl 5: Koordnat eğrler ve koordnat yüzeyler ( Kaynak: Introducton to Tensor Calculus and Contnuum Mechancs / J. H. Henbockel ) Örnek; Küresel koordnatlarda dual baz vektörler; Şekl 6: Küresel koordnatlardak br P noktasının österm 4

20 Dönüşüm denklemler; (,, ) sn cos, y y ( r,, ) r sn sn, z z( r,, ) r cos x x r r konum vektörü se; olur. Bazlar; olarak bulunur. Dğer bazlar se; r r sn cos e r sn sn e r cos e 3 r = sn cos e sn sn e cos e r 3 r = r cos cos e r cos sn e r sn e 3 r = = r sn sn e r sn cos e 0e 3 3 sn cos sn sn cos V= 3 = r cos cos r cos sn - r sn = r sn - r sn sn r sn cos 0 şeklnde determnant şlemyle V ncelğ bulunduktan sonra; e e e3 = 3 = r cos cos r cos sn r sn r sn r sn - r sn sn r sn cos 0 şlemyle bulunur; Dğer bleşenler de; = sn cos e - sn sn e cos e 3 e e e3 3 = - r sn sn r sn cos 0 r sn r sn sn cos sn sn cos = cos cos e cos sn e sn e r r r 3 e e e3 3 = sn cos sn sn cos r sn r sn r cos cos r cos sn r sn 5

21 3 sn cos = r cos e r sn e şeklnde bulunur Vektör Dönüşümü 3.4. Kontravarant Bleşenler V N vektör uzayında tanımlı br C eğrsnn parametrk denklem; C : x = x olarak verlsn. C eğrsne teğet olan vektör; t,, N T =,,..., dt dt dt N dx dx dx olarak fade edlr. İnds notasyonu le bu fade; T dx,, N dt olarak österlr. Dönüşüm denklemleryle, C eğrs, bar koordnatlarda; olarak fade edlr. Bar koordnat sstemndek teğet vektör se; N x = x x t, x t,..., x t = x t T = dx dt olarak fade edlr. Bu fade, zncr kuralı le düzenlenrse; d x d x dx d x T = = T = T dt dx dt dx şeklnde bar sstemle unbar sstem arasında dönüşüm elde edlmş olur. 6

22 Tanım: (Kontravarant Tensör) x, x,... x N sstemndek ncelğ ve N x, x,... x sstemndek sıfırdan farklı J determnantı çn; ncelğ =J w dx dx dönüşüm denklemn sağlıyorlarsa, bu ncelkler rankı veya mertebes, ağırlığı w olan, rölatf kontravarant tensörün bleşenler olarak smlendrlrler. ğer özel olarak w=0 se o halde rankı ya da mertebes olan mutlak kontravarant tensörün bleşenler olarak adlandırılırlar Kovarant Bleşenler x = x olacak şeklde skaler nvarant br ncelk alınırsa, N N x x x x, x,..., x =,,..., olarak da österleblen bu ncelk x = x şeklnde yazılablr. Zncr kuralı le; olur. x = = x x x x = x ve = x olarak österlrse dönüşüm denklem; = x şeklnde bar sstemle unbar sstem arasında dönüşüm elde edlmş olur. x 7

23 Tanım: (Kovarant Tensör) x, x,..., x N sstemndek ncelğ ve N x, x,..., x sstemndek ncelğ sıfırdan farklı J determnantı çn; w x = J x dönüşüm denklemn sağlıyorlarsa, bu ncelkler rankı veya mertebes, ağırlığı w olan, rölatf kovarant tensörün bleşenler olarak smlendrlrler. ğer özel olarak w=0 se o halde rankı ya da mertebes olan mutlak kovarant tensörün bleşenler olarak adlandırılırlar Yüksek Mertebeden Tensörler x, x,..., x N sstemndek x ncelğ ve N mn x, x,..., x sstemndek sıfırdan farklı J determnantı çn; x ncelğ, mn w x x x = J x x x dönüşüm denklemn sağlıyorlarsa, bu ncelkler, rankı veya mertebes ağırlığı w olan, rölatf kontravarant tensörün bleşenler olarak smlendrlr. ğer özel olarak w=0 se o halde rankı ya da mertebes olan mutlak kontravarant tensörün bleşenler olarak adlandırılırlar. Kovarant bleşenler se; x, x,..., x N sstemndek x ncelğ, N x, x,..., x sstemndek, mn sıfırdan farklı J determnantı çn; m n x ncelğ tanımlanarak, w x x mn x = J m n x x x 8

24 şeklndek dönüşüm denklemn sağlarlar. Bu ncelklere se rankı veya mertebes, ağırlığı w olan rölatf kovarant tensörün bleşenler olarak smlendrlr. ğer özel olarak w=0 se, rankı ya da mertebes olan mutlak kovarant tensörün bleşenler olarak adlandırılırlar. İknc mertebeden karışık tensörler çn; x, x,..., x N sstemndek x ncelğ ve N n x, x,..., x sstemndek m sıfırdan farklı J determnantı çn; x ncelğ tanımlanmış olsun. n w x x m x = J m x x x dönüşüm denklem sağlanıyorsa, bu ncelklere rankı ya da mertebes olan rölatf tensörün bleşenler adı verlr. w=0 se rankı ya da mertebes olan mutlak tensörün bleşenler adı verlr. Genel olarak yüksek mertebeden tensörler çn; ncelkler çn dönüşüm denklem; olarak tanımlanır. T n aa... a... m m b b... b x ve T n... n x w m b b bn... m x x x x x x x aa... am... n = T a a a n bb... b m n T x J x x x x x x x x 9

25 4. ÖZL TNSÖRLR Tensörlern enel özellkler ncelendkten sonra, fzksel problemlerde karşılaşılma htmal yüksek olan bazı özel tensörlere de değnmek yararlı olacaktır. 4.. Metrk Tensör N-Boyutlu kartezyen koordnat sstem çn y,,..., N tanımı yapılsın. x, x,..., x N enelleştrlmş koordnatlar olmak üzere; N y = y x, x,..., x şeklnde tanımlı olsun. Her br koordnatın türev şu şeklde belrtlr; dy m = y x m dx Dğer yandan y le y dy noktaları arasındak mesafenn kares; fadesyle österlr. Bu fade, koordnat türev şeklnde verlrse; fades elde edlr. olduğu öz önünde bulundurularak; eştlğ elde edlr. Burada m m N ds dy dy dy dy... dy ds = ds = x m m y y dx dx y x x m 0 y x m m m y y = dx dx dx dx x x m m y y fadesne, x koordnatları le tanımlanan uzayın metrğ denr. Burada x x, x koordnatlarının br fonksyonudur ve dolayısıyla Metrk tensör ve ndslerne öre smetrktr, yan; Bar koordnatlar ele alınırsa, = x, uzunluğun kares; = x olarak da yazılablr.

26 d s = d x d x olarak yazılır. Burada da, = x olarak verlr yan, fades, bar koordnatlarının br fonksyonudur. Metrk tensör elemanı temel olarak; le verlr. =,,,,3 Uzunluk elemanının kares açık halde; olarak yazılır. Burada; se uzay düz ve ortoonaldr. dx dx dx 3 dx dx 3 dx 3 3 dx 3 dx 33 dx ds = 3 3 ( ) 0 ( ) 0 se uzay düzdür ancak ortoonal değldr. Düzlemlern dk olmadan kesşmesyle oluşur. se uzay eğrsel ve ortoonaldr. se uzay eğrseldr ancak ortoonal değldr. ( ) 0 ( ) 0 Kartezyen koordnatlar çn uzunluk elemanının kares; ds dx dy dz olarak verlr. Kartezyen koordnatlar çn metrk tensör;

27 0 0 = olarak matrs formunda yazılablr. Görüldüğü üzere matrsn daonal elemanları olduğundan anlaşılır k bu uzay ortoonaldr. Matrsn dğer termlernn tamamı da 0 olduğundan anlaşılır k bu uzay düzdür. Özetleyecek olursak, metrk tensör matrsnn daonal elemanları uzayın düzlüğü, kalan dğer termler se uzayın ortoonallğ hakkında bl verr. Küresel koordnatlar çn metrk tensör yazılmak stenrse, dönüşüm denklemler; olduğuna öre konum vektörü; x x( r,, ) r sn cos y y( r,, ) r sn sn z z( r,, ) r cos r r sn cos e r sn sn e r cos e olarak yazılır. Koordnat eğrlernn teğet vektörler; olarak bulunur. 3 r = sn cos e sn sn e cos e r 3 r = r cos cos e r cos sn e - r sn e 3 r = = - r sn sn e rsn cos e 0e 3 3 olduğu öz önünde bulundurularak metrk tensör matrsnn her bleşen ayrı ayrı hesaplanırsa; ve daonal elemanlar da r r sn 33 olarak bulunur. Bu bllerle küresel koordnatlar çn metrk tensörün matrs österm;

28 0 0 0 r r sn şeklnde yapılır. 4.. Konue Metrk Tensör Ortoonal sstemler çn, ve kovarant ve kontravarant bleşenler olsun. fadesn m le çarparsak; m m elde edlr ve m olduğundan; m m m m fadesne ulaşılır. Toplama kuralı uyulanırsa; m m olduğu örülür. Sonuç olarak; m m = fades elde edlr. Ortoonal sstemler çn; 0 0 = olduğuna öre ve = olduğundan br matrssel denklem yazmak mümkündür; 0 0 a b c 0 0 burada, abc,, konue metrk tensörünün elemanlarıdır. O halde; 3

29 a b 0 = c olduğundan konue metrk tensörün elemanları; a, b, c 33 olarak bulunur. O halde konue metrk tensörün matrs formu; = 0 0 = 0 0 olarak verlr. Ortoonal kartezyen koordnat sstemler çn metrk tensör aşağıdak şeklde verldğnden; 0 0 = ve konue metrk tensörün daonal elemanları, ortoonal sstemler çn, metrk tensörün daonal elemanlarının çarpmaya öre ters olduğundan; = sonucu karşımıza çıkar. Buradan br kez daha ortoonal kartezyen koordnat sstemler çn, kovarant ve kontravarant bleşenlern aynı olduğu sonucu ortaya çıkar ssocated Tensör Br tensörün, metrk ya da konue metrk tensörle ç çarpımından oluşan tensörlerdr. Örnek olarak; veya 4

30 verleblr. Başka örnekler olarak; m Sk R m k S R m. k. k m pqrs p q rk sm T T km verleblr. İnds yerne konulan (.), o ndse öre metrk le kontrakt edldğn yan çarpım sonucu düşen nds fade eder Fzksel Bleşenler Keyf br vektörü, koordnat sstem ve baz vektörlere bağlı olarak brçok formda temsl edleblr. Kartezyen koordnat sstemnde tanımlı br vektörü; olarak österleblrken, e e e x y z 3 daha enel br koordnat sstemndek koordnat dönüşümü çn, vektörü kontravarant bleşenler cnsnden; olarak teğet bazlara öre yazılableceğ b, vektörü kovarant bleşenler cnsnden; olarak normal baz vektörlerne öre de fade edleblr. Bu k denklem, aynı vektörün, farklı formlarda östermlerdr. Bu östermlerde kullanılan baz vektörlernn ortoonal ya da brm vektör olma zorunluluğu yoktur. vektörünün fzksel bleşenler, vektörün koordnat eksenlerne olan zdüşümü le belrlenr. Bu zdüşüm, koordnat sstemnn baz vektörlernn vektörün kendsyle çarpılmasıyla elde edlr. vektörünün baz vektörü yönündek bleşen; = şeklnde bulunur. Burada brm vektör olmadığından büyüklüğe bölünmüştür. 5

31 ynı şeklde, vektörünün baz vektörü yönündek fzksel bleşen; = şeklnde bulunur. Şekl 7: Fzksel Bleşenler ( Kaynak: Introducton to Tensor Calculus and Contnuum Mechancs / J. H. Henbockel ) Şekl 7 le österlen sstemde;, ve, lşksn sağlayan poztf sabtlerdr. Ortoonal olmayan bazlar şeklden de örüldüğü b; olarak verlmştr. Ters baz vektörler; e, e e, e e e e 3 3 e 3 olarak bulunur. Keyf br vektörü olan ve e e şeklnde österlen vektörün kontravarant formda östermnn bleşenler; x y olduğu öz önünde bulundurulursa vektörün kontravarant x y ve y 6

32 olarak bulunur. vektörünün şeklndek östermnde yer alan kovarant bleşenler se; ve x x y olarak elde edlr. vektörünün ve yönlerndek fzksel bleşenler se elde edlen sonuçların bu bazların büyüklüklerne bölünmesyle; olarak elde edlr. Bu sonuçlar skaler çarpım le de; olacak şeklde elde edleblrler. x y y y Ortoonal Koordnatlarda Fzksel Bleşenler Ortoonal koordnatlarda uzunluk elemanın kares, metrk tensörün; olduğu durum çn, şeklnde fade edlr. h h ds dx dx h dx h dx h dx h 3 7

33 ğrsel ve ortoonal olan bu koordnat sstemnde tanımı yapılırsa; x eksen çn,,3 brm vektörü dx ve ds 3 0 olur. Brm vektör çn; eştlğ yazılableceğne öre; h fades elde edlr. Böylece; h olarak bulunur. vektörünün olursa; x yönündek bleşennn brm vektörüne olan zdüşümü ncelenecek h h h elde edlr. Benzer olarak x çn ve 3 x çn brm vektörler seçlrse; dx, ds Fzksel bleşenler se; 3 0 ve 3 3 dx, ds 0 3 h ve 3 h 3 olarak bulunur. Yan vektörün kontravarant termlernn fzksel bleşenler, metrk tensör matrsnn ll daonal elemanıyla (scale factor) çarpılmasıyla bulunur. Daha enel br fadeyle, mertebes olan kontravarant br tensörün fzksel bleşenler; eştlğ le belrlenr. h 8 Kovarant br tensörün fzksel bleşenlernn bulunmasında metrk tensör ve konue metrk tensör arasındak lşk kullanılablr. Ortoonal br koordnat sstem çn metrk tensör ve konue metrk tensör arasında;

34 lşks vardır. olarak verlr. eştlğ kullanılarak; olarak,,3 x yönündek kovarant bleşenler; h h, h m m h h 0 3 h () x yönündek fzksel bleşen bulunur. Benzer şeklde; h olarak dğer fzksel bleşenler de elde edlr. 3 ve 3 Yan vektörün kovarant termlernn fzksel bleşenler, metrk tensör matrsnn ll daonal elemanıyla (scale factor) bölünmesyle bulunur. Daha enel br fadeyle, mertebes olan kovarant br tensörün fzksel bleşenler; eştlğ le belrlenr. h Ortoonal br koordnat sstemnde, kontravarant ve kovarant termlern fzksel bleşenler aynıdır. Bu durum şu şeklde spat edleblr; h 3 fades şu şeklde toplama açılablr; burada çn 0 olduğuna öre; 3 3 () sonucu elde edlr. Bu eştlkten kovarant ve kontravarant fzksel bleşen fadelernn aşağıdak şeklde brbrne eşt olduğu örüleblr; 9

35 30

36 6. TNSÖRLRD TÜRV Tensörel analzn en öneml problemlernden br metrk tensörün ve onun türevlernn elde edlmesdr. Bu bölümde, tensörel türev çn erekl olan yapılar ncelenerek tensörlern türevleneblrlğyle ll bl elde edlmeye çalışılacak. Metrk tensörün türevlerne ulaşablmek çn, Chrstoffel Semboller denlen yapıyı kurmaya htyaç vardır. 6.. Chrstoffel Semboller 6... I. Tp Chrstoffel Sembolü şağıdak dönüşüm denklemn sağlayan br metrk tensör tanımlanmış olsun; x ab ve,, ncelğ dönüşüm metrğnn türev olarak aşağıdak şeklde tanımlansın;,, x a x x x Bu durumda,, ncelğ çarpımın türevnde;,, x x x x x x x x x x x x x x x x x x c a b a b a b ab c ab ab b haln alır. Bu noktada belrlenen,,,,,, kombnasyon term,,,,,, x x x sonucunu verr. Dönüşüm altında bu eştlk; ab bc ca x x x x x,,,,,, c a b ab x x x x x x x x x a b c a b halne elr. Buradak parantez çndek term I. Tp Chrstoffel sembolü olarak tanımlanır ve aşağıdak notasyonla österlr; x x x ac, b ca, b ab bc ca c a b Metrk tensörün, özellğne sahp smetrk br tensör olmasından dolayı; I. Tp Chrstoffel Sembolü, lk k terme öre smetrk olur. 3

37 6... II. Tp Chrstoffel Sembolü I. Tp Chrstoffel Sembolü çn dönüşüm denklem;, ac, b x x x x x x x x x x x a b c a b ab şeklnde verlr. I. Tp Chrstoffel Sembolünün br tensör b dönüşmesn enelleyen ab x x a b x x x term x x d de fades le çarpılırsa; a b a a a e x x x de x bd de be x e x x ab d ab ab a x x x x x x x x x x x x sonucu elde edlr. Dönüşüm denklemnn tamamı x e x x fades çeklrse; ab x x a b x x x termyle çarpılır ve elde edlen denklemden e a c x de x x x ac, d, d x x x x x de sonucuna ulaşılır. Bu denkleme temel dönüşüm olan denklem; d e de x x x x eştlğ uyulanırsa x e de x, a x c x, e ac d x x x x x halne elr ve II. Tp Chrstoffel Sembolü; k k k, k k k x x x olarak tanımlanır. II. Tp Chrstoffel Sembolü çn dönüşüm denklem; e a c e x e x x x x acx x x x olarak verlr. I. Tp Chrstoffel Sembolü çn olduğu b II. Tp Chrstoffel Sembolü de br e x tensörel ncelk b dönüşmez. Bunu enelleyen bu sefer, termdr. x x 3

38 I. ve II. Tp Chrstoffel Semboller, brbrler cnsnden fade edleblrler. Tanım olarak II. Tp Chrstoffel Sembolü halhazırda I. Tp Chrstoffel Sembolünü çeryor. Bu tanım denklem le çarpılırsa; fadesne ulaşılır. Sonuç olarak k k, k,,, k k k k k, eştlğyle I. Tp Chrstoffel Sembolü II. Tp Chrstoffel Sembolü cnsnden yazılmış olur. 6.. Kovarant Türev x x olarak verlen dönüşüm denklemne uyan, mertebes olan ve le verlen br kovarant tensör tanımlanmış olsun. Bu dönüşüm denklemnn x alınırsa; x x x x x x x x x koordnatına öre türev elde edlr. Bu eştlk II. Tp Chrstoffel Sembolü çn verlen dönüşüm denklemyle; x x x x x x x kx x x x x k şeklnde yazılablr. çn verlen dönüşüm denklem kullanılarak; x x x x x x x x x x eştlğne ulaşılır. Bu eştlk braz düzenlenrse; sonucuna ulaşılır. Bu aşamada da k k k k x x k x x k x x k ncelğnn 33 k x bleşenne öre kovarant türev tanımı;

39 x,k k k şeklnde yapılablr. Bu sonuç, kovarant br tensörün kovarant türevnn mertebes olan yen br tensör oluşturacağını österr. Oluşan bu yen tensör; le verlen dönüşüm denklemne uyar., k, x x x k x 6... Kovarant Türevn Fzksel Yorumu Genelleştrlmş koordnatları x, x, x 3 ve baz vektörler,, 3 olan br sstem ele alınmış olsun. Baz vektörlernn konumla değşyor olması matematksel olarak her br baz vektörünün koordnatların br fonksyonu olarak aşağıdak b verlmesn erektrr; r x 3,,,,3 x x x Ters bazlar da koordnatların fonksyonu olarak; şeklnde yazılablr. 3,,,,3 x x x Bu bllerle br vektörü, kontravarant bleşenler cnsnden; 3 3 olarak verlrken, kovarant bleşenler cnsnden de; 3 3 olarak österleblr. vektöründek değşm; d dx k x k şeklnde yazılablr. Vektörün k x türev kontravarant bleşenler cnsnden; x x x k k k olarak verlrken kovarant bleşenler cnsnden;. 34

40 k k k x x x şeklnde yazılır. Kovarant bleşenlern kovarant türev tanımı;, k k k k x x x olarak verlmşt. Kontravarant bleşenlern kovarant türev se; olarak tanımlanır. Baz vektörlern türevler;, k k k k x x x m k k x m ve m k k x m olarak verleblr. Bu durumda, baz vektörlernn türevler le kendlernn skaler çarpımı II. Tp Chrstoffel Sembolünü verecektr; m m m k m x k k k m m k x m k m k k Bu durumda kovarant ve kontravarant bleşenlern kovarant türev fadeler;, k, k k x k k k x eştlklerne dönüşür. Bu eştlklern. termler, koordnat eğrler boyunca tensörel alanların değşm hızını fade ederken,. termler se, koordnat eğrler boyunca yerel baz vektörlernn değşmlern temsl ederler. Bu denklemler kovarant türevn, II. Tp Chrstoffel Sembolü le lşkl fzksel yorumudur. 35

41 7. SONUÇ Bu çalışmada lk olarak bast vektörel östermn nds notasyonu yöntemyle nasıl daha bast ve sade olarak österlebleceğ ele alınmış ve tensörel analzn bleşen sayısının arttığı uzun ve karmaşık hesaplamalarında nds notasyonunun sağladığı österm kolaylığı vurulanmıştır. 3. bölümde düz uzay ve ters uzayda baz vektör tanım bağıntıları elde edldkten sonra vektör ve koordnat dönüşümlerne yer verlmştr. Br vektörün temslnde, alışıldık ortoonal koordnat sstemlernn dışına çıkıldığında vektör bleşenlernn kovarant ve kontravarant olarak farklılaştığı ve österm yöntemne bağlı olarak baz vektörlernn değşmek zorunda olduğu ayrıntısıyla ncelenmştr. Başta metrk tensör olmak üzere bazı özel tensörler ncelenmş ve metrk tensörün uzayın fzksel yapısı hakkında ne tarz bller çerdğ detaylıca şlenmştr. Kovarant ve kontravarant östermlerde vektörün fzksel bleşenlerne metrk tensör kullanılarak nasıl ulaşılableceğ österlmştr. Son bölümde, tensörlerde türev şlem kovarant türev başlığı altında araştırılmış ve bu türevlern hesaplanması çn erekl olan I. ve II. Tp Chrstoffel Semboller tanımlanmıştır. Chrstoffel Sembollernn ve kovarant türevn fzksel yorumu le çalışma sonlandırılmıştır. Bu çalışmada tensörel analz, rş düzeynde ele alınmış, kuramsal veya uyulamalı brçok alanın teork hesaplamalarında kendsne yer bulan tensörlerle ll temel br başvuru kaynağı oluşturulması amaç ednlmştr. Bu amaç doğrultusunda, kovarant ve kontravarant bleşen kavramları, metrk tensör hesaplamaları, fzksel bleşenler b başlıklara detaylıca yer verlrken km bazı karmaşık başlıklara ya yüzeysel değnlmş ya da bu çalışmada yer verlmemştr. 36

42 8. KYNKLR. Introducton to Tensor Calculus and Contnuum Mechancs, / J.H. Henbockel 996. Quck Introducton to Tensor nalyss / R.. Sharpov Vector and Tensor nalyss / utquo C. Youn Mathematcal Methods for Physcsts, Compensve Gude / Geore B. rfken, Hans J. Weber, Frank. Harrs

VEKTÖRLER VE VEKTÖREL IŞLEMLER

VEKTÖRLER VE VEKTÖREL IŞLEMLER VEKTÖRLER VE VEKTÖREL IŞLEMLER 1 2.1 Tanımlar Skaler büyüklük: Sadece şddet bulunan büyüklükler (örn: uzunluk, zaman, kütle, hacm, enerj, yoğunluk) Br harf le sembolze edleblr. (örn: kütle: m) Şddet :

Detaylı

ÇOKLU REGRESYON MODELİ, ANOVA TABLOSU, MATRİSLERLE REGRESYON ÇÖZÜMLEMESİ,REGRES-YON KATSAYILARININ YORUMU

ÇOKLU REGRESYON MODELİ, ANOVA TABLOSU, MATRİSLERLE REGRESYON ÇÖZÜMLEMESİ,REGRES-YON KATSAYILARININ YORUMU 6.07.0 ÇOKLU REGRESON MODELİ, ANOVA TABLOSU, MATRİSLERLE REGRESON ÇÖZÜMLEMESİ,REGRES-ON KATSAILARININ ORUMU ÇOKLU REGRESON MODELİ Ekonom ve şletmeclk alanlarında herhang br bağımlı değşken tek br bağımsız

Detaylı

5.3. Tekne Yüzeylerinin Matematiksel Temsili

5.3. Tekne Yüzeylerinin Matematiksel Temsili 5.3. Tekne Yüzeylernn atematksel Temsl atematksel yüzey temslnde lk öneml çalışmalar Coons (53) tarafından gerçekleştrlmştr. Ferguson yüzeylernn gelştrlmş hal olan Coons yüzeylernde tüm sınır eğrler çn

Detaylı

Sistemde kullanılan baralar, klasik anlamda üç ana grupta toplanabilir :

Sistemde kullanılan baralar, klasik anlamda üç ana grupta toplanabilir : 5 9. BÖLÜM YÜK AKIŞI (GÜÇ AKIŞI) 9.. Grş İletm sstemlernn analzlernde, bara sayısı arttıkça artan karmaşıklıkları yenmek çn sstemn matematksel modellenmesnde kolaylık getrc bazı yöntemler gelştrlmştr.

Detaylı

Sürekli Olasılık Dağılım (Birikimli- Kümülatif)Fonksiyonu. Yrd. Doç. Dr. Tijen ÖVER ÖZÇELİK

Sürekli Olasılık Dağılım (Birikimli- Kümülatif)Fonksiyonu. Yrd. Doç. Dr. Tijen ÖVER ÖZÇELİK Sürekl Olasılık Dağılım Brkml- KümülatFonksyonu Yrd. Doç. Dr. Tjen ÖVER ÖZÇELİK tover@sakarya.edu.tr Sürekl olasılık onksyonları X değşken - ;+ aralığında tanımlanmış br sürekl rassal değşken olsun. Aşağıdak

Detaylı

kadar ( i. kaynağın gölge fiyatı kadar) olmalıdır.

kadar ( i. kaynağın gölge fiyatı kadar) olmalıdır. KONU : DUAL MODELİN EKONOMİK YORUMU Br prmal-dual model lşks P : max Z cx D: mn Z bv AX b AV c X 0 V 0 bçmnde tanımlı olsun. Prmal modeln en y temel B ve buna lşkn fyat vektörü c B olsun. Z B B BB c X

Detaylı

Deney No: 2. Sıvı Seviye Kontrol Deneyi. SAKARYA ÜNİVERSİTESİ Dijital Kontrol Laboratuvar Deney Föyü Deneyin Amacı

Deney No: 2. Sıvı Seviye Kontrol Deneyi. SAKARYA ÜNİVERSİTESİ Dijital Kontrol Laboratuvar Deney Föyü Deneyin Amacı SRY ÜNİVERSİESİ Djtal ontrol Laboratuvar Deney Föyü Deney No: 2 Sıvı Sevye ontrol Deney 2.. Deneyn macı Bu deneyn amacı, doğrusal olmayan sıvı sevye sstemnn belrlenen br çalışma noktası cvarında doğrusallaştırılmış

Detaylı

bir yol oluşturmaktadır. Yine i 2 , de bir yol oluşturmaktadır. Şekil.DT.1. Temel terimlerin incelenmesi için örnek devre

bir yol oluşturmaktadır. Yine i 2 , de bir yol oluşturmaktadır. Şekil.DT.1. Temel terimlerin incelenmesi için örnek devre Devre Analz Teknkler DEE AAĐZ TEKĐKEĐ Bu zamana kadar kullandığımız Krchoffun kanunları ve Ohm kanunu devre problemlern çözmek çn gerekl ve yeterl olan eştlkler sağladılar. Fakat bu kanunları kullanarak

Detaylı

uzayında vektörler olarak iç çarpımlarına eşittir. Bu iç çarpım simetrik ve hem w I T s formuna karşılık gelir. Buna p u v u v v v

uzayında vektörler olarak iç çarpımlarına eşittir. Bu iç çarpım simetrik ve hem w I T s formuna karşılık gelir. Buna p u v u v v v 1. Temel Form: Brnc temel form geometrk olarak yüzeyn çnde blndğ zayına gtmeden yüzey üzernde ölçme yamamızı sağlar. (Eğrlern znlğ, teğet ektörlern açıları, bölgelern alanları gb) S üzerndek ç çarım, br

Detaylı

Adi Diferansiyel Denklemler NÜMERİK ANALİZ. Adi Diferansiyel Denklemler. Adi Diferansiyel Denklemler

Adi Diferansiyel Denklemler NÜMERİK ANALİZ. Adi Diferansiyel Denklemler. Adi Diferansiyel Denklemler 6.4.7 NÜMERİK ANALİZ Yrd. Doç. Dr. Hatce ÇITAKOĞLU 6 Müendslk sstemlernn analznde ve ugulamalı dsplnlerde türev çeren dferansel denklemlern analtk çözümü büük öneme saptr. Sınır değer ve/vea başlangıç

Detaylı

dir. Bir başka deyişle bir olayın olasılığı, uygun sonuçların sayısının örnek uzaydaki tüm sonuçların sayısına oranıdır.

dir. Bir başka deyişle bir olayın olasılığı, uygun sonuçların sayısının örnek uzaydaki tüm sonuçların sayısına oranıdır. BÖLÜM 3 OLASILIK HESABI 3.. Br Olayın Olasılığı Tanım 3... Br olayın brbrnden ayrık ve ortaya çıkma şansı eşt n mümkün sonucundan m tanes br A olayına uygun se, A olayının P(A) le gösterlen olasılığı P(A)

Detaylı

BÖLÜM 5 İKİ VEYA DAHA YÜKSEK BOYUTLU RASGELE DEĞİŞKENLER İki Boyutlu Rasgele Değişkenler

BÖLÜM 5 İKİ VEYA DAHA YÜKSEK BOYUTLU RASGELE DEĞİŞKENLER İki Boyutlu Rasgele Değişkenler BÖLÜM 5 İKİ VEYA DAHA YÜKSEK BOYUTLU RASGELE DEĞİŞKENLER 5.. İk Boyutlu Rasgele Değşkenler Br deney yapıldığında, aynı deneyle lgl brçok rasgele değşkenn aynı andak durumunu düşünmek gerekeblr. Böyle durumlarda

Detaylı

Sıklık Tabloları ve Tek Değişkenli Grafikler

Sıklık Tabloları ve Tek Değişkenli Grafikler Sıklık Tabloları ve Tek Değşkenl Grafkler Sıklık Tablosu Ver dzsnde yer alan değerlern tekrarlama sayılarını çeren tabloya sıklık tablosu denr. Sıklık Tabloları tek değşken çn marjnal tablo olarak adlandırılır.

Detaylı

Standart Model (SM) Lagrange Yoğunluğu. u, d, c, s, t, b. e,, Şimdilik nötrinoları kütlesiz Kabul edeceğiz. Kuark çiftlerini gösterelim.

Standart Model (SM) Lagrange Yoğunluğu. u, d, c, s, t, b. e,, Şimdilik nötrinoları kütlesiz Kabul edeceğiz. Kuark çiftlerini gösterelim. SM de yer alacak fermyonlar Standart Model (SM) agrange Yoğunluğu u s t d c b u, d, c, s, t, b e e e,, Şmdlk nötrnoları kütlesz Kabul edeceğz. Kuark çftlern gösterelm. u, c ve t y u (=1,,) olarak gösterelm.

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri   Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açık Ders Malzemeler http://ocm.mt.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında blg almak çn http://ocm.mt.edu/terms veya http://tuba.açık ders.org.tr adresn zyaret ednz. 18.102

Detaylı

4.5. SOĞUTMA KULELERİNİN BOYUTLANDIRILMASI İÇİN BİR ANALIZ

4.5. SOĞUTMA KULELERİNİN BOYUTLANDIRILMASI İÇİN BİR ANALIZ Ünsal M.; Varol, A.: Soğutma Kulelernn Boyutlandırılması İçn Br Kuramsal 8 Mayıs 990, S: 8-85, Adana 4.5. SOĞUTMA KULELERİNİN BOYUTLANDIRILMASI İÇİN BİR ANALIZ Asaf Varol Fırat Ünverstes, Teknk Eğtm Fakültes,

Detaylı

6. NORMAL ALT GRUPLAR

6. NORMAL ALT GRUPLAR 6. ORMAL ALT GRUPLAR G br grup ve olsun. 5. Bölümden çn eştlğnn her zaman doğru olamayacağını blyoruz. Fakat bu özellğ sağlayan gruplar, grup teorsnde öneml rol oynamaktadır. Bu bölümde bu tür grupları

Detaylı

KARMAŞIK SAYILAR. Derse giriş için tıklayın...

KARMAŞIK SAYILAR. Derse giriş için tıklayın... KARMAŞIK SAYILAR Derse grş çn tıklayın A Tanım B nn Kuvvetler C İk Karmaşık Sayının Eştlğ D Br Karmaşık Sayının Eşlenğ E Karmaşık Sayılarda Dört İşlem Toplama - Çıkarma Çarpma Bölme F Karmaşık Dülem ve

Detaylı

( ) 3.1 Özet ve Motivasyon. v = G v v Operasyonel Amplifikatör (Op-Amp) Deneyin Amacı. deney 3

( ) 3.1 Özet ve Motivasyon. v = G v v Operasyonel Amplifikatör (Op-Amp) Deneyin Amacı. deney 3 Yıldız Teknk Ünverstes Elektrk Mühendslğ Bölümü Deneyn Amacı İşlemsel kuvvetlendrcnn çalışma prensbnn anlaşılması le çeştl OP AMP devrelernn uygulanması ve ncelenmes. Özet ve Motvasyon.. Operasyonel Amplfkatör

Detaylı

ALTERNATİF AKIM DEVRE YÖNTEM VE TEOREMLER İLE ÇÖZÜMÜ

ALTERNATİF AKIM DEVRE YÖNTEM VE TEOREMLER İLE ÇÖZÜMÜ BÖLÜM 6 ALTERNATİF AKIM DEVRE ÖNTEM VE TEOREMLER İLE ÇÖZÜMÜ 6. ÇEVRE AKIMLAR ÖNTEMİ 6. SÜPERPOZİSON TEOREMİ 6. DÜĞÜM GERİLİMLER ÖNTEMİ 6.4 THEVENİN TEOREMİ 6.5 NORTON TEOREMİ Tpak GİRİŞ Alternatf akımın

Detaylı

Korelasyon ve Regresyon

Korelasyon ve Regresyon Korelasyon ve Regresyon 1 Korelasyon Analz İk değşken arasında lşk olup olmadığını belrlemek çn yapılan analze korelasyon analz denr. Korelasyon; doğrusal yada doğrusal olmayan dye kye ayrılır. Korelasyon

Detaylı

HAFTA 13. kadın profesörlerin ortalama maaşı E( Y D 1) erkek profesörlerin ortalama maaşı. Kestirim denklemi D : t :

HAFTA 13. kadın profesörlerin ortalama maaşı E( Y D 1) erkek profesörlerin ortalama maaşı. Kestirim denklemi D : t : HAFTA 13 GÖLGE EĞİŞKENLERLE REGRESYON (UMMY VARIABLES) Gölge veya kukla (dummy) değşkenler denen ntel değşkenler, cnsyet, dn, ten reng gb hemen sayısallaştırılamayan ama açıklanan değşkenn davranışını

Detaylı

ENERJİ. Isı Enerjisi. Genel Enerji Denklemi. Yrd. Doç. Dr. Atilla EVCİN Afyon Kocatepe Üniversitesi 2007

ENERJİ. Isı Enerjisi. Genel Enerji Denklemi. Yrd. Doç. Dr. Atilla EVCİN Afyon Kocatepe Üniversitesi 2007 Yrd. Doç. Dr. Atlla EVİN Afyon Kocatepe Ünverstes 007 ENERJİ Maddenn fzksel ve kmyasal hal değşm m le brlkte dama enerj değşm m de söz s z konusudur. Enerj değşmler mler lke olarak Termodnamğn Brnc Yasasına

Detaylı

JFM316 Elektrik Yöntemler ( Doğru Akım Özdirenç Yöntemi)

JFM316 Elektrik Yöntemler ( Doğru Akım Özdirenç Yöntemi) JFM316 Elektrk Yöntemler ( Doğru Akım Özdrenç Yöntem) yeryüzünde oluşturacağı gerlm değerler hesaplanablr. Daha sonra aşağıdak formül kullanılarak görünür özdrenç hesaplanır. a K I K 2 1 1 1 1 AM BM AN

Detaylı

Doğrusal Korelasyon ve Regresyon

Doğrusal Korelasyon ve Regresyon Doğrusal Korelasyon ve Regresyon En az k değşken arasındak lşknn ncelenmesne korelasyon denr. Kşlern boyları le ağırlıkları, gelr le gder, öğrenclern çalıştıkları süre le aldıkları not, tarlaya atılan

Detaylı

04.10.2012 SU İHTİYAÇLARININ BELİRLENMESİ. Suİhtiyacı. Proje Süresi. Birim Su Sarfiyatı. Proje Süresi Sonundaki Nüfus

04.10.2012 SU İHTİYAÇLARININ BELİRLENMESİ. Suİhtiyacı. Proje Süresi. Birim Su Sarfiyatı. Proje Süresi Sonundaki Nüfus SU İHTİYAÇLARII BELİRLEMESİ Suİhtyacı Proje Süres Brm Su Sarfyatı Proje Süres Sonundak üfus Su ayrım çzs İsale Hattı Su Tasfye Tess Terf Merkez, Pompa İstasyonu Baraj Gölü (Hazne) Kaptaj Su Alma Yapısı

Detaylı

YAYILI YÜK İLE YÜKLENMİŞ YAPI KİRİŞLERİNDE GÖÇME YÜKÜ HESABI. Perihan (Karakulak) EFE

YAYILI YÜK İLE YÜKLENMİŞ YAPI KİRİŞLERİNDE GÖÇME YÜKÜ HESABI. Perihan (Karakulak) EFE BAÜ Fen Bl. Enst. Dergs (6).8. YAYII YÜK İE YÜKENİŞ YAPI KİRİŞERİNDE GÖÇE YÜKÜ HESABI Perhan (Karakulak) EFE Balıkesr Ünverstes ühendslk marlık Fakültes İnşaat üh. Bölümü Balıkesr, TÜRKİYE ÖZET Yapılar

Detaylı

SAYISAL ANALİZ. Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ. Sayısal Analiz. Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ

SAYISAL ANALİZ. Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ. Sayısal Analiz. Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ SAYISAL ANALİZ Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ Sayısal Analz SAYISAL ANALİZ SAYISAL TÜREV Numercal Derentaton Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ Sayısal Analz İÇİNDEKİLER Sayısal Türev Ger Farklar

Detaylı

Akköse, Ateş, Adanur. Matris Yöntemleri ile dış etkilerden meydana gelen uç kuvvetlerinin ve uç yerdeğiştirmelerinin belirlenmesinde;

Akköse, Ateş, Adanur. Matris Yöntemleri ile dış etkilerden meydana gelen uç kuvvetlerinin ve uç yerdeğiştirmelerinin belirlenmesinde; MATRİS ÖNTEMER 1. GİRİŞ Matrs öntemler; gerçek sürekl apının erne, matrs bçmnde ade edleblen blnen atalet (elemslk) ve elastklk öellklerne sahp sonl büüklüktek apısal elemanlardan olşan matematksel br

Detaylı

VEKTÖRLER Koordinat Sistemleri. KONULAR: Koordinat sistemleri Vektör ve skaler nicelikler Bir vektörün bileşenleri Birim vektörler

VEKTÖRLER Koordinat Sistemleri. KONULAR: Koordinat sistemleri Vektör ve skaler nicelikler Bir vektörün bileşenleri Birim vektörler 11.10.011 VEKTÖRLER KONULR: Koordnat ssteler Vektör ve skaler ncelkler r vektörün bleşenler r vektörler Koordnat Ssteler Karteen (dk koordnatlar: r noktaı tesl etenn en ugun olduğu koordnat ssten kullanırı.

Detaylı

HİPERSTATİK SİSTEMLER

HİPERSTATİK SİSTEMLER HİPERSTATİK SİSTELER Tanım: Bütün kest zorlarını ve bunlara bağlı olarak şekl değştrmelern ve yer değştrmelern hesabı çn denge denklemlernn yeterl olmadığı sstemlere Hperstatk Sstemler denr. Hperstatk

Detaylı

PARÇALI DOĞRUSAL REGRESYON

PARÇALI DOĞRUSAL REGRESYON HAFTA 4 PARÇALI DOĞRUSAL REGRESYO Gölge değşkenn br başka kullanımını açıklamak çn varsayımsal br şrketn satış temslclerne nasıl ödeme yaptığı ele alınsın. Satış prmleryle satış hacm Arasındak varsayımsal

Detaylı

MOD SÜPERPOZİSYONU İLE ZAMAN TANIM ALANINDA ÇÖZÜM

MOD SÜPERPOZİSYONU İLE ZAMAN TANIM ALANINDA ÇÖZÜM Nur ÖZHENEKCİ O SÜPERPOZİSYONU İLE ZAAN ANI ALANINA ÇÖZÜ Aşağıda açılanaca olan ortogonall özelllernn sağlandığı yapılar çn, zaman tanım alanında çözüm, her mod çn ayrı ayrı yapılıp daha sonra bu modal

Detaylı

2.7 Bezier eğrileri, B-spline eğrileri

2.7 Bezier eğrileri, B-spline eğrileri .7 Bezer eğrler, B-splne eğrler Bezer eğrler ve B-splne eğrler blgsaar grafklernde ve Blgsaar Destekl Tasarım (CAD) ugulamalarında çok kullanılmaktadır.. B-splne eğrler sadece br grup ver noktası çn tanımlanan

Detaylı

değerine bu matrisin bir girdisi(elemanı,bileşeni) denir. Bir sütundan (satırdan) oluşan bir matrise bir sütun (satır) matrisi denir.

değerine bu matrisin bir girdisi(elemanı,bileşeni) denir. Bir sütundan (satırdan) oluşan bir matrise bir sütun (satır) matrisi denir. Bölüm 2 Matrsler aım 2.1 F br csm, m, brer doğal sayı olsu. a F ( 1,.., m; j 1,..., ) olmak üzere, a11... a1 fadese m satır sütuda oluşa (veya m tpde) br F matrs der. am 1... a m Böyle br matrs daha sade

Detaylı

DEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ FEN ve MÜHENDİSLİK DERGİSİ Cilt: 7 Sayı: 1 s. 1-17 Ocak 2005

DEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ FEN ve MÜHENDİSLİK DERGİSİ Cilt: 7 Sayı: 1 s. 1-17 Ocak 2005 DEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLESİ FEN ve MÜHENDİSLİK DERGİSİ Clt: 7 Sayı: 1 s. 1-17 Ocak 25 DEPREM EKİSİ ALINDA YAPILARDA OLUŞAN ABAN KESME KUVVELERİNİN KIYASLANMASI (COMPARISON OF BASE SHEAR FORCES A BUILDINGS

Detaylı

X, R, p, np, c, u ve diğer kontrol diyagramları istatistiksel kalite kontrol diyagramlarının

X, R, p, np, c, u ve diğer kontrol diyagramları istatistiksel kalite kontrol diyagramlarının 1 DİĞER ÖZEL İSTATİSTİKSEL KALİTE KONTROL DİYAGRAMLARI X, R, p, np, c, u ve dğer kontrol dyagramları statstksel kalte kontrol dyagramlarının temel teknkler olup en çok kullanılanlarıdır. Bu teknkler ell

Detaylı

Merkezi Eğilim (Yer) Ölçüleri

Merkezi Eğilim (Yer) Ölçüleri Merkez Eğlm (Yer) Ölçüler Ver setn tanımlamak üzere kullanılan ve genellkle tüm elemanları dkkate alarak ver setn özetlemek çn kullanılan ölçülerdr. Ver setndek tüm elemanları temsl edeblecek merkez noktasına

Detaylı

Makine Öğrenmesi 10. hafta

Makine Öğrenmesi 10. hafta Makne Öğrenmes 0. hafta Lagrange Optmzasonu Destek Vektör Maknes (SVM) Karesel (Quadratc) Programlama Optmzason Blmsel term olarak dlmze geçmş olsa da bazen en leme termle karşılık bulur. Matematktek en

Detaylı

DENEY 4: SERİ VE PARALEL DEVRELER,VOLTAJ VE AKIM BÖLÜCÜ KURALLARI, KIRCHOFF KANUNLARI

DENEY 4: SERİ VE PARALEL DEVRELER,VOLTAJ VE AKIM BÖLÜCÜ KURALLARI, KIRCHOFF KANUNLARI A. DNYİN AMACI : Bast ser ve bast paralel drenç devrelern analz edp kavramak. Voltaj ve akım bölücü kurallarını kavramak. Krchoff kanunlarını deneysel olarak uygulamak. B. KULLANILACAK AAÇ V MALZML : 1.

Detaylı

AĞIRLIKLI KALANLAR YÖNTEMİ VE BAZI UYGULAMALARI

AĞIRLIKLI KALANLAR YÖNTEMİ VE BAZI UYGULAMALARI AĞIRLIKLI KALALAR YÖTEMİ VE BAZI UYGULAMALARI Pamukkale Ünverstes Fen Blmler Ensttüsü Yüksek Lsans Tez Matematk Anablm Dalı Mukaddes ÖKTE Danışman: Doç. Dr. Uğur YÜCEL Temmuz DEİZLİ TEŞEKKÜR Bu çalışmanın

Detaylı

II.1 KUVVETLER -VEKTÖRLER-SISTEM

II.1 KUVVETLER -VEKTÖRLER-SISTEM II. KUVVETLE -VEKTÖLE-SISTEMİ: Brden fazla kuvvet ya da vektörden meydana gelmş br sstemdr. Bz bu sstemden bahsederken vektörler sstem yerne kuvvetler sstem dye bahsedeceğz. Br kuvvetler sstemn belrleyen

Detaylı

ENDÜSTRİNİN DEĞİŞİK İŞ KOLLARINDA İHTİYAÇ DUYULAN ELEMANLARIN YÜKSEK TEKNİK EĞİTİM MEZUNLARINDAN SAĞLANMASINDAKİ BEKLENTİLERİN SINANMASI

ENDÜSTRİNİN DEĞİŞİK İŞ KOLLARINDA İHTİYAÇ DUYULAN ELEMANLARIN YÜKSEK TEKNİK EĞİTİM MEZUNLARINDAN SAĞLANMASINDAKİ BEKLENTİLERİN SINANMASI V. Ulusal Üretm Araştırmaları Sempozyumu, İstanbul Tcaret Ünverstes, 5-7 Kasım 5 ENDÜSTRİNİN DEĞİŞİK İŞ KOLLARINDA İHTİYAÇ DUYULAN ELEMANLARIN YÜKSEK TEKNİK EĞİTİM MEZUNLARINDAN SAĞLANMASINDAKİ BEKLENTİLERİN

Detaylı

DEFORMASYONLARIN MODELLENMESİ. Levent TAŞÇI 1 ltasci@firat.edu.tr

DEFORMASYONLARIN MODELLENMESİ. Levent TAŞÇI 1 ltasci@firat.edu.tr DFORMSYOLRI MODLLMSİ Levent TŞÇI 1 ltasc@frat.edu.tr Öz: Deformasyonların belrleneblmes çn farklı çalışma grupları tarafından ortaya konulmuş farklı yaklaşımlar söz konusudur. Deformasyon analznde, bloklar

Detaylı

UYUM ĐYĐLĐĞĐ TESTĐ. 2 -n olup. nin dağılımı χ dir ve sd = (k-1-p) dir. Burada k = sınıf sayısı, p = tahmin edilen parametre sayısıdır.

UYUM ĐYĐLĐĞĐ TESTĐ. 2 -n olup. nin dağılımı χ dir ve sd = (k-1-p) dir. Burada k = sınıf sayısı, p = tahmin edilen parametre sayısıdır. UYUM ĐYĐLĐĞĐ TESTĐ Posson: H o: Ver Posson dağılıma sahp br ktleden gelmektedr. H a : Ver Posson dağılıma sahp br ktleden gelmemektedr. Böyle br hpotez test edeblmek çn, önce Posson dağılım parametres

Detaylı

Rasgele Değişken Üretme Teknikleri

Rasgele Değişken Üretme Teknikleri Rasgele Değşken Üretme Teknkler Amaç Smülasyon modelnn grdlern oluşturacak örneklern üretlmes Yaygın olarak kullanılan ayrık veya sürekl dağılımların örneklenmes sürecn anlamak Yaygın olarak kullanılan

Detaylı

Cebir Notları. Karmaşık Sayılar Testi z = 1 2i karmaşık sayısının çarpmaya göre tersinin eşleniğinin sanal kısmı kaçtır?

Cebir Notları. Karmaşık Sayılar Testi z = 1 2i karmaşık sayısının çarpmaya göre tersinin eşleniğinin sanal kısmı kaçtır? Cebr Ntları Karmaşık Sayılar Test. + se Re() + Im()?. ( x y) + + ( x+ y ) se x + y tplamı kaçtır?. x + y ( x ) ve se y kaçtır?. ve se y x kaçtır?. sayısı kaça eşttr?. sayısı kaça eşttr? 7. x+ + ( y ) y

Detaylı

TEMEL DEVRE KAVRAMLARI VE KANUNLARI

TEMEL DEVRE KAVRAMLARI VE KANUNLARI TDK Temel Devre Kavramları ve Kanunları /0 TEMEL DEVRE KAVRAMLARI VE KANUNLARI GĐRĐŞ: Devre analz gerçek hayatta var olan fzksel elemanların matematksel olarak modellenerek gerçekte olması gereken sonuçların

Detaylı

Kİ-KARE TESTLERİ. şeklinde karesi alındığında, Z i. değerlerinin dağılımı ki-kare dağılımına dönüşür.

Kİ-KARE TESTLERİ. şeklinde karesi alındığında, Z i. değerlerinin dağılımı ki-kare dağılımına dönüşür. Kİ-KARE TESTLERİ A) Kİ-KARE DAĞILIMI VE ÖZELLİKLERİ Örnekleme yoluyla elde edlen rakamların, anakütle rakamlarına uygun olup olmadığı; br başka fadeyle gözlenen değerlern teork( beklenen) değerlere uygunluk

Detaylı

Bağımsız Model Blok Dengeleme için Model Oluşturma ve Ön Sayısal Bilgi İşlemleri

Bağımsız Model Blok Dengeleme için Model Oluşturma ve Ön Sayısal Bilgi İşlemleri Bağımsız Model Blok Dengeleme çn Model Oluşturma ve Ön Sayısal Blg İşlemler Emnnur AYHAN* 1. Grş Fotogrametrk nreng çeştl ölçütlere göre sınıflandırılablr. Bu ölçütler dengelemede kullanılan brm, ver toplamada

Detaylı

Aktif Manyetik Yatak Elektriksel Dinamik Modeli

Aktif Manyetik Yatak Elektriksel Dinamik Modeli Aktf Manyetk Yatak Elektrksel Dnamk Model Kutlay Aydın Mehmet Tmur Aydemr TUSAŞ Türk Haacılık e Uzay Sanay, Ankara Elektrk-Elektronk Mühendslğ Bölümü, Gaz Ünerstes, Ankara e-posta: kaydn@ta.com.tr Özetçe

Detaylı

11. z = 1 2i karmaşık sayısının çarpmaya göre tersinin eşleniğinin sanal kısmı kaçtır? 14. eşitliğini sağlayan z karmaşık sayısı kaçtır? 15.

11. z = 1 2i karmaşık sayısının çarpmaya göre tersinin eşleniğinin sanal kısmı kaçtır? 14. eşitliğini sağlayan z karmaşık sayısı kaçtır? 15. GD. + se Re() + Im()? www.gkhandemr.rg, 007 Cebr Ntları Gökhan DEMĐR, gdemr@yah.cm.tr Karmaşık sayılar 9. + + sayısı kaça eşttr? 7 890. ( x y) + + ( x + y) se x + y tplamı kaçtır?. x + y ( x) ve se y kaçtır?.

Detaylı

SAYISAL ÇÖZÜMLEME. Sayısal Çözümleme

SAYISAL ÇÖZÜMLEME. Sayısal Çözümleme SAYISAL ÇÖZÜMLEME Syısl Çözümleme SAYISAL ÇÖZÜMLEME 7. Hft LİNEER DENKLEM SİSTEMLERİ (Devm) Syısl Çözümleme İÇİNDEKİLER Doğrusl Denklem Sstemlernn Çözümü İtertf Yöntemler Jcob Yöntem Guss-Sedel Yöntem

Detaylı

GRUPLARDA VE YARIGRUPLARDA ETKİNLİK(EFFICIENCY) The Efficiency Of Groups And Semigroups *

GRUPLARDA VE YARIGRUPLARDA ETKİNLİK(EFFICIENCY) The Efficiency Of Groups And Semigroups * GRUPLARDA VE YARIGRUPLARDA ETKİNLİK(EFFICIENCY The Effcency Of Groups And Semgroups * Özer CAN Matematk Ana Blm Dalı Blal VATANSEVER Matematk Ana Blm Dalı ÖZET Bu çalışmada öncelkle gruplarda, yarıgruplarda,

Detaylı

Kİ-KARE TESTLERİ A) Kİ-KARE DAĞILIMI VE ÖZELLİKLERİ

Kİ-KARE TESTLERİ A) Kİ-KARE DAĞILIMI VE ÖZELLİKLERİ Kİ-KAR TSTLRİ A) Kİ-KAR DAĞILIMI V ÖZLLİKLRİ Örnekleme yoluyla elde edlen rakamların, anakütle rakamlarına uygun olup olmadığı; br başka fadeyle gözlenen değerlern teork( beklenen) değerlere uygunluk gösterp

Detaylı

YER ÖLÇÜLERİ. Yer ölçüleri, verilerin merkezini veya yığılma noktasını belirleyen istatistiklerdir.

YER ÖLÇÜLERİ. Yer ölçüleri, verilerin merkezini veya yığılma noktasını belirleyen istatistiklerdir. YER ÖLÇÜLERİ Yer ölçüler, verler merkez veya yığılma oktasıı belrleye statstklerdr. Grafkler bze verler yığılma oktaları hakkıda ö blg vermede yardımcı olurlar. Acak bu değerler gerçek değerler değldr,

Detaylı

Deprem Tepkisinin Sayısal Metotlar ile Değerlendirilmesi (Newmark-Beta Metodu) Deprem Mühendisliğine Giriş Dersi Doç. Dr.

Deprem Tepkisinin Sayısal Metotlar ile Değerlendirilmesi (Newmark-Beta Metodu) Deprem Mühendisliğine Giriş Dersi Doç. Dr. Deprem Tepksnn Sayısal Metotlar le Değerlendrlmes (Newmark-Beta Metodu) Sunum Anahat Grş Sayısal Metotlar Motvasyon Tahrk Fonksyonunun Parçalı Lneer Interpolasyonu (Pecewse Lnear Interpolaton of Exctaton

Detaylı

TÜRKİYE DEKİ 380 kv LUK 14 BARALI GÜÇ SİSTEMİNDE EKONOMİK YÜKLENME ANALİZİ

TÜRKİYE DEKİ 380 kv LUK 14 BARALI GÜÇ SİSTEMİNDE EKONOMİK YÜKLENME ANALİZİ TÜRİYE DEİ 38 kv LU 4 BARALI GÜÇ SİSTEMİDE EOOMİ YÜLEME AALİZİ Mehmet URBA Ümmühan BAŞARA 2,2 Elektrk-Elektronk Mühendslğ Bölümü Mühendslk-Mmarlık Fakültes Anadolu Ünverstes İk Eylül ampüsü, 2647, ESİŞEHİR

Detaylı

Asimetri ve Basıklık Ölçüleri Ortalamalara dayanan (Pearson) Kartillere dayanan (Bowley) Momentlere dayanan asimetri ve basıklık ölçüleri

Asimetri ve Basıklık Ölçüleri Ortalamalara dayanan (Pearson) Kartillere dayanan (Bowley) Momentlere dayanan asimetri ve basıklık ölçüleri Asmetr ve Basıklık Ölçüler Ortalamalara dayanan (Pearson) Kartllere dayanan (Bowley) omentlere dayanan asmetr ve basıklık ölçüler Yrd. Doç. Dr. Tjen ÖVER ÖZÇELİK tover@sakarya.edu.tr III. Asmetr ve Basıklık

Detaylı

RANKI İKİ OLAN SERBEST METABELYEN LİE CEBİRLERİ İÇİN BİR KOMUTATÖR TESTİ

RANKI İKİ OLAN SERBEST METABELYEN LİE CEBİRLERİ İÇİN BİR KOMUTATÖR TESTİ ANKI İKİ OLAN SEBEST METABELYEN LİE CEBİLEİ İÇİN Bİ KOMUTATÖ TESTİ Zerrn ESMELİGİL Çukurova Ünverstes, Matematk Bölümü, Adana, 033386084-45, 033386070, e-zerrn@cu.edu.tr ÖZET. Bu çalışmada rankı k olan

Detaylı

ÖRNEK SET 5 - MBM 211 Malzeme Termodinamiği I

ÖRNEK SET 5 - MBM 211 Malzeme Termodinamiği I ÖRNE SE 5 - MBM Malzeme ermdnamğ I 5 ºC de ve sabt basınç altında, metan gazının su buharı le reaksynunun standart Gbbs serbest enerjs değşmn hesaplayın. Çözüm C O( ( ( G S S S g 98 98 98 98 98 98 98 Madde

Detaylı

Calculating the Index of Refraction of Air

Calculating the Index of Refraction of Air Ankara Unversty Faculty o Engneerng Optcs Lab IV Sprng 2009 Calculatng the Index o Reracton o Ar Lab Group: 1 Teoman Soygül Snan Tarakçı Seval Cbcel Muhammed Karakaya March 3, 2009 Havanın Kırılma Đndsnn

Detaylı

Açık Poligon Dizisinde Koordinat Hesabı

Açık Poligon Dizisinde Koordinat Hesabı Açık Polon Dzsnde Koordnat Hesabı Problem ve numaralı noktalar arasında açılacak tüneln doğrultusunu belrlemek amacıyla,,3,4, noktalarını çeren açık polon dzs tess edlmş ve şu ölçme değerler elde edlmştr.

Detaylı

FLYBACK DÖNÜŞTÜRÜCÜ TASARIMI VE ANALİZİ

FLYBACK DÖNÜŞTÜRÜCÜ TASARIMI VE ANALİZİ FLYBACK DÖNÜŞTÜRÜCÜ TASARIMI VE ANALİZİ 1 Nasır Çoruh, Tarık Erfdan, 3 Satılmış Ürgün, 4 Semra Öztürk 1,,4 Kocael Ünverstes Elektrk Mühendslğ Bölümü 3 Kocael Ünverstes Svl Havacılık Yüksekokulu ncoruh@kocael.edu.tr,

Detaylı

ITAP Fizik Olimpiyat Okulu

ITAP Fizik Olimpiyat Okulu Eylül Deneme Sınavı (Prof.Dr.Ventsslav Dmtrov) Konu: Elektrk Devrelernde İndüktans Soru. Şekldek gösterlen devrede lk anda K ve K anahtarları açıktır. K anahtarı kapatılıyor ve kondansatörün gerlm U ε/

Detaylı

RİJİT CİSİMLERİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ

RİJİT CİSİMLERİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ RİJİT CİSİMLERİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ Rjt csmn knetğ, csme etk eden kuvvetler le csmn şekl, kütles ve bu kuvvetlern yarattığı hareket arasındak bağıntıları nceler. Parçacığın knetğ konusunda csm yalnızca

Detaylı

MİNİMAL SİSTEMLERDE DURUM GERİBESLEMESİ İLE KUTUP ATAMA PROBLEMİNİN NÜMERİK ANALİZİ

MİNİMAL SİSTEMLERDE DURUM GERİBESLEMESİ İLE KUTUP ATAMA PROBLEMİNİN NÜMERİK ANALİZİ MİNİMAL SİSTEMLERDE DURUM GERİBESLEMESİ İLE KUTUP ATAMA PROBLEMİNİN NÜMERİK ANALİZİ Erkam Murat BOZKURT Mehmet Turan SÖYLEMEZ Kontrol ve Otomasyon Mühendslğ Bölümü, Elektrk-Elektronk Fakültes, İstanbul

Detaylı

A İSTATİSTİK. 4. X kesikli rasgele (random) değişkenin moment çıkaran. C) 4 9 Buna göre, X in beklenen değeri kaçtır?

A İSTATİSTİK. 4. X kesikli rasgele (random) değişkenin moment çıkaran. C) 4 9 Buna göre, X in beklenen değeri kaçtır? . Br torbada 6 syah, 4 beyaz top vardır. Bu torbadan yerne koyarak top seçlyor. A İSTATİSTİK KPSS/-AB-PÖ/006. Normal dağılıma sahp br rasgele (random) değşkenn varyansı 00 dür. Seçlen topların ksnn de

Detaylı

KOCAELİ ÜNİVERSİTESİ Mühendislik Fakültesi Makina Mühendisliği Bölümü Mukavemet I Vize Sınavı (2A)

KOCAELİ ÜNİVERSİTESİ Mühendislik Fakültesi Makina Mühendisliği Bölümü Mukavemet I Vize Sınavı (2A) KOCELİ ÜNİVERSİTESİ Mühendslk akültes Makna Mühendslğ Bölümü Mukavemet I Vze Sınavı () dı Soyadı : 18 Kasım 013 Sınıfı : No : SORU 1: Şeklde verlen levhalar aralarında açısı 10 o la 0 o arasında olacak

Detaylı

Kİ KARE ANALİZİ. Doç. Dr. Mehmet AKSARAYLI Ki-Kare Analizleri

Kİ KARE ANALİZİ. Doç. Dr. Mehmet AKSARAYLI  Ki-Kare Analizleri Kİ KAR ANALİZİ 1 Doç. Dr. Mehmet AKSARAYLI www.mehmetaksarayl K-Kare Analzler OLAY 1: Genelde br statstk sınıfında, öğrenclern %60 ının devamlı, %30 unun bazen, %10 unun se çok az derse geldkler düşünülmektedr.

Detaylı

FEN VE MÜHENDİSLİKTE MATEMATİK METOTLAR 9. KİTAP UZAY ZAMAN SİMETRİLERİ

FEN VE MÜHENDİSLİKTE MATEMATİK METOTLAR 9. KİTAP UZAY ZAMAN SİMETRİLERİ 60 FEN VE MÜHENDİSLİKTE MATEMATİK METOTLAR 9. KİTAP UZAY ZAMAN SİMETRİLERİ 6 İÇİNDEKİLER SEMBOLLER VE İŞLEMLER LİSTESİ I. DİFERANSİYEL OPERATÖR ( DO ) TEMSİLLERİ A) Öteleme Jeneratörler B) Dönme Jeneratörler

Detaylı

ÖZET Yüksek Lsans Tez KUANTUM KANONİK DÖNÜŞÜMLER Şeyda ERAZ Ankara Ünverstes Fen Blmler Ensttüsü Fzk Anablm Dalı Danışman: Doç. Dr. Adnan TEĞMEN Bu te

ÖZET Yüksek Lsans Tez KUANTUM KANONİK DÖNÜŞÜMLER Şeyda ERAZ Ankara Ünverstes Fen Blmler Ensttüsü Fzk Anablm Dalı Danışman: Doç. Dr. Adnan TEĞMEN Bu te ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ KUANTUM KANONİK DÖNÜŞÜMLER Şeyda ERAZ FİZİK ANABİLİM DALI ANKARA 008 Her hakkı saklıdır ÖZET Yüksek Lsans Tez KUANTUM KANONİK DÖNÜŞÜMLER Şeyda

Detaylı

ORTOTROPİK ZİNCİR YAN PLAKALARINDA GERİLME YIĞILMASI KATSAYILARININ HESAPLANMASI

ORTOTROPİK ZİNCİR YAN PLAKALARINDA GERİLME YIĞILMASI KATSAYILARININ HESAPLANMASI PAMUKKALE ÜNİ VERSİ TESİ MÜHENDİ SLİ K FAKÜLTESİ PAMUKKALE UNIVERSITY ENGINEERING COLLEGE MÜHENDİ SLİ K B İ L İ MLERİ DERGİ S İ JOURNAL OF ENGINEERING SCIENCES YIL CİLT SAYI SAYFA : 997 : 3 : 3 :45-49

Detaylı

1. KEYNESÇİ PARA TALEBİ TEORİSİ

1. KEYNESÇİ PARA TALEBİ TEORİSİ DERS NOTU 07 KEYNESÇİ PARA TALEBİ TEORİSİ, LM EĞRİSİ VE PARA TALEBİ FAİZ ESNEKLİĞİ Bugünk dersn çerğ: 1. KEYNESÇİ PARA TALEBİ TEORİSİ... 1 1.1 İŞLEMLER (MUAMELELER) TALEBİ... 2 1.2 ÖNLEM (İHTİYAT) TALEBİ...

Detaylı

Şek. 1 () t e bağlayan diferansiyel denklemi elde ediniz. (5p) H s

Şek. 1 () t e bağlayan diferansiyel denklemi elde ediniz. (5p) H s YTÜ EEKTONİK VE HABEEŞME MÜHENDİSİĞİ BÖÜMÜ DEVEE VE SİSTEME ANABİİM DAI DEVE VE SİSTEM ANAİZİ DESİ. VİZE_ÇÖZÜMEİ Soru : Şekl dek derey göz önüne alarak k t t Şek. a) () t ı k () t e bağlayan dferansyel

Detaylı

ADIYAMAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI YÜKSEK LİSANS TEZİ SOFT KÜMELER VE BAZI SOFT CEBİRSEL YAPILAR.

ADIYAMAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI YÜKSEK LİSANS TEZİ SOFT KÜMELER VE BAZI SOFT CEBİRSEL YAPILAR. ADIYAMAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI YÜKSEK LİSANS TEZİ SOFT KÜMELER VE BAZI SOFT CEBİRSEL YAPILAR Ebubekr İNAN DANIŞMAN Yrd. Doç. Dr. Mehmet Al ÖZTÜRK ADIYAMAN 2011 Her

Detaylı

III - ELEKTROMAGNETİK GENELLEŞTİRME

III - ELEKTROMAGNETİK GENELLEŞTİRME 3 - EEKTROMAGNETİK GENEEŞTİRME.A ) AGRANGE ORMAİZMİ Dnamğn agrange medu le yenden frmüle edlmes, genelleşrlmş krdna ssemlernn kullanılmasına mkan anır. Yen krdnaların ye larak ble dk lmaları gerekmez.

Detaylı

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ Gülesen ÜSTÜNDAĞ BAZI PARAMETRİK OLMAYAN İSTATİSTİKSEL YÖNTEMLERİN İNCELENMESİ İSTATİSTİK ANABİLİM DALI ADANA, 005 ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ

Detaylı

UYGULAMALI ÖLÇME PROJESİ

UYGULAMALI ÖLÇME PROJESİ 1 YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ İNŞAAT FAKÜLTESİ JEODEZİ VE FOTOGRAMETRİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ UYGULAMALI ÖLÇME PROJESİ GRUP YÖNETİCİSİ ÜNVANI ADI SOYADI HAZIRLAYANLAR NUMARASI ADI SOYADI İSTANBUL, YIL/Y.YIL

Detaylı

Türk Dilinin Biçimbilim Yapısından Yararlanarak Türkçe Metinlerin Farklı İmgelere Ayrılarak Kodlanması ve Sıkıştırılması

Türk Dilinin Biçimbilim Yapısından Yararlanarak Türkçe Metinlerin Farklı İmgelere Ayrılarak Kodlanması ve Sıkıştırılması Türk Dlnn Bçmblm Yapısından Yararlanarak Türkçe Metnlern Farklı İmgelere Ayrılarak Kodlanması ve Sıkıştırılması Banu DİRİ, M.Yahya KARSLIGİL Yıldız Teknk Ünverstes Elektrk Elektronk Fakültes - Blgsayar

Detaylı

OLASILIĞA GİRİŞ. Biyoistatistik (Ders 7: Olasılık) OLASILIK, TIP ve GÜNLÜK YAŞAMDA KULLANIMI

OLASILIĞA GİRİŞ. Biyoistatistik (Ders 7: Olasılık) OLASILIK, TIP ve GÜNLÜK YAŞAMDA KULLANIMI OLASILIĞA GİRİŞ Yrd. Doç. Dr. Ünal ERKORKMAZ Sakarya Ünverstes Tıp Fakültes Byostatstk Anablm Dalı uerkorkmaz@sakarya.edu.tr OLASILIK, TIP ve GÜNLÜK YAŞAMDA KULLANIMI Br olayındoğal koşullar altında toplumda

Detaylı

Elektrik Akımı. Test 1 in Çözümleri. voltmetresi K-M arasına bağlı olduğu için bu noktalar arasındaki potansiyel farkını ölçer. V 1. = i R KM 1.

Elektrik Akımı. Test 1 in Çözümleri. voltmetresi K-M arasına bağlı olduğu için bu noktalar arasındaki potansiyel farkını ölçer. V 1. = i R KM 1. 5 Elektrk kımı 1 Test 1 n Çözümler 1. 4 Ω Ω voltmetre oltmetrenn ç drenc sonsuz büyük kabul edlr. Bu nedenle voltmetrenn bulunduğu koldan akım geçmez. an voltmetrenn olduğu koldak drenç dkkate alınmaz.

Detaylı

İÇME SUYU ŞEBEKELERİNİN GÜVENİLİRLİĞİ

İÇME SUYU ŞEBEKELERİNİN GÜVENİLİRLİĞİ Türkye İnşaat Mühendslğ, XVII. Teknk Kongre, İstanbul, 2004 İÇME SUYU ŞEBEKELERİNİN GÜVENİLİRLİĞİ Nur MERZİ 1, Metn NOHUTCU, Evren YILDIZ 1 Orta Doğu Teknk Ünverstes, İnşaat Mühendslğ Bölümü, 06531 Ankara

Detaylı

PARAMETRİK OLMAYAN HİPOTEZ TESTLERİ Kİ-KARE TESTLERİ

PARAMETRİK OLMAYAN HİPOTEZ TESTLERİ Kİ-KARE TESTLERİ PARAMETRİK OLMAYAN HİPOTEZ TESTLERİ Kİ-KARE TESTLERİ 1 Populasyonun nceledğmz br özellğnn dağılışı blenen dağılışlardan brsne, Normal Dağılış, t Dağılışı, F Dağılışı, gb br dağılışa uygun olduğu durumlarda

Detaylı

DÜŞEY ELEKTRİK SONDAJI VERİLERİNİN YORUMU

DÜŞEY ELEKTRİK SONDAJI VERİLERİNİN YORUMU DÜŞEY ELEKTRİK SONDAJI VERİLERİNİN YORUMU Prof.Dr. Ahmet Tuğrul BAŞOKUR Jeofzk Mühendslğ Bölümü Mayıs 4 İletşm: Prof. Dr. Ahmet T. BAŞOKUR Ankara Ünverstes, Mühendslk Fakültes Jeofzk Mühendslğ Bölümü 6

Detaylı

BÖLÜM 1 1.GİRİŞ: İSTATİSTİKSEL DOĞRUSAL MODELLER

BÖLÜM 1 1.GİRİŞ: İSTATİSTİKSEL DOĞRUSAL MODELLER BÖLÜM 1 1.GİRİŞ: İSTATİSTİKSEL DOĞRUSAL MODELLER Blmn amaçlarından br yaşanılan doğa olaylarını tanımlamak ve olayları önceden tahmnlemektr. Bu amacı başarmanın yollarından br olaylar üzernde etkl olduğu

Detaylı

3. Parçaları Arasında Aralık Bulunan Çok Parçalı Basınç Çubukları

3. Parçaları Arasında Aralık Bulunan Çok Parçalı Basınç Çubukları 3. Parçaları Arasında Aralık Bulunan Çok Parçalı Basınç Çubukları Basınç çubukları brden fazla profl kullanılarak, bu profller arasında plan düzlemnde bell br mesafe bulunacak şeklde düzenleneblr. Bu teşklde,

Detaylı

BÖLÜM 9 İKİ BOYUTLU PANEL YÖNTEMLERİ

BÖLÜM 9 İKİ BOYUTLU PANEL YÖNTEMLERİ BÖLÜM 9 İKİ BOYUTLU PAEL YÖTEMLERİ 9.. Grş 9.2. Kompleks dülemde poansyel akım problemnn negral formülasyonu 9.3. Doğrusal paneller boyunca sab ekllk dağılımı hal 9.4. Kaynak dağılımını esas alan panel

Detaylı

Farklı Varyans. Var(u i X i ) = Var(u i ) = E(u i2 ) = s 2 Eşit Varyans

Farklı Varyans. Var(u i X i ) = Var(u i ) = E(u i2 ) = s 2 Eşit Varyans Farklı Varyans Var(u X ) = Var(u ) = E(u ) = s Eşt Varyans Y X 1 Farklı Varyans Hata Var(u X ) = Var(u ) = E(u ) = s Farklı Varyans Zaman EKKY nn varsayımlarından br anakütle regresyon fonksyonu u lern

Detaylı

KUVVET SİSTEMLERİ KUVVET. Vektörel büyüklük. - Kuvvetin büyüklüğü - Kuvvetin doğrultusu - Kuvvetin uygulama noktası - Kuvvetin yönü. Serbest vektör.

KUVVET SİSTEMLERİ KUVVET. Vektörel büyüklük. - Kuvvetin büyüklüğü - Kuvvetin doğrultusu - Kuvvetin uygulama noktası - Kuvvetin yönü. Serbest vektör. İ.T.Ü. aka akültes ekak Aa Blm Dalı STATİK - Bölüm KUVVET SİSTELEİ KUVVET Vektörel büyüklük - Kuvvet büyüklüğü - Kuvvet doğrultusu - Kuvvet uygulama oktası - Kuvvet yöü S = (,,..., ) = + +... + = Serbest

Detaylı

MINKOWSKI 4-UZAYINDA JET YAPILAR VE MEKANİK SİSTEMLER

MINKOWSKI 4-UZAYINDA JET YAPILAR VE MEKANİK SİSTEMLER PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MINKOWSKI -UZAYINDA JET YAPILAR VE MEKANİK SİSTEMLER YÜKSEK LİSANS TEZİ Smge DAĞLI Anablm Dalı Matematk Anablm Dalı Programı Geometr Tez Danışmanı Yrd. Doç.

Detaylı

ASİMETRİK BİR DİELEKTRİK DİLİM DALGA KILAVUZUNUN ETKİN KIRILMA İNDİSİNİN TEORİK OLARAK HESAPLANMASI

ASİMETRİK BİR DİELEKTRİK DİLİM DALGA KILAVUZUNUN ETKİN KIRILMA İNDİSİNİN TEORİK OLARAK HESAPLANMASI Eskşehr Osmangaz Ünverstes Mühendslk Mmarlık Fakültes Dergs Clt:XXII, Sayı:, 009 Journal of Engneerng and Archtecture Faculty of Eskşehr Osmangaz Unversty, Vol: XXII, No:, 009 Makalenn Gelş Tarh : 06.0.009

Detaylı

YÜKSEK ÖĞRETİM KURULU DOKÜMANTASYON MERKEZİ TEZ VERİ FORMU. Tez No: Konu: Üniv. Kodu: Not: Bu bölüm merkeziniz tarafından doldurulacaktır.

YÜKSEK ÖĞRETİM KURULU DOKÜMANTASYON MERKEZİ TEZ VERİ FORMU. Tez No: Konu: Üniv. Kodu: Not: Bu bölüm merkeziniz tarafından doldurulacaktır. YÜKSEK ÖĞRETİM KURULU DOKÜMANTASYON MERKEZİ TEZ VERİ FORMU Tez No: Konu: Ünv. Kodu: Not: Bu bölüm merkeznz tarafından doldurulacaktır. Tezn yazarının Soyadı: OŞKUN Adı: Görkem Tezn Türkçe adı: KAUÇUK GÖVDELİ

Detaylı

TEKNOLOJİ, PİYASA REKABETİ VE REFAH

TEKNOLOJİ, PİYASA REKABETİ VE REFAH TEKNOLOJİ, PİYASA REKABETİ VE REFAH Dr Türkmen Göksel Ankara Ünverstes Syasal Blgler Fakültes Özet Bu makalede teknoloj sevyesnn pyasa rekabet ve refah sevyes üzerndek etkler matematksel br model le ncelenecektr

Detaylı

Birinci mertebe genel denklik denklemlerinin eşdeğerlik dönüşümleri

Birinci mertebe genel denklik denklemlerinin eşdeğerlik dönüşümleri tüdergs/d mühendslk Clt:4 Sayı:2 93-104 Nsan 2005 Brnc mertebe genel denklk denklemlernn eşdeğerlk dönüşümler Saadet Seher ÖZER * Erdoğan ŞUHUBİ İTÜ Fen Edebyat Fakültes Mühendslk Blmler Bölümü 34469 Ayazağa

Detaylı

Çok Parçalı Basınç Çubukları

Çok Parçalı Basınç Çubukları Çok Parçalı Basınç Çubukları Çok parçalı basınç çubukları genel olarak k gruba arılır. Bunlar; a) Sürekl brleşk parçalardan oluşan çok parçalı basınç çubukları b) Parçaları arasında aralık bulunan çok

Detaylı

GM-220 MÜH. ÇALIŞ. İSTATİSTİKSEL. Frekans Dağılımı Oluşturma Adımları VERİLERİN SUNUMU. Verilerin Özetlenmesi ve Grafikle Gösterilmesi

GM-220 MÜH. ÇALIŞ. İSTATİSTİKSEL. Frekans Dağılımı Oluşturma Adımları VERİLERİN SUNUMU. Verilerin Özetlenmesi ve Grafikle Gösterilmesi VERİLERİN SUNUMU GM-0 MÜH. ÇALIŞ. İSTATİSTİKSEL YÖNTEMLER Br çalışadan elde edlen verler ha ver ntelğndedr. Ha verlerden blg ednek zor ve zaan alıcıdır. Ha verler çok karaşık durudadır. Verlern düzenlenes

Detaylı

Direct Decomposition of A Finitely-Generated Module Over a Principal Ideal Domain *

Direct Decomposition of A Finitely-Generated Module Over a Principal Ideal Domain * BİR ESAS İDEAL BÖLGESİ ÜZERİNDEKİ SONLU DOĞURULMUŞ BİR MODÜLÜN DİREK PARÇALANIŞI * Drec Decompoon of A Fnely-Generaed Module Over a Prncpal Ideal Doman * Zeynep YAPTI Fen Blmler Enüü Maemak Anablm Dalı

Detaylı

YAŞAM ÇÖZÜMLEMESİNDE AYKIRI DEĞERLER OUTLIERS IN SURVIVAL ANALYSIS

YAŞAM ÇÖZÜMLEMESİNDE AYKIRI DEĞERLER OUTLIERS IN SURVIVAL ANALYSIS YAŞAM ÇÖZÜMLEMESİNDE AYKIRI DEĞERLER OUTLIERS IN SURVIVAL ANALYSIS NURAY TUNCER PROF. DR. DURDU KARASOY Tez Danışmanı Hacettepe Ünverstes Lsansüstü Eğtm-Öğretm Yönetmelğnn İstatstk Anablm Dalı İçn Öngördüğü

Detaylı

Basel II Geçiş Süreci Sıkça Sorulan Sorular

Basel II Geçiş Süreci Sıkça Sorulan Sorular Basel II Geçş Sürec Sıkça Sorulan Sorular Soru No: 71 Cevaplanma Tarh: 06.03.2012 İlgl Hüküm: --- Konu: Gayrmenkul İpoteğyle Temnatlandırılmış Alacaklar İçn KR510AS Formunun Doldurulmasına İlşkn Örnek

Detaylı