OUTLIER DETECTION BY USING ROBUST METHODS AND COMPARISON RESULTS TO TESTS FOR OUTLIERS FOR LEVELING NETWORKS

Transkript

1 NİVELMAN AĞLARINDA ROBUST YÖNTEMLERLE UYUŞUMSUZ ÖLÇÜ ANALİZİ VE SONUÇLARIN KLASİK YÖNTEMLE KARŞILAŞTIRILMASI Ş. HEKİMOĞLU 1, R. C. ERENOĞLU 1 Yıldız Teknk Ünverstes, İnşaat Fakültes, Jeodez ve Fotogrametr Mühendslğ Bölümü, Jeodez Anablm Dalı, İstanbul, hekm@yldz.edu.tr Yıldız Teknk Ünverstes, İnşaat Fakültes, Jeodez ve Fotogrametr Mühendslğ Bölümü, Jeodez Anablm Dalı, İstanbul, ceren@yldz.edu.tr Özet Günümüzde uyuşumsuz ölçülern belrlenmesnde k temel yaklaşım vardır: Klask uyuşumsuz ölçü testler ve robust kestrm yöntemler. Blndğ gb en küçük kareler (EKK) yöntem uyuşumsuz ölçülern bozucu etklern uyuşumlu ölçüler üzerne yaymaktadır. Dğer br deyşle uyuşumsuz ölçülere duyarlı br yöntemdr. Temel EKK yöntemne dayanan Baarda ve Pope klask uyuşumsuz ölçü test yöntemler uyuşumsuz ölçü belrlemede yetersz kaldığından robust yöntemlern kullanılması önerlmektedr. Bu çalışmada, klask test yöntemlernn ve robust kestrclern jeodezk temel ağlardak davranışları ncelenmştr. Bu amaçla jeodezk temel ağlardan olan nvelman ağı yapay olarak oluşturulmuştur. Bu ağlardak ölçüler elde etmek çn de yapay yükseklk farklarına, yne yapay olarak üretlmş normal dağılmış rasgele ölçü hataları eklenmştr. Daha sonra modele kaba hatalar eklenmştr. Hang ölçünün uyuşumsuz olacağı da rasgele belrlenmştr. Çeştl yöntemlern sonuçlarını brbryle karşılaştırmak çn ortalama başarı oranı kullanılmıştır. Ortalama başarı oranlarının kaba hatanın genlğne, sayısına ve blnmeyen sayına bağlı olarak değştğ görülmüştür. Söz konusu nvelman ağı çeştl etkenlere göre ncelenmştr. Nvelman ağlarında robust yöntemler kullanılarak yapılan uyuşumsuz ölçü araştırmasında özellkle küçük kaba hatalar çn daha başarılı sonuçlar alınmıştır. Anahtar kelmeler : Robust İstatstk, Uyuşumsuz Ölçü, Kaba Hata, Jeodezk Ağlar, Güvenlrlk, Ortalama Başarı Oranı. OUTLIER DETECTION BY USING ROBUST METHODS AND COMPARISON RESULTS TO TESTS FOR OUTLIERS FOR LEVELING NETWORKS Abstract Nowadays there are two basc approaches to detect outlers: Test for outlers and robust estmaton methods. As known, least squares estmaton (LSE) spreads the dsturbng effects of bad observatons on the good observatons. In other words, t s a senstve method to the outlers. Owng to Baarda s and Pope s Tests based on the LSE, are nadequate to detect outler, robust methods should be used. Harta ve Kadastro Mühendsler Odası, Mühendslk Ölçmeler STB Komsyonu. Mühendslk Ölçmeler Sempozyumu 3-5 Kasım 005, İTÜ İstanbul 481

2 Nvelman Ağ. Robust Yönt. Uyuşumsuz Ölçü Analz ve Sonuçların Klask Yöntemle Karşılaşt. In ths study, t s nvestgated the behavors of test for outlers and robust estmators for geodetc networks. To ths purpose, a levelng network that s one of the basc geodetc networks, s smulated. To obtan good observaton n ths network, random errors are added to the pure heght dfferences wthout errors. Afterwards, observaton sample s contamnated by outlers. It s also determned randomly that outlers extng n whch observaton. To compare the results of the methods, mean success rate (MSR) s used. The MSRs change dependng on the magntude and number of outler and number of unknown. Ths levelng network s scrutnzed for varous factors. More successful results are obtaned especally for wth small magntude at detectng outler by usng robust methods n the levelng network. Keywords: Robust Statstcs, Outler, Gross Error, Geodetc Networks, Relablty, Mean Success Rate 1. Grş Jeodezk ölçülern değerlendrlmesnde en küçük kareler (EKK) yöntem yaygın olarak kullanılmaktadır. Dğer br deyşle, aynı büyüklüğün gereğnden çok sayıda ölçülmes sonucunda bunlardan türetlecek parametreler temel en küçük kareler yöntemne dayanan dengeleme hesabı le bulunurlar. Ancak ölçülerde olası uyuşumsuz ölçülern yer alması halnde EKK yöntemnden elde edlecek parametreler olumsuz etklemektedrler. Bu nedenle kaba hatalı (uyuşumsuz) ölçülern mutlaka belrlenmes gerekmektedr. Bunun çn k farklı yaklaşım gelştrlmştr. Bunlardan en yaygın olarak kullanılanlar; Klask yaklaşıma dayalı test yöntemler (Örneğn Baarda nın Data- Snoopng yöntem, Pope Test vb.) ve robust yöntemlerdr. Klask yöntemler arasındak fark, düzeltmelern standartlaştırılması sırasında farklı varyans faktörlernn kullanılmasıdır. Jeodezk ağlarda yapılan kaba hata analznde önsel varyansın blnmes halnde Baarda tarafından gelştrlen yöntem kullanılmaktadır (Baarda 1968). Pope test yöntemnde se sonsal varyans değer kullanılmaktadır (Pope 1976). Robust kestrcler kullanılarak jeodezk ağlarda da kaba hata analzler yapılmıştır (Fuchs 198; Kampmann 1989; Gao vd. 199; Harvey 1993; Bennng 1995; Youca 1995; Awange ve Aduol 1999; Wck 1999; Berber ve Hekmoğlu 001; Marchall 00). Robust statstkte kestrclern global güvenlrlklern ölçmek çn kırılma noktası kavramı kullanılmaktadır. Ancak bu kavram kaba hata belrleme konusunda yeterl br blg vermemektedr. Bu yüzden robust yöntemlern ve klask test yöntemlernn global güvenlrlklern ölçme amacıyla ortalama başarı oranı kavramı Hekmoğlu ve Koch tarafından ortaya atılmıştır (1999 ve 000). Ayrıca Berber ve Hekmoğlu (001) tarafından doğrultu ağları ve kenar ağlarında çeştl robust yöntemler uygulanmış ve sonuçlar klask test yöntemler le karşılaştırılmıştır. Benzer yaklaşım Hekmoğlu (005) tarafından doğrusal regresyon analzne uygulanmıştır ve sonuç olarak robust yöntemlern Baarda testnden daha başarılı olduğu görülmüştür. Bu çalışmada da, sözü edlen her k yaklaşımı karşılaştırmak amacıyla ortalama başarı oranı kavramı kullanılmıştır. Anlatılan yöntemler nvelman ağlarında uygulamak ve bulunan sonuçları karşılaştırmak çn monte-carlo smülasyonu kullanılmıştır. Bu amaçla öncelkle br nvelman ağı oluşturulmuştur. Krletlmş ölçülere robust kestrcler ve Baarda nın klask yaklaşımı uygulanarak ortalama başarı oranları hesaplanmıştır. Ayrıca nvelman ağlarında blnmeyen sayısı, ölçü sayısı, kaba hata sayısı ve kaba hatanın büyüklüğünün kullanılan yöntemlern güvenrlklerne olan etkler rdelenmştr. Robust yöntemlerden Huber n M- kestrcs, Hampel ın M-kestrcs, Andrews n M-kestrcs, Beaton ve Tukey n M-kestrcs, Danmarka ve L1 norm yöntemler kullanılmıştır (Huber 1981; Hampel vd. 1986; Andrews 1974; Kraup vd. 1980; Barradole ve Roberts 1974; Koch 1996). Bunlarla brlkte Baarda nın klask yaklaşımı da nvelman ağlarına uygulanarak kaba hata analz yapılmıştır. Harta ve Kadastro Mühendsler Odası, Mühendslk Ölçmeler STB Komsyonu. Mühendslk Ölçmeler Sempozyumu 3-5 Kasım 005, İTÜ İstanbul 48

3 Nvelman Ağ. Robust Yönt. Uyuşumsuz Ölçü Analz ve Sonuçların Klask Yöntemle Karşılaşt. Bu çalışmada knc bölümde kaba hata kavramına değnlmektedr. Üçüncü bölümde kullanılan jeodezk ağların doğrusal modellernden söz edlmekte ve dördüncü bölümde de kestrclern güvenrlklernn brbrleryle karşılaştırılmasında kullanılacak ortalama başarı oranı kavramı anlatılmıştır. Beşnc ve altıncı bölümlerde se sırasıyla uygulama çalışması ve sayısal sonuçlar verlmştr. Son bölümde se elde edlen sonuçlar ve yorumlar yer almaktadır.. Kaba Hata Kavramı Robust statstkte N (µ, σ ) aynı dağılımdan gelen tüm ölçülere y ölçüler adı verlr. Burada geçen µ normal dağılımın artmetk ortalaması ve σ se normal dağılımın varyans değerdr. Kaba hatalı ölçülern de (-, µ-z 1-α/ ) ve (µ+ z 1-α/, + ) aralığında olduğu varsayılmaktadır. Eştlklerde geçen z 1-α/ normal dağılım değer, α se normal dağılımın yanılma olasılığıdır. Bu çalışmada, z 1-α/ değer 3 alınmıştır. Kaba hatalar rasgele ve ortak etklenmş adı altında k ana gruba ayrılırlar (Hekmoğlu, 1997). Ölçülerdek kaba hatalar tesadüf olarak oluşuyorsa bunlara rasgele kaba hatalar denr. Kaba hataların şaretler ve genlkler düzgün dağılıma bağlı olarak değşeblr. Ortak etklenmş kaba hataların genlkler rasgele değşmesne karşın aynı şaretl (heps artı veya heps eks) düzgün dağılımdan gelmektedrler. Ölçüm şlemler süresnce aynı hata kaynağından doğan hatalar ortak etklenmş türdek hatalardır (Chatterjee ve Had, 1988). 3. Nvelman Ağları İçn Doğrusal Modeller Nvelman ağlarında dolaylı ölçüler dengelemes lkesne göre kurulan düzeltme denklemler aşağıdak gbdr: l= A x +e, (1) x=(a T P A) -1 A T P l, () v= A x +l, (3) 1 C oo = σ 0 P, (4) Burada geçen l; n 1 boyutlu yükseklk farklarına ölçülerne lşkn küçültülmüş ölçü vektörü, A; n u boyutlu katsayılar matrs, x; u 1 boyutlu küçültülmüş blnmeyenler vektörü (nvelman ağı nokta yükseklklernn), e; rasgele hata vektörü, σ ; brm ağırlıklı ölçünün varyansı, v; düzeltmeler vektörü, 0 C oo ; ölçülern kovaryans matrs, P; n n boyutlu ağırlık matrs, n; ölçü sayısı ve u blnmeyen sayısıdır. Uyuşumsuz ölçü analz sürecnde ağ serbest dengelenmektedr. P ağırlık matrsnn köşegen elemanları yan ölçülern ağırlıkları aşağıdak gb hesaplanablr: c1 p =, = 1,,..,n. (5) σ Burada p ; P ağırlık matrsnn elemanları, σ = σ 0. S, σ 10 ; 1 km lk nvelman yolundak varyans büyüklüğü ve S ; k nvelman noktası arasındak geçk uzunluğudur. c 1 = σ 0 bçmnde alınablr. Harta ve Kadastro Mühendsler Odası, Mühendslk Ölçmeler STB Komsyonu. Mühendslk Ölçmeler Sempozyumu 3-5 Kasım 005, İTÜ İstanbul 483

4 Nvelman Ağ. Robust Yönt. Uyuşumsuz Ölçü Analz ve Sonuçların Klask Yöntemle Karşılaşt. 4. Ortalama Başarı Oranı Kavramı Öncek bölümde eştlk (1) de verldğ gb nvelman ağında krletlmemş yükseklk farkları vektörü l olsun. Bu örnek kümeden rasgele olarak belrlenen m tane ölçü gelşgüzel değerlerle yer değştrlrse l krletlmş ölçüler elde edlr. Krletlmş l ölçü vektörüne T robust kestrcs uygulanarak kaba hata analz yapılsın. Bunun sonucunda elde edlen krletlmş düzeltmeler vektörü v olsun. l ölçü vektörü m tane kaba hata le krletlmştr. Eğer krletlmş ölçülerden her brsnn v düzeltmes 3σ değernden büyükse T robust kestrcs başarılı bçmde kaba hatayı belrler. Bu fade şöyle de gösterleblr: v > 3σ, = 1,,, m. (6) o ölçü vektörü çn kaba hata aralığı aşağıdak gb tanımlanablr: 3σ < b <, j= 1,,..., m. (7) Bu o ölçü vektörü çn kaba hataların genlkler nt(σ ) şöyledr: nt(σ ) kl = l σ k σ, k>3, l>k, (8) l krletlmş ölçü kümes genlğ nt(σ ) olan m tane kaba hatalı ölçü çersn. Bu ölçülerde T robust kestrcs kullanılarak br kaba hata analz gerçekleştrlsn. l krletlmş ölçülere uygulanan T kestrcsnn kaba hata belrlemedek başarısı br başarı oranı kavramı le tanımlanmaktadır (Başarı oranı = Başarılı Deney Sayısı / Toplam Deney Sayısı). Bu bağlamda, l ölçü vektörüne nt(σ) genlğndek m tane kaba hata eklenerek elde edlen tüm l krletlmş örnek kümelerne uygulanan kestrcnn başarı oranı aşağıdak gbdr: ( T, l, l, nt( σ), m, n) q γ j =, =1,,,k. (9) t Burada q kestrclern başarılı olduğu örnek küme sayısı ve t krletlmş örnek küme sayısı toplamıdır. Blndğ gb uyuşumsuz ölçülern örnek küme çndek konumları ve genlkler rasgele belrlenr. Rasgele hatalar eklenerek elde edlen çok sayıda l uyuşumlu örnek küme olduğunu varsayalım. Bunlardan her br de ayrı ayrı krletlmek suretyle uyuşumsuz ölçü çeren l örnek kümeler oluşturulur. Bu yüzden br kestrcnn güvenlrlğ tüm örnek kümeler çn aşağıdak gb genelleştrleblr. γ l = ( m, n) p, (10) p ( T,,nt( σ), m, n) γ T, l, l,nt( σ), ort j / j 1 = Burada p, l örnek küme sayısını göstermektedr. (8) eştlğnde verlen fadeye br kestrcnn ortalama başarı oranı adı verlr. ort γ (=1,, ) büyüklüklernn en küçük değerne se ortalama başarı oranının mnmumu denr (Hekmoğlu ve Koch, 1999). Harta ve Kadastro Mühendsler Odası, Mühendslk Ölçmeler STB Komsyonu. Mühendslk Ölçmeler Sempozyumu 3-5 Kasım 005, İTÜ İstanbul 484

5 Nvelman Ağ. Robust Yönt. Uyuşumsuz Ölçü Analz ve Sonuçların Klask Yöntemle Karşılaşt. Baarda nın klask yaklaşımının kullanılması halnde de aynı kavramlar geçerldr. Yalnızca (6) eştlğ aşağıdak gb uygulanır: v > α σ ( Q ), = 1,,, m, (11) z 1 - / vv Burada geçen z 1-α/ =3.9 ve yanılma olasılığı α=0.001 alınmıştır. matrsnn. köşegen elemanıdır. ( Q vv ) se düzeltmelern vv Q kofaktör 5 Uygulamalar 5.1 Uyuşumlu Ölçüler Robust yöntemler ve Baarda nın klask yaklaşımı kullanılarak nvelman ağlarında yapılan kaba hata analznn güvenlrlğn araştırmak amacıyla Şekl 1 de görülen nvelman ağı blgsayar ortamında yapay olarak oluşturulmuştur Şekl 1. Nvelman Ağı. Bu nvelman ağında, nokta yükseklkler kullanılarak hatasız yükseklk farkı ölçüler hesaplanır. Dğer br fadeyle rasgele hata veya kaba hata çermeyen yükseklk farkları elde edlr. Daha sonra, MATLAB programlama dlnde mevcut olan normal dağılmış rasgele sayı üretec kullanılarak rasgele ölçü hataları oluşturulur. Burada kullanılan nvelman ağı çn e h ~ N( µ = 0, σ h ), σ h = σ 0 S (km) ve σ 0 = 1mm / km alınmıştır. Sözü edlen rasgele ölçü hataları ( e h ) hatasız yükseklk farklarına ( h ) eklenerek uyuşumlu ölçüler ( h ) bulunur: h = h + e, = 1,,, n. (1) h 7 Harta ve Kadastro Mühendsler Odası, Mühendslk Ölçmeler STB Komsyonu. Mühendslk Ölçmeler Sempozyumu 3-5 Kasım 005, İTÜ İstanbul 485

6 Nvelman Ağ. Robust Yönt. Uyuşumsuz Ölçü Analz ve Sonuçların Klask Yöntemle Karşılaşt. 5. Krletlmş (Uyuşumsuz) Ölçüler Krletlmş h ölçüsünü elde etmek çn y ölçüdek e h rasgele hatalar kaldırılarak, onların yerne kaba hatalar getrlr. Dğer br fadeyle hatasız yükseklk farklarına ( h ) δ h genlğndek kaba hatalar eklenr: h = h + δ h, = 1,,, n. (13) Uyuşumsuz ölçüler rasgele veya ortak etklenmş yapıda olablrler Rasgele Uyuşumsuz Ölçüler Düzgün dağılım kullanılarak elde edlen δ h büyüklüğündek tek br rasgele uyuşumsuz ölçü (m=1) çn kaba hata bölgesnn aralığına nt(σ) olsun. nt(σ)= 3σ< δ h< 6σ, (14) δ h=sgn(t 1 )., (15) hk + t1 > 0.5 sgn( t 1) =,0 < t1 1, (16) t1 0.5 h k =3σ + t 1, k=n 1 t, (17) =6σ-3σ=3σ, 0< t < 1. (18) Burada t 1 ve t düzgün dağılımlıdır. se nt(σ) aralığının uzunluğudur. Küçük genlkl uyuşumsuz ölçüler 3σ- 6σ aralığında, büyük genlkller se 6σ- 1σ aralığındadır. Sgn fades şaret fonksyonudur. Büyük genlkl kaba hatalarda (17) ve (18) eştlkler aşağıdak gb değşr: h k =6σ + t 1, k=n 1 t, (19) =1σ-6σ=6σ, 0< t < 1. (0) Brden çok sayıdak (m=, m=3 vb.) kaba hatalar se kaba hata aralığı verlen bölgeler çn yukarıda anlatılan yaklaşım yardımıyla kolayca üretleblr. 5.. Ortak Etklenmş Uyuşumsuz Ölçüler δ h büyüklüğündek ortak etklenmş uyuşumsuz ölçüler, nt(σ) kaba hata bölges aralıkları çn düzgün dağılım kullanılarak rasgele uyuşumsuz ölçülerde olduğu gb elde edlrler. Ancak uyuşumsuz ölçülern tümü eks yada artı şaretl olmalıdır. Dğer br fadeyle şaret fonksyonu göz ardı edlmeldr. Harta ve Kadastro Mühendsler Odası, Mühendslk Ölçmeler STB Komsyonu. Mühendslk Ölçmeler Sempozyumu 3-5 Kasım 005, İTÜ İstanbul 486

7 Nvelman Ağ. Robust Yönt. Uyuşumsuz Ölçü Analz ve Sonuçların Klask Yöntemle Karşılaşt. Buna göre öncelkle h bçmnde 100 farklı uyuşumlu ölçü örnek kümes oluşturulmuştur. Her br örnek küme ayrı ayrı 100 kez krletlmş. Yan her br örnek kümeden 100 farklı krletlmş örnek küme üretlmştr. Hang ölçünün krletleceğ rasgele belrlenmştr. Bunun sonucunda brbrnden farklı tane h krletlmş ölçü kümes elde edlr. 6. Sayısal Sonuçlar Bu çalışmada, uyuşumsuz ölçü çeren örnek kümelere robust yöntemlerden Andrews n M-kestrcs, Beaton ve Tukey n M-kestrcs, Huber n M-kestrcs, Hampel ın M-kestrcs, Danmarka ve L1 norm yöntemler le Baarda nın Data Snoopng yöntem uygulanarak kaba hata analz yapılmıştır. Hampel yöntem dışındak tüm robust yöntemlerde c=1.5σ alınmıştır. Burada geçen σ değer önsel standart sapmayı gösterr. Hampel yöntemnde se a, b ve c sabtler sırasıyla 1.5, 3 ve 6 bçmnde seçlmştr. Tüm uygulamalarda nvelman ağları tüm z mnmum yöntemne göre serbest dengelenmştr. Sonuçlar Tablo 1 de verlmştr. Öncelkle ölçü kümesnn hçbr kaba hata çermedğ durumda kullanılan kestrclern nasıl davrandıkları ortaya çıkarılmak stenmştr. Bu amaçla uyuşumlu ölçülerden oluşan 100 farklı örnek kümeye yöntemler uygulanmış ve ortalama başarı oranları hesaplanmıştır. Bu değerler tablolarda kaba hata sayısının 0 satırında verlmştr. Sonuçlardan da görülebleceğ gb ölçü kümesnde uyuşumsuz ölçü olmamasına karşın robust yöntemler kaba hata üretmektedrler. Bu durum robust yöntemler açısından br rsk ortaya çıkarmaktadır. Daha sonra rasgele ve ortak etklenmş kaba hatalarla krletlen ölçü kümelernde kestrcler yardımıyla kaba hata araştırması yapılmıştır. Örnek kümelere ayrı ayrı 1 ve uyuşumsuz ölçü verlmştr. Ortak etklenmş kaba hatalar brden fazla uyuşumsuz ölçü olması halnde söz konusudur. Tabloda hç kaba hata olmaması hal ve ayrıca rasgele türde tek kaba hataya lşkn sonuçlar verlmştr. Rasgele türdek kaba hatalara lşkn ortalama başarı oranları ortak etklenmş türe göre daha büyüktür. Tablo 1 de görüldüğü uyuşumsuz ölçü sayısı arttıkça ortalama başarı oranları azalmaktadır. Buna karşın uyuşumsuz ölçülern büyüklüğü arttıkça yöntemlern güvenrlğ artmaktadır. Ayrıca ölçülern fazla ölçü paylarının (kısm redundans payı) kestrcler üzerndek etklern belrlemek amacıyla tane krletlmş örnek kümede sadece fazla ölçü payları küçük olan ölçülere (mesela r < 0.4) kaba hatalar eklenmştr. Bu durumda bulunan sonuçlar, kaba hataların ölçülere rasgele verldğ genel durumla karşılaştırıldığında ortalama başarı oranlarında büyük azalma olduğu görülmüştür. Kullanılan nvelman ağında ölçü sayısı n=15, blnmeyen sayısı u=8 ve serbestlk dereces f= 8 dr. Robust yöntemler ve Baarda nın yönteme lşkn başarı oranları Tablo 1 (A) da verlmştr. Uyuşumsuz ölçülern genlkler arttıkça Andrews ve Beaton-Tukey harcndek tüm kestrclern ortalama başarı oranları artmıştır. Ancak kaba hata sayısı arttıkça ortalama başarı oranları azaldığı görülmektedr. Harta ve Kadastro Mühendsler Odası, Mühendslk Ölçmeler STB Komsyonu. Mühendslk Ölçmeler Sempozyumu 3-5 Kasım 005, İTÜ İstanbul 487

8 Nvelman Ağ. Robust Yönt. Uyuşumsuz Ölçü Analz ve Sonuçların Klask Yöntemle Karşılaşt. Kestrm Yöntem Tablo 1. Nvelman Ağı Ortalama Başarı Oranları Kaba Hatanın Genlğ Kaba Hata Sayısı (A) (%) (B) (%) (C) (%) Baarda Andrews B.Tukey Danmarka >3σ Hampel Huber L1 norm Baarda Andrews B.Tukey Danmarka 3σ 6σ Hampel Huber L1 norm Baarda Andrews B.Tukey Danmarka 6σ 1σ Hampel Huber L1 norm Baarda Andrews B.Tukey Danmarka 3σ 6σ Hampel Huber L1 norm Baarda Andrews B.Tukey Danmarka 6σ 1σ Hampel Huber L1 norm Nvelman ağlarında serbestlk derecesndek değşmn robust yöntemlern başarılarına olan etkler ortaya çıkarablmek amacıyla mevcut nvelman ağına 4 yen yükseklk farkı ölçüsü eklenerek yen br ağ oluşturuldu. Ölçü sayısı n=19 ve blnmeyen sayısı u=8 dr. Böylece serbestlk dereces 8 den 1 ye çıkarılmıştır. Bu ağa lşkn Tablo 1 (B) de görülen ortalama başarı oranları, Tablo 1 (A) da verlmş ortalama başarı oranları le karşılaştırılırsa serbestlk dereces arttırıldığında yöntemlern güvenrlklernn beklenldğ gb arttığı sonucuna varılmıştır. Dğer br uygulama olarak, lk nvelman ağından serbestlk derecesn değştrmeden br nokta atılarak başka br nvelman ağı oluşturulmuştur. Ölçü sayısının n=14 ve serbestlk derecesnn f=8 olduğu bu yen ağda blnmeyen sayısı 8 den 7 ye düşürülmüştür. Kestrclern Tablo 1 (C) de verlen ortalama başarı oranları Tablo 1 (A) da verlenlerle karşılaştırıldığında, blnmeyen sayısındak azalmanın ortalama başarı oranlarını belrgn şeklde arttırdığı görülmektedr. Sonuçta nvelman ağlarında en başarılı kestrcler Danmarka, Hampel ve L1 norm yöntemlerdr. Robust yöntemler genel olarak Baarda nın Data Snoopng testnden daha başarılıdır. Baarda testnn özellkle Harta ve Kadastro Mühendsler Odası, Mühendslk Ölçmeler STB Komsyonu. Mühendslk Ölçmeler Sempozyumu 3-5 Kasım 005, İTÜ İstanbul 488

9 Nvelman Ağ. Robust Yönt. Uyuşumsuz Ölçü Analz ve Sonuçların Klask Yöntemle Karşılaşt. 3σ 6σ arasındak uyuşumsuz ölçüler belrlemede çok yetersz olduğu görülmüştür. Buna karşın robust yöntemler ölçü kümesnde kaba hata olmadığı bazı durumlarda kaba hata üretmektedrler. 7. Sonuçlar Bu çalışmada, jeodezk ağlarda uyuşumsuz ölçülern belrlenmes amacıyla kullanılan robust yöntemler ve klask yaklaşımın global güvenlrlkler ortalama başarı oranı kavramıyla ölçülmüştür. Kestrclern ortalama başarı oranları ölçülern kısm fazla ölçü sayılarına, blnmeyen sayısına, serbestlk derecesne, kaba hatanın türüne, sayısına ve genlğne göre değşm göstermektedr. Jeodezk ağlarda blnmeyen sayısının artması halnde ortalama başarı oranları azalmakta, serbestlk derecesnn artması durumunda se ortalama başarı oranları artmaktadır. Kaba hatanın türüne göre nceleme yapıldığında se ortak etklenmş türdek uyuşumsuz ölçülere lşkn ortalama başarı oranlarının, rasgele türe göre daha küçük oldukları görülmüştür. Nvelman ağları çn kullanılan kaba hata yöntemler brbrleryle karşılaştırıldığında Hampel, Danmarka, L1 norm ve Huberyöntemlernn dğerlerne göre daha başarılı oldukları görülmektedr. Robust kestrcler özellkle kaba hata sayısının fazla olduğu hallerde klask yaklaşımdan çok daha başarılıdırlar. Ancak ölçü kümesnn kaba hata çermedğ durumlarda robust kestrcler uyuşumsuz ölçü üreteblmektedrler. Bu açıdan bakıldığında Hampel ve Huber yöntemler terch edleblr. Kaynaklar Awange, J.L., Aduol, F.W.O., (1999). An Evaluton of Some Robust Estmaton Technques n the Estmaton of Geodetc Parameters, Survey Revew, 35, 73, Andrews, D., (1974). A Robust Method for Multple Lnear Regresson, Technometrcs, 16, Baarda, W., (1968). A Testng Procedure for Use n Geodetc Networks, Publcaton on Geodesy, New seres, no. 5, Netherlands Geodetc Commsson, Delft. Barrodale, I., Roberts, F.D.K., (1974). Soluton of an Over Determned System of Equatons n L 1 norm. Comm ACM, 17, Bennng, W., (1995). Verglech Dreer Lp-Schaetzer zur Fehlersuche n Hybrden Lagenetzen, Z Vermessungswesen, 1, Berber, M., Hekmoğlu, S., (001). What s the Relablty of Robust Estmators n Networks?, Proceedngs. 1 st Internatonal Symposum on Robust Statstcs and Fuzzy Technques n Geodesy and GIS March 1-16, ETH, Zurch, Chatterjee, S., Had, A.S., (1988). Senstvty Analyss n Lnear Regresson. John Wley and Sons, Inc., New York, N.Y. Fuchs, H., (198). Contrbuton to the Adjustment by Mnmzng the Sum of Absolute Resduals, Manuscr Geod, 7, Gao, Y., Kraknwsky, E.J., Czompo, J., (199). Robust Testng Procedure for Detecton of Multple Blunders, J Surv Engrg, ASCE, 118, 1, Hampel, F., Ronchett, E., Rousseeuw, P., Stahel, W., (1986). Robust Statstcs: The Approach Based on Influence Functons, John Wley and Sons, New York, N.Y. Harta ve Kadastro Mühendsler Odası, Mühendslk Ölçmeler STB Komsyonu. Mühendslk Ölçmeler Sempozyumu 3-5 Kasım 005, İTÜ İstanbul 489

10 Nvelman Ağ. Robust Yönt. Uyuşumsuz Ölçü Analz ve Sonuçların Klask Yöntemle Karşılaşt. Harvey, P.R., (1993). Survey Network Adjustments by the L 1 Method. Aust J Geod Photogram Surv, Hekmoğlu, S., (1997). The Fnte Sample Breakdown Ponts of the Conventonal Iteratve Outler Detecton Procedures, J. Surv Engrg, ASCE, 13, 1, Hekmoğlu, S., Koch, K.R., (1999). How can Relablty of the Robust Methods be Measured?, Proceedngs, In: Altan MO, Gründg L (eds), Thrd Turksh-German Jont Geodetc Days, Istanbul, 1-4 June, 1, Hekmoğlu, S., Koch, K.R., (000). How can Relablty of Tests for Outlers be Measured?, AVN, 107, 7, Hekmoğlu, S., Berber, M., (001). Relablty of Robust Methods n Heteroscedastc Lnear Models, Proceedngs, IAG 001, Scentfc Assembly, Budapest, -7 September 001, abstract book: 53. Hekmoğlu, S., Berber, M., (003). Effectveness of Robust Methods n Heterogeneous Lnear Models. Journal of Geodesy, 76, 11-1, Hekmoğlu, S., (005), Do Robust Methods Identfy Outlers More Relably Than Conventonal Tests for Outlers?, ZfV, 05/03, Huber, P.J., (1981), Robust Statstcs, John Wley and Sons, Inc., New York, N.Y. Kampmann, G., (1989). Zur Ausglechung freer Netze mt der L1 norm-methode, Allg. Vermessungs- Nachr, 96, Koch, K.R., (1996). Robuste Parameterschaetzung, Allg. Vermessungs-Nachr, 103, Koch, K.R., (1999). Parameter Estmaton and Hypothess Testng n Lnear Models, nd Ed., Sprnger- Verlag, Berln Hedelberg, New York. Krarup, T., Juhl, J., Kubk, K., (1980). Götterdaemmerung Over Least Squares Adjustment, Procedngs, 14 th Congress of Int. Soc. Photogr., Hamburg. Marchall, J., (00). L 1 Norm Pre-analyss Measures for Geodetc Networks, Journal of Geodesy, 76, Rousseeuw, P.J., Leroy, A.M., (1987). Robust Regresson and Outler Detecton, John Wley and Sons, Inc., New York, N.Y. Pope, A.J., (1976). The Statstcs of Resduals and the Outler Detecton of Outlers. NOAA, Techncal Report, NOS 65, NGS 1, Rockvlle, MD. Wck, F. (1999). Robuste Schätzverfahren für de Parameterschätzung n Geodätschen Netzen, Insttut für Geodäse und Photogrammetre an der ETH, Zürch, Mtt. Nr. 67. Wlcox, R.R., (1997). Introducton to Robust Estmaton and Hypothess Testng, Academc Press, New York. Youca, H., (1995). On the Desgn of Estmators wth Hgh Breakdown Ponts for Outler Identfcaton n Trangulaton Networks, Bull. Geo., 69, Harta ve Kadastro Mühendsler Odası, Mühendslk Ölçmeler STB Komsyonu. Mühendslk Ölçmeler Sempozyumu 3-5 Kasım 005, İTÜ İstanbul 490