( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİKLERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z.

Transkript

1 KÜME KAVRAMI Küme matematiği taımsız bir kavramıdır. Acak kümeyi, iyi taımlamış kavram veya eseler topluluğu diye tarif edebiliriz. Kümeler A, B, X, K,... gibi büyük harflerle Bir kümeyi oluştura eseleri herbirie bu kümei elemaı (öğesi) deir. Kümede her elema bir kez yazılır. ELEMAN SAYISI A kümesii elema sayısı s(a) ile Bir a elemaı A kümesie ait ise a A yazılır ve a elema A diye okuur. Bir b elemaı A kümesie ait değilse b A yazılır ve b elema değil A diye okuur. Örek...1 : A={Bazı kızlar} Küme değil ( i yi t a ım l a m a m ı ş ) K={Güzel rekler} Küme değil ( i y i t a ı m l a m a m ı ş ) Aşağıdakiler de küme öreğidir. B={Tek tamsayılar} C={Asal egatif tamsayılar} L={x : x Z, x>0, 2x+9<0} M={x:x, 8 sayısıı pozitif tamsayı böleidir} D = { x : x, DROGBA kelimesii harfleri } Z= {5 te fazla harf içere haftaı güleri} LİSTE, ORTAK ÖZELLİK VE ŞEMA YÖNTEMİ LİSTE YÖNTEMİ : A={2, 3, 5, 7} = {5, 3, 2, 7} Elemaları farklı sırada yazılması yei küme oluşturmaz. ŞEMA YÖNTEMİ (VENN ŞEMASI): A A A ORTAK ÖZELLİK YÖNTEMİ : A = {x : x<8 ve x asal sayı} = {x x, rakam ola asal sayı} = {2, 3, 5, 7} Örek...2 : P = {x x, MATEMATİK kelimesii harfleri} kümesii liste biçimide yazıp şema ile gösterii z. Örek...3 : N={ 2, 1, 1, 2} kümesii ortak özellik yötemiyle yazıız. Örek...4 : A = { a, b, c, d, {a}, {b,c}} kümesi veriliyor. Aşağıdakileri doğru mu yalış mı olduğuu yazıız.... {a} A {b, d} A {b, c} A d A {b, c} A b {b, c} {d} A s(a) = BOŞ KÜME {{a}, b} A A ı elema sayısı 7 dir.... Hiç elemaı olmaya kümeye boş küme deir ve (fi) ya da { } sembolleride birisi ile UYARI { } gösterimi boş küme belirtmez. SONLU KÜME VE SONSUZ KÜME Bir A kümesii öğeleri sayısı (icelik sayısı) bir doğal sayı ise, A' ya solu küme deir. S = { Sesli harfler} C = {Yeryüzüdeki tüm calılar kümesi} Solu olmaya bir kümeye de sosuz küme deir. N= {0, 1, 2, 3,...} [ 2, 3) = {x : 2 x <3, x R} (a, a+1] = {x : a< x a+1, a R} 9. Sııf Matematik Kou Alatımı /8

2 Örek...5 : Aşağıdaki kümeleri boş, solu ve sosuz olalar ı ı belirtiiz. A={Rak amları kümesi} B={T ürki ye i C harfi il e başl aya il isim l eri} C= { Sayı doğr usu üzerideki ok talar} D= { H af ta ı gü leri} E={1, 2, 3,...} F= { Asal sayılar} ALT KÜME B o ş S o l u S o s u z A' ı her bir elemaı B' i de bir elemaı oluyorsa A kümesie B kümesii alt kümesi deir ve A B biçimide A B gösterimi, A, B' i alt kümesidir diye okuur. B A gösterimi ise B, A yı kapsar diye okuur. A kümesii bir alt kümesii oluşturmak içi A' ı elemalarıda e az sıfır ve e çok A' ı elema sayısı kadar elema seçer ve yei küme oluştururuz. Örek...6 : A={1,2} kümesii tüm alt kümelerii kuruuz. 0 elemalı 1 elemalı 2 elemalı ALT KÜME ÖZELLİKLERİ 1) A A dır. ( H e r k ü m e k e d i s i i a l t k ü m e s i d i r. ) 2) A dır. (Boş küme her kümei alt kümesidir.) ÖZALT KÜME Bir kümei kediside farklı ola her alt kümesie bu kümei özalt kümesi deir. Örek...8 : A = { 1, 2, x } kümesii özalt kümelerii yazıız. ALT KÜME VE ÖZALT KÜME SAYISI elemalı A kümesii alt kümelerii sayısı 2 taedir. A ı özalt kümeleri sayısı ise 2 1 taedir. Örek...9 : A = { a, b, {b,c}, (b,c), d } kümesii kaç tae alt kümesi vardır? Örek...10 : Bir A kümesii 256 tae alt kümesi olduğua göre, A kümesi kaç elemalıdır? Örek...7 : B = { a, b, {c} } kümesii tüm alt kümelerii ya zıız. Örek...11 : Bir B kümesii 511 tae özalt kümesi olduğua göre, B kümesi kaç elemalıdır? 9. Sııf Matematik Kou Alatımı /8

3 Örek...12 : A = { a, b, c, d, e, f } kümesii alt k ümelerii kaç taeside, i ) a buluur? Örek...13 : A={x:x 2 = 1, x Z},B={x : x 2 4 = 0, x Z} C={x: x <2, x 0, x Z} D={x: 2 x =3 } kümelerii eşit ve dek olmalarıa göre karşılaşt ır ı ız. ii) a buluur, f bulumaz? Örek...14 : "Bir A kümesii tüm alt kümelerii oluşturduğu kümeye A kümesii kuvvet küm esi deir ve geellik le P( A) ile " Yukarıda verile bilgiye göre, A = { a, b, c } kümesii kuvvet kümesii yazıız. iii) c ve d birlikte buluur? Örek...15 : A = { a, b, c } kümesii kuvvet kümesi ola kümei alt küme sayısı kaçtır? iv) c veya d buluur? v) c ya da d buluur v) E az bir sesli harf buluur? vi) E çok bir sesli harf buluur? EŞİT VE DENK KÜME EŞİT KÜME: Elemalarıı tümü ayı ola kümelere deir ve = sembolü ile (A B ve B A) ise A = B dir. DENK KÜME: Elema sayıları eşit ola kümelere deir ve sembolü ile s(a)=s(b) ise A B dir. ELEMANLI BİR KÜMENİN r ELEMANLI ALT KÜMELERİ SAYISI elemalı bir kümei r elemalı alt kümelerii ( esei r taesii seçimi) sayısı da i r li kombiasyoudur. C(,r) veya ( r) ile ( r) =! (r ) ( r)!.r! 1) ( 0) + ( 1) + ( 2) + + ( ) =2 2) ( a) = ( b) 3) ( r) = ( r) 4) ( ) = ( 0) =1 5) ( 1) = ( 1) = ise a=b ya da a+b= dir.! = ( 1) ( 2) = ( 1)! = ( 1) ( 2)! Faktöri yel taımı gereği, 0!= 1 dir. 9. Sııf Matematik Kou Alatımı /8

4 Örek...16 : A = { a, b, c, d, e } kümesii 2 elemalı kaç alt kümesi vardır? d) A kümesii e az 3 elemalı kaç alt küm esi vardır? Örek...17 : A = { a, b, {b,c}, {b,c,d} } kümesii 3 elemalı alt küme sayısı ile 1 elemalı alt küme sayısıı toplamı kaçtır? Örek...21 : A = { a, b, c, d, e } kümesii 3 elemalı alt kümelerii kaç taeside e buluur, b bulumaz? Örek...18 : Özalt küme sayısı 127 ola bir kümei 4 elemalı kaç alt kümesi vardır? Örek...22 : A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } kümesii 3 elemalı alt kümelerii kaç taeside 3 ve ya 7 buluur? Örek...19 : ( r) + ( r +1) = ( +1 r +1) olmak üzere, 11 elemalı bir kümei 5 elemalı ve 6 elemalı alt kümeleri sayısı toplamı kaçtır? Örek...23 : A={ 1, 2, 3,..., } kümesii 4 elemalı alt kümelerii 66' sıda 1 ve 2 var; ama 4 yoksa kaçtır? Örek...20 : Bir A kümesii 3 elemalı alt kümelerii sayısı 5 elemalı alt kümelerii sayısıa eşit olduğua göre, a) A kümesi kaç elemalıdır? b) A kümesii 4 elemalı kaç alt kümesi vard ır? Örek...24 : Doğal sayıları bir K alt kümesii e büyük elemaı 100' dür. K kümesii herhagi bir alt kümesi L olsu. L herhagi iki elemaıı toplam ıı içermediğie göre, L kümesi e çok kaç elemalıdır? c) A kümesii e çok 2 elemalı kaç alt kümesi vardır? 9. Sııf Matematik Kou Alatımı /8

5 DEĞERLENDİRME 1 1) Aşağıda verile cümlelerdeki oktalı yerleri doğru bir şekilde dolduruuz. a) Küme matematiği... bir kavramıdır. b) Kümeyi oluştura eseleri her birie... deir. c) Kümede her elema... yazılır. d) x elemaı K kümesie ait ise... biçimide yazılır. e) x elemaı K kümesie ait değilse... biçimide yazılır. f) Kümeler... farklı şekilde Buları isimleri... yötemi, yötemi ve yötemidir. g) A kümesii elema sayısı... biçimide h) Hiç elemaı olmaya kümeye... küme deir,... ya da... şeklide ı) Bir A kümesii elema sayısı doğal sayı ise, A ya... küme deir. i) Nicelik sayısı doğal sayı olmaya bir kümeye...küme deir. j) Yalızca elema sayıları birbirie eşit ola kümelere...küme deir. A ve B kümeleri...ise A... B şeklide yazılır. k) Tüm elemaları ayı ola kümelere... küme deir. A ve B kümeleri... ise A... B şeklide yazılır. l) A kümesii her elemaı B kümesii de bir elemaı ise... kümesie... kümesii alt kümesi deir ve şeklide yazılır. m) A kümesii her elemaı B kümesii de bir elemaı ise... kümesi... kümesii kapsar deir ve B... A şeklide yazılır. ) A kümesii tüm alt kümelerii oluşturduğu kümeye A kümesii... kümesi deir ve... şeklide o) Bir kümei kediside farklı ola her alt kümesie bu kümei... kümesi deir. Kullaacağıız kelime listesi 2) Aşağıdaki tabloda verile ifadeleri küme belirtelerii, belitmeyelerii ile işaretleyiiz. Küme Adayı İfade Doğal sayılar. Güzel filmler. Yeryüzüde yaşaya tüm calıl ar. Akara Milli Kütüphaedeki bazı kitaplar. Uzaydaki tüm yıldızlar yığıı. Bir çiftlikteki gagalı calıl ar topluluğu. İki rakamlı egatif tam sa yılar topluluğu. Akara Milli Kütüphaedeki tüm kitaplar. Küme 3) Aşağıda verile bilgilerde oktalı yerlere, doğru ise D, yalış ise Y yazıız. Bir kümed e elemaları yerleri de ğiştiğide kümei ismi değişmez Boş kümei öz alt kümesi yo ktur elemal ı bir küm ei alt küme sayıs ı C(,2) ta edir Alt küm e v e öz alt küme ade tleri toplamı daima asaldır Boş kümei alt kümesi yo ktur Kaatl ı isalar topl uluğ u küme belirtir A={3, 7, 11, 15,...., 91 } ise s(a)=23 tür solu sosuz eşit B A eşit elema liste boş dek P(A) { } 3 kuvvet özalt = bir defa B x K A x K dek A ortak özellik A B Ø taımsız s(a) Ve şeması 9. Sııf Matematik Kou Alatımı /8

6 4) A = {1, 2, {1,2}, 3, 4, {3,4}, 5} kümesie göre, aşağıda verile bilgilerde oktalı yerlere, doğru ise D, yalış ise Y yazıız { 1} A { 1,2} A A s( A) = { 3, 4} A { 1,2} A { 1, 2, 5} A 2,3,4 A ) Aşağıdaki kümeleri elema sayılarıı hesaplayıız. a) A = { x : 13 x 94, x=2k, k Z } b) B = { x : -4 x 105, x=3k, k Z }..... { 1, 2} A { 3, 4} A { 2,{ 3,4}} A {{ 1,2, 5}} A..... c) C = { x : -40<x 85, x=5k, k Z }..... A ı elem a sayıs ı 7 dir. 5) Aşağıda ortak özellik yötemiyle verile kümeleri elemalarıı liste yötemiyle yazıız. a) A = {a : (a-2) (a-1) a (2a+1) (a+2)=0, a Z} b) B = {b : b, 10 u katı ola iki basamaklı doğal sayılar } c) C = { c : c-3 =9, c Z } d) D = { x : x<127, x=5k+2, k Z + } e) E = { x : x=4k-1, 5<k 33, k Z + } 8) Aşağıdaki şekilde Ve şeması verile A ve B kümeleri içi; d) D = { d : (d 2-16) (d 2 +9)=0, d Z } 6) Aşağıdaki kümeleri elema sayıları kaçtır? a) A = { x : 2 x+3 128, x N } a) A ve B kümelerii liste yötemiyle yazıız. b) B = { x : x 2 3, x N } b) s(a) x s(b) çarpımı kaçtır? c) C = { x : x-3 3, x Z } 9. Sııf Matematik Kou Alatımı /8

7 DEĞERLENDİRME 2 1) Aşağıdaki kümeleri elemalarıı liste yötemiyle yazıız. 5) Aşağıdaki kümeleri hagilerii solu ya da sosuz olduklarıı yazıız. a) A = { x : x, 12 de küçük 12 i pozitif böleleri } b) B = { x : x < 30 ve x asal sayı } 2) Aşağıda verile kümeleri ortak özellik yötemiyle yazıız. a) A = { 2, 4, 6, 8,... } b) B = {...-5, -3, -1, 1, 3, 5,... } K üme A = {Bir yıl içid eki haf talar kümesi} B={x: x, yıl ı da do ğa çoc uklar} C = { x : 3<x<4, x R} D o ğ r u p a r ç a s ı ü z e r i d e k i o k t a l a r k ü m e s i. D = { } D ü yad aki tüm calıl ar küm esi. N = { 0, 1, 2, 3,... } K= { a, b, c, d, e, f } M = { x x t am sayı ve 0 x 50 0} So lu / Sos uz c) C = { 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36 } d) D = { 4, 9, 14, 19, 24, 29, 34 } 3) Aşağıdaki tabloda verile kümeleri boş küme belirtelerii, belirtmeyelerii ile işaretleyiiz. Küme A= { x : x, eg atif asal sayıl ar} B= { x : x = 0, x Z } C= { x : x + 6= 0, x Z } D= {x : x+6=0, x N } K= { Ø } Boş Küme 4) A = { GEORG CANTOR ismii harfleri } kümesii Ve şeması ile gösteriiz. N = {x x, 5 il e böl ü ebile doğ al sayı} 6) A= {1,2,3,4,5,6,7,8,9} kümesii 2' yi elema kabul ede kaç alt kümesi vardır? 7) A= {1,2,3,4,5,6,7,8,9} kümesii 2 elemalı kaç alt kümesi vardır? 8) A={x: x bir rakamdır} kümesii kaç alt kümeside e az bir asal sayı buluur? 9. Sııf Matematik Kou Alatımı /8

8 DEĞERLENDİRME 3 1) B = {x : x < 4, x Z} kümesii alt kümelerii kaçıda 0 veya 1 vardır? 5) Alt kümelerii ve özalt kümelerii sayıları toplamı 2047 ola A kümesii e çok 2 elemalı kaç alt kümesi vardır? 2) Asal rakamlar kümesii, alt kümelerii kaçıda e 2 e de 3 vardır? 6) 3 elemalı alt kümelerii sayısı ile 5 elemalı alt kümelerii sayısı birbirie eşit ola bir kümei özalt küme sayısı kaçtır? 3) Alt kümelerii sayısı 512 ola A kümesii iki elemaı 1 ve 2 dir. A kümesii kaç alt kümeside 1 elema olarak buluurke, 2 bulumaz? 7) 5 elemalı bir kümei birbirii kapsamayacak şekilde e çok kaç alt kümesi vardır? 4) Bir kümei elemalarıı 2 arttırıca alt küme sayısı yüzde kaç artar? 8) A={1,2,3,4,5,6,7} ve B={1,2,3} veriliyor. B K A koşuluu sağlaya, A ve B de farklı kaç K kümesi yazılabilir? 9. Sııf Matematik Kou Alatımı /8