Lisans. Ayrık Matematik Yüklemler ve Kümeler. Konular. Tanım. Tanım çalışma evreni: U izin verilen seçenekler kümesi örnekler:

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Lisans. Ayrık Matematik Yüklemler ve Kümeler. Konular. Tanım. Tanım çalışma evreni: U izin verilen seçenekler kümesi örnekler:"

Osman İnanç
7 yıl önce
İzleme sayısı:

1 Lisans Ayrık Matematik Yüklemler ve Kümeler H. Turgut Uyar Ayşegül Gençata Yayımlı Emre Harmancı You are free: to Share to copy, distribute and transmit the work to Remix to adapt the work c T. Uyar, A. Yayımlı, E. Harmancı Under the following conditions: Attribution You must attribute the work in the manner specified by the author or licensor (but not in any way that suggests that they endorse you or your use of the work). Noncommercial You may not use this work for commercial purposes. Share Alike If you alter, transform, or build upon this work, you may distribute the resulting work only under the same or similar license to this one. Legal code (the full license): 1 / 43 2 / 43 Konular Yüklem Yüklemler Giriş Niceleyiciler Çoklu Niceleyiciler Kümeler Giriş Altküme Küme İşlemleri İçleme-Dışlama yüklem: bir ya da birden fazla değişken içeren ve bir önerme olmayan ama değişkenlere izin verilen seçenekler arasından değer verildiğinde bir önerme haline gelen bir belirtim tümcesi (açık bildirim) 3 / 43 4 / 43 Çalışma Evreni Yüklem leri çalışma evreni: U izin verilen seçenekler kümesi örnekler: Z: tamsayılar N: doğal sayılar Z + : pozitif tamsayılar Q: rasyonel sayılar R: reel sayılar C: karmaşık sayılar U = N p(x): x + 2 bir çift sayıdır p(5): Y p(8): D p(x): x + 2 bir çift sayı değildir U = N q(x, y): x + y ve x 2y birer çift sayıdır q(11, 3): Y, q(14, 4): D 5 / 43 6 / 43

2 Niceleyiciler Niceleyiciler varlık niceleyicisi: yüklem bazı değerler için doğru simgesi: okunuşu: vardır simge:! okunuşu: vardır ve tektir evrensel niceleyici: yüklem bütün değerler için doğru simgesi: okunuşu: her varlık niceleyicisi U = {x 1, x 2,..., x n } x p(x) p(x 1 ) p(x 2 ) p(x n ) bazı x ler için p(x) doğru evrensel niceleyici U = {x 1, x 2,..., x n } x p(x) p(x 1 ) p(x 2 ) p(x n ) her x için p(x) doğru 7 / 43 8 / 43 Niceleyici leri Niceleyicilerin Değillenmesi U = R p(x) : x 0 q(x) : x 2 0 r(x) : (x 4)(x + 1) = 0 s(x) : x 2 3 > 0 yandaki ifadeler doğru mudur? x [p(x) r(x)] x [p(x) q(x)] x [q(x) s(x)] x [r(x) s(x)] x [r(x) p(x)] yerine, yerine konur yüklem değillenir x p(x) x p(x) x p(x) x p(x) x p(x) x p(x) x p(x) x p(x) 9 / / 43 Niceleyicilerin Değillenmesi Niceleyici Eşdeğerlilikleri x p(x) x p(x) Tanıt. x p(x) [p(x 1 ) p(x 2 ) p(x n )] p(x 1 ) p(x 2 ) p(x n ) x p(x) x [p(x) q(x)] x p(x) x q(x) x [p(x) q(x)] x p(x) x q(x) 11 / / 43

3 Niceleyici Gerektirmeleri Çoklu Niceleyiciler x p(x) x p(x) x [p(x) q(x)] x p(x) x q(x) x p(x) x q(x) x [p(x) q(x)] x y p(x, y) x y p(x, y) x y p(x, y) x y p(x, y) 13 / / 43 Çoklu Niceleyici leri Çoklu Niceleyiciler U = Z p(x, y) : x + y = 17 x y p(x, y): her x için öyle bir y bulunabilir ki x + y = 17 olur y x p(x, y): öyle bir y bulunabilir ki her x için x + y = 17 olur U = N olsa? U x = {1, 2} U y = {A, B} x y p(x, y) [p(1, A) p(1, B)] [p(2, A) p(2, B)] x y p(x, y) [p(1, A) p(1, B)] [p(2, A) p(2, B)] x y p(x, y) [p(1, A) p(1, B)] [p(2, A) p(2, B)] x y p(x, y) [p(1, A) p(1, B)] [p(2, A) p(2, B)] 15 / / 43 Kaynaklar Küme Okunacak: Grimaldi Chapter 2: Fundamentals of Logic 2.4. The Use of Quantifiers Yardımcı Kitap: O Donnell, Hall, Page Chapter 7: Predicate Logic küme: birbirinden ayırt edilebilen aralarında sıralama yapılmamış yinelenmeyen elemanlar topluluğu 17 / / 43

4 Küme Gösterilimi Açık Gösterilim Örneği açık gösterilim elemanlar süslü parantezler içinde listelenir: {a 1, a 2,..., a n } kapalı gösterilim bir yüklemi doğru kılan elemanlar: {x x G, p(x)} : boş küme S bir küme, a bir nesne olsun a S: a nesnesi S kümesinin elemanıdır a / S: a nesnesi S kümesinin elemanı değildir {3, 8, 2, 11, 5} 11 {3, 8, 2, 11, 5} {3, 8, 2, 11, 5} = 5 S : eleman sayısı (kardinalite) 19 / / 43 Kapalı Gösterilim leri Küme İkilemi {x x Z +, 20 < x 3 < 100} {3, 4} {2x 1 x Z +, 20 < x 3 < 100} {5, 7} A = {x x R, 1 x 5} E = {n n N, k N [n = 2k]} A = {x x E, 1 x 5} Bir köyde bir berber yaşıyor. Kendi traş olmayan herkesi traş ediyor, Kendi traş olan kimseyi traş etmiyor. Bu berber kendi traş olur mu? evet ama kendi traş olan kimseyi traş etmiyor hayır hayır ama kendi traş olmayan herkesi traş ediyor evet 21 / / 43 Küme İkilemi Altküme S kendisinin elemanı olmayan kümeler kümesi olsun S = {A A / A} S kendinin elemanı mıdır? evet ama yüklemi sağlamaz hayır hayır ama yüklemi sağlar evet A B x [x A x B] küme eşitliği: A = B (A B) (B A) uygun altküme: A B (A B) (A B) S [ S] 23 / / 43

5 Altküme Altkümeler Kümesi altküme değil A B x [x A x B] x [x A x B] x [ (x A) (x B)] x [(x A) (x B)] x [(x A) (x / B)] altkümeler kümesi: P(S) bir kümenin bütün altkümelerinin oluşturduğu küme, boş küme ve kendisi dahil n elemanlı bir kümenin altkümeler kümesinin 2 n elemanı vardır 25 / / 43 Altkümeler Kümesi Örneği Küme İşlemleri P({1, 2, 3}) = { }, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} tümleme A = {x x / A} kesişim A B = {x (x A) (x B)} A B = ise A ile B ayrık kümeler birleşim A B = {x (x A) (x B)} 27 / / 43 Küme İşlemleri Kartezyen Çarpım fark A B = {x (x A) (x / B)} A B = A B bakışımlı fark: A B = {x (x A B) (x / A B)} Kartezyen çarpım: A B = {(a, b) a A, b B} A B C N = {(a, b,..., n) a A, b B,..., n N} A B C N = A B C N 29 / / 43

6 Kartezyen Çarpım Örneği A = {a 1.a 2, a 3, a 4 } B = {b 1, b 2, b 3 } Eşdeğerlilikler Çifte Tümleme A = A Değişme A B = B A A B = B A A B = { } (a 1, b 1 ), (a 1, b 2 ), (a 1, b 3 ), (a 2, b 1 ), (a 2, b 2 ), (a 2, b 3 ), (a 3, b 1 ), (a 3, b 2 ), (a 3, b 3 ), (a 4, b 1 ), (a 4, b 2 ), (a 4, b 3 ) Birleşme (A B) C = A (B C) (A B) C = A (B C) Sabit Kuvvetlilik A A = A Terslik A A = A A = A A A = U 31 / / 43 Eşdeğerlilikler Etkisizlik A U = A A = A De Morgan Kuralı Tanıt. Baskınlık A = A U = U Dağılma A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) Yutma A (A B) = A De Morgan Yasaları A B = A B A (A B) = A A B = A B A B = {x x / (A B)} = {x (x (A B))} = {x ((x A) (x B))} = {x (x A) (x B)} = {x (x / A) (x / B)} = {x (x A) (x B)} = {x x A B} = A B 33 / / 43 Eşdeğerlilik Örneği Eşdeğerlilik Örneği Tanıt. A (B C) = (A B) (A C) (A B) (A C) = (A B) (A C) = (A B) (A C) = ((A B) A) ((A B) C)) = ((A B) C)) = (A B) C = A (B C) = A (B C) 35 / / 43

7 İçleme-Dışlama İlkesi A B = A + B A B A B C = A + B + C ( A B + A C + B C ) + A B C A 1 A 2 A n = i A i i,j A i A j + A i A j A k i,j,k (Eratosthenes Kalburu) asal sayıları bulmak için bir yöntem n 1 A i A j A n 37 / / 43 (Eratosthenes Kalburu) 1 den 100 e kadar asal sayıların sayısı 2, 3, 5 ve 7 ye bölünemeyen sayılar A 2 : 2 ye bölünen sayılar kümesi A 3 : 3 e bölünen sayılar kümesi A 5 : 5 e bölünen sayılar kümesi A 7 : 7 ye bölünen sayılar kümesi A 2 A 3 A 5 A 7 (Eratosthenes Kalburu) A 2 = 100/2 = 50 A 3 = 100/3 = 33 A 5 = 100/5 = 20 A 7 = 100/7 = 14 A 2 A 3 = 100/6 = 16 A 2 A 5 = 100/10 = 10 A 2 A 7 = 100/14 = 7 A 3 A 5 = 100/15 = 6 A 3 A 7 = 100/21 = 4 A 5 A 7 = 100/35 = 2 39 / / 43 (Eratosthenes Kalburu) A 2 A 3 A 5 = 100/30 = 3 A 2 A 3 A 7 = 100/42 = 2 A 2 A 5 A 7 = 100/70 = 1 A 3 A 5 A 7 = 100/105 = 0 A 2 A 3 A 5 A 7 = 100/210 = 0 (Eratosthenes Kalburu) A 2 A 3 A 5 A 7 = ( ) ( ) + ( ) (0) = 78 asalların sayısı: (100 78) = / / 43

8 Kaynaklar Okunacak: Grimaldi Chapter 3: Set Theory 3.1. Sets and Subsets 3.2. Set Operations and the Laws of Set Theory Chapter 8: The Principle of Inclusion and Exclusion 8.1. The Principle of Inclusion and Exclusion Yardımcı Kitap: O Donnell, Hall, Page Chapter 8: Set Theory 43 / 43

Benzer belgeler

Lisans. Ayrık Matematik Tanıtlama. Kaba Kuvvet Yöntemi. Konular. Temel Kurallar

Lisans. Ayrık Matematik Tanıtlama. Kaba Kuvvet Yöntemi. Konular. Temel Kurallar Lisans Ayrık Matematik Tanıtlama H. Turgut Uyar Ayşegül Gençata Yayımlı Emre Harmancı 001-013 You are free: to Share to copy, distribute and transmit the work to Remix to adapt the work c 001-013 T. Uyar,