KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT"

Transkript

1 KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT Kümelerde Temel Kavramlar 1. Kazanım : Küme kavramını açıklar; liste, Venn şeması ve ortak özellik yöntemleri ile gösterir. 2. Kazanım : Evrensel küme, boş küme, sonlu küme, sonsuz küme kavramlarını örneklerle açıklar. 3. Kazanım : Alt küme kavramını ve özelliklerini açıklar. 4. Kazanım : İki kümenin eşitliğini açıklar. Kümelerde İşlemler 1. Kazanım : Kümelerde birleşim, kesişim, fark ve tümleme işlemlerini yapar. Bu işlemler arasındaki ilişkileri ifade eder. 2. Kazanım : İki kümenin kartezyen çarpımını açıklar. 3. Kazanım : Kümelerde işlemleri kullanarak problem çözer.

2 KÜMELER Küme kavramının tanımı yoktur. Ancak küme denilince, iyi tanımlanmış, birbirinden farklı nesneler topluluğu akla gelmelidir. KÜMELERDE İŞLEMLER Evrensel Küme: Üzerinde işlem yapılan ve tüm kümeleri kapsayan kümeye evrensel küme denir ve genellikle E ile gösterilir. Kümeyi oluşturan nesnelere o kümenin elemanı (öğesi) denir. Kümede, bir eleman bir defa yazılır. Kümenin elemanlarının küme içerisinde yer değiştirmesi kümeyi değiştirmez. Kümelerin Birleşimi A B Kümeler; ortak özellik yöntemi, liste yöntemi ve venn şeması ile gösterilirler. E A B = { x : x A veya x B } Boş Küme: Hiçbir elemanı olmayan kümeye boş küme denir ve { } veya Ø şeklinde gösterilir. Kümelerin Kesişimi Alt Küme: A ve B gibi iki kümeden, B kümesinin her elemanı A kümesinin de elemanı ise, B kümesi A kümesinin alt kümesidir denir ve B A şeklinde gösterilir. A B E A B = { x : x A ve x B } Öz Alt Küme: Bir kümenin kendisinden farklı olan her alt kümesine öz alt kümesi denir. Kümelerin Farkı Kuvvet Kümesi: Bir kümenin alt kümelerinin hepsini kendisine eleman yapan kümeye kuvvet kümesi denir. E A B n elemanlı bir kümenin; Alt küme sayısı = 2 n dir. Öz alt küme sayısı = 2 n 1 dir. A B = { x : x A ve x B } Bir Kümenin Tümleyeni A r elemanlı alt kümelerinin sayısı = c n m dir. r c n m+ c n m+ c n m c n m = 2 n dir n E A A ı = { x : x E ve x A } 10

3 De Morgan Kuralları KÜME PROBLEMLERİ (A B)ı = Aı Bı F (A B)ı = Aı Bı B a b c S d Özellikler Futbol oynayanların kümesi : F A A=A Basketbol oynayanların kümesi: B A A=A a, b, c, d içinde bulundukları kümelerin eleman A B=B A sayılarını göstersin. A B=B A Futbol oynayanların sayısı = a + b A Ø=A Basketbol oynayanların sayısı = b + c A Ø=Ø Sadece futbol oynayanların sayısı = a Sadece basketbol oynayanların sayısı = c A E=E Futbol ve basketbol oynayanların sayısı = b A E=A A Aı = E A Aı = Ø ı E =Ø Futbol veya basketbol oynayanların sayısı = a + b + c Hiçbir oyun oynamayanların sayısı = d En az bir oyun oynayanların sayısı = a + b + c En çok bir oyun oynayanların sayısı = a + c + d Øı = E SIRALI İKİLİ (Aı)ı = A a ve b elemanlarının (a, b) biçiminde ya- Aı = E A zılmasıyla elde edilen ifadeye sıralı ikili veya A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) s(a B) = s(a) + s(b) s(a B) s(a B C) = s(a) + s(b) + s(c) s(a B) s(a C) s(b C) + s(a B C) kısaca ikili denir. (a, b) sıralı ikilisinde a ya birinci bileşen, b ye ikinci bileşendir. (a, b) = (c, d) a = c ve b = d KARTEZYEN ÇARPIM A ve B boş olmayan herhangi iki küme olmak üzere, A x B = {(x, y) : x A ve y B } kümesine A ile B nin kartezyen çarpımı denir. A B Bı Aı A x A = A2, A x A x A = A3,... A B = A Bı AxB BxA A B A B=B A x (B C) = (A x B) (A x C) A B A B=A (A x B) x C = A x (B x C) A x (B C) = (A x B) (A x C) s(a x B) = s(b x A) = s(a).s(b) 11

4 REHBER SORU 1 REHBER SORU 2 A = {1, 2, 3, 4, {5}} kümesi için aşağıdaki boşlukları doldurunuz. I. s(a) =... II A III. {2, 3 }... A IV A V. {5 }... A VI. {4, {5 } }... A A = {x : 0 < x < 5, x Z } kümesinin, a. Eleman sayısı kaçtır? b. Alt küme sayısı kaçtır? c. Öz alt küme sayısı kaçtır? 1. A = {1, 2, {3 }, {4, 5 } } kümesi için aşağıdakilerden hangileri doğrudur? 1. A = {x : 3 < x < 5, x N } kümesinin eleman sayısı kaçtır? I. s(a) = 5 II. 3 A III. {4 } A IV. {1, 2 } A V. {4, 5 } A VI. {{3 } } A 2. A = {a, b, c, d, e, f } kümesinin alt küme sayısı kaçtır? 2. A = {1, 2, {1, 2 }, {2, 3, 4 }, {1 } } kümesi için aşağıdakilerden hangileri doğrudur? I. s(a) = 6 II. {1 } A 3. 6 elemanlı bir kümenin öz alt küme sayısı kaçtır? III. {1, 2 } A IV. {1, 2, {1 } } A V. {2, {2, 3, 4 } } A VI. {Ø } A 4. Alt küme sayısı ile öz alt küme sayısının toplamı 15 olan bir kümenin eleman sayısı kaçtır? 3. B Ø ve B A ise aşağıdakilerden hangisi daima yanlıştır? I. A B = A II. A B = B III. B A = B IV. (A B) (A B) = Ø V. A B = (A B) B 5. İki kümenin alt kümelerinin sayıları toplamı 34 olduğuna göre, eleman sayılarının toplamı kaçtır? 12

5 REHBER SORU 3 s(a) = 5 olmak üzere A kümesinin a. 3 elemanlı alt kümelerinin sayısını b. En az 3 elemanlı kümelerinin sayısını c. En çok 2 elemanlı kümelerinin sayısını bulunuz. 1. s(a) = 6 ise A kümesinin 4 elemanlı alt küme sayısı kaçtır? 5. 6 elemanlı bir kümenin en az 2 elemanlı alt kümelerinin sayısıyla, en çok 2 elemanlı alt kümelerinin sayıları toplamı kaçtır? 2. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6 } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinin en az 4 elemanı vardır? 6. Bir A kümesinin 3 elemanlı alt küme sayısı ile 5 elemanlı alt küme sayısı eşittir. Buna göre, A nın 2 elemanlı kaç tane alt kümesi vardır? 3. En çok 2 elemanlı alt küme sayısı 29 olan bir kümenin eleman sayısı kaçtır? 7. Bir A kümesinin 5 elemanlı alt kümeleri sayısı, 3 elemanlı alt kümeleri sayısına eşittir. Bu kümenin en çok 2 elemanlı kaç alt kümesi vardır? 4. Bir kümenin eleman sayısı 2 artırıldığında alt küme sayısı 96 artıyor. Bu kümenin en çok 2 elemanlı alt küme sayısı kaçtır? 8. Sekiz elemanlı bir kümenin en az bir elemanlı kaç tane öz alt kümesi vardır? 13

6 REHBER SORU 4 REHBER SORU 5 A = {a, b, c, d, e } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde, a. a elemanı bulunur? b. a ve b elemanları bulunur? c. a veya b elemanları bulunur? A = {a, b, c, d } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde, a. a ve b elemanları bulunmaz? b. a veya b elemanları bulunmaz? 1. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 1 ve 2 elemanı bulunur? 1. A = {1, 2, 3, 4, 5 } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 1 veya 2 elemanları bulunmaz? 2. A = {1, 2, 3, 4} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 1 veya 2 elemanı bulunur? 2. A = {a, b, c, d, e } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde a ve b elemanları bulunmaz? 3. A = {1, 2, 3, 4, 5 } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 1 bulunur ama 2 bulunmaz? 3. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6 } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 1 veya 2 elemanları bulunmaz? 4. A = {a, b, c, d, e, f } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde a ve b elemanları bulunur ama c elemanı bulunmaz? 4. A = {a, b, c, d, e, f } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde a veya b elemanları bulunmaz? 14

7 REHBER SORU 6 A = {1, 2, 3, 4, 5, 6 } kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 1 ve 2 elemanları bulunur? 1. A = {a, b, c, d, e, f } kümesinin 2 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde a elemanı bulunur? 5. A = {a, b, c, d, e } kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde a veya b elemanları bulunur? 2. A = {a, b, c, d, e, f } kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde a elemanı bulunur, ama b elemanı bulunmaz? 6. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6 } kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 1 veya 2 den yalnız biri bulunur? 3. A = {a, b, c, d, e, f } kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde a elemanı bulunmaz? 7. A = {2, 4, 6, 8, 10, 12 } kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 2 bulunur ama 4 bulunmaz? 4. A = {a, b, c, d, e } kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde a ve b elemanları bulunur? 8. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 1 veya 2 bulunur ama 3 bulunmaz? 15

8 REHBER SORU 7 REHBER SORU 8 A = {a, b, c, d } ve A B = {a, b, c, d, e, f, k } ise kaç farklı B kümesi yazılabilir? A B = ( 2, 3] ve A C = [ 3, 2) ise A (B C) kümesi nedir? 1. A = {1, 2, 3 }, B = {1, 2, 3, 4, 5 } olduğuna göre, B nin alt kümelerinin kaç tanesi, A kümesini kapsar? 1. A B = {a, b, c, d }, B C = {b, c, e, f } ise (A C) B kümesi nedir? 2. A = {a, b, c }, B = {a, b, c, d, e, f } olduğuna göre, A ve B den farklı olması koşulu ile B nin alt kümelerinden kaç tanesi A kümesini kapsar? 3. A = {a, b, c } ve B = {a, b, c, d, e } olmak üzere, A C B koşulunu sağlayan kaç tane C kümesi vardır? 2. A B = {a, b, c } ve A C = {b, c, d } ise A (B C) kümesi nedir? 3. A = {1, 2, 3, 4, 5 } ve B = {4, 5, 6, 7 } ise A B = B C koşulunu sağlayan C kümesi en az kaç elemanlıdır? 4. A = {1, 2 }, B = {1, 2, 3, 4, 5 }, A C B ve B C ise bu koşullara uyan kaç farklı C kümesi vardır? 4. A = {1, 2, 3 } ve B = {3, 4, 5, 6 } ise A B = B C koşulunu sağlayan C kümesi en çok kaç elemanlıdır? 5. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6 } ve B = {2, 5, 6, 8, 9 } kümelerinin kaç tane ortak alt kümesi vardır? 5. A ve B iki küme olmak üzere, s(a) = 5, s(b) = 7 ve A B nin alt küme sayısı 8 ise A B nin eleman sayısı kaçtır? 16

9 REHBER SORU 9 s(a) = 5, s(b) = 7 ve s(b A) = 3 olduğuna göre, s(a B) kaçtır? 1. A = {1, 2, {2 }, {1, 3 } }, B A = {3 } ve A B = {2, {1, 3 } } ise B kümesi nedir? 5. A ve B boş kümeden farklı iki kümedir. 3.s(A B) = 2.s(B A) ve s(a B) = 38 ise s(a B) en az kaçtır? 2. A = {a, {b }, b, {a, b } }, B A = {c, {a } } ve A B = {{b }, b, a } ise B kümesi nedir? 6. A ve B kümeleri için s(a) s(b) = 7 ve s(a B) s(a B) = 15 ise s(a B) kaçtır? 3. A ve B iki küme olmak üzere, s(a B) = 20, s(a B) = 4, s(a) = 3s(B) ise s(a B) kaçtır? 7. A = {a, b, c, d, e } ve B = {a, c, d, f, k } olduğuna göre, A (A B) kümesi kaç elemanlıdır? 4. A ve B iki küme olmak üzere, 3.s(A B) = 5.s(A B) ve A B kümesinin alt küme sayısı 32 ise s(a B) kaçtır? 8. A ve B ayrık iki kümedir. s(a) s(b) = 6 ve s(a B) = 12 ise s(a) kaçtır? 17

10 REHBER SORU 10 REHBER SORU 11 A ve B herhangi iki küme olmak üzere, (A B) B kümesi hangi kümeye eşittir? A ve B kümeleri E evrensel kümesinin iki alt kümesidir. s(a) + s(b ) = 12, s(a ) + s(b) = 14 olduğuna göre, s(e) kaçtır? 1. (A B) (A B) kümesinin en sade biçimi nedir? 1. A ve B kümeleri E evrensel kümesinin iki alt kümesidir. s(a) + s(b ) = 10 ve s(b) + s(a ) = 8 olduğuna göre, s(e) kaçtır? 2. A ve B herhangi iki küme olmak üzere, A (B A ) kümesinin eşiti nedir? 3. [B (A B)] A kümesinin eşiti nedir? 2. A, B ve C kümeleri E evrensel kümesinin üç alt kümesidir. s(a) + s(b ) = 8, s(b) + s(a ) = 12 ve s(c) = 6 ise s(c ) kaçtır? 4. A ve B aynı evrensel kümenin iki alt kümesi olmak üzere, aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır? I. (A B) = A B II. (A B) A = A B III. (A B) B = A B VI. A B ise A B = B V. A B ise A B 3. A, B, C kümeleri için A B C ise (A B ) (B C) kümesinin en sade biçimi nedir? 4. A ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesidir. B [(A B) (A B )] ifadesinin eşiti nedir? 5. A = [ 2, 3) ve B = ( 3, 3] ise A B kümesi nedir? 5. A = {a, b, c, d, e }, B = {c, e, f, g } olduğuna göre (A B) nedir? 18

11 REHBER SORU 12 B A olmak üzere, s(a B ) = 5 ve s(b) = 3 ise A kümesinin eleman sayısı en çok kaç olabilir? 1. A ve B ayrık olmayan iki kümedir. s(a) = 8 ve s(b) = 10 ise s(a B) nin alabileceği en büyük değer kaçtır? 5. A B = {a, b, c, d } ve A C = {b, c, d, e } ise B C kümesi en az kaç elemanlıdır? 2. A ve B ayrık olmayan iki kümedir. s(a) = 6 ve s(b) = 8 ise s(a B) nin alabileceği en büyük değer kaçtır? 6. A B = {1, 2, 3, 4, 5 } A C = {2, 3, 4, 5, 6, 7 } olduğuna göre, s(a) en çok kaçtır? 3. A B Ø, s(a) = 6 ve s(b) = 8 ise s(a B) en çok kaçtır? 7. s(a) = 5, s(b) = 3 olmak üzere, s(a B) nin en büyük değeri x, en küçük değeri y ise x + y kaçtır? 4. s[a (B C)] = 10 olduğuna göre, s(a B) en az kaç olabilir? 8. A B olmak üzere, s(a B) = 6 ve s(a) = 4 ise s(b) en çok kaç olabilir? 19

12 REHBER SORU 13 A = {x : 1 < x < 100, x Z } kümesinin elemanlarından kaç tanesi 2 ve 3 ile bölünebilir? 1. A = [1, 100) kümesinde 5 ile bölünebilen kaç tane doğal sayı vardır? 5. A = {x : 1 < x < 100, x Z } kümesinin elemanlarından kaç tanesi 4 veya 6 ile tam bölünebilir? 2. A = {x : 1 < x 10, x N } B = {x : 7 x < 10, x N } olduğuna göre, A B kümesinin kaç tane alt kümesi vardır? 6. A = {x Z : 10 < x < 50 } kümesinin elemanlarından kaç tanesi 2 ve 3 ile tam bölünebilir? 3. A = {x : 9 < x < 100, x N } kümesinin elemanlarından kaç tanesi 5 veya 6 ile bölünebilir? 7. A = {x Z : 10 < x < 100 } kümesinin elemanlarından kaç tanesi 4 ile bölünebilir fakat 5 ile bölünemez? 4. A = {x : 10 < x < 120, x = 4n, n N } B = {y : 6 < y < 90, y = 6k, k N } olduğuna göre s(a B) kaçtır? 8. A = {x Z : 0 < x < 100 } kümesinin elemanlarından kaç tanesi 4 veya 6 ile tam bölünemez? 20

13 REHBER SORU 14 REHBER SORU 15 Bir grupta İngilizce ve Almancadan sadece birini bilen 6, en az birini bilen 10, en çok birini bilen 16 kişi olduğuna göre hiçbirini bilmeyenler ile her ikisini de bilenlerin toplamı kaç kişidir? Bir sınıftaki öğrencilerin % 60 ı İngilizce, % 40 ı Almanca biliyor. Öğrencilerin % 20 si ise bu dillerin hiçbirini bilmiyor. Her iki dili de konuşan 5 öğrenci olduğuna göre bu sınıfta kaç öğrenci vardır? 1. Herkesin Türkçe bildiği 24 kişilik bir sınıfta, İngilizce bilenler Almanca bilmemektedir. Bu sınıfta sadece bir dil bilen 10 kişi vardır. Türkçe ve İngilizce bilen 6 kişi olduğuna göre, Türkçe ve Almanca bilen kaç kişi vardır? 2. Bir toplulukta Almanca bilmeyenler 6 kişi, İngilizce ve Almanca dillerinden en çok birini bilen 10 kişi ise bu toplulukta kaç kişi yalnız Almanca bilmektedir? 1. A ve B dersini seçenlerden oluşan bir sınıftaki öğrencilerin % 50 si A dersini, % 60 ı B dersini seçmiştir. Yalnız A dersini seçen 20 öğrenci olduğuna göre, sınıf mevcudu kaçtır? kişilik bir topluluğun % 20 si A dilini, % 40 ı B dilini bilmektedir. A veya B dillerini bilmeyen en çok kaç kişi vardır? 3. Matematik ve fizik derslerinin en çok ikisinden kalanların oluşturduğu bir sınıfta, fizikten geçen 16, matematikten geçen 20, matematik ve fizik derslerinin sadece birinden kalan 8 kişi olduğuna göre, sınıfta matematik ve fizikten geçen kaç kişi vardır? 3. İngilizce veya Almanca bilenlerin oluşturduğu 165 kişilik bir toplulukta, İngilizce bilenlerin % 60 ı Almanca, Almanca bilenlerin % 20 si İngilizce bilmemektedir. Buna göre, İngilizce ve Almanca dillerini bilen kaç kişi vardır? kişilik bir sınıfta sadece dama oynayanların sayısı, sadece satranç oynayanların 2 katı ve hem dama hem satranç oynayanların 3 katıdır. Sınıfta dama ve satranç oynamayı bilmeyenlerin sayısı 60 ise satranç bilmeyenlerin sayısı kaçtır? 4. Bir sınıftaki öğrencilerin % 60 ı kız öğrencidir. Kız öğrencilerin % 80 i, erkek öğrencilerin % 60 ı matematik dersinden başarılıdır. Buna göre, bu sınıfın matematik dersinden başarısı yüzde kaçtır? 21

14 REHBER SORU 16 REHBER SORU kişilik bir sınıfta bulunanların 14 ü erkektir. Gözlüklü öğrencilerin sayısı 10 olup, gözlüksüz erkeklerin sayısı, gözlüklü kızların sayısının 2 katı ise gözlüklü kızların sayısı kaçtır? Futbol, basketbol, voleybol oynayanlar ya da oynamayanlardan oluşan bir grupta, en çok iki oyun oynayan 24 kişi, en çok bir oyun oynayan 12 kişi, en az iki oyun oynayan 14 kişi bulunduğuna göre, üç oyunu da oynayan kaç kişi vardır? kişilik bir sınıfta 15 kişi gözlüklüdür. Bu sınıfta gözlüklü olmayan erkeklerin sayısı gözlüklü kızların sayısının iki katıdır. Erkeklerin 5 i gözlüklü olduğuna göre, kız öğrencilerin sayısı kaçtır? 1. Herkesin futbol, voleybol ve basketbol oyunlarından en az birini oynadığı bir sınıftaki öğrencilerin 8 i futbol, 11 i basketbol, 13 ü voleybol oynayabiliyor. Bu öğrencilerin 3 ü futbol ve voleybol, 4 ü futbol ve basketbol, 2 si basketbol ve voleybol, 1 i de her üç oyunu oynayabildiğine göre, sınıf mevcudu kaçtır? kişilik bir sınıfta bulunan, gözlüksüz kızların sayısı gözlüklü erkeklerin sayısının 2 katıdır. Sınıftaki gözlüklü kızların sayısı gözlüklü erkeklerin sayısından 4 eksik olup, 10 gözlüksüz erkek bulunduğuna göre, bu sınıftaki gözlüklü kızların sayısı kaçtır? 2. İngilizce, Fransızca ve Almanca dillerinden en az birini bilen öğrencilerden oluşan 36 kişilik bir sınıfta, her üç dili de bilenlerin sayısı 3 tür. Sadece İngilizce, sadece Fransızca ve sadece Almanca bilenlerin sayıları birbirine eşittir. Bu sınıfta herhangi iki dili bilenler var ve sayıları da birbirine eşit olduğuna göre, İngilizce bilenlerin sayısı en az kaçtır? 3. Bir sınıfta 8 i sarışın olmak üzere 36 öğrenci vardır. Bunlardan 20 tanesi erkektir ve kız öğrencilerin 10 tanesi sarışın değildir. Buna göre, sınıftaki sarışın olmayan erkek öğrenci sayısı kaçtır? 3. Futbol, basketbol ve voleybol sporlarından en az ikisini yapanların oluşturduğu bir toplulukta, futbol oynayan 16, basketbol oynamayan 4 ve voleybol oynamayan 6 kişi olduğuna göre, basketbol oynayan en az kaç kişi vardır? 22

15 REHBER SORU 18 REHBER SORU 19 (3 a 1, 2a b) = (9, 10) eşitliğini sağlayan b değeri kaçtır? A x B = {(1, x), (1, y), (2, x), (2, y) } B x C = {(x, a), (x, b), (y, a), (y, b) } olduğuna göre, C x A kümesini bulunuz. 1. (x + 2, y 1) = (5, 4) ise x.y kaçtır? 1. A = {1, 2, 3 } ve B = {a, b } ise A x B kümesini bulunuz. 2. ( x+ 2, y + z, 9) = (2, 1, y 2 + z 2 ) ise x.y.z kaçtır? 2. A x B = {(a, 1), (b, 1), (c, 1), (a, 2), (b, 2), (c, 2) } olduğuna göre, s(a B) kaçtır? a c, m= c, 2m ise a + b kaçtır? 6 b 3 3. A = {1, 2, 3, 4 }, B = {4, 5, 6 }, C = {a, b } ise C x (A B) nin eşiti nedir? 4. (2 n, 125) = (16, 5 m 1 ) ise m + n kaçtır? 4. A = {1, 2, 3 }, B = {2, 3, 4, 5 } ve C = {1, 2, 3, 4} olduğuna göre, (A B) x (B C) kümesinin eleman sayısı kaçtır? 5. (x.y, 2) = (6, x) ise x + y kaçtır? 5. A = {1, 2, 3, 4 }, B = {3, 4, 5, 6, 7, 8 } ve C = {2, 3, 4, 5, 6} olduğuna göre, (A x B) (B x C) kümesinin eleman sayısı kaçtır? 23

16 REHBER SORU 20 Aşağıda bazı kartezyen çarpım grafikleri çizilmiştir. İnceleyiniz. B B B B 3 2 AxB 2 AxB 2 AxB AxB A A A 0 2 A A = { 1, 2, 3 } B = { 1, 2 } A = { 1, 2 } B = ( 1, 2 ] A = ( 1, 3 ] B = { 1, 2 } A = [ 0, 2 ) B = [ 1, 3 ] 1. A = {a, b } ve B = {1, 2, 3 } ise A x B kümesinin grafiğini çiziniz. 4. A = [ 1, 3 ] ve B = (0, 3 ] ise A x B nin grafiğini çiziniz. 2. A = {1, 2 } ve B = [0, 3) ise A x B nin grafiğini çiziniz. 5. A = {0, 1, 2 } ve B = {1, 2 } olmak üzere, A x B kümesinin bütün elemanlarını içinde bulunduran en küçük dairenin çapı kaçtır? 3. A = [1, 2 ] ve B = {2, 3 } ise B x A nın grafiğini çiziniz. 6. A = { x : 2 x < 3 ve x R } olmak üzere, A x A kümesinin analitik düzlemdeki görüntüsünün alanı kaç br 2 dir? 24

17 REHBER SORU 21 s(a) = 2 ve s(c B) = 6 ise s[(a x B) (A x C) ] kaçtır? 1. s(a) = 3 ve s(a x B) = 18 ise s(b) kaçtır? 4. s(a) = 6, s(b) = 8, s(c) = 10 olduğuna göre, (A x B) (A x C) kümesinin eleman sayısı en çok kaç olabilir? 2. s(a) = 4 ve s(b C) = 5 olduğuna göre, s[(a x B) (A x C) ] kaçtır? 5. s(a) = 4, s(b) = 6, s(c) = 8 olduğuna göre, (A x B) (A x C) kümesinin eleman sayısı en az kaç olabilir? 3. A, B ve C birbirinden ve boş kümeden farklı kümelerdir. s[(a x B) (A x C) ] = 12 ise s(a) en çok kaçtır? 6. A = {a, b, c}, B = {c, d, e}, B C = ve s[a x (B C)] = 36 olduğuna göre, s(c) kaçtır? 25

18 I. Sol sü tun da verilen kümelerin eşitini sağ sü tun da bulup eş leş ti riniz. a. A 1. A b. A 2. E c. 3. d. E A 4. A II. Sol sü tun da verilen kümelerin eşitini sağ sü tun da bulup eş leş ti riniz. a. A B 1. A B b. A B 2. A c. A A 3. d. A 4. A B III. Sol sü tun da verilen kümelerin eşitini sağ sü tun da bulup eş leş ti riniz. a. (A B ) 1. A B b. (A B) 2. A B c. (A B) 3. A B d. (A B ) 4. A B 26

19 SOLDAN SAĞA 3. (A B) = A B ve (A B) = A B kurallarına adını veren matematikçi 6. Üzerinde işlem yapılan ve tüm kümeleri kapsayan küme 8. E evrensel kümesinin bir A alt kümesi için E de olup A da olmayan elemanların oluşturduğu küme 10. Eleman sayısı tespit edilebilen kümelere verilen ad YUKARIDAN AŞAĞIYA 1. Elemanı olmayan kümeye verilen ad 2. Kümeleri, kümelerin kesişimini ve birleşimini kapalı eğrilerle gösteren ilk matematikçi 4. Herbiri ayrı bir cümle kuruluşunu gerektiren birkaç elemanın tek bir kuruluş içine alınması 5. Öğe 7. Ortak elemanı bulunmayan 9. Arakesit 11. Bir kümenin alt küme sayısının bir eksiği 12. Matematikte simgesinin adı 27

20 Aşağıdaki soruların her birinde noktalı yerleri uygun şekilde doldurunuz. 1. Bir kümenin kendisinden farklı olan her alt kümesine... denir. 2. A E olmak üzere E evrensel kümesinin A da bulunmayan elemanlarına A kümesinin... denir. A = {1, 2, {1, 2 }, {3 }, 4 } kümesine göre 3, 4 ve 5. sorulardaki noktaları yerlere, veya sembollerinden uygun olanları yerleştiriniz A 4. {1, 2, 4 } A 5. {3 } A 6. A (B C) = 7. A (B C) = 8. A B ise A B = 9. A B ise A B = 10. A B = ise 28

21 Aşağıdaki ifadelerden doğru olanlar için kutucuklara D, yanlış olanlar için Y yazınız. 1. Küme tanımsız bir kavramdır. 2. Eleman sayıları eşit olan kümelere eşit kümeler denir. 3. Boş küme her kümenin bir alt kümesidir. 4. Tam sayılar kümesi sonsuz elemanlı bir kümedir elemanlı bir kümenin 5 elemanlı alt kümelerinin sayısı 3 elemanlı alt kümelerinin sayısına eşittir. 6. Bir kümenin alt kümeleri arasında kendisi de vardır. 7. Her kümenin öz alt kümesi vardır. 8. { } kümesinin alt küme sayısı 1 dir. 9. kümesinin eleman sayısı 0 dır. 10. MATEMATİK sözcüğündeki harflerle oluşturulan kümenin eleman sayısı 6 dır. 29

22 30

23 TEST - 1 Kümeler 1. M N = {1, 2, 3 }, M K = {1, 4 } olduğuna göre M (N K) kümesi nedir? A) {1 } B) {1, 4 } C) {1, 2, 3, 4 } D) {1, 2, 4 } E) Ø 5. I. A A II. Ø A III. (A B B C) A C IV. (A B B A) A B V. (A B B A) A B Yukarıdaki önermelerden kaç tenesi doğrudur? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 2. A B = {a, b, c, d, e, f, g, h } A B = {a, b, c } A B = {e, f, g } olduğuna göre, B kümesi aşağıdakilerden hangisidir? 6. A B, A B, B A kümelerinin alt kümeleri sayısı sırasıyla 128, 4, 16 dır. Buna göre A B kümesinin alt küme sayısı kaçtır? A) {a, b, c, d } B) {a, b, c, d, h } C) {d, h } D) {a, b, c, h } E) {e, f, g, h } A) 0 B) 1 C) 2 D) 4 E) 8 3. s(a B) = s(a) + s(b) olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur? A) s(a) = s(b) B) s(a B) = 1 C) s(a B) = 0 D) s(a B) = 0 E) s(a) = 0 7. A ve B iki kümedir. A nın 3 elemanı, B nin 2 elemanı A B nin elemanı değildir. A nın öz alt küme sayısı 1023 ise B nin alt küme sayısı kaçtır? A) 32 B) 64 C) 128 D) 256 E) elemanlı bir kümenin en az üç elemanlı kaç tane alt kümesi vardır? A) 42 B) 40 C) 38 D) 36 E) [(A B) A] A aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) A B) E C) A B D) A B E) A B 31

24 9. s(a B) = 17, s(a B) = 4, s(a) = 2s(B) olduğuna göre, B kümesinin kaç tane alt kümesi vardır? A) 8 B) 16 C) 32 D) 64 E) A = { a, b, c, d, e, f} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde en az bir sesli harf bulunur? A) 16 B) 32 C) 42 D) 48 E) A B = B olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur? kişilik bir gezi grubunda 26 kişi Kapadokya yı, 29 kişi Efes i, 11 kişi ise bu iki yeri de görmek istemektedir. Her iki yeri de görmek istemeyenlerin sayısı kaçtır? A) B A B) A B C) A B = Ø D) A B = E E) A = B A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) s(a) = 7, s(b) = 5 ve A B Ø dir. A B nin en çok eleman sayısı x, en az eleman sayısı y ise x + y nin değeri nedir? A) 5 B) 7 C) 12 D) 17 E) kişilik bir sınıfta, 15 kişi matematik dersinden başarılı, 20 kişi fizik dersinden başarısız ve 8 kişi de her iki dersten başarısızdır. Bu sınıfta sadece fizik dersinden başarılı olan kaç kişi vardır? A) 19 B) 20 C) 21 D) 22 E) {m, k, p } kümesinin kaç alt kümesinde m harfi bulunur? 16. Bir sınıfta matematik ve fizik derslerinden yalnız birinden geçenler 17, en az birinden geçenler 18, en çok birinden geçenler 24 kişi olduğuna göre, sınıfta kaç kişi vardır? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 A) 36 B) 34 C) 28 D) 25 E) 20 32

25 TEST - 2 Kümeler 1. Şemaya göre, (E A) (B C) kümesi aşağıdakilerden hangisidir? B C 2 3 A E 5. A ve B iki kümedir. s(b A) = 2, s(a B) = 2s(B) ve A B nin alt küme sayısı 8 ise A kümesinin eleman sayısı kaçtır? A) 13 B) 10 C) 8 D) 7 E) 5 A) {3, 7 } B) {3, 6, 7, 8 } C) {3, 6, 7 } D) {3, 8 } E) {3, 7, 8 } 2. A = {x x 2 4 ; x Z } A kümesinin öz alt küme sayısı aşağıdakilerden hangisidir? 6. Bir kümenin 3 elemanlı alt küme sayısı, 5 elemanlı alt küme sayısına eşittir. Bu kümenin 2 elemanlı alt küme sayısı kaçtır? A) 28 B) 26 C) 15 D) 10 E) 8 A) 7 B) 8 C) 15 D) 31 E) A = {a, b, c, {d }, e }, B = {b, c, d, {e } } kümeleri veriliyor. A B kümesinin alt küme sayısı kaçtır? A) 2 B) 4 C) 8 D) 16 E) A = {a, b, c, d, e, f, g } kümesinin 5 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde f ve g bulunur? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) A ve B kümeleri veriliyor. s(a B) = 3s(A B) = 4 3 s(b A) ve s(a B) = 32 ise B kümesi kaç elemanlıdır? 8. En çok iki elemanlı alt kümelerinin sayısı 29 olan bir kümenin en az dört elemanlı kaç tane alt kümesi vardır? A) 16 B) 20 C) 22 D) 24 E) 26 A) 64 B) 63 C) 62 D) 56 E) 44 33

26 9. [A (A B)] A kümesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) A B) A C) A B D) A B E) A B 13. A ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesidir. s(b) = 8, s(b ) = 12 ve s(a) = 3s(A ) ise A kümesi kaç elemanlıdır? A) 20 B) 18 C) 15 D) 10 E) E = {x 17 < x < 53, x Z } ve A = {x 25 x 47, x Z } olduğuna göre, s(a ) kaçtır? A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) A B, B A, A B Ø, s(a B) = 9 olduğuna göre, B kümesi en az kaç elemanlıdır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) A = {x 141 < x < 252, x tam sayı } kümesinde 5 ile bölünebilen kaç tane sayı vardır? A) 50 B) 29 C) 22 D) 21 E) M ve N dergilerinden en az birini takip edenlerden oluşan bir sınıfın % 60 ı M dergisini, % 80i N dergisini alıyor. İki dergiyi de takip eden 14 kişi olduğuna göre, sınıfın mevcudu kaç kişidir? A) 20 B) 25 C) 30 D) 35 E) kişilik bir topluluk İngilizce veya Fransızca dillerinden en az birini bilenlerden oluşmaktadır. Bu toplulukta İngilizce bilenler, Fransızca bilenlerin 5 katı olduğuna göre, sadece İngilizce bilen kaç kişi vardır? kişilik bir toplulukta İngilizce, Fransızca ve Almanca dillerinden en az birini bilenler bulunmaktadır. İngilizce bilen 30, Fransızca bilen 20, Almanca bilen 18 kişidir. Sadece iki dil bilenlerin sayıları eşit ve bunların toplamı 15 kişi olduğuna göre, üç dili de bilen kaç kişi vardır? A) 20 B) 22 C) 24 D) 26 E) 28 A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 34

27 TEST - 5 Kümeler 1. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 1 veya 2 eleman olarak bulunup, 3 bulunmaz? A) 8 B) 16 C) 24 D) 32 E) A ve B ayrık olmayan iki kümedir. s(a) = 8 ve s(b) = 6 ise s(a B) en fazla kaçtır? A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 6 ve 7 eleman olarak bulunur? A) 5 B) 10 C) 12 D) 15 E) A = {a, b, c, d} ve B = {b, c, e} ise A B = A C koşulunu sağlayan en çok kaç tane C kümesi yazılabilir? A) 1 B) 7 C) 8 D) 15 E) A = {1, 2, 3, 4, 5, 6 } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde en çok bir çift sayı bulunur? A) 8 B) 16 C) 24 D) 32 E) Aynı evrensel kümeye ait A, B, C kümeleri için, s(a) + s(b) = 12, s(a ) + s(b ) = 16 ve s(c) = 8 ise s(c ) kaçtır? A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2 4. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 1 veya 2 eleman olarak bulunup, 3 bulunmaz? A) 4 B) 8 C) 10 D) 12 E) A ve B iki küme, A B ve s(a B ) = 36, s(b A ) = 10 ve s(a ) = 44 ise s(a) kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 39

28 9. A B = {a, b, c } ve A C = {a, c, d, e } ise A (B C) kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {a, b, c } B) {a, c } C) {a } D) {a, b, c, d, e } E) {a, b, c, d } kişilik bir sınıfta sadece matematikten kalanların sayısı, sadece fizikten kalanların sayısı ve bu iki dersten de geçenlerin sayısı eşittir. Bu sınıfta hem matematikten hem de fizikten kalanların sayısı aşağıdakilerden hangisi olamaz? A) 6 B) 8 C) 12 D) 18 E) E evrensel kümesinin iki alt kümesi A ve B dir. A B Ø, s(a B) = 2.s(A B) + 15 ve s(a) = 9 ise B kümesi en az kaç elemanlıdır? A) 3 B) 5 C) 7 D) 9 E) A ve B derslerinden en az birini seçenlerden oluşan bir toplulukta A dersini seçenlerin % 20 si B dersini de seçmiştir. Yalnız A dersini seçenlerin sayısının % 25 i ise yalnız B dersini seçenlerin sayısına eşittir. Bu toplulukta 36 kişi olduğuna göre, her iki dersi seçenlerin sayısı kaçtır? A) 3 B) 6 C) 8 D) 9 E) A ve B iki küme, s(a) = 6, s(b) = 14 ve A B Ø olmak üzere A B kümesinin en az elaman sayısı a, en çok eleman sayısı b ise a + b nedir? A) 34 B) 33 C) 32 D) 31 E) Bir topluluğun % 24 ü Türkçe, % 16 sı İngilizce ve % 4 ü her iki dili de bilmektedir. Bu toplulukta her iki dili de bilmeyen 32 kişi bulunduğuna göre, her iki dili de bilen kaç kişi vardır? A) 12 B) 8 C) 4 D) 2 E) A = {x : x < 100, x N } kümesinin elemanlarından kaç tanesi 2 ile bölünemez veya 3 ile bölünemez? A) 33 B) 66 C) 67 D) 82 E) A, B, C seçmeli derslerinden en az birini seçen 22 kişilik bir öğrenci grubunda A yı seçenlerin hiç biri B veya C yi seçmemiştir. Bu grupta C yi seçmeyen 11 kişi, B yi seçmeyen 15 kişi, A, B veya C den yalnız birini seçen 17 kişi olduğuna göre, C yi seçen öğrenci sayısı A yı seçen öğrenci sayısından ne kadar fazladır? A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1 40

29 Yazılıya Hazırlık Soruları 1. A ve B kümeleri için A B, A B ve A B kümelerinin alt küme sayıları sırasıyla 32, 256 ve 2 ise s(b A ) kaçtır? 4. A = {1, 2, 3 }, B = {1, 2, 3, 4, 5, 6 } olmak üzere, A C B koşulunu sağlayan C kümelerinden kaç tanesi B kümesinin öz alt kümesidir? 2. A ve B kümeleri E evrensel kümesinin iki alt kümesidir. s(a B) = 8, s(b) = 9 ve s(e) = 24 ise s(a B) kaçtır? 5. {a, b, c, d, e, f, g, k } kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde sesli harf bulunur? 3. A B = {2, 3, 4, 5 } ve B C = {3, 5, 8, 9 } ise (A C) B kümesini bulunuz. 6. A = {x : x 2 9 = 0, x N } B = {x : 0 < x 4, x Z } olmak üzere A B kümesinin en az 3 elemanlı kaç tane alt kümesi vardır? 41

30 7. A, B, C kümeleri için A B C, s(a B C) = 12, s(a ) = 9, s(b ) = 4 ise s(b A) kaçtır? 9. A = {1, 2, 3, 4 }, B = {3, 4, 5 }, C = {3, 4, 6 } olmak üzere (A x C) (B x C) kümesini bulunuz. 8. A x B = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)} B x C = {(a, 1), (b, 1), (c, 1)} olduğuna göre, B x (A C) kümesi nedir? kişilik bir sınıfta 14 kişi futbol, 8 kişi voleybol, 13 kişi basketbol oynuyor. Bu oyunlardan yalnız ikisini oynayan 9 kişi, oyunlardan hiç birini oynamayan 3 kişi ise üç oyunu da oynayan kaç kişidir? 42

31 Üniversiteye Giriş Sınav Soruları ÖYS s(a \ B) = 9, s(b \ A) = 7 ve A B nin alt küme sayısı 64 olduğuna göre, s(a B) kaçtır? A) 16 B) 22 C) 24 D) 26 E) ÖSS A = {a, b, c, d, e } kümesinin, 3 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde a elemanı bulunur? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) ÖYS A = {Sınıftaki gözlüklü öğrenciler } B = {Sınıftaki sarışın öğrenciler } C = {Sınıftaki erkek öğrenciler } D = {Sınıftaki kız öğrenciler } olduğuna göre, C A (B D) kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {Sınıftaki sarışın olmayan, gözlüklü erkek öğrenciler } B) {Sınıftaki gözlüklü olmayan, sarışın erkek öğrenciler } C) {Sınıftaki gözlüklü olmayan, sarışın kız öğrenciler } D) {Sınıftaki gözlüklü erkek öğrenciler } E) {Sınıftaki sarışın kız öğrenciler } ÖYS A ve B herhangi iki küme ve A B, A \ B, B \ A kümelerinin alt küme sayıları sırasıyla 512, 32 ve 4 olduğuna göre, A B kümesinin eleman sayısı kaçtır? A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) ÖYS E evrensel küme olmak üzere, s(e) = 9, s(a B) = 3, s(a B) = 6 ve s(b) = 4 olduğuna göre, A kümesinin tümleyeni olan A kümesinin eleman sayısı kaçtır? A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) ÖYS M ve N kümeleri, M = {a, b, {1, 2 }, } N = {a, 1, 2, { } } olduğuna göre, M \ N fark kümesinin 2 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) ÖYS A = {a, c, d } B = {a, b, c, d, e, f, g } olduğuna göre, B nin alt kümelerinin kaç tanesi, A kümesini kapsar? A) 16 B) 32 C) 48 D) 96 E) ÖSS A = { x l 11 x 1200, x = 4n, n N } B = { y l 8 < y < 900, y = 6k, k N } olduğuna göre, (A B) nin eleman sayısı kaçtır? A) 64 B) 66 C) 68 D) 70 E) ÖYS A = {1, 2, 3, 4, 5 } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 5 elemanı bulunur? A) 24 B) 22 C) 20 D) 16 E) 8 43

32 ÖYS 18 kişilik bir sınıfta öğrenciler İngilizce, Fransızca dillerinden en az birini bilmektedir. İngilizce bilenlerin sayısı Fransızca bilenlerin üç katıdır. Buna göre sadece Fransızca bilenlerin sayısı aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) ÖSS Pozitif tam sayılardan oluşan A = {x l x < 100, x = 2n, n Z + } B = {x l x < 151, x = 3n, n Z + } kümeleri veriliyor. Buna göre, A B kümesinin eleman sayısı kaçtır? A) 49 B) 65 C) 74 D) 83 E) ÖSS A ve B kümeleri E evrensel kümesinin alt kümeleri olmak üzere, s(e) =12, s(a \ B) = 4 ve s(a B ) = 3 olduğuna göre, B kümesinin eleman sayısı kaçtır? A) 2 B) 4 C) 5 D) 6 E) ÖSS Bir sınıftaki erkeklerin sayısının kızların sayısına 3 oranı dir. Erkeklerin % 20 si futbol oynadığına 7 göre, futbol oynamayan erkeklerin sayısı tüm sınıfın yüzde kaçıdır? ÖSS Boş kümeden farklı A ve B kümeleri için 3.s(A \ B) = 4.s(A B) = 5.s(B \ A) olduğuna göre, A B kümesinin eleman sayısı en az kaçtır? A) 12 B) 27 C) 35 D) 47 E) 60 A) 16 B) 18 C) 20 D) 22 E) ÖSS A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 2 bulunur; ama 4 bulunmaz? A) 10 B) 15 C) 20 D) 50 E) ÖSS Bir sınıfta Almanca veya Fransızca dillerinden en az birini bilen 40 öğrenci vardır. Almanca bilenlerin sayısı; Fransızca bilenlerin sayısının 2 katı, her iki dilide bilenlerin sayısının ise 4 katıdır. Buna göre, sınıfta Almanca bilenlerin sayısı kaçtır? A) 18 B) 20 C) 24 D) 30 E) ÖSS Kesişimleri boş küme olmayan M ve N kümeleri için, s(n) = 4.s(M) s(n \ M) = 5.s(M \ N) olduğuna göre, N kümesi en az kaç elemanlıdır? A) 12 B) 16 C) 18 D) 20 E) 24 44

33 ÖSS K = { 2, 1, 0, 1, 2, 3 } kümesinin üç elemanlı alt kümelerinden kaç tanesinin elemanları çarpımı bir negatif tam sayıya eşittir? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) LYS A = {n Z + n 100; n, 3 e tam bölünür. } B = {n Z + n 100; n, 5 e tam bölünür. } kümeleri veriliyor. Buna göre, A \ B fark kümesinin eleman sayısı kaçtır? A) 33 B) 32 C) 30 D) 28 E) ÖSS Herhangi A ve B kümeleri için (A B) (A B) fark kümesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) A (A B) B) A (A B) C) (A B) (B A) D) (A B) (B A) YGS 3 16 A = ;, 5E B = ; 3, E 2 3 kapalı aralıkları için (A B) Z kümesinin eleman sayısı kaçtır? (Z, tam sayılar kümesidir.) A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 E) (A B) (A B) YGS A = {a, b, e } B = {a, b, c, d } olduğuna göre, (A B) K (A B) koşulunu sağlayan kaç tane K kümesi vardır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 8 E) LYS Bir öğrenci, doğru olduğunu düşündüğü aşağıdaki iddiayı ispatlarken bir hata yapmıştır. İddia: A, B, C herhangi kümeler olmak üzere, A \ ( B C ) ( A \ B ) ( A \ C ) dir. Öğrencinin ispatı: A \ ( B C ) kümesinin her elemanının ( A \ B ) ( A \ C ) kümesinde olduğunu gösterirsem ispat biter. Şimdi, x A \ ( B C ) alalım YGS n bir pozitif tam sayı olmak üzere, n yi kalansız bölen pozitif tam sayıların kümesi S(n) ile gösteriliyor. Buna göre, S(60) S(72) kesişim kümesinin eleman sayısı kaçtır? A) 8 B) 9 C) 6 D) 5 E) 4 I. Buradan x A ve x ( B C ) olur. II. Buradan x A ve ( x B ve x C ) olur. III. Buradan ( x A ve x B ) ve ( x A ve x C ) olur. IV. Buradan x A \ B ve x A \ C olur. V. Buradan x [ ( A \ B ) ( A \ C ) olur. Bu öğrenci, numaralandırılmış adımların hangisinde hata yapmıştır? A) I B) II C) III D) IV E) V 45

34 46

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT Kümelerde Temel Kavramlar 1. Kazanım : Küme kavramını açıklar; liste, Venn şeması ve ortak özellik yöntemleri ile gösterir. 2. Kazanım : Evrensel küme,

Detaylı

TEST - 1 ÖDEV TESTİ elemanlı alt kümelerinin sayısı 3 elemanlı alt kümelerinin. 1. A = {1, {2}, {1, 2}, 3, Ø} kümesi için aşağıdakilerden

TEST - 1 ÖDEV TESTİ elemanlı alt kümelerinin sayısı 3 elemanlı alt kümelerinin. 1. A = {1, {2}, {1, 2}, 3, Ø} kümesi için aşağıdakilerden 10 Kümeler ÖDEV TESTİ TEST - 1 6. 5 elemanlı alt kümelerinin sayısı 3 elemanlı alt kümelerinin sayısına eşit olan bir kümenin en az 6 elemanlı kaç alt kümesi vardır? ) 24 ) 28 C) 37 D) 38 E) 42 1. = {1,

Detaylı

1 A IV. a. Kümelerin Gösterimleri-Boş Küme-Denk ve Eşit Kümeler A II. A. a VI. A. b C ) c. 1. A kümesini venn şeması ile gösteriniz.

1 A IV. a. Kümelerin Gösterimleri-Boş Küme-Denk ve Eşit Kümeler A II. A. a VI. A. b C ) c. 1. A kümesini venn şeması ile gösteriniz. Kümelerin Gösterimleri-Boş Küme-Denk ve Eşit Kümeler 1. kümesini venn şeması ile gösteriniz. 6. M kümesine denk olan N kümesini ortak özellik yöntemi ile gösteriniz. 2. B kümesini liste yöntemi ile gösteriniz.

Detaylı

KÜMELER Test -1. 5. A a,b,c, 1,2, 5. 1. A a,b,c,d 2. A,1,2,3, 1. 7. s(a) = 10 ve s(b) = 7. 4. B x:0 x 40 ve x 5k, k. 8. s(a) = 9 ve s(b) = 4

KÜMELER Test -1. 5. A a,b,c, 1,2, 5. 1. A a,b,c,d 2. A,1,2,3, 1. 7. s(a) = 10 ve s(b) = 7. 4. B x:0 x 40 ve x 5k, k. 8. s(a) = 9 ve s(b) = 4 KÜMELER Test -1 1. A a,b,c,d kümesi için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) A B) a A C) d A D) {a, c} A E) {a} A 5. A a,b,c, 1,2, 5 kümesi için aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) s(a) = 6 B) b A C)

Detaylı

Starboard dosya aç dosyayı seçerek Andropi teach menu içe aktar dosyayı seçiyoruz nesne olarak seç

Starboard dosya aç dosyayı seçerek Andropi teach menu içe aktar dosyayı seçiyoruz nesne olarak seç Not: Starboard programında dosya aç kısmından dosyayı seçerek açabilirsiniz. Yazı karakterlerinde bozulma oluyorsa program kapatılıp tekrar açıldığında yazı düzelecektir. Ben yaptığımda düzelmişti. Andropi

Detaylı

Cebir Notları. Kümeler TEST I. Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr. www.matematikclub.com, 2006

Cebir Notları. Kümeler TEST I. Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr. www.matematikclub.com, 2006 , 2006 MC Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr Kümeler TEST I 1. s(a) = 13 s(a \ B) = 7 s(a B) = 23 ise, s(b) nedir? A) 6 B) 7 C) 10 D) 13 E) 16 7. Üç basamaklı 5 ve 7 ile tam bölünebilen,

Detaylı

Cebir Notları. Kümeler. Gökhan DEMĐR, KÜME KAVRAMI

Cebir Notları. Kümeler. Gökhan DEMĐR, KÜME KAVRAMI , 2006 MC Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr Kümeler KÜME KVRMI Kümenin tanım yoktur. undan dolayı kümeyi tanıtmaya çalışalım. Küme kavramında bir topluluk, bir kolleksiyon ifadesi vardır.

Detaylı

SONUÇ YAYINLARI. 9. Sınıf Kümeler

SONUÇ YAYINLARI. 9. Sınıf Kümeler 9. SINIF SONUÇ YYINLRI 9. Sınıf Kümeler Bu kitabın tamamının ya da bir kısmının, kitabı yayımlayan şirketin önceden izni olmaksızın elektronik, mekanik, fotokopi ya da herhangi bir kayıt sistemiyle çoğaltılması,

Detaylı

TEOG. Kümeler KÜME VE ELEMAN KAVRAMI ÖRNEK KÜMELERİN GÖSTERİMİ ÖRNEK ÖRNEK KÜMENİN ELEMAN SAYISI ÖRNEK 3. ORTAK ÖZELLİK YÖNTEMİ 1.

TEOG. Kümeler KÜME VE ELEMAN KAVRAMI ÖRNEK KÜMELERİN GÖSTERİMİ ÖRNEK ÖRNEK KÜMENİN ELEMAN SAYISI ÖRNEK 3. ORTAK ÖZELLİK YÖNTEMİ 1. TEOG ümeler ÜE VE EEN VRI Elemanları belirlenebilen, belirli bir anlam taşıyan canlı ya da cansız varlıkların veya kavramların oluşturduğu topluluğa küme denir. ümeyi oluşturan varlıkların, kavramların

Detaylı

Örnek...1 : Örnek...2 : A = { a, {a}, b, c, {b, d}, d }, B = { {a}, {c, d}, c, d, x, Δ } k ümeleri için s( AUB) kaçtır?

Örnek...1 : Örnek...2 : A = { a, {a}, b, c, {b, d}, d }, B = { {a}, {c, d}, c, d, x, Δ } k ümeleri için s( AUB) kaçtır? KÜMELER 2 İKİ KÜMENİN BİRLEŞİMİ A ve B gibi iki kümeden, A' ya veya B' ye ait olan elemanlardan oluşan yeni kümeye A ile B' nin birleşimi denir ve AUB ile gösterilir. Bu gösterim A birleşim B di ye okunur.

Detaylı

YAZILI ÇALIŞMA TEKNİKLERİ. w w w. g e o m e t r i g o r m e t e k n i k l e r i. c o m. { } : boþ küme demek deðildir. ÇÖZÜMÜ:

YAZILI ÇALIŞMA TEKNİKLERİ. w w w. g e o m e t r i g o r m e t e k n i k l e r i. c o m. { } : boþ küme demek deðildir. ÇÖZÜMÜ: KONU BİLGİSİ 1.KÜME TNIMI VE GÖSTERÝM ÞEKÝLLERÝ Belli özellikleri saðlayan nesneler topluluðuna küme denir. Kümede tüm elemanlar net olmalýdýr. Kümeler büyük harflerle gösterilir. Bir kümede bir eleman

Detaylı

YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK

YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK İÇİNDEKİLER Kümeler 5 44 Fonksiyonlar 1 45 88 Fonksiyonlar 2 89 124 Sayma Kuralları 125 140 Faktöriyel

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 3.KONU Kümeler Teorisi; Küme işlemleri, İkili işlemler 1. Altküme 2. Evrensel Küme 3. Kümelerin Birleşimi 4. Kümelerin Kesişimi 5. Bir Kümenin Tümleyeni

Detaylı

İlter TÜRKMEN, Tolga TANIŞ, Simay AYDIN,

İlter TÜRKMEN, Tolga TANIŞ, Simay AYDIN, YAYIN KURULU Hazırlayanlar İlter TÜRKMEN, Tolga TANIŞ, Simay AYDIN, YAYINA HAZIRLAYANLAR KURULU Kurumsal Yayınlar Yönetmeni Saime YILDIRIM Kurumsal Yayınlar Birimi Dizgi & Grafik Mustafa Burak SANK & Ezgi

Detaylı

KÜMELER. A = {x : (x in özelliği)} Burada x : ifadesi öyle x lerden oluşur ki diye okunur. Küme oluşturur. Çünkü Kilis in üç tane ilçesi.

KÜMELER. A = {x : (x in özelliği)} Burada x : ifadesi öyle x lerden oluşur ki diye okunur. Küme oluşturur. Çünkü Kilis in üç tane ilçesi. KÜMELER Canlı yada cansız varlıkların oluşturduğu iyi A = {a, b, {a, b, c}} ise, s(a) = 3 tür. tanımlanmış nesneler topluluğuna küme denir. 2. Ortak Özellik Yöntemi Kümenin elemanlarını, daha somut ya

Detaylı

Her türlü görüş, öneri ve eleştirilerinize açık olduğumu bilmenizi ister çalışmalarınızda ve sınavlarınızda başarılar dilerim.

Her türlü görüş, öneri ve eleştirilerinize açık olduğumu bilmenizi ister çalışmalarınızda ve sınavlarınızda başarılar dilerim. Önsöz Değerli Öğrenciler, u fasikül ortaöğretimde başarınızı yükseltmeye, üniversite giriş sınavlarında yüksek puan almanıza yardımcı olmak için özenle hazırlanmıştır. Konular anlamlı bir bütün oluşturacak

Detaylı

İçindekiler. 3. Sonlu ve Sonsuz Kümeler Denk ve Eşit Kümeler Kümelerde Birleşim ve Kesişim

İçindekiler. 3. Sonlu ve Sonsuz Kümeler Denk ve Eşit Kümeler Kümelerde Birleşim ve Kesişim İçindekiler 1. Küme Kavramı...6-7 2. Kümelerin Gösterimi...8-15 3. Sonlu ve Sonsuz Kümeler... 16-17 4. lt Küme Kavramı... 18-27 5. Denk ve şit Kümeler... 28-29 6. Kümelerde irleşim ve Kesişim... 31-41

Detaylı

KÜMELER A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 30 B) 31 C) 32 D) 33 E) 34 A) 30 B) 25 C) 21 D) 19 E) 17 A) 24 B) 26 C) 28 D) 30 E) 32

KÜMELER A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 30 B) 31 C) 32 D) 33 E) 34 A) 30 B) 25 C) 21 D) 19 E) 17 A) 24 B) 26 C) 28 D) 30 E) 32 TARAMA TESTİ 1 KÜMELER 1. A= x N : x 6 A B x N : x 8 B \ A aşağıdakikerden hangisidir? A)7,8 B)6,7,8 C)8 D)7 E) 2. A = x N : 2 x 7, B = x N : 2 x 5 olduğuna göre,a \ B nin eleman sayısı kaç? 3. A = x N

Detaylı

KÜMELER KÜMELER Kümeler Konu Özeti Konu Testleri (1 6) Kartezyen Çarpım Konu Özeti Konu Testleri (1 6)...

KÜMELER KÜMELER Kümeler Konu Özeti Konu Testleri (1 6) Kartezyen Çarpım Konu Özeti Konu Testleri (1 6)... Sayfa No....................................................................9 - Kümeler Konu Özeti.......................................................... 9 Konu estleri ( 6)...........................................................

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖNERMELER BİLEŞİK ÖNERMELER AÇIK ÖNERMELER İSPAT YÖNTEMLERİ

İÇİNDEKİLER ÖNERMELER BİLEŞİK ÖNERMELER AÇIK ÖNERMELER İSPAT YÖNTEMLERİ - MANTIK İÇİNDEKİLER Safa No Test No ÖNERMELER...-... - BİLEŞİK ÖNERMELER...-... -6 AÇIK ÖNERMELER...-6... 7-8 İSPAT YÖNTEMLERİ...7-8... 9-9 - KÜMELER KÜMELERDE TEMEL KAVRAMLAR...9-4... - KÜMELERDE İŞLEMLER...5-6...

Detaylı

Matematik. Körfez Yayınları. YGS - LYS Ön Hazırlık

Matematik. Körfez Yayınları. YGS - LYS Ön Hazırlık Matematik R İ T N R Ö SAYISAL K E YGS - LYS Ön Hazırlık Copyright Çağlayan Basım Yayın Dağıtım Ambalaj San. Tic. A.Ş. Bu kitabın tamamının ya da bir kısmının, kitabı yayımlayan şirketin önceden izni olmaksızın

Detaylı

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ AYRIK YAPILAR P r o f. D r. Ö m e r A k ı n v e Y r d. D o ç. D r. M u r a t Ö z b a y o ğ l u n u n Ç e v i r i E d i t ö r l ü ğ ü n ü ü s t l e n d i ğ i «A y r ı k M a t e m a t i k v e U y g u l a

Detaylı

TEMEL SAYMA KURALLARI

TEMEL SAYMA KURALLARI TEMEL SAYMA KURALLARI SAYMA Toplama Yoluyla Sayma A ve B sonlu ve ayrık kümeler olmak üzere, bu iki kümenin birleşiminin eleman sayısı; s(a,b) = s(a) + s(b) dir. Sonlu ve ayrık iki kümenin birleşiminin

Detaylı

YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ LÜ SORU BANKASI ANKARA ÖN SÖZ Sevgili Öğrenciler, ÖSYM nin son yıllarda yaptığı sınavlardaki matematik sorularının eski sınav sorularından çok farklı olduğu herkes tarafından

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar

TEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar TEMEL KAVRAMLAR Rakam: Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Bu semboller {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} kümesinin elemanlarıdır., b ve c birer rakamdır. 15 b = c olduğuna göre, + b + c

Detaylı

KÜMELER. Kümeler YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 MATEMATĐK ĐM /LYS. UYARI: {φ} ifadesi boş kümeyi göstermez.

KÜMELER. Kümeler YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 MATEMATĐK ĐM /LYS. UYARI: {φ} ifadesi boş kümeyi göstermez. MTEMTĐK ĐM YILLR 00 00 004 005 006 007 008 009 010 011 ÖSS-YGS - 1 - - - - - 1 1 1/1 /LYS KÜMELER TNIM: in tam bir tanımı yoksa da matematikçiler kümeyi; iyi tanımlanmış nesneler topluluğu olarak kabul

Detaylı

KÜMELER 05/12/2011 0

KÜMELER 05/12/2011 0 KÜMELER 05/12/2011 0 KÜME NEDİR?... 2 KÜMELERİN ÖZELLİKLERİ... 2 KÜMELERİN GÖSTERİLİŞİ... 2 EŞİT KÜME, DENK KÜME... 3 EŞİT OLMAYAN (FARKLI) KÜMELER... 3 BOŞ KÜME... 3 ALT KÜME - ÖZALT KÜME... 4 KÜMELERDE

Detaylı

MateMito AKILLI MATEMATİK DEFTERİ

MateMito AKILLI MATEMATİK DEFTERİ Ar tık Matematiği Çok Seveceksiniz! MateMito AKILLI MATEMATİK DEFTERİ Artık matematikten korkmuyorum. Artık matematiği çok seviyorum. Artık az yazarak çok soru çözüyorum. Artık matematikten sıkılmıyorum.

Detaylı

1. Bir kümenin eleman say s 3 artt r ld nda, alt küme say s 56 artmaktad r.

1. Bir kümenin eleman say s 3 artt r ld nda, alt küme say s 56 artmaktad r. 1. ir kümenin eleman say s artt r ld nda, alt küme say s 56 artmaktad r. una göre, ilk durumdaki kümenin eleman say - s kaçt r? ) 2 ) ) D) 5 E) 6 6. ve kümelere E evrensel kümesinin alt kümeleri olmak

Detaylı

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye KÜME AİLELERİ GİRİŞ Bu bölümde, bir çoğu daha önceden bilinen incelememiz için gerekli olan bilgileri vereceğiz. İlerde konular işlenirken karşımıza çıkacak kavram ve bilgileri bize yetecek kadarı ile

Detaylı

TEMEL SAYMA. Bill Gates

TEMEL SAYMA. Bill Gates Bölüm 1 TEMEL SAYMA YÖNTEMLERİ Firmamızın sahip olduğu tek şey insan düş gücüdür. Bill Gates Bu bölümde fazla kuramsal bilgi gerektirmeyen sayma problemleri üzerinde duracağız. Bu tür problemlerde sayma;

Detaylı

9. Sınıf Matemat k Ders İşleme Defter. Altın Kalem Yayınları

9. Sınıf Matemat k Ders İşleme Defter. Altın Kalem Yayınları 9. Sınıf Matemat k Ders İşleme Defter KÜMELER - 1 Altın Kalem Yayınları Küme: B rb r nden farklı nesneler n oluşturduğu topluluklar küme şekl nde adlandırılır. Kümey oluşturan nesneler n y bel rlenm ş

Detaylı

KÜMELER. Küme nesneler topluluğudur. Bu bölümde kümelerle kurulan matematiksel yapıyı tanıtacağız.

KÜMELER. Küme nesneler topluluğudur. Bu bölümde kümelerle kurulan matematiksel yapıyı tanıtacağız. KÜMELER Küme nesneler topluluğudur. u bölümde kümelerle kurulan matematiksel yapıyı tanıtacağız. Küme kavramı matematiğe girmeden önce matematik denilince akla sayılar ve şekiller gelirdi. Kümeler kuramının

Detaylı

ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI

ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI 1. 1999 ÖSS a, b, c pozitif gerçel (reel) sayılar olmak üzere a+ b ifadesindeki her sayı 3 ile çarpılırsa aşağıdakilerden hangisi elde c edilir? 3 a+ b A) B) c a+ 3b C)

Detaylı

Kartezyen Çarpım Kümesi

Kartezyen Çarpım Kümesi ölüm 1.2 Kümelerde İşlemler Neler Öğreneceğiz? 1.2.4. Kartezyen Çarpım Kümesi Sıralı ikilileri ve iki kümenin kartezyen çarpım kümesini nahtar Terimler Sıralı ikili Kartezyen çarpım aşlarken ir sinema

Detaylı

KPSS 2009 GY-(31) YAPRAK TEST SORU KONU ANLATIM SAYFA SORU x olduğuna göre, x kaçtır? A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1

KPSS 2009 GY-(31) YAPRAK TEST SORU KONU ANLATIM SAYFA SORU x olduğuna göre, x kaçtır? A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1 KPSS 009 GY-(31) YAPRAK TEST-17 19. SORU 31. x 1 3 9 1 x 1 7 9 olduğuna göre, x kaçtır? A) 3 B) C) 1 19. x 6 x 1 3 9 olduğuna göre, x kaçtır? A) 5 B) 4 C) 3 D) E) 1 D) 1 E) KONU ANLATIM SAYFA 194 15. SORU

Detaylı

Sunum ve Sistematik 1. BÖLÜM: ÖNERMELER

Sunum ve Sistematik 1. BÖLÜM: ÖNERMELER Sunum ve Sistematik. ÜNİTE: MANTIK KONU ÖZETİ Bu başlık altında, ünitenin en can alıcı bilgileri, kazanım sırasına göre en alt başlıklara ayrılarak hap bilgi niteliğinde konu özeti olarak sunulmuştur..

Detaylı

TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR.

TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR. TEOG Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar 1. DOĞAL SAYILAR 0 dan başlayıp artı sonsuza kadar giden sayılara doğal sayılar denir ve N ile gösterilir. N={0, 1, 2, 3,...,n, n+1,...} a ve b doğal sayılar olmak

Detaylı

10.Konu Tam sayıların inşası

10.Konu Tam sayıların inşası 10.Konu Tam sayıların inşası 1. Tam sayılar kümesi 2. Tam sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Pozitif ve negatif tam sayılar 4. Tam sayılar kümesinde çıkarma 5. Tam sayılar kümesinde sıralama 6. Bir

Detaylı

(a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir.

(a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir. BĞANTI - FONKSİYON 1. Sıralı İkili : (a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir.! (x 1,x 2, x 3,x 4,...x n ) : sıralı n li denir. Örnek, (a,b,c) : sıralı

Detaylı

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır.

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır. TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Bir çokluk belirtmek için kullanılan sembollere rakam denir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri birer rakamdır. 2. TAMSAYILAR KÜMESİ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... }

Detaylı

1. BÖLÜM: KÜMELERDE TEMEL KAVRAMLAR, KÜMELERDE İŞLEMLER BÖLÜM: KARTEZYEN ÇARPIM, KÜME PROBLEMLERİ BÖLÜM: GERÇEK SAYILAR...

1. BÖLÜM: KÜMELERDE TEMEL KAVRAMLAR, KÜMELERDE İŞLEMLER BÖLÜM: KARTEZYEN ÇARPIM, KÜME PROBLEMLERİ BÖLÜM: GERÇEK SAYILAR... İçindekiler 1. BÖLÜM: KÜMELERDE TEMEL KVRMLR, KÜMELERDE İŞLEMLER... 10. KÜMELERDE TEMEL KVRMLR... 10 B. SONLU, SONSUZ VE BOŞ KÜME... 12 C. KÜMELERİN EŞİTLİĞİ... 14 D. LT KÜME, ÖZ LT KÜME... 14 E. KÜMELERDE

Detaylı

Dikkat: Bir eleman, her iki kümede de olsa bile sadece bir kez yazılır.

Dikkat: Bir eleman, her iki kümede de olsa bile sadece bir kez yazılır. KÜMELER Kümelerin birleşimi (A B ): Kümelerin bütün elemanlarından oluşur. Kümelerin kesişimi (A B): Kümelerin ortak elemanlarından oluşur. Kümelerin Farkı (A \ B ) veya (A - B ): Birinci kümede olup ikinci

Detaylı

Kümeler ve Küme İşlemleri

Kümeler ve Küme İşlemleri Kümeler ve Küme İşlemleri ÜNİTE 2 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; küme kavramını, küme işlemlerini, küme işlemlerinin özelliklerini ve kullanılan simgeleri tanıyacaksınız. küme ailelerini, kümelerin

Detaylı

TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada,

TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada, TAMSAYILAR Z = {.., -, -, -, 0,,,, } kümesinin her bir elemanına tamsayı denir. Burada, + Z = {,,,...} kümesine, pozitif tamsayılar kümesi denir. Z = {...,,,,} kümesine, negatif tamsayılar kümesi denir.

Detaylı

PERMÜTASYON, KOMBİNASYON. Örnek: Örnek: Örnek:

PERMÜTASYON, KOMBİNASYON. Örnek: Örnek: Örnek: SAYMANIN TEMEL KURALLARI Toplama Kuralı : Sonlu ve ayrık kümelerin eleman sayılarının toplamı, bu kümelerin birleşimlerinin eleman sayısına eşittir. Mesela, sonlu ve ayrık iki küme A ve B olsun. s(a)=

Detaylı

ASAL SAYILAR - TAM BÖLENLER - FAKTÖRİYEL Test -1

ASAL SAYILAR - TAM BÖLENLER - FAKTÖRİYEL Test -1 ASAL SAYILAR - TAM BÖLENLER - FAKTÖRİYEL Test -1 1. ve y aralarında asal iki doğal sayıdır. 7 y 11 olduğuna göre, y farkı 5. 364 sayısının en büyük asal böleni A) 3 B) 7 C) 11 D) 13 E) 17 A) B) 3 C) 4

Detaylı

12-A. Sayılar - 1 TEST

12-A. Sayılar - 1 TEST -A TEST Sayılar -. Birbirinden farklı beş pozitif tam sayının toplamı 0 dur. Bu sayılardan sadece ikisi den büyüktür. Bu sayılardan üç tanesi çift sayıdır. Buna göre bu sayılardan en büyüğü en çok kaç

Detaylı

Rakam : Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir.

Rakam : Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir. A. SAYILAR Rakam : Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir. Sayı : Rakamların çokluk belirten ifadesine sayı denir.abc sayısı a, b, c rakamlarından oluşmuştur.! Her rakam bir sayıdır. Fakat bazı

Detaylı

1. Fonksiyonlar Artan, Azalan ve Sabit Fonksiyon Alıştırmalar Çift ve Tek Fonksiyon

1. Fonksiyonlar Artan, Azalan ve Sabit Fonksiyon Alıştırmalar Çift ve Tek Fonksiyon İçindekiler Cebir 1. Fonksiyonlar....... 1.1 Fonksiyonların Tanım, Değer ve Görüntü Kümesi...... 1.1.1 Fonksiyon.. 1.1. Görüntü Kümesi... 1.1.3 Eşit Fonksiyonlar. 1.1.4 Fonksiyonun Gösterimi. 1.1.4.1 Liste

Detaylı

8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar

8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar 8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar 1. Eşit güçlü kümeler 2. Sonlu ve sonsuz kümeler 3. Doğal sayılar kümesi 4. Sayılabilir kümeler 5. Doğal sayılar kümesinde toplama 6. Doğal sayılar kümesinde

Detaylı

( a, b ) BAĞINTI, FONSİYON, İŞLEM SIRALI İKİLİ :

( a, b ) BAĞINTI, FONSİYON, İŞLEM SIRALI İKİLİ : BAĞINTI, FONSİYON, İŞLEM SIRALI İKİLİ : a ve b elemanlarının belirttiği ( a, b ) şeklindeki ikiliye sıralı ikili denir. Sıralı ikili denilmesindeki sebep bileşenlerin yeri değiştiğinde ikilinin değişmesindendir.

Detaylı

MATEMATİK ASAL ÇARPANLARA AYIRMA. ÖRNEK 120 sayısını asal çarpanlarına ayırınız. ÖRNEK 150 sayısının asal çarpanları toplamını bulunuz.

MATEMATİK ASAL ÇARPANLARA AYIRMA. ÖRNEK 120 sayısını asal çarpanlarına ayırınız. ÖRNEK 150 sayısının asal çarpanları toplamını bulunuz. MATEMATİK ASAL ÇARPANLARA AYIRMA A S A L Ç A R P A N L A R A A Y I R M A T a n ı m : Bir tam sayıyı, asal sayıların çarpımı olarak yazmaya, asal çarpanlarına ayırma denir. 0 sayısını asal çarpanlarına

Detaylı

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1), G de bir ikili işlemdir. 2) a, b, c G için a( bc)

Detaylı

MATEMATİK. Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU

MATEMATİK. Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU MATEMATİK Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU Mesleki Matematik 1 TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Sayıları yazmak için kullandığımız işaretlere rakam denir. Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Rakamlar 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

Detaylı

MATEMAT K 1 ÜN TE II KÜMELER

MATEMAT K 1 ÜN TE II KÜMELER ÜN TE II KÜMELER 1. TANIM 2. KÜMELER N GÖSTER M a) Liste yöntemi ile gösterimi b) Venn flemas ile gösterimi c) Ortak özelik yöntemi ile gösterimi 3. KÜMELER N KARfiILAfiTIRILMASI a) Kümenin elaman say

Detaylı

Sunum ve Sistematik. Bu başlıklar altında uygulamalar yaparak öğrenciye yorum, analiz, sentez yetisinin geliştirilmesi hedeflenmiştir.

Sunum ve Sistematik. Bu başlıklar altında uygulamalar yaparak öğrenciye yorum, analiz, sentez yetisinin geliştirilmesi hedeflenmiştir. Sunum ve Sistematik 1. BÖLÜM: POLİNOMLAR ALIŞTIRMALAR Bu başlık altında her bölüm kazanımlara ayrılmış, kazanımlar tek tek çözümlü temel alıştırmalar ve sorular ile taranmıştır. Özellikle bu kısmın sınıf

Detaylı

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir.

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. a) Pozitif doğal sayılar: Sıfır olmayan doğal sayılar kümesine Pozitif Doğal

Detaylı

Elemanların yerlerinin değiştirilmesi kümeyi değiştirmez. A kümesinin eleman sayısı s(a) ya da n(a) ile gösterilir.

Elemanların yerlerinin değiştirilmesi kümeyi değiştirmez. A kümesinin eleman sayısı s(a) ya da n(a) ile gösterilir. KÜMELER Küme : Nesnelerin iyi tanımlanmış listesine küme denir ve genellikle A, B, C gibi büyük harflerle gösterilir. Kümeyi oluşturan öğelere, kümenin elemanı denir. a elemanı A kümesine ait ise,a A biçiminde

Detaylı

SAYILAR MATEMATİK KAF03 BASAMAK KAVRAMI TEMEL KAVRAM 01. İki basamaklı en küçük sayı : İki basamaklı en büyük negatif sayı :.

SAYILAR MATEMATİK KAF03 BASAMAK KAVRAMI TEMEL KAVRAM 01. İki basamaklı en küçük sayı : İki basamaklı en büyük negatif sayı :. SAYILAR BASAMAK KAVRAMI İki basamaklı en küçük sayı : İki basamaklı en büyük negatif sayı :. Üç basamaklı rakamları farklı en küçük sayı :. SORU 5 MATEMATİK KAF03 TEMEL KAVRAM 01 Üç basamaklı birbirinden

Detaylı

MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13. TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı

MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13. TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13 TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı ={(x,y): x ile y nin farkı n ile tam bölünür} = {(x,y): n x-y, n N + } bağıntısı bir denklik bağıntısıdır. (x,y) ise x y (mod

Detaylı

1. ÜNİTE: MANTIK. Bölüm 1.1. Önermeler ve Bileşik Önermeler

1. ÜNİTE: MANTIK. Bölüm 1.1. Önermeler ve Bileşik Önermeler . ÜNİTE: MANTIK . ÜNİTE: MANTIK... Önerme Tanım (Önerme) BÖLÜM.. - Doğru ya da yanlış kesin bir hüküm bildiren ifadelere önerme adı veriler. Örneğin Bir hafta 7 gündür. (Doğru) Eskişehir Türkiye'nin başkentidir.

Detaylı

Örnek...2 : Hilesiz iki zar atma deneyinin bütün çıktılarını aşağıdaki tabloya yazınız.

Örnek...2 : Hilesiz iki zar atma deneyinin bütün çıktılarını aşağıdaki tabloya yazınız. OLASILIK (İHTİMALLER HESABI) Olasılık kavram ı ilk önceleri şans oyunları ile başlamıştır. Örneğin bir oyunda kazanıp kazanmama, bir paranın atılmasıyla tura gelip gelmemesi gibi. Bu gün bu kavramın birçok

Detaylı

KC00-SS.08YT05. Kolay Temel Matematik. Üniversite Haz rl k 1. 8 ( 3 + 2) 6. 3! 3 ( 3 3)": ( 3) x = 3 ve y = 2 3. ( 5) + ( 7) (+2) + 4

KC00-SS.08YT05. Kolay Temel Matematik. Üniversite Haz rl k 1. 8 ( 3 + 2) 6. 3! 3 ( 3 3): ( 3) x = 3 ve y = 2 3. ( 5) + ( 7) (+2) + 4 Üniversite Haz rl k Sözcükte Do al ve Say lar Söz Öbeklerinde ve Tam Say lar Anlam - I - I Kolay Temel Matematik. 8 ( + ) A) 7 B) 8 C) 9 D) 0 E) 6.! ( )": ( ) A) B) 0 C) D) E). 7. + 5 A) 6 B) 7 C) 8 D)

Detaylı

SAYILAR ( ) MATEMATİK KAF01 RAKAM VE DOĞAL SAYI KAVRAMI TEMEL KAVRAM 01. Sayıları ifade etmeye yarayan

SAYILAR ( ) MATEMATİK KAF01 RAKAM VE DOĞAL SAYI KAVRAMI TEMEL KAVRAM 01. Sayıları ifade etmeye yarayan SAYILAR RAKAM VE DOĞAL SAYI KAVRAMI MATEMATİK KAF01 TEMEL KAVRAM 01 Sayıları ifade etmeye yarayan { 0,1,, 3, i i i,9} kümesindeki semollere onluk sayma düzeninde rakam denir. N =... kümesinin elemanlarına

Detaylı

ales dört bin soru tarzına en yakın EŞİT AĞIRLIK ve SAYISAL ADAYLARA ALES SORU BANKASI Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan

ales dört bin soru tarzına en yakın EŞİT AĞIRLIK ve SAYISAL ADAYLARA ALES SORU BANKASI Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan ales 2015 tarzına en yakın dört bin soru EŞİT AĞIRLIK ve SAYISAL ADAYLARA ALES SORU BANKASI Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan ALES Eşit Ağırlık ve

Detaylı

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır.

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır. 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1) a, b, c G için a ( b c) ( a b) c (Birleşme özelliği)

Detaylı

Matematik A A ile B nin Kartezyen Çarpımı: A Kümesinden B nin Farkı: A Kümesinden B ye Fonksiyon: Açı: Açık Önerme: Açıortay: Açısal Bölge: Aksiyom:

Matematik A A ile B nin Kartezyen Çarpımı: A Kümesinden B nin Farkı: A Kümesinden B ye Fonksiyon: Açı: Açık Önerme: Açıortay: Açısal Bölge: Aksiyom: Matematik A A ile B nin Kartezyen Çarpımı: Birinci bileşeni A dan, ikinci bileşeni B den alınarak elde edilen ikililerin kümesidir. A Kümesinden B nin Farkı: A kümesinin B kümesi ile ortak olmayan elemanlarından

Detaylı

1.BÖLÜM ÇÖZÜM SORU. A= {a, b, {a, b}, {c}} kümesi veriliyor. Afla dakilerden kaç tanesi do rudur? I. a A II. {a, b} A III. {c} A IV. {b} A. V.

1.BÖLÜM ÇÖZÜM SORU. A= {a, b, {a, b}, {c}} kümesi veriliyor. Afla dakilerden kaç tanesi do rudur? I. a A II. {a, b} A III. {c} A IV. {b} A. V. 1.ÖLÜM MTMT K Derginin bu say s nda Kümeler konusunda çözümlü sorular yer almaktad r. u konuda, ÖSS de ç kan sorular n çözümü için gerekli temel bilgileri ve pratik yollar, sorular m z n çözümü içinde

Detaylı

13.Konu Reel sayılar

13.Konu Reel sayılar 13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

Bir küme nesnelere bakış açımızla değil onları gruplandırmamız ile ilgilidir.

Bir küme nesnelere bakış açımızla değil onları gruplandırmamız ile ilgilidir. Φ \ Є Ø ˆ KÜMELER Bir küme nesnelere bakış açımızla değil onları gruplandırmamız ile ilgilidir. Sınıf arkadaşlarınıza bakınız ve aşağıdaki gruplarda bulununanların isimlerini yazınız. a) Kızlar b) Erkekler

Detaylı

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,

Detaylı

5. a ve b birer pozitif tam sayıdır. A) 1 B) 2 C) 3 D) 14 E) a ve b birer doğal sayıdır. 7. a ve b birer pozitif tam sayıdır.

5. a ve b birer pozitif tam sayıdır. A) 1 B) 2 C) 3 D) 14 E) a ve b birer doğal sayıdır. 7. a ve b birer pozitif tam sayıdır. Üniversite Haz rl k Sözcükte Do al ve Say lar Söz Öbeklerinde ve Tam Say lar Anlam - I - I YGS Temel Matematik. 8 + 4. + 8 : 4 işleminin sonucu A) 8 B) 9 C) D) 5 E) 8 5. a ve b birer pozitif tam sayıdır.

Detaylı

KARTEZYEN ÇARPIM VE BAĞINTI

KARTEZYEN ÇARPIM VE BAĞINTI KRTEZYEN ÇRPIM VE BĞINTI 3. Bölüm TEST -2 1. β={(x,y):2x+y=8,x,y N} şeklinde tanımlı β bağıntısı kaç elemanlıdır? ) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 6. R'de bağıntısı yansıyan ise a.b kaçtır? ) 18 B) 9 C) 2 D) 18

Detaylı

9. Sınıf. Matematik. Soru Bankası. Yeliz ÇELEN

9. Sınıf. Matematik. Soru Bankası. Yeliz ÇELEN 9. Sınıf Matematik Soru ankası Yeliz ÇELEN opyright Evrensel İletişim Yayın ağıtım San. Tic. Ltd. Şti. u kitabın her hakkı EVRENSEL İLETİŞİM LT. ŞTİ. e aittir. Hangi amaçla olursa olsun, bu kitabın tamamının

Detaylı

EBOB - EKOK EBOB VE EKOK UN BULUNMASI. 2. Yol: En Büyük Ortak Bölen (Ebob) En Küçük Ortak Kat (Ekok) www.unkapani.com.tr. 1. Yol:

EBOB - EKOK EBOB VE EKOK UN BULUNMASI. 2. Yol: En Büyük Ortak Bölen (Ebob) En Küçük Ortak Kat (Ekok) www.unkapani.com.tr. 1. Yol: EBOB - EKOK En Büyük Ortak Bölen (Ebob) İki veya daha fazla pozitif tamsayıyı aynı anda bölen pozitif tamsayıların en büyüğüne bu sayıların en büyük ortak böleni denir ve kısaca Ebob ile gösterilir. Örneğin,

Detaylı

ANTRENMAN YAYINCILIK

ANTRENMAN YAYINCILIK Sistematik, eksiksiz ve akıcı bir anlatım için Yeni müfredata uygun 9.Sınıf MTMTİK FTRİ Halil İbrahim KÜÇÜKKY u kitabın tamamı veya bir kısmının, yazarının önceden izni olmaksızın elektronik, Mekanik,

Detaylı

say s kaç basamakl d r? 2. Bir düzlemde verilen 8 noktadan 4 tanesi ayn do ru üzerindedir. Di er 4 noktadan. 3. n do al say olmak üzere;

say s kaç basamakl d r? 2. Bir düzlemde verilen 8 noktadan 4 tanesi ayn do ru üzerindedir. Di er 4 noktadan. 3. n do al say olmak üzere; . 7 8 say s kaç basamakl d r? ) 2 B) 0 ) 9 ) 8 E) 7 2. Bir düzlemde verilen 8 noktadan 4 tanesi ayn do ru üzerindedir. i er 4 noktadan hiçbiri bu do ru üzerinde bulunmamaktad r ve bu 4 noktadan herhangi

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 5.KONU Cebiresel yapılar; Grup, Halka 1. Matematik yapı 2. Denk yapılar ve eş yapılar 3. Grup 4. Grubun basit özellikleri 5. Bir elemanın kuvvetleri

Detaylı

1) Aşağıdaki varlıklar içerisinde küme oluşturabilecek bir topluluğu yuvarlak içerisine alarak kümenin tarifini yapınız.

1) Aşağıdaki varlıklar içerisinde küme oluşturabilecek bir topluluğu yuvarlak içerisine alarak kümenin tarifini yapınız. 1ÖLÜM KÜMELER KÜMELER TEST 1 1) şağıdaki varlıklar içerisinde küme oluşturabilecek bir topluluğu yuvarlak içerisine alarak kümenin tarifini yapınız..güzelyurt.yeni İskele.Lefkoşa.Gazi Magosa.Girne 2)

Detaylı

2003 ÖSS Soruları. işleminin sonucu kaçtır? ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden hangisidir? A) 1 B) 7 C) 9 D) 11 E) 21

2003 ÖSS Soruları. işleminin sonucu kaçtır? ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden hangisidir? A) 1 B) 7 C) 9 D) 11 E) 21 00 ÖSS Soruları,, 0,0. + + 0, 0, 0,00 işleminin sonucu kaçtır? ) ) 7 ) 9 ) ). ( y )( + y+ y ) ( y) c + m y ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden hangisidir? ) y ) + y ) y y + y ) ) + y y. (0,

Detaylı

TABAN ARĠTMETĠĞĠ. ÇÖZÜM (324) 5 = = = = 89 bulunur. Doğru Seçenek C dir.

TABAN ARĠTMETĠĞĠ. ÇÖZÜM (324) 5 = = = = 89 bulunur. Doğru Seçenek C dir. TABAN ARĠTMETĠĞĠ Kullandığımız 10 luk sayma sisteminde sayılar {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} kümesinin elemanları (Rakam) kullanılarak yazılır. En büyük elemanı 9 olan, 10 elemanlı bir kümedir. Onluk sistemde;

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Matematk Deneme Sınavı. Üç basamaklı doğal saılardan kaç tanesi, 8 ve ile tam bölünür? 8 9. ile in geometrik ortası z dir. ( z). ( z ). z aşağıdakilerden hangisidir?. 9 ifadesinin cinsinden değeri

Detaylı

p sayısının pozitif bölenlerinin sayısı 14 olacak şekilde kaç p asal sayısı bulunur?

p sayısının pozitif bölenlerinin sayısı 14 olacak şekilde kaç p asal sayısı bulunur? 07.10.2006 1. Kaç p asal sayısı için, x 3 x + 2 (x r) 2 (x s) (mod p) denkliğinin tüm x tam sayıları tarafından gerçeklenmesini sağlayan r, s tamsayıları bulunabilir? 2. Aşağıdaki ifadelerin hangisinin

Detaylı

SAYILARIN ASAL ÇARPANLARINA AYRILMASI

SAYILARIN ASAL ÇARPANLARINA AYRILMASI ASAL SAYILAR Asal sayılar, 1 ve kendisinden başka pozitif tam böleni olmayan 1' den büyük tamsayılardır. En küçük asal sayı, 2' dir. 2 asal sayısı dışında çift asal sayı yoktur. Yani, 2 sayısı dışındaki

Detaylı

ÜNİTE MATEMATİK-1 İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÜSTEL VE LOGARİTMA FONKSİYONLARI. Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK. Üstel Fonksiyon Logaritma Fonksiyonu

ÜNİTE MATEMATİK-1 İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÜSTEL VE LOGARİTMA FONKSİYONLARI. Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK. Üstel Fonksiyon Logaritma Fonksiyonu HEDEFLER İÇİNDEKİLER ÜSTEL VE LOGARİTMA FONKSİYONLARI Üstel Fonksiyon Logaritma Fonksiyonu MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK Bu ünite çalışıldıktan sonra, Üstel fonksiyonun tanımı öğrenilecek Üstel fonksiyonun

Detaylı

SINIF TEST. Üslü Sayılar A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 A) - 5 B) - 4 C) 5 D) 7. sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir?

SINIF TEST. Üslü Sayılar A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 A) - 5 B) - 4 C) 5 D) 7. sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir? 8. SINIF. Üslü Sayılar - = T olduğuna göre T kaçtır? A) - B) - C) D) 7 TEST.. 0 - işleminin sonucu kaç basamaklı bir sayıdır? A) B) C) 6 D) 7. n =- 7 için n ifadesinin değeri kaçtır? A) - 8 B) - C) 8 D)

Detaylı

2002 ÖSS Soruları. 5. a, b, c, d pozitif tam sayılar ve 123,4 0, ,234 12,34. işleminin sonucu kaçtır?

2002 ÖSS Soruları. 5. a, b, c, d pozitif tam sayılar ve 123,4 0, ,234 12,34. işleminin sonucu kaçtır? 00 ÖSS Soruları 3,4.,34 0, 34,34 işleminin sonucu kaçtır? ) 0 ) 0, ) 9,9 ) 0, E),. a, b, c, d pozitif tam sayılar ve a 7 a 4 : = c, : = d b 0 b 4 olduğuna göre, c + d nin alabileceği en küçük değer kaçtır?

Detaylı

SERİMYA II. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI

SERİMYA II. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI SERİMYA - 4 II. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI. 4? 4 4. A B denkleminde A ve B birbirinden farklı pozitif tam sayılar olduğuna göre, A + B toplamı kaçtır? işleminin sonucu kaçtır? A) 6 B) 8 C) D)

Detaylı

MUTLAK DEĞER. Örnek...6 : 1 x > 1 y > 1 z. Örnek...7 : x=1 5, y= 5 2, ise x+y y x x =? Örnek...1 : =? Örnek...8 : Örnek...2 : =?

MUTLAK DEĞER. Örnek...6 : 1 x > 1 y > 1 z. Örnek...7 : x=1 5, y= 5 2, ise x+y y x x =? Örnek...1 : =? Örnek...8 : Örnek...2 : =? TANIM MUTLAK DEĞER Örnek...6 : 1 x > 1 y > 1 z ise x y x z z y =? Bir x reel sayısına karşılık gelen noktanın sayı doğrusunda 0 (sıf ır) a olan uzaklığına x sayısının mutlak değeri denir ve x şeklinde

Detaylı

Ortak Akıl MATEMATİK DENEME SINAVI

Ortak Akıl MATEMATİK DENEME SINAVI Ortak Akıl YGS MATEMATİK DENEME SINAVI 4 0141- Ortak Akıl Adem ÇİL Ali Can GÜLLÜ Ayhan YANAĞLIBAŞ Barış DEMİR Celal İŞBİLİR Deniz KARADAĞ Engin POLAT Erhan ERDOĞAN Ersin KESEN Fatih TÜRKMEN Hakan BAKIRCI

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR A: SAYI Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Ör: 0,1,2,3,4,5,6 Rakamların çokluk belirtecek şekilde bir araya getirilmesiyle oluşturulan ifadeler ifadesine sayı denir.

Detaylı

İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER,, olmak üzere 2. ÜNİTE. İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER, EŞİTSİZLİKLER ve FONKSİYONLAR

İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER,, olmak üzere 2. ÜNİTE. İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER, EŞİTSİZLİKLER ve FONKSİYONLAR - 1-2 ÜNİTE İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER, EŞİTSİZLİKLER ve FONKSİYONLAR ÖĞRENME ALANI CEBİR İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER,, olmak üzere Şeklindeki açık önermelere, ikinci dereceden bir bilinmeyenli

Detaylı

ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: NUMARASI: SINIFI: KONU: Olasılık

ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: NUMARASI: SINIFI: KONU: Olasılık ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: NUMARASI: Dersin Adı SINIFI: KONU: Olasılık Dersin Konusu. Bir kutudaki 7 farklı boncuğun içinden iki tanesi seçiliyor. Buna göre, örneklem uzayının eleman sayısı A) 7 B)! 7. madeni

Detaylı

7 Mayıs 2006 Pazar,

7 Mayıs 2006 Pazar, TÜBİTAK TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNOLOJİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM İNSANI DESTEKLEME DAİRE BAŞKANLIĞI 14. ULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATI - 2006 BİRİNCİ AŞAMA SINAVI Soru kitapçığı türü A 7 Mayıs 2006 Pazar, 13.00-15.30

Detaylı

Ortak Akıl MATEMATİK DENEME SINAVI

Ortak Akıl MATEMATİK DENEME SINAVI Ortak kıl YGS MTEMTİK ENEME SINVI 040- Ortak kıl dem ÇİL yhan YNĞLIŞ arış EMİR elal İŞİLİR eniz KRĞ Engin POLT Ersin KESEN Eyüp ULUT Fatih SĞLM Fatih TÜRKMEN Hakan KIRI Kadir LTINTŞ Köksal YİĞİT Muhammet

Detaylı

Cebir Notları. Permutasyon-Kombinasyon- Binom TEST I. Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr. www.matematikclub.com, 2006

Cebir Notları. Permutasyon-Kombinasyon- Binom TEST I. Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr. www.matematikclub.com, 2006 MC www.matematikclub.com, 2006 Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr Permutasyon-Kombinasyon- Binom TEST I 1. Ankra'dan Đstanbul'a giden 10 farklı otobüs, Đstanbul'- dan Edirne'ye giden 6 farklı

Detaylı

FONKSİYONLAR FONKSİYONLAR... 179 198. Sayfa No. y=f(x) Fonksiyonlar Konu Özeti... 179. Konu Testleri (1 8)... 182. Yazılıya Hazırlık Soruları...

FONKSİYONLAR FONKSİYONLAR... 179 198. Sayfa No. y=f(x) Fonksiyonlar Konu Özeti... 179. Konu Testleri (1 8)... 182. Yazılıya Hazırlık Soruları... ÜNİTE Safa No............................................................ 79 98 Fonksionlar Konu Özeti...................................................... 79 Konu Testleri ( 8)...........................................................

Detaylı