Cebir Notları. Üslü-Köklü İfadeler Mustafa YAĞCI,

Transkript

1 wwwmustfygcicom, 00 Ceir Notlrı Mustf YAĞCI, Üslü-Köklü İfdeler Bzen yeri gelir 00 tne yi çrpmmız gerekir, unu yi 00 kere yzıp çrprk gösterecek hlimiz yok tii ki Dh genel olrk n tne syısının çrpımını yzmk için de frklı ir gösterime ihtiyç duyrız Mesel den n ye kdr oln rdışık syılrın çrpımını n nin ynın ir! işreti koyrk kolyc göstereiliyorduk Adın d fktöryel diyorduk, itiyordu İşte öyle irden çok ynı syının çrpımını kısc yzmk için üslü ifdeleri kullnırız n tne nın çrpımını d n yzrk gösteririz Burd y tn, n ye üs denir Yni tn neyi devmlı çrptığımızı gösterir, üs de o syıdn kç tnesini çrptığımızı Aslınd her syı kendi şın ir üslü ifdedir Zir ir syının üssü ise üssünü yzmyız Aynı, her syının 0 tnınd olduğunu nck tn 0 olunc unu tn olrk yzmycğımızı söylediğimiz gii Teorem Tnlrı ynı oln iki üslü ifde çrpılırs, üsler toplnrk o tn üs olur Yni; m n m+n Knıt: m demek m tne nın çrpımı demek, n demek de n tne nın çrpımı demek olduğundn u iki ifde çrpılırs m+n tne çrpılmış olur Bu d tnım gereği m+n olrk gösterilir Teorem Tnlrı ynı oln ve sıfır olmyn iki üslü ifde ölünürse, ölünenin üssünden ölenin üssü çıkrılrk ynı tn üs olur Yni; m m n n Knıt: m > n olduğunu frzedelim m demek m tne nın çrpımı demek, n demek de n tne nın çrpımı demek olduğundn u iki ifde ölünürse, m > n olduğundn pyddki tüm lr pydki lrl sdeleşir Pyd sdeleşmeyen m n tne klır m n tne çrpımı d tnım gereği m n olrk yzılır Şimdi m < n olduğunu frzedelim Pydki tüm lr pyddki tüm lrl sdeleşir, pydd sdeleşmeyen n m tne klır Bu d pydd n-m klmsın yol çr Burdn d m n n m eşitliğine erişiriz Demek ki ir üslü ifdede üssün ( ) ile çrpılmsı izi u syının çrpmy göre tersine götürüyor Bunu not ediniz Burdn çok frklı sonuçlr d yelken çileceğiz Biririne eşit iki syının iririne ölümünün olduğunu iliyoruz değil mi? Bu iririne eşit ve her ikisi de sıfırdn frklı iki syının ikisinin de irer üslü syı olduğunu düşünelim ve irirlerine ölelim klım: 0 Çıkn sonucu frk ettiniz değil mi? çıkmsı gerekirken 0 çıktı Peki, ynlış mı yptık? Hyır Sıfırdn frklı ir syının 0 ıncı kuvvetinin olduğunu öğrenmiş ve knıtlmış olduk Unutmyınız ki; 0 ın 0 ıncı kuvveti lınmz, öyle ir ifde elirsizdir Teorem Üslü ir syının üssü lınırs, üsler çrpılrk eski tn yeni üs olur Yni; ( ) c ( c ) c Knıt: Nsıl ki ifdesi tne nın çrpımı demek, ( ) c ifdesi de c tne nin çrpımı de-

2 Mustf YAĞCI mektir O hlde ortlıkt çrpılmyı ekleyen c tne vr Bu d tnım gereği c demektir Uyrı ( ) c ) olduğundn ifdesini prntezsiz kullnmyın, işte öyle elirsiz olur! ( c Teorem ( ) c c c Knıt: ( ) c ( ) ( ) ( ) ( ) [c tne] ( ) ( ) c c c c Teorem ( ) c c Knıt: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [c tne] c c Teorem {, 0, } iken m n ise m n Knıt: Tnımdn kynklnır m tne nın çrpımı, n tne nın çrpımın eşitse tne syılrı eşit demektir O hlde m n Diğer yndn ( ) ( ), ve 7 gii eşitlikler de doğru olduğundn, u syılrı tmlıyız Teorem m tmsyı iken, m m eşitliği nck durumund mümkündür Knıt: Yine tnımdn kynklnır Teorem m tmsyı iken m m ise Knıt: ( ) m ( ) m olduğundn olur ( ) ( + ) 0 olduğundn vey dir O hlde Örnek 0 nin yrısı kçtır? ( ) Çözüm: 0 c Örnek 7 ve 9 y + y ise ornı kçtır? y Çözüm: Skın ve y yi ulmy klkmyın 7 9 y 7 y olduğundn y dir + y y+ y y y y y y Örnek 9 9 syısının 9 uncu kuvveti ün kçıncı kuvvetine eşittir? 9 Üslü ifdeler Çözüm: (9 9 ) 9 ( 8 ) 9 olduğundn cevp dir Örnek m ve n ise syısı m ve n cinsinden neye eşit olur? Çözüm: ( ) ( ) ( ) m n Örnek m ve n doğl syıdır 8 m n çrpımı smklı en küçük doğl syıy eşitse m + n kçtır? Çözüm: smklı en küçük doğl syı 0 olduğundn, 8 m n 0 m n ( ) eşitliğinden m ve n ulunduğundn m + n + 0 Örnek,, c irer sym syısıdır 0 c eşitliğini sğlyn + + c toplmının en küçük değeri kçtır? Çözüm: 0 c c c Burdn c eşitliğini ulduk ve eğer + + c toplmının en küçük olmsını istiyorsk,, ve c lmlıyız, o hlde cevp Örnek y z 0 olmk üzere, + (y + z), ( + y) + z, y + z, ( + y + z), + y z syılrındn kç tnesinin değeri hiçir zmn sıfır olmz? Çözüm: y z 0 ise, y, z syılrının hepsi sıfırdn frklıdır + (y + z) syısını e (y + z) nin değerinin ters işretlisini vererek sıfır ypiliriz ( + y) + z syısı sıfırdn frklı iki kre toplmı olduğundn hiçir zmn sıfır olmz y + z ve + y z syılrı sırsıyl y + z ve + y z olduğu zmn sıfır eşit kılınilirler ( + y + z) syısı değişkenlerden iri diğerlerinin toplmının ters işretlisi olduğu zmn sıfır olur O hlde sdece ikinci ifde sıfır eşit olilir

3 Mustf YAĞCI Örnek 7 ve y eşitliklerinden y çrpımını ulunuz Çözüm: İlk eşitlikten ü çekip, ikinci eşitlikte yerine yzcğız 7 olduğundn olur y ( ) y olduğun- y dn y olur ki y Örnek n ir sym syısı ise Çözüm: 7 n + n + n + n + 7 n + n +? Örnek ve m irer reel syı iken (0,) + 7 (0,9) m+ eşitliği sğlnıyors kçtır? Çözüm: 0, 9 olduğunu htırlrsk, eşitliğin sğ trfının olduğunu nlrız O hlde sol trfın üssü 0 olmlıdır + 0 ise Örnek 9 ve olduğun göre, kçtır? Çözüm: İlk eşitlikten, ikinci eşitlikten de + ulunur İlk denklemden yı çekip, ikinci denklemde yerine koycğız + ( + ) olduğundn 0 Örnek 9 0 Çözüm: syısı kç eşittir? 0 ( 0 ) Örnek 0 0 ise kçtır? Çözüm: ( ) 0 0 olur syısı hiçir değeri 0 olmycğındn prntez içi 0 dır Örnek n ve + n ise yi cinsinden yzınız Çözüm: n syısının n nin kresi olduğunu görerek, ilk eşitlikten n yi çekip, ikinci eşitlikte yerine yzcğız 9 Üslü ifdeler n ise n olur + n + ( ) Örnek n ve 8 ise n nin cinsinden değeri nedir? Çözüm: olduğundn 8 n yni n olur Tüm tnlrı ynı ypmk mcıyl, n olduğundn n n olur n + n olduğundn n n n( ) olur Burdn n ulunur Örnek ( + ) ( ) eşitliğini sğlyn frklı reel kökleri ulunuz Çözüm: Üsler hem ynı hem de çift syı olduğundn hem + diyeceğiz, hem de + İlkinden, ikincisinden 9 Örnek ve y reel syılrı için ( ) syısının (y + ) nci kuvveti elirsizse + y toplmı kçtır? Çözüm: Sıfırın sıfırıncı kuvveti de elirsiz olduğundn ve y + syılrı 0 eşittir O hlde + y + ( ) Örnek n ve ise in n cinsinden eşiti nedir? Çözüm: olduğundn n yni n olur Tnlrı ynı ypmk mcıyl, yerine n yzcğız n n eşitliğiyle krşılşırız n + n olduğundn (n + ) n olur ki n n+ Örnek ve y irer sym syısı ve y olmk üzere; ( ) y (y ) ise + y kçtır? Çözüm: ve irer sym syısı olup, iken eşitliği nck ile mümkündür O hlde ve y eşitliğinden + y + 7 ulunur ve y lsydık d + y + olcktı Örnek p 0 olmk üzere, p r, p q ve q n r eşitliklerinden n nin değerini ulunuz Çözüm: Üçünü eşitlikte q yerine p yzlım p n r olur Bunu d irinci eşitlikte yerine yzlım p p n p 0 olduğundn n + 0 yni n / ulunur Örnek ( ) 7 ( )( ) ( )?

4 Mustf YAĞCI Çözüm: Önce nın sıfırdn frklı olduğunu düşünerek, syının pozitif mi negtif mi olcğını ullım işimizi kolylştırır Bun göre syı negtif çıkıyor Sonr üsleri olduğu gii toplyıp, nın üssüne yzıyoruz Cevp : Örnek,, c syılrı den üyük reel syılr iken / / c 7/ eşitliği sğlnıyors,,, c syılrını oy sırsın diziniz Çözüm: Önce,, 7 syılrını sıry dizelim < 7 < Böyle ir eşitlikte kimin üssü küçükse o üyük, kimin üssü üyükse o küçüktür O hlde < c < Eğer,, c değerleri (0, ) rlığınd olsydı, tm tersi olurdu Çünkü u rlıkt syılrın üsleri üyüdükçe kendileri küçülürler Örnek + 0 eşitliğini sğlyn kçtır? Çözüm: A olsun 9A olur O hlde + 0A 0 olduğundn A tür A olduğundn Örnek eşitliğini sğlyn tüm lerin toplmı kçtır? Çözüm: Tnı 0 ypmdığı sürece üssü 0 ypn değerler iş görür ( ) 0 eşitliğinden 0 vey ulunur, m 0 tnı 0 yptığındn lmyız Ayrıc tnın olduğu durum vr: Son olrk tnı ypn değer üssü çift ypıyors d lınmlı Ypmıyor O hlde eşitliği sğlyn değerleri ve olduğundn cevp + tür Örnek ve y irer sym syısı iken y y y y y eşitliğini sğlyn ve y syılrının toplmının en üyük ve en küçük değeri kçtır? Çözüm: y olduğundn y olur Sğlyn durumlr 8 olduğundn min y y ( + y) + 7 ve m ( + y) + olur, 0, 9 Örnek + toplmı kçtır? 0, 0, 9, 0,8 Çözüm: 8 0,9 0, + + Örnek + p ise 9 + 9? Üslü ifdeler Çözüm: Verilen ifdenin kresini ldığımızd soruln ifdeyi içinde rındırcğını öngörüyoruz p olduğundn p olur n n n Örnek ise n kçtır? n+ Çözüm: Hem pyı hem de pydyı n ortk prntezine llım n ( ) n n ( ) 8 8 olduğundn n olur Örnek n ve n+ iken 7 n kçtır? Çözüm: 7 n n ( n ) olduğundn n ve n değerlerini ulup, yerlerine yzdık mı çözüm tmmlnck n diye n 9 ve n+ diye n 7 n n ( n ) 9 ( ) 9 Örnek eşitliğini sğlyn tüm leri ulunuz Çözüm: ve olsun Eşitlik + ( ) ( ) 0 hlini lır Y y d dir olduğundn ve, diye de 0 ulunur Yni cevp: {0, } Alıştırmlr Aşğıdki e ğlı üstel denklemlerin köklerini ulunuz ( ) , 8 0, 0, + + 8

5 Mustf YAĞCI Üslü ifdeler , +0, 0 + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cos 0 cos cos ( ) + ( + ) + 9 / + 0 ( + ) Köklü syılr Üs lm işleminin tersine mtemtikte kök lm denir syısının n ninci kuvveti n olrk gösteriliyordu y, syısının n ninci dereceden kökü de n olrk gösterilir Burd n ye kök derecesi denir Özel olrk n durumund kök derecesi yzılmz, n > içinse yzılmsı zorunludur Peki, u kök lmnın mnsı ne demek? Örneklerle çıklylım: diye, 8 diye 8, 8 diye 8 İşte u yüzden c diye c olur Son verdiğimiz örnek, kök lm işlemlerinde geneli teşkil eder Aslınd urdn nlmmız gereken şey şudur: Her köklü ifde, üslü ifdeye çevrileileceği için üslü syılrı tm nlmıyl idrk etmiş ir kişinin köklü syılrd zorlnmsı için herhngi ir seep olmz Benim kök lm çuuğun küçüklükten eri lerjim vr diyors, onu ilemem

6 Mustf YAĞCI Genel olrk, dir Uzun lfın kıssı, c syısı, ninci kuvveti c ye eşit oln syı demektir inci kuvveti 7 eden syı d 7 dir Örnekleri rtırilirsiniz Her syının inci dereceden kuvveti kendisine eşit olduğu gii, her syının inci dereceden kökü de kendisine eşittir Nsıl ki yerine yzmyı tercih ediyor ve nlşiliyoruz, yerine de yzcğız ve yine nlşileceğiz Tnımlı olm şrtı Hiçir reel syının çift gücü (kuvveti) negtif olmycğındn, negtif ir syının çift dereceden kökü de reel değildir Fkt negtif syılrın tek dereceden kökleri lınilir Örnekleri inceleyiniz R R 8 R R 7 R ( ) 0 0 R R Örnek ifdesinin ir reel syı elirtmesi için hngi rlıkt olmlıdır? Çözüm: Kök derecesi çift syı olduğundn kök içi negtif olmmlıdır Dikkt ederseniz, pozitif olmlı demedik, negtif olmmlı dedik, çünkü 0 syısı tnımlı olup, 0 eşittir O hlde; 0 eşitsizliğinden olmlıdır Örnek + ifdesinin ir reel syı elirtmesi için in lileceği tmsyı değerlerinin toplmı kçtır? Çözüm: Dikkt etmemiz gereken iki frklı durum vr: Kök derecesi çift oln ifdelerin kök içinin negtif olmmsı lzım ve kesirli ifdenin pydsının 0 olmmsı lzım Kök derecesi tek oln ifde herhngi ir tehlike rz etmediğinden incelemeye dhi lınmyck 0 eşitsizliğinden olmlıdır 0 eşitsizliğinden olmlıdır Ayrıc ifdesi 0 olmmlıdır Yni syısı olmmlıdır, o hlde syısı olmmlıdır Bu üç sonuçtn in lileceği tmsyı değerlerinin {, } olduğu çıkr ki, cevp + 8 dir Örnek ve gerçel syılr ve olmk üzere; Üslü ifdeler A 0 0+ syısı reel ise A kçtır? Çözüm: A syısı reel ise çift dereceden köklerin içi negtif olmmlı, yni ve olmlı O hlde dir gördüğümüz her yere + yzrsk, A ulunur Kök derecesini üyültme/küçültme syısının y eşit olduğunu öğrendik nihyetinde ir kesir olduğundn, u kesrin hem py hem de pydsı sıfırdn frklı ir syıyl çrpıldığınd y d ölündüğünde kesrin değerinin değişmeyeceğini iliyoruz O hlde şöyle yzmk çok doğl: c c c c Yukrd c > ise işleme kök derecesini üyültme, 0 < c < ise kök derecesini küçültme denir Zten nlttığımız üzere c 0 olmz 8 8, Köklü ifdelerde dört işlem Üslü ifdelerde dört işlemi ypilen herkesin rhtlıkl nlyileceği kurllr vereceğiz Lütfen üslü ifdelerde eksiği oln ir vtndş u stırlrı okuyors, derhl okumyı ırkıp, üslü ifdeleri çlışıp gelsin Köklü ifdelerde toplm ve çıkrm ypilmek için toplnn ifdelerin hem kök dereceleri hem de kök içindeki syılrının eşit olmsı lzım Eğer öyle değilse de öyle ypmy çlışılmlı Bunu nsıl ypcğımızı ilerde göstereceğiz + 0 Nsıl ki, üslü ifdelerde çrpm/ölme ypilmek için tnlrın eşit olmsı gerekirdi, köklü ifdeleri çrpilmek/öleilmek için de kök derecelerinin eşit olmsı gerekir Zten köklü ifdeyi üslüye çevirdiğiniz zmn o çrpımı/ölümü ypıp ypmycğınızı nlrsınız Çrpmyl/ölmeyle ilgili teoremi verelim, rdındn ir örnekle süsleyelim Teorem Uygun değerler için y y Knıt: Teoremin söylediği şu: Çrpılck oln iki köklü ifdenin kök dereceleri ynı ise kök derecesini ynı ırkrk sdece kök içlerini çrpilir-

7 Mustf YAĞCI siniz Bunu knıtlmk için çrpıln ifdeleri üslü ifdelere çevirelim: y y ( y) y Örnek 8,, 8 Şimdi de çrpımlrı istenen ifdelerin kök derecelerinin eşit olmdığı durum göz tlım: Aynı soruyu üslü ifdelerle ilgili teoremlerden yrdım lrk dh rht d ypilirdik: + Örnek,, c irer reel syıdır c 8 c c olduğun göre kçtır? Çözüm: Bu üç ifdeyi de iririyle çrplım c c 8 ( c) / 0 ( c) 0 0 c c c olduğundn olrk ulunur Teorem Uygun değerler için y y Knıt: Çrpm teoremine yptığımız knıtın ynısını ypcğız: ( ) y y y y 7 Örnek syısını hesplylım Çrpm işlemine verdiğimiz örneğin nerdeyse ynısını yp- 9 cğız: Örnek 0, + 8 0,9 syısı kçtır? Çözüm: Üslü ifdeler Örnek ve iki smklı syılr olup, > veriliyor + ise frkı kçtır? Çözüm: ve iki smklı syılrının değerleri sırsıyl ve dir olur ise olduğundn + eşitliği çözülürse vey ulunur > verildiğinden lınır, urdn 9 ve uluncğındn olur Teorem Uygun değerler için Knıt: Anltılmk istenen şu: Nsıl ki, üslü ir syının üssü lındığınd üsleri çrprdık, köklü ir syının kökü lınırs d kök dereceleri çrpılır ( ) Örnek iken syısı cinsinden neye eşit olur? Çözüm: ( ) ( ) Örnek, y iken 08 syısı ve y cinsinden neye eşit olur? Çözüm: 08 y y Örnek + syısı kç eşittir? + Çözüm: t olsun t + + ( t ) + t + t+ Kök içine lmk Bzen köklü ir ifdede kökün ktsyısını kök içine lm gereksinimi duyrız Dışrıdki syıyı içeri lmnın kurllrı vr Şimdi onu öğreneceğiz Aslınd ypcğımız çrpm kurlındn şk ir şey değil Kurl şu: k k Köklü ifdelerde çrpm ypilmek için kök derecelerinin eşit olmsı lzım demiştik y, onun için dışrıdki k syısını nıncı dereceden köklü 7

8 Mustf YAĞCI yzcğız Sonr d kök dereceleri ynı olduğundn çrpm ypcğız: k k k Tii ki urd eğer çiftse, k nın pozitif olduğunu düşündük urd Çünkü k negtifse ilk verilen ifde negtif olur m ulduğumuz ifde her hlükrd pozitiftir Bundn dolyı eğer çiftken k negtifse, ulduğumuz ifdenin önüne işreti koymyı unutmmlıyız Örneğe kın:, Kök dışın çıkrmk Yukrdki işlemin tersini ypcğız Kurl şu: k Knıtı yine ynı yerden: k k k k Örnek ? 0 Çözüm: Örnek syısının yklşık değerinin hesplnilmesi için yklşık değerinin ilinmesi gereken ir syı yzınız Çözüm: olduğundn syısının yklşık değerinin ilinmesi yeter Bir syının kresinin krekökü E, tii ki kendisi olur diyenler dikktle okusun Her syının kresinin krekökü kendisi değildir Çünkü ir syının krekökü her dim pozitiftir Eğer ilk ldığımız syı negtifse, kresini ldığımız vkit çıkn syının krekökü hiçir zmn ilk lınn negtif syıy eşit olmycktır Am hepten de değişik ir syı değil, ilk lınn negtif syının pozitifi olcktır Bundn dolyı ir syının kresinin krekökü kendisi değil, mutlk değeridir Sorunlr çift dereceden kök olduğund orty çıkıyor Sdece krekökte değil, tüm çift dereceden köklerde enzer durum vr: n tek syı ise n çift syı ise n n, n n, + 9, 8 Örnek > olmk üzere; Üslü ifdeler + çrpımı kçtır? Çözüm: Kök içlerinin irirlerinin eşlenikleri olduğun dikkt ediniz + ( ) + ( ) İrrsyonel pydyı rsyonel ypmk Mtemtikçiler ir ifdenin mümkün olduğunc sit görünmesinden yndırlr Mtemtikle hşır neşir olmmış irinin yi nlmsı ile zorken, ir syının ye ölünmesini nlmsını eklememiz hyl gii Bu mçl kesirli ifdelerin pydlrını irrsyonel syılrdn kurtrmyı hedef edineceğiz Kurtrmsk n olur? Hiçirşey Zten elki de hiç kurtulmyck ir ifdedir, kimilir Am iz yine de kurtrileceğimizi kurtrlım İrrsyonel ir syıyı, şk ir syıyl çrptığımızd sonuç rsyonel syı oluyors, o şk syıy ilk syının eşleniği denir Bir syının den çok eşleniği olilir, genelde rsyonel ir ifde elde etmek için en küçük pozitif eşlenik tercih edilir Neden durduk yere dh üyük syılrl uğrşlım ki? nin eşleniği yine dir Zir u iki syı çrpılırs sonuç rsyonel ir syı oln çıkr Uygun koşullr ltınd tüm lerin eşleniği olur syısının eşleniği de dir Bzen pyd pozitif olsun diye syısının eşleniği olrk lınır Sorun değil Sonuç rsyonel çıksın d, n olurs olsun Peki, syısının eşleniği nedir? Çrpılınc rsyonel olmsı lzım, unutmyın Diğer yndn çrpm ypilmek için kök derecelerinin ynı olmsı gerekirdi Demek ki unun eşleniği, her nsıl ir syıys, üncü dereceden köklü ir syı olmsı lzım Aynı zmnd kök derecesiyle üs ynı ise unlrın iririni götüreceğini iliyoruz, o Bu köklü syılrd eşlenik tnımı enim uydurmm, gerçek eşlenik ile krıştırmyın

9 Mustf YAĞCI hlde çrpılmsı gerek syı olmlıdır Am şk ir eşlenik de olilir, unutmyın Genelleyelim: syısının eşleniği de olur Şimdi önemli ir tnesine geldik: + y gii ir syının eşleniği de y olur Benzer şekilde y gii ir syının eşleniği de + y olur Çünkü; ( + y )( y ) y Bir de pydyı rsyonel ypmkl ilgili değil de eşlenikle ilgili ir soru tipi vr, onl d ir örnek çözelim: Örnek 8 + ise toplmı cinsinden neye eşittir? Çözüm: Soruln ifdeyi eşleniği ile çrpıp ölelim: ( ) 8 ( + ) İç içe kökler gii sit görünen tipleri değil de y c z gii krmşık görünen köklü ifdeleri tek kök işretinin ltınd toplmyı öğreneceğiz Bunun için, dh önce yptığımız gii, köklü syılrı üslü syılr çevirmek yeterli olck c y z ( ( y z c ) ) c ( ( y z )) c y z c c c c c y z y z c c c c c c c c y z Yni, öyle ifdeleri tek kök ltınd toplmk için önce görünen tüm köklü ifdelerin derecelerini çrpıp, onu kök derecesi olrk yzıp, kök içindeki her syının üssüne kendinden sonr gelen köklü ifdelerin derecelerinin çrpımını yzckmışız Örneklerle dh iyi nlycksınız Örnek 8 ise kçtır? Çözüm: olduğundn Üslü ifdeler Örnek 8 ( ) ise kçtır? Çözüm: Eşitliğin sğ trfı, sol trfı ise ( ) ( ) ( ) 8 olduğundn olur olrk ulunur Bu kurll çokç soruln zı soru tiplerini formülleştirmek de mümkün, şğıd unlrın irkçını ulcksınız m skın ldırış etmeyin n n n n m m r r mnr mnr Kök içinin sonsuz gitmesi Bu kısımd vereceğimiz teoremleri koly nlmnız çısındn şk ir örnekle konuy girecek ve eğer ilmiyorsnız mutlk ilmeniz gereken ir olguyu nltcğım (Bsit görünen) Soru y olsun Bu hlde mi üyüktür, y mi? (Beklenmeyen) Cevp: Ne, y den üyüktür, ne de y, ten! Çünkü ile y eşittir Bunun neden öyle kul edildiğini sezmişsinizdir: Toplnn syılrın sonunun elli olmmsı Prdon, ynlış söyledim, sonunun elli olmmsı değil, sonunun olmmsı Limit konusund detylı işleyeceğiz Biz de undn sonr ynı elli kurll ilerleyen m ikisi de sonlnmyn ifdeleri eşit kul edeceğiz Aşğıdki teoremin knıtınd olduğu gii: Teorem Knıt: p olsun En üyük kök işretinin içinde sonsuz uzyn ifde de yukrd nlttığımız üzere p ye eşittir Eşitlik şu hli lır ve şöyle çözüme kvuşur: p p p p p (Her iki trfı p ye öldük) p ldık) Böylelikle teorem knıtlnmış oldu (Her iki trfın nıncı kuvvetini ldık) (Her iki trfın ( ) inci dereceden kökünü 9

10 Mustf YAĞCI Teorem : : : : + Knıt: Aynen ir önceki knıtt yptığımız gii : : : : syısın p diyeceğiz + (Her iki trfın (+) inci dereceden kökü- : p p : p p p + p nü ldık) Böylelikle u teorem de knıtlnmış oldu (Her iki trfın nıncı kuvvetini ldık) (Her iki trfı p yle çrptık) Teorem Knıt: p olsun + p p olur Her iki trfın kresi lınırs + p p olur ki, düzenlenirse p p 0 gii ikinci dereceden ir denklem ulunur Bunu çözmek için de ikinci dereceden denklemlerin köklerini veren formülden yrdım isteyeceğiz Bilmeyenler merklnmsın, ilerde göstereceğiz p ( ) ± ( ) ( ) eşitliğinden p nin pozitif oln değerini seçersek, soru çözülmüş olck O hlde; p + + Uyrı p p 0 eşitliğine ypcğımız şu yorum ve elde edeceğimiz sonuc zmi ilgi istiyoruz Zir uygun değerler ltınd oldukç prtik ir çözüm sğltır Üzülerek söylüyorum ki, yorumumuzu yine ikinci dereceden denklemlerle hşır neşir olmuş rkdşlr nlyilecek Denklemimizin kökler çrpımı, kökler toplmı ise O hlde köklere, toplmı olck şekilde, t ve t diyelim t( t) olduğunu d iliyoruz O hlde t(t ) Bu ne demek? Cevp nın rdışık çrpnlrındn iri demek Peki, hngisi? Cevımızın dim pozitif olmsı gerektiğinden t Yni rdışık köklerden üyük olnı Örnek : : : + eşitliğini sğlyn kçtır? Çözüm: Yukrd öğrendiğimiz sdeleştirmeler uygulnırs + eşitliğiyle krşılşırız yerine t yzrsk, t + t ulunur ki, t olduğundn tür Teorem + + Knıt: p olsun Üslü ifdeler p p olur Her iki trfın kresi lınırs p p olur ki, düzenlenirse p + p 0 gii ikinci dereceden ir denklem ulunur Köklerden pozitif olnı seçilirse; p + + olrk ulunur ki knıt tmmlnmış olur Uyrmdı demeyin syısı, eğer nın rdışık iki çrpnı vrs, onlrdn küçük olnın eşittir A+ B şeklindeki ifdelerin sdeleştirilmesi Köklü syılr dersinde en önemle üstünde durmnız gereken konuy geldik Aşğıdki işlemleri dikktlice inceleyin Anlmyn tekrr tekrr okusun lütfen T + y olsun T + y + y olur Her iki trfın d krekökü lınırs; T + y+ y ulunur ki, + y A ve y B denilirse A+ B + y eşitliğine erişilmiş olur Anltılmk istenen şudur: A+ B şeklinde ir ifdenin sdeleşmiş hlini rıyorsn, toplmlrı A yı ve çrpımlrı B yi veren ve y syılrı ul, rdığın şey + y dir, dh ne desin! Örnek Örnek 9+ syısını sdeleştiriniz Çözüm: Örnek 7 syısını sdeleştiriniz Çözüm:

11 Mustf YAĞCI Üslü ifdeler Örnek + kç eşittir? + Çözüm: + Örnek A B C 7 : 7 : 7 : iken A B C kç eşittir? Çözüm: A 7, B ve C olduğundn A B C 7 7 Örnek +? Çözüm: Çrpıln ifdelerden önce ilkini ir ele llım Şimdi ilk syıyl son syıyı çrplım + Örnek syısı kç eşittir? Çözüm: Önce ilk ifdeyi ele lcğız 8 8 Bu syıyl ikinci syıyı çrpcğız + A± B içimindeki ifdeler Eğer yukrd-ki gii ile çrpıp öldüğümüzde uygun değerler çıkıyors, ifdeyi derhl ile çrpıp ölmeliyiz Eğer öyle değilse şğıd vereceğim formülü kullnın: ± + ± ( ) ( ) Örnek + ise kçtır? Çözüm: Bu sçmspn formülü kullncğımı snmyın Eşitliğin her iki ynının kresini lırız + +,, ( ) 0, 0 vey, Köklü syılrd sırlm Sırlm ypılilmesi için kök derecelerinin irirlerine eşit hle getirilmesi lzım Kök derecelerini üyütme/küçültme şlığınd unu nltmıştık Bu hlde, kimin içi dh üyükse o dh üyük, kimin içi dh küçükse o dh küçüktür Köklü ifde içeren denklemler Bu konuyu ikinci dereceden denklemler şlığı ltınd dh detylı inceleyeceğiz Genel itiriyle köklü ifde içeren denklemlerde köklerden kurtulmk için ifdede köklü ifdeyi ylnız ırkıp, kök derecesi kdr üssünü lırız Böylelikle denklem kök işretinden rınmış olur, gerisini ildiğimiz üzere yprız Bzen köklü ifdeye şk ir değişken vererek de sorunu ortdn kldıriliriz Şimdi unlr irer örnek verelim: Örnek 0 değerini ulunuz Çözüm: 0, , + + +, +, +, eşitliğini sğlyn Örnek ise kçtır? Çözüm-: Eşitliğin her iki ynının kresini llım (Yine kre ldık) ( + )( + ) 0 vey olur Fkt 8 0 eşitsizliğinden sdece nın sğldığı görülür Çözüm-: Verilen eşitlik A C hlinde olduğundn toplmlrı, çrpımlrı oln iki syı rnır Bu syılr ve dir O hlde eşitliğinden ulunur

12 Mustf YAĞCI ( ) Alıştırmlr ise kçtır? A) B) C) D) E) 7 ( 7) + ( ) 0,? A) 0 B) / C) D) / E) 9 8 n 8 ise n kçtır? A) B) C) D) 0 E) 0, 0, 0,? A) / B) / C) / D) / E) ( + )? + A) B) C) D) E) 8 0? A) / B) / C) / D) / E) 7 n ise n kçtır? 8 A) / B) / C) / D) / E) 8 ( + + )( + ) 8? ? A) B) C) D) 0 E) 0 ( 8)( + )? A) B) C) D) 0 E) A + ise A kçtır? A) B) C) D) E) 7? 7 A) B) C) D) E) : + ise kçtır? A) B) C) D) E) 7? Üslü ifdeler A) B) C) D) E) ise? A) / B) C) / D) E) ( + ) - + ise çrpımı kçtır? A) B) C) D) 0 E) A) B) C) D) 0 E)

13 Mustf YAĞCI 7 : ( 0,9 0,)? 0,09? Üslü ifdeler A) B) C) D) E) 8 < eşitsizliğini sğlyn en küçük doğl syısı kçtır? A) B) C) D) E) 7 9 ise,,, ve syılrındn hngisi tmsyıdır? A) B) C) D) E) 0 ( ) + ( ) +? A) 9 B) 0 C) D) E) +? A) B) C) D) 0 E) 7 ise kçtır? A) B) 9 C) 7 D) E) 8 (0,0) -0, (0,)? A) 9 B) 0 C) D) E) + 8? A) / B) / C) D) E) ise kçtır? A) B) C) D) 0 E) 7 0, ise kçtır? A) B) C) D) E) 8 < < 0 iken + + +? A) B) C) D) E) 9 ( ) ( + + )? A) B) C) D) E) ? A) B) C) D) E) ise? + A) B) C) D) E) ? A) B) C) D) E) 7 A) / B) C) D)7 E)8

14 Mustf YAĞCI Üslü ifdeler /, / ve c 0 olduğun göre,, c değerlerinin küçükten üyüğe sırlmsını ypınız A) < < c B) < c < C) < < c D) < c < E) c < < ? 0 ve irer tmsyı iken + ise +? A) B) C) D) E) 7 Cevplr B B A B B B 7C 8D 9D 0E B A A A C A 7E 8A 9D 0B D E B D B E 7D 8A 9B 0C E B D B B C 7A 8E 9D 0C A) B) + C) D) E) + + reel syısı kçtır? A) 0 B) / C) D) / E) + 8 9? A) B) C) D) E) 7 ise kçtır? A) 8 B) C) D) E) < < iken? + A) B) C) D) E) 9 8? A) / B) C) / D) E)