Cebir Notları. Üslü-Köklü İfadeler Mustafa YAĞCI,

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Cebir Notları. Üslü-Köklü İfadeler Mustafa YAĞCI,"

Transkript

1 wwwmustfygcicom, 00 Ceir Notlrı Mustf YAĞCI, Üslü-Köklü İfdeler Bzen yeri gelir 00 tne yi çrpmmız gerekir, unu yi 00 kere yzıp çrprk gösterecek hlimiz yok tii ki Dh genel olrk n tne syısının çrpımını yzmk için de frklı ir gösterime ihtiyç duyrız Mesel den n ye kdr oln rdışık syılrın çrpımını n nin ynın ir! işreti koyrk kolyc göstereiliyorduk Adın d fktöryel diyorduk, itiyordu İşte öyle irden çok ynı syının çrpımını kısc yzmk için üslü ifdeleri kullnırız n tne nın çrpımını d n yzrk gösteririz Burd y tn, n ye üs denir Yni tn neyi devmlı çrptığımızı gösterir, üs de o syıdn kç tnesini çrptığımızı Aslınd her syı kendi şın ir üslü ifdedir Zir ir syının üssü ise üssünü yzmyız Aynı, her syının 0 tnınd olduğunu nck tn 0 olunc unu tn olrk yzmycğımızı söylediğimiz gii Teorem Tnlrı ynı oln iki üslü ifde çrpılırs, üsler toplnrk o tn üs olur Yni; m n m+n Knıt: m demek m tne nın çrpımı demek, n demek de n tne nın çrpımı demek olduğundn u iki ifde çrpılırs m+n tne çrpılmış olur Bu d tnım gereği m+n olrk gösterilir Teorem Tnlrı ynı oln ve sıfır olmyn iki üslü ifde ölünürse, ölünenin üssünden ölenin üssü çıkrılrk ynı tn üs olur Yni; m m n n Knıt: m > n olduğunu frzedelim m demek m tne nın çrpımı demek, n demek de n tne nın çrpımı demek olduğundn u iki ifde ölünürse, m > n olduğundn pyddki tüm lr pydki lrl sdeleşir Pyd sdeleşmeyen m n tne klır m n tne çrpımı d tnım gereği m n olrk yzılır Şimdi m < n olduğunu frzedelim Pydki tüm lr pyddki tüm lrl sdeleşir, pydd sdeleşmeyen n m tne klır Bu d pydd n-m klmsın yol çr Burdn d m n n m eşitliğine erişiriz Demek ki ir üslü ifdede üssün ( ) ile çrpılmsı izi u syının çrpmy göre tersine götürüyor Bunu not ediniz Burdn çok frklı sonuçlr d yelken çileceğiz Biririne eşit iki syının iririne ölümünün olduğunu iliyoruz değil mi? Bu iririne eşit ve her ikisi de sıfırdn frklı iki syının ikisinin de irer üslü syı olduğunu düşünelim ve irirlerine ölelim klım: 0 Çıkn sonucu frk ettiniz değil mi? çıkmsı gerekirken 0 çıktı Peki, ynlış mı yptık? Hyır Sıfırdn frklı ir syının 0 ıncı kuvvetinin olduğunu öğrenmiş ve knıtlmış olduk Unutmyınız ki; 0 ın 0 ıncı kuvveti lınmz, öyle ir ifde elirsizdir Teorem Üslü ir syının üssü lınırs, üsler çrpılrk eski tn yeni üs olur Yni; ( ) c ( c ) c Knıt: Nsıl ki ifdesi tne nın çrpımı demek, ( ) c ifdesi de c tne nin çrpımı de-

2 Mustf YAĞCI mektir O hlde ortlıkt çrpılmyı ekleyen c tne vr Bu d tnım gereği c demektir Uyrı ( ) c ) olduğundn ifdesini prntezsiz kullnmyın, işte öyle elirsiz olur! ( c Teorem ( ) c c c Knıt: ( ) c ( ) ( ) ( ) ( ) [c tne] ( ) ( ) c c c c Teorem ( ) c c Knıt: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [c tne] c c Teorem {, 0, } iken m n ise m n Knıt: Tnımdn kynklnır m tne nın çrpımı, n tne nın çrpımın eşitse tne syılrı eşit demektir O hlde m n Diğer yndn ( ) ( ), ve 7 gii eşitlikler de doğru olduğundn, u syılrı tmlıyız Teorem m tmsyı iken, m m eşitliği nck durumund mümkündür Knıt: Yine tnımdn kynklnır Teorem m tmsyı iken m m ise Knıt: ( ) m ( ) m olduğundn olur ( ) ( + ) 0 olduğundn vey dir O hlde Örnek 0 nin yrısı kçtır? ( ) Çözüm: 0 c Örnek 7 ve 9 y + y ise ornı kçtır? y Çözüm: Skın ve y yi ulmy klkmyın 7 9 y 7 y olduğundn y dir + y y+ y y y y y y Örnek 9 9 syısının 9 uncu kuvveti ün kçıncı kuvvetine eşittir? 9 Üslü ifdeler Çözüm: (9 9 ) 9 ( 8 ) 9 olduğundn cevp dir Örnek m ve n ise syısı m ve n cinsinden neye eşit olur? Çözüm: ( ) ( ) ( ) m n Örnek m ve n doğl syıdır 8 m n çrpımı smklı en küçük doğl syıy eşitse m + n kçtır? Çözüm: smklı en küçük doğl syı 0 olduğundn, 8 m n 0 m n ( ) eşitliğinden m ve n ulunduğundn m + n + 0 Örnek,, c irer sym syısıdır 0 c eşitliğini sğlyn + + c toplmının en küçük değeri kçtır? Çözüm: 0 c c c Burdn c eşitliğini ulduk ve eğer + + c toplmının en küçük olmsını istiyorsk,, ve c lmlıyız, o hlde cevp Örnek y z 0 olmk üzere, + (y + z), ( + y) + z, y + z, ( + y + z), + y z syılrındn kç tnesinin değeri hiçir zmn sıfır olmz? Çözüm: y z 0 ise, y, z syılrının hepsi sıfırdn frklıdır + (y + z) syısını e (y + z) nin değerinin ters işretlisini vererek sıfır ypiliriz ( + y) + z syısı sıfırdn frklı iki kre toplmı olduğundn hiçir zmn sıfır olmz y + z ve + y z syılrı sırsıyl y + z ve + y z olduğu zmn sıfır eşit kılınilirler ( + y + z) syısı değişkenlerden iri diğerlerinin toplmının ters işretlisi olduğu zmn sıfır olur O hlde sdece ikinci ifde sıfır eşit olilir

3 Mustf YAĞCI Örnek 7 ve y eşitliklerinden y çrpımını ulunuz Çözüm: İlk eşitlikten ü çekip, ikinci eşitlikte yerine yzcğız 7 olduğundn olur y ( ) y olduğun- y dn y olur ki y Örnek n ir sym syısı ise Çözüm: 7 n + n + n + n + 7 n + n +? Örnek ve m irer reel syı iken (0,) + 7 (0,9) m+ eşitliği sğlnıyors kçtır? Çözüm: 0, 9 olduğunu htırlrsk, eşitliğin sğ trfının olduğunu nlrız O hlde sol trfın üssü 0 olmlıdır + 0 ise Örnek 9 ve olduğun göre, kçtır? Çözüm: İlk eşitlikten, ikinci eşitlikten de + ulunur İlk denklemden yı çekip, ikinci denklemde yerine koycğız + ( + ) olduğundn 0 Örnek 9 0 Çözüm: syısı kç eşittir? 0 ( 0 ) Örnek 0 0 ise kçtır? Çözüm: ( ) 0 0 olur syısı hiçir değeri 0 olmycğındn prntez içi 0 dır Örnek n ve + n ise yi cinsinden yzınız Çözüm: n syısının n nin kresi olduğunu görerek, ilk eşitlikten n yi çekip, ikinci eşitlikte yerine yzcğız 9 Üslü ifdeler n ise n olur + n + ( ) Örnek n ve 8 ise n nin cinsinden değeri nedir? Çözüm: olduğundn 8 n yni n olur Tüm tnlrı ynı ypmk mcıyl, n olduğundn n n olur n + n olduğundn n n n( ) olur Burdn n ulunur Örnek ( + ) ( ) eşitliğini sğlyn frklı reel kökleri ulunuz Çözüm: Üsler hem ynı hem de çift syı olduğundn hem + diyeceğiz, hem de + İlkinden, ikincisinden 9 Örnek ve y reel syılrı için ( ) syısının (y + ) nci kuvveti elirsizse + y toplmı kçtır? Çözüm: Sıfırın sıfırıncı kuvveti de elirsiz olduğundn ve y + syılrı 0 eşittir O hlde + y + ( ) Örnek n ve ise in n cinsinden eşiti nedir? Çözüm: olduğundn n yni n olur Tnlrı ynı ypmk mcıyl, yerine n yzcğız n n eşitliğiyle krşılşırız n + n olduğundn (n + ) n olur ki n n+ Örnek ve y irer sym syısı ve y olmk üzere; ( ) y (y ) ise + y kçtır? Çözüm: ve irer sym syısı olup, iken eşitliği nck ile mümkündür O hlde ve y eşitliğinden + y + 7 ulunur ve y lsydık d + y + olcktı Örnek p 0 olmk üzere, p r, p q ve q n r eşitliklerinden n nin değerini ulunuz Çözüm: Üçünü eşitlikte q yerine p yzlım p n r olur Bunu d irinci eşitlikte yerine yzlım p p n p 0 olduğundn n + 0 yni n / ulunur Örnek ( ) 7 ( )( ) ( )?

4 Mustf YAĞCI Çözüm: Önce nın sıfırdn frklı olduğunu düşünerek, syının pozitif mi negtif mi olcğını ullım işimizi kolylştırır Bun göre syı negtif çıkıyor Sonr üsleri olduğu gii toplyıp, nın üssüne yzıyoruz Cevp : Örnek,, c syılrı den üyük reel syılr iken / / c 7/ eşitliği sğlnıyors,,, c syılrını oy sırsın diziniz Çözüm: Önce,, 7 syılrını sıry dizelim < 7 < Böyle ir eşitlikte kimin üssü küçükse o üyük, kimin üssü üyükse o küçüktür O hlde < c < Eğer,, c değerleri (0, ) rlığınd olsydı, tm tersi olurdu Çünkü u rlıkt syılrın üsleri üyüdükçe kendileri küçülürler Örnek + 0 eşitliğini sğlyn kçtır? Çözüm: A olsun 9A olur O hlde + 0A 0 olduğundn A tür A olduğundn Örnek eşitliğini sğlyn tüm lerin toplmı kçtır? Çözüm: Tnı 0 ypmdığı sürece üssü 0 ypn değerler iş görür ( ) 0 eşitliğinden 0 vey ulunur, m 0 tnı 0 yptığındn lmyız Ayrıc tnın olduğu durum vr: Son olrk tnı ypn değer üssü çift ypıyors d lınmlı Ypmıyor O hlde eşitliği sğlyn değerleri ve olduğundn cevp + tür Örnek ve y irer sym syısı iken y y y y y eşitliğini sğlyn ve y syılrının toplmının en üyük ve en küçük değeri kçtır? Çözüm: y olduğundn y olur Sğlyn durumlr 8 olduğundn min y y ( + y) + 7 ve m ( + y) + olur, 0, 9 Örnek + toplmı kçtır? 0, 0, 9, 0,8 Çözüm: 8 0,9 0, + + Örnek + p ise 9 + 9? Üslü ifdeler Çözüm: Verilen ifdenin kresini ldığımızd soruln ifdeyi içinde rındırcğını öngörüyoruz p olduğundn p olur n n n Örnek ise n kçtır? n+ Çözüm: Hem pyı hem de pydyı n ortk prntezine llım n ( ) n n ( ) 8 8 olduğundn n olur Örnek n ve n+ iken 7 n kçtır? Çözüm: 7 n n ( n ) olduğundn n ve n değerlerini ulup, yerlerine yzdık mı çözüm tmmlnck n diye n 9 ve n+ diye n 7 n n ( n ) 9 ( ) 9 Örnek eşitliğini sğlyn tüm leri ulunuz Çözüm: ve olsun Eşitlik + ( ) ( ) 0 hlini lır Y y d dir olduğundn ve, diye de 0 ulunur Yni cevp: {0, } Alıştırmlr Aşğıdki e ğlı üstel denklemlerin köklerini ulunuz ( ) , 8 0, 0, + + 8

5 Mustf YAĞCI Üslü ifdeler , +0, 0 + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cos 0 cos cos ( ) + ( + ) + 9 / + 0 ( + ) Köklü syılr Üs lm işleminin tersine mtemtikte kök lm denir syısının n ninci kuvveti n olrk gösteriliyordu y, syısının n ninci dereceden kökü de n olrk gösterilir Burd n ye kök derecesi denir Özel olrk n durumund kök derecesi yzılmz, n > içinse yzılmsı zorunludur Peki, u kök lmnın mnsı ne demek? Örneklerle çıklylım: diye, 8 diye 8, 8 diye 8 İşte u yüzden c diye c olur Son verdiğimiz örnek, kök lm işlemlerinde geneli teşkil eder Aslınd urdn nlmmız gereken şey şudur: Her köklü ifde, üslü ifdeye çevrileileceği için üslü syılrı tm nlmıyl idrk etmiş ir kişinin köklü syılrd zorlnmsı için herhngi ir seep olmz Benim kök lm çuuğun küçüklükten eri lerjim vr diyors, onu ilemem

6 Mustf YAĞCI Genel olrk, dir Uzun lfın kıssı, c syısı, ninci kuvveti c ye eşit oln syı demektir inci kuvveti 7 eden syı d 7 dir Örnekleri rtırilirsiniz Her syının inci dereceden kuvveti kendisine eşit olduğu gii, her syının inci dereceden kökü de kendisine eşittir Nsıl ki yerine yzmyı tercih ediyor ve nlşiliyoruz, yerine de yzcğız ve yine nlşileceğiz Tnımlı olm şrtı Hiçir reel syının çift gücü (kuvveti) negtif olmycğındn, negtif ir syının çift dereceden kökü de reel değildir Fkt negtif syılrın tek dereceden kökleri lınilir Örnekleri inceleyiniz R R 8 R R 7 R ( ) 0 0 R R Örnek ifdesinin ir reel syı elirtmesi için hngi rlıkt olmlıdır? Çözüm: Kök derecesi çift syı olduğundn kök içi negtif olmmlıdır Dikkt ederseniz, pozitif olmlı demedik, negtif olmmlı dedik, çünkü 0 syısı tnımlı olup, 0 eşittir O hlde; 0 eşitsizliğinden olmlıdır Örnek + ifdesinin ir reel syı elirtmesi için in lileceği tmsyı değerlerinin toplmı kçtır? Çözüm: Dikkt etmemiz gereken iki frklı durum vr: Kök derecesi çift oln ifdelerin kök içinin negtif olmmsı lzım ve kesirli ifdenin pydsının 0 olmmsı lzım Kök derecesi tek oln ifde herhngi ir tehlike rz etmediğinden incelemeye dhi lınmyck 0 eşitsizliğinden olmlıdır 0 eşitsizliğinden olmlıdır Ayrıc ifdesi 0 olmmlıdır Yni syısı olmmlıdır, o hlde syısı olmmlıdır Bu üç sonuçtn in lileceği tmsyı değerlerinin {, } olduğu çıkr ki, cevp + 8 dir Örnek ve gerçel syılr ve olmk üzere; Üslü ifdeler A 0 0+ syısı reel ise A kçtır? Çözüm: A syısı reel ise çift dereceden köklerin içi negtif olmmlı, yni ve olmlı O hlde dir gördüğümüz her yere + yzrsk, A ulunur Kök derecesini üyültme/küçültme syısının y eşit olduğunu öğrendik nihyetinde ir kesir olduğundn, u kesrin hem py hem de pydsı sıfırdn frklı ir syıyl çrpıldığınd y d ölündüğünde kesrin değerinin değişmeyeceğini iliyoruz O hlde şöyle yzmk çok doğl: c c c c Yukrd c > ise işleme kök derecesini üyültme, 0 < c < ise kök derecesini küçültme denir Zten nlttığımız üzere c 0 olmz 8 8, Köklü ifdelerde dört işlem Üslü ifdelerde dört işlemi ypilen herkesin rhtlıkl nlyileceği kurllr vereceğiz Lütfen üslü ifdelerde eksiği oln ir vtndş u stırlrı okuyors, derhl okumyı ırkıp, üslü ifdeleri çlışıp gelsin Köklü ifdelerde toplm ve çıkrm ypilmek için toplnn ifdelerin hem kök dereceleri hem de kök içindeki syılrının eşit olmsı lzım Eğer öyle değilse de öyle ypmy çlışılmlı Bunu nsıl ypcğımızı ilerde göstereceğiz + 0 Nsıl ki, üslü ifdelerde çrpm/ölme ypilmek için tnlrın eşit olmsı gerekirdi, köklü ifdeleri çrpilmek/öleilmek için de kök derecelerinin eşit olmsı gerekir Zten köklü ifdeyi üslüye çevirdiğiniz zmn o çrpımı/ölümü ypıp ypmycğınızı nlrsınız Çrpmyl/ölmeyle ilgili teoremi verelim, rdındn ir örnekle süsleyelim Teorem Uygun değerler için y y Knıt: Teoremin söylediği şu: Çrpılck oln iki köklü ifdenin kök dereceleri ynı ise kök derecesini ynı ırkrk sdece kök içlerini çrpilir-

7 Mustf YAĞCI siniz Bunu knıtlmk için çrpıln ifdeleri üslü ifdelere çevirelim: y y ( y) y Örnek 8,, 8 Şimdi de çrpımlrı istenen ifdelerin kök derecelerinin eşit olmdığı durum göz tlım: Aynı soruyu üslü ifdelerle ilgili teoremlerden yrdım lrk dh rht d ypilirdik: + Örnek,, c irer reel syıdır c 8 c c olduğun göre kçtır? Çözüm: Bu üç ifdeyi de iririyle çrplım c c 8 ( c) / 0 ( c) 0 0 c c c olduğundn olrk ulunur Teorem Uygun değerler için y y Knıt: Çrpm teoremine yptığımız knıtın ynısını ypcğız: ( ) y y y y 7 Örnek syısını hesplylım Çrpm işlemine verdiğimiz örneğin nerdeyse ynısını yp- 9 cğız: Örnek 0, + 8 0,9 syısı kçtır? Çözüm: Üslü ifdeler Örnek ve iki smklı syılr olup, > veriliyor + ise frkı kçtır? Çözüm: ve iki smklı syılrının değerleri sırsıyl ve dir olur ise olduğundn + eşitliği çözülürse vey ulunur > verildiğinden lınır, urdn 9 ve uluncğındn olur Teorem Uygun değerler için Knıt: Anltılmk istenen şu: Nsıl ki, üslü ir syının üssü lındığınd üsleri çrprdık, köklü ir syının kökü lınırs d kök dereceleri çrpılır ( ) Örnek iken syısı cinsinden neye eşit olur? Çözüm: ( ) ( ) Örnek, y iken 08 syısı ve y cinsinden neye eşit olur? Çözüm: 08 y y Örnek + syısı kç eşittir? + Çözüm: t olsun t + + ( t ) + t + t+ Kök içine lmk Bzen köklü ir ifdede kökün ktsyısını kök içine lm gereksinimi duyrız Dışrıdki syıyı içeri lmnın kurllrı vr Şimdi onu öğreneceğiz Aslınd ypcğımız çrpm kurlındn şk ir şey değil Kurl şu: k k Köklü ifdelerde çrpm ypilmek için kök derecelerinin eşit olmsı lzım demiştik y, onun için dışrıdki k syısını nıncı dereceden köklü 7

8 Mustf YAĞCI yzcğız Sonr d kök dereceleri ynı olduğundn çrpm ypcğız: k k k Tii ki urd eğer çiftse, k nın pozitif olduğunu düşündük urd Çünkü k negtifse ilk verilen ifde negtif olur m ulduğumuz ifde her hlükrd pozitiftir Bundn dolyı eğer çiftken k negtifse, ulduğumuz ifdenin önüne işreti koymyı unutmmlıyız Örneğe kın:, Kök dışın çıkrmk Yukrdki işlemin tersini ypcğız Kurl şu: k Knıtı yine ynı yerden: k k k k Örnek ? 0 Çözüm: Örnek syısının yklşık değerinin hesplnilmesi için yklşık değerinin ilinmesi gereken ir syı yzınız Çözüm: olduğundn syısının yklşık değerinin ilinmesi yeter Bir syının kresinin krekökü E, tii ki kendisi olur diyenler dikktle okusun Her syının kresinin krekökü kendisi değildir Çünkü ir syının krekökü her dim pozitiftir Eğer ilk ldığımız syı negtifse, kresini ldığımız vkit çıkn syının krekökü hiçir zmn ilk lınn negtif syıy eşit olmycktır Am hepten de değişik ir syı değil, ilk lınn negtif syının pozitifi olcktır Bundn dolyı ir syının kresinin krekökü kendisi değil, mutlk değeridir Sorunlr çift dereceden kök olduğund orty çıkıyor Sdece krekökte değil, tüm çift dereceden köklerde enzer durum vr: n tek syı ise n çift syı ise n n, n n, + 9, 8 Örnek > olmk üzere; Üslü ifdeler + çrpımı kçtır? Çözüm: Kök içlerinin irirlerinin eşlenikleri olduğun dikkt ediniz + ( ) + ( ) İrrsyonel pydyı rsyonel ypmk Mtemtikçiler ir ifdenin mümkün olduğunc sit görünmesinden yndırlr Mtemtikle hşır neşir olmmış irinin yi nlmsı ile zorken, ir syının ye ölünmesini nlmsını eklememiz hyl gii Bu mçl kesirli ifdelerin pydlrını irrsyonel syılrdn kurtrmyı hedef edineceğiz Kurtrmsk n olur? Hiçirşey Zten elki de hiç kurtulmyck ir ifdedir, kimilir Am iz yine de kurtrileceğimizi kurtrlım İrrsyonel ir syıyı, şk ir syıyl çrptığımızd sonuç rsyonel syı oluyors, o şk syıy ilk syının eşleniği denir Bir syının den çok eşleniği olilir, genelde rsyonel ir ifde elde etmek için en küçük pozitif eşlenik tercih edilir Neden durduk yere dh üyük syılrl uğrşlım ki? nin eşleniği yine dir Zir u iki syı çrpılırs sonuç rsyonel ir syı oln çıkr Uygun koşullr ltınd tüm lerin eşleniği olur syısının eşleniği de dir Bzen pyd pozitif olsun diye syısının eşleniği olrk lınır Sorun değil Sonuç rsyonel çıksın d, n olurs olsun Peki, syısının eşleniği nedir? Çrpılınc rsyonel olmsı lzım, unutmyın Diğer yndn çrpm ypilmek için kök derecelerinin ynı olmsı gerekirdi Demek ki unun eşleniği, her nsıl ir syıys, üncü dereceden köklü ir syı olmsı lzım Aynı zmnd kök derecesiyle üs ynı ise unlrın iririni götüreceğini iliyoruz, o Bu köklü syılrd eşlenik tnımı enim uydurmm, gerçek eşlenik ile krıştırmyın

9 Mustf YAĞCI hlde çrpılmsı gerek syı olmlıdır Am şk ir eşlenik de olilir, unutmyın Genelleyelim: syısının eşleniği de olur Şimdi önemli ir tnesine geldik: + y gii ir syının eşleniği de y olur Benzer şekilde y gii ir syının eşleniği de + y olur Çünkü; ( + y )( y ) y Bir de pydyı rsyonel ypmkl ilgili değil de eşlenikle ilgili ir soru tipi vr, onl d ir örnek çözelim: Örnek 8 + ise toplmı cinsinden neye eşittir? Çözüm: Soruln ifdeyi eşleniği ile çrpıp ölelim: ( ) 8 ( + ) İç içe kökler gii sit görünen tipleri değil de y c z gii krmşık görünen köklü ifdeleri tek kök işretinin ltınd toplmyı öğreneceğiz Bunun için, dh önce yptığımız gii, köklü syılrı üslü syılr çevirmek yeterli olck c y z ( ( y z c ) ) c ( ( y z )) c y z c c c c c y z y z c c c c c c c c y z Yni, öyle ifdeleri tek kök ltınd toplmk için önce görünen tüm köklü ifdelerin derecelerini çrpıp, onu kök derecesi olrk yzıp, kök içindeki her syının üssüne kendinden sonr gelen köklü ifdelerin derecelerinin çrpımını yzckmışız Örneklerle dh iyi nlycksınız Örnek 8 ise kçtır? Çözüm: olduğundn Üslü ifdeler Örnek 8 ( ) ise kçtır? Çözüm: Eşitliğin sğ trfı, sol trfı ise ( ) ( ) ( ) 8 olduğundn olur olrk ulunur Bu kurll çokç soruln zı soru tiplerini formülleştirmek de mümkün, şğıd unlrın irkçını ulcksınız m skın ldırış etmeyin n n n n m m r r mnr mnr Kök içinin sonsuz gitmesi Bu kısımd vereceğimiz teoremleri koly nlmnız çısındn şk ir örnekle konuy girecek ve eğer ilmiyorsnız mutlk ilmeniz gereken ir olguyu nltcğım (Bsit görünen) Soru y olsun Bu hlde mi üyüktür, y mi? (Beklenmeyen) Cevp: Ne, y den üyüktür, ne de y, ten! Çünkü ile y eşittir Bunun neden öyle kul edildiğini sezmişsinizdir: Toplnn syılrın sonunun elli olmmsı Prdon, ynlış söyledim, sonunun elli olmmsı değil, sonunun olmmsı Limit konusund detylı işleyeceğiz Biz de undn sonr ynı elli kurll ilerleyen m ikisi de sonlnmyn ifdeleri eşit kul edeceğiz Aşğıdki teoremin knıtınd olduğu gii: Teorem Knıt: p olsun En üyük kök işretinin içinde sonsuz uzyn ifde de yukrd nlttığımız üzere p ye eşittir Eşitlik şu hli lır ve şöyle çözüme kvuşur: p p p p p (Her iki trfı p ye öldük) p ldık) Böylelikle teorem knıtlnmış oldu (Her iki trfın nıncı kuvvetini ldık) (Her iki trfın ( ) inci dereceden kökünü 9

10 Mustf YAĞCI Teorem : : : : + Knıt: Aynen ir önceki knıtt yptığımız gii : : : : syısın p diyeceğiz + (Her iki trfın (+) inci dereceden kökü- : p p : p p p + p nü ldık) Böylelikle u teorem de knıtlnmış oldu (Her iki trfın nıncı kuvvetini ldık) (Her iki trfı p yle çrptık) Teorem Knıt: p olsun + p p olur Her iki trfın kresi lınırs + p p olur ki, düzenlenirse p p 0 gii ikinci dereceden ir denklem ulunur Bunu çözmek için de ikinci dereceden denklemlerin köklerini veren formülden yrdım isteyeceğiz Bilmeyenler merklnmsın, ilerde göstereceğiz p ( ) ± ( ) ( ) eşitliğinden p nin pozitif oln değerini seçersek, soru çözülmüş olck O hlde; p + + Uyrı p p 0 eşitliğine ypcğımız şu yorum ve elde edeceğimiz sonuc zmi ilgi istiyoruz Zir uygun değerler ltınd oldukç prtik ir çözüm sğltır Üzülerek söylüyorum ki, yorumumuzu yine ikinci dereceden denklemlerle hşır neşir olmuş rkdşlr nlyilecek Denklemimizin kökler çrpımı, kökler toplmı ise O hlde köklere, toplmı olck şekilde, t ve t diyelim t( t) olduğunu d iliyoruz O hlde t(t ) Bu ne demek? Cevp nın rdışık çrpnlrındn iri demek Peki, hngisi? Cevımızın dim pozitif olmsı gerektiğinden t Yni rdışık köklerden üyük olnı Örnek : : : + eşitliğini sğlyn kçtır? Çözüm: Yukrd öğrendiğimiz sdeleştirmeler uygulnırs + eşitliğiyle krşılşırız yerine t yzrsk, t + t ulunur ki, t olduğundn tür Teorem + + Knıt: p olsun Üslü ifdeler p p olur Her iki trfın kresi lınırs p p olur ki, düzenlenirse p + p 0 gii ikinci dereceden ir denklem ulunur Köklerden pozitif olnı seçilirse; p + + olrk ulunur ki knıt tmmlnmış olur Uyrmdı demeyin syısı, eğer nın rdışık iki çrpnı vrs, onlrdn küçük olnın eşittir A+ B şeklindeki ifdelerin sdeleştirilmesi Köklü syılr dersinde en önemle üstünde durmnız gereken konuy geldik Aşğıdki işlemleri dikktlice inceleyin Anlmyn tekrr tekrr okusun lütfen T + y olsun T + y + y olur Her iki trfın d krekökü lınırs; T + y+ y ulunur ki, + y A ve y B denilirse A+ B + y eşitliğine erişilmiş olur Anltılmk istenen şudur: A+ B şeklinde ir ifdenin sdeleşmiş hlini rıyorsn, toplmlrı A yı ve çrpımlrı B yi veren ve y syılrı ul, rdığın şey + y dir, dh ne desin! Örnek Örnek 9+ syısını sdeleştiriniz Çözüm: Örnek 7 syısını sdeleştiriniz Çözüm:

11 Mustf YAĞCI Üslü ifdeler Örnek + kç eşittir? + Çözüm: + Örnek A B C 7 : 7 : 7 : iken A B C kç eşittir? Çözüm: A 7, B ve C olduğundn A B C 7 7 Örnek +? Çözüm: Çrpıln ifdelerden önce ilkini ir ele llım Şimdi ilk syıyl son syıyı çrplım + Örnek syısı kç eşittir? Çözüm: Önce ilk ifdeyi ele lcğız 8 8 Bu syıyl ikinci syıyı çrpcğız + A± B içimindeki ifdeler Eğer yukrd-ki gii ile çrpıp öldüğümüzde uygun değerler çıkıyors, ifdeyi derhl ile çrpıp ölmeliyiz Eğer öyle değilse şğıd vereceğim formülü kullnın: ± + ± ( ) ( ) Örnek + ise kçtır? Çözüm: Bu sçmspn formülü kullncğımı snmyın Eşitliğin her iki ynının kresini lırız + +,, ( ) 0, 0 vey, Köklü syılrd sırlm Sırlm ypılilmesi için kök derecelerinin irirlerine eşit hle getirilmesi lzım Kök derecelerini üyütme/küçültme şlığınd unu nltmıştık Bu hlde, kimin içi dh üyükse o dh üyük, kimin içi dh küçükse o dh küçüktür Köklü ifde içeren denklemler Bu konuyu ikinci dereceden denklemler şlığı ltınd dh detylı inceleyeceğiz Genel itiriyle köklü ifde içeren denklemlerde köklerden kurtulmk için ifdede köklü ifdeyi ylnız ırkıp, kök derecesi kdr üssünü lırız Böylelikle denklem kök işretinden rınmış olur, gerisini ildiğimiz üzere yprız Bzen köklü ifdeye şk ir değişken vererek de sorunu ortdn kldıriliriz Şimdi unlr irer örnek verelim: Örnek 0 değerini ulunuz Çözüm: 0, , + + +, +, +, eşitliğini sğlyn Örnek ise kçtır? Çözüm-: Eşitliğin her iki ynının kresini llım (Yine kre ldık) ( + )( + ) 0 vey olur Fkt 8 0 eşitsizliğinden sdece nın sğldığı görülür Çözüm-: Verilen eşitlik A C hlinde olduğundn toplmlrı, çrpımlrı oln iki syı rnır Bu syılr ve dir O hlde eşitliğinden ulunur

12 Mustf YAĞCI ( ) Alıştırmlr ise kçtır? A) B) C) D) E) 7 ( 7) + ( ) 0,? A) 0 B) / C) D) / E) 9 8 n 8 ise n kçtır? A) B) C) D) 0 E) 0, 0, 0,? A) / B) / C) / D) / E) ( + )? + A) B) C) D) E) 8 0? A) / B) / C) / D) / E) 7 n ise n kçtır? 8 A) / B) / C) / D) / E) 8 ( + + )( + ) 8? ? A) B) C) D) 0 E) 0 ( 8)( + )? A) B) C) D) 0 E) A + ise A kçtır? A) B) C) D) E) 7? 7 A) B) C) D) E) : + ise kçtır? A) B) C) D) E) 7? Üslü ifdeler A) B) C) D) E) ise? A) / B) C) / D) E) ( + ) - + ise çrpımı kçtır? A) B) C) D) 0 E) A) B) C) D) 0 E)

13 Mustf YAĞCI 7 : ( 0,9 0,)? 0,09? Üslü ifdeler A) B) C) D) E) 8 < eşitsizliğini sğlyn en küçük doğl syısı kçtır? A) B) C) D) E) 7 9 ise,,, ve syılrındn hngisi tmsyıdır? A) B) C) D) E) 0 ( ) + ( ) +? A) 9 B) 0 C) D) E) +? A) B) C) D) 0 E) 7 ise kçtır? A) B) 9 C) 7 D) E) 8 (0,0) -0, (0,)? A) 9 B) 0 C) D) E) + 8? A) / B) / C) D) E) ise kçtır? A) B) C) D) 0 E) 7 0, ise kçtır? A) B) C) D) E) 8 < < 0 iken + + +? A) B) C) D) E) 9 ( ) ( + + )? A) B) C) D) E) ? A) B) C) D) E) ise? + A) B) C) D) E) ? A) B) C) D) E) 7 A) / B) C) D)7 E)8

14 Mustf YAĞCI Üslü ifdeler /, / ve c 0 olduğun göre,, c değerlerinin küçükten üyüğe sırlmsını ypınız A) < < c B) < c < C) < < c D) < c < E) c < < ? 0 ve irer tmsyı iken + ise +? A) B) C) D) E) 7 Cevplr B B A B B B 7C 8D 9D 0E B A A A C A 7E 8A 9D 0B D E B D B E 7D 8A 9B 0C E B D B B C 7A 8E 9D 0C A) B) + C) D) E) + + reel syısı kçtır? A) 0 B) / C) D) / E) + 8 9? A) B) C) D) E) 7 ise kçtır? A) 8 B) C) D) E) < < iken? + A) B) C) D) E) 9 8? A) / B) C) / D) E)

TEOG. Tam Sayılar ve Mutlak Değer ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK TAMSAYILAR MUTLAK DEĞER

TEOG. Tam Sayılar ve Mutlak Değer ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK TAMSAYILAR MUTLAK DEĞER TEOG Tm Syılr ve Mutlk Değer TAMSAYILAR Eksi sonsuzdn gelip, rtı sonsuz giden syılr tm syılr denir ve tm syılr kümesi Z ile gösterilir. Z = {...,,, 1,0,1,,,... } Tmsyılr kümesi ikiye yrılır: ) Negtif Tmsyılr:

Detaylı

RASYONEL SAYILAR KESİR ÇEŞİTLERİ. www.unkapani.com.tr. 1. Basit Kesir. olduğuna göre, a, b tamsayı ve b 0 olmak üzere, a şeklindeki ifadelere

RASYONEL SAYILAR KESİR ÇEŞİTLERİ. www.unkapani.com.tr. 1. Basit Kesir. olduğuna göre, a, b tamsayı ve b 0 olmak üzere, a şeklindeki ifadelere RASYONEL SAYILAR, tmsyı ve 0 olmk üzere, şeklindeki ifdelere kesir denir. y kesrin pyı, ye kesrin pydsı denir. Örneğin,,,, kesirdir. kesrinde, py kesir çizgisi pyd, 0, 0 ise 0 0 dır.,, 0, syılrı irer 0

Detaylı

RASYONEL SAYILAR. ÖRNEK: a<0<b<c koşulunu sağlayan a, b, c reel sayıları. tan ımsız. belirsiz. basit kesir

RASYONEL SAYILAR. ÖRNEK: a<0<b<c koşulunu sağlayan a, b, c reel sayıları. tan ımsız. belirsiz. basit kesir RASYONEL SAYILAR 0 ve, Z olmk üzere şeklindeki syılr rsyonel syı denir. 0 0 tn ımsız 0 0 elirsiz 0 sit kesir ileşik kesir Genişletilerek vey sdeleştirilerek elde edilen kesirlere denk kesirler denir. Sıfır

Detaylı

Cebir Notları Mustafa YAĞCI, Eşitsizlikler

Cebir Notları Mustafa YAĞCI, Eşitsizlikler www.mustfygci.com.tr, 4 Cebir Notlrı Mustf YAĞCI, ygcimustf@yhoo.com Eşitsizlikler S yılr dersinin sonund bu dersin bşını görmüştük. O zmnlr dın sdece birinci dereceden denklemleri içeren mnsınd Bsit Eşitsizlikler

Detaylı

SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI

SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI YILLAR 00 00 004 00 006 007 008 009 010 011 ÖSS-YGS - 1 - - 1-1 1 SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI,b,c,d birer rkm olmk üzere ( 0) b = 10 + b bc = 100+10+b bc = 100+10b+c bcd =1000+100b+10c+d

Detaylı

0;09 0;00018. 5 3 + 3 2 : 1 3 + 2 3 4 5 1 2 işleminin sonucu kaçtır? A) 136 87 0;36 0;09. 10. a = 0,39 b = 9,9 c = 1,8 d = 3,7.

0;09 0;00018. 5 3 + 3 2 : 1 3 + 2 3 4 5 1 2 işleminin sonucu kaçtır? A) 136 87 0;36 0;09. 10. a = 0,39 b = 9,9 c = 1,8 d = 3,7. MC. + + +.. Rsyonel Syılr TEST I sonsuz kesrinin eşiti kçtır? A) B) C) D) E) 4 www.mtemtikclu.com, 006 Ceir Notlrı. 8. Gökhn DEMĐR, gdemir@yhoo.com.tr 0;0 0;0008 = 0; x ise x kçtır? A) 0,0 B) 0,000 C)

Detaylı

ASAL SAYILAR. Asal Sayılar YILLAR MATEMATĐK ĐM

ASAL SAYILAR. Asal Sayılar YILLAR MATEMATĐK ĐM YILLAR 00 003 004 00 006 007 008 009 00 0 ÖSS-YGS - - - - - - - ASAL SAYILAR ve kendisinden bşk pozitif böleni olmyn den büyük tmsyılr sl syı denir Negtif ve ondlıklı syılr sl olmz Asl syılrı veren bir

Detaylı

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER TANIMLAR :, b, R ve 0 olmk üzere denklem denir. b = 0 denklemine, ikini dereeden bir bilinmeyenli Bu denklemde, b, gerçel syılrın

Detaylı

Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Parabolün Tepe Noktası

Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Parabolün Tepe Noktası Mustf YĞCI www.mustfgci.com.tr, 11 Ceir Notlrı Mustf YĞCI, gcimustf@hoo.com Prolün Tepe Noktsı Ö nce ir prolün tepe noktsı neresidir, onu htırltlım. Kc, prolün rtmktn zlm ve zlmktn rtm geçtiği nokt dieiliriz.

Detaylı

Üslü Sayılar MATEMATİK. 5.Hafta. Hedefler. Öğr.Gör. Esrin PALAS BOZKURT Öğr.Gör. Muhsin ÇELİK. Bu üniteyi çalıştıktan sonra;

Üslü Sayılar MATEMATİK. 5.Hafta. Hedefler. Öğr.Gör. Esrin PALAS BOZKURT Öğr.Gör. Muhsin ÇELİK. Bu üniteyi çalıştıktan sonra; MATEMATİK Üslü Syılr Öğr.Gör. Esrin PALAS BOZKURT Öğr.Gör. Muhsin ÇELİK 5.Hft Hedefler Bu üniteyi çlıştıktn sonr; Gerçel syılrd üslü işlemler ypbilecek, Üslü denklem ve üslü eşitsizlikleri çözebileceksiniz.

Detaylı

2011 RASYONEL SAYILAR

2011 RASYONEL SAYILAR 011 RASYONEL SAYILAR AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ 06.01.011 A.Tnım 3 B.Kesir 3 C.Kesir çeşitleri 3 1.Bsit kesirler 3.Birleşik kesirler 3 3. Tm syılr 3 D.Rsyonel syılrı sırlm 4 E.Rsyonel syılrd işlemler 5 1.Rsyonel

Detaylı

1. x 1 x. Çözüm : (x 1 x. (x 1 x )2 = 3 2 x 2 2x = 1 x + 1 x2 = 9. x x2 = 9 x2 + 1 x2. 2. x + 1 x = 8 ise x 1 x

1. x 1 x. Çözüm : (x 1 x. (x 1 x )2 = 3 2 x 2 2x = 1 x + 1 x2 = 9. x x2 = 9 x2 + 1 x2. 2. x + 1 x = 8 ise x 1 x MC www.mtemtikclub.com, 006 Cebir Notlrı Çrpnlr Ayırm Gökhn DEMĐR, gdemir3@yhoo.com.tr Đki ifdenin çrpımı ypılırken, sonuc çbuk ulşmk için, bzı özel çrpımlrın eşitini klımızd tutr ve bundn yrrlnırız. Bu

Detaylı

DENKLEM ÇÖZME DENKLEM ÇÖZME. Birinci dereceden İki bilinmeyenli. 2x 2 + 5x + 2 = 0. 3x x 2 + 1 = 0. 5x + 3 = 0. x + 17 = 24.

DENKLEM ÇÖZME DENKLEM ÇÖZME. Birinci dereceden İki bilinmeyenli. 2x 2 + 5x + 2 = 0. 3x x 2 + 1 = 0. 5x + 3 = 0. x + 17 = 24. DENKLEM ÇÖZME + + = 0 + = 0 + = 0 + y = 0 İkinci dereceden ir ilinmeyenli denklemdir. İkinci dereceden ir ilinmeyenli denklemdir. Birinci dereceden ir ilinmeyenli denklemdir. Birinci dereceden İki ilinmeyenli

Detaylı

MUTLAK DEĞER. Sayı doğrusu üzerinde x sayısının sıfıra olan uzaklığına x in mutlak değeri denir ve x ile. gösterilir. x x. = a olarak tanımlanır.

MUTLAK DEĞER. Sayı doğrusu üzerinde x sayısının sıfıra olan uzaklığına x in mutlak değeri denir ve x ile. gösterilir. x x. = a olarak tanımlanır. gösterilir. MUTLAK DEĞER Syı doğrusu üzerinde syısının sıfır oln uzklığın in mutlk değeri denir ve ile B O A 0 OA = OB =, 0 =, < 0 olrk tnımlnır. < 0 < y için y = y işleminin eşitini bulunuz. < 0 için

Detaylı

ÜNİTE - 7 POLİNOMLAR

ÜNİTE - 7 POLİNOMLAR ÜNİTE - 7 BÖLÜM Polinomlr (Temel Kvrmlr) -. p() = 3 + n 6 ifdesi bir polinom belirttiğine göre n en z 5. p( + ) = + 4 + Test - olduğun göre, p() polinomunun ktsyılr toplmı p() polinomund terimlerin kuvvetleri

Detaylı

3 kesri on ikide üç şeklinde okunur. a kesrinin pay ve paydası sıfırdan farklı bir k tam sayısıyla, a a.k, k 0 ( Kesrin Genişletilmesi )

3 kesri on ikide üç şeklinde okunur. a kesrinin pay ve paydası sıfırdan farklı bir k tam sayısıyla, a a.k, k 0 ( Kesrin Genişletilmesi ) RASYONEL SAYILAR A Rsyonel Syı ve irer tm syı ve 0 olmk üzere, içiminde yzılilen syılr rsyonel syı denir Rsyonel syılr kümesi Q ile gösterilir Q { : ve tm syı ve 0 } dır ifdesinde y py, ye de pyd denir

Detaylı

sayısından en az kaç çıkarmalıyız ki kalan sayı 6,9,12 ve 15 ile kalansız bölünebilsin? ()

sayısından en az kaç çıkarmalıyız ki kalan sayı 6,9,12 ve 15 ile kalansız bölünebilsin? () 1. x,y,z,t rdışık çift syılrdır. Bun göre (xy)-(zt)=. İki smklı () syısının değeri, rkmlrı toplmının 7 ktıdır. Üç smklı () syısının ile ölümünden elde edilen ölüm kçtır. En z dört smklı ir doğl syının

Detaylı

Örnek...1 : a, b ve c birbirlerinden farklı birer rakamdır. a.b+9.b c en çok kaçtır?

Örnek...1 : a, b ve c birbirlerinden farklı birer rakamdır. a.b+9.b c en çok kaçtır? RAKAM Syılrı ifde etmek için kullndığımız 0,,2,3,4,5,6,7,8,9 sembollerine rkm denir. Örnek... :, b ve c birbirlerinden frklı birer rkmdır..b+9.b c en çok kçtır? DOĞAL SAYILAR N={0,,2,3...,n,...} kümesine

Detaylı

MUTLAK DEĞER. a ε R olmak üzere; Mutlak Değer MATEMATĐK ĐM YILLAR 2002 203 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 14) GENEL ÖRNEKLER.

MUTLAK DEĞER. a ε R olmak üzere; Mutlak Değer MATEMATĐK ĐM YILLAR 2002 203 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 14) GENEL ÖRNEKLER. Mutlk Değer YILLAR 4 6 8 9 1 11 ÖSS-YGS - - - 1 - - 1 - - 1/1 MUTLAK DEĞER ε R olmk üzere;, -, ise < ise ve b reel syı olmk üzere; 1) dır Eğer ise dır ) 14) + n n Z olmk üzere dır 1) f ( ) > g( ) f ( )

Detaylı

DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER

DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER Sf No..................................................... - 7 Denklem ve Eşitsizlikler Konu Özeti............................................. Konu Testleri ( 0)..........................................................

Detaylı

SAYILAR TEMEL KAVRAMLAR

SAYILAR TEMEL KAVRAMLAR YILLAR 00 00 004 00 006 007 008 009 010 011 ÖSS-YGS - 1 - - - 1-1 - 1 Pozitif tmsyılr,negtif tmsyılr ve 0 ın ererce oluşturduğu kümeye Tmsyılr kümesi denir Z ile gösterilir SAYILAR TEMEL KAVRAMLAR Temel

Detaylı

DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİT

DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİT DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİT BİRİNCİ DERECEDEN DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER. Kznım : Gerçek syılr kümesinde birinci dereceden eşitsizliğin özelliklerini belirtir.. Kznım : Gerçek

Detaylı

LYS LİMİT VE SÜREKLİLİK KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

LYS LİMİT VE SÜREKLİLİK KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI LYS LİMİT VE SÜREKLİLİK KONU ÖETLİ ÇÖÜMLÜ SORU BANKASI ANKARA İÇİNDEKİLER Limit Kvrmı ve Grfik Sorulrı... Limitle İlgili Bzı Özellikler...7 Genişletilmiş Reel Sılrd Limit... Bileşke Fonksionun Limiti...

Detaylı

İkinci Dereceden Denklemler

İkinci Dereceden Denklemler İkini Dereeden Denkleler İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER TANIMLAR :,, R ve olk üzere + + denkleine, ikini dereeden ir ilineyenli denkle denir Bu denkledeki,, gerçel syılrın ktsyılr, e ilineyen

Detaylı

MATEMATİK BÖLME BÖLÜNE BİLME RASYONEL VE ONDALIK SAYI BÖLÜNEBİ LME KURA LLARI 4 İ LE BÖLÜNE Bİ LME 5 İ LE BÖLÜNEBİ LME ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK ÖRNEK ÖRNEK

MATEMATİK BÖLME BÖLÜNE BİLME RASYONEL VE ONDALIK SAYI BÖLÜNEBİ LME KURA LLARI 4 İ LE BÖLÜNE Bİ LME 5 İ LE BÖLÜNEBİ LME ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK ÖRNEK ÖRNEK MATEMATİK BÖLME BÖLÜNE BİLME RASYONEL VE ONDALIK SAYI BÖLÜNEBİ LME KURA LLARI İ LE BÖ LÜNEBİ LME Syımızın irler smğı çift (son rkmı 0) ise syımız iki ile tm ölünür. 0 0 v. iki ile ölünür. syısı iki ile

Detaylı

b göz önünde tutularak, a,

b göz önünde tutularak, a, 3.ALT GRUPLAR Tnım 3.. bir grup ve G, nin boş olmyn bir lt kümesi olsun. Eğer ( ise ye G nin bir lt grubu denir ve G ile gösterilir. ) bir grup Not 3.. ) grubunun lt grubu olsun. nin birimi ve nin birimi

Detaylı

a üstel fonksiyonunun temel özellikleri şunlardır:

a üstel fonksiyonunun temel özellikleri şunlardır: 1 Üstel Fonksiyon: >o, 1 ve herhngi bir reel syı olmk üzere f: fonksiyon denir. R fonksiyonun üstel R, f()= 1 2, f()= ve f()= f()= gibi tbnı sbit syı (pozitif ve 1 den frklı) ve üssü 4 değişken oln bu

Detaylı

c

c Mtemt ık Ol ımp ıytı Çlışm Sorulrı c www.sbelin.wordpress.com sbelinwordpress@gmil.com Bu çlışm kğıdınd mtemtik olimpiytlrı sınvlrın hzırlnn öğrenciler ve öğretmenler için hzırlnmış sorulr bulunmktdır.

Detaylı

FONKSĐYONLAR MATEMATĐK ĐM. Fonksiyonlar YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011

FONKSĐYONLAR MATEMATĐK ĐM. Fonksiyonlar YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 YILLAR 00 00 00 005 006 007 008 009 00 0 ÖSS-YGS - - - - - - LYS - - - - - - - - FONKSĐYONLAR A ve B oşn frklı iki küme olsun A dn B ye tnımlı f fonksiyonu f : A B ile gösterilir A y tnım kümesi, B ye

Detaylı

SAYI ÖRÜNTÜLERİ VE CEBİRSEL İFADELER

SAYI ÖRÜNTÜLERİ VE CEBİRSEL İFADELER ÖRÜNTÜLER VE İLİŞKİLER Belirli bir kurl göre düzenli bir şekilde tekrr eden şekil vey syı dizisine örüntü denir. ÖRNEK: Aşğıdki syı dizilerinin kurlını bulunuz. 9, 16, 23, 30, 37 5, 10, 15, 20 bir syı

Detaylı

( ) ( ) ( ) Üslü Sayılar (32) 2. ( ) ( 2 (2) 3. ( ) ( ) 3 4. ( 4 9 ) eşitliğini sağlayan a değeri kaçtır? (0) 0,6 0,4 : 4,9 =?

( ) ( ) ( ) Üslü Sayılar (32) 2. ( ) ( 2 (2) 3. ( ) ( ) 3 4. ( 4 9 ) eşitliğini sağlayan a değeri kaçtır? (0) 0,6 0,4 : 4,9 =? Üslü Sılr. +.4 8 (8) 4. ( ) (. ). ( ) 4 6 ( ) :( ) () + + 5..4. ( ) ( ) () 4. 5 5 ( 4 9 ) 5. 9 + + 9 = + eşitliğini sğln değeri kçtır (0) 6. ( ) ( ) ( ) 0,6 0,4 : 4,9 (-6) 4 8.. c 7. 4.. c ( c ) 8. 6 8

Detaylı

c) Bire bir fonksiyon: eğer fonksiyonun görüntü kümesindeki her elemanının tanım kümesinde yalnız bir karşılığı varsa bu fonksiyonlara denir.

c) Bire bir fonksiyon: eğer fonksiyonun görüntü kümesindeki her elemanının tanım kümesinde yalnız bir karşılığı varsa bu fonksiyonlara denir. FONKSİYONLAR Boş kümeden frklı oln A ve B kümeleri verildiğinde, A kümesindeki her elemnı B kümesindeki ir elemn krşı getiren ğıntıy A dn B ye fonksiyon denir. y=f(x) ile gösterilir. Bir diğer ifdeyle

Detaylı

YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 ÖSS-YGS

YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 ÖSS-YGS Rsonel Sılr YILLAR 00 00 00 00 00 00 00 00 00 0 ÖSS-YGS RASYONEL SAYILAR KESĐR: Z ve 0 olmk üzere şeklindeki ifdelere kesir denir p pd kesirçizgisi KESĐR ÇEŞĐTLERĐ: kesri için i) < ise kesir sit kesirdir

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Matris Cebiri...3. Elementer İşlemler Determinantlar Lineer Denklem Sistemleri Vektör Uzayları...

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Matris Cebiri...3. Elementer İşlemler Determinantlar Lineer Denklem Sistemleri Vektör Uzayları... İÇİNDEKİLER Ön Söz... Mtris Cebiri... Elementer İşlemler... Determinntlr...7 Lineer Denklem Sistemleri...8 Vektör Uzylrı...6 Lineer Dönüşümler...48 Özdeğerler - Özvektörler ve Köşegenleştirme...55 Genel

Detaylı

VEKTÖRLER ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİT

VEKTÖRLER ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİT VKTÖRLR ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT VKTÖRLR 1. Kznım : Vektör kvrmını çıklr.. Kznım : İki vektörün toplmını ve vektörün ir gerçek syıyl çrpımını ceirsel ve geometrik olrk gösterir. VKTÖRLR 1.

Detaylı

TEST. Rasyonel Sayılar. 1. Aşağıdaki bilgilerden hangisi yanlıştır? 2. Aşağıda verilen, 3. Aşağıdaki sayılardan hangisi hem tam sayı,

TEST. Rasyonel Sayılar. 1. Aşağıdaki bilgilerden hangisi yanlıştır? 2. Aşağıda verilen, 3. Aşağıdaki sayılardan hangisi hem tam sayı, Rsyonel Syılr. Sınıf Mtemtik Soru Bnksı TEST. Aşğıdki bilgilerden hngisi ynlıştır? A) Rsyonel syılr Q sembolü ile gösterilir. B) Her tm syı bir rsyonel syıdır. şeklinde yzıln bütün syılr rsyoneldir. b

Detaylı

İstatistik I Bazı Matematik Kavramlarının Gözden

İstatistik I Bazı Matematik Kavramlarının Gözden İsttistik I Bzı Mtemtik Kvrmlrının Gözden Geçirilmesi Hüseyin Tştn Ağustos 13, 2006 İçindekiler 1 Toplm İşlemcisi 2 2 Çrpım İşlemcisi 6 3 Türev 7 3.1 Türev Kurllrı.......................... 8 3.1.1 Sbit

Detaylı

ÜSLÜ SAYILAR. (-2) 3 = (-2). (-2). (-2) = (-8) Kuvvet Tek; NEGATİF. (-2) 4 = (-2). (-2). (-2). (-2) = 16 Kuvvet Çift; POZİTİF.

ÜSLÜ SAYILAR. (-2) 3 = (-2). (-2). (-2) = (-8) Kuvvet Tek; NEGATİF. (-2) 4 = (-2). (-2). (-2). (-2) = 16 Kuvvet Çift; POZİTİF. SINIF ÜSLÜ SAYILAR www.tyfuolcu.co Üslü Syı : ifdesi ı te çrpıı lı gelektedir. =.... te =.. = 8 =. = 4 =. = 9 4 =... = 81 10 6 = 10.10.10.10.10.10 Teel Kvrlr ile. ifdeleri çok sık krıştırıl ifdelerdeir.

Detaylı

İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ

İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ Prof.Dr.Hüseyi ÇAKALLI İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ Bu ölümde dizileri, yi tım kümesi doğl syılr kümesi, değer kümesi, reel syılr kümesii ir lt kümesi ol foksiyolrı iceleyeceğiz... Ykısk Diziler. Öce

Detaylı

POLİNOMLARIN ÇARPANLARA AYRILMASI

POLİNOMLARIN ÇARPANLARA AYRILMASI POLİNOMLARIN ÇARPANLARA AYRILMASI Tnım: P ( ) polinomu Q ( ) polinomun bölündüğünde bölüm B ( ), Kln ( ) 0 durumd, P ( ) = Q( ). B( ) yzılır. K = olsun. Bu Q ( ) ve B ( ) polinomlrın P ( ) polinomunun

Detaylı

LYS 1 / MATEMATİK DENEME ÇÖZÜMLERİ

LYS 1 / MATEMATİK DENEME ÇÖZÜMLERİ LYS / MATEMATİK DENEME ÇÖZÜMLERİ Deneme -. A) - - + B) - 7 - + C) 5-5 - 5 +. + m ; + me + > H + D) - 5 - + E) 7- - + Sılrın plrı eşit olduğun göre, pdsı en üük oln sı en küçüktür. Bun göre A seçeneğindeki

Detaylı

LOGARİTMA. Örnek: çizelim. Çözüm: f (x) a biçiminde tanımlanan fonksiyona üstel. aşağıda verilmiştir.

LOGARİTMA. Örnek: çizelim. Çözüm: f (x) a biçiminde tanımlanan fonksiyona üstel. aşağıda verilmiştir. LOGARİTMA I. Üstl Fonksiyonlr v Logritmik Fonksiyonlr şitliğini sğlyn dğrini bulmk için ypıln işlm üs lm işlmi dnir. ( =... = 8) y şitliğini sğlyn y dğrini bulmk için ypıln işlm üslü dnklmi çözm dnir.

Detaylı

Lisans Yerleştirme Sınavı 1 (Lys 1) / 16 Haziran Matematik Sorularının Çözümleri. sayısının 2 sayı tabanında yazılışı =?

Lisans Yerleştirme Sınavı 1 (Lys 1) / 16 Haziran Matematik Sorularının Çözümleri. sayısının 2 sayı tabanında yazılışı =? Lisns Yerleştirme Sınvı (Ls ) 6 Hirn Mtemtik Sorulrının Çöümleri 8 sı tnınd verilen ( ) 8 sısının sı tnınd ılışı? Bu durumd ( ) 8 sısı önce tnın çevrilir Sonr tnınd ılır ( ) 8 8 8 8 Bun göre ( ) 8 ( )

Detaylı

LYS 2016 MATEMATİK ÇÖZÜMLERİ

LYS 2016 MATEMATİK ÇÖZÜMLERİ LYS 06 MATEMATİK ÇÖZÜMLERİ 6.. 5. 5. ( ) 8 6 65 buluruz. 5. 5 5 Doğru Cevp: C Şıkkı 8 7 ()... 9 buluruz. Doğru Cevp : D Şıkkı 9 8 8 9 8 9 8 9 9 9 9 9 8 buluruz. 8 8 8 8 8 Doğru Cevp : A Şıkkı (n )! (n

Detaylı

DRC. 4. Sekiz basamaklı herhangi bir özel sayı x = abcdefgh olsun. Deneme - 2 / Mat. c m. m m. y Cevap A. Cevap D 21, 25, = = =. 21.

DRC. 4. Sekiz basamaklı herhangi bir özel sayı x = abcdefgh olsun. Deneme - 2 / Mat. c m. m m. y Cevap A. Cevap D 21, 25, = = =. 21. Deneme - / Mt MATMATİK DNMSİ. - + -. 0,.., f -, 0, p. 0,. c- m.,,. ^- h.. 7. ^- h 7 - ulunur. +. c m olur.. + + ulunur. ( ) c m + c m. cc m m. c m.. ulunur. evp evp. Sekiz smklı herhngi ir özel syı cdefgh

Detaylı

LOGARİTMA. çözüm. için. Tanım kümesindeki 1 elemanını değer kümesindeki herhangi. çözüm. çözüm

LOGARİTMA. çözüm. için. Tanım kümesindeki 1 elemanını değer kümesindeki herhangi. çözüm. çözüm LOGARİTMA Üstel Fonksion >0 ve olmk üzere f:r R +, f() = şeklindeki fonksionlr üstel fonksion denir. Üstel fonksionlr birebir ve örtendir. f:r R +, f()=( ) bğıntısının üstel fonksion olup olmdığını inceleiniz.

Detaylı

Kesir Örnek Çözüm. 1. Yandaki şekilde bir TEST - 1. 1. Taralı alanı gösteren. bütün 8 eş parçaya bölünmüş ve bu parçalardan 3 tanesi

Kesir Örnek Çözüm. 1. Yandaki şekilde bir TEST - 1. 1. Taralı alanı gösteren. bütün 8 eş parçaya bölünmüş ve bu parçalardan 3 tanesi Kesir.. Trlı lnı gösteren kesri bulunuz. kesrini ile genişlettiğimizde elde edilecek kesri bulunuz.. Yndki şekilde bir bütün 8 eş prçy bölünmüş ve bu prçlrdn tnesi trnmıştır. Trlı lnı gösteren kesir syısı

Detaylı

ÇOKGENLER Çokgenler çokgen Dışbükey (Konveks) ve İçbükey (Konkav) Çokgenler dış- bükey (konveks) çokgen içbükey (konkav) çokgen

ÇOKGENLER Çokgenler çokgen Dışbükey (Konveks) ve İçbükey (Konkav) Çokgenler dış- bükey (konveks) çokgen içbükey (konkav) çokgen ÇONLR Çokgenler rdışık en z üç noktsı doğrusl olmyn, düzlemsel şekillere çokgen denir. Çokgenler kenr syılrın göre isimlendirilirler. Üçgen, dörtgen, beşgen gibi. ışbükey (onveks) ve İçbükey (onkv) Çokgenler

Detaylı

İntegral Uygulamaları

İntegral Uygulamaları İntegrl Uygulmlrı Yzr Prof.Dr. Vkıf CAFEROV ÜNİTE Amçlr Bu üniteyi çlıştıktn sonr; düzlemsel ln ve dönel cisimlerin cimlerinin elirli integrl yrdımı ile esplnileceğini, küre, koni ve kesik koninin cim

Detaylı

ÜÇGEN VE PİSAGOR BAĞINTISI

ÜÇGEN VE PİSAGOR BAĞINTISI ÜÇGEN VE PİSGOR ĞINTISI KZNIMLR Üçgen kvrmı Üçgen çizimi Üçgenin kenrlrı rsındki ğıntılr Üçgen eşitsizliği Üçgenlerde yükseklik Üçgenlerde kenrorty Üçgenlerde çıorty Kenr ort dikme kvrmı Pisgor ğıntısı

Detaylı

MATRİSLER. r r r A = v v v 3. BÖLÜM. a a L a. v r. a = M a. Matris L L L L. elemanları a ( i = 1,2,..., m ; j = 1,2,... n) cinsinden kısaca A = [ ]

MATRİSLER. r r r A = v v v 3. BÖLÜM. a a L a. v r. a = M a. Matris L L L L. elemanları a ( i = 1,2,..., m ; j = 1,2,... n) cinsinden kısaca A = [ ] 3. BÖLÜM 2 v r = M m v r 2 2 = 22 M m2 v r n n 2n = M mn MTRİSLER gibi n tne vektörün oluşturduğu, r r r = v v v [ L ] 2 n şeklindeki sırlnışın mtris denir. 2 nlitik Geometriden Biliyoruz ki : Mtris 2

Detaylı

YÜZDE VE FAĐZ PROBLEMLERĐ

YÜZDE VE FAĐZ PROBLEMLERĐ YILLAR 00 003 00 00 006 007 008 009 010 011 ÖSS-YGS 3 1 1 1 3 YÜZDE VE FAĐZ PROBLEMLERĐ YÜZDE: Bir syının yüzde sı= dır ÖRNEK(1) % i 0 oln syıyı bullım syımız olsun 1 = 0 = 0 ÖRNEK() 800 ün % ini bullım

Detaylı

ÖSS Matematik. ax 2 +bx+c=0

ÖSS Matematik. ax 2 +bx+c=0 ÖSS Mtemtik Mustf Yğcı, ygcimustf@yhoo.com +b+c0 n n + n- n- + + + + 0 biçiminde yzıln ifdelere n doğl syı ve lr reel syı olduğu sürece polinom dendiğini söylemiştik. n n + n- n- + + + + 0 0 biçiminde

Detaylı

1990 ÖYS 1. 7 A) 91 B) 84 C) 72 D) 60 E) 52 A) 52 B) 54 C) 55 D) 56 E) 57

1990 ÖYS 1. 7 A) 91 B) 84 C) 72 D) 60 E) 52 A) 52 B) 54 C) 55 D) 56 E) 57 99 ÖYS. si oln si kçtır? A) 9 B) 8 C) D) 6 E) 5 6. Bir nın yşı, iki çocuğunun yşlrı toplmındn üyüktür. yıl sonr nın yşı, çocuklrının yşlrı toplmının ktı olcğın göre ugün kç yşınddır? A) 5 B) 5 C) 55 D)

Detaylı

ÖRNEK - 1 ÖRNEK x 3 4x 2 + 6x. 2x 3 4x 2 + 6x ifadesinde her terimdeki ortak çarpan 2x tir. 2x(x 2 2x + 3) ÖRNEK - 3.

ÖRNEK - 1 ÖRNEK x 3 4x 2 + 6x. 2x 3 4x 2 + 6x ifadesinde her terimdeki ortak çarpan 2x tir. 2x(x 2 2x + 3) ÖRNEK - 3. ÇARPANLARA AYIRMA çerisinde bilinmeen bulunn ve bilinmeenlerin her de eri için dim do ru oln eflitliklere özdefllik denir. Örne in; ÖRNEK - Afl dki ifdeleri ortk çrpn prntezlerine lrk çrpnlr r n z. ) +

Detaylı

İÇİNDEKİLER ORAN VE ORANTI... 267-278... 01-06 KESİR PROBLEMLERİ... 279-288... 01-05 HAVUZ VE İŞ PROBLEMLERİ... 289-298... 01-06

İÇİNDEKİLER ORAN VE ORANTI... 267-278... 01-06 KESİR PROBLEMLERİ... 279-288... 01-05 HAVUZ VE İŞ PROBLEMLERİ... 289-298... 01-06 PROBLEMLER İÇİNDEKİLER Syf No Test No ORAN VE ORANTI... 267-278... 01-06 KESİR PROBLEMLERİ... 279-288... 01-05 HAVUZ VE İŞ PROBLEMLERİ... 289-298... 01-06 SAYI PROBLEMLERİ... 299-314... 01-08 YAŞ PROBLEMLERİ...

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR. TAM SAYILARDA DÖRT İŞLEM Tam sayılarda dört işlem yapılırken, işlem önceliklerine dikkat edilmelidir.

TEMEL KAVRAMLAR. TAM SAYILARDA DÖRT İŞLEM Tam sayılarda dört işlem yapılırken, işlem önceliklerine dikkat edilmelidir. TEMEL KAVRAMLAR Bu bölümde mtemtiğin en temel kvrmlrı incelenecektir. Temel mtemtik bilgilerinin kvrnmsı ilerleyen bölümlerde önemli olcğındn eksiksiz bilinmesi şrttır. Bu konud tm syılrd dört işlem üzerinde

Detaylı

ORTĐK ÜÇGEN ve EŞ ÖZELLĐKLĐ NOKTALAR

ORTĐK ÜÇGEN ve EŞ ÖZELLĐKLĐ NOKTALAR ORTÖĞRETĐM ÖĞRENĐLERĐ RSI RŞTIRM ROJELERĐ YRIŞMSI (2008 2009) ORTĐK ÜÇGEN ve EŞ ÖZELLĐKLĐ NOKTLR rojeyi Hzırlyn Öğrencilerin dı Soydı : Sinem ÇKIR Sınıf ve Şuesi : 11- dı Soydı : Fund ERDĐ Sınıf ve Şuesi

Detaylı

LOGARİTMA Test -1. olduğuna göre, x kaçtır? olduğuna göre, x aşağıdakilerden hangisidir? A) 3 B) 9 C) 16 D) 64 E) 81.

LOGARİTMA Test -1. olduğuna göre, x kaçtır? olduğuna göre, x aşağıdakilerden hangisidir? A) 3 B) 9 C) 16 D) 64 E) 81. LOGARİTMA Test -. olduğun göre, şğıdkilerden log log log. log olduğun göre, kçtır? 6 6 8. olduğun göre, şğıdkilerden 6. logm olduğun göre, m kçtır? log log log 6 log 6. olduğun göre, şğıdkilerden log log

Detaylı

ORAN ve ORANTI-1 ORAN-ORANTI KAVRAMI. 1. = olduğuna göre, aşağıdaki ifadelerin. + c c sisteminin çözümüne. 3. olduğuna göre, nin değeri

ORAN ve ORANTI-1 ORAN-ORANTI KAVRAMI. 1. = olduğuna göre, aşağıdaki ifadelerin. + c c sisteminin çözümüne. 3. olduğuna göre, nin değeri ORAN ve ORANTI- ORAN-ORANTI KAVRAMI A) B) 9 C) 7 D) 5 E). olduğun göre, şğıdki ifdelerin hngisi d doğrudur? + d A) d + 4 + d C) 4 d E) 5 + 5 5 5 + d d + d B) n + m n + md D) d x y z. 4 5 sisteminin çözümüne

Detaylı

B - GERĐLĐM TRAFOLARI:

B - GERĐLĐM TRAFOLARI: ve Seg.Korum_Hldun üyükdor onrım süresinin dh uzun olmsı yrıc rnın izole edilmesini gerektirmesi; rızlnmsı hlinde r tdiltını d gerektireilmesi, v. nedenlerle, özel durumlr dışınd tercih edilmezler. - GERĐLĐM

Detaylı

Mtemtik Öğretmeni: Mhmut BAĞMANCI www.zevklimtemtik.com LOGARİTMA ÇALIŞMA SORULARI.) Aşğıdkı ifdelerde x i veren ifdeyi yzınız x ) x b) 7 x c) 0 7 d) +x.) 7 7 7 ise x... ise x... ise x... ise x....) Aşğıdki

Detaylı

DENEY 3: EŞDEĞER DİRENÇ, VOLTAJ VE AKIM ÖLÇÜMÜ

DENEY 3: EŞDEĞER DİRENÇ, VOLTAJ VE AKIM ÖLÇÜMÜ A. DENEYĠN AMACI : Direnç devrelerinde eşdeğer direnç ölçümü ypmk. Multimetre ile voltj ve kım ölçümü ypmk. Ohm knununu sit ve prtik devrelerde nlmy çlışmk. B. KULLANILACAK AAÇ VE MALZEMELE : 1. DC güç

Detaylı

ek tremum LYS-1 MATEMATİK MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte Matematik Alanına ait toplam 80 soru vardır.

ek tremum LYS-1 MATEMATİK MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte Matematik Alanına ait toplam 80 soru vardır. LYS- MTEMTİK MTEMTİK TESTİ. u testte Mtemtik lnın it toplm 0 soru vrdır.. evplrınızı, cevp kâğıdının Mtemtik Testi için yrıln kısmın işretleyiniz.. = 5! +! olduğun göre,! syısının türünden eşiti şğıdkilerden

Detaylı

Taşkın, Çetin, Abdullayeva

Taşkın, Çetin, Abdullayeva 1 BÖLÜM 1 KÜMELER VE SAYILAR 1.1 KÜMELER 1.1.1. TEMEL TANIMLAR Kesi ir tımı ypılmmkl erer,sezgisel olrk,kümeye iyi tımlmış iri iride frklı eseler topluluğudur diyeiliriz. Kümeyi meyd getire eselere kümei

Detaylı

1988 ÖYS. 1. Toplamları 242 olan gerçel iki sayıdan büyüğü küçüğüne bölündüğünde bölüm 4, kalan 22 dir. Küçük sayı kaçtır?

1988 ÖYS. 1. Toplamları 242 olan gerçel iki sayıdan büyüğü küçüğüne bölündüğünde bölüm 4, kalan 22 dir. Küçük sayı kaçtır? 988 ÖYS. Toplmlrı 4 oln gerçel iki syıdn üyüğü küçüğüne ölündüğünde ölüm 4, kln dir. Küçük syı kçtır? A) 56 B) 5 C) 48 D) 44 E) 40. 0,5 6 devirli (peryodik) ondlık syısı şğıdkilerden hngisine eşittir?

Detaylı

Tanım : Merkezi orijin ve yarıçapı 1 birim olan çembere trigonometrik çember veya birim çember denir. y B(0,1) C(1,0)

Tanım : Merkezi orijin ve yarıçapı 1 birim olan çembere trigonometrik çember veya birim çember denir. y B(0,1) C(1,0) BÖLÜM TRİGONOMETRİ.. TRİGONOMETRİK BAĞINTILAR... BİRİM ÇEMBER Tnım : Merkezi orijin ve yrıçpı birim oln çembere trigonometrik çember vey birim çember denir. Trigonometrik çemberin denklemi + y dir.yni

Detaylı

a bir reel (gerçel) sayı ve n bir pozitif tam sayı olsun. 1 dir. n a ye üslü ifade

a bir reel (gerçel) sayı ve n bir pozitif tam sayı olsun. 1 dir. n a ye üslü ifade ÜSLÜ İFADELER A. Tı bir reel (gerçel syı ve bir pozitif t syı olsu.... te olck şekilde, te ı çrpıı ol deir. ye üslü ifde Kurl. sıfırd frklı bir reel syı olk üzere,. 0 0 0 ifdesi tısızdır.. ( R... 0 7..

Detaylı

Matematik Olimpiyatları İçin

Matematik Olimpiyatları İçin ONU NLTIMLI Mtemtik Olimpiytlrı İçin enzerlik LİS MTMTİ OLİMPİYTLRI İÇİN Mustf Yğı, Osmn kiz enzerlik Mustf Yğı Osmn kiz İki çokgenin köşeleri rsınd ire-ir eşleme ypılırs eşleştirilen köşelere krşılıklı

Detaylı

14) ( 2) 6 üslü sayısının kesir olarak yazılışı A) ) 2 3 sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir? 16) -6 2 üslü sayısının eşiti kaçtır?

14) ( 2) 6 üslü sayısının kesir olarak yazılışı A) ) 2 3 sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir? 16) -6 2 üslü sayısının eşiti kaçtır? ÜSLÜ SAYILAR KAZANIM PEKİŞTİRME SORULARI ) üslü syısı şğıdkilerden hngisine eşittir? 6 9 7 ) +++++++ işleminin sonucu şğıdkilerden hngisi ile ifde edilebilir?. + )... işleminin sonucu şğıdkilerden hngisi

Detaylı

MATEMATİK TESTİ. 5. a, b birer gerçek sayı ve a + b < 3tür. Bu sayıların sayı doğrusunda gösterilişi aşağıdakilerden hangisindeki gibi olabilir?

MATEMATİK TESTİ. 5. a, b birer gerçek sayı ve a + b < 3tür. Bu sayıların sayı doğrusunda gösterilişi aşağıdakilerden hangisindeki gibi olabilir? MTEMTİK TESTİ 1 1 1 1 1. + 4 4 1 ) 0 ) 4 işleminin sonucu kçtır? ) 1 ) 1., irer gerçek syı ve + < 3tür. u syılrın syı doğrusund gösterilişi şğıdkilerden hngisindeki gii olilir? ) -3 - -1 0 1 3 ) -3 - -1

Detaylı

3.4 İşlem. 3.4.1 İşlem Kavramı. Etkinlik 3.53. Etkinlik 3.52

3.4 İşlem. 3.4.1 İşlem Kavramı. Etkinlik 3.53. Etkinlik 3.52 . İşlm.. İşlm Kvrmı Etkinlik.5 A,,, B,, v C,,5, kümlri vriliyor.. AxB kümsini yzınız.. AxB n C y f ğıntısı f x, y x il y n, küçük olmynı içimin tnımlnıyor. AxB f C f ğıntısını ynki gii ir Vnn şmsı il göstriniz.

Detaylı

Tek ve Çift Fonksiyonlar. Özel Tanýmlý Fonksiyonlar. Bir Fonksiyonun En Geniþ Taným Kümesi. 1. Parçalý Fonksiyonlar. 2. Mutlak Deðer Fonksiyonu

Tek ve Çift Fonksiyonlar. Özel Tanýmlý Fonksiyonlar. Bir Fonksiyonun En Geniþ Taným Kümesi. 1. Parçalý Fonksiyonlar. 2. Mutlak Deðer Fonksiyonu Fonksionlr Konu Özeti. Köklü fonksionlrın en geniş tnım kümesi: f( f( n f( g( fonksionun en geniş tnım kümesi, g( koşulunu sğln noktlr kümesidir. f( f( n f( g( tüm reel sılrd tnımlıdır. fonksionu g( in

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Mtemtk Deneme Sınvı. İki bsmklı bir sının rkmlrı toplmı dir. Rkmlrı er değiştirdiğinde elde edilen sı, ilk sının sinden fzldır.. Birbirinden frklı tne pozitif tmsının OKEK i olduğun göre, en çok kçtır?

Detaylı

MATEMATİK.

MATEMATİK. MTEMTİK www.e-ershne.iz. s( \ ) = 6, s( \ ) = 8 tür. kümesinin lt küme syısı ise, kümesinin elemn syısı kçtır?... D. 7 Ynıt:. s( ) =? s( ) = = s( ) = 6 8 s( ) = 6 + + 8 =. Rkmlrı frklı üç smklı üç oğl

Detaylı

1997 ÖYS A) 30 B) 35 C) 40 D) 45 E) 50. olduğuna göre, k kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

1997 ÖYS A) 30 B) 35 C) 40 D) 45 E) 50. olduğuna göre, k kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 7 ÖYS. 0,00 0,00 k 0,00 olduğun göre, k kçtır? 6. Bir ust günde çift ykkbı, bir klf ise günde çift ykkbı ypmktdır. İkisi birlikte, 8 çift ykkbıyı kç günde yprlr? 0 C) 0 D) 0 C) D). (0 ) ( 0) işleminin

Detaylı

YILLAR ÖSS-YGS /LYS /1 0/1 ÇÖZÜM: 1) xοy A ise ο işlemi A da kapalıdır.

YILLAR ÖSS-YGS /LYS /1 0/1 ÇÖZÜM: 1) xοy A ise ο işlemi A da kapalıdır. YILLAR 00 00 00 005 006 007 008 009 00 0 ÖSS-YGS /LYS - - - 0/ 0/ ĐŞLEM ( ) ( ) (+ ) ( ) 7 6 76+ bulunur ve e bğlı bütün tnımlı fonksionlr bir işlem belirtir i göstermek için +,,*, gibi işretler kullnılır

Detaylı

2.I. MATRİSLER ve TEMEL İŞLEMLER

2.I. MATRİSLER ve TEMEL İŞLEMLER Nzım K. Ekinci Mtemtiksel İktist Notlrı.I. MTRİSLER ve TEMEL İŞLEMLER Tnım.. Mtris. şğıdki gibi stırlr ve sütunlr biçiminde sırlnmış reel syı tblolrın mtris denir............. n n n... mtrisinin n stırı

Detaylı

Komisyon DGS TAMAMI ÇÖZÜMLÜ 10 DENEME SINAVI ISBN 978-605-364-027-1. Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarına aittir.

Komisyon DGS TAMAMI ÇÖZÜMLÜ 10 DENEME SINAVI ISBN 978-605-364-027-1. Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarına aittir. Komisyon DGS TAMAMI ÇÖZÜMLÜ 0 DENEME SINAVI ISBN 97-0--07- Kitpt yer ln ölümlerin tüm sorumluluğu yzrın ittir. Pegem Akdemi Bu kitın sım, yyın ve stış hklrı Pegem Akdemi Yy. Eğt. Dn. Hizm. Tic. Ltd. Şti

Detaylı

İKİ DEĞİŞKENLİ ARİTMETİK FONKSİYONLAR. Funda ÇETİN YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ HAZİRAN 2007 ANKARA

İKİ DEĞİŞKENLİ ARİTMETİK FONKSİYONLAR. Funda ÇETİN YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ HAZİRAN 2007 ANKARA İKİ DEĞİŞKENLİ ARİTMETİK FONKSİYONLAR Fund ÇETİN YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ HAZİRAN 2007 ANKARA iv İKİ DEĞİŞKENLİ ARİTMETİK FONKSİYONLAR (Yüksek Lisns Tezi)

Detaylı

Ö.Y.S. 1998. MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ

Ö.Y.S. 1998. MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ Ö.Y.S. 998 MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ. Üç bsmklı bir doğl syısının ktı, iki bsmklı bir y doğl syısın eşittir. 7 Bun göre, y doğl syısı en z kç olbilir? A) B) C) 8 D) E) Çözüm y 7 7y (, en küçük bsmklı,

Detaylı

DERS 4. Determinantlar, Leontief Girdi - Çıktı Analizi

DERS 4. Determinantlar, Leontief Girdi - Çıktı Analizi DERS Determitlr eotief Girdi - Çıktı lizi.. ir Kre Mtrisi Determitı. Determit kvrmıı tümevrıml tımlycğız. mtrisleri determitıı tımlyrk şlylım. Tım. tımlır. mtrisiidetermitı olrk Örek. mtrisii determitı

Detaylı

1987 ÖSS A) 0 B) 2. A) a -2 B) (-a) 3 C) a -3 D) a -1 E) (-a) 2 A) 1 B) 10 C) 10 D) 5 10 E) a+b+c=6 olduğuna göre a 2 +b 2 +c 2 toplamı kaçtır?

1987 ÖSS A) 0 B) 2. A) a -2 B) (-a) 3 C) a -3 D) a -1 E) (-a) 2 A) 1 B) 10 C) 10 D) 5 10 E) a+b+c=6 olduğuna göre a 2 +b 2 +c 2 toplamı kaçtır? 987 ÖSS. Yukrıdki çıkrm işlemine göre, K+L+M toplmı şğıdkilerden hngisine dim eşittir? A) M B) L C) K M K 5. 4 işleminin sonucu kçtır? A) 0 B) C) 5 4 5. Aşğıdki toplm işleminde her hrf sıfırın dışınd fklı

Detaylı

(THE REARRANGEMENT INEQUALITY ) DERS NOTLARI

(THE REARRANGEMENT INEQUALITY ) DERS NOTLARI YENİDEN DÜZENLEME EŞİTSİZLİĞİ (THE REARRANGEMENT INEQUALITY ) DERS NOTLARI www.selin.wordpress.om 7 Şut 009 Bu ders notund re-rrngement inequlity konusu ele lınrk olimpiyt sınvınd çıkmış zı eşitsizlik

Detaylı

a , 3, π v.b sayılardır. 9. SINIF MATEMATİK - SAYILAR

a , 3, π v.b sayılardır. 9. SINIF MATEMATİK - SAYILAR 9. SINIF MTEMTİK - SYIR. BÖÜM: TEME KVRMR. RKM VE SYI KVRMI Rkm: Syılrı ife etmek için kullnıln { 0,,,,,,6,,8, 9} semollerinen her irine rkm enir. ÖRNEK:, rkm olmk üzere; + = ise. nin lğı en üyük eğer

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Mtemtk Deneme Sınvı 8. sısının pozitif tek tmsı bölenlerinin sısı kçtır? 8. olmk üzere; kesrinin değeri şğıdkilerden hngisi olmz?. (8!) sısının sondn kç bsmğı sıfırdır? 8. ifdesinin sonucu kçtır? (

Detaylı

VEKTÖRLER ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİT

VEKTÖRLER ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİT VEKTÖRLER ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİT VEKTÖRLER. Kznım : Vektör kvrmını çıklr.. Kznım : İki vektörün toplmını ve vektörün ir gerçek syıyl çrpımını ceirsel ve geometrik olrk gösterir. YÖNLÜ

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Mtemtk Deneme Sınvı.,, z rdışık pozitif tmsılr ve z olmk üzere; z olduğun göre, kçtır? C). olduğun göre, ifdesinin değeri şğıdkilerden hngisidir? C) 8 6., b, c Z olmk üzere; b c bc c b olduğun göre,,

Detaylı

Lisans Yerleştirme Sınavı 1 (Lys 1) / 19 Haziran Matematik Soruları ve Çözümleri

Lisans Yerleştirme Sınavı 1 (Lys 1) / 19 Haziran Matematik Soruları ve Çözümleri Lisns Yerleştirme Sınvı (Lys ) / 9 Hzirn Mtemtik Sorulrı ve Çözümleri. (x )(x + ) + (x )(x ) eşitliğini sğlyn x gerçel syılrının toplmı kçtır? A) B) C) 5 D) 6 5 E) 6 7 Çözüm (x )(x + ) + (x )(x ) (x ).[(x

Detaylı

8. sınıf ders notları zfrcelikoz@yahoo.com

8. sınıf ders notları zfrcelikoz@yahoo.com III - SAYI ÖRÜNTÜLERİ Htırltm: Syılrı virgülle yrılrk, birbirii rdı dizilmesie syı dizisi, dizideki her bir syıy d terim deir. hrfi verile örütüde syılrı sırsıı belirte semboldür ve ici syıy örütüü geel

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 17. MATEMATİK YARIŞMASI 11. SINIF TEST SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 17. MATEMATİK YARIŞMASI 11. SINIF TEST SORULARI EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 7. MATEMATİK YARIŞMASI. SINIF TEST SORULARI. + işleminin sonucu kçtır? 5 5 A) 0 B) 0 C) 0 7 D) 0 9 E). y = x x + prbolünün y = x doğrusun en ykın noktsının koordintlrı toplmı

Detaylı

Cevap D. 6. x = 3, y = 7, z = 9 olduğundan x + y < y ve. Cevap C. 7. x ile y aralarında asal olduğundan x 2 ile y sayıları da. Cevap A.

Cevap D. 6. x = 3, y = 7, z = 9 olduğundan x + y < y ve. Cevap C. 7. x ile y aralarında asal olduğundan x 2 ile y sayıları da. Cevap A. eneme - / Mt MTEMTİK ENEMESİ. c - m. c - m -.., bulunur. y. 7, + 7 y + + 00 y + + + y + +, y lınr ı.. ^ - h. ^ + h. ^ + h ^ - h. ^ + h - & & bulunur.. ΩΩΩΩΔφφφ ΩΩφφ ΩΩΔφ 0 evp. ise ^ h ^h 7 ise ^ 7h b

Detaylı

DOĞRUDA AÇILAR. Temel Kavramlar ve Doğruda Açılar. Açı Ölçü Birimleri. Açı Türleri. çözüm. kavrama sorusu

DOĞRUDA AÇILAR. Temel Kavramlar ve Doğruda Açılar. Açı Ölçü Birimleri. Açı Türleri. çözüm. kavrama sorusu OĞRU ÇILR Temel Kvrmlr ve oğrud çılr Nokt: Nokt geometrinin en temel terimidir. ni, boyu vey yüksekliği yoktur. İnce uçlu bir klemin kğıt üzerinde bırktığı iz olrk düşünebilirsiniz. oğru: üz, klınlığı

Detaylı

SAYISAL ANALİZ. Matris ve Determinant

SAYISAL ANALİZ. Matris ve Determinant SAYISAL ANALİZ Mtris ve Determinnt Syısl Anliz MATLAB ile Temel Mtris İşlemleri Genel Mtris Oluşturm Özel Mtris Oluşturm zeros komutu ile sıfırlr mtrisi ones komutu ile birler mtrisi eye komutu ile birim

Detaylı

Vektörler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Yrd.Doç.Dr.Nevin MAHİR

Vektörler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Yrd.Doç.Dr.Nevin MAHİR Vektörler zr rd.doç.dr.nevin MAHİR ÜNİTE 3 Amçlr Bu üniteyi çlıştıktn sonr; Düzlemde vektör kvrmını öğrenecek, İki vektörün eşitliği, toplmı, doğrusl bğımlılığı ile bir vektörün bir gerçel syı ile çrpımı,

Detaylı

LİNEER CEBİR MATRİSLER: şeklindeki tablosuna mxn tipinde bir matris denir. [a ij ] mxn şeklinde gösterilir. m satır, n sütun sayısıdır.

LİNEER CEBİR MATRİSLER: şeklindeki tablosuna mxn tipinde bir matris denir. [a ij ] mxn şeklinde gösterilir. m satır, n sütun sayısıdır. LİNEER CEBİR MTRİSLER: i,,,...,m ve j,,,..., n için ij sılrının. m m...... n n mn şeklindeki tblosun mn tipinde bir mtris denir. [ ij ] mn şeklinde gösterilir. m stır, n sütun sısıdır. 5 mtrisi için ;

Detaylı

1986 ÖSS. olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

1986 ÖSS. olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur? 986 ÖSS. (0,78+0,8).(0,3+0,7) Yukrıdki işlemin sonucu nedir? B) C) 0, D) 0, E) 0,0. doğl syısı 4 ile bölünebildiğine göre şğıdkilerden hngisi tek syı olbilir? Yukrıdki çrpm işleminde her nokt bir rkmın

Detaylı

ÜÇGENDE AÇI-KENAR BAĞINTILARI

ÜÇGENDE AÇI-KENAR BAĞINTILARI ÜÇGN ÇI-NR ĞINTILRI ir üçgende üük çı krşısınd üük kenr, küçük çı krşısınd küçük kenr ulunur. 3 Şekildeki verilere göre, en uzun kenr şğıdkilerden hngisidir? 3 3 üçgeninde, kenrlr rsınd > > ğıntısı vrs,

Detaylı

Trigonometri - I. Isınma Hareketleri. 1 Aşağıda verilenleri inceleyiniz. 2 Uygun eşleştirmeleri yapınız. 3 Uygun eşleştirmeleri yapınız.

Trigonometri - I. Isınma Hareketleri. 1 Aşağıda verilenleri inceleyiniz. 2 Uygun eşleştirmeleri yapınız. 3 Uygun eşleştirmeleri yapınız. Isınm Hreketleri şğıd verilenleri inceleyiniz. Yönlü çı: Trigonometrik irim Çember: Merkezi orjin, yrıçpı br oln çemberdir. O + yön éo Pozitif yönlü (Stin tersi) O yön éo Negtif yönlü (St yönü) O y x Denklemi:

Detaylı

LİMİT ve SÜREKLİLİK LİMİT 12. BÖLÜM. Fonksiyonun Grafiğinden Yararlanarak Limit Bulma ve Sağdan- soldan Limit. Örneğin Şekildeki f(x) fonksiyonun

LİMİT ve SÜREKLİLİK LİMİT 12. BÖLÜM. Fonksiyonun Grafiğinden Yararlanarak Limit Bulma ve Sağdan- soldan Limit. Örneğin Şekildeki f(x) fonksiyonun . BÖLÜM LİMİT ve SÜREKLİLİK LİMİT Acip muhbbet bi konu. Limit bir klşm olıdır. Bir sğdn klşıorsunuz. Bir de soldn. Eğer klştığınız şe(değer) nı ise problem ok. Am sğdn ve soldn klşırken hedef şşmış ve

Detaylı