AOB : [OA başlangıç kenarı, [OB bitim kenarı ( Negatif yön: Saat ibresinin dönme yönü) BOA : [OB başlangıç kenarı, [OA bitim kenarı

Transkript

1 TRİGONOMETRİ Trigonometri, üçgenin kenar uzunlukları ve açıları arasındaki ilişkileri inceler. Öncelikle konumuzun en önemli öğesi olan açı kavramını ve özelliklerini gözden geçirelim. AÇI: Başlangıç noktaları ortak, doğrusal olmayan iki ışının birleşimine açı denir. AOB : [OA başlangıç kenarı, [OB bitim kenarı ( Negatif yön: Saat ibresinin dönme yönü) BOA : [OB başlangıç kenarı, [OA bitim kenarı ( Pozitif yön: Saat ibresinin dönme yönünün tersi ) TRİGONOMETRİK (BİRİM) ÇEMBER :Trigonometrinin temel taşlarından biri olup, Trigonometri okyanusunda can simidimiz olacaktır. Analitik düzlemde; O(0,0) başlangıç noktasını merkez kabul eden, 1 birim yarıçaplı çembere TRİGONOMETRİK ÇEMBER denir. Tanımdan da anlaşılacağı gibi bundan sonra Analitik geometri dayanağımız olacaktır. Analitik Düzlemde noktanın apsis ve ordinatını bilmek, uygun şartlarda açıların trigonometrik değerlerini verecektir. Birim çemberin denklemi : x + y = 1 dir. Birim çemberin 0x ve 0y eksenlerini kestiği A(1,0) ; B(0,1) ; C(-1,0) ve D(0,-1) noktalarına dikkat! Açının köşesi O noktası ile ve başlangıç kenarı da Ox ekseni ile çakıştırılarak, Bitim kenarının Trigonometrik çemberi kestiği noktanın koordinatı belirlenir. Birim çember üzerindeki bir noktanın apsisi en az -1, en çok 1 dir. A(1,0); C(-1,0) Birim çember üzerindeki bir noktanın ordinatı en az -1, en çok 1 dir. B(0,1); D(0,-1) A = x + y + z eşitliğinde; A: Başarı X: Çalışmak, y: Eğlenmek, z: Çeneni tutmak 1

2 AÇI ÖLÇME BİRİMLERİ: DERECE: 1 Tam bir çember yayının 360 ına 1 0 lik yay, bu yayı gören merkez açıya 1 0 lik açı denir. 1 0 = 60 (dakika), 1 = 60 (saniye), 180 o = 179 o o 3 34 lik açı ile 1 o 3 43 lik açının toplam ve farklarını bulunuz: Toplama ve çıkarma işlemlerinde saniye bölümünden başlanarak dakika ve derece bölümleri için ayrı ayrı işlem yapılır. 1 o o 3 43 = 33 o ; = 77 = = yazılır, 1 dakikalar toplamına eklenir = 55 Saniyeler toplamından 1 artmıştı, = 56 1 o + 1 o = 33 o 1 o o 3 43 = 8 o ; =? 3 = 60 eşitliğini kullanalım = 94, = 51 3 =? 1 o = 0 o 60 eşitliğini kullanalım = 8, 8-3 = 50 0 o 1 o = 8 o Neden 1/360 i? İlk çağlarda, bir yıl ile bir çemberin etrafında dönme arasında benzerlikler kurulmuş ve bir yılı 360 gün olarak kabul edip tam bir çember yayına da 360 o denmiştir o lik açı ile 51 o 5 53 lik açıların toplamı nedir? A) B) C) D) E) lik açı kaç saniyedir? A)44 B)960 C)1460 D)14640 E) Bir iç açısının ölçüsü olan üçgenin o köşesindeki iç açının ölçüsü nedir? A) B) C) D) E) lik açının eşiti hangisidir? A) B) C) D) E)

3 Birim çember üzerindeki bir P noktasına [0, 360) aralığında karşı gelen reel sayısına, AP yayının veya AOP açısının derece cinsinden esas ölçüsü denir. Aynı noktaya karşı gelen diğer sayılar 0 k.360 ( k Z ) şeklindedir. ( θ o : Esas ölçü. k Z : Devir sayısı ) A ya: k B ye: k C ye: k D ye: k P ye: θ o + k o lik açının esas ölçüsü kaç derecedir? 013 o = o + 13 o Verilen açının 360 a bölümünden kalan ESAS ÖLÇÜDÜR o lik açının esas ölçüsü kaç derecedir? -013 o = o 13 o ; -13 o o = 147 o ; -013 o = o +147 o Açıyı pozitifmiş gibi alıp 360 a böldükten sonra kalanı 360 tan çıkarıyoruz. ( veya; 360 o ın katlarını ekleyerek bulunur o o =147 o ) o lik açının esas ölçüsü kaç derecedir? A) 5 O B) 95 O C) 195 O D) 35 O E) -35 O lık açının esas ölçüsü aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) D) E) Şekilde verilenlere göre lik açının esas ölçüsü kaç derecedir? A)40 0 B) 50 0 C)140 0 D)150 0 E) Şekilde verilenlere göre lik açının esas ölçüsü kaç derecedir? A)40 0 B)50 0 C)130 0 D)30 0 E)

4 Bir duvar saati 1:0 yi gösterdiğinde akrep ve yelkovanın oluşturduğu açının ölçüsü kaç derecedir? Akrep 1 saatte (60 dakikada ) 30 o lik açı süpürür. (Tam bir çember yayının 1 de biri) Yelkovan 1 saatte (60 dakikada ) 360 o lik açı süpürür. (Tam bir çember yayı-tam tur) Saat 1:00 de akrep ve yelkovan 0 o lik açı oluşturur. Akrep ve yelkovan üst üstedir. 0 dakikada (1/3 saatte) akrep; 30 o (1/3) = 10 o lik, Yelkovan; 360 o (1/3) = 10 o lik açı çizeceğinden ; saat 1:0 de oluşturdukları açının ölçüsü : 10 o 10 o = 110 o olacaktır. 1. Bir duvar saati 3:15 i gösterdiğinde akrep ve yelkovanın oluşturduğu açının ölçüsü kaç derecedir? A) 0 O B) 5 O C) 7 O 30 D) 15 O E) Bir duvar saati 6:00 ı gösterirken, kaç dakika sonra akrep ve yelkovanın oluşturduğu açının ölçüsü 90 o olur? A) 15 B) 16 C) 165/11 D) 180/11 E) Saat 4:00 dan en az kaç dakika sonra akrep ve yelkovan üst üste gelir? A)0/11 B)40/11 C)60/11 D)80/11 E)300/11 4. Bir duvar saatinde; birim zaman içinde yelkovanın süpürdüğü açı, akrebin süpürdüğü açının kaç katıdır? A) 6 B) 8 C) 11 D) 1 E) 13 4

5 RADYAN: Çemberde yarıçap uzunluğundaki yayı gören merkez açıya 1 radyanlık açı denir. Tam çember yayı π radyandır. Birim çemberde yarıçap 1 birim olduğundan, Birim çemberde 1 birim uzunluğundaki yayı gören merkez açıya 1 radyanlık açı denir. π SAYISI: Çember çevresi ile yarıçapı arasındaki ilişki araştırıldığında; Ç = π.r ve π = Ç.r 3, 14.. gibi İrrasyonel bir sayı olduğu görülmüştür. θ Radyanlık daire diliminde; Yay uzunluğu = s = r. θ Dilim alanı = A(AOB) = 1 r. θ = 1 r. s AOB Daire diliminin çevresi 7 cm. ve alanı 3 cm olduğuna göre Dilimin yarıçapı kaç cm. olabilir? ; Dilimin Çevresi = r+s = 7 s = 7 r Dilimin Alanı = 1 r.s = 3 1. r(7 r) = 3 r -7r+6=0 (r-)(r-3)=0 r 1= cm. veya r =1,5 cm. 1. Birim çemberde π 3 radyanlık merkez açının gördüğü yayın uzunluğu kaç cm. dir? A) π 3 cm. B) π 6 cm. C) π 18 cm. D) 30 cm. E) 60 cm.. Yarıçapı cm. olan çemberde θ = π 6 lik daire diliminin alanı kaç cm dir? A) π/ B) π/3 C) π/4 D)π/6 E) π/3 3. Yarıçapı 1 cm. olan çemberde θ = 45 0 lik daire diliminde yayın uzunluğu kaç cm.dir? A) 1 B) C) π D) π 3 E) π 4 4. Çevresi 1 cm. olan bir daire diliminin alanı en çok kaç cm olabilir? A) 3 B) 4 C) 6 D)9 E)1 5

6 Birim çember üzerindeki bir P noktasına [0, ) aralığında karşı gelen reel sayısına, AP yayının veya AOP açısının radyan cinsinden esas ölçüsü denir. Aynı noktaya karşı gelen diğer sayılar k. şeklindedir. ( k Z ) A ya : 0 + k.π C ye : π + k. π B ye : π + k. π D ye : 3π + k. π P ye : θ + k. π (θ : Esas ölçü. k Z : Devir sayısı ) 1π 4 radyanlık açının esas ölçüsü kaç radyandır? Verilen açı içinde π nin katları aranır. 1π 4 1π radyanlık açının esas ölçüsü kaç radyandır? 4 =.π + 5π 4 Verilen açı pozitifmiş gibi alıp π ye böldükten sonra kalan π den çıkarılır. 1π 4 =.π 5π 4 ; 5π 4 + π = 3π 4 (veya; π nin katları eklenerek bulunur. 1π 1. 3π 3 A) π π = 3π 4 radyanlık açının esas ölçüsü kaç radyandır? B) π 3 C) 4π 3 D) 5π 3 E)π ; 1π 4 = 3.π + 3π 4 ). 3π A) π radyanlık açının esas ölçüsü kaç radyandır? B)π C) 3π D)90 0 E)70 O 3. Şekilde verilenlere göre 17π radyanlık açının esas ölçüsü kaç 6 derecedir? A)30 0 B) 60 0 C) 10 0 D)135 0 E) Şekilde verilenlere göre lik açının ölçüsü kaç radyandır? A)- π B)π/4 C)3π/4 D) 5π/4 E) 7π/4 4 6

7 GRAD: 1 Tam bir çember yayının 400 üne 1 gradlık yay, bu yayı gören merkez açıya 1 gradlık açı denir. Birim çember üzerindeki bir P noktasına [0, 400) aralığında karşı gelen reel sayısına, AP yayının veya AOP açısının grad cinsinden esas ölçüsü denir. Aynı noktaya karşı gelen diğer sayılar k. 400 şeklindedir. ( k Z ) Bu açı ölçme birimleri arasında : D R G bağıntısı vardır π radyan = 360 o ; π radyan = 180 o ; π = 90o 80 o lik açı kaç radyandır? 80 o. π 180 = 4π 9 ( π 180 ile çarpılır.) 4π 3 radyanlık açı kaç derecedir? 4π. 180o = 3 π 40o ( 180o π ile çarpılır.) o lik açı kaç radyandır? A) 5π 18 B) 5π 18 C) 5π 9 D) 5π 9 E) π 18. 5π 4 radyanlık açı kaç derecedir? A)45O B)135 O C) 5 O D)40 O E)300 O 3. 1 radyanlık açı kaç derecedir? A)57 O 18 B)60 0 C) D)90 0 E) lik açı kaç gradtır? A)50 B)75 C)100 D)150 E)00 7

8 Birim çemberde; 30 o lik merkez açının bitim kenarı birim çemberi P(x,y) noktasında kesiyorsa noktanın koordinatlarını bulunuz. POH dik üçgeninde θ = 30 o veriliyor Dik üçgeninde; 30 o lik açı karşısındaki kenar, hipotenüsün yarısı uzunlukta olacağından, PH = PO = 1 = y OH = 3 PH = 3 = x ; P ( 3, 1 ) 1. Birim çemberde; 60 o lik merkez açının bitim kenarı çemberi P(x,y) noktasında kesiyorsa, y kaçtır? A) 1 B) 3 C). Birim çemberde; θ = π 4 (, ) B) (, D) - 1 E) - 3 ise P(x,y) aşağıdakilerden hangisidir? ) C) (, ) D) (, ) E) ( 1, 3 ) 3. Birim çember üzerindeki P(- 1, y) noktası için y aşağıdakilerden hangisi olabilir? B) 1 D) 0 E) Birim çember üzerindeki P( 1, 3 ) noktasının O başlangıç noktasına göre simetriği aşağıdakilerden hangisidir? A) 3 C) A) ( 1, 3 ) B) (1, 3 ) C) ( 1, 3 ) D) ( 1, 3 3 ) E)(, 1 ) 8

9 AÇININ STANDART GÖSTERİMİ, GENİŞ AÇILARIN, DAR AÇILAR TÜRÜNDEN İFADESİ Açının köşesi O noktası ile ve başlangıç kenarı da Ox ekseni ile çakıştırılarak yönü, tur sayısı ve bitim kenarının Ox ekseni ile yaptığı açı belirlenir. Soldaki şekilde; -45 0, ve 315 o derecelik açıların, sağdaki şekilde; 35 o, ve derecelik açıların standart gösterimi. 90 o < θ < 360 o, π < θ < π olmak üzere θ açısına karşı gelen dar açı θ dersek; 1. Standart gösterimi verilen açı kaç derece olabilir? A) B)10 0 C)570 0 D)930 0 E) Standart gösterimi verilen açının bitim kenarı 0x ekseni ile 30 0 lik dar açı oluşturuyorsa bu açının esas ölçüsü kaç radyandır? A) π/6 B) π/3 C) π/ D) 5π/6 E) 7π/6 9

10 SİNÜS FONKSİYONU Her gerçel sayısına birim çemberde karşı gelen P(x, y) noktasının; PH = y ordinatına gerçel sayısının sinüs ü denir. Bu durumda; 0 0 lik açının bitim kenarı, birim çemberi A(1,0) noktasında keser. Noktanın ordinatı 0 dır. sin 0 0 = 0 dır. Benzer şekilde; 90 o lik açının bitim kenarı birim çemberi B(0,1) noktasında keser. Noktanın ordinatı 1 dir. sin 90 o = 1 dir. sin = 0, sin 70 o = -1 I. ve II. Bölgedeki açılar için; (θ ve π θ) Bu bölgelerde ordinatlar pozitif olduğundan açıların sinüsleri pozitiftir. sin (π θ) = y = sinθ III. ve IV. Bölgedeki açılar için; (π + θ ve θ) Bu bölgelerde ordinatlar negatif olduğundan açıların sinüsleri negatiftir. sin (π + θ) = sin( θ) = y = sinθ 1 sin θ 1 sin : R [-1,1] ; sin(θ + kπ) = sinθ 10

11 sin 45 o nin değerini hesaplayınız. PHO ikizkenar dik üçgeninde; OP =1, OH = PH = x = y x + x = 1 Pisagor teoremi x =1, x = y = 1 = olur ki P(, ) sin 45 o =y= I. BÖLGE sin 135 o = sin ( ) = sin 45 0 =y = sin 5 0 = sin( ) = -sin 45 0 =-y= - II. BÖLGE III. BÖLGE sin = sin( ) = sin(-45 0 ) = - sin 45 0 =-y= - IV. BÖLGE 1. sin ifadesinin değeri nedir? A) -1 B)0 C)1 D)1/ E) /. sin( 7π ) ifadesinin değeri nedir? A) -1 B)0 C)1 D)1/ E) / 3. sin(-10 0 ) ifadesinin değeri nedir? A) 3/ B) -1/ C) 1/ D) 3/ E) / 4. sin 11π ifadesinin değeri nedir? 6 A) 3/ B) -1/ C) 1/ D) 3/ E) / 11

12 KOSİNÜS FONKSİYONU Her gerçel sayısına birim çemberde karşı gelen P(x,y) noktasının; OH = x apsisine gerçel sayısının kosinüs ü, Bu durumda; 0 0 lik açının bitim kenarı, birim çemberi A(1,0) noktasında keser. Noktanın apsisi 1 dir. cos 0 0 = 1 dir. Benzer şekilde; 90 o lik açının bitim kenarı birim çemberi B(0,1) noktasında keser. Noktanın apsisi 0 dır. cos 90 o = 0 dir. cos = -1, cos 70 o = 0 I. ve IV. Bölgedeki açılar için; (θ ve π θ) Bu bölgelerde apsisler pozitif olduğundan açıların kosinüsleri pozitiftir. cos (π θ) = cos( θ) = x = cosθ II. ve III. Bölgedeki açılar için; (π θ ve π + θ) Bu bölgelerde apsisler negatif olduğundan açıların kosinüsleri negatiftir. cos (π θ) = cos (π + θ) = x = cos θ 1 cos θ 1 cos : R [-1,1] ; cos(θ + kπ) = cos θ 1

13 COS π 3 ün değerini hesaplayınız. π radyan 3 =π. 180o = 3 π 60o PHO dik üçgeni o üçgeni olup, 30 0 lik açı karşısındaki [OH] kenarının uzunluğu [OP] hipotenüsünün yarısıdır. OP =1 olduğundan, OH =x=1/ ve PH =y = 3/ dir. P( 1, 3 ) olduğu bulunur ki; cos π 3 = 1 dir. I. BÖLGE cos π 3 = cos(π π 3 )= cos π 3 = x = 1 cos 4π 3 = cos(π + π 3 )= cos π 3 = x = 1 II. BÖLGE III. BÖLGE cos 5π 3 = cos π π 3 = cos π 3 = cos π 3 = x = 1 IV. BÖLGE Birim çemberden faydalanarak trigonometrik fonksiyonları tanımladığımızda; cos θ değeri Ox eksenindeki sayılarla ifade edildiğinden, Ox eksenine KOSİNÜS EKSENİ, sin θ değeri Oy eksenindeki sayılarla ifade edildiğinden, Oy eksenine SİNÜS EKSENİ denir. 1. cos ifadesinin değerini bulunuz. A) 3/ B) -1/ C) 1/ D) 3/ E) /. cos( ) ifadesinin değerini bulunuz. A) 3/ B) -1/ C) 1/ D) 3/ E) / 3. cos 17π ifadesinin değerini bulunuz. 4 A)1/ B) - / C) 0 D) / E) 3/ 4. cos(- 13π ) ifadesinin değerini bulunuz. 3 A)1/ B) - / C) 0 D) / E) 3/ 13

14 TANJANT FONKSİYONU [OP ışını, θ açısının bitim kenarı olmak üzere; [OP ışınının x=1 doğrusunu kestiği T(1, t) noktasının t ordinatına gerçel sayısının tanjant ı denir. t = tan θ x=1 doğrusuna da TANJANT EKSENİ adı verilir. OAT ve OHP üçgenlerinin benzerliğinden; AT = OA HP OH t y = 1 x tan θ =t = y x = sinθ cosθ (x 0) cos π = cos 3π = 0 olduğundan tan π ve tan 3π TANIMSIZ tan : R-{ k. } R ; tan (θ + kπ) = tan θ KOTANJANT FONKSİYONU Yukarıdaki şekilde ; [OP ışının y=1 doğrusunu kestiği K(k,1) noktasının k apsisine θ gerçel sayısının kotanjantı denir. k = cot θ y = 1 doğrusuna da KOTANJANT EKSENİ adı verilir. KBO ve OHP üçgenlerinin benzerliğinden; KB = BO OH HP k x = 1 y cot θ = k = x y = cos θ sin θ (y 0) tan θ = 1 cot θ sin 0 = sin π = 0 olduğundan cot 0 ve cot π TANIMSIZ cot : R-{kπ} R ; cot (θ + kπ) = cot θ 14

15 I ve III. Bölgedeki açılar için (θ ve π + θ) ; Bu bölgelerde T(1,t) noktalarının t ordinatları ve de K(k,1) noktalarının k apsisleri pozitif olduğundan açıların tanjant ve kotanjantları pozitiftir. II. ve IV. Bölgedeki açılar için (π θ ve θ); Bu bölgelerde T(1,t) noktalarının t ordinatları ve de K(k,1) noktalarının k apsisleri negatif olduğundan açıların tanjant ve kotanjantları negatiftir. cot 3π 4 değerlerini hesaplayınız. Açının önce Esas ölçüsünü bulalım. 3π 4 + π = 5π 4 Geniş açıyı dar açı cinsinden yazalım. 5π 4 = π + π 4 Açının bitim kenarı III. Bölgede olup PHO dik üçgeninde; m(poh)= π 4 radyan = 45o dir. POH ikizkenar dik üçgeninde, hipotenüs olan OP birim çember nedeniyle 1 birimdir. PH = HO olup Pisagor teoreminden; PH + HO = 1 ve PH = HO = P noktası III. Bölgede olduğundan x = y = - olur. P(-, - ) ; cot 3π 4 = cot 5π 4 = cot π + π = cot π = x = = y Ayrıca, OP doğrusu x=1 ve y=1 doğrularının kesim noktası (1,1) den geçer. (Karede köşegen kenarlarla 45 0 lik açı yapar.) Bu durumda T ve K noktaları da çakışır. K(1,1) noktasının apsisi olan 1, aranan yanıttır. cot 3π 4 = 1 15

16 1. tan( 40 o ) nin değerini bulunuz. A) 3 B) - 3 C) 1/ 3 D) -1/ 3 E) 1. cot( 4π ) ün değerini bulunuz. 3 A) 3 B) - 3 C) 1/ 3 D) -1/ 3 E) 1 3. tan 7π nin değerini bulunuz. A) -1 B) 0 C) 1 D) 3 E) Tanımsız 4. cot nin değerini bulunuz. A)- 3 B) -1/ 3 C) 1/ 3 D) 3 E) ÖYS O merkezli Birim çember. A, B çember üzerinde. A Ox ekseni, BD OA, m(bod)=α Şekildeki O merkezli Birim çemberde; cos α = AB olduğuna göre, AB kaç birimdir? A) 3 + B) C) 3 D) 3 1 E) 3 Birim çemberde OB =1 ve Kosinüs fonksiyonunun tanımından OD =cos α dır. cos α = AB verildiğinden; OD = AB =x dersek BDO dik üçgeninde Pisagor teo: OD + BD = OB x + BD =1 BD =1-x OA = OD + DA =x+ DA =1 DA =1-x BDA dik üçgeninde Pisagor teo: DA + BD = AB (1-x) + 1-x =x x +x-=0 denkleminin kökleri: x 1, =± 3 1 Uzunluk negatif olamayacağından AB = x = 3 1 dir. 16

17 SEKANT VE KOSEKANT FONKSİYONLARI P noktasından birim çembere çizilen teğetin ; x eksenini kestiği E(s, 0) noktasının s apsisine gerçel sayısının sekant ı, y eksenini kestiği F(0, c) noktasının c ordinatına da gerçel sayısının kosecant ı denir. sec = s csc = c OHP ve OPE üçgenlerinin benzerliğinden; OP = OH EO OP 1 s = x 1 sec θ = s = 1 x (x 0) ; sec θ = 1 cos θ cos π = cos 3π = 0 olduğundan sec π sec : R-{ k. } R-(-1, 1) ve sec 3π TANIMSIZ OHP ve FPO üçgenlerinin benzerliğinden; OP = PH FO OP 1 c = y 1 csc θ = c = 1 y (y o) ; csc θ = 1 sin θ sin 0 = sin π = 0 olduğundan csc 0 ve csc π TANIMSIZ csc : R-{ k. } R-(-1, 1) 17

18 Tüm trigonometrik fonksiyonlar, Birim çember ve dik üçgen özellikleri kullanılarak aşağıdaki şekilde özetlenebilir. OCA dik üçgeninde; Pisagor teoremine göre, AC + OC = OA OA =1, AC =sin θ, OC =cos θ olduğundan; sin θ + cos θ = 1 FOE dik üçgeninde; Öklid bağıntısına göre, OA = AE. AF OA =1, AE =tan θ, AF =cot θ olduğundan; tan θ. cot θ = 1 1. FOE üçgeninde; Öklid bağıntısına göre cot θ(cot θ + tan θ) ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A)sec θ B)csc θ C)sin θ D)cos θ E)tan θ. OAE dik üçgeninde; Öklid bağıntısına göre cosθ(secθ cosθ) ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A)sec θ B)csc θ C)sin θ D)cos θ E)tan θ 3. OAE dik üçgeninde; Öklid bağıntısına göre secθ(secθ cosθ) ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A)sec θ B)csc θ C)sin θ D)cos θ E)tan θ 5. FOE üçgeninde; Öklid bağıntısına göre tanθ(cot θ + tan θ) ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A)sec θ B)csc θ C)sin θ D)cos θ E)tan θ 18

19 AA 1O dik üçgeninde; m(aoa 1) = θ, AO =1, AA 1 =y=sin θ, OA 1 =x=cosθ AA 10 OKP (AKA), m(opk) = θ, sin(θ + 90 o ) = PK = OA 1 = cosθ, cos(θ + 90 o ) = KO = AA 1 = - sin θ II. BÖLGEDE sinüs pozitiftir. II. BÖLGEDE kosinüs negatiftir. AA 1O OTE (AKA), m(ote) = θ, sin(θ 90 o ) = ET = OA 1 = -cos θ cos(θ 90 o ) = OT = AA 1 = sin θ IV. BÖLGEDE sinüs negatiftir. IV. BÖLGEDE kosinüs pozitiftir. AA 1O dik üçgeninde; m(aoa 1) = θ, AO =1, AA 1 =y=sin θ, OA 1 =x=cosθ AA 1O PEO (AKA), m(poe)=θ sin(θ ± 180 O ) = PE = AA 1 = - sin θ cos(θ ± 180 O ) = EO = OA 1 = - cos θ III. BÖLGEDE sinüs negatiftir. III. BÖLGEDE kosinüs negatiftir. 19

20 AÇILARIN TRİGONOMETRİK DEĞERLERİNİN BULUNMASI Verilen bir θ açısının Trigonometrik değerlerini bulmak için: 0 o θ 90 o İSE: sin cos sin cos cos sin cos sin tan cot tan cot cot tan cot tan Tümler iki açıdan birinin sinüsü diğerinin kosinüsüne, birinin tanjantı diğerinin kotanjantına eşittir. 0

21 I. Bölgede tüm trigonometrik değerler POZİTİFTİR. 0 o θ < 360 o DEĞİL İSE: Önce açının Esas ölçüsü bulunur. Esas ölçüsü bulunan açının Bitim kenarının bulunduğu bölge belirlenir. Verilen fonksiyonun o bölgedeki işareti kullanılır. Dar açı türünden ifade edilir. Bunun için 180 o den ne kadar küçük (180 o - α), II. BÖLGE 180 o den ne kadar büyük (180 o + α), III. BÖLGE den ne kadar küçük ( α), IV. BÖLGE ( 0 0 < α < 90 o ) bulunur. cos( ) cos sin( ) sin tan( ) tan cot( ) cot II. BÖLGE cos( ) cos sin( ) sin tan( ) tan cot( ) cot III. BÖLGE cos( ) cos( ) cos sin( ) sin( ) sin tan( ) tan( ) tan cot( ) cot( ) cot IV. BÖLGE 180 o ve 360 o ile karşılaştımalarda; fonksiyon değişmez, Trigonometrik değerin o bölgedeki işareti kullanılır veya 70 0 ile karşılaştırılmış ise; fonksiyon değiştirilir, Trigonometrik değerin o bölgedeki işareti kullanılır. 1

22 cos π θ 1 1+sin( θ) İfadesinin eşitini bulunuz. cos π θ = sinθ sin (-θ) = -sin θ kosinüs, tümlerinin sinüsüne eşittir. IV. Bölgede sinüs negatiftir. Yerlerine yazıldığında; cos π θ 1 = sinθ 1 = (1 sinθ) = 1 bulunur. 1+sin( θ) 1 sinθ 1 sinθ 1. tan π θ. sinθ ifadesinin eşitini bulunuz. A) sin θ B) cos θ C) tan θ D) sec θ E) csc θ B). sin( 5 ) sin( 4 ) sin( ) sin( 7 )? eşiti hangisidir? A) sin θ B) cos θ C) sin θ D) cos θ E) sin( ) sin( 3 ) sin( ) sin( 5 )? eşiti hangisidir? A) sin θ - cos θ B)(sin θ cosθ) C) sin θ + cosθ D)(sin θ + cosθ) E) 0 sin( 90 ) cos(180 ) 4. tan( 70 ) cot(360 ) ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) sin θ B) cos θ C) -sin θ D) -cos θ E) 0

23 tan155 tan115 tan 5 a olduğuna göre;? 1 tan155. tan115 ifadesinin değeri nedir? Önce verilen açıları tanjantı bilinen açı (5 0 ) türünden yazalım: tan = tan ( ) tanjantın periyodu olduğundan, lik kısmı atılabilir. = tan ( ) IV. Bölgede dir. Bu bölgede tanjant negatiftir. = - tan 5 0 = - a tan = tan ( ) 90 0 veya 70 0 ile karşılaştırılmış ise; fonksiyon değiştirilir, Trigonometrik değerin o bölgedeki işareti kullanılır. tan( θ) = cotθ θ II. Bölgededir ve bu bölgedetanjant negatiftir. = cot5 0 1, tan 5 = cot5 0, cot 50 = 1 a = 1 a Bulunanları istenen ifadede yerlerine yazarsak; tan155 tan115 1 tan155.tan11 5 ; 1 a a ( 1 a ) = a+ = 1 a 1+( a)( 1 a ) 1+1 a bulunur. NOT: Bu soru, açıların toplam ve farklarının trigonometrik değerlerini öğrendikten sonra değişik bir yol ile de çözülebilir. tan 05 tan tan 5 a olduğuna göre;? tan 45 tan A) a +1 a 1 B) a 1 a +1 değeri nedir? C) a +1 1 a D) a 1 a E) a +1 a sin( 90 ) cos(180 ) tan olduğuna göre;? değeri nedir? 3 tan( 70 ) cot(360 ) A) -/ 13 B) / 13 C) 13/ D) - 13/ E) 1 tan(90 ) cos(180 ) tan olduğuna göre;? 3 sin( 70 ) cot( ) A) B) C) 13 D) + 13 değeri nedir? E) 1 3

24 DİK ÜÇGENDE DAR AÇILARIN TRİGONOMETRİK DEĞERLERİ: Karş ı dik k. sin Hipotenüs b c Komşu dik k. cos Hipotenüs a c tan Karşı dik k. Komşu dik k. b a Komş u dik k. cot Karşı dik k. a b sec Hipotenüs Komş u dik k. c a Hipotenüs csc Karş ı dik k. c b Şekildeki dik üçgende θ açısının Trigonometrik değerlerini hesaplayalım. Şekilde; θ açısına komşu dik kenar 5 br., açının karşısındaki dik kenar 1 br. dir. Pisagor teoreminden ; (a =b +c ) Hipotenüs uzunluğu = = 13 Karşı dik k. sin θ = = 1 Hipotenüs 13 csc θ = Hipotenüs = 13 Karşı dik k. 1 1 sinθ cos θ = Komşu dik k. = 5 Hipotenüs 13 sec θ = Hipotenüs = 13 = 1 Komşu dik k. 5 cosθ tan θ = cot θ = Karşı dik k. Komşu dik k. = 1 5 Komşu dik k. Karşı dik k. = 5 1 = 1 tanθ 4

25 1. Şekildeki dik üçgende verilen θ açısı için; cosθ + cot θ toplamını bulunuz. A)7/0 B)3/15 C)9/15 D)5/1 E)7/5. Şekilde verilenlere göre; sin B.tan C çarpımı kaçtır? A) 3 B) 1/3 C) D) 1/ E) /3 3. Şekildeki dikdörtgende; AE = EB = BC olduğuna göre tan( EDC) + sin( AED) değeri kaçtır? A) 1+ B) 1 C) / D)(1+ )/ E)(+ )/ 4. Özdeş karelerden oluşan yandaki şekilde; tan α kaçtır? A) 1 B)1/5 C)/5 D)3/5 E)4/5 5

26 Şekildeki ABCD karesinde; AE = 3. EC olduğuna göre ; tan( AEB) kaçtır? Bu tip sorularda gerekirse ek çizim yaparak verilen açının bir dik üçgende dar açı olması sağlanır. Ayrıca bir takım temel geometri bilgilerine de gereksinim duyulabilir. Bu soru için; Karenin diğer köşegeni çizildiğinde istenen sağlanır. Çünkü karede köşegenler bir birini dik olarak ortalar. AC BD ve AP = PC = BP = PE dir. Bu durumda; AE = 3. EC verildiğinden BP =. PE olur. BPE dik üçgeninde tan( AEB) = BP =. PE = dir. PE PE 1. ABCD dikdörtgeninde; DE AC, AD =4 ve DC =6 dır. m(ade)=α olduğuna göre tan α kaçtır? A) /3 B)3/ C) D)3 E)10/3. ABC üçgeninde; BD = DC = AD ve tan( ABC) = 3/ olduğuna göre tan( ACB) kaçtır? A)/3 B)3/ C) 3/5 D) 5/6 E)6/5 3. Şekildeki ABC eşkenar üçgeninde; BD =3. DC olduğuna göre tan( ADC) kaçtır? A) 3/ B) 3 C) 3 D)3 3 E)3 4. sin 4 0 =cos α ve tan 38 0 =cotβ olduğuna göre; α + β kaç derece olabilir? A) 80 0 B) 90 0 C) D) E)

27 Şekildeki dik üçgende; verilen θ açısı için sin cos tan? sec csc cot değerini bulunuz. tan 4 3 ise ABC üçgeninde; θ açısının karşısındaki dik kenar AC, komşu dik kenar BC tan θ = AC dır. BC olduğundan 4 tan 3 = AC BC eşitliğinde, AC = 4 ve BC = 3 alınabilir. Pisagor teoreminden; AB = = 9+16=5, AB =5 bulunur. Karşı dik k. sin θ = = 4 Hipotenüs 5 csc θ = Hipotenüs Karşı dik k. = 5 4 = 1 sinθ cos θ = Komşu dik k. = 3 Hipotenüs 5 ; sec θ = Hipotenüs Komşu dik k. = 5 3 = 1 cosθ Bulunan değerler yerlerine yazıldığında = 35 sonucuna ulaşılır. tan θ = Karşı dik k. Komşu dik k. = 4 3 ; cot θ = Komşu dik k Karşı dik k. = 3 4 = 1 tanθ 1. Bir dik üçgende θ dar açısı için cos θ = 5 13 ise sin θ. tan θ çarpımını bulunuz. A)60/169 B)5/156 C)144/65 D)1/5 E)13/1. ABC üçgeninde; AD BC, AB =9, m(bad)=m(acb) ve cos( BAD) = 4/5 olduğuna göre; AC kaç birimdir? A)6 B)8 C)9 D)1 E)15 3. Bir dik üçgende dar açıların ölçüleri α ve β dır. Bu dik üçgende; sin α cos β işleminin sonucu kaçtır? A)-1 B)0 C) 1 D) E)1/ 7

28 ABC dik üçgeninde verilen açı ve kenardan yararlanarak dik üçgenin diğer kenar uzunluklarını bulurmusunuz? Dik üçgende dar açılar toplamından; ma+mb=90 o ; 35 o +mb=90 0 ; mb= =55 0 sin A = a c tanımından: sin 35 0 = a 16 a yı çekersek: a = 16. sin 35 0 cos A = b c tanımından: cos 350 = b 16 b yiçekersek b = 16. cos A açısı ve b kenarı verilen ABC dik üçgeninde c hipotenüs uzunluğunu bulunuz. A)10.sin 3 o B)10.cos 3 o C)10/cos 3 o D)10/sin 3 0 E)10.tan 3 o. Şekildeki ağacın gölge boyu 5 m., mc=31 o ise ağacın AB boyu kaç metredir? A)5.cot 31 o B) 5.tan 31 o C)5/cos 31 o D)5/tan 31 0 E) 5.sin 31 o 3. Şekildeki ABC, ACD ve ADE dik üçgenlerinde ma=θ, AB =a, üçgenlerde mb=mc=md=90 o dir. x uzunluğunun a ve θ türünden eşiti hangisidir? A)a/cosθ B)a/sinθ C)a/cos 3 θ D)a/sin 3 θ E)a/3cosθ 4. Nehir kıyısında C noktasında bulunan kişi ile karşı kıyıdaki B noktasını birleştiren doğru kıyı ile 39 0 lik açı yapmaktadır. B nin karşı kıyıdan uzaklığı w, BC =80 m. İse w uzaklığı ne kadardır? A) 80.tan39 0 B) 80.cot39 0 C) 80/cos39 0 D) 80/tan39 0 E) 80.sin39 0 8

29 Şekilde; Kenar uzunlukları 1 br. olan küpte [BC] taban köşegeni ve [AB] cisim köşegeni çizilmiştir. m(abc) = θ olduğuna göre; çarpımını hesaplayınız. sin θ. cos θ. tan θ. cotθ BDC dik üçgeninde; md=90 o, BC hipotenüs (karenin köşegeni) Pisagordan: BC =1 +1 = ; BC = br. ACB dik üçgeninde ( AC BC ) : (Üç dikme teoremi) Tabana dik olan doğru, tabandaki doğrulara da diktir. ACB dik üçgeninde; (AB hipotenüs) Pisagordan AB = ( ) + 1 = 3 ; AB = 3 br. ACB dik üçgeninde θ açısı için işlem yapıldığında; AC 1 sin, AB 3 BC cos AB 3 AC 1 tan, BC BC cot Yerlerine yazıldığında ; AC 1 sinθ. cosθ. tanθ. cotθ = = bulunur. NOT: Kenar uzunlukları a olan küpte [AB] CİSİM KÖŞEGENİnin uzunluğu 3. a dır. Soruda tanjant ve kotanjantı hesaplamaya gerek yoktu. Çünkü tanθ. cotθ = 1 dir. 1. Şekildeki dikdörtgenler pirizmasında verilenlere göre; işleminin sonucu kaçtır? 1. 1/ B)1 C)/3 D)3/4 E)5/3. Yukarıdaki şekilde tan y kaçtır? A) 1 B)3/4 C)5/6 D)4/5 E)5/4 9

30 PRATİK YÖNTEM: o 45 o 60 o 90 o açılarının altlarına sayıları yazılır. Kareköklerinin yarısı açıların sinüslerini verir. Bulunan sayılar ters sırada yazılırsa kosinüsler bulunur. Oranları da tanjant ve tersi de kotanjantları verir. 30 o, 45 o, 60 o derecelik açılara sahip dik üçgenler, özel üçgenlerdir. 30 o, 60 o, 90 o Dik üçgeninde 30 o lik açı karşısındaki dik kenarın uzunluğu, hipotenüsün yarısına eşittir. ( 3 katı da diğer dik kenar uzunluğunu verir) 45 o lik açılara sahip dik üçgenler ikizkenar üçgenlerdir. 30

31 sin cos tan cot sec csc 30 0 =? Çarpımının değerini bulunuz. Bir 30 o -60 o -90 o dik üçgeni çizer ve hipotenüs uzunluğuna da br. dersek; 30 o lik açı karşısındaki kenar 1 br., 60 0 lik açı karşısındaki kenar 3 br. olacaktır. (30 o, 60 o, 90 o Dik üçgeninde 30 o lik açı karşısındaki dik kenarın uzunluğu, hipotenüsün yarısına eşittir.) ( 3 katı da diğer dik kenar uzunluğunu verir) Bu durumda; 30 o lik açı karşısında 1 br., komşu dik kenar 3 br. 60 o lik açı karşısında 3 br., komşu dik kenar 1 br. olduğundan Değerleri yerlerine yazıldığında; sin cos tan cot sec csc 30 0 = = 1 bulunur. DİKKAT! Tanım ve Örneklerden görülebileceği gibi, sin, cos ve tan csc, sec ve cot fonksiyonlarının çarpımsal tersleri sırası ile fonksiyonlarıdır. csc θ = 1 sin θ sec θ = 1 cos θ cot θ = 1 tan θ Bu yüzden altı değerden üçü diğerlerinin çarpımsal tersleri olduğundan SONUÇ=1 dir. 1. cos 0 0. cos cos 45 o. cos cos 90 0 =? Çarpımının değerini bulunuz. A)0 B) 1 C) /4 D) 6/4 E) 6/8. Aşağıdaki bağıntılardan hangisi yanlıştır? A) sin150 0 =1/ B)cos40 0 =-1/ C)tan315 0 =-1 D)cos(-60 0 )=1/ E)sin(-40 0 )= 3/ lik bir açının bitim kenarının birim çemberi kestiği noktanın apsisi kaçtır? A) 1/ B) 3/ C) / D)1 E)0 31

32 TERS TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR Konunun daha iyi anlaşılması için öncelikle Ters Fonksiyon kavramını bir hatırlayalım. TERS FONKSİYON: f:a B, x y=f(x) 1-1 ve örten bir fonksiyon olsun. f -1 :B A, y x=f -1 (y) fonksiyonuna f fonksiyonunun TERSİ denir. Kısaca y=f(x) iken x=f -1 (y) dir. Şimdi Trigonometrik fonksiyonlarda bu koşulları sağlamaya çalışalım. f(θ) = sin θ ve g(θ) = cos θ fonksiyonlarının [ π, π] aralığında aldığı değerleri tabloda gösterelim. Tablodan faydalanarak bu iki fonksiyonun verilen aralıkta grafiklerini çizelim. İncelendiğinde görülecektir ki her iki fonksiyonda verilen aralıkta bire-bir ve örten olmadığından terslerinden söz edilemez. f: sin [ π, π ] [-1,1] f -1 : arc sin [-1,,1] [ π, π ] f: cos [0,π] [-1,1] f -1 : arc cos [-1,1] [0,π] 3

33 f: tan ( π, π ) R f -1 : arc tan R ( π, π ) f: cot (0,π) R f -1 : arc cot R (0,π) arc cos 3 = x değerini bulunuz. Ters gonksiyon tanımından; y=f(x) iken x=f -1 (y) dir. Y = f(x) = cos x için x = f -1 (y) = cos - 1 y = arc cos y dir. f : cos, f -1 : arc cos cos θ = a iken arc cos a = θ olduğundan arc cos 3 = x nedir? sorusu aslında kosinüsü 3 olan açı kaç derecedir(radyan)? cos x = 3 sorusuna dönüşür. 0 θ π, 0 o θ 180 o aralığında ; Kosinüsü 3 olan x açısı 30 o ( π 6 ) dir. cos π 6 = 3 olduğundan cos = arc cos = π 6 dır. Veya : cos 30 o = 3 olduğundan cos = arc cos = 30o dir. NOT: arc cos a = θ sorusunda genel olarak θ açısı [0,π] aralığında alınır. 1. arc tan( 3) = x eşitliğinde x değeri nedir? A) 60 0 B) C) 0 0 D) 30 0 E) arc sin( ) = x eşitliğinde x değeri kaçtır? A)-300 B)-45 0 C) 30 0 D)45 0 E)

34 SİNÜS TEOREMİ: Herhangi bir ABC üçgeninde: Kenar uzunlukları ile karşılarındaki açıların sinüsleri orantılıdır. Orantı sabiti : R Çevrel çember çapıdır. a sin A b sin B c C sin R NOT:Üçgenin iki açısının ölçüsü ve bir kenar uzunluğu veya iki kenarının uzunluğu ve bir açısının ölçüsü biliniyorsa (Çevrel çember yarıçapı söz konusu ise) sinüs teorem uygulanır. Şekildeki ABC üçgeninde; ma= 30 0, a =1 cm. verilmiştir. Üçgenin Çevrel çember yarıçapını bulunuz. ABC Üçgeninde ; Bir açısının ölçüsü ve karşı kenar uzunluğu verilmiş, çevrel çember yarıçapı sorulduğundan Sinüs Teoremi gereğince: a sin A = R Verilenler yerine yazıldığında; sin 300 = 1/ 1 sin 30 o = 1 1 R=1 cm. bulunur. = 4 = R den UYARI : Sorunun çemberde OAB eşkenar üçgeni oluşturarak sentetik çözümü de vardır. 1. ABC üçgeninde; a = 10 cm., c = 10 3, ma =30 O ise C geniş açısının ölçüsü kaç derecedir? A) 60 O B) 10 0 C) D) E) ABC üçgeninde; ma=115 0, a=0 br., b=11 br. ise sin B yi bulunuz. A)11.sin65 0 /0 B)0.sin115 o /11 C)11.cos115 o /0 D)11/0 E)0/11 3. Köşeleri, 5 cm. yarıçaplı çember üzerinde bulunan ABC üçgeninde A açısının ölçüsü 60 0 ise a kenar uzunluğu kaç cm. dir? A)5 B)5 3/ C)5 3 D)6 E)10 34

35 4. Şekildeki ABC üçgeninde; BD = DC, mbad= α, mdac= β ve mbda= θ dır. cot θ = cotα cotβ olduğunu gösteriniz. ACD üçgeninde sinüs teoreminden; AD sinb = BD sinα, α + θ + B = AD = BD sin(α+θ) sinα B= ( α + θ), sinb=α + θ ADC üçgeninde sinüs teoreminden; AD sinc = CD sinβ, β + C = θ, C=θ β sinc=sin(θ β) AD = CD sin(θ β) sinβ BD sin(α+θ) = CD sin(θ β) sinα sinβ, sinα.cosθ+cosα.sinθ sinα = sinθ.cosβ cosθ.sinβ sinβ cosθ + cotα. sinθ = sinθ. cotβ cosθ iki tarafı da sinθ ya böldüğümüzde; cotα + cotθ = cotβ cotθ cot θ = cot β cot α 35

36 KOSİNÜS TEOREMİ Herhangi bir ABC üçgeninin üç kenar uzunluğu ve bir açısı arasında ; bağıntıları vardır. NOT: Üçgenin iki kenar uzunluğu ve bir açısının ölçüsü veya üç kenarının uzunluğu biliniyorsa kosinüs teoremi uygulanır. ABC üçgeninde; b = 3cm., c = 6 cm. ve ma = 30 o ise üçgenin a kenar uzunluğu kaç cm. dir? Üç kenar uzunluğu ve bir açı söz konusu olduğundan, Kosinüs teoreminin verilen açının bulunduğu eşitliği kullanalım. a = b + c -b.c.cos A verilenleri yerlerine yazalım; a = ( 3) cos 30 0 a cos 30 0 = 3 = = 1 ; a = 3 Meğer üçgen ikizkenarmış Trigonometri üçgen çözümü olduğundan, verilenler ve bulunandan yararlanarak diğer elemanları sentetik olarak bulunabilir. ( mb=30 0, mc=10 0 ) 1. Bir ABC üçgeninde; a= cm., b= 6 cm., c=1+ 3 cm. ise ma kaç derecedir? A)30 0 B) 45 0 C)60 0 D) 10 0 E) Şekilde; A,E,D ve B,E,C doğrusal. AE = BE = CE =3, AB =, DE =6 birimdir. Verilenlere göre CD =x kaç birimdir? A) 4 B) 17 C) 3 D) 5 E)5 36

37 TANJANT TEOREMİ: Bir ABC üçgeninin iki açısı ve bu açılar karşısındaki kenarları arasında; A B tan a b a b A B tan eşitliği vardır. ÜÇGENSEL BÖLGENİN ALANI: Bir ABC üçgensel bölgesinin alanı: İki kenarı ile aralarındaki açının sinüsünün çarpımının yarısına eşittir. A(ABC) = 1 bc. sin A 1 = ac. sin B 1 = ab. sin C dir. EK BİLGİ: Üçgenin elemanları ile alanı arasında aşağıdaki bağıntılar da vardır. A(ABC) = 1 a.ha = 1 b.hb = 1 c.hc u = a+b+c ; u = 1 (a + b + c) ve ABC üçgeninde; ma=10 0, b=7cm., c=11cm. olduğuna göre A(ABC) kaç cm dir? A(ABC) = 1 b.c.sin A Alan formülünde verilenler yerlerine yazıldığında; = sin100 sin10 o = sin( ) = sin 60 0 = 3 (II. Bölge) = = cm 37

38 EK ÇÖZÜM: C köşesinden AB kenarına CH dikmesi çizildiğinde; CHA, dik üçgeninde CH = h c = 7 3/ (A daki dış açı 60 0 ) A(ABC) = 1 a.ha = 1 b.hb = 1 c.hc Klasik alan formülünden A(ABC) = 1 c.hc = = a=5 cm., b=8 cm. ve c=11 cm. olan ABC üçgeni için A(ABC) kaç cm dir? A)16 B)17 C)4 1 D)18 E)10 3. Bir ABC üçgeninde; b=5 cm., c=6 cm. ve A(ABC)=15/ cm olduğuna göre A açısının ölçüsü kaç derecedir? A)30 0 B)45 0 C)60 0 D)10 0 E) Bir paralelkenarın köşegen uzunlukları 1 cm. ve 18 cm. dir. köşegenlerin oluşturduğu açılardan birinin ölçüsü 60 0 ise dörtgensel bölgenin alanı kaç cm dir? A)7 3 B) 36 C)54 D)54 3 E)7 4. ABC üçgeninde; BD = DC, AC =6 6 cm. m(bad)=45 0, m(dac)=30 o olduğuna göre AB =x kaç cm.dir? A) 4 3 B) 6 3 C) 4 6 D)5 E) 8 5. Yarıçapı 3 cm. olan bir çember içine çizilen düzgün onikigenin alanı kaç cm dir? A) 7 B) 18 C) 7 3 D) 36 E)

39 TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ PERİYOT: f:a B fonksiyonunda x A için: f(x+t)=f(x) eşitliğine uyan T sayısı varsa f fonksiyonuna PERİYODİK FONKSİYON, T lerin pozitif ve en küçük olanına PERİYOD denir. Periyodik fonksiyonlar belirli aralıklarla aynı değerleri alırlar ve grafikleri belirli aralıklarla tekrar eder. y = sin x ve y = cos x fonksiyonları Periyodik fonksiyonlar olup Periyotları π dir. y = tan x ve y= cot x fonksiyonları Periyodik fonksiyonlar olup Periyotları π dir. sin k. sin cos k. cos tan(θ + kπ) = tan θ cot(θ + kπ) = cot θ (k Z) y = a sin n b(x-h) + k ve y= a cos n b(x-h) + k fonksiyonlarının Periyotları: n tek ise: π b, π n çift ise: b dir. UYARI: Toplam veya fark halindeki trigonometrik fonksiyonların periyotları, terimlerinin periyotlarının OKEK idir. Çarpım halindekiler önce toplam veya fark haline getirilip sonra periyotları bulunur. 5 3 f ( x) sin x cos x fonksiyonunun periyodunu bulunuz. 3 Terimlerin ayrı ayrı periyotlarını bulalım. 5 sin x in periyodu: y=sin x periyodu π, y=sin ax in periyodu π 3 a y= sin 5 x 6 3 in periyodu : idi. 3 y= cos x in periyodu: O. K. E. K(, )

40 1. y = 1 cosπx fonksiyonunun periyodu nedir? A)1 B) 1/ C) π D)π E) π. y=3 tan 4x fonksiyonunun periyodu nedir? A)π/4 B) π/3 C) 4 π/3 D) 3 π/4 E) 4 3. y= sin5x + cos7x fonksiyonunun periyodu nedir? A) π/ B) π/3 C) π/4 D) π E) π 4. tan3x + cot5x fonksiyonunun periyodu nedir? A) π B) π C) 3π D) 4π E) 5 π 40

41 y=sin x Tanım kümesi 1 sin 1 Görüntü kümesi sin : R 1,1 y=cosx sin cos Tanım kümesi 1 cos 1 Görüntü kümesi cos : R 1,1 sin y = sin x fonksiyonunun grafiği O noktasına göre simetriktir. cos y = cos x fonksiyonunun grafiği 0y eksenine göre simetriktir. y = a sin bx ve y = a cos bx fonksiyonlarının genel şekli: Periyotları: π b dir. 0 x π b aralığında x e beş değer verilir. (0, 1 4. π b, 1. π b, 3 4. π b, π b ) Alabilecekleri en büyük değer a, en küçük değer a dır. y = 4 sin x in grafiğini çiziniz. 41

42 Periyot: π b = π 1 = π x e; 0, π, π, 3π, π değerleri verilir. y ; 0, 4, 0, -4, 0 değerlerini alır. x eksenini 0, π ve π de keser. M( π, 4) m(3π, 4) y = cos 4x in grafiğini çiziniz. Periyot: π b = π 4 = π x e; 0, π, π, 3π, π değerleri verilir. y ; 1, 0, -1, 0, 1 değerlerini alır. x eksenini π 8 ve 3π 8 de keser. M (O,1), ( π, 1) m( π 4, 1) 1. y = cos x fonksiyonunun en küçük değerini aldığı nokta aşağıdakilerden hangisidir? A)(π, 1) B)(π, ) C)( π, 1) D) (π, ) E)(π 4, ). y = sin x fonksiyonunun en büyük değerini aldığı nokta aşağıdakilerden hangisidir? A)( π 4, 1) B) (π 4, ) C) (π, 1) D) (π, ) E)(π 4, 1/) 3. y = cos x fonksiyonunun grafiği Ox eksenini aşağıdaki noktalardan hangisinde keser? A) π/8 B) π/6 C) π/4 D) π/3 E) π/ 4. y = sin 4x fonksiyonunun grafiği Ox eksenini aşağıdaki noktalardan hangisinde keser? A) π/8 B) π/6 C) π/4 D) π/3 E) π/ 4

43 y = tan x ( π, π ) R tan : R-{ k. } R ; tan (θ + kπ) = tan θ Periyodu: π dir. x = (k+1) π (k Z) ( π nin tek katları için TANIMSIZdır. ) x in bu değerleri için grafikte DÜŞEY ASİMPTOTLAR vardır. π Genel olorak ; y = a tan bx fonksiyonlarında: Periyot dir. b π x = nin tek katlarında grafiğin düşey asimptotları vardır. b y = cotx cot : R-{kπ} R ; cot (θ + kπ) = cot θ Periyodu: π dir. x = kπ (k Z) (π nin katları için TANIMSIZdır. ) x in bu değerleri için grafikte DÜŞEY ASİMPTOTLAR vardır. y = tan 3x fonksiyonunun bir periyodundaki grafiğini çiziniz. Periyot: y = a tan bx de Periyot ( π 6, π 6 ) R π b olduğundan; π b = π 3 π Asimptotlar: x = = π = π. b.3 6 x = π = π. b.3 = π 6 1. y = tan 4x fonksiyonunun grafiğinde aşağıdakilerden hangisi düşey asimptottur? A) x= π/8 B) x= π/16 C) x=0 D) π/16 E) π/4 43

44 y = sec x fonksiyonunun grafiği: 1 y = sec x = cos x olduğundan; Periyodu: π dir. π nin tek katları için cos x = 0 olduğundan y = sec x fonksiyonu bu değerler için TANIMSIZDIR. x in bu değerleri için grafikte Düşey asimtotlar vardır. y = a sin b(x-h) + k ve y= a cos b(x-h) + k fonksiyonlarının grafikleri: y = a sin bx veya y = a cos bx in grafikleri yatay doğrultuda h kadar, düşey doğrultuda k kadar kaydırılır (ötelenir). h>0 ise pozitif, h<0 ise negatif yönde k>0 ise pozitif, k<0 ise negatif yönde öteleme yapılır. y = sin 4x + 3 fonksiyonunun grafiğini çiziniz. Periyot : π b = π 4 = π x 'e 0, π/8, π/4, 3π/8, π/ değerleri verilir. y 3, 5, 3, 1, 3 değerlerini alır. y = sin 4x eğrisinin grafiğinde; h =0 k = 3 Yatay öteleme yok. Düşey öteleme pozitif yönde 3 birim yukarıya. 44

45 y = -sin x ve y = - cos x fonksiyonlarının grafikleri y = sin x ve y = cos x fonksiyonlarının 0x eksenine göre simetrikleridir. Aşağıdaki fonksiyonların grafikleri karışık biçimde verilmiştir numaralı fonksiyonun grafiği hangisidir? A)A B)B C)C D)D E)E. numaralı fonksiyonun grafiği hangisidir? A)A B)B C)C D)D E)E 3. 3 numaralı fonksiyonun grafiği hangisidir? A)A B)B C)C D)D E)E 4. 4 numaralı fonksiyonun grafiği hangisidir? A)A B)B C)C D)D E)E 45

46 BASİT TRİGONOMETRİK ÖZDEŞLİKLER x +y =1 Birim çemberin denklemi. x +y =1 (cos θ, sin θ) = (x,y) Birim çember üzerindeki nokta. Yerlerine yazıldığında : sin θ + cos θ = 1 Herhangi bir açının sinüsünün karesi ile kosinüsünün karesinin toplamı her zaman 1 dir. Yukarıdaki özdeşlikleri de konuşturmakta yarar var. Derler ki: Bir açının sinüsü,tümlerinin kosinüsüne, Kosinüsü, tümlerinin sinüsüne, Tanlantı, tümlerinin kotanjantına eşittir. sin 30 o = cos 60 o = 1 cos π 6 = sin π 3 = 3 sin 0 o = cos 70 o tan π 4 = cot π 4 = 1 cot 35o =tan 55 o cos 0 0 = sin 70 0 sin 5 0.sec 65 0 ifadesinin eşitini bulalım. sec = cos65 0 olduğundan sin50.sec65 0 = sin cos65 0 sin50 =cos65 0 dir. = cos cos65 0 = 1 46

47 sin θ = 4 5 ve π < θ < π olduğu bilindiğine göre, θ nın diğer beş trigonometrik değerini bulunuz. sin θ + cos θ = 1 Eşitlikte sin θ = 4 5 eşitliğinden sin θ bilindiğine göre, cos θ yı hesaplayalım. değerini yerine yazarsak; ( 4 5 ) + cos θ = 1 cos θ = 1 ( 4 5 ) cos θ = 9 5 cos θ = ± 3 5 Verilen açının bitim kenarı II. Bölgede ve II. Bölgede kosinüs negatif olduğundan cos θ = 3 5 Diğer dört fonksiyon için, verilen sin θ ve bulunan cos θ değerleri yerlerine yazılır. 1. cos θ = 5 6 ve 3π < θ < π olduğu bilindiğine göre, tan θ nın değeri nedir? A) - 11/5 B) 11/5 C) -5/ 11 D) 5/ 11 E) 3. tan x = 1/3 olduğuna göre, sin x in değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) 10 B) 10 C) 1/ 10 D) 3 E)1/ 3 3. sin x = 0,6 olduğuna göre, cot x in değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) 3/4 B) 4/3 C) 3/5 D) 5/3 E) 6/5 47

48 Aşağıdaki eşitliklerin doğruluğunu gösteriniz

49 4.. Aşağıdaki eşitliklerin doğruluğunu gösteriniz. 49

50 TRİGONOMETRİK DENKLEMLER sin x + cos x = 1 gibi x in tüm değerleri için sağlanan eşitliklere özdeşlik, sin x = 1 gibi yalnızca x in özel değerleri için sağlanan eşitliklere denklem denir. Eşitliği sağlayan özel değerlere denklemim kökleri, kökleri bulma işlemine de denklemin çözümü denir. sin x - 3 = 0 denklemini çözelim. sin x - 3 = 0 bilinmeyeni yalnız bırakalım. sin x= 3 Basit trigonometrik denklem şekline dönüşür. sinüsü 3 olan [0,π) aralığındaki en küçük açı π 3 3 radyandır. (x = arc sin = π ) 3 sinüs, I. ve II. Bölgelerde pozitif olduğundan, II.bölgede π 3 e karşı gelen açı x = π π 3 = π 3 radyandır. sinüs fonksiyonu periyodik fonksiyon ve periyodu da π olduğundan; x 1 = π 3 + kπ ; x =π 3 + kπ ; (k Z) dir. (Bulunan sayılar; y=sinx eğrisi ile y= 3/ doğrusunun kesim noktalarının apsisleridir.) Dikkat edilirse; sin x = sin θ şeklindeki denklemlerde: sin x sin x1 k. veya x ( ) k., k Z dir. 1. sin x 1 = 0 denkleminin en küçük pozitif kökü aşağıdakilerden hangisidir? A) 0 B) π/6 C) π/4 D) π/3 E) π/. sin x = 0 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) k.π B) k.π C) k.π/ D) (k+1)π E) 3. sin x = -1 denkleminin pozitif en küçük kökü aşağıdakilerden hangisidir? A) 0 B) π/ C) π D) 3π/ E) π 4. sin 3x = sin 75 0 denkleminin köklerinden biri aşağıdakilerden hangisidir? A) B) 95 0 C) 05 0 D) E)

51 3 cos x = cos x +1 denklemini çözünüz. 3 cos x = cos x +1 bilinmeyeni yalnız bırakalım. cos x = 1 ve cos x = 1 basit trigonometrik denklem şekline dönüşür. [0,π) aralığında eşitliği sağlayan en küçük sayı x = π 3 tür. (cos π 3 = 1 ) Kosinüs I. ve IV. Bölgede pozitif olduğundan, IV. Bölgede π 3 e karşı gelen sayı x = π π 3 = π 3 tür. Kosinüs fonksiyonu fonksiyonu periyodik fonksiyon ve periyodu da π olduğundan; x 1 = π + kπ 3 ve x= π + kπ ; k Z 3 Veya kısaca x = ± π + kπ ;k Z yazılır. 3 Dikkat edilirse; cos x = cos θ şeklindeki denklemlerde: cos x cos x1 k. veya x k. ; k Z (x = ±θ + k. π) dir. tan x = tan θ şeklindeki denklemlerde; x = θ + kπ k Z cot x = cot θ şeklindeki denklemlerde de; x = θ + kπ k Z 1. cos x 3 = 0 denkleminin [0,π) aralığındaki köklerinin toplamı kaçtır? A) 0 B) π/ C) π D) 3π/ E) π. 3 tan x 3 = 0 denkleminin I. bölgedeki kökü aşağıdakilerden hangisidir? A) 0 B) π/8 C) π/6 D) π/4 E) π/3 3. tan 4x = tan denkleminin köklerinden biri aşağıdakilerden hangisidir? A) 5 0 B)50 0 C) 75 0 D)100 0 E) cos 3x = 3 denkleminin [0,π) aralığında kaç tane kökü vardır? A) B) 3 C) 4 D) 6 E) 9 51

52 Karmaşık bir denklemi çözmek için; gerekli işlemler yapılarak denklem basit trigonometrik denklemlere dönüştürülür. sin(x-π) + tan(x π) = 0 denkleminin 0 x < π aralığındaki köklerini bulunuz. sin(x-π) + tan(x π) = sinx + tanx sinüste periyot π,tanjantta periyot π olduğundan; sin(x-π) = sin x sin x.cos x+sin x = 0 sin x = sin x + cos x sin x tan(x π) = tan x = cos x Payda eşitlediğimizde; = sinx.cosx+sinx cosx = 0 Pay 0 olmalıdır. sin x parantezine alalım. (çarpanlara ayıralım) sin x(cos x + 1) = 0 a.b = 0 ise a = 0 veya b = 0 dır. sin x =0 veya cos x + 1 =0 sin x = 0 için; x = 0 veya x = π cos x + 1 =0 için; cos x = -1 ve x = π Ç = { 0, π } 3 tan x - 1 = 0 denklemini çözünüz. 3 tan x 1 = 0 bilinmeyeni yalnız bırakalım. 3 tan x = 1 tan x= 1 3 tan x = 1 3 = 3 3 veya tan x = = bulunur. tan x = 3 3 için x = π + kπ ; k Z 6 tan x = için x = - π + kπ k Z veya kısaca x = ± π + kπ ; k Z 6 6 ( k ya tamsayı değerler vererek denklemin tüm kökleri bulunabilir.) 5

53 1. 4 sin x -1 = 0 denkleminin [0,π) aralığındaki kökler toplamı kaçtır? A) 0 B) π C) π D) 3 π E) 4 π. 4 cos x = 3 denkleminin [0,π) aralığında kaç tane kökü vardır? A) 0 B) 1 C) D) 3 E) 4 3. tan x = 3 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakileden hangisidir? A) π 6 + kπ veya 5π 6 + kπ B) π 4 + kπ veya 3π 4 + kπ C) π 3 + kπ veya π 3 + kπ D) π 3 + kπ E) π 6 + kπ 4. 4 cos x = sec x denkleminin [0,π) aralığında kaç tane kökü vardır? A) 0 B) 1 C) D) 3 E) 4 53

54 1 + cos x = sin x denkleminin 0 x < π aralığındaki çözüm kümesini bulunuz. 1 + cos x = sin x eşitliğinde trigonometrik fonksiyonlardan birini diğeri cinsinden yazmaya çalışalım. Bunun için her iki tarafın karesini alalım. (1 + cos x) = (sin x ) 1 + cos x + cos x = sin x (sin x + cos x = 1 sin x = 1 cos x ) 1 + cos x + cos x = 1 cos x Düzenlersek cos x + cos x = 0 çarpanlara ayıralım. cos x(cos x + 1) = 0 a.b = 0 ise a = 0 veya b = 0 dır. cos x = 0 veya cos x + 1 = 0 basit denklemlere dönüşmüş olur. 0 x < π verilen aralıkta; cos x = 0 cos x = 0 x = π veya x = 3π cos x + 1 = 0 cos x = -1 x = π Denklemin π, π, 3π olmak üzere üç muhtemel kökü görünüyor. Köklerin verilen eşitliği sağlaması gerekir. x = π ve x = π için ; 1 + cos x = sin x eşitliği sağlanır. Fakat x = 3π için ; Verilen eşitlik sağlanmıyor. Denklemin verilen aralıkta çözüm kümesi: Ç = { π, π } dir. UYARI Denklem çözümlerinde, kök olarak bulunan sayıların verilen eşitliği sağlayıp sağlamadığına bakılmalıdır. Verilen eşitliği sağlayan sayılar denklemin kökleri olarak alınır. 54

55 1. sin 3 x - 9 sin x = 0 denkleminin [0,π) aralığında kaç tane kökü vardır? A) 0 B) 1 C) D) 3 E) 4. sin x - sin x = 0 denkleminin [0,π) aralığındaki köklerinin toplamı aşağıdakilerden hangisidir? A) π/ B) π C) 3π/ D) π E) 4π 3. cos x + cos x = 0 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) (k+1)π ± π B) (k+1)π ± π C) π + kπ 6 3 D) (k+1)π ± π π veya + kπ E) (k+1)π ± π veya π + kπ sin x + sin x - = 0 denkleminin köklerinden biri aşağıdakilerden hangisidir? A) 15 0 B)30 0 C) 45 0 D) 60 0 E)

56 tan 3x = cot x denkleminin çözüm kümesini bulunuz. Denklem çözümlerinde eşitlikte verilen trigonometrik fonksiyonlar aynı cinsten yazılmaya çalışılır. Bir açının kotanjantı, tümlerinin tanjantına eşit olduğundan; tan 3x = cot x cot x = tan( π x) Tümler açılar tan 3x = tan( π x) tanjant fonksiyonunun periyodu π olduğundan; 3x = π x + kπ (tan x = tan θ x = θ + kπ) 5x = (k+1) π x = (k+1) π cos 3x = sin x denkleminin en küçük pozitif kökü kaç derecedir? A) 9 0 B) 15 0 C) 18 0 D) 30 0 E) sin 3x + cos x = 0 denkleminin köklerinden biri aşağıdakilerden hangisidir? A) π/6 B) π/4 C) π/3 D) π/ E) π 3. sin x + cos x = 0 denklemini sağlayan x in en küçük poxitif değeri nedir? A) π/6 B) π/5 C) π/4 D) π/6 E) 3 π/4 4. tan x = cot(x - π ) denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? 4 A) { 3π + kπ } 8 B) { 3π + kπ } 8 C) { 3π + kπ } 8 3 D) { 3π 8 + kπ 4 } E) {3π 8 + kπ} 56

57 TOPLAM VE FARK FORMÜLLERİ İki açının toplamının (veya farkının) trigonometrik değerlerini veren eşitliklerdir. sin 15 o nin değerini bulunuz. Trigonometrik değeri istenen açı, bilinen açıların toplam veya farkı olarak yazılır. 15 o = 60 o 45 o olduğundan; sin 15 o = sin (60 o 45 o ) sin(a-b)=sina.cosb-cosa.sinb eşitliğinde a=60 0, b=45 0 = sin 60 o cos 45 o cos 60 o sin 45 o Farkın sinüsü yazalım. sin 60 o = 3, cos 45o = sin 45 o =, cos 60o = 1 = 3 1 Değerler yerlerine yazıldı. = 6 4 Bulunur. 1. sin nin değeri nedir? A) 1/4 B) 3/4 C) 6+ 4 D) 3+1 E) cos(a+b)+cos(a-b) ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) cosa.sinb B) -sina.sinb C) cosa.cosb D) -cosa.cosb E) sina.sinb sin 3x cos 3x 3. ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? sin x cos x A) 0 B) 1 C) D) sin x-cos x E) sin x.cos x 4. sin(x+30 0 ) = sin(x 30 0 ) denkleminin köklerinden biri aşağıdakilerden hangisidir? A)90 0 B)10 0 C)150 0 D)10 0 E)

58 tan 7π 1 nin değerini bulunuz. 7π 1 radyanlık açı tanjantları bilinen π 3 ve π 4 radyanlık açıların toplamıdır. tan 7π 1 = tan π 3 + π 4 7π 1 = π 3 + π 4 Bilinen açıların toplamı. tan(a+b)= tana+tanb 1 tana.tanb eşitliğinde; a=π 3, a=π 4 yazalım. = tanπ 3 +tanπ 4 1 tan π 3 tanπ 4 = tan π 3 = 3, tan π 4 =1 Payda rasyonel yapılırsa olduğundan = -- 3 Bulunur. 1. tan π nin değeri aşağıdakilerden hangisidir? 1 A) + 3 B) -+ 3 C) - 3 D) -- 3 E) 3. T = tan1500 tan tan150 0.tan130 0 ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) + 3 B) -+ 3 C) - 3 D) -- 3 E) < x < için sin x = 3/5 ve 0 0 < y < 90 0 için sin y = 1/13 olduğu bilindiğine göre, tan ( x y ) değeri nedir? A) 61/16 B) C) 63/16 D) 4 E) 65/16 4. cot0.cot3 0 1 cot 0 +cot3 0 ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) 0 B) 1/ C) 1 D) E)π/4 58

59 cos(a-b) = cosa.cosb + sina.sinb Farkın kosinüsünü veren formülde cos b ve sin a verilmediğinden öncelikle onları bulalım. sin a+cos a=1 özdeşliğinde, cos a=-4/5 yazarsak; sin a+(-4/5) =1 sin a=1-16/5=9/5 sin a = ± 3 5 bulunur. III. Bölgede sinüs negatif olduğundan sin a = 3 5 alınır. sin b+cos b=1 olacağından özdeşlikte sin b = 5/13 yazarsak; (5/13) + cos b=1 cos b =1-5/169=144/169 cos b =± 1/13 bulunur. I. Bölgede kosinüs pozitif olduğundan cos b = 1/13 alınır. Verilenler ve bulunanlar cos (a b) = cos a.cos b + sin a. sin b de yerlerine yazıldığında cos (a b) = işlem yaptığımızda = Bulunur. 1. π < a < 3π olmak üzere sin a = 3 5, 0 < b < π olmak üzere cos b = 1 13 verilmiştir. sin ( a - b ) kaçtır? A) B) C) D) 0 43 E) 1 1. sin(45 o +x) + sin(45 o -x) ifadesinin eşitini aşağıdakilerden hangisidir? A) sin x B) cos x C) sin x D) cos x E) 3. x ve y dar açıları için; sin x = 3/5 ve cos y = 1/13 ise sin(x+y) değeri kaçtır? A) 56/65 B) 57/65 C) 58/65 D) 59/65 E) 11/13 4. x ve y dar açıları için; cos x = 0,6 ve cos y = 0,8 ise cos(x+y) değeri kaçtır? A) 0 B)1/ C) 3/ D) 5/6 E) 1 59

60 1. sin(x+π) + cos(x + π) = 0 denkleminin 0 x < π aralığında kaç tane kökü vardır? A) 0 B) 1 C) D) 3 E) 4. sin(x-π) + tan(x π) = 0 denkleminin 0 x < π aralığındaki kökleri aşağıdakilerden hangisidir? A) 0, π B) π/, π C) 0, π/ D) π/, 3π/ E) π/ < α <90 0 ve α kaç derecedir? 3sin5 0.cos cos5 0.sin7 0 4cos84 0.cos6 0 = sinx olduğuna göre A) 1 0 B) 15 0 C) 18 0 D) 30 0 E) sin5 0.cos cos5 0.sin7 0 = 3(sin50.cos7 0 +cos5 0.sin7 0 ) 4cos84 0.cos6 0 4sin6 0.cos6 0 sin( ) = sin5 0. cos7 0 + cos5 0. sin7 0 cos84 0 = cos( )= sin6 0 = 3sin10 sin1 0 sin.60 =sin6 0.cos6 0 = 3 = sinx sin 6o 0 = 3 = sin x olduğundan x = 600 dir. Tümler açılar. 60

61 YARIM AÇI FORMÜLLERİ Nasıl sin (a + b) = sin a.cos b + cos a.sin b özdeşliğinde b yerine - b yazıldığında; sin [a +(-b)] = sin a. cos(-b) + cos a. sin(-b) sin (a-b) = sin a. cos b cos a. sin b Farkın sinüs açılımı bulunuyorsa; sin (a + b) = sin a.cos b + cos a.sin b özdeşliğinde b yerine a yazıldığında; sin (a+a) = sin a.cos a + cos a. sin a sin a = sin a.cos a eşitliği bulunabilir. Benzer şekilde; cos a = cos a sin a (sin a+cos a=1 sin a=1-cos a ve cos a=1-sin a) cos a = cos a 1 cos a = 1 sin a tana tan a = 1 tan a eşitlikleri de yazılabilir. Yukarıdaki eşitliklerde a yerine a yazılırsa, eşitliklerde karşı taraftaki a lar da a olacaktır. sin a = sin a. cos a cos a = cos a sina cos a = cos a 1 cos a = ± 1+cos a (Eşitlikteki ± ler, a nin cos a = 1 sin a sin a = ± 1 cos a bulunduğu bölgede tan a = tana 1 tan a trigonometrik fonksiyonun işaretidir.) cos a ve sin a da yarım açı formülleri kullanıldığında; tan a = 1 cos a sin a ve tan a = sin a 1+cos a olduğu da bulunabilir. 61

62 cos 15 o değerini hesaplayınız. 15 0, trigonometrik değerleri bilinen 30 0 nin yarısıdır. α = 30 o dersek α = 15 0 olur. cos (α) =cos α 1 den cos α yı çektik. α, α ve cos.15 0 =cos 30 0 = 3 yerlerine yazalım. değerlerini bulunur. NOT: 15 o = 60 o 45 o gibi bilinen iki açının farkı olduğundan; cos( ) = cos60 0.cos45 0 +sin60 0.sin45 0 farkın kosinüsü eşitliği de kullanılabilir. VE HATTA 3. YOL: ABC, dik üçgeninde; AB kenarını DA = AC = br. uzatalım. DAC ikizkenar üçgeninde; 30 0 lik dış açısı nedeniyle mc=md=15 0 dir. DBC üçgeninde; cos 15 0 = DB DC = DA + AB DC Pisagor teoreminden: DC =(+ 3) +1 =8+4 3=4(+ 3), DC = + 3 cos 15 0 = DB = + 3 = + 3 DC + 3 6

63 Benzer bir örnek daha yapalım. sin π 8 değerini hesaplayınız? π π 8 radyanlık açı, trigonometrik değerleri bilinen 4 radyanlık açının yarısıdır. α = π 4 = 45o dersek α = π 8 olur. cos(α) = 1 sin α den sin α yı çekelim. α, α ve sin. π 8 =cosπ 4 = değerlerini yerlerine yazalım. bulunur.. YOL: İkizkenar dik üçgenin bir dik kenarı hipotenisi kadar uzatılarak oluşan bir açısı π 8 radyan olan dik üçgende bu açının sinüsü hesaplanabilir. VE BİR ÖRNEK DAHA: cos 165 o nin değerini bulalım , trigonometrik değerleri bulunabilen nin yarısıdır. α = dersek a = 1650 olur. cos a =cos a 1 den cos a yı çektik. 165 o, II. Bölgede olup kosinüsü - dir. cos 330 o = cos ( o ) = cos(- 30 o )=cos 30 0 = 3 bulunur. 63

64 tan π 1 nin değerini bulurmusunuz? π π 1 radyanlık açı, trigonometrik değerleri bilinen 6 radyanlık açının yarısıdır. a = π 6 dersek a = π 1 olur. 1 cos a sin a = 1 (1 sina ) sin a.cosa = sina sin a = sina.cosa cos a = tan a cos π 6 = 3. YOL: ABC üçgeni yardımıyla oluşturulan DBC üçgeninde; tan π 1 = tan 1 = = 3 3.YOL: π 3 π 4 = π 1 olduğundan; tan(a-b) = tana tanb 1+tana.tanb tan π = 1 tan(π π ) = tanπ 3 tanπ tan π = 3 1 = 3 3.tanπ eşitliğinden; 4. YOL : tan a = tan a 1 tan a ikinci derece denklemin kökleri bulunur. eşitliğinde a = π 6 ve a = π 1 yazarak elde edilen 5.YOL: Benzer şekilde; tan a Formülleri de kullanılabilir. = 1 cos a sin a ve tan a = sin a 1+cos a 64

65 sin a sin a sin a+sin a ifadesini sadeleştiriniz. sin a sin a sin a+sin a = sina sina.cosa sina+sina.cosa = sina(1 cosa) sina(1+cosa) = 1 cosa 1+cosa sin a = sin a.cos a sin a ortak parantezine alındı cos a = 1 sin a ve cos a = cos a 1 = sin a cos a işlem yaptığımızda; = tan a bulunur. tan 55 o - tan 35 o işlemini yapınız. tan 55 o - tan 35 o = sin55o sin35o cos55o cos35 o = sin55o.cos35 o cos55 o.sin35 o cos55 o cos35 o tan θ = sinθ cosθ Payda eşitlendi. sin55 o. cos35 o cos55 o. sin35 o = sin (50 O 35 O ) = sin (55o 35 o ) sin35 o cos35 o sin 35 o =cos 55 o = sin0o 1 sin a = sin a.cos a sin70o = sin0o cos0 o sin 70o = cos 0 o = tan 0 o tan θ = sinθ cosθ 65

66 cos 4 π 4 sin4 π 4 işlemini yapınız. a -b =(a-b)(a+b) sin a+cos a = 1 cos a= cos π 4 sin π 4 cos. π 1 = cos π 1 1 cos π 6 = 3 cos π 1 = sin(a+b).sin(a-b) ifadesinin eşitini bulunuz. cos (x-y) = cos x.cos y + sin x.sin y cos (x+y) = cos x.cos y sin x.sin y Eşitliklerini taraf tarafa çıkaralım. sin x.siny = cos(x-y) cos(x+y) olur. x = A+B ve y = A-B aldığımızda: x y = B ve x + y = A olur. sin(a+b).sin(a-b) = 1 [cos B cos A] cos A= 1-sin A, cos B=1-sin B = 1 [ (1- sin B) (1- sin A)] = sin A sin B bulunur. 66

67 1. sin ( π ) değeri nedir? 1 A) B) 3 4 C) + 3 D) 3 E) 3. 1 cosθ işleminin sonucu nedir? sinθ A) tanθ B) cotθ C) secθ D) cscθ E) < x < 90 o için tan x = 3 ise sin 4x in değeri nedir? A) -4/5 B)4/5 C)3/4 D) 4/5 E) -4/5 4. sin x + cos x = 0 denkleminin [0,π) aralığında kaç tane kökü vardır? A) 0 B) 1 C) D) 3 E) 4 cos 3x = 4 cos 3 x 3 cos x cos 3x = cos (x + x) özdeşliğinin varlığını kanıtlayınız. 3x =x + x = cos x.cos x sin x.sin x toplamın kosinüsü = ( cos x 1)cos x sin x.cos x.sinx sinüs ve kosonüste yarım açı. = cos 3 x cos x sin x.cosx işlem yapıldı. = cos 3 x cos x (1-cos x)cos x sin x + cos x = 1 den. = cos 3 x cos x - cos x + cos 3 x işlem yapıldı. = 4 cos 3 x -3 cos x bulunur. 67

68 cos x 3sin x denklemini çözünüz? tan x = 3 dersek ; tan x = tan π 3 cos x tan π 3.sin x = - tan π 3 = sin π 3 cos π 3 cos x sinπ 3 cos π sinx = 3 cos π 3. cosx sin π 3.sin x =. cos π 3 İşlem yapıldığında; toplamın kosinüsü cos x + π 3 =. 1 = Eşitliği sağlayan sayılardan biri 3π 4 diğeri x + π 3 = ± 3π 4 + kπ 5π 4 = 3π 4 olur. x+ π 3 = 3π 4 + k. π x+π 3 = 3π 4 + k. π x= 3π π + k. π x= 3π π + k. π x = 5π 13π + kπ veya x = + kπ dir. 1 1 UYARI b a. sin x b.cos x c tan dönüşümü uygulanır. a c sin( x ) denklemi çözülür. a b 68

69 3 cos x + 4 sin x = A ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır? İfadeyi cos x in katsayısı olan 3 e bölelim. cos x sin x = A 3 tan θ = 4 3 dersek; cos x + tanθ. sin x = A 3 sin θ cos x +. sin x = A cos θ 3 sinθ, tanθ = cosθ cos x.cosθ + sin x. sin θ = A. cos θ 3 tan θ = 4 3 dediğimiz için; dik üçgende karşı dik kenar 4, komşu dik kenar 3 tür. Pisagordan; 3 +4 =5 =x cos θ = 3 5 ve sin θ = 4 5 bulunur. cos x.cosθ + sin x. sin θ = A. cos θ 3 cos(a-b)=cosa.cosb+sina.sinb cos (x - θ) = A cos (x - θ) = A 5 5.cos(x - θ) = A - 1 cosα 1 olduğundan cos(x - θ) nın alabileceği en büyük değer 1, en küçük değer -1 dir. Bu durumda A nın alabileceği en büyük değer 5 olur. 1. cosx + sin x ifadesi x in hangi değeri için en büyük değeri alır? A) 0 0 B) 30 0 C) 45 0 D) 60 0 E) sinx+4cosx=5 denkleminin [0, ] aralığında kaç tane kökü vardır? A) 0 B)1 C) D)3 E)4 3. 3sinx+cosx ifadesi x in hangi değeri için en büyük değeri alır? A) 30 0 B)45 0 C) 60 0 D)90 0 E) sinx-cosx=1 denkleminin [0, ] aralığındaki çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {0 0 } B) {90 0 } C) {0 0, 90 0 } D){0 0, 45 0 } E) {45 0, 90 0 } 69

70 İki açının toplam (veya) farkının sinüsünün, sinüslerinin toplam (veya) farkı olmadığını, olduğunu söyledik. Şimdi de ; sinüsler toplamının (farkının) ve sinüsler çarpımının değişik yazılışlarını inceleyelim: sin a.cos b = sin(a+b) + sin(a-b) ve Eşitliklerini toplayalım. sin a.cos b = 1 [sin(a+b) + sin(a-b)] olduğu görülür. Eşitlikleri çıkarırsak; cos a.sin b = 1 [sin(a+b) - sin(a-b)] bulunur. Eşitlikleri taraf tarafa toplanır veya çıkarılırsa; cos a.cos b = 1 [cos(a+b) + cos(a-b)] ve sin a.sin b = - 1 [cos(a+b) cos(a-b)] bulunur Bu eşitlikler yardımıyla çarpım şeklindeki trigonometrik ifadeleri, toplam (fark) durumuna getirebiliriz. Bu da bize işlem kolaylığı sağlayabilir. sin π 7π. sin 1 1 değerini hesaplayınız. sin π 7π. sin = 1 [cos π + 7π cos π 7π ], sin a.sin b = - 1 [cos(a+b) cos(a-b)] 1 1 = 1 [cos π 3 cos π ] cos π 3 = 1, cos π = 0 = 1 [ 1 0] = 1 4 bulunur. 70

71 f(x) = cos x. cos 3x fonksiyonunun periyodu nedir? Çarpım (bölüm) şeklindeki trigonometrik fonksiyonlar önce toplam (fark) şekline dönüştürülür, sonra periyotlarının ortak katlarından en küçüğü alınır. cos x.cos 3x = 1 [cos(x + 3x) + cos(x 3x)] cos a.cos b = 1 [cos(a+b) + cos(a-b)] Bu fonksiyon için; = 1 [cos 5x + cos(-x)] cos(-x) = cos x = 1 [cos 5x + cosx] olur. cos 5x in periyodu π 5 f(x) = cos x. cos 3x, cos x in periyodu π ve OKEK = ( π 5 fonksiyonunun periyodu π dir., π) = π olduğundan 1. f(x) = sin3x fonksiyonunun periyodu nedir? sin5x A) π B) π C) 3π D) 4 π E) 5 π. cos 11π 5π. cos ifadesinin değeri nedir? 1 1 A) -1/4 B) -1/ C) 0 D)1/ E)1/4 3. sin(a+b).sin(a-b) ifadesini toplam-fark şeklinde yazınız. sin(a+b).sin(a-b) = 1 [cosa cosb] sin a.sin b = - 1 [cos(a+b) cos(a-b)] = 1 [ cos a - 1 cos b + 1] cos a = cos a 1 = -cos a + cos b 4. cos 3a.sin 7a ifadesi toplam-fark şeklinde nasıl yazılır?. A) sin10a+cos4a B) sin10a+sin4a C) sin10-cos4a D) sin10a-sin4a E) cos10+cos4a 71

72 Toplam (fark) şeklindeki trigonometrik fonksiyonları benzer işlemlerle çarpım şekline getirebiliriz. Bu bize denklem çözümlerinde ve sadeleştirmelerde büyük kolaylık sağlar. Eşitliklerini bir kere toplar, bir kere çıkarırsak; sin(a+b) + sin(a-b) = sin a.cos b sin(a+b) - sin(a-b) = cos a.sin b bulunur. a + b = x ve a b = y dersek; a = x+y ve b = x y olur ki yerlerine yazıldıklarında; sin x + sin y = sin x+y x y. cos sin x sin y = sin x y x+y. cos eşitlikleri elde edilir. Benzer düşünceler ile; Eşitliklerini bir kere toplar, bir kere çıkarırsak; cos(a+b) + cos(a-b) = cos a. cos b cos(a-b) cos(a-b) = - sin a. sin b bulunur. a + b = x ve a b = y dersek; a = x+y ve b = x y olur ki yerlerine yazıldıklarında; cos x + cos y = cos x+y x y. cos cos x cos y = - sin x+y x y. sin eşitlikleri elde edilir. Bir de ; sin (x+y) tan x + tan y = cosx.cosy sin (x y) ve tan x - tan y = cosx.cosy Olduğunu da ekleyebiliriz. 7

73 cos x cos4x cosx+cos4x cos x cos4x = sin cosx+cos4x = ifadesini sadeleştiriniz. x+4x.sin x 4x cos x+4x.cos x 4x sin3x.sin ( x) cos3x.cos ( x) cos x + cos y = cos x+y x y. cos cos x cos y = - sin x+y x y. sin sin(-x) = - sin x cos(-x) = cos x = tan x. tan 3x olur. 1. sina+sin3a+sin5a cosa+cos3a+cos5a ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) tan a B ) tan 3a C ) tan 5a D ) cot 3a E) cot a. sin75o sin15 o cos75 o +cos15 o ifadesinim değeri nedir? sin75 o sin15 o 75 sin cos cos75 o +cos15o = COS COS = sin30o.cos45 o cos45 o.cos30 o = tan 30o = 1 3 sin x sin y = sin x y x+y. cos cos x + cos y = cos x+y x y. cos 3. sin sin 15 o ifadrsinin değeri nedir? A) 3/ B) /3 C) 6/ D) 3 3/ E) 4. sin7x+sin5x ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? cos5x cos7x A) tan x B) cot x C) sec x D ) csc x E) 1 73

74 EK BİLGİLER: m = n+1 için ; 3 n m sin.sin.sin...sin n m m m m 3 n 1 cos.cos.cos...cos n m m m m ÖRNEK: 74

75 ÖRNEK GENEL TEKRAR cos θ = 0,6 ise tan θ ve cosec θ değerlerini bulunuz. Verilen açıyı 0 o θ < 90 o olarak düşünüp dik üçgene taşıyalım. cos θ = 0,6 = 6 10 Pisagor teoreminden karşı dik kenar 8 br. bulunur. tan θ = 8 = 4 ve cosec θ = !!! Dikkat Soru bu şekliyle algılanıp çözülürse eksik olacaktır. Çünkü: Kosinüsü pozitif olan açının bitim kenarı Birim çemberi I. Veya IV. Bölgede keser. Kosinüs I. ve IV. Bölgede pozitiftir. Bu durumda: θ açısı I. Bölgede ise tan θ ve cosec θ için buunan değerler doğrudur. Eğer θ açısı IV. Bölgede ise tanjant negatif olacağından tan θ = 4 3, IV. Bölgede kosekant negatif olacağından cosec θ = 10 = 1,5 dir. 8 tan θ = sinθ cosθ ; cosecθ = 1 sinθ ALIŞTIRMA sin θ = 4 5 ise cot θ ve sec θ değerlerini bulunuz. 75

76 ÖRNEK θ ve β dar açıları için; sin θ = 3 5 ve cos β = 1 13 ise sin (θ + β) yi hesaplayınız. sin (θ+β) = sin θ.cos β + cos θ.sin β Toplamın sinüsü. sin (θ+β) = sin θ.cos β + cos θ.sin β = = ALIŞTIRMA θ ve β dar açıları için; cos θ = 0,5 ve cos β = 0,6 ise sin (θ + β) yi hesaplayınız. ÖRNEK cos 15 o.cos 75 o ifadesinin değerini hesaplayınız. cos 15 o.cos 75 o = sin 75 o.cos 75 o cos 15 o = sin 75 o Tümler açılar = 1 sin150o sin a = sin a.cos a Yarım açı = 1 sin 30o = 1. 1 = 1 4 bulunur. ALIŞTIRMA sin 4 15 o +cos 4 15 o ifadesinin değerini hesaplayınız. 76

77 ALIŞTIRMALARA DEVAM 0 θ < 360 o için 4 sin θ = 1 eşitliğini sağlayan θ sayılarının toplamı kaç derecedir? Y: 70 o 180 o < θ < 180 o için 6 cos θ cosθ 1 = 0 eşitliğini sağlayan kaç tane θ gerçek sayısı vardır? Y: 4 0 θ < 360 o olmak üzere aşağıdaki eşitlikleri sağlayan θ gerçek sayılarını bulunuz. cosθ = cotθ 1+ cosθ = 0 sinθ tanθ 3 sinθ cosθ = tanθ 1 sinθ cotθ = 0 3 tanθ = cotθ 3 sinθ sinθ = 1 cscθ sin(90 o θ) cos(180 o θ) + sin(70 o θ) sin(70 o + θ) =? sin(90 o + θ) cos(90 o - θ) + cos(90 o + θ) cos(90 o - θ) =? A+B+C=180 o iken; tan A+B =? ve sin B+C =? f(θ) = sinθ olmak üzere ; g(θ) = f(θ) şeklinde tanımlanan yeni fonksiyonun Görüntü Kümesini belirtiniz. 3 y 1 77

78 BONUS! BONUS! cot θ = 3 4 ve csc θ < 0 için sin θ nın değeri nedir? -4/5 ve sinθ = 0,6 ise x=? 16 cm. tan( π 6 ) ve sec(5π 6 ) nın değerlerini bulunuz? 1 3 ve 3 78

79 BONUS! BONUS! BONUS! 79

80 BONUS! 80

81 KONU TARAMA TESTLERİ sin x cos x = 1 5 olduğuna göre sin x in değeri nedir? A) 1/10 B) 9/10 C) 1/5 D) 4/5 E) 8/9. cot x tan x ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) tan x B) cot x C) tan x D) tan x E) cot x 3. tan θ = 3 4 olduğuna göre tan (90 o + θ) nın değeri nedir? A) 3/4 B) -3/4 C) 4/3 D) -4/3 E) 1 4. ABC Üçgeninde; R, Çevrel çember yarıçapını ve r, içteğet çember yarıçapını göstermektedir. Sinüs teoremini veren a sina = b sinb = c sinc = X Eşitliğinde, X aşağıdakilerden hangisidir? A) R B) R C) r D) r E) R + r 5. Kübün bir köşesinden geçen cisim köşegeni ile yüz köşegeninin oluşturduğu açı aşağıdakileden hangsidir? A) 30 O B) 45 O C) 60 O D) arccos( 6 ) E) arccos( 3 6 ) 6. Arccos(cos 5 o ) ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) -45 O B) 45 O C)135 O D) 5 O E) / 7. sin(45 o +x) + sin(45 o -x) ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) 0 B) C) cos x D) cos x E) cos x 81

82 KONU TARAMA TESTLERİ - 1. sin 30o cos 60o ifadesinin değeri nedir? A)0 B)1 C) 3 D) E)4. tan 60o tan 30o ifadesinin değeri nedir? A)0 B)1 C) 3 D) E)4 3. sin 60o cos 60o ifadesinin değeri nedir? A)0 B)1 C) 3 D) E)4 4. sin45o cos45o ifadesinin değeri nedir? A)0 B)1 C) 3 D) E)4 5. sin 45 o.cos 45 o ifadesinin değeri nedir? A)0 B)1/4 C)1/ D)1 E) 6. arc cos(- 1 ) ifadesinin değeri nedir? A)30O B)60 O C)10 0 D)135 0 E) arc sin ( - 0,5) ifadesinin değeri nedir? A)30 O B)60 0 C)10 0 D)40 0 E) ABC üçgeninde ; a = 7 cm. b = 5 cm. c = 3 cm. ise ma kaç derecedir? A)30 0 B) 45 0 C)60 0 D) 10 0 E) sin θ = cosθ ise cscθ nın değeri nedir? A) ½ B) C) 1 5 D) 5/ E) cosθ. sec (90 o θ) ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) sinθ B) cos θ C) tan θ D) cot θ E) csc θ 11. tanθ. tan (90 o θ) ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) 1 B) sin θ C) cos θ D) sec θ E) csc θ f(x) = sin x + cos x için f(30 o ) nin değeri nedir? A) 1 B) C) 3 D) E) 3 8

83 ŞAKA!!! 83

84 ŞAKA!!! ŞAKA!!! 84

85 SON 10 YILIN SINAV SORULARI 01 LYS cosx. cosx = 1 16sinx eşitliğinde içler dışlar çarpımı yapalım. 16sinx. cosx. cosx = 1 olur. 8.sin x.cos x.cos x = 1 ve sin x.cos x=sin x olduğundan; 8.sin x.cos x = 1 4.sin x.cos x =1 ve sin x.cos x = sin 4x olduğundan; 4.sin 4x = 1 ve sin 4x = 1 4 bulunur. Yanıt C şıkkıdır. 85

86 01 LYS cos 135 o = cos (180 o 45 o ) = - cos 45 o = cos 330 o = cos ( 360 o -30 o ) = cos 30 o = 3 sin 150 o = sin (180 o -30 o ) = sin 30 o = o ; II. Bölgede ve kosinüs - dir. 330 o ; IV. Bölgede ve kosinüs + dır. 150 o ; II. Bölgede sinüs + dır. Bulduğumuz değerleri verilen ifadede yazalım. cos135 o +cos330 o sin150 o = = 3 bulunur. Yanıt A dır. 86

87 01 LYS ABCD Karesinde; m(cab)=45 o, m(cab) = m(cae) + m(eab) x = 45 o m(eab) her iki tarafın tanlantlarını alalım, tan x =tan(45 o m(eab)) = tan45o tan (EAB) 1+tan45 o.tan(eab) tan(a b) = tana tanb 1+tana.tanb EAB üçgeninde ; AB = BC = 5+7 = 1 cm., tan(eab)= EB AB = 5 1 tan 45o = 1 = = tan x = 7 17 bulunur. Yanıt E şıkkıdır. 87

88 011 LYS θ = arc sin x 3 + dersek sin θ = x 3 + dir. Ters trigonometrik fonksiyon. f(a) = b f -1 (b) = a f: sin ve f -1 : arc sin sin θ = x + x = 3 sin (θ)-6 bulunur. 3 f(x) = θ iken f -1 (θ) = x dir. Ters fonksiyonun tanımı. f -1 (θ) = 3 sin (θ) 6 ve f -1 (x) = 3 sin (x) 6 olur. Yanıt C dir. 88

89 011 LYS cotx = cosx sinx, tanx = sinx cosx Eşitlikleri verilen ifadede yerlerine yazılırsa;, sin x = sin x.cos x cot x 3 tan x = cosx 3sinx sinx cosx cosx 3sinx = 1 sinx cosx sinx.cosx sol tarafta payda eşitlendiğinde; cos x 3sin x sinx.cosx = 1 sinx.cosx sadeleştirme yaparsak, cos x 3sin x = 1 ve cos x=1 sin x olduğundan 1 sin x 3 sin x = 1 4 sin x = 1 sin x = 1 8 bulunur. Yanıt B dir. 89

90 011 LYS ABE üçgeninde ; tan x = 3 5 BDC üçgeninde ; tan y = 3 = 1 ve B = x+ y 3 tan B = tan (x + y) = tanx+tany olduğundan; 1 tanx.tany tan ( x + y) = 1 3 = = 4 bulunur. Yanıt D dir. 90

91 010 LYS cos 40 o = cos 0 o 1 Yarım açı. cos 55 o = sin 35 o Tümler açılar. Verilende yerlerine yazıldığında; 1+cos40 o cos55 o.cos35 o = 1+ cos 0 o 1 sin35 o.cos35 o sin70o = sin35 o.cos35 o Yarım açı = cos 0 o 1 sin70o sin70o = cos0 o Tümler açı = 4 cos 0 o cos0 o İşlem yaptığımızda; = 4 cos0 o Bulunur. Yanıt C şıkkı. 91

92 008 ÖSS cos π + x = sinx π + x II. Bölgede ve kosinüs - dir. Veya: cos π + x = cos π cosx sin π sinx = 0.sin x 1.sin x = -sin x Ve de ; sin π x = cox olduğundan, yerlerine yazıldığında ; cos π + x = sin π x - sin x = cosx olur. Eşitliğin her iki tarafını cos x e bölersek ; sinx cosx = cosx cosx tanx = 1 olur. Yanıt C dir. 9

93 009 ÖSS Çemberde çapı gören çevre açı 90 o olduğundan, m(bac)=90 o dir. BAC dik üçgeninde, BO = OA = OC ve BOA ikizkenar üçgen olup, m(abc)= x dir. BC = = 10 sin x = 1 10, cos x = 3 10 sin x = sin x cos x sin x = = Yarım açıdan, bulunur. Yanıt C şıkkıdır. 93

94 010 LYS Verilen ifadede parantez karesini açar ve payda eşitlersek ; (sinx cosx) cosx + sinx = sin x sinx. cosx + cos x + sinx. cosx cosx sin x + cos x = 1 (sinx cosx) cosx + sinx = 1 cosx bulunur. Yanıt A şıkkıdır. 011 LYS cos x = cos x -1 Yarım açı kullanıldığında ; cos x = = = = 7 5 Yanıt E. 94

95 007 ÖSS sin(a+b)=sina.cosb+cosa.sinb den sin(10 o +40 o )=sin10 o.cos40 o +cos10 o.sin40 o =sin50 o ; cos(a-b)=cosa.cosb+sina.sinb den cos(50 o -10 o )=cos50 o.cos10 o +sin50.sin10 o =sin40 o yerlerine yazıldıklarında; = sin50o cos40 o ve cos 40o = sin 50 o olduğundan = sin50o cos50 o = 1 dir. Yanıt E şıkkıdır. 95

96 010 LYS 3 sin x 4 cos x = 0 3 sin x = 4 cos x eşitliğin her iki tarafını 3 cos x e bölelim. 3sinx = 4cosx 3cosx 3cosx tan x = 4 3 iken sin x ve cos x hesaplanabilir. sin x = 4/5 cos x = 3/5 cos x = cos x sin x olduğundan; cos x = (3/5) (4/5) = - 7/5 cos x = -7/5 = 7/5 Yanıt D şıkkıdır. 96

97 008 ÖSS (sin x + cos x) = sin x + sin x.cos x + cos x Tam kare. sin x + cos x =1 ve sin x = sin x.cos x Yerlerine yazalım. (sin x + cos x) = 1 + a bulunur. Yanıt A şıkkıdır. 010 LYS tan 60 o = sin60o cos60 o değeri yerine yazıldığında; tan60 o 1 sin60o = cos60 o 1 sin0 o cos0 0 sin0 o cos00 Payda eşitlediğimizde, = sin60o cos0 o cos60 o sin0 o sin0 o cos0 o sin(60 o -0 o ) = sin60 o cos0 o -cos60 o sin0 o ve sin 40 o =sin0 o cos0 o yazalım. = sin40o 1 sin40o = bulunur. Yanıt B şıkkıdır. 97

98 009 ÖSS Ek çizimleri yaptığımızda ; x = 30 o y tan 30 o = 3 3 ; tany = a = 3 3a 6 tan x = tan (30 o -y) = tan30o 3 tany = tan30 o.tany = 3 7 bulunur. Yanıt B 98

99 007 ÖSS sin π 1 + cos π 1 = sin π 1 + sin π 1 cos π 1 + cos π 1 Tam kare sin π 1 +cos π 1 = 1 ve sin. π 1 = sin π 1 cos π 1 = sin π 6 = 1 sin π 1 + cos π 1 = = 3 bulunur. Yanıt B şıkkıdır. 007 ÖSS cos a = cos a sin a ve tan a = sin a cos a değerleri yerlerine yazılırsa; cosa = cos a sin a 1 tan a 1 sin a cos a = cos a sin a cos a sin a cos a = cos a bulunur. Yanıt B 99

100 006 ÖSS sin a = sin a.cos a ve cos a = 1 sin a değerleri yerlerine yazılırsa; sina 1 cosa = sina.cosa = sina.cosa = cosa = cota 1 (1 sin a) sin a sina bulunur. Yanıt D P(cosθ, sinθ) olarak tanımlandığından P (cosθ, -sinθ) olmalıdır. Veya ; Tanımdan P (cos( θ), sin( θ)) olmalıdır. B şıkkında verilen (cos( θ), sinθ) tanımları doğrulamaz. Yanıt B 006 ÖSS 100

101 006 ÖSS tan (x+y) = 3/9 = 1/3 tan y =3/1 =1/7 BEK Üçgeninde ALK Üçgeninde tan(x+y) = tanx+tany 1 tanx.tany eşitliğinde verilenler yerlerine yazıldığında ; 1 = tanx tanx. 1 7 ; 1 = 7tanx tanx ; 7 tan x = 1 tanx + 3 tan x = 4 ve tan x = 11 dir. Yanıt C 101

102 01 LYS Denklemin kökü, eşitlikte yerine yazıldığında eşitliği sağlayan sayıdır. Denklemde x yerine 3 yazıldığında; 3 (sin a) (cos a) = 0 olur. İşlem yaptığımızda ; 16 4 sin a 9 cos a = 0 ve cos a =1 sin a olduğundan 16-4 sin a 9 ( 1 sin a) = 0 9 sin a -4 sin a + 7 = 0 Trigonometrik denklemi elde edilir. Bu denklemi çözelim. (3 sin a - 7)(3 sin a 1) = 0 Şeklinde çarpanlara ayrılabilir. 3 sin a -7 = 0 ve sin a = 7 3 bulunur ki bu mümkün değildir. Çünkü 1 sina 1 olmalıdır. 3 sin a 1 = 0 ve sin a = 1 3 dır. Yanıt E şıkkı 10

103 KONU TESTİ: (ÇÖZÜMLÜ) sin x 1 cos x 1. 1 denkleminin [0, ] aralığında kaç tane kökü vardır? A) 0 B) 1 C) D) 4 E) 6 sin 1 cos x x 1 sin x = sin x. cos x ; cos x = cos x 1 Yarım açı formülleri sin x.cos x x 1+ cos x = 1 sin 1 cos x = 1 tan x = 1 x = π 4 + kπ x = π.çözüm yolu: içler dışlar çarpımından sonra düzenlediğimizde sin x cos x =1 eşitliğinin karesini alırsak; sin x sin x.cos x + cos x = 1 sin x + cos x = 1 ve sin x = sin x.cos x formüllerinden sin x = 0 denklemi ve x = 0, π, π, 3π, π bulunur. Bu köklerden verilen eşitliği sağlayan tek sayı π dir. NOT : y=sinx ve y= 1+cosx fonksiyonlarının grafikleri x= π ve x=π de kesişir. Fakat x=π için 1+cosx = 0 olur. Kesrin paydası 0 olamayacağından x=π kök olarak alınmaz. Yanıt: B tan 5. tan 15. tan 5... tan 65 tan 75. tan 85? A) 1 B) 3 3 C) 1 D) 3 E) tan 85 o = cot 5 o, tan 75 o = cot 15 o, tan 65 o = cot 5 o, tan 55 o = cot 35 o Tümler açılar. ve tan x. cot x = 1 ve de tan 45 o =1 Baştan ve sondan birer terim alındığında; = 1 bulunur. Yanıt: C 103

104 3 3. tan arctan arctan 5? A) - 3 B) -1 C) 0 D) 1 E) 3 arctan ( ) = a ve arctan 5 = b dersek; 3 tan a = 3 ve tan b = 5 olur. tan [ arctan ( tana+tanb ) + arctan 5 ] = tan (a+b) = = 3 +5 = tana.tanb Yanıt: D sin.sin? A) 3 4 B) C) 3 D) 4 1 E) 1 sin 5π 1 = COS π 5π 1 = COS π 1 Tümler açı sin π 5π. sin = sin π. cos π = 1 sin. π = 1 sin π = 1. 1 = sin a = sin a.cos a ve sin π 6 = 1 Yanıt: D 104

105 5. sin( x y) 0,3 sin( x y) 0,5 ise sin x.cos y? A) 0, B) 0,4 C) 0,6 D) 0,8 E) 1 sin( x y) 0,3 sin( x y) 0,5 Eşitlikler taraf tarafa toplandığında; sin(x+y) + sin(x-y) = 0,8 sin x.cos y + cos x.sin y + sin x.cos y - cos x.sin y = 0,8 sinx.cos y = 0,8 sin x.cos y = 0,4 bulunur. Yanıt: B 0 0 cos15 sin cos15 sin 15 6.? A) 3 1 B) C) 3 D) E) 3 Verilen ifadenin pay ve paydası (cos 15 o + sin 15 o ) ile çarpılırsa; (cos 15 o + sin 15 o ) (cos 15 o sin 15 o )(cos 15 o + sin 15 o ) = cos 15 o + sin15 o cos15 o + sin 15 o cos 15 o sin 15 o cos 15 + sin 15 o = 1 ; cos 15 o sin 15 o = cos.15 o = cos30 o = 3 ve sin15 0.cos 15 o = sin.15 o = sin 30 o = 1 değerleri yerlerine yazıldığında = = 3 bulunur. Yanıt: C 105

106 sin x cos x ise sin x cos x? A) 1 B) 4 3 C) 8 5 D) E) 16 a 3 + b 3 = (a + b)(a ab + b ) İki küp toplamı sin 3 x + cos 3 x = (sin x + cos x)( sin x sin x. cos x + cos x) sin x + cos x = 1 ; sin x = sin x. cos x (sin x + cos x) = sin x +. sin x. cos x + cos x = sinx.cos x = ¼, sin x.cos x = -3/8 sin 3 x + cos 3 x = 1 11.(1 (-3/8)) = 16 bulunur. Yanıt: E 8. A = sin 1 x ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır? A) 0 B) 1 C) D) 3 E) 1 sinθ 1 olduğundan A nın en büyük değeri alması için sin (πx π ) = 1 olmalıdır. A = (-1)-1 = 3 En büyük değer. Yanıt: D 106

107 9. tan.tan 4x 1 0 x denkleminin 0 < x < aralığında kaç tane kökü vardır? A) B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 tan a = cot ( π a) ve tan a. cot a = 1 olduğundan tan x. tan 4x = 1 tan 4x = cot x eşitliğinin gerçekleşebilmesi için olmalıdır. cot x = tan π x tan 4x = tan π x 4x = π x + kπ k Z 5x = π + kπ k = 0, 1,, 3, 4 değerleri için x = π, 3π, π, 7π, 9π bulunur. x = π için tan π tanımsız olduğundan denklemim verilen aralıkta 4 kökü vardır. Yanıt: C 10. A) 4 3 D) 3 4 B) 5 3 E) 4 5 C) 5 4 x 4 + y 6 = 1 dir. D(4,0) ve E(0,6) noktalarından geçen doğru denklemi OABC nin kare olması için B(a,a) doğru denklemini sağlamalıdır. a 4 + a 6 = 1; a = 1 5 COA Dik üçgeninde; tanθ = = 3 5 bulunur. Yanıt: B 107

108 ise? f 11. f ( x) f ( x) sin x A) -1 B) 1 1 C) 0 D) 3 E) 1 Verilen eşitlikte x yerine bir kez π, bir kez de - π yazarsak ; f( π ) f π = sin π = 1 f π f π = sin ( π ) = -1. İfadeyi ile çarpıp 1. İle toplarsak; 3f π = 1 ve f π = 1 3 bulunur. Yanıt: D 1. sin A sin C sin A sin C 0 cos B cos D 0 cos B cos D eşitliklerinden kaç tanesi doğrudur? A) 0 B) 1 C) D) 3 E) 4 Kirişler Dörrtgeninde ; Karşılıklı açılar Bütünlerdir. A + C = 180 o ve B + D = 180 o C = A D = 180 o B sin A = sin C sin A = sin (180 0 A) = sin A DOĞRU sin A + sin C = sin A + sin(180 0 A) = sin A + sin A = sin A =0 sin A = 0 ; A = 0 o veya A = 180 o Yanlış cos B + cos D = cos B + cos (180 o B) = cosb cos B = 0 DOĞRU cos B = cos D cos B = cos (180 o B) = - cos B cos B = 0 B=90 0 olmayabilir. tane DOĞRU yanıt var. Yanıt: C 108

109 hangisidir? sin x 6sin x denkleminin [0, ] aralığındaki çözüm kümesi aşağıdakilerden A) B), 3 C), D),, 6 6 E),, 3 3 Eşitliği. ( 4 ) sinx = 6sinx şekline dönüştürür işlem yaparsak; +4sinx = 6sinx ; + 4 sin x = 6 sin x ; sin x 3 sin x + 1 = 0 bulunur. sin x 3 sin x + 1 = 0 denklemini çözdüğümüzde; ( sin x -1)(sin x 1) = 0 sin x 1 = 0 ; sin x = ½ ; x 1 = π 6 ; x = π π 6 = 5π 6 sin x 1 = 0 ; sin x = 1 ; x 3 = π 5 Ç =,, 6 6 Yanıt: D 1 sin 14. tan.csc? A) sec 3 B) csc 3 C) 0 D) csc. sec E) sec. csc tan θ. cscθ + 1 sinθ = sin θ cos θ. 1 sinθ + 1 sinθ = 1 sinθ (1 + sin θ cos θ ) = 1 θ + cos θ sinθ (sin cos ) θ tanθ = sinθ cosθ ; cscθ = 1 sinθ ; sin θ + cos θ = 1 ; secθ = 1 cosθ olduğundan tan θ. cscθ + 1 sinθ = 1 sinθ. 1 cos θ = cscθ. sec θ bulunur. Yanıt: E 109

110 tan cot sec.csc 15.? A) 1 B) sin C) cos D) tan E) cot tanθ = sinθ cosθ cotθ = cosθ sinθ secθ = 1 cosθ cscθ = 1 sinθ sinθ tanθ+cotθ = cosθ +cosθ sinθ 1 secθ.cscθ cosθ. 1 sinθ = sin θ + cos θ = 1 Yanıt: A 16. sin cos x x ise x=? A) 0 B) 4 C) 3 D) E) sin x + cos x = 1 sin x = 1 cos x sin x = cos x + 1 cos x = cos x + cos x + cos x +1 = 0 (cos x + 1) = 0 cos x + 1 = 0 cos x = -1 x = π Yanıt: D 17. sin x cos x 0 denkleminin, 0 aralığındaki kökler toplamı kaçtır? 3 A) 4 5 B) C) 4 7 D) 4 5 E) sin x +cos x = 0 (sin x + cos x) = 0 sin x + sin x.cos x + cos x = 0 sin x + cos x = 1 ve sin x = sin x.cos x 1 + sin x =0 sin x = -1 x = 3π + k. π x1 = 3π 4 ve x = 7π 4 x 1 + x = 3π 4 + 7π 4 = 5π Yanıt: E Commented [ae1]: 110

111 18. tan 4x 1 denkleminin, A) 0 B) C) 4 D) 8 E) 16 0 aralığında kaç tane kökü vardır? tan 4x = 1 tan 4x =tan π 4 4x = π 4 + k.π x = π 16 + k. π 4 k = 0, 1,, 3, 4,5, 6, 7 için denklemin [0, π] aralığında 8 tane kökü var. Yanıt: D o < x < 90 o iken ; I. sec x < 1 II. sec x = 1 III. sec x > 1 Önermeleri için aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) yalnız I doğrudur. B) yalnız III doğrudur. C) yalnız I yanlıştır. D) yalnız III yanlıştır E) I, II ve III doğrudur. 1 sec x = cosx 0 o < x < 90 o için 0 < cos x < 1 olduğundan 1 cosx > 1 Yanıt: D 0. cos.sec? A) 1 B) sec C) csc D) 1 tan E) 1 tan cos θ = cos θ sin θ ; sec θ = 1 cosθ tanθ = sinθ cosθ cos θ.sec θ = (cos θ sin 1 θ) = 1 - sin θ = cos θ cos θ 1 tan θ Yanıt: E 111

112 1. f(x) = cos x ve g(x) = arcsin x ise ; (fog)(x) =? A) x -1 B) 1-x C) x 1 D) 1 x E) x (fog)(x) = f[g(x)] Bileşke fonksiyon tanımı f(x) = cos x ve g(x) = arcsin x (fog)(x) = f[g(x)] = f[arcsin x] = cos [arcsin x] arcsin x = θ dersek cos θ yı bulmamız gerekiyor. arcsin x = arcsin x = θ sin θ = x sin θ + cos θ = 1 x + cos θ = 1 cos θ = 1 x cos θ = 1 x Yanıt: D sin a ise sin a cos a? 7 1 A) B) C) D) E) 401 sin a + cos a = 1 Eşitliğinin karesini alalım. (sin a + cos a) = 1 sin 4 a + sin a.cos a + cos 4 a =1 sin a = sin a.cos a = 1 7 sin a.cos a = 1 14 sin a.cos a = sin 4 a + sin a.cos a + cos 4 a =1 sin 4 a cos4 a = 1 sin 4 a + cos 4 a = = Yanıt: B 11

113 3. x sin x tan denkleminin en küçük pozitif kökü kaç derecedir? A) 15 o B) 30 o C) 45 o D) 60 o E) 75 o tanx = sinx cosx tan x = sin x sinx cosx = sin x cos x = 1 cos x = cos 60o x = ± 60 o + k.360 o En küçük pozitif kök 60 o dir. Yanıt: D 4. cos x 1 cos x denkleminin, 0 aralığındaki kökler toplamı kaçtır? A) 3 B) C) D) E) 3 cos x = 1 cos x cos x + cos x 1 = 0 ( cos x -1)(cos x + 1) = 0 cos x -1 = 0 veya cos x + 1 = 0 cos x -1 = 0 cos x = 1 cos x =cos π 3 x = ± π 3 +k.π x1 = π 3, x = 5π 3 cos x + 1 = 0 cos x = -1 x 3 = π Kökler toplamı = π 3 + 5π 3 + π = 3 π Yanıt: E 113

114 5. arcsin x + arcos x =? A) 6 B) 4 C) 3 D) E) arcsin x = α x = sin α ve arccos x = β x = cos β cos α = 1 x sin β = 1 x arcsin x + arccos x = A α + β = A Her iki tarafın sinüsünü aldığımızda; sin (α + β) = sin A sin α.cos β + cos α. sin β = sin A x. x + 1 x. 1 x = sin A sin A = x + 1 x sin A = 1 sin A = 1 sin A =sin π A = π Yanıt: D 6. A) x için ; 4 4 B) sin 3 x ise C) 0 D) 4 4 sin x cos x? 1 E) sin x cos x = T diyerek her iki tarafın karelerini alalım. (sin x cos x) = T sin x sin x.cos x + cos x = T sin x + cos x = 1 ve sin x = sin x.cos x 1 - sin x =T = T T = 1 4 T = ± x ve sin x = 3 > olduğundan 5π < x < 3π 4 olmalıdır. x, 3. Bölgede ve x,. Bölgededir. Bu aralıkta sin x cos x < 0 olup sin x cos x = < cos x > sin x olacağından Yanıt: A 114

115 7. x sin x cos denkleminin [0 o,360 o ] aralığında kaç tane kökü vardır? A) 0 B) 1 C) D) 3 E) 4 cos x = sin x cos x sin x = 0 cos x sin x.cos x = 0 sin x = sin x.cos x cos x ( 1 sin x) = 0 cos x = 0 veya 1 sin x = 0 cos x = 0 x 1 = 90 o, x = 70 o 1 sin x = 0 sin x = 1 sin x = sin 30 o x 3 = 30 o ve sin x = sin 150 o x 4 = 150 o olmak üzere denklemim verilen aralıkta dört tane kökü vardır. Yanıt:E 8. tan 1 1 ise? 1 cos 1 cos A) 5 B) 5 4 C) 1 D) 4 5 E) cosθ cosθ cosθ = 1 cosθ (1 + cosθ)(1 cosθ) = 1 cos θ = sin θ = csc θ 1 sin θ + cos θ = 1 ; csc θ = sinθ csc θ = 5 csc θ =. 5 4 = 5 Yanıt: E 115

116 9. y 3sin 4x cos6x fonksiyonunun periyodu nedir? A) 3 B) C) D) E) 4 sin 4x ; periyodu π 4 = π, cos 6x ; periyodu π 6 = π 3 O.K.E.K( π, π ) = π Verilen fonksiyonun periyodu π dir. Yanıt: C 3 sin x 1 cos x 1 cos x sin x 30.? A) csc x B) sec x C).csc x D).sec x E) tan x sin x + cos x = 1 sinx 1 + cosx cosx = sin x + (1 + cosx) = sin x cosx + cos x sinx sinx(1 + cosx) sinx(1 + cosx) 1 sinx = csc x = 1+1+cosx = (1+cosx) = = cscx sinx(1+cosx) sinx(1+cosx) sinx Yanıt: C o o 31. csc x + = 0 denkleminin 0 x 360 aralığındaki çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A){60 o,300 o } B){30 o,330 o } C){10 o,40 o } D) {150 o,10 o } E) {10 o,330 o } 1 csc x = sinx olduğundan ; csc x + = 0 1 sinx + = 0 sin x +1 = 0 sin x = - 1 sin x =sin(180 o +30 o ) x = 10 o sin x = sin(360 o -30 o ) x = 330 o Ç = {10 o,330 o } Yanıt: E 116

117 o o o o 3. sin 0 sin 1 sin... sin 90? A) 45 B) 45,5 C) 45 D) 91 E) 45 3 sin 0 o =cos 90 o ; sin 1 0 =cos89 o ; sin o =cos 88 0.Tümler açılar. Yerlerine yazılır ve sin x + cos x = 1 özdeşliği kullanılırsa ; sin 0 o +sin 1 o +sin o + +sin 90 o = cos 90 o +cos 89 o +cos 88 o + +sin 90 o = sin 45 o = ,5 = 45,5 45 tane 1 var, sin45 o =1/ Yanıt: B 1 cos8 33.? A) sin 4 B) cos 4 C) sin D) cos E) 4 sin cos 8θ = cos.4θ = 1 sin 4θ dır. cos a = 1 sin a 1 cos8θ = 1 (1 sin 4θ) = sin 4θ = sin 4θ Yanıt: A 34. sec x tan x cot x denkleminin bir kökü aşağıdakilerden hangisidir? A) 0 B) 4 C) 3 D) E) Hiç biri sec x = 1 cosx 1 cosx = sinx cos x + cosx sin x ; tan x = sinx cosx ; cot x = 1 = sin x+cos x cosx sinx.cosx cos x sin x Yerlerine yazılırsa; sin x + cos x = 1 sin x = 1 sin x = sin π x = π Olamaz. (secant tanımsız) Yanıt: E 117

118 1 1 cos x 1 1 cos x 35.? A) sec x B) csc x C) sec x D) csc x E) 1 1 sin θ + cos θ = 1 ; csc θ = sinθ = 1 cosθ+1+cosθ = = = 1+cosθ 1 cosθ (1+cosθ)(1 cosθ) 1 cos θ sin θ csc θ 36. A) 15 B) 16 C) 18 D) 0 E) 5 EBC üçgeninde; tan θ = EAC üçgeninde; tan θ = x+9 10 x x x x 40 = x x x 40 x+9 10 x x x 10 x+9 40 x x x 40 tan a tan b tan (a-b) = 1+tan a.tan b Taraf tarafa eşitlersek; 4 = 1 x +9x+1600 x +9x+100 x + 9x 400 = 0 (x -16)(x +5) = 0 x = 16 Yanıt: B 118

119 37. ABC üçgeninde ; 3a = b = 3c ise tan? A A) 1 5 B) 1 6 C) 1 7 D) 1 E) 3 1 3a = b = 3c = 6K dersek; a = K, b = 3K, c = K a = b + c - bc.cos A Kosinüs teoreminde yerine yazılırsa; 4K = 9K + 4K.3K.K.cos A cos A = 3 4 tan A = 7 3 sin A = 7 4 tan A = 1 cos A sin A = = 1 7 Yanıt: C sin 3x sin x cos3x cos x 38.? A) tan x B) tan x C) cot x D) cot x E) sec x Uygulandığında; sin3x+sinx = sinx.cosx = tanx bulunur. Yanıt:B cos3x+cosx cosx.cosx 119

120 39. A açısı dik açı olan bir ABC üçgeninde ; 1 cos C sin B cosc ise B açısının ölçüsü kaç derecedir? A) 30 O B) 36 O C) 45 O D) 60 O E) 75 O B + C = 90 O, B = C, sin B = sin(90 o - C) = cos C Tümler açılar. cos C + sin B cos C = cos C + cos C cos C =cos C = 1 cos C = 1 cos C = cos 60 o C = 60 O C = 30 o B + C = 90 O B + 30 O = 90 O B = 60 O Yanıt: D 40. A) 7 1 B) 7 9 C) 9 7 D) E) 9 KAE üçgeninde; A iç açısı ile θ iç açısının toplamı E deki dış açıya eşittir. θ = E A tan θ = tan(e A) = tane tana 1+tanE.tanA EBC de tan E = 3, ABF de tan A = tan θ = 1+3. = Yanıt: B HATA NEREDE? 10

121 Soldaki üçgen 7 parçadan oluşmuştur. Ortadaki x1 dikdörtgen çıkarıldığında kalan 6 parça ile sağdaki üçgen oluşturuluyor. Yapılan işlemde bir hata varmı? HATA! A, B, C Noktaları Doğrusal göründükleri halde Doğrusal değiller olması doğrusal değiller. Doğrusal olmaları için x ve y açılarının eşit olması (Yöndeş) gerekir. ABD üçgeninde tan x = 3/7 iken BCE üçgeninde tan y = /5 tir. 11

122 Dört parçadan oluşan soldaki karenin alanı 64 birim karedir. Aynı parçalardan oluşturulan sağdaki dikdörtgenin alanı 65 birim karedir. AYNI PARÇALARDAN OLUŞMUŞ ŞEKİLLERE BAKARAK 64 = 65 DİYEBİLİRMİYİZ??? 1

123 KARMAKARIŞIK sin a + sin b = sin a+b.cosa b sin 0 o + sin 40 o = sin 30 o.cos 10 o =sin x sin 30 o =1/ cos 10 o = sin 80 o.(1/).cos 10 o = sin x sin 80 o = sin x x = 80 o 13

124 sin x = sin x.cos x ; cos x = cos x-1 sinx = sinx.cosx = sinx 1+cosx 1+cos x 1 cosx = tanx = 3 = a b ; a + b = 5 A =.B ; A enbüyük, B en küçük x 1, x, x+1 kenar uzunlukları. a = x+1, b = x-1, c = x Büyük açı karşısında büyük kenar bulunur. b = a +c -ac.cos B Kosinüs Teoremi. (x-1) =(x+1) +x -(x+1)x.cos B (1) a sina = b sinb Sinüs teoremi x+1 = x 1 ; x+1 = x 1 sinb sinb sinb.cosb sinb x+1 cos B = (x 1) () (1) ve () den; x = 5 ve cos B = 3 4 Üslü sayı özelliklerinden; sinx > 1 sinx > 0 3 cosx < 1 cosx < 0 sinüsün pozitif, kosinüsün neggatif olduğu bölge,. Bölgedir.. Bölgede bulunan açı 140 o dir. 14

125 sinx+3 tanx+3secx = = cosx sinx+3. sinx cosx cosx a 3 + b 3 = (a + b)(a ab + b ) iki küp toplamı (tanx+cotx) =tan x+tanx.cotx+cot x tanx.cotx=1 ; tan x+cot x=a - tan 3 x+cot 3 x=(tanx+cotx)(tan x-tanx.cotx+cot x) tan 3 x+cot 3 x=a(a --1)=a 3-3a cotx = 1 tanx (tanx) sinx =( 1 tanx )cosx =(tanx) - cosx sinx = -cosx ; sinx+cosx=0 (sinx+cosx) =sin x+sinx.cosx+cos x=0 1 + sin x = 0 ; sin x = -1 = sin 70 o x =70 o ; x = 135 o veya x = 45 o NOT: tanx=cotx=1 olarak ta düşünülebilir. cosa.cosb = 1 [cos(a + b) + cos(a b)] cosx.cos3x= 1 (cos4x + cosx) cosa=cos a-1 ; cos4x=cos x-1 cosx.cosx.cos3x= 1 [cos4x + cosx]cosx = 1 [cos x-1+cosx]cosx =1 cos 3 x+cos x-cosx-=0 denkleminden cosx = 1, x = k.π, x =k.π 15

126 (sinθ + cosθ) sinθ = sin θ + sinθcosθ + cos θ sinθ sin θ + cos θ = 1 ; sinθ = sinθ. cosθ = 1 + sinθ sinθ = 1 a b = (a-b)(a + b) İki kare farkı sin 8 75 o cos 8 75 o = (cos 4 75 o -sin 4 75 o )(cos 4 75 o +sin 4 75 o ) cos 4 75 o -sin 4 75 o = (cos 75 o -sin 75 o )( cos 75 o +sin 75 o ) (cos 75 o +sin 75 o ) = cos 4 75 o +sin 75 o.cos 75 o +sin 4 75 o cos a = cos a sin a ; sin a + cos a = 1 sin a = sin a.cos a sin 150 o = sin75.o cos75 o = 1 cos 75 o -sin 75 o = cos 150 o =- 3 sin 8 75 o cos 8 75 o = - (- 3 1 ). 1. (1-. ) = sin x = sin x.cos x cos x = ± 1 sin x = = Bölgede kosinüs negatiftir. sin x = ( ) =

127 x 1 + x = -a ; x 1.x = b a 4 b = (sin 15 o + cos 15 o ) 4 (sin 15 o.cos 15 o ) = [(sin 15 o + cos 15 o ) ] ( 1 sin 30o ) ; sin a = sin a.cos a ; sin 30 o = 1 = [ sin 15 o + sin 15 o.cos 15 o + cos 15 o ] ( 1. 1 ) ; sin 15 o + cos 15 o = 1 = [ 1 + sin 30 o ] - 1 = [ ] - 1 = 9-1 = cos 3θ = 4.cos 3 θ 3 cos θ f(θ) = cosθ + 4.cos3 θ 3 cos θ cosθ = cos θ + 4. cos θ 3 f(θ) = 4. cos θ + cos θ 3 İkinci derece fonksiyon x 1 +x = b a için en küçük değerini alır. Bu değer de f( b a ) dir. b a = ve f(- 1 8 ) = =

128 sin x = sin x.cos x sin x.cos x + sin x = cos x + 1 sin x (cos x + 1) cos x -1 = 0 (cos x + 1)( sin x 1) = 0 cos x + 1 = 0 cos x = - 1 cos x = cos π x = π İstenen aralıkta değil. sin x 1 = 0 sin x = ½ sin x = sin π 6 = sin (π π 6 ) x = π 6 veya x = 5π 6 x1+x=π 5π o π = 75o 18

129 tan A tan B + tan A tan C + tan B tan C = tan A tan B + tan C (tan A + tan B ) = tan A tan B + tan C ( sina+b cos A cosb sin (a+b) ) tan a + tan b = cosa.cosb ABC üçgeninde; A + B + C =180 o, C = 180 O (A + B), tan C = tan (90O A+B A+B ) = cot = cos A+B sin A+B C = 90O A+B = tan A tan B + cosa+b sin A+B. ( sina+b cos A cosb ) = tan A tan B + cosa+b cos A cosb = tan A tan B + cos A. cos B sin A. sin B cos A. cos B = tan A tan B + 1 tan A tan B = 1 19

130 130

131 131

132 13

133 133

134 134

135 135

136 136

137 137

138 BU DA NE? 138

139 139

140 140

141 141

142 ÖZET 14

143 143

144 =HAP= 144