TRANSPORT PROBLEMLERİ İÇİN FARKLI BİR ATAMA YAKLAŞIMI. İstanbul Üniversitesi İşletme Fakültesi Sayısal Yöntemler Anabilim Dalı

Transkript

1 önetm, ıl: 9, Sayı: 59, Şubat 008 TRANSORT ROBLEMLERİ İÇİN FARKLI BİR ATAMA AKLAŞIMI r. oç. r. Ergün EROGLU Arş. Grv. Fatma LORCU İstanbul Ünverstes İşletme Fakültes Sayısal öntemler Anablm alı Bu çalışmaa transport problemler çn farklı br atama yaklaşımı tanıtılmaktaır. Vogel aklaşım öntem (Vogel's Approxmaton Metho - VAM) le başlangıç çözümü oluşturulurken, saece malyetleren oğan farklar kkate alınmakta, pazarların talep mktarları/üretm merkezlernn (epoların) kapasteler kkate alınmamaktaır. Oysa arz ecye göre pazarların htyacı olan mal mktarları, talep eene göre e üretm merkezlernn mktarları önemlr. Blnğ gb, toplam malyetn k parametres varır: Brm malyet ve mal mktarı. Bu yaklaşıma, taşıma problemlerne başlangıç çözümü oluşturulurken hem malyet hem e pazar talepler/üretm merkezlernn kapasteler kkate alınmaktaır. azar talepler/üretm merkezlernn kapasteler le brm malyetlern çarpımının en yüksek oluğu sütun ve satıra, en üşük malyetl olan hücreye en fazla sayıa atama yapılarak, transport problemlernn çözümüne farklı br yaklaşım getrlmekter. Özellkle pazar taleplernn/üretm merkezlernn kapastelernn brbrlerne göre farklarının büyük oluğu taşıma problemlernn çözümüne bu yaklaşım kullanılarak en uygun (optmum) çözüme eşt veya aha az sayıak yneleme le ulaşılmaktaır. aklaşım brkaç örnek üzerne test elmekte ve sonuçlar raporlanmaktaır. Anahtar Sözcükler: Transport problem, VAM, lı pazar talepler, Üretm merkez kapasteler A IFFERENT ASSIGNMENT AROACH FOR THE TRANSORTATION ROBLEMS In ths stuy, a fferent assgnment approach s ntrouce for the transportaton problems. Whle the ntal soluton s performe by Vogel's Approxmaton Metho (VAM), fferences that are comprse only unt transportaton cost are consere but the emans of the markets/supples of proucton centers are not consere. However the prouct quantty that markets nee an the capacty of proucton center are mportant. It s known that, there are two parameters of total cost, unt cost an quantty of the prouct. In ths approach, whle the ntal soluton s performe for the transportaton problems, both unt transportaton cost an emans of the market/supples of proucton center are taken nto account. A fferent assgnment approach s apple to the soluton of the transportaton problems by assgnng maxmum quantty of the prouct to the cell that has mnmum transportaton cost n the rows an columns where the multplcaton of the eman of the markets/supply of the proucton centers an unt transportaton cost s maxmum. The optmal soluton s obtane wth equal or less number of teraton usng ths approach for the soluton of the unbalance transportaton problems, especally when the emans of the markets/supples of proucton centers are hghly fferent from each other. The approach n ths paper s teste on a few fferent problems an the results are reporte. Key Wors: Transportaton problem, VAM, fferent market emans, proucton center supples

2 GIRIŞ Transport problem; hammae, yarı mamul, mamul, malzeme veya ğer araç gereçlern teark bölgelernen talep bölgelerne taşınmasıır. Transport problemlerne amaç taşımanın mnmum malyetle gerçekleştreblmes çn hang teark bölgesnen hang talep bölgesne ne kaar ürünün taşınması gerektğn belrlemektr. Transport problemne at oğrusal programlama moel aşağıa verlmekter. Moele bulunan C eğer,. bölgeen. bölgeye br brm ürün taşımanın malyetn, x J eğer se,. bölgeen. bölgeye taşınan mktarı göstermekter. Moel kısıtlarına bulunan s, teark bölgesnn arzını, se talep bölgesnn talebn göstermekter. Bazı urumlara problem maksmzasyon problem halne getrleblr. ^Mn ~ () İ ^x ı } <s '^x > x t >0 C ' X Ü bütün /'er çn bütün 'ler çn bütün /',y'ler çn Transport problemler le lgl lk çalışma 90 yılına A.N. Tolsto tarafınan yapılmıştır (Schrver, 00). Tolsto, "Methos of fnng the mnmal klometrage n cargo transportaton plannng n space" alı makalesne esk Sovyetler Brlğnn tren yolu ağını esas almıştır. Bu tren yolu ağına, kaynaklar ve varış yerler arasına tuz, çmento ve ğer yüklern taşınması le lgl br uygulama gerçekleştrlmştr. Uygulamanın yapılığı yıl ve blnen teknkler göz önüne alınığına, olukça büyük boyutlu br problemn (0x68 boyutuna) optmal çözümüne ulaşılmıştır. Tolsto'nn yaptığı bu çalışma 90 yılına olmasına rağmen, transport problemlernn lk formülasyonu 94 yılına F.L. Htchcock tarafınan yapılmıştır. Htchcock, bugün kullanığımız transport problemlernn formülasyonuna benzer, fakat aha bast yapıa transport problemlern petrol enüstrsne uygulamıştır (Öztürk, 994). aha sonra Kantorovch ve T.C. Koopmans tarafınan optmallk çn öngü krter gelştrlmştr. Transport problemlernn lk oğrusal programlama moel se G.B. antzg tarafınan kurulmuştur (Tulunay, 980). Bugün, transport problemlernn optmal çözümüne ulaşablmek çn gelştrlen pek çok yöntem ve yaklaşım bulunmaktaır. Bu yöntemlern en çok blnenler; 954 yılına Charnes ve Cooper tarafınan gelştrlen atlama taşı yöntem (Charnes ve ğerler, 954), antzg tarafınan gelştrlen MOI yöntem (mofe strbuton) ve ğer yöntemlerr (Mathraan ve ğerler, 004). Transport problemlernn optmal çözüme ulaştırılması sırasınak lk aım br başlangıç çözümün oluşturulmasıır. Oluşturulan bu başlangıç çözüm çoğu zaman problemn optmal çözümü eğlr. Bu uruma optmal çözüme ulaşmak çn blnen yöntemler kullanılmaktaır. Transport problemlernn başlangıç çözümü çn lk öner antzg tarafınan yapılmış, Charnes ve Cooper tarafınan se Kuzey Batı Köşe Kuralı veya Atlama Taşı öntem gelştrlmştr (Trol, M., B., C.,987). Bugün başlangıç çözüm çn e gelştrlen pek çok yaklaşım bulunmaktaır. Bunlaran bazıları şunlarır: Mnmum satır kuralı, Mnmum sütun kuralı, üzeltlmş mnmum satır kuralı, üzeltlmş mnmum sütun kuralı, Kestrme ağıtım yöntem, VAM, Russel yaklaşım yöntem (Tulunay, 98), VAM'ın benzer olan Goyal (Mathraan ve ğerler, 004) ve Ramakrshnan yaklaşımları (Ramakrshnan, 988), Malyet-TOM (Total Opportunty Cost Metho) (Kırca ve ğerler, 990), Sharma tarafınan gelştrlen yöntemler (Sharma ve ğerler, 000). ukarıa aı geçen başlangıç çözümler çersne en çok kullanılan yöntem, VAM'ır. Bu yöntemn başlangıç ağıtımları en uygun çözüme olukça yakınır (Rggs ve ğerler, 975).. VAM ve lger AKLAŞIMLAR VAM, W.R Vogel tarafınan, 958 yılına ortaya atılmıştır (Ünsal ve ğerler, 000). VAM, en üşük malyetler yöntemnn gelştrlmş halr ve genele en y başlangıç çözümü vermekter (Taha, 997). VAM le başlangıç ağıtımı yapılırken, tüm üretm kaynaklarınan (fabrka), pazarlara ürünün taşınması esnasına brm malyetler hesaba katılmakta ve en üşük malyet seçmemenn ortaya çıkarığı ek ger (ceza veya fırsat malyet) hesaplanmaktaır. Fakat metotta saece br brm ürün çn ortaya çıkacak fırsat malyetler göz önüne alınmaktaır. aha önceen e belrtlğ gb, VAM başlangıç ağıtımlarına en y başlangıç çözümü vermekter. Fakat özellkle engelenmemş transport problemlerne, ummy eğşkenlere "0" eğernn verlmes ve atama yapılırken en üşük malyetl hücre olarak bu eğşkenlern görülerek lk atamaların bunlara

3 yapılması, başlangıç çözüme optmallğe ulaşmayı engellemekter. VAM metounun engelenmemş transport problemlerne bu eksklğn germek çn Shmshak tarafınan ortaya atılan metot (Shmshak ve ğerler, 98), lk aşamaa bu eksklğ ortaan kalıracak gb gözükse e VAM metounak hataya tekrar üşülmüştür. Metotta, ummy eğşkenlere verlen "0" eğer, ceza puanının hesaplanmasına göz arı elmş, fakat ağıtım yapılırken göz arı elen bu hücreler yne göz önüne alınıp, en yüksek malyetn, bu hücrelere yapılmayan atamalaran kaynaklanacağı üşünces ön plana çıkarılarak, lk atamanın bu hücrelere yapılması sağlanmıştır (Goyal, 984). Bzm buraa, Shmshak'n öne sürüğü metoa katkımız; ceza puanı hesaplanmasına yok sayılan hücrelern ağıtım esnasına a göz arı elerek, lk atama yerne son atamanın bu hücrelere yapılmasıır. Vogel ve Shmshak'ın yaklaşımlarını brleştren br ğer yaklaşıma Goyal tarafınan ortaya atılmıştır (Goyal, 984). Goyal, ummy eğşkenlere matrste bulunan en büyük malyet atayarak ummy eğşkenlere yapılacak lk atamaları gecktrecek aha uygun br çözüm ele etmştr. Kırca ve Şatır tarafınan öne sürülen TOM (Total Opportunty-Cost Metho) a, hem satır hem e sütunak en üşük malyet kullanılarak br ceza puanı hesaplanmış fakat bu ceza puanı VAM'an farklı olarak en üşük cezaya yapılablecek en çok atamayı ele etmek çn kullanılmıştır. Böylece VAM'a saece satır ve sütun göz önüne alınarak hesaplanan ceza puanlarının getrğ zayıflık ortaan kalırılmıştır (Kırca ve ğerler, 990). Gelştrlen TOM metounun VAM le karşılaştırması 480 problem üzerne yapılmış ve 7 probleme TOM'un aha y sonuç verğ gözlenrken engelenmemş transport problemlerne se TOM'un aynı başarıyı gösteremeğ görülmüştür. engelenmemş transport problemlernn TOM metou le çözümü esnasına VAM metouna oluğu gb ummy eğşkenlere "0" atanmıştır. VAM metouna eksklk olarak ler sürüğümüz; lk atamanın bu hücrelere yapılması bu metotta a karşımıza çıkmıştır. Goyal, bu zayıflığı aha öncek çalışmalarına benzer şekle ummy eğşkenlere "0" yerne matrsn en büyük malyet eğern ataıktan sonra metou uygulayarak germştr (Goyal, 99). ürünün fırsat malyetne ayalı hesaplanan ceza puanlarına göre yapılmaktaır. Oysa bu çalışmaa ler sürülen transport atama yaklaşımına, toplam ceza (toplam fırsat malyet) puanı esas alınarak atamalar yapılmaktaır. ceza puanı = Brm ceza malyet Mktar veya fırsat malyet = malyet Mktar () şeklne hesaplanmaktaır... engelenmş Transport roblemlerne en Metoun Uygulanması Üretm merkezlernn (epo) kapasteler toplamının (Es,) pazar talepler toplamına ÇL) eşt olması urumuna transport problemne engelenmş transport problem enr. Üç üretm merkez (epo) ve üç pazarı bulunan engelenmş br transport problem örneğ Şekl 'e gösterlmekter. Arz merkezler (epolar) harf le talep merkezler (pazarlar) se harf le gösterlmekter. engelenmş transport problemlerne, üretc (kaynak) çn elnek ürünün tükenmes amaç eğl, tüm pazarların oyurulması amacınan yola çıkılarak her br pazara at toplam fırsat malyetler hesaplanacaktır. Bunun çn; Aım : Her br pazara/epoya at en üşük k malyet arasınak fark bulunarak fırsat malyetler hesaplanır. Aım : Hesaplanan fırsat malyetler, lgl pazar taleb/üretm merkezlernn (epoların) mktarları le çarpılarak toplam fırsat malyetler hesaplanır. \ R c s. s c. GELİŞTİRİLEN ATAMA AKLAŞIMI s ukarıa belrtlğ gb VAM Metouna, en üşük malyet seçmemekten kaynaklanan fırsat malyetlerne göre, en çok malyetn ortaya çıkmasının önlenmes stenmekter. Fakat VAM yöntemne, fırsat malyet saece br brm ürün göz önüne alınarak hesaplanmıştır. olayısıyla atamalar, saece br brm. J E \ Şekl. engelenmş transport problem moel (Es; =^)

4 Aım : Tüm pazarların ve üretm merkezlernn (epoların) toplam fırsat malyetler hesaplanıktan sonra, en yüksek toplam fırsat malyetne sahp üretm merkezlernn (epo) veya pazarak en üşük malyetl hücreye mümkün oluğunca çok atama yapılır. Aım 4: Kalan arz ve talepler hesaplanır. Sıfırlanan satır ya a sütun ptal elr. Aım 'e tekrar ger önülür. Öne sürülen yaklaşıma, toplam en yüksek toplam fırsat malyetn yaratacak olan sütunak en üşük malyete atama yapılarak en büyük ceza öemekten kaçınılmaktaır. Fakat TOM metounun sağlaığı hesaplama kolaylığı bu metotta sağlanamamakta ve VAM metouna oluğu gb karşılanan talep ya a bten arz matrsten çıkartılıp, yen fırsat malyetlernn hesaplanmasına htyaç uyulmaktaır. Öne sürülen yaklaşım, engelenmş transport problemlerne VAM metou le aynı ya a aha kötü sonuçlar verrken engelenmemş transport problemlerne VAM'ın başlangıç çözümünen genellkle aha y sonuçlar vermekter... engelenmemş Transport roblemlerne en Metoun Uygulanması Üretm merkezlernn (epo) kapasteler toplamının ÇLs,) pazar talepler toplamınan ÇL) büyük olması veya üretm merkezlernn (epo) kapasteler toplamının pazar talepler toplamınan küçük olması urumuna transport problem engelenmemş transport problem olarak tanımlanır. Üretm merkezlernn (epo) kapasteler toplamının pazar talepler toplamınan büyük (Ss^Sö^olması urumuna, yeek (sanal) br pazar ( ), küçük (LsfL) olması urumuna se yeek (sanal) br ürem merkez (epo) ( ) eklenr. VAM yöntemne eklenen pazara at hücrelerek brm malyetlere "0" eğer atanır. Bu çalışmaa öne sürülen transport yaklaşımına eklenen üretm merkez (epo) ya a pazar hücrelernn her brne brm malyet olarak "0" eğer eğl, Goyal'ın metouna oluğu gb matrstek en büyük malyet eğer (Maks { C }) eğer atanmaktaır. aha sonra öne sürülen yaklaşım bütün aımları le uygulanmaktaır. Aşağıa brm taşıma malyetler, üretm merkezlernn (epo) kapasteler ve pazar talepler belrlenmş olan br engelenmemş transport problem örneğne at başlangıç ağıtım planı öne sürülen atama yaklaşımının bütün aımları zlenerek ele elmekter. Tablo. Brnc Hücre ağıtımı AA ] J±J ] l] l] ] ^\ Brnc hücre ağıtımına eposunun kapastesnn tükenmes olayısıyla tabloa eposuna at satır slnmekte ve knc hücre ağıtımı çn gelştrlen yaklaşımın bütün aımları ynelenmekte ve Tablo ele elmekter. İknc hücre ağıtımına eposunun kapastesnn tükenmes olayısıyla tabloa eposuna at satır slnmekte ve üçüncü hücre ağıtımı çn gelştrlen yaklaşımın bütün aımları ynelenmekte ve Tablo ele elmekter. Üçüncü hücre ağıtımına pazarının talebnn tamamının karşılanmasınan olayı pazarına at sütun slnmekte ve eposunun kapastes aynı orana azaltılmaktaır. örüncü hücre ağıtımı çn gelştrlen yaklaşımın bütün aımları ynelenmekte ve aşağıak Tablo 4 ele elmekter. Tablo. İknc Hücre ağıtımı. 0] 40 9] J±J J±] ] ] ] ] ] ^\ 4

5 Tablo. Üçüncü Hücre ağıtımı \ R \. s. 4 r r 7 r r r r \ \^ Tablo 4. örüncü Hücre ağıtımı \ X^ Tablo 5. Beşnc Hücre ağıtımı. 5 0 s. ı 0 Tablo 6. Başlangıç ağıtım lanı 5 \. 5 5^\ örüncü hücre ağıtımınan sonra tablonun ger kalan atamaları arz ve talep engeler kkate alınarak uygun bçme yapılablmekteter. Bütün üretm merkezlernn (epo) kapasteler kullanılıp, talepler karşılanıktan sonra, öncek hücre atamaları kkate alınarak probleme lşkn başlangıç ağıtım planı oluşturulmaktaır. Gelştrlen yaklaşımla ele elen başlangıç ağıtım planı çn oluşan toplam malyet 680 brm, aynı problemn VAM le ele elen başlangıç ağıtım planı çn 745 brm olarak bulunmaktaır. Aşağıak tablolara k farklı transport problemnn ayrıntıya fazla grlmeen VAM ve gelştrlen transport yaklaşımı le çözümler gösterlmekter. 6 Tablo 7. Örnek roblem epo Kapasteler azar 4 5 Talepler Örnek roblem (Goyal, 984, s: ) Optmal Çözüm: 65 Tablo 8. Vam Metou İle Oluşturulan ağıtımı Başlangıç epo Kapasteler azar Talepler VAM Metou le Başlangıç Çözüm: ı J s ı Tablo 9.Gelştrlen Transport aklaşımı İle Oluşt u ^. epo Kapasteler azar Talepler

6 Gelştrlen yaklaşım le oluşturulan başlangıç çözüm 75 Tablo 0. Örnek roblem azar Talepler 4 epo Kapasteler Ortaya konan bu yen yaklaşım, transport problemlernn başlangıç ağıtım planı oluşturulurken pazar taleplernn/üretm merkezlernn (epo) kapastelernn büyüklüklernn kkate alınmasının optmum çözüme gen yola çoğu zaman aımları kısaltableceğn göstermekter. Ancak, bu yen yaklaşıma lşkn br blgsayar program moülünün bulunmaması neen le, enenmş problemlern saece başlangıç çözümler ncelenmekte, optmal olmaması urumuna kaç aım sonra optmal çözüme ulaşılığı gözlenememekter. Bu yaklaşım ışığına, çeştl algortmalar ve çeştl program moüller gelştrlerek aha büyük boyuta sahp transport problemlernn optmum ağıtım planları yapılablecektr. KANAKÇA Optmal Çözüm: 570, VAM metou le başlangıç çözümü : 6540 Gelştrlen yaklaşım le başlangıç çözümü : 5970 Bu çalışmaa öne sürülen transport atama yaklaşımı, küçük boyutlu engelenmş veya engelenmemş 0 tane farklı transport problem üzerne manüel olarak enenmş ve özellkle engelenmemş problemler ağırlıkta olmak üzere % 60'ına yakınına başlangıç ağıtım planlarına lşkn malyetlern VAM yöntem le bulunan sonuçlaran aha küçük oluğu görülmüştür. SONUÇ Özellkle pazarlama fonksyonu açısınan bakılığına, ağıtım yapan şletmelern veya ağıtıcıların pazar paylarını kkate almaları, aha küçük taşıma malyetlerne sahp küçük pazarlar yerne büyük talebe sahp pazarların oyurulması, pazar paylarını kaybetmemeler açısınan önem kazanmaktaır. Bu neenle şletmeler, ağıtım yaparken saece brm taşıma malyetlern kkate almak yerne toplam fırsat malyetn mnmum yapacak ağıtımı gerçekleştrmey ve buna bağlı olarak büyük pazarlara ürünlern ulaştırablmey heeflemekterler. Bu çalışmaa, özellkle engelenmemş transport problemlernn başlangıç çözümlernn bulunmasına yönelk, saece brm taşıma malyetlern kkate almak yerne, toplam fırsat malyetn mnmum yapacak ağıtımı gerçekleştrecek yen br yaklaşım ortaya konmaktaır. Ortaya konan bu yöntem, yukarıa verlen örnekler ve bu örnekler ışına yne çok sayıa engelenmemş transport problem üzerne enenmş ve br çoğunun başlangıç çözümüne, VAM'a ele elen eğerlere eşt veya optmum çözüme aha yakın eğerler ele elmştr. Charnes, A. ve Cooper, W.W., (954), "The Steppng- Stone Metho for Explanng Lnear rogrammng Calculatons n Transportaton roblems", Management Scence (), ss: Goyal, S., K., (984), "Improvng VAM for Unbalance Transportaton roblems", Journal of the Operatonal Research Socety, Vol: 5, no:, s. -4. Goyal, S.K., (99) "A Note on a Heurstc for an Intal Soluton for the Transportaton roblem", Journal of the Operatonal Research Socety, Vol:4, No:9, s Kırca,Ö., Şatır A., (990), "A Heurstc for Obtanng an Intal Soluton for the Transportaton roblem" Journal of the Operatonal Research Socety, Vol:4, No:9, ss: Mathraan, M., Meenaksh, B., (004), "Expermental Analyss of Some Varants of Vogel's Approxmaton Metho", Asa-asfc Journal of Operatonal Research, Vol:, No:4 ss: Öztürk A., (994), öneylem Araştırması, Ekn Ktabev, s: 7. Ramakrshnan, C.C., (988), "An Improvement to Goyal's Mofe VAM for Unbalance Transportaton roblem", Journal of the Operatonal Research Socety, 9, ss: Rggs, J.L, Inoue, M., S., (975), Introucton to Operatons Research an Management Scence: A General System Approach, Mc Graw-Hll Book Comp., Newyork, s:. Schrver A., (00), "On the Hstory of the Transportaton an Maxmum Flow roblems", Mathematcal rogrammng, 9, Sharma, R.R.K. ve Sharma, K.,., (000), "A New ual Base roceure for the Transportaton 6

7 roblem", European Journal of Operatonal Research,, ss: Shmshak,.G., Kaslık, J.A. ve Barclay, T.., (98), "A Mofcaton of Vogel's Approxmaton Metho Through The Use of Heurstcs", Can. J. Opl. Res. Inf. rocessng, 9, ss: Trol, M., B., C., (987), Computatonal Aspects an Statstcal Applcatons of the Transportaton roblem of Lnear rogrammng, Unversty of Ames, Iowa, ayınlanmamış oktora Tez. Taha, H. A., öneylem Araştırması, Çev: S. A. Baray, Ş. Esnaf, 6. Basıman Çevr, Lteratür ayınları, 4, Eylül 000. Tulunay,., (980), Matematk rogramlama ve İşletme Uygulamaları, Sermet Matbaası, s:40. Ünsal F. M. Ünsal, Rüzgar, B., Rüzgar, N, (000), İşletme ve Ekonom İçn Blgsayar Uygulamalı Sayısal öntemler, Türkmen Ktapev, s:7. 7