ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

Transkript

1 ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ Savaş OKUR PARAMETRİK VE PARAMETRİK OLMAYAN BASİT DOĞRUSAL REGRESYON ANALİZ YÖNTEMLERİNİN KARŞILAŞTIRMALI OLARAK İNCELENMESİ ZOOTEKNİ ANABİLİM DALI ADANA, 009

2 ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ PARAMETRİK VE PARAMETRİK OLMAYAN BASİT DOĞRUSAL REGRESYON ANALİZ YÖNTEMLERİNİN KARŞILAŞTIRMALI OLARAK İNCELENMESİ Savaş OKUR ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ ZOOTEKNİ ANABİLİM DALI Bu Tez 0/03/009 Tarhnde Aşağıdak Jür Üyeler Tarafından Oybrlğ/ Oyçokluğu İle Kabul Edlmştr. İmza. İmza İmza.. Doç.Dr. Nazan KOLUMAN Prof.Dr.G. Tamer KAYAALP Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER DARCAN DANIŞMAN ÜYE ÜYE Bu tez Ensttümüz Zootekn Anablm Dalında hazırlanmıştır. Kod No: Prof.Dr. Azz ERTUNÇ Ensttü Müdürü İmza ve Mühür Not: Bu tezde kullanılan özgün ve başka kaynaktan yapılan bldrşlern, çzelge, şekl ve fotoğrafların kaynak gösterlmeden kullanımı, 5846 sayılı Fkr ve Sanat Eserler kanunundak hükümlere tabdr.

3 ÖZ YÜKSEK LİSANS TEZİ PARAMETRİK VE PARAMETRİK OLMAYAN DOĞRUSAL REGRESYON ANALİZ YÖNTEMLERİNİN KARŞILAŞTIRMALI OLARAK İNCELENMESİ Savaş OKUR ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ ZOOTEKNİ ANABİLİM DALI Danışman: Doç.Dr. Nazan KOLUMAN DARCAN Yıl : 009, Sayfa: 53 Jür : Doç.Dr. Nazan KOLUMAN DARCAN Prof.Dr. G. Tamer KAYAALP Doç. Dr. Suat ŞAHİNLER Bu çalışmada, parametrk ve parametrk olmayan bast doğrusal regresyon analz yöntemlernn karşılaştırmalı olarak ncelenmes amaçlanmıştır. Parametrk bast doğrusal regresyon analznde e.k.k yöntem, parametrk olmayan bast doğrusal regresyon analznde medyana göre parametre tahmn yapan, Mood-Brown ve Thel yöntemler, parametrk olmayan bast doğrusal regresyon fonksyonunun tahmn yöntem, en yakın komşu (k-nn) tahmn yöntemler tanıtılmıştır. Yaş ve doğum ağırlığı arasında doğrusal br lşknn olup olmadığı hem parametrk hem de parametrk olmayan bast doğrusal regresyon analz yöntemleryle ncelenmştr. Parametrk bast doğrusal regresyon analznde yaş ve doğum ağırlığı arasında lşk olmazken, parametrk olmayan bast doğrusal regresyon analznde se, Mood-Brown ve k-nn yöntemlernden, yaş ve doğum ağırlığı arasında lşk elde edlmş, Thel yöntemnden se lşk elde edlmemştr. Anahtar Kelmeler: Parametrk regresyon, Parametrk olmayan regresyon, Medyan, Fonksyon tahmn. I

4 ABSTRACT MSc THESIS INVESTIGATION OF THE COMPARISONS OF PARAMETRIC AND NON PARAMETRIC LINEAR REGRESSION ANALYSIS METHODS Savaş OKUR DEPARTMENT OF ANIMAL SCIENCE INSTITUTE OF NATURAL AND APPLIED SCIENCES UNIVERSITY OF ÇUKUROVA Supervsor: Doç.Dr. Nazan KOLUMAN DARCAN Year : 009, Sayfa: 53 Jury : Doç.Dr. Nazan KOLUMAN DARCAN Prof.Dr. G. Tamer KAYAALP Doç. Dr. Suat ŞAHİNLER The am of ths work to nvestgate the methods of parametrc and nonparametrc smple lnear regresson calculus by comparng them. The methods of Mood Brown and Thel, whch s least square methods for parametrc smple lnear regresson calculus and parameter estmate accordng to medan for non-parametrc smple lnear regresson calculus, was ntroduced. It was also ntroduced the estmate method of non-parametrc smple lnear regresson functon and the nearest neghborhood estmate methods (k-nn). We nvestgate the queston Are there any lnear relatons between age and weght of born usng parametrc and non-parametrc smple lnear regresson methods. In parametrc case, there are no lnear relatons between them but n nonparametrc case, t s obtaned a relaton from Mood-Brown and k-nn methods. On the other hand t sn t obtaned any relaton from Thel methods. Keywords: Parametrc regresson, Nonparametrc regresson, Medan, Functon estmaton. II

5 TEŞEKKÜR Bu çalışmayı yöneten ve değerl zamanlarını harcayarak yakın lg ve yardımlarını esrgemeyen sayın hocam Prof.Dr. G. Tamer KAYAALP e, Arş.Gör. Gülsen KIRAL ve Arş.Gör. Soner ÇANKAYA ya teşekkürlerm sunarım. III

6 İÇİNDEKİLER SAYFA ÖZ I ABSTRACT...II TEŞEKKÜR III İÇİNDEKİLER...IV ÇİZELGELER DİZİNİ.. VI ŞEKİLLER DİZİNİ..VII. GİRİŞ ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR MATERYAL VE METOT MATERYAL METOT En Küçük Kareler Yöntem Parametrk Bast Doğrusal Regresyonda Kullanımı Medyana Göre Parametre Tahmnnde Bast Regresyon Doğrusunun Tahmn Mood-Brown Yöntem Thel Yöntem k-en Yakın Komşuluk Tahmn Yöntem (k-nn) BULGULAR VE TARTIŞMA En Küçük Kareler Yöntemne At Bulgular Parametrk Bast Doğrusal Regresyon Analznn Belrtme Katsayısının Hesaplanması İle İlgl Bulgular Parametrk Bast Doğrusal Regresyon Analznn Güven Aralığının Bulunması ve Hpotez Testnn Hesaplanması İle İlgl Bulgular En Küçük Kareler Varyans Analz Parametrk Olmayan Mood-Brown Yöntem İle İlgl Bulgular Parametrk Olmayan Thel Yöntem İle İlgl Bulgular Parametrk Olmayan Mood-Brown Hpotez Test İle İlgl Bulgular Parametrk Olmayan β =β 0 Test İle İlgl Bulgular IV

7 4.9. Parametrk Olmayan Thel Yöntem Hpotez Test İle İlgl Bulgular Parametrk Olmayan Bast Doğrusal Regresyon Analznde Eğm Katsayısı İçn Güven Aralığı İle İlgl Bulgular Medyana Göre Parametre Tahmnnn Mood-Brown Varyans Analz Medyana Göre Parametre Tahmnnn Thel Varyans Analz Parametrk Olmayan k-en Yakın Komşuluk Tahmn Yöntem (k- NN) İle İlgl Bulgular Regresyon Fonksyonunun k-nearest Neghbor Varyans Analz SONUÇ VE ÖNERİLER βˆ, R, H.K.O., U, U, Değerlerne Göre Parametrk ve Parametrk Olmayan Bast Doğrusal Regresyon Analz Yöntemlernn Karşılaştırmalı Olarak İncelenmes...4 KAYNAKLAR ÖZGEÇMİŞ V

8 ÇİZELGELER DİZİNİ SAYFA Çzelge 3.. Koyunların Yaşı (X) ve Doğum Ağırlığı (Y) Değerler Tablosu Çzelge 3.. Varyans Analz Tablosu Çzelge 3.3. Varyans Analz Tablosu (Medyan Testne Göre)...5 Çzelge 4.. Yaş (X) ve Doğum Ağırlığı (Y) Değşkenler İçn; E.K.K. Varyans Analz Tablosu Çzelge 4..Yaş (X) ve Doğum Ağırlığı (Y) Değşkenler İçn; Mood- Brown Varyans Analz Tablosu Çzelge 4.3.Yaş (X) ve Doğum Ağırlığı (Y) Değşkenler İçn; Thel Varyans Analz Tablosu Çzelge 4.4.Yaş (X) ve Doğum Ağırlığı (Y) Değşkenler İçn; k-nearest Neghbor Varyans Analz Tablosu Çzelge 5..Çeştl Yöntemlere Göre Elde Edlen Regresyon Parametre Değerler Tablosu Çzelge 5.. Çeştl Yöntemlere Göre Elde Edlen Belrtme Katsayısı ( R ) ve H.K.O., Thel n U ve U Katsayı Değerler tablosu VI

9 ŞEKİLLER DİZİNİ SAYFA Şekl 4.. X ve Y Değşkenler İçn Serplme Dyagramı.38 Şekl 5.. Yöntemlern Belrtme Katsayısına Göre Durumları...44 Şekl 5.. Yöntemlern Hata Kareler Ortalamasına Göre Durumları..45 Şekl 5.3. Yöntemlern Thel n U Katsayısına Göre Durumları..45 Şekl 5.4. Yöntemlern Thel n U Katsayısına Göre Durumları..46 VII

10 .GİRİŞ Savaş OKUR.GİRİŞ Regresyon analz, aralarında sebep- sonuç lşks bulunan k veya daha fazla değşken arasındak lşky nceler. Regresyon analznden ekonom, fzk, kmya, byoloj, sosyal blmler gb br çok alanda yararlanılmaktadır. Br değşkenn değernn dğer değşkenlerdek değşmlere bağlı olarak nasıl etklendğnn statstk analzlerle ncelenmes çeştl nedenlerle stenmektedr. Değşkenler arasındak lşk blndğnde, br değşkenn değerne bakılarak dğer tahmnleneceğ gb, etk eden faktörler kontrol altına alınablrse, lgl değşkenlern değerler optmum düzeye geleblr. İstatstk tahmnn çoğu uygulamasında, br grup değşken arasındak lşknn değerlendrleblmes çn örnek verler kullanılarak değşkenler arasındak lşknn modellenmes gerekmektedr. Böylece elde edlen model sayesnde, bağımlı değşken olarak seçlen değşkenn gelecektek herhang br değer tahmn edlr. Verler arasındak lşky tanımlayan en uygun modeln bulunmasını sağlayan statstksel teknğe regresyon analz adı verlr. Bast regresyon analz bağımlı değşken le bağımsız değşken arasındak doğrusal lşky açıklar. Eğer bağımlı değşken le brden fazla bağımsız değşken arasında doğrusal veya eğrsel br lşk varsa bu lşk çoklu regresyon analz le ncelenr (Işık, 006). Bast doğrusal regresyon analz, bağımlı değşken (Y) le br bağımsız değşken (X) arasındak lşknn doğrusal fonksyonla fade edlmesdr. Y ˆ = αˆ + βˆ (.) X (.) eştlğ bast doğrusal regresyon eştlğ olarak zah edlr. αˆ doğrusal fonksyonun sabt, βˆ se, doğrusal fonksyonun eğmdr. X le Y değerlernn dağılımını gösteren serplme dyagramlarında doğrusal br eğm gözüküyorsa, X n Y e göre fonksyonun doğrusal olduğuna karar verlr.

11 .GİRİŞ Savaş OKUR Günümüzde parametrk statstk yöntemlere karşılık gelen nonparametrk yöntemler gelştrlmştr. Bu yöntemlerden bazıları da parametrk olmayan regresyon yöntemlerdr. Regresyonda parametre tahmnler genelde En Küçük Kareler (E.K.K.) yöntemne göre yapılmaktadır. En küçük kareler tahmn edcler matrs notasyonuyla, ˆ β = ( X ' X ) X ' Y (.) eştlğ yardımıyla hesaplanmaktadır. E.K.K. tahmn edcler, regresyon modelndek br stokastk değşken olan bağımlı değşkenn değerlernn doğrusal br fonksyonu ve parametreler bakımından sapmasız olduğunda, mnmum varyansa sahptrler, yan en ydrler. Fakat tahmnlern standart hataların küçük ve dolayısı le parametrelern etkn olması, çoklu doğrusal regresyon modelnn varsayımlarının gerçekleşmesne bağlıdır. Parametrk olmayan regresyon tahmn yöntemler, medyana göre regresyon parametrelern tahmn yöntemler ve regresyon fonksyonunun tahmn yöntemler olmak üzere k kısımda toplanmaktadır. Parametrk ve parametrk olmayan bast doğrusal regresyon model eştlk (.3) le zah edlr. Y = α + βx + e (.3) Eştlkte; Y: (nx) boyutlu şans değşken vektörünü, X: (nxp) boyutlu blnen katsayı matrsn, β : (nx) boyutlu blnmeyen parametre vektörünü, α : kısm regresyon katsayısını, ε :. hata termn fade etmektedr.

12 .GİRİŞ Savaş OKUR Regresyon analznde hata termnn bağımsız, ortalaması sıfır, varyansı σ olan normal dağılım gösterdğ varsayılır. Elde edlen model çn bu varsayımlar gerçekleşmedğ takdrde o model le lgl her türlü yorum şüphe le karşılanır. En küçük kareler regresyon analznde hata termnn ortalaması sıfır, varyansı sabt olduğu ve brbrleryle korelasyonsuz olduğu varsayılır (Şahnler, 000). Yan, E( ε ) = 0, V ( ε ) = σ, E [ cov(, ε )] = 0 ε dır. j Bast regresyon tahmn edclernn dğer br grubunda se parametre tahmnler ver kümesnden ayırmaksızın örnek brmler kşerl olarak ele alındığında tüm durumlardak eğmlern hesaplanması le elde edlmektedr. Bu yönteme Thel Teknğ adı verlmektedr (Gamgam, 989). Bu çalışmanın amacı: öncek çalışmaların ışığı altında, parametrk ve parametrk olmayan bast doğrusal regresyon analz yöntemlern uygulama yönünden tanıtmak ve yöntemler karşılaştırmaktır. Bu yöntemlerde karşılaştırma krter olarak belrtme katsayısı ( R ), hata kareler ortalaması (H.K.O.), Thel n U ve U katsayı değerler kullanılmıştır. 3

13 . ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR Savaş OKUR. ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR Thel (950), β eğm katsayılarının nokta tahmnn bulmayı sağlayan br yöntem gelştrmştr. Eğm bulmaya yönelk olarak önerlen Mood-Brown yöntemnn hızlı ancak çok güvenlr br yöntem olmadığını belrten Thel özellkle eğm katsayısını bulmak çn kend adıyla anılan br yöntem gelştrmştr. Mood (950), Mood-Brown hpotez test yöntemne bağlı olarak β katsayısı çn güven aralığı tahmnn bulan br deneme yanılma teknğ gelştrmştr. Mood- Brown yöntemndek α ve β ya lşkn hpotez testnde n ve n nn 0.5 parametres le bnom dağıldığını belrtmş ve bu blgye dayalı olarak Mood-Brown yöntemndek test ölçütünü gelştrmştr. Akdenz (00), doğrusal regrasyon modelnde, ç lşk durumunda, RR, genelleştrlmş nverse tahmn edcs, temel bleşenler regrasyonu, Lu tahmn edcs ve düzeltlmş Rdge ve ve Lu tahmn edcsnn, EKK tahmn edcsnn düzeltlmesnde kullanıldığını belrtmştr. Çalışmada yanlı br tahmn edc olan Lu tahmn edcs ve Lu tahmn edcsnn gelştrlmş br versyonu olan yaklaşık sapmasız genelleştrlmş Lu tahmn edcs ve bunların kalıntılarını analz etmş ve HKO termler çndek EKK kalıntıları le karşılaştırmıştır. Sonuç olarak Lu tahmn edcsne at α parametresnn seçmnn β parametres ve σ nn doğruluğuna bağlı olduğunu ve HKO bakımından Lu tahmn edcsnn ve yaklaşık sapmasız genelleştrlmş Lu tahmn edcsnn EKK tahmn edcsnden daha üstün olduğunu göstermştr. Mood-Brown (95), α ve β katsayılarını belrleyen ve kend smler le anılan br yöntem gelştrmştr. Parametrk olmayan bast doğrusal regresyon analznde medyana göre parametre tahmnnde regresyon doğrusunun eğm çn H : β = β 0 0 hpotez testn H : β β 0 alternatfne karşı test etmek çn ncelemeler yapmıştır. Sen (968), k veya daha fazla eğm parametresnn brbrne eşt olduğunu dda eden sıfır hpotezlern test eden br sıra puanı yöntemn ncelemştr. Kendall ın Tau sundan esnlenerek β nn bast ve sağlam tahmncler üzernde çalışmıştır. 4

14 . ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR Savaş OKUR Kendall ın Tau test ölçütü hesabının güç ve etknlğn ncelemştr. Nokta tahmncsn, x x le noktaların (y j -y )/(x j -x ) eğm çftler populasyonunun j medyanı olarak tarf etmştr. Sen, ler sürdüğü tahmnclern çeştl özellklern ncelemş ve kend smn verdğ yöntem E.K.K. ve dğer parametrk olmayan tahmncler le karşılaştırmasını yapmıştır. Prestley ve Chao (97), değşkenler arasındak fonksyonel lşknn elde edlmes konusunda çalışmalar yapmışlardır ve elde edlecek fonksyonun, düzgün olması gerektğn belrtmşlerdr. Parametrk olmayan regresyon fonksyonunun tahmn çn gerekl temel blgler vererek tahmnn ortalaması, varyansı üzernde çalışmalar ve kernel fonksyonunun seçm üzernde açıklamalar yapmışlardır. Benedett (977), prestley ve chao nun önerdkler parametrk olmayan tahmnlern tutarlılığını teorem yardımı le spatlamışlardır. Ayrıca Kernel seçm, asmptotk normallk le parametrk olmayan regresyon fonksyonunun tahmnnn genel yapısı üzernde teoremler ve spatlar vermşlerdr.. Severs (978), lnear regresyon modelnde β parametresnn tahmnn ve güven aralığını ncelemştr. Thel yöntemnde güven aralığının <j olmak üzere düzenlenmş b j eğmler setnde uygun olarak seçlmş sınırlı notalara sahp olduğunu belrtmştr. Györf (98), k n NN regresyon tahmnn şlemş ve k n NN regresyon tahmnlernn yakınsama oranını göstermştr. Hussan ve Sprent (983), çeştl parametrk olmayan regresyon modeller arasındak karşılaştırmaları yapmışlardır. Medyan tahmncler e.k.k. de uygun ağırlık yöntemlern kullanarak, kesnlkle sapan gözlemlern etksnn önemnn azaltılmasının mümkün olacağını belrtmşlerdr. α ve β nın tahmnlernn medyan hesabına dayalı Thel yöntemn ncelemşlerdr. Aytaç (984), blnmeyen dağılım fonksyonu sürekl olan veya onun üzernde herhang br blgye gerek duymayan yöntemler parametrk olmayan yöntemlerdr.. Ayrıca parametrk olmayan test, populasyon parametrelernn değerler üzerne hçbr varsayım yapılmadığı durumlarda uygulanır. Rce (984), regresyon doğrusunun tahmn çn düzleştrme parametresnn seçlmes problem le lgl olarak yaptığı çalışmada, fourer sers le Kernel 5

15 . ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR Savaş OKUR fonksyonu arasındak lşky araştırmıştır. Ayrıca hata kareler ortalamasının mnmum ve düzleştrme parametresnn seçmnde asmptotk optmallk durumlarını teork olarak ncelemştr. Slverman (986), verlerde yoğunluk fonksyonunun parametrk olmayan tahmnnden yola çıkarak, düzleştrme parametresnn seçm, Kernel tahmn yöntemnn ortalaması, varyansı, seçm ve yanı üzernde oldukça genş kapsamlı çalışmalar yapmıştır. Parametrk olmayan bast doğrusal regresyon fonksyonun tahmn yöntemlernn pratk amaçlar çn y olduğunu, bast ve sezgsel olarak çekc ve matematksel özellklernn y olduğunu belrtmştr. k-nn yöntem le elde edlen tahmnler çeştl gözlemlere karşılık gelen bant genşlğnn br modeln verdğn ve bu bant genşlklernn Kernel tahmn oluşturmada kullanılabldğn belrtmştr. Parametrk olmayan bast doğrusal regresyon yöntemlernn özellklern karşılaştırmış avantajlı, dezavantajlı ve anlaşılma kolaylığı olan yöntemler belrtmek çn çalışmalar yapmıştır. Danel (990), parametrk olmayan regresyon yöntemler konusunda derleme çalışması yapmıştır. Thel tarafından eğmn test çn önerlen yöntemn Kendall ın Tau statstğne dayandığını belrtmştr. Lesaffre ve Marx (993), genelleştrlmş doğrusal regrasyonda kötü koşulluluk problemn ncelemştr. Bağımsız değşkenler arasındak ç lşky, kovaryans matrs üzernde benzer zararlı etkye sahp olan ML- ç lşk dye adlandırılan kötü koşulluluğun dğer tpn tanımlamıştır. Ml- ç lşkde orjnal bağımsız değşkenler arasında ç lşk olmadığını fakat değşken ve model seçm le bağımsız değşkenlern bleşm yüzünden bu durumun ortaya çıktığını bldrmştr. Bu yüzden kötü koşulluğu tanımlamak çn blg matrsnden yararlanıldığı ve ç lşk le ML- ç lşk arasındak en öneml farklılığın bu olduğunu göstermştr. ML- ç lşk durumuna örnek olarak lojstk regrasyon modeln vermştr. Fakat örnek olarak genelleştrlmş doğrusal regrasyon modelnn herhang br üyesnn de seçlebleceğn söylemştr. Sonuç olarak ML- ç lşk problemn gdermede brkaç alternatf yöntem önermştr. Bunlardan brs değşken seçm yöntemdr. Fakat bu yöntemn blg matrsnn kötü koşulluluğunun azaltılması çn dama en y yöntem olmadığını bldrmştr. Br dğer yöntem Rdge lojstk tahmn edcs le adımsal 6

16 . ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR Savaş OKUR temel bleşenler yöntemdr. Temel bleşenler model le kötü koşululuk problemnn azaldığını ve ML-ç lşk varken bu yöntemn y br yöntem olduğunu söylemştr. Macknnon ve Puterman (989), genelleştrlmş doğrusal modeller(glm) çn ç lşky, tanımlamış, bunun sonuçlarını ncelemş ve teşhs krterlern sunmuştur. Sıradan korelasyon matrsnn ç lşky tanımlamada dama yeterl olmayacağını ve bunun yerne ç lşk teşhsnde blg matrsnn kullanılması gerektğn bldrmştr. GLM çn dağılımların ağırlıklarını vermştr. Teorem de ağırlıklar arasında fark yoksa o zaman GLM ve standart doğrusal modeln(slm) ç lşk bakımından brbrne benzedğn ortaya koymuştur. Fakat ağırlıklar farklıysa bu durumda SLM nn ç lşkl olmamasına rağmen GLM nn ç lşkl olabldğn bldrmştr. Son olarak, yanlı tahmn yöntemlernden br olan Rdge yöntemler üzerne çalışmıştır. Sonuçta eğer brkaç yüksek ç lşkl ver varsa Rdge metodu le HKO azaldığını bldrmştr. Ergüneş (004), çoklu bağlantı problem olan br örneğe öncelkle en küçük kareler yöntem(ekk) daha sonra da RR yöntem uygulamıştır. Karşılaştırma krter olarak L azaltması, E ve R kullanmıştır. Sonuç olarak, çoklu bağlantı varlığında, E L R nn fazla azalma göstermemes, çoklu bağlantı problemn gdermes ve dolayısıyla EKK yöntemnden daha etkn parametre tahmn yapması sebebyle RR yöntem, EKK yöntem yerne önermştr. yı 7

17 3. MATERYAL VE METOT Savaş OKUR 3. MATERYAL VE METOT 3.. Materyal Bu çalışmada, Çukurova Ünverstes, Zraat Fakültes, Araştırma Uygulama Çftlğndek farklı yaştak koyunların yaş ve doğum ağırlığı verler kullanılmıştır. Bağımsız değşken olarak koyunların yaşı (yıl), bağımlı değşken olarakta koyunların doğum ağırlığı (kg) olarak ele alınmıştır. Bu çalışma, koyunların büyük veya küçük yaşta olmasının doğum ağırlığı le lşksnn nasıl olduğunu ncelemek amacıyla yapılmıştır. Çzelge 3. de yer alan yaş faktöründe hesaplamalar yıl, ay ve gün olarak alınmıştır. Bu nedenle ondalıklar; örneğn. Sıradak 4. yaş, 4 yıl ay olarak değerlendrlmeldr. Çzelge 3.. Koyunların Yaşı (X) ve Doğum Ağırlığı (Y) Değerler Tablosu Sıra No: Yaş Doğum Ağırlığı (Y) Sıra No: Yaş Doğum Ağırlığı (Y) Sıra No: Yaş Doğum Ağırlığı (Y) (X) (X) (X)

18 3. MATERYAL VE METOT Savaş OKUR 3.. Metot Bu çalışmada ele alınacak, parametrk ve parametrk olmayan bast doğrusal regresyon modelnde parametrelern tahmn edlmelernde kullanılan yöntemler aşağıda verlmştr. En Küçük Kareler Yöntem Mood-Brown Yöntem Thel Yöntem En yakın komşu Yöntem (k-nn) 3... En Küçük Kareler Yöntem En küçük kareler (E.K.K.) yöntem, parametrk bast doğrusal regresyon analz modellernde parametre tahmnlernde kullanılır. Regresyon analz model, lglenlen problemle lgl örnek olarak alınmış gözlem değerler kullanılarak hesaplanılmaktadır. Kurduğumuz analz modelndek değerler yöntemlerden elde edlen tahmn değerlerdr. Tahmn edlmeye çalışılan sonuç değşken (Y) ve sebep değşken (X) le zah edlr. Çalışmada kullanınlan regresyon model (3.) eştlğndek gbdr. Y ˆ = αˆ + βˆ (3.) X (3.) eştlğnde αˆ : X değernn sıfır olduğu durumda Y nn alacağı değer βˆ : X değer brm arttığı zaman Y değşkennn kend brm cnsnden değşeceğ mktar olarak adlandırılmaktadır. 9

19 3. MATERYAL VE METOT Savaş OKUR Regresyon analz çn kurulan modelde, bağımlı ve bağımsız değşkenn yanı sıra hata term olarak smlendrlen değşken yer alır. Hata termnn modele alınma nedenler: Modele alınan Y ve X değşkenlernn yapılan araştırmalarda yanlış ölçülmüş olablmes ve, Seçlen değşkenler Y ve X lern hatalı sayıda alınmış örnekler olablmesdr. İster bast regresyon, ster çoklu regresyon modelne bakılıyor olsun, kurulacak modelde bağımlı değşken le lşks olan model dışında da bağımsız değşkenlern olablmesdr. Bu unsurlar genel olarak e hata term olarak alınır ve mnmum yapılmaya çalışılır. Bunu yaparken de E.K.K. yöntemnden yararlanılır Parametrk Bast Doğrusal Regresyonda Kullanımı Bast regresyon analz modelnde bağımlı değşken açıklayan br bağımsız değşken modelde yer almaktadır. Bast regresyon analz modeller e.k.k.. yöntem kullanılarak çözümleneblmektedr. Br bağımsız değşken çeren model aşağıdak gb gösterlr. Y = α + βx + e (3.) buradak e hata term (3.3) dek eştlkten aşağıdak gb elde edlr. e = Y Yˆ (3.3) (3.) eştlğndek parametrelern E.K.K. tahmnnn amaç fonksyonunu mnmum yapan αˆ ve βˆ tahmnler elde edlmek stenr. Burada amaç fonksyonu: 0

20 3. MATERYAL VE METOT Savaş OKUR e = e = Y ( Yˆ) = Y ( α ˆ + βˆ X )] (3.4) n [ = ( Y α ˆ βˆ X ) = mnmum yapılmaya çalışılır. αˆ ya göre kısm türev alınıp sıfıra eştlenr. Böylece (3.5a) eştlğ elde edlr e αˆ = ( Y ˆ αˆ βx )( ) = 0 (3.5a) βˆ e göre kısm türev alınıp sıfıra eştlenr. Böylece (3.5b) eştlğ elde edlr e βˆ = ( Y ˆ ˆ α βx )( X ) = 0 (3.5b) eştlklern çözümünden (3.5a) ve (3.5b) eştlkler bulunur. X = α ˆ βˆ (3.5a) n + Y X βˆ X = α ˆ (3.5b) + X Y Bu eştlklern çözümünden de eştlk (3.6) elde edlr. Y βˆ αˆ = n n X αˆ = Y βx ˆ (3.6) dğer eştlklerde αˆ yerne eştlğ koyulur.

21 3. MATERYAL VE METOT Savaş OKUR βˆ = n X Y n X n X n ( n X n n ) Y (3.7) olarak bulunur. Buna göre bast doğrusal regresyon analz model (3.8) eştlğ le elde edlr. Regresyon model tahmn edldkten sonra eştlğn uygunluğuna, parametrelern önem testne bakmak gerekmektedr. Eştlğn uygunluğu, belrtme katsayısı olarak tanımlanır ve R le gösterlr. Parametrk Bast Doğrusal Regresyon Analz Modelnde Belrtme Katsayısının Hesaplanması: Belrtme katsayısı kullanılan X değşkenlernn Y dek toplam varyansı açıklayablme oranıdır ve 0 < R < dr (Newton, 996). Bu katsayı (3.8) eştlğ le verlr. R = Re g. K. T./ G. K. T. (3.8) R nn büyük çıkması her zaman modeln y olduğu sonucunu göstermez. Çünkü, modele konu le lgl veya lgsz br değşkenn eklenmes arttırır. Dolayısıyla da büyük R nn değern R s olan modeller her zaman tahmn yapmada en y model olmayablr (Montgomery ve Peck, 99). Ancak modele gren değşkenler yönünden br problem yoksa pratkte y br ölçüdür. Düzeltlmş Belrtme Katsayısı: Bu katsayı, belrtme katsayısının derecesne göre düzeltlmşdr. R serbestlk R d = {[( H. K. T./( n k))]/[( G. K. T./( n ))]} = [( n ) /( n k)]( R ) (3.9) Yukarıdak blglere ek olarak pratkte, modele gren bağımsız değşkenler ve gözlem sayısının yeterllğ konusunda ön blgler vereblr (Levne ve ark., 997).

22 3. MATERYAL VE METOT Savaş OKUR Eğer R le R d değerler çok farklı değlse bast olarak kullanılan gözlem sayısının yeterl olduğu, aks durumunda se anlamlı katkıları olmayan değşkenlern modele dahl edldğ anlamını taşır. Modeln yeterllğ konusunda blg vermez (Şahnler, 000). Tahmn edlen αˆ ve βˆ parametrelernn önem testlernn yapılablmes çn bu parametrelere at varyans değerlernn hesaplanması gerekr. Bu değerler sırası le (3.0), (3.), (3.), (3.3) ve (3.4) eştlklernde verlmştr. ( X X Var( α ˆ) = (3.0) n X ) S ( αˆ) = Var( αˆ) (3.) s Var( β ˆ) = (3.) ( X X ) S ( βˆ) = Var( βˆ) (3.3) e s = (3.4) n Tahmn edlen parametrelern önem testn yapmak çn kullandığımız αˆ ve βˆ katsayılarının ortalama ve beklenen değerler α ve β katsayılarına eşt olsa da populasyonun parametresne kesn eştlğ söylenemez. Tahmn değerlernn güvenrllğne standart hata ve varyansının küçüklüğüne bakarak populasyona yakınlığı görülür. βˆ çn güven aralığı: βˆ Z. S( βˆ) β βˆ Z S( ˆ) (3.5) α / + α / β 3

23 3. MATERYAL VE METOT Savaş OKUR αˆ çn güven aralığı: α Z. S( αˆ) α αˆ Z. S( ˆ) (3.6) ˆ α / + α / α dr. Eştszlğn lk kısmı güven aralığının alt sınırıdır. İknc kısım se üst sınır değerdr. Güven aralığı, bakılacak α ve β katsayıları çn, hpotez test kurularak, kurulan hpotezdek değern güven aralığını çnde olup, olmadığı le bakılarak önemlendrlr. Hpotez Test: Bast doğrusal regresyon analznde parametrelern sıfıra eştlğ test edlr. İk değşkenl br regresyon analz modelnn parametrelernn test edleblmes çn düzenlenecek hpotez testler aşağıdak gbdr. α parametres çn: H 0 : α = 0 H : α 0 (3.7) β parametres çn: H 0 : β = 0 H : β 0 (3.8) dır. α ve β katsayılarına lşkn hpotez testlernde kullanılacak test statstkler sırasıyla: Z αˆ α = N z (0,) (3.9) S( αˆ) βˆ β Z = N z (0,) (3.0) S( βˆ) 4

24 3. MATERYAL VE METOT Savaş OKUR 3... Medyana Göre Parametre Tahmnnde Regresyon Doğrusunun Tahmn n gözlem çftnden oluşan örneklem (X,Y ),,(X n,y n ) çn, Y = αˆ + βˆ (3.) X 3... Mood-Brown Yöntem Eştlk (3.) le verlen regresyon doğrusu çn α ve β parametrelernn tahmnne yönelk bu yöntem uygulamak çn öncelkle Y değerler, X lern medyan değernden daha küçük ya da ona eşt X değerler le brlkte olan ve X lern medyan değernden daha büyük X değerler le brlkte olanlar şeklnde k gruba ayrılır. α ve β nn stenen değerler, k grubun herbrnde regresyon doğrusundan sapmaların medyanının sıfır olduğu tahmndr. α ve β parametrelernn elde edlme adımları:. Örneklem verler çn serplme dyagramı hazırlanır.. X lern medyan değernden geçen br dkey doğru çzlr. Eğer br ya da daha fazla nokta bu medyan doğrusu üzerne düşüyorsa, bu doğru gerektğ kadar sağa veya sola öyle kaydırılır k medyanın her k yanındak nokta sayısı mümkün olduğunca eşt olur. 3. İknc adımda oluşan her k grup çn X ve Y değerlernn medyanı bulunur. Yan toplam 4 tane medyan hesaplanır. 4. Gözlemlern brnc grubunda X ve Y nn medyanının kesştğ nokta belrtlr. Benzer şlem knc grup gözlemler çn de yapılır. 5. Dördüncü adımda belrlenen k noktayı brleştren br doğru çzlr. Bu doğru stenen doğru tahmnne lk yaklaşımdır. 6. Eğer bu doğrudan dkey sapmaların medyanı her k grupta da sıfır değlse, bu doğrunun pozsyonu her gruptak sapmaların sıfır medyanlı olması sağlanana 5

25 3. MATERYAL VE METOT Savaş OKUR dek değştrlr. Daha kesn br doğruluk stenyorsa, Mood tarafından önerlen alternatf yöntem kullanılablmektedr (Danel,990). 7. Sonuçta elde edlen doğrunun Y le kesşm α katsayısını verrken, β katsayısı eştlk (3.3) le hesaplanır. b j = (Y -Y ) / (X -X ) (3.) (X,Y ) ve (X,Y ) doğru üzerndek herhang k noktanın koordnatlarıdır. Medyana Göre Parametre Tahmnnde α ve β ya İlşkn Hpotezlern Testler: Kurulan regresyon eştlğ çn lglendğ α ve β katsayılarının brsne ya da her ksne lşkn hpotezlern testdr. α = α 0 ve β = β 0 hpotezlernn eşanlı testler ele alınmıştır Mood ve Brown tarafından önerlen bu testlern şleyş şöyledr (Danel,990). Varsayımlar: Gözlemler X ve Y sürekl değşkenlernn n tane (X,Y ),,(X n,y n ) çftnden oluşmaktadır. Herbr gözlem çft (X,Y ), aynı brlktelk brmnde ölçülmüştür. Hpotezler: H 0 = α 0, : α β = β 0 H : α α ve/veya 0 β β 0 (3.3) Test Ölçütü: Test ölçütünü hesaplarken şu adımlar zlenmektedr:. Verlern serplme dyagramı hazırlanır.. Serplme dyagramında = α + X doğrusu çzlr. Y 0 β 0 3. X değerlernn medyanından geçecek şeklde dkey br doğru çzlr. 4. n, belrtlen regresyon doğrusunun üstündek ve X lern medyanından geçen dkey doğrunun solundak ver noktalarının sayısı, n se, belrtlen regresyon doğrusunun üzernde ve X lern medyanından geçen dkey doğrunun sağındak ver noktalarının sayısı olsun. Mood, n ve n nn 0.5 parametres le bnom dağıldığını 6

26 3. MATERYAL VE METOT Savaş OKUR belrtmştr ve bu blgye dayalı olarak test ölçütünü eştlk (3.5) dak gb zah etmştr. Tate ve Clelland, (957) n değernn yaklaşık olarak 0 veya daha büyük olması halnde bu yaklaşımın y sonuçlar verdğn söylemşlerdr. 8 n n χ = (( n ) ( ) + n ) (3.4) n 4 4 Bu ölçüt, H 0 doğru olduğunda ve n çok küçük olmadığında k serbestlk derecel le k- kare dağılışı gösterr. Karar Kuralı: Eğer (3.5) eştlğ le bulunan hesap değer, lgl χ tablosu dan k serbestlk dereces çn bulunan tablo değern aşarsa H 0 hpotez red edlr. β =β 0 Test: Regresyon analznde genellkle regresyon doğrusunun eğm çn H : β = β 0 0 test le lglenlr. Bu hpotez H : β β 0 alternatfne karşı test etmek çn, Mood ve Brown un önerdğ şu adımlar zlenr:. Verlern serplme dyagramı hazırlanır.. X lern medyanından geçen dkey doğru çzlr. 3. a, Y -β 0 X sapma değerlernn medyanı ve β 0 hpotezde ler sürülen değer olmak üzere, verlere Y= a + β 0 X doğrusu uydurulur. Genellkle bu doğru en kolay şeklde Y = β 0 X doğrusunu çzerek ve bu doğruya paralel br doğruyu verler k eşt gruba bölecek şeklde çzerek belrlenr. 4. Y = a + β 0 X doğrusunun üzerndek ve X lern medyanının solundak ver noktaları sayılır ve n le gösterlr. Buna göre test ölçütü eştlk (3.6) dek gb zah edlr(mood, 950 ve Mood-Brown, 95). 6 n ( n n 4 χ b = ) (3.5) bulunan bu değer tablo dan br serbestlk derecel k- kare tablo değer le karşılaştırılır. Tablo değern aşması durumunda H 0 hpotez red edlr. Tate ve Clelland, (957) n değernn 0 veya daha büyük olması halnde bu yaklaşımın y sonuçlar verdğn söylemşlerdr. 7

27 3. MATERYAL VE METOT Savaş OKUR 3... Thel Yöntem 950 yılında Thel tarafından ler sürülen yöntem araştırmacıların en çok başvurdukları eğm bulma yöntemlerndendr. Br doğrunun eğm tahmnnde kullanılan Thel (950) n yöntem, x, y ),( x, y ) gözlem çftlernden hesaplanan ( j j eğm değerlernn medyanı hesabına dayandırılmaktadır (Hussan ve Sprent, 983). Sahp olunan ( x, y),...,( x n, yn ) n tane gözlem çftnn; Y = α + βx + e, =,,,n (3.6) Burada α ve β blnmeyen regresyon parametrelerdr. X değerler brbrlernden farklı blnen sabtler olup x < < x <,..., xn şeklnde sıralanmaktadır (Yıldız, ve Topal, 00). Bu modelde e ler, varyansı σ e ve medyanı sıfır olan smetrk br sürekl dağılışa sahp bağımsız ve aynı dağılımdan meydana gelen şansa bağlı hatalardan oluşurlar (Rao ve Gore, 98). Thel yöntemnde α ve β öyle tahmn edlmel k e hata termlernn medyanı sıfır olmalıdır (Martz, 979). β nın tahmn βˆ, <j ( x x j ) olmak üzere elde edlen N= n tane bj = (y j -y ) / (x j x ) eğmlernn tümünün br ağırlıklı medyanı olur (Danel, 995; Wang ve Yu, 004). Yan, dr ve αˆ ; βˆ = medyan{b j } (3.7) αˆ = medyan( Y) ( βˆ) medyan( X ) (3.8) değerlernn medyanı olduğu belrtlmştr (Hussan ve Sprent, 983). 8

28 3. MATERYAL VE METOT Savaş OKUR Medyana Göre Parametre Tahmnnde α ve β ya İlşkn Hpotezlern Testler: Kurulan regresyon eştlğ çn lglenlen α ve β katsayılarının brsne ya da her ksne lşkn hpotezlern testdr. α = α 0 ve β = β 0 hpotezlernn eşanlı testler ele alınmıştır Thel tarafından eğmn test çn önerlen bu yöntem Kendall ın Tau statstğne dayanmaktadır (Danel,990). Varsayımlar: A. Verler (x,y ),,(x n,y n ) şeklndek n tane gözlem çftnden oluşmakta olup uygun denklem: Y = α + βx + e, =,,n (3.9) dr. Burada X ler blnen sabtler, α ve β se blnmeyen parametrelerdr. B. Herbr X değer çn Y değerlernn br alt populasyonu vardır. C. Y, X değerndek sürekl Y raslantı değşkennn gözlenen değerdr. D. Tüm X değerler farklıdır ve x < x < < x n sırasındadır. E. e ler karşılıklı bağımsız olup aynı sürekl populasyondan gelrler. Hpotezler: A. (Çft yönlü) H : β = β 0 0 H : β β (3.30) 0 B. (Tek Yönlü) H : β β 0 0 H : β > β (3.3) 0 C. (Tek Yönlü) H : β β 0 0 H : β < β (3.3) 0 Test Ölçütü: Yöntem, Kendall ın Tau ölçütüne dayanmaktadır. (X, Y -β 0 X ) formundak tüm olası gözlem çftler kıyaslanarak Kendall ın Tau ölçütü hesaplanmıştır (Oğuzlar, 999). Yöntem n adımları şöyle özetlenmştr. 9

29 3. MATERYAL VE METOT Savaş OKUR. (X, Y -β 0 X ) gözlem çftler, X değerlerne göre br sutunda doğal sırada düzenlenmştr.. Her br Y -β 0 X değer, altındak herbr Y j -β 0 X j değer le karşılaştırılmıştır. 3. (Y -β 0 X, Y j -β 0 X j ) şeklnde doğal sırada sonuçlanan karşılaştırmaların sayısı P, tersne doğal sırada sonuçlanan karşılaştırmaların sayısına se Q denr. 4. S=P-Q olmak üzere test ölçütü (3.34) eştlğ le zah edlmştr. τ = S n.( n ) / (3.33) Hpotezlere Göre Karar Kuralı: A. Hesaplanan τ değer poztf olup, Kendall ın Tau tablosun dan n ve α/ çn bulunacak değerden büyükse ya da negatf bulunan τ değer aynı tablo değernden küçük se H 0 hpotez red edlr. B. Hesaplanan τ değer poztf olup, Kendall ın Tau tablosun dan n ve α çn bulunacak krtk değerden büyük se H 0 hpotez red edlr. C. Hesaplanan negatf τ değer, Kendall ın Tau tablosun dan n ve α çn bulunacak krtk değern negatfnden daha küçük se H 0 hpotez red edlr. Tekrarlı Gözlemler: Eğer (x,y ) ve (x,y ) gözlem çft çn (y -y )/(x -x )>0 se uyumlu, aks takdrde uyumsuzdur denr. x =x se karşılaştırma yapılamaz. Eğer x x ken y =y se bu oran sıfır olur. Bu durumda gözlem çft ½ uyumlu ve ½ uyumsuzdur. Bu durumτ katsayısı hesabında br değşklk yaratmaz. Ancak tekrar durumunda τ nn hesabında değşklk yapar. Kendall ın τ katsayısı çn analz edlen test, verlern sürekllğn varsayar. Ancak pratkte tekrarlar ya X, ya Y, ya da her ksnde oluşablr. Tekrar durumunda en bast yöntem, tekrarlı gözlemlere bunların doğal sıra sayılarının ortalamasını rank olarak atamaktır. Tekrarlar çn önerlen br yaklaşım aşağıdak gbdr.. Gözlemler X lern büyüklüğüne göre artan doğal sırada sıralanır.. X lern tekrarlı gözlemler grubuna karşılık gelen Y değerler artan sırada düzenlenr. 0

30 3. MATERYAL VE METOT Savaş OKUR 3. Y çftlernn doğal ve tersne doğal sırada sayıları tekrarsız durumdak gb sayılır ancak tekrarlı X e (X a ) karşılık gelen Y değer, X a le tekrarlı dğer X e eşlk eden herhang br Y değer le karşılaştırılmaz. Tekrar durumunda (x x j ) çn tüm (x,y ) ve (x j,y j ) karşılaştırmaları yapıldığında τ katsayısı, (3.4) eştlğ le hesaplanmıştır. P Q τ = (3.34) P + Q Bu yaklaşımın avantajı tekrar durumuna rağmen lşk mktarını veya - elde etme şansının olmasıdır. İlk kez Goodman ve Kruskal, (963). tarafından tanımlanan bu ölçüte Gamma Katsayısı denlmektedr. Tekrar durumunda P ve Q nun hesabı şöyle özetlenmştr. Hesaplamalarda (X,Y ) gözlem çftler X lern artan sırasında sıralanırsa şlem kolaylaşır. Böylece her br Y yalnızca altındak değerle karşılaştırılmıştır. Verlerde tekrarlar olduğunda sonuçlar kesn değl yaklaşık olur. Bu testn güç ve etknlğ se Sen (968) tarafından ncelenmştr (Danel, 990). Kendall ın Tau tabloları n n yalnızca 40 dan küçük veya eşt değerler çn yazılmıştır. Örnek genşlğ 40 dan fazla olduğunda test statstğ; Z 3τ n( n ) = (n + 5) N (0,) (3.35) eştlğ le hesaplanablmektedr (Aytaç, 99). Bu test statstğ ver set çersnde, eşt gözlem değerler var olduğu zaman da başarı le kullanılablmektedr. Medyana Göre Parametre Tahmnnde Eğm Katsayısı İçn Güven Aralığı: Çoğu durumlarda araştırmacıların lg odağı, eğm katsayısı β çn güven aralığı bulmaktır. Mood, β çn Mood-Brown hpotez test yöntemne dayalı güven aralığı bulmada deneme ve yanılma teknğn önermştr (Danel, 990). Bu teknk, %(-α) güven aralığının, α yanılma düzeynde red edlemeyecek β 0 değerlernden

31 3. MATERYAL VE METOT Savaş OKUR oluştuğu blgsne dayanmaktadır. Bu yaklaşıma alternatf br yaklaşım yne Mood tarafından önerlmştr(yıldız ve ark., 004). Bu test çn yapılan varsayımlar güven aralığı araştırması çn de geçerldr. β nın %(-α) güven aralığını veren yöntemn adımları şöyledr: β çn br güven aralığı çft yönlü hpotez H : β = β, 0 0 H : β β 0 testyle elde edlr. Güven aralığı <j olmak üzere düzenlenmş b j eğmler setnde uygun olarak seçlmş sınırlı noktalara sahptr (Severs, 978). x x 0 ( < j n) farklarının sayısı N se, önerlen nokta tahmncs j x x j çn N tane b j eğmnn medyanı olur (Sen, 968). <j olmak üzere n toplam N = adet b j değer küçükten büyüğe doğru sıralanır. β nın güven aralığının alt sınırıβˆ küçükten büyüğe doğru sıralanan k ncı b j değerdr. β nın güven aralığının üst sınırı a βˆ ü se büyükten küçüğe doğru sıralanan k ncı b j değerdr (Danel, 990). Burada k değer, (3.37) dek eştlkte zah edldğ gbdr. N S / k = α (3.36) S değern belrlemek çn, n ve α / ye göre Kendall ın Tau test statstk α / değerler tablosuna bakılır. Bulunan değer eştlk (3.37) da yerne konarak k değer tespt edlr. Eğer n değer çok büyük (n 30) se, dağılış normal dağılışa yaklaşır. Buna göre standart normal dağılım tablosu kullanılarak k değer eştlk (3.38) dek gb hesaplanır (Grffn, 96). k = N Z α / n( n )(n + 5) 8 (3.37)

32 3. MATERYAL VE METOT Savaş OKUR k-en Yakın Komşuluk Tahmn Yöntem Parametrk olmayan regresyon fonksyon analz yöntemlernden en yakın komşu(k-nearest neghbor, k-nn) tahmn yöntem ele alınmıştır. İlk ncelenmeye başlanmasından bu yana uzun yıllar geçmş olmasına karşın son yıllarda tekrar yoğun br şeklde kullanılmaya başlanmıştır. Son yıllarda parametrk olmayan yaklaşım, parametrk eştlk kurmada yardım amacı le ya da k-nn olmak üzere çeştl parametrk olmayan teknklerden tutarlı tahmnler elde edldğnden parametrk regresyon analzne br alternatf olarak gündeme gelmştr(kıroğlu, 00). Parametrk olmayan regresyon fonksyon analznde en bast gösterm le (X,Y ) şeklnde verlen n genşlkl ver set çn değşkenler arasındak lşk yapısı (=,,n) Y = f ( X ) + e (3.38) düzgün (smooth) fonksyonu le fade edlmektedr. Burada hata term e lern bağımsız, sıfır ortalamalı olmaları dışında hçbr kısıtlayıcı varsayım bulunmamaktadır. Parametrk olmayan regresyon fonksyon analznde yne bağımlı ve bağımsız değşkenn lşks araştırılmıştır. Parametrk regresyon analznden farkı, tahmnlern parametrk olmayan yöntemlerle yapılmasıdır. Parametrk olmayan regresyon fonksyonunun tahmn yöntemlernden k-nn tahmn yöntem parametre tahmn hesabına dayanmaktadır Bu çalışmada, parametrk olmayan regresyon fonksyonunun tahmn yöntemlernden parametre tahmn hesabı yapan k-nn tahmn yöntem anlatılmıştır. Bu yönteme kısaca yakın komşuluk (nearest neghbor) denlmesnn neden, yoğunluk tahmn bell br noktanın en yakın komşularından çok yakın komşu noktalarına dayanır(slverman, 986). 3

33 3. MATERYAL VE METOT Savaş OKUR k-nn regresyon fonksyon tahmn mˆ aşağıdak gb tarf edlr (Györf, 98; Devroye, 978). n ˆ k ( x) = n Wk ( x) Y ; (3.39) = m burada { W } n k x) ( =, J x ndekslernn kümes vasıtasıyla tarf edlmş br ağırlık kümesdr. J x = {: X x e en yakın gözlemlern br tanes } Komşu gözlemlern ndeksler kullanılarak k-nn ağırlık kümesnn tertp edlş şöyledr. W k n / k, J x se ( x) = (3.40) 0, ( J x ) Eştlkte, n: gözlem sayısını k: değşken komşulukta br ağırlık noktasındak ver sayısını fade eder. (Stone, 977 ; Devroye, 978) e göre, k-nn ağırlık fonksyonları; Ünform k-nn ağırlık fonksyonu; / k, k W k ( x) = çn, (3.4) 0, > k Üçgen (trangular) k-nn ağırlık fonksyonu; W k ( k + ) / bk, k ( x) = çn, (3.4) 0, > k burada b k =k(k+) / dr. 4

34 3. MATERYAL VE METOT Savaş OKUR Quadratk k-nn ağırlık fonksyonu; W k ( k ( x) = ( ) 0, ) / b, k k > k çn, (3.43) burada b k =k(k+).(4k-) / 6 dır. W k (x) ünform ağırlıklar le tayn edlen neghborhood vasıtasıyla e.k.k. doğrusunun α ve β parametreler aşağıdak şeklde hesaplanmıştır(green et al.,985 ve Hardle, 997). α = m ˆ ( x ) β µ, (3.44) x β x k x Cx µ x. m ( X ) =, (3.45) V µ x k x µ x = k X, (3.46) j x C = X Y, (3.47) x j x j x V x = X, (3.48) (3.48) eştlğnde; α x = W k (x) ağırlıklara göre elde edlen regresyon doğrusunun y eksenn kestğ nokta, β x = W k (x) ağırlıklara göre elde edlen regresyon doğrusunun eğm, M C V = şartına uygun x değerlernn ortalaması x j x = şartına uygun x ve y değerlernn çarpımlı toplamı x j x = şartına uygun x değerlernn karelernn toplamıdır. x j x k-nn yöntem, gözlemler ayrıştırmaya yönelk dskrmnant analz çn etkn olarak kullanılmıştır. k değer hem değşken sayısına hem de olasılık fonksyonunun düzgünlüğüne dayanmalıdır. Bu tahmnc yardımı le ayrıştırma pratkte denemeye ve farklı k değerler çn hata değer ve gözlemlern yanlış sınıflandırılma oranına 5

35 3. MATERYAL VE METOT Savaş OKUR bağlıdır. Bu durumda tüm gözlemler çn uzaklıklar hesaplanmalıdır. Hesaplama mktarını azaltmanın br yolu gözlem sayısını azaltmaktır. Dğer br yol se (Fukunaga ve Narendra, 975) tarafından önerlen branch ve bound algortmasıdır (Hand, 986). Parametrk Bast Doğrusal Regresyonun Varyans Analz: parametrk bast doğrusal regresyon analz yöntemlernn varyans analz tablosu Çzelge 3.. de belrtldğ gb yapılmıştır. Çzelge 3.. Varyans Analz Tablosu Varyans Kaynağı Serbestlk Dereces Kareler Toplamı Kareler Ortalaması F Regresyon k- n = ( Yˆ Y ) n = ( Yˆ Y ) / k- R.K.O. / H.K.O Hata n-k n = ( Y Yˆ ) n = ( Y Yˆ ) / n-k Genel n- n = ( Y Y ) Çzelge 3.3. Varyans Analz Tablosu (Medyan Testne Göre) Varyans Kaynağı Serbestlk Dereces Kareler Toplamı Kareler Ortalaması F Regresyon k- n = ( Yˆ Y med. ) n = ( Yˆ Y med. ) / k- R.K.O. / H.K.O Hata n-k n = ( Y Yˆ ) n = ( Y Yˆ ) / n-k Genel n- n = ( Y Y med. ) 6

36 3. MATERYAL VE METOT Savaş OKUR Çzelge (3.) ve Çzelge (3.3) dek eştlkte, n:gözlem sayısını k: bağımsız değşken sayısını fade etmektedr. Parametrk Olmayan Bast Doğrusal Regresyonun Medyana Göre Parametre Tahmnnn Varyans Analz: parametrk olmayan bast doğrusal regresyon analznn medyana göre parametre tahmn yöntemlernn varyans analz tablosu Çzelge 3.3. de belrtldğ gb yapılmıştır. 7

37 4. BULGULAR VE TARTIŞMA Savaş OKUR 4. BULGULAR VE TARTIŞMA 4.. En Küçük Kareler Yöntemne At Bulgular Çukurova Ünverstes, Zraat Fakültes, Araştırma Uygulama Çftlğnn Koyunculuk İşletmesnden, elde edlen ver değerler kullanılarak, koyunların yaşının, koyunların doğum ağırlığı le lşks parametrk ve parametrk olmayan bast doğrusal regresyon analz yöntemler le ncelenmştr. Uygulamaları se; 0.05 önem sevyesnde, Çzelge 3.. dek değerler kullanılarak yapılmıştır. E.k.k. yöntemndek (3.6) ve (3.7) eştlğ kullanıldığında, αˆ = 4.7 elde edlr. βˆ = 0.08 elde edlr. Parametrk bast doğrusal regresyon modelnn tahmn, Yˆ = X dır. Buna göre; Yen doğmuş br kuzunun doğum ağırlığının 4.7 kg olması beklenr. Yne benzer şeklde koyunun yaşı yaş arttığı zaman doğum ağırlığının da 0.08 kg artması beklenr. 4.. Parametrk Bast Doğrusal Regresyon Analznn Belrtme Katsayısının Hesaplanması İle İlgl Bulgular Parametrk bast doğrusal regresyon analzndek gözlem değerlernn modele uyumu, belrtme katsayısı çn eştlk (3.8) kullanıldığında, 8

38 4. BULGULAR VE TARTIŞMA Savaş OKUR R = elde edlr Parametrk Bast Doğrusal Regresyon Analznn Güven Aralığının Bulunması ve Hpotez Testnn Hesaplanması İle İlgl Bulgular E.k.k. yöntemndek eştlk (3.0) kullanıldığında, Var (αˆ) = 0.6 elde edlr. Eştlk (3.) kullanıldığında se, S (αˆ) = 0.34 elde edlr. Eştlk (3.) kullanıldığında Var (βˆ) = 0.09 elde edlr. Eştlk (3.3) kullanıldığında se, S (βˆ) = 0.38 elde edlr. Eştlk (3.4) kullanıldığında S = elde edlr. αˆ çn güven aralığı: 4.7-(.96)(0.34) α 4.7+(.96)(0.34) α

39 4. BULGULAR VE TARTIŞMA Savaş OKUR olarak bulunur. Buna göre % 95 olasılıkla yen doğan br kuzunun doğum ağırlığının le arasındaolması beklenr. βˆ çn güven aralığı: (.96)(0.38) β (.96)(0.38) β olarak bulunur. Buna göre % 95 olasılıkla kuzunun yaşı yaş arttığı zaman doğum ağırlığında kg le kg arasında artması beklenr. αˆ çn hpotez test: Z hes = 0.34 =. Z hes =. > Z tab =.96 olduğundan H 0 hpotez red edlr. Buna göre tahmn edlen 4.7 değer anlamlı bulunmuştur. βˆ çn hpotez test: Z hes = 0.38 = 0.59 Z hes = 0.59 < Z tab =.96 olduğundan H 0 hpotez kabul edlr. Buna göre yaştak değşmelern doğum ağırlığı üzerne br etks yoktur. 30

40 4. BULGULAR VE TARTIŞMA Savaş OKUR 4.4. En Küçük Kareler Varyans Analz Çzelge 4.. Yaş (X) ve Doğum Ağırlığı (Y) Değşkenler İçn; E.K.K. Varyans Analz Tablosu Varyans Kaynağı Serbestlk Dereces Kareler Toplamı Kareler Ortalaması F Regresyon /0.807= Hata Genel Parametrk Olmayan Mood-Brown Yöntem İle İlgl Bulgular X değşkennn medyan değer.6 olup, gözlemlern brnde 9, brnde de 8 gözlem bulunur. Medyanın altındak gözlemler 9 tane, medyanın yukarısındak gözlemler se, 8 tanedr. Çzelge 4. e bakıldığı zamantahmn edlen regresyon model statstk olarak önemszdr. X ve Y nn medyan değerler, medyanın altında X=.6 ve Y=4 ken, medyanın yukarısında X=3.35 ve Y= 4.55 dr. b çn lk yaklaşım: b ( ) ( ) ( 0.55) (.535) = = = 0.34 dr. Mood-Brown regresyon doğrusuna lk yaklaşım; Yˆ = X 3

41 4. BULGULAR VE TARTIŞMA Savaş OKUR dır. Gözlemlern medyanları her k grup çn de sıfır olmadığından doğrunun görsel br ayarlaması yapılır. b ( ) ( 3..) ( 0.7) () ' = = = 0.7 Düzeltlmş ' b =0.7 ve a=.98 dr. Düzeltlmş Mood-Brown regresyon doğrusu se; Yˆ = X dr. Buna göre; Yen doğmuş br kuzunun doğum ağırlığının.98 kg olması beklenr. Yne benzer şeklde koyunun yaşı yaş arttığı zaman doğum ağırlığının da 0.7 kg artması beklenr Parametrk Olmayan Thel Yöntem İle İlgl Bulgular Yaş ve doğum ağırlığı arasındak lşky tanımlamak çn, β eğm katsayısı bulunmalıdır. Thel yöntem kullanıldığında 57 = 596 tane b değer bulunur. Bu sıralı b lern medyan değer olup, β eğm katsayısı tahmn dr. Buradan medyan X =.6 ve medyan Y= 4.5 olduğundan αˆ : αˆ = 4.5-(0.089)(.6) = 4.30 olarak bulunur. Thel çn tahmn bast regresyon eştlğ: Yˆ = olarak bulunur. X 3

42 4. BULGULAR VE TARTIŞMA Savaş OKUR Buna göre; Yen doğmuş br kuzunun doğum ağırlığının 4.30 kg olması beklenr. Yne benzer şeklde koyunun yaşı yaş arttığı zaman doğum ağırlığının da kg artması beklenr Parametrk Olmayan Mood-Brown Hpotez Test İle İlgl Bulgular Yaş ve doğum ağırlığı arasında kurulacak regresyon model çn α ve β katsayılarının her ksne lşkn hpotezlern test yapılmıştır. H H 0 0 : α : α =.98, β =.98, β = şeklndek hpotezde, n =4 ve n =7 bulunmuştur. Test ölçütü se: χ = = (0.40)[(0.06)+(7.56)] =.067 olarak bulunur.. Karar: χ =. 067 değer, tablo dan bulunan χ değernden ( ;0,05) = küçük olduğundan H 0 hpotez %5 önem düzeynde kabul edlmştr. Tahmn edlen edlen regresyon modelnn statstk olarak önemsz olduğu söyleneblr Parametrk Olmayan b =b 0 Test İle İlgl Bulgular H H 0 : β : β = 0 > 0 33

43 4. BULGULAR VE TARTIŞMA Savaş OKUR şeklndek hpotezde, n =3 bulunmuştur. Test ölçütü se: 6 57 χ b = 3 = olarak bulunur Karar: Bu değer, tablodak krtk değer olan χ değern aştığı çn ( 0,05;) = H 0 hpotez %5 önem düzeynde red edlmştr. βˆ parametresnn anlamlı olduğu söyleneblmektedr şeklnde yorumlamak mümkündür Parametrk Olmayan Thel Yöntem Hpotez Test İle İlgl Bulgular Yaş ve doğum ağırlığı ölçümler verlmştr. Bu k ölçüm arasında kurulan regresyon model çn β 0 hpotezn test edelm. 0 = H H 0 : β : β = 0 0 Test Ölçütü: β = 0 0 olduğu çn Y β 0 X = Y olur. (X,Y ) gözlem çft çn Kendall ın Tau ölçütü hesaplanmıştır. Bunun çn gerekl şlemler aşağıda verlmştr. X değşken çn, P ve Q değerler: S.No : P Q ,5 3,5 6 6,5,

44 4. BULGULAR VE TARTIŞMA Savaş OKUR = 57 P = 434 Q = 479 = Bu tablodan: P Q τ = = = = 0.05 olarak bulunur. P + Q n = 57 olduğundan, Z 3τ n( n ) = (n + 5) 3( 0.05) 57(57 ) = (*57 + 5) = olur ve Z α = Z. 96 olarak bulunur. / 0.05 = Karar: Z= değer tablo değernn negatfnden daha büyük olduğu çn H 0 hpotez %5 önem düzeynde kabul edlmştr. Değşkenlerdek ver değerlerne göre, koyunların yaşı ve doğum ağırlığı arasında anlamlı br lşk yoktur. Koyunlar büyük yaşta olursa, doğum ağırlığı azalmaktadır. Koyunlar küçük yaşta olursa, doğum ağırlığı se artmaktadır şeklnde yorumlamak mümkündür. 35

45 4. BULGULAR VE TARTIŞMA Savaş OKUR 4.0. Parametrk Olmayan Bast Doğrusal Regresyon Analznde Eğm Katsayısı İçn Güven Aralığı İle İlgl Bulgular X verler çn β nın %95 güven aralığı: 596 (.96)(45.67) k = = dır. Sıralı b j değerlernn alttan 656 ncı değer β a = -0.0 ve üstten 656 ncı değer β ü = tür. β çn %95 güven aralığı: ( -0.0 < β < ) dır. Buna göre % 95 olasılıkla β parametresnn -0.0 le arasında bulunableceğ söyleneblr. 4.. Medyana Göre Parametre Tahmnn Mood-Brown Varyans Analz Çzelge 4.. Yaş (X) ve Doğum Ağırlığı (Y) Değşkenler İçn; Mood-Brown Varyans Analz Tablosu Varyans Kaynağı Serbestlk Dereces Kareler Toplamı Kareler Ortalaması F Regresyon /0.448=47.09 * Hata Genel *P<0,05 Buna göre regresyon model (tahmn model) statstk olarak öneml bulunmuştur. 36

46 4. BULGULAR VE TARTIŞMA Savaş OKUR Yaş ve doğum ağırlığı verler kullanılarak elde edlen analz sonuçları çzelge (4.) dek tablo sonucu göstermştr k koyunların büyük veya küçük yaşta olması le doğum ağırlığı arasında doğrusal br lşk bulunmaktadır. 4.. Medyana Göre Parametre Tahmnnn Thel Varyans Analz Çzelge 4.3. Yaş (X) ve Doğum Ağırlığı (Y) Değşkenler İçn; Thel Varyans Analz Tablosu Varyans Kaynağı Serbestlk Dereces Kareler Toplamı Kareler Ortalaması F Regresyon /0.85= Hata Genel H 0 hpotez %5 önem düzeynde kabul edlmştr(p>0.05). Thel yöntemne dayalı olarak bu değşkenlere at ver değerlernn kullanılmasıyla hesaplamış olduğumuz regresyon doğrusu, bağımlı ve bağımsız değşkenler arasında doğrusal br lşky göstermemektedr. Yaş ve doğum ağırlığı verler kullanılarak elde edlen analz sonuçları çzelge (4.3) dek tablo sonucu göstermştr k koyunların büyük veya küçük yaşta olması le doğum ağırlığı arasında doğrusal br lşk bulunmamaktadır şeklnde yorumlamak mümkündür Parametrk Olmayan k-en Yakın Komşuluk Tahmn Yöntem (k- NN) İle İlgl Bulgular k-nn tahmn yöntem çn, yaş ve doğum ağırlığı değşkenlernn regresyon parametreler tahmn edlmştr. 37

47 4. BULGULAR VE TARTIŞMA Savaş OKUR 7 6 Doğum Ağırlığı (kg) Yaş (yıl) Şekl 4.. X ve Y Değşkenler İçn Serplme Dyagramı n=57 tane ver ve k=0, x=.6 çn mˆ k ( x) : mˆ ( x) = n k n = W k ( x) Y J x = J,6 = {(.),(.3),(.4),(.6),,(3.),(3.3),(3.4)} W k n / k, ( x) = 0, jx ; jx ; buna göre W k (x) ler; W k (.6)=57/0, W k (.6)= 0, W k3 (.6)= 0, W k4 (.6)=0,, W k55 (.6)= 0, W k56 (.6)= 0, W k57 (.6)= 0 dır. k-nn tahmn se; 38

48 4. BULGULAR VE TARTIŞMA Savaş OKUR ˆm = /57{(57/0*4.5)+(0*3.5)+(0*3.3)+(0*6)+ +(0*6.)+(0*5) +(0*3.)} (,6) 0 (,6) ˆm 0 = /57[ ] = 37.5/57 = 4.6 dır. β katsayısı se; β x C µ. mˆ ( X x x k = formülünden Vx µ x ) µ x = k X j x = /0 *(46.46)=.3 C x = j x X Y = V x = X j x = 3.7 β x (.3)(4.6) = 3.7 (.3) = =.57 dur. α katsayısı se: 39