MAT223 AYRIK MATEMATİK

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "MAT223 AYRIK MATEMATİK"

Transkript

1 MAT223 AYRIK MATEMATİK Kombinatoryal Olasılık 5. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR Öğretim Yılı

2 Olaylar ve Olasılıklar Kombinatoryal Olasılık Olaylar ve Olasılıklar Karşılaşılması düşünülen tüm sonuçların oluşturduğu kümeye örnek uzayı (sample space) denir. 2/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

3 Olaylar ve Olasılıklar Kombinatoryal Olasılık Olaylar ve Olasılıklar Karşılaşılması düşünülen tüm sonuçların oluşturduğu kümeye örnek uzayı (sample space) denir. Örnek uzayı genellikle S ile göstereceğiz. 2/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

4 Olaylar ve Olasılıklar Kombinatoryal Olasılık Olaylar ve Olasılıklar Karşılaşılması düşünülen tüm sonuçların oluşturduğu kümeye örnek uzayı (sample space) denir. Örnek uzayı genellikle S ile göstereceğiz. Örneğin, yazı tura atıldığında S = {Y,T} 2/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

5 Olaylar ve Olasılıklar Kombinatoryal Olasılık Olaylar ve Olasılıklar Karşılaşılması düşünülen tüm sonuçların oluşturduğu kümeye örnek uzayı (sample space) denir. Örnek uzayı genellikle S ile göstereceğiz. Örneğin, yazı tura atıldığında S = {Y, T}, zar atıldığında ise S = {1,2,3,4,5,6} olacaktır. 2/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

6 Olaylar ve Olasılıklar Kombinatoryal Olasılık Olaylar ve Olasılıklar Karşılaşılması düşünülen tüm sonuçların oluşturduğu kümeye örnek uzayı (sample space) denir. Örnek uzayı genellikle S ile göstereceğiz. Örneğin, yazı tura atıldığında S = {Y, T}, zar atıldığında ise S = {1,2,3,4,5,6} olacaktır. Örnek uzayın her alt kümesine bir olay (event) denir. 2/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

7 Olaylar ve Olasılıklar Kombinatoryal Olasılık Olaylar ve Olasılıklar Karşılaşılması düşünülen tüm sonuçların oluşturduğu kümeye örnek uzayı (sample space) denir. Örnek uzayı genellikle S ile göstereceğiz. Örneğin, yazı tura atıldığında S = {Y, T}, zar atıldığında ise S = {1,2,3,4,5,6} olacaktır. Örnek uzayın her alt kümesine bir olay (event) denir. Örneğin, zar atıldığında E = {2, 4, 6} S kümesi zarın çift gelme olayı olarak düşünülebilir. 2/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

8 Olaylar ve Olasılıklar Kombinatoryal Olasılık Olaylar ve Olasılıklar Karşılaşılması düşünülen tüm sonuçların oluşturduğu kümeye örnek uzayı (sample space) denir. Örnek uzayı genellikle S ile göstereceğiz. Örneğin, yazı tura atıldığında S = {Y, T}, zar atıldığında ise S = {1,2,3,4,5,6} olacaktır. Örnek uzayın her alt kümesine bir olay (event) denir. Örneğin, zar atıldığında E = {2, 4, 6} S kümesi zarın çift gelme olayı olarak düşünülebilir. Benzer şekilde, L = {4, 5, 6} S alt kümesi de zarın 3 ten büyük olma olayına karşılık gelir. 2/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

9 Olaylar ve Olasılıklar Kombinatoryal Olasılık Olaylar ve Olasılıklar Karşılaşılması düşünülen tüm sonuçların oluşturduğu kümeye örnek uzayı (sample space) denir. Örnek uzayı genellikle S ile göstereceğiz. Örneğin, yazı tura atıldığında S = {Y, T}, zar atıldığında ise S = {1,2,3,4,5,6} olacaktır. Örnek uzayın her alt kümesine bir olay (event) denir. Örneğin, zar atıldığında E = {2, 4, 6} S kümesi zarın çift gelme olayı olarak düşünülebilir. Benzer şekilde, L = {4, 5, 6} S alt kümesi de zarın 3 ten büyük olma olayına karşılık gelir. İki kümenin arakesiti ise her iki olayın da ortaya çıkma olayına karşılık gelir. 2/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

10 Olaylar ve Olasılıklar Kombinatoryal Olasılık Olaylar ve Olasılıklar Karşılaşılması düşünülen tüm sonuçların oluşturduğu kümeye örnek uzayı (sample space) denir. Örnek uzayı genellikle S ile göstereceğiz. Örneğin, yazı tura atıldığında S = {Y, T}, zar atıldığında ise S = {1,2,3,4,5,6} olacaktır. Örnek uzayın her alt kümesine bir olay (event) denir. Örneğin, zar atıldığında E = {2, 4, 6} S kümesi zarın çift gelme olayı olarak düşünülebilir. Benzer şekilde, L = {4, 5, 6} S alt kümesi de zarın 3 ten büyük olma olayına karşılık gelir. İki kümenin arakesiti ise her iki olayın da ortaya çıkma olayına karşılık gelir. Örneğin, L E = {4,6} alt kümesi zarın hem çift hem de ortalamadan daha büyük olma olayına karşılık gelir. 2/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

11 Olaylar ve Olasılıklar Eğer A ve B olayları (yani S nin alt kümeleri) için A B = ise A ve B olaylarına ayrık (exclusive) olaylar denir. 3/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

12 Olaylar ve Olasılıklar Eğer A ve B olayları (yani S nin alt kümeleri) için A B = ise A ve B olaylarına ayrık (exclusive) olaylar denir. Örneğin, O = {1, 3, 5} zarın tek gelme olayı ise E O = olduğundan E ve O olayları ayrık olaylar olur. 3/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

13 Olaylar ve Olasılıklar Eğer A ve B olayları (yani S nin alt kümeleri) için A B = ise A ve B olaylarına ayrık (exclusive) olaylar denir. Örneğin, O = {1, 3, 5} zarın tek gelme olayı ise E O = olduğundan E ve O olayları ayrık olaylar olur. A B S alt kümesi (olayı) ise A ya da B olaylarından en az birisinin ortaya çıkma olayına karşılık gelecektir. 3/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

14 Olaylar ve Olasılıklar Eğer A ve B olayları (yani S nin alt kümeleri) için A B = ise A ve B olaylarına ayrık (exclusive) olaylar denir. Örneğin, O = {1, 3, 5} zarın tek gelme olayı ise E O = olduğundan E ve O olayları ayrık olaylar olur. A B S alt kümesi (olayı) ise A ya da B olaylarından en az birisinin ortaya çıkma olayına karşılık gelecektir. Örneğin, L E = {2,4,5,6} S alt kümesi zarın çift ya da 3 ten büyük gelme olayına karşılık gelir. 3/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

15 Olaylar ve Olasılıklar S = {s 1,s 2,...,s k } kümesi bir rassal deney 1 sonucu karşılaşılabilecek sonuçlar kümesi (örnek uzayı) olsun. 1 Bir deneyin bütün olası sonuçlarını biliyorsak, Deney uygulandığında onun hangi sonuçla sonuçlanacağını bilmiyorsak ve Deney aynı koşullar altında tekrarlanabiliyorsa bu bir rassal deneydir. 4/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

16 Olaylar ve Olasılıklar S = {s 1,s 2,...,s k } kümesi bir rassal deney 1 sonucu karşılaşılabilecek sonuçlar kümesi (örnek uzayı) olsun. s i S için s i nin ortaya çıkma olasılığı P(s i ) ile gösterilir ve 1 Bir deneyin bütün olası sonuçlarını biliyorsak, Deney uygulandığında onun hangi sonuçla sonuçlanacağını bilmiyorsak ve Deney aynı koşullar altında tekrarlanabiliyorsa bu bir rassal deneydir. 4/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

17 Olaylar ve Olasılıklar S = {s 1,s 2,...,s k } kümesi bir rassal deney 1 sonucu karşılaşılabilecek sonuçlar kümesi (örnek uzayı) olsun. s i S için s i nin ortaya çıkma olasılığı P(s i ) ile gösterilir ve Her s i S için P(s i ) 0, 1 Bir deneyin bütün olası sonuçlarını biliyorsak, Deney uygulandığında onun hangi sonuçla sonuçlanacağını bilmiyorsak ve Deney aynı koşullar altında tekrarlanabiliyorsa bu bir rassal deneydir. 4/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

18 Olaylar ve Olasılıklar S = {s 1,s 2,...,s k } kümesi bir rassal deney 1 sonucu karşılaşılabilecek sonuçlar kümesi (örnek uzayı) olsun. s i S için s i nin ortaya çıkma olasılığı P(s i ) ile gösterilir ve Her s i S için P(s i ) 0, P(s 1 )+P(s 2 )+ +P(s k ) = 1 koşullarını sağlar. 1 Bir deneyin bütün olası sonuçlarını biliyorsak, Deney uygulandığında onun hangi sonuçla sonuçlanacağını bilmiyorsak ve Deney aynı koşullar altında tekrarlanabiliyorsa bu bir rassal deneydir. 4/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

19 Olaylar ve Olasılıklar S = {s 1,s 2,...,s k } kümesi bir rassal deney 1 sonucu karşılaşılabilecek sonuçlar kümesi (örnek uzayı) olsun. s i S için s i nin ortaya çıkma olasılığı P(s i ) ile gösterilir ve Her s i S için P(s i ) 0, P(s 1 )+P(s 2 )+ +P(s k ) = 1 koşullarını sağlar. Bu olasılıklar ile birlikte S ye olasılık uzayı denir. 1 Bir deneyin bütün olası sonuçlarını biliyorsak, Deney uygulandığında onun hangi sonuçla sonuçlanacağını bilmiyorsak ve Deney aynı koşullar altında tekrarlanabiliyorsa bu bir rassal deneydir. 4/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

20 Olaylar ve Olasılıklar S = {s 1,s 2,...,s k } kümesi bir rassal deney 1 sonucu karşılaşılabilecek sonuçlar kümesi (örnek uzayı) olsun. s i S için s i nin ortaya çıkma olasılığı P(s i ) ile gösterilir ve Her s i S için P(s i ) 0, P(s 1 )+P(s 2 )+ +P(s k ) = 1 koşullarını sağlar. Bu olasılıklar ile birlikte S ye olasılık uzayı denir. Yazı Tura: P(Y) = P(T) = Bir deneyin bütün olası sonuçlarını biliyorsak, Deney uygulandığında onun hangi sonuçla sonuçlanacağını bilmiyorsak ve Deney aynı koşullar altında tekrarlanabiliyorsa bu bir rassal deneydir. 4/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

21 Olaylar ve Olasılıklar S = {s 1,s 2,...,s k } kümesi bir rassal deney 1 sonucu karşılaşılabilecek sonuçlar kümesi (örnek uzayı) olsun. s i S için s i nin ortaya çıkma olasılığı P(s i ) ile gösterilir ve Her s i S için P(s i ) 0, P(s 1 )+P(s 2 )+ +P(s k ) = 1 koşullarını sağlar. Bu olasılıklar ile birlikte S ye olasılık uzayı denir. Yazı Tura: P(Y) = P(T) = 1 2 Zar: P(i) = Bir deneyin bütün olası sonuçlarını biliyorsak, Deney uygulandığında onun hangi sonuçla sonuçlanacağını bilmiyorsak ve Deney aynı koşullar altında tekrarlanabiliyorsa bu bir rassal deneydir. 4/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

22 Olaylar ve Olasılıklar S = {s 1,s 2,...,s k } kümesi bir rassal deney 1 sonucu karşılaşılabilecek sonuçlar kümesi (örnek uzayı) olsun. s i S için s i nin ortaya çıkma olasılığı P(s i ) ile gösterilir ve Her s i S için P(s i ) 0, P(s 1 )+P(s 2 )+ +P(s k ) = 1 koşullarını sağlar. Bu olasılıklar ile birlikte S ye olasılık uzayı denir. Yazı Tura: P(Y) = P(T) = 1 2 Zar: P(i) = 1 6 Her bir sonucun ortaya çıkma olasılığı aynı ise bu olasılık uzayına düzgün olasılık uzayı denir. 1 Bir deneyin bütün olası sonuçlarını biliyorsak, Deney uygulandığında onun hangi sonuçla sonuçlanacağını bilmiyorsak ve Deney aynı koşullar altında tekrarlanabiliyorsa bu bir rassal deneydir. 4/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

23 Olaylar ve Olasılıklar S = {s 1,s 2,...,s k } kümesi bir rassal deney 1 sonucu karşılaşılabilecek sonuçlar kümesi (örnek uzayı) olsun. s i S için s i nin ortaya çıkma olasılığı P(s i ) ile gösterilir ve Her s i S için P(s i ) 0, P(s 1 )+P(s 2 )+ +P(s k ) = 1 koşullarını sağlar. Bu olasılıklar ile birlikte S ye olasılık uzayı denir. Yazı Tura: P(Y) = P(T) = 1 2 Zar: P(i) = 1 6 Her bir sonucun ortaya çıkma olasılığı aynı ise bu olasılık uzayına düzgün olasılık uzayı denir. Biz bu derste sadece bu tip uzaylar ile ilgileneceğiz. 1 Bir deneyin bütün olası sonuçlarını biliyorsak, Deney uygulandığında onun hangi sonuçla sonuçlanacağını bilmiyorsak ve Deney aynı koşullar altında tekrarlanabiliyorsa bu bir rassal deneydir. 4/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

24 Olaylar ve Olasılıklar S = {s 1,s 2,...,s k } kümesi bir rassal deney 1 sonucu karşılaşılabilecek sonuçlar kümesi (örnek uzayı) olsun. s i S için s i nin ortaya çıkma olasılığı P(s i ) ile gösterilir ve Her s i S için P(s i ) 0, P(s 1 )+P(s 2 )+ +P(s k ) = 1 koşullarını sağlar. Bu olasılıklar ile birlikte S ye olasılık uzayı denir. Yazı Tura: P(Y) = P(T) = 1 2 Zar: P(i) = 1 6 Her bir sonucun ortaya çıkma olasılığı aynı ise bu olasılık uzayına düzgün olasılık uzayı denir. Biz bu derste sadece bu tip uzaylar ile ilgileneceğiz. Eğer havanın yağmurlu ya da yağmurlu olmaması ile ilgileniyorsak, S = {Yağmurlu, Yağmurlu değil} olur. 1 Bir deneyin bütün olası sonuçlarını biliyorsak, Deney uygulandığında onun hangi sonuçla sonuçlanacağını bilmiyorsak ve Deney aynı koşullar altında tekrarlanabiliyorsa bu bir rassal deneydir. 4/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

25 Olaylar ve Olasılıklar S = {s 1,s 2,...,s k } kümesi bir rassal deney 1 sonucu karşılaşılabilecek sonuçlar kümesi (örnek uzayı) olsun. s i S için s i nin ortaya çıkma olasılığı P(s i ) ile gösterilir ve Her s i S için P(s i ) 0, P(s 1 )+P(s 2 )+ +P(s k ) = 1 koşullarını sağlar. Bu olasılıklar ile birlikte S ye olasılık uzayı denir. Yazı Tura: P(Y) = P(T) = 1 2 Zar: P(i) = 1 6 Her bir sonucun ortaya çıkma olasılığı aynı ise bu olasılık uzayına düzgün olasılık uzayı denir. Biz bu derste sadece bu tip uzaylar ile ilgileneceğiz. Eğer havanın yağmurlu ya da yağmurlu olmaması ile ilgileniyorsak, S = {Yağmurlu, Yağmurlu değil} olur. Elbette bunların olasılıkları aynı olmadığı için bu uzay düzgün olasılık uzayı değildir. 1 Bir deneyin bütün olası sonuçlarını biliyorsak, Deney uygulandığında onun hangi sonuçla sonuçlanacağını bilmiyorsak ve Deney aynı koşullar altında tekrarlanabiliyorsa bu bir rassal deneydir. 4/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

26 Olaylar ve Olasılıklar S = {s 1,s 2,...,s k } kümesi bir rassal deney sonucu karşılaşılabilecek sonuçlar kümesi (örnek uzayı) olsun. 5/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

27 Olaylar ve Olasılıklar S = {s 1,s 2,...,s k } kümesi bir rassal deney sonucu karşılaşılabilecek sonuçlar kümesi (örnek uzayı) olsun. A S olayının meydana gelme olasılığı P(A) ile gösterilir 5/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

28 Olaylar ve Olasılıklar S = {s 1,s 2,...,s k } kümesi bir rassal deney sonucu karşılaşılabilecek sonuçlar kümesi (örnek uzayı) olsun. A S olayının meydana gelme olasılığı P(A) ile gösterilir ve düzgün olasılık uzayında ile tanımlanır. P(A) = A S = A k 5/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

29 Olaylar ve Olasılıklar S = {s 1,s 2,...,s k } kümesi bir rassal deney sonucu karşılaşılabilecek sonuçlar kümesi (örnek uzayı) olsun. A S olayının meydana gelme olasılığı P(A) ile gösterilir ve düzgün olasılık uzayında P(A) = A S = A k ile tanımlanır. Yani P(A), A daki her bir öğenin ortaya çıkma olasılıklarının toplamı olur. 5/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

30 Olaylar ve Olasılıklar S = {s 1,s 2,...,s k } kümesi bir rassal deney sonucu karşılaşılabilecek sonuçlar kümesi (örnek uzayı) olsun. A S olayının meydana gelme olasılığı P(A) ile gösterilir ve düzgün olasılık uzayında P(A) = A S = A k ile tanımlanır. Yani P(A), A daki her bir öğenin ortaya çıkma olasılıklarının toplamı olur. Kolayca gösterilebilir ki, A ve B ayrık olaylar ise P(A)+P(B) = P(A B) 5/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

31 Olaylar ve Olasılıklar S = {s 1,s 2,...,s k } kümesi bir rassal deney sonucu karşılaşılabilecek sonuçlar kümesi (örnek uzayı) olsun. A S olayının meydana gelme olasılığı P(A) ile gösterilir ve düzgün olasılık uzayında P(A) = A S = A k ile tanımlanır. Yani P(A), A daki her bir öğenin ortaya çıkma olasılıklarının toplamı olur. Kolayca gösterilebilir ki, A ve B ayrık olaylar ise P(A)+P(B) = P(A B), Herhangi iki A ve B olayı için olur. (Alıştırma ve 5.1.5) P(A B)+P(A B) = P(A)+P(B) 5/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

32 Bağımsız Olaylar Bir rassal deney aynı koşullar altında n defa tekrarlansın. 6/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

33 Bağımsız Olaylar Bir rassal deney aynı koşullar altında n defa tekrarlansın. Bunu tek bir deney şeklinde düşünmek de mümkündür. 6/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

34 Bağımsız Olaylar Bir rassal deney aynı koşullar altında n defa tekrarlansın. Bunu tek bir deney şeklinde düşünmek de mümkündür. Bu durumda sonuç, S örnek uzayının elemanlarından oluşan n bileşenli bir dizi gibi düşünülebilir. 6/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

35 Bağımsız Olaylar Bir rassal deney aynı koşullar altında n defa tekrarlansın. Bunu tek bir deney şeklinde düşünmek de mümkündür. Bu durumda sonuç, S örnek uzayının elemanlarından oluşan n bileşenli bir dizi gibi düşünülebilir. n defa tekrar eden bu olayın örnek uzayını ile gösterebiliriz. S S S = S n 6/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

36 Bağımsız Olaylar Bir rassal deney aynı koşullar altında n defa tekrarlansın. Bunu tek bir deney şeklinde düşünmek de mümkündür. Bu durumda sonuç, S örnek uzayının elemanlarından oluşan n bileşenli bir dizi gibi düşünülebilir. n defa tekrar eden bu olayın örnek uzayını S S S = S n ile gösterebiliriz. Buradan, ortaya çıkabilecek sonuçların sayısı k n olur. 6/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

37 Bağımsız Olaylar Bir rassal deney aynı koşullar altında n defa tekrarlansın. Bunu tek bir deney şeklinde düşünmek de mümkündür. Bu durumda sonuç, S örnek uzayının elemanlarından oluşan n bileşenli bir dizi gibi düşünülebilir. n defa tekrar eden bu olayın örnek uzayını S S S = S n ile gösterebiliriz. Buradan, ortaya çıkabilecek sonuçların sayısı k n olur. O halde (a 1,a 2,...,a n ) S n sonucunun ortaya çıkma olasılığı, 6/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

38 Bağımsız Olaylar Bir rassal deney aynı koşullar altında n defa tekrarlansın. Bunu tek bir deney şeklinde düşünmek de mümkündür. Bu durumda sonuç, S örnek uzayının elemanlarından oluşan n bileşenli bir dizi gibi düşünülebilir. n defa tekrar eden bu olayın örnek uzayını S S S = S n ile gösterebiliriz. Buradan, ortaya çıkabilecek sonuçların sayısı k n olur. O halde (a 1,a 2,...,a n ) S n sonucunun ortaya çıkma olasılığı, olur. P(a 1,a 2,...,a n ) = 1 k n 6/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

39 Bağımsız Olaylar Bir rassal deney aynı koşullar altında n defa tekrarlansın. Bunu tek bir deney şeklinde düşünmek de mümkündür. Bu durumda sonuç, S örnek uzayının elemanlarından oluşan n bileşenli bir dizi gibi düşünülebilir. n defa tekrar eden bu olayın örnek uzayını S S S = S n ile gösterebiliriz. Buradan, ortaya çıkabilecek sonuçların sayısı k n olur. O halde (a 1,a 2,...,a n ) S n sonucunun ortaya çıkma olasılığı, olur. P(a 1,a 2,...,a n ) = 1 k n Örneğin, iki defa yazı tura atılsın. 6/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

40 Bağımsız Olaylar Bir rassal deney aynı koşullar altında n defa tekrarlansın. Bunu tek bir deney şeklinde düşünmek de mümkündür. Bu durumda sonuç, S örnek uzayının elemanlarından oluşan n bileşenli bir dizi gibi düşünülebilir. n defa tekrar eden bu olayın örnek uzayını S S S = S n ile gösterebiliriz. Buradan, ortaya çıkabilecek sonuçların sayısı k n olur. O halde (a 1,a 2,...,a n ) S n sonucunun ortaya çıkma olasılığı, olur. P(a 1,a 2,...,a n ) = 1 k n Örneğin, iki defa yazı tura atılsın. Bu durumda S = {Y, T} iken S 2 = S S = {YY,YT,TY,TT} olur. 6/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

41 Bağımsız Olaylar Bir rassal deney aynı koşullar altında n defa tekrarlansın. Bunu tek bir deney şeklinde düşünmek de mümkündür. Bu durumda sonuç, S örnek uzayının elemanlarından oluşan n bileşenli bir dizi gibi düşünülebilir. n defa tekrar eden bu olayın örnek uzayını S S S = S n ile gösterebiliriz. Buradan, ortaya çıkabilecek sonuçların sayısı k n olur. O halde (a 1,a 2,...,a n ) S n sonucunun ortaya çıkma olasılığı, olur. P(a 1,a 2,...,a n ) = 1 k n Örneğin, iki defa yazı tura atılsın. Bu durumda S = {Y, T} iken S 2 = S S = {YY,YT,TY,TT} olur. Böylece her bir sonucun ortaya çıkma olasılığı 1 4 elde edilir. 6/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

42 Bağımsız Olaylar İki veya daha fazla olayın her birinin ortaya çıkması bir diğerine bağlı değilse bunlara bağımsız olaylar denir. 7/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

43 Bağımsız Olaylar İki veya daha fazla olayın her birinin ortaya çıkması bir diğerine bağlı değilse bunlara bağımsız olaylar denir. Formal olarak, P(A B) = P(A)P(B) ise A ve B olayları bağımsız olaylardır. 7/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

44 Bağımsız Olaylar İki veya daha fazla olayın her birinin ortaya çıkması bir diğerine bağlı değilse bunlara bağımsız olaylar denir. Formal olarak, P(A B) = P(A)P(B) ise A ve B olayları bağımsız olaylardır. Örneğin, yine iki kez yazı tura atıldığını düşünelim. A olayı ilk paranın tura gelmesi, B olayı ise ikinci paranın tura gelmesi olsun. 7/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

45 Bağımsız Olaylar İki veya daha fazla olayın her birinin ortaya çıkması bir diğerine bağlı değilse bunlara bağımsız olaylar denir. Formal olarak, P(A B) = P(A)P(B) ise A ve B olayları bağımsız olaylardır. Örneğin, yine iki kez yazı tura atıldığını düşünelim. A olayı ilk paranın tura gelmesi, B olayı ise ikinci paranın tura gelmesi olsun. Bu durumda P(A) = P(TT)+P(TY) = = 1 2 7/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

46 Bağımsız Olaylar İki veya daha fazla olayın her birinin ortaya çıkması bir diğerine bağlı değilse bunlara bağımsız olaylar denir. Formal olarak, P(A B) = P(A)P(B) ise A ve B olayları bağımsız olaylardır. Örneğin, yine iki kez yazı tura atıldığını düşünelim. A olayı ilk paranın tura gelmesi, B olayı ise ikinci paranın tura gelmesi olsun. Bu durumda P(A) = P(TT)+P(TY) = = 1 2 P(B) = P(TT)+P(YT) = = 1 2 7/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

47 Bağımsız Olaylar İki veya daha fazla olayın her birinin ortaya çıkması bir diğerine bağlı değilse bunlara bağımsız olaylar denir. Formal olarak, P(A B) = P(A)P(B) ise A ve B olayları bağımsız olaylardır. Örneğin, yine iki kez yazı tura atıldığını düşünelim. A olayı ilk paranın tura gelmesi, B olayı ise ikinci paranın tura gelmesi olsun. Bu durumda P(A) = P(TT)+P(TY) = = 1 2 P(B) = P(TT)+P(YT) = = 1 2 olur. P(A B) = P(TT) = 1 4 7/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

48 Bağımsız Olaylar İki veya daha fazla olayın her birinin ortaya çıkması bir diğerine bağlı değilse bunlara bağımsız olaylar denir. Formal olarak, P(A B) = P(A)P(B) ise A ve B olayları bağımsız olaylardır. Örneğin, yine iki kez yazı tura atıldığını düşünelim. A olayı ilk paranın tura gelmesi, B olayı ise ikinci paranın tura gelmesi olsun. Bu durumda P(A) = P(TT)+P(TY) = = 1 2 P(B) = P(TT)+P(YT) = = 1 2 P(A B) = P(TT) = 1 4 olur. 1 4 = P(A B) = P(A)P(B) = olduğundan A ve B (beklendiği gibi) bağımsız olaylardır. 7/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

49 Bağımsız Olaylar Aynı anda hem yazı tura hem de zar atılsın. Bu durumda örnek uzay olur. S = {T1,T2,T3,T4,T5,T6,Y 1,Y2,Y 3,Y 4,Y 5,Y 6} 8/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

50 Bağımsız Olaylar Aynı anda hem yazı tura hem de zar atılsın. Bu durumda örnek uzay S = {T1,T2,T3,T4,T5,T6,Y 1,Y2,Y 3,Y 4,Y 5,Y 6} olur. Paranın tura gelme olasılığı, P(T) = 1 2 olur. 8/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

51 Bağımsız Olaylar Aynı anda hem yazı tura hem de zar atılsın. Bu durumda örnek uzay olur. S = {T1,T2,T3,T4,T5,T6,Y 1,Y2,Y 3,Y 4,Y 5,Y 6} Paranın tura gelme olasılığı, P(T) = 1 2 olur. Zarın 5 ya da 6 olma olayı K ile gösterilirse, P(K) = 1 3 olur. 8/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

52 Bağımsız Olaylar Aynı anda hem yazı tura hem de zar atılsın. Bu durumda örnek uzay olur. S = {T1,T2,T3,T4,T5,T6,Y 1,Y2,Y 3,Y 4,Y 5,Y 6} Paranın tura gelme olasılığı, P(T) = 1 2 olur. Zarın 5 ya da 6 olma olayı K ile gösterilirse, P(K) = 1 3 olur. Paranın tura ve zarın 5 ya da 6 olma olasılığı ise örnek uzayın eleman sayısı 12 olduğundan ve bunlardan sadece ikisinde (T5 ve T6) para tura, zar 5 veya 6 olduğundan P(T K) = 1 6 olur. 8/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

53 Bağımsız Olaylar Aynı anda hem yazı tura hem de zar atılsın. Bu durumda örnek uzay olur. S = {T1,T2,T3,T4,T5,T6,Y 1,Y2,Y 3,Y 4,Y 5,Y 6} Paranın tura gelme olasılığı, P(T) = 1 2 olur. Zarın 5 ya da 6 olma olayı K ile gösterilirse, P(K) = 1 3 olur. Paranın tura ve zarın 5 ya da 6 olma olasılığı ise örnek uzayın eleman sayısı 12 olduğundan ve bunlardan sadece ikisinde (T5 ve T6) para tura, zar 5 veya 6 olduğundan P(T K) = 1 6 olur. Ayrıca, P(H K) = 1 6 = = P(H)P(K) olduğundan H ve K olayları bağımsız olaylardır. 8/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

54 Büyük Sayılar Kanunu Kombinatoryal Olasılık Büyük Sayılar Kanunu Birbirinden bağımsız olarak n kez yazı tura atıldığını düşünelim. 9/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

55 Büyük Sayılar Kanunu Kombinatoryal Olasılık Büyük Sayılar Kanunu Birbirinden bağımsız olarak n kez yazı tura atıldığını düşünelim. İşlemlerde kolaylık olması açısından n nin çift sayı olduğunu kabul edeceğiz. 9/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

56 Büyük Sayılar Kanunu Kombinatoryal Olasılık Büyük Sayılar Kanunu Birbirinden bağımsız olarak n kez yazı tura atıldığını düşünelim. İşlemlerde kolaylık olması açısından n nin çift sayı olduğunu kabul edeceğiz. Bu durumda m bir tam sayı olmak üzere n = 2m yazabiliriz. 9/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

57 Büyük Sayılar Kanunu Kombinatoryal Olasılık Büyük Sayılar Kanunu Birbirinden bağımsız olarak n kez yazı tura atıldığını düşünelim. İşlemlerde kolaylık olması açısından n nin çift sayı olduğunu kabul edeceğiz. Bu durumda m bir tam sayı olmak üzere n = 2m yazabiliriz. Her bir sonucu YTTYYYTYTYYYTTTYTYYTYTYYTYTTYT (n = 30) şeklinde Y ve T karakterlerinden oluşan n karakter uzunluğunda bir karakter dizisi gibi düşünebiliriz. 9/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

58 Büyük Sayılar Kanunu Kombinatoryal Olasılık Büyük Sayılar Kanunu Birbirinden bağımsız olarak n kez yazı tura atıldığını düşünelim. İşlemlerde kolaylık olması açısından n nin çift sayı olduğunu kabul edeceğiz. Bu durumda m bir tam sayı olmak üzere n = 2m yazabiliriz. Her bir sonucu YTTYYYTYTYYYTTTYTYYTYTYYTYTTYT (n = 30) şeklinde Y ve T karakterlerinden oluşan n karakter uzunluğunda bir karakter dizisi gibi düşünebiliriz. Kabaca büyük sayılar kanunu, bir çok kez yazı tura atıldığında yazıların sayısı ile turaların sayısının birbirine yakın olduğunu ifade eder. 9/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

59 Büyük Sayılar Kanunu Kombinatoryal Olasılık Büyük Sayılar Kanunu Birbirinden bağımsız olarak n kez yazı tura atıldığını düşünelim. İşlemlerde kolaylık olması açısından n nin çift sayı olduğunu kabul edeceğiz. Bu durumda m bir tam sayı olmak üzere n = 2m yazabiliriz. Her bir sonucu YTTYYYTYTYYYTTTYTYYTYTYYTYTTYT (n = 30) şeklinde Y ve T karakterlerinden oluşan n karakter uzunluğunda bir karakter dizisi gibi düşünebiliriz. Kabaca büyük sayılar kanunu, bir çok kez yazı tura atıldığında yazıların sayısı ile turaların sayısının birbirine yakın olduğunu ifade eder. Bunu daha kesin olarak nasıl ifade edebiliriz? 9/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

60 Büyük Sayılar Kanunu Kombinatoryal Olasılık Büyük Sayılar Kanunu Birbirinden bağımsız olarak n kez yazı tura atıldığını düşünelim. İşlemlerde kolaylık olması açısından n nin çift sayı olduğunu kabul edeceğiz. Bu durumda m bir tam sayı olmak üzere n = 2m yazabiliriz. Her bir sonucu YTTYYYTYTYYYTTTYTYYTYTYYTYTTYT (n = 30) şeklinde Y ve T karakterlerinden oluşan n karakter uzunluğunda bir karakter dizisi gibi düşünebiliriz. Kabaca büyük sayılar kanunu, bir çok kez yazı tura atıldığında yazıların sayısı ile turaların sayısının birbirine yakın olduğunu ifade eder. Bunu daha kesin olarak nasıl ifade edebiliriz? Elbette bu ifade her zaman doğru olmayabilir; aşırı şanslı (ya da şanssız) bir kişi çok sayıda tura (ya da yazı) atabilir. 9/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

61 Büyük Sayılar Kanunu Kombinatoryal Olasılık Büyük Sayılar Kanunu Birbirinden bağımsız olarak n kez yazı tura atıldığını düşünelim. İşlemlerde kolaylık olması açısından n nin çift sayı olduğunu kabul edeceğiz. Bu durumda m bir tam sayı olmak üzere n = 2m yazabiliriz. Her bir sonucu YTTYYYTYTYYYTTTYTYYTYTYYTYTTYT (n = 30) şeklinde Y ve T karakterlerinden oluşan n karakter uzunluğunda bir karakter dizisi gibi düşünebiliriz. Kabaca büyük sayılar kanunu, bir çok kez yazı tura atıldığında yazıların sayısı ile turaların sayısının birbirine yakın olduğunu ifade eder. Bunu daha kesin olarak nasıl ifade edebiliriz? Elbette bu ifade her zaman doğru olmayabilir; aşırı şanslı (ya da şanssız) bir kişi çok sayıda tura (ya da yazı) atabilir. Ayrıca, turaların sayısının yazıların sayısına eşit olacağını da iddia edemeyiz. 9/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

62 Büyük Sayılar Kanunu Kombinatoryal Olasılık Büyük Sayılar Kanunu Birbirinden bağımsız olarak n kez yazı tura atıldığını düşünelim. İşlemlerde kolaylık olması açısından n nin çift sayı olduğunu kabul edeceğiz. Bu durumda m bir tam sayı olmak üzere n = 2m yazabiliriz. Her bir sonucu YTTYYYTYTYYYTTTYTYYTYTYYTYTTYT (n = 30) şeklinde Y ve T karakterlerinden oluşan n karakter uzunluğunda bir karakter dizisi gibi düşünebiliriz. Kabaca büyük sayılar kanunu, bir çok kez yazı tura atıldığında yazıların sayısı ile turaların sayısının birbirine yakın olduğunu ifade eder. Bunu daha kesin olarak nasıl ifade edebiliriz? Elbette bu ifade her zaman doğru olmayabilir; aşırı şanslı (ya da şanssız) bir kişi çok sayıda tura (ya da yazı) atabilir. Ayrıca, turaların sayısının yazıların sayısına eşit olacağını da iddia edemeyiz. Ancak, bunların sayısının birbirine yakın olabileceğini söyleyebiliriz. 9/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

63 Büyük Sayılar Kanunu n defa yazı tura atıldığında turaların sayısının %49 ile %51 arasında olma olasılığı n için 1 e yaklaşır. 10/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

64 Büyük Sayılar Kanunu n defa yazı tura atıldığında turaların sayısının %49 ile %51 arasında olma olasılığı n için 1 e yaklaşır. Bu ifade %49, %49.9 ile ve %51, %50.1 ile değiştirildiğinde de doğrudur. 10/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

65 Büyük Sayılar Kanunu n defa yazı tura atıldığında turaların sayısının %49 ile %51 arasında olma olasılığı n için 1 e yaklaşır. Bu ifade %49, %49.9 ile ve %51, %50.1 ile değiştirildiğinde de doğrudur. Bu durumda büyük sayılar kanununun en basit halini aşağıdaki teorem ile verebiliriz. 10/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

66 Büyük Sayılar Kanunu n defa yazı tura atıldığında turaların sayısının %49 ile %51 arasında olma olasılığı n için 1 e yaklaşır. Bu ifade %49, %49.9 ile ve %51, %50.1 ile değiştirildiğinde de doğrudur. Bu durumda büyük sayılar kanununun en basit halini aşağıdaki teorem ile verebiliriz. Teorem ε yeterince küçük bir sayı olmak üzere n defa yazı tura atıldığında turaların sayısının 0.5 ε ile ε arasında olma olasılığı n iken 1 e yaklaşır. 10/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

67 Büyük Sayılar Kanunu Soru n sayısını kaç almalıyız ki, %99 ihtimalle turaların sayısı %49 ile %51 arasında olsun? 11/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

68 Büyük Sayılar Kanunu Soru n sayısını kaç almalıyız ki, %99 ihtimalle turaların sayısı %49 ile %51 arasında olsun? Aşağıdaki teorem Pascal üçgeni yardımıyla bu sorunun cevabını vermektedir. 11/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

69 Büyük Sayılar Kanunu Soru n sayısını kaç almalıyız ki, %99 ihtimalle turaların sayısı %49 ile %51 arasında olsun? Aşağıdaki teorem Pascal üçgeni yardımıyla bu sorunun cevabını vermektedir. Teorem 0 t m olsun. Bu durumda 2m kez yazı tura atıldığında turaların sayısının m t den az ya da m+t den çok olma ihtimali en fazla e t2 /(m+t) olur. 11/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

70 Büyük Sayılar Kanunu Soru n sayısını kaç almalıyız ki, %99 ihtimalle turaların sayısı %49 ile %51 arasında olsun? Aşağıdaki teorem Pascal üçgeni yardımıyla bu sorunun cevabını vermektedir. Teorem 0 t m olsun. Bu durumda 2m kez yazı tura atıldığında turaların sayısının m t den az ya da m+t den çok olma ihtimali en fazla e t2 /(m+t) olur. Dikkat ederseniz bu teorem turaların sayısının bir aralıkta olmama ihtimalinden bahsetmektedir. 11/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

71 Büyük Sayılar Kanunu Bu teorem ile sorulan sorunun yanıtını vermek kolaydır: 12/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

72 Büyük Sayılar Kanunu Bu teorem ile sorulan sorunun yanıtını vermek kolaydır: n = 2m atışın %49 unun m t olmasını istiyoruz. 12/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

73 Büyük Sayılar Kanunu Bu teorem ile sorulan sorunun yanıtını vermek kolaydır: n = 2m atışın %49 unun m t olmasını istiyoruz. Buradan, 49 (2m) = m t /43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

74 Büyük Sayılar Kanunu Bu teorem ile sorulan sorunun yanıtını vermek kolaydır: n = 2m atışın %49 unun m t olmasını istiyoruz. Buradan, 49 (2m) = m t 98m = 100m 100t /43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

75 Büyük Sayılar Kanunu Bu teorem ile sorulan sorunun yanıtını vermek kolaydır: n = 2m atışın %49 unun m t olmasını istiyoruz. Buradan, 49 (2m) = m t 98m = 100m 100t 100t = 2m /43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

76 Büyük Sayılar Kanunu Bu teorem ile sorulan sorunun yanıtını vermek kolaydır: n = 2m atışın %49 unun m t olmasını istiyoruz. Buradan, (2m) = m t 98m = 100m 100t 100t = 2m t = m 50 elde edilir. 12/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

77 Büyük Sayılar Kanunu Bu teorem ile sorulan sorunun yanıtını vermek kolaydır: n = 2m atışın %49 unun m t olmasını istiyoruz. Buradan, (2m) = m t 98m = 100m 100t 100t = 2m t = m 50 elde edilir. O halde t 2 m+t = ( m 50) 2 m+ m 50 = m 2550 olduğundan ve e m/2550 < 0.01 olması istendiğinden m olmalıdır. 12/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

78 Büyük Sayılar Kanunu Bu teorem ile sorulan sorunun yanıtını vermek kolaydır: n = 2m atışın %49 unun m t olmasını istiyoruz. Buradan, (2m) = m t 98m = 100m 100t 100t = 2m t = m 50 elde edilir. O halde t 2 m+t = ( m 50) 2 m+ m 50 = m 2550 olduğundan ve e m/2550 < 0.01 olması istendiğinden m olmalıdır. Yani, = veya daha fazla kez yazı tura atılırsa, %99 ihtimalle turaların sayısı atış sayısının %49 u ile %51 i arasında olur. 12/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

79 Şimdi teoremin kanıtını verelim. Büyük Sayılar Kanunu 13/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

80 Büyük Sayılar Kanunu Şimdi teoremin kanıtını verelim. Kanıt. n defa yazı tura atıldığında tam olarak k tane tura gelme olayını A k ile gösterelim. 13/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

81 Büyük Sayılar Kanunu Şimdi teoremin kanıtını verelim. Kanıt. n defa yazı tura atıldığında tam olarak k tane tura gelme olayını A k ile gösterelim. A k nın ortaya çıkma sayısı n karakter uzunluğundaki string ifadede k karakterin T, n k karakterin ise Y olma sayısına eşittir. 13/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

82 Büyük Sayılar Kanunu Şimdi teoremin kanıtını verelim. Kanıt. n defa yazı tura atıldığında tam olarak k tane tura gelme olayını A k ile gösterelim. A k nın ortaya çıkma sayısı n karakter uzunluğundaki string ifadede k karakterin T, n k karakterin ise Y olma sayısına eşittir. Buradan, A k kümesinin eleman sayısı ( n k) olur. 13/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

83 Şimdi teoremin kanıtını verelim. Kanıt. Büyük Sayılar Kanunu n defa yazı tura atıldığında tam olarak k tane tura gelme olayını A k ile gösterelim. A k nın ortaya çıkma sayısı n karakter uzunluğundaki string ifadede k karakterin T, n k karakterin ise Y olma sayısına eşittir. Buradan, A k kümesinin eleman sayısı ( n k) olur. Tüm mümkün sonuçların sayısı da 2 n olduğundan A k olayının meydana gelme olasılığı ( n k) olur. P(A k ) = 2 n 13/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

84 Şimdi teoremin kanıtını verelim. Kanıt. Büyük Sayılar Kanunu n defa yazı tura atıldığında tam olarak k tane tura gelme olayını A k ile gösterelim. A k nın ortaya çıkma sayısı n karakter uzunluğundaki string ifadede k karakterin T, n k karakterin ise Y olma sayısına eşittir. Buradan, A k kümesinin eleman sayısı ( n k) olur. Tüm mümkün sonuçların sayısı da 2 n olduğundan A k olayının meydana gelme olasılığı ( n k) P(A k ) = olur. k = 1,2,...,n için A k olayları ayrık olaylar olduğundan n = 2m atışta turaların sayısının m t den az ve m+t den çok olma olasılığı [( ) ( ) ( ) 1 2m 2m 2m 2 2m ( 0 ) 1 ( m t ) ( 1)] 2m 2m 2m olur. m+t + 1 2m 1 2m 13/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi 2 n

85 Büyük Sayılar Kanunu 0 k m ve c = ( 2m) ( k / 2m ) m olmak üzere ( 2m 0 ) + olduğunu biliyoruz (bakınız Lemma 3.8.2). ( ) ( ) 2m 2m + + < c 1 k m 14/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

86 Büyük Sayılar Kanunu 0 k m ve c = ( 2m) ( k / 2m ) m olmak üzere ( 2m 0 ) + ( ) ( ) 2m 2m + + < c 1 k m olduğunu biliyoruz (bakınız Lemma 3.8.2). k = m t alırsak, elde ederiz. ( ) 2m + 0 ( ) ( ) ( 2m 2m 2m + + < 2 2m 1 m t ( 1 m t 1 2m m) ) 14/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

87 Büyük Sayılar Kanunu 0 k m ve c = ( 2m) ( k / 2m ) m olmak üzere ( 2m 0 ) + ( ) ( ) 2m 2m + + < c 1 k m olduğunu biliyoruz (bakınız Lemma 3.8.2). k = m t alırsak, ( ) 2m + 0 ( ) ( ) ( 2m 2m 2m + + < 2 2m 1 m t ( 1 m t 1 2m m) elde ederiz. 3. Dersimizde Pascal üçgeninin n. satırının ortadaki elemanıyla bu elemandan t kadar solda (veya sağda) olan elamanların oranı için verdiğimiz değerlendirmeyi kullanırsak, ) 14/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

88 Büyük Sayılar Kanunu 0 k m ve c = ( 2m) ( k / 2m ) m olmak üzere ( 2m 0 ) + ( ) ( ) 2m 2m + + < c 1 k m olduğunu biliyoruz (bakınız Lemma 3.8.2). k = m t alırsak, ( ) 2m + 0 ( ) ( ) ( 2m 2m 2m + + < 2 2m 1 m t ( 1 m t 1 2m m) elde ederiz. 3. Dersimizde Pascal üçgeninin n. satırının ortadaki elemanıyla bu elemandan t kadar solda (veya sağda) olan elamanların oranı için verdiğimiz değerlendirmeyi kullanırsak, ) ( 2m m t ( 2m m ) < e t2 /(m+1) ) yazabiliriz. 14/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

89 Büyük Sayılar Kanunu Buradan, ( 2m 0 ) + ( ) ( ) 2m 2m + + < 2 2m 1 e t2 /(m+1) 1 m t 1 olur. 15/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

90 Büyük Sayılar Kanunu Buradan, ( 2m 0 ) + ( ) ( ) 2m 2m + + < 2 2m 1 e t2 /(m+1) 1 m t 1 olur. Pascal üçgeni simetrik olduğundan ( ) ( ) ( ) 2m 2m 2m < 2 2m e t2 /(m+1) m+t + 1 2m 1 2m olur. 15/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

91 Büyük Sayılar Kanunu Buradan, ( 2m 0 ) + ( ) ( ) 2m 2m + + < 2 2m 1 e t2 /(m+1) 1 m t 1 olur. Pascal üçgeni simetrik olduğundan ( ) ( ) ( ) 2m 2m 2m < 2 2m e t2 /(m+1) m+t + 1 2m 1 2m olur. O halde turaların sayısının m t den az ve m+t den çok olma olasılığı den küçük olur. e t2 /(m+t) 15/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

92 Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu Kabaca küçük sayılar kanunu, küçük sayılar için ilginç fakat büyük sayılar için geçerli olmayan kuralların keşfedilebileceğinden bahseder. 16/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

93 Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu Kabaca küçük sayılar kanunu, küçük sayılar için ilginç fakat büyük sayılar için geçerli olmayan kuralların keşfedilebileceğinden bahseder. Örneğin, her tek sayı asal sayıdır ifadesi sadece ilk üç tek sayı için geçerlidir (3, 5 ve 7). 16/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

94 Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu Kabaca küçük sayılar kanunu, küçük sayılar için ilginç fakat büyük sayılar için geçerli olmayan kuralların keşfedilebileceğinden bahseder. Örneğin, her tek sayı asal sayıdır ifadesi sadece ilk üç tek sayı için geçerlidir (3, 5 ve 7). Daha ilginç bazı örnekler aşağıda sıralanmıştır: 16/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

95 Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu Kabaca küçük sayılar kanunu, küçük sayılar için ilginç fakat büyük sayılar için geçerli olmayan kuralların keşfedilebileceğinden bahseder. Örneğin, her tek sayı asal sayıdır ifadesi sadece ilk üç tek sayı için geçerlidir (3, 5 ve 7). Daha ilginç bazı örnekler aşağıda sıralanmıştır: 1 Her p > 0 tam sayısı için n p nin basamakları toplamı n olacak şekilde bir n > 1 tam sayısı vardır. 16/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

96 Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu Kabaca küçük sayılar kanunu, küçük sayılar için ilginç fakat büyük sayılar için geçerli olmayan kuralların keşfedilebileceğinden bahseder. Örneğin, her tek sayı asal sayıdır ifadesi sadece ilk üç tek sayı için geçerlidir (3, 5 ve 7). Daha ilginç bazı örnekler aşağıda sıralanmıştır: 1 Her p > 0 tam sayısı için n p nin basamakları toplamı n olacak şekilde bir n > 1 tam sayısı vardır. p = 1 için n = 2 alınabilir. 2 1 = 2 16/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

97 Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu Kabaca küçük sayılar kanunu, küçük sayılar için ilginç fakat büyük sayılar için geçerli olmayan kuralların keşfedilebileceğinden bahseder. Örneğin, her tek sayı asal sayıdır ifadesi sadece ilk üç tek sayı için geçerlidir (3, 5 ve 7). Daha ilginç bazı örnekler aşağıda sıralanmıştır: 1 Her p > 0 tam sayısı için n p nin basamakları toplamı n olacak şekilde bir n > 1 tam sayısı vardır. p = 1 için n = 2 alınabilir. 2 1 = 2 p = 2 için n = 9 alınabilir. 9 2 = = 9 16/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

98 Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu Kabaca küçük sayılar kanunu, küçük sayılar için ilginç fakat büyük sayılar için geçerli olmayan kuralların keşfedilebileceğinden bahseder. Örneğin, her tek sayı asal sayıdır ifadesi sadece ilk üç tek sayı için geçerlidir (3, 5 ve 7). Daha ilginç bazı örnekler aşağıda sıralanmıştır: 1 Her p > 0 tam sayısı için n p nin basamakları toplamı n olacak şekilde bir n > 1 tam sayısı vardır. p = 1 için n = 2 alınabilir. 2 1 = 2 p = 2 için n = 9 alınabilir. 9 2 = = 9 p = 3 için n = 8 alınabilir. 8 3 = = 8 16/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

99 Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu Kabaca küçük sayılar kanunu, küçük sayılar için ilginç fakat büyük sayılar için geçerli olmayan kuralların keşfedilebileceğinden bahseder. Örneğin, her tek sayı asal sayıdır ifadesi sadece ilk üç tek sayı için geçerlidir (3, 5 ve 7). Daha ilginç bazı örnekler aşağıda sıralanmıştır: 1 Her p > 0 tam sayısı için n p nin basamakları toplamı n olacak şekilde bir n > 1 tam sayısı vardır. p = 1 için n = 2 alınabilir. 2 1 = 2 p = 2 için n = 9 alınabilir. 9 2 = = 9 p = 3 için n = 8 alınabilir. 8 3 = = 8 p = 4 için n = 7 alınabilir. 7 4 = = 7 16/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

100 Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu Kabaca küçük sayılar kanunu, küçük sayılar için ilginç fakat büyük sayılar için geçerli olmayan kuralların keşfedilebileceğinden bahseder. Örneğin, her tek sayı asal sayıdır ifadesi sadece ilk üç tek sayı için geçerlidir (3, 5 ve 7). Daha ilginç bazı örnekler aşağıda sıralanmıştır: 1 Her p > 0 tam sayısı için n p nin basamakları toplamı n olacak şekilde bir n > 1 tam sayısı vardır. p = 1 için n = 2 alınabilir. 2 1 = 2 p = 2 için n = 9 alınabilir. 9 2 = = 9 p = 3 için n = 8 alınabilir. 8 3 = = 8 p = 4 için n = 7 alınabilir. 7 4 = = 7 p = 5 için n = 28 alınabilir = = 28 16/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

101 Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu Kabaca küçük sayılar kanunu, küçük sayılar için ilginç fakat büyük sayılar için geçerli olmayan kuralların keşfedilebileceğinden bahseder. Örneğin, her tek sayı asal sayıdır ifadesi sadece ilk üç tek sayı için geçerlidir (3, 5 ve 7). Daha ilginç bazı örnekler aşağıda sıralanmıştır: 1 Her p > 0 tam sayısı için n p nin basamakları toplamı n olacak şekilde bir n > 1 tam sayısı vardır. p = 1 için n = 2 alınabilir. 2 1 = 2 p = 2 için n = 9 alınabilir. 9 2 = = 9 p = 3 için n = 8 alınabilir. 8 3 = = 8 p = 4 için n = 7 alınabilir. 7 4 = = 7 p = 5 için n = 28 alınabilir = = 28. p = 104 için doğru 16/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

102 Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu Kabaca küçük sayılar kanunu, küçük sayılar için ilginç fakat büyük sayılar için geçerli olmayan kuralların keşfedilebileceğinden bahseder. Örneğin, her tek sayı asal sayıdır ifadesi sadece ilk üç tek sayı için geçerlidir (3, 5 ve 7). Daha ilginç bazı örnekler aşağıda sıralanmıştır: 1 Her p > 0 tam sayısı için n p nin basamakları toplamı n olacak şekilde bir n > 1 tam sayısı vardır. p = 1 için n = 2 alınabilir. 2 1 = 2 p = 2 için n = 9 alınabilir. 9 2 = = 9 p = 3 için n = 8 alınabilir. 8 3 = = 8 p = 4 için n = 7 alınabilir. 7 4 = = 7 p = 5 için n = 28 alınabilir = = 28. p = 104 için p = 105 için doğru doğru değil! 16/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

103 Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu Kabaca küçük sayılar kanunu, küçük sayılar için ilginç fakat büyük sayılar için geçerli olmayan kuralların keşfedilebileceğinden bahseder. Örneğin, her tek sayı asal sayıdır ifadesi sadece ilk üç tek sayı için geçerlidir (3, 5 ve 7). Daha ilginç bazı örnekler aşağıda sıralanmıştır: 1 Her p > 0 tam sayısı için n p nin basamakları toplamı n olacak şekilde bir n > 1 tam sayısı vardır. p = 1 için n = 2 alınabilir. 2 1 = 2 p = 2 için n = 9 alınabilir. 9 2 = = 9 p = 3 için n = 8 alınabilir. 8 3 = = 8 p = 4 için n = 7 alınabilir. 7 4 = = 7 p = 5 için n = 28 alınabilir = = 28. p = 104 için p = 105 için p = 106 için doğru doğru değil! doğru 16/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

104 Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu 2 41, } {{}, } {{}, } {{}, } {{},... asal sayıdır /43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

105 Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu 2 41, } {{}, } {{}, } {{}, } {{},... asal sayıdır n = 40 için doğru değil! 17/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

106 Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu 2 41, } {{}, } {{}, } {{}, } {{},... asal sayıdır n = 40 için doğru değil! = 1681 asal sayı değil! 17/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

107 Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu 2 41, } {{}, } {{}, } {{}, } {{},... asal sayıdır n = 40 için doğru değil! = 1681 asal sayı değil! 3 n > 2 sayısı asal sayıdır ancak ve ancak n 2 ( 2n 1 n 1) 1. 17/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

108 Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu 2 41, } {{}, } {{}, } {{}, } {{},... asal sayıdır n = 40 için doğru değil! = 1681 asal sayı değil! 3 n > 2 sayısı asal sayıdır ancak ve ancak n 2 ( 2n 1 n 1) 1. n = 3 için /43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

109 Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu 2 41, } {{}, } {{}, } {{}, } {{},... asal sayıdır n = 40 için doğru değil! = 1681 asal sayı değil! 3 n > 2 sayısı asal sayıdır ancak ve ancak n 2 ( 2n 1 n 1) 1. n = 3 için 9 9 n = 5 için /43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

110 Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu 2 41, } {{}, } {{}, } {{}, } {{},... asal sayıdır n = 40 için doğru değil! = 1681 asal sayı değil! 3 n > 2 sayısı asal sayıdır ancak ve ancak n 2 ( 2n 1 n 1) 1. n = 3 için 9 9 n = 5 için n = 7 için /43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

111 Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu 2 41, } {{}, } {{}, } {{}, } {{},... asal sayıdır n = 40 için doğru değil! = 1681 asal sayı değil! 3 n > 2 sayısı asal sayıdır ancak ve ancak n 2 ( 2n 1 n 1) 1. n = 3 için 9 9 n = 5 için n = 7 için n = 11 için /43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

112 Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu 2 41, } {{}, } {{}, } {{}, } {{},... asal sayıdır n = 40 için doğru değil! = 1681 asal sayı değil! 3 n > 2 sayısı asal sayıdır ancak ve ancak n 2 ( 2n 1 n 1) 1. n = 3 için 9 9 n = 5 için n = 7 için n = 11 için /43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

113 Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu 2 41, } {{}, } {{}, } {{}, } {{},... asal sayıdır n = 40 için doğru değil! = 1681 asal sayı değil! 3 n > 2 sayısı asal sayıdır ancak ve ancak n 2 ( 2n 1 n 1) 1. n = 3 için 9 9 n = 5 için n = 7 için n = 11 için n = için doğru değil! (bu sayıya kadar doğru) n = sayısı asal değildir. 17/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

114 Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu 2 41, } {{}, } {{}, } {{}, } {{},... asal sayıdır n = 40 için doğru değil! = 1681 asal sayı değil! 3 n > 2 sayısı asal sayıdır ancak ve ancak n 2 ( 2n 1 n 1) 1. n = 3 için 9 9 n = 5 için n = 7 için n = 11 için n = için doğru değil! (bu sayıya kadar doğru) n = sayısı asal değildir. Ancak n 2 ( 2n 1 n 1) 1. 17/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

115 Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu 2 41, } {{}, } {{}, } {{}, } {{},... asal sayıdır n = 40 için doğru değil! = 1681 asal sayı değil! 3 n > 2 sayısı asal sayıdır ancak ve ancak n 2 ( 2n 1 n 1) 1. n = 3 için 9 9 n = 5 için n = 7 için n = 11 için n = için doğru değil! (bu sayıya kadar doğru) n = sayısı asal değildir. Ancak n 2 ( 2n 1 n 1) 1. 4 Alıştırma: Bir çemberin üzerinde n+1 farklı nokta işaretleyip, bu noktaları ikişer ikişer birleştirin, ortaya çıkan şekil çemberi 2 n parçaya ayırır. n = 1,2,3,4,5 için kontrol ediniz. 17/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

116 Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu Çok büyük sayılar kanunu, çok büyük sayıda veri içerisinde ilginç tesadüflerin olabileceğini ifade eder. 18/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

117 Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu Çok büyük sayılar kanunu, çok büyük sayıda veri içerisinde ilginç tesadüflerin olabileceğini ifade eder. Örneğin bir arkadaşımız Yıl başında doğmuş iki kişi tanıyorum. İkisi de hem doğum günleri hem de yılbaşı için bir tek hediye almaktan şikayetçiler... derse, bu gerçekten ilginçtir. 18/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

118 Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu Çok büyük sayılar kanunu, çok büyük sayıda veri içerisinde ilginç tesadüflerin olabileceğini ifade eder. Örneğin bir arkadaşımız Yıl başında doğmuş iki kişi tanıyorum. İkisi de hem doğum günleri hem de yılbaşı için bir tek hediye almaktan şikayetçiler... derse, bu gerçekten ilginçtir. Acaba yıl başında doğanların sayısı diğer günlerde doğanların sayısından daha mı fazladır? 18/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT223 AYRIK MATEMATİK Kombinatoryal Olasılık 5. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Olaylar ve Olasılıklar Kombinatoryal Olasılık Olaylar

Detaylı

Olasılık bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler:

Olasılık bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler: OLASILIK Populasyon hakkında bilgi sahibi olmak amacı ile alınan örneklerden elde edilen bilgiler, bire bir doğru olmayıp hepsi mutlaka bir hata payı taşımaktadır. Bu hata payının ortaya çıkmasının sebebi

Detaylı

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A Contents 1 Denklik Bağıntıları 5 Bibliography 13 1 Denklik Bağıntıları 1 1denklik 1.1 Eşitlik Günlük

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT223 AYRIK MATEMATİK Fibonacci Sayıları 4. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Fibonacci nin Tavşanları Fibonacci Sayıları Fibonacci

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT223 AYRIK MATEMATİK Geometride Kombinatorik 11. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Köşegenlerin Arakesiti Geometride Kombinatorik

Detaylı

ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: NUMARASI: SINIFI: KONU: Olasılık

ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: NUMARASI: SINIFI: KONU: Olasılık ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: NUMARASI: Dersin Adı SINIFI: KONU: Olasılık Dersin Konusu. Bir kutudaki 7 farklı boncuğun içinden iki tanesi seçiliyor. Buna göre, örneklem uzayının eleman sayısı A) 7 B)! 7. madeni

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT223 AYRIK MATEMATİK Geometride Kombinatorik 11. Bölüm Doç. Dr. Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2011 2012 Güz Dönemi Köşegenlerin Arakesiti Geometride Kombinatorik

Detaylı

Küme temel olarak belli nesnelerin ya da elamanların bir araya gelmesi ile oluşur

Küme temel olarak belli nesnelerin ya da elamanların bir araya gelmesi ile oluşur Kümeler Kümeler ve küme işlemleri olasılığın temellerini oluşturmak için çok önemlidir Küme temel olarak belli nesnelerin ya da elamanların bir araya gelmesi ile oluşur Sonlu sayıda, sonsuz sayıda, kesikli

Detaylı

Olasılık bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler:

Olasılık bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler: OLSILIK Populasyon hakkında bilgi sahibi olmak amacı ile alınan örneklerden elde edilen bilgiler, bire bir doğru olmayıp hepsi mutlaka bir hata payı taşımaktadır. Bu hata payının ortaya çıkmasının sebebi

Detaylı

Örnek Bir zar atıldığında zarın üstünde bulunan noktaların sayısı gözlensin. Çift sayı gelmesi olasılığı nedir? n(s) = 3 6 = 1 2

Örnek Bir zar atıldığında zarın üstünde bulunan noktaların sayısı gözlensin. Çift sayı gelmesi olasılığı nedir? n(s) = 3 6 = 1 2 Bir Olayın Olasılığı P(A) = n(a) n(s) = A nın eleman sayısı S nin eleman sayısı Örnek Bir zar atıldığında zarın üstünde bulunan noktaların sayısı gözlensin. Çift sayı gelmesi olasılığı nedir? Çözüm: S

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT223 AYRIK MATEMATİK Saymanın Temelleri 1. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Ayşe nin Doğum Günü Partisi Saymanın Temelleri Ayşe

Detaylı

2. Aşağıdaki pseudocode ile verilen satırlar işletilirse, cnt isimli değişkenin son değeri ne olur?

2. Aşağıdaki pseudocode ile verilen satırlar işletilirse, cnt isimli değişkenin son değeri ne olur? Numarası : Adı Soyadı : SINAV YÖNERGESİ İşaretlemelerinizde kurşun kalem kullanınız. Soru ve cevap kağıtlarına numaranızı ve isminizi mürekkepli kalem ile yazınız. Sınavın ilk 30 dakikasında sınıftan çıkılmayacaktır.

Detaylı

2. (x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 ) 10 ifadesinin açılımında kaç terim vardır?

2. (x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 ) 10 ifadesinin açılımında kaç terim vardır? Numarası : Adı Soyadı : SINAV YÖNERGESİ İşaretlemelerinizde kurşun kalem kullanınız. Soru ve cevap kağıtlarına numaranızı ve isminizi mürekkepli kalem ile yazınız. Sınavın ilk 30 dakikasında sınıftan çıkılmayacaktır.

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT223 AYRIK MATEMATİK Çizgeler 7. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Çift ve Tek Dereceler Çizgeler Çift ve Tek Dereceler Soru 51 kişinin

Detaylı

Olasılık Kavramı. Recep YURTAL. Mühendislikte İstatistik Metotlar. Çukurova Üniversitesi İnşaat Mühendisliği Bölümü

Olasılık Kavramı. Recep YURTAL. Mühendislikte İstatistik Metotlar. Çukurova Üniversitesi İnşaat Mühendisliği Bölümü Olasılık Kavramı Mühendislikte İstatistik Metotlar Çukurova Üniversitesi İnşaat Mühendisliği ölümü OLSILIK KVRMI KÜME KVRMI irlikte ele alınan belirli nesneler topluluğuna küme, Kümede içerilen nesnelere

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT223 AYRIK MATEMATİK Fibonacci Sayıları 4. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Fibonacci nin Tavşanları Fibonacci Sayıları Fibonacci

Detaylı

Örnek...2 : Hilesiz iki zar atma deneyinin bütün çıktılarını aşağıdaki tabloya yazınız.

Örnek...2 : Hilesiz iki zar atma deneyinin bütün çıktılarını aşağıdaki tabloya yazınız. OLASILIK (İHTİMALLER HESABI) Olasılık kavram ı ilk önceleri şans oyunları ile başlamıştır. Örneğin bir oyunda kazanıp kazanmama, bir paranın atılmasıyla tura gelip gelmemesi gibi. Bu gün bu kavramın birçok

Detaylı

BİNOM AÇILIMI. Binom Açılımı. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu. ö æ ö æ ö,,

BİNOM AÇILIMI. Binom Açılımı. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu. ö æ ö æ ö,, BİNOM AÇILIMI Binom Açılımı n doğal sayı olmak üzere, (x+y) n ifadesinin açılımını pascal üçgeni yardımıyla öğrenmiştik. Pascal üçgenindeki katsayılar; (x+y) n ifadesi 1. Sütun: (x+y) n açılımındaki katsayılar

Detaylı

Olasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler:

Olasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler: OLASILIK Populasyon hakkında bilgi sahibi olmak amacı ile alınan örneklerden elde edilen bilgiler bire bir doğru olmayıp hepsi mutlaka bir hata payı taşımaktadır. Bu hata payının ortaya çıkmasının sebebi

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT223 AYRIK MATEMATİK Gezgin Satıcı Problemi 9. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Gezgin Satıcı Problemi Soru n tane şehri olan bir

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT223 AYRIK MATEMATİK Euler Formülü 12. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Saldıraya Uğrayan Gezegen Euler Formülü Saldıraya Uğrayan

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT223 AYRIK MATEMATİK Gezgin Satıcı Problemi 9. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Gezgin Satıcı Problemi Soru n tane şehri olan bir

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 3.KONU Kümeler Teorisi; Küme işlemleri, İkili işlemler 1. Altküme 2. Evrensel Küme 3. Kümelerin Birleşimi 4. Kümelerin Kesişimi 5. Bir Kümenin Tümleyeni

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT3 AYRIK MATEMATİK 4 Ders Doç Dr Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 00 0 Güz Dönemi 3 yüzyılda İtalyan matematikçi Leonardo Fibonacci aşağıdaki soruyu ortaya atmıştır:

Detaylı

0.1 Küme Cebri. Teorem 1 A ve B iki küme olmak üzere i) (A B) c = A c B c ii) (A B) c = A c B c

0.1 Küme Cebri. Teorem 1 A ve B iki küme olmak üzere i) (A B) c = A c B c ii) (A B) c = A c B c 0. Küme Cebri Bu bölümde verilen keyfikümeler üzerinde birleşim, kesişim, fark, tümleyen,...gibi özellikleri sağlayan eşitliklerle ilgilenceğiz. İlk olarak De Morgan kurallarıdiye bilinen bir Teoremi ifade

Detaylı

TEMEL SAYMA. Bill Gates

TEMEL SAYMA. Bill Gates Bölüm 1 TEMEL SAYMA YÖNTEMLERİ Firmamızın sahip olduğu tek şey insan düş gücüdür. Bill Gates Bu bölümde fazla kuramsal bilgi gerektirmeyen sayma problemleri üzerinde duracağız. Bu tür problemlerde sayma;

Detaylı

13.Konu Reel sayılar

13.Konu Reel sayılar 13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık

Detaylı

1 BAĞINTILAR VE FONKSİYONLAR

1 BAĞINTILAR VE FONKSİYONLAR 1 BAĞINTILAR VE FONKSİYONLAR Bu bölümde ilk olarak Matematikte çok önemli bir yere sahip olan Bağıntı kavramnı verip daha sonra ise Fonksiyon tanımı verip genel özelliklerini inceleyeceğiz. Tanım 1 A B

Detaylı

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye KÜME AİLELERİ GİRİŞ Bu bölümde, bir çoğu daha önceden bilinen incelememiz için gerekli olan bilgileri vereceğiz. İlerde konular işlenirken karşımıza çıkacak kavram ve bilgileri bize yetecek kadarı ile

Detaylı

A GRUBU Noktaları adlandırılmış K 6 tam çizgesinin tam olarak 3 noktalı kaç tane alt çizgesi vardır? A) 9 B) 20 C) 24 D) 60 E) 160

A GRUBU Noktaları adlandırılmış K 6 tam çizgesinin tam olarak 3 noktalı kaç tane alt çizgesi vardır? A) 9 B) 20 C) 24 D) 60 E) 160 A GRUBU.. Numarası :............................................. Adı Soyadı :............................................. SINAV YÖNERGESİ İşaretlemelerinizde kurşun kalem kullanınız. Soru ve cevap kağıtlarına

Detaylı

Not: n tane madeni paranın atılması deneyinde örnek uzayın eleman sayısı

Not: n tane madeni paranın atılması deneyinde örnek uzayın eleman sayısı LYS Matematik Olasılık Tanım: Bir deneyde çıkabilecek tüm sonuçların kümesine örnek uzay denir ve E ile gösterilir. Örnek uzayın herhangi bir elemanına da örnek nokta denir. Örnek: Bir zarın atılması deneyinde

Detaylı

Tesadüfi Değişken. w ( )

Tesadüfi Değişken. w ( ) 1 Tesadüfi Değişken Tesadüfi değişkenler gibi büyük harflerle veya gibi yunan harfleri ile bunların aldığı değerler de gibi küçük harflerle gösterilir. Tesadüfi değişkenler kesikli veya sürekli olmak üzere

Detaylı

10.Konu Tam sayıların inşası

10.Konu Tam sayıların inşası 10.Konu Tam sayıların inşası 1. Tam sayılar kümesi 2. Tam sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Pozitif ve negatif tam sayılar 4. Tam sayılar kümesinde çıkarma 5. Tam sayılar kümesinde sıralama 6. Bir

Detaylı

Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü

Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü Mühendislikte İstatistiksel Yöntemler Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü 1 GİRİŞ Olasılık Teorisi: Matematiğin belirsizlik taşıyan

Detaylı

SORULAR. 2. Noktaları adlandırılmamış 6 noktalı kaç ağaç vardır? Çizerek cevaplayınız.

SORULAR. 2. Noktaları adlandırılmamış 6 noktalı kaç ağaç vardır? Çizerek cevaplayınız. MAT3 AYRIK MATEMATİK DERSİ DÖNEM SONU SINAVI 4.0.0 Numarası :..................................... Adı Soyadı :..................................... SORULAR. Prüfer kodu ( 3 3 ) olan ağacı çiziniz.. Noktaları

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ OLASILIĞA GİRİŞ

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ OLASILIĞA GİRİŞ ANADOLU ÜNİVERSİTESİ İST 213 OLASILIK DERSİ OLASILIĞA GİRİŞ DOÇ. DR. NİHAL ERGİNEL OLASILIĞA GİRİŞ - Bugün yağmur yağma olasılığı % 75 dir. - X marka bilgisayarın hiç servis gerektirmeden 100000 saat çalışması

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Ders 4: OLASILIK TEORİSİ Giriş Bu bölüm sonunda öğreneceğiniz konular: Rastgele Olay Örnek Uzayı Olasılık Aksiyomları Bağımsız ve Ayrık Olaylar Olasılık Kuralları Koşullu Olasılık

Detaylı

Ders 10: Düzlemde cebirsel eğriler

Ders 10: Düzlemde cebirsel eğriler Ders 10: Düzlemde cebirsel eğriler İzdüşümsel geometride bir doğruyu derecesi 1 olan homojen bir polinomun sıfırları kümesi olarak tarif ettik. Bir kuadrik, derecesi 2 olan homojen bir polinomla anlatılıyordu

Detaylı

Ders 2: RP 1 ve RP 2 - Reel izdüşümsel doğru ve

Ders 2: RP 1 ve RP 2 - Reel izdüşümsel doğru ve Ders 2: RP 1 ve RP 2 - Reel izdüşümsel doğru ve düzlem Geçen ders doğrusal cebir aracılığıyla izdüşümsel geometri için bir model kurduk. Şimdi bu modeli daha somut bir şekle sokalım, F = R durumunda kurduğumuz

Detaylı

2. K 6 tam çizgesinde kaç farklı mükemmel eşleme vardır? 4. Düzlemsel kodu (planar code) olan ağacın kaç köşe noktası vardır?

2. K 6 tam çizgesinde kaç farklı mükemmel eşleme vardır? 4. Düzlemsel kodu (planar code) olan ağacın kaç köşe noktası vardır? Ayrık Hesaplama Yapıları A GRUBU 0.06.01 Numarası :. K 6 tam çizgesinde kaç farklı mükemmel eşleme vardır? Adı Soyadı : SINAV YÖNERGESİ İşaretlemelerinizde kurşun kalem kullanınız. Soru ve cevap kağıtlarına

Detaylı

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,

Detaylı

3. Herhangi bir G çizgesi için aşağıdaki önermelerden hangi(ler)si her zaman doğrudur?

3. Herhangi bir G çizgesi için aşağıdaki önermelerden hangi(ler)si her zaman doğrudur? Ayrık Hesaplama Yapıları A GRUBU.0.05 Numarası : Adı Soyadı : SINAV YÖNERGESİ İşaretlemelerinizde kurşun kalem kullanınız. Soru ve cevap kağıtlarına numaranızı ve isminizi mürekkepli kalem ile yazınız.

Detaylı

8. 2 x+1 =20 x. 9. x 3 +6x 2-4x-24=0 10.

8. 2 x+1 =20 x. 9. x 3 +6x 2-4x-24=0 10. MAT-1 EK SORULAR-2 1. 6. A)7 B)8 C)15.D)56 E)64 Olduğuna göre x.a)1 B)2 C)3 D)4 E)6 7. 2. Birbirinden farklı x ve y gerçek A)5.B)6 C)7 D)8 E)9 sayıları için; x 2 +2009y=y 2 +2009x eşitliği sağlandığına

Detaylı

Olasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir.

Olasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. OLASILIK Populasyon hakkında bilgi sahibi olmak amacı ile alınan örneklerden elde edilen bilgiler bire bir doğru olmayıp hepsi mutlaka bir hata payı taşımaktadır. Bu hata payının ortaya çıkmasının sebebi

Detaylı

Problem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4. Problem 5. PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisan c Copyright Titu Andreescu and Jonathan Kane

Problem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4. Problem 5. PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisan c Copyright Titu Andreescu and Jonathan Kane PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisan 2010 İLKÖĞRETİM - PROBLEMLERİ c Copyright Titu Andreescu and Jonathan Kane Çeviri Sibel Kılıçarslan CANSU ve Fatih Kürşat CANSU Problem 1 Eğer 125 + n + 135 + 2n

Detaylı

Olasılık: Klasik Yaklaşım

Olasılık: Klasik Yaklaşım Olasılık Teorisi Olasılık: Klasik Yaklaşım Olasılık Bir olayın meydana gelme şansına olasılık denir. Örnek Türkiye nin kazanma olasılığı Hava durumu Loto Olayların Olasılığını Belirleme Rastsal (gelişigüzel)

Detaylı

Ders 1: Markov Zincirleri YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III. Markov Süreçleri Ders 4. Stokastik Süreç Nedir? Stokastik Süreç Nedir?

Ders 1: Markov Zincirleri YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III. Markov Süreçleri Ders 4. Stokastik Süreç Nedir? Stokastik Süreç Nedir? Ders : Markov Zincirleri YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III Markov Süreçleri Ders 4 Yrd. Doç. Dr. Beyazıt Ocaktan E-mail: bocaktan@gmail.com Ders İçerik: nedir? Markov Zinciri nedir? Markov Özelliği Zaman Homojenliği

Detaylı

T.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ

T.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ T.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ DERS: CEBİRDEN SEÇME KONULAR KONU: KARDİNAL SAYILAR ÖĞRETİM GÖREVLİLERİ: PROF.DR. NEŞET AYDIN AR.GÖR. DİDEM YEŞİL HAZIRLAYANLAR: DİRENCAN DAĞDEVİREN ELFİYE ESEN

Detaylı

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak 10.Konu İç çarpım uzayları ve özellikleri 10.1. ve üzerinde uzunluk de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor teoreminden dir. 1.Ö.: [ ] ise ( ) ( ) ve ( ) noktaları gözönüne alalım.

Detaylı

1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması

1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması 1.4. Tam Metrik Uzay ve Tamlaması 15 1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması Öncelikle şunu not edelim: (X, d) bir metrik uzay, (x n ), X de bir dizi ve x X ise lim n d(x n, x) = 0 = lim n,m d(x n, x m ) = 0

Detaylı

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye

Detaylı

ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİT

ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİT PERMÜTASYON, KOMBİNASYON BİNOM, OLASILIK ve İSTATİSTİK ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİT Permütasyon. Kazanım : Eşleme, toplama ve çarpma yoluyla sayma yöntemlerini açıklar. 2. Kazanım : n elemanlı

Detaylı

2. (v+w+x+y+z) 8 ifadesinin açılımında kaç terim vardır? 3. log 5 0, 69897 olduğuna göre 50 10 sayısı kaç basamaklıdır?

2. (v+w+x+y+z) 8 ifadesinin açılımında kaç terim vardır? 3. log 5 0, 69897 olduğuna göre 50 10 sayısı kaç basamaklıdır? Ayrık Hesaplama Yapıları A GRUBU 3.03.0 Numarası Adı Soyadı : CEVAP : ANAHTARI SINAV YÖNERGESİ İşaretlemelerinizde kurşun kalem kullanınız. Soru ve cevap kağıtlarına numaranızı ve isminizi mürekkepli kalem

Detaylı

Bu bölümde cebirsel yapıların temelini oluşturan Grup ve özelliklerini inceleyeceğiz.

Bu bölümde cebirsel yapıların temelini oluşturan Grup ve özelliklerini inceleyeceğiz. 1 BİR İŞLEMLİ SİSTEMLER Bu bölümde cebirsel yapıların temelini oluşturan Grup ve özelliklerini inceleyeceğiz. 1.1 İŞLEMLER Bir kümeden kendisine tanımlı olan her fonksiyona birli işlem denir. Örneğin Z

Detaylı

Tanım Bir A kümesinin her elemanı, bir B kümesinin de elamanı ise, A kümesine B kümesinin alt kümesi denir.

Tanım Bir A kümesinin her elemanı, bir B kümesinin de elamanı ise, A kümesine B kümesinin alt kümesi denir. BÖLÜM 1 KÜMELER CEBİRİ Küme, iyi tanımlanmış ve farklı olan nesneler topluluğudur. Yani küme, belli bir kurala göre verilmiş nesnelerin listesidir. Nesneler reel veya kavramsal olabilir. Kümede bulunan

Detaylı

KARAKTER DİZGİLERİ, BAĞINTILAR, FONKSİYONLAR KESİKLİ MATEMATİKSEL YAPILAR

KARAKTER DİZGİLERİ, BAĞINTILAR, FONKSİYONLAR KESİKLİ MATEMATİKSEL YAPILAR KARAKTER DİZGİLERİ, BAĞINTILAR, FONKSİYONLAR KESİKLİ MATEMATİKSEL YAPILAR 2012-2013 Karakter Dizgisi Karakter Dizgisi Üzerine İşlemler Altdizgi Tanım 3.1.1: Bir X kümesi üzerinde bir karakter dizgisi (string)

Detaylı

14.Konu Reel sayılarının topolojisi. 1.Tanım:, verilsin. açık aralığına noktasının -komşuluğu denir. { } kümesine nın delinmiş -komşuluğu denir.

14.Konu Reel sayılarının topolojisi. 1.Tanım:, verilsin. açık aralığına noktasının -komşuluğu denir. { } kümesine nın delinmiş -komşuluğu denir. 14.Konu Reel sayılarının topolojisi 1.Teorem: cismi tamdır. 1.Tanım:, verilsin. açık aralığına noktasının -komşuluğu denir. { } kümesine nın delinmiş -komşuluğu denir. 2.Tanım: ve verilsin. nın her komşuluğunda

Detaylı

OLASILIK. P(A) = şeklinde ifade edilir.

OLASILIK. P(A) = şeklinde ifade edilir. OLASILIK Olasılık belirli bir olayın olabilirliğinin sayısal ölçüsüdür. Olasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. 17 yy. da şans oyunlarıyla birlikte kullanılmaya

Detaylı

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A Contents Bibliography 11 CONTENTS 5 0.1 Kartezyen Çarpım 0.2 Sıralı İkililer Şimdiye kadar sıra ya da

Detaylı

YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK

YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK İÇİNDEKİLER Kümeler 5 44 Fonksiyonlar 1 45 88 Fonksiyonlar 2 89 124 Sayma Kuralları 125 140 Faktöriyel

Detaylı

ÖSYM M TEMEL MATEMATİK TESTİ YGS / MAT. Diğer sayfaya geçiniz. 1. Bu testte 40 soru vardır.

ÖSYM M TEMEL MATEMATİK TESTİ YGS / MAT. Diğer sayfaya geçiniz. 1. Bu testte 40 soru vardır. TEMEL MATEMATİK TESTİ 2011 - YGS / MAT M9991.01001 1. Bu testte 40 soru vardır. 1. 2. 2. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Temel Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz. işleminin sonucu kaçtır?

Detaylı

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A Contents 1 İyi Sıralama 5 Bibliography 13 1 İyi Sıralama Well Ordering İyi sıralama kavramı, doğal sayıların

Detaylı

Sayılar ve Altın Oranı. Mahmut Kuzucuoğlu. 16 Ağustos 2015

Sayılar ve Altın Oranı. Mahmut Kuzucuoğlu. 16 Ağustos 2015 Sayılar ve Altın Oranı Mahmut Kuzucuoğlu Orta Doğu Teknik Üniversitesi Matematik Bölümü matmah@metu.edu.tr İlkyar-2015 16 Ağustos 2015 Ben kimim? Denizli nin Çal ilçesinin Ortaköy kasabasında 1958 yılında

Detaylı

Normal Alt Gruplar ve Bölüm Grupları...37

Normal Alt Gruplar ve Bölüm Grupları...37 İÇİNDEKİLER Ön Söz...2 Gruplar...3 Alt Gruplar...9 Simetrik Gruplar...13 Devirli Alt Gruplar...23 Sol ve Sağ Yan Kümeler (Kosetler)...32 Normal Alt Gruplar ve Bölüm Grupları...37 Grup Homomorfizmaları...41

Detaylı

BLM-111 PROGRAMLAMA DİLLERİ I. Ders-11 Karakter Diziler. Yrd. Doç. Dr. Ümit ATİLA

BLM-111 PROGRAMLAMA DİLLERİ I. Ders-11 Karakter Diziler. Yrd. Doç. Dr. Ümit ATİLA BLM-111 PROGRAMLAMA DİLLERİ I Ders-11 Karakter Diziler Yrd. Doç. Dr. Ümit ATİLA umitatila@karabuk.edu.tr http://web.karabuk.edu.tr/umitatilla/ Karakter ve String Karakter Karakter bir sabit tek tırnak

Detaylı

SERİMYA II. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI

SERİMYA II. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI SERİMYA - 4 II. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI. 4? 4 4. A B denkleminde A ve B birbirinden farklı pozitif tam sayılar olduğuna göre, A + B toplamı kaçtır? işleminin sonucu kaçtır? A) 6 B) 8 C) D)

Detaylı

OYAK ADANA - BALIKESİR - BATMAN - BOLU - DÜZCE HATAY - KAHRAMANMARAŞ - MARDİN - ORDU RİZE - SAKARYA - SİVAS - TEKİRDAĞ - ZONGULDAK 7 NİSAN 2012

OYAK ADANA - BALIKESİR - BATMAN - BOLU - DÜZCE HATAY - KAHRAMANMARAŞ - MARDİN - ORDU RİZE - SAKARYA - SİVAS - TEKİRDAĞ - ZONGULDAK 7 NİSAN 2012 OYAK TÜBİTAK BİLİM İNSANI DESTEKLEME DAİRE BAŞKANLIĞI OYAK MATEMATİK YARIŞMASI FİNAL SINAVI ADANA - BALIKESİR - BATMAN - BOLU - DÜZCE HATAY - KAHRAMANMARAŞ - MARDİN - ORDU RİZE - SAKARYA - SİVAS - TEKİRDAĞ

Detaylı

PERMÜTASYON, KOMBİNASYON. Örnek: Örnek: Örnek:

PERMÜTASYON, KOMBİNASYON. Örnek: Örnek: Örnek: SAYMANIN TEMEL KURALLARI Toplama Kuralı : Sonlu ve ayrık kümelerin eleman sayılarının toplamı, bu kümelerin birleşimlerinin eleman sayısına eşittir. Mesela, sonlu ve ayrık iki küme A ve B olsun. s(a)=

Detaylı

SINAV YÖNERGESİ. Numarası : CEVAP. Adı Soyadı : ANAHTARI A) 512 B) 513 C) 256 D) 1024 E) 1025 A) 252 B) 256 C) 3024 D) 126 E) =?

SINAV YÖNERGESİ. Numarası : CEVAP. Adı Soyadı : ANAHTARI A) 512 B) 513 C) 256 D) 1024 E) 1025 A) 252 B) 256 C) 3024 D) 126 E) =? Ayrık Hesaplama Yapıları A GRUBU 0.0.01 Numarası Adı Soyadı : CEVAP : ANAHTARI SINAV YÖNERGESİ İşaretlemelerinizde kurşun kalem kullanınız. Soru ve cevap kağıtlarına numaranızı ve isminizi mürekkepli kalem

Detaylı

Gerçekten Asal Var mı? Ali Nesin

Gerçekten Asal Var mı? Ali Nesin Bu yazıda hile yapıyorum... Bir yerde bir hata var. Gerçekten Asal Var mı? Ali Nesin K endinden ve birden başka sayıya bölünmeyen a asal denir. Örneğin, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 asal dır. Ama 35 asal

Detaylı

Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık

Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 5 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayı ve alt uzay yapısını daha iyi tanıyacak, Bir vektör uzayındaki vektörlerin

Detaylı

6. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 16, 2016

6. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 16, 2016 6. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 16, 2016 Bu derste lineer cebirdeki bazı fikirleri gözden geçirip Lie teorisine uygulamalarını inceleyeceğiz. Bütün Lie cebirlerinin cebirsel olarak kapalı ve karakteristiği

Detaylı

Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim

Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim Geçen ders RP 2 de tekil olmayan her koniğin bir dönüşümün ardından tek bir koniğe dönüştüğü sonucuna vardık; o da {[x : y : z x 2 + y 2 z 2 = 0]} idi. Bu derste bu

Detaylı

Özdeğer ve Özvektörler

Özdeğer ve Özvektörler Özdeğer ve Özvektörler Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 9 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; bir lineer dönüşümün ve bir matrisin özdeğer ve özvektör kavramlarını anlayacak, bir dönüşüm matrisinin

Detaylı

DÜZGÜN ÖLÇÜM. Ali DÖNMEZ Doğuş Üniversitesi, Fen Bilimleri Bölümü. Halit ORHAN Atatürk Üniversitesi, Matematik Bölümü

DÜZGÜN ÖLÇÜM. Ali DÖNMEZ Doğuş Üniversitesi, Fen Bilimleri Bölümü. Halit ORHAN Atatürk Üniversitesi, Matematik Bölümü DÜZGÜN ÖLÇÜM Ali DÖNMEZ Doğuş Ünirsitesi, Fen Bilimleri Bölümü Halit ORHAN Atatürk Ünirsitesi, Matematik Bölümü Özet: Düzgün ölçüm üzerine bazı teoremler ispatlandı. Anahtar sözcükler: Ölçüm, düzgün ölçüm,

Detaylı

26 Nisan 2009 Pazar,

26 Nisan 2009 Pazar, TÜBİTAK TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNOLOJİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM İNSANI DESTEKLEME DAİRE BAŞKANLIĞI 17. ULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATI - 2009 BİRİNCİ AŞAMA SINAVI Soru kitapçığı türü A 26 Nisan 2009 Pazar, 13.00-15.30

Detaylı

SERİMYA 2003 I. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI

SERİMYA 2003 I. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI SERİMYA 00 I. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI. + + 5 0 + + + 0 40 toplamının sonucu kaçtır? A) 5 B) C) D) E) + 4. a,b,c Z olmak üzere, a + b + c 7 = 6 ise, a.b.c kaçtır? A) 6 B) 8 C) D) 6 E) 8 y.

Detaylı

Kesikli Şans Değişkenleri İçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları

Kesikli Şans Değişkenleri İçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları Kesikli Şans Değişkenleri İçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları 1 Şans Değişkeni: Bir dağılışı olan ve bu dağılışın yapısına uygun frekansta oluşum gösteren değişkendir.

Detaylı

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN İç-Çarpım Uzayları Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; R n, P n (R), M nxn vektör uzaylarında iç çarpım kavramını tanıyacak ve özelliklerini görmüş olacaksınız.

Detaylı

= 646 ] (n+2) 2 1 = n 2 + 4n+4 1 = (n 2 1)+4(n+1) MAT223 AYRIK MATEMATİK DERSİ 2.ARA SINAVI ÇÖZÜMLER

= 646 ] (n+2) 2 1 = n 2 + 4n+4 1 = (n 2 1)+4(n+1) MAT223 AYRIK MATEMATİK DERSİ 2.ARA SINAVI ÇÖZÜMLER MAT3 AYRIK MATEMATİK DERSİ.ARA SINAVI 18.1.009 ÇÖZÜMLER 1. G çizgesinin silindiğinde kalan çizge tek parça olacak şekildeki kenarlarını birer birer silelim (G yoldan farklı olduğundan en az bir böyle bir

Detaylı

( ) MATEMATİK 1 TESTİ (Mat 1) 2009 - ÖSS / MAT-1. 1. Bu testte 30 soru vardır.

( ) MATEMATİK 1 TESTİ (Mat 1) 2009 - ÖSS / MAT-1. 1. Bu testte 30 soru vardır. 009 - ÖSS / MT- MTEMTİK TESTİ (Mat ). u testte 0 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. ( )( ) + 4. m = olduğuna göre, m + ifadesinin değeri işleminin

Detaylı

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir.

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. a) Pozitif doğal sayılar: Sıfır olmayan doğal sayılar kümesine Pozitif Doğal

Detaylı

OLASILIK. ihtimali Seçeneği durumu. Bir zar atma olayı. Basit kesirdir. Tüm durum. Sonuçlardan biri Çıktılardan biri. Diğer sayfaya geçiniz

OLASILIK. ihtimali Seçeneği durumu. Bir zar atma olayı. Basit kesirdir. Tüm durum. Sonuçlardan biri Çıktılardan biri. Diğer sayfaya geçiniz OLASILIK ihtimali Seçeneği durumu Bir zar atma olayı Basit kesirdir. Tüm durum Sonuçlardan biri Çıktılardan biri 1 Soruyu DİKKATLİ OKU, soruyu ANLA, basit örnek kur. Cevabı işaretlemeden öce tekrar soruyu

Detaylı

BİYOİSTATİSTİK OLASILIK

BİYOİSTATİSTİK OLASILIK BİYOİSTATİSTİK OLASILIK B Doç. Dr. Mahmut AKBOLAT *Küme Kavramı: Küme, tek bir isim altında toplanabilen ve benzer özellik gösteren birimlerin meydana getirdiği topluluk olarak tanımlanabilir. Küme içinde

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Đlkbahar / Sayısal II / 13 Mayıs Matematik Sorularının Çözümleri

Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Đlkbahar / Sayısal II / 13 Mayıs Matematik Sorularının Çözümleri Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı ALES / Đlkbahar / Sayısal II / 1 Mayıs 01 Matematik Sorularının Çözümleri 1. 9! 8! 7! 9! + 8! + 7! 7!.(9.8 8 1) 7!.(9.8+ 8+ 1) 6 81 9 7. 4, π, π π,14

Detaylı

a. Aynı sırada çekilen herhangi iki kartın aynı d. 4. çekişte iki torbadan da 4 numaralı kartların e. 2. ve 4. çekişte aynı numaralı kartların

a. Aynı sırada çekilen herhangi iki kartın aynı d. 4. çekişte iki torbadan da 4 numaralı kartların e. 2. ve 4. çekişte aynı numaralı kartların Örnek Problem - Sinemada, yan yana koltukta oturan arkadaş, ara verildiğinde kalkıyorlar. Dönüşte, aynı koltuğa rastgele oturduklarına göre; hiçbirinin ilk yerine oturmaması olasılığı Örnek Problem - 4

Detaylı

SAÜ BÖLÜM 11. OLASILIK. Prof. Dr. Mustafa AKAL

SAÜ BÖLÜM 11. OLASILIK. Prof. Dr. Mustafa AKAL SAÜ BÖLÜM. OLASILIK Prof. Dr. Mustafa AKAL 0 İÇİNDEKİLER.KAVRAMLAR.. Rassal Deney, Örneklem Uzayı ve Olay.. Olayların Biçimlenmesi.3. Olasılık Tanımı.PERMÜTASYON VE KOMBİNASYON..Permütasyon... Sıralı Permütasyon...

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT223 AYRIK MATEMATİK Çizgeler 7. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Çift ve Tek Dereceler Çizgeler Çift ve Tek Dereceler Soru 51 kişinin

Detaylı

YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ LÜ SORU BANKASI ANKARA ÖN SÖZ Sevgili Öğrenciler, ÖSYM nin son yıllarda yaptığı sınavlardaki matematik sorularının eski sınav sorularından çok farklı olduğu herkes tarafından

Detaylı

x 2i + A)( 1 yj 2 + B) u (v + B), y 1

x 2i + A)( 1 yj 2 + B) u (v + B), y 1 Ders 11: Örnekler 11.1 Kulplarla inşalar Bu bölümde kulpları birbirine yapıştırıp tanıdık manifoldlar elde edeceğiz. Artık bu son ders. Özellikle dersin ikinci bölümünde son meyveleri toplamak adına koşarak

Detaylı

Önermeler mantığındaki biçimsel kanıtlar

Önermeler mantığındaki biçimsel kanıtlar Önermeler mantığındaki biçimsel kanıtlar David Pierce 26 Aralık 2011, saat 11:48 Bu yazının ana kaynakları, Burris in [1] ve Nesin in [4] kitapları ve Foundations of Mathematical Practice (Eylül 2010)

Detaylı

2 şeklindeki bütün sayılar. 2 irrasyonel sayısı. 2 irrasyonel sayısından elde etmekteyiz. Benzer şekilde 3 irrasyonel sayısı

2 şeklindeki bütün sayılar. 2 irrasyonel sayısı. 2 irrasyonel sayısından elde etmekteyiz. Benzer şekilde 3 irrasyonel sayısı 1.8.Reel Sayılar Kümesinin Tamlık Özelliği Rasyonel sayılar kümesi ile rasyonel olmayan sayıların kümesi olan irrasyonel sayılar kümesinin birleşimine reel sayılar kümesi denir ve IR ile gösterilir. Buna

Detaylı

9.Konu Lineer bağımsızlık, taban, boyut Germe. 9.1.Tanım: V vektör uzayının her bir elemanı

9.Konu Lineer bağımsızlık, taban, boyut Germe. 9.1.Tanım: V vektör uzayının her bir elemanı 9.Konu Lineer bağımsızlık, taban, boyut 9.1. Germe 9.1.Tanım: V vektör uzayının her bir elemanı vektörlerin lineer birleşimi olarak ifade ediliyorsa vektörleri V yi geriyor ya da V yi gerer denir. Üstelik,

Detaylı

Örnek...2 : Örnek...3 : Örnek...1 : MANTIK 1. p: Bir yıl 265 gün 6 saattir. w w w. m a t b a z. c o m ÖNERMELER- BİLEŞİK ÖNERMELER

Örnek...2 : Örnek...3 : Örnek...1 : MANTIK 1. p: Bir yıl 265 gün 6 saattir. w w w. m a t b a z. c o m ÖNERMELER- BİLEŞİK ÖNERMELER Terim: Bir bilim dalı içerisinde konuşma dilinden farklı anlamı olan sözcüklerden her birine o bilim dalının bir terimi denir. Önermeler belirtilirler. p,q,r,s gibi harflerle Örneğin açı bir geometri terimi,

Detaylı

Olasılık Kuramı ve Bazı Olasılık Dağılımları

Olasılık Kuramı ve Bazı Olasılık Dağılımları KAVRAMLAR Olasılık Kuramı ve Bazı Olasılık Dağılımları Deney: belirli koşullar altında tekrarlanabilen ve her tekrarda farklı sonuçlar elde edilebilen işlemdir. Örneklem uzayı: bir denemenin tüm olası

Detaylı

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

Tanım: (1. Tip Üretken Fonksiyonlar) (a r ) = (a 1, a 2, a 3,,a r, ) sayı dizisi olmak üzere, (a r ) dizisinin 1. Tip üretken fonksiyonu

Tanım: (1. Tip Üretken Fonksiyonlar) (a r ) = (a 1, a 2, a 3,,a r, ) sayı dizisi olmak üzere, (a r ) dizisinin 1. Tip üretken fonksiyonu Üretken Fonksiyonlar Ali İlker Bağrıaçık Üretken fonksiyonlar sayma problemlerinin çözümünde kullanılan önemli yöntemlerden biridir. Üretken fonksiyonların temeli Moivre nin 1720 yıllarındaki çalışmalarına

Detaylı

Olasılık ve İstatistik Hatırlatma

Olasılık ve İstatistik Hatırlatma Olasılık ve İstatistik Hatırlatma BSM 445 Kuyruk Teorisi Güz 014 Yrd. Doç. Dr. Ferhat Dikbıyık Bir olayın olasılığı bize ne anlatır? Verilen bir olasılığın manası nedir? Örnek: Tavlada düşeş atma olasılığı

Detaylı

10. DİREKT ÇARPIMLAR

10. DİREKT ÇARPIMLAR 10. DİREKT ÇARPIMLAR Teorem 10.1. H 1,H 2,, H n bir G grubunun alt gruplarının bir ailesi ve H = H 1 H 2 H n olsun. Aşağıdaki ifadeler denktir. a ) dönüşümü altında dır. b) ve olmak üzere her yi tek türlü

Detaylı