MAT223 AYRIK MATEMATİK

Transkript

1 MAT223 AYRIK MATEMATİK Kombinatoryal Olasılık 5. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR Öğretim Yılı

2 Olaylar ve Olasılıklar Kombinatoryal Olasılık Olaylar ve Olasılıklar Karşılaşılması düşünülen tüm sonuçların oluşturduğu kümeye örnek uzayı (sample space) denir. 2/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

3 Olaylar ve Olasılıklar Kombinatoryal Olasılık Olaylar ve Olasılıklar Karşılaşılması düşünülen tüm sonuçların oluşturduğu kümeye örnek uzayı (sample space) denir. Örnek uzayı genellikle S ile göstereceğiz. 2/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

4 Olaylar ve Olasılıklar Kombinatoryal Olasılık Olaylar ve Olasılıklar Karşılaşılması düşünülen tüm sonuçların oluşturduğu kümeye örnek uzayı (sample space) denir. Örnek uzayı genellikle S ile göstereceğiz. Örneğin, yazı tura atıldığında S = {Y,T} 2/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

5 Olaylar ve Olasılıklar Kombinatoryal Olasılık Olaylar ve Olasılıklar Karşılaşılması düşünülen tüm sonuçların oluşturduğu kümeye örnek uzayı (sample space) denir. Örnek uzayı genellikle S ile göstereceğiz. Örneğin, yazı tura atıldığında S = {Y, T}, zar atıldığında ise S = {1,2,3,4,5,6} olacaktır. 2/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

6 Olaylar ve Olasılıklar Kombinatoryal Olasılık Olaylar ve Olasılıklar Karşılaşılması düşünülen tüm sonuçların oluşturduğu kümeye örnek uzayı (sample space) denir. Örnek uzayı genellikle S ile göstereceğiz. Örneğin, yazı tura atıldığında S = {Y, T}, zar atıldığında ise S = {1,2,3,4,5,6} olacaktır. Örnek uzayın her alt kümesine bir olay (event) denir. 2/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

7 Olaylar ve Olasılıklar Kombinatoryal Olasılık Olaylar ve Olasılıklar Karşılaşılması düşünülen tüm sonuçların oluşturduğu kümeye örnek uzayı (sample space) denir. Örnek uzayı genellikle S ile göstereceğiz. Örneğin, yazı tura atıldığında S = {Y, T}, zar atıldığında ise S = {1,2,3,4,5,6} olacaktır. Örnek uzayın her alt kümesine bir olay (event) denir. Örneğin, zar atıldığında E = {2, 4, 6} S kümesi zarın çift gelme olayı olarak düşünülebilir. 2/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

8 Olaylar ve Olasılıklar Kombinatoryal Olasılık Olaylar ve Olasılıklar Karşılaşılması düşünülen tüm sonuçların oluşturduğu kümeye örnek uzayı (sample space) denir. Örnek uzayı genellikle S ile göstereceğiz. Örneğin, yazı tura atıldığında S = {Y, T}, zar atıldığında ise S = {1,2,3,4,5,6} olacaktır. Örnek uzayın her alt kümesine bir olay (event) denir. Örneğin, zar atıldığında E = {2, 4, 6} S kümesi zarın çift gelme olayı olarak düşünülebilir. Benzer şekilde, L = {4, 5, 6} S alt kümesi de zarın 3 ten büyük olma olayına karşılık gelir. 2/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

9 Olaylar ve Olasılıklar Kombinatoryal Olasılık Olaylar ve Olasılıklar Karşılaşılması düşünülen tüm sonuçların oluşturduğu kümeye örnek uzayı (sample space) denir. Örnek uzayı genellikle S ile göstereceğiz. Örneğin, yazı tura atıldığında S = {Y, T}, zar atıldığında ise S = {1,2,3,4,5,6} olacaktır. Örnek uzayın her alt kümesine bir olay (event) denir. Örneğin, zar atıldığında E = {2, 4, 6} S kümesi zarın çift gelme olayı olarak düşünülebilir. Benzer şekilde, L = {4, 5, 6} S alt kümesi de zarın 3 ten büyük olma olayına karşılık gelir. İki kümenin arakesiti ise her iki olayın da ortaya çıkma olayına karşılık gelir. 2/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

10 Olaylar ve Olasılıklar Kombinatoryal Olasılık Olaylar ve Olasılıklar Karşılaşılması düşünülen tüm sonuçların oluşturduğu kümeye örnek uzayı (sample space) denir. Örnek uzayı genellikle S ile göstereceğiz. Örneğin, yazı tura atıldığında S = {Y, T}, zar atıldığında ise S = {1,2,3,4,5,6} olacaktır. Örnek uzayın her alt kümesine bir olay (event) denir. Örneğin, zar atıldığında E = {2, 4, 6} S kümesi zarın çift gelme olayı olarak düşünülebilir. Benzer şekilde, L = {4, 5, 6} S alt kümesi de zarın 3 ten büyük olma olayına karşılık gelir. İki kümenin arakesiti ise her iki olayın da ortaya çıkma olayına karşılık gelir. Örneğin, L E = {4,6} alt kümesi zarın hem çift hem de ortalamadan daha büyük olma olayına karşılık gelir. 2/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

11 Olaylar ve Olasılıklar Eğer A ve B olayları (yani S nin alt kümeleri) için A B = ise A ve B olaylarına ayrık (exclusive) olaylar denir. 3/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

12 Olaylar ve Olasılıklar Eğer A ve B olayları (yani S nin alt kümeleri) için A B = ise A ve B olaylarına ayrık (exclusive) olaylar denir. Örneğin, O = {1, 3, 5} zarın tek gelme olayı ise E O = olduğundan E ve O olayları ayrık olaylar olur. 3/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

13 Olaylar ve Olasılıklar Eğer A ve B olayları (yani S nin alt kümeleri) için A B = ise A ve B olaylarına ayrık (exclusive) olaylar denir. Örneğin, O = {1, 3, 5} zarın tek gelme olayı ise E O = olduğundan E ve O olayları ayrık olaylar olur. A B S alt kümesi (olayı) ise A ya da B olaylarından en az birisinin ortaya çıkma olayına karşılık gelecektir. 3/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

14 Olaylar ve Olasılıklar Eğer A ve B olayları (yani S nin alt kümeleri) için A B = ise A ve B olaylarına ayrık (exclusive) olaylar denir. Örneğin, O = {1, 3, 5} zarın tek gelme olayı ise E O = olduğundan E ve O olayları ayrık olaylar olur. A B S alt kümesi (olayı) ise A ya da B olaylarından en az birisinin ortaya çıkma olayına karşılık gelecektir. Örneğin, L E = {2,4,5,6} S alt kümesi zarın çift ya da 3 ten büyük gelme olayına karşılık gelir. 3/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

15 Olaylar ve Olasılıklar S = {s 1,s 2,...,s k } kümesi bir rassal deney 1 sonucu karşılaşılabilecek sonuçlar kümesi (örnek uzayı) olsun. 1 Bir deneyin bütün olası sonuçlarını biliyorsak, Deney uygulandığında onun hangi sonuçla sonuçlanacağını bilmiyorsak ve Deney aynı koşullar altında tekrarlanabiliyorsa bu bir rassal deneydir. 4/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

16 Olaylar ve Olasılıklar S = {s 1,s 2,...,s k } kümesi bir rassal deney 1 sonucu karşılaşılabilecek sonuçlar kümesi (örnek uzayı) olsun. s i S için s i nin ortaya çıkma olasılığı P(s i ) ile gösterilir ve 1 Bir deneyin bütün olası sonuçlarını biliyorsak, Deney uygulandığında onun hangi sonuçla sonuçlanacağını bilmiyorsak ve Deney aynı koşullar altında tekrarlanabiliyorsa bu bir rassal deneydir. 4/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

17 Olaylar ve Olasılıklar S = {s 1,s 2,...,s k } kümesi bir rassal deney 1 sonucu karşılaşılabilecek sonuçlar kümesi (örnek uzayı) olsun. s i S için s i nin ortaya çıkma olasılığı P(s i ) ile gösterilir ve Her s i S için P(s i ) 0, 1 Bir deneyin bütün olası sonuçlarını biliyorsak, Deney uygulandığında onun hangi sonuçla sonuçlanacağını bilmiyorsak ve Deney aynı koşullar altında tekrarlanabiliyorsa bu bir rassal deneydir. 4/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

18 Olaylar ve Olasılıklar S = {s 1,s 2,...,s k } kümesi bir rassal deney 1 sonucu karşılaşılabilecek sonuçlar kümesi (örnek uzayı) olsun. s i S için s i nin ortaya çıkma olasılığı P(s i ) ile gösterilir ve Her s i S için P(s i ) 0, P(s 1 )+P(s 2 )+ +P(s k ) = 1 koşullarını sağlar. 1 Bir deneyin bütün olası sonuçlarını biliyorsak, Deney uygulandığında onun hangi sonuçla sonuçlanacağını bilmiyorsak ve Deney aynı koşullar altında tekrarlanabiliyorsa bu bir rassal deneydir. 4/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

19 Olaylar ve Olasılıklar S = {s 1,s 2,...,s k } kümesi bir rassal deney 1 sonucu karşılaşılabilecek sonuçlar kümesi (örnek uzayı) olsun. s i S için s i nin ortaya çıkma olasılığı P(s i ) ile gösterilir ve Her s i S için P(s i ) 0, P(s 1 )+P(s 2 )+ +P(s k ) = 1 koşullarını sağlar. Bu olasılıklar ile birlikte S ye olasılık uzayı denir. 1 Bir deneyin bütün olası sonuçlarını biliyorsak, Deney uygulandığında onun hangi sonuçla sonuçlanacağını bilmiyorsak ve Deney aynı koşullar altında tekrarlanabiliyorsa bu bir rassal deneydir. 4/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

20 Olaylar ve Olasılıklar S = {s 1,s 2,...,s k } kümesi bir rassal deney 1 sonucu karşılaşılabilecek sonuçlar kümesi (örnek uzayı) olsun. s i S için s i nin ortaya çıkma olasılığı P(s i ) ile gösterilir ve Her s i S için P(s i ) 0, P(s 1 )+P(s 2 )+ +P(s k ) = 1 koşullarını sağlar. Bu olasılıklar ile birlikte S ye olasılık uzayı denir. Yazı Tura: P(Y) = P(T) = Bir deneyin bütün olası sonuçlarını biliyorsak, Deney uygulandığında onun hangi sonuçla sonuçlanacağını bilmiyorsak ve Deney aynı koşullar altında tekrarlanabiliyorsa bu bir rassal deneydir. 4/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

21 Olaylar ve Olasılıklar S = {s 1,s 2,...,s k } kümesi bir rassal deney 1 sonucu karşılaşılabilecek sonuçlar kümesi (örnek uzayı) olsun. s i S için s i nin ortaya çıkma olasılığı P(s i ) ile gösterilir ve Her s i S için P(s i ) 0, P(s 1 )+P(s 2 )+ +P(s k ) = 1 koşullarını sağlar. Bu olasılıklar ile birlikte S ye olasılık uzayı denir. Yazı Tura: P(Y) = P(T) = 1 2 Zar: P(i) = Bir deneyin bütün olası sonuçlarını biliyorsak, Deney uygulandığında onun hangi sonuçla sonuçlanacağını bilmiyorsak ve Deney aynı koşullar altında tekrarlanabiliyorsa bu bir rassal deneydir. 4/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

22 Olaylar ve Olasılıklar S = {s 1,s 2,...,s k } kümesi bir rassal deney 1 sonucu karşılaşılabilecek sonuçlar kümesi (örnek uzayı) olsun. s i S için s i nin ortaya çıkma olasılığı P(s i ) ile gösterilir ve Her s i S için P(s i ) 0, P(s 1 )+P(s 2 )+ +P(s k ) = 1 koşullarını sağlar. Bu olasılıklar ile birlikte S ye olasılık uzayı denir. Yazı Tura: P(Y) = P(T) = 1 2 Zar: P(i) = 1 6 Her bir sonucun ortaya çıkma olasılığı aynı ise bu olasılık uzayına düzgün olasılık uzayı denir. 1 Bir deneyin bütün olası sonuçlarını biliyorsak, Deney uygulandığında onun hangi sonuçla sonuçlanacağını bilmiyorsak ve Deney aynı koşullar altında tekrarlanabiliyorsa bu bir rassal deneydir. 4/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

23 Olaylar ve Olasılıklar S = {s 1,s 2,...,s k } kümesi bir rassal deney 1 sonucu karşılaşılabilecek sonuçlar kümesi (örnek uzayı) olsun. s i S için s i nin ortaya çıkma olasılığı P(s i ) ile gösterilir ve Her s i S için P(s i ) 0, P(s 1 )+P(s 2 )+ +P(s k ) = 1 koşullarını sağlar. Bu olasılıklar ile birlikte S ye olasılık uzayı denir. Yazı Tura: P(Y) = P(T) = 1 2 Zar: P(i) = 1 6 Her bir sonucun ortaya çıkma olasılığı aynı ise bu olasılık uzayına düzgün olasılık uzayı denir. Biz bu derste sadece bu tip uzaylar ile ilgileneceğiz. 1 Bir deneyin bütün olası sonuçlarını biliyorsak, Deney uygulandığında onun hangi sonuçla sonuçlanacağını bilmiyorsak ve Deney aynı koşullar altında tekrarlanabiliyorsa bu bir rassal deneydir. 4/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

24 Olaylar ve Olasılıklar S = {s 1,s 2,...,s k } kümesi bir rassal deney 1 sonucu karşılaşılabilecek sonuçlar kümesi (örnek uzayı) olsun. s i S için s i nin ortaya çıkma olasılığı P(s i ) ile gösterilir ve Her s i S için P(s i ) 0, P(s 1 )+P(s 2 )+ +P(s k ) = 1 koşullarını sağlar. Bu olasılıklar ile birlikte S ye olasılık uzayı denir. Yazı Tura: P(Y) = P(T) = 1 2 Zar: P(i) = 1 6 Her bir sonucun ortaya çıkma olasılığı aynı ise bu olasılık uzayına düzgün olasılık uzayı denir. Biz bu derste sadece bu tip uzaylar ile ilgileneceğiz. Eğer havanın yağmurlu ya da yağmurlu olmaması ile ilgileniyorsak, S = {Yağmurlu, Yağmurlu değil} olur. 1 Bir deneyin bütün olası sonuçlarını biliyorsak, Deney uygulandığında onun hangi sonuçla sonuçlanacağını bilmiyorsak ve Deney aynı koşullar altında tekrarlanabiliyorsa bu bir rassal deneydir. 4/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

25 Olaylar ve Olasılıklar S = {s 1,s 2,...,s k } kümesi bir rassal deney 1 sonucu karşılaşılabilecek sonuçlar kümesi (örnek uzayı) olsun. s i S için s i nin ortaya çıkma olasılığı P(s i ) ile gösterilir ve Her s i S için P(s i ) 0, P(s 1 )+P(s 2 )+ +P(s k ) = 1 koşullarını sağlar. Bu olasılıklar ile birlikte S ye olasılık uzayı denir. Yazı Tura: P(Y) = P(T) = 1 2 Zar: P(i) = 1 6 Her bir sonucun ortaya çıkma olasılığı aynı ise bu olasılık uzayına düzgün olasılık uzayı denir. Biz bu derste sadece bu tip uzaylar ile ilgileneceğiz. Eğer havanın yağmurlu ya da yağmurlu olmaması ile ilgileniyorsak, S = {Yağmurlu, Yağmurlu değil} olur. Elbette bunların olasılıkları aynı olmadığı için bu uzay düzgün olasılık uzayı değildir. 1 Bir deneyin bütün olası sonuçlarını biliyorsak, Deney uygulandığında onun hangi sonuçla sonuçlanacağını bilmiyorsak ve Deney aynı koşullar altında tekrarlanabiliyorsa bu bir rassal deneydir. 4/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

26 Olaylar ve Olasılıklar S = {s 1,s 2,...,s k } kümesi bir rassal deney sonucu karşılaşılabilecek sonuçlar kümesi (örnek uzayı) olsun. 5/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

27 Olaylar ve Olasılıklar S = {s 1,s 2,...,s k } kümesi bir rassal deney sonucu karşılaşılabilecek sonuçlar kümesi (örnek uzayı) olsun. A S olayının meydana gelme olasılığı P(A) ile gösterilir 5/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

28 Olaylar ve Olasılıklar S = {s 1,s 2,...,s k } kümesi bir rassal deney sonucu karşılaşılabilecek sonuçlar kümesi (örnek uzayı) olsun. A S olayının meydana gelme olasılığı P(A) ile gösterilir ve düzgün olasılık uzayında ile tanımlanır. P(A) = A S = A k 5/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

29 Olaylar ve Olasılıklar S = {s 1,s 2,...,s k } kümesi bir rassal deney sonucu karşılaşılabilecek sonuçlar kümesi (örnek uzayı) olsun. A S olayının meydana gelme olasılığı P(A) ile gösterilir ve düzgün olasılık uzayında P(A) = A S = A k ile tanımlanır. Yani P(A), A daki her bir öğenin ortaya çıkma olasılıklarının toplamı olur. 5/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

30 Olaylar ve Olasılıklar S = {s 1,s 2,...,s k } kümesi bir rassal deney sonucu karşılaşılabilecek sonuçlar kümesi (örnek uzayı) olsun. A S olayının meydana gelme olasılığı P(A) ile gösterilir ve düzgün olasılık uzayında P(A) = A S = A k ile tanımlanır. Yani P(A), A daki her bir öğenin ortaya çıkma olasılıklarının toplamı olur. Kolayca gösterilebilir ki, A ve B ayrık olaylar ise P(A)+P(B) = P(A B) 5/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

31 Olaylar ve Olasılıklar S = {s 1,s 2,...,s k } kümesi bir rassal deney sonucu karşılaşılabilecek sonuçlar kümesi (örnek uzayı) olsun. A S olayının meydana gelme olasılığı P(A) ile gösterilir ve düzgün olasılık uzayında P(A) = A S = A k ile tanımlanır. Yani P(A), A daki her bir öğenin ortaya çıkma olasılıklarının toplamı olur. Kolayca gösterilebilir ki, A ve B ayrık olaylar ise P(A)+P(B) = P(A B), Herhangi iki A ve B olayı için olur. (Alıştırma ve 5.1.5) P(A B)+P(A B) = P(A)+P(B) 5/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

32 Bağımsız Olaylar Bir rassal deney aynı koşullar altında n defa tekrarlansın. 6/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

33 Bağımsız Olaylar Bir rassal deney aynı koşullar altında n defa tekrarlansın. Bunu tek bir deney şeklinde düşünmek de mümkündür. 6/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

34 Bağımsız Olaylar Bir rassal deney aynı koşullar altında n defa tekrarlansın. Bunu tek bir deney şeklinde düşünmek de mümkündür. Bu durumda sonuç, S örnek uzayının elemanlarından oluşan n bileşenli bir dizi gibi düşünülebilir. 6/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

35 Bağımsız Olaylar Bir rassal deney aynı koşullar altında n defa tekrarlansın. Bunu tek bir deney şeklinde düşünmek de mümkündür. Bu durumda sonuç, S örnek uzayının elemanlarından oluşan n bileşenli bir dizi gibi düşünülebilir. n defa tekrar eden bu olayın örnek uzayını ile gösterebiliriz. S S S = S n 6/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

36 Bağımsız Olaylar Bir rassal deney aynı koşullar altında n defa tekrarlansın. Bunu tek bir deney şeklinde düşünmek de mümkündür. Bu durumda sonuç, S örnek uzayının elemanlarından oluşan n bileşenli bir dizi gibi düşünülebilir. n defa tekrar eden bu olayın örnek uzayını S S S = S n ile gösterebiliriz. Buradan, ortaya çıkabilecek sonuçların sayısı k n olur. 6/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

37 Bağımsız Olaylar Bir rassal deney aynı koşullar altında n defa tekrarlansın. Bunu tek bir deney şeklinde düşünmek de mümkündür. Bu durumda sonuç, S örnek uzayının elemanlarından oluşan n bileşenli bir dizi gibi düşünülebilir. n defa tekrar eden bu olayın örnek uzayını S S S = S n ile gösterebiliriz. Buradan, ortaya çıkabilecek sonuçların sayısı k n olur. O halde (a 1,a 2,...,a n ) S n sonucunun ortaya çıkma olasılığı, 6/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

38 Bağımsız Olaylar Bir rassal deney aynı koşullar altında n defa tekrarlansın. Bunu tek bir deney şeklinde düşünmek de mümkündür. Bu durumda sonuç, S örnek uzayının elemanlarından oluşan n bileşenli bir dizi gibi düşünülebilir. n defa tekrar eden bu olayın örnek uzayını S S S = S n ile gösterebiliriz. Buradan, ortaya çıkabilecek sonuçların sayısı k n olur. O halde (a 1,a 2,...,a n ) S n sonucunun ortaya çıkma olasılığı, olur. P(a 1,a 2,...,a n ) = 1 k n 6/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

39 Bağımsız Olaylar Bir rassal deney aynı koşullar altında n defa tekrarlansın. Bunu tek bir deney şeklinde düşünmek de mümkündür. Bu durumda sonuç, S örnek uzayının elemanlarından oluşan n bileşenli bir dizi gibi düşünülebilir. n defa tekrar eden bu olayın örnek uzayını S S S = S n ile gösterebiliriz. Buradan, ortaya çıkabilecek sonuçların sayısı k n olur. O halde (a 1,a 2,...,a n ) S n sonucunun ortaya çıkma olasılığı, olur. P(a 1,a 2,...,a n ) = 1 k n Örneğin, iki defa yazı tura atılsın. 6/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

40 Bağımsız Olaylar Bir rassal deney aynı koşullar altında n defa tekrarlansın. Bunu tek bir deney şeklinde düşünmek de mümkündür. Bu durumda sonuç, S örnek uzayının elemanlarından oluşan n bileşenli bir dizi gibi düşünülebilir. n defa tekrar eden bu olayın örnek uzayını S S S = S n ile gösterebiliriz. Buradan, ortaya çıkabilecek sonuçların sayısı k n olur. O halde (a 1,a 2,...,a n ) S n sonucunun ortaya çıkma olasılığı, olur. P(a 1,a 2,...,a n ) = 1 k n Örneğin, iki defa yazı tura atılsın. Bu durumda S = {Y, T} iken S 2 = S S = {YY,YT,TY,TT} olur. 6/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

41 Bağımsız Olaylar Bir rassal deney aynı koşullar altında n defa tekrarlansın. Bunu tek bir deney şeklinde düşünmek de mümkündür. Bu durumda sonuç, S örnek uzayının elemanlarından oluşan n bileşenli bir dizi gibi düşünülebilir. n defa tekrar eden bu olayın örnek uzayını S S S = S n ile gösterebiliriz. Buradan, ortaya çıkabilecek sonuçların sayısı k n olur. O halde (a 1,a 2,...,a n ) S n sonucunun ortaya çıkma olasılığı, olur. P(a 1,a 2,...,a n ) = 1 k n Örneğin, iki defa yazı tura atılsın. Bu durumda S = {Y, T} iken S 2 = S S = {YY,YT,TY,TT} olur. Böylece her bir sonucun ortaya çıkma olasılığı 1 4 elde edilir. 6/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

42 Bağımsız Olaylar İki veya daha fazla olayın her birinin ortaya çıkması bir diğerine bağlı değilse bunlara bağımsız olaylar denir. 7/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

43 Bağımsız Olaylar İki veya daha fazla olayın her birinin ortaya çıkması bir diğerine bağlı değilse bunlara bağımsız olaylar denir. Formal olarak, P(A B) = P(A)P(B) ise A ve B olayları bağımsız olaylardır. 7/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

44 Bağımsız Olaylar İki veya daha fazla olayın her birinin ortaya çıkması bir diğerine bağlı değilse bunlara bağımsız olaylar denir. Formal olarak, P(A B) = P(A)P(B) ise A ve B olayları bağımsız olaylardır. Örneğin, yine iki kez yazı tura atıldığını düşünelim. A olayı ilk paranın tura gelmesi, B olayı ise ikinci paranın tura gelmesi olsun. 7/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

45 Bağımsız Olaylar İki veya daha fazla olayın her birinin ortaya çıkması bir diğerine bağlı değilse bunlara bağımsız olaylar denir. Formal olarak, P(A B) = P(A)P(B) ise A ve B olayları bağımsız olaylardır. Örneğin, yine iki kez yazı tura atıldığını düşünelim. A olayı ilk paranın tura gelmesi, B olayı ise ikinci paranın tura gelmesi olsun. Bu durumda P(A) = P(TT)+P(TY) = = 1 2 7/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

46 Bağımsız Olaylar İki veya daha fazla olayın her birinin ortaya çıkması bir diğerine bağlı değilse bunlara bağımsız olaylar denir. Formal olarak, P(A B) = P(A)P(B) ise A ve B olayları bağımsız olaylardır. Örneğin, yine iki kez yazı tura atıldığını düşünelim. A olayı ilk paranın tura gelmesi, B olayı ise ikinci paranın tura gelmesi olsun. Bu durumda P(A) = P(TT)+P(TY) = = 1 2 P(B) = P(TT)+P(YT) = = 1 2 7/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

47 Bağımsız Olaylar İki veya daha fazla olayın her birinin ortaya çıkması bir diğerine bağlı değilse bunlara bağımsız olaylar denir. Formal olarak, P(A B) = P(A)P(B) ise A ve B olayları bağımsız olaylardır. Örneğin, yine iki kez yazı tura atıldığını düşünelim. A olayı ilk paranın tura gelmesi, B olayı ise ikinci paranın tura gelmesi olsun. Bu durumda P(A) = P(TT)+P(TY) = = 1 2 P(B) = P(TT)+P(YT) = = 1 2 olur. P(A B) = P(TT) = 1 4 7/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

48 Bağımsız Olaylar İki veya daha fazla olayın her birinin ortaya çıkması bir diğerine bağlı değilse bunlara bağımsız olaylar denir. Formal olarak, P(A B) = P(A)P(B) ise A ve B olayları bağımsız olaylardır. Örneğin, yine iki kez yazı tura atıldığını düşünelim. A olayı ilk paranın tura gelmesi, B olayı ise ikinci paranın tura gelmesi olsun. Bu durumda P(A) = P(TT)+P(TY) = = 1 2 P(B) = P(TT)+P(YT) = = 1 2 P(A B) = P(TT) = 1 4 olur. 1 4 = P(A B) = P(A)P(B) = olduğundan A ve B (beklendiği gibi) bağımsız olaylardır. 7/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

49 Bağımsız Olaylar Aynı anda hem yazı tura hem de zar atılsın. Bu durumda örnek uzay olur. S = {T1,T2,T3,T4,T5,T6,Y 1,Y2,Y 3,Y 4,Y 5,Y 6} 8/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

50 Bağımsız Olaylar Aynı anda hem yazı tura hem de zar atılsın. Bu durumda örnek uzay S = {T1,T2,T3,T4,T5,T6,Y 1,Y2,Y 3,Y 4,Y 5,Y 6} olur. Paranın tura gelme olasılığı, P(T) = 1 2 olur. 8/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

51 Bağımsız Olaylar Aynı anda hem yazı tura hem de zar atılsın. Bu durumda örnek uzay olur. S = {T1,T2,T3,T4,T5,T6,Y 1,Y2,Y 3,Y 4,Y 5,Y 6} Paranın tura gelme olasılığı, P(T) = 1 2 olur. Zarın 5 ya da 6 olma olayı K ile gösterilirse, P(K) = 1 3 olur. 8/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

52 Bağımsız Olaylar Aynı anda hem yazı tura hem de zar atılsın. Bu durumda örnek uzay olur. S = {T1,T2,T3,T4,T5,T6,Y 1,Y2,Y 3,Y 4,Y 5,Y 6} Paranın tura gelme olasılığı, P(T) = 1 2 olur. Zarın 5 ya da 6 olma olayı K ile gösterilirse, P(K) = 1 3 olur. Paranın tura ve zarın 5 ya da 6 olma olasılığı ise örnek uzayın eleman sayısı 12 olduğundan ve bunlardan sadece ikisinde (T5 ve T6) para tura, zar 5 veya 6 olduğundan P(T K) = 1 6 olur. 8/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

53 Bağımsız Olaylar Aynı anda hem yazı tura hem de zar atılsın. Bu durumda örnek uzay olur. S = {T1,T2,T3,T4,T5,T6,Y 1,Y2,Y 3,Y 4,Y 5,Y 6} Paranın tura gelme olasılığı, P(T) = 1 2 olur. Zarın 5 ya da 6 olma olayı K ile gösterilirse, P(K) = 1 3 olur. Paranın tura ve zarın 5 ya da 6 olma olasılığı ise örnek uzayın eleman sayısı 12 olduğundan ve bunlardan sadece ikisinde (T5 ve T6) para tura, zar 5 veya 6 olduğundan P(T K) = 1 6 olur. Ayrıca, P(H K) = 1 6 = = P(H)P(K) olduğundan H ve K olayları bağımsız olaylardır. 8/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

54 Büyük Sayılar Kanunu Kombinatoryal Olasılık Büyük Sayılar Kanunu Birbirinden bağımsız olarak n kez yazı tura atıldığını düşünelim. 9/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

55 Büyük Sayılar Kanunu Kombinatoryal Olasılık Büyük Sayılar Kanunu Birbirinden bağımsız olarak n kez yazı tura atıldığını düşünelim. İşlemlerde kolaylık olması açısından n nin çift sayı olduğunu kabul edeceğiz. 9/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

56 Büyük Sayılar Kanunu Kombinatoryal Olasılık Büyük Sayılar Kanunu Birbirinden bağımsız olarak n kez yazı tura atıldığını düşünelim. İşlemlerde kolaylık olması açısından n nin çift sayı olduğunu kabul edeceğiz. Bu durumda m bir tam sayı olmak üzere n = 2m yazabiliriz. 9/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

57 Büyük Sayılar Kanunu Kombinatoryal Olasılık Büyük Sayılar Kanunu Birbirinden bağımsız olarak n kez yazı tura atıldığını düşünelim. İşlemlerde kolaylık olması açısından n nin çift sayı olduğunu kabul edeceğiz. Bu durumda m bir tam sayı olmak üzere n = 2m yazabiliriz. Her bir sonucu YTTYYYTYTYYYTTTYTYYTYTYYTYTTYT (n = 30) şeklinde Y ve T karakterlerinden oluşan n karakter uzunluğunda bir karakter dizisi gibi düşünebiliriz. 9/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

58 Büyük Sayılar Kanunu Kombinatoryal Olasılık Büyük Sayılar Kanunu Birbirinden bağımsız olarak n kez yazı tura atıldığını düşünelim. İşlemlerde kolaylık olması açısından n nin çift sayı olduğunu kabul edeceğiz. Bu durumda m bir tam sayı olmak üzere n = 2m yazabiliriz. Her bir sonucu YTTYYYTYTYYYTTTYTYYTYTYYTYTTYT (n = 30) şeklinde Y ve T karakterlerinden oluşan n karakter uzunluğunda bir karakter dizisi gibi düşünebiliriz. Kabaca büyük sayılar kanunu, bir çok kez yazı tura atıldığında yazıların sayısı ile turaların sayısının birbirine yakın olduğunu ifade eder. 9/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

59 Büyük Sayılar Kanunu Kombinatoryal Olasılık Büyük Sayılar Kanunu Birbirinden bağımsız olarak n kez yazı tura atıldığını düşünelim. İşlemlerde kolaylık olması açısından n nin çift sayı olduğunu kabul edeceğiz. Bu durumda m bir tam sayı olmak üzere n = 2m yazabiliriz. Her bir sonucu YTTYYYTYTYYYTTTYTYYTYTYYTYTTYT (n = 30) şeklinde Y ve T karakterlerinden oluşan n karakter uzunluğunda bir karakter dizisi gibi düşünebiliriz. Kabaca büyük sayılar kanunu, bir çok kez yazı tura atıldığında yazıların sayısı ile turaların sayısının birbirine yakın olduğunu ifade eder. Bunu daha kesin olarak nasıl ifade edebiliriz? 9/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

60 Büyük Sayılar Kanunu Kombinatoryal Olasılık Büyük Sayılar Kanunu Birbirinden bağımsız olarak n kez yazı tura atıldığını düşünelim. İşlemlerde kolaylık olması açısından n nin çift sayı olduğunu kabul edeceğiz. Bu durumda m bir tam sayı olmak üzere n = 2m yazabiliriz. Her bir sonucu YTTYYYTYTYYYTTTYTYYTYTYYTYTTYT (n = 30) şeklinde Y ve T karakterlerinden oluşan n karakter uzunluğunda bir karakter dizisi gibi düşünebiliriz. Kabaca büyük sayılar kanunu, bir çok kez yazı tura atıldığında yazıların sayısı ile turaların sayısının birbirine yakın olduğunu ifade eder. Bunu daha kesin olarak nasıl ifade edebiliriz? Elbette bu ifade her zaman doğru olmayabilir; aşırı şanslı (ya da şanssız) bir kişi çok sayıda tura (ya da yazı) atabilir. 9/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

61 Büyük Sayılar Kanunu Kombinatoryal Olasılık Büyük Sayılar Kanunu Birbirinden bağımsız olarak n kez yazı tura atıldığını düşünelim. İşlemlerde kolaylık olması açısından n nin çift sayı olduğunu kabul edeceğiz. Bu durumda m bir tam sayı olmak üzere n = 2m yazabiliriz. Her bir sonucu YTTYYYTYTYYYTTTYTYYTYTYYTYTTYT (n = 30) şeklinde Y ve T karakterlerinden oluşan n karakter uzunluğunda bir karakter dizisi gibi düşünebiliriz. Kabaca büyük sayılar kanunu, bir çok kez yazı tura atıldığında yazıların sayısı ile turaların sayısının birbirine yakın olduğunu ifade eder. Bunu daha kesin olarak nasıl ifade edebiliriz? Elbette bu ifade her zaman doğru olmayabilir; aşırı şanslı (ya da şanssız) bir kişi çok sayıda tura (ya da yazı) atabilir. Ayrıca, turaların sayısının yazıların sayısına eşit olacağını da iddia edemeyiz. 9/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

62 Büyük Sayılar Kanunu Kombinatoryal Olasılık Büyük Sayılar Kanunu Birbirinden bağımsız olarak n kez yazı tura atıldığını düşünelim. İşlemlerde kolaylık olması açısından n nin çift sayı olduğunu kabul edeceğiz. Bu durumda m bir tam sayı olmak üzere n = 2m yazabiliriz. Her bir sonucu YTTYYYTYTYYYTTTYTYYTYTYYTYTTYT (n = 30) şeklinde Y ve T karakterlerinden oluşan n karakter uzunluğunda bir karakter dizisi gibi düşünebiliriz. Kabaca büyük sayılar kanunu, bir çok kez yazı tura atıldığında yazıların sayısı ile turaların sayısının birbirine yakın olduğunu ifade eder. Bunu daha kesin olarak nasıl ifade edebiliriz? Elbette bu ifade her zaman doğru olmayabilir; aşırı şanslı (ya da şanssız) bir kişi çok sayıda tura (ya da yazı) atabilir. Ayrıca, turaların sayısının yazıların sayısına eşit olacağını da iddia edemeyiz. Ancak, bunların sayısının birbirine yakın olabileceğini söyleyebiliriz. 9/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

63 Büyük Sayılar Kanunu n defa yazı tura atıldığında turaların sayısının %49 ile %51 arasında olma olasılığı n için 1 e yaklaşır. 10/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

64 Büyük Sayılar Kanunu n defa yazı tura atıldığında turaların sayısının %49 ile %51 arasında olma olasılığı n için 1 e yaklaşır. Bu ifade %49, %49.9 ile ve %51, %50.1 ile değiştirildiğinde de doğrudur. 10/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

65 Büyük Sayılar Kanunu n defa yazı tura atıldığında turaların sayısının %49 ile %51 arasında olma olasılığı n için 1 e yaklaşır. Bu ifade %49, %49.9 ile ve %51, %50.1 ile değiştirildiğinde de doğrudur. Bu durumda büyük sayılar kanununun en basit halini aşağıdaki teorem ile verebiliriz. 10/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

66 Büyük Sayılar Kanunu n defa yazı tura atıldığında turaların sayısının %49 ile %51 arasında olma olasılığı n için 1 e yaklaşır. Bu ifade %49, %49.9 ile ve %51, %50.1 ile değiştirildiğinde de doğrudur. Bu durumda büyük sayılar kanununun en basit halini aşağıdaki teorem ile verebiliriz. Teorem ε yeterince küçük bir sayı olmak üzere n defa yazı tura atıldığında turaların sayısının 0.5 ε ile ε arasında olma olasılığı n iken 1 e yaklaşır. 10/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

67 Büyük Sayılar Kanunu Soru n sayısını kaç almalıyız ki, %99 ihtimalle turaların sayısı %49 ile %51 arasında olsun? 11/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

68 Büyük Sayılar Kanunu Soru n sayısını kaç almalıyız ki, %99 ihtimalle turaların sayısı %49 ile %51 arasında olsun? Aşağıdaki teorem Pascal üçgeni yardımıyla bu sorunun cevabını vermektedir. 11/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

69 Büyük Sayılar Kanunu Soru n sayısını kaç almalıyız ki, %99 ihtimalle turaların sayısı %49 ile %51 arasında olsun? Aşağıdaki teorem Pascal üçgeni yardımıyla bu sorunun cevabını vermektedir. Teorem 0 t m olsun. Bu durumda 2m kez yazı tura atıldığında turaların sayısının m t den az ya da m+t den çok olma ihtimali en fazla e t2 /(m+t) olur. 11/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

70 Büyük Sayılar Kanunu Soru n sayısını kaç almalıyız ki, %99 ihtimalle turaların sayısı %49 ile %51 arasında olsun? Aşağıdaki teorem Pascal üçgeni yardımıyla bu sorunun cevabını vermektedir. Teorem 0 t m olsun. Bu durumda 2m kez yazı tura atıldığında turaların sayısının m t den az ya da m+t den çok olma ihtimali en fazla e t2 /(m+t) olur. Dikkat ederseniz bu teorem turaların sayısının bir aralıkta olmama ihtimalinden bahsetmektedir. 11/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

71 Büyük Sayılar Kanunu Bu teorem ile sorulan sorunun yanıtını vermek kolaydır: 12/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

72 Büyük Sayılar Kanunu Bu teorem ile sorulan sorunun yanıtını vermek kolaydır: n = 2m atışın %49 unun m t olmasını istiyoruz. 12/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

73 Büyük Sayılar Kanunu Bu teorem ile sorulan sorunun yanıtını vermek kolaydır: n = 2m atışın %49 unun m t olmasını istiyoruz. Buradan, 49 (2m) = m t /43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

74 Büyük Sayılar Kanunu Bu teorem ile sorulan sorunun yanıtını vermek kolaydır: n = 2m atışın %49 unun m t olmasını istiyoruz. Buradan, 49 (2m) = m t 98m = 100m 100t /43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

75 Büyük Sayılar Kanunu Bu teorem ile sorulan sorunun yanıtını vermek kolaydır: n = 2m atışın %49 unun m t olmasını istiyoruz. Buradan, 49 (2m) = m t 98m = 100m 100t 100t = 2m /43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

76 Büyük Sayılar Kanunu Bu teorem ile sorulan sorunun yanıtını vermek kolaydır: n = 2m atışın %49 unun m t olmasını istiyoruz. Buradan, (2m) = m t 98m = 100m 100t 100t = 2m t = m 50 elde edilir. 12/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

77 Büyük Sayılar Kanunu Bu teorem ile sorulan sorunun yanıtını vermek kolaydır: n = 2m atışın %49 unun m t olmasını istiyoruz. Buradan, (2m) = m t 98m = 100m 100t 100t = 2m t = m 50 elde edilir. O halde t 2 m+t = ( m 50) 2 m+ m 50 = m 2550 olduğundan ve e m/2550 < 0.01 olması istendiğinden m olmalıdır. 12/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

78 Büyük Sayılar Kanunu Bu teorem ile sorulan sorunun yanıtını vermek kolaydır: n = 2m atışın %49 unun m t olmasını istiyoruz. Buradan, (2m) = m t 98m = 100m 100t 100t = 2m t = m 50 elde edilir. O halde t 2 m+t = ( m 50) 2 m+ m 50 = m 2550 olduğundan ve e m/2550 < 0.01 olması istendiğinden m olmalıdır. Yani, = veya daha fazla kez yazı tura atılırsa, %99 ihtimalle turaların sayısı atış sayısının %49 u ile %51 i arasında olur. 12/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

79 Şimdi teoremin kanıtını verelim. Büyük Sayılar Kanunu 13/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

80 Büyük Sayılar Kanunu Şimdi teoremin kanıtını verelim. Kanıt. n defa yazı tura atıldığında tam olarak k tane tura gelme olayını A k ile gösterelim. 13/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

81 Büyük Sayılar Kanunu Şimdi teoremin kanıtını verelim. Kanıt. n defa yazı tura atıldığında tam olarak k tane tura gelme olayını A k ile gösterelim. A k nın ortaya çıkma sayısı n karakter uzunluğundaki string ifadede k karakterin T, n k karakterin ise Y olma sayısına eşittir. 13/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

82 Büyük Sayılar Kanunu Şimdi teoremin kanıtını verelim. Kanıt. n defa yazı tura atıldığında tam olarak k tane tura gelme olayını A k ile gösterelim. A k nın ortaya çıkma sayısı n karakter uzunluğundaki string ifadede k karakterin T, n k karakterin ise Y olma sayısına eşittir. Buradan, A k kümesinin eleman sayısı ( n k) olur. 13/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

83 Şimdi teoremin kanıtını verelim. Kanıt. Büyük Sayılar Kanunu n defa yazı tura atıldığında tam olarak k tane tura gelme olayını A k ile gösterelim. A k nın ortaya çıkma sayısı n karakter uzunluğundaki string ifadede k karakterin T, n k karakterin ise Y olma sayısına eşittir. Buradan, A k kümesinin eleman sayısı ( n k) olur. Tüm mümkün sonuçların sayısı da 2 n olduğundan A k olayının meydana gelme olasılığı ( n k) olur. P(A k ) = 2 n 13/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

84 Şimdi teoremin kanıtını verelim. Kanıt. Büyük Sayılar Kanunu n defa yazı tura atıldığında tam olarak k tane tura gelme olayını A k ile gösterelim. A k nın ortaya çıkma sayısı n karakter uzunluğundaki string ifadede k karakterin T, n k karakterin ise Y olma sayısına eşittir. Buradan, A k kümesinin eleman sayısı ( n k) olur. Tüm mümkün sonuçların sayısı da 2 n olduğundan A k olayının meydana gelme olasılığı ( n k) P(A k ) = olur. k = 1,2,...,n için A k olayları ayrık olaylar olduğundan n = 2m atışta turaların sayısının m t den az ve m+t den çok olma olasılığı [( ) ( ) ( ) 1 2m 2m 2m 2 2m ( 0 ) 1 ( m t ) ( 1)] 2m 2m 2m olur. m+t + 1 2m 1 2m 13/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi 2 n

85 Büyük Sayılar Kanunu 0 k m ve c = ( 2m) ( k / 2m ) m olmak üzere ( 2m 0 ) + olduğunu biliyoruz (bakınız Lemma 3.8.2). ( ) ( ) 2m 2m + + < c 1 k m 14/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

86 Büyük Sayılar Kanunu 0 k m ve c = ( 2m) ( k / 2m ) m olmak üzere ( 2m 0 ) + ( ) ( ) 2m 2m + + < c 1 k m olduğunu biliyoruz (bakınız Lemma 3.8.2). k = m t alırsak, elde ederiz. ( ) 2m + 0 ( ) ( ) ( 2m 2m 2m + + < 2 2m 1 m t ( 1 m t 1 2m m) ) 14/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

87 Büyük Sayılar Kanunu 0 k m ve c = ( 2m) ( k / 2m ) m olmak üzere ( 2m 0 ) + ( ) ( ) 2m 2m + + < c 1 k m olduğunu biliyoruz (bakınız Lemma 3.8.2). k = m t alırsak, ( ) 2m + 0 ( ) ( ) ( 2m 2m 2m + + < 2 2m 1 m t ( 1 m t 1 2m m) elde ederiz. 3. Dersimizde Pascal üçgeninin n. satırının ortadaki elemanıyla bu elemandan t kadar solda (veya sağda) olan elamanların oranı için verdiğimiz değerlendirmeyi kullanırsak, ) 14/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

88 Büyük Sayılar Kanunu 0 k m ve c = ( 2m) ( k / 2m ) m olmak üzere ( 2m 0 ) + ( ) ( ) 2m 2m + + < c 1 k m olduğunu biliyoruz (bakınız Lemma 3.8.2). k = m t alırsak, ( ) 2m + 0 ( ) ( ) ( 2m 2m 2m + + < 2 2m 1 m t ( 1 m t 1 2m m) elde ederiz. 3. Dersimizde Pascal üçgeninin n. satırının ortadaki elemanıyla bu elemandan t kadar solda (veya sağda) olan elamanların oranı için verdiğimiz değerlendirmeyi kullanırsak, ) ( 2m m t ( 2m m ) < e t2 /(m+1) ) yazabiliriz. 14/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

89 Büyük Sayılar Kanunu Buradan, ( 2m 0 ) + ( ) ( ) 2m 2m + + < 2 2m 1 e t2 /(m+1) 1 m t 1 olur. 15/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

90 Büyük Sayılar Kanunu Buradan, ( 2m 0 ) + ( ) ( ) 2m 2m + + < 2 2m 1 e t2 /(m+1) 1 m t 1 olur. Pascal üçgeni simetrik olduğundan ( ) ( ) ( ) 2m 2m 2m < 2 2m e t2 /(m+1) m+t + 1 2m 1 2m olur. 15/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

91 Büyük Sayılar Kanunu Buradan, ( 2m 0 ) + ( ) ( ) 2m 2m + + < 2 2m 1 e t2 /(m+1) 1 m t 1 olur. Pascal üçgeni simetrik olduğundan ( ) ( ) ( ) 2m 2m 2m < 2 2m e t2 /(m+1) m+t + 1 2m 1 2m olur. O halde turaların sayısının m t den az ve m+t den çok olma olasılığı den küçük olur. e t2 /(m+t) 15/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

92 Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu Kabaca küçük sayılar kanunu, küçük sayılar için ilginç fakat büyük sayılar için geçerli olmayan kuralların keşfedilebileceğinden bahseder. 16/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

93 Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu Kabaca küçük sayılar kanunu, küçük sayılar için ilginç fakat büyük sayılar için geçerli olmayan kuralların keşfedilebileceğinden bahseder. Örneğin, her tek sayı asal sayıdır ifadesi sadece ilk üç tek sayı için geçerlidir (3, 5 ve 7). 16/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

94 Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu Kabaca küçük sayılar kanunu, küçük sayılar için ilginç fakat büyük sayılar için geçerli olmayan kuralların keşfedilebileceğinden bahseder. Örneğin, her tek sayı asal sayıdır ifadesi sadece ilk üç tek sayı için geçerlidir (3, 5 ve 7). Daha ilginç bazı örnekler aşağıda sıralanmıştır: 16/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

95 Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu Kabaca küçük sayılar kanunu, küçük sayılar için ilginç fakat büyük sayılar için geçerli olmayan kuralların keşfedilebileceğinden bahseder. Örneğin, her tek sayı asal sayıdır ifadesi sadece ilk üç tek sayı için geçerlidir (3, 5 ve 7). Daha ilginç bazı örnekler aşağıda sıralanmıştır: 1 Her p > 0 tam sayısı için n p nin basamakları toplamı n olacak şekilde bir n > 1 tam sayısı vardır. 16/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

96 Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu Kabaca küçük sayılar kanunu, küçük sayılar için ilginç fakat büyük sayılar için geçerli olmayan kuralların keşfedilebileceğinden bahseder. Örneğin, her tek sayı asal sayıdır ifadesi sadece ilk üç tek sayı için geçerlidir (3, 5 ve 7). Daha ilginç bazı örnekler aşağıda sıralanmıştır: 1 Her p > 0 tam sayısı için n p nin basamakları toplamı n olacak şekilde bir n > 1 tam sayısı vardır. p = 1 için n = 2 alınabilir. 2 1 = 2 16/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

97 Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu Kabaca küçük sayılar kanunu, küçük sayılar için ilginç fakat büyük sayılar için geçerli olmayan kuralların keşfedilebileceğinden bahseder. Örneğin, her tek sayı asal sayıdır ifadesi sadece ilk üç tek sayı için geçerlidir (3, 5 ve 7). Daha ilginç bazı örnekler aşağıda sıralanmıştır: 1 Her p > 0 tam sayısı için n p nin basamakları toplamı n olacak şekilde bir n > 1 tam sayısı vardır. p = 1 için n = 2 alınabilir. 2 1 = 2 p = 2 için n = 9 alınabilir. 9 2 = = 9 16/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

98 Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu Kabaca küçük sayılar kanunu, küçük sayılar için ilginç fakat büyük sayılar için geçerli olmayan kuralların keşfedilebileceğinden bahseder. Örneğin, her tek sayı asal sayıdır ifadesi sadece ilk üç tek sayı için geçerlidir (3, 5 ve 7). Daha ilginç bazı örnekler aşağıda sıralanmıştır: 1 Her p > 0 tam sayısı için n p nin basamakları toplamı n olacak şekilde bir n > 1 tam sayısı vardır. p = 1 için n = 2 alınabilir. 2 1 = 2 p = 2 için n = 9 alınabilir. 9 2 = = 9 p = 3 için n = 8 alınabilir. 8 3 = = 8 16/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

99 Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu Kabaca küçük sayılar kanunu, küçük sayılar için ilginç fakat büyük sayılar için geçerli olmayan kuralların keşfedilebileceğinden bahseder. Örneğin, her tek sayı asal sayıdır ifadesi sadece ilk üç tek sayı için geçerlidir (3, 5 ve 7). Daha ilginç bazı örnekler aşağıda sıralanmıştır: 1 Her p > 0 tam sayısı için n p nin basamakları toplamı n olacak şekilde bir n > 1 tam sayısı vardır. p = 1 için n = 2 alınabilir. 2 1 = 2 p = 2 için n = 9 alınabilir. 9 2 = = 9 p = 3 için n = 8 alınabilir. 8 3 = = 8 p = 4 için n = 7 alınabilir. 7 4 = = 7 16/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

100 Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu Kabaca küçük sayılar kanunu, küçük sayılar için ilginç fakat büyük sayılar için geçerli olmayan kuralların keşfedilebileceğinden bahseder. Örneğin, her tek sayı asal sayıdır ifadesi sadece ilk üç tek sayı için geçerlidir (3, 5 ve 7). Daha ilginç bazı örnekler aşağıda sıralanmıştır: 1 Her p > 0 tam sayısı için n p nin basamakları toplamı n olacak şekilde bir n > 1 tam sayısı vardır. p = 1 için n = 2 alınabilir. 2 1 = 2 p = 2 için n = 9 alınabilir. 9 2 = = 9 p = 3 için n = 8 alınabilir. 8 3 = = 8 p = 4 için n = 7 alınabilir. 7 4 = = 7 p = 5 için n = 28 alınabilir = = 28 16/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

101 Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu Kabaca küçük sayılar kanunu, küçük sayılar için ilginç fakat büyük sayılar için geçerli olmayan kuralların keşfedilebileceğinden bahseder. Örneğin, her tek sayı asal sayıdır ifadesi sadece ilk üç tek sayı için geçerlidir (3, 5 ve 7). Daha ilginç bazı örnekler aşağıda sıralanmıştır: 1 Her p > 0 tam sayısı için n p nin basamakları toplamı n olacak şekilde bir n > 1 tam sayısı vardır. p = 1 için n = 2 alınabilir. 2 1 = 2 p = 2 için n = 9 alınabilir. 9 2 = = 9 p = 3 için n = 8 alınabilir. 8 3 = = 8 p = 4 için n = 7 alınabilir. 7 4 = = 7 p = 5 için n = 28 alınabilir = = 28. p = 104 için doğru 16/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

102 Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu Kabaca küçük sayılar kanunu, küçük sayılar için ilginç fakat büyük sayılar için geçerli olmayan kuralların keşfedilebileceğinden bahseder. Örneğin, her tek sayı asal sayıdır ifadesi sadece ilk üç tek sayı için geçerlidir (3, 5 ve 7). Daha ilginç bazı örnekler aşağıda sıralanmıştır: 1 Her p > 0 tam sayısı için n p nin basamakları toplamı n olacak şekilde bir n > 1 tam sayısı vardır. p = 1 için n = 2 alınabilir. 2 1 = 2 p = 2 için n = 9 alınabilir. 9 2 = = 9 p = 3 için n = 8 alınabilir. 8 3 = = 8 p = 4 için n = 7 alınabilir. 7 4 = = 7 p = 5 için n = 28 alınabilir = = 28. p = 104 için p = 105 için doğru doğru değil! 16/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

103 Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu Kabaca küçük sayılar kanunu, küçük sayılar için ilginç fakat büyük sayılar için geçerli olmayan kuralların keşfedilebileceğinden bahseder. Örneğin, her tek sayı asal sayıdır ifadesi sadece ilk üç tek sayı için geçerlidir (3, 5 ve 7). Daha ilginç bazı örnekler aşağıda sıralanmıştır: 1 Her p > 0 tam sayısı için n p nin basamakları toplamı n olacak şekilde bir n > 1 tam sayısı vardır. p = 1 için n = 2 alınabilir. 2 1 = 2 p = 2 için n = 9 alınabilir. 9 2 = = 9 p = 3 için n = 8 alınabilir. 8 3 = = 8 p = 4 için n = 7 alınabilir. 7 4 = = 7 p = 5 için n = 28 alınabilir = = 28. p = 104 için p = 105 için p = 106 için doğru doğru değil! doğru 16/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

104 Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu 2 41, } {{}, } {{}, } {{}, } {{},... asal sayıdır /43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

105 Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu 2 41, } {{}, } {{}, } {{}, } {{},... asal sayıdır n = 40 için doğru değil! 17/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

106 Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu 2 41, } {{}, } {{}, } {{}, } {{},... asal sayıdır n = 40 için doğru değil! = 1681 asal sayı değil! 17/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

107 Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu 2 41, } {{}, } {{}, } {{}, } {{},... asal sayıdır n = 40 için doğru değil! = 1681 asal sayı değil! 3 n > 2 sayısı asal sayıdır ancak ve ancak n 2 ( 2n 1 n 1) 1. 17/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

108 Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu 2 41, } {{}, } {{}, } {{}, } {{},... asal sayıdır n = 40 için doğru değil! = 1681 asal sayı değil! 3 n > 2 sayısı asal sayıdır ancak ve ancak n 2 ( 2n 1 n 1) 1. n = 3 için /43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

109 Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu 2 41, } {{}, } {{}, } {{}, } {{},... asal sayıdır n = 40 için doğru değil! = 1681 asal sayı değil! 3 n > 2 sayısı asal sayıdır ancak ve ancak n 2 ( 2n 1 n 1) 1. n = 3 için 9 9 n = 5 için /43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

110 Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu 2 41, } {{}, } {{}, } {{}, } {{},... asal sayıdır n = 40 için doğru değil! = 1681 asal sayı değil! 3 n > 2 sayısı asal sayıdır ancak ve ancak n 2 ( 2n 1 n 1) 1. n = 3 için 9 9 n = 5 için n = 7 için /43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

111 Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu 2 41, } {{}, } {{}, } {{}, } {{},... asal sayıdır n = 40 için doğru değil! = 1681 asal sayı değil! 3 n > 2 sayısı asal sayıdır ancak ve ancak n 2 ( 2n 1 n 1) 1. n = 3 için 9 9 n = 5 için n = 7 için n = 11 için /43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

112 Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu 2 41, } {{}, } {{}, } {{}, } {{},... asal sayıdır n = 40 için doğru değil! = 1681 asal sayı değil! 3 n > 2 sayısı asal sayıdır ancak ve ancak n 2 ( 2n 1 n 1) 1. n = 3 için 9 9 n = 5 için n = 7 için n = 11 için /43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

113 Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu 2 41, } {{}, } {{}, } {{}, } {{},... asal sayıdır n = 40 için doğru değil! = 1681 asal sayı değil! 3 n > 2 sayısı asal sayıdır ancak ve ancak n 2 ( 2n 1 n 1) 1. n = 3 için 9 9 n = 5 için n = 7 için n = 11 için n = için doğru değil! (bu sayıya kadar doğru) n = sayısı asal değildir. 17/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

114 Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu 2 41, } {{}, } {{}, } {{}, } {{},... asal sayıdır n = 40 için doğru değil! = 1681 asal sayı değil! 3 n > 2 sayısı asal sayıdır ancak ve ancak n 2 ( 2n 1 n 1) 1. n = 3 için 9 9 n = 5 için n = 7 için n = 11 için n = için doğru değil! (bu sayıya kadar doğru) n = sayısı asal değildir. Ancak n 2 ( 2n 1 n 1) 1. 17/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

115 Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu 2 41, } {{}, } {{}, } {{}, } {{},... asal sayıdır n = 40 için doğru değil! = 1681 asal sayı değil! 3 n > 2 sayısı asal sayıdır ancak ve ancak n 2 ( 2n 1 n 1) 1. n = 3 için 9 9 n = 5 için n = 7 için n = 11 için n = için doğru değil! (bu sayıya kadar doğru) n = sayısı asal değildir. Ancak n 2 ( 2n 1 n 1) 1. 4 Alıştırma: Bir çemberin üzerinde n+1 farklı nokta işaretleyip, bu noktaları ikişer ikişer birleştirin, ortaya çıkan şekil çemberi 2 n parçaya ayırır. n = 1,2,3,4,5 için kontrol ediniz. 17/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

116 Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu Çok büyük sayılar kanunu, çok büyük sayıda veri içerisinde ilginç tesadüflerin olabileceğini ifade eder. 18/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

117 Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu Çok büyük sayılar kanunu, çok büyük sayıda veri içerisinde ilginç tesadüflerin olabileceğini ifade eder. Örneğin bir arkadaşımız Yıl başında doğmuş iki kişi tanıyorum. İkisi de hem doğum günleri hem de yılbaşı için bir tek hediye almaktan şikayetçiler... derse, bu gerçekten ilginçtir. 18/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

118 Küçük Sayılar ve Çok Büyük Sayılar Kanunu Çok büyük sayılar kanunu, çok büyük sayıda veri içerisinde ilginç tesadüflerin olabileceğini ifade eder. Örneğin bir arkadaşımız Yıl başında doğmuş iki kişi tanıyorum. İkisi de hem doğum günleri hem de yılbaşı için bir tek hediye almaktan şikayetçiler... derse, bu gerçekten ilginçtir. Acaba yıl başında doğanların sayısı diğer günlerde doğanların sayısından daha mı fazladır? 18/43 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi