Titreşim nedir? x(t)=x(t+nt)

Transkript

1 MEKANİK TİTREŞİMLER

2 Titreşi nedir? Bir sistein denge onuu civarında yapış olduğu salını hareetine titreşii denir. Eğer yapılan salını hareeti T saniyede endini terar ediyorsa böyle hareetlere peryodi hareet denir. En basit peryodi hareet haroni hareet adını alır. DAVULUN TİTREŞİMİ (t)=(t+nt) =Yer değiştire ğ ş, rad t=zaan s T=Peryod s n=peryod sayısı adet

3 Titreşilerin Nedenleri: Sistelerdei titreşiler, dış uvvetler ve sistein bu dış uvvetlere cevap vere özelliğinden aynalanır. Dış Kuvvetler: Sistein bağlı olduğu teelden gelen uvvet Dönen sistelerde dengeleneiş ütleler, e Motorlarda gidip-gelen ütleler, Darbe, depre, vb. nedenlerle oluşan herhangi bir uvvet olabilir.

4 Titreşi aynaları: Her türlü endüstriyel aine Karayolu ve raylı ulaşı araçları, Binalarda ullanılan aine ve teçhizat, vb. hareetli sisteler titreşi aynaları olara görülelidir.

5 Titreşilerin i i Etileri: i Gürültü Yüse gerileler l Aşına Malzee yorulası gibi isteneyen sonuçlara neden olurlar.

6 Mainalarda titreşi i olası genelde istenez. Çünü titreşiler sırasında aina parçalarına uygulanan uvvetler gürültü, yüse gerileler, aşına, alzee yorulası gibi isteneyen davranışlara sebep olur. Anca titreşiden yarlanan bazı ainalar da vardır. Günlü hayatta sı sı arşılaştığıız titreşili yol silindirleri, titreşili onveyörler, darbeli ataplar, asaj ainaları,eletrili traş ainaları bunlar arasındadır.

7 Titreşie aruz alan insanlarda: Fizisel i ve psioloji rahatsızlılar (yorgunlu, diat azalası, ortopedi rahatsızlılar, saatlılar, iş ş azaları, vb. ) Yaşa alitesinde olusuz etiler Çalışa perforansının azalası

8 Titreşi Sistelerinin Eleanları Kütle Yay Sönü Kuvvet

9 Serbestli Derecesi Hareet halindei bir sistein i eleanlarının l duru ve onularını belirleyen paraetrelere oordinat denir. Bir sistein bütün parçalarının her hangi bir zaanda Bir sistein bütün parçalarının her hangi bir zaanda onularının taaen belirli olası için gereli birbirinden bağısız iniu oordinat sayısına serbestli derecesi denir.

10 Te Serbestli Dereceli Sisteler

11 İi Serbestli Dereceli Sisteler

12

13 Eaple of the odeling of a forging haer: 3

14 Ayrı ve Süreli Sisteler Sonlu sayıda serbestli dereceli sistelere ayrı siste denir. Serbestli derecesi sonsuz olan sistelere süreli siste denir. Süreli siste

15 SI Biri Sistei İsi Biri Sebol Uzunlu Metre Kütle Kilogra g Zaan Saniye s Kuvvet Newton N (g./s ) Gerile Pascal Pa (N/ ) İş Joule J (N.) Güç Watt W (J/s) Freans Hertz Hz (/s) Moent M N. Kütlesel Atalet Moenti J g. Kesit Atalet Moenti I 4

16 Titreşi Nedir?

17 Haroni Hareet =Yerdeğiştire (,rad) A=Genli (,rad) t=zaan (s) A sin t T T=Peryot (s) A t T

18 Titreşi genliği üç farlı biçide ifade edilir. pea to pea (P-P)(İi P)(İi tepe arasındai uzalı): ) Kütlenin titreşi i esnasında ulaştığı ii uç nota arasındai uzalıtır. Değeri a'dır. Zero to pea (0-P): Denge onuu ile tepe notası arasındai uzalıtır. Değeri a'dır. RMS (Root ean square)(kareler toplaının areöü): RMS (Root ean square)(kareler toplaının areöü): Titreşiin efetif değeridir. Elinizi titreşi yapan aina üzerine oyduğunuzda hissettiğiniz titreşi seviyesidir. Basit haroni hareette 0-P değerinin atıdır.

19 Daire Üzerinde Hareetli Bir Notanın Haroni Gösterii i O A P A Asin t t f T A sin t A cos t A sint / Asin t Asin( t )

20 Haroni Hareette Yerdeğiştire Hız ve İve Vetörlerinin i Gösterii i A A A t t

21 Euler Denlei Yardıı ile Döner Bir Vetörün ö ü Gösteriiö Euler Denlei e i cos i sin i t i z Ae Ae t z Acost i Asint z iy A tan y y A z i A e t

22 Graphical representation of the otion of a haronic oscillator.

23 Yay Eleanları Helisel Yaylar

24 Yapra Yaylar

25 Yay Karateristileri F (N) F (N) Lineer (doğrusal) yay arateristiği X () X () Non-Lineer (doğrusal olayan) yay arateristiği

26 Yay Katsayısı Kuvvet F tan (N/) Yerdeğiştire

27 Yay Katsayısı Tablosu E I L E A L G I L p 4 G d 3 64 n R 3EI 3 L

28 L/ 48 E I 3 L 9 E I 3 L L/ 768 E I 3 7 L L/

29 a b 3 E I L a b P b 6 E I L y y L b EI L E I 3 L

30 3E I L a a L a a 4 E I 3L 8 a L a

31 Yayların Paralel Bağlanası eş n i n n 3 eş...

32 Yayların Seri Bağlanası eş n i i n 3 eş...

33 ÖRNEK: Yandai sistein eşdeğer yay atsayısını hesaplayınız. 3 4

34 ÖRNEK: ç ç Yandai sistein eşdeğer yay atsayısını hesaplayınız.

35 ÖRNEK: G 3,I p3,l 3 G,I p,l G,I p,l J Yuarıdai burula sistein eşdeğer yay atsayısını hesaplayınız.

36 Visoz sönü Sönü Eleanları Daping force is proportional to the velocity of the vibrating body in a fluid ediu such as air, water, gas, and oil. Coulub (uru sürtüne) sönüü Daping force is constant in agnitude but opposite in direction to that of the otion of the vibrating body between dry surfaces

37 Malzee (histeresiz) sönü Energy is absorbed or dissipated by aterial lduring deforation due to friction between internal planes Elero-anyeti daper Eletro-visoz daper Piezo-eletri daper

38 Kütle ve Atalet Eleanları Bir cisin bir döne esenine göre ütlesel atalet oentinin tanıı: d D J D r d r döne eseni

39 Proble: Orta notasından afsallı ve sabit esitli bir çubuğun ütlesel atalet oentinin bulunası y L/ A d L

40 Çözü: Eleanter haci Eleanter ütle dv A d d dv Kütlesel atalet oentinin tanıından L L J A d A J L 3 A 3 burada, L L L - A L 3 d bulunur. A L J J L D r d

41 Proble: Bir disin döne esenine göre ütlesel atalet oentinin bulunası. dr r d da R L

42 Çözü: Eleanter alan Eleanter haci Eleanter ütle da r.sin d.dr dv L.dA L. r.sin d.dr d.dv.l.r.sin d. dr sin d d d.lr.d.dr bulunur. J D r d R 0 0.L.r 3.d.dr.L..R 4.V..R.L J.R

43 TİTREŞİM PROBLEMLERİNİN DOĞRUSALLAŞTIRILMASI (KÜÇÜK YER DEĞİŞTİRMELER) Titreşi probleleri, öteleeler ve dönelerin üçü olduğu abulü ile doğrusal diferansiyel denleler ile incelenetedir. Büyü yer değiştireler söz onusu olduğunda doğru çözü için diferansiyel denlelerin nonlinear forları göz önünde bulundurulalı ve çözüler bu şeilde yapılalıdır.

44

45 Sönüsüz Serbest Titreşi Düşey ş onuda ütle-yay y sisteinin hareet denlei: L 0 st t Stati denge onuu

46 st Serbest cisi diyagraı G.g Stati ti denge onuu: FF y 0 Burada, n G.g. g n sistein tabii freansıdır. n st st g st

47 Newton un. anunu uygularsa, ( ) st G.g G F.a - st G.g. st olduğundan, 0 bulunur.

48 Yatay onuda ütle-yay y sisteinin hareet denlei: Newton un. anunu uygularsa, F.a - 0 bulunur.

49 Hareetin Diferansiyel Denleinin Enerji Metodu ile Bulunası Bu etoodun ullanılabilesi için titreşi ş sisteinin; Sönüsüz Te serbestli dereceli olası gereir. E E p C sabit d E E 0 dt p

50 Sönüsüz Serbest Titreşi Hareet Denleinin Bulunası 0 Bu diferansiyel denlein çözüünün A e s t biçiinde olduğunu biliyoruz. Burada, A ve s integrasyon sabitleridir. Çözü abulünü türetirse, s s s A e A e t s t Bulunur. Bunlar yuarıdai diferansiyel denlede yerine onursa,

51 st s A e 0 s t Burada, A, e 0 dır. s 0 Bulunur, bu denlee arateristi denle denir. Karateristi denlein öleri, s, dir. i n

52 Bu duruda, hareet denlei: (t) A e s t st int e i Ae Ae A n t A ve A başlangıç şartlarından bulunaca atsayılardır. e it cos.t i.sin.t eşitliği ş ğ ullanılırsa, (t) (t) A cos t i sin t A cos t i sin t n n n n A cos nt i A A sin n A t B A A ve A B A A i ola üzere ola üzere,

53 (t) B cos n t B sin n t olur. Başlangıç şartları t 0 Bu duruda,, B 0 (0) 0 (0) 0 B 0 n olsun. bulunur. Buradan başlangıç şartlarına bağlı hareet denlei aşağıdai şeilde bulunur. (t) 0 0 cos nt sin n n t

54 Proble: Aşağıdai saracın diferansiyel denleini çıarınız. Tabii freansını ve periyodunu hesaplayınız. L uzunluğunda ağırlısız bir ipin ucuna ütlesi asılıştır. Çözü: L J g

55 Newton un. anunu uygulanırsa, M J J J Top - g.l sin L 0 sin alınabilir. g L g L 0 L g n rad/s T L 0 n f n buradan, s

56 Proble: Aşağıda denge onuunda verilen sistein diferansiyel denleini çıarıp tabii freansını hesaplayınız.,l M

57 Çözü: Sistein denge onuunu bir itar bozalı ve oluşan uvvetleri göstereli. J.g. J M M M.g

58 Newton un. anunu uygulanırsa, M J Top L J J M g. sin - M g.l sin -.L cos 0 sin cos alınabilir. Yaydai sıışa itarı L.sin L L 3 M L g.l M g.l L 0

59 J L 3, J M sadeleştire yapılırsa, M L dir. M L g M g L 3 0 n g 3 M g ML L

60 Proble: Aşağıda denge onuunda verilen sistein diferansiyel denleini çıarıp tabii freansını hesaplayınız,l M

61 Çözü: J M M,L

62 Newton un. anunu uygulanırsa, M J Top J M.L -.L 0 sin cos alınabilir. Yaydai sıışa itarı 3 L L.sin J L L L

63 Yuarıdai denlei düzenleyeli. L M L 3 L 0 sadeleştire yapılırsa, 3 M 0 bulunur. n 3 M 3 3 M rad/s

64 Proble: Aşağıda denge onuunda verilen sistein diferansiyel denleini çıarıp tabii freansını hesaplayınız,r M

65 Çözü: J M M

66 Newton un. anunu uygulanırsa, M J J Top M.r -.r 0 sin cos J r r.sin r r r yazılabilir.

67 düzenlee yapılırsa, r M r M.r r M r 0 -.r 0 n M M rad/s

68 Proble: Aşağıda denge onuunda verilen sistein diferansiyel denleini çıarıp tabii freansını hesaplayınız r,r

69 Çözü: T r J

70 Newton un. anunu uygulanırsa, M J Top, F a J r T T= J / r - T -T - - J / J 0 r r.sin r yazılabilir. r r r J r

71 J r r r = 0 r r r n 3 rad/s

72 Proble: Aşağıda denge onuunda verilen sistein diferansiyel denleini çıarıp tabii freansını hesaplayınız M,r,r y

73 Çözü: M y

74 y r y r y r y r y r r r 0 E E dt d p r J y M E 3 r r M 4 r E r 3 M E

75 eş eş eş p r 4 r E 3 d 0 E E dt d p 0 r r 3 4M r r 3 M dt d 0 olalı, 0 r r 3 M 4

76 4 M 3 0 n 4M 3

77 Proble: Aşağıda denge onuunda verilen sistein diferansiyel denleini çıarıp tabii freansını hesaplayınız 3 h h

78 Çözü: 3 h h

79 Newton un. anunu uygulanırsa, M J Top.h.h.h ve yazılırsa, oordinatları h h.h 3.h. h genelleştiriliş Koordinatı cinsinden h h h h

80 h 4 h h h h h 4 h h hh n rad/s

81 d 0 E E dt d p E E 3 p E oordinatları ve genelleştiriliş oordinatı cinsinden h h h h yazılırsa, h h

82 4h h E h h E 4h h E 3 p 4h h h h E h h E 3 p 3 p h h h E p

83 d 0 E E dt d p d 0 h h h h h dt d 3 0 h 4 h h h 4 h 3 0 olalı, bu duruda parantez içi sıfıra eşit olalıdır

84 Proble: Aşağıda denge onuunda verilen sistein diferansiyel denleini çıarıp tabii freansını hesaplayınız M r y

85 Çözü: M y y y y r y r r r r r y

86 J M y E M 6 3 4r M r 4 M E J M y E 8 4 y E 6 4r 4 p M 6 3 dt d 0 E E dt d p 0 M M 8 3 M M 4 n

87 Newton un. anunu uygulanırsa, T F a -T y M J T T M y y F a M y - y T T, nin içine onursa, M y 3 y T M J J T r T r 4 M T

88 ve 3,, 4 ün içine onursa, J - r - M y y - M r r M r M - M M 0 4 r r 3 4 M 0 n 4 3 M

89 Proble:Aşağıdai titreşi sisteinin üzerine ütlesi h yüseliğinden düşüp yapışıyor. M ütlesinin hareet denleini yazınız. h M

90 Çözü: M h M V gh 0 g M 0 V0 M gh

91 ütlesi ile M nin çarpıştığı andai oentuunu yazalı. V (M ) V0 gh M V0 V0 0 M gh ütlesinden dolayı yayı bir itar sıışır. st 0 g Newton un. anunu uygulanırsa, F a M - M 0

92 Sistein tabii freansı. n M Sönüsüz serbest titreşi hareetinin başlangıç şartlarına bağlı hareet denlei aşağıdai gibiydi: (t) 0 0 cos nt sin değerler ğ yerine onulura; n n t t g gh cos t M sin t M M

93 g gh t cos t sin t M M M g gh t cos t sin t M M M