PROJE 3. Projenin Konusu: Platonic (Platonik) Cisimler Projenin Amacı: Yüzeyleri düzgün çokgensel bölge olan katı cisimleri tanımak

Transkript

1 DİK PRİZMALAR VE PİRAMİTLER PROJE 3 Projenin Konusu: Platonic (Platonik) Cisimler Projenin Amacı: Yüzeyleri düzgün çokgensel bölge olan katı cisimleri tanımak Projenin Hazırlık Basamakları 1. Platonik cisimler hakkında bilgi toplayınız. 2. Beş katı cisim olarak bilinen geometrik cisimlere ne ad verildiğini araştırınız. 3. Düzgün dört yüzlü, altı yüzlü, sekiz yüzlü, on iki yüzlü ve yirmi yüzlü katı cisimlerin yüzleri hangi düzgün çokgenlerden oluşmuştur? 4. Bu cisimlerin hangilerine ateş, hava ve su denmiştir? Yukarıdaki sorularla ilgili araştırma raporunuzu hazırlayınız ve sınıfta arkadaşlarınıza sununuz. Projenin Sunumu Projenin Değerlendirmesi Kitabınızın 202. sayfasında yer alan ÖZ DEĞERLENDİRME FORMU nu doldurarak kendinizi değerlendiriniz. NELER ÖĞRENECEĞİZ? 1. Birini küplerle oluşturulan yapıların izomctrik ve dik görüntü (otografik) çizim- lerini yaparak hacimlerini hesaplayacağız. 2. Dik prizma ve dik piram idi açıklayacağız. 3. Dik prizmaların ve dik düzgün piramitlerin yüzey alan bağıntılarını oluşturup uy- j I gulamalar yapacağız. 4. DjJ< prizm a ve dik piram itlerin hacim bağıntılarını oluşturup uygulamalar yapa- Jj m 11 a

2 BİRİM KÜPLERLE OLUŞTURULAN YAPILARIN İZOMETRİK VE DİK GÖRÜNTÜ (ORTOGRAFİK) ÇİZİMLERİNİ YAPMA VE HACİMLERİNİ BULMA İnsanlar yaşamak ve doğa şartlarından ko- ifjnmak için açık veya kapalı bir mekana ihtiyaç ruymaktadırlar. Bu mekanları tasarlamak mi- -arların işidir. Bir mekan yapılırken önce bu -ekanın farklı yönlerden görünümleri çizilir ve azimlere uygun bir maketi yapılır. Sizce bir mekanı yaparken çizim ve küçük bir -aketi yapmanın faydaları nelerdir? Tartışınız. / / / / / Yanda, eş küplerle oluşturulan yapı modelinin farklı yönlerden görünümlerini inceleyiniz. / / / / / / / / / Siz de yandaki yapının üstten, alttan, sağdan ve soldan görünümlerini zihninizde canlandırarak kareli kâğıda çiziniz. / / / / / / / / / / / / / ^ E T K İN L İK Araç ve Gereç: birim küpler, izometrik kâğıt, kalem, silgi, cetvel. Eş birim küplerle yandaki gibi yapılar oluşturunuz. Oluşturduğunuz bu yapıyı izometrik kâğıda çiziniz. Sonra oluşturduğunuz yapının sağdan, soldan, üstten ve alttan görünümlerini zihninizde canlandırarak bunları kareli kâğıda çiziniz. Şimdi de kareli kâğıda bir yapının yüzünü çiziniz. Çizdiğiniz bu yapıyı birim küplerle oluşturunuz. Bu yapının farklı yönlerden görünümlerini kareli kâğıda çiziniz. Birim küplerle oluşturulan yapıların hacimlerinin kaçar br3 olduğunu bulunuz. 119

3 İN C E L E Y E L İM Birim küplerle yandaki yapıyı oluşturalım. İzometrik ve dik görüntü çizimi yapalım, hacmini bulalım. İzometrik Çizim Verilen yapının görünümü izometrik kâğıda çizilir. Yanda yukarıda verilen yapının görünümü izometrik kâğıda çizilmiştir. Aynı yapının çizimini siz de yapınız. Verilen yapının hacmi 11 birim küptür. Çizimde, yatay doğrultu ile 30 lik açı yapan izometrik kâğıt kullanıldığına dikkat ediniz. / r % m : // / BİLGİ İzometrik çizim; üç boyutlu bir yapının, perspektifi dikkate alınmadan bir bütün olarak izometrik kâğıda çizilmesidir. Dik Görüntü (Ortografik) Çizim Yapının üstten, önden, sağdan görünümü zihinde canlandırılır. Tim Dik görüntü çizimde, yapının üstten ve önden görünümlerindeki genişlikleri ile önden ve sağ yandan görünümlerindeki yükseklikleri eşit olmalıdır. önden soldan sağdan üstten Dik görüntü çizimi yapılırken görünmeyen düzlemi belirten ayrıtlar kesik çizgi ile gösterilir. Yanda, yukarıda verilen yapının dik görüntü çizimi yapılmıştır. Siz de aynı çizimi yapınız. * BİLGİ Dik görüntü (ortografik) çizim; üç boyutlu bir yapıya tek bir yönden bakılarak (üstten, önden, soldan, sağdan) görünümlerinin iki boyutlu çizilmesidir. ÖRNEK Yanda, dik görüntü çizimi verilen yapının görünümünü izometrik kâğıda çizelim ve hacmini bulalım. Önce yapıyı birim küplerle oluşturalım. Yapının tabanı 2.10 = 10 birim küple oluşturulur. Yapının önden görünümüne göre, bu tabandan 2 tane üst üste gelmiştir. Burada, = 20 birim küp kullanılır ((D). Yapının önden ve yandan görünümüne göre yüksekliği için 4 birim küp gereklidir. 2 yapının ortasına üst üste ikişerli 4 birim küp konulursa yapı tamamlanır ((D). üstten görünüm önden görünüm sağyandan görünüm S F l / / / / / / 120

4 İzometrik çizimi yapalım. Yapının önden görünümü izometrik kâğıda aktarılır ((D). Sağ yandan ve üstten görünümlerde yapının genişliği çizilirken paralel doğrulardan yararlanılır m Arka ayrıtlar çizilerek izometrik çizim tamamlanır ( ). Yapının hacmi, 24 birim küptür. ÖRNEK 1. Yandaki yapıyı birim küplerle oluşturalım ve dik görüntü çizimlerini yapalım: sağdan soldan 2. Yandaki izometrik çizimleri verilen yapının ortografik iz düşüm- lerini çizelim: üstten önden sağdan * ALIŞTIRMALAR Bir kibrit kutusunun izometrik çizimini aşağıdaki 1. bölüme; önden, üstten ve yandan görünümünü de 2. bölümdeki kareli kâğıda çiziniz. 121

5 2. Yanda birim küplerle oluşturulmuş yapılar verilmiştir. a. Bu yapıların hacimlerini bulunuz. (D üst b. Bu yapıların izometrik çizimlerini yapınız. sağyan c. Bu yapıların dik görüntü çizim- lerini yapınız. 3. Yanda bazı yapıların izomet- (D. rik çizimleri verilmiştir. O a. Bu yapıları birim küplerle oluşturunuz ve hacimlerini bulunuz. b. Bu yapıların dik görüntü çizimlerini yapınız. 4. Aşağıda bazı yapıların dik görünüm çizimleri verilmiştir. Bu yapıların izometrik çizimlerini yapınız. Bu yapıların birim küplerle oluşmuş şekillerini çiziniz. Bu yapıların hacimlerini bulunuz. i--- üstten görünüm önden görünüm yandan görünüm üstten görünüm önden... gorunum yandan gorunum üstten görünüm önden gorunum sağ yandan görünüm 5. Yandaki yapının hangi dik görünümündeki alanı 6 br2 dir? A. Önden D. Üstten B. Sağdan E. Arkadan C. Soldan 122

6 DİK PRİZMA VE DİK PİRAMİT PRİZMA Yanda bir bilgisayar laboratuvarının fotoğrafı yer almaktadır. Laboratuvarlar ve sınıflar genellikle hangi prizmaya model olabilir? Sınıfınızda kaç köşe, kaç yüzey ve kaç ayrıt vardır? Ayrıt, köşe ve yüz sayılarıyla hangi işlemleri yaparsanız sonuç 2 olur? jfit K İN L İK Araç ve Gereç: karton, kalem, silgi, cetvel, makas. Kartona birbirine eş olan iki üçgen ile birer kenarları bu üçgenlerin kenarlarına eş ve diğer kenarları da kendi aralarında eş olan üç dikdörtgen çiziniz. Oluşan çokgensel bölgeleri kenarlarından keserek kartondan ayırınız. Dikdörtgensel bölgeleri eş olan kenarlarca ardışık olarak bant ile birbirine yapıştırınız. Üçgensel bölgeleri de oluşan modelin açık olan alt ve üst kısmını kapatacak şekilde modele bantla yapıştırınız. Oluşturduğunuz modeli bir kâğıda çiziniz. Bu model ve çizimden yararlanarak kâğıda tabanı kare, altıgen, dikdörtgen, paralelkenar, dik ve ikizkenar yamuk, düzgün beşgen, düzgün altıgenler olan modeller çiziniz. Bunların yüz (F), ayrıt (E) ve köşe (V) sayılarını bulunuz. Her bir prizma için V - E + F işleminin sonuçlarını bulunuz. Bulduğunuz sonuçları açıklayınız. Çizdiğiniz şekillerin düzlem üzerine açınımlarını oluşturup bunları isimlendiriniz (Yaptığınız bu etkinliği saklayınız.). *CÜ İNCELEYELİM Yandaki prizma yüzeyini inceleyelim. üst taban Hangi elemanlar birbirine eştir? yan ayrıt yükseklik yanal yüz 123

7 Yukarıdaki prizmaları ve aşağıdaki tabloyu inceleyelim. PRİZMA TABLOSU Üçgen prizma Kare prizma Dikdörtgenler prizması Yamuk prizma Beşgen prizma Altıgen prizma Ayrıt sayısı (E) Yüz sayısı (F) Köşe sayısı (V) V - E + F 6-9+5= = = = = = 2 BİLGİ Her prizma için V - E + F = 2 bağıntısı vardır. Prizmatik Yüzey 2. Yandaki resimde apartmanın dış yüzünün temizlenmesinde kullanılan aracın ipleri apartmanın yüzlerine paraleldir. Bu iplerden biri apartmanın yüzüne dayandırılarak ilk konumuna getirilinceye kadar kaydırıldığında, oluşan yüzeye prizmatik yüzey, hareketli ipe (doğruya) de prizmatik yüzeyin ana doğrusu denir. 124

8 Prizmatik yüzey şöyle de açıklanır: Uzayda, düzlemsel bir çokgen ile çokgen düzlemine paralel olmayan bir k doğrusu alalım. Çokgenin kenarlarından birini kesen ve k doğrusuna paralel olan d doğrusunu çizelim, d doğrusu çokgenin kenarlarına dayanarak ilk konumuna paralel olarak kaydırılırsa oluşan yüzeye prizmatik yüzey, hareketli doğruya da prizmatik yüzeyin ana doğrusu denir. Yandaki şekilde, ABC üçgensel bölgesinin kenarlarına dayanarak hareket eden ve k doğrusuna paralel olan d doğrusu prizmatik yüzey oluşturmuştur. r S AÇIKLAMA Prizmatik yüzey Bir prizmatik yüzey birbirine paralel iki paralel düzlemle kesilirse, bu düzlemler arasında kalan kapalı cisme, prizma denir. dayanak eğrisi (çokgen) Birbirine paralel P ve E düzlemleri içinde, birbirlerine eş iki çokgensel bölgenin tüm noktaları karşılıklı birleştirilirse elde edilen cisme prizma denir. üst taban Yandaki şekilde çokgensel bölge olarak beşgen seçilmiştir. Prizmanın altını ve üstünü oluşturan çokgensel bölgelere, prizmanın tabanları, Prizmanın taban kenarlarına, taban ayrıtları, Tabanların karşılıklı köşe noktalarını birleştiren doğru parçalarına, yanal ayrıtlar, İki yanal ayrıt arasında kalan ve bir tabanın, kenar sayısı kadar olan paralelkenarsal bölgelere yanal yüzler, İki taban arasında kalan uzaklığa, prizmanın yüksekliği denir. Dik prizmalar, tabanlarını oluşturan çokgenlere göre adlandırılır. Örneğin; tabanı üçgen olan prizmaya, üçgen prizma; tabanı beşgen olan prizmaya, beşgen prizma;... denir. Dik Prizma ---- AÇIKLAMA Yanal ayrıtları taban düzlemine dik olan prizmaya, dik prizma denir. Dik prizmanın yanal ayrıtları dik prizmanın yüksekliğidir. Dik prizmanın yanal yüzleri dikdörtgensel bölgedir. Üçgen dik prizma 125

9 Eğik Prizma - S == a. AÇIKLAMA Yanal yüzleri taban düzlemine dik olmayan prizmaya, eğik prizma denir. Eğik prizmada yan yüzler paralelkenardır. Düzgün Prizma ---- AÇIKLAMA Tabanları düzgün çokgenler olan dik prizmalara, düzgün prizma denir. Düzgün çokgenlerin köşeleri bir çember üzerinde bulunduğundan, düzgün prizmaların taban köşeleri de bir çember üzerinde bulunur. Düzgün prizmada tabanların merkezlerini birleştiren doğruya, eksen denir. Şekilde [OO1] eksendir. IOBI = R, [OH] 1 [BC] => IOHI = r dir. Özel Prizmalar Dikdörtgenler Prizması ---- AÇIKLAMA Tabanları dikdörtgensel bölge olan dik prizmaya, dikdörtgenler prizması denir. Şekildeki dikdörtgenler prizmasında, [BD] yüzey köşegeni ve [BD1] cisim köşegenidir. ' c D: / y Dikdörtgenler prizması IBDI =Va2 + b2 ve IBD'l =Va2 + b2 + c2 dir. Küp AÇIKLAMA Bütün ayrıtları eşit uzunlukta olan dikdörtgenler prizmasına, küp denir. Şekildeki küpte, [BD] yüzey köşegeni ve [BD1] cisim köşegenidir. IBDI = 3^ ve IBD'l = a ^ tür. 126

10 _ ÖRNEKLER * Şekildeki kare prizmasında; IALI = 3 br, ILBI = 1 br, bulalım. BCG dik üçgeninde, IBGI2 = IBCI2 + IGCI2 IBGI2 = = = 80 dir. LBG dik üçgeninde, IGLI2 = ILBI2 + IBGI2 IGLI2 = = = 81 IGLI =^ 8^ = 9 br bulunur. Z Şekildeki dikdörtgenler prizmasında; IABI = 8 br, IBCI = 6 br, ICGI = 15 br ve Re [AE] A(GRC) kaç br2 dir? [EG] yüzey köşegenini çizelim. EFG dik üçgeninde IEGI2 = IEFI2 + IFGI2 IEGI2 = = = 100 IEGI = 10 br dir. A(GRC) A(EACG) IEGI. IGCI _ u 2, = = = = 75 br2 olur örnekte verilen dikdörtgeler prizmasında, B köşesinden H köşesine prizma yüzeyinden giden bir karıncanın aldığı en kısa yolun uzunluğunu bulalım: Prizmanın yan yüzünün açınımını çizelim. Karıncanın aldığı en kısa yol [BH] nın uzunluğudur. IBHI2 = IHDI2 + IDBI2 = = = 421 dir. IBHI2 = 421 => IBHI = ^421 = 20,5 cm dir. 127

11 J l ÖRNEK Şekildeki küp içine köşeleri küpün köşelerinde olan D'AC üçgeni çizilmiştir. D'AC üçgeninin çevresinin uzunluğunu ve m(da'c)nü bulalım. dir. D'AC üçgeninin kenarları verilen küpün yüzey köşegenleridir. Ayrıt uzunluğu a olan bir küpün yüzey köşegeninin uzunluğu a\[2 a = 4 cm ise ID'AI = IACI = ICD'l = 4V?cm dir. O halde, D'AC üçgeni eşkenar üçgendir. Çevresinin uzunluğu Ç = 3. a = 3. 4V2 = 12V2 cm dir. DA'C açısının ölçüsü de m(da'c) = 60 dir. a = 4 cm B ÖRNEK Bir küpte, cisim köşegeninin bir köşedeki ayrıtlarla yaptığı açıların ölçülerinin birbirine eşit olduğunu gösterelim... D1 ÇOZUM [BD1] cisim köşegeni çizelim. Bu köşegenin [AB], [BB1] ve [BC] ayrıtları ile yaptığı açıların ölçüleri; a, P ve 0 olsun. [AD1], [CD1] ve [B'D1] yüzey köşegenlerini çizelim. D'AB dik üçgeninde cos a =, I I D B B dik üçgeninde cos (3= Q f D'CB dik üçgeninde cos 0 = olduğundan, cos a= cos (3= cos 0= dir. O halde, a = (3= 0olur. % ÖRNEK Şekildeki küpte [BH] cisim köşegenidir. [AK] _L [BH] ise oranını bulalım. IHKI ÎHBÎ IABI = a => IAHI = a^jfdir. ABH dik üçgeninde, dik kenar bağıntılarını yazalım ve oranlıyalım. IAHI2 = IHKI. IHBI ve IABI2 = IBKI. IHBI dir. IAHI2 IABI2 IHKI. IHBI IHKI (av2v IBKI. IHBI IBKI IHKI IBKI IHKI IBKI IHKI = 2IBKI olur. IHKI 9IR KI 9 IHBI = IHKI + IBKI = 2IBKI + IBKI = 3IBKI => = = _ bulunur. IHBI 3IBKI 3 123

12 PİRAMİT Mısır piramitleri yeryüzündeki anıt mezarların en eskileri ve en büyükleridir.bunların en haşmetlisi olan Keops Piramidi dış görünüşü ile de "Dünyanın Birinci Harikası" olma niteliğine hak kazanmıştır. Piramitler, firavunun mumyası ile hepsi birbirinden değerli eşsiz nitelikteki sanat eserlerini; kral, kraliçe, prens heykellerini ve bu eşsiz hâzineleri saklamak için yapılmıştır. '^ E T K İN L İK Araç ve Gereç: karton, kalem, silgi, cetvel, makas. Kartona bir kare ile bir kenar uzunluğu bu karenin bir kenar uzunluğuna eşit olan dört tane eşkenar üçgen çiziniz. Oluşan çokgensel bölgeleri kenarlarından keserek kartondan ayırınız. Oött keuauautu, dış kısımda kalan köşeleri aynı noktada birleşecek biçimde bantla yapıştırınız. Karesel bölgeyi üçgensel bölgelerin tabanı olacak biçimde yapıştırınız. Oluşturduğunuz modeli bir kâğıda çiziniz. Bu model ve çizimden yararlanarak kâğıda tabanı; dikdörtgen, eşkenar üçgen, yamuk (dik ve ikizkenar); düzgün beşgen ve düzgün altıgen olan modelleri çiziniz. Bunların yüz (F), ayrıt (E) ve köşe (V) sayılarını bulunuz. Her bir piramit için V - E + F işlemini yaparak bulduğunuz sonuçları açıklayınız. Çizdiğiniz şekillerin düzlem üzerine açınımlarını oluşturup bunları isimlendiriniz (Yaptığınız bu etkinliği saklayınız.). tepe noktası Yanda verilen piramidi inceleyelim. yanal yüz yanal ayrıt yükseklik taban Aşağıda verilen piramit yüzeylerini inceleyelim. Ayrıt sayısı (E): 8 Köşe sayısı (V): 5 Yüz sayısı (F) : 5 V - E + F =5-8+5=2 Ayrıt sayısı (E): 8 Köşe sayısı (V): 5 Yüz sayısı (F) : 5 V - E + F =5-8+5=2 Ayrıt sayısı (E): 10 Köşe sayısı (V): 6 Yüz sayısı (F) : 6 V - E + F = = 2 Ayrıt sayısı (E): 12 Köşe sayısı (V): 7 Yüz sayısı (F) : 7 V - E + F = = 2 129

13 Bir çokgenin düzleminin dışındaki sabit bir T noktası ile çokgenin noktalarından geçen doğruların oluşturduğu yüzeye, piramidal yüzey; bu yüzeyin sınırladığı bölgeye de piramidal bölge denir. 1 * BİLGİ Çokgen düzlemine paralel bir düzlem ve T noktası arasındaki pramidal bölgeye, piramit denir. piramidal yüzey piramidal bölge piramit piramit yüzeyi Çokgensel bölgeye piramidin tabanı, T Çokgensel bölgenin dışındaki T noktasına piramidin tepe noktası, Tabanının bir köşesi ile T noktasının belirttiği doğru parçasına piramidin yanal ayrıtı, T noktasından çokgensel bölgenin bulunduğu düzleme indirilen dikme parçasına, piramidin yüksekliği denir. Tepe noktası T, tabanı ABCD dörtgensel bölge olan piramit (T, ABCD) biçiminde gösterilir. Dik Piramit Tepe noktası ve çokgenin ağırlık merkezinden geçen doğru çokgenin düzlemine dik ise piramide, dik piramit denir. T Düzgün Piramit Tabanı düzgün çokgensel bölge olan dik piramide, düzgün piramit denir. Düzgün piramitte, yan yüzler birbirine eş olan ikizkenar üçgenlerdir. Düzgün piramitte, yanal ayrıt uzunlukları birbirine eşittir. Düzgün piramitte, yanal yüz yüksekliklerinin uzunlukları birbirine eşittir. 130

14 «s r r X A L IŞ T IR M A L A R Aşağıdaki ifadeler doğruysa D, yanlışsa Y yazınız. ) Yanal ayrıtları tabanlarına dik olan prizma, dik prizmadır. ) Beşgen prizmanın 7 köşesi vardır. ) Piramitlerde en az 4 köşe vardır. ) Piramitlerin yan yüzleri dörtgensel bölgedir. ) Piramitlerde yan yüz yüksekliği, cisim yüksekliğinden kısadır. ) Her düzgün prizma, dik prizmadır. Z Aşağıdaki noktalı yerleri doldurunuz. a. Üçgen prizmanın...yüzü v e... köşesi vardır. s. Kare piramitte... tane yan yüz vardır. c, Prizmalar ve piramitler...göre adlandırılır. ç. Altıgen piramitte...tane ayrıt vardır. 3. Aşağıdaki geometri cisimlerinin temel özelliklerini yazınız. ı Adı: Tabanı: Ayrıt sayısı:. Yüksekliği: Yüz sayısı: Adı: Tabanı: Ayrıt sayısı:. Yüksekliği: Yüz sayısı: 4. Düzgün beşgen piramit için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A. 6 yüzü vardır. C. Yan yüzleri dörtgensel bölgedir. B. Tepe noktası bir tanedir. D. 10 ayrıtı vardır. E. 6 köşesi vardır. 131

15 6. Toplam 6 yan yüzü olan bir prizmanın tüm ayrıtlarının sayısını bulunuz. 7. Ayrıt uzunlukları 2a br, a br ve (a - 1) br olan dikdörtgenler prizmasının cisim köşegen uzunluğu (2a + 1) br ise a değeri kaçtır? 9. Şekildeki kare prizmanın taban ayrıt uzunlğu 4 cm ve yükseklik uzunluğu 6 cm dir. K noktasında bulunan bir karınca L noktasına gidecektir. Bu karıncanın gideceği en kısa yol kaç cm dir? A. 10 B. 12 C. 16 D. 2VÎ3 + 4 E. 4V2"

16 DİK PRİZMALARIN VE DİK DÜZGÜN PİRAMİTLERİN ALAN BAĞINTILARI T * ETKİNLİK Araç ve Gereç: kalem, silgi, cetvel. Dik prizma konusunda yaptığınız üçgen prizmayı ayrıtlarından açınız. Bu açınımı kareli kâğıda çiziniz. Bu prizmanın hangi düzlemsel bölgelerden oluştuğunu açıklayınız. Bu düzlemsel bölgelerin alanlarını bulunuz. Bulduğunuz alanların toplamı ile prizmanın yüzey alanı arasındaki ilişkiyi açıklayınız. Aynı etkinliği; kare, dikdörtgen, paralelkenar, yamuk (dik ve ikizkenar yamuk), düzgün beşgen ve düzgün altıgen prizmalar için tekrarlayınız. Etkinlik sonucunda bütün prizmalar için geçerli olacak yüzey alan bağıntısını oluşturunuz. Yandaki düzgün altıgen dik prizma ve düzgün kare piramit şeklindeki kutuları kaplamak için en az kaç cm2 kâğıda ihtiyaç vardır? Dik Prizmanın Yanal Alanı fk-ü İNCELEYELİM Yanda, üçgen dik prizma ve açınımı verilmiştir. Açınıma göre, prizmanın yanal yüzeyi 3 tane dikdörtgensel bölgeden oluşmuştur. Dik prizmanın yanal alanı bu dikdörtgensel bölgelerin alanları toplamına eşittir. Ya = a.h + b.h + c.h = h (a + b + c) = h. Ç dir (Ç = a + b + c) Dik prizmanın yanal alanı, taban çevresinin uzunluğu ile yüksekliğin çarpımına eşittir. Dik Prizmanın Yüzey Alanı Prizmanın taban alanı G, yanal alanı YA ve tüm alanı S olsun. Prizmada alt ve üst taban alanları birbirine eşit olduğundan, S = 2.G + YA yadas = 2.G + h.ç dir. Bir prizmanın tüm yüzey alanı, yanal alanı ile taban alanlarının toplamına eşittir. 133

17 . :* ^ ÖRNEK Tabanı dik üçgen olan bir dik prizmanın taban ayrıtlarının uzunlukları; 5 cm, 12 cm, 13 cm dir. Bu prizmanın yüksekliği 10 cm ise alanının kaç cm2 olduğunu bulalım. Taban çevresinin uzunluğu :Ç = = 30cm dir. Taban alanı : G = 5.:.12 = 30 cm2 dir. Yanal alanı : YA = h. Ç = = 300 cm2 dir. Tüm alanı : S = 2. G + Ya = = 360 cm2 bulunur. t? * ÖRNEK Yandaki şekilde tabanı dik yamuk olan bir dik prizma verilmiştir. Bu prizmanın yanal alanı 120 cm2 ve taban çevresinin uzunluğu 20 cm ise cisim yüksekliğinin uzunluğunu bulalım. Prizmanın yanal alanı: YA = Ç. h = 120 cm2, Ç = 20 cm olduğuna göre, Ya = Ç. h => 20. h = h = 20 h = 6 cm bulunur. 1 ÖRNEK Taban ayrıtının uzunluğu 2 cm ve yüksekliği 5 cm olan düzgen altıgen dik prizmanın taban alanını, yanal alanını ve yüzey alanını bulalım. Taban ayrıtı a olan düzgün altıgen prizmanın taban alanı G ise, 5 cm G = 6. tür. a = 2cm=>G = 6. ' = 6 ^3 cm2 dir. Çevresinin uzunluğu: Ç = 6.a = 6.2=12cm dir. Yanal alanı: YA = Ç.h = 12.5 = 60 cm2 dir. Yüzey alanı :S = 2.G + YA = 2.6 a/ = (12^3* + 60) cm2 dir. 2 cm 134

18 it '& ÖRNEK Taban ayrıtlarının uzunlukları; 6 cm, 8 cm, 3 cm, 7 cm ve 3 cm olan beşgen dik prizmanın yanal alanının bulalım. Beşgen prizmanın taban çevresinin uzunluğu: Ç = = 27cm dir. Yanal alanı: YA = h. Ç = = 135 cm2 bulunur. ÖRNEK Şekildeki dik prizmanın tabanı, kenar uzunlukları; IABI = 7 cm, IBCI = 6 cm d 1 olan bir paralelkenardır. Bu dik prizmanın yanal alanını bulalım. Prizmanın taban çevresinin uzunluğu: Ç = 2(a + b) = 2(7 + 6) = = 26 cm dir. Yanal alanı: YA = h. Ç = = 130 cm2 bulunur. A 7 cm B 5 cm Ü ö r n e k Şekilde tabanı eşkenar dörtgen olan dik prizma verilmiştir. IACI = 8 IBDI = 6 cm ve yüksekliği h = 7 cm ise prizmanın yüzey alanını bulalım. Eşkenar dörtgende köşegenler birbirine diktir. G = A(ABCD) = IACI. IBDI = 24 cm2 dir. EAB dik üçgeninde, IABI = = = 25 => IABI = a = 5 cm Taban çevresinin uzunluğu: Ç = 4.a = 4.5 = 20cm dir. Yanal alanı: YA = h. Ç = = 140 cm2 dir. Yüzey alanı: S = 2.G + YA = = = 188 cm2 dir. Piramidin Alanı ETKİNLİK _ " '----- Araç ve Gereç: kalem, silgi, cetvel. Dik piramit konusundaki etkinlikte yaptığınız kare piramidi ayrıtlarından açınız. Bu açınımı kareli kâğıda çiziniz. Bu piramidin hangi düzlemsel bölgelerden oluştuğunu açıklayıp bu bölgelerin alanlarını bulunuz. Bulduğunuz alanların toplamı ile piramidin yüzey alanı arasındaki ilişkiyi açıklayınız. Aynı etkinliği; kare, dikdörtgen, paralelkenar, dik yamuk, ikizkenar yamuk, düzgün beşgen ve düzgün altıgen piramitler için tekrarlayınız. Etkinlik sonucunda bütün piramitler için geçerli olacak yüzey alan bağıntısını oluşturunuz. 135

19 Düzgün Piramidin Alanı ir j İNCELEYELİM Düzgün piramidin tabanı, düzgün çokgen; yan yüzleri de birbirine eş ikizkenar üçgen olduğundan düzgün piramidin alanını veren bir bağıntı çıkarılabilir. Önce piramidin yanal alanını bulalım. Tabanı n kenarlı düzgün çokgen olan piramidin yanal alanı, yan yüzleri oluşturan n tane ikizkenar üçgenin alanları toplamına eşittir. Taban ayrıtı a ise taban çevresi Ç = n. a dır. Şekle göre, TAB s TBC = TCD =... olduğundan, ^ ^ A(TAB) = A(TBC) = A(TCD) =... dir. ICDI = a, ITH'I = h' olsun. A(TCD) = ICDI2ITH'' = J L ^ d ir. YA = n. A(TCD) = n h' = - ^ - d ir. Şeklimizdeki piramit düzgün beşgen olduğundan, A y A =..5a dir. a 2 B a c r i ğ * BİLGİ Düzgün piramidin yanal alanı, taban çevresinin uzunluğu ile yanal yüz yüksekliğinin çarpımının yarısına eşittir. Taban alanı G, yanal alanı YA, taban çevresi Ç = n. a olan düzgün piramidin tüm alanı; S = G + Ya = G + a 2 h' dir. Piramidin yüzey alanı, taban alanı ile yanal alanının toplamına eşittir. Taban alanı G, yanal alanı YA olan piramidin yüzey alanı, S = G + YA dır. I ÖRNEK Tabanın bir kenarı 10 cm ve yüksekliği 12 cm olan kare dik piramidin; a. Taban alanını, b. Yanal alanını, c. Yüzey alanını bulalım. 136

20 Aşağıdaki TOH dik üçgeninde IOHI = 10- = 5 cm, ITOI = 12 cm dir. 2 T y2 = h2 + IOHI2 y2 = y2 = y2 = 169 y = 13 cm olur. a. G = a2 = = 100 cm2 dir. b. YA = 2. a. y = = 260 cm2 dir. c. S = G + Ya = = 360 cm2 dir. % ÖRNEK Taban çevresinin uzunluğu 16 cm ve yan yüz yüksekliği 12 cm olan kare dik piramidin; a. Yanal yüzey alanını, b. Bütün alanını hesaplayalım. T m / 1\\\ / ' lıv / 1 * \ \ 1! 1! \\ \ /h i \ / 1 \ i - a 1 l O ÜT 1 4a. y a- VA - 2 y ç-y 2 \\\ \>- V \o 16. VP. 6 İ ' y h = 96 cm2 dir. b. Ç = 4a 16 = 4a a = 4 cm dir. G = a2 = 4.4 = 16 cm2 dir. S = G + Ya = =112 cm2 dir. ÖRNEK Tüm yüzlerinin kenar uzunluğu dokuzar cm olan eşkenar üçgenlerden r uşan eşkenar üçgen piramidin (düzgün dörtyüzlünün) yüzey alanı bulalım. Her yüzü eşkenar üçgen olan piramitte 4 tane eşkenar üçgensel bölge olduğundan bir eşkenar üçgensel bölgenin alanını bulup bu sonucu 4 ile çarparız. 9 cm Bir kenar uzunluğu a olan eşkenar üçgensel bölgenin alanı, olduğundan piramidin yüzey alanı S = 4. ^ = 81 Vs'cm2 olur. 137

21 ÖRNEK Taban ayrıt uzunluğu 6 cm olan düzgün altıgen piramidin yanal yüzey yüksekliği 14 cm ise yüzey alanını bulalım. Piramidin taban alanını bulalım: G = 6. a2 V3 i p - = 54^/3 cm dir Yanal alanı: YA = 6. - = 252 cm dır. Yüzey alanı: S = G + YA = (54^^ ) cm2 bulunur. 6 cm ALIŞTIRMALAR 1. Aşağıdaki noktalı yerleri doldurunuz. a. Cisim köşegeni 3^/iTcm olan küpün alanı... cm2 dir. b. Farklı üç yüzünün alanları 6 cm2, 9 cm2 ve 24 cm2 olan dikdörtgenler prizmasının yüzey alanı cm2 dir. c. Yan yüz yüksekliği 5 cm ve cisim yüksekliği 4 cm olan kare piramidin yüzey alanı Aşağıdaki ifadeler doğruysa D, yanlışsa Y yazınız. ( ) Bir küpün ayrıt uzunlukları 2 katına çıkarılırsa alanı 8 kat artar. ( ) Yandaki dik üçgen dik prizmanın yanal alanı 480 cm2 ve yüzey alanı 672 cm2 dir. ( ) Bir düzgün dört yüzlünün yüzey alanı 256^3 br2 ise bu dört yüzlünün 12 yan yüz yüksekliği 8*^3 br dir. ( ) Üçgen piramidin taban ayrıtları birbirine eştir. 10 cm 3. Yandaki kare prizma ile kare piramit üst üste konulmuştur. Piramidin yüksekliği 6 cm, prizmanın yüksekliği 8 cm ve tabanının bir ayrıt uzunluğu 4 cm ise cismin yüzey alanını bulunuz. 136

22 4. A küpünün bir ayrıt uzunluğu a birim, B küpünün cisim köşegeni uzunluğu 6a birim ise B küpünün alanının A küpünün alanına oranı kaçtır? 5. Taban kenarı 10 cm, yüzey alanı 360 cm2 olan bir düzgün kare primadin yüksekliği kaç cm dir? A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 E Eni 3 m, boyu 4 m, yüksekliği 2 m olan dikdörtgenler prizması biçimindeki bir havuzun tabanı ve yan duvarları boyanacaktır, m2 si 12 TL ye boyandığına göre havuz kaç TL ye boyanır? 7. Murat ile babası köpekleri için evlerinin bahçesinde 25 cm x 30 cm ebadında bir kapısı olan yandaki kulübeyi yapıyorlar. Bu kulübe için kaç m2 tahta kullanılmıştır? 25 cm 30 cm 8. Yandaki yapının yüzey alanını bulunuz m 9. Bir ayrıtının uzunluğu 6 cm olan tahtadan bir küp, yontularak kare piramit yapılmak isteniyor. Buna göre en büyük alanlı piramidin yüzey alanını bulunuz. 10. Bir dikdörtgenler prizmasının iki ayrıtının uzunluğu; a = 3 cm, b = 6 cm dir. Bu prizmanın cisim köşegeni 9 cm ise üçüncü ayrıtının uzunluğu kaç cm dir? A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 E

23 11. Yandaki kare dik prizma, birbirine paralel taban köşegenleri boyunca kesiliyor. Elde edilen iki üçgen dik prizmadan birinin yüzey alanını bulunuz. "it 10 cm DJ Şekildeki piramitte m(bac) = 90, IABI = IACI ve IBCI = 8 cm dir. [TA] 1 [AB], [TA] ± [AC], ITBI = 8 cm ise (T, ABC) piramidinin yüzey alanını bulunuz. 13. Ayşegüllerin yazlıklarındaki televizyonları eski model ve dikdörtgenler prizması şeklindedir. Ayşegül ün annesi yazlık dönüşünde, televizyonlarını örtmek için bir örtü dikiyor. Verilen ölçülere göre örtü için kullanılan bezin en az kaç m2 olduğunu bulunuz. 14. Şekildeki dik üçgen dik prizmada IABI = 6 cm, IACI = 5 cm ve h = 7 cm dir. Bu prizmanın yüzey alanını bulunuz. = 7 cm 15. Şekildeki kare düzgün piramitte, IABI = 8 br, ITAI = 4 \To br ise aşağıdaki noktalı yerleri doldurunuz. a. A (TBC) =... b. Yanal alanı: YA =... c. Yüzey alanı: S =

24 DİK PRİZMALARIN VE DİK PİRAMİTLERİN HACİM BAĞINTILARI Yanda bir marketten alınan kesme şeker kutusu ve bu kutudan alınan şekerler görülüyor. Kutu içinde bu 1 br küplük kesme şekerlerden kaç tane olduğu nasıl bulunur tartışınız. Dik Prizmanın Hacmi ETKİNLİK T» Araç ve Gereç: birim küpler Birim küpler kullanarak farklı boyutlarda dik prizma modelleri oluşturunuz. Oluşturduğunuz dik prizma modellerinin kaç tane br3 ten oluştuğunu sayarak hacimlerinin kaç br3 olduğunu bulunuz. Dik prizma modellerinin hacimleri bulunurken kullanılan stratejileri tartışarak prizmaların hacim bağıntılarını oluşturunuz. Yandaki yapıların hacminin kaç br olduğunu nasıl bulursunuz? r ^İN C E LE Y E LİM Yandaki dik prizma biçimindeki kutunun içine hacmi 1 cm3 olan birim küplerden kaç tane yerleştirebileceğimizi hesaplayalım. Kutunun tabanına 4. 6 = 24 tane birim küp yerleştirilmiştir. Kutunun tamamı = 120 tane birim küple dolar. Dik prizmanın hacmi, V = = 120 br3 tür. Örneğimizdeki dik prizmanın taban alanı a. b ve yüksekliği de c olduğundan hacmi, V = (a. b ). c dir. Prizmanın taban alanı G, yüksekliği h, hacmi V ise V = taban alanı x yükseklik ya da V = G. h dir. BİLGİ Prizmanın hacmi, taban alanı ile yüksekliğinin çarpımına eşittir. ÖRNEK Şekildeki dik üçgen dik prizmanın taban ayrıtlarının uzunlukları; IABI = 8 cm, IACI = 15 cm dir. Bu prizmanın yüksekliği 10 cm ise hacminin kaç cm3 olduğunu bulalım. A1 Prizmanın taban alanı, G = IABI - IACI = 60 cm2 ve hacmi, V = G.h = = 600 cm3 bulunur. 141

25 . >: % ÖRNEK Taban uzunlukları; a = 12 cm, b = 10 cm ve yüksekliği c = 5 cm olan dikdörtgenler prizmasının hacmini bulalım. Hacmi: V = a. b. c = = 600 cm3 tür. b = 10 cm a = 12 cm Â. b c = 5 cm 2 1 ÖRNEK Taban ayrıtları a = 8 cm, b = 6 cm ve cisim köşegeninin uzunluğu k = 2^29 cm olan dikdörtgenler prizmasının; a. Yüksekliğini, b. Hacmini bulalım. a. Yüksekliğe c diyelim, k =V a2 + b2 + c2 2V29 =V c2 ' => 2V29 =V c2' => 2^29 = VlOO + c2 Eşitliğin iki tarafının karesini alalım: = c2 116 = c2 c2 = => c2 = 16 => c = 4 cm olur. b. V = a. b. c V = = 192 cm3 tür. I ÖRNEK Cisim köşegeninin uzunluğu k = 5>/3^ cm olan küpün hacmini bulalım. Küpün bir ayrıtınının uzunluğu; k = avğt Küpün hacmi, V = a. a. a 5^/3^= a^ => a = 5 cm dir. V = = 125 cm3 tür. m ÖRNEK Yanal yüzeyinin alanı 72 cm2 ve yüksekliği 6 cm olan kare dik prizmanın hacmini hesaplayalım. YA = 4a. h 72 = 4. a = 24.a a = 3 cm dir. Kare prizmanın taban ayrıtı 3 cm dir. V = G. h = a2. h = = 9. 6 = 54 cm3 tür. 142

26 . V# ÖRNEK Tabanı eşkenar üçgensel bölge olan bir üçgen dik p rizm anın ta b a n ayrıtı a = 6 cm ve yü ksekliği h = 10 cm dir. Bu üçgen dik prizmanın hacmini hesaplayalım. Taban eşkenar üçgen olduğu için; G = a2. ^ V = G. h = 9 İ = 9oV3~cm3 tür = 9 ^ c m 2 dir. ^ ÖRNEK Taban ayrıtının uzunluğu 4 cm ve yüksekliği 10 cm olan düzgün altıgen dik prizmanın hacmini hesaplayalım. Verilenlere göre, a = 4 cm ve h = 10 cm dir. a = 4 cm => hı = İ T G= 6. 4^3~l 2 a2v3~' V= G. h = 24 { F. 10 = 6 = 6 = İF 4 X- cm3 tür. hı 43 4 cm = 2^İ3ccm dir. = 24a/3~citi2 dir. ÖRNEK Bir dikdörtgenler prizmasının farklı üç ayrıtının uzunlukları; 2, 3, 5 sayıları ile orantılıdır. Bu prizmanın hacmi 810 cm3 ise alanının kaç cm2 olduğunu bulalım. Dikdörtgenler prizmasının ayrıtları; a, b ve c olsun. = A = _E_= k 3 5 a = 2k, b = 3k, c = 5k dir. V = a. b. c = 2 k. 3k. 5k = 30k3 = 810 k3 = 27 a=2.k=2.3=6cm b = 3. k = 3. 3 = 9 cm => k = 3 tür. c = 5.k = 5.3 = 15cm S = 2(a. b + a. c +13. c~) = 2\b. b + 1>. = = 558 cm2 bulunur. 143

27 ÖRNEK Şekildeki ikizkenar yamuk dik prizmada; a = 11 cm, b = c = d = 5cm dir. IBB'I = h = 6 cm ise bu dik prizmanın hacmini bulalım. D1 C' Prizmanın tabanı olan ABCD ikizkenar yamuğunda, [CH] _L [AB] ve [DE] _L [AB] çizelim. 6 cm DAE = CBH olduğundan, IAEI = IHBI = 3 cm olur. Neden? DAE dik üçgeninde, h1 = = 25-9 = 16 => h-( = 4 cm dir. A(ABCD) = G = (5+11I-4 = 2 2 = 32 cm2 dir. Prizmanın hacmi: V = G.h = 32.6 = 192 cm3 bulunur. * -t ^ ÖRNEK Bir kare dik prizmanın hacmi 192 cm3 yanal yüz alanı 192 cm2 ise bu prizmanın taban alanını ve yüzey alanını bulalım. V = G.h = a2.h = 192 cm3 tür. 192 Ya = Ç. h = 4a. h = 192 cm2 => a.h = = 48 cm2 dir a2. h = 193 cm3 => a. a. h = 192 =>a. 48 = 192 => a = 192 = 4 cm dir. G = a2 = 42 = 16 cm2 dir. S = 2. G + YA = = = 224 cm2 bulunur. % ÖRNEK Şekildeki dik prizmanın tabanı bir paralelkenardır. Bu paralelkenarın yüksekliği IDHI = 3 cm ve IABI = 6 cm dir. IBB'I = h = 5 cm ise bu dik prizmanın hacmini bulalım. Prizmanın taban alanı: G = IDHI. IABI = 3.6 = 18 cm2 dir. Prizmanın hacmi: V = G.h = 18.5 = 90 cm3 bulunur. 3 cm 6 cm h = 5 cm 144

28 ^ ÖRNEK Bir dikdörtgenler prizmasının iki ayrıtının uzunluğu 16 ve 12 cm dir. Bu prizmanın cisim köşegeninin uzunluğu 25 cm ise hacmini bulalım. Verilenler yandaki şekilde gösterilmiştir. d : % \\\ t ozmanın [BD] yüzey köşegeninin ve [DD] ayrıtının A' ^unluğunu bulalım. d \ *'â > B' ABD dik üçgeninden, f - ' \ IBDI2 = = = 400 => IBDI = 20 cm dir. 16 cm D'DB dik üçgeninden, İDD İ2 + IDBI2 = IBD I2 x = 252 x2 = = 225 => x = 15 cm dir. Prizmanın hacmi: V = a.b.c= = 2880 cm3 bulunur. ÖRNEK Ayrıtları; 20 cm, 20 cm ve 50 cm olan şekildeki su tenekesinin içinde bir miktar su vardır. Bu tenekenin içine ayrıtları; 15 cm, 8 cm ve *0 cm olan dikdörtgenler prizması şeklindeki bir :uğla bırakılıyor. Tuğla suya batınca tenekedeki su bir miktar yükseliyor. Suyun ilk seviyesinden «aç cm yükseldiğini bulalım. Teneke içine tuğla bırakıldığında, teneke içinde yükselen suyun yüksekliği x cm olsun. Yükselen suyun hacmi : V1 = x = 400. x cm3 tür. Tuğlanın hacmi : V2 = = 1200 cm3 tür. Yükselen suyun hacmi tuğlanını hacmine eşittir. V1 = V2 => 400. x = 1200 den, x = 3 tür. Su teneke içinde 3 cm yükselmiştir. 145

29 * ÖRNEK Küp biçimindeki yandaki tahta bloktan küçük bir küp şeklindeki parça alınmıştır. IDEI = 7 cm, IBDI = 13 cm ise kalan bloğun hacminin kaç cm3 olduğunu bulalım. (Yukarıdaki şekli bir daha çizelim.) g1 İ y 7 cm! p -,cm?cm p. ^ X c ^EB'B nde: IEBI2 = IBB'I2 + IEBI2 ^ \ \ 13 = x2 + (x - 7)2 169 = x2 + x2-14x = 2x2-14x => 2x2-14x = 0 =>x2-7x - 60 = 0 I I x -12 x +5 (x - 12). (x + 5) = 0 ise x = 12 veya x = -5 tir. =>x= 12 dir. Küpün hacmi: \^= = 1728 cm3 Ayrılan küpün hacmi: V2= = 343 cm3 Kalan parçanın hacmi: = 1385 cm3 olur. * «J j ÖRNEK Tabanı dik yamuk olan bir dik prizmanın yüksekliği 19 cm ve hacmi 855 cm3 tür. Tabandaki dik yamuğun yüksekliği 4 cm ve alt tabanın uzunluğu üst tabanın uzunluğunun 2 katı ise alt tabanın uzunluğunu bulalım. Prizmanın tabanını çizelim: IDCI = c=>iabi = a = 2cdir. V = G. h 855 = G. 19 => G = 45 cm2 Prizmanın taban alanı 45 cm2 dir. Q = _(c± 2c)_h_^45= 3^ 2 2 2c 19 c~ => 90 = 12c =>c = 7,5 cm =>a = 2c = 7,5. 2 = 15 cm bulunur. 146

30 ' M msbua ALIŞTIRMALAR " 1. Aşağıdaki noktalı yerleri doldurunuz. a. Hacmi 80 cm3 olan dik prizmanın taban alanı 16 cm2 ise yüksekliğinin uzunluğu... cm dir. b. T a b a n alan ı 15 cm olan bir ü ç g e n dik prizmanın yüksekliği 5 cm İse hacmi... CITl- tüf. 2. Aşağıdaki ifadeler doğruysa D, yanlışsa Y yazınız. ( ) Cisim köşegeninin uzunluğu 12 cm olan bir küpün yüzey alanı 432 cm2 dir. ( ) Bir dik prizmanın tabanı ikizkenar dik üçgendir. Bu prizmanın yanal ayrıtının uzunluğu 10 cm, tabanının bir dik kenarının uzunluğu 6 cm ise hacmi 180 cm3 tür. ( ) Yüzey alanı 252 cm2 olan dikdörtgenler prizmasının ayrıtları 1, 2, 4 sayıları ile orantılı ise hacmi 216 cm3 tür. 2L Br ayrıtı 12 cm olan bir küp ile, ayrıtlarının uzunluğu; 1, 2, 4 sayıları ile orantılı olan dikdörtgen- Isr prizması veriliyor. Küp ile prizmanın hacimleri eşit ise bu prizmanın alanı kaç cm2 dir? A. 504 B. 756 C. 908 D E Şekilde, tabanının bir kenarının uzunluğu 4 cm olan düzgün altıgen dik zrzma verilmiştir. Bu prizmanın hacmi 360 cm3 ise yüksekliğini bulunuz. 5 Bir küpün alanı 54 cm2 dir. İkinci bir küpün hacmi bu küpün hacminin 8 katı ise ikinci küpün alanı kaç cm2 dir? A. 108 B. 162 C. 216 D. 270 E Tabanı ABCD yamuğu olan bir dik prizmanın yüksekliği 20 cm, taban kenarlarının uzunlukları; a = 10 cm, b = 8 cm, c = 4 cm, d = 6 cm dir. Bu prizmanın yanal alanı kaç cm2 dir? Bir dik prizmanın tabanı, köşegenleri birbirine dik olan ABCD ikizkenar yamuğudur. Bu prizmada; IABI = 16 cm, IDCI = 10 cm ve prizmanın yüksekliği de 5 cm ise hacmi kaç cm3 tür? 16 cm 147

31 8. Taban ayrıt uzunlukları birbirine eşit ve a = 2 V^crn olan bir küp ile eşkenar üçgen dik prizma veriliyor. Bu iki cisim hacimce eş değerli ise eşkenar üçgen dik prizmanın yüksekliği kaç cm dir? 9. Tabanının dik kenarları 9 cm, 12 cm ve hacmi 360 cm3 olan dik üçgen dik prizmanın yüksekliğini bulunuz. 10. Şekilde, dikdörtgensel bölge biçiminde meyilli bir arsanın planı verilmiştir. Bu arsa, toprağı kazılarak yatay bir ABCD dikdörtgensel bölgesi şekline getiriliyor. İADI = 20 m, IDFI = 25 m ve IBEI = 7 m ise c a. Arsanın kaç m2 küçüldüğünü bulunuz. 20 m b. Kazılan toprağın kaç m3 olduğunu bulunuz. a 11. Ayrıt uzunlukları; 6 cm, 10 cm ve 30 cm olan dikdörtgenler prizması biçimindeki tuğlalarla bir küp yapılacaktır. Bu tuğlalardan en az kaç tanesi ile bir küp yapılır? A. 10 B. 12 C. 15 D. 18 E Yandaki tabanı dik üçgen olan dik prizmada verilenlere göre aşağıdaki noktalı yerleri doldurunuz. a. IBCI =... cm dir. b. Yanal alanı... cm2 dir. c. Yüzey alanı... dir. ç. Hacmi... cm3 tür. 13. Yanda resmi verilen dikdörtgenler prizması şeklindeki akvaryumun taban kenarları 80 cm ve 50 cm dir. Yüksekliği 40 cm olan bu akvaryumdaki suyun yüksekliği 30 cm ise akvaryum içindeki suyun kaç cm3 olduğunu bulunuz. 80 cm 40 cm 50 cm 14. Tabanı paralelkenar olan bir dik prizmanın hacmi 800 cm3 tür. Bu prizmanın tabamındaki paralelkenarın bir kenarı 8 cm ve bu kenara ait yükseklik 5 cm ise bu prizmanın yüksekliğinin kaç cm olduğunu bulunuz. 143

32 Piramidin Hacmi T S ETKİNLİK TAraç ve Gereç: karton, kalem, silgi, cetvel, makas, kum, yapıştırıcı. 1. Kartona taban ayrıtı 12 cm, yanal yüz yüksekliği 10 cm olan kare dik piramidin açınımını çiziniz, ardından keserek ve yapıştırarak cismi elde ediniz. Bu piramidin yüksekliğini bulunuz. Aynı şekilde kartona taban ayrıtı 12 cm, yüksekliği h = 8 cm olan prizmanın açınımını çiziniz, ardından keserek ve yapıştırarak üstü açık bir karedik prizma elde ediniz. Piramidin tepesini delip kumla doldurunuz ve prizmanın içine kumu dökünüz. Bu işlemi kaç kez yaparsak prizma dolar? Prizmanın hacmi ile pramidin hacmi arasında nasıl bir bağıntı vardır? Piramidin hacim bağıntısını oluşturunuz. İNCELEYELİM ABCDEF üçgen dik prizmasını, aşağıdaki gibi keserek üç tane üçgen piramide ayıralım. Bu piramitler; (B, DEF), (F, ABC), (F, ABD) olsun. Prizmanın tabanları birbirine eş (ABC = DEF) olduğundan (B, DEF) üçgen piramidi ile (F, ABC) üçgen piramidin taban alanları ve yükseklikleri eşittir. Öyleyse bu piramitlerin hacimleri de birbirine eşittir. BED = DAB dir. Tepe noktaları F olan (F, BED) piramidi ile (F, ABD) piramidinin taban alanları ve yükseklikleri eşit olduğundan bu piramitlerin de hacimleri birbirine eşittir. Bu durumda ABCDEF prizması aynı hacimli, (F, DBE), (F, DAB), (F, ABC) üçgen piramitlerine ayrılmış olur. ABCDEF prizmasının hacmi, taban alanı ile yüksekliğinin çarpımına eşit olduğundan (B, DEF) piramidinin hacmi de bu prizmanın hacminin üçte birine eşit olur. ABCDEF prizmasının hacmi V, (B, DEF) piramidinin hacmi V1 ise V1 = -1_. V = J -. G. h olur. ' t B it pnarmöm Yıacrrö, a\arw üe yû^se>tâ\ \rftr\ çaıpvmvrevn 'o\v\w^. 149

33 ÖRNEK Tabanının bir kenarının uzunluğu 10 cm ve yan yüz yüksekliğinin uzunluğu 13 cm olan kare piramidin hacmini bulalım. Aşağıdaki piramitte; İTKİ = 13 cm, IABI = 10 cm dir. [TK] _L [BC] çizilirse, THK dik üçgeninde, IHKI = 5 cm olduğundan, İTKİ2 = ITHI2 + IHKI2 => 132 = ITHI =>ITHI2 = = 144 => ITHI = 12 cm ve TA = a2 = 102 = 100 cm2 olduğundan piramidin hacmi, V =-^-. G. h =-y = 400 cm3 bulunur. ÖRNEK Taban ayrıtı 8 cm olan bir düzgün kare piramidin tabanından 9 cm uzaklıktaki tabana paralel kesiti 5 cm kenarlı bir karedir. Üsteki küçük piramidin hacmini bulalım. Yandaki şekle göre, lee'l = 9 cm olduğundan, İTE I = x => ITEI = x + 9 dur. ^ ^ ^ TAB1~TAB ve TA'E' -TAE dir. Bu benzerliklerden, ITA'I IABI 5 ITA'I ITEI ITAI IABI 8 ITAI ITEI x+9 yazılır. = => 8x = 5x + 45 x x = 45 x = 15 cm dir. (T, A'B'C'D) piramidinin hacmi, V = J - G. h = Ao = = 125 cm3 bulunur. 3 o 150

34 m ÖRNEK Şekildeki piramidin tüm ayrıtları birbirine eş ve a = 6 cm ir Bu piramidin hacmini bulalım. Düzgün dört yüzlü bir piramit olduğundan V =. G. h dir avct ABC eşkenar üçgeninde, IAEI =, IAL1I 2 avi-t av^t... IAHI =. = - tur TAH dik üçgeninde, ITHI2 = ITAI2 - IAHI2 = a2-3a2 6a2 9 ITHI = a^/ft tür. v = i-.g.h = a3 ^2 12 dir. V = a ^ U v, Ş P _d îl. = 18^2 cm3 bulunur ^ ÖRNEK Yüksekliğinin uzunluğu 9 cm olan bir piramidin tabanı, bir «enarının uzunluğu 6 cm olan karedir. Bu piramit tepe noktasına 3 cm uzaklıkta, tabanına paralel olan bir düzlemle <esiliyor. Meydana gelen kesik piramidin hacmini bulalım. I. yol: (T, A'B'C'D') piramidinin hacmi, V-, (T, ABCD) piramidinin hacmi V ve kesik piramidin hacmi Vk olsun. la'b'l _ h' IABI ~h IA BI 3 IAİnll = => IA B I = 2 cm dır. 6 9 V1 =. G '. h' = = 4 cm3 tür cm V =. G.h=.^o.9 = 108 cm3 tür Vk = V - V1 = = 104 cm3 bulunur. h113 yol: A. V " V 1+ Vk 9 27 dir. 27V! = V1 + Vk => Vk = 26. V! = = 104 cmj bulunur. 151

35 A - ÖRNEK Ayrıt uzunlukları 10 cm, 8 cm ve 6 cm olan dikdörtgenler prizmasının içerisine yerleştirilebile» piramidin hacmi en fazla kaç cm3 olur? Dikdörtgenler prizmasının içerisine yerleştirilebilecek piramidin hacmi en fazla prizmanın hacminin -I- i olur. Dikdörtgenler prizmasının hacmi, V = a.b.c= = 480 cm3 ve piramidin hacmi, V = 480 : 3 = 160 cm3 tür. Ü ÖRNEK Bir yamuk piramidin tabanı sabit kalmak şartıyla yüksekliği 3 katına çıkarılırsa hacmi kaç kat artar' G. 3. h 3 G. 3. h 3, Hacimler oranı = = = ^ r = 3 tur. G. h 3 G. h 3 O hâlde, hacmi 3 kat artar. A % ÖRNEK Bir düzgün altıgen piramidin yüksekliği sabit kalmak şartıyla taban ayrıt uzunlukları 4 katına çıkarılırsa hacmi kaç kat artar? a2j3 Bir kenarı a olan düzgün altıgensel bölgenin taban alanı 6. - iken bir kenarı 4a olan düzgün altıgensel bölgenin taban alanı 6. olur. Yükseklik sabit kaldığından, 16a2V3 hacimler oranı = = 6 1Qa2^ _ = 16 olur. a2^ a2y[3 O hâlde, hacim 16 kat artar. 152

36 f ALIŞTIRMALAR 1. Aşağıdaki noktalı yerleri doldurunuz. a. Taban alanı 6,8 cm2, yüksekliği 7.5 cm olan bir piramidin hacmi... b. Bir düzgün dört yüzlünün yüzey alanı 256^ 3 br2 ise yan yüz yüksekliği... br dir. c. Taban alanı G, yanal alanı YA ve yüksekliği h olan piramidin yüzey alan bağıntısı... hacim bağıntısı Aşağıdaki ifadeler doğruysa D, yanlışsa Y yazınız. ( ) Taban ayrıt uzunluğu 16 cm olan bir kare düzgün piramidin yüzey alanı 576 cm2 ise bu k3 kare düzgün piramidin hacmi 512 cm tür. ) Hacmi 112 cm3 olan bir kesit piramidin alt tabanının alanı 24 cm2 ve üst tabanının alanı 6 cm2 ise bu kesik piramidin yüksekliği 8 cm dir. ) Yüksekliğinin uzunluğu 2^/61cm olan düzgün dört yüzlünün yüzey alanı 36^3 cm2 ve hacmi 18^2 cm3 tür. ) Yüzey alanı 144 cm2 ve taban ayrıtı 8 cm olan düzgün kare piramidin hacmi 400 cm3 tür. Yandaki kare düzgün piramidin taban ayrıtı 10 cm ve yüzey alanı 360 cm2 dir. Bu piramitle ilgili aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A. Yanal alanı 260 cm2 dir. B. Yanal yüz yüksekliği 13 cm dir. C. Yüksekliği 10 cm dir. D. Hacmi 400 cm3 tür. E. A(TBC) = A(TAD) 4. Yanda düzgün bir kare piramidin açınımı verilmiştir. Bu piramidin alan ve hacim bağlantılarını yazınız. Yüksekliği 9 cm, tabanının bir kenarı 6V3^cm olan bir kare piramit tepesinden 3 cm uzaklıkta tabana paralel bir düzleme kesiliyor. Elde edilen küçük piramidin taban alanını ve hacmini bulunuz. 153

37 6. Şekilde düzgün kare piramidin içine bir küp yerleştirilmiştir. Bu küpün alt tabanı piramidin tabanı ile aynı düzlemdedir. Küpün üst tabanının köşeleri piramidin yanal ayrıtları üzerindedir. Üstteki küçük piramidin yüksekliği 6 cm, hacmi 50 cm3 ise büyük piramidin taban ayrıtının uzunluğunu bulunuz. Düzgün kare kesik piramitte alt ve üst taban ayrıtlarının uzunlukları; a = 12 cm, a' = 6 cm dir. Bu kesik piramidin yüksekliğinin uzunluğu h = 4 cm olduğuna göre hacmi kaç cm3 tür? A. 112 B. 168 C. 216 D. 308 E Şekildeki (A, DBC) piramidinde; ABC eşkenar üçgen, BDC üçgeni D açısı dik açı olan ikizkenar dik üçgendir. IBCI = 12 cm ve AD 1 (BCD) ise (A, BDC) piramidinin hacmini bulunuz. (T, ABC) piramidinin [AB], [BC], [TC] ve [TA] ayrıtlarının orta noktaları sıra ile D, E, F, G dir. DEFG dörtgeni aşağıdakilerden hangisidir? A. Kare B. Yamuk C. Eşkenar dörtgen D. Paralelkenar E. Dikdörtgen 10. Şekildeki (T, ABC) piramidinde [TA] _L [AB], [TA] _L [AC] ve [BC] _L [AC] dir. m(b) = 30 ve IABI = 6 cm ise piramidin hacmi kaç cm3 tür? A.6y[3 B. 18 C. 1 2 ^ D. 2 4 ^ E

38 ÜNİTE SONU DEĞERLENDİRME SORULARI 1. Aşağıdaki noktalı yerleri doldurunuz. a. Dik prizmanın yanal yüzleri... bölgedir. b. Ayrıt uzunluğu a olan küpün cisim köşegeninin uzunluğu... c. Her ayrıtı a br olan üçgen piramidin yüzey alanı... ç. Bir kare dik prizmanın hacmi 96 cm3, yanal yüz alanı 96 cm2 ise bu prizmanın tüm alanı...cm2 dir. 1 Aşağıdaki ifadeler doğruysa D, yanlışsa Y yazınız. ( ) a. Boyutları; 16, 40, 72 cm olan dikdörtgenler prizması biçimindeki bir kutu içine en büyük hacimli küplerden 90 tane yerleştirilebilir. K( ) b. Yüzey alanı 1 cm2 olan küpün cisim köşegeninin uzunluğu cm dir. 2 ( ) c. Bir küpün ayrıt uzunluğu 3 katına çıkarılırsa yüzey alanı 9 kat artar i Aşağıdaki soruların cevaplarını yandaki tabloda verilen değerlerle II III IV eşleyiniz. _a. Tüm ayrıtlarının uzunlukları toplamı 76 cm olan bir dikdörtgenler prizmasının cisim köşegen uzunluğu 13 cm ise alanı kaç cm2 dir? b. Eşkenar üçgen tabanlı düzgün piramidin yüksekliği Vl3 cm ve taban ayrıtı 12 cm ise bu düzgün piramidin yanal alanı kaç cm2 dir? i J c. Ayrıt uzunlukları; 8, 12, 18 cm olan dikdörtgenler prizması biçimindeki tuğlalarla yapılan en küçük hacimli küp için kaç tuğla gereklidir? d ç. Farklı üç yüzünün alanları; 12 cm2, 18 cm2, 24 cm2 olan dikdörtgenler prizmasının hacmi kaç cm3 tür? 4. Tabanı ABCD eşkenar dörtgeni olan bir dik paralel yüzün taban köşegenleri; IBDI = 16 cm, IACI = 20 cm dir. Bu paralel yüzün yüksekliği 10 cm ise hacmi kaç cm3 tür? A B C D E Şekildeki piramit, taban düzlemine paralel bir düzlemle kesilmiştir. A(ABC) r r -= 16 ise kesik piramidin hacmi, üstteki küçük piramidin A(A B O ) hacminin kaç katıdır? A. 7 B. 9 C. 63 ; D. 81 E

39 6. Bir küpün bir ayrıtının uzunluğu, ikinci bir küpün cisim köşegeni uzunluğundadır. Birinci küpün alanının ikinci küpün alanına oranı aşağıdakilerden hangisidir? A. 3 B. 2 C.a/31 D. 5ÎH E. 1 & 7. Düzgün kare piramidin taban alanı, bir yan yüzünün alanına eşittir. Bu piramidin cisim yüksek Şii 30 cm ise hacmini bulunuz. A B C D E Bir küpün ayrıt uzunlukları iki katına çıkarılırsa hacmi kaç kat artar? A. 16 B. 12 C. 8 D. 4 E Şekilde, tabanı yamuk olan dik prizmada, taban kenarlarının uzunlukları; IABI = 10 cm, IBCI = 7 cm, IDCI = 3 cm, İADI = 4 cm dir. Bu prizmanın cisim yüksekliği IBB'l = 8 cm olduğuna göre yanal alanı kaç cm2 dir? J 1 A. 182 D. 216 B. 192 E. 220 C Bir küpün cisim köşegeni, aynı köşeden geçen ayrıtlarından biri ile a lik bir açı yapıyorsa tana kaçtır? A. 1 B. 3 D. il V3 E. V2 11. Bir dikdörtgenler prizmasının boyutları arasında + + ~ bağıntısı vardır. Bu prizm; nın alanı 576 cm2 ise hacmi kaç cm3 tür? A. 576 B. 580 C. 600 D. 720 E Bir dikdörtgenler prizmasının iki ayrıtının uzunlukları 9 cm ve 12 cm dir. Bu prizmanın cisim köşegeninin uzunluğu 17 cm ise üçüncü ayrıtının uzunluğu nedir? A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 E Tabanı düzgün altıgen olan bir dik prizmanın taban çevresinin uzunluğu 42 cm ve yüksekliği 8 cm dir. Bu prizmanın hacmini bulunuz. 14. Bir eşkenar üçgen dik prizmanın yan yüzleri karesel bölgedir. Taban ayrıtının uzunluğu 6 cm olar bu dik prizmanın hacmini bulunuz. 156