YTÜ İNŞAAT FAKÜLTESİ. Harita Mühendisliği Bölümü FİZİKSEL JEODEZİ. Doç. Dr. Cüneyt AYDIN

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "YTÜ İNŞAAT FAKÜLTESİ. Harita Mühendisliği Bölümü FİZİKSEL JEODEZİ. Doç. Dr. Cüneyt AYDIN"

Transkript

1 YTÜ İNŞAAT FAKÜLTESİ Haita Mühendisliği Bölümü FİZİKSEL JEODEZİ Doç. D. Cüneyt AYDIN İstanbul, 014

2 İÇİNDEKİLER Sayfa 1. ÇEKİM KUVVETİ, ÇEKİM İVMESİ ve POTANSİYEL KAVRAMLARI Çekim Kuvveti ve Çekim İvmesi Çekim Kuvvetinin Vektöel İfadesi Çekim Potansiyeli Nokta Kümesinin Çekim Potansiyeli Dolu Bi Cismin Çekim Potansiyeli Homojen Yoğunluklu Bi Küe Kabuğunun ve Küenin Potansiyeli Laplace Denklemi ve Hamonik Fonksiyon Hamonik açınım Legende Fonksiyonu Yüzey Hamonik Fonksiyonu ve Hamonik Açınımın Anlamı EŞPOTANSİYELLİ YÜZEY ve GRAVİTE: Temel Kavamla Potansiyelden Yeyuvaının Şekli: Küe, Elipsoit, Jeoit? Gavite Kuvveti ve Potansiyeli Fiziksel Yeyüzünde Gavite Nasıl Ölçülü? Eşpotansiyelli Yüzey Çekül Eğisi W Potansiyelinin Düşey Gadyenti Nomal Gavite Alanı Koodinat Sistemlei Dünya Koodinat Sistemlei Yeel Koodinat Sistemlei Gavite Kuvvetinin Yönü Nasıl Belileni? Bozucu Gavite Alanı Jeoit Yüksekliği: Buns Eşitliği Gavite Anomalisi ve Bozukluğu Sebest Hava İndigemesi ve Kütle İndigemesi ii

3 3. YÜKSEKLİK SİSTEMLERİ Bilimsel Yükseklikle Jeopotansiyel Yükseklik Dinamik Yükseklik Otometik Yükseklik Patik Yükseklikle Nomal Yükseklik Nomal Otometik Yükseklik Elipsoidal Yükseklik UYDU GRAVİMETRİSİ ve GLOBAL MODELLER CHAMP GOCE GRACE Uydu Gavimetisinde Hamonik Açınım GRACE L-Veisinin Değelendiilmesi GRACE ile Yapılan Çeşitli Uygulamala Global Gavite Alanı Modellei JEOİT BELİRLEME Gavimetik Yöntem Astojeodezik Yöntem GPS/Nivelman Yöntemi (Geometik Yöntem) KAYNAKLAR.79 iii

4 1. ÇEKİM KUVVETİ, ÇEKİM İVMESİ ve POTANSİYEL KAVRAMLARI 1.1 Çekim Kuvveti ve Çekim İvmesi Newton un evensel çekim yasasına göe, kütlelei M ve m, aalaındaki mesafe olan iki noktasal cisim (kısaca nokta) bibileini GMm F= (1.1) kuvvetiyle çekele. Buada G, evensel çekim sabitidi; G=6, cm 3 /(gs ) (1.) He ne kada, iki nokta bibiine aynı oanda çekim kuvveti uygulasa da bunladan kütlesi M olanı çeken, diğeini de çekilen olaak tanımlayacağız. Böylece çekim kuvvetinin yönünü M ye doğu gösteeceğiz. F M (Çeken) m (Çekilen) Şekil 1.1 Çeken ve çekilen noktala ve çekim kuvveti Çekilen noktanın biim kütleli olması duumunda (m=1), üzeine uygulanan çekim kuvveti çekim ivmesi olaak adlandıılı: (1.1) eşitliğinden çekim ivmesi, GM F= (1.3) çıka. (1.1) ve (1.3) eşitliklei kaşılaştııldığında çekim ivmesinin tanımını 1

5 şu şekilde yapabiliiz: Çekim ivmesi, bi cismin he bi biim kütlesine uygulanan çekim kuvvetidi. Not 1.1: Fiziksel jeodezide çekim ivmesi ile ilgilenili. İleleyen bölümlede çekim kuvveti ifadesi, biim kütleye etkiyen çekim kuvveti yani çekim ivmesi anlamında kullanılacaktı. Çekim ivmesinin biimi, m/s ya da cm/s di. Galieo nun anısına cm/s biimine Gal deni: cm/s =Gal Bununla bilikte, ivmedeki küçük değişimlei anlatabilmek için aşağıdaki biimle de oldukça sık kullanılı: 1 Gal=1000 mgal=10 6 Gal Önek.1: 9,8 m/s lik ivmenin Gal ve mgal biimleindeki değei ne kadadı? 10 Gal in Gal, mgal, m/s ve nm/s kaşılıklaını ideleyiniz. Çözüm: 9,8 m/s =980 Gal= mgal 10 Gal= Gal=0,01 mgal= m/s =100 nm/s Buada, n nano büyüklüğünü ifade ede; 1 m=10 9 nm. nm/s biimi jeoloji ve jeofizikte sıklıkla kullanılı. Bu nedenle fiziksel jeodezide kullanılan Gal biimi ile ilişkisini bilmek oldukça patikti. Öneğin 1 Gal=10 nm/s, 5 Gal=50 nm/s gibi.

6 1. Çekim Kuvvetinin Vektöel İfadesi Kuvvet, yönü ve büyüklüğü (uzunluğu) olan bi vektödü. (1.1) veya (1.3) eşitliği aslında ilgili kuvvetin büyüklüğünü ifade ede. Çekim kuvvetinin vektöel ifadesini çıkamak için çeken ve çekilen noktalaı Şekil 1. deki bi xyz dik koodinat sisteminde düşünelim: Çeken ve çekilen noktalaın koodinatlaı, M(u,v,w) ve m=1(x,y,z) olsun. i, j ve k temel biim vektöle cinsinden, M ve m nin konum vektöü ve çekim kuvveti F aşağıdaki biçimde ifade edili; =(x-u, y-v, z-w)=(x-u)i+(y-v)j+(z-w)k (1.4) F=(F x, F y, F z )=F x i+f y j+f z k (1.5) Buada, F x, F y ve F z çekim kuvveti bileşenlei olaak adlandıılı. z F m=1 (x,y,z) M (u,v,w) i k j y x Şekil 1.. Çekim kuvveti, konum vektöü ve temel biim vektöle Şekil 1. de gösteildiği gibi F çekim kuvveti ve konum vektöü aynı 3

7 doğultuda ancak tes yönlüdü. Dolayısıyla bunladan Vektö/Uzunluğu biçiminde elde edilecek biim vektöle için F F (1.6) eşitliği geçelidi. (1.3) ve (1.4) eşitliklei (1.6) da göz önüne alınaak, F GM GM GM ( (x u)) i ( (y v)) j ( (z w)) k (1.7) elde edili. (1.7), (1.5) ile kaşılaştııldığında çekim kuvveti bileşenlei bulunu: GM GM GM F x = (x u), F 3 y = (y v), F 3 z = (z w) (1.8) 3 Önek 1.: Çekim kuvveti bileşenleini kullanaak, F çekim kuvveti büyüklüğünü elde ediniz. Çözüm: F=(F x, F y, F z ) olmak üzee, bu kuvvetin uzunluğu, F çekim kuvveti büyüklüğünü vei: F= F = F F F (.8) de veilen bileşenle yukaıda düşünülüse, çıka. x GM GM F= F = (x u) (y v) (z w) 3 y z 4

8 1.3 Çekim Potansiyeli M kütleli cismin kada uzaktaki bi noktada meydana getidiği çekim potansiyeli, GM V= (1.9) ile tanımlanı. Çekim potansiyeli, skale bi fonksiyondu, x,y ve z ye göe kısmi tüevlei çekim kuvveti bileşenleini vei, sonsuzda sıfıa gide. Şimdi ikinci özelliği ispat edelim: 1/ fonksiyonunun, öneğin x e göe tüevi ( 1 /) (1 / (x u) (y v) (z w) ) (x u) 1 (x u) 3 x x olduğundan, V x GM (x u) (1.10) 3 elde edili. Bu da, (1.8) ile veilen F x bileşenine eşitti. y ve z için de benze şekilde tüevle alındığında ilgili bileşenle elde edili. Böylece F x V, x F V y y, F z V (1.11) z olduğu ispatlanı. (1.11) e göe F çekim kuvveti 5

9 F=(F x, F y, F z )=( V, x V y V, ) =gadv=v (1.1) z şeklinde yazılı. Buada gad ve opeatölei, gadyent olaak okunu ve genellikle, potansiyelin gadyenti çekim kuvvetini vei deni. Not 1.: (1.9) çekim potansiyelinin ye göe kısmi tüevinin tes işaetlisi, çekim kuvvetinin büyüklüğünü vei; V GM F (1.13) 1.4 Nokta Kümesinin Çekim Potansiyeli Şekil 1.3 deki gibi M 1,,M n kütleli n adet nokta nedeniyle m=1 noktasındaki çekim potansiyeli, GM V=V 1 + +V n = 1 1 GM n... (1.14) n şeklinde toplam potansiyelle biçiminde hesaplanı. M 1 1 M n m=1 3 M n M 3 Şekil 1.3. Nokta kümesi 6

10 1.5 Dolu Bi Cismin Çekim Potansiyeli Difeansiyel anlamda küçük dm kütleli paçacıkladan oluşan Şekil 1.4 deki hacimli dolu bi cisim nedeniyle m=1 noktasında meydana gelen çekim potansiyelini hesaplamak için paçacıklaın he biinin çekim potansiyelleinin (1.14) e göe toplamını düşünmek geeki; GdM V= 1... (1.15) 1 Ancak bu aynı zamanda sonsuz sayıda kütle çekim potansiyelinin toplamı anlamına geli. Bu toplam işlemini yapmak mümkün olmadığından, söz konusu dolu cismin potansiyeli üçlü integal ile ifade edili. z m=1 (x,y,z) dm (u,v,w) y x Şekil 1.4. Dolu bi cismin potansiyeli Şimdi dolu cismin =sabit yoğunluklu olduğu düşünülsün. KÜTLE=YoğunlukHacim ilişkisi nedeniyle he bi dm kütlesi için dm=d (1.16) yazılı. Buada d, dm paçacığının hacmidi. Böylece (1.15), 7

11 dm V G G d (1.17) şeklinde ifade edili. (1.17), çeken paçacığın u,v,w ve çekilen noktanın x,y,z koodinatlaı cinsinden aşağıdaki gibi belitili; V(x, y, z) G dudvdw (1.18) (x u) (y v) (z w) Buada, du, dv ve dw, dm kütlesinin eni, boyu ve yüksekliği anlamındadı. Önek 1.3: Dolu bi cismin m=1 noktasına uygulamış olduğu çekim kuvvetinin bileşenleini elde ediniz. Çözüm: (1.18) potansiyel eşitliğinin x,y ve z ye göe kısmi tüevlei alınısa, (1.10) a benze biçimde, çekim kuvveti bileşenlei elde edili; F x = V x (x u) G 3 d F y = V y (y v) G 3 d F z = V y (z w) G 3 d 1.6 Homojen Yoğunluklu Bi Küe Kabuğunun ve Küenin Potansiyeli Newton un kabuk teoemine (shell theoem) göe, Şekil 1.5 de gösteilen M 1 kütleli bi küe kabuğunun mekezinden kada uzakta ye alan m=1 noktasındaki çekim potansiyeli GM V 1 = 1 (1.19) değeine eşitti. (1.9) a göe bu, kütlesi M 1 olan bi nokta için yazılan 8

12 çekim potansiyeline denkti. Yani, söz konusu küe kabuğu, kütlesi sanki mekezde toplanmış bi nokta gibi davanı. Şekil 1.5 de gösteilen faklı kütleli (ve/veya yoğunluklu) küe kabuklaı için de benze özellik geçelidi. Buna göe aynı mekezli iç içe geçmiş böylesi küe kabuklaından oluşan bi şeklin potansiyeli (1.14) e göe GM V= 1 GM... (1.0) biçiminde yazılı. Bu ayıca, M kütleli homojen yoğunluklu bi küenin de çekim potansiyelini vei ve onun da tüm kütlesi mekezde toplanmış bi nokta gibi davanacağını ifade ede. (1.0) eşitliği aslında oldukça ilginç ve yeyuvaının çekim alanı için oldukça patik bi sonuçtu: Yeyuvaı da Şekil 1.5 deki gibi hayal edilebili ve M kütlesi bilindiğinden dışında ye alan noktaladaki çekim potansiyeli, dolayısıyla çekim kuvveti buadan kolaylıkla elde edili. İleide gösteileceği gibi, yeyuvaının geçek çekim potansiyeli, (1.0) eşitliğinden aslında belli oanda sapa. M M 1 m=1 Şekil 1.5. Homojen yoğunluklu küe kabuğunun ve küenin çekim potansiyeli Önek 1.4: Aşağıdaki şekilde gösteilen R yaıçaplı ve yoğunluklu küenin bi xyz koodinat sisteminin oijininde ye alan P noktasına uygulamış olduğu çekim kuvvetinin z ekseni yönündeki bileşenini elde ediniz. 9

13 P x v y u w R z Çözüm: (1.0) eşitliğine göe küenin mekezinden kada uzakta ye alan bi noktadaki çekim potansiyeli V GM di. Küe mekezinin koodinatlaı u, v, w ve noktanın koodinatlaı x,y,z alınaak, P noktasındaki çekim kuvvetinin z eksenindeki bileşeni, (1.8) ve (1.11) de olduğu gibi, F z V GM = (z w) 3 z biçiminde elde edili. Şekle göe z=0, ve = bileşeni u v w di. Böylece, z F = z 3 / (u v GMw w ) 3 çıka. Diğe yandan küenin hacmi = 4 R olduğundan, kütlesi, 3 4 M= R 3 olu (Kütle=HacimYoğunluk). Böylece z bileşeni, 3 F = z 3 / 3(u 4 GR v 3 w w ) bulunu. Bu bileşen, ye bilimleinde özellikle volkanik bölgeledeki haeketlein modellenmesinde (Mogi-type souce model) kullanılmaktadı. 10

14 Önek 1.5: Evensel çekim sabiti (G) ve yeyuvaının kütlesi (M) çapımı, jeosentik çekim sabiti olaak bilinmektedi; GM=3, cm 3 /s Buna göe yeyuvaının yoğunluğunu hesaplayınız. (Yeyuvaının küe olduğunu vasayınız ve yaıçapını R= cm alınız). Bunu otalama kaya yoğunluğu (,67 g/cm 3 ) ile kaşılaştıınız. Çözüm: Yeyuvaı küe olaak vasayılısa kütlesi, 4 M= R 3 3 olacaktı. Buna göe jeosentik çekim sabiti, GM=G 4 3 R 3 =3, cm 3 /s şeklinde yazılabilecekti. Evensel çekim sabiti G=6, cm 3 /(gs ) ve yaıçap R= cm olduğuna göe, buadan yeyuvaının yoğunluğu , cm /s 3 4(6, cm /(gs )) ( cm) 3 5,51 g/cm 3 hesaplanı. Bu değe ye bilimleinde otalama yoğunluk olaak da bilini. Buadan yeyuvaının kayadan iki kat kada daha yoğun olduğu sonucu çıka. Çünkü, yeyuvaı yalnızca 35 km deinliğe kada kayadan oluşan bi kabuğa (yekabuğu-cust) sahipti; bu kabuktan sona mekezine kada üst manto, manto, üst çekidek ve çekidek gibi daha yoğun maddele içeen tabakalaı içei (ki bunla yeyuvaı hacminin %99 unu oluştuu). Eğe bu alt tabakala da kayadan oluşsaydı, doğal olaak yeyuvaının kütlesi şimdikinin yaısı olacak, (1.1) eşitliğine göe de dışındaki cisimlei o kada az çekecekti. 11

15 Önek 1.6: Yeyuvaının a) fiziksel yeyüzündeki bi cismin, b) yeden 500 ve 0000 km uzaktaki iki yapay uydunun he bi biim kütlesine uygulamış olduğu (anlık) çekim kuvvetini yaklaşık olaak Gal ve m/s biimleinde hesaplayınız. Sonuçlaı kaşılaştıınız. (Yeyuvaı yaıçapını R= cm alınız.) Çözüm: Yeyuvaı küe olaak alındığında, mekezinden kada uzaktaki bi cismin he bi biim kütlesi için geçeli çekim potansiyeli (1.0) eşitliğine göe V=GM/ olu. Bunun ye göe tüevinin tes işaetlisi, (1.13) de de gösteildiği gibi, yeyuvaının uzaktaki biim kütleye uygulamış olduğu çekim kuvvetini vei; GM F= Bi önceki önekte jeosentik çekim sabiti GM=3, cm 3 /s olaak veilmişti. yi de uygun biçimde alaak yukaıdaki eşitlikten ilgili cisimlee uygulanan çekim kuvvetlei kolayca elde edili: a) Fiziksel yeyüzündeki bi cisim için =R alınabili. Buna göe, ilgili cismin he bi biim kütlesine uygulanan çekim kuvveti (çekim ivmesi), 0 3 GM 3, cm /s F= R ( cm) 98 Gal=9,8 m/s di. İleide gösteileceği gibi, yeyuvaı tam homojen yoğunluklu bi küe olmadığı için bu ivme değei yeyüzünde nokta nokta değişi. Ancak, yine de, söz konusu hesap değei, patik amaçlaa yönelik oldukça iyi bi yaklaşım değeidi. b) İlk uydunun yeyuvaı mekezinden uzaklığı =R+500 km= cm, ikinci uydunun ise =R+0000 km= cm di. Buna göe, ilgili uyduladaki biim kütleye uygulanan çekim kuvvetlei, 1

16 0 3 3, cm /s F 844 Gal=8,44 m/s ( cm) ve 0 3 3, cm /s F 57 Gal=0,57 m/s ( cm) şeklinde hesaplanı. He ne kada F=GM/ eşitliğinden kolayca çıkaılabilse de, sayısal değeleden, mekezinden uzaklaştıkça yeyuvaının çekim kuvvetinin azaldığı göülmektedi. Bu önekte ele alınan ilk uydu alçak yöüngeli (LEO) bi uydu, diğei ise bi GNSS uydusudu. Alçak yöüngeli uydudaki ivme yeyüzündeki ivmenin %86 sına, diğei ise %6 sına denk gelmektedi. Uzakta diğe gezegenlein ve güneşin çekim etkisi çoğalacağından GNSS uydusundaki bu %6 lık dilim daha da belisizleşi. Bu nedenle uzaydan yeyuvaındaki ivmenin (veya değişimleinin) izlenmesinde LEO uydulaı kullanılı. 1.7 Laplace Denklemi ve Hamonik Fonksiyon m=1 (x,y,z) noktasının çeken cismin dışında olması duumunda V potansiyelinin ikinci tüevlei ile aşağıdaki denklem sağlanı: V= V x V y V z 0 (1.1) Buna Laplace denklemi deni. Bi fonksiyon Laplace denklemini sağlıyosa o fonksiyona hamonik fonksiyon deni. Bu bazen şöyle de açıklanı; Laplace denklemi çözümünü veen bi fonksiyon hamonik fonksiyondu. (1.1) e göe, V potansiyeli cismin dışında olduğu süece, daha doğusu yoğunluk değişmediği süece, hamonikti. Bi fonksiyon hamonikse, Süeklidi; he metebeden tüevi vadı. 13

17 Taylo seisine açılabili. Bi başka deyişle, fonksiyon analitik olup, bağımsız teimlein toplamı biçiminde yazılabili. İkinci özellik sayesinde, (1.18) integal eşitliği bi sei toplamı biçiminde yazılı. Buna hamonik açınım adı veili. Çekilen noktanın cismin içinde olması duumunda, (1.1) yeine Poisson denklemi elde edili: V= V x V y V z -4G (1.) Aslında, Laplace denklemine buadan da ulaşılabili: Cismin dışında =0 olacağı (kabul edilebileceği) için (1.) den Laplace denklemi çıka. Fiziksel jeodezide dış çekim alanı ile ilgilenildiği için (1.1) Laplace denklemi daha önemlidi. Önek 1.7: Dolu bi cismin m=1 (x,y,z) noktasındaki çekim potansiyeli, (1.18) eşitliği ile V(x, y, z) G (x u) (y v) (z w) dudvdw şeklinde veilmişti. Bu potansiyelin hamonik bi fonksiyon olduğunu gösteiniz. Çözüm: (1.1) Laplace denkleminin sağlanıyo olması ilgili potansiyelin hamonik olduğunu göstei. Bunun için V(x,y,z) potansiyelinin ikinci kısmi tüevleine ihtiyacımız bulunmaktadı. İlk tüevle F x =V/x, F y =V/y ve F z =V/z, Önek 1.3 de gösteilmişti. x e göe bi kez daha tüev alınısa, V x F x x G 1 3 3(x u) 5 d bulunu (bkz. Ataye, 01). Diğe tüevle de buna benze: Yalnızca paantez içindeki koodinat fakı (y-v) ve (z-w) olaak değişi. Buna göe, 14

18 V= V x V y V z... G 3 3((x u) (y v) (z w) ) d çıka. Bu nedenle ilgili potansiyel, çekilen noktanın cismin dışında olması duumunda, hamonik bi fonksiyondu. 1.8 Hamonik açınım Şimdi Laplace denkleminin çözümünü yani V nin bağımsız teimle cinsinden nasıl yazılacağını ideleyeceğiz. Bi başka deyişle, hamonik açınımını veeceğiz. Bunun için, V yi x,y,z ye göe değil, Şekil 1.6 daki küesel koodinatla olan (yaıçap vektöü), (kutup uzaklığı) ve (jeosentik boylam) ile ifade edeceğiz: Bu nedenle, buna, küesel hamonik açınım diyeceğiz. z m=1 (x,y,z) O y x Şekil 1.6. Küesel ve dik koodinatla (1.1) Laplace denklemi,,, küesel koodinatlaına göe, V V V V 1 V ΔV cot 0 (1.4) sin λ 15

19 biçiminde yazılı. Bunun çözümü ile V(,,)= n 0 1 Y n1 n (, λ) (1.5) küesel hamonik fonksiyonu elde edili. (1.5) eşitliğinde geçen Y n (, λ) fonksiyonu ise küesel yüzey hamoniği ya da yüzey hamonik fonksiyonu olaak adlandıılı. Yüzey hamonik fonksiyonu da, n n (, λ) (Anmcosm Bnmsinm ) Lnm(cos ) m0 Y (1.6) şeklinde difeansiyel denklemlein bi çözümü olaak veili. Buada, A nm ve B nm : (Küesel) hamonik katsayıla, n m : Hamonik katsayı deecesi (degee), : Hamonik katsayı sıası (ode), (cos L nm ) : Legende fonksiyonudu. (1.6) eşitliği, (1.5) de düşünülüse, V nin küesel hamonik açınımı elde edili; 1 V(,, ) (1.7) n0 n (Anmcosm Bnmsinm ) Lnm(cos ) n 1 m0 1.9 Legende Fonksiyonu (1.7) eşitliğinde geçen (cos ) Legende fonksiyonu, açınımın L nm deecesine, sıasına ve küesel uzaklığının kosinüsüne bağlı bi fonksiyon olaak aşağıdaki biçimde veili: L 1 n! d dt n m m/ n nm(t cos ) (1 t ) (t 1) n n m (1.8) 16

20 Faklı kuvvetledeki kısmi tüevlei içeen bu eşitlik (Rodigues eşitliği) hesap için uygun değildi. Hesap için aşağıdaki sayısal eşitlik kullanılı: L nm (t k n m/ j nm j cos ) (1 t ) ( 1) t (1.9) j 0 j! (n ( n j)! j)! (n m j)! Buada, k, k (n m) / koşulunu sağlayan en büyük tamsayıdı. Bi başka deyişle, (n-m)/ ya da (n-m-1)/ den hangisi tamsayı ise k, ona eşitti. Önek 1.8: =30 0 için, L 3 (cos ) Legende fonksiyonu değeini hesaplayınız. Çözüm: t=cos=cos30 0 ; hamonik deecesi n=3, sıası m= di. (n-m)/=1,5 değei tamsayı olmadığından k, (n-m-1)/=0 alını. Böylece (1.9) eşitliğindeki sei toplamı; k j 0 ( 1) j j! (n ( n j)! j)! (n m t j)! nm j... ( 1) 0 0! (3 Buna göe L 3 (t), ( 3 0)! t 0)! (3 0)! (3 0) =10t olu. 3 / 10 3 L 3 (t)= (1 t ) 10 t (t t ) 8 bulunu. t=cos=cos30 0 =0,86605 olduğuna göe, L 3 (t=cos)= 10 (0,86605 (0,86605) 3 ) =3,47595 çıka. 8 L 3 (cos) fonksiyon değei, 15sin cos olaak bilini. Buadan da hesap yapıldığında yukaıdaki yolla elde edilen değei bulunu. 17

21 1.10 Yüzey Hamonik Fonksiyonu ve Hamonik Açınımın Anlamı (1.6) eşitliği ile veilen Y n (,) yüzey hamonik fonksiyonunda geçen bağımsız teimle, yani, L nm (cos)cosm ve L nm (cos)sinm ifadelei de bie yüzey hamonikleidi. Bunla, Şekil 1.7 de gösteildiği gibi, bi küeyi çeşitli bölmelee ayıan fonksiyonladı (Şekilde ve için elde edilen hamonik fonksiyonlaın hesaplanan değelei küe üzeinde gösteilmişti). Üç faklı yüzey hamoniği bulunu; m=0 olması duumunda yüzey hamoniklei boylamına bağlı değildi; bunla kuşak hamoniklei olaak adlandıılı. n=m olması duumunda ise küe atı ve eksi dilimlee bölünü. Bu hamoniklee dilim hamoniklei adı veili. nm iken yüzey hamoniklei küe yüzeyini bölmelee ayıı. Bu tü hamonikle bu nedenle bölme hamoniklei olaak adlandıılı. L nm (cos ) cosmλ Kuşak hamoniği (n=6, m=0) Bölme hamoniği (n=16, m=9) Dilim hamoniği (n=9, m=9) Şekil 1.7. Yüzey hamoniklei (Bathelmes, 009) (.7) de veilen V(,, ) hamonik açınımı iki faklı amaçla kullanılı; 1. Potansiyel model oluştuulması: Koodinatlaı bilinen noktalada potansiyel (veya bunun fonksiyonlaının) değelei biliniyosa, açınım eşitlikleinde geçen A nm ve B nm hamonik katsayılaı hesaplanı. 18

22 Yeteince nokta bulunuyosa, bu katsayıla bi dengeleme modeli içinde bilinmeyenle olaak ele alını ve kestiim değelei bulunu. Hesaplanan katsayılala potansiyel model oluştuulu. Hamonik açınımda ilk sei toplamı n için geçelidi. Ancak sonsuz sayıda (veya çok miktada) katsayı belilemek imkansızdı. Bu nedenle sei toplamı belli bi yede duduulu; buna kesme (tuncation) deni. Sei toplamının bu şekilde kesilmesinden dolayı, yukaıdaki biçimde oluştuulan bi potansiyel model geçeği ancak belli oanda yanısıtı; buna da modelin çözünülüğü adı veili.. Potansiyelin hesaplanması: Potansiyel model veilmişken, küenin dışındaki bi noktanın koodinatlaı ve model katsayılaı kullanılaak sei toplamı geçekleştiili. Yani nokta için ilgili potansiyel hesaplanı. Önek 1.9: Küesel koodinatlaı,, olan bi nokta için hamonik açınımı n= ye kada yazınız. Çözüm: (1.6) ya göe açınım için geekli Y 0 (,), Y 1 (,) ve Y (,) yüzey hamonik fonksiyonlaı şöyle elde edili: Deece (n) Sıa (m) Teim (T nm) Y n(,) 0 0 (A 00cos0+B 00sin0)L 00(cos) =T (A 10cos0+B 10sin0)L 10(cos) 1 (A 11cos+B 11sin)L 11(cos) 0 (A 0cos0+B 0sin0)L 0(cos) =T 10+T 11 1 (A 1cos+B 1sin)L 1(cos) =T 0+T 1+T (A cos+b sin)l (cos) 19

23 Böylece, (1.5) eşitliğine göe ilgili hamonik açınım geçekleştiili: V(,,)= Yn (, λ) Y (, λ) Y (, λ) Y (, λ) n n0 Önek 1.10: Yukaıdaki hamonik açınımda hamonik katsayılaın sayısı nedi? Bu açınım için geçeli bi potansiyel model oluştuuken kaç adet katsayı belilenmelidi? Çözüm: İlgili önekte toplam 1 adet hamonik katsayı vadı. Böylesi bi açınımda bunladan 3 adedi (B 00, B 10 ve B 0 kuşak hamonik katsayılaı) sin0=0 olan değelein ölçek çapanlaı olduğu için önemi yoktu, 0 alınabili. Bu nedenle böylesi bi potansiyel modelde 1-3=9 adet hamonik katsayının belilenmesi geeki. Genelleştime yapılacak olusa, en büyük deecesi n max olan bi potansiyel model için u katsayı =(n max +1) (1.30) adet katsayı belilenmelidi. Veya, bi potansiyel modelde bu kada sayıda B 00, =0 kuşak hamonik katsayılaı dışında katsayı bulunu. 0

24 . EŞPOTANSİYELLİ YÜZEY ve GRAVİTE: Temel Kavamla.1 Potansiyelden Yeyuvaının Şekli: Küe, Elipsoit, Jeoit? He cisim evensel çekim yasasına göe bi çekim alanı oluştuu. Bu çekim alanı, cismin şekline ve yoğunluğuna bağlı olaak değişi (bkz. (1.13) eşitliği). Homojen bi küe veya Bölüm 1.6 da değinildiği üzee homojen yoğunluklu küe kabuklaından oluşan bi küe uzayda bi nokta gibi davanı; V=GM/ eşitliğine göe kendisinden kada uzaktaki tüm noktalada eşit çekim potansiyeli oluştuu. Bu eşit potansiyelli veya eşpotansiyelli noktalaı bileştidiğimiz zaman bi yüzey; eşpotansiyelli yüzey meydana geli. Söz konusu homojen yoğunluklu küe için bu yüzey içi boş bi küedi. Böylesi sonsuz sayıda iç içe geçmiş eşpotansiyelli yüzeylei hayal edebiliiz. Bunladan bii de ele aldığımız homojen yoğunluklu küeye yapışık olandı ve küenin şeklini ve boyutunu taif ede. Eşpotansiyelli bi yüzeyin önemli bi özelliği, bu yüzey üzeinde-başka bi dış kuvvet olmadığı süece-suyun haeket etmemesidi. Eğe su bi yüzey üzeinde haeket etmiyosa bu yüzey bi (yatay) düzlemdi. Bu nedenle yeyuvaının şeklini tanımlaken eşpotansiyelli yüzey tanımını kullanmak jeodezik amaçla için kaçınılmazdı. Peki yeyuvaının şeklini potansiyel kuamından haeketle nasıl taif edebiliiz? Bu amaçla yeyuvaının yapısı için fiziksel bi modele ihtiyacımız va: Yeyuvaı, Şekil.1 deki gibi tabakaladan oluşan bi yapıdadı. Eğe bu tabakalaın şekildeki gibi mükemmel simetide ve yoğunlukta olan küe kabuklaı olduğu vasayılısa, çekim potansiyeli V=GM/ olacak, dolayısıyla oluşan eşpotansiyelli yüzeyle yine küe yüzeylei olacaktı. Ancak bu modelde bi eksik vadı: O da yeyuvaının 4,5 milya yıldı bi eksen etafında döndüğü, ve bu kada yıldı dönen (elastik) bi cismin de bu haeket nedeniyle defome olması geektiği geçeğidi. Bu defomasyon yeyuvaının dönme ekseni doğultusunda küçülmesi ve ona dik doğultuda büyümesi anlamına geli ki, şekil atık bi küe değil bi elipsoitti. 1

25 Okyanus Yekabuğu Manto Çekidek ot=5,51 g/cm 3 Şekil.1 Yeyuvaı iç yapısı (ölçeksiz) Yeyuvaı bi elipsoit biçiminde ise yukaıdaki küe modeli için düşünülen potansiyel yaklaşımı geçeli olmaz. Çok uzaklada eşpotansiyelli yüzeyle halen bie küe yüzeylei gibi göünebili; ancak yee yaklaştığımızda bunlaın atık yavaş yavaş bi elipsoit yüzeyine dönüşeceğini hayal edebiliiz. Ancak yee yeteince yaklaştığımızda, geçek bundan da faklı olacaktı. Çünkü yeyuvaı tabakalaı mükemmel simeti ve eş yoğunlukta değildi. Bu nedenle-doğal olaak yee çok yakın olan noktala kümesine ilişkin bi eşpotansiyelli yüzey bi elipsoit yüzeyinden sapan, yoğunluk değişimine bağlı olaak keskin olmayan giinti ve çıkıntılaa sahip bi yüzey olacaktı. Öneğin dağlaı ve kaalaı kaldııp, yeyuvaı yüzeyini tamamıyla dugun bi okyanus yüzeyi olaak ele aldığımızda, bu yüzey bi eşpotansiyelli yüzeydi ancak bi elipsoit yüzeyi değildi! Bu yüzey, yani jeoit, yeyuvaının geçek şeklini tanımlamak için kullanılı. Çünkü, geçek bi eşpotansiyelli yüzeydi ve valığı kısmen hissedilebili (fiziksel yeyüzünün yaklaşık %70 inin okyanus+deniz yüzeyi olduğunu düşününüz!). Gauss, jeoidi yeyuvaının matematiksel şekli olaak tanımla. Ancak üzeinde matematiksel işlemle yapılamayacak kada kamaşık ve düzensiz bi yüzeydi. Öneğin aazide oluştuduğumuz bi üçgeni jeoide indigemek ve buadan bunu bi kağıt düzleminde anlatmak mümkün

26 değildi. Bunun için bi aşama öncesine gitmeli, jeoide oldukça yakın bi yüzey olan elipsoit yüzeyini ele almalıyız. Bu amaçla düşünülen bi elipsoide, efeans elipsoidi deni ki, bunladan günümüzde en ünlüsü ve geçekleşeni, GRS80 (Geodetic Refeence System-1980) ve onun bi tüevi olan WGS84 (Wold Geodetic System-1984) elipsoididi. Şekil. Yeyuvaının matematiksel şekli: Jeoit ( Bazı jeodezik poblemlede, doğuluk geekisinimleini kaşılaması şatıyla, yeyuvaını veya onun bi bölümünde hesap işlemlei için elipsoit yüzeyi yeine yeyuvaının şekline ilk yaklaşım olan küe yüzeyini kullanabiliiz. Bunu, hem katoğafya hem de geometik jeodezi desleinden bilmekteyiz. Ancak bu noktada teka hatılamamız geeken, jeoidin geçek bi yüzey, elipsoit ve küenin ise jeodezik hesapladan bazılaını yeine getimek için kullandığımız model yüzeyle olduğu geçeğidi. Öyleyse jeodezik faaliyetlede neden jeoide ihtiyacımız va? Bunu uygulamada kaşılaşılan bi jeodezik poblemi anlataak yanıtlayabiliiz: Yeyüzündeki bi noktanın elipsoidi efeans alaak elde ettiğimiz jeodezik-öneğin GNSS-koodinatlaından yükseklik bileşeni (elipsoidal yükseklik), kabaca elipsoitten noktaya olan uzunluktu. Elipsoit yüzeyi geçek bi eşpotansiyelli yüzey olmadığı için bu tüden yüksekliği fazla olan bi noktadan yüksekliği az olan noktaya doğu su akmayabili. Bu, GNSS nin mühendislik çalışmalaında kullanımını sınılandıan fiziksel bi poblemdi. Çözüm için jeoide, daha doğusu 3

27 elipsoit ile jeoit yüzeylei aasındaki yükseklik fakını anlatan jeoit modeline ihtiyacımız bulunmaktadı. Jeoit yüzeyi fiziksel anlamı olan yükseklikle, yani otometik yükseklikle için bi başlangıç yüzeyidi; bu nedenle, uygulamada yeyuvaının matematiksel şeklini göstemesinden öte yükseklik pobleminin çözümü için önemlidi.. Gavite Kuvveti ve Potansiyeli Fiziksel yeyüzünde duan bi cismin he bi kütlesine yeyuvaının kütlesi ve kendi ekseni etafında dönmesinden dolayı iki tü kuvvet etki; çekim kuvveti (F) ve mekezkaç kuvveti (F c ). Bi biim kütleye etkiyen toplam kuvvet (ya da ivme), yani bu iki kuvvetin bileşkesi, gavite kuvveti olaak adlandıılı; g=f+f c (.1) Bu kuvvetin büyüklüğü, yani g= g, gavite olaak adlandıılı. Gavite kuvveti noktanın konumuna bağlı olaak fiziksel yeyüzünde değişi. Bu nedenle g he noktada faklıdı. z p m=1 (x,y,z) F g F c y x y Ekvato Şekil.3 Çekim kuvveti, mekezkaç kuvveti ve gavite kuvveti 4 x

28 Not.1: Fiziksel yeyüzünde duan m kütleli bi cismin üzeine etkiyen toplam kuvvet mg kadadı ve bu da o cismin ağılığını ifade ede. Bu nedenle g ye bazen ağılık ivmesi de deni. Gavite, yeyüzünde noktadan noktaya değişi. O halde cisimlein konumlaına göe ağılıklaı da faklıdı. (.1) gavite kuvveti potansiyel kuamından haeketle de ifade edilebili: Dolu bi cismin çekim potansiyeli (1.17) ile veilmişti. Bu, yeyuvaı çekim potansiyeli için de geçelidi; V G d (.) Yanı sıa mekezkaç potansiyeli, yeyuvaının kendi ekseni etafında dönüşünün açısal hızı olmak üzee, aşağıdaki biçimde tanımlanı; V c 1 1 (x y ) p (.3) Bu iki potansiyelin toplamı ile gavite potansiyeli elde edili; 1 W=V+V c = G d + p (.4) (1.1) eşitliğinde olduğu gibi, (.4) potansiyelinin gadyenti alınısa gavite vektöü bulunu; g=gadw=(g x, g y, g z )=( W, x W y W, ) z (.5) 5

29 Not.: Gavite vektöünün doğultusu düşey dediğimiz doğultudu. Önek.1: Gavite kuvveti bileşenleini elde ediniz. Çözüm: Çözüm için, (.5) eşitliğine göe W gavite potansiyelinin kısmi tüevleine ihtiyacımız va: Gavite potansiyeli (.4) den göüldüğü gibi V ve V C potansiyellei toplamına eşit olduğundan, bunlaın ayı ayı kısmi tüevleinin toplamı da ilgili gavite bileşenleini vei. Dolu bi cismin çekim potansiyelinin kısmi tüevlei (çekim kuvveti bileşenlei) Önek 1.3 de gösteilmişti. Yeyuvaı çekim kuvveti bileşenlei de benze yolla elde edili. Yanı sıa (.3) mekezkaç potansiyelinin kısmi tüevlei de kolayca alını. Böylece, gavite bileşenlei şöyle bulunu; g x = g y = g z = x V x V w (x u) c G d x 3 y V y x V y w c G d y 3 (y v) w V Vc (z w) G d 3 z z z Önek.: Yeyuvaını homojen bi küe kabul edeek, kutup noktasında ve ekvatoda gavite değeleini bulunuz. (Yeyuvaı yaıçapı R= cm; Jeosentik çekim sabiti GM=3, cm 3 /s ; açısal hız = ad/s) Çözüm: Yeyuvaı homojen bi küe alınısa, kendisinden kada uzaktaki bi dış noktada çekim potansiyeli V=GM/ di. Bu, (.4) de düşünülüse, gavite potansiyeli GM W=V+V c = 1 p 6

30 olu. = x vektö bileşenlei, y z ve p= x y olduğu göz önüne alınaak, gavite g x = W x GM = x x, g 3 y = W y GM = y y ve g 3 z = W GM = z 3 z bulunu. Buna göe, gavite G M g= g = 4 GM gx gy g z = (x y ) (x y ) 4 3 = G M 4 4 p GM 3 p şeklinde elde edili. Yeyuvaını küe kabul ettiğimiz için =R di: Kutup noktasında p=0 olduğuna göe (bkz. Şekil.3) gavite değei, GM g= =98,04 cm/s =98,04 Gal bulunu. R Diğe yandan ekvatoda p=r di; gavite değei, g= G M 4 R 4 p GM 3 R p GM R p GM R p =978,6346 cm/s =978,6346 Gal çıka. Not.3: Önek. den kutup ve ekvatodaki gavite değelei aasındaki fakın yaklaşık 5 Gal olduğu göülmektedi. Fiziksel yeyüzünde gavite en çok bu kada değişi; bunun da en büyük sebebi mekezkaç kuvvetidi. Mekezkaç kuvveti ise yeyuvaında p uzunluğu nedeniyle enleme bağlıdı: Enlem attıkça p sıfıa gide; mekezkaç kuvveti azalı ve gavite değei ata. Yani kuamsal olaak, İstanbul da tatıldığımızda Ankaa ya göe daha ağı oluuz! 7

31 Not.4: Bölüm.1 de yeyuvaının 4,5 milya yıldı kendi ekseninde dönmesinden dolayı şeklinin elipsoit biçimli olduğundan bahsetmiştik. Bu geçek yukaıdaki önekten analitik olaak da anlaşılabilmektedi: Ekvatoda dışa doğu olan mekezkaç kuvveti kutuplaa göe daha fazladı. Dolayısıyla ilk halinde küe biçiminde olan (vasayılan!) yeyuvaı zamanla kutuplada basık, ekvatoda şişkin olan bi elipsoit halini almıştı..3 Fiziksel Yeyüzünde Gavite Nasıl Ölçülü? Fiziksel yeyüzünde gavite, (yesel) gavimeti adı veilen yöntemle belileni. İki tü gavimetik yöntem bulunu; Bağıl gavimetik yöntem Mutlak gavimetik yöntem. Bunladan ilki ile yeyüzünde iki nokta aasındaki gavite fakı; mutlak yöntemde ise nokta gavite değei doğudan bulunu. Bağıl yöntemde kullanılan aletlee bağıl gavite ölçele (elative gavimete), diğeindekilee ise mutlak gavite ölçele (absolute gavimete) deni. Günümüzde kullanılan bağıl gavite ölçele, LaCoste&Rombeg (LCR)-D; LCR-G ve Scintex CG5 maka gavite ölçeledi. 8

32 a) b) Şekil.4 a) Scintex CG5 (commons.wikimedia.og) ve b) LCR G bağıl gavite ölçe LCR maka gavite ölçele analog 1, Scintex le ise dijitaldi. He ikisi de helezonik bi yaya asılı duan bi kütlenin bi denge duumundan sapmasını tespit eden bi ölçme düzeneğine yani sensöe dayanı. Bu aletlele iki nokta aasındaki gavite fakı 5-10 Gal doğuluğunda belilenebili: Ancak bu doğuluğu elde edebilmek için bi takım özel ölçme ve değelendime yöntemleini düşünmek geeki; buna, diğe gavimeti işlemleinden ayımak için, miko-gavimeti deni. Genel bi bağıl değelendime işleminde mgal biimine dönüştüülen ölçü değelei (okumala-eadings) için Dift (süüklenme) düzeltmesi, Gelgit defomasyonu düzeltmesi, Alet yüksekliği-nokta yüksekliği indigemesi, Atmosfeik basınç ve sıcaklık düzeltmelei 1 LCR gavite ölçelee sonadan eklenen elektonik düzeneklele bu aletlele digital okuma yapılabilmektedi. 9

33 düşünülü (ayıntı için, Toge (1989) veya Aydın (007) ye bakılabili) Bunladan dift, aletin elastik yay sisteminden dolayı okuma değeleinin zamana bağlı olaak değişmesidi ve bağıl değelendimede göz önüne alınması geeken en önemli paametedi. Tespiti için gün içinde gavite noktalaı tekalı olaak ölçülü. Tekalı ölçülee zamana bağlı polinomla uyduulaak etkisi gideili. Gelgit defomasyonu ise ay ve güneşin çekim etkileindeki düzensizlikleden dolayı kaa veya denizde meydana gelen elastik defomasyondu; gavite ölçüleinde etkisi 00 Gal e kada ulaşabilen bu defomasyon bi noktada sinüs dalgası biçimindedi. Bu etkiyi çıkaabilmek için hazı gelgit modellei (Longman, CTE, Tamua vd.) bulunu. Standat bi model olaak genellikle Longman ve daha hassas çözümle için CTE tecih edili. a) b) Şekil.5 a) Mico-g LaCoste A-10 ve b) Mico-g LaCoste FG5-X mutlak gavite ölçe ( Günümüzde en yaygın kullanılan mutlak gavite ölçele ise mico-g LaCoste fiması taafından üetilen A-10 ve FG5 gavite ölçeledi; A- 10 taşınabili, FG5 ise laboatua otamında çalışı. He ikisinde de sebest bıakılan bi kütlenin aldığı yol ve haeket zamanı ölçülü; haeket denkleminden ivme yani gavite değei elde edili. Bi noktanın gavite değei A-10 ve FG5 ile 10 Gal, yeni model FG5-X ile Gal doğuluğunda belilenebilmektedi. 30

34 Taşınabili mutlak gavite ölçele bi gavite ağının ana noktalaının ve bağıl gavite ölçelein kalibe edildiği kalibasyon geçki noktalaının ölçümünde kullanılı. Gavite ağının sıklaştıılması ise ölçüm işlemi göece hızlı olması nedeniyle bağıl gavite ölçelele geçekleştiili..4 Eşpotansiyelli Yüzey Potansiyellei eşit olan noktalaı bileştidiğimiz zaman eşpotansiyelli yüzey (seviye yüzeyi) elde edili. Bi eşpotansiyelli yüzey şöyle gösteili; W(x,y,z)=sabit veya W=sabit (.6) m=1 (x,y,z) noktası difeansiyel anlamda ye değiştiildiğinde, yani x+dx, y+dy, z+dy noktasına taşındığında, potansiyel de şu kada değişi (Taylo seisinin değişim kısmını hatılayınız!); dw= W dx x W dy y W dz z (.7) Bu değişim miktaı, vektöel çapım ile W W W dw= (,, )(dx, dy, dz) =gdx (.8) x y z d x g biçiminde gösteili. Buadan iki önemli sonuç çıka: 1. Gavite vektöü eşpotansiyelli yüzeyin nomalidi: Bi noktanın W(x,y,z)=sabit eşpotansiyelli yüzey üzeinde taşınması duumunda doğal olaak dw=0 olu. Bu, (.8) e göe, gdx=0 (.9) 31

35 demekti. İki vektöün çapımı sıfı ise, gdx= g dx cos(g,dx) eşitliğine göe iki vektöün aasındaki açı 90 o veya 70 o di; yani iki vektö bibiine dikti. Buada nokta eşpotansiyelli yüzey üzeinde taşındığı için dx, ilgili noktada yüzeye teğetti. Buna göe, g ve dx vektölei bibiine dikti. Böylece, gavite vektöünün eşpotansiyelli yüzeyin nomali olduğu ispatlanı. m=1 dx g W=sabit Şekil.4 Gavite vektöü ve eşpotansiyelli yüzey. Eşpotansiyelli yüzey yatayı ifade ede: Önceki özelliğe göe gavite vektöü eşpotansiyelli yüzeyin nomalidi. Gavite vektöü ise düşeyi göstei. Buna göe, eşpotansiyelli yüzey yatayı ifade ede..5 Çekül Eğisi Fiziksel yeyüzündeki P (m=1) noktası ile yeyuvaı ağılık mekezi (O) bi eği ile bileşi. Bu eğiye çekül eğisi (plump line) deni. Çekül eğisinin özelliklei: Bu eği o noktadan geçen eşpotansiyelli yüzeyi nomal olaak kese. g gavite vektöü ise çekül eğisinin teğetidi. Jeoitten itibaen olan H yüksekliği (otometik yükseklik) bu eği boyunca ele alını. 3

36 Çekül eğisi Jeoit W=W 0 O H g P (m=1) W=sabit Şekil.5 Çekül eğisi.6 W Potansiyelinin Düşey Gadyenti Koodinatlaı x,y,z olan P (m=1) noktası gavite kuvveti g olan bi noktadan yukaı doğu dh= dx difeansiyel mesafesi kada çekül eğisi doğultusu boyunca Şekil.6 daki gibi taşınsın. Buna göe P noktasındaki gavite potansiyeli, dw=gdx= g dx cos(g,dh)=gdhcos180 o =-gdh (.10) kada değişi. Bi başka deyişle potansiyel bu kada azalı. Bu eşitlik, yükseklik (H) ve potansiyel (W) aasındaki ilişkiyi göstei ve yüksekliklein tanımında kullanılı. (.10) eşitliğinin bi başka biçimi şöyledi; g W (.11) H Bi başka deyişle, W potansiyelinin düşey gadyentinin tes işaetlisi 33

37 çekim ivmesine denkti (bkz. (1.13) eşitliği). dx m=1 dh W+dW g W=sabit Şekil.6 Yükseklik ve potansiyel değişimi Önek.3: Eşpotansiyelli yüzeylein paalel olup olmadığını gösteiniz. Çözüm: Bi W=sabit eşpotansiyelli yüzey üzeinde iki nokta düşünelim. Bunladan ilkinde gavite kuvveti g 1 diğeinde de g olsun. Gavite kuvveti he noktada faklı olduğu için g 1 g di. Şimdi de bu iki noktayı çekül eğisi doğultusunda W+dW=sabit eşpotansiyelli yüzeye taşıyalım. Noktala için alınan yolla dh 1 ve dh kada olsun. İki nokta için potansiyel değişimi (.10) a göe, dw=-g 1 dh 1 =-g dh olu. g 1 g olduğu için buadan dh 1 ve dh nin faklı olması geektiği sonucu çıka. Buna göe iki yüzey paalel değildi. Genelleştiilecek olusak, eşpotansiyelli yüzeyle paalel değildi. 34

38 .7 Nomal Gavite Alanı Matematiksel ozelliklei çok iyi bilinen bi dönel elipsoit geometik anlamda jeoide, fiziksel anlamda geçek gavite alanına çok yaklaşan bi efeans model olaak tanımlanabili. Hem geometik hem fiziksel tanımı yapılmış efeans elipsoidine nivo elipsoidi deni ve aşağıdaki döt paamete ile ifade edili; a büyük yaı eksen, f basıklığı (veya J dinamik şekil çapanı), GM jeosentik çekim sabiti, açısal dönme hızı. Şekil.7 Nivo elipsoidi ve otalama deniz yüzeyi (Jeoit) (Üstün, 006) Bi nivo elipsoidi yeyuvaının geçek şeklini ve gavite alanını en iyi temsil edecek şekilde tasalanmalıdı. Bu sayede nivo elipsoidinden olan sapmala yoluyla yeyuvaının geçek şekli ve gavite alanına geçiş yapılabili. Öneğin, h elipsoidal yüksekliği yeyüzü ile elipsoit aasındaki sapmayı göstei; bu geometik bi faktı. Bununla bilikte N, yein geçek gavite alanı ve nivo elipsoidi (nomal) gavite alanlaına ilişkin 35

39 efeans eşpotansiyelli yüzeyle aasındaki sapmayı ifade ede. Bu ise fiziksel bi sapmadı. Elipsoit nomali P (W=W P ) h H J Jeoit (W=W 0 ) N E Elipsoit (U=W 0 ) Şekil.8 Nomal eşpotansiyelli yüzeyden sapmala Nivo elipsoidi yüzeyine kaşılık gelen ve jeoidin W 0 potansiyeline eşit olduğu vasayılan U E =W 0 potansiyeli yukaıda ifade edilen paametele yadımıyla aşağıdaki biçimde ifade edili; U E GM D 1 3 actane a (.1) Buada, D, doğusal dışmekezlik (= (=D/b). a b ), e ise. dışmekezlikti Bu nomal gavite potansiyeline kaşılık gelen gavite kuvvetine ise nomal gavite kuvveti deni ve γ ile gösteili. Nomal gavite kuvvetinin büyüklüğüne, nomal gavite deni. Refeans elipsoidi üzeinde nomal gavite aşağıdaki Somigliana eşitliği ile ifade edili; 36

40 1 ksin γ γ (.13) E ekv 1 e sin Buada γ, ekvatodaki nomal gavite değei;, elipsoidal enlem; k, ekv nomal gavite sabiti; e, efeans elipsoidinin biinci dışmekezlik elemanıdı. GRS80 elipsoidi için bu elemanla şöyledi: γ =978, Gal, ekv k=0, , e =0, Elipsoidal enleme göe, nomal gavite değeleinin değişimi Şekil.4 de gösteilmektedi. Elipsoidal Enlem ( o ) Nomal gavite değei (Gal) Şekil.9 Nomal gavitenin elipsoidal enleme göe değişimi (GRS80 elipsoidi).8 Koodinat Sistemlei Jeodezide kullanılan koodinat sistemlei, bölgesel geeksinimlei kaşılamak amacı ile oluştuulan yeel koodinat sistemlei ve tüm 37

41 yeyuvaı için geçeli dünya koodinat sistemlei olmak üzee ikiye ayılı..8.1 Dünya Koodinat Sistemlei a) Doğal (Astonomik) dünya koodinat sistemi: Yeyuvaı dönme ekseni doğultusu ve buna dik olan ekvato düzleminin konumu astonomik olaak iyi deecede bilinmektedi. P noktasının astonomik enlemi (), noktadan geçen çekül doğultusu (düşey ya da çekül eğisinin doğultusu) ile ekvato düzleminin aasındaki açı; astonomik boylam () ise, astonomik meidyen düzlemi ile Geenwich meidyen düzlemi aasındaki ölçek açıdı. Bu enlem ve boylam dışında üçüncü bilgi ya W P potansiyeli ya da noktadan geçen çekül eğisinin jeoidi deldiği J noktasına kada olan mesafe yani otometik yükseklik (H) ile sağlanı: Bi noktanın doğal koodinatı deyince,,, W ya da,, H (.1) koodinatlaı anlaşılı. Çekül eğisi Z P(,,H) J H W=W P Jeoit O W=W 0 Y X Şekil.10 Astonomik koodinat sistemi b) Model (Elipsoit) dünya koodinat sistemi: U=U E =W 0 şeklinde nomal gavite alanının bi eşpotansiyelli yüzeyi olaak 38

42 tanımlanan dönel elipsoit efeans alınaak bi P noktasının koodinatlaı, elipsoidal (jeodezik) enlemi, elipsoidal boylamı ve h elipsoidal yüksekliği ile tanımlanı. Elipsoidal enlem ilgili noktadan geçen elipsoidal nomal ile ekvato düzlemi aasındaki açı; elipsoidal boylam ise Geenwich meidyen düzlemi ile jeodezik meidyen düzlemi aasındaki açı olaak ifade edili. h elipsoidal boylamı ise elipsoit nomali boyunca nokta ile elipsoit aasındaki mesafe olaak tanımlanı. Z h P(,,h) Elipsoit E U=U p O U=W 0 Y X Şekil.11 Elipsoidal koodinat sistemi.8. Yeel Koodinat Sistemlei a) Doğal yeel koodinat sistemi: Başlangıcı yeyüzündeki hehangi bi P noktası olan ve z ekseni P noktasındaki çekül doğultusu ile çakışan bi x,y,z yeel dik koodinat sistemi düşünülebili. Buada, x, astonomik kuzey; y, astonomik doğu olaak adlandıılı. Bu koodinat sisteminde bi P noktasının koodinatlaını tanımlamak için P noktasından Şekil.9 daki gibi, astonomik azimutu, astonomik başucu uzaklığı ve iki nokta aasındaki uzunluk kullanılı. 39

43 x P z Z P y Çekül doğultusu O Y X Şekil.1 Doğal yeel koodinat sistemi b) Model Yeel Koodinat Sistemi: Doğal yeel koodinat sistemi noktadan geçen çekül doğultusuna göe oluştuulu. Bi bakıma o noktada kuulacak bi jeodezik ölçme aleti için geçeli bi sistem, yani geçek bi koodinat sistemidi. Söz konusu noktadan geçen çekül doğultusu yeine elipsoit nomali alındığında dik koodinatlaı n, e, u olan model yeel koodinat sistemi oluşu. Buna önek olaak GPS de kullanılan Noth, East, Up koodinat sistemi veilebili. P u Elipsoit nomali n Z Z A e P O Y X Şekil.13 Model yeel koodinat sistemi 40

44 Buada n, jeodezik kuzey ve e, jeodezik doğu olaak adlandıılı. Model yeel koodinat sisteminde P noktasından bi diğe P noktasının konumu, A, jeodezik azimutu, Z, jeodezik başucu doğultusu ve iki nokta aasındaki uzunluk ile tanımlanı..9 Gavite Kuvvetinin Yönü Nasıl Belileni? Bi kuvvet yönü ve büyüklüğü ile tanımlanı. Gavite kuvvetinin büyüklüğü yani g gavite değei fiziksel yeyüzünde Bölüm (.3) de açıklanan yöntemlele elde edili. Yönünü yani çekül doğultusunu veya düşeyi tanımlamak için bunun matematiksel olaak bilinen bi doğultudan sapmasını ele almak geeki. Bu sapmaya çekül sapması () deni. Şekil.14 Çekül sapması bileşenlei (Üstün, 006) Bi noktanın astonomik enlemi (), boylamı () ve jeodezik enlemi (), boylamı () biliniyosa, çekül sapmasının kuzey-güney () ve doğubatı () bileşenlei Şekil.14 den =, =()cos (.13) 41

45 biçiminde tanımlanı. Buadan çekül sapması elde edili: = (.14) Çekül sapmasının hehangi bi azimutu doğultusundaki bileşeni ise =cos+sin (.15) biçiminde ifade edili..10 Bozucu Gavite Alanı Geçek gavite alanının nomal gavite alanından sapmalaı çok küçüktü. Bu nedenle geçek gavite alanına geçiş için genellikle bu sapmaladan yaalanılı. Bi noktadaki geçek gavite potansiyeli (W) ile nomal gavite potansiyeli (U) aasındaki faka bozucu potansiyel deni; T=W-U (.16).11 Jeoit Yüksekliği: Buns Eşitliği P (W=W P ) J Elipsoit nomali Jeoit (W=W 0 ) E N g J γ E Elipsoit (U=W 0 ) Şekil.15 Jeoit yüksekliği 4

46 Şekil.15 de gösteilen jeoitte ye alan J noktasındaki elipsoit nomali boyunca elipsoide ulaşalım ve ulaştığımız noktaya E diyelim. J noktasının geçek gavite potansiyelini (.16) dan W J =U J +T J (.17) biçiminde yazabiliiz. (.17) de geçen U J nomal potansiyelini ise U J =U E +N U E n (.18) şeklinde ifade edebiliiz. Buada N= JE jeoit yüksekliğini ve n elipsoit nomali doğultusunu göstemektedi. (.18) eşitliği, (.17) de düşünülü ve W J =U E =W 0 olacağından, T J =-N U E n (.19) elde edili. (.11) e göe, (.19) daki (nomal) düşey gadyent yani ifadesinin tes işaetlisi, E noktasındaki nomal gavite değeine ( γ ye) eşitti. Böylece, fiziksel jeodezinin ünlü eşitlikleinden Buns eşitliği bulunu: U E n E N= T γ E (.0) Bu eşitlik bozucu potansiyelin bilinmesi duumunda jeoit yüksekliğine nasıl geçileceğini göstei. 43

47 .1 Gavite Anomalisi ve Bozukluğu Jeoit üzeinde ye alan bi J noktasındaki gavite vektöü (g J ) ile bu noktadan geçen elipsoit nomalinin elipsoidi deldiği E noktasındaki nomal gavite vektöü ( γ ) aasındaki faka gavite anomali vektöü deni (Şekil.16). E J Jeoit N g J E Elipsoit γ E Şekil.16 Gavite anomalisine ilişkin vektöle veili; Gavite anomali vektöünün büyüklüğüne ise gavite anomalisi adı g=g J - γ (.1) E Gavite anomalisi, N jeoit yüksekliğinin elde edilmesinde temel vei olaak kullanılı. Eğe, nomal gavite Şekil.16 daki E yeine J noktasında hesaplanısa, (.6) daki gavite anomalisi yeine gavite bozukluğu elde edili; g=g J - γ (.) J Gavite bozukluğu, kavam olaak gavite anomalisinden daha kolay 44

48 youmlanabili. Fakat bu bozukluk yesel jeodezi için çok anlama sahip değildi. Ancak, gelecekte, gavite bozukluğunun, GNSS nedeniyle daha önemli olacağı düşünülmektedi (Hoffmann-Wellenhof ve Moitz, 006). Şekil.17 Tükiye için EGM008 gavite anomali haitası ( ).13 Sebest Hava İndigemesi ve Kütle İndigemesi (.1) eşitliğinde veilen gavite anomalisinin hesabı için jeoit üzeindeki J noktasının gavite değeine (g J ) ihtiyaç vadı. Ancak gavite değei fiziksel yeyüzünde ölçülü. Bu değei jeoit yüzeyinde elde edebilmek için iki temel indigeme işlemi yapılı; Sebest hava indigemesi Kütle indigemesi. Sebest hava indigemesi yükseklik etkisini, diğei ise jeoit ile fiziksel yeyüzü aasında kalan kütlenin etkisini gidemek için geçekleştiili. Sebest hava indigemesi için, dg S =-0,3086 (mgal/m)h (.3) 45

49 değei, diğei için de =,67 g/cm 3 yoğunluğa sahip bi Bougue tabakasının etkisini ifade eden dg B =0,1119 (mgal/m)h (.4) değei düşünülü. Bu eşitliklede H, gavitenin ölçüldüğü noktanın ilgili yüzeyden (buada jeoitten) itibaen olan yüksekliğidi. Bi noktanın aazide ölçülen gavite değei g ise, jeoit üzeindeki gavite değei g J =g-dg S -dg B =g+0,1967(mgal/m)h (.5) şeklinde hesaplanı; yani g gavitesi jeoide indigeni. (.5) ile elde edilen gavite değeine bazen Bougue gavitesi, buadan elde edilen gavite anomalisine de Bougue anomalisi denmektedi. (.5) indigemesinin yapılabilmesi için geeken H yükseklik değelei uygulamada sayısal aazi modelleinden (DEM leden) elde edili. Yanı sıa, hassas işlede (.5) deki indigemele yanında aazi düzeltmesi (teain coection) de düşünülü. Bu aazi düzeltmesi, sonsuz yaıçaplı H yüksekliğindeki bi silindii ifade eden Bougue tabaka modeli ile kuulan kütle etkisi yaklaşımındaki eksikliği gidemek için yapılı. Dağlık bölgelede aazi düzeltmesi 50 mgal seviyeleine ulaşı. Bununla bilikte, (.3) eşitliği yükseklik değişimi ile gavite değişimi aasındaki ilişkiyi youmlamamızda kullanılı. Bunu şöyle ifade edebiliiz; he bi mete (veya mm) yükseldikçe nokta gavite değei 0,3086 mgal (veya Gal) azalı. Bu bize çökme veya yükselmenin çok büyük genlikli olduğu bölgeledeki (öneğin, İskandinavya ve Kuzey Ameika da) yükseklik değişimleinin gavite değişimlei yoluyla izlenebilmesini olanaklı hale getii. He 10 cm yükseklik değişimi yaklaşık 30 Gal gavite değişimine neden olu. Bağıl gavimeti yöntemiyle gavite değeleinin elde edilmesi nivelman yöntemiyle yükseklik belilemeden daha hızlı olduğu için, büyük bölgeledeki böylesi büyük genlikli yükseklik değişimleinin izlenmesinde 46

50 gavimeti kullanılmaktadı. Bu noktada şunu da vugulamak geeki: Gavite değişimi yalnızca yükseklik değişiminin izlenmesinde değil, bi yüzeyin altındaki kütle yoğunluk fonksiyonundaki değişimlein izlenmesinde de önemli bilgi kaynağıdı. Bu amaçla faklı anomalile kullanılmaktadı. Önek.4: Bi DEM den yüksekliği 100 m olaak okunan noktada gavite değei 980,7 Gal olaak ölçülmüştü. Bu noktanın ilgili başlangıç yüzeyindeki gavite değeini hesaplayınız. Çözüm: Başlangıç yüzeyindeki gavite değei, (.5) eşitliğine göe g J = (mgal)+0, (mgal)=980719,67 mgal olu. Önek.5: Bi önceki önekte noktanın GRS80 elipsoidi için geçeli enlemi 45 o ise gavite anomalisini hesaplayınız. Çözüm: (.13) eşitliğine göe elipsoit üzeindeki nomal gavite değei γe ,90 mgal hesaplanı. Önceki önekten g J =980719,67 mgal olduğundan, (.1) gavite anomalisi, g=g J - γ =99,7498 mgal bulunu. E 47

51 3. YÜKSEKLİK SİSTEMLERİ Bi noktanın yüksekliği denince o noktadan geçen eşpotansiyelli yüzeyin (nivo yüzeyinin) bi başlangıç yüzeyine ne kada uzakta olduğunu anlaız. Bi noktanın bi başka noktaya göe yüksekte olduğunun ifade edilebilmesi için, suyun o noktadan yüksekliği az olan noktaya başka bi dış kuvvet olmasa da-akması geeki. Bu ise noktaladaki gavite değelei ile ilgilidi: Su, gavitesi az olan noktadan gavitesi fazla olan noktaya aka. Öyleyse-şu andaki yükseklik algımızı bi yana koyaak-gavitesi fazla olan noktayı alçakta, az olanı ise yüksekte diye tanımlamalıyız. O zaman yüksekliği geometik bi büyüklük olaak değil fiziksel bi kavam olaak düşünmeliyiz. Bi başka deyişle yükseklik kavamını gavite alanı çeçevesinde idelemeli, buna göe yükseklik tanımını yapmalıyız. Çekül eğisi P dh n dh n dh n dh dh dh dh 1 dh 1 dh 1 A B Şekil 3.1 Nivelman işlemi Nokta yükseklikleini nivelman işlemiyle buluuz. Ancak nivelman yola bağlıdı. Faklı yolla kullanıldığında aynı noktaya ilişkin faklı yükseklikle elde edili. Öneğin Şekil 3.1 de bi başlangıç yüzeyi üzeindeki A ve B den ayı ayı P noktasına nivelman yapılmış olsun. Nivo yüzeylei paalel olmadığı için d H dh dh (3.1) i i i 48

52 çıka. Yani A dan ve B den P noktası için faklı yükseklik değelei bulunu. Geometik nivelmanı yoldan bağımsız hale getimenin yolu, eşpotansiyelli yüzeyle aasındaki fakı yani dw yi düşünmekti. (.10) da gösteildiği gibi, dw=-gdh olduğu için, nivelman ölçüleiyle bilikte g gavite gözlemleinin de yapılması geeki. Bu duumda, yani nivelmanla elde edilen yükseklik fakı ve g yadımıyla bulunan potansiyel fakının düşünülmesiyle he zaman tek anlamlı sonuca ulaşılı. Öneğin, Şekil 3.1 deki A-P ve B-P nivelman işlemi için (3.1) tutasızlığı otadan kalka ve sonuç olaak g dh g dh g dh (3.) i i i i i i denkliği sağlanı. Teoi ve uygulamadaki yükseklik poblemleinin çözümü için jeodezide çeşitli yükseklik sistemlei tanımlanmıştı. Bunla bilimsel ve patik yükseklik sistemlei olmak üzee iki sınıf altında düşünülü; Bilimsel Yükseklikle Jeopotansiyel yükseklik Dinamik yükseklik Otometik yükseklik Patik Yükseklikle Nomal yükseklik Nomal otometik yükseklik Elipsoidal yükseklik 49

53 3.1 Bilimsel Yükseklikle Jeopotansiyel Yükseklik Bi P noktasının W P gavite potansiyelinin başlangıç yüzeyine ilişkin W 0 potansiyelinden olan sapmasının tes işaetlisine o noktanın jeopotansiyel yüksekliği deni; P C=W o -W P= gdh (3.3) 0 Jeopotansiyel yükseklik (veya jeopotansiyel sayı), bi uzunluk boyutuna sahip değildi ancak yükseklikle için doğal bi ölçüttü. Yükseklik, bu sayının uygun bi G gavite değeine oanı biçiminde tanımlanı; Yükseklik= G C (3.4) Not 3.1: Nivelmanla iki nokta aasında bulunan yükseklik fakı H niv = gavite C= g ot,i H niv, i olsun. Aa noktala boyunca elde edilen otalama g olmak üzee, jeopotansiyel yükseklik fakı ot,i H niv,i şeklinde hesaplanı. Ülke nivelman ağ noktalaının jeopotansiyel yüksekliklei bu faklaın ele alınmasıyla bulunu. Böylece, istenilen yükseklik sistemine (3.4) eşitliği ile geçili. Not 3.: Nivelmanla elde edilen yükseklik faklaı hehangi bi yükseklik sistemine ilişkin değildi. Bu amaçla ya Not 3.1 de açıklandığı gibi jeopotansiyel yüksekliklee geçileek ilgili yükseklikle tanımlanı ya da nivelmanla elde edilen yükseklik faklaına gavitenin bi fonksiyonu olan düzeltmele getiileek ilgili yükseklik sistemindeki yükseklik faklaı (öneğin otometik yükseklik faklaı) yoluyla noktalaın istenen yüksekliklei bulunu. 50

54 3.1. Dinamik Yükseklik Jeopotansiyel yüksekliğin bi nomal gavite değeine ( γ ) oanı ile 0 bulunan yüksekliğe dinamik yükseklik adı veili; H D = C γ 0 (3.5) γ değei genellikle 45 0 enlemine ilişkin sabit bi nomal gavite 0 değei olaak alını. He ne kada (3.5) eşitliği ile jeopotansiyel yükseklikten uzunluk boyutuna geçiş sağlanıp tutalı bi yükseklik sistemi oluştuulsa da, nivelman yükseklik faklaına getiilecek dinamik düzeltme değeleinin büyük olması nedeniyle dinamik yükseklik uygulamada tecih edilmez. Dinamik düzeltme: A ve B gibi İki nokta aasındaki dinamik yükseklik fakı H D olsun. (3.5) ve (3.3) eşitlikleine göe bu fak, H D = 1 γ 0 (C C B A ) 1 γ 0 B A gdh 1 γ 0 B A (g γ 0 γ 0 ) dh B B (g γ ) 0 = dh dh (3.6) γ A A 0 şeklinde elde edili. İki integal, B A dh H niv H niv,i Nivelman ile elde edilen yükseklik fakı (g γ ) (g γ B 0 ot,i 0 dh H niv,i γ γ A 0 0 ) Dinamik düzeltme biçiminde ele alınabili. Sonuç olaak iki nokta aasındaki H D dinamik yükseklik fakı, getiileek elde edili; H nivelman yükseklik fakına dinamik düzeltmesi niv 51

55 H D = + (3.7) H niv Otometik Yükseklik P noktasından geçen çekül eğisinin jeoidi deldiği J noktasına kada olan uzunluğu, P noktasının otometik yüksekliği olaak adlandıılı. P noktasının C jeopotansiyel yüksekliğinden aşağıdaki biçimde elde edili; C H (3.8) g Buada, g, jeoide kada olan otalama gavite değeidi; uygulamada P noktasında ölçülen gavite değei g P kullanılaak, g =g P +0,044 (Gal/km)H (3.9) eşitliği ile hesaplanı. Çekül eğisi P (W=W P) g H Jeoit (W=W 0) J Şekil 3. Otometik yükseklik ve otalama gavite Otometik düzeltme: A ve B gibi iki nokta aasındaki otometik yükseklik fakı aşağıdaki gibi yazılsın; H=H B -H A =H B -H A -H BD +H AD +(H BD -H AD )=H D +(H B -H BD )+(H A -H AD ) (3.10) 5

56 Otometik ve dinamik yükseklikle aasındaki fakla ise (3.6) ya göe ilgili dinamik düzeltme değeleinin tes işaetlisine eşitti; ( g γ ) ( g γ ) B 0 A 0 (H B -H BD )= H ve (H B A -H AD )= H (3.11) A γ γ 0 0 (3.7) ve (3.11) eşitliklei (3.10) da göz önüne alınısa H= + H niv (g ot,i γ γ 0 0 ) H niv,i ( g γ ) ( g γ B 0 A 0 H + H B A γ γ 0 0 ) (3.1) bulunu. Böylece A ve B noktalaı aasındaki otometik yükseklik fakının nivelman sonucunda elde edilen H yükseklik fakına (3.1) deki niv teimle (otometik düzeltme) ekleneek bulunacağı otaya çıka. Önek 3.1: Aşağıda A ve B noktalaı aasında yapılan nivelman işleminden elde edilen gei ve ilei okumalaı, noktaladaki gavite değelei veilmektedi. A noktasının otometik yüksekliği 100 m di. Buna göe, iki nokta aasındaki dinamik ve otometik yükseklik fakını bulunuz. Nokta Gei (mm) İlei (mm) g (Gal) A , , , , ,444 B ,150 53

57 Çözüm: Dinamik yükseklik fakı hesabı: γ 0 =980,60 Gal (45 0 enlemindeki nomal gavite değei) Nokta Gei (mm) İlei (mm) g (Gal) H i (m) g ot,i (Gal) H i(g ot,i- 0)/ 0 A , ,51 0,46 980,18-1, ,311 1, ,81-4, ,55 1, ,418 -, ,445 1,50 980,485-1, B ,151 0,55 980,98-1, H niv=4,731 =-1, Dinamik yükseklik fakı; H D =H niv+ =4,731-1, =4,798 m Otometik yükseklik fakı hesabı: H A=100 m; H B=H A+H niv=104,731 m (yaklaşık) g =g A A+0,044 (Gal/km)H A=980,113+0,0440,1=980,117 Gal g =g B B+0,044(Gal/km)H B=980,151+0,0440,104731=980,1554 Gal H= + H niv (g ot,i γ γ 0 0 ) H niv,i ( g γ ) ( g γ B 0 A 0 H + H B A γ γ 0 0 ) =4,731-1, ,0496-0,0513=4,781 m 54

58 3. Patik Yükseklikle 3..1 Nomal Yükseklik Yeyuvaı gavite alanının nomal gavite alanı olduğunu yani W=U, g= γ ve T=0 kabul edilsin. Böyle bi vasayıma kaşılık gelen otometik yüksekliğe nomal yükseklik deni. Jeopotansiyel yüksekliği C olan bi nokta için nomal yükseklik, C H N (3.13) γ eşitliği ile ifade edili. Buada γ, çekül eğisi boyunca otalama nomal gavite değeidi; matematiksel olaak bi yoğunluk bilgisine sahip olmaksızın-doğudan ve yüksek doğulukta hesaplanı (Üstün, 006). Otometik yükseklik tanımında geçen geçek otalama gavite değei yoğunluk bilgisini geektii; bu nedenle nomal yükseklikle uygulamada daha önemlidi. Şekil 3.3 Nomal yükseklik, yükseklik anamolisi, tellüoit ve kuasijeoit (Üstün, 006) 55

59 Fiziksel yeyüzünden nomal yükseklik kada inildiğinde jeoide çok benzeyen; denizlede onunla çakışık, dağlık bölgelede ise ondan en çok m kada sapan bi yüzeyle kaşılaşılı. Bu yüzeye kuasijeoit deni. Kuasijeoit ile elipsoit aasındaki uzaklığa ise yükseklik anamolisi () adı veili. Yeyüzündeki bi noktadan yükseklik anomalisi kada inildiğinde ise fiziksel yeyüzüne çok benzeyen başka bi yüzey meydana geli. Bu yüzeye de tellüoit deni. 3.. Nomal Otometik Yükseklik Daha önce iki nokta aasındaki jeopotansiyel yükseklik fakının C= g H eşitliği ile hesaplandığını, buadan da noktalaın ot,i niv,i jeopotansiyel yükseklikleine geçildiğinden bahsetmiştik. Gavite değeleine he zaman ulaşmak mümkün değildi. Eğe bu potansiyel fakı, otalama nomal gavite değei ile C = γ ot,i H niv,i biçiminde hesaplanısa, bulunacak jeopotansiyel yüksekliğe, nomal jeopotansiyel yükseklik (C ) adı veili. Bu jeopotansiyel yükseklikten aşağıdaki biçimde tanımlanan yüksekliğe ise nomal otometik yükseklik deni; C' H No, (G= γ -0,3086(H No /)) (3.14) G 3..3 Elipsoidal Yükseklik Daha önce ifade edildiği gibi bi noktadan elipsoit nomali boyunca elipsoide kada olan mesafe elipsoidal yükseklik olaak adlandıılı. Otometik yükseklik gibi fiziksel bi anlamı yoktu ancak günümüzde GPS ile elde edilen üçüncü koodinat bilgisi olmasından ötüü patikte anlamı büyüktü. 56

60 Şekil 3.4 de de ifade edildiği gibi elipsoidal yüksekliğe, otometik yükseklik (H) ve jeoit yüksekliğinin (N) toplamı ile bi yaklaşımda bulunulabili; h=h+n (3.15) Bu eşitlik, N biliniyoken, uygulamada kolayca elde edilen elipsoidal yükseklikleden fiziksel anlamı olan otometik yüksekliklee nasıl geçileceğini ( H=h-N biçiminde) göstei. Elipsoit nomali P (W=W P ) h H Jeoit (W=W 0 ) N Elipsoit (U=W 0 ) Şekil 3.4 Elipsoidal yükseklik Yanı sıa bi önceki bölümde ifade edilen yükseklik anomalisi (kuasijeoit ile elipsoit veya fiziksel yeyüzü ile tellüoit aasındaki mesafe) elipsoidal yüksekliğin bi fonksiyonu olaak aşağıdaki gibi ifade edili; =h-h N (3.16) 57

61 4. UYDU GRAVİMETRİSİ ve GLOBAL MODELLER Yeyuvaı gavite alanı günümüzde CHAMP, GRACE ve GOCE adı veilen alçak yöüngeli uydula (ye mekezinden yaklaşık 400 km uzaktaki-leo) yoluyla izlenebilmektedi. Bu bölümde CHAMP ve GOCE sistemleinden bahsettikten sona GRACE uydu sistemini ve bundan elde edilen sonuçlaı biaz daha yakından inceleyip, global gavite alanı modelleine değineceğiz. 4.1 CHAMP 000 yılında yöüngesine (yaklaşık 454 km yüksekliğe) fılatılan CHAMP (Challenging Minisatellite Payload) uydusu, GFZ (Geofoschungzentum)-Potsdam (Almanya) taafından işletilmiş ve 010 yılında göevini tamamlamıştı. Şekil 4.1 CHAMP uydusu ( CHAMP uydusunun bilimsel amaçlaı şöyledi (Hofmann-Wellenhof ve Moitz, 006); Statik yeyuvaı gavite alanının uzun dalga boylu yapısını ve bunun zamansal değişimleini (atmosfeik kütle değişimlei, 58

62 okyanus akıntılaı ve kutuplaın eimesinden kaynaklanan deniz seviyesi değişimleinden oluşan) otaya çıkamak, Global ye manyetik alanı ve bunun zamansal değişimleini izlemek ve İyonosfe ve toposfe tabakalaını incelemekti. CHAMP uydusunda ölçme sistemi, uydunun yöüngesinin GPS uydulaı yadımıyla izlenmesine ve yöüngesine ye gavite alanından kaynaklanan ivmelenmelein bi 3 eksenli ivme ölçele belilenmesine dayanı. Bozucu ivmelenmele V potansiyelinin biinci tüevleine kaşılıktı. Böylece gavite alanı otaya çıkaılı. Bunun için nümeik obit integasyonu (numeical obit integation) veya eneji denge pensibi (enegy balance pinciple) kullanılmaktadı. 4. GOCE Eylül 009 taihinde yöüngesine otutulan GOCE (Gavity Field and Steady-State Ocean Ciculation Exploe) Kasım 013 yılında ömünü tamamlamıştı. İşletme soumluluğu ESA ya (Avupa Uzay Ajansı) ait olan GOCE sisteminden elde edilen yaklaşık 4 senelik vei günümüzde halen değelendiilmektedi. Şekil 4. GOCE uydusu ( 59

63 GOCE un en temel amaçlaından biisi, yeyuvaının statik (zamana bağlı olmayan) gavite alanını ve jeoidi oldukça yüksek doğulukta belilemektedi; tüm ye için 1 mgal doğuluğunda gavite anomalisi elde etmek, Jeoit doğuluğunu 1- cm ye yükseltmek ve Bunlaı 100 km konumsal çözünülükte elde etmek amaçlanmaktadı. Jeodezik açıdan bu amaçlaa ulaşaak, GNSS nin mühendislik çalışmalaında kullanım alanını global anlamda attımak, faklı yükseklik sistemleini bileştimek ve özellikle alçak yöüngeli uydu yöünge belilemesi ve pediksiyonunu önemli ölçüde geliştimek sağlanabilecekti. GOCE ile yeyuvaı gavite alanından kaynaklanan ivmelenmelein belilenmesi için bu uyduda gadyomete adı veilen 3 eksenli ivme ölçeleden oluşan bi sistem bulunmaktadı. Bu ölçelein (ya da sensölein) ilgili eksenleindeki faklaı yadımıyla ivme değişimlei yani gavite alanı belilemesi yüksek doğulukta yapılabilmektedi. 4.3 GRACE GRACE (Gavity Recovey and Climate Expeiment), ağılıklı olaak yeyuvaı gavite alanının zamansal değişimini belilemek, kısaca gavite alanını izlemek için tasalanmış olan bi sistemdi. Alman-Ameikan otaklığı ile 17 Mat 00 de yöünge düzlemine (yaklaşık 500 km yükseklikte) yeleştiilen GRACE uydu sisteminin diğe sistemleden fakı aynı yöüngede bibileini 0±50 km mesafeyle izleyen iki adet LEO uydusundan oluşmasıdı. 015 yılına kada vei sağlayacağı düşünülmektedi. 60

64 Şekil 4.3 GRACE uydulaı ( GRACE ile sağlanan veile üç tüdü; L1 veisi (Ham vei) L veisi (Aylık hamonik katsayı modellei) L3 veisi (Su seviyesi değişimleine dönüştüülmüş, işlenmiş vei) L veisi (güncel olaak Release-5) yani aylık hamonik katsayı modellei dünyada çeşitli vei mekezlei taafından yayınlanmaktadı. Bu vei mekezlei şöyledi; CSR (Cente fo Space Reseach)-Teksas Ünivesitesi, GFZ (GeoFoschung Zentum)-Potsdam, JPL (Jet Populsion Laboatoy)-Pasadena. GRACE veisi, okyanusladaki su miktaı değişimlei, buzullaın eimesi, ye altı su kaynaklaının incelenmesi vb. kütle değişimi çalışmalaı yanı sıa tektonik haeketlein incelenmesi, jeoit ve gavite değişiminin 61

65 izlenmesi gibi biçok faklı alanda kullanılmaktadı. Ancak, GRACE, global ve bölgesel düzeyde meydana gelen hidolojik değişimlee kaşı duyalılığının yüksek olmasından dolayı, çoğunlukla bu tüdeki kütle haeketleinin youmlanması çalışmalaında uygulanmaktadı. GRACE L veisinin değelendiilmesi aşağıda kısaca açıklanmaktadı. Bunun öncesinde uydu gavimetisinde kullanılan küesel hamonik açınım eşitliğine değinmek geekmektedi: Uydu Gavimetisinde Hamonik Açınım Uydu gavimetisinde, (1.7) ile veilen V(,, ) n0 1 n (Anmcosm Bnmsinm ) Lnm(cos ) n 1 m0 küesel hamonik açınımda A nm ve B nm katsayılaı yeine A nm =(GM)a n C nm, B nm =(GM)a n S nm (4.1) eşitliklei ve L nm(cos) Legende fonksiyonu yeine de, P nm (cos ) k( n 1)(n m)! (n m)! L nm 1, m 0 ise (cos ), k (4.), m 0 ise tam nomalleştiilmiş Legende fonksiyonlaı düşünülü. Buada, a, efeans elipsoidi büyük yaı ekseni; C nm ve S nm, n. deece ve m. sıadan tam nomalleştiilmiş küe hamonik katsayılaıdı. (4.1) hamonik katsayılaı ve (4.) Legende fonksiyonlaı, (1.7) eşitliğinde yeleine yazılısa 1 V(,,)= n 0 n n (GM) a (Cnmcosmλ Snmsinm ) Pnm(cos ) n 1 m 0 6

66 GM = n 0 a n n m 0 (C nm cosmλ S nm sinm ) P nm (cos ) (4.3) çıka. Bu açınım, sei toplamı n=1 den başlayacak şekilde düzenlenise (C 00 katsayısı çoğunlukla 1 di), potansiyelin bi başka gösteimi elde edili; GM V(,,)= a 1 n 1 n n m 0 (C nm cosmλ S nm sinm ) P nm (cos ) (4.4) Bu eşitlik çekim potansiyelinin küe yaklaşımı (GM/) ile kaşılaştııldığında, geçek potansiyelin bu yaklaşım değeinden aslında belli bi oanda saptığı açıkça göülü. (.16) eşitliği ile veilen T=W-U bozucu potansiyel eşitliği de benze biçiminde hamonik açınımla gösteilebili. T bozucu potansiyeli mekezkaç kuvveti potansiyelini içemez. Çekim potansiyeli hamonik katsayılaı (C ve S) ve nomal çekim potansiyeli katsayılaı (C U ve S U ) aasındaki δc nm C C, nm U nm δs nm S S (4.5) nm U nm fakla ile bozucu potansiyel hamonik açınımı, (4.3) e benze biçimde, GM T(,,)= n 0 a n n m 0 ( C nm cosmλ δs nm sinm ) P nm (cos ) (4.6) Şeklinde elde edili. İleide gösteilecek global statik gavite alanı modellei ve GRACE L veisi için (4.4) ve/veya (4.6) eşitliklei kullanılmaktadı. 63

67 4.3. GRACE L-Veisinin Değelendiilmesi GRACE L veisi, Şekil 4.4 deki hamonik katsayıladan oluşan bi metin dosyası ile aylık olaak kullanıcılaa sunulu. Buada sigma ile belitilen sütunla, ilgili katsayılaın standat sapmalaını göstemektedi. key L M C S sigma C sigma S ============================================================================== gfc E E E E+00 gfc E E E E+00 gfc e e E E+00 gfc e e E E+00 gfc e e E E+00 gfc E E E E+00. gfc E E E E-11 gfc E E E E-11 gfc E E E E-11 gfc E E E E-11 Şekil 4.4 GRACE Hamonik katsayı dosyası öneği Belli bi zaman aalığında gavite alanına bağlı değişimle, yani jeopotansiyel değişimlei izlemek için ya bi statik gavite alanı modeli kullanılı ya da GRACE otalama modeli adı veilen bi model oluştulu. Aylık çözümlein bu gavite modelinin katsayılaından faklaı, dc ve ds, kullanılaak ilgili jeopotansiyel değişimle inceleni. Bu jeopotansiyel değişimle (4.6) bozucu potansiyelin bi fonksiyonu olaak yazılan, Eşdeğe Su Kalınlığı (Equivalent Wate Thickness), Gavite büyüklüğü (çoğunlukla gavite bozukluğu değişimlei yoluyla) ve Jeoit yüksekliği değişimleidi. Öneğin su kalınlığı değişimi, 64

68 Δe(, λ) n n max n m 0 (dc nm cosmλ ds nm sinm ) K n P nm (cos ) (4.6) hamonik açınım eşitliği ile incelenebili. Buada K n katsayısı, açınımın deecesine bağlı Love yüklenme sayısı da denen bi paametedi. (4.6) eşitliği biçiminde çalışma bölgesindeki gid noktalaında elde edilen su kalınlığı değişimlei, Şekil 4.5a da gösteildiği gibi Kuzey-Güney doğultusunda şeitvai sistematik hatalaa sahipti. Bu sistematik hatalaa şeit (stipes) deni. Ekvato bölgesinde daha da büyük genliğe ulaşan bu hatalaın en büyük nedeni, GRACE uydulaının izlediği yöünge düzleminden kaynaklanı (bkz., Şekil 4.5b). a) 90 N b) 45 N W 135 W 90 W 45 W 0 45 E 90 E 135 E 180 E 45 S 90 S cm Şekil 4.5 a) Su Kalınlığı değişimi; sistematik hatala (Ataye, 01) b) GRACE uydu yöüngelei (Abat, 005) Çözümlede 30 cm genliğine kada ulaşabilen bu hatalaın gideilmesi için çeşitli filtele uygulanı. Bunladan başlıcalaı, yumuşatma filtesi ve koelasyonsuzlaştıma filtesidi. Bu sinyal filteleme yöntemleiyle sistematik hatalaın etkilei çözümleden gideili. Şekil 4.6, Şekil 4.5a daki çözüme söz konusu filtele uygulandıktan sonaki duumu göstemektedi: İzlenmek istenen sinyal net bi şekilde göülmektedi. 65

69 Equivalent Equivalent Wate Wate Thickness,Unit: Thickness,Unit: cm cm N N W 135 W 90 W 45 W 0 45 E 90 E 135 E 180 E 45 S 90 S cm Şekil 4.6 Filtelenmiş GRACE veisinden elde edilen su kalınlığı değişimi (Ataye ve Aydın, 01) Filte uygulayaak söz konusu hatala gideili ancak bi yandan izlenen sinyal de azalı. Yani filteye bağlı olaak çözünülük de düşe. Bu nedenle, amaç ve çözünülük aasında uygun bi denge kuacak statejile belileni. Yanı sıa, vei mekezlei DDK adı veilen önceden filtelenmiş ve koelasyon etkilei azaltılmış hamonik katsayılaı da kullanıcılaa sunmaktadı. Bu duumda söz konusu filteleme yöntemleini uygulamaya geek yoktu. GRACE L veisi ile ancak 300 km civaında bi çözünülük elde edilebili. Yani bi kenaı bu miktadan daha küçük alanlada söz konusu sinyal (anomali) bu vei tüü ile otaya çıkaılamaz. L1 vei tüü ile daha yüksek çözünülük elde edilebili. Böylece daha küçük bölgeledeki jeopotansiyel değişimle izlenebili. Ancak bunun için de ilei bi değeleme ve hesaplama yöntem dizisi izlenmelidi GRACE ile Yapılan Çeşitli Uygulamala GRACE ile özellikle büyük oanda kütle değişimine neden olan olayla gözlenmektedi. Öneğin Aalık 004 yılında meydana gelen ve tsunami faciasına neden oan Sumata depeminin etkilei GRACE ile gözlenmişti (Şekil 4.7). 66

70 (a) (b) Şekil 4.7 GRACE ile gözlenen a) Sumata depemi öncesi su kalınlığı değişimi, b) depem sonası su kalınlığı değişimi (Han vd., 006) Yanı sıa, 00 yılından günümüze uzun bi zaman aalığında vei sağlayan GRACE ile, peiyodik yapılaı gideildikten sona, ilgili jeopotansiyel değişimlein yıllık değişim miktalaı (yani hızlaı) kestiilmektedi. Bu hızla yadımıyla buzullaın eimesi, bunun jeoide olan etkilei ve su miktaı değişimlei global ve bölgesel alanlada analiz edilmektedi. Şekil 4.8, jeoit yüksekliğinde meydana gelen yıllık değişim miktaını ifade etmektedi. Şekil 4.8 GRACE ile belilenen yıllık jeoit değişimi (GFZ) 67

71 4.4 Global Gavite Alanı Modellei Yukaıda açıklanan CHAMP, GRACE ve GOCE uydu sistemlei, yeyuvaı gavite alanının statik kısmının uzun dalga boyuna ilişkin çok önemli bilgi sağlamış/sağlamaktadı. Diğe vei tülei ve/veya yalnızca bu uydu sistemleinden elde edilen potansiyel büyüklüklei ile yein gavite alanını ifade eden çözümle, global gavite alanı modellei biçiminde kullanıcılaa sunulmaktadı. Bu modellee ilişkin hamonik katsayılaa ICGEM (Intenational Cente fo Global Eath Models) web sayfasından ulaşılabilmektedi. İlgili küesel hamonik katsayıla kullanılaak fiziksel yeyüzündeki hehangi bi noktadaki ilgili jeopotansiyel değele (gavite anomalisi, gavite bozukluğu, jeoit yüksekliği vb.) hesaplanabili. Bu modelleden bazılaı ve bunlaın Avupa daki bazı test noktalaı ile kaşılaştıılaak elde edilen jeoit yükseklik doğuluklaı Çizelge 4.1 de gösteilmektedi. Çizelge 4.1 Bazı global gavite alanı modellei ( Model Yıl Vei n max Jeoit Doğuluğu * (cm) EIGEN-6C3stat 014 GOCE+GRACE+LAGEOS+ Gavite+Altimeti , cm GOCO03S 01 GOCE+GRACE 50 41,8 cm EGM GOCE+GRACE Gavite+Altimeti 190 0,8 cm EGM EGM96S, Gavite+Altimeti ,4 cm *) Avupa için geçeli 68

72 Global gavite alanı modelleinin bölgesel ve yeel bölgelede yapılan jeoit modelleme çalışmalaında önemi büyüktü. Çünkü bu modelle sayesinde öncelei pek mümkün olmayan jeoidin uzun dalga boyuna ilişkin yüksek doğulukta bilgi sağlanmaktadı. Yani jeoidin ana tendi bu modelle yadımıyla belilenmekte, bu çıkaılmakta, ota ve kısa dalga boyuna yoğunlaşılaak jeoit belileme işlemi geçekleştiilmektedi. ICGEM vei mekezi, bu modelle yadımıyla istenen büyüklüklei (gavite anomalisi, Bougue gavite anomalisi, jeoit yüksekliği, yükseklik anomalisi vb.) istenen bölgede belli büyüklükteki gidle yadımıyla elde edilmesini sağlayan Calculation Sevice adlı bi online uygulamayı da kullanıcılala sebest olaak paylaşmaktadı. Bölge için ilgili gidledeki değele hem bi sonuç dosyası olaak sunulmakta hem de ilgili büyüklükle ps uzantılı haitala şeklinde üetilebilmektedi. Şekil 4.9 ICGEM-Calculation Sevice online pogamı Bununla bilikte, GRACE aylık modellee de buadan ulaşılabili. Yanı sıa ICGEM vei mekezi, Visualization of Sphecial Hamonics uygulamasıyla kullanıcılaın küesel yüzey hamonikleini öğenmeleini sağlamaktadı. Ayıca, Ay, Venüs ve Mas için gavite alanı 69

Nokta (Skaler) Çarpım

Nokta (Skaler) Çarpım Nokta (Skale) Çapım Statikte bazen iki doğu aasındaki açının, veya bi kuvvetin bi doğuya paalel ve dik bileşenleinin bulunması geeki. İki boyutlu poblemlede tigonometi ile çözülebili, ancak 3 boyutluda

Detaylı

BÖLÜM 5 İDEAL AKIŞKANLARDA MOMENTUMUN KORUNUMU

BÖLÜM 5 İDEAL AKIŞKANLARDA MOMENTUMUN KORUNUMU BÖLÜM 5 İDEAL AKIŞKANLARDA MOMENTUMUN KORUNUMU Linee İmpuls-Momentum Denklemi Haeket halinde bulunan bi cismin hehangi bi andaki doğusal hızı, kütlesi m olsun. Eğe dt zaman aalığında cismin hızı değişiyosa,

Detaylı

Mekanik olayları ölçmekte ya da değerlendirmekte kullanılan matematiksel büyüklükler:

Mekanik olayları ölçmekte ya da değerlendirmekte kullanılan matematiksel büyüklükler: VEKTÖRLER KT 1 Mekanik olaylaı ölçmekte ya da değelendimekte kullanılan matematiksel büyüklükle: Skale büyüklük: sadece bi sayısal değei tanımlamakta kullanılı, pozitif veya negatif olabili. Kütle, hacim

Detaylı

BÖLÜM 2 GAUSS KANUNU

BÖLÜM 2 GAUSS KANUNU BÖLÜM GAUSS KANUNU.1. ELEKTRİK AKISI Elektik akısı, bi yüzeyden geçen elektik alan çizgileinin sayısının bi ölçüsüdü. Kapalı yüzey içinde net bi yük bulunduğunda, yüzeyden geçen alan çizgileinin net sayısı

Detaylı

ÇEMBERİN ANALİTİK İNCELENMESİ

ÇEMBERİN ANALİTİK İNCELENMESİ ÇEMBERİN ANALİTİK İNCELENMESİ Öncelikle çembein tanımını hatılayalım. Neydi çembe? Çembe, düzlemde bi noktaya eşit uzaklıkta bulunan noktala kümesiydi. O halde çembein analitik incelenmesinde en önemli

Detaylı

3. EŞPOTANSİYEL VE ELEKTRİK ALAN ÇİZGİLERİ AMAÇ. Bir çift elektrot tarafından oluşturulan elektrik alan ve eş potansiyel çizgilerini görmek.

3. EŞPOTANSİYEL VE ELEKTRİK ALAN ÇİZGİLERİ AMAÇ. Bir çift elektrot tarafından oluşturulan elektrik alan ve eş potansiyel çizgilerini görmek. 3. EŞPOTNSİYEL VE ELEKTRİK LN ÇİZGİLERİ MÇ i çift elektot taafından oluştuulan elektik alan ve eş potansiyel çizgileini gömek. RÇLR Güç kaynağı Galvanomete Elektot (iki adet) Pob (iki adet) İletken sıvı

Detaylı

VEKTÖRLER DOÇ.DR. KAMİLE TOSUN FELEKOĞLU

VEKTÖRLER DOÇ.DR. KAMİLE TOSUN FELEKOĞLU VEKTÖRLER DOÇ.DR. KMİLE TOSUN ELEKOĞLU 1 Mekanik olaylaı ölçmekte ya da değelendimekte kullanılan matematiksel büyüklükle: Skale büyüklük: sadece bi sayısal değei tanımlamakta kullanılı, pozitif veya negatif

Detaylı

ASTRONOTİK DERS NOTLARI 2014

ASTRONOTİK DERS NOTLARI 2014 YÖRÜNGE MEKANİĞİ Yöüngeden Hız Hesabı Küçük bi cismin yöüngesi üzeinde veilen hehangi bi noktadaki hızı ve bu hızın doğultusu nedi? Uydu ve çekim etkisinde bulunan cisim (Ye, gezegen, vs) ikili bi sistem

Detaylı

Dairesel Hareket. Düzgün Dairesel Hareket

Dairesel Hareket. Düzgün Dairesel Hareket Daiesel Haeket Daiesel haeket, sabit bi mekez etafında olan ve yaıçapın değişmediği haekete deni. Daiesel haekette hız vektöünün büyüklüğü değişmese de haeketin doğası geeği, yönü haeket boyunca süekli

Detaylı

Ankara Üniversitesi Diş Hekimliği Fakültesi Ankara Aysuhan OZANSOY

Ankara Üniversitesi Diş Hekimliği Fakültesi Ankara Aysuhan OZANSOY FİZ11 FİZİK Ankaa Üniesitesi Diş Hekimliği Fakültesi Ankaa Aysuhan OZANSOY Bölüm-III : Doğusal (Bi boyutta) Haeket 1. Ye değiştime e Haeketin Tanımı 1.1. 1 Mekanik Nedi? 1.. Refeans çeçeesi, Konum, Ye

Detaylı

FİZ101 FİZİK-I. Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Kimya Bölümü B Grubu 3. Bölüm (Doğrusal Hareket) Özet

FİZ101 FİZİK-I. Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Kimya Bölümü B Grubu 3. Bölüm (Doğrusal Hareket) Özet FİZ11 FİZİK-I Ankaa Üniesitesi Fen Fakültesi Kimya Bölümü B Gubu 3. Bölüm (Doğusal Haeket) Özet.1.14 Aysuhan Ozansoy Haeket Nedi? Mekanik; kuetlei e onlaın cisimle üzeine etkileini inceleyen fizik dalıdı

Detaylı

LYS TÜREV KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

LYS TÜREV KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI LYS TÜREV KONU ÖZETLİ LÜ SORU BANKASI ANKARA İÇİNDEKİLER Tüev... Sağdan Ve Soldan Tüev... Tüev Alma Kuallaı...7 f n () in Tüevi... Tigonometik Fonksionlaın Tüevi... 6 Bileşke Fonksionun Tüevi... Logaitma

Detaylı

2013 2013 LYS LYS MATEMATİK Soruları

2013 2013 LYS LYS MATEMATİK Soruları LYS LYS MATEMATİK Soulaı. LYS 5. LYS ( + a ) = 8 < < olmak üzee, olduğuna öe, a kaçtı? I. A) D) II. + III. (.) ifadeleinden hanileinin değei neatifti? A) Yalnız I Yalnız II Yalnız III D) I ve III II ve

Detaylı

BÖLÜM 2 KORUNUM DENKLEMLERİ

BÖLÜM 2 KORUNUM DENKLEMLERİ BÖLÜM KORUNUM DENKLEMLERİ.-Uzayda sabit konumlu sonlu kontol hacmi.- Debi.3- Haeketi takiben alınmış tüev.4- üeklilik denklemi.5- Momentum denklemi.6- Eneji Denklemi.7- Denklemlein bilançosu Kounum Denklemlei

Detaylı

Bölüm 5 Manyetizma. Prof. Dr. Bahadır BOYACIOĞLU

Bölüm 5 Manyetizma. Prof. Dr. Bahadır BOYACIOĞLU ölüm 5 Manyetizma Pof. D. ahadı OYACOĞLU Manyetizma Manyetik Alanın Tanımı Akım Taşıyan İletkene Etkiyen Kuvvet Düzgün Manyetik Alandaki Akım İlmeğine etkiyen Tok Yüklü bi Paçacığın Manyetik Alan içeisindeki

Detaylı

Basit Makineler. Test 1 in Çözümleri

Basit Makineler. Test 1 in Çözümleri Basit Makinele BASİ MAİNELER est in Çözümlei. Şekil üzeindeki bilgilee göe dinamomete değeini göstei. Cevap D di.. Makaa ve palanga sistemleinde kuvvetten kazanç sayısı kada yoldan kayıp vadı. uvvet kazancı

Detaylı

VIII ) E-M DALGA OLUŞUMU

VIII ) E-M DALGA OLUŞUMU 94 VIII ) E-M DALGA OLUŞUMU A. HELMHOLTZ DENKLEMİNE GEÇİŞ B. F k : YAPI ÇARPANI 4-VEKTÖRÜ C. RADYASYON ALANLARI D. ELEKTRİK DİPOL RADYASYONU E. MAGNETİK DİPOL RADYASYONU 95 A) HELMHOLTZ DENKLEMİNE GEÇİŞ

Detaylı

Evrensel kuvvet - hareket eşitlikleri ve güneş sistemi uygulaması

Evrensel kuvvet - hareket eşitlikleri ve güneş sistemi uygulaması Evensel kuvvet - haeket eşitliklei ve güneş sistemi uygulaması 1. GİRİŞ Ahmet YALÇIN A-Ge Müdüü ESER Taahhüt ve Sanayi A.Ş. Tuan Güneş Bulvaı Cezayi Caddesi 718. Sokak No: 14 Çankaya, Ankaa E-posta: ayalcin@ese.com

Detaylı

DENEY 4 ÇARPIŞMALAR VE LİNEER MOMENTUMUN KORUNUMU

DENEY 4 ÇARPIŞMALAR VE LİNEER MOMENTUMUN KORUNUMU DEEY 4 ÇRPIŞMLR VE LİEER MOMETUMU KORUUMU MÇ: Deneyin amacı esnek ve esnek olmayan çapışmalada linee momentum ve kinetik eneji kounumunu incelemekti. GEEL İLGİLER: i nesnenin linee momentumu P ; kütlesinin

Detaylı

Otomotiv Mühendisliği Bölümü Dinamik Ders Notu

Otomotiv Mühendisliği Bölümü Dinamik Ders Notu 16 Otomotiv Mühendisliği Bölümü Dinamik Des Notu Pof. D. Halit KARABULUT 1.1.16 GİRİŞ Dinamik cisimlein kuvvet altında davanışlaını inceleyen bi bilim dalıdı. Kinematik ve kinetik konulaını kapsamaktadı.

Detaylı

Örnek 1. Çözüm: Örnek 2. Çözüm: 60 30000 300 60 = = = 540

Örnek 1. Çözüm: Örnek 2. Çözüm: 60 30000 300 60 = = = 540 Önek 1 1.8 kn yük altında 175 dev/dak dönen bi mil yatağında çalışacak bilyeli ulman için, 5 saat ömü ve %9 güvenililik istemekteyiz. Öneğin SKF kataloğundan seçmemiz geeken inamik yük sayısı (C 1 ) nedi?

Detaylı

Parçacıkların Kinetiği Impuls-Momentum Yöntemi: Çarpışma

Parçacıkların Kinetiği Impuls-Momentum Yöntemi: Çarpışma Paçacıklaın Kinetiği Impuls-Momentum Yöntemi: Çapışma İki kütle bibii ile kısa süe içeisinde büyük impulsif kuvvetlee yol açacak şekilde temas edese buna çapışma (impact) deni. Çapışma 1. Diekt mekezcil

Detaylı

AMASYA ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ Elektrik Elektronik Mühendisliği Bölümü

AMASYA ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ Elektrik Elektronik Mühendisliği Bölümü AMASYA ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ Elektik Elektonik Mühendisliği Bölümü Denetim Sistemlei Laboatuvaı Deney Föyü Yd.Doç.D.Mehmet EKİCİ Aş.Gö.D.Kenan TEKBAŞ Aş.Gö.Bisen BOYLU AYVAZ DENEY 4-RAPOR ARAÇ

Detaylı

FİZ101 FİZİK-I. Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Kimya Bölümü B Grubu Bölüm V: Newton un Hareket Yasaları

FİZ101 FİZİK-I. Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Kimya Bölümü B Grubu Bölüm V: Newton un Hareket Yasaları İZ101 İZİK-I Ankaa Ünivesitesi en akültesi Kimya Bölümü B Gubu Bölüm V: Newton un Haeket Yasalaı 05.12.2014 Aysuhan OZANSOY Bölüm-V: Newton un Haeket Yasalaı: 1. Kuvvet Kavamı 2. Newton un I. Yasası (Eylemsizlik

Detaylı

r r r r

r r r r 997 ÖYS. + 0,00 0,00 = k 0,00 olduğuna göe, k kaçtı? B) C). [(0 ) + ( 0) ] [(9 0) (0 ) ] işleminin sonucu kaçtı? B) C) 9 6. Bi a doğal sayısının ile bölündüğünde bölüm b, kalan ; b sayısı ile bölündüğünde

Detaylı

SİSTEM MODELLEME VE OTOMATİK KONTROL FİNAL/BÜTÜNLEME SORU ÖRNEKLERİ

SİSTEM MODELLEME VE OTOMATİK KONTROL FİNAL/BÜTÜNLEME SORU ÖRNEKLERİ SİSTEM MODELLEME VE OTOMATİK KONTROL FİNAL/BÜTÜNLEME SORU ÖRNEKLERİ.Gup: Vize sou önekleindeki son gup (Routh-Huwitz testi) soula dahildi. Bunla PID soulaıyla bilikte de soulabili..) Tansfe fonksiyonu

Detaylı

VEKTÖRLER 1. BÖLÜM. Vektörel Büyüklüğün Matematiksel Tanımı : u = AB yada u ile gösterilir.

VEKTÖRLER 1. BÖLÜM. Vektörel Büyüklüğün Matematiksel Tanımı : u = AB yada u ile gösterilir. . BÖLÜM VEKTÖRLER Tanım:Matematik, istatistik, mekanik, gibi çeşitli bilim dallaında znlk, alan, hacim, yoğnlk, kütle, elektiksel yük, gibi büyüklükle, cebisel kallaa göe ifade edilile. B tü çoklklaa Skale

Detaylı

AST310 GÜNEŞ FİZİĞİ Bahar Dönemi (Z, UK:3, AKTS:5) 5. Kısım. Doç. Dr. Kutluay YÜCE

AST310 GÜNEŞ FİZİĞİ Bahar Dönemi (Z, UK:3, AKTS:5) 5. Kısım. Doç. Dr. Kutluay YÜCE AST31 GÜNEŞ FİZİĞİ 16-17 Baha Dönemi (Z, UK:3, AKTS:5) 5. Kısım Doç. D. Kutluay YÜCE Ankaa Ünivesitesi, Fen Fakültesi Astonomi ve Uzay Bilimlei Bölümü Kutluay Yüce: Des amaçlı notla; çoğaltılamaz. Bi Yıldız

Detaylı

SÜLEYMAN DEMİREL ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNA MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ TRİBOLOJİ LABORATUARI DENEY FÖYÜ

SÜLEYMAN DEMİREL ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNA MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ TRİBOLOJİ LABORATUARI DENEY FÖYÜ SÜLEYMAN DEMİREL ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNA MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ TRİBOLOJİ LABORATUARI DENEY FÖYÜ DENEY ADI RADYAL KAYMALI YATAKLARDA SÜRTÜNME KUVVETİNİN ÖLÇÜLMESİ DERSİN ÖĞRETİM ÜYESİ YRD.DOÇ.DR.

Detaylı

Gauss Kanunu. Gauss kanunu:tanım. Kapalı bir yüzey boyunca toplam elektrik akısı, net elektrik yükünün e 0 a bölümüne eşittir.

Gauss Kanunu. Gauss kanunu:tanım. Kapalı bir yüzey boyunca toplam elektrik akısı, net elektrik yükünün e 0 a bölümüne eşittir. Gauss Kanunu Gauss kanunu:tanım Kapalı bi yüzey boyunca toplam elektik akısı, net elektik yükünün e a bölümüne eşitti. yüzeydeki Gauss kanunu Coulomb kanununa eşdeğedi. Gauss kanunu : Tanım Bi yük dağılımını

Detaylı

JEOİD ve JEOİD BELİRLEME

JEOİD ve JEOİD BELİRLEME JEOİD ve JEOİD BELİRLEME İÇİNDEKİLER GİRİŞ JEODEZİDE YÜKSEKLİK SİSTEMLERİ Jeopotansiyel Yükseklikler (C) Dinamik Yükseklikler (H D ) Normal Yükseklik (H N ) Elipsoidal Yükseklik Ortometrik Yükseklik Atmosferik

Detaylı

Bölüm 6: Dairesel Hareket

Bölüm 6: Dairesel Hareket Bölüm 6: Daiesel Haeket Kaama Soulaı 1- Bi cismin süati değişmiyo ise hızındaki değişmeden bahsedilebili mi? - Hızı değişen bi cismin süati değişi mi? 3- Düzgün daiesel haekette cismin hızı değişi mi?

Detaylı

5 ÖABT / MTL ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG. 678 ( sin + cos )( sin- cos )( sin+ cos ) lim sin- cos " = lim ( sin+ cos ) = bulunu. ". # # I = sin d = sin sin d sin = u sin d = dv du = sin : cos

Detaylı

Bölüm 6: Newton un Hareket Yasalarının Uygulamaları:

Bölüm 6: Newton un Hareket Yasalarının Uygulamaları: (Kimya Bölümü A Gubu 17.11.016) Bölüm 6: Newton un Haeket Yasalaının Uygulamalaı: 1. Bazı Sabit Kuetle 1.1. Yeçekimi 1.. Geilme 1.3. Nomal Kuet. Newton un I. Yasasının Uygulamalaı: Dengedeki Paçacıkla

Detaylı

Bölüm 30. Biot-Savart Yasası Giriş. Biot-Savart Yasası Gözlemler. Biot-Savart Yasası Kurulum. Serbest Uzayın Geçirgenliği. Biot-Savart Yasası Denklem

Bölüm 30. Biot-Savart Yasası Giriş. Biot-Savart Yasası Gözlemler. Biot-Savart Yasası Kurulum. Serbest Uzayın Geçirgenliği. Biot-Savart Yasası Denklem it-savat Yasası Giiş ölüm 30 Manyetik Alan Kaynaklaı it ve Savat, elektik akımının yakındaki bi mıknatısa uyguladığı kuvvet hakkında deneyle yaptı Uzaydaki bi nktada akımdan ilei gelen manyetik alanı veen

Detaylı

BTZ Kara Deliği ve Grafen

BTZ Kara Deliği ve Grafen BTZ Kaa Deliği ve Gafen Ankaa YEF Günlei 015 1-14 Şubat 015, ODTÜ Ümit Etem ve B. S. Kandemi BTZ Kaa Deliği Gafen ve Eği Uzay-zamanla Beltami Tompeti ve Diac Hamiltonyeni Eneji Değelei ve Gafen Paametelei

Detaylı

Katı Cismin Uç Boyutlu Hareketi

Katı Cismin Uç Boyutlu Hareketi Katı Cismin Uç outlu Haeketi KĐNEMĐK 7/2 Öteleme : a a a ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ / / /, 7/3 Sabit Eksen Etafında Dönme : Hız : wx bwe bwe wx be he x we wx bwe e d b be d be he b h O n n n ɺ ɺ θ θ θ θ θ ( 0 Đme : d d

Detaylı

Kütle Çekimi ve Kepler Kanunları. Test 1 in Çözümleri

Kütle Çekimi ve Kepler Kanunları. Test 1 in Çözümleri 7 Kütle Çekii e Keple Kanunlaı est in Çözülei. Uydu Dünya nın ekezinden kada uzaklıktaki yöüngesinde peiyodu ile dolanıken iki kütle aasındaki çeki kueti, ekezcil kuet göei göü. F çeki F ekezcil G Bağıntıya

Detaylı

Kominikayon da ve de Sinyal Đşlemede kullanılan Temel Matematiksel Fonksiyonlar:

Kominikayon da ve de Sinyal Đşlemede kullanılan Temel Matematiksel Fonksiyonlar: Kominikayon da ve de Sinyal Đşlemede kllanılan Temel Matematiksel Fonksiyonla: Unit Step fonksiyon, Implse fonksiyon: Unit Step Fonksiyon: Tanim: Unit Step fonksiyon aşağıdaki gibi iki şekilde tanımlanabili

Detaylı

Elektromanyetik Teori Bahar Dönemi MANYETİK ALAN (2)

Elektromanyetik Teori Bahar Dönemi MANYETİK ALAN (2) Elektomanyetik Teoi Baha -6 Dönemi MANYETİK ALAN () Buaya kada manyetikte kuvvetten hiç bahsetmedik. Hehangi bi yük manyetik alan içeisine u hızıyla gidiğinde manyetik alandan dolayı bi sapmaya uğa. Bu

Detaylı

EMEKLILIK SİSTEMLERİ SINAV SORULARI WEB-ARALIK 2015. Bireysel emeklilik sistemine ilişkin olarak aşağıdakilerden hangisi(leri) yanlıştır?

EMEKLILIK SİSTEMLERİ SINAV SORULARI WEB-ARALIK 2015. Bireysel emeklilik sistemine ilişkin olarak aşağıdakilerden hangisi(leri) yanlıştır? EMEKLILIK SİSTEMLERİ SINAV SORULARI WEB-ARALIK 2015 Sou-1 Bieysel emeklilik sistemine ilişkin olaak aşağıdakileden hangisi(lei) yanlıştı? I. Bieysel emeklilik sistemindeki biikimle Sosyal Güvenlik Sistemine

Detaylı

F 1 = 4. Yanıt B dir. Nihat Bilgin Yayıncılık = 1 2 P 3, = P, P F 4 F 4 2F 5 3, = P, kuvveti en küçüktür. a = 3

F 1 = 4. Yanıt B dir. Nihat Bilgin Yayıncılık = 1 2 P 3, = P, P F 4 F 4 2F 5 3, = P, kuvveti en küçüktür. a = 3 Basit Makinele Test in Çözümlei. aldıaçlada sistem dengede ise; uvvet x uvvet kolu Yük x Yük kolu. z bağıntısı geçelidi. y 5 5 x y z İpteki geilme kuvvetlei Bijon anataında kuvvet kolu y di. Bu nedenle

Detaylı

KUYRUK SİSTEMİ VE BİLEŞENLERİ SİSTEM SİMULASYONU KUYRUK SİSTEMİ VE BİLEŞENLERİ ÖRNEKLER BİR KUYRUK SİSTEMİNİN ÖRNEKLER

KUYRUK SİSTEMİ VE BİLEŞENLERİ SİSTEM SİMULASYONU KUYRUK SİSTEMİ VE BİLEŞENLERİ ÖRNEKLER BİR KUYRUK SİSTEMİNİN ÖRNEKLER KUYRUK SİSTEMİ VE SİSTEM SİMULASYONU 5. KUYRUK SİSTEMLERİ Bi kuyuk sistemi; hizmet veen bi veya biden fazla sevise sahipti. Sisteme gelen müşteile tüm sevislei dolu bulusa, sevisin önündeki kuyuğa ya da

Detaylı

VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: STATICS

VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: STATICS Seventh Edition VECTOR MECHANICS OR ENGINEERS: STATICS edinand P. Bee E. Russell Johnston, J. Des Notu: Hai ACAR İstanbul Teknik Üniveistesi Tel: 285 31 46 / 116 E-mail: acah@itu.edu.t Web: http://atlas.cc.itu.edu.t/~acah

Detaylı

A A A A A A A A A A A

A A A A A A A A A A A LYS MATEMATİK TESTİ. Bu testte 5 sou vadı.. Cevaplaınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için aılan kısmına işaetleiniz.. Veilen, ve z tamsaılaı için. =. z =. =f() olduğuna göe, + + z toplamı en çok kaçtı?

Detaylı

Eğrisel harekette çok sık kullanılan tanımlardan biri de yörünge değişkenlerini içerir. Bunlar, hareketin her bir anı için ele alınan biri yörüngeye

Eğrisel harekette çok sık kullanılan tanımlardan biri de yörünge değişkenlerini içerir. Bunlar, hareketin her bir anı için ele alınan biri yörüngeye Eğisel haekee çok sık kullanılan anımladan bii de yöünge değişkenleini içei. Bunla, haekein he bi anı için ele alınan bii yöüngeye eğe, diğei ona dik iki koodina eksenidi. Eğisel haekein doğal bi anımıdıla

Detaylı

açılara bölünmüş kutupsal ızgara sisteminde gösteriniz. KOORDİNATLAR Düzlemde seçilen bir O başlangıç noktası ve bir yarı doğrudan oluşan sistemdir.

açılara bölünmüş kutupsal ızgara sisteminde gösteriniz. KOORDİNATLAR Düzlemde seçilen bir O başlangıç noktası ve bir yarı doğrudan oluşan sistemdir. KUTUPSAL KOORDİNATLAR (POLAR Düzlemde seçilen bi O başlangıç noktası ve bi yaı doğudan oluşan sistemdi. açılaa bölünmüş kutupsal ızgaa sisteminde gösteiniz. Not: Kolaylık olması açısından Katezyen Koodinat

Detaylı

FİZ102 FİZİK-II. Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Kimya Bölümü B-Grubu Bahar Yarıyılı Bölüm-III Ankara. A.

FİZ102 FİZİK-II. Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Kimya Bölümü B-Grubu Bahar Yarıyılı Bölüm-III Ankara. A. FİZ12 FİZİK-II Ankaa Ünivesitesi Fen Fakültesi Kimya Bölümü B-Gubu 214-215 Baha Yaıyılı Bölüm-III Ankaa A. Ozansoy Bölüm-III: Gauss Kanunu 1. lektik Akısı 2. Gauss Kanunu 3. Gauss Kanununun Uygulamalaı

Detaylı

SAYISAL ANALİZ. Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ. Sayısal Analiz. Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ

SAYISAL ANALİZ. Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ. Sayısal Analiz. Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ SAYSAL ANALİZ Doç.D. Cüneyt BAYLMŞ Doç.D. Cüneyt BAYLMŞ SAYSAL ANALİZ LİNEE DENKLEM SİSTEMİ ÇÖZÜMLEİ (Klasik Yöntemle) Doç.D. Cüneyt BAYLMŞ İÇEİK Doğusal Denklem Takımlaının Çözümü Came Yöntemi Matisin

Detaylı

11. SINIF SORU BANKASI. 1. ÜNİTE: KUVVET VE HAREKET 10. Konu BASİT MAKİNELER TEST ÇÖZÜMLERİ

11. SINIF SORU BANKASI. 1. ÜNİTE: KUVVET VE HAREKET 10. Konu BASİT MAKİNELER TEST ÇÖZÜMLERİ . SINI SRU BANASI. ÜNİE: UVVE VE HAREE 0. onu BASİ AİNEER ES ÇÖZÜERİ 0 Basit akinele est in Çözümlei.. I. II. II III. IV. Basit makinelede kuvvet yükten daha küçükse kuvvet kazancı vadı. uvvetin yükten

Detaylı

KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlein he hakkı saklıdı. Hangi amaçla olusa olsun, testlein tamamının veya

Detaylı

Gravite alanı belirlemede modern yaklaşımlar

Gravite alanı belirlemede modern yaklaşımlar Gravite alanı belirlemede modern yaklaşımlar Lisansüstü Ders Notları Aydın ÜSTÜN Selçuk Üniversitesi Harita Mühendisliği austun@selcuk.edu.tr Konya, 2016 A. Üstün (Selçuk Üniversitesi) Gravite alanı belirleme

Detaylı

SİSTEM SİMULASYONU KUYRUK SİSTEMİ VE BİLEŞENLERİ KUYRUK SİSTEMİ VE BİLEŞENLERİ

SİSTEM SİMULASYONU KUYRUK SİSTEMİ VE BİLEŞENLERİ KUYRUK SİSTEMİ VE BİLEŞENLERİ SİSTEM SİMULASYONU KUYRUK SİSTEMLERİ KUYRUK SİSTEMİ VE BİLEŞENLERİ Bi kuyuk sistemi; hizmet veen bi veya biden fazla sevise sahipti. Sisteme gelen müşteile tüm sevislei dolu bulusa, sevisin önündeki kuyuğa

Detaylı

Çembersel Hareket. Test 1 in Çözümleri

Çembersel Hareket. Test 1 in Çözümleri 7 Çebesel Haeket est in Çözülei. 3 3. düşey eksen yatay tabla yatay He üç cisi aynı ipe bağlı olduğundan peiyotlaı eşitti. Açısal hız bağıntısı; ~ di. Bağıntısındaki sabit bi değedi. Ayıca cisilein peiyotlaı

Detaylı

1. BÖLÜM 1. BÖLÜM BASİ BAS T İ MAKİ T MAK N İ ELER NELER

1. BÖLÜM 1. BÖLÜM BASİ BAS T İ MAKİ T MAK N İ ELER NELER BÖÜ BASİ AİNEER AIŞIRAAR ÇÖZÜER BASİ AİNEER yatay düzlem 0N 0N 0N 0N fiekil-i fiekil-ii yatay düzlem 06 5 06 7 08 He iki şe kil de de des te ğe gö e tok alı nı sa a) kuvvetinin büyüklüğü 04 + 08 80 + 60

Detaylı

TORK. τ = 2.6 4.sin30.2 + 2.cos60.4 = 12 4 + 4 = 12 N.m Çubuk ( ) yönde dönme hareketi yapar. τ K. τ = F 1. τ 1. τ 2. τ 3. τ 4. 1. 2.

TORK. τ = 2.6 4.sin30.2 + 2.cos60.4 = 12 4 + 4 = 12 N.m Çubuk ( ) yönde dönme hareketi yapar. τ K. τ = F 1. τ 1. τ 2. τ 3. τ 4. 1. 2. AIŞIRMAAR 8 BÖÜM R ÇÖZÜMER R cos N 4N 0 4sin0 N M 5d d N ve 4N luk kuv vet lein çu bu ğa dik bi le şen le i şekil de ki gi bi olu nok ta sı na gö e top lam tok; τ = 6 4sin0 + cos4 = 4 + 4 = Nm Çubuk yönde

Detaylı

5. Açısal momentum korunduğu için eşit zaman aralıklarında. 6. Uydular eşit periyotta dönüyor ise yörünge yarıçapları CEVAP: D.

5. Açısal momentum korunduğu için eşit zaman aralıklarında. 6. Uydular eşit periyotta dönüyor ise yörünge yarıçapları CEVAP: D. KOU 5 VSL ÇK SS Çözüle. S 5- ÇÖÜL 5. çısal oentu kounduğu için eşit zaan aalıklaında eşit açı taala. L v CVP: C liptik öüngede dönen udua etki eden çeki kuvveti h z vektöüne dik de ildi. Bundan dola çeki

Detaylı

BASIT MAKINALAR. Basit makinalarda yük P, dengeleyici kuvvet F ile gösterilir. Bu durumda ; Kuvvet Kazancı = olur

BASIT MAKINALAR. Basit makinalarda yük P, dengeleyici kuvvet F ile gösterilir. Bu durumda ; Kuvvet Kazancı = olur SIT MKINR Günlük yaşantımızda iş yapmamızı kolaylaştıan alet ve makineledi asit makinelele büyük bi yükü, küçük bi kuvvetle dengelemek ve kaldımak mümkündü asit makinalada yük, dengeleyici kuvvet ile gösteili

Detaylı

Basit Makineler. Test 1 in Çözümleri. 3. Verilen düzenekte yük 3 ipe bindiği için kuvvetten kazanç 3 tür. Bu nedenle yoldan kayıp da 3 olacaktır.

Basit Makineler. Test 1 in Çözümleri. 3. Verilen düzenekte yük 3 ipe bindiği için kuvvetten kazanç 3 tür. Bu nedenle yoldan kayıp da 3 olacaktır. 9 Basit Makinele BASİ MAİNEER est in Çözülei.. Veilen düzenekte yük ipe bindiği için kuvvetten kazanç tü. Bu nedenle yoldan kayıp da olacaktı. kasnak ükün 5x kada yükselesi için kasnağa bağlı ipin 5x.

Detaylı

11 SINIF MATEMATİK. Trigonometri Doğrunun Analitik İncelenmesi

11 SINIF MATEMATİK. Trigonometri Doğrunun Analitik İncelenmesi 11 SINIF MATEMATİK Tigonometi Doğunun Analitik İncelenmesi 1 YAYIN KOORDİNATÖRÜ Oğuz GÜMÜŞ EDİTÖR Hazal ÖZNAR - Uğucan AYDIN DİZGİ Muhammed KARATAŞ SAYFA TASARIM - KAPAK F. Özgü OFLAZ Eğe bi gün sözleim

Detaylı

YX = b X +b X +b X X. YX = b X +b X X +b X. katsayıları elde edilir. İlk olarak denklem1 ve denklem2 yi ele alalım ve b

YX = b X +b X +b X X. YX = b X +b X X +b X. katsayıları elde edilir. İlk olarak denklem1 ve denklem2 yi ele alalım ve b Kadelen Bisküvi şiketinin on şehideki eklam statejisi Radyo-TV ve Gazete eklamı olaak iki şekilde geçekleşmişti. Bu şehiledeki satış, Radyo-TV ve Gazete eklam veilei izleyen tabloda veilmişti. Şehi No

Detaylı

Fizik II Elektrik ve Manyetizma Manyetik Alan Kaynakları-2

Fizik II Elektrik ve Manyetizma Manyetik Alan Kaynakları-2 Des Hakkında Fizik-II Elektik ve Manyetizma Desinin Amacı u desin amacı, fen ve mühendislik öğencileine elektik ve manyetizmanın temel kanunlaını lisans düzeyinde öğetmekti. Desin İçeiği Hafta Konu 1.

Detaylı

Cevap C. 400 / 0 ( mod 8 ) A harfi. 500 / 4 ( mod 8 ) D harfi. Cevap C. 6. I. n tam sayı ise. n 2 = 4k 2 4k + 1 veya n 2 = 4k 2

Cevap C. 400 / 0 ( mod 8 ) A harfi. 500 / 4 ( mod 8 ) D harfi. Cevap C. 6. I. n tam sayı ise. n 2 = 4k 2 4k + 1 veya n 2 = 4k 2 MTMTİ NMSİ. 8 h + + h. ( a, b ) 0 h. + h h+ h h. + h + bulunu. 0... 7 sayısında asal çapanladan bie tane olduğundan pozitif bölen sayısı kada ( a, b ) sıalı ikilisi vadı. ( + ). ( + ). ( + ). ( + ) tane

Detaylı

Basit Makineler Çözümlü Sorular

Basit Makineler Çözümlü Sorular Basit Makinele Çözümlü Soula Önek 1: x Çubuk sabit makaa üzeinde x kada haeket ettiilise; makaa kaç tu döne? x = n. n = x/ olu. n = sabit makaanın dönme sayısı = sabit makaanın yaıçapı Önek : x Çubuk x

Detaylı

Harita Projeksiyonları

Harita Projeksiyonları Harita Projeksiyonları Bölüm Prof.Dr. İ. Öztuğ BİLDİRİCİ Amaç ve Kapsam Harita projeksiyonlarının amacı, yeryüzü için tanımlanmış bir referans yüzeyi üzerinde belli bir koordinat sistemine göre tanımlı

Detaylı

MATLAB GUI TABANLI ELEKTROMIKNATIS DEVRE TASARIMI VE ANALİZİ

MATLAB GUI TABANLI ELEKTROMIKNATIS DEVRE TASARIMI VE ANALİZİ PAMUKKALE ÜNİ VERSİ TESİ MÜHENDİ SLİ K FAKÜLTESİ PAMUKKALE UNIVERSITY ENGINEERING COLLEGE MÜHENDİ SLİ K B İ L İ MLERİ DERGİ S İ JOURNAL OF ENGINEERING SCIENCES YIL CİLT SAYI SAYFA : 005 : 11 : 1 : 13-19

Detaylı

TEST 1 ÇÖZÜMLER KÜTLE ÇEKİMİ VE KEPLER KANUNLARI

TEST 1 ÇÖZÜMLER KÜTLE ÇEKİMİ VE KEPLER KANUNLARI ES ÇÖZÜE ÜE ÇEİİ E EE ANUNAI O u uydu ezeenin kütlesi yaıçapı ise yüzeyindeki çeki ivesi a ( ) 4 ezeenin dışındaki çeki ivesi a ( ) ezeenin içindeki ve üzeindeki çeki ivesi a d eşitliğinden bulunu ve d

Detaylı

ELEKTRİK POTANSİYELİ

ELEKTRİK POTANSİYELİ 38 III.3. ELEKTRİK POTANSİYELİ III.3.0l., POTANSİYEL FARKI VE EŞPOTANSİYELLİ YÜZEYLER. Potansiyel eneji kavamı, yeçekimi ve yayın esneklik kuvveti gibi kounumlu kuvvetle inceleniken ele alınmıştı. Çeşitli

Detaylı

YENİ NESİL ASANSÖRLERİN ENERJİ VERİMLİLİĞİNİN DEĞERLENDİRİLMESİ

YENİ NESİL ASANSÖRLERİN ENERJİ VERİMLİLİĞİNİN DEĞERLENDİRİLMESİ YENİ NESİL ASANSÖRLERİN ENERJİ VERİMLİLİĞİNİN DEĞERLENDİRİLMESİ ÖZET Egün ALKAN Elk.Y.Müh. Buga Otis Asansö Sanayi ve Ticaet A.Ş. Tel:0212 323 44 11 Fax:0212 323 44 66 Balabandee Cad. No:3 34460 İstinye-İstanbul

Detaylı

AYT FİZİK. Ünite 1. Test. 1. Bir sayı ya da birimin yanında, yönüyle de ifade edilen büyüklüklere vektörel büyüklük denir. 3. d.

AYT FİZİK. Ünite 1. Test. 1. Bir sayı ya da birimin yanında, yönüyle de ifade edilen büyüklüklere vektörel büyüklük denir. 3. d. Test 0 Ünite VETÖRER AT İİ. Bi sayı ya a biimin yanına, yönüyle e ifae eilen büyüklüklee vektöel büyüklük eni... Buna göe; A B. oğultusu,. yönü,. şieti, V. başlangıç noktası vektöel büyüklük olabilmesi

Detaylı

Çembersel Hareket. Test 1 in Çözümleri

Çembersel Hareket. Test 1 in Çözümleri 5 Çebesel Haeket est in Çözülei.. düşey eksen tabla He üç cisi aynı ipe bağlı olduğundan peiyotlaı eşitti. Açısal hız bağıntısı; ~ di. Bağıntısındaki sabit bi değedi. Ayıca cisilein peiyotlaı eşitti. hâlde

Detaylı

Bölüm 11: Doğrusal Olmayan Optik Alıştırmalar

Bölüm 11: Doğrusal Olmayan Optik Alıştırmalar Bölüm : Dğusal Olmayan Optik Alıştımala. (a Şiddeti I (W/m laak veilen ışığın, dğusal kıılma indisi n lan madde tamı içinde elektik alanının (E laak veilebileceğini gösteiniz. 7, 4 I E = (b I=,5 W/cm laze

Detaylı

TMMOB ELEKTRİK MÜHENDİSLERİ ODASI ELEKTRİK TESİSLERİNDE TOPRAKLAMA ÖLÇÜMLERİ VE ÖLÇÜM SONUÇLARININ DEĞERLENDİRİLMESİ

TMMOB ELEKTRİK MÜHENDİSLERİ ODASI ELEKTRİK TESİSLERİNDE TOPRAKLAMA ÖLÇÜMLERİ VE ÖLÇÜM SONUÇLARININ DEĞERLENDİRİLMESİ TMMOB ELEKTİK MÜHENDİSLEİ ODASI ELEKTİK TESİSLEİNDE TOPAKLAMA ÖLÇÜMLEİ VE ÖLÇÜM SONUÇLAININ DEĞELENDİİLMESİ Not : Bu çalışma Elk.Y.Müh. Tane İİZ ve Elk.Elo.Müh. Ali Fuat AYDIN taafından Elektik Mühendislei

Detaylı

Tork ve Denge. Test 1 in Çözümleri P. 2 = F 1 = 2P 2P. 1 = F F F 2 = 2P 3P. 1 = F F 3. Kuvvetlerin büyüklük ilişkisi F 1 > F 3

Tork ve Denge. Test 1 in Çözümleri P. 2 = F 1 = 2P 2P. 1 = F F F 2 = 2P 3P. 1 = F F 3. Kuvvetlerin büyüklük ilişkisi F 1 > F 3 9 ok ve Denge est in Çözümlei. F. =. =. = F. F =. = F. F = uvvetlein büyüklük ilişkisi = F > F tü. Cevap D i. F Sistemlein engee olması için toplam momentin (tokun) sıfı olması geeki. Veilen üç şekil için

Detaylı

FİZİK BASİT MAKİNELER MAKARALAR

FİZİK BASİT MAKİNELER MAKARALAR İZİ AARAAR : BASİ AİEER Haeketli akaa : Sabit akaa : x h Önek : Şekildeki haeketli makaa sistemini dengede tutmak için; a) akaa ağılıksız ise =? h b) akaa ağılığı 0 ise =? x 60 c) akaa ağılısız ise yükü

Detaylı

Dönerek Öteleme Hareketi ve Açısal Momentum

Dönerek Öteleme Hareketi ve Açısal Momentum 6 Döneek Ötelee Haeketi e Açısal Moentu Test 'in Çözülei.. R L P N yatay M Çebe üzeindeki bi noktanın yee göe hızı, o noktanın ekeze göe çizgisel hızı ile çebein ötelee hızının ektöel toplaına eşitti.

Detaylı

MEKANİK TİTREŞİMLER. (Dynamics of Machinery, Farazdak Haideri, 2007)

MEKANİK TİTREŞİMLER. (Dynamics of Machinery, Farazdak Haideri, 2007) MEKANİK TİTREŞİMLER TİTREŞİM ÖLÇÜMÜ: Titeşim ölçümü oldukça kapsamlı bi koudu ve mekaik, elektik ve elektoik bilgisi içeiklidi. Titeşim ölçümleide titeşim geliği (ye değiştime-displacemet, hız-velocity

Detaylı

FİZK Ders 6. Gauss Kanunu. Dr. Ali ÖVGÜN. DAÜ Fizik Bölümü.

FİZK Ders 6. Gauss Kanunu. Dr. Ali ÖVGÜN. DAÜ Fizik Bölümü. FİZK 14- Des 6 Gauss Kanunu D. Ali ÖVGÜN DAÜ Fizik Bölümü Kaynakla: -Fizik. Cilt (SWAY) -Fiziğin Temellei.Kitap (HALLIDAY & SNIK) -Ünivesite Fiziği (Cilt ) (SAS ve ZMANSKY) http://fizk14.aovgun.com www.aovgun.com

Detaylı

TG Haziran 2013 KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI LİSANS ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK TESTİ ÇÖZÜM KİTAPÇIĞI

TG Haziran 2013 KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI LİSANS ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK TESTİ ÇÖZÜM KİTAPÇIĞI KAMU PERSNEL SEÇME SINAVI LİSANS ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ RTAÖĞRETİM MATEMATİK TESTİ ÇÖZÜM KİTAPÇIĞI T.C. KİMLİK NUMARASI : ADI : SYADI : TG 9 Hazian DİKKAT! ÇÖZÜMLERLE İLGİLİ AŞAĞIDA VERİLEN UYARILARI

Detaylı

BASAMAK TİPİ DEVRE YAPISI İLE ALÇAK GEÇİREN FİLTRE TASARIMI

BASAMAK TİPİ DEVRE YAPISI İLE ALÇAK GEÇİREN FİLTRE TASARIMI BASAMAK TİPİ DEVRE YAPISI İE AÇAK GEÇİREN FİTRE TASARIMI Adnan SAVUN 1 Tugut AAR Aif DOMA 3 1,,3 KOÜ Mühendislik Fakültesi, Elektonik ve abeleşme Müh. Bölümü 41100 Kocaeli 1 e-posta: adnansavun@hotmail.com

Detaylı

En Küçük Kareler Ve Toplam En Küçük Kareler Yöntemleri İle Deformasyon Analizi

En Küçük Kareler Ve Toplam En Küçük Kareler Yöntemleri İle Deformasyon Analizi En Küçük Kaele Ve oplam En Küçük Kaele Yöntemlei İle Defomasyon nalizi Mustafa CR,evfik YN, Ohan KYILMZ Özet u çalışmada, oplam En Küçük Kaele (EKK) yönteminin defomasyon analizinde uygulanması, elde edilen

Detaylı

TEST 1 ÇÖZÜMLER BASİT MAKİNELER

TEST 1 ÇÖZÜMLER BASİT MAKİNELER ES ÇÖÜER BASİ AİNEER. ( ) Sis tem den ge de ol du ğu na gö e, nok ta sı na gö e tok alı sak; ( ). 4 +.. +. 8 4 + 4 0 4 olu. CEVA A yi de ğiş ti me den eşit li ği sağ la mak için, a kü çül tül meli di.

Detaylı

KÜRESEL VE ELİPSOİDAL KOORDİNATLARIN KARŞİLAŞTİRİLMASİ

KÜRESEL VE ELİPSOİDAL KOORDİNATLARIN KARŞİLAŞTİRİLMASİ KÜRESEL VE ELİPSOİDAL KOORDİNATLARIN KARŞİLAŞTİRİLMASİ Doç. Dr. İsmail Hakkı GÜNEŞ İstanbul Teknik Üniversitesi ÖZET Küresel ve Elipsoidal koordinatların.karşılaştırılması amacı ile bir noktasında astronomik

Detaylı

Afyon Kocatepe Üniversitesi Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi. Gravite Değerlerinin Geri Yayılımlı Yapay Sinir Ağları ile Hesaplanması

Afyon Kocatepe Üniversitesi Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi. Gravite Değerlerinin Geri Yayılımlı Yapay Sinir Ağları ile Hesaplanması Afyon Kocatepe Ünivesitesi Fen ve Mühendislik Bilimlei Degisi Afyon Kocatepe Univesity Jounal of Science and Engineeing AKÜ FEMÜBİD 6 (06) 035503 (660-664) AKU J. Sci. Eng. 6 (06) 035503 (660-664) DOI:

Detaylı

İKİ BOYUTLU DİREKT DİNAMİK PROBLEMİN ANALİTİK ÇÖZÜM YAKLAŞIMLARI

İKİ BOYUTLU DİREKT DİNAMİK PROBLEMİN ANALİTİK ÇÖZÜM YAKLAŞIMLARI Uludağ Ünivesitesi Mühendislik-Mimalık akültesi Degisi, Cilt 17, Sayı, 1 ARAŞTIRMA İKİ BOYUTLU DİREKT DİNAMİK PROBLEMİN ANALİTİK ÇÖZÜM YAKLAŞIMLARI Gökhan SEVİLGEN Özet: Bu çalışmada, m kütleli paçacığın

Detaylı

4. 89 / 5 ( mod p ) 84 / 0 ( mod p ) 60 / 4 ( mod p ) 56 / 0 ( mod p ) Cevap E. Cevap C. 6. x 0 f ( 0 ) = 1, f ( 1 ) = 2,...

4. 89 / 5 ( mod p ) 84 / 0 ( mod p ) 60 / 4 ( mod p ) 56 / 0 ( mod p ) Cevap E. Cevap C. 6. x 0 f ( 0 ) = 1, f ( 1 ) = 2,... eneme - / YT / MT MTMTİK NMSİ Çözümle. O ( b, c ) d ise b dm, c dk O ( a, b ) d ise b dm, a dn I. d tek saı iken a çift ise m ve n nin otak böleni olu. O ( a, b ) d olmaz. d tek ise a tek saıdı. ( oğu

Detaylı

Işığın Tanecikli Modeli Atom Fiziği Radyoaktivite Atom Altı Parçacıklar Büyük Patlama ve Evrenin Oluşumu...

Işığın Tanecikli Modeli Atom Fiziği Radyoaktivite Atom Altı Parçacıklar Büyük Patlama ve Evrenin Oluşumu... İÇİNDEİER izik Bilimine Giiş... Vektöle... uvvet Denge... 5 Tok... 7 Ağılık ekezi... Basit akinele... 5 Doğusal Haeket... 9 Dinamik... 5 İş Güç Eneji... eyüzünde Haeket... 7 Düzgün Çembesel Haeket... Basit

Detaylı

4. f ( x ) = x m x + m. Cevap C. m açılımındaki bir terim, x. 5. cx 3 + Cevap D. 6. x 2 + ( a + 4 ) x + 3a + 3 ifadesinin tam kare olması için

4. f ( x ) = x m x + m. Cevap C. m açılımındaki bir terim, x. 5. cx 3 + Cevap D. 6. x 2 + ( a + 4 ) x + 3a + 3 ifadesinin tam kare olması için Deneme - / YT / MT MTMTİ DNMSİ Çözümle. < n < 0. f ( ) m + m p ve q asal saıla olmak üzee, n p. q vea p şeklinde olmalıdı. n {.,.,. 7,.,.,. 7,. 9,.,. 9,.,. 7,.,.,. 7,. 9,. 7,.,, } 9 tane bulunu.. { 7,,,

Detaylı

TG 8 ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK

TG 8 ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN İLGİSİ TESTİ İLKÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG ÖAT İLKÖĞRETİM MATEMATİK u testlein he hakkı saklıdı. Hangi amaçla olusa olsun, testlein tamamının veya bi

Detaylı

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ KONGRÜANSLARIN DİFERENSİYEL GEOMETRİSİ. Ufuk ÖZTÜRK MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 2011

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ KONGRÜANSLARIN DİFERENSİYEL GEOMETRİSİ. Ufuk ÖZTÜRK MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 2011 ANKARA ÜNİVERSİTESİ EN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ KONGRÜANSLARIN DİERENSİYEL GEOMETRİSİ Ufuk ÖZTÜRK MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 0 He hakkı saklıdı ÖZET Doktoa Tezi KONGRÜANSLARIN DİERENSİYEL GEOMETRİSİ

Detaylı

LYS 1 / GEOMETRİ DENEME ÇÖZÜMLERİ

LYS 1 / GEOMETRİ DENEME ÇÖZÜMLERİ LYS / GMİ NM ÇÖZÜMLİ eneme -. 0 ' 0 ile l eş üçgenle olduğundan; = 0 cm l = 0 cm ve = desek l = olu. l de pisago ise l = cm. 0 @ nin ota noktasını olaak işaetlielim. u duumda, = cm ( de ota taan) = cm

Detaylı

SAE 10, 20, 30 ve 40 d = 200 mm l = 100 mm W = 32 kn N = 900 d/dk c = mm T = 70 C = 2. SAE 10 için

SAE 10, 20, 30 ve 40 d = 200 mm l = 100 mm W = 32 kn N = 900 d/dk c = mm T = 70 C = 2. SAE 10 için ÖRNEK mm çapında, mm uzunluğundaki bi kaymalı yatakta, muylu 9 d/dk hızla dönmekte ve kn bi adyal yükle zolanmaktadı. Radyal boşluğu. mm alaak SAE,, ve yağlaı için güç kayıplaını hesaplayınız. Çalışma

Detaylı

BÖLÜM 2 VİSKOZ OLMAYAN SIKIŞTIRILAMAZ AKIMIN ESASLARI

BÖLÜM 2 VİSKOZ OLMAYAN SIKIŞTIRILAMAZ AKIMIN ESASLARI ÖLÜM İSKOZ OLMAYAN SIKIŞTIRILAMAZ AKIMIN ESASLARI. Açısal hı, otisite e Sikülasyon. otisitenin eğişme Hıı.3 Sikülasyonun eğişme Hıı Kelin Teoemi.4 İotasyonel Akım Hı Potansiyeli.5 ida Üeindeki e Sonsudaki

Detaylı

Jeodezi

Jeodezi 1 Jeodezi 5 2 Jeodezik Eğri Elipsoid Üstünde Düşey Kesitler Elipsoid yüzünde P 1 noktasındaki normalle P 2 noktasından geçen düşey düzlem, P 2 deki yüzey normalini içermez ve aynı şekilde P 2 de yüzey

Detaylı

Ekon 321 Ders Notları 2 Refah Ekonomisi

Ekon 321 Ders Notları 2 Refah Ekonomisi Ekon 321 Des Notlaı 2 Refah Ekonoisi Refah Ekonoisinin Biinci Teel Teoei: İdeal işleyen bi sebest piyasa ekanizası kaynaklaın en etkin (optiu) bi şekilde dağılasını sağla. Topla net fayda (Topla Fayda-

Detaylı

DÝFERANSÝYEL DENKLEMLER ( Genel Tekrar Testi-1) KPSS MATEMATÝK

DÝFERANSÝYEL DENKLEMLER ( Genel Tekrar Testi-1) KPSS MATEMATÝK DÝFERANSÝYEL DENKLEMLER ( Genel Teka Testi-). Aşağıdaki difeansiel denklemlein hangisinin mete - besi (basamağı, sıası) tü?. Aşağıdaki difeansiel denklemlein hangisinin mete - besi (basamağı, sıası) ve

Detaylı

ÜNİTE: KUVVET VE HAREKETİN BULUŞMASI - ENERJİ KONU: Evrende Her Şey Hareketlidir

ÜNİTE: KUVVET VE HAREKETİN BULUŞMASI - ENERJİ KONU: Evrende Her Şey Hareketlidir ÜNTE: UET E HAREETN BUUŞMASI - ENERJ NU: Evende He Şey Haeketlidi ÖRNE SRUAR E ÇÖZÜMER. x M +x Bi adam önce noktasından noktasına daha sona ise noktasından M (m) 3 3 (m) noktasına geldiğine göe adamın

Detaylı

Gözlemlerin Referans Elipsoid Yüzüne İndirgenmesi

Gözlemlerin Referans Elipsoid Yüzüne İndirgenmesi JEODEZİ 6 1 Gözlemlerin Referans Elipsoid Yüzüne İndirgenmesi Jeodezik gözlemler, hesaplamalarda kullanılmadan önce, referans elipsoidin yüzeyine indirgenir. Bu işlem, arazide yapılan gözlemler l jeoidin

Detaylı

ELEKTRONİĞİN FİZİKSEL ESASLARI

ELEKTRONİĞİN FİZİKSEL ESASLARI ELEKTRONİĞİN FİZİKSEL ESASLARI Bi elektonik elemanın özelliğini, bu elemanın üetiminde kullanılan malzemenin paametelei ve ısı, geilim ışık gibi dış etkenleden dolayı elemanın içinde geçekleşen fiziksel

Detaylı