ARAŞTIRMA MAKALESİ / RESEARCH ARTICLE

Transkript

1 Aadolu Üverstes Blm ve Tekolo Dergs A-Uygulamalı Blmler ve Mühedslk Aadolu Uversty Joural of Scece ad Techology A- Appled Sceces ad Egeerg Clt: 15 Sayı: Sayfa: ARAŞTIRMA MAKALESİ / RESEARCH ARTICLE Haluk YAICIOĞLU 1 ZAMAN KISITLARI ALTINDA ÇOK ERİYODLU ÇOKLU GEZGİN SATICI ROBLEMİ ÖZ Gezg satıcı problem pek çok farklı gerçek hayat problem modellemekte kullaılable klask br optmzasyo modeldr. Bu çalışmada gezg satıcı problem geelleştrlmş hal ola çoklu gezg satıcı problem zama kısıtları altıda 0-1 tamsayılı olarak modellemştr. Bu modelde lteratürde farklı olarak gezg satıcı sayısı değşke olarak alımıştır. Lteratüre getrle br başka öeml yelk de şehrler brde fazla peryodda zyaret edleblecek olmasıdır. Bu özellk zama kısıtları göz öüde buludurulduğuda daha da öem kazamaktadır. Öerle model mevcut hal le Aadolu Üverstes Açıköğretm İktsat ve İşletme Fakülteler tarafıda yurt çapıda düzelee ara sıav fal sıavı ve bütüleme sıavlarıda ller bazıda görevledrlecek ola üverste temslc sayısıı e küçük değer belrlemese yöelk problem çözümüde kullaılablmektedr. Gelştrle model farklı büyüklüktek örek problemler ele alıarak farklı searyolar ç tamsayılı programlama yaklaşımı le çözdürülmüş ve souçlar yorumlamıştır. Elde edle souçlar ışığıda gelştrle model performası tartışılmıştır. Aahtar Kelmeler: Çoklu gezg satıcı problem Zama kısıtları Tamsayılı programlama. MULTIERIOD MULTI TRAVELING SALESMEN ROBLEM UNDER TIME WINDOW CONSTRAINTS ABSTRACT Travelg salesma problem s a classcal optmzato model that ca be used to model varous real lfe problems. I ths study multple travelg salesma problem whch s a geeralzed verso of the travelg salesma problem s modeled as a 0 1 teger programmg approach uder tme wdow costrats. Dfferet from the models estg the lterature the umber of salesme s treated as a decso varable. Aother ew feature of the model s the addto of multple perods whch s especally mportat the presece of tme wdow costrats. roposed model ca be used to determe the mmum requred umber of uversty represetatves that are assged to ctes throughout Turkey durg the mdterm fal ad make-up eams of the facultes of Dstace Educato Ecoomcs ad Busess Admstrato. Developed model s tested wth varous eample problems wth dfferg umber of ctes ad dfferet scearos usg teger programmg approach. Based o the results obtaed the performace of the model s dscussed. Keywords: Multple travellg salesme problem Tme wdows Iteger programmg. 1 Aadolu Üverstes Mühedslk Fakültes Edüstr Mühedslğ Bölümü İk Eylül Kampüsü Eskşehr. E-posta: hyapco@aadolu.edu.tr Gelş:11 Eylül 2014 Düzeltme: 10 Ekm 2014 Kabul: 10 Kasım 2014

2 H. Yapıcıoğlu / Aadolu Üv. Blm ve Tek. Der. - A - Uyg. Bl. ve Müh. 15 (2) GİRİŞ Aadolu Üverstes başta Açıköğretm Fakültes İktsat Fakültes ve İşletme Fakültes olmak üzere uzakta eğtm tekkler çere eğtm olaakları sua br üverstedr. Öğrecler başarılarıı değerledrmek üzere her öğretm yılıda e az dört defa yurt çapıda sıav orgazasyoları düzelemektedr. Uzakta eğtme ssteme dâhl ola yaklaşık 15 mlyo öğrec göz öüe alıdığıda bu orgazasyou öem daha y alaşılmaktadır. Her sıav döemde üverste ked mkâları le sıav sorularıı çere ktapçıkları ve öğrecler ç özel olarak hazırlamış cevap kâğıtlarıı bastırır bu materyaller tüm Türkye ye dağıtır sıavlar yapıldıkta sora sıav materyaller Eskşehr dek merkez kampüsüe getrp değerledrr ve sıav souçlarıı öğreclere duyurur. Her br lde sıav orgazasyouu gerçekleştrlmes Aadolu Üverstes tarafıda belrlee l koordatörüü sorumluluğudadır. İl koordatörler ked llerde sıavı gerçekleştrleceğ baları (lgl ldek devlet üversteler ve Mll Eğtm Bakalığı a bağlı okullar) bulmak her br ba ç sıavı kusursuz br şeklde gerçekleştrlmes sağlamak amacıyla görevledrlecek sıav görevller orgaze etmek ve sorumlu olduğu şehre göderle sıav materyaller güvelkl ölemler altıda dağıtılmasıda ve saklamasıda sorumludur. İl koordatörlere ek olarak açıköğretm sıavı yapıla her şehre Aadolu Üverstes ked öğretm elemalarıda seçtğ üverste temslcler de gödermektedr. Üverste temslcler görevledrldkler lde sıavı Aadolu Üverstes tarafıda belrlee kural ve düzelemelere uygu yapılıp yapılmadığıı gözlemlemekte sorumludur. Böylelkle üverste temslcler açıköğretm sıavlarıı ülke çapıda ayı stadartlarda uygulamasıı sağlamaktadır. Br sıav orgazasyou ç her şehre kaç üverste temslcs göderleceğ lgl şehrde kaç sıav merkez olduğua bağlı olarak belrlemektedr. Üverste temslcler görevledrldkler le vardıklarıda l koordatörü le brlkte hag sıav merkez hag üverste temslcs tarafıda zyaret edleceğe karar vermektedrler. Bu karar alıırke temel ölçütlerde br taes her sıav merkez e az br kere zyaret edlmes br dğer se sıav merkezler coğraf koumudur. İl koordatörüü sıav 114 merkezler coğraf koumu hakkıda blg sahb olduğu küçük şehrlerde bu yaklaşım geelde y souçlar vermektedr. Acak büyük şehrler ç bu yaklaşım geçerl olmamaktadır. Akara İstabul ve İzmr gb yüzlerce sıav merkez olduğu büyük şehrlerde bazı sıav merkezler hçbr üverste temslcs tarafıda zyaret edlmemes rsk ortaya çıkmaktadır. Bu rsk ortaya çıkara üç temel faktör vardır. Bularda brcs cumartes ve pazar güler sabah ve öğlede sora olmak üzere toplam dört oturumu tamamı tüm sıav merkezlerde gerçekleşmeyeblr. Öğrecler sıav merkezlere dağılımıa bağlı olarak br sıav merkezde dörtte az oturum olması durumuda lgl sıav merkez sıav yapıla oturumlarda brde zyaret edlmes gerekr. İkc faktör se sıav merkezde her br oturumda sıav süres uzuluğu le lgldr. Herhag br oturumda br sıav merkezdek sıav süres öğrecler kaç derste sıava grdğe bağlı olarak ya da 150 dakka olablr. So olarak sıav merkezler brbre ola mesafes ve bu mesafe kat edlmes ç gerekl süre de br sıav merkezdek gözlemler tamamlaya üverste temslcs br sorak sıav merkeze gderke göz öüde buluduracağı faktörler arasıdadır. Üverste temslcs sıav merkezler hag sıra le zyaret edeceğ belrlerke tüm bu faktörler göz öüde buludurmalıdır. Üverste temslcler sıav merkezler zyaretler sırasıda ortaya çıkablecek tüm bu eksklkler ve rskler göz öüe alıdığıda her br lde hag sıav merkez hag oturumda ve hag sıra le zyaret edlmes gerektğ problem sıav orgazasyouu sorusuz br şeklde yürütülmes açısıda öem kazamaktadır. Edüstr mühedslğ yaklaşımları kullaılarak bu probleme getrlecek br çözüm yalızca tüm sıav merkezler eksksz br şeklde zyaret edlmes sağlamakla kalmayacak ayı zamada her br le o l htyacı kadar üverste temslcs göderlmes de sağlayacaktır. Bu amaca yöelk olarak bu çalışmada öcelkle problem le lgl lteratür celemş var ola modellerde yola çıkılarak ye br model gelştrlmştr. Çalışmada öerle bu model lteratürde pek çok farklı çalışmaı temel oluştura gezg satıcı problem ve ou br uzatısı ola çoklu gezg satıcı problem temel alıarak gelştrlmştr. Gelştrle model brde fazla gezg satıcı kullaılmasıı yaı sıra hem brde fazla peryodu hem de zyaret edlmes

3 H. Yapıcıoğlu / Aadolu Üv. Blm ve Tek. Der. - A - Uyg. Bl. ve Müh. 15 (2) gereke oktalarla lgl olarak zama kısıtlarıı da göz öüde buludurduğuda zama kısıtları altıda çok peryodlu çoklu gezg satıcı problem olarak adladırılmıştır. Lteratürde geel kabul görmüş taımlamalarla uyum sağlamak açısıda bu çalışma kapsamıda üverste temslcler gezg satıcı sıav merkezler de şehrler olarak aılacaktır. Çalışmaı kc bölümüde gezg satıcı problem modeller aa hatları le açıklamış ve lteratürde yer ala br çoklu gezg satıcı problem modele yer verlmştr. Üçücü bölümde bu çalışmada gelştrle 0 1 tamsayılı model ayrıtıları le açıklamıştır. Dördücü bölümde gelştrle model farklı büyüklüktek örek problemler kullaılarak çözdürülmes le elde edle souçlar raporlamış ve yorumlamıştır. Beşc ve so bölümde se elde edle souçlar ışığıda lerye yöelk e tür çalışmalar yapılableceğ tartışılmıştır. 2. GEZGİN SATICI ROBLEMİNE GENEL BAKIŞ Bu bölümde çalışmada öerle model gelştrlmesde temel alıa gezg satıcı problem ve çoklu gezg satıcı probleme geel br grş yapılmıştır. Kouu lteratürdek farklı blm saları tarafıda çalışılmış pek çok farklı versyou bulumakla brlkte bu bölümde verle blgler öerle model gelştrlmese yöelk lteratürle sıırlı tutulmuştur Gezg Satıcı roblem (GS) Gezg satıcı problemde (GS) amaç br satıcıı buluduğu şehrde başlayıp her şehre br kez uğradıkta sora başladığı şehre ger döe e kısa turu bulmaktır (Süral 2003). E bast hal le gezg satıcı problem 0 1 tamsayılı model aşağıda verlmştr: z 0 0 ek c (1) (2) (3) u u 1 1 (4) 0 1 ; 0 ; u ; Bu modelde amaç foksyouda yer ala c. şehrde. şehre gtme malyet olarak taımlaır. Bu malyet se k şehr arasıdak mesafe olarak taımlaableceğ gb şehrler arasıdak seyahat süres ya da şehrler arasıdak seyahat malyet de olablr. Modelde 0 1 tamsayılı karar değşke olup br çözümde. şehr. şehrde heme sora zyaret edlyorsa 1 dğer durumlarda 0 değer alır. Eştlk (2) le verle kısıtlar br şehre yalızca br başka şehrde gelebleceğ Eştlk (3) le verle kısıtlar br şehrde sadece br başka şehre gdlebleceğ düzeler. Eştlk (4) le verle kısıtlar se tamsayılı u değşkeler le alt tur eleme kısıtları olarak adladırılır ve tüm şehrler brbre bağlaya tek br tur oluşturulmasıı sağlar. Gezg satıcı problem lk olarak 1930 da Meger (Meger 1930) tarafıda ortaya atılmıştır. roblem yöeylem araştırmacılarıı dkkat lk olarak 1940 larda çekmş Robso (Robso 1949) tarafıda öerle ve türüü lk öreğ sayılablecek 54 şehrl turu e y çözümü Datzg ve arkadaşları tarafıda 1954 yılıda bulumuştur (Datzg ve ark 1954). İlerleye yıllarda da gezg satıcı problem araştırmacıları lgs çekmeye devam etmştr. E bast hal le ble gezg satıcı problem N zor br problem olduğu lk kez 1972 yılıda Karp tarafıda kaıtlamıştır (Karp 1972). Güümüzde e y çözümü ble e büyük problem se 2006 yılıda çözüle şehrlk problemdr. Bu problem ç e y çözüme gezg satıcı problem ç özel olarak gelştrlmş Cocorde TS Solver ( e.html) kullaılarak ulaşılmıştır Çoklu Gezg Satıcı roblem (ÇGS) Çoklu gezg satıcı problem gezg satıcı problem geelleştrlmş hal olarak taımlaır. ÇGS de amaç ayı depoda hareket ede ve ayı depoya döe m adet satıcı le adet şehr her br satıcılarda sadece brs tarafıda zyaret edldğ toplam uzuluğu e kısa ola turu bulmaktır. Bu problem lk defa Tucker ve arkadaşları (Tucker ve ark 1960) tarafıda öerlmş ardıda Svestka ve Huckfeldt (1973) Gavsh (1976) Laporte ve Nobert (1980) Kulkar ve Bhave (1985) Gavsh ve Srkath (1986) tarafıda da çalışılmıştır. Kara ve Bektaş (2006) bu problem ç aşağıda verle model öermşlerdr:

4 H. Yapıcıoğlu / Aadolu Üv. Blm ve Tek. Der. - A - Uyg. Bl. ve Müh. 15 (2) ek z 1 1 c (5) 1 m 2 (6) 1 m 2 (7) (8) (9) u L L 1 2 u K u u L L 2 L for 1 ;. (10) (11) (12) (13) Eştlkler (5) (12) le verle modelde kullaıla parametre ve değşkeler taımları şöyledr: c :. şehrde. şehre gtme malyet = N : zyaret edlmes gereke toplam şehr sayısı = N K L: br gezg satıcıı br peryodda zyaret edebleceğ e küçük ve e büyük şehr sayısı m: Çözümde kullaıla gezg satıcı sayısı : 0 1 karar değşke = N ;. şehr. şehrde heme sora zyaret edlyorsa 1 dğer durumlarda 0 değer alır. u k: alt tur eleme kısıtlarıda kullaıla tamsayılı yardımcı değşkeler = N k = ;. 116 Bu modelde gezg satıcı sayısı brde fazla olduğu ç alt tur eleme kısıtları her br gezg satıcı ç ayrı ayrı taımlamalıdır. Eştlkler (10) (11) ve (13) de yer ala değerler karar verc tarafıda belrlee parametreler K ve L her br gezg satıcı tarafıda zyaret edlecek e küçük ve e büyük sayıda şehr belrlemektedr. Her br gezg satıcı tarafıda zyaret edlecek ola şehr sayılarıa getrle kısıtlamalar le Kara ve Bektaş ı öerdğ model kedlerde öcek çoklu gezg satıcı modellerde ayrılmaktadır. Bu yelk özellkle farklı gezg satıcılar arasıdak ş yükü dağılımıı degelemes açısıda özel br öem taşımaktadır. Ye bu kısıtlarda yer ala tamsayılı yardımcı değşkeler u vasıtasıyla Kara ve Bektaş model alt tur oluşumuu egellemektedr. Başka br fade le Kara ve Bektaş modeldek (10) (11) (12) ve (13). kısıtlar GS modelde verle (4). kısıtı ÇGS ye uyarlamasıdır. Kara ve Bektaş ı model çoklu gezg satıcı problem ç gelştrlmştr. Bu model hem problem brde fazla peryodu olduğu durumlarda hem de zyaret edlmes gereke şehrler zyaret edleceğ saatlere dar kısıtları olduğu durumlarda yetersz kalmaktadır. Bu çalışmada öerle model her k eksklğe de cevap vereblr telktedr. Gelştrle model zleye bölümde ayrıtıları le açıklamıştır. Kara ve Bektaş (Kara ve Bektaş 2006) öerdkler model ç ve 70 şehr çere örekler kullaarak model aıla büyüklüktek problemler e y çözümlere matemetksel programlama yötem le kabul edleblr zamalarda ulaşılabldğ belrtmşlerdr. Carter ve Ragsdale (2006) Vekatesh ve Sgh (2015) ve Yua ve ark. (2013) se problem çözümüe lşk geetk algortma ve yapay arı kolos metasezgsel yötemlerde faydalaa çözüm yaklaşımları öermşlerdr. 3. ZAMAN KISITLARI ALTINDA ÇOK ERİYODLU ÇOKLU GEZGİN SATICI ROBLEMİ Lteratürde var ola ÇGS modellerde e brde fazla plalama peryoduu olduğu e de gezg satıcı sayısıı değşke olarak kabul edldğ br modele rastlamamıştır. Br öcek bölümde de fade edldğ gb Kara ve Bektaş (2006) tarafıda öerle model hem brde fazla plalama peryoduu olduğu durumlarda yetersz kalmaktadır hem de zama kısıtlarıı çermemektedr. Bu eksklklere ek olarak Kara ve Bektaş (2006) model gezg satıcı sayısıı

5 H. Yapıcıoğlu / Aadolu Üv. Blm ve Tek. Der. - A - Uyg. Bl. ve Müh. 15 (2) sabt kabul etmektedr. Hâlbuk uygu br formülasyola kullaılacak ola gezg satıcı sayısı br karar değşke ya da amaç foksyou olarak da taımlaablr. Özellkle gezg satıcı sayısıı toplam seyahat mesafesde daha öeml olduğu durumlarda bu eseklk öeml avatalar sağlayacaktır. Bu durumlara örek olarak gezg satıcı başıa yapıla sabt ödeme kat edle mesafeye bağlı olarak ödee değşke malyete göre çok yüksek olduğu durumlar gösterleblr. Buu yaıda her e kadar şehrlere yapılacak ola seyahatler brde fazla peryodu kapsayacak şeklde düzeleecek olsa da; karar verc verle sayıda gezg satıcı le zyaret edlmes gereke şehrler e az kaç peryodda zyaret edleceğ le de lgleeblr. Böylelkle gezg satıcıları faalyette olmadıkları peryodlar karar verc tarafıda başka amaçlarla kullaılablr. Model gelştrlrke tüm bu gereksmler göz öüde buludurulmuştur. Modelde kullaıla parametreler taımları aşağıda verlmştr: w 1 w 2 w 3 Amaç foksyouda kullaıla ağırlık değerler. c :. şehr le. şehr arasıdak mesafe = N m m m ma: gezg satıcı sayısıı alableceğ değerler ç alt ve üst sıır değerler N: zyaret edlmes gereke toplam şehr sayısı = N : peryod sayısı k = K L: br gezg satıcıı br peryodda zyaret edebleceğ e küçük ve e büyük şehr sayısı. T k: k. peryodda. şehre varış zamaı t :. şehrde. şehre seyahat süres = N t :. şehrde şlem süres = N b k: k. peryodda. şehr zyaret edlebleceğ e geç zama = N k = Modelde kullaıla karar değşkeler se: m: Çözümde kullaıla gezg satıcı sayısı. k: 0 1 karar değşke = N k = ;. şehr k. peryodda. şehrde heme sora zyaret edlyorsa 1 dğer durumlarda 0 değer alır. yk: 0 1 karar değşke = N k = ;. şehr k. peryodda zyaret edlyorsa 1 dğer durumlarda 0 değer alır. z k: 0 1 karar değşke k = ; k. peryodda zyaret edle şehr varsa 1 dğer durumlarda 0 değer alır. u k: alt tur eleme kısıtlarıda kullaıla tamsayılı yardımcı değşkeler = N k = ;. Bu blgler ışığıda gelştrle model aşağıda verlmştr: ek z w 1 m 2 2 m c 1 1 k1 m m ma k 1 k m k 1 1 k1 m k 1 1k 1 k1 N l2 u u k k N w2m w k1 lk k 0 2 k 1 L L 1 2 k 1 k 2 1k 1k z k (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) (21) K 2 2 k 1 (22) k 1k 2 1k 1 2 k 1 (23) 1k 1k L 2 L 1 2 k 1 Ρ uk u k Lk k T t t T M (24) k 1 k k k T b 2 k 1 k k (25) (26) 117

6 H. Yapıcıoğlu / Aadolu Üv. Blm ve Tek. Der. - A - Uyg. Bl. ve Müh. 15 (2) N k yk 0 2 k 1 2 (27) y N k k 0 2 k 1 2 (28) yk Mzk 0 k 1 1 (29) k y k z k ; k k 1 ; k k k 1. T k 0 2 k 1 Modelde öerle amaç foksyou üç kısımda oluşmaktadır. Eştlk (14) de; w k1 c k le fade edle brc kısım tüm gezg satıcılar tarafıda kat edle toplam mesafe e w 2 m küçüklemes taımlar. le fade edle kc kısım toplam kullaıla gezg satıcı sayısıı e küçüklemes hedefler. So term w 3 z k k1 se toplam peryod sayısıı e küçüklemes amaçlar. Ağırlıklar w 1 w 2 ve w 3 değerler karar verc terchler doğrultusuda belrleeblr. Eğer karar verc ç toplam kat edlecek mesafe e öeml ölçüt se w 1 = 1 w 2 = 0 ve w 3 = 0 kullaılması uygu olacaktır. Öte yada eğer karar verc ç e öeml ölçüt kat edle mesafede bağımsız olarak kullaılacak gezg satıcı sayısıı e küçüklemes se w 1 = 0 w 2 = 1 ve w 3 = 0 kullaılması uygu olacaktır. Modelde eştlk (15) le fade edle kısıt br uygu çözümde yer alablecek e küçük ve e büyük gezg satıcı sayısıı belrtr. Kısıtlar (16) ve (17) her br peryodda lgl çözümde kullaıla gezg satıcı sayısıı her peryodda karar değşke m aşmamasıı sağlar. Acak herhag br peryodda kullaıla gezg satıcı sayısı m de küçük olablr. Eştlk (18) le verle kısıtlar br şehre yalızca br başka 118 şehrde gelebleceğ Eştlk (19) le verle kısıtlar br şehrde sadece br başka şehre gdlebleceğ düzeler. Eştlk (20) verle br peryodda gezg satıcıı zyaret ettğ br şehrde ayı peryodda ayrılmasıı da düzeler. Kısıtlar (21) (22) (23) (24) Kara ve Bektaş ı (Kara ve Bektaş 2006) modelde çok peryodlu duruma göre yede düzeleerek oluşturulmuş alt tur eleme kısıtlarıdır. Bu kısıtlarda K ve L parametreler ye belrl br peryodda br gezg satıcı tarafıda zyaret edlmes stee e küçük ve e büyük şehr değerler belrtmek ç kullaılmıştır. Kısıtlar (25) ve (26) şehrler zama kısıtlarıa uygu br şeklde zyaret edlmes düzeler. Kısıt (25) te t. şehrde. şehre seyahat süres t se gezg satıcı. şehrde ke geçe zamaı belrleye parametrelerdr. T k. şehre varış zamaı olup kısıt (26). şehr zyaret edldğ peryoddak zama kısıtıı sağlamasıı düzeler. Kısıt (26) de b k parametres. şehr k. peryodda zyaret edlebleceğ e geç zamaı belrtr. So olarak kısıtlar (27) (28) ve (29) brlkte br peryodu verle br çözümde kullaılıp kullaılmadığıı deetler. Kısıt (27) ve (28) de 0 1 tamsayılı değşke y k. şehr k. peryodda zyaret edldğ durumlarda 1 değer alır. Bu durumda kısıt (29) de yer ala 0 1 tamsayılı değşke z k da 1 değer alarak lgl peryodu verle çözümde kullaıldığıı gösterr. Model geele bakıldığıda açıköğretm sıav sstemde görev ala üverste temslcler tüm şehrler zyaret edeblmes sağlayacak özellklere sahp olduğu gb karar verc amaç foksyou dışıdak br takım steklere cevap verebleceğ görüleblr. Öreğ karar verc sıav yapıla her le göderlecek e az sayıdak üverste temslcs le lgl poltkalarıı sadece m m parametres kullaarak uygulayablr. Herhag br sıav merkezde belrl br peryodda sıav oturumu yapılmayacaksa lgl peryoddak zama kısıtıı (b k = 0) olarak düzelemes yeterldr. Zama ve mesafe kısıtlarıa ek olarak eğer br peryodda herhag br üverste temslcs zyaret edeceğ sıav merkez sayısı ç belrlemş br üst sıır değer varsa bu değer kısıt (24) te yer ala L parametres le modelde taımlaablr.

7 H. Yapıcıoğlu / Aadolu Üv. Blm ve Tek. Der. - A - Uyg. Bl. ve Müh. 15 (2) SAYISAL SONUÇLAR Bu bölümde gelştrle model farklı büyüklüktek problemler ve farklı kısıtlar altıda çözdürülmes soucu elde edle souçlar raporlamıştır. Öerle model lteratürde bldğ kadarı le br lk olduğuda lteratürde örek problem kullaılamamış bu edele örek problemler öerle modele uygu olarak türetlmştr. Ye ayı sebebe bağlı olarak lteratürde öcek çalışmalarla karşılaştırma mkâı da bulumamaktadır. Örek problemler şehr sayısı = ve 100 kullaılarak oluşturulmuştur. Şehrler ( y) koordatlarıdak pozsyoları (0 50) aralığıda rassal olarak belrlemş şehrler arasıdak mesafe (c ) Ökld uzaklığı yötem le hesaplamış şehrler arasıdak seyahat süres de (t ) mesafe le oratılı olacak şeklde belrlemştr. Şehrlerde harcaa süreler (t ) brbre eşt ve sabt kabul edlmştr. Şehr sayısıdak değşklklere ek olarak modelde yer ala m m ve m ma değerler ve problemdek peryod sayıları da değştrlerek toplamda 13 farklı searyo elde edlmştr. Çözdürüle modelde amaç w 1 = 0 w 2 = 1 ve w 3 = 0 kullaılarak verle kısıtlar altıda e küçük gezg satıcı sayısıı bulumasıa drgemştr. Bu yaklaşımı lteratüre temel katkısı problem çözümüde kullaılacak ola toplam gezg satıcı sayısıı e küçüklemes le toplam malyetlerde daha büyük tasarruf sağlaablecek olmasıdır. Acak bu yaklaşım verle br problem ç farklı sayılarda gezg satıcı kullaılarak elde edlecek souçlarda toplamda kat edle mesafeler karşılaştırılmasıyla doğrulaablecektr. Öerle model ve örek problemler Wdows 7 şletm ssteme sahp Itel Xeo 5 36 GHz şlemcl 32 GB RAM e sahp br ş stasyouda IBM ILOG Optmzato Studo sürümü kullaılarak çözdürülmüştür. Her br örek problem ç belrlee dğer parametre değerler Tablo 1 de her br problem çözüm zamaı le brlkte verlmştr. Tablo 1 de de görülebleceğ gb 40 şehrde oluşa örek problem br dakkada braz daha uzu br zama çde çözüleblmektedr. Acak peryod sayısı azaltıldıkça e y çözüme ulaşmak ç harcaa süre hızlı br artış göstermektedr. 60 şehrde oluşa örek problem ç peryod sayısı m ma değer le brlkte azaltıldığıda e y çözüme ulaşmak ç harcaa süre öce azalmakta peryod sayısı daha da azaltıldığıda se çözüm süresde ye hızlı br artış gözlemektedr. 4. roblem olarak adladırıla bu örek problem ç m m le verle alt sıır değere ulaşmak yaklaşık 10 saatlk hesaplama süres souda ble mümkü olmamış bu edele optmzasyo prosedürü soladırılarak 10 saat souda bulua e y çözüm raporlamıştır. 80 şehrde oluşa örek problem 4 peryodlu versyou ç k farklı alt sıır değer (m m) kullaılmıştır. Tablo 1 de de görülebleceğ gb alt sıır değer daha küçük olarak belrledğ durumda e y çözüme ulaşma süresde ye hızlı br artış gözlemlemektedr. 100 şehrde oluşa örek problem ç elde edle souçlar da ve 80 şehrl problemlerde elde edle souçlarla bezerlk göstermektedr. 13. roblemde de m m le verle alt sıır değere ulaşmak yaklaşık 24 saatlk hesaplama süres souda ble mümkü olmamış bu edele optmzasyo prosedürü bu süre souda bulua e y çözüm raporlaarak soladırılmıştır. 12. roblem ç elde edle souçlar ışığıda her br gezg satıcıı turları Şekl 1 Şekl 2 Şekl 3 ve Şekl 4 de grafk olarak Tablo 2 de de şehr umaraları le verlmştr. 119

8 H. Yapıcıoğlu / Aadolu Üv. Blm ve Tek. Der. - A - Uyg. Bl. ve Müh. 15 (2) Tablo 1. Örek problemler ve çözüm süreler roblem No mm mma m * K L Zama (s) * * *: m bu çalışmada ele alıa model ç amaç foksyoudur Şehrler SLS1 SLS2 SLS3 SLS Şekl 1. = 100 m = 4 ç 1. peryottak gezg satıcı turları Şehrler SLS1 SLS2 SLS3 SLS Şekl 2. = 100 m = 4 ç 2. peryottak gezg satıcı turları 120

9 H. Yapıcıoğlu / Aadolu Üv. Blm ve Tek. Der. - A - Uyg. Bl. ve Müh. 15 (2) Şehrler SLS1 SLS2 SLS3 SLS Şekl 3. = 100 m = 4 ç 3. peryottak gezg satıcı turları Şehrler SLS1 SLS2 SLS3 SLS Şekl 4. = 100 m = 4 ç 4. peryottak gezg satıcı turları Örek problemler çözüm süreler göz öüe alıdığıda şehr sayısı seksee kadar ola durumlarda model e y çözümüü kabul edleblr sürelerde elde edlebldğ gözlemledğ söyleeblr. Şehr sayısı daha da arttırıldığıda se çözüm süreler özellkle gezg satıcı sayısı kısıtıdak alt sıır değer küçültüldüğüde e y çözüme ulaşmak ç gereke çözüm süres cdd sevyelerde arttığı da br gerçektr. Amaç foksyouda verle w k1 c k (toplam mesafe e w3 z k küçüklemes) ve k1 (toplam peryod sayısıı e küçüklemes) termler amaç foksyou olarak kullaılarak da bazı deeyler yapılmış acak tatm edc souçlar elde edlemedğde bu çalışmada raporlamamıştır. 121

10 H. Yapıcıoğlu / Aadolu Üv. Blm ve Tek. Der. - A - Uyg. Bl. ve Müh. 15 (2) Tablo 2. roblem 13 ç elde edle gezg satıcı turları eryod p= 1 p = 2 p = 3 p = 4 Gezg Satıcı Tur SLS SLS SLS SLS SLS SLS SLS SLS SLS SLS SLS SLS SLS SLS SLS SLS SONUÇ ve TARTIŞMA Bu çalışmada gerçek hayatta karşılaşıla br problemde yola çıkılarak gezg satıcı problem temel ala ye br model gelştrlmş karar verc farklı terchlere cevap vereblecek şeklde üç farklı ölçütü değerledreblecek br 0 1 tamsayılı br model öerlmştr. Öerle model tamsayılı programlama tekğ le toplam gezg satıcı sayısıı e küçüklemek amacı kullaılarak çözdürülmüş ve souçlar raporlamıştır. Raporlaa souçlar öerle model karar vercler ç öeml br destek aracı olableceğ göstermştr. Açıköğretm sıavları özelde düşüüldüğüde model htyaç duyduğu verler (sıav merkezler arası mesafe ve seyahat süreler) derlemes zama alıcı olacağı düşüüleblr acak güümüzü gelşmş küresel koumladırma sstemler yardımıyla bu htyacı kolaylıkla karşılaableceğ değerledrlmektedr. Ye açıköğretm sıavları ç her sıav merkez zyaretde harcaa süre örek problemlerde sabt kabul edlmes realte le örtüşmese de bu süreler daha detaylı aalz gereke durumlarda daha ayrıtılı olarak celeeblr. Bu bağlamda öerle model gerçek sıav verlerde derlee örek problemlerle deemes öem kazamaktadır. Örek problemlerle yapıla deeylerde ortaya çıka br başka souç çözüm süreler le lgldr. Özellkle zyaret edlecek şehr sayısıı arttığı durumlarda çözüm süresde gözlee artış karar verc terch etmeyeceğ kadar 122 yüksek olablmektedr. Bu durum gezg satıcı problem ve bu problem farklı versyoları le lgl çalışmaları bulua dğer blm saları tarafıda da raporlaa ve beklee br durumdur. Bu sebeple özellkle zyaret edlmes gereke şehr sayısıı 80 de büyük olduğu durumlarda geetk algortma karıca kolo optmzasyou tavlama bezetm ve tabu arama gb metasezgsel algortmalar kullaılarak y çözümlere ulaşma mkaları gelecektek çalışma hedefler arasıda yer almaktadır. Metasezgsel algortmalar ayı zamada öerle model çok ölçütlü versyouu çözümüde de kullaılableceğ ç zeg br araştırma potasyel ortaya koymaktadır. İlerye döük çalışmalar kapsamıda plalaa br başka araştırma kousu da daha öce de belrtldğ gb model gelştrlmese lham vere Aadolu Üverstes açıköğretm sıav sstemde derlee verler uygulamada kullaılması olacaktır. bu çalışmada öerle model gerçek ver le test edlmes hem sıav orgazasyouu daha verml br şeklde gerçekleştrlmes sağlayacak hem de model eksklkler ve gelştrlmeye açık yöler hakkıda fkr verecektr. So olarak öerle model temel alıarak gelştrlecek br karar destek sstem le açıköğretm sstemde üverste temslcs olarak görev ala öğretm üyelere görevledrldkler şehrde hag gü hag oturumda hag okulları hag sıra le zyaret etmelere gerektğ blgs de sağlaablecektr.

11 H. Yapıcıoğlu / Aadolu Üv. Blm ve Tek. Der. - A - Uyg. Bl. ve Müh. 15 (2) * Bu çalışma Aadolu Üverstes Blmsel Araştırma roeler Komsyouca kabul edle 1306F149 olu proe kapsamıda desteklemştr. KAYNAKLAR Applegate D.L. Bby R. E. Chvatal V. Cook W.J. (2006) The Travelg Salesma roblem: A Computatoal Study rceto Uversty ress. Carter A. E. Ragsdale C. T. (2006) A New Approach to Solvg The Multple Travelg Salesperso roblem usg Geetc Algorthms Europea Joural of Operatoal Research 175(1) Datzg G Fulkerso R Johso S (1954) Soluto of A Large-Scale Travelg- Salesma roblem Operatos Research Gavsh B. (1976) A Note o The Formulato of The M-Salesma Travelg Salesma roblem Maagemet Scece 22 (6) Gavsh B. Srkath K. (1986) A Optmal Soluto Method for Large-Scale Multple Travelg Salesma roblems Operatos Research 34(5) Kara İ Bektas T. (2006) Iteger Lear rogrammg Formulatos of Multple Salesma roblems ad Its Varatos Europea Joural of Operatoal Research Laporte G. NobertY. (1980) A Cuttg laes Algorthm for The M-Salesme roblem Joural of The Operatoal Research Socety Meger K. (1930) Das Boteproblem Ergebsse Ees Mathematsche Kolloquums 2 (K. Meger edtor) Teuber Lepzg Mller C.E. Tucker A.W. Zeml R. A. (1960) Iteger rogrammg Formulato of Travellg Salesma roblems Joural of The Assocato of Computg Machery 7(4) Süral H. (2003) Gezg Satıcı roblem Matematk Düyası 2003-III Svestka J.A. Huckfeldt V.E. (1973) Computatoal Eperece wth A M- Salesma Travelg Salesma Algorthm Maagemet Scece 19 (7) Vekatesh. Sgh A. (2015) Two Metaheurstc Approaches for The Multple Travelg Salesperso roblem Appled Soft Computg Yua S Sker B. Huag S. Lu D. (2013) A New Crossover Approach for Solvg The Multple Travellg Salesme roblem Usg Geetc Algorthms Europea Joural of Operatoal Research 228(1) Karp R. M. (1972). "Reducblty Amog Combatoral roblems". Edtörler: R. E. Mller ad J. W. Thatcher. Complety of Computer Computatos. New York: leum Kulkar R.V. Bhave.R. (1985) Iteger rogrammg Formulatos of Vehcle Routg roblems Europea Joural of Operatoal Research

12